solucionario uni- 2014-2 - matemática
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Solucionario del examen de Admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería de Matemáticas, tomado el 11/08/2014. Desarrollado por la Academia Saco OliverosTRANSCRIPT
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
2
MATRICES
1. Efectuando operaciones y despejando x
5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A
( ) ( )1 3
8 4A 12 B C A B C2 2
x x= − + → = − +
1 8 1 2 4 141 13
7 3 3 1 2 62 2x
− − = − = − −
2 7
1 3x
= −
∴ det(x) = 13
Respuesta
13
SISTEMA DE ECUACIONES
2. Mediante la regla de Cramer
2 2
1 1sα β
∆ = = α + α − β + ββ − α +
11 3
3 1x− β
∆ = = −α − − βα +
13 1
1 3yα −
∆ = = α + β −α −
Luego: 1; 1yx
sx x y
s
∆∆= = − = =
∆ ∆
CS = (– 1; 1)
Respuesta
– 1; 1
SERIES
3. 0 0
1 1S
2 2
k k
k k
∞ ∞
= =
= − + ∑ ∑
1 1S
11 1122
= + −− −
2 8S 2
3 3= + =
Respuesta
S = 83
SERIES
4. Sea
3 3 3 31 1 1 1
S 1 ...8 162 4
= + + + + +
Podemos escribir
3
3 30
3
1 1 2S
12 2 112
k
k
∞
=
= = = − −∑
Respuesta3
32
2 1−
TEORÍA DE ECUACIONES
5. 1 1 1 1a b x a b x
+ = −+ +
a b+ a bab
− +=
( )( )x x a b+ +
x2+(a+b)x+ab = 0
(x+a)(x+b) = 0
x1 = – a (menor)
x2 = – b (mayor)
1
2
x ax b
=
Respuestaab
MATEMÁTICA (PARTE 1)
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA
3
DESIGUALDADES
6. 2 1 11 2 1 3 1
1 3 3x
x x xx
−< → − < − ∧ ≠
−
|2x – 1|2 < |3x – 1|2
(5x – 2)x > 0 ∧ x ≠ 13
2 1
05 3
x x x< ∨ > ∧ ≠
2; 0 ;
5x ∈ −∞ ∪ + ∞
2S ; 0 ;
5= −∞ ∪ + ∞
[ ]C 2
S 0; ;5
a b = =
∴ 3a+5b = 2
Respuesta
2
FUNCIONES
7. y2+2y = x+1
(y+1)2 = x+2
Como y > 0
y+1>1
(y+1)2>1
x+2 > 1
x >–1
Dom (f)= ⟨–1; +∞⟩
Respuesta
⟨1; +∞⟩
8.
(1; 2)(3; 4)
y=x+1Y
X
y=x–1
(3; 2)
(3; 0)(1; 0)
a+b+c+d+e+f+g+h=16
Respuesta
16
9. f(ax+by) = af(x)+bf(y)
a=0; y=1→ f(b) = bf(1)
Como f(1) = 1
Entonces f(b) = b, ∀b ∈
Tenemos y2+6y+9=n2
(y+3–n)(y+3+n) = 0
y1=n – 3 ∨ y2= –n–3
Respuesta
n–3
10. R1=(x, y) ∈2 / y ≥(x+1)log(x+1)(x)
y ≥x; x>0
Y
X
R2=(x, y) ∈2 / y ≤1+log(x+2)
Y
X
Tenemos R1 ∩R2
Y
X
Respuesta
C
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
4
FUNCIONES
11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x
I. Es creciente:
f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x(–0,001)
f ‘(x) > 0
II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0)
f(x) = 2000 – 1000 = 1000
III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x) x→+∞ x→ +∞
= 2000
Entonces: VVV
Respuesta
VVV
FUNCIONES
12.
