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9no CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA CÉSAR VALLEJO 2006 1

ESTADÍSTICA

INTRODUCCIÓN

Recientemente la Estadística se ha incorporado, en forma generalizada, al currículo

de matemática de la enseñanza primaria y secundaria y al de las diferentes especialidades

universitarias en la mayoría de países desarrollados. Las razones de este interés hacia

la enseñanza de la Estadística han sido repetidamente señaladas por diversos autores,

desde comienzos de la década de los ochenta del siglo pasado.

Asimismo los materiales didácticos, los software educativos, las investigaciones,

revistas, reuniones y los congresos sobre la enseñanza de la Estadística han crecido en

los últimos años.

Por otro lado, el interés por la enseñanza y comprensión de la Estadística no es

exclusivo de la comunidad de educación matemática. La preocupación por las cuestiones

didácticas y por la formación de profesionales y usuarios de la Estadística también

corresponde a los propios estadísticos.

El interés por la enseñanza de la Estadística dentro de la Educación Matemática,

viene ligado al rápido desarrollo de la Estadística como ciencia y como herramienta útil en

la investigación, la técnica y la vida profesional, impulsado notablemente por la difusión

de los ordenadores y el crecimiento espectacular de la potencia y rapidez de cálculo de

los mismos, así como por las posibilidades de comunicaciones. Todo ello ha facilitado el

uso de la Estadística a un número creciente de personas, provocando una gran demanda

de formación básica en esta materia, formación que ha sido encomendada, en los niveles

no universitarios, a los profesores de matemática.

Los nuevos currículos de educación primaria y secundaria incluyen en forma

generalizada recomendaciones sobre la enseñanza de la Estadística. Sin embargo, en

la práctica, son todavía pocos los profesores que enseñan este tema y en otros casos se

trata muy brevemente, o en forma excesivamente formalizada.

Es indiscutible que el siglo XX ha sido el siglo de la Estadística, a tal punto que ha

pasado a considerarse como una de las ciencias metodológicas fundamentales y base

del método científico experimental. La enseñanza de la Estadística, sin embargo, aún se

encuentra en sus inicios, aunque parece avanzar de un modo sostenible. ¿Será el siglo

XXI el siglo de la educación estadística?

2 SEMINARIO PARA ASESORES

Definición de estadística

La Estadística es la ciencia pura y aplicada que se ocupa de la recolección, clasificación, análisis e interpretación de datos con la finalidad de efectuar decisiones adecuadas frente a la incertidumbre. También se le conoce como la ciencia que se ocupa de la toma de decisiones.

División de la Estadística

Estadística descriptiva Es el conjunto de métodos que se relacionan con la recolección, organización y presentación de los datos, como tablas, gráficas y el análisis mediante algunos cálculos.

Estadística Descriptiva

Presentaciónde datos

MedidasDescriptivas

En forma tabularEn forma gráfica

De PosiciónDe Dispersión

Estadística inferencial Es parte de la Estadística que se ocupa de generalizar conclusiones hacia toda una población utilizando la información muestral. Además utiliza conceptos sobre la Teoría de Probabilidades y de las Distribuciones Muestrales.

Estadística Inferencial

Estimación deParámetros

Pruebas deHipótesis

PuntualPor Intervalos

El puente o eslabón que nos permite pasar de la Estadística Descriptiva a la Inferencial es el método de muestreo y la validez de las inferencias dependerá de la representatividad de la muestra.

EstadísticaDescriptiva

Muestreo

Teoría deprobabilidades

EstadísticaInferencial

CONCEPTOS BÁSICOS

Por ejemplo: Suponga que se desea estudiar el ingreso mensual promedio de los 1 500 padres de familia del colegio San José de Jauja. Se seleccionará una muestra de 50 familias.


Variable

Es una característica que el investigador desea estudiar. Puede ser cuantitativa o cualitativa.En el ejemplo inicial: el ingreso mensual promedio.Otros ejemplos• El número de hijos de los profesores del colegio José Carlos Mariátegui.• Procedencia de los alumnos de primaria del colegio Carlos Martínez Uribe. • El rendimiento académico de los alumnos de colegio San Ramón de Tarma.

Unidad elemental

Es todo elemento del que se obtiene información. También se le conoce como la unidad de información o unidad estadística.En el ejemplo inicial: la unidad elemental es cada padre de familia.• Se conoce como observación al registro que se realiza de una unidad elemental.• Las variables se denotan con las letras mayúsculas X, Y, Z, W y a las observaciones

con las letras minúsculas x, y, z, w.En el ejemplo inicial X = ingreso mensual de cada padre. x4 = S/.300 nos indica que el padre de familia al cual se le asignó el Nº 4 tiene un ingreso mensual de S/.300.Sea la variable Y: número de hijos de los profesores del colegio El Triunfo de Tumbes.y8 = 4 nos indica que el profesor asignado con el Nº 8 tiene 4 hijos.

Población

Es el conjunto de todas las unidades elementales en estudio. La población también se define como el conjunto de todas las observaciones ya que por cada unidad elemental se tiene una observación.• Al tamaño de la población se le denota con la letra N. En el ejemplo inicial: la población está formada por las 1 500 familias (N = 1 500). Pob. = {P1 ; P2 ; P3 ; ... ; P1 500} Pob. = {S/.180; S/.250; S/.420; ...; S/.200}Por ejemplo: Los estudiantes del Colegio Mariscal Luzuriaga de Casma del turno mañana matriculados el 2006 Variable Z: procedencia de Buenavista. Unidad elemental: cada estudiante.Podemos observar que Z15 = si ; Z19 = no Población = {Z1; Z2; Z3; Z4 ; ...; Z1500} Población = {si , no, si, si, ..., si}


