sesi xiv deret - universitas brawijayabeban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus...

of 20/20
12/7/2015 1 Sesi XIV DERET e-Mail : [email protected] www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339 MataKuliah :Matematika RekayasaLanjut KodeMK :TKS8105 Pengampu :Achfas Zacoeb Pendahuluan Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus & cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

Post on 22-Dec-2020

8 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 12/7/2015

    1

    Sesi XIV

    DERET

    e-Mail : [email protected]

    www.zacoeb.lecture.ub.ac.id

    Hp. 081233978339

    Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb

    Pendahuluan

    Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean

    Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang

    menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal

    periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret

    Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus &

    cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :

  • 12/7/2015

    2

    Pendahuluan (lanjutan)

    Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya)

    mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi

    tinggi & daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi

    dari t, maka akan diperoleh fungsi periodik f(t).

    Catatan :

    1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang

    dengan bentuk yangg sama dalam setiap periode, maka

    sinyal tersebut dikatakan sebagai sinyal periodik.

    2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan

    frekwensi tertentu.

    Pendahuluan (lanjutan)

    3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah

    nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi dasar.

    4. Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.

    5. Jika 𝐬𝐒𝐧 π›šπ’• dan 𝐜𝐨𝐬 π›šπ’• = ferkwensi dasar, maka 𝐬𝐒𝐧 π’π›šπ’• dan 𝐬𝐒𝐧 π’π›šπ’• = nada harmonik yang lebih tinggi.

    6. Kombinasi antara frekwensi dasar & harmoniknya

    membentuk fungsi periodik dengan periode dasar.

    7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan

    dari sinyal-sinyal harmonik.

    8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal

    periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.

  • 12/7/2015

    3

    Fungsi/Sinyal Periodik

    Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik

    dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku :

    𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙 T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode

    terkecil atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan

    periode T didapat dengan menggambarkan grafik fungsi

    dasarnya secara berulang seperti gambar berikut :

    Fungsi/Sinyal Periodik (lanjutan)

    1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 adalah 2

    2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐒𝐧 𝒙 adalah 2

    3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠 𝒙 adalah

  • 12/7/2015

    4

    Deret Fourier (lanjutan)

    Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T

    yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)

    = f(x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier

    sebagai berikut :

    𝒇 𝒙 =π’‚πŸŽπŸ

    + 𝒂𝒏 πœπ¨π¬π’π…π’™

    𝑳+ 𝒃𝒏 𝐬𝐒𝐧

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳

    ∞

    𝒏=𝟏

    Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai

    koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui

    hubungan integral sebagai berikut :

    Deret Fourier (lanjutan)

    π’‚πŸŽ =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    𝒂𝒏 =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    𝒃𝒏 =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐒𝐧

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    dengan T = periode dan L = Β½ periode.

  • 12/7/2015

    5

    Contoh

    Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut :

    𝒇 𝒙 = 𝟏, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟎, 𝟏 < 𝒙 < 𝟐

    Periodik dengan periode 2, sehingga 𝒇 𝒙 Β± 𝟐 = 𝒇(𝒙), uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier!

    Penyelesaian :

    Periode T = 2, sehingga L = Β½ T = 1, interval dasarnya 0 x 2,

    jadi a = 0. Ekspansi f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x

    dapat dilihat pada gambar berikut :

    Contoh (lanjutan)

    Koefisien-koefisien Fourier dicari sebagai berikut :

    π’‚πŸŽ =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    =𝟏

    𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

    𝟐

    𝟎

    = 𝟏 (𝟏)π’…π’™πŸ

    𝟎+ (𝟎)𝒅𝒙

    𝟐

    𝟏

    = π’…π’™πŸ

    𝟎

    = 𝒙 𝟏𝟎

    = 𝟏

  • 12/7/2015

    6

    Contoh (lanjutan)

    𝒂𝒏 =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    =𝟏

    𝟏 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳𝒅𝒙

    𝟐

    𝟎

    = 𝟏 𝟏𝟏

    𝟎𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎

    𝟐

    𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

    = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 π’…π’™πŸ

    𝟎

    =𝟏

    𝒏𝝅𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝟏

    𝟎

    =𝟏

    𝒏𝝅𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅 βˆ’ 𝐬𝐒𝐧 𝟎

    = 𝟎

    Contoh (lanjutan)

