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INEEBE Dr, CARLOS FEDERICO MORA

CIENCIAS NATURALES 3

FÍSICA

PROFESORA: Diana Ivonne Dardón Tejada

GUÍA DE ESTUDIO

SUMA DE DOS O MÁS VECTORES

MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR

DIAGRAMA: ELABORACIÓN PROPIA, DIANA IVONNE DARDÓN TEJADA (si utiliza esta

información debe darle crédito al autor, de acuerdo a la ley de Derecho de Autor)

SUMA DE DOS O

MAS VECTORES

MÉTODO

GRÁFICO

POLÍGONO

DESCOMPOSICION

RECTANGULAR

Descomponer el

vector en “x” y

“y”

UNIÓN DE

VECTORES

MAGNITUD DEL

VECTOR

RESULTANTE

DIRECCIÓN

φ

Cabeza del vector con cola

del siguiente vector.

Cola del primer

vector con cabeza

del último vector

En la unión de

las dos colas a

partir del eje “x”

SENTIDO

La cabeza del

vector

resultante hacia

donde se dirige

ax = a COS φ

ax = a Sen φ

Magnitud Vector

Resultante

R = √ Ʃax2

+ Ʃay2

DIRECCIÓN

Tang φ = Ʃay / Ʃax

SENTIDO

Lo indica el

signo de Ʃax y ay

Signo de ax y ax

dependen del eje

donde se localizan

Ʃax

Positivo: Este

Negativo: Oeste

Ʃay

Positivo: Norte

Negativo: Sur-

Este documento fue creado por Diana Ivonne

Dardón Tejada. Si toma información o reproduce el

mismo debe darle crédito a la autora. (Ley de

derecho de autor)


Es un método analítico, que se utiliza para sumar dos o más vectores, como su nombre

indica descompone el vector en sus componentes “x” (eje horizontal) y “y” (eje

vertical). Antes de entrar en detalle al proceso completo, iniciaremos por aprender a

como se descomponen los vectores. :

Componentes rectangulares de un vector:

ax

a

ay

Hallar las componentes rectangulares de los siguientes vectores;

Ejemplo 1: a = 5 cm a 30° al Noreste

1. Localizar el vector en un plano geográfico o cartesiano según sea el caso

2. Trace un triángulo rectángulo con los ejes “x” (horizontal) y “y” (vertical),

bx

b

by

cx

c

cy

ax

a

ay

a 5 cm

30°

a 5 cm

30°

3. Identifique el cateto opuesto y el cateto adyacente, LOS CATETOS SON LAS COMPONENTES

DEL VECTOR

4. Utilice las funciones trigonométricas de COSENO Y SENO para calcular los valores de las

componentes “x” y “y”. Que en este caso serían los catetos adyacente y opuesto

respectivamente. SIEMPRE QUE SE MIDA EL ÁNGULO A PARTIR DEL EJE “X”

Con estas ecuaciones se calculan las componentes del vector, ahora vamos a sustituir por datos

del problema:

a 5 cm

30° C. OP

ax

C. ADY

El cateto

opuesto es el

verde, y el

adyacente el

azul

CATETO OPUESTO = (HIPOTENUSA) (SEN φ)

ay = a SEN φ

ay

CATETO ADYACENTE = (HIPOTENUSA) (COS φ)

aX = a COS φ

ay = a SEN φ aX = a COS φ

ay = 5 cm SEN 30°

ax = 5 cm COS 30°

ay = (5 cm) (0.5)

ax = (5 cm) (0.866…)

ay = 2.5 cm

ax = 4.33 cm

En este caso el signo es

positivo (+) porque

está en el eje positivo

de las “y”


positivo (+) porque


de las “x”

En su calculadora

ingrese los números

como se muestra,

para evitar perdida de

decimales

Observa que las letras de las componentes no

llevan la flechita arriba.

