Skupovi brojevaMaterijali za nastavu iz Matematike 1

Kristina Krulic Himmelreich i Ksenija Smoljak

2012/13

1 / 32

Podsjetnik teorije skupova

Operacije sa skupovima:

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} (unija skupova)

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (presjek skupova)

A \ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B} (razlika skupova)

A = Ac = S \ A za A ⊂ S (komplement skupa)

Partitivni skup je skup svih podskupova zadanog skupa tj.

P(A) = {X : X ⊆ A}.

Kardinalni broj je broj elemenata konacnog skupa A kojeg oznacamo sak(A).

2 / 32

Zadaci za vjezbu iz Skupova brojeva

Tipovi intervala:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (zatvoreni interval-segment)

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} (poluotvoreni interval)

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b} (poluotvoreni interval)

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b} (otvoreni interval)

3 / 32

Zadaci za vjezbu iz Skupova brojeva

Zadatak

Zadani su podskupovi (intervali) realnih brojeva:

A = (−∞, 3], B = (−1,∞), C = [−3, 5].

Prikazite zadane skupove na brojevnom pravcu, a zatim odredite skupove(komplement skupa promatramo u odnosu na skup R):

A ∪ B ∪ C , A ∩ B ∩ C , (A ∩ B) ∪ C , (A ∪ B) ∩ C ,

te provjerite sljedece skupovne relacije

(a) A ∩ B = A ∪ B (b) A ∪ B = A ∩ B

(c) (A ∪ B) \ C = (A \ C ) ∪ (B \ C )

(d) (A ∪ C ) \ B ⊂ (A \ B) ∪ (C \ B).

4 / 32

Zadaci za vjezbu iz Skupova brojeva

Zadatak

Odredite elemente skupova:

(a) A = {x ∈ R : x2 − 3x − 4 = 0}(b) B = {x ∈ N : x2 + 3x − 4 = 0}(c) D = {x ∈ R : x2 + 1 = 0}(d) E = {x ∈ Q : x2 + x − 1

4 = 0}

Zadatak

Na brojevnom pravcu prikazite skupove

(a) A = {x ∈ R : 2x + 3 ≥ 0}(b) B = {x ∈ R : x2 − 1 < 0}(c) C = {x ∈ R : x2 − 2x + 1 > 0}(d) D = {x ∈ R : x2 − 3x + 2 < 0}(e) E = {x ∈ R : x2 + 4x > 0}

5 / 32

Definicija apsolutne vrijednosti

Apsolutna vrijednost realnog broja je funkcija | | : R→ [0,∞) definirana s

|x | =

{x , za x ≥ 0,

−x , za x < 0.

Graf funkcije y = |x |

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

6 / 32

Svojstva apsolutne vrijednosti

Za apsolutnu vrijednost vrijedi:

(a) |x | < r ⇔ −r < x < r ⇔ x ∈ (−r , r)

(b) |x | > r ⇔ x > r ∨ x < −r ⇔ x ∈ (−∞,−r) ∪ (r ,∞)

(c) |x · y | = |x | · |y |

(d)∣∣∣ xy ∣∣∣ = |x |

|y | , y 6= 0

(e)√x2 = |x |

Primjer

(a) | − 3| = 3

(b) |2− π| = π − 2

(c) | − 1 +√

3| =√

3− 1

(d) |2−√

2| = 2−√

2

7 / 32

Zadaci

Zadatak

Rijesite jednadzbe u skupu realnih brojeva:

(a) |x − 3| = 2 (b) |2x2 − 3| = 5

(c) x2 − 2|x | − 3 = 0 (d) |x − 2|+ |x + 3| = 5

(e)√x2 + 2x + 1 +

√x2 − 6x + 9−

√x2 − 4x + 4 = 4

Zadatak

U skupu realnih brojeva rijesite nejednadzbe i rjesenja prikazite nabrojevnom pravcu:

(a) |x | < 5 (b) |2x − 3| > 7

(c) |x − 1|+ |x + 2| < 4 (d) | x−4x+5 | > 2

8 / 32

Zadaci

Zadatak

U skupu cijelih brojeva rijesite nejednadzbe:

(a) 1 ≤ |x + 1| ≤ 2

(b) 2− |x | < 5

(c) |x2 − 2x | > 1

Zadatak

Racunski rijesite sustave jednadzbi:

(a)x − y = 1x + |y | = 2

(b)x + y = 1

y = |x2 − x |

9 / 32

Kartezijev produkt realnih brojeva

Kartezijev produkt skupova X i Y , u oznaci X × Y , je skup svih mogucihuredenih parova takvih da je prva komponenta iz skupa X , a druga izskupa Y . Zapisujemo:

X × Y = {(x , y) : x ∈ X , y ∈ Y }.