Muestra Es un subconjunto de una población.• Al tamaño de la muestra se le denota con la letra n.En el ejemplo inicial: la muestra está formada por las 50 familias (n = 50 ). muestra = {F1; F2; F3; ...; F50} muestra = {S/.200; S/.250; S/.180; ...; S/.300}

Parámetro

Es un valor constante que se utiliza para describir una variable en la población. Para hacer el cálculo del parámetro se requiere la información de toda la población. Ejemplos• la media ( µ) • la variancia (δ2) • diferencia de promedios ( µ1 – µ2) • la desviación estándar (δ)

Valor estadístico o estadígrafo

Es una variable que cambia de valor de una muestra a otra. El valor que admite en

una muestra particular sirve para estimar al parámetro. Ejemplos• la media ( X ) • la variancia (S2)• la diferencia de promedios ( X1 – X2) • la desviación estándar (S)

En el ejemplo inicial

µ : ingreso mensual promedio (parámetro)

µ = x1 + x2 + x3 + x4 + ... + x1 500

1 500

x : ingreso mensual promedio (valor estadístico)

x = x1 + x2 + x3 + x4 + ... + x50

50Estimar. Consiste en considerar el valor del estadígrafo hallado en una muestra como si fuera el valor del parámetro.

Clases de variables (por su naturaleza)

Cuantitativas Cuando las observaciones se pueden representar en forma numérica. También se les llama valor. Las variables cuantitativas pueden ser continuas y discretas:Continuas. Cuando pueden admitir cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real. Los registros se realizan utilizando instrumentos de medición o cualquier operación matemática.Ejemplos• el peso de los alumnos• los ingresos de los padres de familia del colegio.


Discretas. Cuando admite valores enteros. Las observaciones se hacen por conteo.Ejemplos• el número de alumnos de los talleres de reforzamiento en matemática.• el número de hijos de los trabajadores.

Cualitativas Cuando la observación representa una determinada cualidad. A la observación cualitativa también se le llama atributo. Ejemplo• Población: habitantes mayores de 20 años en el distrito de Los Olivos. X: grado de instrucción (primaria, secundaria, superior) Y: opinión respecto a determinada política económica (a favor, abstención, en contra)Las variables cualitativas a su vez pueden ser nominales y jerarquizadas:

Nominales. Cuando no se puede establecer un orden en las cualidades o atributos.Ejemplos• Profesión (ingeniero, profesor, médico, biólogo)• Color (verde, amarillo, rojo).

Ordinales o jerarquizadas. Cuando es posible establecer un orden en las alternativas.Ejemplos• Grado de instrucción (primaria, secundaria, superior)• Categoría como docente (profesor, auxiliar, principal, asociado).

ORGANIZACIÓN DE DATOS

El objetivo de la organización de datos es ordenar un conjunto de datos en forma útil para revelar sus características esenciales y simplificar ciertos análisis.Existen dos tipos generales de tablas de frecuencias para representar un conjunto de datos:a. Tablas de Frecuencias para Datos No Agrupadosb. Tablas de frecuencias para Datos Agrupados.

Organización de datos no agrupados (Tablas Sin Intervalos)

Secuencia• Se recoge la información.• Se elabora la tabla de frecuencias• Se construyen los gráficos

EjemploSe desea estudiar el grado de instrucción de los padres de familia del colegio Santa Isabel de Huancayo (Analfabetos, Primaria, Secundaria, Superior). Se seleccionó una muestra de 80 padres y se obtuvo los siguientes resultados: 20 analfabetos, 30 primaria, 20 secundaria, 10 superior.


K Xi fi hi Fi Hi

1 Analfabetos f1 = 20 h1 = 0,250 F1 = 20 H1 = 0,250

2 Primaria f2 = 30 h2 = 0,375 F2 = 50 H2 = 0,625

3 Secundaria f3 = 20 h3 = 0,250 F3 = 70 H3 = 0,875

4 Superior f4 = 10 h4 =0 ,125 F4 = 80 H4 = 1,000

n = 80 1,000

n = 80 es el tamaño de la muestra y K = 4 es el número de clases

Algunas interpretaciones• f2 = 30 quiere decir que 30 de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel de

Huancayo tienen grado de instrucción primaria.• h3 = 0,250 = 25% quiere decir que el 25% de los padres de familia del colegio Santa

Isabel de Huancayo tienen grado de instrucción secundaria.• F3 = 70 quiere decir que de los 80 padres de familia del colegio Santa Isabel de

Huancayo, 70 de ellos tienen grado de instrucción entre analfabetos, primaria y secundaria.

• H2 = 0,625 = 62,5% quiere decir que el 62,5% de los padres de familia tienen grado de instrucción entre analfabetos y educación primaria.

Frecuencia absoluta (fi) Es el número de observaciones que se registran en cada clase. La suma total de las frecuencias absolutas es igual al número total de elementos (n).En el ejemplo, estas frecuencias se encuentran en la información del enunciado:20 analfabetos (f1= 20), 30 primaria (f2 = 30), 20 secundaria (f3 = 20) y 10 superior (f4 =10 ).Observe además que la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra, es decir f1 + f2 + f3 + f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80

Frecuencia relativa (hi) Es la proporción de observaciones en cada clase. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad. Se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamaño de la muestra.Ejemplo• Para calcular las frecuencias relativas dividimos cada una de las frecuencias absolutas

entre 80 que es el tamaño de la muestra, es decir


h1 = f1n

= 20

80 = 0,250 h2 =

f2n

= 30

80 = 0,375

h3 = f3n

= 20

80 = 0,250 h4 =

f4n

= 10

80 = 0,125

Observe además que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es

decir h1 + h2 + h3 + h4 = 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000

Frecuencia absoluta acumulada (Fi) Es la acumulación ordenada de cada una de las frecuencias absolutas. La ultima frecuencia absoluta acumulada es igual al número de elementos (n). Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia absoluta acumulada (F1) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f1) y a partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias absolutas anteriores.

