solucionario 1º boletin anual uni

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CICLO ANUAL UNI 2011 -I

SOLUCIONARIO PRIMER BOLETIN ANUAL CESAR VALLEJO

PROB 01.

Piden calcular el valor de la siguiente expresión

PROB 02.

Del gráfico, calcule el valor de

Del gráfico:

PROB 03.

Piden el valor de x

2


PROB 04.

Piden calcule

Entonces…

PROB 05.

Calcular el valor de n

De la siguiente igualdad

De la igualdad…

Operando:

3


PROB 06.

Luego.

Del gráfico piden si AB = BC

PROB 07

PROB 08

Si S, C y R son lo convencional para un mismo ángulo. Piden

Sabemos:

Luego:

4


PROB 09

Si S, C y R son lo convencional para un mismo ángulo positivo. Piden R

De la condición:

Luego:

PROB 10.

Se pide: en radianes

Del enunciado:

Sea del ángulo, donde:

Reemplazando:

Se pide:

PROB 11

Del gráfico:

5


Se pide OM

PROB 12.

Dato:

PROB 13

Dato:

PROB 14

Se pide perímetro de la región sombreada=

Del gráfico:

Como:

6


Piden el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular

PROB 15.

PROB 16

Para que se pueda dar el dato del problema, el cual sus áreas son iguales, se debe tener presente que el sector circular y el trapecio circular son de circunferencias distintas, para lo cual el grafico a usar es:

Hallando el área de cada figura:

de la cual se halla el valor de x:

Piden el valor de X

7


Del grafico:

Poniendo los datos que nos dan en el problema

Tenemos que la longitud de la circunferencia es:

Sabemos que :

Entonces el área de la región sombreada:

PROB 17

Piden el área de la región sombreada:

PROB 18

Del grafico asumimos un ángulo central como

8


Hallando los valores de S1, S2 y S3:

Reemplazando y operando:

Hallando S1, S2 y S3

Por la relación conocida para poder calcular el área de un sector circular teniendo en cuenta su ángulo central y su longitud de arco:

Reemplazando en lo que piden:

PROB 19

Piden:

De la figura que es un sector circular AOB

9


El triangulo BOA es isósceles, trazamos la altura OH, que seria una bisectriz para el ángulo BOA, aplicando el teorema de Pitágoras según la figura en el triangulo OHC, encontramos la longitud del radio del sector circular MON.

Luego cambiamos el ángulo central al sistema radial, con lo efectuamos los cálculos:

Área de la region sombreada=Área del sector AOB - Área del cuadrado ABCD

PROB 20.

Piden el área de la región sombreada.

BC=BA=AD=DC=6

Del grafico:

El problema no tiene alternativa.

PROB 21.

Piden S: Área de la región sombreada.

Dato:

R/2

R/2

O

A

L

B

rada

10


Del dato ,

S=3

Piden “n” el numero de vueltas desde A hasta C

Dato radio r=1cm, AB=DC= cm

PROB 22.

Dato radio de la rueda r=2, AB=7, AD=10

PROB 23.

Piden “n” el numero de vueltas desde la posición (1 ) hasta la posición (2) pasando por B y C

A

B

C

45º

135º

(1) (2)

A

B C

D

N

M

P Q

T

S

11


PROB 24

-Piden “n” el numero de vueltas desde la posición A hasta la posición B

La medida del ángulo central que forman los centros de las ruedas es

PROB 25.

Piden “n” el numero de vueltas que da la rueda desde A hasta B.

Radio r= , AM=8, MB=11

R R

RA B

A

M B60º

T

P

12


(C)

3 2

(B) 1

PROB 26.

Piden: cuanto girará C

Dato: A gira 60°

(A)

Si A gira 60° entonces la longitud que recorre un punto en A es luego un punto en B recorre la misma longitud, considerando la medida del ángulo central generado entonces la longitud recorrida del punto B es , luego B y C generan la misma medida del ángulo central.

Dato: el bloque asciende cm (A)

2

1/2 (B)

(C)

1

Si el bloque asciende , entonces un punto en la polea A recorre la misma longitud y genera un ángulo central de medida

Entonces:

PROB 27

Piden: calcular la suma de los ángulos girados por las tres poleas.

