1. Pada saat t = 0 diketahui fungsi Ψ(x,0) = Ax untuk daerah 0 ≤ x ≤ 1 dan Ψ(x,0) = A(2-x) untuk daerah 1 ≤ x ≤ 2 sedangkan sisanya Ψ(x,0) = 0.

a. Berikut akan dihitung koefisien normalisasi A.

∫−∞

∞

Ψ ¿Ψ dx=1

∫0

1

A2 x2dx+∫1

2

A2(2−x )2dx=1

Dengan mamnfaatkan ketelitian, maka didapatkan nilai A=√ 32b. Kita gambarkan saja grafik Ψ(x,0) dan dengan mudah dapat ditentukan

puncak maksimalnya, yakni probabilitas tertinggi untuk menemukan partikel, yakni di x = 1.

c. Berikut akan dihitung probabilitas menemukan partikel di daerah 0 ≤ x ≤ 1,25.∫0

1

(√ 32 )2

x2dx+∫1

1,25

(√ 32 )2

(2−x )2dx=101128

d. <x> = ∫−∞

∞

Ψ ¿x Ψ dx = ∫0

132x3dx+∫

1

232x (2−x)2dx = 1

<x2> = ∫−∞

∞

Ψ ¿x2Ψ dx = ∫0

132x2dx+∫

1

232x2(2−x)2dx = 1110∆x = √¿ x2>−¿x>¿2¿ = √0,1

2. Diketahui fungsi gelombang pertikel bermassa m yang terperangkap di dalam sumur potensial tak hingga.

Ψ ( x )= A√asin ( πxa )+√ 35 a sin( 3 πxa )+√ 15a sin( 5πxa )

a. Akan dihitung koefisien A agar fungsi gelombang ternormalisasi.

Ingat bahwa ∫0

a

sin ( nπxa )sin(mπxa )=a2 δ n ,m.∫−∞

∞

Ψ ¿Ψ dx=1

∫0

a

( A√a sin( 3 πxa ))2

+¿ (√ 35a sin( 3πxa ))2

+(√ 15a sin( 5πxa ))2

dx=1¿

a2A2

a+ a235a

+ a215 a

=1

A=√ 65

b. Nilai rata – rata energi dapat diperoleh dengan menurunakan persamaan berikut.

<E> = ∫−∞

∞

Ψ ¿H Ψ dx = ∫

0

a

∑n

An¿ √ 2a sin( nπxa )e

i En tћ (i ћ ∂∂t )∑m Am√ 2a sin(mπxa )e

−i Em tћ dx

= 2a∫0a Em∑n An¿∑m Am sin( nπxa )sin(mπxa )dx¿ 2aEn∑n

An¿∑m

Am a2 δn , m= ∑n

En An¿ An

Dengan En= ћ2π 2

2ma2n2

Ψ ( x )=√ 65a sin( πxa )+√ 35a sin( 3πxa )+√ 15a sin ( 5πxa ) Ψ ( x )=√ 610 √ 2a sin( πxa )+√ 310 √ 2a sin( 3πxa )+√ 110 √ 2a sin (5 πxa ) Ψ ( x )=A1√ 2a sin( πxa )+A3√ 2a sin( 3πxa )+A5√ 2a sin ( 5πxa )

<E> =ћ2π2

2ma (12 610 +32 310

+52 110 )= 29ћ2π2

10ma

c. Untuk menemukan partikel dengan tingkat energi dasar, probabilitasnya

dapat diketahui dari A12=610

=35

3. Diketahui proton dengan massa m memiliki energi 4 MeV = 6,4 10 -13 J dari potensial nol di x = 0 akan menembus inti atom dengan energi -12 MeV = -19,2 10-13 J.

a. Persamaan Schrodinger untuk daerah V(x) = 0 adalah sebagai berikut.E Ψ(x) = −ћ22md2Ψ (x)dx2

+ V Ψ(x)−2m(E−V )

ћ2 Ψ(x) = d2Ψ (x)

dx2, V = 0

Pilih k 2=2mE

ћ2 dengan solusi Ψ(x) = e−ikx−r e ikx

Persamaan Schrodinger untuk daerah V(x) = Vinti adalah sebagai berikut.

E Ψ(x) = −ћ22md2Ψ (x)dx2

+ V Ψ(x)−2m(E+V inti)

ћ2 Ψ(x) = d2Ψ (x)

dx2

Pilih k ' 2=2m(E+V inti)

ћ2 dengan solusi Ψ(x) = te−ik ' x

Sebagai syarat kekontinuan di x = 0 maka perlu digunakan relasi berikut.

1. Ψ1(0) = Ψ2(0)e−ik 0−r e ik0=te−ik ' 0 1−r=t

2. dΨ 1

dx(0 )=

d Ψ 2

dx(0 )

−k e−ik 0−kr eik 0=−k ' te−ik ' 0 1+r=k '

kt

Jumlahkan kedua persamaa, maka akan diperloleh

t= 2kk+k ' dan r= k−k 'k+k '

t= 2kk+k '

=2√ 2mEћ2

√ 2mEћ2 +√ 2m(E+V inti)

ћ2

= 2√E√E+√E+V inti

=23

r= k−k 'k+k '

=√ 2mEћ2 −√ 2m(E+V inti)

ћ2

√ 2mEћ2 +√ 2m(E+V inti)

ћ2

=√E−√E+V inti√E+√E+V inti

=−13

b. Probabilitas neutron untuk menembus inti dapat langsung dinyatakan dengan nilai transmitansi T dari hubungan berikut.1 = T + R1 = T + r*r1 – r*r = T

T = 1 - 19 = 89