Zadatak

Odredite A× B, B × A, A2, B2 ako je

A = {x ∈ R : x2 − |x | = 0},

B = {y ∈ R : |y + 1| = 5}.

10 / 32

Zadaci iz Kartezijevog produkta

Zadatak

Zadani su skupovi A,B ⊂ R. U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup A× Bako je

(a) A = (2, 7], B = [−2, 3)

(b) A = {x : |x | ≤ 4}, B = {y : |y | > 2}.

Zadatak

U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S ako je

(a) S = {(x , y) ∈ R2 : y = x + 1}(b) S = {(x , y) ∈ R2 : y ≤ 2x − 3}(c) S = {(x , y) ∈ R2 : y ≥ |x |}(d) S = {(x , y) ∈ R2 : x2 − 4x + y2 + 2y + 1 ≤ 0}(e) S = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 − 6y + 8 ≥ 0}(f) S = {(x , y) ∈ R2 : 4x2 + 9y2 < 36}

11 / 32

Zadaci iz Kartezijevog produkta

Zadatak

Nacrtajte skupove P, Q i P ∩ Q ako je

(a) P = {(x , y) ∈ R2 : x2− y2 < 1}, Q = {(x , y) ∈ R2 : x2 + 4y2 ≤ 4},(b) P = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 − 4x − 2y + 1 ≤ 0},

Q = {(x , y) ∈ R2 : 0 ≤ y < x − 2},(c) P = {(x , y) ∈ R2 : x > 0, x − 3 ≤ y ≤ 1},

Q= {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 − 4x + 2y + 4 ≤ 0}.

Zadatak

U koordinatnoj ravnini nacrtajte skup S i izracunajte njegovu povrsinu:

(a) S = {(x , y) ∈ R2 : |1− x | ≤ 2, |y + 1| ≤ 1},(b) S = {(x , y) ∈ R2 : x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 3, y ≤ x + 1}.

12 / 32

Skup kompleksnih brojeva

Skup kompleksnih brojeva C je skup brojeva sa sljedecim svojstvima:

(a) sadrzi skup realnih brojeva.

(b) sadrzi broj i za koji vrijedi i2 = −1.

(c) operacije zbrajanja i mnozenja zadovoljavaju svojstva komutativnosti,asocijativnosti i distributivnosti.

Algebarski prikaz kompleksnog broja

Kompleksni brojevi su brojevi oblika z = x + iy , gdje su x , y ∈ R.

Re z = x je realni dio kompleksnog broja z

Im z = y je imaginarni dio kompleksnog broja z

13 / 32

Operacije u skupu C

Jednakost kompleksnih brojeva

Dva kompleksna broja, z1 = x1 + iy1 i z2 = x2 + iy2, su jednaka ako im sepodudaraju realni i imaginarni dijelovi: z1 = z2 ⇔ x1 = x2 & y1 = y2

Operacije u skupu C1. Zbrajanje kompleksnih brojeva: z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2)

2. Oduzimanje kompleksnih brojeva: z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2)

3. Mnozenje kompleksnih brojeva:z1 · z2 = x1 · x2 − y1 · y2 + i(x1 · y2 + x2 · y1)

14 / 32

Operacije u skupu C

Potencije imaginarne jedinice:

i0 = 1, i1 = i , i2 = −1, i3 = −i ,...

......

...i4k = 1, i4k+1 = i , i4k+2 = −1, i4k+3 = −i , k ∈ N.

