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O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 1
Signal et TFD
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 2
SignauxCrickets
Chauve-souris
ECG
Brouhaha
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 3
SignauxParole
Gong
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 4
Signaux périodiques( ) ( )x t x t T= +
Τ
Séries de Fourier
( ) ( )0 0 01
( ) cos 2 sin 2k kk
x t a a kf t b kf tπ π+∞
=
= + +∑
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 5
App
roxi
mat
ion
k=1
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 6
App
roxi
mat
ion
k=3
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 7
App
roxi
mat
ion
k=5
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 8
App
roxi
mat
ion
k=7
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 9
App
roxi
mat
ion
k=19
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 10
Convergence
( ) ( )0 0 01
( ) cos 2 sin 2N
k kk
x t a a kf t b kf tπ π=
= + +∑
moyenne fondamentale
harmoniques
( )
( )
0
0
0
1 ( )
2 ( )cos 2
2 ( )sin 2
T
kT
kT
a x t dtT
a x t kf dtT
b x t kf dtT
π
π
=
=
=
∫
∫
∫
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Phase
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 01
00
0 00
( ) cos 2 sin 2
cos 2
cos cos 2 sin sin 2
N
k kk
N
k kkN
k k k kk
x t a a kf t b kf t
r kf t
r kf t r kf t
π π
π ϕ
ϕ π ϕ π
=
=
=
= + +
= +
= −
∑
∑
∑
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 12
Phas
e : 0
°
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 13
Phas
e : 4
5°
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 14
Phas
e : 9
0°
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 15
Phas
e : 1
35°
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 16
Phas
e : 1
80°
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 17
Composantes en quadrature
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 18
Phaseurs
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 19
Série de Fourier
( )0( ) exp 2kk
x t c j kf tπ+∞
=−∞
= ∑
pour 0, et pour 0.2 2
k k k kk k
a jb a jbc k c k− += ≥ = <
( )01 ( ) exp 2k
T
c x t j kf dtT
π= −∫Nota:
( ) ( ) ( )0 0 0 01
exp 2 cos 2 sin 2k k kk k
c j kf t a a kf t b kf tπ π π+∞ +∞
=−∞ =
⎡ ⎤ℜ = + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 20
Transformée de Fourier
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 21
Transformée de Fourier
( )( ) ( ) exp 2x t X f j ft dfπ+∞
−∞
= ∫
( ) ( )( ) exp 2X f x t j ft dtπ+∞
−∞
= −∫
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 22
Transformée et série de Fourier
00
1 ( )kc X kfT
=
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 23
Propriétés TFlinéarité
Translation temporelle
Relation de Parseval
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 24
Les signaux
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 25
Les signauxretournement
retard
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 26
Systèmes LIT
• Causal• Stable• Invariant temporellement
• Linéaire
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 27
Réponse impulsionnelle
Produit de convolution
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 28
Réponse en fréquenceet
Théorème de convolution
1
( ) ( ) ( ). ( )TF
TF
x t h t X f H f−
⎯⎯→∗
←⎯⎯⎯
( ) ( )( ) exp 2H f h t j ft dtπ+∞
−∞
= −∫
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 29
Propriétés systèmesassociativité
distributivité
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 30
Propriétés des systèmesCausal
Stabilité
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 31
Propriétés TFThéorème de convolution
Théorème du fenêtrage
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 32
Transformée de Fourier Discrète
] [ [ ]
] [ [ ]
,; 0; 1 ,
,
; 0; 1
e
e
t nTt n N
Ff kN
f k N
→
∈ −∞ +∞ → ∈ −
→
∈ −∞ +∞ → ∈ −
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 33
Transformée de Fourier Discrète
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 34
Propriétés TFDPériodicité
Théorème de convolution circulaire
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 35
Convolution circulaire
( )( )Nh n k−
[ ] [ ] ( )( )1
0
N
Nk
y n x k h n k−
=
= −∑
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 36
Analyse fréquentielle
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 37
Aparté 1(Théorème du fenêtrage)
1
( ). ( ) ( ) ( )TF
TF
x t y t X Y f dυ υ υ−
+∞
−∞
⎯⎯→−
←⎯⎯⎯ ∫
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 38
Aparté 2 (Fonctions rectangle et sinus cardinal)
T/2-T/2
1
rect(t/T)
t
( ) 1 si 2,0 sinon.
t Trect t T
⎧ <= ⎨⎩
sinc(fT)T
f
1/T-1/T
sin( )sinc( ) fTfTfππ
=
FT⎯ →⎯
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 39
Analyse fréquentielle
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 40
Fenêtres de troncature
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 41
Bourrage de zéros
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 42
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 43
Autre exemple
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 44
O.Venard - ESIEE/SIGTEL - 2005 45
Exemples de comportement spectral
• Bruit de foule : « babble »• Voix féminine: « Fem » composantes harmoniques et non harmonique