Seminario de Diseo de Sistemas de Control en Tiempo Discreto

Sintona Emprica Ziegler Nichols

Funcin de Transferencia del Controlador PID

Modelo del Proceso

Considere el sistema de control de la Figura, cuyo proceso tiene la funcin de transferencia:

Problema 1

En el laboratorio de simulacin se encontraron los parmetros de la curva de reaccin:

Rediseo mediante Backward sTTz

zs 1.0,

1

s

sssPID

1.3

323.22.758.5)(

2

zz

zzzPID

961961

172983682819602)(

2

2

Disee un controlador proporcional para el sistema digital descrito por P(z) con un periodo de muestreo T=0.1s para obtener: a. Una frecuencia amortiguada de rad/seg b. Una constante de tiempo de seg c. Plotear las respuestas debido a una entrada escaln unitario

Problema 2

)5.0)(1(

1)(

zzzP

5d

5.0

Determinamos la ubicacin de los polos en lazo cerrado.

65.285.01.05 radTd

La constante de tiempo viene dado por:

n

1 segradn /2

5.0

1

El factor de amortiguamiento puede ser usado directamente en la ubicacin de los polos deseados.

Los resultados tambin pueden ser obtenidos analticamente usando la ecuacin caracterstica para los polos conjugados del sistema en lazo cerrado.

Determinamos la ubicacin de los polos en lazo cerrado.

TneK2

5.0

TT

dnn ezeTzKzz

222 )cos(25.05.1

zeTzT

dn )cos(25.1

571.1)cos(2

5.11

TLn

T dn

25)1( 222 nd

Si el factor de amortiguamiento es entonces rad/s 3.0 24.5n

23.05.02

1 TneKK

De la segunda condicin obtendremos otra valor de ganancia K.

21

5.0

n

srade

T

nT

d /127.42

5.1cos

1 1

436.0

1)(

1

2

2

n

dw

sraddn /586.41 2

2

17.05.02

2 TneKK

La planta Gp(s) y su respectiva discretizacin por ZOH de un sistema en lazo abierto vienen dados por las funciones de transferencia:

Problema 3

(a) Analice la estabilidad por Jury. Pruebe el valor de la ganancia que hace al sistema marginalmente estable.

(b) Analizando el sistema mediante root locus encuentre los puntos de ruptura y luego calcule las ganancias en estos puntos. Qu significado tienen estos valores encontrados?. Fundamente.

(c) Escriba las lneas de cdigo que resuelven el valor de la ganancia K desde el root locus discreto para plotear la salida debido a una entrada escaln unitario.

Probando las condiciones para la estabilidad por Jury.

98.23,0)9459.08465.0()1)(821.1078582.0(1)1()1( 22 KKKQ

84.2406.207433.08465.01 KK

La ganancia critica para la marginalidad.

98.23K

0KEn esta condicin consideramos que

Calculando la ganancia K en los puntos de ruptura:

z

p zGK

)(

1

Para z1

Para z2

0)(

dz

zdG p

006883.0148661.0078582.0 2 zz

083.1,8090.0 21 zz

58.21 K

38.42 K

Ruptura

Cdigo MATLAB

Se desea calcular la frecuencia que aparece en la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado que tiene como funcin de transferencia:

Problema 4

Calculo de las races:

sTzz

zzF 02.0,

9307.090.1

00756.000778.0)(

2

09307.090.12 zz

1679.095.02,1 jz

9647.022 me IRmag 1750.0tan 2

2

1

e

m

R

Iang

Determinamos el factor de amortiguamiento y posteriormente la frecuencia natural.

7955.1)(1

magLnT

2011.0222

Tang

T

sradn /93.8

Considere el sistema en lazo abierto:

Problema 5

32

3)(

2

sssP

Polos y ceros en lazo abierto del sistema.

Plotear la respuesta al escaln del sistema a lazo abierto usando Matlab (tsim=10s). Es posible saber la caracterstica de la respuesta?. En caso afirmativo fundamente su respuesta.

K=2

Considere un modelo identificado proveniente desde un experimento del laboratorio del curso control digital. Considere T=0.05s.

Problema 6

)01.74)(8.200(

5487.40995)(

sssP

Disee un controlador Deadbeat dado por la funcin de transferencia:

2

2

1

10

2

2

1

10

)(

)(

zezee

zuzuu

zE

zU

Calculando los polos de la planta con integrador.

0,01.74,8.2000)01.74)(8.200( cbasss

ssssP

423

4

10486.18.274

101.4)(

Definiciones del algoritmo.

008.0)(2

baa

KA

g

0590.0)(2

bab

KB

g

0510.0)(

)(2

ab

baKC

g

7586.2ab

KD

g

Resolvemos la ecuacin de coeficientes de la seal de control de la forma U(z)=u0+u1*z

-1+u2*z-2 en este caso es una ecuacin de 3x3

N*U=M;

4102924.21 aTeQ

4675.391 bTeR

aTaT

aTaT

BBBR

AQeAQeAQN2

2

ReRe

111

0

0

)/(1 DT

M

0790.0

0

4342.71 TMNU

Diseo del controlador Deadbeat.

)3(),2(),1( 210 UuUuUu

bTaT

t

bTaT

t BeAeDTmBeAeDTmBAm22

20 2,,

)()(1),(1,1 012020010 mmummuemmuee tttt

01481.0343.0

07899.010042.32434.7)(

2

9

zz

zzzC

Discretizando la planta.

623

2

10078.102476.0025.1

0001958.004594.008838.0)(

zzz

zzzP