sistem dinamik kontinu linear - kusumawinahyu blog · nilai eigen dan vektor eigen solusi analitik...
TRANSCRIPT
Oleh:
1. Meirdania Fitri T
2. Siti Khairun Nisa
3. Grahani Ayu Deca F.
4. Fira Fitriah
5. Lisa Risfana Sari
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR
Sistem Dinamik
D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui kondisinya di masa yang akan datang jika diberikan kondisi pada masa sekarang atau pada masa yang lalu.
Sistem Dinamik
DISKRIT KONTINU
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Beda
Sistem Dinamik Kontinu
SISTEM OTONOMUS
Sistem PDB dengan yang tidak bergantung secara eksplisit pada variabel bebas t .
SISTEM OTONOMUS
LINEAR
NON LINEAR
Solusi Analitik
Analisis Dinamik
Kurva Solusi
Medan Arah
Potret Fase
Analisis Dinamik pada Sistem Otonomus
Analisis dinamik berfungsi untuk mendapatkan informasi kualitatif mengenai solusi sistem tanpa harus menyelesaikan sistem terlebih dahulu.
Tahapan analisis dinamik
o Penentuan titik kesetimbangan/tetap
o Penentuan kestabilan titik kesetimbangan
Misalkan Titik disebut titik kesetimbangan/tetap apabila diperoleh nilai
Sistem Otonomus Linear 1 Dimensi
Solusi Analitik Masukkan masalah nilai awal
diperoleh
Solusi Analitik
t
x
t
x
Kurva Solusi
Sistem Otonomus 1D
Titik Tetap
Potret Fase
Sistem Otonomus 1D
suatu titik yang memenuhi
Maka pada SDK linear 1D titik yang memenuhi hanya pada
t
x
t
x
STABIL
TAK STABIL
Sistem Otonomus 1D
misalkan
t
Memanfaatkan nilai untuk mensketsa kurva solusi.
x
1
2
0
-1
-2
Analisa Medan Arah
Sistem Otonomus 1D
Memanfaatkan nilai untuk mensketsa kurva solusi.
misalkan
t
x
1
2
0
-1
-2
Analisa Medan Arah
Sistem Otonomus 1D
Memanfaatkan nilai untuk mensketsa potret fase.
STABIL
TAK STABIL
x
x
Sistem Otonomus Linear 2 Dimensi
Bentuk umum sistem autonomous linear 2 dimensi sebagai berikut:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 + 𝑠𝑦,
𝐴 =𝑝 𝑞𝑟 𝑠 , det(𝐴) ≠ 0
𝑑𝑥
𝑑𝑡𝑑𝑦
𝑑𝑡
=𝑝 𝑞𝑟 𝑠
𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝐴𝑥
atau
1. Solusi Analitik
𝜆 1,2 =trace(𝐴) ± trace(𝐴) 2 − 4det(𝐴)
2
Akar Real Berbeda 𝜆1 ≠ 𝜆2
Akar Real Kembar 𝜆1 = 𝜆2
Akar Kompleks 𝜆 = α ± 𝑖𝛽
𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
𝑝 𝑞𝑟 𝑠
− 𝜆1 00 1
= 0
𝑝 − 𝜆 𝑞𝑟 𝑠 − 𝜆
= 0
𝑝 − 𝜆 𝑠 − 𝜆 − 𝑞𝑟 = 0
𝜆2 − 𝑝 + 𝑠 𝜆 + 𝑝𝑠 − 𝑞𝑟 = 0
𝜆2 − trace(𝐴)𝜆 + det(𝐴) = 0
𝜆1 + 𝜆2 = trace(𝐴) 𝜆1𝜆2 = det(𝐴)
Oleh karena itu: 1. 𝜆1𝜆2 = det 𝐴 < 0
maka 𝜆1 dan 𝜆2 berbeda tanda
2. 𝜆1𝜆2 = det 𝐴 > 0 maka 𝜆1 dan 𝜆2bertanda sama
𝜆1 ⟶ 𝑣 1 𝜆2 ⟶ 𝑣 2
Solusi analitik untuk 𝜆1 ≠ 𝜆2: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
= 𝐶1𝑒𝜆1𝑡𝑣 1+𝐶2𝑒
𝜆2𝑡𝑣 2
2. Kurva Solusi
Kurva solusi dapat digambarkan dengan memperhatikan lim𝑡⟶∞
𝑥(𝑡)
dan lim𝑡⟶∞
𝑦 𝑡 .
3. Titik Tetap
Titik tetap 𝑥∗, 𝑦∗ adalah pasangan titik yang memenuhi 𝑑𝑥∗
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑦∗
𝑑𝑡= 0.