    𝒃𝒏 =𝟏

    𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐒𝐧

    𝒏𝝅𝒙

    𝑳𝒅𝒙

    𝒂+𝑻

    𝒂

    =𝟏

    𝟏 𝒇 𝒙 𝐬𝐒𝐧

    𝒏𝝅𝒙

    πŸπ’…π’™

    𝟐

    𝟎

    = 𝟏 𝟏𝟏

    𝟎𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎

    𝟐

    𝟏𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙

    = 𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅𝒙 π’…π’™πŸ

    𝟎

    = βˆ’πŸ

    π’π…πœπ¨π¬ 𝒏𝝅𝒙 𝟏

    𝟎

    = βˆ’πŸ

    π’π…πœπ¨π¬ 𝒏𝝅 βˆ’ 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = βˆ’

    𝟏

    π’π…βˆ’πŸ 𝒏 βˆ’ 𝟏

    = 𝟐

    𝒏𝝅, 𝒏 ganjil

    𝟎, 𝒏 π‘”π‘’π‘›π‘Žπ‘

  • 12/7/2015

    7

    Contoh (lanjutan)

    Dengan demikian deret Fourier untuk fungsi f(x) adalah :

    𝒇 𝒙 =π’‚πŸŽπŸ

    + 𝟐

    𝒏𝝅𝐬𝐒𝐧 𝒏𝝅𝒙

    ∞

    π’Œ=𝟏

    β†’ dalam hal ini 𝒏 = πŸπ’Œ βˆ’ 𝟏

    =𝟏

    𝟐+

    𝟐

    𝝅𝐬𝐒𝐧 𝝅𝒙 +

    𝟐

    πŸ‘π…π¬π’π§ πŸ‘π…π’™ +

    𝟐

    πŸ“π…π¬π’π§πŸ“ 𝝅𝒙 + β‹―

    =𝟏

    𝟐+

    𝟐

    𝝅𝐬𝐒𝐧 𝝅𝒙 +

    𝟏

    πŸ‘π¬π’π§ πŸ‘π…π’™ +

    𝟏

    πŸ“π¬π’π§πŸ“ 𝝅𝒙 + β‹―

    Syarat Dirichlet

    Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam

    deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet sebagai berikut :

    Jika (a) f(x) periodik dengan periode T

    (b) bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam

    interval dasarnya : a x a + T, dan

    (c) 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝒂+𝒕

    𝒂 nilainya berhingga,

    Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :

  • 12/7/2015

    8

    Syarat Dirichlet (lanjutan)

    f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan

    Β½ π₯𝐒𝐦 𝒇 π’™πŸŽβˆ’ + π’π’Šπ’Ž 𝒇 π’™πŸŽ+ di setiap titik ketakkontinuan x0 (pada daerah lompatan).

    Contoh :

    Pada contoh sebelumnya (perhatikan gambar), tentukanlah

    konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik

    kekontinuan π‘₯ =1

    2,3

    2,3

    4, βˆ’

    5

    2 dan di titik-titik ketakkontinuan x =

    0, 1, 2, -3.

    Syarat Dirichlet (lanjutan)

    Penyelesaian :

    Menurut syarat Dirichlet, maka :

    - Di titik-titik kekontinuan :

    𝒙 =𝟏

    𝟐 konvergen ke 1 𝒙 =

    πŸ‘

    πŸ’ konvergen ke 1

    𝒙 =πŸ‘

    𝟐 konvergen ke 0 𝒙 = βˆ’

    πŸ“

    𝟐 konvergen ke 0

    - Di titik-titik ketakkontinuan :

    x = 0 konvergen ke Β½ (0 + 1) = Β½

    x = 1 konvergen ke Β½ (1 + 0) = Β½

    x = 2 konvergen ke Β½ (0 + 1) = Β½

    x = -3 konvergen ke Β½ (1 + 0) = Β½

  • 12/7/2015

    9

    Latihan

    Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut :

    𝒇 𝒕 = πŸ‘, βˆ’πŸ < 𝒕 < πŸŽβˆ’πŸ“, 𝟎 < 𝒕 < 𝟐

    Periodik sehingga 𝒇 𝒕 + πŸ’ = 𝒇(𝒕) , uraikan fungsi tersebut dalam deret Fourier dan gambarkan bentuk gelombangnya!

    Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection)

    x

    y z

    x

    y z

    Mx Mx

    My

    My

    Persamaan umum pelat klasik :

    PDP Tk. 4, linier, non homogen

    D

    q

    yx

    w

    y

    w

    x

    w

    22

    4

    4

    4

    4

    4

    2

    Variabel terikat : w (lendutan)

    Variabel bebas : x dan y (jarak)

    Beban luar : q (data)

    Kekakuan lentur : D (data)

    23

    13

    2

    EhD

  • 12/7/2015

    10

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)

    Persamaan umum pelat klasik :

    Dalam bentuk operator laplace 2D :

    Penyelesaian :

    D

    q

    yx

    w

    y

    w

    x

    w

    22

    4

    4

    4

    4

    4

    .2

    qwD 22

    ),(),(),( yxwyxwyxw ph

    dengan :

    wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)

    wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

    Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan

    untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat

    gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler-

    Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888

    dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti

    berikut :

    β€’ Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah

    deformasi.

    β€’ Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada

    pertengahan permukaan setelah deformasi.

    β€’ Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.

  • 12/7/2015

    11

    Contoh :

    Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.

    y

    b

    a

    x

    R

    R R

    R

    a

    b

    Persamaan beban :

    dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat

    b

    y

    a

    xqq

    sinsin0

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

    Persamaan umum pelat menjadi :

    b

    y

    a

    x

    D

    q

    y

    w

    yx

    w

    x

    w sinsin2 0

    4

    4

    22

    4

    4

    4

    Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :

    Lendutan,w = 0

    Momen ujung, Mx = 0

    Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :

    Lendutan,w = 0

    Momen ujung, My = 0

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

  • 12/7/2015

    12

    Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :

    b

    y

    a

    xcw

    sinsin

    Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas,

    sehingga didapatkan :

    2

    22

    4

    0

    11

    1

    ba

    D

    qc

    Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :

    b

    y

    a

    x

    ba

    D

    qw

    sinsin

    11

    12

    22

    4

    0

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

    Penyelesaian dengan deret Fourier :

    Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah

    beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus

    diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.

    q0

    beban sinusoidal

    beban merata

    beban terpusat

    beban segitiga

    Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus)

  • 12/7/2015

    13

    Penyelesaian dengan deret Fourier ganda dikembangkan oleh Navier

    (Prancis) pada tahun 1820.

    Persamaan beban :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier)

    yxfqz ,

    Persamaan beban dalam bentuk deret Fourier ganda (sinus) :

    b

    yn

    a

    xmAyxf

    m n

    mn

    sinsin,

    1 1

    dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan

    bentuk bebannya.

    dxdyb

    xn

    a

    xmyxf

    abA

    a b

    mn

    sinsin),(

    4

    0 0

    Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

    b

    yn

    a

    xm

    ba

    A

    Dyxw

    m n

    mn

    sinsin

    11

    1,

    1 12

    22

    4

    Untuk beban merata f(x,y) = P0 :

    beban merata

    q0

    z

    x/y

    mn

    q

    dxdyb

    xn

    a

    xm

    ab

    q

    dxdyb

    xn

    a

    xmq

    abA

    a b

    a b

    mn

    2

    0

    0 0

    0

    0 0

    0

    16

    sinsin4

    sinsin4

  • 12/7/2015

    14

    Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat

    sisi tumpuan berupa sendi menjadi :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

    b

    yn

    a

    xm

    bamn

    A

    D

    qyxw

    m n

    mn

    sin.sin

    11

    16,

    1 12

    22

    6

    0

    Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan

    berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi

    di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :

    1 12

    22

    12

    6

    0max

    11

    116

    m n

    nm

    bamn

    D

    qw

    Penyelesaian dengan deret Fourier tunggal dikembangkan oleh Levy

    (Prancis) pada tahun 1899.

    Bentuk persamaan lendutan :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy)

    dengan Ym = f(x,y)

    1

    sin),(m

    ma

    xmYyxw

    sendi sendi

    a

    b

    y

    x

    Asumsi tumpuan pada x = 0 dan

    x = a adalah sendi yang sejajar

    sumbu, sehingga diperlukan

    adanya penyesuaian sistim

    koordinat.

