sistemas de ecuaciones

Prof. Carlos A. Blanco

SISTEMAS DE ECUACIONES

En este tema se van a tratar los siguientes contenidos: Definiciones: ecuación lineal de dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales,

solución,… Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales Sistemas equivalentes Métodos de resolución de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos

incógnitas: Sustitución, Igualación, Reducción Métodos de resolución y clasificación de sistemas Sistemas no lineales Sistemas de ecuaciones exponenciales Sistemas de ecuaciones logarítmicas Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas Problemas

ÍNDICE

Una ecuación lineal de dos incógnitas es una ecuación de dos incógnitas que es de grado 1, es decir, en la que el término de mayor grado es de grado 1.

Se llama solución de una ecuación lineal de dos incógnitas a un par de números que satisfacen la ecuación.

En la ecuación anterior, el par es solución de la ecuación puesto que

es cierto, mientras que el par no es solución de la ecuación puesto que

(no satisface la ecuación)

ECUACIONES LINEALESDE DOS INCÓGNITAS

−8 3 ·4+𝑦=4⇔ 𝑦=−8−5 3 ·3+ 𝑦=4⇔ 𝑦=−5−2 3 ·2+𝑦=4⇔ 𝑦=−21 3 ·1+𝑦=4⇔ 𝑦=14 3 ·0+𝑦=4⇔ 𝑦=47 3 · (−1 )+ 𝑦=4⇔ 𝑦=7

x y

Se pueden representar gráficamente los pares de puntos como puntos del plano.Observamos que para cada valor que le damos a , se obtiene una ecuación de una incógnita que se puede resolver y se obtiene un único valor de .Más concretamente, podemos construir una tabla con las soluciones de la ecuación lineal y representarlos:

ECUACIONES LINEALESDE DOS INCÓGNITAS

Un sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas es un conjunto de dos ecuaciones lineales de modo que las incógnitas iguales en las dos ecuaciones deben tener el mismo valor.

Más concretamente, si tenemos el sistema

la incógnita tiene el mismo valor en las dos ecuaciones y la incógnita tiene el mismo valor en las dos ecuaciones.

Se llama solución de un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas a un par de números que satisfacen las dos ecuaciones

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESDE DOS INCÓGNITAS

Solución

4 𝑥−2 ·0=4⇔𝑥=4−2 0−2 𝑦=4⇔ 𝑦=−2

1 3 ·1+𝑦=4⇔ 𝑦=4−3=14 3 ·0+ 𝑦=4⇔ 𝑦=4

Para representar gráficamente un sistema de ecuaciones lineales, representaremos cada una de las dos ecuaciones.Ahora bien, como sabemos que cada ecuación lineal es una recta, para cada recta sólo calcularemos dos puntos, ya que una recta queda unívocamente determinada por dos puntos por lo que pase.Representamos el sistema Para la ecuación , calculamos

Para la ecuación , calculamos

REPRESENTACION GRÁFICADE SISTEMAS DE ECUACIONES

6 𝑥+0=6⇔𝑥=66 0+𝑦=6⇔ 𝑦=600

2 2 ·1− 𝑦=0⇔ 𝑦=20 2 ·0−𝑦=0⇔ 𝑦=00

1

2 2 𝑥+0=4⇔ 𝑥=24 2 ·0+ 𝑦=4⇔ 𝑦=400

3 2 𝑥−3 ·0=6⇔ 𝑥=3−22 ·0−3 𝑦=6⇔ 𝑦=−20

0

a) b)

Representa gráficamente los siguientes sistemas:

REPRESENTACION GRÁFICADE SISTEMAS DE ECUACIONES

Si las rectas son coincidentes (una recta está justo encima de la otra), el sistema tiene infinitas soluciones: SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO

Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene solución: SISTEMA INCOMPATIBLE

Si las rectas son secantes, entonces el sistema tiene una única solución: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO

Puesto que un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas es un par de rectas del plano, el sistema se clasificará según las formas en las que podamos dibujar las dos rectas del plano:

CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

𝑎𝑎 ′=

𝑏𝑏′=

𝑐𝑐 ′

El sistema es compatible indeterminado si

𝑎𝑎 ′=

𝑏𝑏′ ≠

𝑐𝑐 ′El sistema es incompatible si

𝑎𝑎 ′ ≠

𝑏𝑏 ′

El sistema es compatible determinado si

Si tenemos un sistema de la forma


Indeterminado(la solución no es única)

Determinado(la solución es única)

Incompatible (El sistema no tiene solución)

Compatible(El sistema tiene solución)

Sistemas

Podemos hacer la siguiente clasificación de sistemas:


a) Para el primer sistema, calculamos:

b) Para el primer sistema, calculamos:

c) Para el primer sistema, calculamos:

a) b) c)

Clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones. Represéntalos gráficamente.


Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Por ejemplo, los sistemas

y

Son equivalentes puesto que ambos tienen por solución e , ya que

y

SISTEMAS EQUIVALENTES

+ 𝑥−2 𝑦=85 𝑥+3 𝑦=16 𝑥+ 𝑦=9

⟹ { 𝑥−2 𝑦=8𝟓 𝒙+𝟑 𝒚=𝟏⟺ { 𝑥−2 𝑦=8

𝟔 𝒙+𝒚=𝟗

{𝟐 𝒙−𝟒 𝒚=𝟏𝟔5 𝑥+3 𝑦=1Regla del producto

{𝟐𝒙−𝟐 𝒚=𝟖+𝒙5 𝑥+3 𝑦=1Regla de la suma

{𝒙−𝟐 𝒚=𝟖5 𝑥+3 𝑦=1

5 𝑥+3 𝑦=1𝑥−2 𝑦=8

Se pueden obtener sistemas equivalentes de las siguientes formas:1. Intercambiando las ecuaciones de sitio:

2. Cambiando una de las dos ecuaciones por otra que sea equivalente a ella misma, bien a través de la regla de la suma, bien a través de la regla del producto

3. Cambiando una ecuación por la suma de ambas ecuaciones (miembro a miembro), dejando la otra ecuación igual.


⇔ {6 𝑥−2 𝑦=147 𝑥−6 𝑦=20

⇔ {6𝑥−2 𝑦=14𝑥−4 𝑦=6{𝑥−4 𝑦=6

3 𝑥− 𝑦=7⇔ {3 𝑥− 𝑦=7

𝑥−4 𝑦=6

⇔ {2𝑥+2 𝑦=124 𝑥+𝑦=12

⇔ {2𝑥+2 𝑦=122𝑥− 𝑦=0{2𝑥−𝑦=0

𝑥+𝑦=6⇔ { 𝑥+𝑦=62𝑥− 𝑦=0

a) El primer sistema lo obtenemos cambiando las ecuaciones de sitio.El segundo lo obtenemos multiplicando por 2 la primera ecuación.El tercero lo obtenemos cambiando la segunda ecuación por la suma de ambas:

b) El primer sistema lo obtenemos cambiando las ecuaciones de sitio.El segundo lo obtenemos multiplicando por 2 la primera ecuación.El tercero lo obtenemos cambiando la segunda ecuación por la suma de ambas

a) b)

Obtén tres sistemas equivalentes a cada uno de los siguientes:


A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación de una sola incógnita, y lo hará con dos sencillos pasos:

1. Despejar una incógnita en una ecuación

Esto significa que debo elegir qué incógnita despejar y en qué ecuación hacerlo. Haremos esta elección observando los coeficientes de las incógnitas y seleccionaremos la incógnita cuyo coeficiente sea menor siendo positivo.

2. Sustituiremos la expresión algebraica obtenida en la OTRA ecuación.

No nos serviría de nada sustituir en la misma ecuación donde hemos despejado.

Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye donde esté la otra incógnita despejada para hallarla.

Lo vemos con un ejemplo.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: SUSTITUCIÓN

En el sistema

Despejamos la en la primera ecuación

Sustituimos en la segunda ecuación (borramos la , escribimos un paréntesis y en su interior la expresión algebraica equivalente a )

De este modo obtenemos la ecuación de una incógnita que pasamos a resolver:

Una vez hallada la incógnita , sustituimos el valor obtenido donde está la despejada:


a) Resolvemos despejando en la segunda ecuación:

b) Resolvemos despejando en la primera ecuación

c) Resolvemos despejando en la primera ecuación

a) b) c)

Resuelve los siguientes sistemas por sustitución


A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación de una sola incógnita, y lo hará con dos sencillos pasos:1. Despejar la MISMA incógnita en las DOS ecuaciones.