Ejemplo 2: b = 15 cm a 25° al Noroeste

1) Localizar plano cartesiano

O geográfico

2) Trace un triángulo

rectángulo e identifique las

componentes, que son el

cateto opuesto (by) y el

cateto adyacente (bx

3) Calcule las componentes “x” y “y”:

b=15 cm

25°

by b=15 cm

25°

bx

by = b SEN φ bx = b COS φ

by = 15 cm SEN 25°

bx = 15 cm COS 25°

by = (15 cm)(0.422… )

bx = (15 cm)(0.906… )

by = 6.34 cm

bx = - 13.59 cm


positivo (+) porque


de las “y”. OBSERVE EL

TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES


NEGATIVO (-) porque

está en el eje negativo

de las “x”. OBSERVE EL

TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES

NOTA: El signo NO SE

LA DA LA

CALCULADORA, usted

debe deducirlo, de

acuerdo en que eje y

cuadrante queda la

componente (cateto)

Ejemplo 3: C = 20 m/s a 60° al Suroeste


O geográfico







60°

C = 20 m/s

cx

60°

cy c= 20 m/s

cy = a SEN φ cx = a COS φ

cy = 20 m/s SEN 60°

cx = 20 m/s COS 60°

cy = (20 m/s)(0.866…)

)

cx = (20 m/s) (0.5 )

cy = - 17.32 m/s

cx = - 10 m/s


negativo (-) porque



TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES


NEGATIVO (-) porque



TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES


LA DA LA

CALCULADORA, usted

debe deducirlo, de


cuadrante queda la

componente (cateto)

Ejemplo 4: d = 25 m a 27° al Sureste


O geográfico







27°

d = 25 m

dx

27°

d= 25 m dy

dy = a SEN φ dx = a COS φ

dy = 25 m SEN 27°

dx = 25 m COS 27°

dy = (25 m)(0.4539… )

dx = (25 m) (0.891… )

dy = - 11.35 m

dx = 22.28 m


negativo (-) porque



TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES


positivo (+) porque



TRIÁNGULO QUE SE

FORMA CON LAS

COMPONENTES


L0 DA LA

CALCULADORA, usted

debe deducirlo, de


cuadrante queda la

componente (cateto)

Ejemplo 5: e = 5 N al Este


O geográfico

2) En este caso, el vector

se coloca sobre el eje indicado


Ejemplo 5: f = 8 Km al Sur


o geográfico

2) En este caso, el vector

se coloca sobre el eje indicado

e = 5 N

ex = 5 N

En este caso, no hay necesidad de hacer cálculos matemáticos, solamente se

escribe el valor del vector y colocar el signo correspondiente

ax = 5 N


positivo (+) porque

está sobre el eje

positivo de las “x”.

RECORDAR QUE EL

ESTE ES POSITIVO

f = 8 Km

fy = 8 Km


Para ayudarse con los signos se aconseja que utilice la siguiente tabla, dependiendo en que

cuadrante se encuentra el vector, así será el signo de las componentes “x” y “y"

EJERCICIO No, 1

Descomponga los siguientes vectores en sus componentes “x” y “y”, siguiendo los pasos

anteriores de acuerdo al caso. EN SU CUADERNO Y COMPARA CON LAS RESPUESTAS,

1) a = 150 N a 30° al N.E Respuesta: ax = 129.9 N bY = 75 N

2) b = 5 m al N.O Respuesta: bx = - 3.54 m bY = 3.54 m

3) c = 3 Km/h al Sur Respuesta: cx = 0 cy = - 3 Km/h

4) d = 10 m/s al Norte Respuesta: dx = 0 dx = 10 m/s

5) e = 8 cm al Oeste Respuesta: ex = - 8 cm ex = 0

6) f = 20 km a 60° al S.E Respuesta: fx = 10 Km fy = - 17.32 Km


Ahora que ya se sabe encontrar las componentes de los vectores, vamos a aprender a sumar dos

o más vectores con este método.

CUADRANTE COMPONENTE “x” COMPONENTE “y”

I + +

II - +

III - -

IV + -

En este caso, no hay necesidad de hacer cálculos matemáticos, solamente se

escribe el valor del vector y colocar el signo correspondiente

Fy = - 8 Km


negativo (-) porque

está sobre el eje

negativo de las “y”.

