sinyal dan sistem waktu diskrit et 3005 …...edisi semester 1 17/18 eyh 2 sinyal dan sistem waktu...

Sinyal dan Sistem Waktu DiskritET 3005 Pengolahan Sinyal Waktu DiskritEL 5155 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Effrina Yanti Hamid

Edisi Semester 1 17/18 EYH 1

Edisi Semester 1 17/18 EYH

Sinyal dan Sistem Waktu Diskrit2

2.1 Sinyal Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian Sinyal Waktu Diskrit

Deretan berindeks dari bilangan kompleks atau real.

Sinyal waktu diskrit adalah fungsi dari variabel bebas yang merupakan

bilangan bulat, dinyatakan oleh x(n).

Sinyal analog : xa(t)

Sinyal diskrit : x(n), n bilangan bulat

Notasi : x(n) = {x(n)}={…,x(-1),x(0),x(1),…}

2


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 n

x(n)

xa(t)

t

Sinyal analog : xa(t)

Sinyal diskrit : x(n),

3


2.1.2 Sinyal Waktu Diskrit Bernilai Kompleks

Sinyal waktu diskrit bernilai kompleks

z(n) = a(n) + jb(n) = Re{z(n)}+jIm{z(n)

Dalam bentuk polar

z(n) = |z(n)| exp ( j arg{z(n)})

4


2.1.3 Tipe Sinyal Waktu Diskrit

1. Impuls satuan/ unit sample sequence

0

0

00

1

00

01

n, n

n, n nn

, n

, n n

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

(n)

0

0

00

1

00

01

n, n

n, n nnu

, n

, n nu

2. Unit step sequence

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 n

u(n)

5



3. Deretan Eksponensial

00

0

n ,

n , anx

nx(n)=1.2n

( )

= cos sin

j

n j n

n

a re

x n r e

r n j n

Bila a kompleks

6



Contoh :

nnx

nnx

nxnxnx

njn

enx

rea

θ .r

nI

nR

IR

n

njn

j

10sin9.0

10cos9.0

10sin

10cos9.0

9.0

1090

10

dan

nnx n

10cos9.0

nnx n

10sin9.0

7



3. Deretan Eksponensial

nnx

rnx

ernx

rea

anx

n

njn

j

n

Contoh

nnx

.nx

θ .r enx

n

njn

10

90

10909.0 10

dan

n.nx 90

nnx10

8

Sinyal disebut periodik bila x(n)=x(n+N) untuk harga N

bilangan bulat positif dan untuk seluruh n.

Bila sinyal periodik dengan perioda N maka sinyal tersebut

juga periodik dengan perioda 2 N, 3N dan seluruh harga

kelipatan bilangan bulat dari N.

Perioda fundamental N, yaitu bilangan bulat positif terkecil

yang memenuhi persamaan x(n)=x(n+N).

Bila tidak ada satupun bilangan bulat N yang memenuhi

persamaan x(n)=x(n+N) maka deretan tersebut adalah

deretan aperiodik.Edisi Semester 1 17/18 EYH


4. Sinyal periodik dan aperiodik

9



4. Sinyal simetris dan antisimetris

Sinyal waktu diskrit berharga real :

simetris genap jika x(n) = x(-n) untuk seluruh harga n

simetris ganjil jika x(n) = -x(-n) untuk seluruh harga n

Sinyal waktu diskrit berharga kompleks (sinyal kompleks) :

simetris konjugate jika x(n) = x*(-n) untuk seluruh harga n

antisimetri konjugate jika x(n) = -x*(-n) untuk seluruh harga n

10

signal) (energy enerji sinyal

disebut maka berhingga Bila

selang dalam deretan Enerji

maka riil Bila

deretan suatu Enerji

nx)E( E

nxE

N,n-N

nxE

nx

nxnxnx E

N

Nn

n

nn

0

.