En el ejemplo

Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

f1 = 20 F1 = f1 = 20

f2 = 30 F2 = f1 + f2 = 20 + 30 = 50

f3 = 20 F3 = f1 + f2 + f3 = 20 + 30 + 20 = 70

f4 = 10 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 20 + 30 + 20 + 10 = 80

Observe además que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, es decir, F4 = n = 80.

Frecuencia relativa acumulada (Hi)

Es la acumulación de cada frecuencia relativa. La última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad.

Para calcular las frecuencias relativas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia relativa acumulada (H1) es siempre igual a la 1ra frecuencia relativa (h1) y a partir de la 2da frecuencia relativa acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias relativas anteriores.


En el ejemplo

Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa acumulada (Hi)

h1 = 0,250 H1 = h1 = 0,250

h2 = 0,375 H2 = h1 + h2 = 0,250 + 0,375 = 0,625

h3 = 0,250 H3 = h1 + h2 + h3 = 0,250 + 0,375 +0,250 = 0,875

h4 = 0,125 H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = 0,250 + 0,375 + 0,250 + 0,125 = 1,000

Observe además que la última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad, es decir H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = 0,250 + 0,375+ 0,250 + 0,125 = 1,000

Organización de datos agrupados (Tablas con Intervalos)Secuencia• Se recoge la información • Se elabora la tabla de frecuencias• Se construyen los gráficos: histogramas, polígonos, ojivasElementos de una tabla de distribución de frecuenciaEjemplo: Un investigador desea determinar en el colegio San José de Chiclayo en el nivel primaria el número de horas semanales que los niños de 7 años de edad se dedican a ver programas de televisión. Una muestra de 25 niños arrojó los siguientes resultados (en número de horas semanales): 10; 19; 25; 19; 26; 16; 19; 27; 27; 25; 23; 22; 17; 12; 20; 15; 21; 23; 26; 14; 18; 25; 23; 24; 21.• Rango (r). Es la diferencia entre los datos de mayor y menor valor. Ejemplo: r = 27 – 10 = 17• Intervalo de clase. Es una clasificación de los datos en subgrupos. Ejemplo: [16; 19⟩ es un posible intervalo de clase donde se debe considerar a los niños

que se dedican a ver televisión desde 16 horas hasta menos de 19 horas semanales. • Límites de clase. Son los valores extremos del intervalo de clase. Ejemplo: en el intervalo [16; 19⟩ se observa que 16 es el límite inferior y 19 es el

límite superior.• Ancho de clase (W). Es la diferencia entre el límite superior e inferior de cada

intervalo. También se le conoce como el TIC (Tamaño del intervalo de clase) Ejemplo: en el intervalo [16; 19⟩ se observa que el ancho de clase es W = 19 – 16 = 3• Marca de clase (X’). Es el punto medio de cada intervalo. Ejemplo: en el intervalo [16, 19⟩ la marca de clase es X’ = (16 + 19 )/2 = 17,5


Observaciones1. Para determinar el valor aproximado del número de clases (K), usamos la

regla de Sturges K = 1 + 3,3 log n donde n es el tamaño de la muestra En el ejemplo K = 1 + 3,3 log 25 = 1 + 3,3 (1,40) = 5,62 Redondeando K = 6 (para garantizar que los valores mayores se encuentren en el último intervalo,

el valor de K se redondea al entero siguiente ).

2. Para considerar un ancho de clase común, este se determina de la siguiente manera: W = TIC = (rango)/(Nº de clases) = r/K En el ejemplo W = 17 / 6 = 2,83 entonces redondeamos W = 3 ya que la

información de horas semanales está en números enteros. (si los datos están con una cifra decimal entonces el TIC se redondea con

una cifra decimal, si los datos están con dos cifras decimales entonces el TIC se redondea con dos cifras decimales y así sucesivamente).

SECUENCIA PARA LA ELABORACIÓN DE UNA TABLA DE FRECUENCIAS

• 1º Hallamos el rango r = 17• 2º Hallamos el número de clases K = 6• 3º Hallamos el ancho de clase W = 3• 4º Elaboramos la tabla de frecuencias

K Intervalos fi hi Fi Hi X’

1 [10; 13⟩ 2 0,08 2 0,08 11,5

2 [13; 16⟩ 2 0,08 4 0,16 14,5

3 [16; 19⟩ 3 0,12 7 0,25 17,5

4 [19; 22⟩ 6 0,24 13 0,52 20,5

5 [22; 25⟩ 5 0,20 18 0,72 23,5

6 [25; 28] 7 0,28 25 1,00 26,5

25 1,00


EXPLICACIÓN DE LA ELABORACIÓN DE LA TABLA DE FRECUENCIAS

Respecto a los intervalos

En el primer intervalo siempre se considera el menor valor como límite inferior y para obtener el límite superior, al menor valor se le agrega el TIC, además este intervalo es cerrado a la izquierda ( [ ) y abierto a la derecha ( ⟩ ); es decir : 1er intervalo = [menor valor; menor valor + TIC⟩En el ejemplo 1er intervalo = [10; 10 + 3⟩ = [10; 13⟩ A partir del segundo intervalo, el límite inferior será el límite superior del intervalo anterior y el límite superior se calcula agregándole el valor del TIC al límite inferior. En el ejemplo• 1er intervalo [10; 10 + 3⟩ = [10; 13⟩• 2do intervalo [13; 13 + TIC⟩ = [13; 16⟩• 3er intervalo [16; 16 + TIC⟩ = [16; 19⟩• 4to intervalo [19; 19 + TIC⟩ = [19; 22⟩• 5to intervalo [22; 22 + TIC⟩ = [22; 25⟩• 6to intervalo [25; 25 + TIC] = [25; 28]Observe además que todos los intervalos, a excepción del último, son de la forma cerrados a la izquierda y abiertos a la derecha ( [ ; ⟩ ), siendo el último intervalo cerrado en ambos extremos ( [ ; ] ). Respecto a las frecuencias absolutas (fi)

• En el primer intervalo [10; 13⟩ se encuentran los valores comprendidos desde 10 hasta menores de 13, es decir en nuestros datos encontramos 2 valores : 10 y 12, entonces f1= 2.

