sistemas de ecuaciones
TRANSCRIPT
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 1/38
Prof. Esteban Hernández
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 2/38
2
Justificación
Los sistemas de ecuaciones son una de las
herramientas más útiles dentro del estudio de lasmatemáticas. Podemos resolver innumerablessituaciones usando los sistemas de ecuacioneslineales y no lineales. Las aplicaciones van desdelas ciencias naturales, la matemática, las ramas deadministración de empresas, la ingeniería, etc.Espero que este módulo sirva de guía para que losestudiantes se inicien en la comprensión de losconceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 3/38
3Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y =
12x - 11y = -23
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =13
2x - 7y =-7
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 4/38
4
6. Resuelve el ejer cicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad enCertificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto loinvirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuántodeben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresosde $ 15,100 al año?
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 5/38
5
Ob jetivos:Ob jetivos:
1. Def inir el concepto de sistema deecuaciones.
2. Ver if icar si un par ordenado es solución de un sistema 2 x 2.
3. Resolver un sistema 2 x 2 por elmétodo de sustitución.4. Resolver un sistema 2 x 2 por el
método de gráf ico.
5. Resolver un sistema 2 x 2 por elmétodo de eliminación por adición
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 6/38
6
Def iniciónDef iniciónUn Un sistema de ecuacionessistema de ecuaciones es un con junto dees un con junto de
dos o más ecuaciones simultáneas.
2 61) 3 4
x y x y
!®̄ !°
1 3
102 43)
34
4
x y
x y
® !±±
¯± !±°
3
04) 0
x y x y
® !¯ !°
2
52) 2 4 x y
x y
® ! ¯ !°
E jemplos:E jemplos:
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 7/38
7
AclaraciónAclaraciónEl tamaño de un sistema de ecuaciones estáEl tamaño de un sistema de ecuaciones está
determinado por el número de ecuaciones y eldeterminado por el número de ecuaciones y elnúmero de variables. Un sistema con tresnúmero de variables. Un sistema con tresecuaciones y con tres variables se dice que es unecuaciones y con tres variables se dice que es unsistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tressistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres
variables se dice que es un sistema 2x3.variables se dice que es un sistema 2x3.
Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,al sistema se le llamaal sistema se le llama sistema ecuaciones linealessistema ecuaciones lineales..De lo contrario se le llamaDe lo contrario se le llama sistema de ecuacionessistema de ecuacionesno linealno lineal..
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 8/38
8
Def iniciónDef inición
Una solución de un sistemaUna solución de un sistema 2x22x2 es un par es un par ordenado ordenado (x,y)(x,y) que hace cier ta cada una de las que hace cier ta cada una de las ecuaciónes del sistema.ecuaciónes del sistema.
Resolver un sistema de ecuaciones consiste en Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el con junto de todas las soluciones encontrar el con junto de todas las soluciones del sistema. El con junto f ormado por todas las del sistema. El con junto f ormado por todas las soluciones de un sistema de ecuaciones sesoluciones de un sistema de ecuaciones se
conoce como elconoce como el con junto solucióncon junto solución del sistema.del sistema.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 9/38
9
Ejemplo:Ejemplo:Ver if ica si el par ordenado es una solución delVer if ica si el par ordenado es una solución delsistema de ecuaciones.sistema de ecuaciones.
2 61)
3 4
x y
x y
!®¯
!°
2,1 :OrdenadoPar
:Verificación
2 1 2 6 {
3 1 2 4 {
Por lo tanto el par ordenado 1 , 2 no es solución.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 10/38
10
2 52)
2 4
x y
x y
® !
¯ !°
Par Ordenado: 1 , 6
561
2
! 4612 !
P or l o t ant o el par ordenado 1 , 6 es solución.
