solución del segundo parcial de matiii-tipoa-dic-mar-2015
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Solución del Segundo Parcial del Trimestre Dic´-Mar-2015TRANSCRIPT
-
Caracas: 17 de Febrero de 2015
Solucin del Segundo Parcial de Matemticas III del Trimestre dic-Mar 2015
Bloque A
1. (4 puntos) Determine si el conjunto
1
11,22
dc
baM
dc
baH x
Es un Subespacio Vectorial de 22xM
Solucin:
a) H , es decir la matriz nula debe pertenecer a H,
Falso,1
1
0
0
1
11
00
00
Es decir H no es un Subespacio Vectorial.
b) Otra forma es probar que la suma de dos elementos cualesquiera de H no est en H,
Sabiendo que si:
-
1
1
11
11
1
11
11
11,
11
11
dc
ba
dc
baH
dc
baA
1
1
22
22
1
11
22
22,
22
22
dc
ba
dc
baH
dc
baB
Entonces:
HBAdc
ba
dc
ba
dc
ba
dc
baBA
1
1
2
2
1
1
1
11
22
221
11
11
22
22
11
11
Es decir H no es un Subespacio Vectorial.
2. Dado
),(,1,1,1,1 3232 SgenHxxxxxxS
a) (8 puntos) Determine si S forma una base para H.
b) (3 puntos) Determine la dimensin de H.
Solucin:
Para que un conjunto forme una base de un Subespacio Vectorial, debe generarlo y ser
linealmente independiente, en este caso es suficiente mostrar que los vectores son
linealmente independientes.
Tambin se puede calcular H, y as deducir una de sus bases y por ende su dimensin,
ya que esta se corresponde al nmero elementos de la base.
Procedemos a calcular H:
),4321()41()32()42(
),1(4)1(3)1(2)1(1)()(
2323
323223
xxxdcxbxax
xxxxxxdcxbxaxxpHxp
Es decir, obtenemos el sistema:
,4321
,41
,32
,42
d
c
b
a
Usando la matriz ampliada del sistema y el Mtodo de Gauss:
-
a
b
dc
d
RRR
a
b
c
d
1010
0110
0110
1111
122
1010
0110
1001
1111
dcb
dca
cd
d
RR
RR
dca
dcb
dc
d
RRR
RRR
0000
1100
0110
1111
,43
,22
1100
0000
0110
1111
,244
,233
Para que el sistema tenga solucin: b+c-d=0, entonces H, queda definido como:
,,,,,0:)( 23 dcbadcbdcxbxaxxpH
Si escribimos los elementos de H, en forma de un vector columna, donde solo
representamos los coeficientes de las la base cannica de los polinomios de grado
menor o igual a tres, se tiene:
223 1,,
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
xxxxgenHdcad
d
c
c
aa
cd
c
d
a
b
c
d
Se debe verificar que estos tres polinomios son linealmente independientes:
ILsondca
a
cd
c
d
dca .,0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
Entonces una base de H es: ,3dim1,, 223 HxxxxBaseH
Ya que la dimensin de H, es la cantidad de elementos de la base.
-
3. Dada la matriz
32320
21111
10102
11211
A
a) (10 puntos) Halle una base para AN y determine )(A
b) (5 puntos) Halle una base para AR y determine )(A
Solucin:
Por definicin el espacio solucin o Ncleo de A, est definido como:
0,5
5
4
3
2
1
Ax
x
x
x
x
x
xN A
Sea la matriz ampliada del sistema homogneo y usando el Mtodo de Gauss, se tiene:
0
0
0
0
32320
32300
32320
11211
,133
,1222
0
0
0
0
32320
21111
10102
11211
RRR
RRR
0
0
0
0
00000
32300
00020
11211
,322
0
0
0
0
00000
32300
32320
11211
,244 RRRRRR
-
0
0
0
0
00000
13
2100
00010
11211
3)3
1(3
,2)2
1(2
RR
RR
Cambiando la matriz ampliada al sistema de ecuaciones obtenido, se tiene:
,3
2
,0
,3
1
,03
2
,0
,02
543
2
541
543
2
54321
xxx
x
xxx
xxx
x
xxxxx
Entonces la solucin del sistema homogneo es:
,
1
0
1
0
1
0
3
2
0
1
1
0
1
0
1
0
13
2
03
1
32
03
1
54'
54
5
4
54
54
5
4
3
2
1
xxxx
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
Estos vectores generan el espacio solucin de A:
,
1
0
1
0
1
,
0
3
2
0
1
genN A
Hay que probar que estos vectores son linealmente independientes:
..,0
1
0
1
0
1
0
3
2
0
1
0
0
0
0
0
ILson
-
Luego estos vectores son una base del espacio solucin de A:
,2)(
1
0
1
0
1
,
0
3
2
0
1
ABaseN A
b) El rango de la matriz A es:
,325)(
,:
,)()(
A
Adecolumnasdenmeron
nAA
El espacio de las filas o renglones de A, esta generado por las filas obtenidas de la
reduccin por renglones de la matriz A, al calcular AN es decir:
1,3
2,1,0,00,0,0,1,0,1,1,2,1,1 genRA
Falta verificar que estos elementos son linealmente independientes:
..
,00
,0
,0
,0,0,0,0,01,3
2,1,0,00,0,0,1,01,1,2,1,1
ILson
As estos vectores constituyen una base del espacio fila o renglones de A:
1,3
2,1,0,00,0,0,1,0,1,1,2,1,1 ABaseR