2

2

2


2.1.4 Sinyal enerji dan sinyal daya

11

) signal power ( daya sinyal

disebut maka 0)( berhingga Bila

hingga. tak atau berhingga

nkemungkina maka (infinite) hingga tak Bila

maka (finite) berhingga Bila

diskrit sinyal rata-rata Daya

nxP

P

E

PE

nxN

P

N

NnN

.0

12

1lim

2



12

ne

N

N

nuN

P

jωω

N

N

N

N

N

NnN

cos,

2

1

2

1lim

12

1lim

12

1lim

1

1

2

lainnya, daya sinyal Contoh

daya. sinyal adalah sequence step Unit



Contoh

Tentukan apakah unit step sequence u(n) adalah sinyal daya

atau sinyal enerji

13


x1 (n) y(n) = x1(n) + x2(n)

x2 (n)

s (n) y(n) = s(n).w(n)

w(n)

Ax(n) y(n) = A.x(n)

Z-1x(n) y(n) = x(n-1)

1. Penjumlahan

2. Perkalian

3. Penyekalaan

4. Pergeseran (shifting) :

2.1.5 Operasi Dasar pada Sinyal Waktu Diskrit

14


M

x(n) y(n) = x(Mn)

L

x(n)y(n) = x(n/L)

5. Down sampling

6. Up sampling

7. Folding (pembalikan)

2.1.5 Operasi Dasar pada Sinyal Waktu Diskrit

y(n) = x(-n)

ainnya 0,

,...3,2, 0,n ,][

l

LLLL

nx

ny

15


Sinyal dapat didekomposisi dari deretan impuls satuan (n)

yang diberi bobot dan digeser.

x(n)=…+x(-1)(n+1)+x(0) (n)+ x(1)(n-1)+ x(2)(n-2)+…

k

knkxnx

2.1.5 Dekomposisi Sinyal

16


Sistem Waktu Diskrit adalah operator matematis atau pemetaan yang

mentransformasi sinyal ke sinyal lainnya.

Secara umum notasi yang digunakan : T(.)

T(.)x(n) y(n)=T(x(n))

2.2 Sistem Waktu Diskrit

2.1.1 Pengertian

17


Sistem Tanpa Memori

Keluaran pada waktu n=n0 hanya bergantung pada input padawaktu n = n0.

Additif

T(x1(n)+x2(n))=T(x1(n))+T(x2(n))

Homogen:

T( c x(n))=c T(x(n))

Sistem Linier : sistem yang mempunyai sifat additif dan homogen

T(ax1(n)+bx2(n))=aT(x1(n))+bT(x2(n))

2.2.2 Sifat Sistem Waktu Diskrit

18


Sistem Tidak Berubah Terhadap Waktu (time invariant system)

Bila respon sistem terhadap masukan x(n) adalah y(n) maka

respon terhadap masukan x(n-n0) adalah y(n-n0).

19

nhnxknhkxknTkxny

kn

h(n-k)

knTkxny

kx

knkxTknkxTnxTny

kk

k

kk

maka masukan terhadap sistem respon

adalah bila waktu terhadap berubah tidak yang sistem Untuk

: homogen sifat dari konstan, koefisien Karena

:aditif sifat Dari

Konvolusi


CausalRespon sistem pada waktu n=n0 bergantung pada masukan nn0.

y(n) hanya bergantung pada x(n), x(n-1),x(n-2), …, tetapi tidakbergantung pada x(n+1),x(n+2),….

Secara matematis keluaran sistem kausal memenuhi persamaandalam bentuk sbb:

y(n)=F(x(n),x(n-1),x(n-2),…)

contoh:

(

[2 ]

l

x n

n

-

Tentukan apakah sistem dengan persamaan berikut causal atau tidak kausal

(a) y[n]= x[n]-x[n-1] b) y[n]= x[k]

(c) y[n]=

2 ]

(d) y[n]=x[-n]

(e) y[n]=x[n-1]+x[n]+x[n+1] (f) y[n]=x[n

20


Causal

Sistem LTI

0 0

1

0 0 00

0 0

0 0

[ ]

[ ]

[ [ 1] 1 [ 2] 2 ...]