Esto significa que seleccionaremos la incógnita que se va a despejar: o bien se despeja la en las dos ecuaciones, o bien se despeja la en las dos ecuaciones.

2. Igualar ambas expresiones algebraicas.Si hubiéramos despejado la en las dos ecuaciones, tendríamos dos igualdades de la forma:

y Y lo que se hace es igualar los segundos miembros, ya que la incógnita tiene el mismo valor en las dos ecuaciones.Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos expresiones donde esté la otra incógnita despejada para hallarla.Lo vemos con un ejemplo.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: IGUALACIÓN

En el sistema:

Lo más fácil es despejar en las dos ecuaciones. Siempre evitaremos en la medida de lo posible despejar alguna incógnita que tenga coeficientes negativos.

Igualamos los resultados anteriores puesto que el valor de debe ser el mismo en las dos ecuaciones. De este modo:

Como en las veces anteriores, una vez hallado el valor de una incógnita, sustituimos donde más fácil nos resulte para hallar la otra incógnita:


a) Resolvemos despejando en las dos ecuaciones:

b) Resolvemos despejando en las dos ecuaciones:

c) Resolvemos despejando en las dos ecuaciones:

a) b) c)

Resuelve los siguientes sistemas por igualación


A partir del sistema, este método de resolución tratará de encontrar una ecuación de una sola incógnita operando las dos ecuaciones.

Se aplicarán las dos últimas reglas de equivalencia de sistemas:

1. Se multiplicará una ecuación (o las dos) por un número.

Buscamos que una incógnita tenga, en las dos ecuaciones, el mismo coeficiente, pero de signos contrarios.

2. A continuación se sumarán las ecuaciones miembro a miembro.

La meta es obtener un sistema equivalente cambiando una de las ecuaciones por la suma de ambas de manera que ésta última ecuación tenga una sola incógnita.

Una vez resuelta la primera incógnita, se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones de partida para hallar la otra incógnita.

Lo vemos con un ejemplo.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS: REDUCCIÓN

⇒𝑥−2 · (−3 )=8⇒𝑥=213 𝑦=−39⇒ 𝑦=−3

En el sistema

Vamos a intentar eliminar la incógnita , para lo que multiplicamos la primera ecuación por y sumamos:

Vemos que el sistema resultante tiene una ecuación de una sola incógnita. Resolvemos primero esta ecuación y a continuación la otra:


Para la segunda reducción hemos multiplicado por 3 la primera ecuación, que es el coeficiente de , (la incógnita que queremos eliminar), en la segunda ecuación; y por 2 la segunda ecuación, que es el coeficiente de en la primera ecuación.

Como en el sistema original los coeficientes de ya tenían distinto signo en las dos ecuaciones, no ha sido necesario cambiar de signo ninguno de ellos.

Por lo general, las soluciones de un sistema las daremos de la forma

{3𝑥−6 𝑦=2410 𝑥+6 𝑦=213 𝑥=26

⇒13 𝑥=26⇒𝑥=2×2→

×3→{ 𝑥−2 𝑦=8

5 𝑥+3 𝑦=1

2ª Reducción:

{−5𝑥+10 𝑦=−405 𝑥+3 𝑦=113 𝑦=−39

⇒13 𝑦=−39⇒ 𝑦=−3

× (−5 )→{ 𝑥−2 𝑦=8

5 𝑥+3 𝑦=1

1ª Reducción:

Una variante de este método se llama Doble Reducción y consiste en hacer dos reducciones: una para eliminar la incógnita y otra para eliminar la incógnita


a) Sumamos directamente las ecuaciones para eliminar :

b) Multiplicamos la primera ecuación por

c) Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por

a) b) c)

Resuelve los siguientes sistemas por reducción


+−72 𝑥+81 𝑦=−84672𝑥+160 𝑦=−664+241 𝑦=−1510 ⇒𝑦=

−1510241 ⇒8 𝑥+

13590241 =94⇒ 𝑥=

90641928⇒ { 𝑥=

90641928

𝑦=−1510241

Resolvemos el sistema por reducción, multiplicando la primera ecuación por y la segunda ecuación por

Operamos cada ecuación, para simplificarla:

Resuelve el sistema por el método que más te guste:

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS

Si al resolver un sistema, por cualquiera de los tres métodos, obtenemos:

• Una ecuación del tipo siendo un número distinto de cero:

Deducimos que puedo obtener una única solución para , lo que me lleva a una única solución para , y por tanto a una única solución del sistema. Entonces el sistema es compatible determinado.

