skipte ushtrimesh mat.1
TRANSCRIPT
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
1
University for Business and Technology
PEumlRMBLEDHJE DETYRASH TEuml ZGJIDHURA NGA
MATEMATIKA 1(SKRIPTEuml)
Meumlsimdheumlneumls Dr Azir JUSUFI
Prishtineuml 2012
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
2
PEumlRMBAJTJA
1 Njohuri elementare nga trigonometria2 Numrat komplekseuml3 Matricat dhe determinantat4 Sistemet e ekuacioneve lineare5 Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml6 Detyra shteumlpie7 Teza provimi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
3
Detyra nga trigonometria
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
a)1 2cos60
2 2cos60
o
o
Kemi
11 21 2cos60 1 12 2
12 2cos60 2 12 2
2
o
o
b) 4 6
2cos sin6 3
tg ctg
Kemi
1 3 1 3 2 6 34 633 3 32cos sin 2
6 32 2 2
tg ctg
c) Peumlr 60 45 teuml njehsohet vlera e2
2 2
2sin
sin cos
Kemi
2
2
2 2
32
22sin 3
sin cos 1 2
2 Neuml qofteuml se 1sin2
dhe 02 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrikeZgjidhje
2
2 1 1 3 3cos 1 sin 1 1
2 4 4 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
4
1sin 1 32cos 33 3
2
tg
1 1 3
33 3
3
ctg tg
3 Neuml qofteuml se 23
tg dhe2 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrike
Zgjidhje Meqeuml sin neuml kuadratin e dyteuml eumlshteuml pozitiv ateumlhereuml kemi
2 2
2 223 3sin
4 131 2 11 93
tg
tg
2 2
1 1 1 3cos
4 131 2 11 93
tg
1 1 32 23
ctg tg
4 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
5sin 724 35costg
ctg
neuml qofteuml se 2 2 527sin cos 625
dhe 3 22
Zgjidhje Nga kushti
2 2
2 2
2
527 sin cos
625
(+) sin cos 1
____________________
527 1152
2sin 1 625 625
Rrjedhimisht 2 576sin
625 Meqeuml
32
2
ateumlhereuml
24sin
25 dhe duke
vepruar si te ushtrimi 2 marrim7 24 7
cos 25 7 24
tg ctg
Keumlshtu
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
5
24 245 7
5sin 7 4825 77 724 35cos 7
24 3524 25
tg
ctg
5 Teuml veumlrtetohet identiteti
2 2
sin cossin cos 1 sin cos
1 1ctg tg
Zgjidhje
2 22 2
2 2
3 3
2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin1 11 1
sin cos
sin cos sin cos1 1
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos 1 sin cos
ctg tg
6 Teuml veumlrtetohet identiteti2
21 11ctg tg ctg tg
Zgjidhje
2 22 2 2
2 2 2 2
11 1 11
11 1 1 1
tg ctg ctg tg ctg tg tg
ctg tg tg tg tg
tg
7 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2
sin cos1 sin cos1 1ctg tg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
2
PEumlRMBAJTJA
1 Njohuri elementare nga trigonometria2 Numrat komplekseuml3 Matricat dhe determinantat4 Sistemet e ekuacioneve lineare5 Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml6 Detyra shteumlpie7 Teza provimi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
3
Detyra nga trigonometria
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
a)1 2cos60
2 2cos60
o
o
Kemi
11 21 2cos60 1 12 2
12 2cos60 2 12 2
2
o
o
b) 4 6
2cos sin6 3
tg ctg
Kemi
1 3 1 3 2 6 34 633 3 32cos sin 2
6 32 2 2
tg ctg
c) Peumlr 60 45 teuml njehsohet vlera e2
2 2
2sin
sin cos
Kemi
2
2
2 2
32
22sin 3
sin cos 1 2
2 Neuml qofteuml se 1sin2
dhe 02 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrikeZgjidhje
2
2 1 1 3 3cos 1 sin 1 1
2 4 4 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
4
1sin 1 32cos 33 3
2
tg
1 1 3
33 3
3
ctg tg
3 Neuml qofteuml se 23
tg dhe2 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrike
Zgjidhje Meqeuml sin neuml kuadratin e dyteuml eumlshteuml pozitiv ateumlhereuml kemi
2 2
2 223 3sin
4 131 2 11 93
tg
tg
2 2
1 1 1 3cos
4 131 2 11 93
tg
1 1 32 23
ctg tg
4 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
5sin 724 35costg
ctg
neuml qofteuml se 2 2 527sin cos 625
dhe 3 22
Zgjidhje Nga kushti
2 2
2 2
2
527 sin cos
625
(+) sin cos 1
____________________
527 1152
2sin 1 625 625
Rrjedhimisht 2 576sin
625 Meqeuml
32
2
ateumlhereuml
24sin
25 dhe duke
vepruar si te ushtrimi 2 marrim7 24 7
cos 25 7 24
tg ctg
Keumlshtu
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
5
24 245 7
5sin 7 4825 77 724 35cos 7
24 3524 25
tg
ctg
5 Teuml veumlrtetohet identiteti
2 2
sin cossin cos 1 sin cos
1 1ctg tg
Zgjidhje
2 22 2
2 2
3 3
2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin1 11 1
sin cos
sin cos sin cos1 1
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos 1 sin cos
ctg tg
6 Teuml veumlrtetohet identiteti2
21 11ctg tg ctg tg
Zgjidhje
2 22 2 2
2 2 2 2
11 1 11
11 1 1 1
tg ctg ctg tg ctg tg tg
ctg tg tg tg tg
tg
7 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2
sin cos1 sin cos1 1ctg tg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
3
Detyra nga trigonometria
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
a)1 2cos60
2 2cos60
o
o
Kemi
11 21 2cos60 1 12 2
12 2cos60 2 12 2
2
o
o
b) 4 6
2cos sin6 3
tg ctg
Kemi
1 3 1 3 2 6 34 633 3 32cos sin 2
6 32 2 2
tg ctg
c) Peumlr 60 45 teuml njehsohet vlera e2
2 2
2sin
sin cos
Kemi
2
2
2 2
32
22sin 3
sin cos 1 2
2 Neuml qofteuml se 1sin2
dhe 02 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrikeZgjidhje
2
2 1 1 3 3cos 1 sin 1 1
2 4 4 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
4
1sin 1 32cos 33 3
2
tg
1 1 3
33 3
3
ctg tg
3 Neuml qofteuml se 23
tg dhe2 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrike
Zgjidhje Meqeuml sin neuml kuadratin e dyteuml eumlshteuml pozitiv ateumlhereuml kemi
2 2
2 223 3sin
4 131 2 11 93
tg
tg
2 2
1 1 1 3cos
4 131 2 11 93
tg
1 1 32 23
ctg tg
4 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
5sin 724 35costg
ctg
neuml qofteuml se 2 2 527sin cos 625
dhe 3 22
Zgjidhje Nga kushti
2 2
2 2
2
527 sin cos
625
(+) sin cos 1
____________________
527 1152
2sin 1 625 625
Rrjedhimisht 2 576sin
625 Meqeuml
32
2
ateumlhereuml
24sin
25 dhe duke
vepruar si te ushtrimi 2 marrim7 24 7
cos 25 7 24
tg ctg
Keumlshtu
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
5
24 245 7
5sin 7 4825 77 724 35cos 7
24 3524 25
tg
ctg
5 Teuml veumlrtetohet identiteti
2 2
sin cossin cos 1 sin cos
1 1ctg tg
Zgjidhje
2 22 2
2 2
3 3
2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin1 11 1
sin cos
sin cos sin cos1 1
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos 1 sin cos
ctg tg
6 Teuml veumlrtetohet identiteti2
21 11ctg tg ctg tg
Zgjidhje
2 22 2 2
2 2 2 2
11 1 11
11 1 1 1
tg ctg ctg tg ctg tg tg
ctg tg tg tg tg
tg
7 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2
sin cos1 sin cos1 1ctg tg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
4
1sin 1 32cos 33 3
2
tg
1 1 3
33 3
3
ctg tg
3 Neuml qofteuml se 23
tg dhe2 ateumlhereuml teuml njehsohen vlerat e
funksioneve teuml tjera trigonometrike
Zgjidhje Meqeuml sin neuml kuadratin e dyteuml eumlshteuml pozitiv ateumlhereuml kemi
2 2
2 223 3sin
4 131 2 11 93
tg
tg
2 2
1 1 1 3cos
4 131 2 11 93
tg
1 1 32 23
ctg tg
4 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
5sin 724 35costg
ctg
neuml qofteuml se 2 2 527sin cos 625
dhe 3 22
Zgjidhje Nga kushti
2 2
2 2
2
527 sin cos
625
(+) sin cos 1
____________________
527 1152
2sin 1 625 625
Rrjedhimisht 2 576sin
625 Meqeuml
32
2
ateumlhereuml
24sin
25 dhe duke
vepruar si te ushtrimi 2 marrim7 24 7
cos 25 7 24
tg ctg
Keumlshtu
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
5
24 245 7
5sin 7 4825 77 724 35cos 7
24 3524 25
tg
ctg
5 Teuml veumlrtetohet identiteti
2 2
sin cossin cos 1 sin cos
1 1ctg tg
Zgjidhje
2 22 2
2 2
3 3
2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin1 11 1
sin cos
sin cos sin cos1 1
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos 1 sin cos
ctg tg
6 Teuml veumlrtetohet identiteti2
21 11ctg tg ctg tg
Zgjidhje
2 22 2 2
2 2 2 2
11 1 11
11 1 1 1
tg ctg ctg tg ctg tg tg
ctg tg tg tg tg
tg
7 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2
sin cos1 sin cos1 1ctg tg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
5
24 245 7
5sin 7 4825 77 724 35cos 7
