sesion 1_introduccion y alcances generales.pdf
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Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
Contador Publico Colegiado
Maestría en Ingeniería de Sistemas
SUMILLA El propósito del curso es representar situaciones reales
de negocios mediante modelos cuantitativos en hoja de
cálculo, resolverlos mediante técnicas adecuadas e
interpretar los resultados para enriquecer la calidad de
la toma de decisiones gerenciales.
El curso esta se fundamenta en la teoría matemática
relacionada con la Investigacion de Operaciones,
tomando de esta los principales métodos, técnicas y
procedimientos.
CONTENIDO
Capítulo 1 Introducción al análisis cuantitativo
Capítulo 2 Análisis de decisiones
Capítulo 3 Modelos de regresión
Capítulo 4 Pronósticos
Capítulo 5 Modelos de control de inventarios
Capítulo 6 Modelos de programación lineal: métodos
Gráficos y por PC
Capítulo 7 Modelos de transporte y asignación
Capítulo 8 Modelos de redes
Capítulo 9 Administración de proyectos
Capítulo 10 Líneas de espera y modelos de teoría de colas
Capítulo 11 Modelado con simulación
Capítulo 12 Análisis de Markov
MODELOS
Los modelos nos ayudan a tomar decisiones frente a problemas
administrativos.
¿Por qué un modelo?
Permite deducir conclusiones
Menos tiempo
Menos dinero
Reduce riesgo
¿Qué es un modelo? Es una representación de la realidad
MODELOS
FÍSICOS
ANALÓGICOS
CUANTITATIVOS
Análisis
Intuición Situación administrativa
Modelo Resultados
Decisiones
Mundo simbólico
Mundo real
Juicio del administrador
Proceso de Construcción de un Modelo
El modelo debe tener suficientes detalles como para que:
El resultado sea satisfactorio
Sea consistente con los datos
Pueda ser analizado en el tiempo con el que se cuenta para ello
Realismo Simplicidad
Insumos Incontrolables (Parámetros)
Insumos Controlables (Decisiones)
Modelo
Variables de
Consecuencia
¿Qué hace el modelo?
Medidas de
Desempeño
¿La solución del modelo dará la respuesta que se necesita? NO Se deben tener en cuenta factores cualitativos que el modelo no está considerando.
PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Evaluar resultados
Implementar la decisión
Elegir una opción
Evaluar alternativas
Determinar criterios de evaluación
Definir el problema
Identificar alternativas
Resolución de Problemas
Toma de Decisiones
METODOS CUANTITATIVOS
o En el estudio e investigación de fenómenos sociales,
se designa por método cuantitativo el procedimiento
utilizado para explicar eventos a través de una gran
cantidad de datos.
o El método cuantitativo busca acercar, a través de la
recolección, estudio y análisis de grandes cantidades
de datos mediante técnicas y tecnología estadística,
a las disciplinas sociales hacia las ciencias exactas,
todo esto gracias a la conversión de fenómenos
sociales, capturados en forma de datos, en números.
Formulación del modelo y recolección
de datos
Resolución del modelo
Solución
¿Es válida la solución?
Generación de Reportes e
Implementación
Si
Modelo modificado
No
PROCESO DEL ANÁLISIS CUANTITATIVO
MODELOS MATEMÁTICOS U = I - C CT = CF + CV I = P*Q
TIPO 1 TIPO 2 TOTOAL
UTILIDADES 128 378 506
CONTRIBUCIÓN 4 7
MO REQUERIDA 25.6 59.4 85
MP UTILIZADA 672 972 1644
MO POR UNIDAD 0.8 1.1
MP POR UNIDAD 21 18
CANTIDAD PRODUCIDA 32 54
HOJA DE CÁLCULO
1. FORMULACIÓN DEL MODELO Y RECOLECCIÓN DE DATOS
ELEMENTOS DE UN MODELO MATEMÁTICO
VARIABLES DE DECISIÓN
OBJETIVO
RESTRICCIONES
PARÁMETROS
Modelos Determinísticos
Modelos Probabilísticos
2. RESOLUCIÓN DEL MODELO
MÉTODO ÓPTIMO Mejores valores posibles
MÉTODO HEURÍSTICO Valores aceptables
3. VALIDACIÓN DE LA SOLUCIÓN
4. MODIFICACIÓN DEL MODELO
5. GENERACIÓN DE REPORTES E IMPLEMENTACIÓN
Los valores numéricos determinados por el modelo, implican decisiones específicas (asignación de recursos). Se debe hacer un seguimiento de la eficacia del modelo.
Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
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Maestría en Ingeniería de Sistemas
TOMA DE DECISIONES Uno de los principales procesos que tiene lugar en
las organizaciones es la toma de decisiones, su
estudio paso de un plano individual (¿cuáles son los
elementos que inciden en el decidir de una
persona?) a uno organizacional.
La toma de decisiones se define como la selección
de un curso de acciones entre alternativas, es decir
que existe un plan, un compromiso de recursos de
dirección .
La toma de decisiones, es sólo un paso de la planeación ya que forma la parte esencial de los procesos que se siguen para elaboración de los objetivos o metas trazadas a seguir. Rara vez se puede juzgar sólo un curso de acción, porque prácticamente cada decisión tiene que estar
engranada con otros planes.
El proceso que conduce a la toma de decisión (Resolución de Problemas):
1. Identificar y analizar el problema 2. Identificar los criterios de decisión y ponderarlos 3. Generar las alternativas de solución 4. Evaluar las alternativas
a. Analisis cualitativo b. Analisis cuantitativo
5. Elección de la mejor alternativa 6. Implementación de la decisión 7. Evaluación de los resultados
1. Identificar y analizar el problema Esta etapa consiste en comprender la condición del momento y visualizar la condición deseada, es decir encontrar el problema y reconocer que se debe tomar una decisión para llegar a la solución de este. El problema puede ser actual, porque existe una brecha entre la condición presente real y la deseado, o potencial, porque se estima que dicha brecha existirá en el futuro.
2. Identificar los criterios de decisión y ponderarlos o Consiste en identificar aquellos aspectos que son
relevantes al momento de tomar la decisión, es decir aquellas pautas de las cuales depende la decisión que se tome.
o La ponderación, es asignar un valor relativo a la importancia que tiene cada criterio en la decisión que se tome, ya que todos son importantes pero no de igual forma.
2. Identificar los criterios de decisión y ponderarlos o Muchas veces, la identificación de los criterios no
se realiza en forma consciente previa a las siguientes etapas, sino que las decisiones se toman sin explicitar los mismos, a partir de la experiencia personal de los tomadores de decisiones.
3. Generar las alternativas de solución o Consiste en desarrollar distintas posibles
soluciones al problema. Si bien no resulta posible en la mayoría de los casos conocer todos los posibles caminos que se pueden tomar para solucionar el problema, cuantas más alternativas se tengan va ser mucho más probable encontrar una que resulte satisfactoria.
3. Generar las alternativas de solución o De todos modos, el desarrollo de un número
exagerado de alternativas puede tornar la elección sumamente dificultosa, y por ello tampoco es necesariamente favorable continuar desarrollando alternativas en forma indefinida.
o Para generar gran cantidad de alternativas es necesaria una cuota importante de creatividad. Existen diferentes técnicas para potenciar la creatividad, tales como la lluvia de ideas.