  • 12/7/2015

    15

    Persamaan umum lendutan :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    D

    q

    y

    w

    yx

    w

    x

    w

    2

    4

    22

    4

    2

    4

    2

    )(),(

    ),(

    xwyxw

    wwyxw

    PH

    PH

    Catatan :

    wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan

    sisi y = b/2 di x, sehingga :

    D

    q

    x

    wP

    2

    4

    Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    13

    3

    cxD

    q

    x

    wP

    21

    2

    2

    2

    2cxcx

    D

    q

    x

    wP

    32

    213

    26cxcx

    cx

    D

    q

    x

    wP

    43

    22314

    2624cxcx

    cx

    cx

    D

    qwP

  • 12/7/2015

    16

    Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    )2(24

    )(334xaaxx

    D

    qxwP

    Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :

    sehingga :

    1

    sin)(m

    mPa

    xmAxw

    Dm

    qa

    dxa

    xmxw

    aA

    a

    Pm

    55

    4

    0

    4

    sin)(2

    Maka penyelesaian wP(x) :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    a

    xm

    mD

    qaxw

    m

    P

    sin

    14)(

    155

    4

    Penyelesaian wH(x,y) :

    024

    4

    22

    4

    4

    4

    y

    w

    yx

    w

    x

    w HHH

    1

    sin),(m

    mHa

    xmYyxw

    0sin21

    4

    44

    2

    2

    2

    22

    4

    4

    a

    xm

    a

    ym

    y

    y

    a

    m

    y

    y

    m

    mmm

  • 12/7/2015

    17

    Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde

    4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :

    dengan : dan

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    024

    44

    2

    2

    2

    22

    4

    4

    a

    ym

    y

    y

    a

    m

    y

    y mmm

    a

    ym

    a

    ymD

    a

    ymC mm

    coshsinh

    a

    ym

    a

    ymB

    a

    ymA

    D

    qayy mmm

    sinhcosh)(

    4

    yy eey 2

    1sinh yy eey

    2

    1cosh

    Penyederhanaan persamaan tersebut

    atas dasar garis simetris sumbu z :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan

    z

    y

    w(x,y)

    w(x,y) = w(x,-y)

    mungkin

    Untuk fungsi ganjil :

    w

    b

    y z

    z y

    Β½ b Β½ b

    sendi sendi

    y

    x

    *

    w(x,y) = -w(x,-y)

    tidak mungkin y

    z

    w(x,y)

    * simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).

    Untuk fungsi genap :

  • 12/7/2015

    18

    Solusi persamaan homogen :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    a

    ym

    a

    ymD

    a

    ymC

    a

    ym

    a

    ymB

    a

    ymA

    D

    qayy mmmmm

    coshsinhsinhcosh)(

    4

    genap genap ganjil ganjil

    Evaluasi:

    x

    y

    y = cos x genap x

    y

    y = sin x ganjil

    x

    y

    y = x ganjil

    x

    y

    y = x2 ganjil

    Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka

    persamaannya menjadi :

    Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,

    tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non

    homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :

    dengan m = 1,3,5

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    a

    ym

    a

    ymB

    a

    ymA

    D

    qayy mmm

    sinhcosh)(

    4

    a

    xm

    a

    ym

    a

    ymB

    a

    ymA

    mD

    qayxw mm

    m

    sinhsinhcosh

    4),(

    55

    4

  • 12/7/2015

    19

    Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :

    dan

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    0w

    Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi

    batas dan ambil permisalan :

    sehingga :

    dan

    ma

    bm

    20sinhcosh

    455

    mmmmm BAm

    0sinhcosh)2( mmmmmm BBA

    02

    2

    y

    w

    m

    mmm

    mA

    cosh

    2tanh255

    m

    mm

    B cosh

    255

    Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :

    Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

    b

    y

    mD

    qayxw m

    m

    mm

    m

    2cosh

    cosh2

    2tanh1

    14,

    5,3,155

    4

    a

    xm

    b

    y

    b

    y m

    m

    m

    sin

    2sinh

    2

    cosh2

    Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :

    m

    mm

    m

    m

    mD

    qaw

    cosh2

    2tanh1

    )1(4

    5,3,15

    2

    1

    5

    4

    max

    Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke

    5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan

    pengaruhnya/nilainya kecil

  • 12/7/2015

    20

    Thanks for your kind attention!