• En el segundo intervalo [13; 16⟩ se encuentran los valores comprendidos desde 13 hasta menores de 16, es decir en nuestros datos encontramos 2 valores : 15 y 14 entonces f2 = 2.

• En el tercer intervalo [16; 19⟩ se encuentran los valores comprendidos desde 16 hasta menores de 19, es decir en nuestros datos encontramos 3 valores : 16, 17 y 18 entonces f3 = 3.

• En el cuarto intervalo [19; 22⟩ se encuentran los valores comprendidos desde 19 hasta menores de 22, es decir en nuestros datos encontramos 6 valores: 19, 19,19, 20, 21 y 21, entonces f4 = 6.

• En el quinto intervalo [22; 25⟩ se encuentran los valores comprendidos desde 22 hasta menores de 25, es decir en nuestros datos encontramos 5 valores: 23, 22, 23, 23 y 24, entonces f5 = 5 .


• En el sexto intervalo [25; 28] se encuentran los valores comprendidos desde 25 hasta 28 inclusive, es decir en nuestros datos encontramos 7 valores: 25, 26, 27, 27, 25, 26 y 25, entonces f6 = 7 .

Respecto a las frecuencias absolutas acumuladas (Fi)

Para calcular las frecuencias absolutas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia absoluta acumulada (F1) es siempre igual a la 1ra frecuencia absoluta (f1) y a partir de la 2da frecuencia absoluta acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias absolutas anteriores.En el ejemplo

Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

f1 = 2 F1 = f1 = 2

f2 = 2 F2 = f1 + f2 = 2 + 2 = 4

f3 = 3 F3 = f1 + f2 + f3 = 2 + 2 + 3 = 7

f4 = 6 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 2 + 2 + 3 + 6 = 13

f4 = 5 F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 2 + 2 + 3 + 6+5 = 18

f6 = 7 F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 2 + 2 + 3 + 6 +5 + 7= 18

Observe además que la última frecuencia absoluta acumulada es igual al tamaño de la muestra, es decir F6 = n = 25

Respecto a las frecuencias relativas (hi)

En el ejemplo: se calculan dividiendo cada una de las frecuencias absolutas entre el tamaño de la muestra, es decir

h1 = f1n

= 2

25 = 0,08 h2 =

f2n

= 2

25 = 0,08

h3 = f3n

= 3

25 = 0,12 h4 =

f4n

= 6

25 = 0,24

h5 = f5n

= 5

25 = 0,20 h6 =

f6n

= 7

25 = 0,28

Observe además que la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad, es decir h1 + h2 + h3 + h4+ h5 + h6 = 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0,24 + 0,20 + 0,28 = 1,00


Respecto a las frecuencias relativas acumuladas (Hi)

Para calcular las frecuencias relativas acumuladas debemos considerar que la 1ra frecuencia relativa acumulada (H1) es siempre igual a la 1ra frecuencia relativa (h1) y a partir de la 2da frecuencia relativa acumulada, estas se calculan sumando o acumulando las frecuencias relativas anteriores.En el ejemplo

Frecuencia

relativa (hi)Frecuencia relativa acumulada (Hi)

H1 = 0,08 H1 = h1 = 2

H2 = 0,08 H2 = h1 + h2 = 0,08+0,08 = 16

H3 = 0,12 H3 = h1 + h2 + h3 = 0,08 + 0,08 + 0,12 = 0,28

H4 = 0,24 H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0,24 = 0,52

H4 = 0,20 H5 = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0,24+0,20 = 0,72

H6 = 0,28 H6 = h1 + h2 + h3 + h4 +h5 + h6 = 0,08+0,08+0,12+0,24+0,20 +0,28=1,00

Observe además que la última frecuencia relativa acumulada es igual a la unidad, es decir H6 = h1 + h2 + h3 + h4 + h5 + h6 = 0,08 + 0,08 + 0,12 + 0,24 + 0,20 + 0,28 = 1,00

Respecto a las marcas de clase

Intervalos Marcas de clase (X’)

[10; 13⟩ (10 + 13)/2 = 11,5

[13; 16⟩ (13 + 16)/2 = 14,5

[16; 19⟩ (16 + 19)/2 = 17,5

[19; 22⟩ (19 + 22)/2 = 20,5

[22; 25⟩ (22 + 25)/2 = 23,5

[25; 28] (25 + 28)/2 = 26,5


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Identifique las unidades elementales y las observaciones en cada uno de los siguientes casos:

• El Departamento de Psicopedagogía investiga las condiciones de vida de cada uno de los alumnos de primaria.

• El Departamento Médico investiga el control y crecimiento de los hijos de los profesores y empleados del colegio.

• El Departamento de Recursos Humanos investiga los tipos de dieta en las raciones que se venden en los kioskos.

2. Identifique en cada enunciado el tipo de variable: • Edad de los alumnos del 3ro de secundaria. • Número de niños abandonados en los hospitales. • Categoría como docente en la Universidad (principal, asociado, auxiliar). • Lugar de nacimiento de los empleados del colegio. • Reconocimiento económico mensual de los trabajadores. • Tasa de mortalidad infantil.

3. Se realizó un muestreo de opinión para determinar si los profesores de Lima prefieren como texto de consulta el libro de Propedéutica de Razonamiento Matemático de la editorial Lumbreras con respecto a otro. Con este fin se entrevistaron a 2 000 profesores y entre ellos 1 500 prefieren dicho texto. Responda lo siguiente:

• ¿Cómo está formada la muestra? • ¿Cómo está formada la población? • ¿Cuál es el valor estadístico?

