kuantum quantum

8/14/2019 Kuantum Quantum

1/32

0.1. KUANTUM FIZI GI TEKRAR 1

0.1 Kuantum Fizi gi Tekrar

Gunluk hayatmzda tanecik ve dalga kavramlar s upheye yer brakmayacakkesinlikte tamamen farkl kavramlar olarak karsmza ckar. Gerek taneciklermekani gi (yani nokta mekani gi) ve gerekse dalgalar optigi, her biri kendine hasvarsaymlar, teoriler ve deneyler zincirini kapsayan iki ayr inceleme konusuolarak gelismislerdir.

Bir buyukluk sadece baz kesikli degerler alabiliyorsa kuantalanms demektir.20.yyn ilk ceyreginde elektromagnetik smann kuantalanms oldu gu anlasld.Belirlibir frekansta yaylan s gn tasdg enerji surekli bir de gisken olmayp, temel birenerji kuantumunun katlar olabilir. Ayrca elektromagnetik dalgann k ucukenerji paketlerinden olustu gu, bu paketlerin momentum da tasyabildi gi, digerpar cacklarn bir cok ozelligine sahip ama k utlelerinin sfr oldugu anlasld. Bupaketlere veya sk kuantumuna foton ad verildi.

Kutlenin ve elektrik yukun un kuantalanms olmas klasik zi gin temel ilkeleriylecelismiyordu. Ama s gn kuantalanms olmas klasik elektromagnetik teorisiylecelisiyordu. Cunku bu teoriye g ore sma enerjisi surekli de gerler alabilmeliydi.Boylece s gn kuantalanms olmas yeni bir teoriyi gerekli klyordu.

Is gn par cack karakterinde oldu gunu s oyleyen deneyleri inceleyelim.

0.1.1 Planck ve Karacisim smas

Elektromagnetik smann kuantalanms olmas gerektigini ilk one suren kisikaracisim smasn inceleyen Alman zik ci oldu (1900). Tanm olarak karacisim, ideal bir sn so gurucudur; boyle bir cisim stld gnda yaynladg smayada karacisim smas ad verilir. Klasik elektromanyetik teori kullanlarak, ver-ilen bir frekansta ne kadar enerji sd gn hesaplamak mumk und ur. Bu hesabnsonucu Rayleigh-Jeans form ulu olarak ifade edilir. Bu formul alcak frekanslardadeneysel gozlemlerle uyusuyor, ancak y uksek frekanslarda yanls sonu c veriy-ordu.

Ustelik Rayleigh-Jeans form ulune gore, t um frekanslardaki sma enerjileritoplamnn sonsuz olmas gerekti gi (mor otesi felaket) gibi yanls bir sonu cckyordu.

Planck, bu yanlsl g duzeltebilmek i cin karacisim smasnn kuantalanmsoldugunu varsaymak gerekti gine inanyordu. Planck, varsaymna g ore frekansf olan bir sn, hf kadar bir enerji kuantasnn tam katlar olarak salnabilir.

E = 0 ,hf, 2hf, 3hf... (h = plancksabiti ) (1)

Planck, smann neden hf nin tam katlar olarak kuantaland gn acklamad.Buldu gu sonucun ge cici bir varsaym olduguna inanyordu. Oysa bu sonu c, elek-tromanyetik smann temel ve evrensel bir ozelligi olarak kalacakt.

0.1.2 Fotoelektrik olay

Einstein, Planckn g oruslerini bir adm ilerleterek s oyle bir varsaym ileri s urd u;Bir sk demetindeki enerji, uzayda s urekli da glms olmayp sonlu sayda nok-


2/32

2

tasal enerji kuantumlarndan olusur; b olunemeyen bu enerji kuantumlar tamolarak salnr ve sogurulur. Einstein, bu sk kuantumunu yani fotonun enerjisinihf olarak ald.

Einsteina g ore, iki fotonun ayn anda bir elektrona carpma olaslg cok zayf oldugundan bir elektron kendisine carpan tek fotonun hf enerjisini alarak kopar.

Einstein varsaymna g ore, s gn siddeti arttrld gnda foton says artar an-cak bir fotonun hf enerjisi de gismez. Daha cok foton gonderildi ginde daha cokelektron koparlr ama her bir fotonun enerjisi ayn kald gndan elektronlarnkinetik enerjileri, dolaysyla K max degeri degismez.

Verilen bir metalden elektron koparlmas i cin minimum bir enerjiye gerekvardr. Bu minimum enerjiye o metalin is fonksiyonu denir, ile g osterilir.Fotonun hf enerjisiden k ucukse elektron koparmaya yeterli olmaz. = hf o(f 0 = kritikfrekans )

Einstein bu dus uncesini daha ileri got ur up, foton frekans ile elektron enerjisiarasnda bir ba gnt gelistirdi. f frekans kritik f 0 degerinden b uyukse, bir fotonuncarptg elektron hf kadar enerji alacak, ama kadar enerji kaybederek metaldekopabilecektir.

O halde, ckan elektronun kinetik enerjisi hf kadar veya daha kucukolabilir.K max = hf (2)

Diger bir deyisle, koparlan elektronun maksimum enerjisi sk frekansnnlineer bir fonksiyonu olup, bu fonksiyonun e gimi Planck sabiti ha esit olmaldr.Bu ongorun un deneysel kantlanmas 1916da Millikan tarafndan ger ceklestirildi.

0.1.3 Compton Olay

Is gn taneciksi bir ozelligine sahip olabildiginin bir kantn da bize Comptonolay soylemektedir. Bu olay fotonlarn elektronlarla carpsmalar, so gurulmalarylasonuclanmad g hallerde, tpk bilardo toplarnn carpsmalarnda oldu gu gibi es-nek carpsmalara yol a ct gn ortaya koymaktadr,

Eger fotonla elektron arasndaki carpsma gercektende, iki kat kurenin carpsmasndaoldugu gibi esnek bir carpsma ise boyle bir carpsmada kinetik enerji ve impulskorunum kanunlar ge cerli olacaktr.

Foton-elektron sisteminde enerji korunumunun ge cerli oldu gunu kabul eder-sek ve saysal islemler yaplrsa;

= =h

m0c (1 cos ) (3)elde edilir. Burada =sa clan dalga =gelen dalgay temsil etmektedir. Buformuldeki hm 0 c ye Compton dalga boyu denir. Fotonun carpt g tanecik nekadar b uyuk kutleli olursa Compton dalga boyuda o kadar ksadr.