24 3524 25
tg
ctg
5 Teuml veumlrtetohet identiteti
2 2
sin cossin cos 1 sin cos
1 1ctg tg
Zgjidhje
2 22 2
2 2
3 3
2 2
2 2
sin cos sin cos
cos sin1 11 1
sin cos
sin cos sin cos1 1
sin cos
sin cos sin sin cos cos
sin cos 1 sin cos
ctg tg
6 Teuml veumlrtetohet identiteti2
21 11ctg tg ctg tg
Zgjidhje
2 22 2 2
2 2 2 2
11 1 11
11 1 1 1
tg ctg ctg tg ctg tg tg
ctg tg tg tg tg
tg
7 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2
sin cos1 sin cos1 1ctg tg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
6
Zgjidhje2 2 2 2
2 2 3 3
sin cos sin cos1 1
cos sin1 1 1 1
sin cossin cos sin cos1 1
sin cos os sin sin cos sin ossin cos
ctg tg
c c
3 3 2 2
2 2
sin cos sin cos sin (1 sin ) cos (1 cos )
sin os sin os
sin cos cos sin sin cos (cos sin )sin cos
sin os sin os
c c
c c
8 Duke peumlrdorur formulat peumlrkateumlse teuml veumlrtetohet identiteti
sin 270 sin 360 90cos
270 90 cos
tg
tg ctg
Zgjidhje
sin 270 sin 360 90
270 90 cos
cos sin ( ) sincos
sin( ) cos cos
tg
tg ctg
ctg
ctg tg
9 Teuml caktohen vlerat e funksioneve trigonometrike peumlr keumlndin 105 o (pa kalkulator)
Zgjidhje Duke peumlrdorur formulat adicionale kemi
sin105 sin 60 45 sin 60 cos45 cos60 sin 45
3 2 1 2 23 1
2 2 2 2 4
cos105 cos 60 45 cos60 cos45 sin 60 sin 45
1 2 3 2 21 3
2 2 2 2 4
3 1 1 3105 105
1 3 1 3tg ctg
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
7
10 Teuml gjendet tg neumlse 45 3tg
Zgjidhje Meqeuml 45 45 ateumlhereuml
45 45 3 145 45 2
1 3 11 45 45
tg tg tg tg
tg tg
11 Teuml njehsohet tg neumlse cos 02 135 dhe -teuml ngushteuml
Zgjidhje Nga cos 02 marrim qeuml sin 1 02 08
sin 082
cos 02tg
Nga 135 135
135 1 2
135 3
1 135 1 2
tg tg tg tg
tg tg
12 Teuml gjendet 2tg neumlse 3tg
Zgjidhje
2
2 2 3 32
1 1 9 4
tg tg
tg
13 Teuml thjeshtohet shprehja
1 cos sin
1 cos sin
Zgjidhje
2
2
2sin 2sin cos1 cos sin 2 2 21 cos sin 2cos 2sin cos
2 2 2
2sin sin cos2 2 2
22cos sin cos
2 2 2
tg
14 Teuml veumlrtetohet identiteti
1 sin 2 sin cos
cos2 cos sin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
8
Zgjidhje
2 2
2 2
2
1 sin 2 sin cos 2sin cos
cos2 cos sin
sin cos sin coscos sin cos sin cos sin
15 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2ctg tg ctg
Zgjidhje2 2cos sin cos sin
sin cos sin coscos2
2 21 sin22
ctg tg
ctg
Numrat komplekseuml
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
21
2 3 3 4 2 11
ii i i i
i
Zgjidhje
212 3 3 4 2 1
11 1
6 8 9 12 4 2 1 11 1
1 2 118 4 3 18 4 3 22
2
ii i i i
i
i ii i i i
i i
ii i i i i i
2 Teuml caktohet numri kompleks 3 z nqs kemi
3 1 2
1 1 1
z z z dhe
1 2
2 2 4 z i z i
Zgjidhje
2 1 1 23
3 1 2 3 1 2 1 2
1 1 1 1 z z z z z
z z z z z z z z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
9
1 23
1 2
2 2 4 4 8 2 4
2 2 4 5
8 6 8 6 6 8
5 5 5 5
i i z z i i z
z z i i i
i i ii
i i
3 Teuml njehsohet prodhimi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje
Forma trigonometrike e 1 1 z i eumlshteuml 1 1 1 2r
1 ( 1)4
barctg arctg
a
rrjedhimisht 1 2 cos sin
4 4 z i
Forma trigonometrike e 2 3 z i eumlshteuml 2 3 1 2r
2
1 3
3 63
barctg arctg arct a
rrjedhimisht 2 2 cos sin6 6 z i
Keumlshtu
1 2 2 2 cos sin 2 2 cos sin4 6 4 6 12 12
z z i i
4 Teuml njehsohet hereumlsi midis 1 1 z i dhe 2 3 z i neuml formeuml trigonometrike
Zgjidhje Neuml ushtrimin paraprak i gjeteumlm format trigonometrike
1 2 cos sin4 4
z i dhe 2 2 cos sin
6 6 z i
1
2
2 2 5 5cos sin cos sin
2 4 6 4 6 2 12 12
z i i
z
5 Duke peumlrdorur formuleumln e Muavrit teuml njehsohet 10
1 i
Zgjidhje Trajta trigonometrike e 1 2 cos sin4 4
i
22 10 10 5 51 2 cos sin 32 cos sin
4 4 2 2
32 cos 2 sin 2 32 cos sin 32(0 ) 322 2 2 2
i
i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
10
6 Teuml njehsohet
33
2
1 33
2 2
2 2 2 2
i i
i
ZgjidhjeDuke pas parasysh qeuml
3 2 cos sin6 6
i i
1 3cos sin
2 2 3 3i i
dhe
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i
kemi
3 3 33
2 2
1 33 2 cos sin cos sin2 2 6 6 3 3
2 2 2 2 4 cos sin4 4
i i i i
ii
3 3 3 38 cos sin cos sin cos sin cos sin
6 6 3 3 2 22 2
16 cos sin 2 cos sin4 4 2 2
0 1 01 12 0 2 2
i i i i
i i
i i i
i i
7 Teuml gjenden teuml gjitha zgjidhjet e ekuacionit 4 4 0 z
Zgjidhje Nga 4 4 0 z marrim 4 4 z pra 4 z w ku w=-4+0i Gjejmeuml formeumln
trigonometrike teuml w 16 4w 0
4arctg
Duke pas parasysh formuleumln
peumlr rreumlnjeumlt e numrit kompleks kemi
4 2 2
4 cos sin4 4k
k k
z i
peumlr k=0123
Peumlr k=0 0 2 cos sin 14 4
z i i
Peumlr k=1 1
3 32 cos sin 1
4 4 z i i
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
11
Peumlr k=2 2
5 52 cos sin 1
4 4 z i i
Peumlr k=0 3
7 72 cos sin 1
4 4 z i i
8 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml formon numri kompleks 3 2it it z e e Zgjidhje Kemi
3 2 3 cos sin 2 cos sin 5cos sinit it z x iy e e t i t t i t t i t
dmth2 2 2 2
2 2
25cos 25sin5cos sin 1
5 1 25
x y t t x t y t
Vendi gjeometrik i keumlrkuar eumlshteuml elipsa2 2
2 21
5 1
x y
9 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml 2Re 02 z i
z i
Zgjidhje Duke sheumlnuar z=a+bi neuml2
2
z i
z i
marrim
2
2 2
2
2 2 2 2
2 2 ( 2) ( 2) 2 (2 1)
2 2 2 2 (2 1) 2 (2 1) 2 (2 1)
2 (2 1) 2 ( 2) ( 2)(2 1)
4 (2 1)2 ( 2)(2 1) (2 1) 2 ( 2)
4 (2 1) 4 (2 1)
z i a bi i a b i a b i a b i
z i a bi i a b i a b i a b i
a a b i a b i b b
a ba b b a b a b
ia b a b
Nga kushti i detyreumls kemi
22
2 2
2 ( 2)(2 1)0 2 ( 2)(2 1) 0
4 (2 1)
a b ba b b
a b
2 22 2 5 2 0 | 2a b b
222 2 5 5 25
1 0 0 12 4 16
a b b a b
2 2 2
2 25 25 5 30 1 0
4 16 4 4a b a b
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
12
Barazimi i fundit 2 2
2 5 30
4 4a b
paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml
50
4Q
dhe rreze3
4r
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave ashtu qeuml1
Re 02
z i
z
Zgjidhje Duke sheumlnuar z a bi neuml1
2
z i
z
marrim
1 1 ( 2)
2 ( 2)2
z i a bi i a bi
a bi a bi z
2 2
22 2
1 2 1 0 3 2 0
3 1 2
2 2 2
a a b b a a b b
a b
Barazimi i fundit paraqet vijeumln rrethore me qendeumlr neuml3 1
2 2
Q
dhe rreze2
2r
Matricat dhe determinantat
Ushtrim 1 Matrica2 3 1
4 2 5 A
teuml shumeumlzohet me 3
Zgjidhje2 3 1 6 9 3
34 2 5 12 6 15
Ushtrim 2 Teuml mblidhen matricat3 0 2 0 1 8 3 0 0 1 2 8 3 1 6
4 1 1 3 2 6 4 3 1 2 1 6 1 3 7
Ushtrim 32 0 1 1 3 1
3 1 3 2 0 1
2 4 2 5 4 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
13
Ushtrim 4 Teuml gjendet matrica 3 A - 2 B neuml qofteuml se
A =2 1 2
0 4 1
B =
3 2 3
1 6 0
Duke patur parasysh A M mn (-1) A = -A kemi
3 A - 2 B = 3 A+(-2) B = 32 1 2
0 4 12
3 2 3
1 6 0
( ) =
=6 3 6
0 12 3
6 4 6
2 12 0
0 1 0
2 0 3
Ushtrim 51 2 1 4 1 1
2 1 2 4 2 0
1 2 3 1 2 1
1 4 2 ( 4) 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0 1 1
2 4 1 ( 4) 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 0 2 1
1 4 2 ( 4) 3 1 1 1 2 2 3 2 1 1 2 0 3 1
3 7 2
6 8 4
1 11 4
Ushtrim 6 Jepen matricat
A=
0112 B= 1 3 0
2 1 1
a) Cili nga prodhimet A B B A ekziston b) Teuml gjendet A BZgjidhje a) Peumlr teuml kontrolluar ekzistenceumln e prodhimeve A B dhe B A ploteumlsojmeuml tabelat
A B A B B A B A
2 2 2 2 22 3 3 3 2
Prej tyre del se ekziston veteumlm prodhimi A B qeuml eumlshteuml matriceuml me 2 3 peumlrmasa
b) Sipas formuleumls (13) kemi
A B =
112
031
01
12=
=
)1(0011031)2(011
)1)(1(021)1(32)2)(1(12=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
14
=
031
154
Ushtrim 7 Jepen matricat
A=
20
1
B=(3 2 4)
Teuml gjendet AB dhe BAZgjidhje Veumlmeuml re se AB ekziston dhe se eumlshteuml matriceuml me 3 3 peumlrmasa
AB =
1
0
2
(3 2 4) =
3 2 4
0 0 0
6 4 8
Ekziston gjithashtu edhe prodhimi BA dhe eumlshteuml matriceuml me 1 1 peumlrmasa
BA = (3 2 4)
20
1
= (31+20+4(-2)) = (-5) = -5
Ushtrim 8 Jepen matricat
A=1 0
0 0
B=
0 1
0 0
Teuml gjendet AB dhe BAMeqeneumlse teuml dyja matricat janeuml matrica katrore nga M 2 ateumlhereuml ekzistojneuml
prodhimet AB dhe BA Kemi
AB =1 0
0 0
0 1
0 0
1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 1
0 0