4. Evaluar las alternativas o Consiste en hacer un estudio detallado de cada
una de las posibles soluciones que se generaron para el problema, es decir mirar sus ventajas y desventajas, de forma individual con respecto a los criterios de decisión, y una con respecto a la otra, asignándoles un valor ponderado.
o Existen herramientas, para evaluar diferentes alternativas, que se conocen como métodos cuantitativos.
5. Elección de la mejor alternativa o En este paso se escoge la alternativa que según la
evaluación va a obtener mejores resultados para el problema. Los siguientes términos pueden ayudar a tomar la decisión según el resultado que se busque:
o Optima: Tomar la mejor decisión posible. (criterio poco realista). Requiere conocer todas las alternativas.
o Satisfactoria: Elegir la opción que sea mínimamente aceptable, o sobrepase los criterios, satisfaciendo de esta forma una meta u objetivo buscado.
6. Implementación de la decisión o Poner en marcha la decisión tomada para así
poder evaluar si la decisión fue o no acertada. La implementación probablemente derive en la toma de nuevas decisiones, de menor importancia.
7. Evaluación de los Resultados o Después de poner en marcha la decisión es
necesario evaluar si se solucionó o no el problema, es decir si la decisión está teniendo el resultado esperado o no.
o Se debe tener conciencia de que estos procesos de decisión están en continuo cambio, es decir, las decisiones que se tomen continuamente van a tener que ser modificadas, por la evolución que tenga el sistema o por la aparición de nuevas variables que lo afecten.
La información: Materia Prima de la toma de decisión o El proceso de toma de decisiones utiliza como
materia prima información. Esta es fundamental, ya que sin ella no resultaría posible evaluar las alternativas existentes o desarrollar alternativas nuevas.
o En las organizaciones, que se encuentran sometidas constantemente a la toma de decisiones, la información adquiere un rol fundamental, y por ello un valor inigualable.
La información: Materia Prima de la toma de decisión o Para procesar los datos de la organización y
transformarlos en información, es fundamental el Sistema de información, dentro de los cuales se encuentra la Contabilidad, Bases de Datos, Data Mining, COSO ERM, Inteligencia de Negocios.
Barreras para la Toma de Decisiones Efectivas
o Prejuicios psicológicos: A veces los encargados de tomar decisiones están muy lejos de ser objetivos en la forma que recopilan, evalúan y aplican la información para elegir. Las personas tienen prejuicios que interfieren con una racionalidad objetiva.
Ejemplos de algunos prejuicios subjetivos: Ilusión de control: es creer que uno puede influir en las situaciones aunque no se tenga control sobre lo que va a ocurrir.
o Los efectos de perspectiva: se refieren a la manera en que se formulan o perciben los problemas o las alternativas de decisión y a la manera en que estas influencias subjetivas pueden imponerse sobre hechos objetivos.
o Presiones de tiempo: en el cambiante ambiente de negocios de la actualidad, el premio es para la acción rápida. Las decisiones de negocios que se toman con mayor conciencia pueden volverse irrelevantes e incluso desastrosas si los gerentes se toman demasiado tiempo en hacerlo.
Barreras para la Toma de Decisiones Efectivas
Cualidades personales para la toma de decisiones Sin lugar a dudas existen ciertas cualidades que hacen que los tomadores de decisión sean buenos o malos. Cuatro son las cualidades que tienen mayor importancia a la hora de analizar al tomador de decisiones:
•experiencia, •buen juicio, •creatividad y •habilidades cuantitativas.
o Buen juicio: Se utiliza el término juicio para referirnos a la habilidad de evaluar información de forma inteligente. Está constituido por el sentido común, la madurez, la habilidad de razonamiento y la experiencia del tomador de decisiones. Por lo tanto se supone que el juicio mejora con la edad y
la experiencia.
o Creatividad: La creatividad designa la habilidad del
tomador de decisiones para combinar o asociar ideas de manera única, para lograr un resultado nuevo y útil.
o Habilidades cuantitativas: Esta es la habilidad de emplear técnicas presentadas como métodos cuantitativos o investigación de operaciones.
Cualidades personales para la toma de decisiones
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Juan Santiago Zamata Machaca
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o La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones.
o Estas herramientas ayudan a los mandos a tomar decisiones efectivas. Pero es muy importante no olvidar que las habilidades cuantitativas no deben, ni pueden reemplazar al buen juicio en el proceso de toma de decisiones.
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s • Análisis de decisiones (Árbol de decisión)
• Programación lineal
• Analisis de dualidad y sensibilidad
• Modelos de Transporte
• Teoría de inventarios
• Modelos de pronóstico
• Modelos de líneas de espera – Teoría de colas
• Planificacion de Proyectos
• Operación con redes – PERT / CPM
• Simulación
TIPOS DE MODELOS
DESCRIPCION
DEL PROBLEMA
CERTEZA INCERTIDUMBRE
Problemas
SimplesCasos Arboles de Decision
Problemas
Complejos
Programacion Lineal,
Programacion Mixta
Simulacion
Montecarlo
Problemas
Dinamicos
PERT,
Inventario
Simulacion, Colas,
Inventario
Árboles de decisión
Puede usarse para desarrollar una estrategia óptima cuando el tomador de decisiones se enfrenta con:
–Una serie de alternativas de decisión
– Incertidumbre o eventos futuros con riesgo
Arboles de decisión • El primer paso para resolver problemas complejos
es descomponerlos en subproblemas más simples.
• Los árboles de decisión ilustran la manera en que se pueden desglosar los problemas y la secuencia del proceso de decisión.
• Un nodo es un punto de unión.
• Una rama es un arco conector.
• La secuencia temporal se desarrolla de izquierda a derecha.
Arboles de decisión (cont.)
• Un nodo de decisión representa un punto en el que se debe tomar una decisión.
• De un nodo de decisión salen ramas de decisión (las decisiones posibles).
• Un nodo de estado de la naturaleza representa el momento en que se produce un evento incierto.
• De un nodo de estado de la naturaleza salen ramas de estado de la naturaleza (los posibles resultados provenientes de eventos inciertos sobre los cuales no se tiene control).
Árboles de decisión: Componentes y estructura: ejemplo
Alternativa 1
Alternativa 2
Evento 1
P(Evento 1)
Evento 2
P(Evento 2)
Evento 3
P(Evento 3)
Pago 1
Pago 2
Pago 3
Pago 4
Punto de
decisión
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Juan Santiago Zamata Machaca
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o La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a
través del cual se resuelven situaciones reales en las que
se pretende identificar y resolver dificultades para
aumentar la productividad respecto a los recursos
(principalmente los limitados y costosos), aumentando así
los beneficios.
o El objetivo primordial de la Programación Lineal es
optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones
lineales en varias variables reales con restricciones
lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando
una función objetivo también lineal.
Los resultados y el proceso de optimización se
convierten en un respaldo cuantitativo de las
decisiones frente a las situaciones planteadas.