[ [0] [1] 1] ...

k

k k

y n h k x n k

y n h k x n k h k x n k

= h x n h x n

h x n h x n

0Keluaran sistem LTI pada n=n

Sistem k 0

0 0

0 0

ausal jika keluaran pada waktu n=n hanya bergantung

pada masukan x[n ], x[n -1],... tidak bergantung pada masukan

x[n +1],x[n +2],..., sehingga respon impuls sistem LTI harus memenuhi kondisi

[ ] 0h n n < 0

21


StabilSistem dengan masukan terbatas maka keluaran terbatas.

Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta Mx sedemikiansehingga

Bila x(n) terbatas, maka akan ada konstanta My sedemikiansehingga

[ ] xx n M

[ ] yy n M

22


Stabil

Sistem LTI

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

k

k

k

k

y n h k x n k

y n h k x n k

y n h k x n k

y n h k

x

x

x

Keluaran sistem LTI

Bila input terbatas maka akan ada suatu bilangan terbatas M

sehingga x[n] M sehingga

M

Ke [ ]

.

k

y n

h k

absolutely summable

h

luaran akan terbatas jika respon impuls LTI memenuhi kondisi

S

Sistem LTI stabil jika respon impuls sistem

23


2.2.3 KonvolusiHubungan antara masukan dan keluaran pada sistem LTI dinyatakan oleh

penjumlahan konvolusi.

Sifat-sifat Konvolusi

a. x(n) y(n) =y(n) x(n)

b. x(n) (y(n) z(n))=(x(n) y(n)) z(n)

c. x(n) (y(n)+z(n))=x (n)y(n) + x(n) z(n)

d. x(n) (n) = (n) x(n) = x(n)

e. x(n) (n-n0) = x(n-n0)

n

knhkxnhnx )()(

24


0 0

0 0

0

0 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] 1 0

[ ] 1

:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[

k

k

x n n n x k n n k

k k

n n k k n n

k n n

x n n n x k n n k

x n n

Bukti (e) :

Ingat untuk

maka untuk

sehingga untuk

0

] [0]

[ ]x n n

25


n

knhkxnhnx )()(

26


Panjang deretan hasil konvolusi 2 deretan yang terbatas panjangnya

Sistem ekivalen untuk hubungan serial dan paralel

27


Perhitungan Langsung

Contoh :

nua

an

a1

a1any 0n

0kn.ukuk 0,n

knknu0 kku

knukuaknhkxnhnxny

nunh

0n

0nanuanx

n

n

0k

1nk

k

k

k

nn

.1

1y

Bila

Bila

. untuk 0dan untuk 0 Karena

0

1

28

Edisi Semester 1 17/18 EYH 29


Perhitungan konvolusi dengan metoda grafis

Gambar x(k) dan h(k) sebagai fungsi dari k.

Reverse satu dereta : h(k) menjadi h(-k)

Geser h(-k) sebesar n menjadi h(n-k)

Perkalikan x(k) dan h(n-k) dan jumlahkan seluruh hasil perkalian untuk seluruh harga k.

Perhitungan dilakukan untuk seluruh kemungkinan harga pergeseran n.

Contoh :

30


2.2.4 Sistem dengan Respon Impuls Terbatas dan Tidak Terbatas

Sistem LTI dapat dibagi menjadi :

• FIR (finite-duration impulse response)

• IIR (infinite-duration impulse response)

Sistem FIR kausal :

h(n) = 0 n < 0 dan n ≥ M

Konvolusi pada sistem FIR kausal :

Sistem IIR kausal :

h(n) = 0 n < 0

Konvolusi pada sistem IIR kausal :

0

)()(k

knhkxnhnx

1

0

)()(M

k

knhkxnhnx

31


2.2.5. Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Non Rekursif

F(x(n),x(n-1),

…x(n-M))

x(n) y(n)

