UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOPOSGRADO EN MATEMATICASFINANZAS MATEMATICAS Y DERIVADOS EN TIEMPO DISCRETOSESION 7ULTIMA MODIFICACION: 2009/09/27.Profesor: Jorge Humberto Del Castillo Spndola.[ ]

MODELO CONTINUO COMO CASO LIMITE DEL MODELODISCRETO. FORMULA DE BLACK-SCHOLES.

La inversion en la cuenta en efectivo puede ser facilmente escrita en terminosde tasas de interes determinsticas equivalentes:

B1(0, (j + 1)) = B1(0, j) exp(r(j)),

donde r(j) es la tasa correspondiente al perodo que va de j a (j + 1) com-puesta continuamente.

El activo subyacente es riesgoso; su evolucion es descrita de manera estocastica.Aun as, podemos tratar de describir su dinamica en terminos de tasas equiva-lentes. Decimos que para t (j, (j + 1)) la tasa equivalente es r(j) si

S((j + 1)) = S(j) exp(r(j)).

Esto puede ser reescrito como

r(j) = ln(S((j + 1))) ln(S(j))vemos que r(j) es el retorno en el activo para el perodo (j, (j+1)) y tambienobservamos que

S(k) = S(j) exp(k1i=j

r(i)).

En este caso, como el precio del subyacente es estocastico, tambien lo son r(j).

Uno de nuestros objetivos es valuar instrumentos derivados sobre el subyacente.Para lograr tal objetivo debemos suponer una dinamica que describa la evolu-cion temporal aleatoria del precio del subyacente. Hemos discutido ya, en nuestromarco discreto, que si el horizonte temporal es dividido en intervalos de tamano suficientemente pequenos, entonces podemos suponer que el precio del subya-cente solo puede variar de un tiempo al siguiente en un salto hacia arriba o unsalto hacia abajo. En otras palabras, hemos restringido la evolucion de su precioa un arbol binomial. Aun mas, supusimos que este arbol recombina valores y esmultiplicativo.

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Supongamos que los retornos en el activo r(j) tienen una media comun porperodo (media proporcional al tamano del perodo) y una varianza comunpor perodo 2 (varianza proporcional al tamano del perodo).

Comencemos considerando, por simplicidad y para ganar intuicion, un mundodonde la probabilidad asociada a subir en cada paso es 12 . Es facil ver que sideseamos un retorno esperado y una varianza 2, entonces el retorno debetomar los valores: {

+ con probabilidad 12

con probabilidad 12(la esperanza es y la varianza 2); i.e., estamos considerando el arbol mul-tiplicativo

Su = Sn exp( + ) Sd = Sn exp(

)

donde cada rama tiene asignada la probabilidad 12 .

Consideremos un tiempo t de la forma t = n. Si para llegar a t subimos j vecesy bajamos n j veces, el precio del subyacente puede ser escrito como

S(t) = S(n)

= S(0) exp(j + j + (n j) (n j)

)

= S(0) exp(n + (2j n))

= S(0) exp(t+ (2j n))

Que pasa cuando n ( 0 de tal manera que t = n es fijo)? En otraspalabras, que ocurre si la particion homogenea del horizonte temporal se vuelvedensa en [0, T ]? Primero que nada, hagamos mas explcita la parte estocasticade S(t): definamos

Y (n) = numero de veces que sube en n pasos

=ni=1

(i),

donde

(i) ={

0 con probabilidad 121 con probabilidad 12

y {(i)} son independientes.Observemos que

E[Y (n)] =n

2V ar(Y (n)) =

n

4y en consecuencia

E[Y (n)n

]=

12

V ar

(Y (n)n

)=

14n.

2

Por lo tanto, una aplicacion del Teorema del Lmite Central da que

Y (n)n 12

12n

=2Y (n) n

n

D= N(0, 1)

Ahora bien, usando que =

tn

tenemos que

S(t) = S(0) exp(t+ t2Y (n) n

n)

y en consecuencia, cuando 0 y n con t = n fijo obtenemos queS(t) = S(0) exp(t+

tZ) Z N(0, 1);

en particularln(S(t)) ln(S(0)) N(t, 2t).

Por supuesto, no hay nada de especial en este analisis respecto al tiempo 0 ymuy bien pudimos haber empezado en cualquier otro tiempo, obteniendo que

ln(S(t2)) ln(S(t1)) N((t2 t1), 2(t2 t1)).No nada mas hemos obtenido un proceso lmite continuo no trivial, hemos real-mente justificado de alguna forma el uso en tiempo discreto del supuesto de ladinamica lognormal.

