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Sistemas de Control AvanzadoNotas de Aula

Juan Carlos Cutipa Luque

Departamento Académico de Ingeniería Electrónica

4 de junio, 2019

Introduccion Puntos de equilibrio Plano de fase Funciones descriptivas Estabilidad de Lyapunov Ejercicios

Contenido

Contenidos:

1 Introducción.

2 Puntos de Equilibrio.

3 Planos de Fase y Funciones Descriptivas.

4 Teoremas de Estabilidad de Lyapunov.

5 Control Backstepping.

6 Control MRAC.

El objetivo del curso es introducir conceptos relacionados al control desistemas no lineales mediante el uso de técnicas de control avanzado

Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


Introducción

Control Avanzado

El control avanzado viene siendo aplicado en diversos campos como en losinformáticos, robóticos, industriales, económicos, biomecánicos, neurocog-nitivos, etc.

Ver aplicaciones:Exoesqueleto: https://www.youtube.com/watch?v=pLmPqRFMQtADemostración de control:https://www.youtube.com/watch?v=j4OmVLc_oDw


https://www.youtube.com/watch?v=pLmPqRFMQtA

https://www.youtube.com/watch?v=j4OmVLc_oDw


Representación en Espacio de Estados

Para el desarrollo de sistemas de control es necesario el conocimiento delespacio de estados del sistema. La gura muestra:

m: masa del resorte (Kg)

k: constante de rigidez (Kg/s2)

b: constante deamortiguamiento (Kg/s)

Figura: Sistemamasa-amortiguador-resorte

Aplicando la segunda ley de Newton ΣF = ma se obtiene

mx = F − kx− bx, (1)



Representación en espacio de estados

Realizando las transformaciones de variables siguientes:

x1 = x (2)

x2 = x (3)

Se llega a expresar el sistema como:

x1 = x2 (4)

x2 =−kmx1 −

b

mx2 +

1

mF (5)




Organizando (4) y (5) en forma matricial, se obtiene:[x1x2

]=

[0 1− k

m − bm

] [x1x2

]+

[01m

] [F]

(6)

x = Ax+Bu (7)

,Donde

x: Variable de estado o vector de estados,

u: Variable de control o vector de control,

x: derivada de la variable de estados,

A: matriz de estados,

B: matriz de entrada o de control.




Además se pueden obtener las salidas del sistema y. Por ejemplo, laposición del bloque x:[

y]

=[1 0

] [x1x2

]+[0] [F], (8)

y = Cx+Du, (9)

donde:

y: variable de salida o vector de salidas,C: matriz de salidas,D: matriz de transmisión directa.




Se puede extender esta representación para sistemas no linealesinvariantes en el tiempo:

x = f(x, u), (10)

y = g(x, u), (11)

donde f y g son funciones que dependen de x y u de forma explícita edependen intrínsecamente del tiempo. La representación de un sistemavariante en el tiempo sería:

x = f(x, u, t), (12)

y = g(x, u, t). (13)




Para ilustrar un sistema no lineal invariante en el tiempo, se presenta elsistema de un péndulo con fricción y no forzado (u = 0):

mlθ = −mgsenθ − klθ, (14)

donde:

m: masa del péndulo,

l: longitud del péndulo,

θ: ángulo de desplazamiento,

k: coeciente de fricción,

g: constante de gravedad.

Figura: Péndulo




El sistema se puede representar por la ecuación (10) como sigue:

x1 = x2, (15)

x2 = −glsenx1 −

k

mx2. (16)

Denición

Se denomina Sistema Autónomo a un sistema invariante en el tiempo, sealineal o no lineal. De otro lado el sistema es no autónomo o variante en eltiempo.



Puntos de Equilibro

Denición

Considere un sistema autónomo no forzado

x = f(x), f : D =⇒ IRn, (17)

donde D es un conjunto abierto y conectado de IRn. Se dice que xe es unpunto de equilibrio de (17) tal que:

f(xe) = 0. (18)



Puntos de Equlibrio

Denición

El punto de equilibrio x = xe del sistema (17) es denominado estable si ysolo si ε > 0,∃δ = δ(ε) > 0

||x(0)− xe|| < δ =⇒ ||x(t)− xe|| < ε ∀t ≥ t0,

En otro caso, el punto de equlibrio es denominado inestable.

En la gura se muestra un punto deequilibrio estable donde la norma||.|| entre x0 y xe recae en lacircunferencia de radio δ y en elfuturo t ≥ t0, la norma entre xt y xedebe permanecer dentro de lacircunferencia de radio ε.