I. Sea A= 0
0 0
a b c
d e
f
→ AT=
0 0
0
a
b d
c e f
A=AT → b=0 y c=0 ∧ e=0 (F)
II. A=
0 0
0
a
b c
d e f
→ AT= 0
0 0
a b d
c e
f
A=–AT → A=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(V)
III. (V)
Respuesta
FVV
MATRICES
13. N = 111111(3)
Expresándolo en base 9 con cambio de base especial
N = 444(9)
Piden multiplicar N consigo mismo
4 4 4(9) ×
4 4 4(9)
1 8 8 7(9)
1 8 8 7(9)
1 8 8 7(9)
2 2 1 6 6 7(9)
Ahora: N × N = 221667(9)
Expresando dicho producto en base 3 con cambio de base especial
N × N = 20201202021(3)
Suma de digitos:
2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3)
Respuesta
110(3)
IRRACIONALES
14.
I. Si y ∈ \0 y x ∈ , entonces por propiedad de clausura
yx ∈. (V)
II. Si a y b son irracionales, entonces a+b y a × b son racionales.
→ si tomamos, a= 2 y b= 2, no se cumple. (F)
III. Si a ∈ y b es irracional, entonces
a × b es irracional.
→ si tomamos, a=0, a × b=0, no se cumple. (F)
Respuesta
VFF
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA
5
RADICACIÓN EN N
15. Dato:
1 7 a b c d 9 1 3 3 11 2 3 × 3 = 6 9– 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9
6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1– 8 b c
7 8 9– 2 6 d 9
2 6 6 1– – – e
Observe:
8+69=77=7a → a=7
26+789=815=8bc → b=1 y c=5
e+2661=26d9 → e=8 y d=6
Piden
E = e+d – c+b – a
E = 8+6 – 5+1 – 7
∴ E = 3
Respuesta
3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
16. Dato: (y – 4) IP (x2 – 4)
Respecto a sus valores se cumple:
(y – 4)(x2 – 4)=k’
Para el par ordenado: (–1; –2) →x=–1 ∧y=–2
Reemplazando
2
–6 –3
(–2 – 4)((–1) – 4) 18k k′ ′= → =
Ahora: (y – 4)(x2 – 4)=18
218
– 4– 4
yx
=
∴ 218
4– 4
yx
= +
Respuesta
218
4– 4
yx
= +
PROMEDIOS
17. Dato: a ∈ ∧b ∈,a>b
Además: 2
2
MA( ; ) – MH( ; ) 1a b ab
a b
a b a b+
+
=
–
(a+b)2 – 4ab=2(a+b)
a2 +b2 + 2ab – 4ab=2(a+b)
a2 +b2 – 2ab=2(a+b)
2
4 8( – ) 2( )a b a b= +
(a – b)2 es cuadrado perfecto y piden el menor valor de
2 2a b+
8
– 4
a b
a b
+ = =
a=6
b=2
∴ 2 2 2 26 2 40 2 10a b+ = + = =
Respuesta
2 10
REGLA DE INTERÉS
18. Tenemos
C=S/. N
r %=6 %
I=S/. 825
t= años
C=S/. (N+7125)
r%=10 %
I=S/. 1850
t= años
donde 1850=(N+7125)10 %· t
8250=N·6 % · t
Dividimosysimplificamos
37 N 712555 2N
+=
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
6
74N=55N+55×7125
19N=55×7125
N=55×375=20 625
Piden suma de montos
M1=20 625+825=21 450
M2=27 750+1850=29 600
∴M1+ M2=51 050
Respuesta
51 050
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
19.
N.º de hijos N.º de familias
0-2 1200
3-6 400
7-9 150
10-12 30
13-15 15
Distribución uniforme
4-6 →300 familias
7-9 →150 familias
10-11 →20 familias
∴De 4 a 11 hijos → 470 familias
Respuesta
470
PROBABILIDADES
20. I. Sean A, B y C eventos (F)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –
P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+
P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)
Sabemos que por el principio inclusión y exclusión
P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –
P(A ∩ B) – P(B ∩ C) –
P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)
II. Sean (F)
S = (x; y) / x, y ∈ 1; 2; 3; 4; 5; 6
B = (x; y) ∈ S / 1+y < x
→ P(B) = 512
1
123456
Y
2 3 54 6 X
B
P(B) = 1036
= 518
III. Si B ⊂ A, entonces (V)
P(A\B) = P(A) – P(B)–
( )
( )( )A\ B
P A\ Bnn
=Ω
( ) ( )( ) ( )A B
pues B An n
n−
= ⊂Ω
( )( )
( )( )
A Bn nn n
= −Ω Ω
= P(A) – P(B)
Respuesta
F F V
COORDENADAS POLARES
21. Tenemos la ecuación polar de la cónica r = 8
4 + 3cos q
que es equivalente a
r = 2
1 + 34
cos q =
ρe1 + e cos q
de donde determinamos que la excentrici-
dad (e) de la cónica es 34
.