• Una ecuación del tipo :

Deducimos que puede tomar cualquier valor. Hay infinitas posibilidades para la incógnita que me llevan a infinitas posibilidades para la incógnita , y por tanto el sistema tendrá infinitas soluciones. El sistema es compatible indeterminado.

• Una ecuación del tipo , siendo un número distinto de cero:

Deducimos que no existe ningún valor de que verifique la ecuación. Al no haber valores posibles para , tampoco habrá valores posibles para , y por tanto el sistema no tendrá solución. El sistema es incompatible.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS

⇒El sistema es compatible indeterminado+−12 𝑥+24 𝑦=−1212𝑥−24 𝑦=120 𝑦=0

c) Resolvemos por Reducción, multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 4:

⇒El sistema es incompatible+ 6 𝑥−12 𝑦=18−6 𝑥+12 𝑦=−14

0 𝑦=4

b) Resolvemos por Reducción, multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por :

a) Resolvemos por sustitución, despejando en la segunda ecuación:

a) b) c)

Resuelve los sistemas y clasifícalos.

RESOLUCIÓN Y CLASIFICACIÓN

Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema en el que hay, al menos, una ecuación que no es lineal• Bien porque haya al menos una ecuación de grado superior a uno:

• Bien porque haya al menos una ecuación racional:

• Bien porque haya al menos una ecuación irracional:

El método recomendado para resolver este tipo de sistemas es el de sustitución, despejando en la ecuación lineal (la ecuación “fácil”) y sustituyendo en la ecuación no lineal (la ecuación “difícil”)

SISTEMAS NO LINEALES

Resolvemos el primero de los sistemas no lineales anteriores:

Despejando en la primera ecuación

Y sustituyendo en la segunda ecuación

Este sistema tiene dos soluciones, y , y las dos son válidas.


Resolvemos el segundo de los sistemas no lineales anteriores:

Despejando en la primera ecuación


Quitamos denominadores multiplicando por el

Este sistema también tiene dos soluciones, y las dos son validas porque no anulan los denominadores


Resolvemos el tercero de los sistemas no lineales anteriores:

Despejando en la primera ecuación.


Estas son las posibles soluciones de la ecuación irracional. Debemos comprobar si efectivamente lo son: es cierto. es solución. no es cierto. no es solución.Hallamos para la única solución válida de :

La solución del sistema es


Se podría dar el caso de que un sistema no lineal tuviera todas las ecuaciones no lineales:

En ese caso, se podría intentar resolver por reducción, Multiplicando la segunda ecuación por y sumando miembro a miembro

Observamos que el sistema tiene cuatro soluciones

Gráficamente, el sistema y sus soluciones sería


a) Resolvemos despejando en la segunda ecuación:

b) Resolvemos despejando en la primera ecuación

c) Resolvemos despejando en la segunda ecuación

a) b) c)

Resuelve los siguientes sistemas no lineales


Son sistemas en los que las ecuaciones que los forman son exponenciales. Existen dos maneras principales de resolver estos sistemas:

1. En algunos sistemas intentaremos aplicar propiedades de potencias para eliminar las expresiones exponenciales, al igual que se hacía en las ecuaciones exponenciales; para obtener un sistema más sencillo.

2. Si no podemos eliminar las expresiones exponenciales, buscaremos un cambio de variable sencillo.

En este caso no debemos olvidar deshacer el cambio de variable al final.

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

a) En el primer sistema aplicamos propiedades de potencias:

Resolviendo el sistema lineal se tiene la solución b) Hacemos un cambio de variable:

Resolviendo el sistema lineal se tiene la solución y deshaciendo el cambio de variable:

a) b)

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES

Son sistemas en los que las ecuaciones que los forman son logarítmicas. Existen dos maneras principales de resolver estos sistemas:

1. En algunos sistemas intentaremos aplicar propiedades de logaritmos para eliminar las expresiones logarítmicas, al igual que se hacía en las ecuaciones logarítmicas; para obtener un sistema más sencillo.

2. Si no podemos eliminar las expresiones logarítmicas, buscaremos un cambio de variable sencillo.

En este caso no debemos olvidar deshacer el cambio de variable al final.