Figura: Ejemplo de punto de equilibroestable



Puntos de Equilibrio

Denición

El punto de equilibrio xe es denominado convergente si y solo si existe unδ1 > 0 tal que:

||x(0)− xe|| < δ1 =⇒ lımt→∞

x(t) = xe

Denición

Un punto de equilibrio xe es denominado asintóticamente estable si cumplelas condiciones de estabilidad y convergencia




Ejemplo:

Considere el sistema masa-resorte-amortiguador en forma vertical y bajola acción de la gravedad, como se muestra en la gura:

De las ecuaciones físicas se obtienela expresión:

my + by + ky = mg (19)

La ecuación (19) se puede expresaren la forma de espacio de estados:

x1 = x2, (20)

x2 = − kmx1 −

b

mx2 + g (21) Figura: Sistema

massa-amortiguador-resorte vertical




Aplicando (18) se obtiene que el único punto de equilibrio xe = (mgk , 0).

Se traslada este punto al origen mediante:

z1 = x1 −mg

k, (22)

z2 = x2, (23)

y sus respectivas derivadas:z1 = x1, (24)

z2 = x2. (25)

De modo que el sistema representado por (20) y (21) queda como:

z1 = z2, (26)

z2 = − kmz1 −

b

mz2, (27)

Cuyos puntos de equilibrio ze recaen en el origen (z1, z2) = (0, 0)




Ejercicio:

Determine los puntos de equilibrio para el péndulo expresado por las ecua-ciones (15) y (16).



Plano de fase

El comportamiento de un sistema de segundo orden puede visualizarsemediante diagramas de plano de fase. En un sistema de segundo orden:

x1 = f1(x1, x2), (28)

x2 = f2(x1, x2), (29)

donde:

x1 y x2 son estados del sistema,

f1 y f2 son funciones no lineales.

La solución de este sistema x1(t) y x2(t) (dada una condición inicialx1(0) y x2(0)) forma una trayectoria que se puede representar en unplano de coordenadas x1 y x2, denominado trayectoria de plano de fase.



Plano de Fase

Ejemplo

Considere el sistema dinámico masa resorte con m=1 kg y k=1 kg/s:

x+ x = 0. (30)

La solución de la EDO es:

x1(t) = x1(0)cos(t), (31)

x2(t) = −x1(0)sen(t), (32)

Para una condición inicial (x(0), 0) yelevando al cuadrado las soluciones(31) y (32) se tiene:

x1(t)2 + x2(t)2 = x1(0)2. (33)

Figura: Sistema masa-resorte



Plano de Fase

Siendo un plano con coordenadas x1 y x2 que forma trayectoriascirculares de radio x1(0). A medida que la condición aumenta odisminuye lo hace también la trayectoria como se aprecia en la gura.

Figura: Trayectoria de Plano de Fase

Para este ejemplo, el método analítico consiste en eliminar la variable detiempo y expresar x1 y x2 en la relación:

g(x1, x2, c) = 0,

Donde c representa el efecto de la condición inicial.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation


Plano de Fase

Método de Isoclinas: la inclinación de las tangentes a la trayectoria delplano de fase puede ser determinada por:

dx2dx1

=f2(x1, x2)

f1(x1, x2). (34)

Una isoclina es denida en lugar de los puntos formados por dichastangentes a las trayectorias



Plano de Fase

Ejemplo

Para el sistema masa-resorte dibujer las isoclinas

x1 = x2x2 = −x1

=⇒ dx2

dx1= −x1

x2o α = −x1

x2,

Por tanto la ecuación de la isoclina con inclinación α es:

x1 + αx2 = 0.

En la gura se muestran 4 isoclinaspara α =∞, α = −1, α=0 y α = 1.Se asume que las inclinacionestangentes son localmenteconstantes.

Figura: Isoclinas



Plano de Fase

Método usando software computacional: es suciente realizar unalgoritmo de integración numérico Runge-Kutta y realizar simulacionespara diferentes condiciones iniciales. Luego plotear en el plano cartesianodichas trayectorias. Las funciones que usa MATLAB y Gnu Octave sonode45 y plot.



Plano de Fase

Plano de fase de sistemas lineales:Sea el sistema LIT:

x = Ax, A ∈ IR2x2

cuya solución está bien establecida:

x(t) = eAtx0.

Los autovalores de A brindan información respecto a las trayectorias defase

Autovalores λ1, λ2 Punto de equilibrioreal y negativo nodo establereal y positivo nodo inestable

real, signos opuestos sillacomplejo con parte real negativa foco establecomplejo con parte real positiva foco inestable

imaginario centro


Figura: Plano de fase de LIT.


Plano de Fase

Ejercicios

Determine la trayectoria del plano de fase e indique si el punto de equilibrioes foco, modo, silla o centro.

a)

A =

[−1 20 −2

]b)

A =

[1 30 2

]c)

A =

[−1 30 2

]

d)

A =

[−2 10 −2

]e)

A =

[0 −31 −0

]



Plano de Fase

Ciclo límite:Considere el oscilador van der Pol:

x− µ(1− x2)x+ x = 0, µ > 0

El plano de fase muestra que elsistema tiene un nodo inestable en elorigen. Las trayectorias tienden a lacurva cerrada lo que se conoce comoCiclo límite.

