seminarul 1

Transmisiuni de date pe canale radio S. Halunga, I, Marcu

1

Seminarul 1

1. Fie structura de receptor cu filtru adaptat din figură:

Unde ( ) ( ) ( )

2 1g t s t s t= − cu ( )

1,2s t =semnale binare egal probabile

( )m t = ZAGA cu DSmP = 0

2

N= ct., ( )ω∀

Să se determine funcţia pondere a filtrului adaptat care maximizează RSZ la

ieşirea acestuia 2

2 2

2

( )o o

o

g tRSZ ξ

σ= = .

Rezolvare: •Caracteristicile zgomotului la ieşirea filtrului adaptat:

( ) ( ) ( )n t n t h to = ∗

-media: { } { }0

( ) ( ) ( ) 0o o t t

E n t E n t h t=

= ∗ =

-dispersia:

{ }

2 2

( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )2

o

o o

n o o

o

n n n

R E n t n t

NF R S S H H

τ τ

τ ω ω ω ω

= ⋅ +

= = ⋅ = ⋅

{ }2

2 200

1( ) (0) ( )

2 2oo o n

NE n t R H dω ω σ

π

+∞

−∞

= = ⋅ ⋅ =⋅

∫ (puterea zgomotului)

Pentru un receptor optimal se ştie că: 2 22 20 0

0

1( ) ( )

2 2 2

N NH f df H dσ σ ω ω

π

+∞ +∞

−∞ −∞

= ⋅ ≡ = ⋅ ⋅⋅

∫ ∫


2

•Caracteristicile semnalului la ieşirea filtrului adaptat:

( ) ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( )

g t g t h toF g t G G Ho o ω ω ω

= ∗= = ⋅ →

{ }11( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21

( ) ( ) ( )2

j tg t F G H G H e do

j tog t G H e do o

ωω ω ω ω ω

πω

ω ω ωπ

+∞−= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ →∫−∞⋅

+∞= ⋅ ⋅ ⋅∫

−∞⋅

•Raportul semnal zgomot la ieşirea filtrului adaptat:

1( ) ( ) ( ) ( )2 12 4

221 0 ( )( )2 2

j t j to oG H e d G H e d

N No H dH d

ω ωω ω ω ω ω ωπξ

π ω ωω ωπ

+∞ +∞⋅ ⋅ ⋅∫ ⋅ ⋅∫−∞⋅ −∞= = ⋅ +∞+∞ ⋅

∫⋅ ⋅ ∫ −∞⋅ −∞

Pentru a obţine o relaţie simplificată se foloseşte INEGALITATEA LUI SCHWARTZ:

22 2

( ) ( ) ( ) ( )A x B x dx A x dx B x dx+∞ +∞ +∞

⋅ ≤ ⋅∫ ∫ ∫−∞ −∞ −∞

Egalitatea are loc pentru ( ) ( ), .A x k B x k ct∗= ⋅ = obţinându-se astfel şi 2ξ

maxim.

Alegem: , ( ) ( ), ( ) ( )j tox A x H B x G eω

ω ω ω= = = ⋅ . Va rezulta:

max

22

2

2

( ) ( )1

( )

oj t

o

H d G e d

NH d

ωω ω ω ωξ

π ω ω

+∞ +∞

−∞ −∞+∞

−∞

⋅ ⋅

≤ ⋅⋅

∫ ∫

∫

Presupunând că este îndeplinită condiţia de egalitate: 21 22 ( )max

EgG

N No oξ ω

π

⋅+∞= ⋅ =∫

−∞⋅, 2( )E g t dtg

+∞= ∫

−∞- energia semnalului

g(t) Funcţia pondere se determină din condiţia:


3

( ) ( ) ( ) ( ( ) )j toA x k B x H k G eω

ω ω∗ ∗= ⋅ ≡ = ⋅ ⋅ , unde k îl putem alege convenabil. Rezultă, deci:

11( ) ( ) ( ) { ( ) } ( )2

( )1( ) ( ( ) ) ( )

02( ) ( ) ( )

2 1

j t j to oH G e h t F G e h t

j t j t tj to oG e e d G e d g t t

h t s t t s t to oopt

ω ωω ω ω

πω ωω

ω ω ω ωπ

− −∗ − ∗= ⋅ → = ⋅ → = ⋅⋅

+∞ +∞− −∗ ∗⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − →∫ ∫−∞ −∞⋅→ = − − −

2. Fie transmisia binară ce foloseşte simbolurile A± şi impulsul de bază

( ) ( ) ( 2 )p t t t Tσ σ= − − ⋅ . Să se determine şi sa se reprezinte funcţia pondere şi funcţia de transfer a filtrului adaptat, precum şi răspunsul acestuia la semnalul 2 ( ) ( )s t A p t= ⋅ . Ce relaţie există între energia semnalului şi răspunsul filtrului? Eşantionarea se face la momentul 2t To > ⋅ .