4. Se estableció que el costo promedio de los textos escolares en un colegio de 1200 alumnos fue de S/.45. Un grupo de estudiantes del taller de Estadística realizando un trabajo de investigación encuestó a 25 alumnos para determinar el costo promedio del texto escolar y concluyeron que fue S/.50. Identifique

• la población • la muestra • el parámetro • el estadígrafo • ¿qué comentaría usted si el grupo de estudiantes encuentra que el costo promedio

del libro para la muestra de 25 alumnos es de S/.130?


5. Elabore un enunciado considerando aspectos del colegio donde labora y luego identifique en dicho enunciado

• la variable • el tipo de variable • la unidad elemental • la población • la muestra • el parámetro • el estadígrafo

6. Los siguientes valores corresponden a los pesos de 50 profesores del colegio Glorioso San Carlos de Puno (en kilogramos)

73 76 68 73 56 67 77 70 66 74 69 70 70 54 76 82 68 84 73 85 67 61 47 67 63 77 70 88 60 72 58 46 57 93 79 67 69 63 64 59 77 80 67 52 72 58 57 94 67 86

• Ordene los datos en una tabla de frecuencias • Interprete f2 , h3, F4, H5 • ¿Cuántos profesores tienen un peso comprendido desde 53 kg hasta 60 kg? • ¿Cuántos profesores pesan desde 67 kg hasta 87 kg inclusive? • ¿Qué porcentaje de los profesores tienen un peso comprendido desde 46 kg

hasta 53 kg? • ¿Qué porcentaje de los profesores tienen un peso mayor de 80 kg?

7. Según su enunciado del ejercicio (5), realice una simulación de obtención de

datos y ordene estos datos en una tabla de frecuencias. Así mismo realice algunas interpretaciones.


ESTÁNDARES CURRICULARES DE ESTADÍSTICA

En inicial, 1º y 2º grado

COMPETENCIA HABILIDAD

Formular preguntas que puedan ser respondidas a partir de la recolección y organización de un conjunto de datos.

• Clasificar objetos de acuerdo a sus atributos y organizar los datos sobre dichos objetos, reconociendo que un objeto puede tener más de un atributo.

• Representar los datos empleando objetos concretos, dibujos o gráficos por ejemplo usando barras, tablas, pictogramas y reconociendo los títulos de los ejes.

Seleccionar métodos estadísticos apropiados para analizar datos.

• Describir partes de los datos y el conjunto de datos como un todo para determinar qué muestran los datos. Por ejemplo, realizar afirmaciones como: La cantidad de estudiantes que tienen perros es igual a la que tienen gatos; la mayoría de estudiantes en la clase ve Bob el constructor. También implica reconocer de donde proviene la información mostrada.

En 3º; 4º y 5º grado



• Diseñar experimentos para recolectar datos a través de la observación o encuestas y analizar cómo las distintas formas de hacerlo afectan la naturaleza de los datos.

• Interpretar información que ha sido presentada a través de tablas y gráficos.

• Representar datos teniendo en cuenta la naturaleza de la variable involucrada, si es cualitativa o cuantitativa.

• Organizar y representar los datos haciendo uso de una hoja de cálculo.


• Describir las principales características de un conjunto de datos y comparar conjuntos de datos poniendo énfasis en cómo estos están distribuidos.

• Calcular la mediana de un conjunto de datos y lo que esta representa y también lo que no representa para ese conjunto de datos.

• Comparar diferentes representaciones para un mismo conjunto de datos y evaluar cuál de ellas representa mejor a los datos.


Elaborar y analizar inferencias y predicciones basadas en un conjunto de datos.

• Proponer y justificar conclusiones y predicciones basadas en un conjunto de datos y diseñar actividades para analizarlas.

Entender y aplicar los conceptos básicos de probabilidad a distintas áreas.

• Describir si ciertos eventos son posibles o imposibles, discutiendo el grado de “posibilidad” empleando palabras como seguro, posible, imposible.

• Predecir la probabilidad de experimentos sencillos y recolectar datos para verificar dichas predicciones.

• Entender que la medida de la posibilidad de un evento puede ser representada por un número entre 0 y 1.

En 6º grado 1º y 2º año



• Formular preguntas, diseñar estudios y recolectar datos sobre alguna característica común a dos poblaciones o a diferentes características de una misma población.

• Seleccionar, crear y usar gráficos apropiados para representar datos, incluyendo histogramas, diagrama de puntos acumulados y boxplots.


• Encontrar, usar e interpretar medidas de tendencia central y dispersión, incluyendo la media y los percentiles.

• Mostrar la relación entre los conjuntos de datos y sus representaciones gráficas, especialmente con los histogramas, diagrama de puntos acumulados y boxplots.

Elaborar y analizar inferencias y predicciones basadas en un conjunto de datos

• Dadas dos poblaciones y una afirmación, emplear la observación para determinar a cuál de ellas podría corresponder dicha afirmación.

• Hacer conjeturas sobre posibles relaciones que podrían existir entre dos variables de una misma población.

• Usar conjeturas para formular nuevas preguntas y diseñar nuevos estudios para responderlas.


• Entender y emplear la terminología apropiada para describir eventos complementarios y mutuamente excluyentes.

• Usar la proporcionalidad e ideas básicas de probabilidad para hacer y verificar afirmaciones sobre los resultados de experimentos y simulaciones.

• Calcular probabilidades de eventos “compuestos” empleando diagramas de árbol.


En 3º; 4º y 5º año



• Entender las diferencias entre varios estudios estadísticos realizados y poder decidir qué tipo de inferencias son válidas a partir de ellos.