Compton, saclan dalga boyunu dort farkl acsyla olct u ve = hm 0 c (1 cos )formulle mukemmel bir uyum buldu.


3/32

0.1. KUANTUM FIZI GI TEKRAR 3

0.1.4 Dalga-Par cack ikilemi

Bugun t um zikciler fotoelektrik olay, Compton olay ve di ger bir cok deney-sel gozlemlere dayanarak, s gn par cack karakterine kuskusuz inanmaktadrlar.Ancak s gn dalga karakterli oldu gunu do grulayan deneylerde vardr. Bu durumbir celiski gibi g orunsede aslnda her iki ifadede do grudur. Isk hem dalga hem depar cack ozelliklerine sahiptir. Is gn bu ikili yaps su bagntlarla ozetlenebilir;

E = hf p =h

(4)

Esitliklerin sol tarafndaki E enerjisi ve pmomentumu fotonun par cack ozelli gini,sag taraftaki f frekans ve dalga boyu dalga yapsn belirtmektedir. Elek-tron ve proton gibi parcacklarda bu dalga-par cack ikilemini sergilerler. Kuan-tum teorisinin baslca g orevi temel parcacklarn ilk baksta celiskili gorunen buozelliklerin a cklamak olmaldr.

1923 ylnda Fransz doktora o grencisi de Broglie sgn hem madde hem dedalga ozelligi gosterdigine gore dogann simetrik olaca gn umit ederek, mad-denin de bu ikili karakteri g ostermesi gerektigini ileri surd u. O yllarda mad-denin hi cbir dalga ozelligi gozlenmis degildi. Ancak de Broglie bu varsaymlaBohr y orungelerinin hidrojen atomu icinde kararl dalgalar olarak a cklanabilece ginigosterdi. Bu dalgalara madde dalgalar ad verildi.

De Broglienin madde-dalga ikileminin fotonlar gibi elektronlarada uygulan-abilecegi dus uncesi bir cok zikcide ilgi uyandrd. Bu dus unceyi gelistiren Avus-turyal zikci Schrodinger 1926da yaynladg dort makaleyle dalga mekani gi(kuantum mekani gi)nin do gusunu mujdeledi. 1927de de Broglie madde dal-galarn deneysel olarak gozledi. Elektronlar (dalgalarn temel bir ozelligi olan)girisim sacaklar olusturabiliyorlard.

0.1.5 de Broglie Hipotezi

Yukarda fotonlarn hem dalga hem de par cack ozelligini gosterdi gini incelemistik.Bu iki ozellik s oyleydi;

E = hf p =h

(5)

de Broglie elektron gibi maddesel parcacklarnda bu madde-dalga ikili ozelliginigosterebilece gini one surd u. Bu madde dalgalarnn nasl bir sey oldu gunubilmiyordu, ama bunlarnda sk dalgalar gibi yukardaki ba gntlara uymasgerekti gini soyledi. Bu nedenle bu bagntlara de Broglie bagntlar ad verilir.de Broglie ba gntlarn kabul edersek, elektronun E enerjisinin kuantalanmasdemek f frekansnn kuantalanmas demektir. Klasik zikte bilinen bir sonucagore, bir b olgede yerellesmis dalgalar, sadece belirli frekanslarda titresebilirler.Bu dus unce atom i cindeki elektron dalgalarnn belirli frekanslarda olmas, yanikuantalanmasna yol a car.

Yukardaki bagntlarn saglayan elektron dalgalarnn, Bohrun hidrojenatomunda elektron a csal momentumunun hn tam katlar olarak kuantaland gvarsaymna da uyaca gn gostermeyi basard.


4/32

4

Figure 1: Elektronun Bohr Y orungesindeki Hareketi

Sekil 1 deki gibi bir Bohr yorungesinde d onen elektronun bu yol uzerindedalgal bir sekilde gitti gini varsayalm. Bu dairesel y orungeye tam dalgaboylarsgdrabilmek icin

2r = n (n = 1 , 2, 3,... )olmaldr. (1.1.2)(19)e gore = h p ve 2r =

nh p olur. Buradan rp =

nh2 bulunur.

Dairesel bir y orunge icin r pcarpm L acsal momentumudur. O haldeL =

nh2

= nh (n = 1 , 2, 3,... ) (6)

Bu, Bohr kuantalanma kosuludur.

0.1.6 Bohr Atom Model I

Atom Spektrumlar

19.yuzyln ortalarnda atom spektrumlarnn g ozlenmesiyle, mikroskobik sis-temlerde klasik mekanik teorisinin yetersiz kald g goruldu. Atom spektrum-larnn do gru bir a cklamas 1913 ylnda Danimarkal zik ci Niels Bohr tarafndanyapld ve klasik mekanigin koklu bir de gisim ge cirmesi gere gi ortaya kondu.

Bohr teorisi karakteristik spektrumlar t umuyle farkl bir sekilde acklar.Ilk olarak, bir atomun f , f ...gibi karakteristik frekanslarda sk yaynlamas,o atomun enerjileri hf , hf ..olan fotonlar salmas demektir (Frekans ve enerjiarasndaki bu iliski 19.y uzylda hen uz bilinmiyordu). Bu karakteristik enerjiler,atomdaki elektronlarn toplam enerjisinin E 1 , E 2 , E 3 .. gibi kesikli degerlerdekuantalanms olmasyla a cklanr. Atom bu enerji d uzeylerinin birinden di gerinescrad gnda sk salar veya sogurur.

E 2 E 1oldugunu varsayalm; atom E 2den E 1 duzeyine gectiginde, E 2 E 1kadar bir enerji fazlasn salmas gerekir. Buda enerjisi hf = E 2 E 1 olan birfoton seklinde snr. Benzer sekilde,atomun E 1den E 2 duzeyine gecebilmesi icinE 2 E 1 kadarlk enerji eksigini gidermesi gerekir.Bu da enerjisi hf = E 2 E 1olan bir fotonun sogurulmasyla olur.