Suponer que el precio del subyacente sigue una dinamica lognormal, es supon-er que:

{r(j)} son v.a.s i.i.d. r(j) N(, 2) R, > 0.Se conoce a como el retorno esperado del subyacente y a como su volatilidad.Un primer supuesto es que estas dos cantidades son constantes independiente-mente del tamano de .De hecho, lo que queremos decir es la siguiente caracterizacion mas fuerte: sit1 = l y t2 = k

Si t1 < t2, ln(S(t2)) ln(S(t1)) N((t2 t1), 2(t2 t1)).Estos incrementos son independientes para intervalos de tiempo disjuntos.

NOTA: Aun cuando la unidad de es 1tiempo

, es comun llamar a la volatili-dad por ano.

Tiene sentido suponer este tipo de dinamica para el precio del subyacente? Unaposible justificacion ha sido dada con la obtencion de un proceso lmite de tiem-po continuo no trivial que, como sera visto en el curso de tiempo continuo,refleja de manera muy cercana el comportamiento de ciertos activos (stocks,commodities) e ndices (accionarios y de volatilidad). Otra justificacion es, por

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supuesto, la comodidad de trabajar con la distribucion gaussiana. Tambien seha observado que este modelo representa bien las series financieras de datos,aunque tambien es cierto que se ha encontrado que, en los mercados, las colasde la distribucion son mas pesadas que aquellas de la normal. Algunas publi-caciones recientes realizan un analisis cualitativo utilizando un tipo de procesocon incrementos independientes mas general, los llamados procesos de Levy.

Como se habra podido notar, este no es el analisis mas formal matematica-mente hablando para obtener el modelo en tiempo continuo. En el curso detiempo continuo se desarrollara la teora auxiliandose de tecnicas mas formalesy poderosas. De hecho, se hara uso del equivalente del calculo para un marcoaleatorio: el calculo estocastico.

En va de mientras, nuestra forma de escoger el arbol:

Su = Sn exp( + ) Sd = Sn exp(

)

cada rama con probabilidad 12 no es la unica posible...

Implicaciones para valuar opciones

Si queremos valuar opciones, consideremos un arbol para una eleccion de pequena. Que tenemos?

Estructura del arbol: permanece relevante (u, d).

Las probabilidades 12 : son irrelevantes debido a que nuestra valuacion sebasa en argumentos de no-arbitraje.

Sabemos que el valor del derivado X al tiempo 0 esta dado por

X(0) = EQ[B(0, T )X(T )].

Ademas, tenemos que

B1(0, (j + 1)) = B1(0, j) exp(r(j)).

De esta expresion y el ejercicio 1 de la Sesion 4 concluimos que

B1(j, (j + 1)) = exp(r(j)).

Si r(j) = r con r constante entonces tenemos una unica q:

q =exp(r) d

u d=

exp(r) exp( )exp( +

) exp( )

Podemos facilmente verificar que para suficientemente pequena

q =12

(1 r + 122

) + terminos de orden (1)

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y entonces q esta, de hecho, cercana a 12 .

Que hay que hacer? Encontrar la distribucion de valores finales S(T ) cuandousamos q y calcular la esperanza (estadstico inconciente). Veamos, pues, queconservamos del analisis anterior:

S(t) = S(0) exp(t+ t2Y (n) n

n)

pero ahora Y (n) =(i) donde {(i)} i.i.d. (i) Bernoulli(q). En otras pal-

abras, Y (n) Bin(n,q). En consecuencia, usando (1) vemos que

E[

2Y (n) nn

]= (2q 1)n

t( r +12

2

) (2)

V ar

(2Y (n) n

n

) 1 (3)

Utilizando el Teorema del Lmite Central obtenemos

S(t) = S(0) exp(t+ tZ ) Z N(t(r

12

2

), 1)

o bien,

S(t) = S(0) exp[(r 122)t+

tZ] Z N(0, 1).

OBSERVACION: La distribucion de S(t), en un mundo neutral al riesgo(partimos de q), depende en y r, pero no en .Entonces, para una opcion X(S(T )) tenemos

X(0) = exp(rT )E[X(S(0) exp(Y ))] Y N((r 122)T, 2T ) (4)

i.e.,

X(0) = exp(rT )

X(S(0) exp(y))1

2piTexp[ (y [r

2

2 ]T )2

22T

]dy (5)

Cuando especializamos este resultado al caso de la call y la put plain vanilla, seobtiene la famosa formula de Black-Scholes.

Por supuesto, el correspondiente valor del derivado al tiempo t esta dado por

X(t) = exp(r(T t))

X(S(t) exp(y))1

2pi(T t) exp[ (y [r

2

2 ](T t))222(T t)

]dy (6)

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Lema 1 Supongamos que Y N(m, s2). Entonces, para a y b cualesquieranumeros reales,

b

eay12pis

exp((y m)2

2s2

)dy = eam+

12a

2s2N(d)

con d = b+m+as2

s y donde N(d) es la probabilidad acumulada de una distribu-cion N(0, 1) hasta el punto d.