Estable si las trayectoriasconvergen hacia él.

Inestable si las trayectoriasdivergen de él.

Figura: Ciclo límite



Plano de Fase

Ejercicios

Usando software diseñe los planos de fase de (SLOTINE)

a)

x1 = x2 − x1(x21 + x22 − 1)

x2 = −x1 − x2(x21 + x22 − 1)

b)

x1 = x2 + x1(x21 + x22 − 1)

x2 = −x1 + x2(x21 + x22 − 1)

c)

x1 = x2 − x1(x21 + x22 − 1)2

x2 = −x1 − x2(x21 + x22 − 1)2



Plano de Fase

Caos: un sistema es considerado caótico si las trayectorias presentancomportamiento aperiódico y son bastantes sensibles a las condicionesiniciales.Comportamiento aperiódico: indica que las trayectorias no se orientan apuntos u órbitas jas. Sensibilidad: indica que muy pequeñas variacionesde las condiciones iniciales pueden llevar a trayectorias que se desvíanrápidamente y exponencialmente unas de otras.Ambas características de un sistema caótico se aprecian en el sistema deLorentz:

x = σ(y − x)

y = rx− y − xzz = xy − bz, σ, r, b > 0

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que el comportamientocaótico se da en sistemas de dimensión mayor a 3.



Funciones Descriptivas

Consideremos la representación de la ecuación de Vander P.L.

Figura: Diagrama de bloques de la ecuación de Vander P.L.

De la ecuación:

x+ αx2x− αx+ x = 0

x− αx+ x

α= −xx2 = v.




Se asume que existe un ciclo limite de amplitud A y frecuencia ω,además que la oscilación de la señal x es de la forma:

x(t) = Asenωt,

x(t) = Aωcosωt.

Por lo tanto la salida del bloque elemento no lineal es:

v = −xx2 = −AωcosωtA2sen2(ωt)

= −A3ω

2(1− cos(2ωt))cos(ωt)

= −A3ω

4(cos(ωt)− cos(3ωt))




El tercer armónico de v (cos(3ωt)) será atenuado por el elemento lineal.De manera que se puede aproximar:

v = −A3ω

4cosωt =

A2

4

d

dt−Asen(ωt) =

A2

4(−x),

v = N(A,ω)(−x).

Donde N(A,ω) es la función de aproximación y los bloques resultan:

Figura: Diagrama de bloques resultante




La ecuación característica del diagrama de bloques es:

1 +A2s

4.

α

s2 − αs+ 1= 0

y las entradas:

λ1,2 = −1

8α(A2 − 4)± j

√1

64α2(A2 − 4)2 − 1

El ciclo límite existe con una amplitud A=2 (ya que λ1,2 = ±j) y a unafrecuencia de ω=1 rad/s independientemente del parámetro α. N(A,ω)es llamada función descriptiva del elemento no lineal y será usado aseguir.




Las funciones descriptivas se aplican en un sistema de control real debidoa que existen componentes internos no lineales:

Figura: Diagrama de Bloques

En algunos casos, como el oscilador electrónico, el ciclo límite esdeseable. En la gran mayoría de casos es indeseable por:

1 Es camino a la inestabilidad y degrada el control.2 Dicha oscilación puede causar daño en los componentes físicos del

sistema de control.3 Puede causar efectos indeseables como desconfort en la tripulación

de una aeronave.Juan Carlos Cutipa Luque The power is in knowledge on robotics and automation



Saturación:

Figura: SaturaciónFigura: Saturación

v(t) =

kAsen(ωt), 0 ≤ ωt < γka, γ < ωt ≤ π/2

La función descriptiva es:

N(A) =2k

π

(sen−1

a

A+a

A

√1− a2

A2

).




Relay:

Figura: Relay

En el caso anterior con a −→ y, k −→∞ y ka = M . Por lo tanto lafunción descriptiva es:

N(A) =4M

πA




Zona Muerta:

Figura: Zona Muerta

Ancho de la zona muerta 2δ, inclinación de k A ≥ δ. Bajo esascondiciones la función descriptiva es:

N(A) =2k

π

(π

2− sen−1

(δ

A

)− δ

A

√1− δ2

A2

).




La función descriptiva es expresadaen amplitud y fase:

|N(A)| = 1

A

√a21 + b21

∠N(A) = tg−1(a1/b1),

Figura: Backlash

donde:

a1 =4kb

π

(b

A− 1

),

b1 =Ak

π

π2− sen−1

(2b

A− 1

)−(

2b

A− 1

)√1−

(2b

A− 1

)2 .




Extensión del criterio de Nyquist:Sea la ecuación característica de un sistema de control realimentado.