5/32

0.2. SCHR ODINGER DALGA DENKLEMI 5

Bohrun Atom Spektrumu A cklamas

Atomik denge problemini cozebilmek icin Bohr, klasik mekanik yasalarnn de gistirilmesigerekti gini one surd u. Klasik mekanigin one surd ugu snrsz saydaki elektronyorungeleri arasnda sadece kesikli bir y orungeler k umesinin kararl dengedeoldugunu s oyledi. Bunlara kararl y orungeler adn verdi. Yorungeler kesiklidegerler alabildigi icin bunlarn enerjileri de kesikli olmal, yani atomdaki elek-tron enerjileri kuantalanms oluyordu. Bir atomun sahip olabilece gi enerjilerE 1 , E 2 , E 3 .. seklinde saylabilir bir k ume olusturuyordu. E ger bu do gruysa,klasik elektromagnetik teorisinin ongord ugu sekilde atomun surekli enerji kay-betmesi onlenmis oluyordu.

Bohrun post ulat soyleydi; kararl bir yorungedeki elektron, ds etki olmad gsurece, hi cbir enerji smadan ayn yor ungede kalr.

Bohr kararl yorungedeki elektronlarn ni cin enerji smadgn acklamyordu.

Bir bakma Bohrun atom dengesini a cklayabildi gi soylenemez. Fakat bu varsaymgercege cok yaknd; ozellikle kararl yorunge kavramnn cok yerinde oldu gudaha sonra anlasld. Kuantum teorisinde bildi gimiz gibi,elektronlarn klasikanlamda bir yorungeleri yoktur, atom i cinde da glms s urekli bir y uk bulutugibi dus un ulebilir. Atomun kararl durumlar (ki Bohrun kararl y orungelerinekarslk gelir) bu yuk bulutunun kararl olup enerji smad g durumlardr

0.2 Schr odinger Dalga Denklemi

de Broglie dalgas i cin;

(x, t ) = Aeiw ( t

xv )

(7)Boyle saf yani bir dalga paketi de gil de tek bir dalgadan meydana gelen dal-

gasal bir hareketle m kutleli ve pimpulslu (dolaysyla K = p2

2m kinetik enerjili)bir tanecigin ba gntsn yapmak icin;

w = 2 f E = hf = h pv = f = hf p

(8)

(22) denklemini (21) de yerine koyarsak; (x, t ) = Ae2 ih (Et px )sekline d onus ur (1.2.3)Eger tanecik bir kuvvet alannda ise, tanecigin toplam E enerjisi enerjinin ko-

runumu ilkesi uyarnca zamana ba gl olmayp bu alan doguran potansiyeli V ilegostererek E taneci gin K kinetik enerjisiyle V potansiyel enerjisinin toplamnaesittir.

E = T (x) + V (x) (9)


6/32

6

E =p2

2m + V (x) (10)

ote yandan (35) den x e gore ikinci t urevi ve sonra da t ye gore birincit urevi alarak;

p2 = h2

42 2x 2

(11)

E = h

2i t

. (12)

(23) denkleminin her iki yann da ile carptktan sonra (24) ve (30) den-klemleri de g oz onunde bulundurarak;

h2i

t

=h2

82m 2x 2 V (x) (13)

Boylece zamana bagl schrodinger denklemi elde edilmis oldu.

0.3 Zamandan Ba gimsiz Schr odinger Denklemi

Tanecige karslk gelen de Broglie dalgasn

(x, t ) = Ae2 ih (Et px ) = Ae2 ipx

h e2 iEt

h (14)

(x, t ) = ( x) e2 iEth (15)

Bu ifade ( x, t )nin yalnz xe bagl bir fonksiyon ile yalnz tye bagl birfonksiyonun carpm olarak yazlabildi gini gostermektedir. Buna g ore taneci ginxi iceren dx aral gnda t annda bulunmas ihtimali;

(x,t ) (x,t ) dx = (x ) e2 iEt

h (x ) e2 iEt

h dx (16)

= (x ) (x ) (17)

Bu sonu c goz onune alnan ihtimalin zamana ba gl olmad gn gostermektedir.Bu ihtimali bulmak icin (x, t )yi bulmak yerine ( x)i bulmak yeterlidir. E enerjisi, enerjinin korunumu ilkesine g ore sabittir. V potansiyel fonksiyonu isesadece yerin fonksiyonudur. (1.4.1)i (1.3.7)de yerine koyarsak;

2 (x)x 2

+82m

h2[E V (x) ](x) = 0 (18)

Boylece zamandan bagmsz schr odinger denklemi elde edilmis oldu.


7/32

0.4. MERKEZI POTANSIYELLER 7

0.4 Merkezi Potansiyeller

0.5 Iki Cisim Problemi

Kutleleri m 1 ve m2 olan iki par cacgn konum ve momentumlarn srasyla r 1 ,r 2 ve p1 , p2 ile gosterelim. Bu sistemin hamiltonyeni;

H = p21

2m1+

p222m2

+ V (r 1 r 2 ) (19)Burada V potansiyeli, kuresel simetriden dolay, sadece par cacklar arasndaki

uzakl gn bir fonksiyonudur. Bu t ur potansiyellere merkezi potansiyeller denir.Momentum operat orleri P = ih ve P 2 = h2 2 (19) denkleminde yerineyazlrsa;

h2

2m121

h2

2m222+ V (r ) = E

h2

2m121

h2

2m222 + V (r ) = E

(20)Dalga fonksiyonu; = ( x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2) (2.1.2) Buradaki x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2

bu sistemin bulundu gu 3 boyutlu uzaydaki koordinatlardr.

h2

2m121

h2

2m222 + V (r ) = E (21)

Bu denklemdeki k utle merkezi koordinatlar X, Y, Z leri bagl hareketinkoordinatlar olan x ,y ,z cinsinden asa gdaki sekilde yazmalyz.