Decisiones en las que sería importante tener en
cuenta diversos criterios administrativos como:
•Los hechos
•La experiencia
•La intuición
•La autoridad
El primer paso para la resolución de un problema de
programación lineal consiste en la identificación de los
elementos básicos de un modelo matemático, estos
son:
o Función Objetivo
o Variables
o Restricciones
El siguiente paso consiste en la determinación de la
siguiente metodología:
¿C
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LA FUNCIÓN OBJETIVO
o La función objetivo tiene una estrecha relación con la
pregunta general que se desea responder. Sí en un
modelo resultasen distintas preguntas, la función
objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel
superior, es decir, la pregunta fundamental.
o Así por ejemplo, si en una situación se desean
minimizar los costos, es muy probable que la pregunta
de mayor nivel sea la que se relacione con aumentar la
utilidad en lugar de un interrogante que busque hallar la
manera de disminuir los costos.
interrogante que busque hallar la manera de disminuir los costos.
LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Similar a la relación que existe entre objetivos
específicos y objetivo general se comportan las variables
de decisión respecto a la función objetivo, puesto que
estas se identifican partiendo de una serie de preguntas
derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de
decisión son en teoría factores controlables del sistema
que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar
diversos valores posibles, de los cuales se precisa
conocer su valor óptimo, que contribuya con la
consecución del objetivo de la función general del
problema.
LAS RESTRICCIONES
o Cuando hablamos de las restricciones en un problema de
programación lineal, nos referimos a todo aquello que
limita la libertad de los valores que pueden tomar las
variables de decisión.
o La mejor manera de hallarlas consiste en pensar en un
caso hipotético en el que decidiéramos darle un valor
infinito a nuestras variables de decisión, por ejemplo,
¿qué pasaría sí en un problema que precisa maximizar
sus utilidades en un sistema de producción de calzado
decidiéramos producir una cantidad infinita de zapatos?
LAS RESTRICCIONES
o Seguramente ahora nos surgirían múltiples interrogantes,
como por ejemplo:
Con cuánto materia prima cuento para producirlos?
Con cuánto de mano de obra cuento para fabricarlos?
Pueden las instalaciones de mi empresa albergar tal
cantidad de producto?
Podría mi fuerza de mercadeo vender todos los
zapatos?
Puedo financiar tal empresa?
LAS RESTRICCIONES
o Pues bueno, entonces habríamos descubierto que
nuestro sistema presenta una serie de limitantes,
tanto físicas, como de contexto, de tal manera que
los valores que en un momento dado podrían tomar
nuestras variables de decisión se encuentran
condicionados por una serie de restricciones.
EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
DE PROGRAMACIÓN LINEAL: EL PROBLEMA
o La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere
fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone
de 500 Kg de hilo “a”, 300 Kg de hilo “b” y 108 Kg de hilo
“c”. Para obtener un metro de “T” diariamente se
necesitan 125 gr de “a”, 150 gr de “b” y 72 gr de “c”; para
producir un metro de “T’” por día se necesitan 200 gr de
“a”, 100 gr de “b” y 27 gr de “c”.
o El “T” se vende a $4000 el metro y el “T’” se vende a
$5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio,
¿cuántos metros de “T” y “T’” se deben fabricar?
El problema se recomienda leer en
más de una ocasión para facilitar el
reconocimiento de las variables,
además es muy recomendable la
elaboración de tablas o matrices que
faciliten una mayor comprensión del
mismo.
PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA"
Para realizar este paso partimos de la pregunta central
del problema.
¿cuántos metros de “T” y “T’” se deben fabricar?
Y la formulación es:
“Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo
“T” y “T’” a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio
respecto a la utilidad”.
PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN
Basándonos en la formulación del problema nuestras
variables de decisión son:
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA
En este paso determinamos las funciones que limitan el
problema, estas están dadas por capacidad, disponibilidad,
proporción, no negatividad entre otras.
De disponibilidad de materia prima:
0,125XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
De no negatividad: XT,XT’ >= 0
PASO 4: DETERMINAR LA FUNCIÓN OBJETIVO
En este paso es de vital importancia establecer el
contexto operativo del problema para de esta
forma determinar si es de Maximización o
Minimización. En este caso abordamos el
contexto de beneficio por ende lo ideal es
Maximizar.
Función Objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
PASO 5: RESOLVER EL MODELO UTILIZANDO SOFTWARE
O MÉTODOS MANUALES
A menudo los problemas de programación lineal están
constituidos por innumerables variables, lo cual dificulta su
resolución manual, es por esto que se recurre a software
especializado, como es el caso de WinQSB, TORA, Lingo o
para modelos menos complejos se hace útil la herramienta
Solver de Excel.
El anterior ejercicio fue resuelto mediante Solver - Excel, y su
resultado fue:
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o El método gráfico es un procedimiento de solución de
problemas de programación lineal muy limitado en
cuanto al número de variables (2 si es un gráfico 2D y 3
si es 3D) pero muy rico en materia de interpretación de
resultados e incluso análisis de sensibilidad.
o Este consiste en representar cada una de las
restricciones y encontrar en la medida de lo posible el
polígono (poliedro) factible, comúnmente llamado el
conjunto solución o región factible, en el cual por razones
trigonométricas en uno de sus vértices se encuentra la
mejor respuesta (solución óptima).
EL PROBLEMA
La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar
dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg
de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener
un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr
de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se
necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c.
El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el
metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos
metros de T y T’ se deben fabricar?
LA MODELIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
VARIABLES
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
RESTRICCIONES
0,125XT + 0,2XT’ <= 500 Hilo “a”
0,15XT + 0,1XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
Las restricciones de no negatividad no son necesarias en este ejemplo
dado que se trata de un ejercicio de maximización, cuando el ejercicio
sea de minimización lo más recomendado es incluirlas.
FUNCIÓN OBJETIVO: ZMAX = 4000XT + 5000XT’
LA SOLUCIÓN MEDIANTE MÉTODO GRÁFICO
PASO 1: GRAFICAR LAS RESTRICCIONES
Para iniciar con el trazado de las restricciones es
indispensable igualar las restricciones a 0, de esta
manera podemos mediante despeje de ecuaciones iniciar
con la tabulación que nos otorgará las coordenadas para
esbozar cada una de las gráficas. Además dado que se
trabajará en el plano cartesiano sería prudente
renombrar las variables
XT = x
XT' = y
Igualamos las restricciones,
0,12X + 0,2y = 500
0,15X + 0,1y = 300
0,072X + 0,027y = 108
Acto seguido iniciamos con la primera restricción,
hallamos las primeras dos coordenadas. Para
hallar las coordenadas regularmente llevamos una
de las variables a cero, para de esta manera
despejar más fácilmente la segunda.
Por ejemplo, para un x = 0
0,12(0) + 0,2y = 500
0,2y = 500
500/0,2 = y
2500 = y
y para un y = 0
0,12x + 0,2(0) = 500
0,12x = 500
x = 500/0,12
x = 4167
Seguimos con la segunda restricción: 0,15X + 0,1y = 300
Tercera restricción: 0,072X + 0,027y = 108
En el siguiente gráfico se
muestra el polígono
solución de color gris, en
este conjunto es donde
cada coordenada cumple
con todas las
restricciones, las cuales
se caracterizan por ser
restricciones de menor o
igual y esta característica
se representa con una
flecha hacía abajo.
