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Eduardo Quincho 1

SESIN 6.3

CLASE PRCTICA

1. OPERACIONES CON FUNCIONES

1.2. Ejercicios

2. CEROS DE UNA FUNCIN

2.1. Ejercicios

3. RAZONES TRIGONOMTRICAS

3.1. Ejercicios

4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y GRAFICAS DE FUNCIONES SINUSOIDALES

4.1. Ejercicios

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1. OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:

a. Si )3ln()( xxf , se puede afirmar que f tiene una asntota vertical de ecuacin .4x

Solucin:

Falso.

En la grfica se observa que la asntota vertical tiene

por ecuacin .3x

b. La funcin )(sen)( xxf es siempre uno a uno (inyectiva).

Solucin:

Falso.

La funcin seno no es uno a uno (inyectiva)

por el criterio de la recta horizontal.

2. Determine la regla de correspondencia de la funcin inversa de g con regla de correspondencia

,3

23)(

x

x

xg

si existe.

3x

)(xfy

2

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Solucin:

xxxx

x

xg 3213

21

3

2

3

3)(

R)Dom( g

;1)Ran(g

Por el criterio de la recta horizontal (CRH) concluimos que

la funcin g es uno a uno (inyectiva). Por lo tanto, existe

inversa de .g

Regla de correspondencia de la funcin inversa:

xxgy 3.21)(

Intercambiando x por y

yx 3.21

Ahora despejamos y

2

1log

2

1log

2

133

2

133

xy

xy

xx yy

Por lo tanto, la regla de correspondencia de la funcin inversa es:

2

1log)( 3

1 xxg

;1)Ran()Dom( 1 gg

3. Sean las funciones f y g con reglas de correspondencia 4)( xexf y

42

2)(

xxg

a. Determine fg y su dominio.

Solucin:

Componiendo se tiene la regla de correspondencia:

42

2))(()(

44

xeegxfgxfg x

2ln4R/

2ln4R/

2R/

042R/Dom

4

4

xx

xx

ex

exfg

x

x

2ln4RDom fg

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b. Si se sabe que la funcin f es uno a uno, determine regla de correspondencia de 1 f .

Solucin:

Se tiene por dato que la funcin f es uno a uno. Por lo tanto existe .1 f

Regla de correspondencia de la funcin inversa:

4)( xexfy

Intercambiando x por y 4 yex

Ahora despejamos y

xyxyxey ln4ln44

Por lo tanto, la regla de correspondencia de la funcin inversa es: xxf ln4)(1

4. Se desea disear una caja, cuyas longitudes (en cm) se muestra en la figura.

Determine:

a. una funcin V para el volumen, en trminos de la altura x . Indique la restriccin.

Solucin:

Sea x : la altura de la caja en cm.

De la figura, se tiene una funcin para el volumen:

xxxxxx 8484712V(x) 22

Restriccin: 7;070070 xxxxx

x

x7

12

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b. las dimensiones de la caja para que el volumen sea el mximo posible.

Solucin:

De la parte a. se tiene que: xxx 8412)V( 2

Como 012a entonces V tiene mximo.

Luego xa

bh

5,3

2

7

)12(2

84

2

Por lo tanto, las dimensiones de la caja son 3,5 cm de altura; 3,5 de ancho y 12 cm de largo para que

el volumen sea mximo posible.

1.1.1. Ejercicios

1. Siendo las funciones f y g con reglas de correspondencias: 4)( 2 xexf y

,5

)(

x

xxg determine la regla de correspondencia y el dominio de:

a. g

f

b. fg

2. Dada la funcin f , cuya regla de correspondencia es .2)( 2 xexf Determine la regla de correspondencia de la funcin inversa si existe, dominio

y grafique ).(1 xfy

3. Un agricultor tiene 800 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que bordea a un ro. Determine una funcin para el rea A del campo rectangular en funcin del lado x , sabiendo que no necesita cercar la parte que colinda con el ro (vea la figura). Adems indique el dominio.

x

Ro (No necesita cercar)

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2. CEROS DE UNA FUNCIN

1. Determine los ceros de f cuya regla de correspondencia es: .1)1(log)12(log)( 33 xxxf

Solucin.

12/1R/

01012R/)Dom(

xxx

xxxf

Por lo tanto: ;1)Dom( f

Ceros de f : 0)( xf entonces

2

12

0232

3132

33)1)(12(

1)1)(12(log

1)1(log)12(log

01)1(log)12(log

2

2

1

3

33

33

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

22/1020120212 xxxxxx ;

)Dom(2/1 f

Por lo tanto, el nico cero de f ocurre en 2.