Rezolvare:

( ) ( ) 2 ( )

2 1s t s t A p t− = ⋅ ⋅

Din problema 1 cunoaştem că: ( ) 2 ( )h t A p t toopt = ⋅ ⋅ −

( 2 )( ) 2 2

2( ) ( )sin( )

2 2 4 sinc( )

j t j t Tt o oo e ej tH A e dt Aopt jt To

j t T j t TTo oA e T A T e Tj T

ω ωω

ωω

ω ωωω

ω

− − −−−

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =∫⋅−

− − − −⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅


4

Răspunsul:

02( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )2 20

t

y t s t h t A p t h d A p t dopt optt T

τ τ τ τ τ+∞

= ∗ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ −∫ ∫−∞ − ⋅

Trebuie, deci, determinat domeniul de variaţie al lui t.

Astfel, vom avea:

a) 2 ( ) 00

t t T y t< − ⋅ → =

b) 2 2( 2 , ) ( ) 2 2 ( 2 )0 0 020

tt t T t y t A d A t t T

t Tτ∈ − ⋅ → = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅∫

− ⋅

c) 2 ( 2 , ) 2 2 ( )

0 0 0 0 0 00 2 22 2 ( 2 )

02

t T t T t t t T t t t t T y t

t

A d A t t Tt T

τ

− ⋅ ∈ − ⋅ → < − ⋅ < → < < + ⋅ → =

= ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅∫− ⋅

d) 2 2 ( ) 0

0 0t T t t t T y t− ⋅ > → > + ⋅ → =

Va rezulta: 22 ( 2 ), ( 2 , )

0 0 0( ) 22 ( 2 ), ( , 2 )0 0 0

A t t T t t T ty t

A t t T t t t T

⋅ ⋅ − + ⋅ ∈ − ⋅=

⋅ ⋅ − + ⋅ ∈ + ⋅


5

2 2( ) ( ) 2 2 4max 02 ( ) 2max2 2 2( ) 2

2 02

y t y t A T A T

T y t ESE s t dt A dt A T

S

= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

+∞ → = ⋅= = = ⋅ ⋅∫ ∫ −∞

3. În cazul unei transmisiuni binare a două semnale egal probabile ( )

1s t şi

( )2

s t printr-un canal afectat de ZAGA cu DSmP = 0

2

N, ( )ω∀ la care

recepţia se face cu filtru adaptat, să se determine pragul optim şi probabilitatea de eroare minimă în funţie de energiile celor două semnale şi de DSmP a zgomotului. Rezolvare:

Se ştie:

1 1( ) ( ) (1 ) ( )0 0

A s A sp E p Q p Q

σ σ

− − += ⋅ + − ⋅

Pentru A Aopt= şi daca cele doua probabilităţi de transmisie sunt egale:

p=q=0.5 unde q=1-p, obţinem:

2 1

0

( ) ( )2

s sp E Q

σ

−=

⋅

unde Q(x) este funcţia complementară a erorii asociate distribuţiei standard gaussiene:

21 2( )

2

x

Q Q x e dxxπ

−+∞= = ⋅ ∫

⋅

iar pragul optim:


6

21 2 1 2ln( )

2 22 1

s s s spAopt s s q

p q

σ + += ⋅ + =

−=

obţinut din minimizarea lui p(E), deci calculând derivate ei în raport cu A. De la problema 1, pentru filtru adaptiv avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 0 1 0

( ) ( ) ( )

g t s t s t h t s t t s t toptg t g t h to

= − → = − − −

= ∗

( ) min ( ) funcţie monoton descrescătoare max maxp E Q x x şiξ ξ= → = → = =

Raportul semnal zgomot maxim, corespunzător filtrului adaptat este:

2 1 222 2( ) ( ( ))max max0 0 0

1 2( ) ( ) ( 2 ) (notaţie)maxmin 22 1 12 2maxZ= ( ( )) ( ( ) ( ))