Una vez se llega a este punto es indispensable
saber que las soluciones óptimas se alojan en los
vértices del polígono solución (color gris) y que
identificar a la solución óptima es cuestión de elegir
la mejor alternativa dependiendo de las
herramientas disponibles (tecnológicas y
conocimientos matemáticos).
La primera opción es la geométrica, esta depende
de trazar la ecuación que representa a la función
objetivo (este paso consiste en realizar el mismo
procedimiento de las restricciones).
Función objetivo,
ZMAX = 4000x + 5000y
luego igualamos a 0.
4000x + 5000y = 0
Luego tabulamos para
obtener las coordenadas
necesarias para esbozar la
gráfica correspondientes a la
ecuación (en esta ocasión es
recomendable más de dos
coordenadas, incluyendo la
coordenada (x = 0, y = 0).
o Una vez se ha esbozado la función objetivo
(línea negra) sacamos replicas perpendiculares
a esta que se encuentren con cada vértice, y
solo en el caso en que la línea imaginaria
perpendicular a la función objetivo no corte el
polígono solución se ha encontrado la solución
óptima.
o En otras palabras trasladamos la función objetivo
por todo el polígono conservando la
perpendicularidad con la original, la detenemos
en los vértices y evaluamos si esta corta o no el
conjunto solución.
Claramente solo en el punto "B", es decir en el vértice
formado por la intersección de las ecuaciones 1 y 2, la línea
imaginaria no corta el polígono solución, entonces es este
punto el correspondiente a la coordenada óptima.
Para hallar el valor de esta coordenada es indispensable
recurrir a la resolución de ecuaciones lineales 2x2, y se
pueden considerar varios métodos de solución entre
ellos:
o Método por sustitución
o Método por igualación
o Método por reducción o Eliminación
o Método por eliminación Gauss
o Método por eliminación Gauss - Jordán
o Método por determinantes
La riqueza de las matemáticas nos deja suficientes
alternativas, para mi gusto el método de reducción o
eliminación es muy sencillo de aplicar.
El método por reducción o eliminación consiste en
igualar los coeficientes de una de las variables
multiplicando una o las dos ecuaciones, teniendo en
cuenta que estos coeficientes queden iguales pero con
signos contrarios.
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Ecuación 2 0,15x + 0,1y = 300 multiplicamos por (-2)
Ecuación 3 (2*(-2)) -0,30x - 0,2y = -600
Sumamos 1 y 3 -0,18x = -100
Despejamos "x" x = -100 / (-0,18)
x = 555,55
Luego reemplazamos x = 555,55 en cualquiera de las dos
ecuaciones originales con el objetivo de despejar "y".
Ecuación 1 0,12x + 0,2y = 500
Reemplazamos "x" 0,12(555,55) + 0,2y = 500
Despejamos "y" 66,666 + 0,2y = 500
0,2y = 500 - 66,666
0,2y = 433,334
y = 433,334 / 0,2
y = 2166,67
De esta forma hemos obtenido los valores para "x" e "y".
Recordemos que “x” e “y” fueron los nombres que
recibieron las variables originales XT y XT'
x = XT
y = XT'
XT = 555,55
XT' = 2166,67
y la contribución obtenida (reemplazando las variables en
la función objetivo) es de:
Zmax = 4000XT + 5000XT'
Zmax = 4000(555,55) + 5000(2166,67)
Zmax = 13.055.550
Ahora podemos cotejar los resultados con los obtenidos
mediante resolución por Solver - Excel, sin embargo
recuerden que el método de búsqueda de la solución óptima
en el método gráfico que utilizamos es el geométrico y que
existe una posibilidad mucho más engorrosa pero
igualmente efectiva, este es el método de iteración por
vértice, y que consiste en hallar todas las coordenadas de
los vértices y luego en cada coordenada se evalúa la función
objetivo, (cada coordenada nos proporciona un valor en "x" y
otro en "y", luego reemplazamos estos valores en la función
objetivo "4000x + 5000y = ?" y luego evaluamos los
resultados seleccionando la mayor cantidad).
VARIANTES EN EL MÉTODO GRÁFICO
Como en la mayoría de los casos el ejemplo con el que aquí
se explicó el método gráfico es el ideal, es decir un ejercicio
de conjunto acotado con solución óptima única, sin embargo
existen una variedad de problemas diferentes a los ideales y
que vale la pena analizar:
SOLUCIÓN ÓPTIMA MÚLTIPLE
Una de las variantes que puede presentar un ejercicio de
programación lineal consiste en la cantidad de soluciones
óptimas, gran cantidad de ellos presenta más de una
solución óptima, es decir una solución en la cual la función
objetivo es exactamente igual en una combinación
cuantitativa de variables diferente.
Estos problemas deben de afrontarse de tal manera que
prime el análisis de sensibilidad, es decir una vez
encontradas múltiples soluciones iguales se debe
proceder al comportamiento del consumo de los recursos
y restricciones, evidentemente prevaleciendo el concepto
de productividad de los recursos más limitados y costosos.
Un ejemplo de este caso es el siguiente: La ebanistería
"SALAZAR LTDA" ha recibido una gran cantidad de partes
prefabricadas para la elaboración de mesas, sin embargo no ha
podido iniciar un plan de producción enfocado a estas por la alta
demanda que tiene de sus productos restantes. Las mesas que
pueden elaborarse de las partes prefabricadas son de dos
modelos, modelo A y B, y estas no requieren más que ser
ensambladas y pintadas. Esta semana se ha determinado dedicar
10 horas de ensamble y 8 de pintura para elaborar la mayor
cantidad de mesas posibles teniendo en cuenta que cada mesa
modelo A requiere de 2 horas de ensamble y 1 de pintura
respectivamente, y que cada mesa modelo B requiere de 1 hora
de ensamble y 2 de pintura respectivamente. Si el margen de
utilidad es de $20000 por cada mesa modelo A y $10000 por cada
mesa modelo B. Determine el modelo adecuado de producción
para esta semana.
X = Cantidad de mesas modelo A a fabricar esta
semana
Y = Cantidad de mesas modelo B a fabricar esta
semana
Restricciones
2X + Y <= 10 "Horas de ensamble"
X + 2Y <= 8 "Horas de pintura"
X, Y => 0 "De no negatividad"
Función objetivo
Zmax = 20000X + 10000Y
La gráfica resultante sería:
Como nos podemos dar cuenta mediante la geometría en
dos vértices la línea imaginaria perpendicular a la función
objetivo no atraviesa el conjunto solución, por ende en dos
puntos se presentan soluciones óptimas, que son los
puntos B y C.