F (s) = 1 + L(s) = 0

Sea un contorno cerrado Γs en el plano que envuelve Z ceros y P polosde F (s) en sentido horario:

N = Z − P

Figura: Transformación de planos para evaluar el criterio de Nyquist

Podemos trasladar la envolvente del origen del plano F (s) para elenvolvente del punto -1 del plano L(s).




Ejemplo

Para el caso Z = 0 y P = 0 −→ N = 0 (No debería haber ningúnenvolvente)

.F (s) = 1 +KL(s) = 0. Donde K esconstante.

El gráco de Nyquist

L(s) = −1/KFigura: Diagrama de bloques

Figura: Gráco de Nyquist




Para el caso de la existencia del ciclo límite, se considera el diagramasiguiente:

Figura: Diagrama de bloques

F (s) = 1 +G(s)N(A,ω) = 0,

L(jω) = G(jω)N(A,ω),

G(jω) = − 1

N(A).




Para el caso de que N(A,ω) no depende de ω, o sea N(A) y

G(jω) = − 1

N(A,ω)

El ciclo límite se encuentra en la intersección de G(jω) y −1/N(A).





Criterio de ciclo límite

Cada punto de intersección entre las curvasG(jω) y−1/N(A) correspondea un ciclo límite. Si los puntos cercan las curvas G(jω) y a lo largo delincremento de A de la curva −1/N(A) no son envueltos por la curvaG(jω), entonces el ciclo límite es estable, de otro nodo es inestable.




Ejemplo

Determine la estabilidad, frecuencia y amplitud de oscilación del ciclo límite(si existe).

Figura: Diagrama de bloques

La función de aproximación es:

N(A) =4M

πA=

4

πA





Como la planta G(jω) tiene 3 polos, entonces:

− s− s+ 1− s+ 2 = −π

−π/2− tg−1ω − tg−1ω2

= −π

Donde ω = 1,41rad/s O sea, G(jω) cruza el eje real en ω=1.41rad/s. Laamplitud A equivale a la amplitud de −1/N(A).

|G(jω)|ω=1,41rad/s =1

N(A),

k(0,167) =1

4/πA,

de donde:

A =4

π0,167k.



Deniciones

Se presentan los teoremas de Lyapunov aplicados a sistemas autónomos.

Denición

Una función V : D −→ IR es llamada semidenida positiva en D si cumplelas condiciones:

1) 0 ∈ D y V (0) = 0,

2) V (x) ≥ 0, ∀x en D − 0.V : D −→ IR es llamada denida positiva en D si la condición es reem-plazada y cumplida.

2') V (x)>0 en D − 0.

Denición

Una función V : D −→ IR es llamada semi-denida negativa si −V cum-ple la denición anterior y es llamada denida negativa si −V cumple lacondición (2').



Estabilidad de Lyapunov

Ejemplo

Sea la función V (x) = 12x

21 + 1

2x22, IR −→ IR2:

Cumple (1) ya que V (0) = 12 (0)2 + 1

2 (0)2 = 0 y cumple (2) ya queV (x) > 0,∀x en D − 0. Por lo tanto es denida positiva.

Ejemplo

Sea la función V (x) = 12x

22, IR −→ IR2:

Cumple (1) ya que V (0) = 0, sin embargo para (2, 0) ∈ D − 0V (x) = 0. Es decir V (x) ≥ 0,∀x en D − 0. Por tanto, V (x) essemi-denida positiva.



Estabilidad de Lyapunov

Teorema 1

Sea x = 0 un punto de equilibrio del sistema x = f(x),f : D −→ IRn ysea V : D −→ IR una función continua y diferenciable, tal que:

1) V (0) = 0,

2) V (x) > 0 en D − 0,3) V (x) ≤ 0 en D − 0,En esas condiciones x = 0 es estable.

Teorema 2 :(Estabilidad Asintótica)

Sobre las condiciones del teorema (1) y si V (0) es tal que :

1) V (0) = 0,

2) V (x) > 0 en D − 0;3) V (x) < 0 en D − 0,En esas condiciones x = 0 es estable asintóticamente.



Teorema de Estabilidad de Lyapunov

Denición

Sea V : D −→ IR una función continua y diferenciable. V (x) es llamadaradialmente ilimitada si.

V (x) −→∞⇐⇒ ||x|| −→ ∞

Teorema 3: (Estabilidad Asintótica Global)

Sobre las condiciones del teorema (1) y si V (x) cumple:

1) V (0) = 0,

2) V (x) > 0 ∀x 6= 0,

3) V (x) es radialmente ilimitado,

4) V (x) < 0 ∀x 6= 0,

Entonces, x = 0 es estable asintóticamente y globalmente.



Linealización Entrada-Estado

Para el sistema:x(n) = f(x) + b(x)u,

la linealización por realimentación es dada por:

u =1

b(x)(v − f(x)),

con:v = −k0x− k1x− ...− kn−1x(n−1),

El polinomio en el dominio de Laplace (p)

pn + kn−1pn−1 + ...+ k0,

debe tener sus raíces en el semiplano izquierdo de p.Para el Problema de tracking:

v = x(n)d − k0e− k2e− ...− kn−1e(n−1)

e(t) = x(t)− xd(t).