X = m1x1 + m2x2m1 + m2

Y = m1y1 + m2y2m1 + m2

Z = m1z1 + m2z2m1 + m2

(22)

x = x2 x1 y = y2 y1 z = z2 z1 (23)Boylece toplam kinetik enerji ;

T =12

m1 x21 + y21 + z

21 +

12

m2 x22 + y22 + z

22 (24)

M = m1 + m2 seklinde tanmlanrsa; Denklem (22) ve (23)den

M X = m1x1 + m2x2

x2 = x + x1

(23) denklemi (22)de yerine yazlrsa;

M X = m1x1 + m2 (x + x1) = m1x1 + m2x1 + m2x (25)

= ( m1 + m2) x1 + m2x (26)


8/32

8

= Mx 1 + m2x

x1 = X m2(m1 + m2) m1

m1 x (27)Ayrca her iki kutlenin yerine indirgenmis k utleyi kullanabiliriz. Indirgenmis

kutlenin tanm gere gi: =

m1 m2m1 + m2

(28)

Diger islemlerde benzer sekilde yaplrsa;

x1 = X

m1x y1 = Y

m1

y z1 = Z

m1z (29)

x2 = X +

m2x y2 = Y +

m2y z2 = Z +

m2z (30)

denklem (30) , (24)da yerine yazlrsa ;

T =12

(m1 + m2) X2 + Y2 + Z2 +12

x2 + y2 + z2 (31)

(31) denklemi momentum operatorleri cinsinden yazlrsa;

P x = M X P y = M Y P z = M Z (32)

py = y pz = z (33)

boylece (31) denklemi ;

T =12

M P 2x + P 2y + P

2z +

12

p2x + p2y + p

2z (34)

E = T + V ve momentum operat orleri kullanlrsa,hidrojen atomu i cin schr odingerdenklemi;

h2

2M 2km

h2

22 + V (r ) = E (35)

(X , Y, Z,x ,y,z ) = km (X, Y, Z)( x,y,z ) (36)

(36) denkleminin (35) de yerine yazlmasyla

h2

2M 2km km = E km km (37)

h2

22 + V (r ) = E (38)

Ekm kutle merkezinin oteleme hareket enerjisini, E ise ba gl hareketin ener- jisidir. Kutle merkezinin hareketi potansiyel enerjiden ba gmsz oldu gu icin bu


9/32

0.5. IKI CISIM PROBLEMI 9

denklemin (37) cozumu merkezi potansiyel icin enerji ozdeger ve ozvektorleribulmamaza yardmc olmaz. Bu nedenle (38) denklemini ile ilgileniriz.

Once 38 ile verilen denklemi k uresel koordinatlarda yazp, merkezi potan-siyelde hareket eden kutleli spiinsiz bir parcack icin en genel hareket den-klemini veren Schrodinger denklemini asa gdaki sekilde elde edilir:

h22

2

r 2+

2r

r

+1r 2

1sin

sin

+1

sin2 2

2+ V (r ) (r,, ) = E (r,, )

(39)Koseli parantezler i cindeki terimlerin negati acsal momentum operat orun unkaresidir, L 2 . Bu operatorun ozfonksiyonlar dejeneredir ve kuresel harmonikler(Y lm (, )) ile su sekilde tanmlanabilirler:

L2

Y lm (, ) = l(l + 1) h2

Y lm (, )Lz Y lm (, ) = mhY lm (, ) (40)

Kuresel koordinatlarda (r,, ) degiskenlerine ayrlarak s oyle yazlr. (r,, ) = R (r ) f () g ( ) (41)

Denklem (39) deki sadece ye bagl olan denklemi m2 ye esitlersek(cunk u boyle bir sistemin 0 aral gnda her an dogru olabilmesi i cindenklemin bir sabite esit olmas gerekir. O sabit m2 seklinde bir kuantumsays olarak se cilir) denklem; 2g 2

+ m2g = 0 (42)

seklini alr.Bu denklem ise basit harmonik hareket denklemidir. cozumu ise;

g ( ) = Aeim (43)

olur.A y bulmak i cin ise normalizasyon sart kullanlr;

2

0

g ( )g ( ) d = 1 A22

0

d = 1 A =1

2 (44)

Boylece g ( ) cozumu;

gm =1

2 eim (45)

m = 0 , 1, 2, 3... kuantum says39 esitli ginin 0 r , 0 , ve 0 2 aral gnda yani tum uza-yda her an dogru olabilmesi i cin denklemin bir sabite esit olmas gerekti gi belir-tilmisti. Burada se cecegimiz sabit ise denklem 40 dan goruldugu gibi ( + 1)


10/32

10

dir. Yukardaki denklemler a csal momentumun karesinin h2 ye bolumu boyutuolduklarndan m ve kuantum saylar a csal momentum kuantum saylar ol-mak zorundadrlar. B oylece denklemin sol ve sag taraar ( + 1) e esitolduklarndan dolay schr odinger denkleminin kuresel koordinatlarda her ucdegiskene ayrlms sekli;

2g 2

+ m2g = 0 (46)

1sin

sin f

+ ( + 1) m2

sin2 f = 0 (47)

1r 2

r

r 2Rr

+2h2

E V (r ) h2

2( + 1)

r 2R = 0 (48)

(46) denkleminin cozumun un gm = 12 eim oldugunu g ostermistik.Denklem (47) un cozumu icin Legendre polinomlar ve Rodrigues form ulleri

kullanlarak cozume gidilir. Bu durumda ya bagl cozum fonksiyonu;

f () = N m P m l (cos ) (49)

seklinde olup normalizasyon sabiti;

N m = ( 1)( m + |m |)2 2 + 12 ( |m |)!( + |m l |)! (50)

P m (cos ) = 1 cos2 m

2 m l P (cos )

m l(51)

ifadeleri ile belirlidir. Burada (cos = dersek) P l () ise;

P () =12

!

2 1 (52)ile verilir.Burada P m () Asosiye Legendre polinomu, P () ise Legendre polino-

mudur. Buradaki ve m kuantum saylar i cin m ve m 0 kosullar,yine merkezcil olan cozumlerinde ortaya ckacaktr.Denklem 48 ile verilen Schr odinger denkleminin radyal ksm i cin ise asa gdaki

degisken de gisiklikleri cozumu olduk ca kolaylastrr. Once t urev ifadesini a carakdenklemi tekrar yazalm:

d2

dr 2+

2r

ddr

Rnl (r ) 2h2

V (r ) +l(l + 1) h2

2r 2Rnl (r ) +

2E h2

Rnl (r ) = 0 (53)

Rnl (r ) asa gdaki sekilde yazarsak

Rnl (r ) =unl (r )

r(54)


11/32

0.6. ORNEKLER 11

ved2

dr 2 +2r

ddr

unl (r )r =

1r

d2

dr 2 unl (r ) (55)

seklinde ifade edebilecegimiz icin, 48 ile verilen radyal Schrodinger denkleminiasa gdaki olduk ca basit ve kompakt sekle d onust ur ur uz:

d2unl (r )dr 2

+2h2

E V (r ) l(l + 1) h2

2r 2unl (r ) = 0 (56)

Instead of solving the partial differential equation 39 in the three variables r , and , we now solve a differential equation involving only the variable r , butdependent on the angular momentum parameter l, which makes the eigenvaluesand eigenfunctions different for each value of l. Therefore, the eigenfunctionsand eigenvalues are 2 l+1 degenerate.