Observemos la solución óptima múltiple
Z(0) = 20000(0) + 10000(0) = 0
Z(A) = 20000(0) + 10000(4) = $40000
Z(B) = 20000(4) + 10000(2) = $100000
Z(C) = 20000(5) + 10000(0) = $100000
Existen entonces dos soluciones óptimas
Solución óptima 1
X = 4 Y = 2
Solución óptima 2
X = 5 Y = 0
La pregunta siguiente es ¿cual decisión tomar?, pues
depende de factores tales como una análisis de
sensibilidad donde se tenga en cuenta el consumo
distinto de determinados recursos (horas ensamble vs.
horas pintura) y factores extras al modelo como lo
puede llegar a ser en este caso una necesidad de
espacio de almacenamiento, dado que existe una
alternativa en la que se elaboran más mesas que en la
otra, de todas formas es interesante el paso posterior a
esbozar los resultados pues requerirá de la capacidad
de quien toma las decisiones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA NO ACOTADA
Otra de las variantes que presentan los modelos de
programación lineal corresponde a los modelos de
solución óptima no acotada, es decir problemas con
infinitas soluciones óptimas. Hay que reconocer que en la
vida real gran parte de estos problemas se deben a un
mal planteamiento de las restricciones, sin embargo es
común que este tipo de problemas sean evaluados en la
vida académica.
Un ejemplo:
o La compañía comercializadora de bebidas
energéticas "CILANTRO SALVAJE" se
encuentra promocionando dos nuevas bebidas,
la tipo A y la tipo B, dado que se encuentran en
promoción se puede asegurar el cubrimiento
de cualquier cantidad de demanda, sin
embargo existen 2 políticas que la empresa
debe tener en cuenta.
Un ejemplo:
o Una de ellas es que la cantidad de bebidas tipo A que se
vendan no puede ser menor que las de tipo B, y la
segunda es que se deben de vender por lo menos 1500
bebidas de cualquier tipo.
o Dado que se encuentran en promoción el precio de
venta de ambas bebidas equivale a $1800 pesos.
o Determine la cantidad de unidades que deben
venderse!!
Variables
X = Cantidad de bebidas tipo A a vender
Y = Cantidad de bebidas tipo B a vender
Restricciones
X => Y
X + Y => 1500
Función Objetivo
Zmax = 4,5X + 4,5Y
La gráfica resultante sería:
Es claro que en este ejercicio las variables pueden aumentar mejorando
indefinidamente la función objetivo, en estos casos se dice que la solución
óptima no es acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
SOLUCIÓN INFACTIBLE
Es claro que en este ejercicio las variables pueden
aumentar mejorando indefinidamente la función objetivo,
en estos casos se dice que la solución óptima no es
acotada, por lo cual las posibles soluciones son infinitas.
El caso de la solución infactible es más típico de lo
pensado, y corresponde a los casos en los cuales no
existen soluciones que cumplen con todas las
restricciones. Es muy común ver este fenómeno producto
de inviables proporciones de oferta y demanda.
SO
LU
CIÓ
N IN
FA
CT
IBL
E
Un ejemplo: La compañía de galletas "CAROLA" desea
planificar la producción de galletas que tendrá que entregar
a su cliente en dos semanas, el contrato indica que la
compañía "CAROLA" se compromete a entregar por lo
menos 300 cajas de galletas cualquiera sea su tipo
presentación D, presentación N o una combinación de
ambas presentaciones), cada caja de galletas presentación
D tiene un tiempo de elaboración de 2 horas, y un tiempo
de horneado de 3 horas, mientras cada caja de
presentación N tiene un tiempo de elaboración de 3 horas y
un tiempo de horneado de 1 hora. La compañía cuenta
estas dos semanas con 550 horas para elaboración y con
480 horas de horneado.
SO
LU
CIÓ
N IN
FA
CT
IBL
E
Teniendo en cuenta que el margen de
utilidad de cada caja de galletas
presentación D y N es de US$8,500 y
US$8,100 respectivamente, determine
mediante un modelo de programación lineal
el plan de producción que maximice las
utilidades.
Variables
X = Cantidad de cajas de galletas presentación D a
producir en 2 semanas
Y = Cantidad de cajas de galletas presentación N a
producir en 2 semanas
Restricciones
2X + 3Y <= 550
3X + Y <= 480
X + Y => 300
Función Objetivo
Zmax = 8500X + 8100Y
La gráfica resultante es la siguiente:
Evidentemente no
existe forma alguna
de satisfacer todas
las restricciones,
por ende se
concluye que no
existe solución
factible.
REDUNDANTES O SOBRANTES
Existen en los modelos de programación lineal un
tipo de restricciones que no juegan rol alguno en la
determinación del conjunto solución (de igual
manera en la solución óptima), lo que lleva a
deducir que estas son redundantes.
Por ejemplo:
La compañía "CONGELADORES MAJO" pretende fabricar
dos tipos de congeladores denominados A y B. Cada uno
de ellos debe pasar por tres operaciones antes de su
comercialización: Ensamblaje, pintura y control de calidad.
Los congeladores tipo A requieren 2 horas de ensamblaje,
3 kg de pintura y 4 horas de control de calidad; los
congeladores tipo B requieren 3 horas de ensamblaje, 6 kg
de pintura y 5 horas de control de calidad. El margen
contributivo por cada congelador tipo A y B es de $102000
y $98000 respectivamente.
Por ejemplo:
La compañía dispone como máximo
semanalmente 300 horas de ensamblaje, 840
kg de pintura y 450 horas de control de calidad.
Con base en la información suministrada
determine las unidades a producir
semanalmente de cada referencia para
maximizar las utilidades.
Las variables:
X = Cantidad de congeladores tipo A a producir
semanalmente
Y = Cantidad de congeladores tipo B a producir
semanalmente
Las restricciones:
2X + 3Y <= 300
3X + 5Y <= 840
4X + 5Y <= 450
Función Objetivo:
Zmax = 102000X + 98000Y
La gráfica resultante es la siguiente,
La solución óptima corresponde a:
X = 150
Y = 0
y la función objetivo quedaría.
Zmax = $15300000
Claramente podemos observar como la restricción 1 y la
restricción 2 no determinan el conjunto solución, por
ende se denominan restricciones redundantes o
sobrantes.
Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
Contador Publico Colegiado
Maestría en Ingeniería de Sistemas
o El Método Simplex es un método analítico de solución de
problemas de programación lineal capaz de resolver modelos
más complejos que los resueltos mediante el método gráfico
sin restricción en el número de variables.
o El Método Simplex es un método iterativo que permite ir
mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de
esta mejora radica en que el método consiste en caminar del
vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que
aumente o disminuya (según el contexto de la función
objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de
vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se
hallará solución.
o Este famosísimo método fue creado en el año de 1947
por el estadounidense George Bernard Dantzig y el
ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el ánimo de
crear un algoritmo capaz de solucionar problemas
de m restricciones y n variables.
¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
o Una matriz puede definirse como una ordenación
rectangular de elementos, (o listado finito de elementos),
los cuales pueden ser números reales o complejos,
dispuestos en forma de filas y de columnas.
o La matriz idéntica o identidad es una matriz cuadrada
(que posee el mismo número tanto de columnas como
de filas) de orden n que tiene todos los elementos
diagonales iguales a uno (1) y todos los demás
componentes iguales a cero (0), se denomina matriz
idéntica o identidad de orden n, y se denota por:
¿QUE ES UNA MATRIZ IDENTIDAD?
La importancia de la teoría de matrices en el Método
Simplex es fundamental, dado que el algoritmo se basa
en dicha teoría para la resolución de sus problemas.
OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO
o El Método Simplex trabaja basándose en
ecuaciones y las restricciones iniciales que se
modelan mediante programación lineal no lo son,
para ello hay que convertir estas inecuaciones en
ecuaciones utilizando unas variables
denominadas de holgura y exceso …………..
OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX
VARIABLES DE HOLGURA Y EXCESO
o ………….relacionadas con el recurso al cual hace
referencia la restricción y que en el tabulado final
representa el "Slack or surplus" al que hacen
referencia los famosos programas de resolución
de investigación de operaciones, estas variables
adquieren un gran valor en el análisis de
sensibilidad y juegan un rol fundamental en la
creación de la matriz identidad base del Simplex.
Estas variables suelen estar representadas por la letra "S", se
suman si la restricción es de signo "<= " y se restan si la
restricción es de signo ">=".
Por ejemplo:
VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M“
Una variable artificial es un truco matemático para
convertir inecuaciones ">=" en ecuaciones, o cuando
aparecen igualdades en el problema original, la
característica principal de estas variables es que no
deben formar parte de la solución, dado que no
representan recursos. El objetivo fundamental de estas
variables es la formación de la matriz identidad.
VARIABLE ARTIFICIAL / MÉTODO DE LA "M"
Estas variables se representa por la letra "A", siempre
se suman a las restricciones, su coeficiente es M (por
esto se le denomina método de la M grande, donde M
significa un número demasiado grande muy poco
atractivo para la función objetivo), y el signo en la
función objetivo va en contra del sentido de la misma,
es decir, en problemas de Maximización su signo es
menos (-) y en problemas de Minimización su signo es
(+), repetimos con el objetivo de que su valor en la
solución sea cero (0).
MÉTODO SIMPLEX PASO A PASO
EL PROBLEMA
La empresa SAMÁN S.R.Ltda. Dedicada a la fabricación de
muebles, ha ampliado su producción en dos líneas más. Por
lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y
bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares
de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla
requiere de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas
cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza
rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases
trapezoidales de 2 pines y finalmente cada biblioteca
requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases
trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines.
EL PROBLEMA
Cada mesa cuesta producirla $10,000 y se vende en
$ 30,000, cada silla cuesta producirla $ 8,000 y se
vende en $ 28,000, cada cama cuesta producirla $
20,000 y se vende en $ 40,000, cada biblioteca
cuesta producirla $ 40,000 y se vende en $ 60,000.
El objetivo de la fábrica es maximizar las utilidades.
La Disponibilidad es: 24 piezas rectangulares de 8
pines, 20 piezas cuadradas de 4 pines, 20 bases
trapezoidales de 2 pines, 20 piezas rectangulares de
2 pines.
MÉTODO SIMPLEX PASO A PASO
PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
Las variables:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24
2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20
2X3 + 2X4 <= 20
4X4 <= 16
La función Objetivo:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
VARIABLES INGRESOS COSTOS UTILIDAD
X1 30,000 10,000 20,000
X2 28,000 8,000 20,000
X3 40,000 20,000 20,000
X4 60,000 40,000 20,000
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN
ECUACIONES
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una
variable de Holgura, dado que todas las restricciones son
"<=".
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24
2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN
ECUACIONES
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad
(n=4), formado por las variables de holgura las cuales solo
tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el
ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1
en la restricción correspondiente a el recurso 1.
La función objetivo no sufre variaciones:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
El Método Simplex parte de una solución básica inicial
para realizar todas sus iteraciones, esta solución
básica inicial se forma con las variables de coeficiente
diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24
1S2 = 20
1S3 = 20
1S4 = 16
PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el
segundo término de la solución, es decir las variables, lo
más adecuado es que estas se consignen de manera
ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de
restricciones.
Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene
cada una de las variables de la fila "solución" en la función
objetivo.
Variable Solución = En esta columna se consigna la
solución básica inicial, y a partir de esta en cada iteración se
van incluyendo las variables que formarán parte de la
solución final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable
que se encuentra a su derecha "Variable solución" en la
función objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la
suma de los productos entre término y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y
la fila Zj, su significado es un "Shadow price", es decir, la
utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable
correspondiente que no forme parte de la solución.
PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
o Este es el paso definitivo en la resolución por medio
del Método Simplex, consiste en realizar intentos
mientras el modelo va de un vértice del poliedro
objetivo a otro. El procedimiento a seguir es el
siguiente:
Maximizar Minimizar
Variable que
entra
La más positiva de los Cj -
Zj
La más negativa de
los Cj - Zj
Variable que
sale
Siendo b los valores bajo la
celda solución y a el valor
correspondiente a la
intersección entre b y la
variable que entra. La
menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores
bajo la celda solución
y a el valor
correspondiente a la
intersección entre b y
la variable que entra.
La más positiva de
los b/a.
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables
solución, implica una serie de cambios en el tabulado Simplex,
cambios que se explicarán a continuación:
o Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la
variables a entrar, en este caso el "a = 4".
o Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
o Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán
los cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
De esta manera se culmina la primera iteración, este
paso se repetirá cuantas veces sea necesario y solo se
dará por terminado el método según los siguientes
criterios.
o Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos
que repetir los pasos anteriores.
En esta última iteración podemos observar que se cumple
con la consigna Cj - Zj <= 0, para ejercicios cuya función
objetivo sea "Maximizar", por ende hemos llegado a la
respuesta óptima.
X1 = 3
X2 = 4
X3 = 6
X4 = 4
Con una utilidad de: $ 340,000
Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar
una matriz identidad en el rectángulo determinado por las variables
de decisión, el hecho de que en este caso no se muestre la matriz
identidad significa que existe una solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar
el orden en que cada una de las variables entro a la
solución básica, recordemos que el proceso fue decidido
al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado
inicial. Aquí les presentamos una de las maneras de
llegar a la otra solución.
Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en
la cual la combinación de variables es distinta y existe un menor
consumo de recursos, dado que el hecho de que se encuentre la
variable "S1" en la solución óptima con un coeficiente de "3"
significa que se presenta una holgura de 3 unidades del recurso
(pieza rectangular de 8 pines).
X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)
X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)
S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)
Con una utilidad de: $ 340,000
PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN CON EL MÉTODO
SIMPLEX
Para resolver problemas de minimización mediante el
algoritmo simplex existen dos procedimientos que se
emplean con regularidad.
El primero, que a mi juicio es el más recomendable se
basa en un artificio aplicable al algoritmo fundamentado
en la lógica matemática que dicta que "para cualquier
función f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizará
también a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar
es multiplicar por el factor negativo (-1) a toda la función
objetivo.
a continuación se resuelve el algoritmo como un problema
de maximización.
El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la
minimización consiste en aplicar los criterios de decisión
que hemos esbozado con anterioridad, en los casos de la
variable que entra, que sale y el caso en el que la
solución óptima es encontrada. Aquí recordamos los
procedimientos según el criterio dado el caso "minimizar".
Minimizar
Variable que
entra La más negativa de los (Cj - Zj)
Variable que sale
Siendo "b" los valores bajo la celda
solución y "a" el valor correspondiente a la
intersección entre "b" y la variable que
entra. La más positiva de los "b/a".