RECORDAR QUE EL

SUR ES NEGATIVO

PASOS:

1. Encontrar las componentes de cada vector. (Lo que estudiamos anteriormente)

2. Sumar por separado las componentes en “x” y en “y”, tomando en cuenta los signos.

3. Para calcular el vector resultante se utiliza el teorema de Pitágoras, con los componentes

resultantes en cada eje.

4, Para calcular la dirección se utiliza Tangente con las componentes resultantes.

5. Los signos de las componentes resultantes, indican el sentido del vector resultante

EJEMPLO: Calcule el Vector Resultante de los siguientes vectores ubicados en el siguiente sistema

de coordenadas.

1. Encontrar las componentes de cada vector:

Antes de iniciar a descomponer cada vector, haga una tabla como la siguiente, para que,

conforme se calculan las componentes se van colocando los datos obtenidos, con el fin de no

olvidar o confundirnos para el siguiente paso. La cantidad de filas dependerá de la cantidad de

vectores.

Separar cada vector del sistema y descomponerlo, utilizando las ecuaciones correspondientes

según el caso, y no olvidar los signos correspondientes

VECTOR COMPONENTE

“X”

COMPONENTE

“Y”

a - 4 cm 0

b 0 7 cm

c 8.66 cm - 5 cm

b = 7 cm

a = 4 cm 30°

c = 10 cm

a = 4 cm ax = - 4 cm

aY = 0

Es negativo porque está sobre

el eje “x” negativo, o el Oeste.

ay es 0, porque no

hay componente en

el eje “y”.

b = 7 cm

bx = 0

bY = 7 cm

Es positivo porque está sobre

el eje “y” positivo, o el Norte.

Bx es 0, porque no

hay componente en

el eje “x”.

cx

30° cy

c = 10 cm

cx = 10 cm Cos 30

cx = 8.66 cm

cy = 10 cm Sen 30

cy = - 5 cm Observa que todos los datos de las

componentes se pasaron a la tabla

2. Sumar por separado las componentes en “x” y en “y”, tomando en cuenta los signos:

VECTOR COMPONENTE

“X”

COMPONENTE

“Y”

a - 4 cm 0

b 0 7 cm

c 8.66 cm - 5 cm

Rx = 4.66 cm Ry = 2 cm

3. Para calcular la MAGNITUD del vector resultante se utiliza el TEOREMA DE PITÁGORAS, con los

componentes resultantes en cada eje

4, Para calcular la dirección se utiliza Tangente con las componentes resultantes.

Magnitud R = √ Rx 2 + Ry

2

Magnitud R = √ 4.66 cm2 + 2 cm2

Magnitud R = 5.07 cm

Dirección R : tang φ = Ry / Rx

tang φ = 2 cm / 4.66 cm

tang φ = 0. 429 ……

φ = 23.23 °

En su calculadora

ingrese todos los

números como se

muestra, para evitar

perdida de decimales

5. Los signos de las componentes resultantes, indican el sentido del vector resultante:

Si Rx es positiva, entonces el sentido es ESTE (también llamado

ORIENTE)

Si Rx es negativa, entonces el sentido es OESTE (también llamado

OCCIDENTE)

Si Ry es positiva, entonces el sentido es NORTE

Si Ry es negativa, entonces el sentido es SUR

En este caso las dos son positivas:

La respuesta es:

MÉTODO GRÁFICO POLÍGONO

Para sumar dos o más vectores con el método gráfico, se siguen las mismas reglas que se aprendieron en la suma dos vectores.

Rx = 4.66 cm (positiva) ESTE

Ry = 2 cm (positiva) NORTE

Primero se lee el eje “y” y luego el eje “x”, por lo

tanto el SENTIDO es: NORESTE o NORORIENTE

R = 5.07 cm a 23.23 ° al Noreste o Nororiente

UTILIZAR UNA ESCALA ADECUADA

UNIÓN DE VECTORES. CABEZA CON COLA DEL SIGUIENTE VECTOR, ASI SUCESIVAMENTE.