13


3

2

1

En la polea B de forma similar al anterior, considerando un ángulo central de

Entonces:

La polea C comparte el mismo eje de transmisión entonces el ángulo generado por C es igual al ángulo generado por B luego

Entonces la suma de los ángulos generados es:

Clave E

(C) (B) (A)

Considerando: al girar,

Que la polea A genera un ángulo central de medida

Que la polea B genera un ángulo central de medida

Que la polea C genera un ángulo central de medida

Además sabemos: que las poleas al estar en contacto un punto en ellas recorre la misma longitud.

Entonces:

Pero como

PROB 28

Piden: número de vueltas que da la polea A.

Dato: la suma de las medidas de los ángulos girados por las tres poleas es

14


Observación.

En el caso de la polea A se tiene:

Clave B

Dato: C

a b

B c A

Además el perímetro

La longitud del cateto mayor es:

Clave A

PROB 29

Piden: la longitud del cateto mayor

15


Dato: B

PROB 30.

Piden:

2n

2n

60° n 60° A 4n C

Del gráfico,

Entonces

Clave B

A B

4

PROB 31

Piden:

Datos: AB= y CD=

7

M

3

H 1

1 T

3 3

D C

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i) En el triangulo ABH se tiene que AH=BH=7 por el triangulo conocido de

de igual manera en el triangulo DTC se tiene que DT=TC=3 asi como también en el triangulo CMB se tiene que MB=MC=4.

ii) Debido a que TC= 3 entonces tenemos que TM=1, si observamos el triangulo HMD se tiene el triangulo en la relación de 1 a 3 esto quiere decir que

, reemplazamos en la expresión que piden

CLAVE: D

RESOLUCION (32

T A B Si prolongamos BA y DM en la figura

como se muestra en la parte izquierda

3 del grafico generamos un triangulo

Rectángulo MTA en la cual aplicamos

M el teorema de Pitágoras obteniendo

AT= , luego se puede observar

7 en consecuencia que AB = .

Del grafico se observa que podemos

4 evaluar en el triangulo ABC,

entonces:

)

Piden:

D 4 C CLAVE A

17


RESOLUCION (33

i) En el triangulo MNA por ser triangulo conocido de se tiene que , como no se conoce la medida del segmento NB se tendrá que

asumir una variable que represente su medida, entonces asignamos que NB = m y debido a que AB = BC , se tiene que

)

Piden:

Datos: CM=MN=1 y AB=BC

ii) Además observamos que en el triangulo CNB, existen elementos suficientes para poder aplicar el teorema de Pitágoras, evaluando el cálculo de m.

A

N

1

m

M

1

C m + B

iii) En el triangulo CNB se puede observar que existen elementos suficientes para poder evaluar cualquier razón trigonométrica, como nos piden el cálculo de

:

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i) Para determinar , debemos de ubicar a , en un triangulo rectángulo para ello prolongamos CD y desde A trazamos una perpendicular cortando en el punto H a la prolongación de CD generando el triangulo rectángulo CHA.

RESOLUCION (34)

Piden:

ii) Se observa en el grafico que AD debe ser proporcional a 5 y 4 debido a la

existencia del triangulo DAB y DHA cuyos ángulos de aprox. son de los relacionan a un triangulo cuya proporción es de 3,4 y 5, entonces asumimos que AD=20K

DHA: Si AD=20k AH= 16K y HD=12K

DAB: Si AD=20k BD = 25K

A B

16K

20k

H

12K

D

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iii) A demás se puede observar que en el triangulo BDC , el cateto BD debe ser proporcional a 3, por lo que es necesario modificar la proporción anterior entonces estaríamos multiplicando por 3 a cada elemento DHA: Si AD= (20k).3 AH= (16K).3 y HD= (12K).3 BDC: Si BD= (25k).3 DC = (25K)4

iv) En el triangulo AHC existen elementos suficientes que permiten la evaluación de una Razón trigonométrica, por lo que entonces:

CLAVE E

i) Por dato se tiene que y

RESOLUCION (35) Piden: ………….. (1)

ii) Si asumimos que AF = m y debido a que A B C F r r O

E

iii) Por dato , entonces podemos aplicar la relación de proporcionalidad de segmentos

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iv) Para realizar el cálculo de establecemos la relación del cálculo de

longitud de arco circunferencial

Reemplazamos los valores de m y en (1) y asumiendo la sugerencia de

, se tiene:

CLAVE C

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