Prueba.Juntando los exponentes de e y simple algebra nos da

ay (y m)2

2s2= am+

12a2s2 [y (m+ as

2)]2

2s2.

Entonces, b

eay12pis

exp((y m)2

2s2

)dy = eam+

12a

2s2 b

12pis

exp( [y (m+ as

2)]2

2s2

)dy.

Si hacemos u = y(m+as2)

s y c =b(m+as2)

s entonces esto se transforma en

eam+12a

2s2 c

12pis

eu22 du = eam+

12a

2s2 [1N(c)]

= eam+12a

2s2N(c),

donde d = c = b+m+as2s .2

Este resultado se parece mucho a la funcion generadora de momentos de unavariable aleatoria normal salvo que la integracion va desde el punto b en lugarde ir desde .

Resultado 1 (Formulas de Black-Scholes para call y put europeas)Tenemos que

c[S(0), T,K] = S(0)N(d1)KerTN(d2)p[S(0), T,K] = KerTN(d2) S(0)N(d1)

donde

d1 =1

T

[ln(S(0)K

)+(r +

122)T

]d2 =

1T

[ln(S(0)K

)+(r 1

22)T

]= d1

T

y N(d) es la probabilidad acumulada hasta d de una distribucion normal estandar(N(0, 1)).

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Prueba.Vamos a aplicar el lema para la call europea. Queremos evaluar

erT

(S(0)ey K)+ 1

2piTexp[(y [r 22 ]T )2

22T

]dy

El integrando es diferente de cero cuando S(0)ey > K, i.e., cuando y > ln( KS(0) ).Separamos la integral en dos y aplicamos el lema a ambos terminos.Para el primer termino aplicamos el lema con a = 1 y b = ln( KS(0) ) obteniendo

erT b

S(0)ey1

2piTexp[(y [r 22 ]T )2

22T

]dy = S(0)N(d1).

Aplicando el lema de nuevo pero con a = 0 para el segundo termino obtenemos

erT b

K1

2piTexp[(y [r 22 ]T )2

22T

]dy = KerTN(d2).

Combinando estos dos resultados da la formula para c[S(0), T,K].Para obtener p[S(0), T,K] podemos hacer un calculo analogo o utilizar la pari-dad put-call:

p[S(0), T,K] = c[S(0), T,K] +KerT S(0)= KerT [1N(d2)] S(0)[1N(d1)]= KerTN(d2) S(0)N(d1).

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Que hemos encontrado? Dado un proceso lognormal en el precio del activo conretorno y volatilidad y dada la eleccion de , el arbol debiese ser construidode tal manera que

Su = uSn Sd = dSn

conu = exp( +

) d = exp(

)

Estos valores determinan la probabilidad de riesgo neutral

q =exp(r) d

u dTrabajar el arbol hacia atras es equivalente a encontrar el valor esperado deX(S(T )) con respecto a la probabilidad de riesgo neutral y traerlo a valor pre-sente con la tasa libre de riesgo.

Ahora bien, hicimos la observacion de que las estadsticas de S(t) relativas a laprobabilidad de riesgo neutral dependen en , la volatilidad del subyacente, yen r, la tasa libre de riesgo, pero no en , el retorno esperado del subyacente.

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Entonces, en el lmite 0, los modelos de precios lognormal con diferentes spero la misma dan el mismo valor a las opciones. En consecuencia, podramosescoger como quisieramos.Las dos elecciones mas populares son:

Escoger realmente como el retorno esperado del subyacente.

Escoger tal que r + 122 = 0 i.e., = r 122

la segunda eleccion es la que utilizaremos en este curso para la construccion denuestros arboles multiplicativos.

Por que la formula para valuar la opcion no debiese depender en ? Intuiti-vamente, podramos decir que al estar usando consideraciones de no arbitraje,entonces no importa si el precio del activo tiende a crecer o decrecer, que esprincipalmente lo que dice. Tambien podramos dar la siguiente prueba deconsistencia:Consideremos el instrumento derivado cuyo payoff es X(S(T )) = S(T ). Porsupuesto, el valor al tiempo 0 de este instrumento debe ser S(0), debido a quela estrategia que replica su valor en T es simplemente mantener una unidad delsubyacente y nunca rebalancear. En el anterior analisis, pasando al caso lmiteva arboles binomiales, nos permite concluir que cuando X(S(T )) = S(T ), elvalor del instrumento es

exp(rT )E[S(0) exp(Y )] Y N((r 122)T, 2T ).

