sintonización robusta óptima de controladores proporcional integral

Universidad de Costa RicaFacultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Eléctrica

Sintonización robusta óptima de controladoresproporcional integral predictivos

de dos grados de libertad

Por:

Oscar Saborío Romano

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica

Junio de 2013

Sintonización robusta óptima de controladoresproporcional integral predictivos

de dos grados de libertad

Por:

Oscar Saborío Romano

Sometida a la Escuela de Ingeniería Eléctricade la Facultad de Ingeniería

de la Universidad de Costa Ricacomo requisito parcial para optar por el grado de:

LICENCIADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA

Aprobada por el Tribunal:

Víctor M. Alfaro Ruiz, Ph.D.Director, Comité asesor

Orlando Arrieta Orozco, Ph.D. José D. Rojas Fernández, Ph.D.Miembro, Comité asesor Miembro, Comité asesor

Ing. Mercedes Chacón Vásquez Alberto Herreros López, Ph.D.Director o su representante Miembro, Tribunal

Dedicatoria

A mis padres,a quienes debolo que hoy soy

V

Reconocimientos

Al profesorVíctor M. Alfaro Ruiz,

por su motivación y guíaa lo largo del proyecto

VII

Índice general

Resumen XV

Nomenclatura XVII

1. Introducción 11.1. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Procedimiento de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Antecedentes 72.1. Control PID de procesos con tiempo muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. El Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Otros compensadores de tiempo muerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. El controlador PPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Modelado del sistema de control 133.1. Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Validación de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Desarrollo del método de sintonización 194.1. Desempeño óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2. Desempeño robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Ecuaciones para la sintonización del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3.1. Efectividad de las ecuaciones de sintonización . . . . . . . . . . . . 304.4. Rutina de sintonización del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Pruebas comparativas 33

IX

X ÍNDICE GENERAL

5.1. Ejemplos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.1. Sintonización utilizando las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. Conclusiones y recomendaciones 436.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Bibliografía 47

Apéndices 53

A. Efectividad de las ecuaciones de sintonización 53

B. Resultados de las pruebas comparativas 59B.1. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60B.2. Ejemplos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67B.3. Ej. específicos de sint. utilizando las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Índice de figuras

2.1. Sistema de control con el Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Equivalente del sistema de control con el Predictor de Smith . . . . . . . . . 92.3. Equivalente en el caso nominal del sistema de control con el Predictor de Smith 102.4. Sistema de control con el Predictor de Smith de dos grados de libertad . . . . 12

3.1. Modelo en diagrama de bloques del lazo de control realimentado . . . . . . . 143.2. Modelo en diagrama de bloques del proceso controlado, P(s) . . . . . . . . . 143.3. Modelo en diagrama de bloques del controlador PPI2, Ceq(s) . . . . . . . . . 143.4. Modelo en diagrama de bloques del controlador PPI, CPS(s) . . . . . . . . . 153.5. Modelo en diagrama de bloques del controlador primario, C(s) . . . . . . . . 153.6. Modelo en diagrama de bloques del proceso controlado, P(s), modificado . . 173.7. Comprobación de los resultados reportados por Hägglund (1996) . . . . . . . 17

4.1. Valores de los parámetros del PPI y el PPIo2 – proceso de POMTM . . . . . . 21

4.2. Índices de robustez y desempeño del PPI y el PPIo2 – proceso de POMTM . . 21

4.3. Valores de los parámetros del PPIr, para diferentes casos de MtS y a . . . . . . 24

4.4. Valores de β , MrS y JIAE del PPIr

2, para diferentes casos de MtS y a . . . . . . . 25

4.5. Valores de los parámetros de los controladores PPIr2 y PPIo

2 en función de MrS 26

4.6. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 0) . . . . 31

5.1. Resp. de los cont. PPI, PPIr2 y PS, para P3 (τo = 1) . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2. Resp. de los cont. PPI, PPIr2 y PS, para P3 (τo = 10) . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3. Resp. de los cont. PPI, PPIr2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P1 (τo = 4,5) 39

5.4. Sensibilidad máxima y desempeño del control regulatorio – sistemas con P2 . 415.5. Márgenes normalizados de tiempo muerto – sistemas con P2 . . . . . . . . . 42

A.1. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 0) . . . . 54

A.2. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 0,25) . . 55

A.3. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 0,5) . . . 56

A.4. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 0,75) . . 57

A.5. MrS asociada al PPI2 sintonizado a partir de las opt. y de las ec. (a = 1) . . . . 58

B.1. Sensibilidad máxima y desempeño del control regulatorio – sistemas con P1 . 61

XI

XII ÍNDICE DE FIGURAS

B.2. Márgenes normalizados de tiempo muerto – sistemas con P1 . . . . . . . . . 62B.3. Sensibilidad máxima y desempeño del control regulatorio – sistemas con P2 . 63B.4. Márgenes normalizados de tiempo muerto – sistemas con P2 . . . . . . . . . 64B.5. Sensibilidad máxima y desempeño del control regulatorio – sistemas con P3 . 65B.6. Márgenes normalizados de tiempo muerto – sistemas con P3 . . . . . . . . . 66B.7. Resp. de los cont. PPI, PPIr

2 y PS, para P1 (τo = 1) . . . . . . . . . . . . . . 71B.8. Resp. de los cont. PPI, PPIr

2 y PS, para P1 (τo = 5,5) . . . . . . . . . . . . . 71B.9. Resp. de los cont. PPI, PPIr








2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P1 (τo = 1) . 77B.17. Resp. de los cont. PPI, PPIr

2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P1 (τo = 4,5) 78B.18. Resp. de los cont. PPI, PPIr



2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P2 (τo = 5,5) 79B.21. Resp. de los cont. PPI, PPIr

2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P2 (τo = 10) 80B.22. Resp. de los cont. PPI, PPIr



2 (sint. con las ecuaciones) y PS, para P3 (τo = 7) . 81

Índice de cuadros

2.1. Sintonización del PPI propuesta por Hägglund (1996) . . . . . . . . . . . . . 12

3.1. Comprobación de los resultados reportados por Hägglund (1996) . . . . . . . 16

4.1. Coeficientes de las ecuaciones para la sint. del PPIo2 . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Coeficientes de las ecuaciones para la sint. del PPIr2 con Md

S = 2 (τL < 6) . . 284.3. Coeficientes de las ecuaciones para la sint. del PPIr

2 con MdS = 1,8 . . . . . . 29

4.4. Coeficientes de las ecuaciones para la sint. del PPIr2 con Md

S = 1,6 . . . . . . 294.5. Coeficientes de las ecuaciones para la sint. del PPIr

2 con MdS = 1,4 . . . . . . 30

5.1. Resultados de pruebas comp. realizadas a P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2. Resultados de pruebas comp. realizadas a P1 (PPI2 sint. con las ecuaciones) . 39

B.1. Resultados de pruebas comparativas realizadas a P1 . . . . . . . . . . . . . . 68B.2. Resultados de pruebas comparativas realizadas a P2 . . . . . . . . . . . . . . 69B.3. Resultados de pruebas comparativas realizadas a P3 . . . . . . . . . . . . . . 70B.4. Resultados de pruebas comp. realizadas a P1 (PPI2 sint. con las ecuaciones) . 76B.5. Resultados de pruebas comp. realizadas a P2 (PPI2 sint. con las ecuaciones) . 76B.6. Resultados de pruebas comp. realizadas a P3 (PPI2 sint. con las ecuaciones) . 77

XIII

Resumen

En el presente trabajo, se desarrolló un método de sintonización para un controlador propor-cional integral predictivo (PPI), cuya estructura fue modificada para conferirle al algoritmode control el llamado segundo grado de libertad: el factor de peso del valor deseado en elmodo proporcional, β . Se decidió llamar a esta modificación controlador PPI de dos gradosde libertad (PPI2). Se incluyó, además, la posibilidad de variar o ajustar el valor del tiem-po muerto nominal (parámetro Ln del controlador), a un valor diferente de aquél del tiempomuerto aparente del proceso (L).

En el desarrollo del método se consideraron procesos controlados de primer y segundo or-den sobreamortiguados más tiempo muerto, con tiempos muertos normalizados (τL) entre 1y 10. En éste, se procuró mejorar el desempeño y la robustez del PPI, por medio de nuevassintonizaciones, obtenidas mediante optimizaciones de funcionales de costo, conformadaspor integrales del valor absoluto del error (IAE), como índices de desempeño, con restriccio-nes constituidas por cuatro valores de sensibilidad máxima (MS), como índices de robustez:MS ∈ {1,4 ; 1,6 ; 1,8 ; 2}.

Se desarrollaron ecuaciones que facilitan y agilizan la sintonización satisfactoria del PPI2 pa-ra τL ∈ [1,5 ; 8,5], con las ecuaciones correspondientes a los casos con MS = 1,4 y MS = 1,6garantizándola incluso en el resto del intervalo contemplado. Se creó también una función,que utiliza directamente los resultados de las optimizaciones para calcular los valores de losparámetros, garantizando así la efectividad de la sintonización.

Las pruebas comparativas realizadas permitieron contrastar, utilizando diferentes plantas, eldesempeño y la robustez del controlador y sintonizaciones propuestos, con los de los contro-ladores PPI y Predictor de Smith (PS).

La sintonización robusta óptima, PPIr2, garantiza MS muy cercanas a las cuatro de diseño(

MdS

). Al mismo tiempo, produce el mejor desempeño posible del control regulatorio (Jd),

para cada una de las MdS . El método propuesto establece, adicionalmente, el valor (teórico)

del parámetro β que, para dicha sintonización, produce el mejor desempeño posible del ser-vocontrol (Jr). Para cualquier proceso sobreamortiguado con 1 ≤ τL ≤ 10, es posible selec-cionar un PPIr

2 que, con respecto al PPI, tenga un Jd similar o mejor, o tenga una MS menor.Un PPIr

2 que tenga una MS similar a la del PPI, tendrá un mejor Jr.

XV

Nomenclatura

a razón de contantes de tiempo (del modelo) de la planta

β [o/r](0) (valor inicial del) factor de peso del valor deseado en el modo proporcional del contro-lador [de desempeño óptimo/robusto]

C(s) función de transferencia del controlador (primario)

Ceq(s) función de transferencia del controlador equivalente

CPS(s) función de transferencia del (controlador) Predictor de Smith

CTM [DTC] compensador de tiempo muerto [dead time compensator]

d(t), d(s) perturbación (en la entrada de la planta)

D(′)m[−/+]

margen (normalizado) de tiempo muerto [hacia la izquierda/derecha]

∆α magnitud del cambio escalón en α(t)

∆u(′)

0+ salto proporcional (normalizado), salto inicial (normalizado) en la señal de control

e(t), e(s) señal actuante de error

ε error de aproximación

F(s) función de transferencia del filtro de la referencia de entrada, función de transferenciadel filtro de entrada del valor deseado

F [t]p factor de degradación del desempeño [meta, de referencia]

φm[,i] margen de fase [correspondiente a la i-ésima frecuencia angular de cruce del círculounitario]

G(s) función de transferencia de la componente libre de tiempo muerto de la dinámica de laplanta

γ factor de peso del valor deseado en el modo derivativo del controlador

GdL [DoF] grado(s) de libertad [degree(s) of freedom]

XVII

XVIII NOMENCLATURA

Gn(s) función de transferencia libre de tiempo muerto del modelo interno del controlador,función de transferencia nominal libre de tiempo muerto del controlador, función detransferencia del modelo interno rápido del controlador

IAE integral del valor absoluto del error, integral del error absoluto

J(′)[o/r]

α [valor óptimo/robusto del] índice de desempeño (normalizado) del controlador con res-pecto a un cambio escalón en α(t), [valor óptimo/robusto de la] funcional de costo(normalizada) para la optimización del desempeño del controlador funcionando conrespecto a un cambio escalón en α(t)

JIAE índice de desempeño global (con respecto a cambios escalón tanto en la perturbacióncomo en el valor deseado) del controlador, correspondiente a la integral del valor abso-luto del error

K ganancia (del modelo) de la planta

Kn ganancia del modelo interno del controlador, ganancia nominal del controlador

Kp ganancia proporcional del controlador (primario)

κp ganancia proporcional normalizada del controlador (primario)

L tiempo muerto aparente (del modelo) de la planta

L(s) función de transferencia de lazo abierto del sistema

Ln tiempo muerto del modelo interno del controlador, tiempo muerto nominal del contro-lador

M[t/d/r]S sensibilidad máxima [meta, objetivo / deseada, de diseño / real, resultante]

ω variable de la frecuencia angular imaginaria

ω1[,i] [i-ésima] frecuencia angular de cruce de magnitud, [i-ésima] frecuencia angular de cru-ce del círculo unitario

P(s) función de transferencia (del modelo) de la planta

Pn(s) función de transferencia del modelo interno del controlador, función de transferencianominal del controlador

PDMTM polo doble más tiempo muerto

PI[2] (controlador) proporcional integral [de dos grados de libertad]

PID[2] (controlador) proporcional integral derivativo [de dos grados de libertad]

Pn(s) función de transferencia del modelo interno del controlador, función de transferencianominal del controlador

POMTM primer orden más tiempo muerto

XIX

PPI[o/d/r](2) controlador proporcional integral predictivo (de dos grados de libertad) [de desempeño

óptimo/degradado/robusto]

PS[2] (controlador) Predictor de Smith [de dos grados de libertad]

r(t), r(s) señal de referencia de entrada, valor deseado, punto de ajuste

s variable de la frecuencia angular compleja

S(s) función de sensibilidad

SOMTM segundo orden más tiempo muerto

t variable del tiempo

tα instante de tiempo en el que se aplica el cambio escalón en α(t)

T constante de tiempo principal (del modelo) de la planta, constante de tiempo dominante(del modelo) de la planta

Td tiempo derivativo del controlador (primario)

Ti tiempo integral del controlador (primario)

Tn constante de tiempo principal del modelo interno del controlador, constante de tiempoprincipal nominal del controlador

τd tiempo derivativo normalizado del controlador (primario)

τi tiempo integral normalizado del controlador (primario)

τL tiempo muerto aparente normalizado (del modelo) de la planta

τLn tiempo muerto normalizado del modelo interno del controlador

τo tiempo muerto real de la planta

u(t), u(s) señal de control, salida del controlador, entrada de la planta

y(α)(t), y(α)(s) variable controlada, señal de salida del sistema de control, respuesta del sistema decontrol (ante un cambio escalón en la señal de la entrada α del sistema)

θ[o/d/r](0)c (valores iniciales de los) parámetros del controlador [de desempeño óptimo/degrada-

do/robusto]

θ p parámetros de la planta

Capítulo 1

Introducción

1.1. Alcances

En este trabajo se propuso realizar un estudio de los sistemas de control con un controladorproporcional integral predictivo (PPI, por sus siglas en inglés) de dos grados de libertad, paradesarrollar un método de sintonización que contemplara la robustez y el desempeño óptimode éstos.

Se consideraron procesos controlados de primer y segundo orden sobreamortiguados mástiempo muerto, con un tiempo muerto normalizado en el ámbito de 1 a 10.

Para las optimizaciones, se definieron funcionales de costo con índices de error integral comocriterios de desempeño y la sensibilidad máxima del sistema como índice de robustez.

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Desarrollar, para procesos controlados de primer y segundo orden sobreamortiguados mástiempo muerto, con un tiempo muerto normalizado en el ámbito de 1 a 10, un método de sin-tonización de un controlador PPI de dos grados de libertad (PPI2), que contemple la robustezy el desempeño óptimo de los lazos de control.

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.2.2. Objetivos específicos

Desarrollar modelos y rutinas en MATLAB® y Simulink® que permitan simular y ana-lizar el comportamiento de lazos de control con el controlador PPI2.

Crear funciones que determinen la sensibilidad máxima y el margen de tiempo muertode lazos de control con el controlador PPI2, para evaluar su robustez.

Elegir el índice de error integral más adecuado como criterio de desempeño para lossistemas en estudio.

Definir las funcionales de costo con los criterios de desempeño elegidos y la sensibili-dad máxima como índice de robustez.

Desarrollar programas de optimización que permitan determinar los parámetros ópti-mos del controlador PPI2, en lazos de control con procesos controlados de primer ysegundo orden sobreamortiguados más tiempo muerto, con un tiempo muerto normali-zado en el ámbito de 1 a 10, utilizando las funcionales de costo definidas.

Determinar la sensibilidad máxima y el margen de tiempo muerto, de los sistemas decontrol resultantes de las optimizaciones para evaluar su robustez.

Determinar ecuaciones que permitan calcular los parámetros óptimos del controladoren función de los parámetros del modelo de la planta y de la sensibilidad máximadeseada.

Comparar, utilizando diferentes plantas, el desempeño y la robustez del controladorPPI2 sintonizado mediante el método desarrollado, tanto con los del controlador PPIcomo con los de otros controladores.

1.3. Justificación

Existe consenso, en la literatura técnica del control proporcional integral derivativo (PID), entorno a la idea de que el modo derivativo es útil para procesos cuya característica dinámicaes dominada por la constante de tiempo principal, pero menos útil para aquellos en los queel tiempo muerto la domina, en los cuales el desempeño de estos esquemas de control eslimitado (Åström y Hägglund, 1995; Hägglund, 1996; Ingimundarson y Hägglund, 2002;Normey-Rico y Camacho, 2007).

Para mejorar el desempeño de los lazos de control de procesos con tiempos muertos signifi-cativos, se han desarrollado los esquemas de control predictivo con modelo interno, denomi-nados compensadores de tiempo muerto (CTM), de los cuales el precursor y más conocidoes el Predictor de Smith (Smith, 1957) (PS).

1.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 3

De la misma manera que la estructura del PS es bastante más compleja que la de un PID, latendencia general de las modificaciones propuestas en la literatura técnica, es la de aumentaraún más la complejidad de la estructura y, por lo tanto, la complejidad de su sintonización, locual inevitablemente ha contribuido a obstaculizar su aceptación e implementación generali-zadas en la industria.

