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Statistic FiltersStatistic Filters

El filtro de mediana. Este tipo de filtro pertenece al grupo de filtros de orden estadístico, los cuales son filtros que no cumplen con la característica de linealidad. La estadística de orden se define de la siguiente manera.

Sea una muestra aleatoria de tamaño n de una población con función de densidad . La estadística de orden r´ésima es el r'ésimo valor más pequeño en la muestra, digamos . También, se llaman las estadísticas de orden.

n21 X,...,X,X

)x(FX

rY

nr1r21 Y...YY...YY


La mediana se define de la siguiente manera, Si tiene , entonces se dice que m es la median de si y . Si existe una solo m se denomina la mediana.

X)x(FXX

2

1)mX(P

2

1)( mXP

(3.57) yxiWmedianayxskXk

,,

donde es una ventana de pixeles centrada en . yxiWkXk

, kXk yxi ,


Figura 3. 35 a) Original, b) con ruido, c) promediado 5x5, d) medina 5x5.


El filtro de punto medio definido como (3.58) donde es el arreglo ordenado de pixeles dentro de la ventana. Este tipo de filtro da buenos resultados para ruido gausiano y uniforme.

2

iiPuntomedio

2N1

ki

El filtro media alfa-truncado, ATM, se define como (3.59) donde representa el número de valores de pixeles excluidos de los extremos del arreglo ordenado y pude ir de 0 a .

TN

1Tkk2

2

iT2N

1ATM

T 1N 2

Sharpening FiltersSharpening Filters

Este tipo de filtros se relacionan con los filtros pasa altas ya que mejoran las partes de la imagen relacionada con los detalles.

Esta aproximación de la derivada debe cumplir con algunas características: i) Debe ser cero en regiones uniformes ii) No debe ser cero en la entrada de una región de tono de gris tipo escalón o rampa. iii) Debe ser cero en una rampa. La segunda derivada deberá cumplir con los siguientes puntos: i) Debe ser cero en regiones uniformes ii) No debe ser cero en la entrada y salida de una región de tono de gris tipo escalón o rampa. iii) Debe ser cero en una rampa de pendiente constante.


Aproximación de la primera y segunda deriva para imágenes digitales.

Partiendo de la definición de la primera derivada de una función de una dimensión en un incremento unitario tenemos que

(3.60) La segunda derivada se define por (3.61)

)x(f)1x(fx

f

)1x(f)x(f2)1x(fx

f2

2


Filtros independiente a la rotación. Los filtros que posee esta característica se denominan filtros isotrópicos. El filtro u operador Laplaciano es un filtro isotrópico definido como (3.62) este operador posee la característica de linealidad ya que las derivadas de cualquier orden son operaciones lineales. De las definiciones de primera derivada tenemos (3.63) y (3.64)

2

2

2

22 ),(),(

),(y

yxI

x

yxIyxI

),1(),(2),1(),(

2

2

yxIyxIyxIx

yxI

)1,(),(2)1,(),(

2

2

yxIyxIyxI

y

yxI


por lo que (3.65) Esta definición no contempla los cambios de la función en las direcciones diagonales las cuales se pueden incorporar de la siguiente manera,

(3.66) Estas definiciones de Laplaciano generan los kernels o núcleos mostrados en la Figura 3.36 los cuales serían filtros para aplicarse a las imágenes.

),(4)1,()1,(),1(),1(),(2 yxIyxIyxIyxIyxIyxI

)y,x(I8)1y,1x(I)1y,1x(I

)1y,1x(I)1y,1x(I)1y,x(I)1y,x(I)y,1x(I)y,1x(II2


0 1 0

1 -4 1

0 1 0

1 1 1

1 -8 1

1 1 1

a) b) Figura 3. 36 a) Laplaciano, b) Laplaciano incluyendo diagonales.

0 -1 0

-1 4 -1

0 -1 0

-1 -1 -1

-1 8 -1

-1 -1 -1

Figura 3. 37 Laplaciano invertido


La suma de los coeficientes es 0. Esto también se relaciona a la ganancia DC del filtro que en este caso es cero. (3.67)

i j

0j,ihDC

Si aplicamos únicamente el operador sobre la imagen la imagen nueva tendrá como resultado principal los bordes presentes de la imagen. Así que si lo que se desea es mejorar la nitidez de la imagen entonces hay que conservar la información de las bajas frecuencias de la imagen y enfatizar los detalles generados por el Laplaciano. Para realizar este efecto la nueva imagen se define por

(3.68)

positivo es central ecoeficient el si),(),(

negativo es central ecoeficient el si),(),(),(

2

2

yxIyxI

yxIyxIyxI N


(3.69) )1,(),1,(),1()1(),(5),( yxIyxIyxIxIyxIyxI N

a) b) c)

Figura 3. 38a) Imagen original, b) Laplaciano, c) Nitidez mejorada.


Definir los bordes presentes en una imagen.

(3.70)

y

x

G

G

y

y,xIx

y,xI

y,xI

212y

2x GG)y,x(I

(3.71)


(3.72)La cual puede ser calculada por y (3.73) Otra aproximación conocida como Roberts es y (3.74)

yx GGyxI ),(

)y,x(i)y,1x(iGx )y,x(i)1y,x(iGy

)y,x(i)1y,1x(iGx )1y,x(i)y,1x(iGy

i1 i2 i3

i4 i5 i6

i7 i8 i9

Figura 3. 39 Nomenclatura de pixeles en una ventana.


i1 i2 i3

i4 i5 i6

i7 i8 i9

Figura 3. 39 Nomenclatura de pixeles en una ventana.

y (3.75)

y (3.76)y el operador denominado Sobel se calcula mediante

y (3.77)

58x iiG

56y iiG

59x iiG

68 iiG y

)ii2i()ii2i(G 321987x )ii2i()ii2i(G 741963y


-1 0 1

-2 0 2

-1 0 1

-1 -2 -1

0 0 0

1 2 1

0 -1

1 0

-1 0

0 1

Figura 3. 40 Máscaras para aproximación de la magnitud del gradiente.

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