El método de linealización entrada-estado resuelve el problema delcontrol en 2 pasos:

1 Realiza la transformación Z = Z(x) en los estados y latransformación en el control u = u(x, v). El nuevo sistema sea LTIen la forma z = Az +Bv.

2 Usar las técnicas lineales para proyectar v (ejm. alocación de polos)

.Ejemplo

Proyecte un controlador para el sistema:

x1 = −2x1 + ax2 + senx1,

x2 = −x2cosx1 + ucos(2x1)




Consideramos el siguiente cambio de variable (transformación):

z1 = x1,

z2 = ax2 + senx1

Luego el sistema transformado queda en la forma:

z1 = −2z1 + z2,

z2 = −2z1 cos z1 + cos z1 sen z1 + au cos(2z1).

Aplicamos linealización por realimentación (transformación):

u =1

acos(2z1)(v − cos z1 senz1 + 2z1 cos z1).




Luego el sistema transformado queda en la forma:

z1 = −2z1 + z2,

z2 = v.(35)

El sistema es LTI y de segundo orden. Por lo tanto una ley de controlsimple:

v = −k1z1 − k2z2,

Puede resolver el problema. Por ejemplo, si v = −2z2, el sistemacontrolado queda:

z1 = −2z1 + z2,

z2 = −2z2.

Los polos son localizados en -2, garantizando la estabilidad yconvergencia de z1 y z2.




Escribamos v en relación a x1 y x2 (estados originales):

v = −2(ax2 + senx1).

Escribamos u en relación a los dos estados originales:

u =1

acos2x1(−2ax2 − 2senx1︸︷︷︸

v

−cosx1senx1 + 2x1cosx1).



Linealización por Realimentación

Para generalizar este método se procede a usar herramientasmatemáticas: derivada de Lie y corchete de Lie:Sea una función escalar h(x) y un campo vectorial f(x), se dene unafunción escalar Lfh como derivada de Lie de h con respecto de f :

Denición (derivada de Lie)

Sea h : IRn −→ IR y f : IRn −→ IRLfh = 5hfLas derivadas Lie repetidas se denen como sigue:

L0fh = h,

Ljfh = Lf (Li−1

f h) = 5(Li−1f h)f i = 1, 2, ..




Denición (corchete de Lie

Sean f y g dos campos vectoriales de IRn −→ IRn. El corchete de Lie def y g es un tensor campo vectorial denido por:

[f, g] = 5gf −5fg = adfg,

También denominado como adjunta. Los corchetes Lie repetidos son:

ad0fg = g,

adifg = [f, adi−1f g] i = 1, 2...




Propiedades:

1 Bilinealidad:

[α1f1 + α2f2, g] = α1[f1, g] + α2[f2, g],

[f, α1g1 + α2g2] = α1[f, g1] + α2[f, g2]

2 Conmutatividad Slip[f, g] = −[g, f ]

3 Identidad Jacobi

Ladfgh = LfLgh− LgLfh

Para las demostraciones, ver referencia (SLOTINE).




Difeomorsmo:Denición

Una función φ : IRn −→ IRn, denida en una región Ω, es llamada endifeomorsmo si esta es suavizada y existe su inversa Ω−1 y también essuavizada.Si Ω es todo el espacio IRn, entonces φ es un difeomorsmo global.

Lema

Sea φ(x) una función suavizada denida en Ω ⊂ IRn. Si la matriz Jaco-biana 5φ es no singular en el punto x = x0 de Ω, entonces φ(x) es undifeomorsmo local en la subregión de Ω.




Denición

Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1, f2, ..., fm] en IRn esllamado completamente integrable si y solo si hay funciones escalares n−mfunciones escalares h1(x), h2(x), ..., hn−m(x) satisfaciendo las ecuacionesdiferenciales parciales:

5hifj = 0,

donde 1 ≥ i ≥ n −m, 1 ≥ j ≥ m y los gradientes 5hj son linealmenteindependientes




Denición

Un conjunto de campos vectoriales independientes [f1, f2, ..., fm] es lla-mado involutivo si y solo si hay funciones escalares αijk : IRn −→ IR talque:

[fi, fj ](x) =

m∑k=1

αijk(x)fk(x) ∀i, j

Involutividad implica que se forma si uno forma los corchetes de Lie dealgún par de los campos vectoriales [f1, f2, ..., fm], entonces el campovectorial resultante se puede representar como una combinación lineal delos campos vectoriales originales.




Teorema:(Frobenius)

Sea [f1, f2, ..., fm] un conjunto de campos vectoriales linealmente inde-pendientes. El conjunto es completamente integrable si y solo si este esinvolutivo.