F(x(n),x(n-1),

…x(n-M))

x(n) y(n)

z-1

Sistem non-rekursif

Sistem rekursif

32


Contoh Sistem Waktu Diskrit Rekursif dan Nonrekursif

Sistem non-rekursif

Sistem rekursif

x(n) y(n)

z-1

z-1

b0

b1

b2

y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2)

x(n) y(n)

z-1

z-1

b0

b1

b2 y(n) = y(n-1) + b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2)

z-1

33


2.2.6. Sistem Waktu Diskrit Direpresentasikan olehPersamaan Perbedaan

Total response : y(n) = yzi (n) + yzs (n)

Agar sistem rekursif bersifat linier dan time invariant maka harusmemenuhi sifat linier (superposisi) dan time invariant.

Agar linier maka

1. Total response : y(n) = yzi (n) + yzs (n)

2. Prinsip superposisi berlaku untuk yzi (n) dan yzs (n).

34


2

3 2

1

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [0]

[0] [ 1] [0]

[1] [0] [1] [ 1] [0] [1]

[2] [1] [2] [ 1] [0] [1] [2]

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ 1]n k

k

y n ay n x n

y n y

y ay x

y ay x a y ax x

y ay x a y a x ax x

y n ay n x n

y n a y a

Akan dihitung nilai untuk n 0, dimulai dari

0

1 1 2 2

1 1 2 2

0

1 1 2

0 0

(1) (2)1 2

1 1 2 2

1

[ ]

[ ] [ ] [ ]

: [ ] [ ] [ ]

[ ] [ [ ] [ ]]

[ ] 2 [ ]

[ ] [ ]

: [ 1] [ 1] [ ]

[ ] [

n

zi zs

nk

zs

k

n nk k

k k

zs zs

nzi

x n k

y n y n y n

Mis x n c x n c x n

y n a c x n k c x n k

c a x n k c a x n k

c y n c y n

Mis y c y c y

y n a

1 1 2 2

1 11 1 2 1

(1) (2)1 2

[ 1] [ ]]

[ [ 1] [ [ 1]

[ ] [ ]

n n

zi zi

c y c y

c a y c a y

c y n c y n

sistem linier35


1

0

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ 1] [ ]

[ ] [ ] [ ]

Dari persamaan perbedaan dapat dilihat bahwa koefisien a konstan,

tidak bergantung pada n.

sistem .

Sistem yang dituliskan

nn k

k

zi zs

y n ay n x n

y n a y a x n k

y n y n y n

time invariant

[ ] [ 1] [ ]

dalam persamaan berikut :

adalah sistem LTI kausal.

Sistem yang dituliskan dalam persamaan perbedaan koefisien konstan linier

(

y n ay n x n

linear constant - coefficient diff

) adalah linier dan . erence equation time invariant

36


Solusi Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

0 0

[ ] [ ] 10

Persamaan Perbedaan Koefisien Konstan Linier

a

Tujuan untuk menentukan respon y[n] ,n 0 pada sistem dengan masukan

N M

k k

k k

a y n k b x n k

h p

h

x[n],n 0

dan satu set kondisi kondisi awal.

Asumsi :

y[n] = y [n] + y [n]

Solusi y [n] adalah solusi homogen, yaitu respon sistem terhadap kondisi awal

d

p

engan asumsi x[n]=0

Solusi y [n] adalah solusi khusus atau yaitu respon sistem terhadap x[n]

dengan asumsi kondisi awal = 0

Solusi homogen

Solusi homogen didapat dengan m

particular

0

[ ] 0

engasumsikan x[n]=0, sehingga persamaan perbedaan homogen

Asumsi solusi perbedaan homogen dalam bentuk eksponensial, yaitu

N

k

k

a y n k

[ ]h y nn

37


0

1 21 2

0

.

Dengan substitusi ke persamaan sebelumnya maka persamaan polinomial

atau

Nn k

k

k

n N N N N

a

a a

1

1 2 3

.. 0

, , ,... .