• Identificar si un estudio ha sido bien diseñado, teniendo en cuenta las características que deberían tener para serlo, incluyendo la noción de aleatoriedad en encuestas y experimentos.

• Mostrar datos empleando histogramas, diagrama de puntos acumulados y boxplots.

• Procesar datos estadísticos y entender la diferencia entre una estadística y un parámetro.


• Mostrar la distribución que sigue un conjunto de datos, describir su forma y seleccionar y calcular los estadísticos correspondientes.

• Para datos que relacionan dos variables, mostrar los pares de puntos a través de un diagrama de puntos acumulados, describir su forma y determinar los coeficientes de regresión, la ecuación de regresión, empleando la tecnología.

• Reconocer cómo una transformación afecta la forma de la distribución y las medidas de tendencia central y dispersión.

Elaborar y analizar inferencias y predicciones basadas en un conjunto de datos.

• Emplear simulaciones para estudiar datos estadísticos conocidos y determinar qué distribución se ajusta mejor a ellos.

• Entender como los datos de una muestra se relacionan con los parámetros de la población y emplear distribuciones para inferencias informales.

• Evaluar reportes publicados basados en datos estadísticos revisando cómo se diseñó la toma de datos, cómo se realizó el análisis de los mismos y estudiando la validez de las conclusiones.

• Entender como las técnicas de estadística básica se emplean para monitorear procesos en todos los ámbitos.


• Entender los conceptos de espacio muestral, distribución de probabilidades, y construir espacios muestrales y distribuciones en casos sencillos.

• Usar simulaciones para construir distribuciones de probabilidad “empírica”.

• Calcular e interpretar los valores esperados de variables aleatorias en casos sencillos.

• Entender los conceptos de probabilidad condicional y de eventos independientes.


PROGRAMACIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y,

sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal,

se ocuparon de obtener máximos y mínimos de determinadas funciones, condicionadas

a un conjunto de restricciones.

Posteriormente el matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830)

fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente

llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interesó

por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos

estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En este año,

el matemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografía

titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la

que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría

matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal.

Las aplicaciones iniciales de los métodos de la programación lineal cayeron entres

categorías principales.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado

independientemente por Koopmans y Kantorovich, razón por la cual se suele conocer

con el nombre de problema de Koopmans-Kantorovich.

En 1958 se aplicaron los métodos de la programación lineal a un problema concreto:

el cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación

de la ciudad de Moscú. En este problema había 10 puntos de partida y 230 de llegada.

El plan óptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 días del mes de

junio, rebajó un 11% los gastos respecto a los costes previstos.


Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el

nombre de régimen alimenticio optimal.

En estos años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se crea

el proyecto SCOOP de la Fuerza Aérea, la cual asumió que la eficaz coordinación de

todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su

resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que

resuelve la programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y

los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los

problemas que se estaban gestando.

En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado

estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con

una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo

que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).


Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aéreo

de Berlín. Se continuó con infinidad de aplicaciones de tipo preferentemente militar.

Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos

de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programación lineal.

Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford, Fulkerson

y Gale, el departamento de Matemáticas de la Universidad de Princenton, con Tucker

y Kuhn, así como la Escuela Graduada de Administración Industrial, dependiente del

Carnegie Institute of Technology, con Charnes y Cooper.

Respecto al método del simplex, señalaremos que su estudio comenzó en el año

1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC

COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático

norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928

publicó su famoso trabajo Teoría de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los

problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.

La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y,

desde 1930, catedrático de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que

otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta

disciplina.

Se ha estimado, de una manera general, que si un país subdesarrollado utilizase los

métodos de la programación lineal, su producto bruto interno (PBI) aumentaría entre un

10 y un 15% en tan sólo un año.

La programación lineal hace historia: El puente aéreo de Berlín

En 1946 comienza el largo período de la guerra fría entre la antigua Unión Soviética

(URSS) y las potencias aliadas (principalmente, Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los

episodios más llamativos de esa guerra fría se produjo a mediados de 1948, cuando la

URSS bloqueó las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder de

los aliados con la ciudad de Berlín, iniciando el bloqueo de Berlín. A los aliados se les

plantearon dos posibilidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berlín

por el aire. Se adoptó la decisión de programar una demostración técnica del poder aéreo

norteamericano; a tal efecto, se organizó un gigantesco puente aéreo para abastecer la

ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias; en marzo

de 1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril

antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de los suministros se utilizó la

programación lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el bloqueo).


¿Qué es programación lineal?

La programación lineal se puede definir como un medio matemático que busca la optimización (maximización o minimización) del uso de recursos limitados. La cual tiene por objeto ayudar a los responsables en la toma de decisiones sobre asuntos en donde intervienen un gran número de variables. La representación matemática de dicho óptimo se conoce como función objetivo y consiste generalmente en maximizar utilidades, beneficios, ingresos ,eficiencia o alguna medida efectiva; o en minimizar costos errogaciones, gastos ,etc. Toda limitación, condición o disponibilidad de los recursos o actividades se denomina restricción y debe expresarse matemáticamente por medio de desigualdad (no estricta) o igualdad. Tanto la función objetivo como las restricciones deben poderse escribir linealmente: de allí el nombre dado a este método: Programación Lineal (P.L.).