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
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7
Entonces, la ecuación polar dada repre-senta a una elipse.
Respuesta
Elipse
R.T. POSICIÓN NORMAL
22. (cot q)2tan q = 23
2 32
cot q = 23
para x = 2 y = –3 r = 13
E = 3 – 2
13 + 2 – 3
13
E = – 12
13
Respuesta
– 12
13
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
23. cos2x – cos x – 1 = 0
cos x = 1 – 52
≅ –0,61
p22p
3
5p6
–0,5
–0,61
p0
X
Y
x
p2
<x<5p6
Respuesta
p2
<x<5p6
LONGITUD DE ARCO
24.
A
B C
x
y
D
r
1 – r
E
F
p4
rad
p4
rad
x = pr4
y = p4
(1 – r)
y = p4
– pr4
Luego x + y = p4
Respuesta
p4
RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES
25. M = sen4 p2
+ sen42p7
+ sen43p7
Como
sen4q = 38
– 12
cos 2q + 18
cos 4q
Nos piden
M = 98
– 12
cos 2p7
+ cos 4p7
+ cos 8p7
+
cos6p7
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
8
18
cos 4p7
+ cos 8p7
+ cos 12p7
cos6p7
cos2p7
M = 98
– 12
cos 2p7
+ cos 4p7
+ cos 6p7
+
18
cos 2p7
+ cos 4p7
+ cos 6p7
M = 98
– 38
cos 2p7
+ cos 4p7
+ cos 6p7
Pues
cos 2p7
+ cos 4p7
+ cos 6p7
= –12
M = 98
– 38
–12
→ M = 2116
Respuesta
2116
NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA
26.
5,5 cmr = 0,5 cm6 cm
A B
O
60°
Como se sabe, el número de vueltas (n) que gira una rueda, está dado así
2n
r=
πl
donde
l: longitud de la trayectoria descrita por
el centro de la rueda
r: radio de la rueda
para el problema: (5,5)
32 (5,5)
n
π×
=π
n = 611
No hay clave
Nota:
Siconsideramoselgráficoque
r = 0,5 cm
r = 6 cm
A B
O
60°
Tendremos que
6
32 (0,5)
n
π×
=π
→ n = 2
De esa manera la clave correcta sería la B.
Respuesta
2
RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
27.
α
αα
A
C
B
a
Qatanα
atanαatanα
M
P
1
1
a x
θ
AQM ~ MCP: AQ = CP = a
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
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9
AQB: tan2 tan cot
aa a
θ =α + α
→ 1
tan2 tan cot
θ =α + α
PCB: cotα = x
Así: 1
tan2
xx
θ =+
Si θ es máximo, entonces tanθ también es máximo, y esto se da cuando
22x x
x= → =
Respuesta:
2
POLÍGONO REGULAR
28.
R
60º
α
A C
B
Sea O: centro
Piden: α
Dato: l = R
Si AC = l = R, entonces: AC = L6
AC 60ºm =
Por teorema
60º30º
2α = =
Respuesta:
30º
POLIEDRO REGULAR
29.
x
PS
Q
B C
D
d
d
d
R
A
Piden: m entre
CS y
BD
QS//BD
→ m entre CS y BD= m entre QS y CS=x
∆ QSC: equilátero
∴ x=60º
Respuesta
60º
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO)
30.
9
Base de la pirámide inscrita en la base del cono
1A
B
O
C
D
12
2
4 5
Pide E=Vcono–Vpirámide
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
10
= π ⋅ − ⋅221 1
E 1 4 5 2 4 53 3
( )= π −
4 5E 2
3
Respuesta
( )= π −4 5
E 23
m3
RECTAS Y PLANOS
31. D
B
A
CH
60º
30º
363
572536
5
De los datos, el DBH es notable de 30º y 60º.