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

a) En el primer sistema aplicamos un cambio de variable:

Resolviendo y deshaciendo el cambio de variable

b) En el segundo aplicamos propiedades del logaritmo:

Resolviendo el sistema se tiene las soluciones y

a) b)

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Se trata de sistemas de la forma

Los resolveremos mediante el método de Gauss, que consiste en ir haciendo reducciones, sucesivamente, para que nos quede un sistema de la forma:

A un sistema de esta forma lo vamos a llamar sistema triangular.Para lograrlo• tomaremos la primera ecuación, que dejaremos igual a lo largo de todo el

proceso y haremos reducciones para eliminar la incógnita tanto en la segunda como en la tercera ecuación

• A continuación tomaremos la segunda ecuación y haremos una reducción más para eliminar la incógnita en la tercera ecuación.

SISTEMAS LINEALES DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

Ahora resolvemos de abajo hacia arriba y se tiene , y

⇒ { 𝑥+𝑦−𝑧=1− 𝑦+2 𝑧=−4−2 𝑦+7 𝑧=−5

⇔ { 𝑥+𝑦−𝑧=1−𝑦+2𝑧=−43𝑧=3

(−2 ) ·𝐸2

𝐸3

❑ ⇒2 𝑦−4 𝑧=8−2 𝑦+7 𝑧=−5

+3𝑧=3

Tenemos el sistema equivalente

Eliminamos la incógnita en la tercera ecuación:

(−5 ) ·𝐸1

𝐸3

❑ ⇒−5 𝑥−5 𝑦+5 𝑧=−55 𝑥+3 𝑦 +2𝑧=0−2 𝑦+7 𝑧=−5

(−3 ) ·𝐸1

𝐸2

❑ ⇒−3𝑥−3 𝑦+3 𝑧=−33 𝑥+2 𝑦−𝑧=−1− 𝑦+2 𝑧=−4

En el sistema

Eliminamos la incógnita en la segunda y en la tercera ecuación:


Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede ser:• Compatible determinado, si tiene solución única

Reconoceremos este caso si la última ecuación queda de la forma

Tendremos una única solución para , y así, una única solución del sistema.• Compatible indeterminado, si tiene infinitas soluciones


Tendremos infinitas soluciones para , y así, infinitas soluciones del sistema.• Incompatible, si no tiene solución.


Tendremos que no hay solución para , y así, ninguna solución para el sistema.En el caso de que un sistema fuera compatible indeterminado, habría que poner

todas las incógnitas en términos de un parámetro.


El sistema es compatible indeterminado y será , y

⇒ { 𝑥+ 𝑦−𝑧=1− 𝑦+2 𝑧=−4− 𝑦+2 𝑧=−4

⇔ { 𝑥+𝑦−𝑧=1− 𝑦+2𝑧=−40 𝑧=0

(−1 ) ·𝐸2

𝐸3

❑ ⇒𝑦−2 𝑧=4−𝑦+2𝑧=−4

+0 𝑧=0

Tenemos el sistema equivalente

Eliminamos la incógnita en la tercera ecuación:

(−4 ) ·𝐸1

𝐸3

❑ ⇒−4 𝑥−4 𝑦+4 𝑧=−45 𝑥+3 𝑦−2 𝑧=0− 𝑦+2𝑧=−4

(−3 ) ·𝐸1

𝐸2

❑ ⇒−3𝑥−3 𝑦+3 𝑧=−33 𝑥+2 𝑦−𝑧=−1− 𝑦+2 𝑧=−4

En el sistema

Eliminamos la incógnita en la segunda y en la tercera ecuación:


𝑦+𝑡=1⇒ 𝑦=1− 𝑡𝑧=𝑡Sistema

compatible indeterminado {𝑥−2 𝑦+𝑧=5

𝑥− 𝑦+2𝑧=6−𝑥+3 𝑦=−4

⇔ {𝑥−2 𝑦+𝑧=5𝑦+𝑧=10 𝑧=0

c) Al triangular el sistema tenemos:

Sistema incompatible (Sin solución) { 𝑥+𝑦+𝑧=6

3 𝑥+2 𝑦+𝑧=114 𝑥+3 𝑦+2 𝑧=6

⇔ {𝑥+𝑦+𝑧=6𝑦+2 𝑧=70 𝑧=11

b) Al triangular el sistema tenemos:

{𝑥=1𝑦=3𝑧=2

Sistema compatible

determinado{ 𝑥+𝑦+𝑧=63 𝑥+2 𝑦+𝑧=112𝑥+2 𝑦−𝑧=6

⇔{𝑥+𝑦+𝑧=6𝑦+2𝑧=73 𝑧=6

a) Al triangular el sistema tenemos:

a) b) c)

Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas:


Para resolver un problema con un sistema de ecuaciones debemos:

• Leer atentamente el problema y fijarnos en qué datos nos da el problema y qué datos nos pide.