En respuesta a esto, se han propuesto CTM cuya sintonización es más sencilla, de los cualesel precursor y más conocido es el controlador proporcional integral predictivo (PPI, por sussiglas en inglés), propuesto por Hägglund (1996) con el objetivo de proveer un CTM que, aligual que un PID simple, pueda ser sintonizado manualmente.

Sin embargo, la sintonización propuesta para el PPI utiliza solamente un modelo de primerorden más tiempo muerto del proceso controlado y no contempla en forma integral la robustezy el desempeño óptimo de los lazos de control, ni la posibilidad de variar o ajustar el valordel tiempo muerto nominal (parámetro Ln del controlador), a un valor diferente de aquél deltiempo muerto aparente del proceso, L.

1.4. Planteamiento del problema

La sintonización robusta del controlador de un lazo de control, tiene como fin el lograr que elsistema se comporte conforme a un criterio de desempeño establecido, garantizando la esta-bilidad del lazo cuando las características dinámicas del proceso controlado cambian debidoa la no linealidad de ellas.

Se analizó si era posible mejorar el desempeño y la robustez del PPI (sintonizado tal y comolo propone Hägglund, 1996), por medio de nuevas sintonizaciones (elecciones de los valoresde los parámetros) del controlador PPI de dos grados de libertad (PPI2), obtenidas medianteoptimizaciones de funcionales de costo conformadas por índices de error integral, con índicesde robustez como restricciones.

En el desarrollo del método de sintonización robusta del controlador se consideró:

1. Procesos controlados de primer y segundo orden sobreamortiguados más tiempo muer-to, con un tiempo muerto normalizado, τL, en el ámbito de 1 a 10 (véase Sección 2.3),representados por un modelo general de la forma de (1.1), cuyos parámetros, θ p, seexpresan en (1.2).

P(s) = G(s)e−Ls =K

(T s+1)(aT s+1)e−Ls ,

0 ≤ a ≤ 1 , 1 ≤ τL =LT≤ 10

(1.1)

θ p = {K , T , a , L} (1.2)


2. La función de salida del controlador a sintonizar: el PPI2, la cual se expresa en (1.3),con los parámetros del controlador, θ c, expresados en (1.4).

u(s) =[

TisTis+(1−e−Lns)

]Kp

{β r(s)− y(s)+

1Tis

[r(s)− y(s)]}

(1.3)

θ c ={

Kp , Ti , Ln , β}={

θ′c , β

}(1.4)

3. El desempeño del lazo de control, medido con un índice de error integral, de la formaexpresada en (1.5), en la que se sustituye el subíndice α por los subíndices r o d,para indicar que corresponde a un cambio en el valor deseado o en la perturbación,respectivamente.

Jα = Jα(θ c,θ p) �∫

∞

0tm∣∣yα(θ c,θ p, t)− r(t)

∣∣ndt ,

m ∈ {0 , 1 , 2} , n ∈ {1 , 2}(1.5)

4. La robustez del lazo de control medida con la sensibilidad máxima, MS, expresada en(1.6), y con el margen de tiempo muerto, Dm, expresado en (1.7).

MS �maxω|S(jω)| �max

ω

∣∣∣∣ 11+L(jω)

∣∣∣∣ (1.6)

Dm �mıni

∣∣∣∣φm,i

ω1,i

∣∣∣∣ (1.7)

5. La determinación de los valores de los parámetros del controlador (1.8) que, garanti-zando cierta sensibilidad máxima, Mt

S, optimizan el desempeño del sistema de control(1.5) ante un cambio escalón en la perturbación (1.9) y en el valor deseado (1.10).

θoc =

{Ko

p , T oi , Lo

n , βo}= {θ

′oc , β

o}

(1.8)

Jod = Jd(θ

′oc ,θ p) �mın

θ′c

Jd(θ′c,θ p) sujeto a: MS ≤Mt

S (1.9)

Jor = Jr(θ

′oc ,β

o,θ p) �mınβ

Jr(θ′oc ,β ,θ p) (1.10)

6. La medición de la robustez del sistema de control óptimo resultante con los índices(1.6) y (1.7).

1.5. METODOLOGÍA 5

1.5. Metodología

Para alcanzar los objetivos propuestos, se crearon funciones y programas en MATLAB® ymodelos en el entorno de programación visual (mediante diagramas de bloques) Simulink® ,en el entorno de desarrollo integrado del software matemático MATLAB® .

Para estudiar lazos de control realimentado que involucraran al controlador PPI2, propuesto,fue necesario desarrollar programas que permitieran simular y analizar su comportamiento.Las simulaciones de los lazos de control se hicieron en Simulink® , y el control de ejecuciónen programas y funciones en MATLAB® .

Para evaluar la robustez de los sistemas de control, se crearon funciones que determinan lasensibilidad máxima y el margen de tiempo muerto de los lazos de control.

Se analizaron diferentes índices de error integral y se eligió la integral del valor absoluto delerror (IAE) como criterio de desempeño, con el cual se definieron funcionales de costo en lasque también se incluyó la sensibilidad máxima como criterio de robustez.

Para determinar los parámetros óptimos del PPI2, se desarrollaron programas de optimizaciónde las funcionales de costo definidas, variando los diferentes parámetros, θ p, del modelo querepresenta el proceso controlado.

Utilizando las funciones creadas, se determinó la sensibilidad máxima y el margen de tiempomuerto de los sistemas de control resultantes de las optimizaciones, para evaluar su robustezy verificar que cumplieran con la sensibilidad máxima especificada.

Una vez validados los resultados de las optimizaciones obtenidos, se ajustaron ecuacionesque permitieran calcular los parámetros óptimos del controlador, en función de los parámetrosdel modelo de la planta y de la sensibilidad máxima deseada. Se creó también una funciónque utiliza directamente los resultados de las optimizaciones para calcular los valores de losparámetros de los controladores, garantizando así la efectividad de la sintonización.

1.6. Procedimiento de evaluación

Para la evaluación del método de sintonización desarrollado, se consideraron los mismos pro-cesos utilizados por Hägglund (1996) para realizar sus pruebas, y se varió el tiempo muertode éstos, para abarcar un mayor intervalo de valores de τL. A partir de éstos, se obtuvieronmodelos de primer o segundo orden más tiempo muerto empleando el método de identifica-ción 123c de Alfaro (2006).

A partir de los modelos obtenidos, se sintonizó el PPI con la sintonización original propuestapor Hägglund (1996), el PS, con su modelo interno igual al mejor modelo identificado y su


controlador primario constituido por un PID Estándar, sintonizado mediante la síntesis delservocontrol de Martin et al. (1975), y el PPI2, propuesto, con el método desarrollado.

Se evaluó la robustez de los sistemas de control mediante la sensibilidad máxima y el margende tiempo muerto, y su desempeño ante cambios en el valor deseado y en la perturbaciónmediante índices de error integral, y se verificó si los controladores cumplen con la robustezmínima garantizada por los métodos de sintonización.

Finalmente, con los resultados obtenidos se hizo un análisis comparativo de los diferentescontroladores y sus respectivos métodos de sintonización, y se determinó en qué circunstan-cias es recomendable el uso del PPI2, en particular para L > T .

Capítulo 2

Antecedentes

Los tiempos muertos aparecen en muchos procesos en la industria y en otros campos, talescomo sistemas económicos y sistemas biológicos. Según Normey-Rico y Camacho (2007),éstos son causados por algunos de los siguientes fenómenos:

Retardo de transporte: el tiempo necesario para transportar masa, energía o informa-ción, el cual está relacionado directamente con la distancia cubierta y la velocidad a laque viaja.

Acumulación de retardos: efecto acumulativo que se presenta en un conjunto de siste-mas sencillos en serie, en el que el tiempo muerto aparente que con respecto al primeropresenta el último está determinado por la combinación de los tiempos muertos de lossistemas y un tiempo muerto aparente adicional causado por la combinación de lasconstantes de tiempo principales de los sistemas.

Tiempo de procesamiento: requerido por algunos sensores tales como los analizadoresy por controladores con algoritmos o procesos (secuencias) de control complicados.

En este tipo de procesos, cada acción sobre la variable manipulada afectará la variable con-trolada hasta después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo: el tiempo muerto delproceso. Éste introduce en frecuencia un atraso adicional en la fase del sistema, reduciendocomo consecuencia su robustez. Todo esto hace que analizar y diseñar controladores parasistemas con tiempos muertos significativos sea más difícil.

Debido al efecto importante que pueden tener los errores de estimación del tiempo muertosobre la robustez, en los análisis de robustez de procesos con tiempos muertos significativosse suele incluir entre los índices de robustez el margen de tiempo muerto, propuesto porLandau et al. (1995). Éste se define como el menor cambio en el valor del tiempo muerto,que hace que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. Si en el diagrama de Nyquist delsistema, la curva interseca al círculo unitario en las frecuencias ω1,i con el margen de fase

7

8 CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES

respectivo φm,i, el margen de tiempo muerto, Dm, está dado por

Dm �mıni

[φm,i

ω1,i

](2.1)

2.1. Control PID de procesos con tiempo muerto

El algoritmo de control proporcional integral derivativo (PID) es, por mucho, el más domi-nante hoy en día (Åström y Hägglund, 2001). La mayoría de los lazos de control realimentadoson controlados con este algoritmo o variaciones de él, implementado de muchas formas di-ferentes, ya sea como controlador autónomo o como parte de un paquete de control digitaldirecto o de un sistema jerárquico de control distribuido (Åström y Hägglund, 2006). La ma-yor parte de las técnicas de control avanzado están organizadas jerárquicamente, de maneraque los controladores PID se utilizan en el nivel inferior, y los algoritmos de control avanzadogeneran sus referencias de entrada (Normey-Rico y Camacho, 2007).

Si bien en algunos casos se puede utilizar el control PID para controlar procesos con tiemposmuertos significativos con cierto éxito, el modo derivativo en el control PID es, según Shins-key (1996) y Åström y Hägglund (2001), más útil para el control de procesos dominados porla constante de tiempo principal (o constante de tiempo dominante), T , que para el controlde procesos dominados por el tiempo muerto, L. Esto se debe a que la predicción de la salidarealizada con base en la extrapolación lineal de ésta, no es efectiva para procesos con tiemposmuertos significativos (Åström y Hägglund, 2001).

Para Normey-Rico y Camacho (2007), si se desea un mayor desempeño o si el tiempo muertoes dominante en la dinámica del proceso (L > 2T ), debe utilizarse una estrategia de controlpredictivo con modelo interno: un compensador de tiempo muerto (CTM, o DTC, por sussiglas en inglés).

2.2. El Predictor de Smith

Según Åström y Hägglund (2001), es significativamente mejor realizar predicciones con baseen las entradas que le fueron suministradas al sistema, que en aquellas que aún no se hanreflejado en la salida, lo cual se logra con el Predictor de Smith (Smith, 1957): el precursory más conocido de los CTM, cuya estructura se muestra en la Figura 2.1 y cuya estructuraequivalente se muestra en la Figura 2.2.

El controlador predictor de Smith, o Predictor de Smith (PS, o SP, por sus siglas en inglés),considerado como el primer algoritmo de control predictivo con modelo interno, consta deun controlador primario, C(s), y un predictor que utiliza un modelo interno del proceso,Pn(s) = Gn(s)e−Lns, para eliminar el efecto del tiempo muerto en la respuesta nominal del

2.2. EL PREDICTOR DE SMITH 9

C s G s

d t

y t r t e t u t

py t

nG se nL s

Predictor

e Ls

P sControlador Predictor de Smith

Figura 2.1: Sistema de control con el Predictor de Smith

C s P s

n nG s P s

d t

y t r t e t u t

eqC s

v t

H s

Figura 2.2: Equivalente del sistema de control con el Predictor de Smith

servocontrol. En otras palabras, en el caso nominal: d(t) = 0, P(s) =G(s)e−Ls =Gn(s)e−Lns,la respuesta a un cambio en el valor deseado se asemeja a la que tendría el sistema si dichoretraso, e−Ls = e−Lns, se diera a la salida del lazo de control y el proceso controlado notuviera tiempo muerto, P′(s) = G(s) = Gn(s), tal y como se muestra en la Figura 2.3. De estaforma, en el caso ideal, el controlador primario de un CTM se puede sintonizar como si noexistiera el tiempo muerto.

Según Ingimundarson y Hägglund (2002) y Normey-Rico y Camacho (2007), el controla-dor primario del PS puede sintonizarse para lograr un buen compromiso entre desempeño yrobustez en el control de procesos estables, ofreciendo mejores respuestas que un PID prin-cipalmente cuando el tiempo muerto es dominante (mucho mayor que la constante de tiempoprincipal del proceso) y bien conocido (el modelo interno lo representa bien: el tiempo muertovaría poco con respecto al nominal).


C s nG s

y t r t e t u te nL s

P s

Figura 2.3: Equivalente en el caso nominal del sistema de control con el Predictor de Smith

Sin embargo, el PS no puede ser utilizado para el control de procesos integrantes o inestables,y la respuesta del control regulatorio (rechazo de perturbaciones) no puede ser más rápida quela de lazo abierto (no mejora tanto como la respuesta del servocontrol).

2.3. Otros compensadores de tiempo muerto

Diferentes estructuras de CTM (modificaciones a la estructura del PS) se han propuesto paraadaptar la estructura del PS para el control de procesos integrantes o inestables, o para mejorarel desempeño del control regulatorio. Éstas incluyen la utilización de un modelo internorápido, Gn(s), modificado, la adición de un algoritmo de control prealimentado o la adiciónde un filtro de la referencia de entrada, r(t), un filtro de la señal realimentada, y(t), o un filtroobservador de perturbaciones, entre otras. Entre ellas están las propuestas por Åström et al.(1994), Zhang y Sun (1996), Mataušek y Micic (1996), Normey-Rico et al. (1997), Mataušeky Micic (1999), Normey-Rico y Camacho (2002), Hung et al. (2005), Panda et al. (2006) yNormey-Rico y Camacho (2009).

De la misma manera que el PS es bastante más complejo que un PID, la tendencia generalde las modificaciones al PS propuestas en la literatura técnica, es la de aumentar aún más lacomplejidad de la estructura y, por lo tanto, la complejidad de su sintonización. La mejoradel desempeño compensa en general el incremento en la complejidad de la sintonización(Normey-Rico y Camacho, 2007).

De acuerdo con Ingimundarson y Hägglund (2002), para procesos estables con L/T ∈ [0,2 ; 10]puede obtenerse una reducción sustancial en la integral del error absoluto (IAE, por sus si-glas en inglés) si se cambia un controlador proporcional integral (PI) por un CTM, y, si esaceptable un menor margen de tiempo muerto, Dm, puede incluso obtenerse un desempeñosuperior al de un PID para L/T ∈ [1 ; 10].

2.4. EL CONTROLADOR PPI 11

2.4. El controlador PPI

Con el objetivo de proveer un CTM que, al igual que un PID, pueda ser sintonizado manual-mente, Hägglund (1996) propone el controlador PI predictivo (PPI por sus siglas en inglés),cuyo algoritmo ha sido implementado comercialmente como parte de controladores comoel ECA400 y el ECA600 de ABB (ABB Automation Technology Products AB, 2000a,b,2002).

El PPI tiene la estructura de un PS (Figura 2.1 y Figura 2.2) cuyo predictor utiliza un modelointerno de primer orden más tiempo muerto (POMTM) (2.2) del proceso y cuyo controladorprimario es un PI con sus parámetros fijados en función de los parámetros del modelo internodel predictor, según (2.3).

Pn(s) = Gne−Lns =Kn

Tns+1e−Lns =

1/Kp

Tis+1e−Lns , Kn =

1Kp

, Tn = Ti (2.2)

C(s) = Kp

(1+

1Tis

)=

Kp (Tis+1)Tis

=Tns+1KnTns

, Kp =1

Kn, Ti = Tn (2.3)

De manera equivalente, Hägglund (1996) explica que dos de los parámetros del modelo in-terno (la ganancia estática, Kn, y la constante de tiempo principal, Tn) se determinan «auto-máticamente» en función de los parámetros del controlador PI primario (la ganancia propor-cional, Kp, y el tiempo integral, Ti, respectivamente), los cuales constituyen, junto al tiempomuerto del modelo interno (tiempo muerto nominal), Ln, los tres parámetros ajustables delPPI, cuya función de transferencia equivalente, Ceq(s), se expresa en (2.4) y cuya ecuaciónde salida se expresa en (2.5).

Ceq(s) =C(s)

1+C(s)H(s)=

C(s)1+C(s)[Gn(s)−Pn(s)]

=C(s)

1+C(s)Gn(s)(1−e−Lns)=

[Tis

Tis+(1−e−Lns)

]Kp

(1+

1Tis

) (2.4)

u(s) =[


]Kp

{r(s)− y(s)+

1Tis

[r(s)− y(s)]}

(2.5)

Hägglund (1996) propone la sintonización presentada en el Cuadro 2.1, en función de unmodelo de POMTM del proceso controlado (2.6), y afirma que hay una diferencia fundamen-tal entre la sintonización de un PID y la sintonización del PPI. En los métodos sistemáticosde sintonización de controladores PID, la determinación de los parámetros del controladordepende esencialmente de la relación entre el tiempo muerto aparente, L, y la constante detiempo dominante, T , del modelo del proceso. En el PPI, los efectos del tiempo muerto soneliminados del criterio de selección de los parámetros Kp y Ti, de manera que dichos paráme-tros toman los mismos valores cuando los modelos difieren solamente con respecto al tiempo


Cuadro 2.1: Sintonización del PPI propuesta por Hägglund (1996)Parámetro Kp Ti Ln

Valor 1/K T L

muerto aparente. Esta propiedad permite, según explica Hägglund (1996), que el parámetroLn esté conectado a una señal (de caudal o velocidad, por ejemplo), de manera que puedaseguir variaciones que pueda sufrir el tiempo muerto aparente del proceso.