:Verificación
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 11/38
11
Existen var ios métodos para resolver sistemas Existen var ios métodos para resolver sistemas
de ecuaciones, entre ellos,de ecuaciones, entre ellos,1. Método gráfico2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matríz aumentada
6. Método de matrices
En esta sección solo trataremos el método gráfico,el método de sustitución y el método de eliminaciónpor adición para sistemas de ecuaciones 2x2.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 12/38
12
Tipos de sistemas de ecuacionesLos sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasif icar en tres tipos dependiendo de su con junto de soluciones.
1. Sistema consistente independiente:
Son aquellos sistemas de ec
uaciones q
ue tienenuna única solución. Las gráficas de las líneas son
diferentes.2. Sistema consistente dependiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tieneninfinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneasson iguales.
3. Sistema inconsistente independiente:Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienensolución. Las dos gráficas de las líneas sonparalelas.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 13/38
13
MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2
Pr ocedimiento1. Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de inter sección entre las dos gráf icas.
2. Constr uya la gráf ica de cada ecuación.
Aclaración:Este método es útil solo si podemos leer con
precisión los puntos de intersección entre lasgráficas. En la mayoría de los casos eso no esposible.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 14/38
14
Ejemplos:Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico
51)
1
2 x y
x y
!®¯
!°y
x
1,2:S olución
52 x y !1 x y !
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 15/38
15
22)
0
x y
x y
!®¯
!°
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
:S olución 1 , 1
2 x y !
0 x y !
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 16/38
16
23)
2 2 0
x y
x y
!®¯
!°
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
Las dos líneas sonparalelas, no tienenpuntos de intersección.El conjunto de solucioneses vacío.
. .C S ! �
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 17/38
17
24)
2 2 4
x y
x y
!®¯
! °
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
y
x
2 x y !
2 2 4 x y !
El sistema esdependiente y tieneinfinitas soluciones.
Las soluciones sepueden encontrar buscando puntos decualquiera de laslíneas.
_ a. . ,2 :C S x x x! ��
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 18/38
182
2
25)
4
y x
y x
® ! ±¯
! ±°
El conjunto solucióncontiene dos paresordenados.
_ a. . 2,0 , 2,0C S !
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 19/38
19
PROCEDIMIENTO1. Despeja una de las variables en cualquiera de lasecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Estoproducirá el valor de una de las variables.
3. S
ustit
uye el valor de la variable del paso anterior encualquiera de las ecuaciones originales para encontrar
el valor de la otra variable.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 20/38
20
E jemplos:Resuelve usando el método de sustitución.
2 61)
3 4
x y
x y
!®¯
!°
x y 26 !
4263 ! x x
4263 ! x x 2! x
226!
y2!
_ a2 , 2C
onjunt oS
olución !
Escogiendo la ecuación, , tenemos2 6 x y !
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacióntenemos
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 21/38
21
Escogiendo la ecuación, , tenemos
2 52)
4
x y
2 x y
® ! ¯
!° 2 5 x y !
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
25 x y !
452 2 ! x x
452 2 ! x x
0122! x x
011 ! x x
01 ! x 1! x
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 22/38
22
2
15 ! y 6!
_ a1 , 6C onjunt o S olución !
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuacióntenemos,
2 5 x y
! 25 x y !
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 23/38
23
1 310
2 43) 3
44
x y
x y
® !±
±̄± !±°
44
3! x y
1044
3
4
3
2
1!¹
º
¸©ª
¨ x x
Escogiendo la ecu
ación, , tenemos
3
44 x y !
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 24/38
24
103
16
9
2
1! x x
1604898 ! x x
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
4816017 ! x
17
208! x
Sustituyendo en la ecuación tenemos,44
3 ! x y
417
208
4
3¹
º
¸©
ª
¨! y
17
88! y 208 88
. . ,
17 17
C S ® ¾¨ ¸! ¯ ¿© ¹
ª º° À
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 25/38
25
Método de Eliminación por AdiciónMétodo de Eliminación por Adición
Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elEste método consiste en sumar o restar las ecuaciones con elobjetivo que se elimine una de las variables.objetivo que se elimine una de las variables.