Usos de la programación lineal en el Perú

Desde los primeros años de la década del 60 diversas empresas y entidades han aplicado la programación lineal para la toma de decisiones en problemas específicos. Dentro de las aplicaciones conocidas en nuestro medio, mencionaremos las siguientes:Petroperu• Modelo matemático de transporte de crudos y refinados para la asignación óptima de

la flota nacional• Modelo de refinerías para la obtención de gasolinas del octanaje adecuado al mínimo

costo.• Modelo matemático para la planta de lubricantes del callaoNicolini Hnos. s.a.• Modelo de mezcla insumos para la fabricación de alimentos balanceados para aves. Unileche s.a. • Modelo de transportes para las asignaciones de rutas y vehículos de reparto de

leche en Lima Metropolitana.Sider Perú• Modelo de mezcla de insumos para la alimentación del alto horno.Ministerio de transportes• Modelo de evaluación de proyectos de construcción vial considerando los efectos

regionales de centros de producción y consumo.Instituto nacional de planificación• Modelo de selección de cartera de proyectos de desarrollo económico.Ministerio de agricultura Iowa State University• Modelo de rotación de cultivos para los valles de la costa norte del Perú.


Modelos matemáticos de Centromin-Perú• Modelo de minas de Casapalca• Modelo de cobre y plomoA continuación presentaremos un ejemplo práctico de la programación lineal.

Ejemplo 1Suponiendo que una empresa manufacturera que produce dos artículos, el 1 y el 2, cuyas demandas son limitadas. La siguiente tabla indica los tiempos de procesamiento requerido por cada producto en tres departamentos por los que deben ser procesados y muestra además, la disponibilidad en horas hombre de estos por semana, y la ganancia unitaria de cada artículo.

Dpto. A Dpto. B Dpto. C Ganancia Unit.

Producto 1 2 1 4 1,00

Producto 2 2 2 2 1,50

Disponibilidad 160 120 280

El problema consiste en decidir la cantidad de cada producto que debe elaborarse con el objeto de lograr el mejor empleo de los medios de producción (horas disponibles en los departamentos), para obtener el máximo beneficio total. Dicho de otro modo, quien decide, debe asignar los recursos (tiempo disponible en los departamentos) con el propósito de optimizar un objetivo (maximizar la ganancia total) satisfacer otras condiciones definidas (no exceder las capacidades de trabajo de cada departamento).Su resolución lo veremos más adelante.

El modelo matemático de la programación lineal

En general con rigor matemático el problema de Programación Lineal se presenta en los siguientes términos max. (min.)Z = c1x1 + c2x2 +... cnxn (I)Sujeto a a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≥ bm (II)

Y las restricciones de no negatividad xj ≥ 0, j = 1; 2; 3; ...; n (III)


En las ecuaciones o inecuaciones aij ; bi ; cj son valores conocidos y el problema consiste en hallar los valores de las xj que optimicen la función (I) sujeta a las condiciones (II) y (III)Las variables xj se llaman variables de decisión.La estructura anterior se puede expresar como

(max. o min.) Z= Σ cj xj = CtXn

j = 1Sujeto a

AX B X ≥ 0

Donde A = (aij)mxn; C =

c1

c2

cn

; X =

x1

x2

xn

; B =

b1

b2

bm En un problema de programación lineal debemos tener en cuenta que los beneficios, capacidades, etc. Son funciones que se deben maximizar; en cambio los costos, las pérdidas, los accidentes son funciones que se deben minimizar.En Programación Lineal se tienen los siguientes elementos• Una función objetivo.• Un conjunto de restricciones.• La no negatividad de las variables decisorias. Para mayor comprensión del tema en este trabajo, lo plantearemos en dos variables decisorias; por ello nuestro problema de Programación Lineal tendrá la siguiente estructura. max.(min.) Z = c1x + c2y + c3

Sujeto a

a11x + a12y ≤ b1

a21x + a22y = b2

am1x + am2y ≥ bm

con x ≥ 0; y ≥ 0

Definiciones

Variables decisorias. Son cantidades desconocidas que indican los valores numéricos de los actos o actividades que se van a emprender con el fin de lograr el objetivo.Función objetivo. Es la representación matemática de la función a optimizar (max. o min.) Z = ax + by + cRegión factible. Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no negatividad. Existen dos tipos de región factible.


región factible no acotada región factible acotada

Solución factible. Es cualquier punto situado en la región factible.Solución básica. Es aquella que se encuentra en la intersección de rectas o hiperplanos o en la intersección con los ejes coordenadosSolución Óptima. Es una solución factible que maximiza o minimiza la función objetivo.Polígono Convexo. Dados dos puntos cualesquiera que pertenecen al polígono, el segmento de recta que los une está contenido en dicho polígono.

polígono convexo polígono no convexo

Fundamentación matemática de la Programación Lineal

La Programación Lineal se fundamenta en un conjunto de teoremas cuyas demostraciones se omiten en el presente trabajo.Teorema 1 El conjunto de todas las soluciones factibles a un problema Lineal es un conjunto convexo (resulta de la intersección de las ecuaciones e inecuaciones de restricción).este teorema demuestra, además que si un programa lineal tiene mas de una solución, entonces tendrá infinitas soluciones.

Teorema 2 La función objetivo alcanza su máximo en un punto extremo del conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al Programa lineal. De estos dos teoremas concluimos que sólo es necesario investigar las soluciones en los puntos extremos (es decir en los vértices o las aristas del polígono convexo del programa lineal) A continuación resolveremos algunos problemas, usando el método gráfico (la cual es la aplicación del teorema 2).


Planteamiento y solución del ejemplo 1

Paso 1 (Variables decisorias)Sea x el número de unidades producidas del artículo 1 Sea y el número de unidades producidas del artículo 2

Paso 2 (construcción de la función objetivo)El beneficio obtenido al vender x unidades del artículo 1 e y unidades del artículo 2 será 1,00x + 1,50yconsiderando la función f(x; y) = 1,00x + 1,50y (función objetivo) el problema consiste en hallar x, y tal que esta función sea máxima, teniendo en cuenta que x e y están sujetas a las siguientes condiciones (restricciones).