T s+1e−Ls (2.6)

La estructura del PPI puede ser modificada agregando un filtro de la señal del valor deseadoen la entrada del controlador, F(s), de manera que le confiera al algoritmo de control, Ceq(s),el llamado segundo grado de libertad: el factor de peso del valor deseado en el modo pro-porcional, β , el cual permite, luego de haberse sintonizado el control regulatorio para ciertarobustez, mejorar el desempeño del servocontrol sin alterar la robustez. En este trabajo se hadecidido llamar a esta modificación controlador PPI de dos grados de libertad (PPI2).

El PPI2 corresponde entonces a un caso particular del controlador Predictor de Smith de dosgrados de libertad (PS2), cuya estructura se muestra en la Figura 2.4. En éste, el predictorutiliza un modelo interno de POMTM (2.2) del proceso, Pn(s) = Gn(s)e−Lns, el controladorprimario, C(s), es un PI con sus parámetros fijados en función de los parámetros del modelointerno del predictor (o, equivalentemente: cuyos parámetros determinan dos de los paráme-tros del modelo interno) según (2.3), y el filtro de la referencia de entrada, F(s), tiene lafunción de transferencia expresada en (2.7).

F(s) =βTis+1Tis+1

=βTns+1Tns+1

(2.7)

El controlador utilizado en este trabajo: el PPI2, está representado entonces por el diagramade la Figura 2.4 y su salida por (2.8), con los parámetros del controlador, θ c, expresados en(2.9).

u(s) =[


]Kp

{β r(s)− y(s)+

1Tis

[r(s)− y(s)]}

(2.8)

θ c ={

Kp , Ti , Ln , β}={

θ′c , β

}(2.9)

2.4. EL CONTROLADOR PPI 13

F s

r t C s P s

n nG s P s

d t

y t e t u t

eqC s

v t

H s

Figura 2.4: Sistema de control con el Predictor de Smith de dos grados de libertad

Capítulo 3

Modelado del sistema de control

3.1. Modelado

Para el modelado de los diferentes sistemas y subsistemas, se crearon diagramas de bloquesen la plataforma de simulación multidominio Simulink® , del entorno de desarrollo integradodel paquete de cómputo matemático MATLAB® .

En la Figura 3.1 se muestra el diagrama de bloques que modela el lazo (sistema completo) decontrol realimentado. Éste contiene los bloques que modelan los subsistemas correspondien-tes al proceso controlado (planta) y al controlador analizado (proporcional integral predictivode dos grados de libertad, PPI2), representados mediante las funciones de transferencia P(s) yCeq(s), respectivamente. Los modelos se desarrollaron inicialmente para reproducir los resul-tados presentados por Hägglund (1996). Por ejemplo, para poder imitar los valores inicialesde las señales, se le agregaron al modelo elementos que permiten adicionar un valor de com-pensación (offset) en la medición de la señal de control, u(t) y de la variable controlada,y(t), mediante la modificación (véase 3.2) de los valores de las variables u_off y y_off,respectivamente.

El diagrama de bloques que modela el proceso controlado (planta) se presenta en la Figu-ra 3.2. Su componente libre de tiempo muerto, G(s), está representada en este diagrama pormedio de la función de transferencia homónima (cuyos parámetros se definen desde la rutinade MATLAB®): bloque que conforma, junto al bloque del tiempo muerto, el modelo que seutilizó para representar la planta en las simulaciones y optimizaciones.

La Figura 3.3 muestra el diagrama de bloques que modela la estructura del PPI2, Ceq(s). Elcontrolador proporcional integral predictivo (PPI, por sus siglas en inglés), caso particulardel controlador Predictor de Smith (Smith, 1957), PS, se modela en este diagrama como unsubsistema, representado por el bloque correspondiente al PS, CPS(s).

El diagrama de bloques mostrado en la Figura 3.4, modela la estructura del PPI: un PS cuyo

15

16 CAPÍTULO 3. MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL

d(t)

5

r(t)

4

e(t) 3u(t)

2

y(t)

1

y_offy_off

u_off

u_off

Valor

Deseado

r(t)

Scope1

Scope

Proceso Controlado

P(s)

d(t)

u(t)

y(t)

Controlador

C_eq(s)

r(t)

y(t)

u(t)

Perturbación

d(t)

Figura 3.1: Modelo en diagrama de bloques del lazo de control realimentado

y(t)

1

e^(-L*s)G(s)

G(s)

u(t)

2

d(t) 1

Figura 3.2: Modelo en diagrama de bloques del proceso controlado, P(s)

u(t)

1

Filtro del

valor deseado

F(s)

beta*T_i.s+1

T_i.s+1

Controlador

Predictor de Smith

C_PS(s)

r(t)

y(t)

u(t)

y(t) 2

r(t)

1

Figura 3.3: Modelo en diagrama de bloques del controlador PPI2, Ceq(s)

3.1. MODELADO 17

u(t)1

Tiempo muertodel Modelo interno

e^(-L_n*s)

Modelo InternoRápidoG_n(s)

1/K_p

T_i.s+1

Controlador PrimarioC(s)

e(t) u(t)

y(t) 2

r(t)1

Figura 3.4: Modelo en diagrama de bloques del controlador PPI, caso particular delcontrolador Predictor de Smith, CPS(s)

u(t)

1

Modo Integral

1

T_i.s

GananciaProporcional

K_p

e(t)

1

Figura 3.5: Modelo en diagrama de bloques del controlador primario, C(s)

modelo interno rápido (componente libre de tiempo muerto), Gn(s), está predefinido comouna función de transferencia de primer orden que tiene los valores de su ganancia, Kn, yconstante de tiempo dominante, Tn, programados, según (2.2), en función de los valores delos parámetros del controlador primario, C(s), que en el caso del PPI es un controlador pro-porcional integral (PI). Este último es representado como un subsistema (bloque), y modeladopor medio del diagrama de bloques presentado en la Figura 3.5.

Para las simulaciones, se utilizó el método numérico ode4(Runge-Kutta) con paso fijode 1×10−4 para la solución de las ecuaciones diferenciales (implícitas en los diagramas debloques) de los modelos.

18 CAPÍTULO 3. MODELADO DEL SISTEMA DE CONTROL

Cuadro 3.1: Comprobación de los resultados reportados por Hägglund (1996)

ProcesoControlador

Coeficiente IAEPPIIAEPIPI PPI

Kp Ti Kp Ti Ln Hägglund Obtenido

G1 0,28 2,3 1,0 1,0 5,0 0,73 0,68G2 0,25 3,9 1,0 1,0 10,0 0,70 0,64G3 0,25 2,8 1,0 2,0 6,0 0,71 0,70G4 0,27 4,8 1,0 2,0 11,0 0,72 0,68G5 0,25 2,4 1,0 1,5 5,5 0,73 0,70G6 0,25 4,2 1,0 1,5 10,5 0,71 0,66

3.2. Validación de los modelos

Para validar los modelos, se reprodujeron las pruebas reportadas por Hägglund (1996), rea-lizadas a los procesos cuyas funciones de transferencia se expresan en (3.1)–(3.3). La rutinade MATLAB® creada con este fin modifica los bloques del subsistema de Simulink® que mo-dela el proceso controlado, P(s), presentado en la Figura 3.2, para introducir las diferentesfunciones de transferencia de las plantas de prueba. Puesto que en las pruebas realizadas porHägglund (1996) se empleó un controlador cuya acción proporcional es aplicada solamentea la variable controlada, se fijó para su reproducción la magnitud del factor de peso del valordeseado en el modo proporcional del PPI2, β , en 0.

G1;2(s) =e−Ls

1+ s, L ∈ {5 ; 10} (3.1)

G3;4(s) =e−Ls

(1+ s)3 , L ∈ {5 ; 10} (3.2)

G5;6(s) =e−Ls

(1+ s)(1+0,5s)(1+0,25s)(1+0,125s), L ∈ {5 ; 10} (3.3)

El Cuadro 3.1 recoge los datos reportados por Hägglund (1996), y presenta además, a modode comparación, los valores del coeficiente de mejora del desempeño, IAEPPI/IAEPI , obte-nidos en la reproducción de las pruebas. Puede verse que éstos no solamente fueron bastantecercanos a los reportados, sino que fueron además mejores, a pesar de haberse realizado laevaluación reproduciendo todo lo reportado por Hägglund (1996). Una posible razón paraesta diferencia puede ser el uso de diferentes pasos de simulación o de integración (no fue-ron reportados), o de tiempos de simulación diferentes (al utilizado en las gráficas). El usode tiempos de simulación menores, podría haber causado, por ejemplo, reducciones en losvalores del IAEPI (no reportados) mayores que en los valores del IAEPPI (no reportados),aumentando así los valores del coeficiente IAEPPI/IAEPI.

Para hacer coincidir las respuestas de los controladores con las reportadas por Hägglund(1996), fue necesario modificar el modelo del proceso controlado, de manera que el tiempo

3.2. VALIDACIÓN DE LOS MODELOS 19

y(t)

1

e^(-L*s)G(s)

G(s)

u(t)

2

d(t) 1

Figura 3.6: Modelo en diagrama de bloques del proceso controlado, P(s), modificado(exclusivamente) para poder reproducir las respuestas reportadas por Hägglund (1996)

Industrial Dead-Time Compensating PI Controller

Table 1. Results of the simulations with the PI and the PPI controller

755

Process PI PPI

K Ti K Ti L

IAEppz Es t ima ted P a r a m e t e r s

IAEpI Kp Lp T 6 3 % TZN

G1 0.28 2.3 1.0 1.0 5.0 0.73 1.0 5.0 1.0 1.0

G2 0.25 3.9 1.0 1.0 10.0 0.70 1.0 10.0 1.0 1.0

G8 0.25 2.8 1.0 2.0 6.0 0.71 1.0 5.8 2.7 3.9

0.27 4.8 1.0 2.0 11.0 0.72 1.0 10.8 2.7 3.9

G5 0.25 2.4 1.0 1.5 5.5 0.73 1.0 5.5 1.6 2.2

66 0.25 4.2 1.0 1.5 10.5 0.71 1.0 10.5 1.6 2.2

7. INDUSTRIAL EXPERIENCES

The PPI control ler has been implemented in the s ingle-s ta t ion control ler ECA400, manufac tu red by Alfa Lava l Automat ion (see Fig. 6).

The following example shows the resul t of us ing the ECA400 control ler to control pulp concentra- t ion in a paper mill. The measu red value is the

Process output and set point

o. I J o io 4b

Control signal

o 2b ~b 6b

8b ,6o

8b tGo

Process output and set point

0.4

0 o 2'o do 6b 8b t~o

Control s ignal

O. ,

0 2'o 4b 6b 8b t~o

Fig. 5. Comparisons between the PI and the PPI controller for the processes G5 (upper) and G6 (lower). The graphs show a step response followed by a load disturbance. The faster response is obtained by the PPI controller, and the slower is obtained by the PI controller.

pulp concentrat ion, and the control ler controls a valve tha t de termines the amoun t of wa te r t ha t is added to the pulp flow. Since the concen- t ra t ion t r a n s m i t t e r in this case is ins ta l led far away from the valve, the process has a significant dead time.

For a PI controller, the au tomat ic t un ing proce- dure in the ECA400 controller proposed a gain K = 0.13 and an in tegra l t ime Ti = 24 sec. Fig. 7 shows the control af ter a step change in set point. The response is slow, bu t wi thout over- shoot. F ine tun ing o f the control ler did not im- prove the control performance in any significant way.

A step-response exper iment revealed t h a t the

Fig. 6. The Alfa Laval Automation ECA400 controller.

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1G6 : IAEPPI/IAEPI ≈ 0,66

Salida,y(t)

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senaldecontrol,u(t)

Tiempo, t (s)

PI (JIAE ≈ 13.91)

PPI (JIAE ≈ 9.17)

Figura 3.7: Comparación de las respuestas de los controladores PI y PPI para el caso delproceso G6 reportadas por Hägglund (1996) (izquierda) y obtenidas en la reproducción de las

pruebas (derecha)

muerto se aplicara antes de la perturbación, tal y como se muestra en Figura 3.6. Además,fue necesario adicionar un valor de compensación (offset) de 0,2 en la medición de la señalde control, u(t), y de la variable controlada, y(t), mediante la modificación de los valoresde las variables u_off y y_off del modelo principal, mostrado en la Figura 3.1. Estasmodificaciones no afectan el desempeño del lazo de control, y se realizaron únicamente parala reproducción de las pruebas comparativas presentadas por Hägglund (1996).

La Figura 3.7 muestra, también a modo de comparación, las respuestas de los controladoresreportadas por Hägglund (1996) y obtenidas en la reproducción de las pruebas, para el casocon el proceso G6.

Capítulo 4

Desarrollo del método de sintonización

En el procedimiento seguido para el desarrollo del método de sintonización propuesto, quetiene como base el utilizado en Alfaro et al. (2010) y Alfaro y Vilanova (2012a,b), se em-pleó el proceso con función de transferencia (4.1), con constante de tiempo dominante, T , yganancia, K, unitarias, con la razón de constantes de tiempo, a, variando en pasos de 0,25 ycon el tiempo muerto normalizado, τL � L/T , variando en pasos de 0,5.

P(s) =Ke−Ls

(T s+1)(aT s+1)=

e−Ls

(s+1)(as+1), a ∈ [0,1] , τL � L/T = L ∈ [1,10] (4.1)

Por ser práctica usual en la literatura, se eligió la integral del valor absoluto del error (IAE)como índice de desempeño, J = JIAE . La IAE está relacionada directamente con el desempeñoeconómico del lazo, pues es proporcional al desperdicio de producto, al exceso en el consumode servicios públicos y a la reducción de la capacidad de la planta, y penaliza además laoscilación continuada (Shinskey, 2002). Cualquier mención de este índice en la que no seespecifique si corresponde al servocontrol, Jr, o al control regulatorio, Jd , hace referencia aldesempeño global: la suma de ambos índices (4.2).

J = JIAE � Jd + Jr (4.2)

Cualquier mención del controlador proporcional integral predictivo (PPI, por sus siglas eninglés), en la que no se haga alusión a una sintonización diferente, hace referencia a la sinto-nización propuesta originalmente por Hägglund (1996).

4.1. Desempeño óptimo

Primero se llevó a cabo la optimización sin restricciones del desempeño del lazo de controlcon el controlador PPI de dos grados de libertad (PPI2). Se optimizó el desempeño del PPI (de

21

22 CAPÍTULO 4. DESARROLLO DEL MÉTODO DE SINTONIZACIÓN

un grado de libertad, 1GdL) ante cambios en la perturbación, utilizando para ello la funcionalde costo (4.3) según(4.4), partiendo de los valores iniciales (4.5), θ

′o(0)c , los cuales correspon-

den a la sintonización propuesta originalmente por Hägglund (1996). Los valores obtenidosa partir de la optimización, θ

′oc , constituyen los valores de los parámetros del controlador PPI

de desempeño óptimo, PPIo.

Jd = Jd

(θ′c,θ p

)�∫

∞

0

∣∣∣yd

(θ′c,θ p, t

)− r(t)

∣∣∣dt (4.3)

Jod = Jd

(θ′oc ,θ p

)�mın

θ′c

Jd

(θ′c,θ p

)(4.4)

θ′o(0)c =

{1K, T , L

}(4.5)

Por último, se utilizó la sensibilidad máxima, MS, para evaluar la robustez de los sistemas decontrol obtenidos.

Como ejercicio aparte, se agregó el segundo GdL: el factor de peso del valor deseado en elmodo proporcional, β , para mejorar el desempeño del controlador PPIo ante cambios en elvalor deseado (4.6). Utilizando la funcional de costo (4.6) según (4.7), se obtuvo el parámetroβ o, partiendo de la condición inicial β o(0) = 1.

Jr = Jr(θ c,θ p

)= Jr

(θ′c,β ,θ p

)�∫

∞

0

∣∣∣yr

(θ′c,β ,θ p, t

)− r(t)

∣∣∣dt (4.6)

Jor = Jr

(θ′oc ,β

o,θ p

)�mın

β

Jr

(θ′oc ,β ,θ p

)(4.7)

Los valores obtenidos a partir de las optimizaciones, θoc =

{θ′oc ,β

o}

, constituyen los valoresde los parámetros del controlador PPI2 de desempeño óptimo, PPIo

2.

La Figura 4.1 presenta, a modo de comparación, diferentes juegos de valores obtenidospara los parámetros (normalizados) del PPIo

2, y los respectivos valores de los parámetrosdel PPI, para un proceso de primer orden más tiempo muerto (POMTM). Puede verse enella que el valor óptimo del tiempo muerto del modelo interno, Ln, obtenido, es bastantecercano al valor propuesto por Hägglund (1996), y, tanto éste como los valores óptimosde la ganancia proporcional y el tiempo integral obtenidos, se aproximan a los propues-tos, θ

′c =

{Kp,Ti,Ln

}= {1/K,T,L}, conforme crece τL. Destaca en la figura el intervalo

3 ≤ τL ≤ 4, en el que se presenta una inflexión en el comportamiento del tiempo integralnormalizado, τi � Ti/T , que hace que éste sea, a diferencia de los otros, no monótono.

En la Figura 4.2 se muestran los valores de los índices de robustez y desempeño (global)correspondientes: la sensibilidad máxima, MS, y el índice de error integral del valor absolutodel error, JIAE , respectivamente. Puede verse en ésta una clara relación lineal entre τL y elvalor mínimo (óptimo) de JIAE . Se aprecia también que el valor de MS se aproxima a 2 a

4.1. DESEMPEÑO ÓPTIMO 23

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

τL.= L/T

κp. =K

pK

PPIPPI

o2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

τL.= L/T

τi.=

Ti/T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789

10

τL.= L/T

τLn

.=

Ln/T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

τL.= L/T

β

Figura 4.1: Comparación de los valores (normalizados) de los parámetros de los controladoresPPI y PPIo

2, para un proceso de POMTM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

τL.= L/T

MS

PPIPPI

o2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

τL.= L/T

JIAE

. =Jd+Jr

Figura 4.2: Comparación de los índices de robustez (izquierda) y desempeño (derecha) dellazo de control con los controladores PPI y PPIo

2, para un proceso de POMTM


medida que los valores de la ganancia proporcional, Kp, y el tiempo integral, Ti, se aproximana los propuestos por Hägglund (1996), a medida que crece el valor de τL. La variación de laMS con respecto al τL que exhibe el PPI, pone en evidencia la necesidad de imponer un valormínimo de robustez como restricción en la optimización del desempeño, de manera que selogre un mejor balance en el compromiso desempeño-robustez.