Polinomial di dalam tanda kurung adalah polinomial karakteristik.

Polinomial karakteristik mempunyai N akar,

Akar dapat berharga real atau kompleks.

Koefis

N N

N

a a

1 2, ,..

k

ien .umumnya real.

Untuk harga a riil, akar berharga kompleks merupakan pasangan konyugatif kompleks.

Bila semua akar berbeda maka solusi persamaan homogen :

a a

1

11 2 1

[ ]

[ ] ...

ditentukan untuk memenuhi kondisi awal.

Bila terdapat akar , maka solusi persamaan homogen :

Nn

h k k

k

k

mh m

y n C

C

multiple

y n C C n C n

1

[ ] [ ])zi

Karena x[n]=0 maka dapat dipakai untuk menghitung respon zero input (y

Nn n

k k

k m

h

C

y n n

38


[ ]p

Solusi khusus ( )

Solusi khusus umumnya tergantung x[n].

Harus dicari y yang memenuhi persamaan perbedaan, untuk x[n] tertentu.

Solusi khusus juga dapat diperoleh dari respon

particular

n

zer ( ).zso state y [n]

Solusi khusus Persamaan Perbedaan Linier Koefisien Konstan

Sinyal input x(n) Solusi Khusus

A (konstan) K

A M n K M n

A nM K0nM+K1n

M-1+…+KM

An nM An(K0nM+K1n

M-1+…+KM)

A sin (0n) K1cos (0n) + K2sin (0n)

A cos (0n) K1cos (0n) + K2sin (0n)

[ ] [ ] [ ]h py n y n y n

Total solusi persamaan perbedaan :

39


[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0

[-1] 5 [-2] 0

Contoh 6.1

Persamaan perbedaan

Tentukan respon zero input jika diketahui kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbedaan homogen dalam bentuk ekspone

y n y n y n

y y

1 2

[ ]

3 4 0

nsial, yaitu


nh

n n n

y n

2 2

1 2

3 4 0

1 4

[ ] 1 4 0

[ ] 0

Akar persamaan dan

,

Karena maka sistem tidak mempunyai solusi khusus,

n

n nh

p

y n C C n

x n y

[ ] 0

n

40


1 2[ ] [ ] -1 4 , 0

1 2

Sehingga solusi total,

Untuk menentukan harga C dan C maka solusi total harus memenuhi kondisi awal.

n nhy n y n C C n

1 2

[0] 3 [-1] 4 [-2]

[1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2]

[0]

h

y y y

y y y y y

y C C

1 2

1 2

[1] 4

1

[ ] [ ] -1 -1 16 4 , 0

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

Respon zero input diperoleh

h

n nh

y C C

C

y n y n n

[0] 3 [-1] 4 [-2]

[1] 3 [0] 4 [-1] 13 [-1] 12 [-2]

dengan mengevaluasi konstanta pada solusi homogen.

y y y

y y y y y

1 2

1 2

[0]

[1] 4

[0] 15 [1] 65

Karena y[-2] =0 dan y[-1]=5 , maka

h

h

y C C

y C C

y dan y

1 2

1 2

1 2

15

4 65

1

Dari kedua persamaan diatas maka dan C = 16

zi

C C

C C

C

y

1 2

[ ] 1 -1 16 4

[ ] -1 4 , 0

[ ] [ ] -1 -1 16 4 , 0

n n

n nzi

n nzi

n

y n n

y n y n n

41


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2x 10

7

[ ] [ ] -1 -1 16 4 , 0n n

ziy n y n n

42


[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

[ ] 4 [ ]

[ ], 0.

n

y n y n y n x n x n

x n u n

y n n

Contoh 6.2

Persamaan perbedaan

Tentukan respon

Solusi

Solusi homogen

1 2

1 2

[ ] 1 4 0

[ ] 4 [ ]

4 [ ] - 3 1 4 [ 1] - 4 2 4 [

n n

np

n n n

n C C n

particular

y n Kn u n

Kn u n K n u n K n u n

h y ,

Solusi khusus ( )