BA =0 1
0 0
1 0
0 0
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0
= O
Ushtrim 9(Zbatim ekonomik)Tri firma A1 A2 A3 prodhojneuml teuml njejtin mall dhe e shesin neuml teuml njejtin treg Neuml
vitin t 0 ato zoteumlronin peumlrkateumlsisht 20 60 20 teuml klienteumlve neuml treg Me keumlto teuml dheumlnandeumlrtojmeuml vektorin shtylleuml
S 0=
02
06
02
qeuml e quajmeuml vektori i ndarjes se tregut neuml peumlrqindje
Gjateuml vitit neuml vazhdim ndodheumln keumlto ndryshime neuml klienteleumln e firmave∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A1 qeumlndruan 5 e tyre shkuan tek firma A2 dhe
10 e tyre tek firma A3∙ 55 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A2 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 35 e tyre tek firma A3
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
15
∙ 85 e klienteumlve fillestar teuml firmeumls A3 qeumlndruan 10 e tyre shkuan tek firma A1
dhe 5 e tyre tek firma A2Me keumlto teuml dheumlna formojmeuml matriceumln
K =
085 010 010
005 055 005
010 035 085
ku neuml kufizeumln k ij eumlshteuml vendosur peumlrqindja e klienteleumls seuml firmeumls A j qeuml kalon neuml firmeumln Ai
vitin neuml vazhdim Matrica K quhet matriceuml kalimtare e ndarjes seuml tregut Neuml keumlto kushteeumlshteuml e qarteuml se vektori i ndarjes seuml tregut vitin neuml vazhdim do teuml keteuml pamjen
S 1= K 983223S 0=
085 010 010
0 05 055 0 05
010 0 35 085
983223
0 2
06
0 2
=
=
085 02 010 06 010 02
005 02 + 055 06 + 005 02
010 0 2 + 0 35 0 6 + 085 0 2
=
025
035
040
Kuptohet se kur ruhet e njejta matriceuml kalimtare edhe neuml vitin e dyteuml neuml vazhdimvektori i ndarjes seuml tregut neuml keumlteuml vit do teuml jeteuml K 983223S 1 = K ( K 983223S 0) = K
2983223S 0
Ushtrim 10 Neumlse2 3
3 1 5
2 4 0 A
ateumlhereuml
3 2
3 2
1 4
5 0
T A
Ushtrim 11 Njehsoni A2 neumlse A=1 2
0 3
Zgjidhje
2 A A A 1 2
0 3
1 2 1 1 2 0 1 2 2 3 1 8
0 3 0 1 3 0 0 2 3 3 0 9
Ushtrim 12
3 7 2 3 7
1 2 3 1 2 6 105 2 20 9 7 87
5 1 1 5 1
Ushtrim 131 2 5
3 4 73 12 15
1 ( 4) 15 2 7 ( 3) 3 12 5 5 ( 4) ( 3) 3 2 15 7 12 1
60 42 180 60 90 84 156
Ushtrim 14
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
16
1 1 1 2 1 3
2 3 41 2 0 2 0 1
0 1 2 2 ( 1) 3 ( 1) 4 ( 1)4 5 1 5 1 4
1 4 5
2 (5 8) 3 (0 2) 4 (0 1) 6 6 4 8
Ushtrim 15 Teuml njehsohet peumlrcaktori i matriceumls2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
Kemi2 1 0 4
1 0 5 1
4 3 2 10
0 6 7 3
= (-1)sup22
376
1023
150
+(-1)sup3(-1)
1 5 1
4 2 10
0 7 3
+
+(-1)40
1 0 1
4 3 10
0 6 3
+(-1)54
1 0 5
4 3 2
0 6 7
= 2354+(-164)-4(-111) = 988
Ushtrim 16 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det(A)=
1 1 2
0 0 5
6 5 1
Duke zbatuar vetineuml e pareuml zhvillimi me meuml pak llogaritje eumlshteuml ai sipas rreshtit teuml dyteuml ku
teuml gjitha koordinatat janeuml zero peumlrveccedil teuml treteumls Kemi
det A = (-5)(-1)2+3 1 1
6 5= -5
Ushtrim 17 Teuml njehsohet peumlrcaktori
det A =
732
451
921
Duke zbatuar vetineuml e gjashteuml mund ta shndeumlrrojmeuml peumlrcaktorin neuml njeuml tjeteumlr teuml
barabarteuml me teuml por qeuml trsquoi keteuml teuml gjitha koordinatat e ndonjeuml rreshti (shtylle) teuml barabarteumlme zero me peumlrjashtim ndoshta teuml njeumlreumls Peumlr keumlteuml rreshtin e dyteuml teuml matriceumls A ezeumlvendeumlsojmeuml me a2+a1 kurse rreshtin e treteuml me a3+(-2)a1 dhe meuml tej peumlrcaktorin e
peumlrftuar e zhvillojmeuml sipas shtylleumls seuml pareuml Marrim
2 1
3 1( 2)
1 2 9 1 2 9
1 5 4 1 1 5 2 4 9
2 3 7 2 2 3 4 7 18
a a
a a
=
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
17
=117
137
1170
1370
921
=14
Ushtrim 18 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls3 2 1
1 1 2
2 2 5
A
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e A
3 2 1
det 1 1 2 15 8 2 2 12 10 1 0
2 2 5
A
Meqeuml 0det A ateumlhereuml ekziston matrica inverse A-1
1 2 2 1 2 1
2 5 2 5 1 21 12 5
1 2 3 1 3 1 A 1 17 7
2 5 2 5 1 20 2 1
1 1 3 2 3 2
2 2 2 2 1 1
adj
rrjedhimisht matrica inverse eumlshteuml
1
1 12 5 1 12 51 1
A 1 17 7 1 17 7det 1
0 2 1 0 2 1
A adj A
Ushtrim 19 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
A=
1 1 0
3 1 1
2 4 1
neuml qofteuml se ekzistonZgjidhje Duke njehsuar determinanteumln e matriceumls A gjejmeuml det A= 2 0 Peumlr rrjedhojeumlmatrica A eumlshteuml e rregullt pra ka matriceuml teuml inverse Sipas formuleumls (2) gjejmeuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
18
adjA=1 1
2 2
1 1 1 0 1 0
4 1 4 1 1 13 1 1
3 1 1 0 1 05 1 2
2 1 2 1 3 114 2 4
3 1 1 1 1 1
2 4 2 4 3 1
Prandaj nga (1) marrim
A-1 =
1
2
3 1 1
5 1 1
14 2 4
=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
Ushtrim 20 Teuml gjendet rangu i matriceumls
1 2 3
2 0 5
3 2 2
A
Zgjidhje Meqeneumlse matrica A ka elementeuml teuml ndrysheumlm prej zeros ateumlhereuml mund teuml
konstatojmeuml se 1rangA Marrim minorin e rendit teuml dyteuml2 0
4 0 4 03 2
pra
konstatojmeuml se 2rangA Minori i rendit teuml treteuml eumlshteuml veteuml determinanta e matriceumls A
1 2 3
det 2 0 5 0
3 2 2
A
pra 3rangA
Meqeuml 2rangA dhe 3rangA ateumlhereuml 2rangA Ushtrim 21 Teuml caktohet rangu i matriceumls
1 3 2 4
1 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
Zgjidhje
1 3 2 41 2 5 11
2 4 7 6
2 9 8 3
A
2 1 R R
1 3 2 40 1 7 7
2 4 7 6
2 9 8 3
23 1
R R
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 1955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
19
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
2 9 8 3
24 1
R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 2 3 2
0 3 4 5
23 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 3 4 5
34 2
R R
1 3 2 40 1 7 7
0 0 17 16
0 0 17 16
4 3 R R
1 3 2 4
0 1 7 7
0 0 17 16
0 0 0 0
Matrica e fituar ka njeuml rresht me zero qeuml dometheumlneuml se rangu i matriceumls nuk mundet teuml jeteuml 4 pra 4rangA Minori
1 3 2
0 1 7 17 0
0 0 17
pra 3rangA
Ushtrim 22 Teuml gjendet matrica inverse e matriceumls
2 1 1
5 2 47 3 4
A
me transformime elementare
Zgjidhje Neuml fillim provojmeuml se
2 1 1
det 5 2 4 16 28 15 14 24 20 1 0
7 3 4
A
A I 2 1 1 1 0 05 2 4 0 1 0
7 3 4 0 0 1
1 2 K K
1 2 1 0 1 02 5 4 1 0 0
3 7 4 0 0 1
3 1 K K
1 2 0 0 1 0
2 5 6 1 0 1
3 7 7 0 0 1
22 1
K K
1 0 0 0 1 0
2 1 6 1 2 1
3 1 7 0 0 1
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
20
21 2
K K
1 0 0 2 1 0
63 20 1 6 5 2 1
1 1 7 0 0 1
K K
1 0 0 2 1 6
0 1 0 5 2 13
1 1 1 0 0 1
1 3
K K
1 0 0 4 1 6
0 1 0 8 2 13
0 1 1 1 0 1
1 0 0 4 7 62 3 0 1 0 8 15 13
0 0 1 1 1 1
K K
1 I A
Neuml aneumln e djathteuml teuml vijeumls vertikale eumlshteuml matrica inverse
1
4 7 6
8 15 13
1 1 1
A
Ushtrim 23 Duket menjeumlhereuml qeuml matricat
1 3 2 3 2 1 0 1 2
0 2 4 0 0 2 0 0 3
0 0 2 0 0 0 0 0 0
A B C
D
0 2 1 4 2 3 2 2
0 0 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
E
janeuml teuml shkalleumlzuara Duke numeumlruar rreshtat jozero neuml secileumln gjejmeuml rg A=3 rg B=2 rg
C= 2 rg D=2 rg E=1Matricat
200
300
060
281
0300
2500
3210
220
120
512
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
21
nuk janeuml teuml shkalleumlzuara Peumlr teuml gjetur rangjet e tyre meuml pareuml ato duhen shkalleumlzuar
Ushtrim 24 Teuml gjendet rangu i matriceumls
A=
6723
2141
2311
Meqeneumlse matrica A eumlshteuml e pashkalleumlzuar e shndeumlrrojmeuml meuml pareuml ateuml neuml njeumlmatriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml i shtojmeuml rreshtit teuml dyteuml a2 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a2-a1) rreshtit teuml treteuml a3 rreshtin e pareuml a1 teuml shumeumlzuar me -3(e shprehur me formuleumln a3-3a1) dhe neuml matriceumln e peumlrftuar i shtojmeuml rreshtit teuml treteumla3 rreshtin e dyteuml a2 teuml shumeumlzuar me -1 (e shprehur me formuleumln a3-a2) marrim
A3 22 1
3 13
1 1 3 2 1 1 3 2
0 5 2 0 0 5 2 0
0 5 2 0 0 0 0 0
a aa a
a a