0.6 Ornekler

0.6.1 Free Particle Solution

In classical mechanics, a free particle of mass moves along a uniform lineartrajectory. Its momentum P , its energy E = P 2 / 2 and its angular momentumL = r P relative to the origin of coordinate system are constants of motion.In quantum physics, the observables P and L = r P do not commute.Hence, they represent incompatible quantities: It is not possible to measure themomentum and the angular momentum of a particle simultaneously.

Conceptually, the simplest scattering state is the free particle where poten-

tial is zero everywhere. We now look for solutions of the free particle radialSchr odinger equation 56 that is, simultaneous eigenfunctions of H, L 2 and Lzcorresponding to denite values of E , l and m. The radial Schrodinger equationfor a free particle is not under any inuence of potential V (r ) and freely travelsfrom - to + . the radial Schrodinger equation:

d2

dr 2+

2r

ddr

Rnl (r ) + k2 l(l + 1) h2

r 2Rnl (r ) = 0 (57)

where k2 = 2Eh 2 . The energy can only be positive in the case of free motion. If we change variables in equation 57 to = kr and write Rnl = R l (), we obtainfor R l () the equation:

d2

d2 + 2 dd R l () + k2 l(l + 1) h

2

r 2 R l () = 0 (58)

Which is called spherical Bessel differential equation whose particular solutionsare J l+ 12 () and n l+ 12 (). It is possible to write them in terms of the sphericalBessel functions:

J l () =2

1/ 2

J l+ 12 () (59)


12/32

12

and spherical Neumann functions

n l () = ( 1)l+1

21/ 2

J l12 () (60)

where J v is an ordinary Bessel function of order v.The general form of the functions J l () and n l () are given by

J l () = ( )l 1

d

d

l sin

(61)

and

n l () = ()l 1

d

d

l cos

(62)

The asymptotic values of the spherical Bessel function for small and large have the following forms

J l () =

l135... (2 l+1) for l

1 cos 2 (l + 1) for l

(63)

The asymptotic values of the spherical Neumann function for small and large are

n l () =135

... (2 l1) l +1 for l

1 sin 2 (l + 1) for l

(64)

The general solution of equation 58 corresponding to a well-dened energy ( E =h2k2 / 2) and a well-dened orbital angular momentum l is of the form

Rnl (r ) = AJ l (kr ) + Bn l (kr ) (65)

Here the constant B must be zero because of the niteness of the wave functionin the origin since the spherical Neumann function n l () has a pole of orderl + 1 at origin and is therefore an irregular solution of 58. On the other hand,the spherical Bessel function J l () is nite at the origin and is thus a regularsolution. Therefore, the radial radial and total wave functions of the Schr odingerequation 58 for a free particle are

REl (r ) = AJ l (kr ) (66)El (r ) = AJ l (kr )Y lm (, ) (67)

The constant A is determined from the boundary condition and the normal-isation. The spherical Bessel and Neumann functions are shown in gures 2 and3. Remarks:

1. The eigenvalues k2 can take on any value in the interval of (0 , ) sothat the energy E = h

2 k 22 can assume any value in this interval and the

spectrum is continuous.


13/32

0.6. ORNEKLER 13

Spherical Bessel Functions

J(2,kr)

J(1,kr)

J(0,kr)

0

0.5

1

J(l,kr)

5 10 15 20kr

Figure 2: Spherical Bessel function for different values of l.

Spherical Neuman Functions

n(2,kr)

n(1,kr)n(0,kr)

1

0.5

0

0.5

J(l,kr)

Figure 3: Spherical Neumann function for different values of l.


14/32

14

2. Every free particle eigenfunction can thus be labelled by the two discreteindeces l and m and by continuous index E (or k). So each energy eigen-value is innitely degenerate, since for a xed value of E, the eigenfunctionsare labelled by the two quantum numbers l and m such that l = 0 , 1, 2 . . .and m = l, l + 1 . . . , l

0.6.2 Innite Square Well

To determine the energy levels for a particle in a innitely deep potential well,consider the motion of a particle of mass in the following spherically symmetricinnitely deep potential well:

V (r ) = 0 for 0 < r a

otherwise (68)

A particle could never scatter from the well because it is innitely deep. Itsa bit like a black hole. Once you fall in you can never get out. When r a,inside the well, the particle moves freely and the states of motion with a well-dened orbital angular momentum are given by the the solution of the radialSchr odinger equation:

d2

d2+

2

dd

R l () + k2 l(l + 1) h2

r 2R l () = 0 (69)

where k2 = 2Eh 2 and = kr . The solutions of this equation are given by thespherical Bessel and neumann functions

Rnl (r ) = AJ l (kr ) + Bn l (kr ) (70)

The wave function of the particle vanishes for r a as the particle cannotpenetrate into a region where the potential innite. In order to satisfy thisboundary condition, we must set B = 0. Therefore, the radial and total wavefunctions of the particle are

Rnl (r ) = AJ l (kr ) (71)Elm (r ) = AJ l (kr )Y lm (, ) (72)

To nd the energy eigenvalues, we apply the continuity condition at r = a

j l (ka ) = 0 (73)

Since, for a given l, the Bessel function has an innite umber of zeros, we ndan innite number of values kn,l and of energy levels, that is, the energy levelsare degenerate.