5. Medan Arah
4. Potret Fase
Medan arah disketsa dengan mencari nullcline, yaitu garis yang menyebabkan
Potret fase disketsa dengan memanfaatkan nilai eigen dan vektor eigen. Transformasi yang digunakan adalah sebagai berikut:
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI
DENGAN
AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK
REAL BERBEDA
Contoh Potret fase:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥 + 3𝑦
Jawab:
𝜆1 = 1 ⟶ 𝑣 1 =1
−1
𝜆2 = 4 ⟶ 𝑣 2 =12
Solusi analitik: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
= 𝐶1𝑒𝑡 1
−1+𝐶2𝑒
4𝑡 12
Titik tetap: 𝑥∗, 𝑦∗ = (0,0)
Kestabilan: (0,0) tak stabil
Medan arah:
Contoh
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥 − 2𝑦
Jawab:
𝜆1 = −3 ⟶ 𝑣 1 =1
−2
𝜆2 = 2 ⟶ 𝑣 2 =21
Solusi analitik: 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)
= 𝐶1𝑒−3𝑡 1
−2+𝐶2𝑒
2𝑡 21
Titik tetap: 𝑥∗, 𝑦∗ = (0,0)
Kestabilan: (0,0) tak stabil pelana
Potret fase:
Medan arah:
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI
DENGAN
AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK KOMPLEKS
Jika adalah solusi kompleks dari
Teorema 1
maka dan masing-masing
adalah solusi realnya.
Bukti:
dan diperoleh
Terbukti bahwa dan merupakan solusi.
Jika adalah solusi kompleks dari
Teorema 1
maka dan masing-masing
adalah solusi realnya.
Akibat 1
Solusi umum dari
adalah
Jika A memiliki nilai eigen kompleks dengan vektor eigen . Maka
Teorema 2
dan
adalah solusi real dari persamaan diferensial
Oleh karena itu, diperoleh solusi umum
Diketahui
Maka diperoleh solusi
Bukti:
Contoh 1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Solusi Analitik
Titik Tetap
Kestabilan stabil asimtotik (spiral masuk)
Potret Fase
Contoh 2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Solusi Analitik
Titik Tetap
Kestabilan tak stabil (spiral keluar)
Potret Fase
SISTEM OTONOMUS LINEAR 2 DIMENSI
DENGAN
AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK
REAL KEMBAR
Penyelesaian dengan PDB:
3
3
dxx
dt
dyy
dt
• Contoh 1:
3
0
3
0
3
3
t
t
dxx x x e
dt
dyy y y e
dt
Nilai Eigen
Penyelesaian dengan Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3 0
0 3
d xx
dt
1 0 3 0( )
0 1 0 3I A
det( ) 0I A
3 0
0 3
1 2
3 00
0 3
( 3)( 3) 0
3
diperoleh dua nilai eigen
yang sama yaitu 3
Vektor Eigen
Untuk , maka:
diperoleh:
3 Sehingga:
Jelas bahwa dan
merupakan vektor eigen.
3 3 0 0 0
0 3 3 0 0
1
2
v pv
v q
1 0
0 1p q
1
0
0
1
3 3
1 2
1 0( )
0 1
t tx t c e c e
Kurva Solusi
3
0
tx x e3
0
ty y e
t
x
t
y
Potret Fase
3
3
dxx
dt
dyy
dt
Kuadran I
Kuadran II
Kuadran III
Kuadran IV
Medan Arah
x
y
0, 0dx dy
dt dt
0, 0dx dy
dt dt
0, 0dx dy
dt dt
0, 0dx dy
dt dt
kanan
kanan bawah
bawah
atas
atas
kiri
kiri Kuadran IV
Contoh 2:
5
3
dxx y
dt
dyx y
dt
Agar menjadi solusi sistem PD
, haruslah memenuhi:
2 2( ) ( )tx t c e vt
d xAx
dt
( )v A I
Coba:
Andaikan solusi, maka:
Maka:
, jelas benar karena vektor eigen dan nilai eigen.
2 2( ) ( )tx t c e vt
2 ( )x t
22
( )( )
d x tAx t
dt
2 2 2( ) . ( )t t tc e vt c e v Ac e vt 2: tc e
( ) ( )vt v A vt
( ) ( ) 0t v Av I A v
v Av v
( )v A I
Kesimpulan
Solusi Analitik
Titik Kesetimbangan
Kestabilan titik kesetimbangan
1D
2D
1D
2D
1D Tidak Stabil
Stabil
Kestabilan titik kesetimbangan
Analisa medan arah Bidan fase terbagi menjadi beberapa daerah yang dipisahkan oleh nullklin
2D
TERIMA KASIH
Oleh:
1. Meirdania Fitri T (Slide 5-7)
2. Siti Khairun Nisa (Slide 18-24)
3. Grahani Ayu Deca F. (Slide 25-35)
4. Fira Fitriah (Slide 11-17)
5. Lisa Risfana Sari (Slide 1-4 dan 8-10)