Solución Óptima Cuando todos los (Cj - Zj) sean >= 0.
Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
Contador Publico Colegiado
Maestría en Ingeniería de Sistemas
o Cada uno de los problemas abordados hasta
entonces en los módulos anteriores se
consideran problemas primales dado que tienen
una relación directa con la necesidad del
planteamiento, y sus resultados responden a la
formulación del problema original; sin embargo
cada vez que se plantea y resuelve un problema
lineal, existe otro problema ínsitamente planteado
y que puede ser resuelto,
o El considerado problema dual, tiene unas
importantes relaciones y propiedades respecto al
problema primal que pueden ser de gran beneficio
para la toma de decisiones. Los problemas primales
y duales se encuentran ligados por una serie de
relaciones, saber la existencia de estas puede ser
considerado de gran utilidad para la resolución de
problemas que parecen no factibles, o que no
pueden ser resueltos mediante un método en
particular.
Relaciones entre problemas primales y duales
o El número de variables que presenta el problema
dual se ve determinado por el número de
restricciones que presenta el problema primal.
o El número de restricciones que presenta el
problema dual se ve determinado por el número
de variables que presenta el problema primal.
Relaciones entre problemas primales y duales
o Los coeficientes de la función objetivo en el problema
dual corresponden a los términos independientes de
las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado
de las variables.
o Los términos independientes de las restricciones
(RHS) en el problema dual corresponden a los
coeficientes de la función objetivo en el problema
primal.
o La matriz que determina los coeficientes técnicos de
cada variable en cada restricción corresponde a la
transpuesta de la matriz de coeficientes técnicos del
problema primal.
El sentido de las igualdades y desigualdades se
comporta según la tabla de TUCKER, presentada a
continuación:
Tabla de TUCKER
IMPORTANCIA DE LA DUALIDAD EN
PROGRAMACIÓN LINEAL
o La resolución de los problemas duales respecto a los
primales se justifica dada la facilidad que se presenta
dados problemas donde el número de restricciones
supere al número de variables. Además de tener gran
aplicación en el análisis económico del problema.
o Otra de las ventajas que presenta es que dado a que el
número de restricciones y variables entre problema
dual y primal es inverso, se pueden resolver
gráficamente problemas que presenten dos
restricciones sin importar el número de variables.
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
DUAL, PASO A PASO
El siguiente problema a resolver es hasta el momento el
modelo más completo de los resueltos en los módulos
anteriores, dado que trataremos de resolver un problema
primal y su dual mediante Método Simplex utilizando variables
de holgura, exceso y artificiales; además resolveremos el
primal utilizando Simplex maximizando y el dual minimizando.
Dado el siguiente modelo primal,
ZMAX = 40X1 + 18X2
16X1 + 2X2 ≤ 700
6X1 + 3X2 ≤ 612
X1 ≤ 80
X2 ≤ 120
Cuya respuesta es
X1 = 28,75
X2 = 120
S1 = 79.5
S3 = 51.25
Función objetivo = 3310
Procedemos a resolver el problema dual
PASO 1: Definimos el problema dual
Este paso se lleva a cabo teniendo en cuenta las
relaciones que se expusieron en la definición de la
dualidad. Ahora las variables en el dual las
representaremos por "ʎ" y corresponden a cada
restricción.
El modelo queda de la siguiente forma:
ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4
16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 ≥ 40
2ʎ1 + 3ʎ2 + ʎ4 ≥ 18
ʎ1;ʎ4 ≥ 0
Ahora preparamos el modelo para ser resuelto mediante
Método Simplex, utilizaremos el procedimiento en el cual
la función objetivo es multiplicada por (-1) y
resolveremos el modelo mediante maximización.
ZMIN = 700ʎ1 + 612ʎ2 + 80ʎ3 + 120ʎ4
Lo que es igual
(-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4
Ahora dado que los signos de las inecuaciones son
mayor o igual procedemos a volverlas ecuaciones
agregando variables de exceso, recordemos que en
este caso las variables de exceso se restan del lado
izquierdo de la igualdad, por ende.
16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 = 40
21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 - 1S2 = 18
ʎ1;ʎ4 ≥ 0
Recordemos que el Método Simplex solo es posible por la
formación de la matriz identidad, sin embargo en una matriz
identidad no pueden ir coeficientes negativos, el cual es el caso,
por ende recurriremos al artificio denominado "Método de la M
grande" utilizando variables artificiales, las cuales siempre se
suman.
16ʎ1 + 6ʎ2 + ʎ3 + 0ʎ4 - 1S1 + 0S2 + 1A1 + 0A2 ≥ 40
21ʎ1 + 3ʎ2 + 0ʎ3 + ʎ4 + 0S1 - 1S2 + 0A1 + 1A2 ≥ 18
ʎ1;ʎ4 ≥ 0
Ahora si observamos la matriz identidad formada por las variables
artificiales, nuestra función objetivo es la siguiente (varía dada la
incorporación de las nuevas variables).
(-Z)MAX = -700ʎ1 - 612ʎ2 - 80ʎ3 - 120ʎ4 + 0S1 + 0S2 - MA1 - MA2
o Recordemos que el coeficiente de las variables de
holgura y exceso es 0, además que los coeficientes de las
variables artificiales es M, donde M corresponde a un
número grande poco atractivo cuyo signo en la función
objetivo depende del criterio de la misma, dado que la
función es maximizar el signo es negativo.
o Dado que utilizaremos el Método Simplex y no un
software para la resolución del modelo es necesario que
M adquiera valor, en este caso será "-10000" un número
bastante grande en el problema.
o Las iteraciones que utiliza el Método Simplex son las
siguientes:
o Podemos observar que todos los Cj - Zj son menores o
iguales a 0, por ende hemos llegado a la solución óptima
del problema, sin embargo recordemos que la función
objetivo fue alterada en su signo al principio, por ende se
hace necesario regresarle su signo original a Zj y a la fila
Cj - Zj.
(-Z)max = -3310 * (-1)
Zmax = 3310
o Podemos cotejar con la función objetivo del modelo primal
y encontraremos que hallamos el mismo resultado.
Ahora se hace necesario interpretar los resultados de la tabla
dual respecto al modelo primal, y esta interpretación se realiza
siguiendo los siguientes principios.
La interpretación del tabulado final del modelo dual es la
siguiente:
TEOREMAS DE LA DUALIDAD EN PROGRAMACIÓN LINEAL
o Si el modelo primal o dual tiene solución óptima finita entonces
su respectivo dual o primal tendrán solución óptima finita.
o Si el modelo primal o dual tiene solución óptima no acotada,
entonces su respectivo dual o primal no tendrán solución, será
un modelo infactible.
o Si el modelo primal o dual no tiene solución entonces su
respectivo dual o primal no tendrán solución.
o Sea "A" un modelo primal cuyo modelo dual es "B", el modelo
dual de "B" es igual a "A", es decir "El modelo dual de un dual
es un modelo primal".
Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
Contador Publico Colegiado
Maestría en Ingeniería de Sistemas
Profesor del Curso:
Juan Santiago Zamata Machaca
Ingeniero Industrial
Contador Publico Colegiado
Maestría en Ingeniería de Sistemas
o Solver es una herramienta que forma parte de una
serie de comandos a veces denominados de "análisis
Y si". Con Solver, puede buscarse el valor óptimo para
una fórmula de celda, denominada celda objetivo, en
una hoja de cálculo.
o Solver funciona en un grupo de celdas que estén
relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula
de la celda objetivo.
o Solver ajusta los valores en las celdas cambiantes
que se especifiquen, denominadas celdas ajustables,
para generar el resultado especificado en la fórmula
de la celda objetivo.
o Pueden aplicarse restricciones para restringir los
valores que puede utilizar Solver en el modelo y las
restricciones pueden hacer referencia a otras celdas a
las que afecte la fórmula de la celda objetivo, lo cual lo
constituyen en una herramienta adecuada para
solucionar problemas de programación lineal, y
programación lineal entera.
ALGORITMOS Y MÉTODOS UTILIZADOS POR SOLVER
o La herramienta Microsoft Excel Solver utiliza el código de
optimización no lineal (GRG2) desarrollado por la
Universidad Leon Lasdon de Austin (Texas) y la
Universidad Allan Waren (Cleveland).
o Los problemas lineales y enteros utilizan el Método
Simplex con límites en las variables y el método de
ramificación y límite (método de branch and bound),
implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline
Systems, Inc. El método de branch and bound
corresponde al mismo método utilizado por WinQSB para
la solución de problemas de programación lineal entera
y/o que utilicen variables binarias.
CÓMO HABILITAR EL COMPLEMENTO SOLVER DE EXCEL?
o Aquí se encuentra la
explicación acerca de
cómo habilitar este
complemento para las
versiones de Microsoft
Excel 2007 (izquierda) y
2010 (derecha).
o Método para Microsoft
Excel 2007: El primer
paso consiste en dirigirse
al botón de "Office", y
seleccionar la opción
"Opciones de Excel":
Luego, se abrirá una
ventana emergente
de "Opciones de
Excel", en ella vamos
a la opción
"Complementos"
(ubicada en la barra
lateral izquierda). Ya
en complementos,
nos dirigimos a la
opción "Administrar:
Complementos de
Excel" y damos clic
en botón "IR":
Luego se abrirá una
pequeña ventana
emergente, en ella se
podrán observar
varios complementos
junto con una casilla
de verificación cada
uno. Activamos la
casilla de verificación
de Solver y damos clic
en "Aceptar":
Método para Microsoft
Excel 2010: El primer
paso consiste en
dirigirse a la pestaña
"Archivo", dirigirse a la
opción "Ayuda" y
seleccionar la opción
"Opciones":
Luego, se abrirá una
ventana emergente de
"Opciones de Excel", en
ella vamos a la opción
"Complementos" (ubicada
en la barra lateral
izquierda). Ya en
complementos, nos
dirigimos a la opción
"Administrar:
Complementos de Excel"
y damos clic en botón "IR":
Luego se abrirá una
pequeña ventana
emergente, en ella se
podrán observar varios
complementos junto con
una casilla de
verificación cada uno.
Activamos la casilla de
verificación de Solver y
damos clic en "Aceptar":
Una vez se ha habilitado el complemento, para ambas versiones,
Solver se ubicará en la pestaña de "Datos".
SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE
PROGRAMACIÓN LINEAL CON SOLVER
o Al igual que para cualquier otro método de resolución, el
primer paso para resolver un problema de programación
lineal (PL) consiste en el modelamiento matemático, y es
en esta fase en la que el tomador de la decisión debe
desarrollar su mayor habilidad y destreza.
o Los pasos para resolver un problema de PL se encuentran
en el módulo de programación lineal. Sin embargo, dada la
interfaz de Excel, el modelamiento se hace más simple,
siempre y cuando nos caractericemos por organizar muy
bien la información.
El PROBLEMA
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio
quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere
vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada
una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo
empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de
montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de
paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las
utilidades?
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo
(x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de
montaña (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
EL MODELO MATEMÁTICO
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Acero:
x + 2y <= 80
Aluminio:
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
INGRESANDO LOS DATOS A EXCEL
Tal cómo se mencionó, la importancia de una correcta organización de
la información es vital, proponemos la siguiente plantilla para ingresar
los datos de nuestro problema:
El siguiente paso corresponde a registrar la información en la
plantilla, de acuerdo a los datos que tenemos en el problema:
El siguiente paso consiste en formular la plantilla, para ello debemos
considerar ¿qué pasaría si cambiaran las variables de decisión?...
Pues, en caso tal de que las variables sufrieran cambios se alteraría la
contribución total, y el inventario de recursos. Por ello, debemos
formular en consecuencia:
Ahora que ya tenemos nuestra plantilla formulada, el siguiente paso
consiste en utilizar Solver para resolver el modelo, para ello, vamos a la
pestaña Datos (En cualquier versión de Office), y seleccionamos el
complemento Solver:
Una vez iniciemos Solver se abrirá una ventana emergente llamada
"Parámetros de Solver", en ella como primera medida seleccionaremos
nuestra celda objetivo (Contribución Total) y seleccionaremos el criterio
Maximizar:
El siguiente paso, es indicarle a Solver que debe alcanzar el máximo
valor para la celda objetivo mediante la variación de las siguientes
celdas (Cambiando las celdas), es decir, le indicaremos cuales son las
variables de decisión:
El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el
modelo está sujeto, las cuales son restricciones de disponibilidad de
recursos:
Lo que nos muestra la imagen anterior es la forma de indicarle la
restricción a Solver, para que el inventario usado sea menor o igual al
inventario disponible. De igual forma debe hacerse para el recurso de
Aluminio.
La siguiente restricción es la de no negatividad, es decir, que las
variables de decisión no puedan tomar valores menores que cero.
Si quisiéramos resolver el modelo tal cual como está pudiésemos
hacerlo, y obtendríamos quizá una respuesta que distaría de su
aplicación práctica, dado que es probable que la respuesta nos de
variables continuas, y en la práctica vender 0,6 bicicletas es un poco
complicado. Por tal razón, agregaremos una restricción que hace que el
ejercicio se resuelva mediante programación lineal entera, indicando
que las variables de decisión deban ser enteras:
o Hecho esto, damos clic en Aceptar y en
Resolver... Podemos observar como las variables de
decisión, las restricciones (inventario usado) y la
contribución total (celda objetivo) han tomado valores,
estos son los valores óptimos según el modelo formulado.
o Ahora nos aparecerá un cuadro de diálogo que nos
preguntará si deseamos utilizar la solución de Solver y
unos informes que debemos seleccionar para obtener una
tabla resumen de la respuesta y un análisis de sensibilidad
que se insertarán como hojas al archivo de Excel:
El informe de sensibilidad arrojado por Solver es mucho más
básico que el que nos puede proporcionar WinQSB, sin
embargo destacamos la información referente al
"Multiplicador de Lagrange" que corresponde al "Shadow
Price de WinQSB" conocido como el precio sombra, es decir,
el cambio marginal de la función objetivo cuando el valor del
lado derecho de la restricción aumenta en una unidad, en
este caso, por cada kg de Acero adicional que dispongamos,
la función objetivo aumentaría en $ 1250.