E n,l =h2

2k2n,l (74)


15/32

0.6. ORNEKLER 15

For the loews l values, the spherical Bessel functions are

j0(kr ) =sin kr

kr; (75)

j1(kr ) =sin kr

kr cos kr ; (76) j2(kr ) =

cos krkr

+3

(kr )2 1 sin kr (77)

and for higher values of l they may be easily be constructed from the recurrencerelation

j l (kr ) =l

kr j l1(kr ) j l1(kr ) (78)

Their zeros may be determined from simple transcendental equations:

j0(ka ) = 0 if sin ka=0 or ka = n (79) j1(ka ) = 0 if tan ka=ka (80) j2(ka ) = 0 if tan ka = 3ka3(ka )2 (81)

For ( l = 0 , 1and 2), the eigenvalues are shown in table 74 for different n val-ues. We can easily evaluate the energies of the stationary states by substitutingthese values in equation 74.

Table 1: Values of the kn , la for different l and n values

l n=1 n=2 n=3 n=40 (s) 3.14159 6.28319 9.42478 12.56641 (p) 4.49341 7.72525 10.9041 14.06622 (d) 5.76346 9.09501 12.3229 15.5146

The eigenvalues as shown in table 1 are also displayed in gure 4.It is also possible to obtain a graphical solution to eigenvalue problem. The

intersection of the curves f (ka ) = sin ka and G(ka ) = 0 determines the eigen-values of the l = 0 state. The same hold for l = 1 and l = 2 and so on. Thesegraphics and intersections of two curves are shown in gure 5.

In the remaining part of this section, we will examine the s-state ( l=0) wave

function and probability density. The general solution given by 72 for l = 0 is

E 00 (r ) = Rn 0(r )Y 00 (, ) (82)

where Rn 0 is given by J 0(kr ).

Rn 0(r ) = Asin(kr )

r(83)


16/32

16

Energy Levels of Infinite Square Well

all statesn=3n=3n = 1 n = 2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

ka

Figure 4: Eigenvalues of Innite square well


17/32

0.6. ORNEKLER 17

l = 0f(ka) = sin(ka)

1

0.5

0

0.5

1

2 4 6 8 10 12 14ka

g(ka) = ka

f(ka) = tan(ka)

l = 1

g(ka)=3ka/(3-(ka)^2) 15

10

5

0

5

10

15

2 4 6 8 10 12 14x

Figure 5: The intersections of curves f (ka and g(ka ) for l = 0( s state ), 1( pstate )and 2(d state ).


18/32

18

The boundary condition REl (a)=0 requires that

sin(ka ) = 0 (84)

orka = n (85)

Therefore

E n 0 =h2k2

2=

n22 h2

2a2n=1,2,3,. . . (86)

Therefore, the normalized wave function is

Rn 0(r ) =

2

a

sin(nr/a )

r(87)

and

n 00 (r ) = Rn 0(r )Y 00 (, ) = 2a sin(nr/a )r 14 (88)n 00 (r ) = 12a sin(nr/a )r (89)

The radial component of the full wave function is shown in gure 6 for different nvalues. Figure 7 shows the radial probability density, which gives the probabilityto nd the particle between r and r + dr .

0.6.3 Finite Square WellLet us consider the motion of a particle of mass in a spherically symmetricpotential well:

V (r ) = V 0 for r a0 r > a (90)The states of motion with a well-dened orbital angular momentum are charac-terised by the radial Schr odinger equation. There are two possible cases for thesolution of this equation. In the case where E > 0 is called continuum solutionsand E < 0 are called bound state solutions.

Bound States

d2Rnl (r )dr 2

+ 2 l(l + 1)

r 2Rnl (r ) = 0 r > a (91)

d2Rnl (r )dr 2

+ k2 l(l + 1)

r 2Rnl (r ) = 0 r a (92)


19/32


20/32

20

n=1n=2n=3

Legend

0

0.2

0.4

P(r)

1 2 3 4r

Figure 7: Normalized radial probability density, r 2R2 , for different n values(l = 0).


21/32

0.6. ORNEKLER 21

linear combination of the spherical Bessel and Neumann functions (or Hankelfunctions) is perfectly admissible. So, the solution is

Rnl (r ) = Ah1l (ir ) (97)Rnl (r ) = B ( j l (ir ) + in ir ) r > a (98)

where B is a constant. First three functions h1l (ir ) are

h10(r ) = ie ir (99)h11(r ) =

ir 1 e

ir (100)

h12(r ) = 3

r 3i

2r 2+ i eir (101)

The recurrence relation can be used to nd higher values of l:

h1l+1 (r ) =2l + 1

krh1l (r ) h1l1(r ) (102)

From the continuity and normalization relations, we can determine the constantsA and B in equation 98. Their ration may be eliminated from the continuityrelation of the logaritmic derivative at the well surface, r = a,

iah1l (ir )h1l (ir )

= ka j l (ka ) j l (ka )

(103)

where prime denotes the differention to respective arguments. Since 103 relates

with k, it xes the eigenvalues of the energy in any given well.Equation 103 after elementary but lengthy calculation leads an eigenvaluerelation which may be written:

tan( ka ) = k

l = 0 (104)

tan( ka ) =2ak

k2a + k2 + 2(105)

tan( ka ) =k0 2 k2 ak

k2a k0 2 k2 + k0 2l = 1 (106)

For ( l = 0 and 1), the eigenvalues are shown in table 95 for different n values.We can easily evaluate the energies of the stationary states by substituting thesevalues in equation 95.

The eigenvalues as shown in table 2 are also displayed in gure 8.For l = 2, the transcendental equation is even difficult to solve and we are

not going to do it in this part.Another way to determine the eigenvalues is by nding the intersection of

two curves f (k) and g(k) in equations 106 by using the parameters: k0a2 =


22/32


23/32

0.6. ORNEKLER 23

Energy Levels of Finite and Infinite Square Wells

n = 2n = 1 all statesn=3

0

2

4

6

8

10

12

ka

Figure 8: Comparison of the Finite (solid line) and Innite (dotted line) squarewell ka values for l = 0( s state )and 1( p state ).