Matrica e fundit eumlshteuml e shkalleumlzuar dhe ka dy rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg
A=2
Ushtrim 25 Teuml gjendet rangu i matriceumls
B=
5 10 15
2 5 41 5 0
3 6 7
E sjellim matriceumln B neuml njeuml matriceuml teuml shkalleumlzuar Peumlr keumlteuml neuml hapin e pareumlshumeumlzojmeuml rreshtin e pareuml me 15 Neuml hapin e dyteuml rreshtin e pareuml teuml peumlrftuar teumlshumeumlzuar me -2 e mbledhim me rreshtin e dyteuml pastaj e mbledhim me rreshtin e treteumldhe seuml fundi teuml shumeumlzuar me me -3 e mbledhim me rreshtin e kateumlrt Neuml hapin e treteumlshumeumlzojmeuml rreshtin e dyteuml me -1 dhe teuml tretin me 13 Neuml hapin e kateumlrt rreshtit teuml treteuml iheqim rreshtin e dyteuml Neuml hapin e fundit rreshtin e treteuml teuml peumlrftuar teuml shumeumlzuar me -2 embledhim me rreshtin e kateumlrt Shndeumlrrimet e meumlsipeumlrme i paraqesim hap pas hapi si meuml
poshteuml
B=
5 10 15
2 5 4
1 5 0
3 6 7
11
5a
1 2 3
2 5 4
1 5 0
3 6 7
1 2
1 3
1 4
2
3
a aa a
a a
1 2 3
0 1 2
0 3 3
0 0 2
2
31
3
a
a
1 2 3
0 1 2
0 1 1
0 0 2
2 3a a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
22
200
100
210
321
3 42a a
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Matrica e fundit eumlshteuml matriceuml e shkalleumlzuar dhe ka 3 rreshta teuml ndrysheumlm nga zero prandaj rg B=3
Ushtrim 26 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B ku
1 0 2
2 1 3
0 1 0
A
dhe
1 1 1
0 1 1
1 1 0
B
Zgjidhje Njehsojmeuml neuml fillim 1 A neumlse A eumlshteuml matriceuml e rregullt
1 0 2det 2 1 3 1
0 1 0
A
dhe 1
3 2 20 0 1
2 1 1
A
Zgjidhja e AX=B eumlshteuml e formeumls 1 X A B dhe marrim
1
3 2 2 1 1 1 1 3 5
0 0 1 0 1 1 1 1 0
2 1 1 1 1 0 1 2 3
X A B
Ushtrim 27 Te zgjidhet barazimi matricor1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 1
1 1 0 0 0 1 1 0 2 3 2 3
1 1 1 0 0 0 1 1 3 6 4 3
1 1 1 1 0 0 0 1 3 7 7 5
X
Zgjidhje
1
1 1
1 1
shumeumlzojmeuml nga e majta me A
shumeumlzojmeuml nga e djathta me
AXB C
AXB C
XB A C B
X A CB
Njehsojmeuml neuml fillim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
23
1
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
A
dhe
1000
1100
1110
1111
1 B
1
1 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1
1 1 0 0 2 3 2 3 0 1 1 2
0 1 1 0 3 6 4 3 1 3 2 0
0 0 1 0 3 7 7 5 0 1 3 2
A C
Peumlrfundimisht kemi
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 1 0
0 1 1 2 0 1 1 1 0 1 0 2
1 3 2 0 0 0 1 1 1 2 0 0
0 1 3 2 0 0 0 1 0 1 2 0
X A CB
Ushtrim 28 Teuml zgjidhet barazimi matricor 1 1 1 AXB B X B
neumlse
1 2 1 1 0 0
0 1 2 2 1 0
1 0 1 1 1 2
A B
Zgjidhje Nga 1 1 1 AXB B X B marrim
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
| nga e majta| nga e majta
( ) | nga e djathta X= ( )
AXB B X B AXB I AXB B X B
I AX X B I A AXB AXB I A A
XB A I A B A I A B
Pastaj gjejmeuml
1
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
1
2 0 01
2 1 02
1 1 2
B
dhe
0 2 1
0 0 2
0 0 2
I A
Duke i zeumlvendeumlsuar keumlto te
1 1
X= ( ) A I A B
dhe duke kryer veprimet e nevojshmemarrim
1 1 31
6 2 22
6 2 2
X
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
24
Ushtrim 29 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
2 2 2
1 1 1
( )( )( )( )a b c a b c b a c a c b
a b c
Zgjidhje
2 1
3 1
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 0 0
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )(
K K K K
b a c aa b c a b a c a
b a c aa b c a b a c a
b a c a c a b a
b a c a c ac a c a b a b ab a
b a c a c ac a b ab a
b a c a c ac b ab
b a c a
)(( )( ) ( ))
( )( )( )( )
c b c b a c b
b a c a c b a b c
Ushtrim 30 Duke peumlrdorur vetiteuml e detrminantave teuml tregohet se vlen
1 2 3
1 1 3
( 1)( 2)( 1)1 2 1
1 2 3 1
n
x n
x x x n x n
x
Zgjidhje
2 1
3 1
1
1 2 3 1 2 3
1 1 3 0 1 0 0
1 2 1 0 0 2 0
1 2 3 1 0 0 0 1( 1)( 2)( 1)
n
R R R R
R R
n n
x n x
x n x
x x n
x x x n
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
25
Sistemet e ekuacioneve lineare
1 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 82 4 4 6
2 6 1
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt 1 2 3
1
3 1 1 8 1 1
2 4 4 24 6 4 4 72
1 2 6 1 2 6
2 3
3 8 1 3 1 8
2 6 4 12 2 4 6 12
1 1 6 1 2 1
Sipas formulave teuml Kramerit kemi
11
723
24 x
2
2
12 1
24 2 x
3
3
12 1
24 2 x
Pra treshja 1 2 3
1 1 3
2 2 x x x
eumlshteuml zgjidhja e vetme e sistemit
2 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)
02
83844
z y x
z y x
z y x
b)
0428
164537
z y x
z y x
z y x
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat
1 1 4
8 3 1 3 2 32 24 1 8 2
2 1 1
4 1 4
8 3 1 12 32 4 8 80 1 1
x
1 4 4
8 8 1 8 8 64 32 16
2 0 1
y
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
26
1 1 4
8 3 8 16 32 24 8 0
2 1 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim
8 16 04 8 02 2 2
x y z x y z
Rrjedhimisht zgjidhja eumlshteuml treshja 480 x y z
b)
0428
16
4537
z y x
z y x
z y x
Njehsojmeuml determinantat
7 3 5
1 1 1 28 24 10 40 14 12 48
8 2 4
4 3 5
16 1 1 16 160 8 192 276
0 2 4
x
7 4 5
1 16 1 448 32 640 16 240
8 0 4
y
7 3 4
1 1 16 384 8 32 224 6328 2 0
z
Nga formulat e Kramerit marrim276 69 240 632 79
548 12 48 48 6
x y z x y z
Zgjidhja eumlshteuml treshja 69 79
512 6
x y z
3 Teuml zgjidhet sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2
x 2 x 1
2 x 3 0 x 4 6
x
x x x
Zgjidhje Keumltu kemi m = n = 3 Njehsojmeuml peumlrcaktorin e matriceumls seuml sistemit
det A =
1 2 1
2 1 3
1 4 0
= -27 0
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
27
Peumlr rrjedhojeuml sistemi i dheumlneuml eumlshteuml sistem i Kramerit prandaj ka njeuml zgjidhje teuml vetme Njehsojmeuml peumlrcaktoreumlt
det A1 =
046
310
121
-54 det A2 =
1 1 1
2 0 3
1 6 0
= 27 det A3 =
1 2 1
2 1 0
1 4 6
= -27
Prandaj sipas rregulleumls seuml Kramerit kemi
x1 = 1det
det
A
A= 2 x2 = 2det
det
A
A= -1 x3 = 3det
det
A
A= 1
Zgjidhja e vetme e sistemit eumlshteuml (2 -1 1)
4 (Zbatim ekonomik) Neuml njeuml biznes makinashautomobilistike veturat meuml teuml popullarizuara janeuml teuml tipit AB dhe C Meqeuml blereumlsitzakonisht beumljneuml tregti peumlr ccedilmim meuml teuml volitsheumlm ccedilmimi i shitjes peumlr secilin tip nuk eumlshteuml injeumljteuml Tabela e meuml poshtme tregon shitjen dhe teuml hyrat peumlr njeuml periudheuml tremujoreParaqitni ekuacionet peumlr llogaritjen e ccedilmimit mesatar teuml shitjes peumlr secilin nga tipat e
veturave
muaji Tipi A Tipi B Tipi C teuml hyrat1 25 62 54 2756000 euro2 28 42 58 2695000 euro3 45 53 56 3124000 euro
Zgjidhje Neuml keumlteuml shembull teuml panjohurat janeuml ccedilmimet mesatare teuml shitjes peumlr keumlto tipa makinash Isheumlnojmeuml me x peumlr tipin A y peumlr tipin B z peumlr tipin CAteumlhereuml shitjet peumlr secileumln nga periudhat mund teuml paraqiten me sistemin vijuese teuml
ekuacioneve25x 621 y 54z 2756000
28 x 42 y 58 z 2695000
45 x 53 y 56 z 3124000
Keumlto ekuacione duhet teuml zgjidhen njeumlkoheumlsisht dhe teuml gjenden vlerat e xyz
det A =
565345
584228
546225
= 821 d1 =
56533124000
58422695000
54622756000
=17163000
d2=
56312400045
5826950002854275600025
=9653000 d3=
31240005345
2695000422827560006225
=22872500
Prandaj x = A
d
det1 =
821
17163000asymp 2090499
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
28
y= A
d
det2 =
821
9653000asymp 1175761
z = A
d
det3 =
821
22872500asymp 2785932
Pra vetura e tipit A eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2090499 euro
Vetura e tipit B eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 11 75761 euro dhe vetura e tipit C eumlshteuml shitur me ccedilmim prej 2785932 euro
5 Teuml diskutohet sistemi
3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
23( 7) 3( 4) 4 12 ( 2)( 6)
4 7
aa a a a a a a
a a
23 ( 7) 18 7 18 ( 2)( 9)6 7 x
aa a a a a a
a
26 ( 4) 2 ( 2)4 6 y
a aa a a a a a a
a
Diskutim1) Neumlse 2a dhe 6a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme
2) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje3) Neumlse 6a ateumlhereuml 0 por 24 48 x y Rrjedhimisht sistemi
nuk ka zgjidhje
6 Teuml diskutohet sistemi
1
2
3
ax y z
x ay z
x y az
Zgjidhje Njehsojmeuml determinantat sipas Kramerit
3 2 21 1
1 1 3 2 ( 1)( 2) ( 1) ( 2)
1 1
aa a a a a a a a
a
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 2955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
29
2
1 1 1
2 1 2 ( 2)( 1)
3 1 x a a a a a
a
2
1 1
1 2 1 2 2 4 2( 2)( 1)
1 3 y
a
a a a a
a
2
1 1
1 2 3 3 6 3( 2)( 1)
1 1 3 z
a
a a a a a
Diskutim4) Neumlse 2a dhe 1a ateumlhereuml 0 Rrjedhimisht sistemi ka njeuml zgjidhje teuml
vetme5) Neumlse 2a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
6) Neumlse 1a ateumlhereuml 0 x y z Rrjedhimisht sistemi ka pafund
zgjidhje
7 Teuml zgjidhet sistemi
3
2 3 4 23 5 21
x y z
x y z x y z
Zgjidhje
3
2 3 4 2
3 5 21
x y z
x y z
x y z
1
2 1
3 1
2
3
E i njeumljteuml
E E
E E
3
2 8
4 2 12
x y z
y z
y z
1
2
3 24
E i njeumljteuml
E i njeumljteuml
E E
3
2 8
10 20
x y z
y z
z
Nga barazimi i treteuml del se z =2 duke zeumlvendeumlsuar te barazimi i dyteuml marrim y=4 dhe keumltoduke zeumlvendeumlsuar te barazimi i pareuml marrim x=-9
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml treshja 942 x y z
8 Teuml shqyrtohet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
30
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
x x x x
x x x x
x x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 5 7 3 13
4 3 3 10 2
4 2 7 5 18
A
dhe neumlse veprojmeuml me aneuml teuml transformimeve elementare do teuml fitojmeuml
1 5 7 3 13
0 1 2 3 4
0 0 71 71 142
A
Pasi 3rangA rangA sistemi ka zgjidhje teuml peumlrgjithshme dhe n-k =4-3=1 dmth njeumlndryshore do ta marrim teuml lireuml dhe neumlpeumlrmjet saj do ti shprehim teuml tjeratSheumlnojmeuml 4 x dhe do teuml kemi 1 1 x 2 x 3 2 x 4 x ku R
9 Teuml veumlrtetohet se sistemi
2 4 3 6
3 - 2 4
2 3 6
x y z
x y z
x y z
ka njeuml bashkeumlsi teuml pafundme zgjidhjesh me njeuml shkalleuml lirie
Njehsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Peumlr keumlteuml shkruajmeuml matricat A dhe A neuml njeumltabeleuml teuml vetme duke e veccediluar shtylleumln e kufizave teuml lira me vija teuml ndeumlrprera Ndeumlrrojmeumlfillimisht rreshtin e pare me teuml tretin dhe pastaj beumljmeuml shkalleumlzimin e matricave Kemi
2 1
3 1
3
2
2 1 3 6 1 2 3 6
= ( ) = 3 1 2 4 3 1 2 4
1 2 3 6 2 1 3 6
a a
a a A Ab
1 2 3 6
0 7 7 14
0 3 3 6
22 3
3
1
7
1
3
1 2 3 6 1 2 3 6
0 1 1 2 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
aa a
a
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 por dhe ajo e njeumlvlershme me A ka dy teuml tilleuml prandaj rg A = 2Meqeneumlse rg A=rg A=2 dhe n=3 pra rltn ateumlhereuml sistemi i dheumlneuml ka njeuml pafundeumlsizgjidhjesh me 3-2=1 shkalleuml lirie
10Teuml zgjidhet sistemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
31
02z - y- x
2 z -3y-2x
1 z 2y- x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i barabarteuml me numrin e ndryshoreve njehsojmeuml peumlrcaktorin det A teuml matriceumls seuml sistemit peumlr teuml pareuml neumlse sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i Krameritapo jo dhe neuml vareumlsi teuml saj teuml zgjedhim rregulleumln e Kramerit apo meumlnyreumln e GaussitKemi
det A =
053
053
121
211
132
12112
13 2
aa
aa= 0
Sistemi nuk eumlshteuml i Kramerit pra srsquoka vend rregulla e Kramerit Njehsojmeuml rangjet rg Adhe rg A peumlr teuml gjykuar neumlse sistemi ka zgjidhje Kemi
3 22 1
3 1
21 2 1 1 1 2 1 1
= ( ) = 2 3 1 2 0 1 3 01 1 2 0 0 1 3 1
a aa a
a a A Ab
1 2 1 1
0 1 3 0
0 0 0 1
Duket qeuml matrica e shkalleumlzuar e njeumlvlershme me A ka dy vektoreuml rresht teuml ndrysheumlm ngazero prandaj rg A = 2 kurse ajo e njeumlvlershme me A ka tre teuml tilleuml prandaj rg A = 3Meqeneumlse rg A rg A sistemi i dheumlneuml srsquoka zgjidhje
11 Teuml zgjidhet sistemi2 21 2 3 4
3 2 01 2 3 43 5 4 41 2 3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Meqeneumlse numri i ekuacioneve eumlshteuml i ndrysheumlm nga ai i ndryshoreve
vlereumlsojmeuml rangjet rg A dhe rg A Duke u ndeumlrruar meuml pareuml vendet rreshtave 1 dhe 2kemi
A = ( A b ) =2 1
3 13
2 1 1 1 2 1 1 3 2 0
1 1 3 2 0 2 1 1 1 2
3 1 5 4 4 3 1 5 4 4
a a
a a
3 22
1 1 3 2 0 1 1 3 2 0
0 1 7 5 2 0 1 7 5 2
0 2 14 10 4 0 0 0 0 0
a a
Vihet re qeuml rg A = rg A = 2 dhe n=4 pra rltn Sistemi ka zgjidhje madje ka sup2 zgjidhjeEumlshteuml e qarteuml se sistemi i dheumlneuml eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
32
+3x - 2x 01 2 3 4 -x 7 5 22 3 4
x x
x x
qeuml ndeumlrtohet duke patur parasysh tabeleumln e fundit teuml shndeumlrrimeve teuml meumlsipeumlrme teuml A =
( A b ) Sipas metodeumls seuml Gaussit ai ka ndryshore ndihmeumlse 3 x 4 x dhe ndryshore bazeuml 1 x
2 x Duke i kaluar nga e djathta ndryshoret ndihmeumlse marrim
1 2 3 4
2 3 4
=-3x + 2x
-x 2 7 5
x x
x x
Nga ekuacioni i fundit gjejmeuml 2 3 42 7 5 x x x Duke zeumlvendeumlsuar keumlteuml neuml ekuacionin
e pareuml gjejmeuml 1 x = 2 + 4x3 ndash 3x4 Peumlrfundimisht bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B
= (2+4x3 ndash 3x4 -2ndash7x3 + 5x4 x3 x4) | x3x4R
12 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanit sistemi
x 2 x 01 2 3 43 x x 11 2 3 4 x 2 52 3 42 3 2 21 2 3
x x
x x
x x
x x x
Kryejmeuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matricave teuml sistemit
( A S )=( A b S )=
1 2 1 1 0 3
3 1 1 1 1 5
0 1 2 1 5 7
2 3 2 0 2 3
12
14
3
2
aa
aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 7 4 2 2 -3
24 aa
1 2 1 1 0 3
0 7 4 2 1 -4
0 1 2 1 5 7
0 0 0 0 1 1
Rreshti i fundit i matriceumls seuml zgjeruar tregon se ekuacioni peumlrkateumls i sistemit eumlshteumli pamundur prandaj dhe sistemi eumlshteuml i pamundur d m th nuk ka zgjidhje Keumltu procesii zgjidhjes mbaron
13 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
x x 2x 61 2 3 x 2x x 31 2 32x x x 51 2 35 2x x 51 2 3 x
Shndeumlrrojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml ploteumlsuar teuml sistemit Kemi
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
33
( A S )=( A bS )=
2 1
3 1
4 1
2
5
1 1 2 6 6
1 2 1 3 3
2 1 1 5 7
5 2 1 5 7
a aa a
a a
21
3
1 1 2 6 6
0 3 3 9 9
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a
1 2
3 2
4 27
1 1 2 6 6
0 1 1 3 3
0 1 3 7 5
0 7 9 25 23
a aa a
a a
3
4 3
1
2
1 0 1 3 3
0 1 1 3 3
0 0 2 4 2
0 0 2 4 2
a
a a
1 3
2 3
1 0 1 3 31 0 0 1 2
0 1 1 3 30 1 0 1 2
0 0 1 2 10 0 1 -2 -1
0 0 0 0 0
a a
a a
Si rezultat marrim 1 2 31 x 1 x 2 x Sistemi ka njeuml zgjidhje teuml vetme qeuml eumlshteuml(1 1 -2)
14 Teuml zgjidhet me meumlnyreumln e Gauss-Zhordanos sistemi
2 x 11 2 3 42 x 11 2 3 42 5 51 2 3 4
x x x
x x x
x x x x
Duke beumlreuml shndeumlrrimet e meumlposhtme elementare ndaj matriceumls seuml zgjeruar teuml
ploteumlsuar teuml sistemit marrim
1 x
2 x
3 x
4 x
( A S )=
1 2 1 1 1 2
1 2 1 1 1 2
1 2 1 5 5 10
1 2
1 3
a a
a a
1 2 1 1 1 2
0 0 0 2 2 4
0 0 0 4 4 8
2
(2 )
(4 )
1
2a
shtyllen a e
nderrojme me a
1 x
4 x
3 x
2 x
1 x
4 x
3 x
2 x
1 1 1 2 1 2
0 1 0 0 1 20 4 0 0 4 8
2 1
2 34
a a
a a
1 0 1 2 0 0
0 1 0 0 1 20 0 0 0 0 0
Si rezultat sistemi i dheumlneuml ka ndryshore ndihmeumlse x2 x3 prandaj peumlr vlera teuml ccedilfareumldoshmereale teuml tyre ai eumlshteuml i njeumlvlersheumlm me sistemin
1 2 3
4
2
1
x x x
x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
34
Neuml keumlteuml meumlnyreuml bashkeumlsia B e zgjidhjeve teuml sistemit eumlshteuml B = (2 x2-x3 x2 x3 1) | x2 x3R
15 Teuml zgjidhet me metodeumln e Gaus-Xhordanit sistemi
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 6 1
2 2 33 8
x x x
x x x
x x x
Zgjidhje Formojmeuml matriceumln e zgjeruar teuml sistemit
1 2 6 1
1 2 2 3
3 1 1 8
A
Hapi i pareuml Kryejmeuml transformimet 2 1 R R dhe 3 13 R R dhe fitojmeuml
1 2 6 1