4.2. Desempeño robusto

Según Alfaro y Vilanova (2012a), si se incluye una restricción de robustez en el diseño, esde esperar que se reduzca (degrade) el desempeño del lazo (J ≥ Jo), por lo que se utiliza unfactor de degradación del desempeño

Fp �Jo

dJd≤ 1 (4.8)

para evaluar ese compromiso entre desempeño y robustez.

Para mejorar la robustez del lazo de control, se modificó la funcional de costo, incluyendo enésta un factor de degradación del desempeño meta, F t

p, tal y como se expresa en

JFp = JFp

(θ′c,F

tp,θ p

)�

∣∣∣∣∣∣ Jod

Jd

(θ′c,θ p

) −F tp

∣∣∣∣∣∣, (4.9)

para obtener los parámetros del controlador de desempeño degradado, θ′dc , según

JoFp

= JFp

(θ′dc ,F

tp,θ p

)�mın

θ′c

JFp

(θ′c,F

tp,θ p

). (4.10)

Para garantizar una robustez específica del lazo de control, se creó la nueva funcional decosto

JMS = JMS

(θ′c,F

tp,M

tS,θ p

)�∣∣∣MS

(θ′c,F

tp,θ p

)−Mt

S

∣∣∣= ∣∣∣MS

(θ′dc ,θ p

)−Mt

S

∣∣∣, (4.11)

en la que se evalúa la sensibilidad máxima (1.6), MS, y se incluye una sensibilidad máximameta, Mt

S. Se anidó, dentro de ésta, la optimización del desempeño degradado (4.10), para

obtener así los valores de los parámetros, θ′d , del controlador PPI de desempeño degradado,

PPId , que garantizan MS ≈MtS, según

JoMS

= JMS

(θ′rc ,M

tS,θ p

)�mın

Ftp

JMS

(θ′c,F

tp,M

tS,θ p

). (4.12)

Éstos constituyen los valores de los parámetros del controlador PPI de desempeño robusto(PPIr), θ

′rc .

4.2. DESEMPEÑO ROBUSTO 25

Para evaluar la robustez de los sistemas de control obtenidos, se calculó su sensibilidad má-xima resultante, Mr

S, y, finalmente, para mejorar el desempeño del PPIr ante cambios en elvalor deseado (4.6), se agregó el segundo GdL: el factor de peso del valor deseado en elmodo proporcional, β . Así, el parámetro β r se obtuvo utilizando la funcional de costo (4.6),según

Jrr = Jr

(θ′rc ,β

r,θ p

)�mın

β

Jr

(θ′rc ,β ,θ p

), (4.13)

partiendo de la condición inicial β r(0) = β o.

Los valores obtenidos a partir de las optimizaciones, θrc =

{θ′rc ,β

r}

, constituyen los valores

de los parámetros del controlador PPI2 de desempeño robusto, PPIr2. Éstos garantizan un lazo

de control con robustez MS ≈ MtS y el mejor desempeño permitido, según el criterio IAE

(4.3), (4.6), JIAE .

Al realizar las optimizaciones, se consideraron cuatro valores de sensibilidad máxima me-ta:

MtS ∈ {1,4 ; 1,6 ; 1,8 ; 2} , (4.14)

con respecto a los cuales se tuvo una desviación absoluta máxima de 0,96 % y una desviaciónabsoluta promedio de 0,04 %.

Cada ejecución de la rutina de optimización, que generaba los 19 juegos de datos (para los19 valores diferentes de τL) correspondientes a uno de los 20 casos (combinaciones de losdiferentes valores de Mt

S y a), requirió de más de 65 horas, en computadoras con procesadorIntel®Core™i3 (2,40GHz) o superior, memoria RAM de al menos 2GB, y sistema operativoWindows®7. La carga de trabajo se compartió en varias computadoras proporcionadas por elLaboratorio de Investigación en Ingeniería de Control (CERLab), de la Escuela de IngenieríaEléctrica de la Universidad de Costa Rica. De esta forma, se ejecutó la rutina de maneraparalela e independiente, para diferentes casos a la vez, en las diferentes computadoras. Éstasfueron controladas y supervisadas remotamente desde una sola computadora, por medio delpaquete de software (propietario, gratuito) TeamViewer. En las Figuras 4.3 y 4.4 se muestranlos principales datos obtenidos para ocho de los 20 casos estudiados.

La Figura 4.3 presenta, a modo de comparación, los juegos de valores de los parámetrosnormalizados del PPIr, para los diferentes casos con a = 0,5, y para aquellos con Mt

S = 1,6.Para facilitar el análisis a lo largo del intervalo tan amplio, tanto la ganancia proporcionalnormalizada, κp � KpK, como el tiempo integral normalizado, τi, se encuentran, además,normalizados con respecto a τL. Destaca en la figura la escasa influencia de a sobre κp, enespecial si se le compara con la que sobre éste ejerce Mt

S. Si bien a muestra una mayorinfluencia sobre τi, ésta es empero menor que la que sobre éste ejerce Mt

S: similar o inclusivemayor que la que tiene sobre κp. Cabe destacar también que las variaciones de los valores,tanto de κp como de τi, disminuyen (en relación con τL) conforme aumenta τL. Puede verse,además, que a tiene mayor influencia que Mt

S sobre el tiempo muerto del modelo internonormalizado, τLn � Ln/T .


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6κp/τL

. =(K

pK)/τL

M tS = 1.4

M tS = 1.6

M tS = 1.8

M tS = 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

κp/τL

. =(K

pK)/τL

a = 0a = 0.25a = 0.5a = 0.75a = 1

00.30.60.91.21.51.82.12.42.7

τi/τL

. =(T

i/T)/τL

00.30.60.91.21.51.82.12.42.7

τi/τL

. =(T

i/T)/τL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.2

22.83.64.45.2

66.87.68.49.210

10.8

τL.= L/T

τLn

.=

Ln/T

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.2

22.83.64.45.2

66.87.68.49.210

10.8

τL.= L/T

τLn

.=

Ln/T

Figura 4.3: Comparación de los juegos de valores de los parámetros (normalizados) delcontrolador PPIr, para los diferentes casos de Mt

S con a = 0,5 ( izquierda), y para losdiferentes casos de a con Mt

S = 1,6 ( derecha)

4.2. DESEMPEÑO ROBUSTO 27

00.30.60.91.21.51.82.12.42.7

β/τ L

M tS = 1.4

M tS = 1.6

M tS = 1.8

M tS = 2

00.30.60.91.21.51.82.12.42.7

β/τ L

a = 0a = 0.25a = 0.5a = 0.75a = 1

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Mr S

(

θ′r c

)

1.5951.5961.5971.5981.599

1.61.6011.6021.6031.6041.605

Mr S

(

θ′r c

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

11.5

22.5

33.5

44.5

55.5

τL.= L/T

JIAE

(

θr c

)

. =Jd

(

θ′r c

)

+Jr

(

θr c

)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.5

11.5

22.5

33.5

44.5

55.5

τL.= L/T

JIAE

(

θr c

)

. =Jd

(

θ′r c

)

+Jr

(

θr c

)

Figura 4.4: Comparación de los valores del parámetro β y de los índices de robustez, (MrS), y

desempeño global, (JIAE), del controlador PPIr2, para los diferentes casos de Mt

S con a = 0,5(izquierda), y para los diferentes casos de a con Mt

S = 1,6 (derecha)


1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80.40.60.8

11.21.41.61.8

22.22.4

M rS

κp.=

KpK

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80.8

11.21.41.61.8

22.22.42.62.8

M rS

τi. =Ti/T

τL = 1

τL = 1.5τL = 2.5τL = 5.5τL = 10

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8123456789

1011

M rS

τLn

.=

Ln/T

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80.5

11.5

22.5

33.5

44.5

55.5

6

M r

S

β

Figura 4.5: Valores (normalizados) de los parámetros de los controladores PPIr2 (símbolos sin

rellenar) y PPIo2 (símbolos rellenos) en función de Mr

S, para a = 0,5 y diferentes valores de τL

En la Figura 4.4 se muestran, también a modo de comparación, los juegos de valores delparámetro β y de los índices de robustez (Mr

S) y desempeño global (JIAE) del PPIr2, para los

diferentes casos con a = 0,5, y para aquellos con MtS = 1,6. Al igual que κp y τi (Figura 4.3),

β está normalizado con respecto a τL. Puede observarse que la influencia de a sobre β , al igualque sobre κp, es despreciable, y que Mt

S ejerce sobre β una influencia aún más acentuada quesobre κp, lo cual está relacionado directamente con la marcada influencia de Mt

S sobre JIAE .Ésta última evidencia, en particular, el compromiso que existe en el sistema de control entreel desempeño y la robustez. La figura muestra también la poca variación que, con respecto aMt

S, tuvo MrS de los juegos de parámetros obtenidos.

Al igual que en el análisis presentado en Alfaro y Vilanova (2012b) para el controlador pro-porcional integral derivativo de 2GdL (PID2), el análisis de los resultados muestra que podríadespreciarse el efecto que la razón de constantes, a, pudiera tener sobre parámetros como Kpó β , para modelos con τL ≥ 1. Sin embargo, a diferencia del PID2, no puede despreciarse elefecto que tiene la robustez, Mt

S, sobre parámetros del PPIr2 como Ti.

4.3. ECUACIONES PARA LA SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR 29

La Figura 4.5 muestra los valores de los parámetros (normalizados) del PPIr2 en función

de la sensibilidad máxima del sistema resultante, MrS, para a = 0,5 y diferentes valores de

τL. La figura muestra además los respectivos parámetros (óptimos, normalizados) del PPIo2,

representados con símbolos rellenos y obtenidos a partir de la optimización sin restriccionesdel índice de desempeño del sistema ante cambios en la perturbación (4.3), Jd , y ante cambiosen el valor deseado (4.6), Jr. A excepción de τLn , todos los parámetros exhiben, con respectoa Mr

S, un claro comportamiento monótono: creciente en el caso de κp, y decreciente en el casode τi y β (así como JIAE), indicando proporcionalidades inversa y directa, respectivamente,entre éstos y la robustez del sistema resultante (inversamente proporcional a Mr

S).

4.3. Ecuaciones para la sintonización del controlador

Al igual que en Alfaro y Vilanova (2012a) para el controlador proporcional integral deriva-tivo (PID), se buscó plasmar el compromiso desempeño-robustez del controlador PPI2, paramodelos tanto de primer como de segundo orden más tiempo muerto sobreamortiguados, enun juego único de ecuaciones tan simples como fuese posible.

A partir de los parámetros de modelos de primer orden más tiempo muerto (POMTM), polodoble más tiempo muerto (PDMTM) o segundo orden más tiempo muerto (SOMTM), θ p ={K,T,a,L}, sobreamortiguados (a∈ [0 ; 1]), y determinada robustez deseada, Md

S ∈ [1,4 ; 2],podrían obtenerse, para τL ∈ [1 ; 10], los valores de los parámetros, θ c =

{Kp,Ti,Ln,β

}, de

los controladores PPI2 de desempeño óptimo, PPIo2, y de desempeño robusto, PPIr

2, utilizandolas ecuaciones (4.15)-(4.18)

τLn � Ln/T = a0 + a1τa2L (4.15)

κp � KpK = b0τL + b1τb2L (4.16)

τi � Ti/T = c0τL + c1τc2L (4.17)

β = d0τL + d1τd2L (4.18)

Los valores ajustados de las constantes ai, bi, ci y di en (4.15)-(4.18) se recogen en los Cua-dros 4.1 a 4.5. El Cuadro 4.1, correspondiente a la sintonización del controlador PPI2 dedesempeño óptimo (sin restricciones), PPIo

2, presenta además los valores ajustados de lasconstantes ei, que permitirían estimar, por medio de (4.19), la sensilibidad máxima, MS, delsistema con dicho controlador.

MS = e0 + e1τe2L (4.19)

Las ecuaciones (4.15)-(4.18) facilitarían una sintonización directa para modelos de POMTM(a = 0), PDMTM (a = 1), ó SOMTM con a ∈ {0,25 ; 0,5 ; 0,75}, y sensibilidad máximadeseada (de diseño): Md

S ∈ {1,4 ; 1,6 ; 1,8 ; 2}. En los otros casos, el juego de parámetrosdel controlador se obtendría por interpolación entre los juegos de parámetros obtenidos conlos valores

(a, Md

S

)adyacentes utilizados en la optimización.


Cuadro 4.1: Coeficientes de las ecuaciones para la sintonización del controlador PPIo2

a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00a0 0,2728 0,6228 0,9112 1,1001 1,2226a1 1,0537 0,9971 0,9703 0,9849 1,0191a2 0,9650 0,9841 0,9923 0,9849 0,9718

b0 0,0663 0,0625 0,0662 0,0677 0,0680b1 2,0933 2,0104 2,1740 2,4074 2,6715b2 −0,6629 −0,6211 −0,6778 −0,7284 −0,7673c0 −0,0100 0,0006 0,0021 −0,0020 −0,0152c1 0,7459 0,7851 0,8706 0,9880 1,1175c2 0,1489 0,0962 0,0731 0,0718 0,1001

d0 14,7161 −16,2442 1,8642 1,0088 0,8125d1 −14,1179 16,8648 −1,2904 −0,4936 −0,3465d2 1,0136 0,9877 1,1237 1,2405 1,2803

e0 1,9451 1,9463 1,9425 1,9283 1,9078e1 0,7122 0,6444 0,7234 0,8533 0,9989e2 −1,3535 −1,3509 −1,3749 −1,3062 −1,2111

Cuadro 4.2: Coeficientes de las ecuaciones para la sintonización del controlador PPIr2 con

MdS = 2 (τL < 6)†

a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00a0 −0,6791 0,4082 0,3444 0,6924 0,0153a1 1,9346 1,2259 1,5191 1,3855 2,1603a2 0,6646 0,8585 0,7642 0,8072 0,6238

b0 0,0934 0,0826 0,0890 0,0894 0,0990b1 1,4829 1,4366 1,4976 1,6055 1,7233b2 −0,5292 −0,4630 −0,5052 −0,5409 −0,6112c0 −0,0151 −0,0026 −0,0023 −0,0122 −0,0664c1 1,0579 1,0917 1,2595 1,4785 1,7485c2 −0,0366 −0,0846 −0,1416 −0,1466 −0,0579d0 −0,0988 −0,0239 0,0177 0,0286 −0,0503d1 1,2274 1,1924 1,1560 1,1283 1,1799d2 0,2726 0,1598 0,0986 0,0793 0,1955† Para τL ≥ 6, el uso del PPIo

2 (Cuadro 4.1) garantiza MS ≤ 2(véase Figura 4.2)



MdS = 1,8

a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00a0 0,9415 0,5410 0,7417 0,9308 1,0484a1 0,5756 1,0297 1,0655 1,0771 1,1026a2 1,1981 0,9760 0,9589 0,9541 0,9470

b0 0,0499 0,0475 0,0501 0,0542 0,0578b1 1,3055 1,2637 1,3248 1,4153 1,5233b2 −0,4448 −0,3987 −0,4331 −0,4867 −0,5408c0 0,0053 0,0184 0,0256 0,0193 0,0000c1 1,2230 1,2828 1,4709 1,7259 2,0066c2 −0,0777 −0,1457 −0,2045 −0,2062 −0,1643d0 −0,0966 −0,0317 −0,0184 −0,0182 −0,0479d1 1,5420 1,5646 1,5679 1,5579 1,5429d2 0,2889 0,1882 0,1648 0,1631 0,2075


MdS = 1,6

a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00a0 −0,0114 0,3988 0,6845 0,8460 0,9720a1 1,1414 1,0603 1,0236 1,0310 1,0523a2 0,9394 0,9637 0,9758 0,9731 0,9658

b0 0,0439 0,0386 0,0404 0,0416 0,0441b1 1,0402 1,0112 1,0621 1,1324 1,2137b2 −0,4489 −0,3911 −0,4267 −0,4650 −0,5152c0 −0,0072 0,0312 0,0304 0,0363 0,0192c1 1,5896 1,6333 1,8564 2,1960 2,5671c2 −0,0680 −0,1768 −0,1979 −0,2344 −0,2055d0 −0,6092 −0,3896 −0,3248 −0,3275 −0,3711d1 2,4267 2,3470 2,2802 2,2019 2,1503d2 0,5756 0,4762 0,4532 0,4715 0,5072



MdS = 1,4

a 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00a0 0,3750 0,7048 1,0480 1,2930 1,3400a1 0,7956 0,7621 0,6840 0,6392 0,6973a2 1,0701 1,0817 1,1237 1,1467 1,1068

b0 0,0411 0,0378 0,0385 0,0392 0,0402b1 0,7681 0,7352 0,7698 0,8251 0,8877b2 −0,5761 −0,5068 −0,5350 −0,5769 −0,6250c0 −0,4547 −0,2955 −0,2675 −0,3521 −0,4017c1 2,1828 2,1838 2,4462 2,8574 3,3475c2 0,4390 0,3160 0,2498 0,2692 0,2548

d0 −1,6063 −0,7849 −0,5287 −0,1924 −0,2160d1 3,8907 3,2787 2,9974 2,5554 2,4071d2 0,7546 0,6307 0,5827 0,5037 0,5327

4.3.1. Efectividad de las ecuaciones de sintonización

Una vez ajustadas las constantes de las ecuaciones, se evaluó su efectividad. Para ello, se com-paró la sensibilidad máxima resultante, Mr

S , de los sistemas de control sintonizados utilizandolas ecuaciones, con la de aquellos sintonizados directamente con los parámetros obtenidos apartir de las optimizaciones, y se calculó el error de aproximación correspondiente, ε , paracada uno de los casos

(a,Md

S ,τL)

considerados en las optimizaciones.