Condiciones para linealización entrada-estado:

Teorema

El sistema x = f(x) es linealizable en entrada-estado si y solo si existeuna región Ω tal que las siguientes condiciones sean mantenidas:

1 [g, adfg, ..., adfn−1g] son linealmente independientes en Ω.

2 [g, adfg, ..., adfn−2g] es involutivo en Ω.

(1) es interpretada como condición de controlabilidad en sistemas nolineales y (2) es una condición totalmente satisfecha para sistemaslineales, pero no es garantizada generalmente en sistemas no lineales.




Procedimiento para realizar la linealización entrada-estado:

1 Construir los campos vectoriales [g1adfg, ..., adn−1f g].

2 Vericar las condiciones de controlabilidad e involutividad.

3 Encontrar el primer estado z1:

5z1adifg = 0 i = 0, ..., n− 2

5z1adn−1f g 6= 0.

4 Calcule la transformación de estados z(x) = [z, Lfz1, ...Ln−1f z1]T y

la transformación de entrada:

α(x) = −Lnf z1

LgLn−1f z1

, β(x) =1

LgLn−1f z1

u = α(x) + β(x)v.




Ejemplo

Considere el manipulador con junta exible e ignorando efectos de amor-tiguamiento, las ecuaciones de movimiento son:

Iq1 +MgLsenq1 + k(q1 − q2) = 0,

J q2 + k(q2 − q1) = u

Figura: Manipulador




Es un sistema de 4to orden por lo tanto:

x1 = q1, x2 = q1, x3 = q2, x4 = q2

Resulta en:

x1 = x2,

x2 = −MgL

Isen(x1)− k

I(x1 − x3),

x3 = x4,

x4 =k

J(x1 − x3) +

1

Ju.

El sistema de la forma:

x = f(x) + g(x)u,




donde:

f(x) =

x2

−MgLI sen(x1)− k

I (x1 − x3)x4

kJ (x1 − x3)

, g(x) =

000

1/J

Para cumplir las condiciones de linealización entrada-estado es necesariocomprobar que:

rank[g, adfg, ad2fg, ad

3fg] = 4

Y que el conjunto:[g, adfg, ad

2fg]

Sea involutivo.




Realizando el cálculo de las matrices:

[g, adfg, ad2fg, ad

3fg] =

0 0 0 k

IJ

0 0 kIJ 0

0 1J 0 − k

J2

1J 0 − k

J2 0

,Tiene un rango de 4 para k > 0, I, J <∞. Además desde que loscampos vectoriales [g, adfg, ad

2fg] son constantes, ellos forman un

conjunto para encontrar el estado z1.

5z1adifg = 0 i = 0, 1, 2 y 5 z1adn−1f g 6= 0,

Tarea: obtener la matriz de controlabilidad de manera analítica y usandosoftware simbólico (Matlab, Maple, o Gnu Octave).




Desarrollando las condiciones anteriores:[∂z1∂x1

,∂z1∂x2

,∂z1∂x3

,∂z1∂x4

] [0, 0, 0,

1

J

]= 0

∂z1/∂x4 = 0[∂z1∂x1

,∂z1∂x2

,∂z1∂x3

,∂z1∂x4

] [0, 0,

1

J, 0

]= 0

∂z1/∂x3 = 0[∂z1∂x1

,∂z1∂x2

,∂z1∂x3

,∂z1∂x4

] [0,

k

IJ, 0,− k

J2

]= 0

∂z1∂x2

k

IJ− ∂z1∂x4

k

J2= 0 =⇒ ∂z1

∂x2= 0[

∂z1∂x1

,∂z1∂x2

,∂z1∂x3

,∂z1∂x4

] [k

IJ, 0,− k

J2, 0

]6= 0

∂z1∂x1

k

IJ− ∂z1∂x3

k

J26= 0 =⇒ ∂z1

∂x16= 0




Una solución que atiende todas las relaciones anteriores es:

z1 = x1

Calculando la transformación de estadosz(x) = [z, Lfz1, L

2fz1, L

3fz1]T :

z1 = x1

z2 = Lfz1 = ∇z1f = [1, 0, 0, 0][x2,−MgL

Isen(x1)− k

I(x1 − x3), x4,

k

J(x1 − x3)] = x2




z3 = L2fz1 = LfLfz1 = ∇(z2)f =

[0, 1, 0, 0][x2,−MgL

Isen(x1)− k

I(x1 − x3), x4,

k

J(x1 − x3)] =

−MgL

Isen(x1)− k

I(x1 − x3)

z4 = L3fz1 = LfL

2fz1 = ∇(z3)f = [−MgL

Icosx1 −

k

I, 0,

k

I, 0]f =

−MgL

Ix2cos(x1)− k

I(x2 − x4).