0 4 8 2
0 7 17 5
Pjeseumltojmeuml me 2 elementet e rreshtit teuml dyteuml1 2 6 1
0 2 4 1
0 7 17 5
Hapi i dyteuml Kryejmeuml transformimet 1 2 R R dhe 3 22 7 R R dhe fitojmeuml
1 0 2 20 2 4 1
0 0 6 3
Pjeseumltojmeuml me 3 elementet e rreshtit teuml treteuml
1 0 2 2
0 2 4 1
0 0 2 1
Hapi i treteuml Kryejmeuml transformimet 1 3 R R dhe 2 32 R R dhe fitojmeuml
1 0 0 1
0 2 0 1
0 0 2 1
Prej ku marrim sistemin
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
35
1
2
3
1
2 1
2 1
x
x
x
Pra zgjidhja e sistemit eumlshteuml
1 2 31 11 2 2
x x x
16 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
0
2 3 4 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
1 1 1
2 3 4 15 2 12 9 4 10 10 0
3 1 5
meqeuml 0 ateumlhereuml sistemi ka veteuml zgjidhje triviale pra (xzy)=(000)
17 Teuml zgjidhet sistemi homogjen
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
Zgjidhje Njehsojmeuml determinanteumln e sistemit
3 1 21 2 3 0
4 3 5
dmth sistemi peumlrveccedil zgjidhje triviale (000) ka edhe zgjidhje jotriviale teuml cileumln do tagjejmeuml neuml vazhdim me metodeumln e Gausit
2 1
3 2 0
2 3 0
4 3 5 0
x y z
x y z B B
x y z
2 3 0
3 2 0
4 3 5 0
x y z
x y z
x y z
3 1
4
32 1
B
B B
B
2 3 05 7 0
5 7 0
x y z
y z
y z
3 2 B B
2 3 05 7 0
0 0
x y z
y z
z
ku z k R e ccedilfareumldoshmeZgjidhja jotriviale do teuml jeteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3655
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
37
20 Teuml shqyrtohet vareumlsia lineare e sistemit teuml vektoreumlve A=(21-1) B=(-131) dhe C =(151)
Zgjidhje Formojmeuml kombinimin linear
1 2 3 0 x A x B x C
1 2 321 1 131 151 000 x x x
Prej ku formojmeuml sistemin homogjeneuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 5 0
0
x x x
x x x
x x x
i cili ka veteumlm zgjidhje triviale sepse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml e ndryshme prejzeros Prandaj sistemi i vektoreumlve ABC eumlshteuml linearisht i pavarur
21 Teuml gjendet matrica e anasjelleuml A-1 e matriceumls
A =1 1 0
3 1 1
2 4 1
Meqeneumlse det A = 2 0 ekziston matrica e anasjelleuml A-1 Zbatojmeuml meumlnyreumln e
Gauss-Zhordanos peumlr gjetjen e saj Kemi
( A 3 I S ) =1 1 0 1 0 0 1
3 1 1 0 1 0 6
2 4 1 0 0 1 4
1 2
1 3
( 3)
2
a a
a a
1 1 0 1 0 0 1
0 4 1 3 1 0 3
0 2 1 2 0 1 6
2 3 1 1 0 1 0 0 1
0 2 1 2 0 1 6
0 4 1 3 1 0 3
ndrrojmeuml
rreshtat a a
2 3
2 1
( 2)
1
2
a a
a a
2
3
1 2
( 1)
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 2 1 2 0 1 6
0 0 1 7 1 2 9
a
a
1 0 1 2 2 0 1 2 4
0 1 1 2 1 0 1 2 3
0 0 1 7 1 2 9
3 2
3 1
1( )
2
1( )
2
a a
a a
1 0 0 3 2 1 2 1 2 1 2
0 1 0 5 2 1 2 1 2 3 2
0 0 1 7 1 2 9
Prej keumlndej sipas formuleumls (13) gjejmeuml
A-1=
3 2 1 2 1 2
5 2 1 2 1 2
7 1 2
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
38
Gjeometria analitike neuml hapeumlsireuml
1 Teuml njehsohet moduli vektori njeumlsi dhe drejtimi i vektorit 2 2a i j k
Zgjidhje Moduli i vektorit a
eumlshteuml| | 4 1 4 3a
Vektori njeumlsi ort a
eumlshteuml2 2 2 1 2
3 3 3 3| |
a i j k orta i j k
a
Kosinuset orientuese teuml vektorit janeuml
1 2cos
3| |
a
a 2 1
cos3| |
a
a 3 2
cos3| |
a
a
2 Vektori4
7
a i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve 2 3b i j k
dhe
2c i j k
Zgjidhje Marrim 0a b c
ku janeuml numra realeuml marrim
42 3 2 0
7i j k i j k i j k
nga ku marrim
4
2 2 3 07
i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
42 0
73 0
Duke pas parasysh qeuml determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 1 2
42 1 0
7
1 3 1
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivialja Pra vektoreumlt a b c
janeuml
linearisht teuml varur dhe sipas keumlsaj vektori a
mundet teuml zbeumlrthehet sipas b
dhe c
Dmth mund teuml shkruajmeuml a b c
gjegjeumlsisht
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 3955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
39
42 3 2
7i j k i j k i j k
Nga ku marrim
2 1
427
3 1
Nga ku marrim3 2
7 7
Keumlshtu vektori a
zbeumlrthehet3 2
7 7a b c
3 Vektori 4 2d i j k
teuml zbeumlrthehet sipas vektoreumlve
a) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
b) 3 2a i j k
2 3b i j k
dhe 2 3c i j k
Zgjdhje
a) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 52 0
2 1 3
Rrjedheuml se vektoreumlt a b c
janeuml linearisht teuml pavarur Peumlr vektorin d
kemi
d a b c
Ose
4 2 3 2 2 3 2 3i j k i j k i j k i j k
Prej ku peumlr teuml caktuar marrim keumlteuml sistem
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
40
3 2 1
3 2 4
2 3 2
Prej ku marrim
23 61 1 52 52 52
dmth23 61 1
52 52 52d a b c
b) Nga 0a b c
rrjedheuml
3 2 2 3 2 3 0i j k i j k i j k
Ose 3 2 3 2 2 3 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
3 2 0
3 2 0
2 3 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
3 2 1
1 3 2 0
2 1 3
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur Keumlshtu vektori d
nuk mund teuml shprehet neumlpeumlrmjet
vektoreumlve a b
dhe c
4 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
3 2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Teuml caktohen vektoreumlt
u a b c
2v a b c
2 3w a b c
Zgjidhje
2 3 3 2 2 4 2
2 3 4 1 2 2 3 2 1 2
u i j k i j k i j k
i j k i j k
2 3 (3 2 2 ) 2( 4 2 )
2 3 8 1 2 4 3 2 2 9 7 7
v i j k i j k i j k
i j k i j k
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
41
2(2 3 ) 3(3 2 2 ) 4 2 9 10 13w i j k i j k i j k i j k
5 Cakto vareumlsineuml lineare teuml vektoreumlve
2a i j k
2 2b i j k
dhe 4 2c i j k
Zgjidhje Nga 0a b c
rrjedheuml
2 2 2 4 2 0i j k i j k i j k
Ose
2 2 2 4 2 0i j k
Meqeuml i j k
janeuml linearisht teuml pavarura barazimi fundit do teuml ploteumlsohet neumlse
2 0
2 2 4 0
2 0
Meqeneumlse determinanta e keumltij sistemi eumlshteuml
1 2 1
2 2 4 0
1 1 2
Rrjedheuml qeuml sistemi ka zgjidhje teuml ndryshme nga trivijalja dmth rrjedheuml qeuml vektoreumlt
a b c
janeuml linearisht teuml varur
6 Teuml njehsohet prodhimi skalar i vektorit 2 3a i j k
me vektoreumlt
2 4b i j k
2 4 8c i j k
dhe 4 6 2d i j k
Zgjidhje Kemi
2 3 2 4 2 6 4 4a b a b i j k i j k
2 3 2 4 8 0a c a c i j k i j k
2 3 4 6 2 28a d a d i j k i j k
Vektoreumlt a
dhe c
janeuml normal ndeumlrsa vektoreumlt a
dhe d
janeuml paralel meqeuml d
=-2 a
7 Teuml veumlrtetohet qeuml te rombi dijagonalet janeuml reciprokisht normaleZgjidhje
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
42
Le teuml jeneuml a
dhe b
vektoreumlt qeuml formojneuml brinjeumlt e rombitndeumlrsa c
dhe d
vektoreumlt edijagonaleve teuml tij
Nga figura shihet se c a b
dhe d b a
Neuml vazhdim marrim
2 2
0
c d a b b a a b a a b b a b
b b a a b a
Dmth c d
8 Teuml peumlrcaktohet prodhimi vektorial i vektoreumlve
3 2 4a i j k
3 3b i j k
Zgjidhje Kemi
3 2 4 6 9 4 2 12 9 6 5 7
1 3 3
i j k
a b a b i k j k i j i j k
9 Teuml njehsohet syprina e paralelogramit teuml formuar nga vektoreumlt
2 3a i j k
3b i j k
Zgjidhje
2 3 1 2 7
3 1 1
i j k
a b a b i j k
Syprina S e paralelogramit eumlshteuml
4 1 49 54S a b
njeumlsi katrore
10 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt
2 3a i j k
2b i j k
dhe 2c i j k
Teuml njehsohet prodhimi i tyre i peumlrzierZgjidhje Prodhimi i peumlrzier i vektoreumlve teuml dheumlneuml eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
43
1 2 3
1 2 1 6
2 1 1
a b c
11 Teuml njehsohet veumlllimi i paralelepipedit teuml peumlrcaktuar nga vektoreumlt a b c
teuml cileumltkaneuml intensitet teuml njeumljteuml dhe neumlse dihet qeuml
3a b
si dhe keumlndi midis
a b
dhe c
formon keumlnd teuml njeumljteuml3
Zgjidhje Veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml
| |V a b c
Meqeuml
3 3 1
cos cos sin3 3 3 2 2a b c a b c a b c a
Rrjedheuml qeuml
3 3
4V a
njeumlsi kubike
12 Teuml njehsohet larteumlsia e paralelepipedit teuml ndeumlrtuar mbi vektoreumlt
3 4 12a i j k
10 5 5b i j k
dhe 9 2 6c i j k
Zgjidhje Meqeuml veumlllimi i paralelepipedit eumlshteuml V=BH ateumlhereuml peumlr teuml gjet H njehsojmeumlneuml fillim B dhe V
| 3 4 12 | | 80 135 25 |
10 5 5
6400 18225 625 25250 5 1010
i j k
B a b i j k
3 4 12
| 10 5 5 | 840
9 2 6
V
Rrjedhimisht
840 168
5 1010 1010
V
H B njeumlsi lineare
13 Teuml njehsohet veumlllimi i tetradrit kulmet e teuml cilit janeumlA(3-21) B(1207) C(9-44) dhe D(5-1-1)
Zgjidhje Meqeuml 926 AB
6 23 AC
dhe 21 2 AD
ateumlhereuml
veumlllimi i keumlrkuar eumlshteuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
44
9 2 6
1 1 105| | | 6 2 3 | 175
6 6 62 1 2
V AB AC AD
njeumlsi kubike
14 Le teuml jeneuml 1 2 3 a a a
njeuml bazeuml e 3V Teuml veumlrtetohet se vektoreumlt1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 33 2b a a a b a a a b a a a
formojneuml njeuml bazeuml tjeteumlr teuml asaj hapeumlsire Gjithashtu teuml zbeumlrthehet neumlpeumlrmjet bazeumls seuml
re vektori 1 2 3a a a a
Zgjidhje Neuml fillim tregojmeuml qeuml 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur prandaj
formojmeuml 11 2 2 3 3 0b b b
1 1 11 2 3 2 2 3 3 2 3
11 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3
3 2 0
3 2 0
a a a a a a a a a
a a a
Meqeuml 1 2 3 a a a
janeuml linearisht teuml pavarur ateumlhereuml
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 0
0
0
Prej ku 1 2 3
3 1 2
1 1 1 8 0 0
1 1 1
dmth 1 2 3 b b b
janeuml linearisht teuml pavarur
Zbeumlrthejmeuml vektorin a
sipas 1 2 3 b b b
Keumlshtu
1 12 3 1 2 2 3 3a a a a b b b
1 1 1 12 3 1 2 3 2 2 3 3 2 3
1 1 2 32 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 2
3 2
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
3 2 11 1
1 14 4
1
Peumlrfundimisht kemi 1 2 3
1 1
4 4
a b b b
15 Vektori n
eumlshteuml kolinear me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si kombinim
linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml
2 4 4 83
p q p q n p n q
Zgjidhje Sheumlnojmeuml n p q
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
45
Nga 4n p
rrjedheuml qeuml
4 ( ) ( ) 4 4 4 4 1 p q p p p q p
Nga 8n q
rrjedheuml qeuml
8 ( ) ( ) 8 4 16 8 4 2 p q q p q q q
Nga sistemi
12 1
4 2
Keumlshtu 2n p q
16 Segmenti [ ] A B ku A[3-52] dhe B[5-31] me aneumln e pikave C dhe D eumlshteumlndareuml neuml tri pjeseuml teuml barabarta Teuml gjenden koordinatat e pikave C dhe D
Zgjidhje
Meqeuml ACCB=12 ADDB=21 1 2
1 2
2
AC AD
CB DB
Keumlshtu
1 1 2 1 1 2
1 1
1 1 2
1
1 13 5 5 ( 3)11 132 2 y
1 11 3 1 31 12 2
12 1 5 11 13 52
11 3 3 3 312
C C
C
x x y y x
z z z C
Dhe
1 2 2 1 2 2
2 2
1 2 2
2
3 2 5 13 5 2 ( 3) 11 y
1 1 2 3 1 1 2 3
2 2 1 4 13 11 4
1 1 2 3 3 3 3
D D
D
x x y y x
z z
z D
17 Teuml gjendet pikeumlprerja e rrafshit 2x-3y+5z-4=0 me boshtet koordinativeZgjidhje Duke e shkruajtur barazimin e rrafshit neuml formeumln segmentore teuml saj
1 x y z
a b c marrim 1
4 423 5
x y z
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4655
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
46
Keumlshtu4 4
(200) (0 0) (00 )3 5
P Q R
18 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit qeuml kalon neumlpeumlr pikat A(23-1) B(3-42) dheC(52-1)
Zgjidhje
2 3 1 2 3 1
3 2 4 3 2 1 1 7 3 0
5 2 2 3 1 1 3 1 0
x y z x y z
( 1) 9( 3) 21( 1) 3( 2) 0
3 9 20 13 0
z y z x
x y z
19 Teuml gjendet gjateumlsia e larteumlsiseuml seuml teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC teuml tetradritneumlse A(2-13) B(1-35) C(625) dhe D(3-2-5)
Zgjidhje Ekuacioni i rrafshit ABC eumlshteuml2 1 3
1 2 3 1 5 3 0 2 2 3 0
6 2 2 1 5 3
x y z
x y z
Distanca e pikeumls D(3-2-5) nga ky rrafsh eumlshteuml
2 2 2
2 3 2 ( 2) ( 5) 3 124
32 ( 2) ( 1)d
njeumlsi lineare
20 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-24) dhe eumlshteuml paralel
me vektorin (78 5)a
Zgjidhje Duke pas parasysh ekuacionin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikeumln
0 0 0 P x y z dhe qeuml eumlshteuml paralel me vektorin ( )a m n p
pra
0 0 0 x x y y z z
m n p
kemi
3 2 4
7 8 5
x y z
21 Teuml shkruhet ekuacioni i drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr pikat 1(2 35) P dhe
2(04 6) P
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e drejteumlzeumls peumlr keumlteuml rast qeuml eumlshteuml
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
2 3 5 2 3 5
0 2 4 3 6 5 2 7 11
x y z x y z
22 Nga ekuacioni i peumlrgjithsheumlm i drejteumlzeumls
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4755
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
47
2 3 1 0
5 4 7 0
x y z
x y z
()
teuml kalohet neuml ekuacionin kanonik teuml sajZgjidhje
Meumlnyra 1 Gjejmeuml ( )a m n p
1 2 2 1 3 11 17 13
5 4 1
i j k
a n n i j k
Pra m=-11n=17 p=13 Nqs neuml sistemin () marrim x=0 ateumlhereuml nga
3 1
4 7
y z
y z
marrim y=2 dhe z =1 Ateumlhereuml forma kanonike eumlshteuml
0 2 1
11 17 13
x y z
Meumlnyra 2 I gjejmeuml dy pika teuml drejteumlzeumls Zakonisht gjejmeuml gjurmeumlt e drejteumlzeumls neumlrrafshet koordinatave
Peumlr x=0 kemi3 1
4 7
y z
y z
dhe gjurma neuml rrafshin oyz eumlshteuml 1(021) P
Peumlr y=0 kemi2 3 1
5 7
x z
x z
dhe gjurma neuml rrafshin oxz eumlshteuml 2
22 9( 0 )17 17
P
Duke u bazuar neuml barazimin e drejteumlzeumls qeuml kalon neumlpeumlr dy pika
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z x x y y z z
kemi
0 2 1 2 2 122 90 2 17 11 17 130 117 17
x y z x y z
23 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikeumln P(3-11) dhe drejteumlzeumln
2 3 5 7 0
4 2 6 5 0
x y z
x y z
Zgjidhje Duke pas parasysh barazimin e tufeumls seuml rrafsheve qeuml kalon neumlpeumlr drejteumlzeumlnd pra 1 2 1 2 1 2 1 2 0 A A x B B y C C z D D kemi
2 4 3 2 5 6 7 5 0 x y z Neuml barazimin e fundit
zeumlvendeumlsojmeuml P(3-11)
2 4 3 3 2 ( 1) 5 6 1 7 5 0 7
Duke u rikthyer te barazimi i tufeumls marrim
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4855
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
48
-26x-17y+47z+28=0
24 Teuml caktohet keumlndi midis rrafsheve 1 11x 8y 7z 5 0 dhe
2 7x 2y 8z 3 0
Zgjidhje Nga 1 1 1 111x 8y 7z 5 0 11 8 7 A B C dhe nga2 2 2 2 7x 2y 8z 3 0 7 2 8 A B C
Duke u bazuar neuml formuleumln e keumlndit midis dy rrafsheve pra
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2
cos A A B B C C
A B C A B C
kemi
2 2 2 2 2 2
11 7 ( 8) 2 ( 7) ( 8) 2cos
211 ( 8) ( 7) 7 2 ( 8)
Peumlrfundimisht 45o
25 Neuml ekuacionin e drejteumlzeumls2 3
x y z
teuml caktohet parametri ashtu qeuml
drejteumlza e tilleuml teuml pritet me drejteumlzeumln1 5
3 2 1
x y z dhe teuml gjendet pikeumlpresja
e tyreZgjidhje Nga
2 1 2 1 2 1
1 1 1
2 2 2
0
x x y y z z
m n p
m n p
marrim
1 5 0
3 2 1 0 1
2 3
Duke zgjidhur sistemin e formuar nga teuml dy barazimet e drejteumlzave pra
(1)22 3 1
1 5 3 (2)
3 2 1
x y z
x z
x y z y z
Duke i zeumlvendeumlsuar x dhe y neuml barazimin
(2) marrim2 1 3 5
13 2
z z z
Keumlshtu pikeumlpresja e keumlrkuar eumlshteuml
M(2-31)
26 Teuml caktohet keumlndi midis drejteumlzeumls5 3 4
1 1 2
x y z
dhe rrafshit
4x-2y-2z+7=0Zgjidhje Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 4955
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
49
2 2 2 2 2 2sin
Am Bn Cp
A B C m n p
kemi
2 2 2 2 2 2
4 1 ( 2) 1 ( 2)( 2) 1sin 30
21 1 ( 2) 4 ( 2) ( 2)
27 Teuml gjendet pika e depeumlrtimit e drejteumlzeumls 6 2 7 8 3 x t y t z t neuml
rrafshin 3 4 5 16 0 x y z Zgjidhje Nga
0 0 0 0 A x mt B y nt C z pt D marrim
3( 6 2 ) 4(7 ) 5(8 3 ) 16 0 2t t t t
dmth 6 2 2 2 7 2 5 8 3 2 2 x y z Peumlrfundimisht
N(-252)
28 Teuml gjendet distanca e pikeumls P(1-23) nga drejteumlza9 2 4 4 7 4 x t y t z t
Zgjidhje Nga 9 2 4 4 7 4 x t y t z t shohim qeuml
0 0 09 4 7 2 4 4 x y z m n p dhe nga P(1-23) kemi
1 1 11 2 3 x y z
Duke u bazuar neuml formuleumln peumlrkateumlse peumlr keumlteuml distanceuml pra2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
y y z z x x z z x x y y
n p m p m n
d m n p
kemi
2 2 2
2 2 2
2 4 3 7 1 9 3 7 1 9 2 4
4 4 2 4 2 410
( 2) ( 4) 4d
29 Teuml njehsohet distance ndeumlrmjet drejteumlzave
1
2
3 2 7 2 1 3
5 4 8 2 6
l x t y t z t
l x t y z t
Zgjidhje Nga teuml dheumlnat kemi
1 1 1 1
2 1 1 2
2 2 3 (371)
4 0 6 (582)
m n p P
m n p P
Duke u bazuar neuml formuleumln
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5055
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
50
2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1 2 2 2 2
1 2
1 1 1
2 2 2
5 3 8 7 2 1
| | | 2 2 3 |
4 0 6
| | | 2 2 3 |
4 0 6
x x y y z z
m n p
a a PP m n pV d
S a a i j k i j k
m n p
m n p
2 2 2
56 56 562
28|12 24 8 | 12 24 8i j k
njeumlsi lineare
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA IPjesa e pareuml
1Teuml njehsohen vlerat e funksioneve teuml tjera trigonometrike neumlse
a)20
cos29
dhe 2
b)63
sin65
dhe3
2
2 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos1 10sin 6
ctg tg
po qe se 2 341 cos25
dhe 2
3 Teuml veumlrtetohet identiteti2 2sin cos
sin coscos (1 ) sin (1 )tg ctg
4 Teuml veumlrtetohet identiteti2
2 2 3cos ( ) cos ( ) sin( ) cos( ) 1
2 2
5 Teuml njehsohet vlera e shprehjescos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
6 Teuml caktohet max i ( ) sin( )2 6
x f x
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5155
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
51
7 Teuml caktohen zerot e ( ) cos(2 )4
f x x
8 Teuml shkruhen neuml formeuml trigonometrike numrat kompleks
a) 3 z i b) 1 z i c) 1 3 z i
9 Teuml njehsohet
a)(2 3 )(3 4 )
(6 4 )(15 8 )
i i
i i
b)2
3
(1 2 ) (2 3 )
(1 )
i i
i
10 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin1
21
z
z
dhe z C
11 Teuml njehsohet 20 z neumlse 1 3 z i
12 Teuml njehsohen 3 z neumlse 3 z i
13 Teuml llogaritet f(A) neumlse eumlshteuml dheumlneuml
a)2( ) 3 1 f x x x dhe
2 3
5 1 A
b)2( ) 2 3 f x x x dhe
3 1
2 4 A
14 Duke shfryteumlzuar vetiteuml e determinantave teuml veumlrtetohet se vlen
1
1
1
a bc
b ac b a c a c b
c ab
15 Teuml zgjidhet barazimi matricor AX=B neumlse
1 2 1
2 0 3
3 1 4
A
dhe
3 1 2
1 4 5
2 7 3
B
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5255
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
52
DETYRA SHTEumlPIE NGA LEumlNDA MATEMATIKA 1Pjesa e dyteuml
1 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Kramerit
a)4 3 2 46 2 3 1
5 3 2 3
x y z x y z
x y z
b)3 9 2 62 6 4 0
3 6 3
x y z x y z
x y z
2 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)3
( 4) ( 7) 6
ax y a
a x a y
b)
2 ( 1) 3
( 1) 4 3
x k y
k x y
3 Neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml teuml diskutohen sistemet
a)
( 1)
( 1)
( 1) (2 3) 1
ax ay a z a
ax ay a z a
a x ay a z
b)
3 1
1
4 3 3
kx y z
x ky z
x y z
4 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit
a)
3 9 2 6
2 6 4 0
3 6 3
x y z
x y z
x y z
b)
3 4 7 0
2 5 7 12 1
2 3 5 1
4 11 15 26 1
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
5 Teuml zgjidhen sistemet me metodeumln e Gausit-Xhordanit
a)
9 2 5 35
7 9 17
5 4 13 1
x y z
x y z
x y z
b)
2 9 2 1
2 6 7 5
4 5 16 21 17
2 2 9 7
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
6 Teuml zgjidhen sistemet homogjene teuml ekuacioneve lineare
a)0
3 0
2 3 0
x y z x y z
x y z
b)2 5 02 3 0
6 13 0
x y z x y z
x y z
7 Peumlr ccedilfareuml vlere teuml parametrit teuml dheumlneuml sistemet homogjene kaneuml zgjidhje jotriviale dheteuml gjenden ato zgjidhje neumlse ekzistojneuml
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5355
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
53
a)
( 3) 6 8 0
( 2) 4 0
( 4) 3 0
k x y z
k x y z
k x y z
b) 2
2 0
2 0
2 0
mx y z
m x y z
x my z
8 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 23a
21 4b
Teuml gjenden vektoreumlt
3 2a b a b a b dhe 5 4a b
9 Teuml gjendet vektori x
i cili eumlshteuml kolinear me vektorin 2a i j k
dhe ploteumlson
kushtin 3 x a
10 Vektori n
eumlshteuml kolineareuml me vektoreumlt p
dhe q
Vektori n
teuml shprehet si
kombinim linear i vektoreumlve p
dhe q
neumlse dihet qeuml | | 2 p
dhe | | 4q
si dhe
( ) 3
p q
4n p
dhe 8n q
11 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 1 2 2a
dhe 30 4b
Teuml gjendet produkti vektorial
i tyre sinusi i keumlndit si dhe syprina e paralelogramit teuml ndeumlrtuar mbi ato vektoreuml
12 Janeuml dheumlneuml vektoreumlt 21 4a
105b
dhe 315 19c
Teuml shprehet
vektori c
si kombinim linear i vektoreumlve a
dhe b
13 Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe
D(-3-2-10) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
14 Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili eumlshteuml normal me vektorin 2 1 4n
dhe
kalon me pikeumln 0 5 2 3 P A i peumlrkasin keumltij rrafshi pikat 1 21 2 1 451 P P dhe 3 62 3 P
15 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika
9 22 A dhe nga rrafshi 3x-6y+2y-3=0
16 Teuml shkruhet ekuacioni i normales seuml peumlrbashkeumlt teuml drejeumltzave7 3 9
1 2 1
x y z
dhe
3 1 1
7 2 3
x y z
17 Eumlshteuml dheumlneuml ekuacioni i drejtzeumls si prerje e dy rrafsheve 3x+y-2z-6=0 dhe4x-y+3z=0
a Teuml shkruhet ekuacioni i drejtzeumls neuml form kanonike b Teuml shkruhet ekuacioni i rrafshit i cili kalon neumlpeumlr pikat A(10-1)B(-121) dhe eumlshteuml paralel me drejtzeumln neumln a)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5455
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
54
Tezeuml Provimi -a
Detyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
cos 1
sin 1
ctg
tg
po qe se4
cos 5 2
dhe
2
(8 pikeuml)
2 Eumlshteuml dheumlneuml numri kompleks 1 z i Teuml caktohet numri kompleks w i tilleuml qeuml
Re( ) 0 z w dhe 2 z w (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
378
1939
818
324
134
213
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
(1 ) 2
(1 ) 0
x y z a
x a y z a
x y a z
(12 pikeuml)
5 Janeuml dheumlneuml kulmet e trekeumlndeumlshit ABC A(1-12) B(5-62) C(13-1)
a) Teuml njehsohet syprina e trekeumlndeumlshit ABC
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi B neuml AC
c) Teuml njehsohet keumlndi midis AB dhe AC
(11 pikeuml)
6 Neuml boshtin Ox teuml gjendet pika e cila eumlshteuml njeumlsoj e larguar nga pika 9 22 A dhe nga
rrafshi 3x-6y+2y-3=0(9 pikeuml)
Pyetje teorike
1 Kur eumlshteuml i mundur shumeumlzimi i matricave (2 pikeuml)
2 Ccedilfareuml quajmeuml rang teuml matriceumls (2 pikeuml)
3 Ccedilfareuml quajmeuml sistem homogjen dhe ccedilfareuml lloji zgjidhjesh ka ai (2 pikeuml)
4 Si klasifikohen vektoreumlt peumlr nga lidhshmeumlria (2 pikeuml)
5 Ccedilfareuml quajmeuml produkt teuml peumlrzier vektorial Zbatimi i tij (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)
8122019 Skipte Ushtrimesh MAt1
httpslidepdfcomreaderfullskipte-ushtrimesh-mat1 5555
Detyra teuml zgjidhura nga MATEMATIKA -1 A JUSUFI _____________________________________________________________________
Tezeuml Provimi-bDetyra
1 Teuml njehsohet vlera e shprehjes
4 5cos
1 10sin 6
ctg
tg
po qe se 2 341 cos
25 dhe
2
(8 pikeuml)
2 Teuml caktohet vendi gjeometrik i pikave qeuml ploteumlson kushtin
12
1
z
z
dhe z C (10 pikeuml)
3 Teuml zgjidhet barazimi matricor
1152
095038
125
231135
X (10 pikeuml)
4 Teuml shqyrtohet zgjidhshmeumlria e sistemit neuml vareumlsi teuml parametrit teuml dheumlneuml
6
4 5
6 ( 2) 2 13
x y z
ax y z
x a y z
(12 pikeuml)
5Janeuml dheumlneuml kulmet e tetraedrit ABCD A(45-3) B(630) C(85-9) dhe D(-3-2-10)
a) Teuml njehsohet veumlllimi i tetraedrit
b) Teuml gjendet larteumlsia e teumlrhequr nga kulmi D neuml faqen ABC
(11 pikeuml)
5 Teuml gjendet distanca e pikes 1 1 23 P nga drejteumlza x=9-2t y=4-4t z=7+4t
(9 pikeuml)
Pyetje teorike
6 Ccedilfareuml quajmeuml matriceuml teuml rregullt (2 pikeuml)
7 Numeumlro disa veti teuml determinantave (2 pikeuml)
8 Ccedilfareuml madheumlsie paraqet forca elektrike e ccedilfareuml madheumlsie paraqet pesha (2 pikeuml)
9 Kur themi se njeuml sistem vektoreumlsh eumlshteuml linearisht i pavarur (2 pikeuml)