nilai eigen dan vektor eigen - ilkomadri.com · menghitung determinan tersebut sehingga ... eigen...
TRANSCRIPT
Nilai EigenDan
Vektor Eigen
Pengertian
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor
tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor
eigen dari A jika Ax adalah kelipatan
skalar dari x, yaitu
Ax = λx
untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut
nilai eigen dari A dan x dikatakan vektoreigen yang bersesuaian dengan λ.
Menghitung Nilai Eigen
Untuk mencari nilai eigen matriks A yangberukuran n x n maka kita menuliskankembali sebagai
Ax = λx atau (A – λI) x = 0
Dan persamaan diatas akan mempunyaipenyelesaian jika | A – λI | = 0
Persamaan diatas disebut persamaankarakteristik A. Mencari nilai eigen berartimenghitung determinan tersebut sehinggadiperoleh niliai-nilai λ.
Menghitung Nilai Eigen
Contoh
Tentukan nilai eigen untuk matriks berikut:
1.
42
15A
Menghitung Nilai Eigen
Jawab
1.
Kita gunakan persamaan | A – λI | = 0
─ λ = ─ = 0
= 0
42
15A
42
15
10
01
42
15
0
0λ
λ
2
15 - λ
4 - λ
Menghitung Nilai Eigen
(5 – λ )(4 – λ) – (1 * 2) = 0
(λ2 – 9λ + 20) – 2 = 0
λ2 – 9λ + 18 = 0
(λ – 3)(λ - 6) = 0
Maka nilai-nilai eigennya adalah λ1 = 3 , λ2 = 6
2
15 - λ
4 - λ
Menghitung Nilai Eigen
Apabila nilai-nilai eigen diketahui,
kemudian nilai-nilai ini dimasukkan ke
persamaan:
(A – λI) x = 0
maka akan diperoleh vektor-vektor eigenx yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.
Menghitung Vektor Eigen
Untuk matriks di atas tadi telah kita ketahui
nilai-nilai eigennya adalah λ1 = 3 , λ2 = 6 ,
maka masukan nilai-nilai tersebut ke
persamaan (A – λI) x = 0
42
15A
Menghitung Vektor Eigen
Nilai eigen λ1 = 3 , λ2 = 6 ,
= 0
untuk λ1 = 3
= 0
2
15 - λ
4 - λ
2
1
xx
12
12
2
1
xx
Menghitung Vektor Eigen
Maka akan diperoleh persamaan
2x1 + x2 = 0
2x1 + x2 = 0
maka vektor eigen yang berkaitan dgn λ1 = 3
x =
x1 = - ½ x2
1
½
Menghitung Vektor Eigen
untuk λ2 = 6
= 0 →
Maka akan diperoleh persamaan
-x1 + x2 = 0
2x1 - 2x2 = 0
maka vektor eigen yang berkaitan dgn λ2 = 6
x =
2
15 - λ
4 - λ
2
1
xx
22
11
2
1
xx
x1 = x2
1
1
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Bagaimana jika matriks yang kita cari nilai
eigen dan vektor eigennya adalah matriks
berordo 3x3?
Contoh
Tentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen untuk
matriks A = !
13
13
22
310
Matur Nuwun