24/32


25/32

0.6. ORNEKLER 25

The solution for r > a is

u2E 0(r ) = Ce

kr(114)

The interior solution must satisfy the boundary condition at r = 0, u1E 0(0), thatis, A = B . Hence, the solution for r < a becomes

u1E 0(r ) = A(ekr ekr ) or (115)u1E 0(r ) = 2 A sinh kr (116)

The continuity of wave function at r = a requires that

2A sinh ka = Ceka (117)

To math the derivatives at r = a as well, we need to apply lim 0 a

a dr toboth sides of the equation 112. Using following properties

lim0

a a

u(r )(r a)dr = u(a) and (118)

lim0

aa

u(r )dr = 0 (119)

We get

lim0

u 2E 0(a + ) u 1E 0(a )2h2

V 0u(a) = 0 or (120)

kCeka 2kA cosh ka + 2h2 V 0Ceka = 0 (121)

taking Ceka = 2 A sinh ka from equation 117

kA sinh ka kA cosh ka +2h2

V 0 sinh ka = 0 (122)

hence

k coth ka =2h2

V 0 k (123)The intersects of the curves f (k) = k coth ka and g(k) = 2h 2 V 0 k gives theeigenvalues. In order them to intersect, the condition is

2h2

V 0 > k (124)

This is the minimum requirement to have at least one bound state. As shown ingure 10, by using following parameters: a=4.0, h = 1, = 1, we nd k valueas:k1=0.999664. As it is seen from this gure that two curves f (k) and g(k)exactly intersects at this point.


26/32

26

g(k) = 2-k

f(k) = kcoth(ka)

2

1

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4k

Figure 10: Plot of the functions f (k) and g(k).

0.6.5 Coulomb Potansiyeli

Indirgenmis m kutleli bir parcacgn uc boyutlu uzayda V (r ) = Ze2

r potan-siyelindeki hareketi icin radyal Schr odinger denklemi;

r

r 2Rr

+2h2

14 0

Ze 2

r+ E

( + 1)r 2

R (r ) = 0 (125)

Denklemi daha basit hale getirmek i cin;

= 8E h = Ze 24 0 h 2E (126) = r donus umu yaplrsa;

r

=

r

2

r 2=

2

2r

2

(127)

r

=

2

r 2= 2

2

2(128)

Bu ifadeleri (2.3.1) denkleminde yerine yazarsak;

2 2R2

+ 2

R

+2h2

14 o

Ze 2

+ E

( + 1)2

2 R = 0 (129)


27/32

0.6. ORNEKLER 27

denklem 2ye bolun urse;

2R2

+2

R

+2h2

14 0

Ze 2

+E 2

( + 1)2

R = 0 (130)

nn yukardaki degeri yerine yazlrsa,

2R2

+2

R

+2h2

14 0

Ze 2

h8E+

2E h2

h2

8E ( + 1)

2R = 0

(131)Denklemde gerekli sadelestirmeler yaplrsa;

2R2

+2

R

+1h

14 0

Ze 2

428E 14

( + 1)2

R () = 0 (132)

2R2

+2

R

+1

Ze 2

4 0 h 428E 14 ( + 1)2 R () = 0 (133) 2R2

+2

R

+

14

( + 1)2

R () = 0 (134)

Elde edilen bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metoduile cozulur. Ancak cozume gecmeden once, denklemin asimtotik davransnabakalm.

Radyal fonksiyonunun genel ozelliklerinden, k ucuk degerleri i cin;

limr 0

R (r ) = r l (135)

seklinde olacag bilinmektedir. Buyuk degerleri icin ( ) denklemdeki 14terimi di gerlerini bastraca g icin , yaklask olarak;

2 R

14 R = 0alnabilir. (2.2.4)Bunun genel cozumu; R () = Ae

2 + Be

2 olur. cozumun raksak olmamas

icin B=0 olmas gerekmektedir ( cunku

, e

2

olur).

O halde cozum R () = Ae2 dir. (2.2.5)But un lar icin gecerli cozum ise; R () = Ae

2 f (g) (2.2.6)

Bu durumda (2.2.6) denkleminin cozumu (134) denklemidir. (2.2.6) , (134)de yerine yazlrsa;

2f 2

+2 1

f

+ 1

( + 1)2

f = 0 (136)


28/32

28

(136) den f () nin bulunmas ile R () bulunmus olur. (136) denklemikuvvet serisi metodu ile cozulur.

f () = a0 + a1 + a22 + = s

i =0

a i i (137)

a0 = 0 s 0gibi bir seri alnrDenklem (137) , (136)de yerine yazlrsa;

i=0[(s + i) (s + i + 1) ( + 1)] a i s + i2 (s + i + 1 ) a i es + i1 = 0

(138)Daha basit olarak yazlrsa;

[s (s + 1) ( + 1)] a0s2+

j =1

[ {(s + j + 1) ( s + j + 2) ( + 1) }a j +1 (s + j + 1 ) a j ]s + j(139)

Bu durumda denklemin I. ve II. terimi ayr ayr sfra esit olmaldr. onceI.terimi dikkate alrsak;

s (s + 1) ( + 1) = 0 s (s + 1) = ( + 1) (140)s = ve s = ( + 1)II.terimi dikkate ald gmzda ise;

a j +1 =s + j + 1

(s + j + 1) ( s + j + 2) ( + 1)a j (141)

= 0da ( +1) = 1 ( +1) oldugu icin s = ( + 1) cozumu zikselolarak kabul edilemez. s = kabul edilebilir cozumd ur. (2.2.11)

(2.2.11) denklemi, (141) da yerine yazlrsa;

a j +1 =j + + 1

( j + l + 1) ( j + l + 2) ( + 1)a j (142)

Burada serinin yaknsak olup olmad gna baklmaldr.

limj a j +1a j =

j

j j =1

j (143)

Bu durum e2

nin seri aclm ile ayndr.

e = 1 +1!

+2

2!+

3

3!+ =

i

j !(144)

Oran testi uygulanrsa;


29/32

0.6. ORNEKLER 29

limj a j +1a j =

j !( j + 1)! =

j ! j ! ( j + 1 ihmal )

1 j (145)

da e oldugundan f () raksak olur.Bu sorunu asmann yolu seri cozumun un sonlu sayda bitmesini sa glamaktr.Bu ise tekrarlama ba gntsnda payn sfr olmasyla m umkund ur. Payn sfrolabilmesi i cin = n(2.2.13) sart yeterlidir. n = + 1 , + 2 , + 3 (bu-rada n=temel kuantum says, = y orunge kuantum saysdr). B oylece f ()ve R () raksamadan kurtarlms oldu.