VECTOR RESULTANTE: COLA DEL PRIMER VECTOR CON CABEZA DEL ÚLTIMO VECTOR.

MAGNITUD: Medir con la regla el tamaño.

DIRECCIÓN: Medir con el transportador, donde se unen las dos colas, a partir del eje “x”

SENTIDO: Observar hacia donde se dirige la cabeza del vector resultante.

Utilizamos el ejemplo anterior, entonces el polígono nos quedaría de esta forma:

EJERCICIO No. 2

INSTRUCCIONES: TRABAJA EN TU CUADERNO a) Aplica el método de descomposición rectangular, para calcular la magnitud, dirección y sentido del vector resultante de los vectores que aparecen ligados en el siguiente sistema de coordenadas cartesianas. Escribe en la tabla los datos de las componentes de cada vector, no se te olviden los signos. DEJA CONSTANCIA TODO EL PROCEDIMIENTO. Sigue los pasos, como se muestra en el ejemplo. Compara tu respuesta con la dada en el ejercicio. b) Aplica el método gráfico del polígono, para calcular el vector resultante. Escribe la respuesta correspondiente y compárala con la respuesta que obtuviste en el inciso anterior. NO SE TE OLVIDE UTILIZAR UNA ESCALA ADECUADA AL APLICAR ESTE MÉTODO. Sugerencia use una escala de 1 cm: 50 m. Haga el proceso sin ver la respuesta, luego compárela y verifique si tiene correcta de lo contrario revise sus errores.

RECORDATORIO:

Los vectores deben llevar las

medidas exactas.

Utilizar una escala adecuada

Los ángulos se miden a partir

del eje “x”.

SUGERENCIA:

Dibuje un plano imaginario

donde se unen la cabeza con la

cola, para guiarse con la

medición de ángulos.

Dibuje un plano imaginario

donde se unen las dos colas,

para la medición del ángulo.

G a h 75° 30° f b 60° 45° e d c

Magnitudes de los vectores: a = 300 m b = 100 m c =200 m d = 500 m e = 150 m f =250 m g = 400 m h = 100 m

b) RESPUESTA MÉTODO GRÁFICO:

VECTOR COMPONENTE

“X”

COMPONENTE

“Y”

a

b

c

d

e

f

g

h

Rx = Ry =

R = 153.29 m a 61.69° al Sureste o Sur oriente

OBSERVE QUE LA MIDICIÓN DE LOS

ÁNGULOS SE HACEN A PARTIR DEL

EJE “x”.

ESTÁN LOCALIZADOS EN LA UNIÓN

DE LA CABEZA CON COLA. Y EL

VECTOR RESULTANTE DONDE SE

UNEN LAS DOS COLAS.

LA RESPUESTA DEL VECTOR

RESULTANTE, USTED LA DEBE DE

ESCRIBIR DE ACUERDO A SUS

MEDICIONES Y DEBEN COINCIDIR

CON UN MÍNIMO DE ERROR A LA

RESPUESTA DEL MÉTODO

ANALÍTICO. SI EN UN DADO CASO

EL MARGEN DE ERROR ES MUY

GRANDE, REVISE LOS DOS

PROCESOS, PARA VERIFICAR EN

CUAL PUDO HABER ERROR, SI EN

EL ANALÍTICO O GRÁFICO

APLICACIÓN A PROBLEMAS DEL MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Y MÉTODO

GRÁFICO

Igual como se solucionaron los problemas de la suma de dos vectores:

a) Se debe sacar cada dato y darle un nombre al vector, el primer dato sería a, y así

sucesivamente.

b) Luego se aplica el método como en lo anterior.

Ejemplo:

Un golfista debe dar tres golpes a la pelota para que entre en el hoyo, En el primer golpe

la pelota viaja hacia el Norte una distancia de 18 pies, el segundo golpe manda a la pelota

8 pies a 30º hacia el Sureste. El tercer golpe que finalmente la envía al hoyo, la manda

3 pies hacia el Oeste

a) Dibuje la trayectoria de la pelota

b) Mida la magnitud, dirección y sentido del vector resultante con el método gráfico

c) Con el método analítico calcule la magnitud, dirección y sentido del desplazamiento de

la pelota (vector resultante).