El error de aproximación se calculó como la diferencia porcentual absoluta que, en cada caso(punto), presenta el valor de Mr

S del sistema de control sintonizado por medio de las ecua-ciones, con respecto al del sistema de control sintonizado directamente con los parámetrosobtenidos a partir de las optimizaciones.

En la Figura 4.6 se presentan las comparaciones correspondientes a los sistemas con a = 0.En la figura también se reportan, para cada juego de ecuaciones (correspondiente a un casode a y Md

S ), los valores máximo y promedio del error de aproximación, ε , correspondientes adicho juego de ecuaciones (juego de coeficientes).

De las comparaciones, presentadas en el Apéndice A, se concluye que, si bien el valor pro-medio no superó el 3,6 % en ninguno de los casos, el error de aproximación fue siempremenor que el 5 % únicamente en los casos con Md

S ∈ {1,4 ; 1,6}. En el resto de los casos,el error superó el 5 % para τL > 8,5, con valores máximos que superaron el 7 %, llegandoincluso a superar el 10 % en su mayoría. Para τL < 5,5, el error sólo superó el 5 % en elcaso específico del sistema con a = 0, τL = 1 y el PPIr

2 sintonizado con las ecuaciones paraMd

S = 1,8 (Figura 4.6), en el cual alcanzó el 15 %.

Para τL ∈ [4,5 ; 6] las ecuaciones de sintonización del PPIo2 (sin restricción) permiten que se


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 11.4% , ε ≈ 3.22%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 11.4% , ε ≈ 3.27%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 15.0% , ε ≈ 3.56%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 4.53% , ε ≈ 1.17%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 3.16% , ε ≈ 0.83%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S

Figura 4.6: Arriba: MrS en función de τL, de los sistemas de control de P (4.1) con a = 0 y el

PPI2 sintonizado con los parámetros obtenidos a partir de las optimizaciones (claros) y apartir de las ecuaciones (oscuros) – Abajo: Error de aproximación, ε , correspondiente


obtenga una MrS menor que con las del PPIr

2 con MdS = 2, cuyos coeficientes fueron ajustados

para τL < 6, por lo que se podrían reajustar dichos coeficientes para τL < 4,5 y utilizar lasecuaciones del PPIo

2 para τL ≥ 4,5.

Tal y como sucede con las ecuaciones de sintonización del PPIr2 con Md

S = 2, reducir (ydividir) el ámbito para el cual se ajusta cada conjunto de coeficientes permitiría mejorarla bondad del ajuste. El reducir el ámbito de τL a [1 ; 8,5], o el dividirlo, tal y como sesugiere para el caso del PPIr

2 con MdS = 2, en los ámbitos [1 ; 4,5] y [4,5 ; 10], por ejemplo,

podría permitir que todas las ecuaciones con coeficientes reajustados, garantizaran un errorde aproximación menor al 5 %.

4.4. Rutina de sintonización del controlador

Con el propósito de garantizar la efectividad de la sintonización, se creó una función deMATLAB® que utiliza los resultados de las optimizaciones para calcular los valores de losparámetros (4.20), θ c, del controlador PPI2 de desempeño robusto, PPIr

2, para determina-da sensibilidad máxima deseada, Md

S ∈ [1,4 ; 2], y un modelo del proceso (4.21), P(s), condeterminados parámetros (4.22), θ p.

θ c ={

Kp , Ti , Ln , β}={

θ′c , β

}(4.20)


(T s+1)(aT s+1)e−Ls ,

0 ≤ a ≤ 1 , 1 ≤ τL =LT≤ 10

(4.21)

θ p = {K , T , a , L} (4.22)

Para ello, la rutina localiza en la base de datos (creada a partir de los resultados de las opti-mizaciones), los conjuntos de puntos óptimos más cercanos al deseado y realiza una interpo-lación lineal entre los valores correspondientes. La rutina también calcula los valores de losparámetros del controlador PPI2 de desempeño óptimo, PPIo

2, si se le pasa el parámetro deentrada Md

S = 0.

Capítulo 5

Pruebas comparativas

Para comparar el desempeño y la robustez del controlador proporcional integral predictivo dedos grados de libertad (PPI2) con la sintonización propuesta: de desempeño óptimo, PPIo

2, ode desempeño robusto, PPIr

2, se utilizó el controlador proporcional integral predictivo (PPI)con la sintonización original propuesta por Hägglund (1996). Se utilizó también el Predictorde Smith (Smith, 1957), PS, con su modelo interno igual al mejor modelo identificado, y sucontrolador primario constituido por un controlador proporcional integral derivativo (PID)Estándar, sintonizado mediante la síntesis del servocontrol de Martin et al. (1975), para ob-tener una respuesta de primer orden con ganancia unitaria y constante de tiempo igual ala constante de tiempo dominante del proceso, T . Se eligió dicho método por constituir elPPI un caso particular de éste, cuando el tiempo derivativo (Td) del controlador primario es0 (o sea: es un PI) y el modelo interno del predictor es de primer orden más tiempo muerto(POMTM). Cualquier mención hecha de los controladores anteriores hace referencia a dichassintonizaciones.

Se consideraron los mismos procesos utilizados por Hägglund (1996) para realizar sus prue-bas, y se varió el tiempo muerto de éstos, para abarcar un mayor intervalo de valores detiempo muerto normalizado, τL. Las funciones de transferencia correspondientes se expresanen (5.1)–(5.3), con el tiempo muerto (real) de los procesos, τo, variando entre 1 y 10 en pasosde 0,5.

P1(s) =e−τos

1+ s(5.1)

P2(s) =e−τos

(1+ s)3 (5.2)

P3(s) =e−τos

(1+ s)(1+0,5s)(1+0,25s)(1+0,125s)(5.3)

35

36 CAPÍTULO 5. PRUEBAS COMPARATIVAS

A diferencia de la estructura del PPI utilizada en los ejemplos de Hägglund (1996) (Sec-ción 3.2), se empleó la estructura originalmente propuesta, en la cual la acción proporcionalse aplica tanto a la variable controlada como al valor deseado (β = 1).

Se usó el método 123c de Alfaro (2006) para identificar los modelos correspondientes: dePOMTM para la sintonización del PPI (que así lo requiere), y el mejor modelo (de segundoorden más tiempo muerto, SOMTM, sobreamortiguado) posible para la sintonización de losotros. Una vez sintonizado cada controlador, se simuló la respuesta del sistema (con el pro-ceso real) a un cambio escalón de 20 % en el valor deseado, seguido de uno de −10 % en laperturbación. Los índices de desempeño del servocontrol, Jr, y del control regulatorio, Jd , secalcularon por aparte y se normalizaron dividiéndolos entre la magnitud del cambio escalónrespectivo (5.4),(5.5).

J′r �Jr

∆r(5.4)

J′d �Jd

∆d(5.5)

Además de la sensibilidad máxima (1.6) (resultante), MrS, se utilizó también el margen de

tiempo muerto, (2.1), Dm, propuesto por Landau et al. (1995) para el análisis de robustezde procesos con tiempos muertos significativos. Éste se define como el menor cambio en elvalor del tiempo muerto que hace que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. Con elobjetivo de analizar por separado la robustez del sistema ante la reducción y ante el aumentodel tiempo muerto (aparente del proceso), L, se definieron, a partir de (2.1), los márgenesde tiempo muerto hacia la izquierda, Dm−, y hacia la derecha, Dm+, respectivamente. Pa-ra enfatizar la dirección de los cambios, se conservó el signo negativo del cambio hacia laizquierda en la definición del índice correspondiente. Los valores menores que −L se exclu-yen de la definición de Dm−, pues no corresponden a sistemas determinísticos. Se calcularonambos márgenes de tiempo muerto por separado y se normalizaron dividiéndolos entre L(5.6),(5.7).

D′m+ � Dm+/L �1L

mıni

{12

[1+ sgn

(φm,i

ω1,i

)](φm,i

ω1,i

)}≥ 0 (5.6)

D′m− � Dm−/L �1L

max(−L , max

i

{12

[1− sgn

(φm,i

ω1,i

)](φm,i

ω1,i

)})≤ 0 (5.7)

Los márgenes normalizados de tiempo muerto hacia la derecha (5.6), D′m+, y hacia la izquier-da, (5.7), D′m−, pueden interpretarse entonces como el menor cambio proporcional hacia laderecha y el menor cambio proporcional hacia la izquierda, respectivamente, en el valor deL, que hacen que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. Asimismo, un valor de−1 enD′m− indica que el sistema no se vuelve inestable si disminuye L. Por lo tanto, por definición(2.1):

D′m � Dm/L = mın{−D′m− , D′m+

}≥ 0 (5.8)

Los resultados de las pruebas se recopilan en el Apéndice B.

5.1. EJEMPLOS ESPECÍFICOS 37

5.1. Ejemplos específicos

Como ejemplos específicos de los resultados numéricos obtenidos, se recogen en el Cua-dro 5.1 los parámetros de los modelos identificados y de los controladores sintonizados, y losrespectivos índices de robustez y desempeño, correspondientes a los procesos P3 (5.3), paratres valores diferentes de τo.

Además, como ejemplos específicos de las respuestas dinámicas de los sistemas obtenidos,se muestran en las Figuras 5.1 y 5.2 las curvas de respuesta (salida) y esfuerzo de control(señal de control), de algunos de los sistemas de control de los procesos P3 (5.3), para τo = 1y τo = 8,5, respectivamente.

Destaca en las Figuras 5.1 y 5.2 el desempeño igual o superior del control regulatorio (re-ducción del 16 % y del 1,1 %, respectivamente, del J′d , en los casos con Md

S = 2) o la mayorrobustez (caso con Md

S = 1,4) que con respecto al PPI se puede obtener con el uso del PPI2, locual se reafirma en los ejemplos del Cuadro 5.1. Puede verse también, tanto en el Cuadro 5.1como en las Figuras 5.1 y 5.2, que el PS es el que presenta el mejor (menor) J′d , gracias a quecuenta en su estructura con mayor información del proceso controlado (el modelo internodel controlador es el mejor modelo identificado: de SOMTM en este caso, en lugar de ser dePOMTM) y tiene más grados de libertad (siete parámetros, en lugar de tres o cuatro, graciasa que los otros tres parámetros del modelo interno pueden ser ajustados). Sin embargo, el PSpresenta también el peor (menor) D′m+, lo que implica que el sistema con el PS se vuelveinestable con un aumento de L menor que el necesario para volver inestable al sistema concualquiera de los otros controladores.

Tal y como puede observarse en el Cuadro 5.1, los mejores (mayores) valores de D′m+, asocia-dos a los PPIr

2, se deben principalmente a que el valor del tiempo muerto del modelo interno,Ln, es mayor en estos controladores, y es por lo tanto mayor que L, por lo que, a medidaque este último aumenta, el modelo interno de los controladores tiende a representar mejoral proceso (el error de modelado disminuye). En el caso de la Figura 5.1, por ejemplo, elPPIr

2 con MdS = 1,4 es el único cuyo uso garantiza que el sistema siga siendo estable si se

cuadruplica L, mientras que, en el caso de la Figura 5.2, es el único cuyo uso garantiza que elsistema siga siendo estable si L aumenta en un 50 %.

El aporte del segundo grado de libertad puede apreciarse en el Cuadro 5.1: gracias a la in-troducción (y sintonización) del factor de peso del valor deseado en el modo proporcional,β , los PPI2 presentan (para niveles similares de robustez) un J′r mejor (menor) que el PPI.Con excepción de los casos del PPIo

2 con τL ∈ [1 ; 2,5], el método de sintonización propuestoestablece siempre valores de β mayores que 1. De esta manera, con el objetivo de minimizarel Jr, se favorece la aceleración de la respuesta del servocontrol a expensas de un mayor sal-to proporcional, ∆u0+ = Kpβ∆r, en la salida de los controladores. Mientras que el cambioinstantáneo (salto proporcional) normalizado, ∆u′0+ �∆u0+/∆r, es siempre 1 en la salida delPPI y 1≤ a+1≤ 2 en la salida del PS, éste es siempre mayor que 1 en la salida de los PPI2,


Cuadro 5.1: Resultados de pruebas comparativas realizadas a P3 (5.3)

τo ControladorParámetros modelo Parámetros controlador Robustez Desempeñoa K T τL Ln Kp Ti Td β Mr

S D′m− D′m+ J′d J′r

1,0

PPI 0 1,00 1,25 1,36 1,69 1,00 1,25 — — 1,56 -1,00 2,58 2,94 2,94PPIo

2

0,82 1,00 0,88 1,46

2,26 1,97 0,93 — 0,65 2,51 -1,00 1,05 1,84 2,63PPIr

2[2,0] 2,28 1,45 1,29 — 1,22 2,00 -1,00 2,09 2,46 2,48PPIr

2[1,8] 2,21 1,26 1,53 — 1,65 1,80 -1,00 2,72 2,97 2,44PPIr

2[1,6] 2,13 1,01 1,90 — 2,16 1,60 -1,00 4,04 3,97 2,40PPIr

2[1,4] 2,00 0,72 2,68 — 2,74 1,40 -1,00 7,47 6,35 2,38PS[PID]† 1,28 1,82 1,59 0,39 — 1,60 -1,00 1,90 2,15 2,16

4,5

PPI 0 1,00 1,25 4,16 5,19 1,00 1,25 — — 1,87 -0,40 0,40 6,44 6,44PPIo

2

0,82 1,00 0,88 5,46

5,60 1,11 0,96 — 1,43 2,00 -0,30 0,39 6,09 6,23PPIr

2[2,0] 5,49 1,10 1,02 — 1,45 1,99 -0,32 0,38 6,13 6,17PPIr

2[1,8] 5,63 0,95 1,15 — 1,89 1,80 -0,33 0,48 7,12 6,37PPIr

2[1,6] 5,52 0,76 1,47 — 3,00 1,60 -0,45 2,36 9,16 6,90PPIr

2[1,4] 5,14 0,55 2,08 — 5,06 1,40 -1,00 3,72 13,08 6,99PS[PID]† 4,78 1,82 1,59 0,39 — 1,89 -0,30 0,27 5,66 5,67

8,5

PPI 0 1,00 1,25 7,37 9,19 1,00 1,25 — — 1,95 -0,24 0,23 10,44 10,44PPIo

2

0,82 1,00 0,88 10,00

9,35 1,03 1,08 — 1,57 1,99 -0,20 0,22 10,33 10,17PPIr

2[2,0] 9,35 1,03 1,08 — 1,57 1,99 -0,20 0,22 10,33 10,17PPIr

2[1,8] 9,36 0,91 1,24 — 2,15 1,80 -0,25 0,27 11,64 10,55PPIr

2[1,6] 9,26 0,75 1,54 — 3,30 1,60 -0,31 0,34 14,45 11,98PPIr

2[1,4] 8,99 0,54 2,16 — 5,89 1,40 -0,46 0,55 20,79 13,87PS[PID]† 8,78 1,82 1,60 0,40 — 1,96 -0,15 0,15 9,66 9,67

† El PS tiene como modelo interno el (mejor) modelo identificado


−10

0

10

20

30a = 0.82127 , τL = 1.4581 , ∆r = 20% @ tr = 1.5 , ∆d = −10% @ td = 15

Salida,y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.56 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.58 , J ′

d ≈ 2.94 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.09 , J ′

d ≈ 2.46 , ∆u′

0+ ≈ 1.77)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 7.47 , J ′

d ≈ 6.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.97)

PS[PID](

M rS ≈ 1.60 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 1.90 , J ′

d ≈ 2.15 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)

Figura 5.1: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 y PS, para P3 (5.3) con τo = 1

−10

0

10

20

30a = 0.82253 , τL = 10 , ∆r = 20% @ tr = 5 , ∆d = −10% @ td = 50

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.95 , D′

m−≈ −0.24 , D′

m+ ≈ 0.23 , J ′

d ≈ 10.44 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.99 , D′

m−≈ −0.20 , D′

m+ ≈ 0.22 , J ′

d ≈ 10.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.61)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −0.46 , D′

m+ ≈ 0.55 , J ′

d ≈ 20.77 , ∆u′

0+ ≈ 3.16)

PS[PID](

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.15 , D′

m+ ≈ 0.15 , J ′

d ≈ 9.66 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)

Figura 5.2: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 y PS, para P3 (5.3) con τo = 8,5


y puede alcanzar valores mayores que 3.

En la Figura 5.2, por ejemplo, la señal de control del PPIr2 con Md

S = 1,4 sufre un cambioinstantáneo de aproximadamente 3,16 veces la magnitud del escalón aplicado: 63,2 % (fueradel ámbito mostrado). Un salto de tal magnitud podría ser inaceptable, por lo que, para evitarla saturación de la salida del controlador, podría ser necesario reducir la magnitud del escalónaplicado, utilizar una rampa en lugar del escalón, o reducir el valor de β (degradando eldesempeño del servocontrol). El método de sintonización propuesto establece el valor óptimo(teórico) de β , dejando a criterio del usuario su potencial degradación para disminuir el saltoproporcional, de manera que se adecue a los requerimientos y restricciones del sistema decontrol.

5.1.1. Sintonización utilizando las ecuaciones

Como ejemplos específicos de sintonización mediante las ecuaciones (4.15)-(4.18), se mues-tran en el Cuadro 5.2 los parámetros de los modelos identificados y de los controladoressintonizados, y los respectivos índices de robustez y desempeño, correspondientes al procesoP1 (5.1), para tres valores diferentes de τo. Se presentan además, en la Figura 5.3, las curvasde respuesta (salida) y esfuerzo de control (señal de control), correspondientes al sistema decontrol del proceso P1 (5.1) con τo = 4,5.

Puede apreciarse, tanto en el Cuadro 5.2 como en la Figura 5.3, que para τo = 4,5 se utilizóel PPIo

2 en lugar del PPIr2 con Md

S = 2, pues, tal y como se mencionó en la Sección 4.3.1,para τL ∈ [4,5 ; 6] las ecuaciones de sintonización del PPIo

2 (sin restricción) permiten que seobtenga una Mr

S menor que con las del PPIr2 con Md

S = 2, que fueron propuestas (y cuyoscoeficientes fueron ajustados, en consecuencia) para τL < 6.