• Fijar qué es lo que van a significar las incógnitas del problema. Si es posible, esto último lo escribiremos con una frase completa para cada incógnita.

• A continuación leeremos de nuevo el problema fijándonos en las relaciones de lo que son nuestras incógnitas con el resto de los datos del problema. A partir de esta nueva lectura intentaremos plantear las ecuaciones del sistema.

• Resolveremos el sistema de ecuaciones.

• El último paso será interpretar la solución, intentando responder a la pregunta que nos hace el problema. Puesto que la pregunta está redactada en lenguaje ordinario, la respuesta la daremos también en lenguaje ordinario, no en lenguaje matemático.

PROBLEMAS

Algunos de los problemas que resolveremos son:

• Problemas de sistemas lineales. Problemas de números. Problemas de edades. Problemas de mezclas. Problemas de móviles. Problemas con figuras geométricas.

• Problemas de sistemas no lineales. Problemas de números. Problemas con figuras geométricas.

• Problemas de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Problemas seleccionados de diversas pruebas de acceso a la universidad.

PROBLEMAS

Llamaremos al número de coches, e al número de motos.Podemos plantear el sistema.

Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene En el garaje hay 9 coches y 3 motos

Otros problemas similares a este pueden ser• En un almacén hay lámparas de 3 y 4 bombillas. En total existen 80 lámparas y

290 bombillas. ¿Cuántas lámparas de cada clase hay en el almacén?• En una empresa de envasado de agua se han envasado 25000 litros de agua en

8000 botellas de 2 y 5 litros. ¿Cuántas botellas de cada clase han utilizado?También se pueden cambiar los coches y las motos por cabras y gallinas, cambiando las ruedas por las patas,…

En un garaje hay coches y motos. En total se cuentan 12 vehículos y 42 ruedas. ¿Cuántos vehículos hay de cada?

PROBLEMASDE SISTEMAS LINEALES

Llamaremos al número de respuestas acertadas, e al número de fallos.

Podemos plantear el sistema.

Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene

Se han acertado 9 y se han fallado 11 preguntas

Otro problema similar a este puede ser

• En un puesto de tiro al blanco en una feria, un feriante ofrece 5 euros por cada acierto y cobra 3 euros por cada fallo. Si tras 16 tiros, el concursante ni gana ni pierde, ¿cuántos tiros acierta y cuántos falla?

En un test de preguntas, por cada respuesta acertada se suman 3 puntos y por cada respuesta errónea o no contestada se resta 1 punto. Si el test tiene 20 preguntas y se han obtenido 16 puntos, ¿cuántas respuestas se han acertado?


Llamaremos al precio del kilo de naranjas, e al precio del kilo de manzanas.Podemos plantear el sistema.

Se resuelve el sistema por cualquiera de los tres métodos, y se tiene El kilo de naranjas cuesta a 0,80€ y el kilo de manzanas cuesta a 0,60€

Otro problema similar a este puede ser• Mario compra 3 DVD y 4 CD, y paga 100€; y Ana compra 4 DVD y 3 CD en la

misma tienda, y paga 110€. ¿Cuánto cuesta cada DVD y cada CD?• Un hotel ofrece dos tipos de alojamiento: por 2 noches y 6 comidas cobra 180€, y

por 5 noches y 5 comidas cobra 350€ ¿Cuánto cuesta cada noche y cada comida?

Al comprar en una frutería 4 kilos de naranjas y 2 kilos de manzanas, nos cobran 4,40€. A la semana siguiente se compran 3 kilos de naranjas y 4 kilos de manzanas y nos cobran 4,80€. ¿Cuánto cuesta el kilo de cada tipo de fruta?


Resolvemos el sistema por cualquiera de los tres métodos, (aunque pienso que el más sencillo es por sustitución, aprovechando que la incógnita ya está despejada en la primera ecuación), y tenemos la solución

Mi hermano tiene 17 años y yo tengo 31 años.