Dengan substitusi ke persamaan perbedaan

1

65

65

61 2 5

2]

4 [ ] 4 [ 1]

2,

[ ] 4 [ ]

[ ] [ ] [ ] -1 4 4 , 0

n n

np

n n nh p

u n u n

n K

y n n u n

y n y n y n C C n n

2.

maka

Total solusi :

43


[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

1 2 Harga C dan C harus memenuhi harga kondisi awal

Substitusi langsung pada persamaan solusi total

y n y n y n x n x n

0 1

1 0

0 01 2

1 1 161 2 5

[0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1

[1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0]

[1] 3 4 2 9

-1 4 1

-1 4 1 4

y u u y

y y u u

y

C C

C C

1 2

1 2

2611 225 25

26 6125 25 5

9

1

4 4.2

,dan

[ ] -1 4 4 , 0

-

n n n

C C

C C

C C

y n n n

44


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14x 10

6

[ ]y n [ ]x n

T(.)

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]y n y n y n x n x n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12x 10

5

[ ] 4 [ ]nx n u n 26 6125 25 5

[ ] -1 4 4 , 0n n n

y n n n

45


Hpf(s) A/D x(n)

y(n-1)

x(n-1)

y(n) D/A

2 3

Hrc(s)

y(n-2)

4

46


1 2[ ] [ ] -1 4 , 0

[0]

Menentukan respon zero input dan respon zero state.

Respon zero input mempunyai bentuk yang sama dengan solusi homogen.

n nzi h

zi

y n y n C C n

y

1 2

1 2[1] 4

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] 0

[0] 0

[1] 0

[ ] 0,

-

Dari persamaan homogen :

Tidak ada solusi artinya karena kondisi awa

zi

zi

C C

y C C

y n y n y n

y

y

y n

[ 2] [ 1] 0l

sehingga respon total adalah respon zero state.

y y

47


61 2 5

[ ] [ ] [ ] -1 4 4 ,

[0] [1]

[-1] 0 [-2] 0

Respon zero state

Total solusi :

n 0

dan diperoleh dengan memasukkan harga-harga

kondisi awal dan ke persamaan

n n nh py n y n y n C C n

y y

y y

0 1

1 0

[ ] - 3 [ -1] - 4 [ - 2] [ ] 2 [ -1]

[0] 3 [ 1] 4[ 2] [0] 2 [ 1]

[0] 4 [0] 4 [ 1] [0] 1

[1] 3 [0] 4[ 1] 4 [1] 2 4 [0]

[1] 3 4 2

y n y n y n x n x n

y y y x x

y u u y

y y u u

y

0 01 2

1 1 161 2 5

1 2

1 2

2611 225 25

26 6125 25 5

9

-1 4 1

-1 4 1 4 9

1

4 4.2

,dan

[ ] [ ] -1 4 4 , 0

-

n n n

zs

C C

C C

C C

C C

C C

y n y n n n

48


[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] 8 [ ]

[-1] 1 [-2] 1

Contoh 6.3

Persamaan perbedaan

Tentukan respon y[n], n 0 jika diketahui sinyal masukan

dan kondisi awal dan .

Solusi

Asumsi solusi perbe

y n y n y n x n

x n u n

y y

[ ]

daan homogen dalam bentuk eksponensial, yaitu


nhy n

1 2

2 2

1 2

6 0

6 0

3 2

[ ] 3 2 , 0

Akar persamaan dan

Asumsi solusi khusus

n n n

n

n nhy n C C n

[ ] [ ]

[ ] [ 1] - 6 [ 2] 8 [ ]

2 - 6 8

Substitusi ke persamaan

py n Cu n

Cu n Cu n Cu n u n

n C C C

1 2

-2

[ ] [ ] [ ] -3 2 - 2 , 0

Solusi total

n n

h p

C

y n y n y n C C n

49


1 2

1 2

1 2

1 2

[ ] -3 2 - 2 , 0

[0] - 2

[1] - 3 2 - 2

[0] [1]