Los casos con procesos de POMTM, como los que se pueden apreciar en el Cuadro 5.2y la Figura 5.3, son los únicos en los que τL = τo, y en los que todos los controladoresse sintonizan a partir del mismo modelo (de POMTM) identificado: casos particulares enlos que la estructura y la sintonización del PS son equivalentes a las del PPI (en particular:Td = 0 ∀ τo), y presentan por lo tanto la misma robustez y el mismo desempeño.

Puede apreciarse en la Figura 5.3 y el Cuadro 5.2 el desempeño igual o superior del controlregulatorio (reducción del J′d de 27 % y 3,1 %, en los casos con τo = 1,0 y τo = 4,5, respec-tivamente, con Md

S = 2 o sin restricción) o la mayor robustez (caso con MdS = 1,4) que con

respecto al PPI (y al PS, en estos casos, con procesos de POMTM) puede obtenerse tambiéncon el uso de los PPI2 sintonizados utilizando las ecuaciones.

Los Cuadros 5.1 y 5.2 muestran cómo varían los valores de todos los parámetros de los PPI2conforme varía el tiempo muerto aparente, L � T τL, a diferencia del PS y el PPI, en los quela sintonización del controlador primario (hecha a partir de la parte del modelo sin L) semantiene fija, y Ln es el único parámetro que varía (tomando el valor de L). Es justamente


Cuadro 5.2: Resultados de pruebas comparativas realizadas a P1 (5.1) (PPI2 sintonizadosutilizando las ecuaciones)



1,0

PPI

0 1,00 1,00 1,00

1,00 1,00 1,00 — — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00PPIr

2[2,0] 1,26 1,58 1,04 — 1,13 1,99 -1,00 1,52 1,46 1,51PPIr

2[1,4] 1,17 0,81 1,73 — 2,28 1,40 -1,00 5,01 3,56 1,42PS[PID]† 1,00 1,00 1,00 0,00 — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00

4,5

PPI

0 1,00 1,00 4,50

4,50 1,00 1,00 — — 1,87 -0,34 0,33 5,50 5,50PPIo

2 4,77 1,07 0,89 — 1,37 1,96 -0,28 0,35 5,33 5,36PPIr

2[1,4] 4,35 0,51 2,18 — 4,88 1,39 -1,00 3,99 12,78 6,20PS[PID]† 4,50 1,00 1,00 0,00 — 1,87 -0,34 0,33 5,50 5,50

8,0

PPI

0 1,00 1,00 8,00

8,00 1,00 1,00 — — 1,94 -0,19 0,19 9,00 9,00PPIo

2 8,11 1,06 0,94 — 1,54 2,05 -0,16 0,18 9,02 8,95PPIr

2[1,4] 7,74 0,56 1,80 — 5,84 1,41 -0,40 0,44 17,02 11,88PS[PID]† 8,00 1,00 1,00 0,00 — 1,94 -0,19 0,19 9,00 9,00


−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 4.5001 , ∆r = 20% @ tr = 2.5 , ∆d = −10% @ td = 25

Salida,

y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.87 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.33 , J ′

d ≈ 5.50 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.28 , D′

m+ ≈ 0.35 , J ′

d ≈ 5.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.47)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.39 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.99 , J ′

d ≈ 12.73 , ∆u′

0+ ≈ 2.48)

PS[PID](

M rS ≈ 1.87 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.33 , J ′

d ≈ 5.50 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)

Figura 5.3: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 (sintonizados utilizando las

ecuaciones) y PS, para P1 (5.1) con τo = 4,5


en esa posibilidad de que el parámetro Ln tome valores diferentes al de L donde radica laprincipal diferencia entre el controlador propuesto, PPI2, y controladores como el PPI y elPS.

5.2. Resultados principales

Se presentan, en las Figuras 5.4 y 5.5, los principales resultados correspondientes a los pro-cesos P2 (5.2).

Puede apreciarse en la Figura 5.4 que, en general, el PS tiene el mejor desempeño del controlregulatorio, y una Mr

S asociada que se comporta de manera similar que la del PPI, variandoentre 1,5 y 2. Puede verse también que las sintonizaciones óptima (PPIo

2) y robusta (PPIr2 con

MdS = 2) propuestas permiten mejorar el desempeño del control regulatorio del PPI (además

del desempeño del servocontrol, que se mejora con la adición del parámetro β ). El uso delPPIr

2 permite además, para cualquier valor de τL en el intervalo contemplado, garantizar unnivel mínimo de robustez, que puede elegirse (sacrificando desempeño) de manera que seamayor que el del PS o el del PPI.

Destacan en la Figura 5.5 el PS y el PPIo2 por tener los peores (menores en magnitud) márge-

nes de tiempo muerto, tendiendo los del PS a ser los peores conforme aumenta τL. Se muestratambién que la sintonización robusta permite obtener controladores que garantizan márgenesde tiempo muerto mejores que los del PS, y (si Md

S ≤ 1,6) mejores inclusive que los delPPI.

Los resultados muestran que la sintonización robusta óptima, PPIr, garantiza MS muy cer-canas a las cuatro de diseño

(Md

S

), con desviaciones menores al 2 % en la mayoría de las

pruebas realizadas. Al mismo tiempo, produce el menor Jd posible para cada una de las MdS ,

de manera que, para cualquier proceso sobreamortiguado con 1≤ τL ≤ 10, es posible selec-cionar un PPIr que, con respecto al PPI, tenga un Jd similar o menor, o tenga una MS menor.El método propuesto establece, adicionalmente, el valor (teórico) del parámetro β (en el fil-tro de entrada del valor deseado) que, para dicha sintonización, produce el menor Jr posible,permitiendo que, con respecto al PPI, un PPIr

2 con MS similar tenga un Jr menor. En parti-cular, todas las sintonizaciones propuestas para el PPI2 tienen un Jr menor que el PPI paraτL < 2.

Puede verse también que, para τL < 2, los sistemas de control estudiados no se vuelven ines-tables si disminuye L

(D′m− =−1

), y que es sólo conforme crece τL que los valores de ambos

márgenes de tiempo muerto (hacia la izquierda y hacia la derecha) tienden a magnitudes si-milares.

5.2. RESULTADOS PRINCIPALES 43

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

P2(s) =1

(1+s)3 e−τos

Mr S

PPIPPIo2PPIr2[2.0] (emax ≈ 5.32% , e ≈ 1.15%)

PPIr2[1.8] (emax ≈ 2.81% , e ≈ 0.81%)

PPIr2[1.6] (emax ≈ 1.47% , e ≈ 0.48%)

PPIr2[1.4] (emax ≈ 0.57% , e ≈ 0.25%)

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

3

6

9

12

15

18

21

24

27

τo

J′ d

Figura 5.4: Sensibilidad máxima resultante (arriba), MrS, e índice de desempeño normalizado

del control regulatorio (abajo), J′d , de los sistemas de control de P2 (5.2)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

P2(s) =1

(1+s)3 e−τos

D′ m+

PPIPPIo2PPIr2[2.0]

PPIr2[1.8]

PPIr2[1.6]

PPIr2[1.4]

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

τo

D′ m−

Figura 5.5: Márgenes normalizados de tiempo muerto: hacia la derecha (arriba), D′m+, yhacia la izquierda (abajo), D′m−, de los sistemas de control de los procesos P2 (5.2)

Capítulo 6

Conclusiones y recomendaciones

6.1. Conclusiones

Los modelos, funciones y programas, desarrollados en MATLAB® y Simulink® , permitieronsimular y analizar el comportamiento de diferentes lazos de control realimentado, tanto conel controlador proporcional integral predictivo de dos grados de libertad (PPI2) propuesto,como con otros controladores como el Predictor de Smith (PS) o el proporcional integralpredictivo (PPI).

Las funciones creadas para evaluar la robustez, hicieron posible el determinar la sensibilidadmáxima (MS) y el margen de tiempo muerto (Dm) de cualquiera de los diferentes sistemasanalizados. Los márgenes de tiempo muerto propuestos: hacia la izquierda, Dm−, y hacia laderecha, Dm+, facilitaron el analizar, por aparte, la robustez de los lazos ante la reduccióny ante el aumento del tiempo muerto (L), respectivamente, y el normalizarlos, dividiéndolosentre L, simplificó su interpretación y comparación.

Se eligió, como índice de desempeño (global), J, la integral del valor absoluto del error(IAE), JIAE , por ser práctica usual en la literatura: porque está relacionada directamente conel desempeño económico del lazo y porque penaliza además la oscilación continuada. El usode los índices específicos de desempeño del servocontrol, Jr, y del control regulatorio, Jd ,facilitó el análisis, por separado, del desempeño de los lazos ante cambios escalón en la señaldel valor deseado y en la perturbación, respectivamente, y el normalizarlos, dividiéndolosentre la magnitud del escalón respectivo, hizo de su interpretación y comparación una labormás sencilla.

La optimización de la funcional de costo que contempla únicamente el desempeño del PPI(de un grado de libertad, 1GdL) ante cambios en la perturbación: Jd , hizo posible determinarlos valores de los parámetros del controlador PPI de desempeño óptimo, PPIo, y la optimiza-ción de la funcional de costo que contempla únicamente el desempeño del PPI2 (de 2GdL)

45

46 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

ante cambios en el valor deseado: Jr, permitió determinar los valores del factor de peso delvalor deseado en el modo proporcional, β , que optimizan dicho desempeño, completando lasintonización del controlador PPI2 de desempeño óptimo, PPIo

2. El PPIo cumple (con un errormenor o igual al 0,6 %) con la robustez mínima: MS ≤ 2, para tiempos muertos normalizados(τL) mayores o iguales a 6. El comportamiento variable de la robustez en función de τL, enlos sistemas, tanto con el PPI como con el PPIo

2, puso en evidencia la necesidad de imponerun valor mínimo de robustez como restricción en la optimización del desempeño, de maneraque se lograra un mejor balance en el compromiso desempeño-robustez, para los diferentesvalores de τL.

La modificación de la funcional de costo Jd , mediante de la inclusión de un factor de degra-dación del desempeño, dio como resultado una nueva funcional de costo: JFp , que permitió(degradando el desempeño) mejorar la robustez del lazo de control. La optimización de JFp

hizo posible determinar los valores de los parámetros del PPI de desempeño equivalente alóptimo degradado en el factor deseado, PPId . Al anidarse dicha optimización dentro de unanueva funcional de costo, que contempla la sensibilidad máxima: JMS , fue posible encontrar(mediante la optimización de JMS) el factor de degradación del desempeño, que garantizala sensibilidad máxima meta, Mt

S, del sistema, así como los correspondientes valores de losparámetros del controlador PPI de desempeño robusto, PPIr. La posterior optimización deJr permitió determinar los valores de β que optimizan dicho desempeño, completando lasintonización del controlador PPI2 de desempeño robusto, PPIr

2.

Cada ejecución de la rutina de optimización creada, permitió generar los 19 juegos de datos(para los 19 valores diferentes de τL), correspondientes a uno de los 20 casos (combinacionesde los diferentes valores de Mt

S y de la razón de constantes de tiempo, a). El uso de variascomputadoras, proporcionadas por el Laboratorio de Investigación en Ingeniería de Control(CERLab), de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Costa Rica, hizo posiblecompartir la carga de trabajo, al ejecutarse en ellas la rutina de manera paralela e indepen-diente, para diferentes casos a la vez. El uso del paquete de software (propietario, gratuito)TeamViewer facilitó el control y supervisión remotos de todas las computadoras desde unasola. Se obtuvo, al realizar las optimizaciones, una desviación absoluta máxima de 0,96 % yuna desviación absoluta promedio de 0,04 %, con respecto a Mt

S ∈ {1,4 ; 1,6 ; 1,8 ; 2}.

En general, las ecuaciones de sintonización propuestas facilitan y agilizan la sintonizaciónsatisfactoria (sin que se incurra en errores de aproximación mayores al 5 %) del PPI2 paraτL ∈ [1,5 ; 8,5], si se sigue la recomendación (hecha en la Sección 4.3.1) de utilizar las ecua-ciones correspondientes al caso con sensibilidad máxima deseada

(Md

S

)de 2, solamente para

τL < 4,5). Las ecuaciones correspondientes a los casos con MdS = 1,4 y Md

S = 1,6 garantizanerrores de aproximación menores al 5 % incluso en el resto del intervalo contemplado en estetrabajo.

La función creada, que utiliza los resultados de las optimizaciones para calcular (para unasensibilidad máxima deseada, Md

S ∈ [1,4 ; 2], y un modelo de segundo orden más tiempomuerto, SOMTM, del proceso) los valores de los parámetros de los controladores PPI2 de

6.2. RECOMENDACIONES 47

desempeño óptimo, PPIo2, o de desempeño robusto, PPIr

2, permite garantizar la efectividad dela sintonización.

Las pruebas comparativas realizadas permitieron contrastar, utilizando diferentes plantas, eldesempeño y la robustez del controlador y sintonizaciones propuestos, con los del PPI y losdel PS.

Los PPIr demostraron garantizar márgenes de tiempo muerto mejores que los asociados al PS(casos con Md

S ∈{2 ; 1,8}) e, inclusive, mejores que los del PPI (casos con MdS ∈{1,6 ; 1,4}).

Los mejores (mayores) valores de D′m+, asociados a los PPIr, se deben principalmente a queLn es mayor en estos controladores, y es por lo tanto mayor que L, por lo que, a medida queeste último aumenta, el modelo interno de los controladores tiende a representar mejor alproceso (el error de modelado disminuye). Para τL < 2, los sistemas de control estudiadosno se vuelven inestables si disminuye L

(D′m− =−1

), y es sólo conforme crece τL que los

valores de ambos márgenes de tiempo muerto (hacia la izquierda y hacia la derecha) tiendena magnitudes similares.

La sintonización robusta óptima, PPIr, garantiza MS muy cercanas a las cuatro de diseño(Md

S

), con desviaciones menores al 2 % en la mayoría de las pruebas realizadas. Al mismo

tiempo, produce el menor Jd posible para cada una de las MdS , de manera que, para cualquier

proceso sobreamortiguado con 1≤ τL ≤ 10, es posible seleccionar un PPIr que, con respectoal PPI, tenga un Jd similar o menor, o tenga una MS menor. El método propuesto establece,adicionalmente, el valor (teórico) del parámetro β (en el filtro de entrada del valor deseado)que, para dicha sintonización, produce el menor Jr posible, permitiendo que, con respectoal PPI, un PPIr

2 con MS similar tenga un Jr menor. En particular, todas las sintonizacionespropuestas para el PPI2 tienen un Jr menor que el PPI para τL < 2.

6.2. Recomendaciones

En una eventual ampliación de la investigación, podría hacerse el estudio con otros índices dedesempeño en los que se penalice el tiempo, como la integral del tiempo por el valor absolutodel error (ITAE), o la integral del tiempo por el cuadrado del error (ITSE), por ejemplo.Esto con el objetivo de estudiar la posibilidad de obtener respuestas más rápidas, teniendoen cuenta la limitación intrínseca del PS: la respuesta del control regulatorio nunca será másrápida que la de lazo abierto (Normey-Rico y Camacho, 2007).

Por la naturaleza diferente del método de sintonización, en el que no se sigue la prácticatradicional de sintonizar directamente el modelo interno del predictor con el mejor mode-lo disponible del proceso, sería interesante extendener el intervalo de estudio, para incluirvalores de τL menores a 1.

Podrían optimizarse los cuatro parámetros del PPI2 a la vez, minimizándose el desempe-ño global: J = JIAE � Jd + Jr. El problema, por su parte, podría replantearse como uno de

48 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

optimización multiobjetivo, en el que se buscara minimizar la IAE y minimizar la MS. Se en-contrarían entonces los frentes de Pareto (conjunto de soluciones óptimas), correspondientesa cada combinación de a y τL.

Se recomienda utilizar para τL ∈ [4,5 ; 6] las ecuaciones de sintonización del PPIo2 (sin res-

tricción de robustez) en lugar de las del PPIr2 con Md

S = 2, ya que ésto permite que se obtengauna MS menor. Dado que los coeficientes de las ecuaciones para la sintonización del PPIr

2 conMd

S = 2 fueron ajustados para τL < 6, se podría reajustar dichos coeficientes para τL < 4,5 yutilizar las ecuaciones del PPIo

2 para τL ≥ 4,5.

Tal y como sucede con las ecuaciones de sintonización del PPIr2 con Md

S = 2, reducir (ydividir) el ámbito para el cual se ajusta cada conjunto de coeficientes, permitiría mejorarla bondad del ajuste. El reducir el ámbito de τL a [1 ; 8,5], o el dividirlo, tal y como sesugiere para el caso del PPIr

2 con MdS = 2, en los ámbitos [1 ; 4,5] y [4,5 ; 10], por ejemplo,

podría permitir que todas las ecuaciones con coeficientes reajustados, garantizaran un errorde aproximación menor al 5 %.

De la misma manera que se desarrolló una ecuación (4.19), que permite estimar la MS de lossistemas con el PPIo

2 , podrían desarrollarse ecuaciones que permitan calcular también el D′m−y el D′m+, de los sistemas, tanto con el PPIo

2 como con cualquier otra de las sintonizacionespropuestas.

La inclusión en las pruebas comparativas de otros controladores y sintonizaciones, como lospresentados en Åström y Hägglund (2006), podría darle más perspectiva al estudio realizado,así como reafirmar conclusiones obtenidas en éste. Podrían incluirse, por ejemplo, contro-ladores proporcional integral derivativos (PID) sintonizados mediante el método AMIGO, ola sintonización del PPI que contempla cotas inferior

(Md

S ≥ 1,4)

y superior(Md

S ≤ 2)

parala ganancia proporcional, Kp, en función del tiempo muerto normalizado, τL, y la robustezdeseada, Md

S .

El realizar pruebas comparativas a procesos industriales, con implementaciones del controla-dor y las sintonizaciones propuestos, podría contribuir a reafirmar los resultados y conclusio-nes, obtenidos en este trabajo (a partir de simulaciones).