{ 𝑥=𝑦+143 (𝑦−10 )=𝑥−10

Edades Hoy Edades hace 10 años

Yo

Mi hermano

Llamaremos a mi edad actual e a la edad actual de mi hermano.Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:

Tengo 14 años más que mi hermano, y hace 10 años tenía exactamente el triple de su edad. ¿Cuáles son nuestras edades actuales?


Resolvemos el sistema como queramos, y tenemos la solución Mezclaremos 150 kilos de patatas a 0,40€/kg con 50 kilos de patatas a 0,20€/kg.

{ 𝑥+ 𝑦=2000,40 𝑥+0,20 𝑦=0,35 ·200

Kilos Precio total

Patatas a 0,40€/Kg



Llamaremos a los kilos de patatas a 0,40€ el kilo, e a los kilos de patatas a 0,20€ el kilo.Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:

Se tienen patatas a 0,40€ el kilo y patatas a 0,20€ el kilo y se desean mezclar para obtener 200 kg de patatas a 0,35€ el kilo. ¿Cuántos kilos debemos poner de cada?


Resolvemos el sistema por el método que más nos guste, y tendremos la solución

Los móviles se encuentran a 270 km de la ciudad A, al cabo de 3 horas.

{ 𝑥=90 𝑦570−𝑥=100 𝑦

Móvil A Velocidad Espacio Tiempo

Móvil B Velocidad Espacio Tiempo

Llamaremos a la distancia respecto de A a la que se encuentran, e al tiempo.Escribiremos los datos en una tabla, y con ello plantearemos el sistema:

Dos ciudades A y B están separadas 570 km. Sale de A una moto a 90 km/h y simultáneamente de B un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse y a qué distancia de A?


Resolvemos el sistema y tendremos la solución

La base mide 7 cm y la altura mide 3 cm.

{ 𝑥=𝑦+42 (𝑥+3 )+2 (𝑦+3 )=32

𝑦+3

𝑥+3𝑥𝑦

Llamaremos a la longitud de la base, e a la longitud de la altura.Como en todos los problemas que tengan relación con alguna figura geométrica, haremos un dibujo que nos guíe en el planteamiento:

En un rectángulo, la base es 4 cm más larga que la altura. Si alargáramos 3 cm a cada lado, entonces el perímetro sería de 32 cm. Halla las dimensiones del rectángulo.


Llamaremos e a los números buscados.Podemos plantear el sistema.

Resolvemos por sustitución, despejando en la primera ecuación

Hallamos el valor de para cada uno de los valores de

Y por tantoLos números buscados son el 5 y el 10

La suma de dos números es 15 y su producto es 50. Halla dichos números.

PROBLEMASDE SISTEMAS NO LINEALES

Llamaremos e a los números buscados.Podemos plantear el sistema.

Resolvemos por sustitución, despejando en la primera ecuación

Hallamos el valor de para cada uno de los valores de

Y por tantoLos números buscados son el 2 y el 3

La suma de dos números es cinco y la suma de sus inversos es . Halla dichos números.


5𝑥𝑦

Llamaremos a la mitad de la diagonal menor, ya que la relación la estableceremos con el Teorema de Pitágoras usando las mitades de las diagonales.Entonces la mitad de la diagonal mayor será .Tenemos el sistema.

Resolvemos por sustitución

Consideramos solo la solución positiva porque debe ser una distanciaTenemos además

Y por tantoLa diagonal menor será entonces y la diagonal mayor será

Calcula las diagonales de un rombo sabiendo que la diagonal mayor es el doble de la diagonal menor y que un lado del rombo mide 5 cm.


La compañía ha fabricado 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

⇒ {𝑥+𝑦+𝑧=400𝑦+3 𝑧=700𝑧=200

⇒{𝑥=100𝑦=100𝑧=200{ 𝑥+𝑦+ 𝑧=400

𝑥+ 𝑦+2 𝑧=6002𝑥+3 𝑦+5 𝑧=1500

Llamaremos al número de sillas, al número de mecedoras y al número de sofás. Planteamos el sistema:

Si la compañía tenía 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio y utilizó todas sus existencias, ¿Cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

Madera Plástico AluminioSilla 1 unidad 1 unidad 2 unidadesMecedora 1 unidad 1 unidad 3 unidadesSofá 1 unidad 2 unidades 5 unidades

Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás. Para la fabricación de estos tipos, se necesitó la utilización de unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la siguiente tabla

PROBLEMASDE SISTEMAS DE TRES ECUACIONES

Hay 12 naranjos, 6 limoneros y 4 membrillos.