2 18 4 40 0

1 2 2 2 2[ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ]2 1 1 24

0

EgRSZ G d g t dt

N N N

p E Q Q Z

g t dt s t s t dtN N

s t dt s t dt s t s t dtN

ξ ω ωπ

ξ

ξ

⋅ +∞ +∞= = = ⋅ = ⋅∫ ∫

−∞ −∞⋅

= ⋅ = ⋅

+∞ +∞= ⋅ = ⋅ − =∫ ∫

−∞ −∞⋅ ⋅+∞

= ⋅ + − ⋅ ⋅∫−∞⋅

1[ 2 ]

1 2 1 2 1,240

E E E EN

ρ

+∞ +∞=∫ ∫

−∞ −∞

= ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⋅

unde: 12 2( ) ( ) (energia semnalului)

1,2 21,2 1,21

( ) ( ) (coeficientul de corelaţie)1,2 1 2

1 2[ 1,1]

1,2

E s t dt S d

s t s t dtE E

ω ωπ

ρ

ρ

+∞ +∞= = ⋅∫ ∫

−∞ −∞⋅+∞

= ⋅ ⋅∫−∞⋅

∈ −

Dacă: 1 semnale antipodale

1,20 semnale ortogonale

1,2

ρ

ρ

= − →

= →

Dacă valoarea eşantionului la momentul T este mai mare decât pragul A → s-a transmis ( )

2s t ; în caz contrar, se decide că s-a transmis semnalul ( )

1s t .


7

12 1 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]1 22 2 0 0

s sA s t h t s t h topt opt optt t t t

+= = ⋅ ∗ + ∗

= =

0 2 1Alegem ( ) ( ) ( )opt

t T h t s T t s T t= → = − − −

Calculăm separat:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

[ ( ) ( )] ( )2 1 1 1 2 12 1

S s t h t h s t dopt optt T t T

s T s T s T d E E E

τ τ τ

τ τ τ τ ρ

+∞= ∗ = ⋅ − =∫= =−∞

+∞= − − − ⋅ − = ⋅ ⋅ −∫

−∞

Similar:

2 2 1 2 12S E E E ρ= − ⋅ ⋅ →

12 1 şi ( ) ( [ 2 ])1 2 1 2 12min2 2

0

E EA p E Q E E E Eopt N

ρ−

= = ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⋅

4. Fie transmisiunea binară ce foloseste semnalele:

( ) [ ( ) ( )]2

( ) cos[ ( )] [ ( ) ( )]1 2

s t A t t T

Ts t B t t t T

T

σ σ

πσ σ

= ⋅ − −

= ⋅ ⋅ − ⋅ − −

egal probabile, transmise printr-un canal afectat de ZAGA cu 2 02

Nσ = . Se

cere: a) să se determine şi să se reprezinte grafic funcţia pondere a filtrului

adaptat. b) să se determine pragul optim de decizie. Care este relaţia între A şi B

astfel încât pragul optim să fie nul? În acest caz să se determine ( )

minp E .

Rezolvare:

cos[ ( )] cos[ ] sin( )2 2

Tt t t

T T T

π π π π⋅ − = ⋅ − = ⋅


8

a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin[ ( )]2 1

( ) sin[ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] [ sin ( )] [ sin ( )]

[ ( ) ( )]

h t s T t s T t A T t A t B T topt T

T t B T t t h t A T t toptT

T t t B T t A B T tT T

T t t

πσ σ

πσ σ σ σ

π πσ σ

σ σ

= − − − = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ − → = ⋅ − − − −

− − − − ⋅ ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ − − −

b)

2 12

E EAopt

−=

2 2 21 00

2 21 1 22 2 2sin ( ) ( cos( ))2 2 2 2 20 0

22sin( )

02 2

T TE A T A dt A t

T T B T BE B t dt B t dt

T T

T B TTt

T

π π

π

π

= ⋅ = = ⋅∫

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅∫ ∫

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ =

⋅

22

2 0 22

B TA T

A B Aopt

⋅− ⋅

= = → = ⋅

2sin( ) ( cos )

1 2 12 002 1 2 2

0,9 (aproape antipodale)12 2

22

T A B T A B TTE E A B t dt t

T T

A B T

B TA T

π πρ

π π

ρπ π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = →∫

⋅ ⋅ ⋅→ = ⋅ = =

⋅⋅ ⋅


9

1p(E) ( [ 2 ])

1 2 1 2 12min 20

2 222( )2

0

Q E E E EN

B T A B TA T

QN

ρ

π

= ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ =⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + −

=⋅

Dispersia zgomotului:

2 2 2{ ( )} { ( )}2 2{ ( )} ( 0)

ZAGA { ( )} 0

E n t E n to o oE n t Ro o noE n to

σσ τ

= −

→ = = =→ =

seminarul 1

Documents