Una eventual implementación de la función de sintonización en una aplicación portable, per-mitiría al usuario determinar, de manera rápida, sencilla y precisa (para un valor deseado desensibilidad máxima, Md

S ∈ [1,4 ; 2], y un modelo de SOMTM del proceso), los valores de losparámetros de los controladores PPI2 de desempeño óptimo, PPIo

2, o de desempeño robusto,PPIr

2. Dicha aplicación podría contar además con una interfaz de usuario gráfica.

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Apéndices

53

Apéndice A

Efectividad de las ecuaciones desintonización

Para evaluar la efectividad de las ecuaciones de sintonización, se comparó la sensibilidadmáxima resultante, Mr

S , de los sistemas de control sintonizados utilizando las ecuaciones,con la de aquellos sintonizados directamente con los parámetros obtenidos a partir de lasoptimizaciones, y se calculó el error de aproximación correspondiente, ε , para cada uno delos casos

(a,Md

S ,τL)

considerados en las optimizaciones.

El error de aproximación se calculó como la diferencia porcentual absoluta que, en cada caso(punto), presenta el valor de Mr

S del sistema de control sintonizado por medio de las ecua-ciones, con respecto al del sistema de control sintonizado directamente con los parámetrosobtenidos a partir de las optimizaciones.

Las comparaciones se presentan en las Figuras A.1 a A.5. En cada figura se reportan, paracada juego de ecuaciones (correspondiente a un caso de a y Md

S ), los valores máximo ypromedio del error de aproximación, ε , correspondientes a dicho juego de ecuaciones (juegode coeficientes).

55

56 APÉNDICE A. EFECTIVIDAD DE LAS ECUACIONES DE SINTONIZACIÓN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 11.4% , ε ≈ 3.22%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 11.4% , ε ≈ 3.27%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 15.0% , ε ≈ 3.56%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 4.53% , ε ≈ 1.17%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 3.16% , ε ≈ 0.83%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S

Figura A.1: Arriba: MrS en función de τL, asociada a los sistemas de control de P (4.1) con

a = 0 y el PPI2 sintonizado con los parámetros obtenidos a partir de las optimizaciones(claros) y a partir de las ecuaciones (oscuros) – Abajo: Error de aproximación, ε ,

correspondiente

57

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 10.0% , ε ≈ 2.82%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 10.0% , ε ≈ 2.87%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 7.15% , ε ≈ 2.07%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 3.90% , ε ≈ 1.11%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 2.82% , ε ≈ 0.75%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S


a = 0,25 y el PPI2 sintonizado con los parámetros obtenidos a partir de las optimizaciones(claros) y a partir de las ecuaciones (oscuros) – Abajo: Error de aproximación, ε ,

correspondiente


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 10.7% , ε ≈ 2.97%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 10.7% , ε ≈ 2.81%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 7.79% , ε ≈ 2.13%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 4.17% , ε ≈ 1.17%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 3.01% , ε ≈ 0.80%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S



correspondiente

59

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 10.8% , ε ≈ 2.99%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 10.8% , ε ≈ 2.70%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 8.56% , ε ≈ 2.27%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 4.30% , ε ≈ 1.17%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 2.75% , ε ≈ 0.74%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S



correspondiente


1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2.5

5

7.5

10

12.5

15

τL.= L/T

Error,ε(%

)

PPIo2 (εmax ≈ 10.6% , ε ≈ 2.98%)

PPIr2[2.0] (εmax ≈ 10.6% , ε ≈ 2.74%)

PPIr2[1.8] (εmax ≈ 8.90% , ε ≈ 2.25%)

PPIr2[1.6] (εmax ≈ 4.45% , ε ≈ 1.18%)

PPIr2[1.4] (εmax ≈ 2.64% , ε ≈ 0.75%)

1.41.61.8

22.22.42.62.8

33.2

Mr S


a = 1 y el PPI2 sintonizado con los parámetros obtenidos a partir de las optimizaciones(claros) y a partir de las ecuaciones (oscuros) – Abajo: Error de aproximación, ε ,

correspondiente

Apéndice B

Resultados de las pruebascomparativas

Para comparar el desempeño y la robustez del controlador proporcional integral predictivo dedos grados de libertad (PPI2) con la sintonización propuesta: de desempeño óptimo, PPIo

2, ode desempeño robusto, PPIr

2, se utilizó el controlador proporcional integral predictivo (PPI)con la sintonización original propuesta por Hägglund (1996). Se utilizó también el Predictorde Smith (1957), PS, con su modelo interno igual al mejor modelo identificado, y su controla-dor primario constituido por un controlador proporcional integral derivativo (PID) Estándar,sintonizado mediante la síntesis del servocontrol de Martin et al. (1975), para obtener unarespuesta de primer orden con ganancia unitaria y constante de tiempo igual a la constante detiempo dominante del proceso, T . Cualquier mención hecha de los controladores anterioreshace referencia a dichas sintonizaciones.

Se consideraron los mismos procesos utilizados por Hägglund (1996) para realizar sus prue-bas, y se varió el tiempo muerto de éstos, para abarcar un mayor intervalo de valores detiempo muerto normalizado, τL. Las funciones de transferencia correspondientes se expresanen (B.1)–(B.3), con el tiempo muerto (real) de los procesos, τo, variando entre 1 y 10 enpasos de 0,5.

P1(s) =e−τos

1+ s(B.1)

P2(s) =e−τos

(1+ s)3 (B.2)

P3(s) =e−τos

(1+ s)(1+0,5s)(1+0,25s)(1+0,125s)(B.3)

A diferencia de la estructura del PPI utilizada en los ejemplos de Hägglund (1996) (Sec-ción 3.2), se empleó la estructura originalmente propuesta, en la cual la acción proporcionalse aplica tanto a la variable controlada como al valor deseado (β = 1).

61

62 APÉNDICE B. RESULTADOS DE LAS PRUEBAS COMPARATIVAS

Se usó el método 123c de Alfaro (2006) para identificar los modelos correspondientes: deprimer orden más tiempo muerto (POMTM) para la sintonización del PPI (que así lo requie-re), y el mejor modelo (de segundo orden más tiempo muerto, SOMTM, sobreamortiguado)posible para la sintonización de los otros. Una vez sintonizado cada controlador, se simuló larespuesta del sistema (con el proceso real) a un cambio escalón de 20 % en el valor deseado,seguido de uno de −10 % en la perturbación. Los índices de desempeño del servocontrol, Jr,y del control regulatorio, Jd , se calcularon por aparte y se normalizaron dividiéndolos entrela magnitud del cambio escalón respectivo (5.4),(5.5).

Además de la sensibilidad máxima (1.6) (resultante), MrS, se utilizó también el margen de

tiempo muerto (2.1), Dm. Con el objetivo de analizar por separado la robustez del sistemaante la reducción y ante el aumento del tiempo muerto, L, se definieron los márgenes nor-malizados de tiempo muerto hacia la izquierda, (5.7), D′m−, y hacia la derecha (5.6), D′m+,respectivamente, los cuales pueden interpretarse como el menor cambio proporcional haciala derecha y el menor cambio proporcional hacia la izquierda, respectivamente, en el valor deL, que hacen que el sistema de lazo cerrado se vuelva inestable. Asimismo, un valor de −1en D′m− indica que el sistema no se vuelve inestable si disminuye L.

B.1. Resultados principales

En las Figuras B.1 a B.6 se recopilan los principales resultados de las pruebas realizadas. LasFiguras B.1, B.3 y B.5 presentan los valores de J′d y Mr

S, y las Figuras B.2, B.4 y B.6 losvalores de D′m+ y D′m−, obtenidos para cada uno de los casos de P1(s) (B.1), P2(s) (B.2) yP3(s) (B.3), respectivamente.

B.1. RESULTADOS PRINCIPALES 63

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

P1(s) =1

1+s e−τos

Mr S


PPIr2[1.8] (emax ≈ 0.16% , e ≈ 0.03%)

PPIr2[1.6] (emax ≈ 0.16% , e ≈ 0.02%)

PPIr2[1.4] (emax ≈ 0.28% , e ≈ 0.03%)

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

3

6

9

12

15

18

21

24

27

τo

J′ d

Figura B.1: Sensibilidad máxima resultante (arriba), MrS, e índice de desempeño

normalizado del control regulatorio (abajo), J′d , de los sistemas de control de P1 (B.1)


0

1

2

3

4

5

6

7

8P1(s) =

11+s e

−τos

D′ m+

PPIPPIo2PPIr2[2.0]

PPIr2[1.8]

PPIr2[1.6]

PPIr2[1.4]

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

τo

D′ m−

Figura B.2: Márgenes normalizados de tiempo muerto: hacia la derecha (arriba), D′m+, yhacia la izquierda (abajo), D′m−, de los sistemas de control de los procesos P1 (B.1)


1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

P2(s) =1

(1+s)3 e−τos

Mr S


PPIr2[1.8] (emax ≈ 2.81% , e ≈ 0.81%)

PPIr2[1.6] (emax ≈ 1.47% , e ≈ 0.48%)

PPIr2[1.4] (emax ≈ 0.57% , e ≈ 0.25%)

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

3

6

9

12

15

18

21

24

27

τo

J′ d




0

1

2

3

4

5

6

7

8

P2(s) =1

(1+s)3 e−τos

D′ m+

PPIPPIo2PPIr2[2.0]

PPIr2[1.8]

PPIr2[1.6]

PPIr2[1.4]

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

τo

D′ m−



1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

P3(s) =1

(1+s)(1+0.5s)(1+0.25s)(1+0.125s) e−τos

Mr S


PPIr2[1.8] (emax ≈ 0.40% , e ≈ 0.15%)

PPIr2[1.6] (emax ≈ 0.20% , e ≈ 0.13%)

PPIr2[1.4] (emax ≈ 0.23% , e ≈ 0.10%)

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

3

6

9

12

15

18

21

24

27

τo

J′ d




0

1

2

3

4

5

6

7

8

P3(s) =1

(1+s)(1+0.5s)(1+0.25s)(1+0.125s) e−τos

D′ m+

PPIPPIo2PPIr2[2.0]

PPIr2[1.8]

PPIr2[1.6]

PPIr2[1.4]

PS[PID]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

τo

D′ m−


B.2. EJEMPLOS ESPECÍFICOS 69

B.2. Ejemplos específicos

Como ejemplos específicos de los resultados numéricos obtenidos, se recogen en los Cua-dros B.1 a B.3 los parámetros de los modelos identificados y de los controladores sintoniza-dos, y los respectivos índices de robustez y desempeño, correspondientes a los procesos P1(s)(B.1) a P3(s) (B.3), respectivamente, para tres valores diferentes de τo. Para cada caso, comoejemplos específicos de las respuestas dinámicas de los sistemas obtenidos, se muestran enlas Figuras B.7 a B.15 las curvas de respuesta (salida) y esfuerzo de control (señal de control),de algunos de los respectivos sistemas de control.


Cuadro B.1: Resultados de pruebas comparativas realizadas a P1 (B.1)



1,0

PPI

0 1,00 1,00 1,00

1,00 1,00 1,00 — — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00PPIo

2 1,30 2,17 0,73 — 0,59 2,64 -1,00 0,78 1,05 1,67PPIr

2[2,0] 1,27 1,58 1,04 — 1,12 2,00 -1,00 1,53 1,46 1,52PPIr

2[1,8] 1,23 1,36 1,21 — 1,42 1,80 -1,00 2,03 1,79 1,48PPIr

2[1,6] 1,17 1,09 1,56 — 1,80 1,60 -1,00 3,14 2,51 1,46PPIr

2[1,4] 1,26 0,82 1,59 — 2,32 1,40 -1,00 4,89 3,47 1,42PS[PID]† 1,00 1,00 1,00 0,00 — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00

5,5

PPI

0 1,00 1,00 5,50

5,50 1,00 1,00 — — 1,90 -0,31 0,28 6,50 6,50PPIo

2 5,72 1,08 0,89 — 1,42 2,02 -0,26 0,28 6,33 6,39PPIr

2[2,0] 5,33 1,04 1,03 — 1,45 2,00 -0,32 0,24 6,58 6,49PPIr

2[1,8] 5,25 0,92 1,09 — 1,90 1,80 -0,36 0,27 6,89 6,20PPIr

2[1,6] 5,65 0,74 1,35 — 3,17 1,60 -0,35 0,46 9,40 7,29PPIr

2[1,4] 5,27 0,54 1,93 — 5,33 1,40 -1,00 3,28 13,36 7,62PS[PID]† 5,50 1,00 1,00 0,00 — 1,90 -0,31 0,28 6,50 6,50

10,0

PPI

0 1,00 1,00 10,00

10,00 1,00 1,00 — — 1,96 -0,15 0,15 11,00 11,00PPIo

2 10,04 1,01 0,98 — 1,56 1,98 -0,15 0,15 10,98 10,72PPIr

2[2,0] 10,04 1,01 0,98 — 1,56 1,98 -0,15 0,15 10,98 10,72PPIr

2[1,8] 10,11 0,90 1,11 — 2,12 1,80 -0,16 0,19 12,46 11,46PPIr

2[1,6] 9,95 0,75 1,39 — 3,11 1,60 -0,23 0,27 15,18 13,07PPIr

2[1,4] 9,67 0,54 1,94 — 5,82 1,40 -0,36 0,39 21,42 15,53PS[PID]† 10,00 1,00 1,00 0,00 — 1,96 -0,15 0,15 11,00 11,00






1,0

PPI 0 1,00 2,00 1,08 2,15 1,00 2,00 — — 1,50 -1,00 3,14 4,15 4,15PPIo

2

1,00 1,00 1,27 1,19

3,05 2,47 1,42 — 0,53 2,51 -1,00 0,86 2,25 3,51PPIr

2[2,0] 3,08 1,69 2,11 — 1,16 1,89 -1,00 2,05 3,06 3,15PPIr

2[1,8] 2,96 1,47 2,49 — 1,54 1,75 -1,00 2,65 3,70 3,17PPIr

2[1,6] 2,83 1,17 3,19 — 1,89 1,58 -1,00 4,17 5,12 3,21PPIr

2[1,4] 2,75 0,86 3,88 — 2,37 1,39 -1,00 7,29 7,64 3,16PS[PID]† 1,51 2,00 2,53 0,63 — 1,50 -1,00 2,09 2,78 2,78

5,5

PPI 0 1,00 2,00 3,33 6,65 1,00 2,00 — — 1,85 -0,56 0,65 8,65 8,65PPIo

2

1,00 1,00 1,27 4,74

7,39 1,17 1,54 — 1,32 2,05 -0,34 0,50 7,96 8,35PPIr

2[2,0] 7,26 1,12 1,68 — 1,37 1,99 -0,37 0,52 8,04 8,25PPIr

2[1,8] 7,42 0,98 1,86 — 1,81 1,81 -0,39 0,64 9,51 8,52PPIr

2[1,6] 7,18 0,78 2,44 — 2,88 1,61 -1,00 2,57 12,36 8,97PPIr

2[1,4] 6,65 0,56 3,48 — 4,49 1,40 -1,00 4,19 18,15 8,78PS[PID]† 6,01 2,00 2,53 0,63 — 1,89 -0,34 0,31 7,28 7,30

10,0

PPI 0 1,00 2,00 5,59 11,15 1,00 2,00 — — 1,93 -0,32 0,28 13,15 13,15PPIo

2

1,00 1,00 1,27 8,30

11,63 1,05 1,62 — 1,52 2,00 -0,28 0,28 12,85 12,84PPIr

2[2,0] 11,63 1,05 1,62 — 1,52 2,00 -0,28 0,28 12,85 12,84PPIr

2[1,8] 11,68 0,92 1,90 — 2,06 1,81 -0,29 0,34 14,70 13,23PPIr

2[1,6] 11,50 0,75 2,38 — 3,30 1,61 -0,35 0,43 18,46 14,70PPIr

2[1,4] 10,89 0,54 3,37 — 5,64 1,40 -1,00 3,35 26,28 15,86PS[PID]† 10,51 2,00 2,53 0,63 — 1,96 -0,19 0,18 11,78 11,80






1,0

PPI 0 1,00 1,25 1,36 1,69 1,00 1,25 — — 1,56 -1,00 2,58 2,94 2,94PPIo

2

0,82 1,00 0,88 1,46

2,26 1,97 0,93 — 0,65 2,51 -1,00 1,05 1,84 2,63PPIr

2[2,0] 2,28 1,45 1,29 — 1,22 2,00 -1,00 2,09 2,46 2,48PPIr

2[1,8] 2,21 1,26 1,53 — 1,65 1,80 -1,00 2,72 2,97 2,44PPIr

2[1,6] 2,13 1,01 1,90 — 2,16 1,60 -1,00 4,04 3,97 2,40PPIr

2[1,4] 2,00 0,72 2,68 — 2,74 1,40 -1,00 7,47 6,35 2,38PS[PID]† 1,28 1,82 1,59 0,39 — 1,60 -1,00 1,90 2,15 2,16

4,5

PPI 0 1,00 1,25 4,16 5,19 1,00 1,25 — — 1,87 -0,40 0,40 6,44 6,44PPIo

2

0,82 1,00 0,88 5,46

5,60 1,11 0,96 — 1,43 2,00 -0,30 0,39 6,09 6,23PPIr

2[2,0] 5,49 1,10 1,02 — 1,45 1,99 -0,32 0,38 6,13 6,17PPIr

2[1,8] 5,63 0,95 1,15 — 1,89 1,80 -0,33 0,48 7,12 6,37PPIr

2[1,6] 5,52 0,76 1,47 — 3,00 1,60 -0,45 2,36 9,16 6,90PPIr

2[1,4] 5,14 0,55 2,08 — 5,06 1,40 -1,00 3,72 13,08 6,99PS[PID]† 4,78 1,82 1,59 0,39 — 1,89 -0,30 0,27 5,66 5,67

8,5

PPI 0 1,00 1,25 7,37 9,19 1,00 1,25 — — 1,95 -0,24 0,23 10,44 10,44PPIo

2

0,82 1,00 0,88 10,00

9,35 1,03 1,08 — 1,57 1,99 -0,20 0,22 10,33 10,17PPIr

2[2,0] 9,35 1,03 1,08 — 1,57 1,99 -0,20 0,22 10,33 10,17PPIr

2[1,8] 9,36 0,91 1,24 — 2,15 1,80 -0,25 0,27 11,64 10,55PPIr

2[1,6] 9,26 0,75 1,54 — 3,30 1,60 -0,31 0,34 14,45 11,98PPIr

2[1,4] 8,99 0,54 2,16 — 5,89 1,40 -0,46 0,55 20,79 13,87PS[PID]† 8,78 1,82 1,60 0,40 — 1,96 -0,15 0,15 9,66 9,67



−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 1 , ∆r = 20% @ tr = 1 , ∆d = −10% @ td = 10