⇒ {𝑥+𝑦+ 𝑧=224 𝑦+5 𝑧=4411 𝑧=44

⇒ {𝑥=12𝑦=6𝑧=4{ 𝑥+ 𝑦+𝑧=22

−2 𝑥+2 𝑦+3 𝑧=0𝑥−2 𝑦=0

Llamaremos al número de naranjos, al número de limoneros y al número de membrillos. Planteamos el sistema:

En un jardín hay 22 árboles entre naranjos, limoneros y membrillos. El doble del número de limoneros más el triple del número de membrillos, es igual al doble del número de naranjos. Si además se sabe que el número de naranjos es el doble del de los limoneros, ¿cuántos árboles hay de cada tipo?


Alguno de los tres días nos han presentado una cuenta incorrecta

Sistema incompatible (Sin solución)

⇒ {𝑥+2 𝑦+4 𝑧=20,404 𝑦+16 𝑧=55,200 𝑧=7,20

⇒{𝑥+2 𝑦+4 𝑧=20,404 𝑥+4 𝑦=26,40𝑦+4 𝑧=15,60

Llamaremos al precio de la copa de la casa, al precio de la horchata y al precio del batido. Planteamos el sistema:

En una heladería, por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos, le cobran 20,40€. un día. Otro día, por cuatro copas de la casa y cuatro horchatas, le cobran 26,40€. y, un tercer día, le piden 15,60€. por una horchata y cuatro batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta?


En la empresa A se invierte un millón de Euros, en la empresa B se invierte medio millón de Euros y en la empresa C se invierte medio millón de Euros.

⇒ {𝑥+𝑦+𝑧=23 𝑦+ 𝑧=24 𝑧=2

⇒ { 𝑥=1𝑦=0,5𝑧=0,5{ 𝑥+ 𝑦+𝑧=2

𝑥−2 𝑦=01,1𝑥+1,3 𝑦+0,9 𝑧=2,2

Llamaremos al dinero invertido en la empresa A, al dinero invertido en la empresa B y al dinero invertido en la empresa C. Planteamos el sistema:

Un banco ha invertido 2 millones de euros en tres empresas diferentes, A, B y C. Lo que invierte en A es el doble de lo invertido en B. Al cabo de un año, la rentabilidad de la operación ha sido del 10%. Las acciones de la empresa A han aumentado su valor en un 10% y las de B en un 30%. Si las acciones de la empresa C han perdido un 10% de su valor, ¿puedes calcular la cantidad que se había invertido en cada empresa?


La novela se vendió a 24€, el libro de poesía a 20€ y el libro de cuentos a 12€.

⇒ {20 𝑥+10 𝑦+15 𝑧=86010 𝑦+55𝑧=86043 𝑧=516

⇒ {𝑥=24𝑦=20𝑧=12{200 𝑥+100 𝑦+150 𝑧=8600

𝑥−2 𝑧=0𝑥−3 𝑦+3𝑧=0

Llamaremos al precio de la novela, al precio del libro de poesía y al precio del cuento. Planteamos el sistema:

En una librería hubo la semana pasada una promoción de tres libros: una novela, un libro de poesía y un cuento. Se vendieron 200 ejemplares de la novela, 100 de poesía y 150 cuentos. Sabiendo que la librería ingresó por dicha promoción 8600 euros, que el precio de un ejemplar de novela es el doble que el de un cuento y que el triple de la diferencia entre el precio del ejemplar de poesía y del cuento es igual al precio de una novela, determina el precio al que se vendió cada libro.


Hay 15 atletas de categoría infantil, 29 atletas de categoría cadetey 6 atletas en categoría juvenil

⇒ {𝑥+𝑦+𝑧=503 𝑦 +2𝑧=9917 𝑧=102

⇒ {𝑥=15𝑦=29𝑧=6{𝑥+𝑦+𝑧=50

2𝑥− 𝑦=12𝑥−5 𝑧=0

Llamaremos al número de atletas infantiles, al número de atletas cadetes y al número de atletas juveniles. Planteamos el sistema:

En una competición deportiva celebrada en un I.E.S. participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: Infantiles, Cadetes y Juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría.


sistemas de ecuaciones

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