Luego de acuerdo a la transformación:

u =1

Lgz4(c− Lfz4)

Lgz4 = ∇z4.g = [, , ,k

I][0, 0, 0,

1

J] =

k

IJ

Lfz4 = ∇z4f = [MgL

Ix2senx1,−

MgL

Icosx1 −

k

I, 0,

k

I]

[x2,−MgL

Isenx1 −

k

I(x1 − x3), x4,

k

J(x1 − x3)] =

MgL

Ix22senx1 +

M2g2L2

I2cosx1senx1 +

MgL

I

k

Icosx1(x1 − x3)

+MgL

I

k

Isenx1 +

k2

I2(x1 − x3) +

k2

IJ(x1 − x3)




Lfz4 =MgL

Isenx1(x22 +

MgL

Icosx1 +

k

I) +

k

I(x1 − x3)

(k

I− k

J+MgL

Icosx1)

De modo que el sistema trasnsformado es:

z1 = z2,

z2 = z3,

z3 = z4,

z1 = v.

Esta transformación es denida en todo el dominio. Por tanto, lalinealización entrada-estado es global.




Para el proyecto del controlador la dinámica linealizada puede serexpresada como:

z(4)1 = v,

y supongamos que deseamos que z1 acompañe un valor deseado zd1. Porlo tanto el error es:

z1 = z1 − zd1.

La ley de control:

v = z(4)d1 − a3z

(3)1 − a2 ¨z1 − a1 ˙z1 − a0z1

llevará la dinámica del error a cero:

z(4) − a3z(3)1 − a2 ¨z1 − a1 ˙z1 − a0z1 = 0,

Las constantes ai deben ser seleccionadas apropiadamente en relación alas especicaciones de desempeño.




Linealización entrada-salida:Consideremos un sistema de la forma:

x = f(x, u)

y = h(x)

La idea intuitiva consiste en encontrar una relación entre la salida y y laentrada u. Veamos el siguiente sistema como ejemplo.

x1 = senx2 + (x2 + 1)x3

x2 = x51 + x3

x3 = x21 + u

y = x1

Derivando y, o sea:

y = Lfh = [1, 0, 0][senx2 + (x2 + 1)x3, x51 + x3, x

21 + u]

= senx2 + (x2 + 1)x3




Derivando nuevamente hasta encontrar una relación entrada (u) salida(y):

y = L2fh = (cosx2 + x3)(x51 + x3) + (x2 + 1)(x22 + u)

y = f1(x) + (x2 + 1)u

Una linealización por realimentación con:

u =1

x2 + 1(v − f1(x))

Convierte el sistema en;y = v,

El diseño del controlador es simple considerando e = y − yd:

v = yd − k1e− k2e,

que lleva la dinámica del error al origen:

e+ k1e+ k2e = 0,



Control MRAC (Model-Reference Adaptative Control)

En estra estrategia los parámetros del controlador son variables.

Figura: Diagrama de Bloques control MRAC

Planta: contiene parámetros desconocidos.

Modelo de Referencia: contiene información sobre la respuestadeseada.

Controlador: contiene la ley de control con parámetros ajustables.

Ley de Adaptación: mecanismo para ajuste de parámetro a.




Ejemplo

Controlar un satélite cuya inercia es desconocida

JΘ = u

El modelo de referencia es:

Θm + λ1Θm + λ2Θm = λ2r(t)

Donde r(t) es la referencia y Θm es la salida del modelo de referencia, λ1y λ2 son elegidos de acuerdo a las especicaciones de desempeñodeseadas.




Si la inercia J es perfectamente conocida. La ley de control que garantizaun tracking perfecto es:

u = J(Θm − 2λ ˙Θ− λ2Θ)

Con Θ = Θ−Θm representando el error del tracking y λ un númeropositivo. La ley de control lleva a la dinámica del error a cero:

¨Θ + 2λ ˙Θ + λ2Θ = 0,

cuyos estados convergen exponencialmente al origen. Considerando lainercia desconocida, la ley de control resulta en:

u = J(Θm − 2λ ˙Θ− λ2Θ),

donde J es un parámetro ajustable.




Sustituyendo la ley de control en la dinámica del satélite se tiene:

Js+ λJs = −Jv, (36)

donde:

s = ˙Θ + λΘ

v = Θm − 2λ ˙Θ− λ2Θ

J = J − J

s es llamado error de tracking y es relacionado con el error del parámetroJ . Una forma de ajustar J es usando la ley:

˙J = −γvs

Donde γ es positivo y es llamado ganancia de adaptación. Usando estaley de adaptación el controlador es no lineal.




Prueba de la estabilidad y convergencia del controlador puede seranalizando la malla cerrada y la ley de adaptación. Consideremos lafunción de Lyapunov.

V =1

2

[Js2 +

1

γJ2

]Su derivada resulta en;

V = −λJs2

Usando el lema de Barbalat s converge a cero. Θ y ˙Θ tambien convergena cero.Lema: (Barbalat)

Si la función diferenciable f(t) tiene un límite nito para t −→ ∞ y si fes uniformemente continua entonces f(t) −→ 0 si t −→∞.