1 1/2

Si: BAAB logloglog

Si: 000 baab

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2. En cada caso desarrolle segn la indicacin:

a. Determine los ceros de la funcin f cuya regla de correspondencia es .53 11 xxxf

Solucin.

R)Dom( f

Ceros de f : 0)( xf

15log

3/5log

3/5log15log

3log5log)5log3(log

5log5log3log3log

5log)1(3log)1(

5log3log

53

053

x11x

x11x

x11x

x

x

x

xx

xx

Por lo tanto, el nico cero de f ocurre en 15log

)3/5log(

b. Dada la siguiente funcin f con regla de correspondencia: .18)( xx eexf Cul es el valor

de x para 1)( xf ?

Solucin.

R)Dom( f

028

028

118)(

2

xx

xx

xx

ee

ee

eexf

xcx bc

b loglog

BAB

A

BAAB

logloglog

loglog)log(

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242040)2)(4(

0822

xxxxxx

xx

eeeeee

ee

R;0 :porque solucin existe no4 :Como xee xx ;

2ln2 xex

Por lo tanto, el valor de x para que )(xf sea igual a 1 es .2ln

2.1.1. Ejercicios

1. Determine los ceros de la funcin f con regla de correspondencia

.1

42log165

22

xe

xxxf

2. Determine los ceros de la funcin f con regla de correspondencia

.18log1log xxxf

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3. RAZONES TRIGONOMTRICAS

1. Sabiendo que es la medida de un ngulo agudo en un tringulo rectngulo. A partir de la razn trigonomtrica dada, calcule las otras cinco razones si:

a. 11

5cos

Solucin.

Se construye un tringulo rectngulo con un ngulo agudo y como la razn dada nos establece

una relacin entre sus lados aplicando el Teorema de Pitgoras determinamos el lado que falta.

b. 3

11cot

Solucin.

Se construye un tringulo rectngulo con un ngulo agudo y como la razn dada nos establece

una relacin entre sus lados aplicando el Teorema de Pitgoras determinamos el lado que falta.

2. En los siguientes ejercicios, calcule los valores solicitados sin usar calculadora.

a. cotycos si 0tany4

1sen .

5

x

11

11

3

x

64115 222 xx

64

5cot

64

11csc

5

64tan

5

11se

11

64sen

c

13053 222 xx

11

3tan

11

130csc

130

11cos

3

130se

130

3sen

c

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Solucin.

Usando la Circunferencia Trigonomtrica, cuya

ecuacin es 122 yx ( 1r ) y de donde cosx

e4

1sen y se tiene.

4

151

4

12

2

xx

Adems,

4

1

1sen

y

r

y y 000tan xy

x

y

luego el punto final es

4

1;

4

15

Por lo tanto:

4

15cos x y .15

4

14

15

cot

y

x

b. cscysec si .0cosy3

4cot

Solucin.

Usando la Circunferencia Trigonomtrica, cuya

ecuacin es 122 yx ( 1r ) y de donde cosx

e .seny

Dato:

00cos xr

x y

kykxyk

k

y

x3400

3

4

3

4cot

5

3

5

4

5

11251 222 yxkkyx

luego el punto final es

5

3;

5

4

Por lo tanto:

4

51sec

x y

3

51csc

y

cosx

4/1;2x

4/1;1x

seny

4/1

cosx

5/3;2x

5/3;1x

seny

5/3

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4. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y GRAFICAS DE

FUNCIONES SINUSOIDALES

1. Grafique las siguientes funciones, indicando el perodo, la amplitud, el desfasamiento y el desplazamiento vertical cuyas reglas de correspondencia son:

a. 32

cos2

xxf

Solucin:

kxbaxxf

cos3

2cos2

Amplitud: 22 aA

Periodo:

21

22

bT

Traslacin Horizontal: 2

(hacia la izquierda) (desfasamiento)

Traslacin vertical: 3k (3 unidades hacia abajo)

2

0

2

2

3

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b. 14

33sen2

xxg

Solucin:

kxbaxxxf

cos1

43sen21

4

33sen2

Amplitud: 22 aA

Periodo: 3

2

3

2

T

Traslacin Horizontal: 4

(hacia la derecha) (desfasamiento)

Traslacin vertical: 2k (2 unidades hacia arriba)

4.1.1. Ejercicios

1. Grafique )(xfy siendo 23

2cos3

xxf , indicando el perodo, la

amplitud, el desfasamiento y el desplazamiento vertical.

12

11

12

7

12

5

4

34

4

12

5

12

7

4

3

12

11