Procedimiento:
1. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicandolas ecuaciones por los números correspondientes.
2. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
3. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede
reemplazar por una sustitución.
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 26/38
26
2 3 31)
2 5
x y
x y
!®¯
!°
2 3 3 2 4 10 x y x y
!®̄ ! °
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,
Restando las ecuaciones obtenemos,
2 3 3
2 4 10
0 7 7
x y
x y
x y
! !
!
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 27/38
27
77 ! y 1! y
4 6 63 6 15 x y x y
! !
Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primerapor 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4 6 6
3 6 15
7 0 21
x y
x y
x y
! !
!
2 2 3 33 2 5
x y x y
!®±̄
!±°
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 28/38
28
Sustituyendo y = 1 en la ecuación,
512 ! x
3! x
_ a. . 3, 1C S !
El sistema es consistente independiente.
7 21 x !
Observación:Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el método de su
stitu
ción.
3! x
2 5 x y !
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 29/38
29
2 3 32)
4 6 6
x y
x y
!®¯
!°
664
664
!
!
y x
y x
C. .=�El sistema es inconsistente. No tiene soluciones.
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
!®±
¯ !±°
4 6 6
4 6 6
0 0 12
x y
x y
x y
!
!
!
Sumando las ecuaciones obtenemos,
0 12! Falso
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 30/38
30
2 3 33)
4 6 6
x y
x y
!®¯
! °
4 6 6
4 6 6
x y
x y
!
!
00 !
El sistema es dependiente.Tiene infinitas soluciones.
2 2 3 3
4 6 6
x y
x y
!®±
¯ ! ±°
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4 6 6
4 6 6
0 0 0
x y
x y
x y
!
!
!
Cierto
3 2. . , :
2
xC S x x R
® ¾¨ ¸! �¯ ¿© ¹
ª º° À
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 31/38
31
Aplicaciones:Aplicaciones:1. El precio de un boleto para cierto evento es de$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántosboletos de cada tipo se vendieron?
:S oluciónea el número de boletos vendidos de adultos. x
ea el número de boletos vendidos de niños. y
:sistemaelObtenemos450
2.25 1.50 777.75
x y
x y
!®¯
!°
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 32/38
32
adultosde boletos137! x
niñosde boletos313! y
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 33/38
33
2.2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corrienteconstante en 15 minutos. El viaje de regreso (conla misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguastranquilas en millas por hora.
:S olución
Sea la velocidad de la corriente.Sea la velocidad de la lancha. x y
corriente.ladecontraenlanchaladevelocidad! x y
corriente.ladefavor alanchaladevelocidad! x y
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 34/38
34
Usando la fórmula para distancia ycambiando el tiempo a horas tenemos que:
d vt !
hora60
15 minutos15 ! hora
4
1!
hora
60
10 minutos10 ! hora
6
1!
44
1! x y
46
1 ! x y
1 14
4 4
1 1 46 6
y x
y x
® !±±¯± !±°
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 35/38
35
horamill as x 4!
La velocidad de la corriente es, 4 . x m ph!
hor amill a s y 20!
La velocidad de la lancha es, 20 . y m ph!
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 36/38
36
Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - -x 53
3. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
2x -
-2x - 3y 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x 3y
2x - y -23
Sistemas de Ecuaciones
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 37/38
37
6. Resuelve el ejer cicio.Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad elCertificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto loinvirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuántodeben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresosde $ 15,100 al año?
Sistemas de Ecuaciones
5. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.3x + y =13
2x - 7y =-7
5/8/2018 Sistemas de ecuaciones - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/sistemas-de-ecuaciones-559abed4c8766 38/38
38
Respuestas de la pre y pos pr ueba
1) x = 1, y = -4 2) x = 3, y = 8 3) x = 1, y = -3 4) x = -1, y = 15) x = 5, y = -2
6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%
Sistemas de Ecuaciones