Tugas Kalkulus Model Pertumbuhan

Gompertz

Dadang Amir Hamzah

May 10, 2013

Kurva pertumbuhan Gompertz digunakan untuk mempelajari pertum-

buhan populasi. Kurva dari model ini mempunyai sifat yang serupa dengan

kurva model pertumbuhan logistik. Kurva pertumbuhan Gompertz dinyata-

kan dengan

N(t) = K exp(ae−bt),

dengan t ≥ 0, dan K, b adalah konstanta-konstanta positif.

a. Tunjukkan bahwa N(0) = Ke−a dan apabila N0 = N(0) maka a =

ln KN0

.

Jawab:

Diketahui kurva pertumbuhan Gompertz adalah

N(t) = K exp(−ae−bt), (1)

untuk t ≥ 0, dan K, b konstanta positif. N(0) terjadi ketika t = 0, de-

ngan mensubstitusi t = 0 ke persamaan (1) didapatN(0) = K exp(−a).

Kemudian dengan menuliskan N(0) = N0 dan dengan menggunakan

sifat eksponen didapat

a = lnK

N0

.

1

b. Tunjukkan bahwa y = K adalah asimtot datar. Kemudian tunjukkan

pula bahwa jika N0 < K maka N(t) < K, Jika N0 = K maka N(t) =

K, dan jika N0 > K maka N(t) > K.

Jawab:

Akan ditunjukkan bahwa garis y = K adalah asimtot datar dari Kurva

N(t), artinya harus ditunjukkan bahwa

limt→∞

N(t) = K.

Perhatikan bahwa N(t) = K exp(−ae−bt). Apabila kita limitkan untuk

t→∞ akan didapat

limt→∞K exp(−ae−bt = K exp(−ae∞)

= K exp(0)

= K.

Jadi terbukti bahwa garis y = K adalah asimtot datar dari kurva N(t).

Selanjutnya akan ditunjukkan jika N0 < K maka Nt < K. Karena

K > 0 maka N0 > 0, akibatnya

N0 < K dengan mengambil ln dikedua ruas

lnN0 < lnK

lnK − lnN0 > 0

ln KN0

> 0, (Karena a = ln KN0

)

a > 0, (kalikan kedua ruas dengan − e−bt)

−ae−bt < 1, (eksponenkan kedua ruas kemudian kalikan dengan K)

K exp(−ae−bt) < K

N(t) < K.

Jadi terbukti bahwa jika N0 < K maka Nt < K. Dengan cara yang

sama dapat juga ditunjukkan bahwa jika N0 = K maka Nt = K, dan

2

jika N0 > K maka Nt > K.

(Catatan: Hati-hati dengan tanda ” > ” dan ” < ”)

c. Tunjukkan bahwa

dN

dt= bN (lnK − lnN) dan

d2N

dt= b

dN

dt(lnK − lnN − 1).

Jawab:

Perhatikan bahwa

N(t) = K exp(−ae−bt) , (dengan menurunkan kedua ruas terhadap t)

dNdt

= ab e−by K exp(−ae−bt)

= ab e−by N

= bN ae−by

= bN (lnK − lnN).

Jadi terbukti bahwa dNdt

= bN (lnK − lnN).

Untuk mendapatkan d2Ndt

turunkan dNdt

terhadap t sehigga

d2Ndt

= b dNdt(lnK − lnN) + bN(0− 1

NdNdt)

= b dNdt

(lnK − lnN − 1).

Jadi terbukti bahwa d2Ndt

= b dNdt

(lnK − lnN − 1).

d. Gunakan hasil pada b dan c untuk menunjukkan jika N0 < K maka

N(t) naik sempurna dan jika N0 > K maka N(t) turun sempurna.

Jawab:

Kurva N(t) naik jika dNdt

> 0. Akan ditunjukkan bahwa jika N0 < K

maka dNdt

> 0.

Pada soal bagian b telah ditunjukkan bahwa jika N0 < K maka N < K.

3

Selanjutnya perhatikan bahwa untuk N < K berlaku

lnN < lnK

lnK − lnN > 0, (tambahkan kedua ruas dengan − lnN)

bN (lnK − lnN) > 0, (kalikan kedua ruas dengan bN)

dNdt

> 0.

Jadi terbukti bahwa jika N0 < K maka N(t) naik sempurna. Dengan

cara yang sama perhatikan bahwa

N > K

lnN > lnK

lnK − lnN < 0

bN (lnK − lnN) < 0

dNdt

< 0.

Jadi terbukti bahwa jika N0 > K maka N(t) turun sempurna.

e. Saat t berapakah kurva N(t) melalui titik belok? Diskusikan kecekun-

gan dan kecembungannya?

Jawab :

Dengan menggunakan uji turunan kedua titik belok kurva N(t) dicapai

di t yang memenuhi d2Ndt

= 0, kemudian kurva N(t) cekung keatas jika

d2Ndt

> 0 dan kurva N(t) cekung kebawah jika d2Ndt

< 0.

Dari soal c diketahui d2Ndt

= b dNdt

(lnK − lnN − 1).

Titik belok dicapai di t yang memenuhi

d2N

dt= b

dN

dt(lnK − lnN − 1) = 0

Hal ini mungkin terjadi hanya untuk

lnK − lnN − 1 = 0

4

yakni

lnN + 1 = lnK

lnK − ae−bt + 1 = lnK

−ae−bt + 1 = 0

1 = ae−bt

ebt = a

ln a = bt

t = ln ab.

Jadi titik belok dari N(t) terjadi saat t = ln ab.

Kemudian dengan cara yang sama d2Ndt2

> 0 dicapai saat t < ln ab

dan d2Ndt2

dicapai saat t > ln ab. Artinya kurva N(t) terbuka keatas saat t < ln a

b

kemudian belok saat t = ln ab

dan terbuka kebawah saat t > ln ab.

e. Gambarkan kurva N(t) untuk K = 100 , b = 1 dan kondisi-kondisi

berikut:

i. N0 = 20.

ii. N0 = 70.

iii. N0 = 150.

jawab:

5

6