1) Sacar los datos:

a = 18 pies al Norte

b = 8 pies a 30° al S.E.

c = 3 pies al Oeste.

2) Dibujar los vectores en un plano:

a = 18 pies c = 3 pies

b = 8 pies 30°

3) Dibuje la trayectoria de la pelota, recuerde las medidas deben ser exactas, use una escala

adecuada. (UNE LOS VECTORES CON LAS REGLAS INDICADAS)

4) Mida la magnitud, dirección y

sentido del vector resultante

con el método gráfico.

Escriba los datos que a usted le

dio al medir la magnitud,

dirección y observa la cabeza del

vector resultante para el

sentido.

5) Con el método analítico calcule la magnitud, dirección y sentido del vector resultante.

Aquí se aplica el proceso del método de descomposición rectangular, ya estudiado.

a) Como ya se localizaron los vectores en sus respectivos planos, ahora hay que

descomponerlos en “x” y “y”.

a = 18 pies c = 3 pies

30°

b = 8 pies

aX = 0 bx = 6.93 pies cx = - 3 pies

aY = 18 pies by = - 4 pies cy = 0

b) Las respuestas se trasladan a la tabla

correspondiente

.

VECTOR COMPONENTE

“X”

COMPONENTE

“Y”

a 0 18 pies

b 6.93 pies - 4 pies

c - 3 pies 0

Rx = 3.93 pies Ry = 14 pies

Magnitud R = √ Rx 2 + Ry

2

Magnitud R = √ 3.93 pies 2 + 14 pies 2

Magnitud R = 14.55 pies Dirección R : tang φ = Ry / Rx

tang φ =14 pies / 3.93 pies

tang φ = 3.562….

φ = 74.32 °

Rx = 3.93 pies (positiva) ESTE (oriente)

Ry = 14 pies (positiva) NORTE

Primero se lee el eje “y” y luego el eje

“x”, por lo tanto el SENTIDO es: NORESTE

o NORORIENTE

RESPUESTA:

El desplazamiento de la pelota es de 14.55 pies a 74.32° al noreste

EJERCICIO No. 3

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno, aplicando el método de

descomposición rectangular y el método gráfico del polígono, siguiendo los pasos estudiados

para la resolución de los mismos. DEJA CONSTANCIA DE TODO EL PROCEDIMIENTO. RECUERDA

QUE LAS RESPUESTA SE ESCRIBEN DE ACUERDO A LA PREGUNTA DEL PROBLEMA.

1) Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer día de viaje, 60 km al

Noreste el segundo día y 120 km hacia el Este el tercer día. Encuentre el

desplazamiento resultante con el método del polígono y analíticamente.

2) Un alumno camina 50 m hacia el Este, a continuación 30 m hacia el sur, después 20

m hacia el oeste, y finalmente, 10 m hacia el norte. Determina el vector

desplazamiento desde el punto de partida hasta el punto de llegada. Con el método del

polígono y analíticamente.

3) Un barco viaja 100 millas hacia el N el primer día, 60 millas al NE y 120 millas al

Este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante. Con el método del polígono

y analíticamente.

4) Un auto se desplaza 300 m del NorEste a 30°, luego 500 m a 60° Sureste y

finalmente 300 m al sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de

inicio. Con el método del polígono y analíticamente.

5) Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60° al noreste y luego 4

km en la dirección norte. ¿Dónde termina respecto de su punto de inicio? con el

método del polígono y analíticamente.

RESPUESTAS ANALÍTICAS: RECUERDA QUE LAS RESPUESTA SE ESCRIBEN DE ACUERDO A LA

PREGUNTA DEL PROBLEMA.

1) R = 216.03 Km a 41.25° al NorEste. 2) R = 36.06 m a 33.69° al SurEste. 3) R = 216.03 millas a 41.25° al NorEste o NorOriente 4) R = 774.46 m a 48.83° al Sur Este 5) R = 6.77 Km a 77.2° al NorEste.

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