Lema de Barbalat para análisis de estabilidad:

Lema(SLOTINE)

Si una función escalar V (x, t) cumple las condiciones:

1 V (x, t) es limitada inferiormente.

2 V (x, t) es semi-denida negativa.

3 V (x, t) es uniformemente contínua.

Entonces V (x, t) −→ 0 para t −→∞

Además, V (x, t) alcanza un valor nito V∞ tal que V∞ ≤ V (x(0), 0).




Ejemplo (Lema de Barbalat)

Sea la dinámica de lazo cerrado del error de un sistema de control de primerorden:

e = −e+ θω(t)

θ = −eω(t)

Donde e y θ son los dos estados de la dinámica en lazo cerrado, error detracking y el error de parámetro. ω(t) es una función continua limitada.Considere la función de Lyapunov V = e2 + θ2 y su derivadaV = −2e2 ≤ 0 semi-denida negativa. Esto implica que V∞ ≤ V (0) oV (t) ≤ V (0) y por lo tanto e y θ son limitados.




Derivando nuevamente V = −4e(−e+ θw) que también es limitadodesde que w es limitado, así como e y θ son también limitados. Si V eslimitado implica que V es uniformemente continua satisfaciendo la últimacondición del Lema de Barbalat.Aplicamos el Lema:

V = −2e2 −→ 0 para t −→∞.

Lo que indica que e −→ 0 cuando t −→∞.

Nota

Aunque e converge para 0, el sistema no es asintóticamente estable debidoa que solamente garantizamos la limitación de θ.



Control MRAC (Model-Reference Adaptative Control

Control Adaptativo de sistemas lineales con realimentación completa deestados:Considere el sistema lineal:

any(n) + an−1y

(n−1)...+ a0y = u, (37)

donde todos sus estados (y, y, ..., y(n−1)) sean medidos. Considere quelos coecientes son desconocidos a = [an, ..., a1, a0]T , pero el signo dean es asumido conocido. Un ejemplo de este tipo de sistema es el sistemamasa-resorte-amortiguador:

my + cy + ky = u, (38)

donde la posición y y la velocidad y pueden ser medidas a través desensores.




El modelo de referencia puede ser expresado como:

αny(n)m + αn−1y

(n−1)m ...+ α0ym = r(t),

donde r(t) es la señal de referencia y los demás coecientes sintonizados.Para proyectar la ley de control denimos la señal:

z(t) = y(n)n − βn−1e(n−1) − ...− β0e (39)

Con β1, ..., βn positivos tal que el polinomio pn + βn−1pn−1 + ...+ β0 es

Hurwitz. Adicionando anz a ambos lados de la ecuación de la dinámica(37) se obtiene:

an[y(n) − z] = u− anz − an−1yn−1 − ...− a0y (40)

Eligiendo una ley de control:

u = anz + an−1yn−1 + ...+ a0y = vT (t)a(t) (41)




Esto representa un controlador por alocación de polos denidos por loscoecientes βi. El error de tracking e = y − ym satisface la dinámica enlazo cerrado:

an[e(n) + βn−1en−1 + ...+ β0e] = vT (t)a(t)

donde:a = a− a.

Para elegir la ley de adaptación, reescribimos la dinámica del error en laforma:

x = Ax+ b[(1/an)vT a]

e = cx,




donde:

A =

0 1 0 ... 00 0 1 ... 0. . . ... 0. . . ... 00 0 0 ... 1−β0 −β1 −β2 ... −βn−1

, B =

00..01

C =

[1 0 ... 0 0

]Considerando la función de Lyapunov:

V (x, a) = xTPx+ aT Γ−1a,

donde P y Γ son matrices simétricas y denidas positivas, y P satisface:

PA+ATP = −Q Q = QT > 0




La derivada V puede ser obtenida :

V = −xTQx+ 2aT vbTPx+ 2aT Γ−1 ˙a

Por lo tanto la ley de adaptación es:

˙a = −ΓvbTPx, (42)

que lleva V = −xTQx.Se puede demostrar mediante el Lema de Barbalat que x converge. Por lotanto en la ley de adaptación y la ley de control, el error e y sus (n− 1)derivadas convergen a cero.



Ejercicios

1 Realizar un simulador de sistemas dinámicos de orden elevadoutilizando los métodos de integración numérica de Simulink o elODE45 en Gnu Octave.

2 Realizar un código en simbólico que permita obtener las derivadasde Lie, los corchetes de Lie, y la matriz de controlabilidad.

3 Reproducir la simulación del control MRAC de un navío.

4 Analizar la estabilidad de un péndulo simple usando el principio deinvariancia de la Salle (referencia de Horacio Márquez).

5 Averiguar que relación tiene el Teorema de Chetaev con losTeoremas de Lyapunov presentados.


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