(2.2.6),(137) ve (2.2.11) denklemlerinden

R () = Ae 22

i=0

a i i (146)

L () = i=0

a i i (147)

tanmlanrsa, denklemin genel sekli;R () = Ae

22 L ()halini alr. (2.2.16)

(137) , (2.2.11) ve (147) denklemlerindenf () = L ()yazlr. (2.2.17)(2.2.17) ve (2.2.13), denklem (136) de yerlerine yazlrsa;

2 L 2 +[2( + 1) ] L + [ n ( + 1)] L = 0Ba gl laguerre diferansiyel den-

klemi (2.2.18)P = 2 + 1ve q = n + (2.2.19) seklinde tanmlanrsa, denklem;

2 2 L

2 + ( p + 1 )L pq

+ ( q p) L pq = 0denklemine indirgenir (2.2.20)Bu denklem bagl laguerre diferansiyel denklemidir. c ozumleri ise L pq ba gl

laguerre polinomlardr.Boylece R () radyal dalga fonksiyonu ;Rn () = An e

2 L2 +1n +1 ()elde edildi (2.2.21)

Simdi ise (2.2.21) denklemindeki An yi bulalm. Bu ise normalizasyon sartkullanlarak bulunur;

0

Rn Rn r2dr = 1 (148)

= r (149)

d = dr dr =d

(150)

r 2 =2

2(151)

(2.2.21), (148) de yerine yazlrsa;


30/32

30

A2n

3

0 e 2 L2 +1n + 2 2d = 1 (152)

diklik ba gntsndan 0 e 2 L2 +1n +2

2d = 2n [(n +1)!]3

(n 1)! yazlabilir.

An = 3 (n 1)!2n [(n + )!]3 (153) = 8E nh2 (154)

2 =

8E n

h2 =

8

h2

14

0

2 Z 2e4

2h2

1n2

(155)

2 = 41

(4 0)2

2e4

h4

1a 0 2Z 2

n2(156)

2 =4Z 2

a20n2(157)

= 2Za 0 n (a: bohr yarcap) (2.2.25)(2.2.25) , (153) de yerine yazlrsa;

An = 2Z a0n

3 (n

1)!

2n [(n + )!]3 (158)Boylece H atomunun dalga fonksiyonunun radyal fakt oru;

Rn = 2Z a0n 3 (n 1)!2n [(n + )!]3 e2 L2 +1n +1 () (159)Hidrojen atomu i cin dalga fonksiyonlar

n, ,m (r,, ) = Rn (r ) f ,m () gm ( ) = Rn (r ) m (, ) (160)

n, ,m (r,, ) = 2Z a0n3

(n 1)!2n [(n + )!]3 e2 L2 +1n +1 () 2 + 12 ( m )!( + m )! P

m (cos ) 12 eim

(161)(3.1)

olur ve buna k uresel harmonikler denir. Dikkat edilirse ,m (, ) ler sabityar capl bir k ure uzerinde ve nin periyodik de gisimlerini temsil etmektedir.Kuresel harmonikler adn bu ziksel anlamdan alrlar.


31/32

0.6. ORNEKLER 31

Hidrojen atomu i cin enerji seviyeleri

= 8E nh 2 , =

Ze 24 0 h

2E , = r ve = n tanmlanmst.

=n sartn kullanrsak;

n2 = Z 2e4

h2 (4 0)2

2E

(162)

E n = Z 2e4

(4 0)2 h2

12n2

(163)

E n = 1

4 0

2

Z 2e4

2h21

n2=

Z 2Rn2

= 13, 6eV

n2(164)

Rydberg sabiti R = 14 02 e 4

2h 2 = 13 , 6eV cinsinden yazlrsa, enerji den-

klemi E n = Z2 R

n 2 = 13 ,6eV n 2 .Kuantum seviyelerinin enerjileri E n = 13 ,6eV n 2formulunden bulunur.Hidrojen atomunda elektron,enerjisi en d us uk olan n=1 seviyesinde kalr.

Uyarlms seviyelerin omru 108 sn seviyesi mertebesinde iken taban seviyesininomru sonsuzdur. Boylece Hidrojen atomunun enerji seviyelerini veren denklemelde edilmis oldu.Simdi n=1,2,3,,, de gerlerine karslk gelen enerji seviyelerinigosterelim.

En Seviyeler w

E 4 = E 116 4s (1)4 p (3)4d (5)4 f (7) 16

E 3 =E 19 3s (1)3 p (3)3d (5) 9E 2 = E 14 2s (1)2 p (3) 4

E 1 = 13, 6eV 1s (1) 1Table 3: Hidrojen atomu i cin enerji seviyeleri ve dejenere degerleri

Simdi,hidrojen atomu i cin buldu gumuz dalga fonksiyonlarna tekrar d onelim.Hidrojen atomu icin dalga fonksiyonu

n, ,m (r,, ) = Rn (r ) f ,m () gm ( ) = Rn (r ) m (, ) (165)

seklindeydi. Ilk bolumde de belirttigim gibi bulunan b ut un bu sonu clar hidro- jende (Z=1) oldugu gibi diger atomlarda da (Z1) gecerlidir.

Asa gda hidrojen ve benzer atomlarn n=1,2 ve 3 i cin dalga fonksiyonlar yeralmaktadr.

100 =1

2Z a0

32

eZra 0 (166)


32/32

32

200 = 142 Z a032

2 Zra0 eZr

2 a 0 (167)

210 =1

42Z a0

32 Zr

a0e

Zr2 a 0 cos (168)

211 =1

82Z a0

32 Zr

a0e

Zr2 a 0 sin ei (169)

300 =1

813Z a0

32

27 18Zra0

+2Z 2r 2

a20e

Zr3 a 0 (170)

310 =2

813Z a0

32

6 Zra0

Zra0 e

Zr

3 a 0 cos (171)

311 =1

813Z a0

32

6 Zra0

Zra0

eZr

3 a 0 sin ei (172)

320 =1

816Z a0

32 Z 2r 2

a20e

Zr3 a 0 3cos2 1 (173)

321 =1

81Za 0

32 Z 2 r 2

a 20e

Zr3 a 0 sin cos ei (174)

322 = 1162 Za 032

Z2

r2

a 20 eZr

3 a 0 sin2 e2i (175)

kuantum quantum

Documents