Enelgráfico
∆ = ×ADC
72 ACS
5 2
∆ = ×ABC
36 ACS
5 2
∴ ∆
∆=ADC
ABC
S2
S
Respuesta
2
32.
Vx6
6
22
2 2a
a
b
b
O
Piden: Vx máximo
Vx=6ab
+ = =2 2 24 16a b Empleando medias
≥MA MG
+≥
2 22 2
2a b
a b
+≤
2 2
2a b
ab
≤ 8ab
≤6 48ab
→ ≤V 48x
∴ Vx máximo =48
Respuesta
48
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
33.
θ
θ
2θ
x
θθ
30º30º
A
B
E
a
a
H
l
l
l
C a B
Piden: x
Dato:∆ABCD:equilátero
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
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11
Se deduce: BE=EC (T. mediatriz)
∆BEC ≅ ∆ECO
(L-L-L)
En “C”: 3θ=60º θ=20º
∆AED:medidadel<)exterior
= + θ
=20º
30º
50º
x
x
Respuesta
50º
CUADRILÁTERO
34.
A
B
C
D
L
θθ
w w
β
α
x
Piden: x
Dato: α – β=24º
ABCL: θ + β + w + x=360º
Propiedad
x=θ+β+w
Sumando
2x + α = 360º + β
2x + α – β = 360º
2x + 24º = 360º
∴ x=168º
Respuesta
168º
TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS
35.
A
B
T
h
l tl + t
l + t
M C
K2r
K1r
r
Teorema de Poncelet
ATB: l+h=K1r+2r
BTM: t+h=l+ +2K2r
Sumando
2h=K1r+2r+2K2r
ATB: h<K1r
2h < 2K1r
Reemplazando
K1r+2r+2K2r<2K1r
2r+2K2r<2K1r
2(1+K2)<K1
2
1
K 1 1K 2
+∴ <
Respuesta
2
1
K 1 1K 2
+∴ <
RELACIONES METRICAS
36.
A
P
O
B
RR R /2
R /2
R /2R /2
O'R 2
4 2
11.08.2014PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓNUNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
12
Piden: R
O’ P O: T. de Pitágoras
(O’P)2=(3R/2)2 – (R/2)2 O’ P= R 2
Por teorema
R 2 4 2R 4
==
Respuesta
4
CIRCUNFERENCIA
37.
B E
C
DFA
x
t
a
b
l
mn
Piden: EF=x
Datos:
AB+CD=30 → a+b=30
BC+AD=50 → m+n+l+t=50
Teorema de Pitot
ABEF: a+b=m+l
FECD: x+b=n+t
Sumando
a+b+2x=m+n+t+l
→ 30+2x=50
∴ x=10
Respuesta
10
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
38.
A
B
C
D
E
2α
α
α
2α5k
3k
3
5
x
T
Piden: AB=x
Dato: BD // AE
Teorema: CD // BE
∆ BTE: TD=5k y DE=3k
∆ ATE: Corolario
= → =
8 54,8
3k
xx k
Respuesta
4,8
ÁNGULO DIEDRO
39.
D
C B
A
H6
12
1260º
x
T
66 3
Piden: d (C; ∆ ABD)=x
∆ ABC: equilátero
AH=BH=6 y CH=6 3
CTH (notable de 30º y 60º)
∴ x=9
Respuesta
9
3547SOLUCIONARIO11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA
13
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
40.
=AC
L ?
R=2r
2r 2rαα
r
r
O′CA
O
Delgráfico
= α → = αAC AC
L (2 )(2 ) L 4 ..... (1)r r
En el ∆ OAO′: por el teorema de cosenos
+ −α = =
2 2 2(2 ) (2 ) 7cos
2(2 )(2 ) 8r r r
r r
También
α = → α =
15 15
sen arcsen8 8
Reemplazando en (1)
=
AC
15L 4 arcsen
8r
Respuesta
154 arcsen
8r