Konstanta dan memenuhi kondisi awal.

dan diperoleh dengan memasukkan

n n

C C

y n C C n

y C C

y C C

y y

[-1] 1 [-2] 1

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[0] [-1] 6 [-2] [0]

[0] 1 6 8

[0] 1

harga-harga


-

-

y y

y n y n y n x n

y y y x

y

y

1 2

1 2

[1] [0] 6 [-1] [1]

[1] 1 6 8

[1] 13

3

- 3 2 15

-

-

Dengan menyelesaikan kedua persamaan diatas dipe

y y y x

y

y

C C

C C

1 21.8 4.8

[ ] 1.8 -3 4.8 2 - 2 , 0

roleh dan

Total solusi

n n

C C

y n n

50


1 2

1 2

1 2

[ ] 3 2 , 0

[0]

[1] 3 2

[0] [1]

Respon zero input

dan diperoleh dengan memasukkan harga-har

n nzi

zi

zi

y n C C n

y C C

y C C

y y

[-1] 1 [-2] 1

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] 0

[0] [-1] 6 [-2]

[0] 1 6

[0] 7

[1] [0

ga


-

-

-

y y

y n y n y n

y y y

y

y

y y

1 2

1 2

1 2

] 6 [-1]

[1] 7 6

[1] 13

-7

3 2 13

5.4 1.6

Dengan menyelesaikan kedua persamaan diatas diperoleh dan

Respon zero inpu

y

y

y

C C

C C

C C

[ ] 5.4 -3 1.6 2 , 0

t

n n

ziy n n

51


1 2

1 2

1 2

[ ] -3 2 - 2 , 0

[0] - 2

[1] 3 2 - 2

[0] [1]

Respon zero state

dan diperoleh dengan memasukkan ha

n nzs

zs

zs

y n C C n

y C C

y C C

y y

1 2

1 2

[-1] 0 [-2] 0

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[0] 8

[1] 0

10

3 2 2

rga-harga


Dengan me

y y

y n y n y n x n

y

y

C C

C C

1 23.6 6.4

[ ] 3.6 -3 6.4 2 - 2 , 0

[ ] [ ] [

nyelesaikan kedua persamaan diatas diperoleh dan

Respon zero state

Respon total (total solusi)

n nzs

zs zi

C C

y n n

y n y n y n

] 3.6 -3 6.4 2 - 2 5.4 -3 1.6 2 , 0

[ ] 1.8 -3 4.8 2 - 2 , 0

n n n n

n n

n

y n n

52


2.2.7. Respon impuls sistem dengan persamaan perbedaankoefisien konstan linier

Respon impuls:

x(n) = (n) y(n) = h(n)

( kondisi awal nol)

• Untuk x(n) = (n) ), ‘solusi khusus’ yp(n) = 0

respon impuls diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan pada

solusi homogen . Harga konstanta ditentukan dengan memecahkan yh(n)

untuk

n = 0,1... . dan kondisi awal y(-1)=y(-2),..y(-N)=0

(n) LTI h(n)

53


1 2

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] 3 2 ,

Contoh 7.1

Sistem LTI dengan persamaan perbedaan

Tentukan respon impuls sistem diatas.

Solusi

Dari contoh soal 6.3, n n

h

y n y n y n x n

y n C C

1 2

0.

[ ] [ ] [ ] 0.

[ ] [ ] -3 2 , 0

Respon impuls h[n] untuk maka solusi khusus nol,

Solusi total , .

Kondisi awal nol sehingga respon zero in

p

n nh

n

x n n y n

y n y n C C n

1 2

[ ] 0.