Son consistentes estos dos calculos? Solo si

exp(rT )E[exp(Y )] = 1 (7)

Utilizaremos la funcion generadora de momentos para verificar la validez de (7):

Resultado 2 Si Y N(m, s2) entonces

E[ exp(Y )] = exp(m+122s2) (8)

Aplicando este resultado a nuestro caso nos da

exp(rT )E[exp(Y )] = exp(rT ) exp(rT 122T +

122T )

= exp(0)= 1

EJERCICIOS:

1.- Demuestra (1).

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2.- Usa (1) para verificar (3).

3.- Para a y b numeros reales, obten una expresion equivalente a la del Lema 1para b

eay

12pis

exp((y m)2

2s2

)dy.

4.- Obten, utilizando el ejercicio anterior, el valor de p[S(0), T,K] (i.e., directa-mente, sin usar la paridad put-call).

5.- Demuestra (8) (funcion generadora de momentos de una v.a. normal).

6.- Consideremos un instrumento derivado X(S(T )) = Sn(T ) en tiempo contin-uo. Muestra, usando (6), que su valor en t es

Sn(t) exp([122n(n 1) + r(n 1)](T t))

donde r es la tasa libre de riesgo y es la volatilidad del subyacente.

7.- Utiliza (5) para dar el precio al tiempo 0 del derivadoX(S(T )) = (S(T )K)2+(una call cuadrada).

8.- Utiliza (5) para dar el precio al tiempo 0 del derivadoX(S(T )) = (KS(T ))2+(una put cuadrada).

9.- Utiliza (5) para dar el precio al tiempo 0 del derivadoX(S(T )) = MI{S(T )>K}donde M es una constante e I{S(T )>K} es la funcion indicadora del conjunto{S(T ) > K} (call digital europea con pago M pesos. Tambien conocida comocall europea cash-or-nothing).

10.- Utiliza (5) para dar el precio al tiempo 0 del derivadoX(S(T )) = MI{S(T )K} es la funcion indicadora del conjunto {S(T ) > K} (call digitaleuropea con pago 1 unidad de subyacente. Tambien conocida como call europeastock-or-nothing o asset-or-nothing).

12.- Utiliza (5) para dar el precio al tiempo 0 del derivadoX(S(T )) = S(T )I{S(T )

13.- Una opcion put europea con precio de ejercicio de 45 pesos madura en unano. El subyacente tiene volatilidad () de 20 por ciento por ano y el precio spotactual es de 50 pesos. La tasa de interes libre de riesgo (r) es 5.60 por cientopor ano. Divide el intervalo de 1 ano en 2 intervalos de 6 meses cada uno y usael arbol multiplicativo con u y d dados por:

u = exp[(r 2

2) +

] d = exp[(r

2

2)

].

(i) Muestra que u = 1,172832 y d = 0,883891. Calcula las probabilidades deriesgo neutral.(ii) Determina el precio de la put al trabajar el arbol hacia atras.(iii) Determina el precio de la put usando la formula que lo da como un prome-dio sobre los valores del payoff, trado a valor presente.(iv) Describe la estrategia de cobertura asociada; i.e., especifica cuantas unidadesde subyacente y cuanta deuda debes mantener en cada nodo despues de rebal-ancear el portafolio.

14.- El precio actual del subyacente es de 100 pesos y la volatilidad es de 30por ciento por ano. La tasa de interes libre de riesgo es 6 por ciento por ano.Considera una opcion call europea a un ano en este subyacente con precio deejercicio de 100 pesos.(i) Divide el periodo de 1 ano en 2 intervalos de 6 meses cada uno y usa el arbolmultiplicativo con u y d como en la pregunta anterior. Calcula las probabili-dades de riesgo neutral. Muestra que el valor de la opcion es 13.718486.(ii) Supon que la opcion tiene un valor en el mercado de 14 78 . Considerando queel mercado es realmente descrito por el arbol de la parte (i), debe existir unaoportunidad de arbitraje. Explica en detalle (especificando todos los movimien-tos) como podras tomar ventaja del precio de mercado incorrecto para obtenerun beneficio sin riesgo.

15.- Un tipo especial de opcion put a un ano es emitida en cierto activo. Elprecio actual del activo es de 40 pesos y el precio actual de ejercicio es de 40pesos. Al mes 6, si el precio del activo esta por debajo de 35 pesos, el precio deejercicio se reduce a 35 pesos; si no, permanece sin cambio. La tasa de intereslibre de riesgo es de 5 por ciento por ano; la volatilidad del activo es 35 porciento por ano.(i) Usa un arbol binomial de 2 periodos con la seleccion usual de u y d paravaluar la opcion.(ii) Ahora usa un arbol binomial de 4 periodos para valuar la opcion.(iii) Cual es la dificultad para valuar este tipo de opcion?

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