Kompleksno konjugirani broj broja z :

z = x − iy

Modul kompleksnog broja:

|z | =√

(Re z)2 + (Im z)2 =√

x2 + y2

15 / 32

Operacije u skupu C

Dijeljenje kompleksnih brojeva:

z1z2

=x1 + iy1x2 + iy2

· x2 − iy2x2 − iy2

=x1x2 + y1y2x22 + y22

+ iy1x2 − x1y2x22 + y22

za z2 6= 0

Primjer

3 + 2i

1− 2i=

3 + 2i

1− 2i· 1 + 2i

1 + 2i=

3 + 2i + 6i + 4i2

1 + 4=−1 + 8i

5= −1

5+

8

5i

16 / 32

Kompleksna ravnina

Kompleksnom broju z = x + iy jednoznacno je pridruzen ureden par(x , y) ∈ R× R, odnosno tocka T = (x , y) u ravnini:

Ovu ravninu nazivamo kompleksna ravnina ili Gaussova ravnina.

17 / 32

Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja

Neka je T (x , y) tocka u ravnini koja odgovara broju z = x + iy , pri cemuje z 6= 0. Njen polozaj mozemo odrediti i pomocu sljedeca dva podatka:

1 udaljenosti r tocke T od ishodista O (r je modul kompleksnog brojaz),

2 kuta ϕ izmedu spojnice OT i pozitivnog dijela x-osi (ϕ je argumentkompleksnog broja z unutar intervala [0, 2π), oznaka ϕ = arg(z)).

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja:

x + iy = r(cosϕ+ i sinϕ).

18 / 32

Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika

Veza izmedu algebarskog i trigonometrijskog oblika kompleksnog broja:

Ako su zadani r i ϕ, onda je

x = Re z = r cosϕ, y = Im z = r sinϕ.

Ako su zadani x i y , onda je

r = |z | =√x2 + y2, ϕ = arctan

y

x, za x 6= 0,

pri cemu kvadrant u kojem se nalazi ϕ treba odrediti sa slike odnosnoiz predznaka od x i y (to jest, na osnovi informacije o kvadrantu ukojem se nalazi broj z).

19 / 32

Mnozenje i dijeljenje kompleksnih brojeva

Neka su z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1) i z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2) kompleksnibrojevi prikazani u trigonometrijskom obliku. Tada vrijedi:

z1 · z2 = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)]

z1z2

= r1(cosϕ1 + i sinϕ1) · 1

r2(cos(−ϕ2) + i sin(−ϕ2))

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)], z2 6= 0.

Kompleksne brojeve zapisane u trigonometrijskom obliku mnozimo tako daim pomnozimo module, a argumente zbrojimo, dok ih dijelimo tako da impodijelimo module, a argumente oduzmemo.

20 / 32

Potenciranje i korjenovanje kompleksnih brojeva

Iz prethodnih formula slijedi z2 = r2(cos 2ϕ+ i sin 2ϕ).Indukcijom zakljucujemo da vrijedi opcenito:

de Moivreova formula

zn = rn(cos nϕ+ i sin nϕ), n ∈ N.

n−ti korijen kompleksnog broja z :

n√z = n√r

(cos

ϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπ

n

), k = 0, . . . , n − 1.

OPREZ!postoji tocno n razlicitih vrijednosti n−tog korijena.

21 / 32

Zadaci

Zadatak

Odredite Re z i Im z ako je

(a) z = 1+2i3−4i

(b) z = 1+i2+i + i−1

i−2

(c) z = (2−3i)(1+√3i)

(2+3i)(1−√3i)

Zadatak

Izracunajte: 1 + i + i2 + · · ·+ i99 + i100.

Zadatak

Izracunajte vrijednost izraza za zadane vrijednosti kompleksnih brojeva:z22 + z1, ako je z1 = 2 + i , z2 = 1− 3i .

22 / 32

Zadaci

Zadatak

Odredite realna rjesenja jednadzbe 3x + (2− i)(x + y) = −4 + 7i .

Zadatak

Odredite trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva z1 = 1− i ,

z2 = 12 −

√32 i i z3 = 1 +

√3i , a zatim odredite trigonometrijski oblik

kompleksnog broja z = z1·z2z3

.

Zadatak

Zapisite u trigonometrijskom obliku broj z = 1+i1−√3i

, a zatim izracunajte z9

i 5√z .