Salida,y(t)(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.48 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.35 , J ′

d ≈ 2.00 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 1.53 , J ′

d ≈ 1.46 , ∆u′

0+ ≈ 1.77)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 4.89 , J ′

d ≈ 3.47 , ∆u′

0+ ≈ 1.90)

PS[PID](

M rS ≈ 1.48 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.35 , J ′

d ≈ 2.00 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)

Figura B.7: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 y PS, para P1 (B.1) con τo = 1

−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 5.5001 , ∆r = 20% @ tr = 3 , ∆d = −10% @ td = 30

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.90 , D′

m−≈ −0.31 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 6.50 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.02 , D′

m−≈ −0.26 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 6.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.53)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.28 , J ′

d ≈ 13.33 , ∆u′

0+ ≈ 2.87)

PS[PID](

M rS ≈ 1.90 , D′

m−≈ −0.31 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 6.50 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)

Figura B.8: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 y PS, para P1 (B.1) con τo = 5,5


−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 10 , ∆r = 20% @ tr = 5.5 , ∆d = −10% @ td = 55

Salida,y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.15 , D′

m+ ≈ 0.15 , J ′

d ≈ 11.00 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.98 , D′

m−≈ −0.15 , D′

m+ ≈ 0.15 , J ′

d ≈ 10.98 , ∆u′

0+ ≈ 1.58)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −0.36 , D′

m+ ≈ 0.39 , J ′

d ≈ 21.40 , ∆u′

0+ ≈ 3.16)

PS[PID](

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.15 , D′

m+ ≈ 0.15 , J ′

d ≈ 11.00 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)


−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 1.1918 , ∆r = 20% @ tr = 2 , ∆d = −10% @ td = 20

Salida,

y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.50 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.14 , J ′

d ≈ 4.15 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.89 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.05 , J ′

d ≈ 3.06 , ∆u′

0+ ≈ 1.96)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.39 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 7.29 , J ′

d ≈ 7.63 , ∆u′

0+ ≈ 2.02)

PS[PID](

M rS ≈ 1.50 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.09 , J ′

d ≈ 2.78 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)



−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 4.7443 , ∆r = 20% @ tr = 4.5 , ∆d = −10% @ td = 45

Salida,y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.85 , D′

m−≈ −0.56 , D′

m+ ≈ 0.65 , J ′

d ≈ 8.65 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.05 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.50 , J ′

d ≈ 7.96 , ∆u′

0+ ≈ 1.54)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 4.19 , J ′

d ≈ 18.11 , ∆u′

0+ ≈ 2.50)

PS[PID](

M rS ≈ 1.89 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.31 , J ′

d ≈ 7.28 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)


−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 8.2961 , ∆r = 20% @ tr = 6.5 , ∆d = −10% @ td = 65

Salida,

y(t)(%

)

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.93 , D′

m−≈ −0.32 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 13.15 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −0.28 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 12.85 , ∆u′

0+ ≈ 1.60)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.35 , J ′

d ≈ 26.24 , ∆u′

0+ ≈ 3.06)

PS[PID](

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.19 , D′

m+ ≈ 0.18 , J ′

d ≈ 11.78 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)



−10

0

10

20

30a = 0.82127 , τL = 1.4581 , ∆r = 20% @ tr = 1.5 , ∆d = −10% @ td = 15

Salida,y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.56 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.58 , J ′

d ≈ 2.94 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.09 , J ′

d ≈ 2.46 , ∆u′

0+ ≈ 1.77)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 7.47 , J ′

d ≈ 6.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.97)

PS[PID](

M rS ≈ 1.60 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 1.90 , J ′

d ≈ 2.15 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)


−10

0

10

20

30a = 0.8215 , τL = 5.4553 , ∆r = 20% @ tr = 3 , ∆d = −10% @ td = 30

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.87 , D′

m−≈ −0.40 , D′

m+ ≈ 0.40 , J ′

d ≈ 6.44 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −0.30 , D′

m+ ≈ 0.39 , J ′

d ≈ 6.09 , ∆u′

0+ ≈ 1.59)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.72 , J ′

d ≈ 13.06 , ∆u′

0+ ≈ 2.79)

PS[PID](

M rS ≈ 1.89 , D′

m−≈ −0.30 , D′

m+ ≈ 0.27 , J ′

d ≈ 5.66 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)


B.3. EJ. ESPECÍFICOS DE SINT. UTILIZANDO LAS ECUACIONES 77

−10

0

10

20

30a = 0.82253 , τL = 10 , ∆r = 20% @ tr = 5 , ∆d = −10% @ td = 50

Salida,y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.95 , D′

m−≈ −0.24 , D′

m+ ≈ 0.23 , J ′

d ≈ 10.44 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.99 , D′

m−≈ −0.20 , D′

m+ ≈ 0.22 , J ′

d ≈ 10.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.61)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −0.46 , D′

m+ ≈ 0.55 , J ′

d ≈ 20.77 , ∆u′

0+ ≈ 3.16)

PS[PID](

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.15 , D′

m+ ≈ 0.15 , J ′

d ≈ 9.66 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)


B.3. Ejemplos específicos de sintonización utilizando las ecua-ciones

Como ejemplos específicos de sintonización mediante las ecuaciones (4.15)-(4.18), se mues-tran en los Cuadros B.4 a B.6 los parámetros de los modelos identificados y de los controla-dores sintonizados, y los respectivos índices de robustez y desempeño, correspondientes a losprocesos P1(s) (B.1) a P3(s) (B.3), respectivamente, para tres valores diferentes de τo. Paracada caso, se presentan en las Figuras B.16 a B.24 las curvas de respuesta (salida) y esfuerzode control (señal de control), de algunos de los respectivos sistemas de control.


Cuadro B.4: Resultados de pruebas comparativas realizadas a P1 (B.1) (PPI2 sintonizadosutilizando las ecuaciones)



1,0

PPI

0 1,00 1,00 1,00

1,00 1,00 1,00 — — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00PPIr

2[2,0] 1,26 1,58 1,04 — 1,13 1,99 -1,00 1,52 1,46 1,51PPIr

2[1,4] 1,17 0,81 1,73 — 2,28 1,40 -1,00 5,01 3,56 1,42PS[PID]† 1,00 1,00 1,00 0,00 — 1,48 -1,00 2,35 2,00 2,00

4,5

PPI

0 1,00 1,00 4,50

4,50 1,00 1,00 — — 1,87 -0,34 0,33 5,50 5,50PPIo

2 4,77 1,07 0,89 — 1,37 1,96 -0,28 0,35 5,33 5,36PPIr

2[1,4] 4,35 0,51 2,18 — 4,88 1,39 -1,00 3,99 12,78 6,20PS[PID]† 4,50 1,00 1,00 0,00 — 1,87 -0,34 0,33 5,50 5,50

8,0

PPI

0 1,00 1,00 8,00

8,00 1,00 1,00 — — 1,94 -0,19 0,19 9,00 9,00PPIo

2 8,11 1,06 0,94 — 1,54 2,05 -0,16 0,18 9,02 8,95PPIr

2[1,4] 7,74 0,56 1,80 — 5,84 1,41 -0,40 0,44 17,02 11,88PS[PID]† 8,00 1,00 1,00 0,00 — 1,94 -0,19 0,19 9,00 9,00





1,0

PPI 0 1,00 2,00 1,08 2,15 1,00 2,00 — — 1,50 -1,00 3,14 4,15 4,15PPIr

2[2,0]1,00 1,00 1,27 1,19

3,07 1,67 2,09 — 1,16 1,86 -1,00 2,10 3,10 3,13PPIr

2[1,4] 2,77 0,84 3,83 — 2,39 1,38 -1,00 7,38 7,70 3,13PS[PID]† 1,51 2,00 2,53 0,63 — 1,50 -1,00 2,09 2,78 2,78

5,5

PPI 0 1,00 2,00 3,33 6,65 1,00 2,00 — — 1,85 -0,56 0,65 8,65 8,65PPIo

21,00 1,00 1,27 4,74

7,41 1,13 1,56 — 1,31 2,00 -0,34 0,52 8,01 8,31PPIr

2[1,4] 6,65 0,53 3,89 — 4,49 1,39 -1,00 4,69 19,84 8,94PS[PID]† 6,01 2,00 2,53 0,63 — 1,89 -0,34 0,31 7,28 7,30

10,0

PPI 0 1,00 2,00 5,59 11,15 1,00 2,00 — — 1,93 -0,32 0,28 13,15 13,15PPIo

21,00 1,00 1,27 8,30

11,64 1,09 1,59 — 1,54 2,07 -0,27 0,27 12,98 13,06PPIr

2[1,4] 10,88 0,57 3,05 — 5,64 1,42 -1,00 3,05 24,41 15,59PS[PID]† 10,51 2,00 2,53 0,63 — 1,96 -0,19 0,18 11,78 11,80






1,0

PPI 0 1,00 1,25 1,36 1,69 1,00 1,25 — — 1,56 -1,00 2,58 2,94 2,94PPIr

2[2,0]0,82 1,00 0,88 1,46

2,30 1,46 1,27 — 1,20 2,01 -1,00 2,07 2,44 2,48PPIr

2[1,4] 2,02 0,73 2,43 — 2,76 1,40 -1,00 6,88 5,99 2,38PS[PID]† 1,28 1,82 1,59 0,39 — 1,60 -1,00 1,90 2,15 2,16

4,0

PPI 0 1,00 1,25 3,76 4,69 1,00 1,25 — — 1,85 -0,46 0,46 5,94 5,94PPIo

20,82 1,00 0,88 4,88

5,12 1,10 1,00 — 1,38 1,96 -0,32 0,45 5,60 5,72PPIr

2[1,4] 4,62 0,52 2,43 — 4,69 1,39 -1,00 4,39 13,37 6,29PS[PID]† 4,28 1,82 1,59 0,39 — 1,88 -0,32 0,30 5,16 5,16

7,0

PPI 0 1,00 1,25 6,17 7,69 1,00 1,25 — — 1,93 -0,30 0,27 8,94 8,94PPIo

20,82 1,00 0,88 8,31

7,95 1,08 1,02 — 1,55 2,06 -0,25 0,26 8,86 8,87PPIr

2[1,4] 7,49 0,57 1,93 — 5,77 1,41 -0,51 2,97 16,55 10,91PS[PID]† 7,28 1,82 1,60 0,39 — 1,94 -0,18 0,17 8,16 8,17


−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 1 , ∆r = 20% @ tr = 1 , ∆d = −10% @ td = 10

Salida,

y(t)(%

)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.48 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.35 , J ′

d ≈ 2.00 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.99 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 1.52 , J ′

d ≈ 1.46 , ∆u′

0+ ≈ 1.78)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 5.01 , J ′

d ≈ 3.55 , ∆u′

0+ ≈ 1.85)

PS[PID](

M rS ≈ 1.48 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.35 , J ′

d ≈ 2.00 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)

Figura B.16: Respuestas de los controladores PPI, PPIr2 (sintonizados utilizando las

ecuaciones) y PS, para P1 (B.1) con τo = 1


−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 4.5001 , ∆r = 20% @ tr = 2.5 , ∆d = −10% @ td = 25

Salid

a,y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.87 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.33 , J ′

d ≈ 5.50 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.28 , D′

m+ ≈ 0.35 , J ′

d ≈ 5.33 , ∆u′

0+ ≈ 1.47)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.39 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.99 , J ′

d ≈ 12.73 , ∆u′

0+ ≈ 2.48)

PS[PID](

M rS ≈ 1.87 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.33 , J ′

d ≈ 5.50 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)

Figura B.17: Respuestas de los controladores PPI, PPI2 (sintonizados utilizando lasecuaciones) y PS, para P1 (B.1) con τo = 4,5

−10

0

10

20

30a = 0 , τL = 8.0005 , ∆r = 20% @ tr = 4.5 , ∆d = −10% @ td = 45

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.94 , D′

m−≈ −0.19 , D′

m+ ≈ 0.19 , J ′

d ≈ 9.00 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 2.05 , D′

m−≈ −0.16 , D′

m+ ≈ 0.18 , J ′

d ≈ 9.02 , ∆u′

0+ ≈ 1.62)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.41 , D′

m−≈ −0.40 , D′

m+ ≈ 0.44 , J ′

d ≈ 17.00 , ∆u′

0+ ≈ 3.27)

PS[PID](

M rS ≈ 1.94 , D′

m−≈ −0.19 , D′

m+ ≈ 0.19 , J ′

d ≈ 9.00 , ∆u′

0+ ≈ 1.00)




−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 1.1918 , ∆r = 20% @ tr = 2 , ∆d = −10% @ td = 20

Salid

a,y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 30 35 400

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.50 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.14 , J ′

d ≈ 4.15 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 1.86 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.10 , J ′

d ≈ 3.10 , ∆u′

0+ ≈ 1.93)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.38 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 7.38 , J ′

d ≈ 7.69 , ∆u′

0+ ≈ 2.01)

PS[PID](

M rS ≈ 1.50 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.09 , J ′

d ≈ 2.78 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)



−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 4.7443 , ∆r = 20% @ tr = 4.5 , ∆d = −10% @ td = 45

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.85 , D′

m−≈ −0.56 , D′

m+ ≈ 0.65 , J ′

d ≈ 8.65 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 2.00 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.52 , J ′

d ≈ 8.01 , ∆u′

0+ ≈ 1.48)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.39 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 4.69 , J ′

d ≈ 19.77 , ∆u′

0+ ≈ 2.36)

PS[PID](

M rS ≈ 1.89 , D′

m−≈ −0.34 , D′

m+ ≈ 0.31 , J ′

d ≈ 7.28 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)

Figura B.20: Respuestas de los controladores PPI, PPI2 (sintonizados utilizando lasecuaciones) y PS, para P2 (B.2) con τo = 5,5


−10

0

10

20

30a = 1 , τL = 8.2961 , ∆r = 20% @ tr = 6.5 , ∆d = −10% @ td = 65

Salid

a,y(t)(%

)

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.93 , D′

m−≈ −0.32 , D′

m+ ≈ 0.28 , J ′

d ≈ 13.15 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 2.07 , D′

m−≈ −0.27 , D′

m+ ≈ 0.27 , J ′

d ≈ 12.98 , ∆u′

0+ ≈ 1.68)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.42 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 3.05 , J ′

d ≈ 24.40 , ∆u′

0+ ≈ 3.22)

PS[PID](

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.19 , D′

m+ ≈ 0.18 , J ′

d ≈ 11.78 , ∆u′

0+ ≈ 2.00)



−10

0

10

20

30a = 0.82127 , τL = 1.4581 , ∆r = 20% @ tr = 1.5 , ∆d = −10% @ td = 15

Salida,

y(t)(%

)

0 5 10 15 20 25 300

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.56 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.58 , J ′

d ≈ 2.94 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIr2[2.0](

M rS ≈ 2.01 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 2.07 , J ′

d ≈ 2.44 , ∆u′

0+ ≈ 1.76)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.40 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 6.87 , J ′

d ≈ 5.97 , ∆u′

0+ ≈ 2.02)

PS[PID](

M rS ≈ 1.60 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 1.90 , J ′

d ≈ 2.15 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)




−10

0

10

20

30a = 0.82121 , τL = 4.884 , ∆r = 20% @ tr = 3 , ∆d = −10% @ td = 30

Salid

a,y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.85 , D′

m−≈ −0.46 , D′

m+ ≈ 0.46 , J ′

d ≈ 5.94 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 1.96 , D′

m−≈ −0.32 , D′

m+ ≈ 0.45 , J ′

d ≈ 5.60 , ∆u′

0+ ≈ 1.51)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.39 , D′

m−≈ −1.00 , D′

m+ ≈ 4.39 , J ′

d ≈ 13.33 , ∆u′

0+ ≈ 2.45)

PS[PID](

M rS ≈ 1.88 , D′

m−≈ −0.32 , D′

m+ ≈ 0.30 , J ′

d ≈ 5.16 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)

Figura B.23: Respuestas de los controladores PPI, PPI2 (sintonizados utilizando lasecuaciones) y PS, para P3 (B.3) con τo = 4

−10

0

10

20

30a = 0.82125 , τL = 8.3089 , ∆r = 20% @ tr = 4.5 , ∆d = −10% @ td = 45

Salida,

y(t)(%

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

Senal

decontrol,u(t)(%

)

Tiempo, t

PPI(

M rS ≈ 1.93 , D′

m−≈ −0.30 , D′

m+ ≈ 0.27 , J ′

d ≈ 8.94 , ∆u′0+ ≈ 1.00)

PPIo2(

M rS ≈ 2.06 , D′

m−≈ −0.25 , D′

m+ ≈ 0.26 , J ′

d ≈ 8.86 , ∆u′

0+ ≈ 1.68)

PPIr2[1.4](

M rS ≈ 1.41 , D′

m−≈ −0.51 , D′

m+ ≈ 2.97 , J ′

d ≈ 16.53 , ∆u′

0+ ≈ 3.29)

PS[PID](

M rS ≈ 1.94 , D′

m−≈ −0.18 , D′

m+ ≈ 0.17 , J ′

d ≈ 8.16 , ∆u′

0+ ≈ 1.82)



sintonización robusta óptima de controladores proporcional integral

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