LSIM

El comando lsim es bastante similar al comando step (en realidad, el comando step es justamente un caso especial de lsim). Dado un sistema descripto ya sea por ecuaciones de espacio de estado o por una función de transferencia, el comando lsim puede correr una simulación del sistema usando entradas y condiciones iniciales arbitrarias.

El comando lsim(A,B,C,D,U,T,X0) dibuja la respuesta temporal del sistema lineal:

. x = Ax + Bu y = Cx + DuEsto es, la ecuación diferencial es integrada desde el tiempo T(0) hasta T(length(T)), comenzando con las condiciones iniciales X0 y usando la entrada U. El vector de entrada debe tener el mismo número de componentes que el vector tiempo. Si las condiciones iniciales son nulas, puede omitirse X0.

Suponga que tenemos un sistema descripto por las ecuaciones de espacio de estado de arriba, con las matrices A,B,C,D:

A = [-20 -40 -60 1 0 0 0 1 0];

B = [1 0 0];

C = [0 0 1];D=0;

Como puede ver de las dimensiones de las matrices, este sistema tiene tres estados, una entrada, y una salida. Digamos que quisiéramos graficar la respuesta del sistema con condiciones iniciales no-nulas y sin entrada. Esto puede hacerse de la siguiente manera.

T = 0:0.01:10; % tiempo de simulación = 10 segundosU = zeros(size(T)); % entrada nulaX0 = [0.1 0.1 0.1]; % condiciones iniciales del estadolsim(A, B, C, D, U, T, X0) % simula y dibuja la respuesta (la salida)

Cuando el comando lsim es invocado con argumentos a izquierda,

[Y, X] = lsim(A,B,C,D,U,T);Matlab devuelve la historia temporal de la salida y el estado en las matrices Y y X respectivamente. No se dibuja nada en pantalla. La matriz Y tiene tantas columnas como salidas haya y length(T) renglones. X tiene tantas columnas como estados haya y length(T) renglones. El comando plot puede ser usado entonces para graficar la respuesta.

Grafiquemos ahora la respuesta al escalón para el sistema dado arriba; la entrada U es 1 para todo tiempo positivo, y las condiciones iniciales son cero.

T = 0:0.01:10; % tiempo de simulación = 10 segundosU = ones(size(T)); % u = 1, una entrada escalón[Y, X] = lsim(A,B,C,D,U,T); % simulaplot(T, Y) % plotea la salida vs. tiempo

El gráfico de arriba muestra la respuesta al escalón del sistema. Podemos también graficar la respuesta del sistema debida a cualquier otra entrada que elijamos. por ejemplo, si tenemos una entrada sinusoidal, digamos u(t) = 0.1 sin(5t+1):

T = 0:0.01:10; % tiempo de simulación = 10 segundosU = 0.1*sin(5*T+1); % entrada como función del tiempo[Y, X] = lsim(A,B,C,D,U,T); % simulaplot(T, Y) % plotea salida vs. tiempo

Recuerde que la respuesta de estado estacionario de un sistema lineal a una entrada sinusoidal siempre será una sinusiode de la misma frecuencia pero con distinta magnitud y fase.

Se pudo obtener la misma respuesta sinusoidal transformando las ecuaciones de espacio de estado a la forma función de transferencia:

T = 0:0.01:10;U = 0.1*sin(5*T+1);[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);lsim(num,den,U,T)

Debería obtenerse la misma figura que la anterior.

A causa de que cualquier función de transferencia puede representarse mediante muchos conjuntos diferentes de matrices de espacio de estado, un sistema en la forma función de transferencia sólo puede simularse con condiciones iniciales nulas

SIMULACION DE UN MOTOR EN DC

RESPUESTA AL ESCALON:

Este resultado nos permite concluir que si alimentamos el motor, este comenzará a girar indefinidamente, esto debido a que el sistema es críticamente estable.

RESPUESTA AL IMPULSO:

RESPUESTA A LA RAMPA:

Comprobamos que la salida crece indefinidamente; eso quiere decir, que para una rampa como entrada, el motor mantiene su giro indefinidamente.

RESPUESTA AL ESCALON:

RESPUESTA AL IMPULSO:

RESPUESTA A LA RAMPA: