Sistemas de ecuaciones

Métodos de resolución

Un sistema lineal es…

Un sistema de ecuaciones es lineal en las variables x, y, z si cada una de sus ecuaciones son lineales, es decir, tienen la siguiente forma:

dczbyax

Donde a, b, c y d son números reales

Ejemplos

.

423

1952

1352

zyx

zyx

zyx

583

364

yx

yxy

La expresión inferior es un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas

La expresión inferior no es un sistema lineal. En la primera ecuación hay dos incógnitas relacionadas por un producto (4xy)

Soluciones de un sistema

Una solución de un sistema es un conjunto de valores para cada una de las incógnitas que satisfacen cada una de las ecuaciones del sistema.

Los sistemas pueden no tener solución (sistema incompatible), una única solución (sistema compatible determinado) o varias soluciones (sistema compatible indeterminado)

Métodos de resolución Los posibles métodos para resolver un sistema de ecuaciones

son:

• Sustitución, se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en el resto, obteniéndose un sistema con una ecuación menos.

• Igualación, se despeja en todas y cada una de las ecuaciones la misma incógnita, igualándose una de ellas, con el resto. Se obtiene de nuevo un sistema con una ecuación menos y una variable menos.

• Reducción, mediante una serie de operaciones “legales” se van obteniendo ecuaciones que disponen de una incógnita menos (se discutirá a continuación). Este método se utiliza usualmente con sistemas lineales.

El método de reducción I

Para aplicar este método se pueden utilizar las siguientes transformaciones del sistema, para obtener un sistema equivalente (dispone de las mismas soluciones que el original)

El orden de las ecuaciones no es significativo Se puede reordenar la posición de las incógnitas de

las ecuaciones Se puede sustituir una ecuación en el sistema por la

ecuación que resulta de multiplicar todos los términos de aquella por un número real.

Se puede sustituir una ecuación por la ecuación que resulta de sumar dos ecuaciones

El método de reducción II

Las anteriores operaciones deben manejarse con el objetivo de sustituir las ecuaciones originales, por otras equivalentes, pero que disponen de una incógnita menos. Hasta llegar a un sistema que disponga de una ecuación con una única incógnita.

4

195

1352

z

zy

zyx

Este sistema muestra el objetivo final del método. Es muy fácil resolverlo, sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación para obtener y. Posteriormente, sustituyendo z e y en la primera ecuación calcularíamos el valor de x.

Ejemplo: método de reducciónPaso I

432

11252

1952

yxz

xzy

zyxEn este sistema hay que reordenar las

incógnitas y el término independiente debe ser la única expresión del miembro izquierdo de cada ecuación

423

1352

1952

zyx

zyx

zyxUna vez realizada las operaciones adecuadas

para ordenar el sistema podemos empezar a resolverlo

Ejemplo: método de reducciónPaso II

423

1352

1952

zyx

zyx

zyxCon el fin de eliminar el término en x de la

segunda ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera. El resultado lo sustituimos por la segunda ecuación.

423

79

1952

zyx

zy

zyx

79261042

1952

zyzyx

zyx

Ejemplo: método de reducciónPaso III

423

79

1952

zyx

zy

zyxCon el fin de eliminar el término en x de la

tercera ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera. El resultado lo sustituimos por la tercera ecuación.

275118462

1952

zyzyx

zyx

27511

79

1952

zy

zy

zyx

Ejemplo: método de reducciónPaso IV

27511

79

1952

zy

zy

zyx

Este nuevo sistema lineal equivalente al inicial dispone de dos ecuaciones que no tienen término en x. Por tanto la transformación se realizará ahora con la se segunda y tercera ecuación para eliminar el término en y de la tercera ecuación

Multiplicando la segunda ecuación por -11, sumando con la tercera y sustituyendo la tercera ecuación queda

104104

79

1952

z

zy

zyx

Ejemplo: método de reducciónPaso V

104104

79

1952

z

zy

zyx

Puede observarse que la última ecuación únicamente dispone de una incógnita, por tanto, despejamos de ésta la variable z y posteriormente calculamos los valores del resto de las variables sustituyendo los valores obtenidos de la ecuación inferior a la superior

1104

104;104104 zz

2

719

y

y 4;82

191252

xx

x

Despejamos z de la tercera ecuación

Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y despejamos y

Sustituimos los valores de z e y, despejando x

Ejemplo: método de reducciónPaso VI

423

1352

1952

zyx

zyx

zyx

Al haber obtenido una única solución, este sistema es compatible determinado. También es conveniente comprobar el resultado, sustituyendo en las tres ecuaciones los valores obtenidos para cada una de las variables.

426412234

1354415224

19110812542

Método de sustitución I

214

262

22

yx

yx

Para ilustrar el método de sustitución lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar en una de las ecuaciones una de las incógnitas y sustituir su valor en la otra ecuación.

4

2126

2

22

xy

yxHemos seleccionado la segunda ecuación para

despejar la variable y (es aconsejable antes de aplicar el método elegir la ecuación y variable que sea mas fácil de despejar)

Método de sustitución II

4

21

264

21

2

222

xy

xx

4

21

2616

44142

2

242

xy

xxx

Sustituimos la variable y en la primera ecuación. Ésta queda como una ecuación con una incógnita

Procedemos a resolver al primera ecuación que proporcionará el valor de la variable x

Método de sustitución III

02526

416441421624

242

xx

xxxTras desarrollar y simplificar la primera

ecuación, resulta una ecuación bicuadrada.

Procedemos a realizar el cambio de variable t = x2 y a aplicar la fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado

2

2426

2

57626

12

25142626

02526

2

2

t

tt

Método de sustitución IV

12

2426

252

2426

t

t

Hemos obtenido dos soluciones para la variable t, por tanto, los valores de x serán las raíces cuadradas de estos valores, es decir, para x obtenemos 4 posibles soluciones

1

11

2

2426

5

525

2

2426

2

x

xt

x

xt

txtx

Método de sustitución V

Para cada valor de la variable x deberemos calcular el correspondiente valor de la variable y.

Recordando que:

54

2111

54

2111

14

21255

14

21255

yx

yx

yx

yx

4

212 x

y

Obtenemos los valores correspondientes a la variable y, siendo los pares de valores las cuatro soluciones del sistema

Método de igualación I

Para ilustrar el método de igualación lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar la misma variable de todas las ecuaciones del sistema y posteriormente igualar los miembros de la parte derecha de las ecuaciones.

093

55 2

yx

xy

935

52

xy

xy

Como puede observarse, se ha seleccionado la variable y, pues no se encuentra afectada por la operación potencia.

Método de igualación II

05015

45155

935

5

2

2

2

xx

xx

xx

El resultado de igualar los miembros izquierdos de ambas ecuaciones ha sido una ecuación de segundo grado en la variable x.

2

515

2

2515

12

501422515

050152

x

xx

Aplicamos la fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado

Método de igualación III

52

515

102

515

x

xLas soluciones para la variable x son

6953

;5

219103

;10

y

x

y

xRecordando que ya se despejó la variable y al

inicio del proceso, basta con elegir la expresión más fácil para obtener el valor de la variable y correspondiente a cada valor de x