23 / 32

Zadaci

Zadatak

Odredite kompleksni broj:

z =(cos π

4 + i sin π4 )3(√

32 −

i2

)13 .

Zadatak

U skupu C rijesite jednadzbu z3 − 5√

3i = 5.

Zadatak

Odredite skup tocaka odreden uvjetom: A = {z ∈ C : |z − 1| ≤ 2}.

24 / 32

Zadaci

Zadatak

Zadani su skupovi A i B. Nacrtajte skupove A i B te A ∩ B ako su

(a) z ∈ C

A = {z : |z + 2i | ≤ 2}, B = {z : Im[(z − 1)(i + 2)] ≤ 1},

(b)A = {z : 1 < |z + 2− i | ≤ 3}, B = {z : Re(1− iz) ≤ 0},

(c)

A = {z :

∣∣∣∣ z − 2

z + 1− i

∣∣∣∣ ≥ 1}, B =

{z : Im

(1

z

)≤ 1

2

}.

25 / 32

Binomni koeficijenti

Umnozak prvih n prirodnih brojeva oznacavamo sa:

n! = 1 · 2 · 3 · · · · · (n − 1) · n

(citamo: n faktorijela)Faktorijele su definirane rekurzivno s

(n + 1)! = n! · (n + 1) uz dogovor 0! = 1

Binomni koeficijent oznacavamo izrazom(nk

)i definiramo ga ovako:(

n

k

)=

n!

k!(n − k)!uz dogovor

(n

0

):= 1

26 / 32

Svojstva binomnih koeficijenata

Vrijedi: (n

k

)=

(n

n − k

), k = 0, 1, . . . , n

Pascalov trokut:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1...

...

27 / 32

Svojstva Pascalovog trokuta

Princip ispisivanja sljedecih redaka:svaki element (osim rubnih elemenata koji su 1) jednak je zbrojuelemenata u prethodnom retku, lijevo i desno od njega te vrijedi:(

n

k − 1

)+

(n

k

)=

(n + 1

k

).

Prema tome, slijedeci red u Pascalovom trokutu je:

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1...

...

28 / 32

Binomni poucak

Teorem

Za svaki a, b ∈ C, n ∈ N vrijedi

(a + b)n =

(n

0

)anb0 +

(n

1

)an−1b1 +

(n

2

)an−2b2+

...+

(n

n − 1

)a1bn−1 +

(n

n

)a0bn,

sto krace zapisujemo

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk .

29 / 32

Binomna formula za n = 1, n = 2 i n = 3

Za malene vrijednosti broja n dobijemo vec poznate formule:

(a + b)1 = a + b,

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, kvadrat binoma

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, kub binoma

Svojstva binomne formule:

1. U prikazu (a + b)n pomocu binomne formule postoji n + 1 pribrojnik.

2. Eksponenti uz clan a opadaju od n do 0, dok uz b rastu od 0 do n,tako da je u svakom clanu njihov zbroj jednak n.

3. Binomni koeficijenti su u formuli simetricni.

4. Binomni koeficijenti su najprije rastuci, a zatim padajuci brojevi.

30 / 32

Primjeri razvoja po binomnoj formuli

Primjer

(x + 1)5 =

(5

0

)x5 +

(5

1

)x4 +

(5

2

)x3 +

(5

3

)x2 +

(5

4

)x +

(5

5

)= x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1.

(x − 1

x

)4

=

(4

0

)x4 +

(4

1

)x3(− 1

x

)+

(4

2

)x2(− 1

x

)2+

(4

3

)x(− 1

x

)3+

(4

4

)(− 1

x

)4= x4 − 4x2 + 6− 4

x2+

1

x4.

31 / 32

Zadaci

Zadatak

Izracunajte pomocu binomne formule:

(a) (x − 1)4

(b) (2x + 1)5

(c) (1 + y2)4

(d) (√x − 1√

x)6

(e) (3− 2i)5.

Zadatak

Odredite cetvrti clan u razvoju binoma (√x3 + 3

√x)10.

Zadatak

Odredite onaj clan razvoja (x + 1x2

)12 koji ne sadrzi x .

32 / 32