[ ] [ ] -3 2 , 0

[0] [1] [ ] [ ],

put,

Respon impuls adalah respon zero state ,

.

dan diperoleh dengan memasukkan harga-harga

kondis

zi

n nzs

y n

h n y n C C n

y y x n n

[-1] 0 [-2] 0

[ ] [ -1] - 6 [ - 2] [ ]

[ ] [ ] [0] 1

i awal dan ke persamaan perbedaan

y y

y n y n y n x n

y n n y

1 2 3 21 15 5

1 2

3 25 5

[1] [1] [0] 6 [ 1] [1] 1

2 2 2

-3 2 1

[ ] -3 2 , 0

-

,

n n

y y y y

C CC C

C C

h n n

54


Kestabilan sistem LTI

Sistem yang direpresentasikan oleh persamaan perbedaan koefisien

konstan linier orde N dengan akar polinomial karakteristik (k)

berbeda mempunyai solusi homogen sbb:

• Respon impuls sistem

1

[ ]

Nn

k k

k

h n C

1

[ ]

Nn

h k k

k

y n C

55


• Respon impuls sistem LTI stabil jika respon impuls absolutely

summable.

0

1

0 1 0

0

0 0

[ ]

[ ]

[ ]

1

[ ]

n

Nn

k k

k

Nn

k k

n k n

nk k

n

nk

n n

h n

h n C

h n C

k

h n

56


2.3.Konsep Frekuensi Sinyal Waktu Diskrit

x(n) = A cos (n+)

= 2 f

Dimana A : Amplituda

: frekuensi diskrit (radian /sample)

: fasa (radian)

f : frekuensi (cycles/sample)

57


0

0

0

00

0

: dibatasi dapat harga maka analisis tujuan untuk Artinya

Maka

Bila

: Identik

2rasiona rus

2 maka periodik Agar 1.

: diskrit waktu sinusoidal Sinyal

2ππ)cos(ωn- cos ω)nω- cos (2πn cos ω

2π ω 0n2ππω cos ncos ω

q

plha

0000

000

2.3

.2

58


rasional. bilangan frekuensi

jika hanya periodik adalah diskrit waktu sinusoidal Deretan

jika hanya dan jika benar akan diatas Persamaan

sin

sin

persamaan memenuhi

akan frekuensi dengan periodik yang sinusoidal Deretan

l.fundamenta perioda disebut terkecil Harga

,

jika hanya dan jika perioda dengan periodik Deretan

0 0

0

o

0 0

f

N

k

2π

ω f

kNf

nfNnf

nNn

nx

N

nNnxnx

0)(Nnx

22

2sin2

sin

0

00

59


dimana

sin(n

identik adalah ini dibawah

diskrit waktu sinusoidal deretan seluruh Artinya

sin

Bukti

bulat. bilangan adalah dimana , berbeda

yafrekuensin jika identik akan sinusoidal deretan Dua

0

0 0

k

1,2,3..... kknx

nnk

kk2π

k

kk

2

)

sin2

60


2

1f dengan ekivalen

adalah tertinggi Frekuensi

2

1 atau ,

atau -

diskrit waktu sinusoidal sinyal rekuensif Daerah

frekuensi alias adalah

(cos

0. sampai dari

bervariasi maka sampai dari bervariasi Nilai

dan misalkan

frekuensi dengan sinusoidal sinyal melihat Untuk 0

2

1

)(

2

110

20

cos

)2

coscos

2

2

,2

120

0

011

21

0201

fatau

atau

ff

ω ωn x nωA

nAnAcos ωn x

nωAn ωAnx

k

22

61


0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1x(n)=cos(0.29*pi*n)

n

x(n

)

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5


n

x(n

)

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5


n

x(n

)

0 10 20 30 400

0.5

1x(n)=cos(2*pi*n)

n

x(n

)

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1x(n)=cos(2.5*pi*n)

n

x(n

)

0 10 20 30 40-1

-0.5

0

0.5

1x(n)=cos(3*pi*n)

n

x(n

)

62


nnx 2cos3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-3

-2

-1

0

1

2

3

x(n

)

n

63

sinyal dan sistem waktu diskrit et 3005 …...edisi semester 1 17/18 eyh 2 sinyal dan sistem waktu...

Documents