Paso 3 (Restricciones o limitaciones)En el ejemplo la producción está limitada por el tiempo disponible de manufacturación en cada departamento. Observando los valores del cuadro anterior se puede deducir fácilmente que:• El tiempo de manufacturación requerido al departamento A, es igual a 2x + 2y pero el requisito no debe exceder la capacidad del departamento A, por la que la

expresión anterior queda completa con: 2x + 2y ≤ 160 con igual razonamiento para los departamentos B y C, se tiene: x + 2y ≤ 120 4x + 2y ≤ 280 obviamente esta implícita la circunstancia de no poder considerar cantidades a

producir negativas, por tanto se debe escribir: x ≥ 0 y ≥ 0• En resumen y simbolizando la función ganancia total con Z se tiene: [Max]Z = x + 1,5y Sujeto a 2x + 2y ≤ 160 (restricción 1) x + 2y ≤ 120 (restricción 2) 4x + 2y ≤ 280 (restricción 3) Con x ≥ 0 y ≥ 0Como este problema contiene sólo dos variables es posible representarlo y resolverlo gráficamente. Graficando las tres restricciones se tiene:


La figura que ha quedado definida no es otra cosa que un polígono convexo. El problema de la Programación Lineal, entonces, se reduce (nada más ni nada menos) a la selección del punto que sea factible y que a su vez maximice la función objetivo. Asignando a Z un valor arbitrario para que pueda ser graficada. Por ser Z una recta, para cualesquiera valores asignados a Z se obtendrán rectas paralelas ya que tienen igual pendiente.

Es evidente que se podrá seguir desplazando Z hasta que se alcance el último punto común entre ésta y el polígono. Dicho punto es A tal como se verifica en el gráfico que sigue.


Este es el punto de Ganancia Total Máxima o punto óptimo. Corresponde por lo tanto

a la solución óptima. La respuesta al problema es entonces x1 = 40 x2 = 40Y el valor de la función objetivo es Z = 100

Ejemplo 2Dos fábricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto grado. Se tiene contrato de venta para proveer: 16 Tn. de bajo grado, 5 Tn. de medio grado y 20 Tn. de alto grado los costos de operación son de S/.1000 /día para la primera fábrica y S/.2000 /día para la segunda.La fábrica Nº 1, produce 8 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de medio grado y 2 Tn. de alto grado en un día de operación. La fábrica Nº 2, produce 2 Tn. de bajo grado, 1 Tn. de grado medio y 7 Tn. de alto grado por día. ¿Cuántos días debe trabajar cada fábrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en la forma más económica?

ResoluciónSean x : Número de días de trabajo de la fábrica 1 y : Número de días de trabajo de la fábrica 2la función objetivo será (Min:) Z = 1 000x + 2000ySujeto a: 8x + 2y ≥ 16 x + y ≥ 5 2x + 7y ≥ 20 x ≥ 0 y ≥ 0


Gráficamente

La solución optima se encuentra en el punto A donde : X = 3, Y = 2, Z = 7000

Ejemplo 3Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias.El coste del transporte en soles por tonelada desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mínimo.

ResoluciónPodemos hacer el siguiente cuadro que nos ayude a obtener la función objetivo y las restricciones

Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A X Y 10 – (X + Y)

B 8 – X 8 – Y X + Y – 1


Del cuadro anterior se puede observar• Del almacén A se transporta X Tn. al mercado 1, Y Tn. al mercado 2, y lo restante al

mercado 3.• Del almacén B se transporta lo faltante a cada mercado.De los dos cuadros anteriores se puede obtener la función objetivo la cual viene dada. F(X; Y) = 10X + 15Y + 20(10 – (X + Y))+15(8 – X)+10(8 – Y) + 10(X + Y – 1), de donde efectuando se tiene F(X; Y) = 390 – 15X – 5YTeniendo en cuenta que las cantidades repartidas a cada mercado son positivas entonces se tiene: 10 – X + Y ≥ 0 8 – X ≥ 0 8 – Y ≥ 0 X+Y – 1 ≥ 0 X ≥ 0 Y ≥ 0Las cuales representan las restricciones del problemaGráficamente

El coste de transporte en cada en cada vértice es Vértices valor del objetivo F A = (0; 1) 385 B = (0; 8) 350 C = (2; 8) 320 D = (8; 2) 260 menor costo E = (8; 0) 270 F = (1; 0) 375

La solución óptima ocurre en el vértice D = (8; 2) lo que indica que se deben transportar del almacén A: 8 Tn al mercado 1, 2 Tn al mercado 2 y al mercado 3 nada. Así mismo del almacén B, al mercado 1 nada, al mercado 2, 6 Tn y al mercado 3 9 Tn. De esta manera el costo mínimo es de S/.260.


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Alfredo tiene $2200 para invertir durante los siguientes 5 años. Al principio de cada año puede invertir su dinero en depósitos a plazo fijo de 1 ó 2 años. El banco paga el 8% de interés en depósitos a plazo fijo de un año y el 17% (total) en depósitos a plazo fijo de 2 años: además al principio del segundo año, la compañía Western Unión ofrecerá certificados a tres años. Estos certificados tendrán una ganancia del 27%(total). Si Alfredo reinvierte su dinero disponible cada año formular un programa lineal que muestre como maximizar su ganancia total al final del quinto año.

2. Una refinería puede comprar dos tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es de $11 y $9, respectivamente, de cada tipo de petróleo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, keroseno, y combustible para reactores.

Gasolina Kerosene Combustible para reactores

Petróleo crudo ligero 0,4 0,2 0,35

Petróleo crudo pesado 0,32 0,4 0,2

Obsérvese que durante el proceso de refinamiento se pierden el 5% y el 8% del crudo, respectivamente. La refinería tiene un contrato para entregar 1 millón de barriles de gasolina, 400 000 barriles de keroseno, y 250 000 barriles de combustible para reactores. Encontrar el número de barriles de cada tipo de petróleo que satisfacen la demanda y que minimizan el costo total.

3. Una fabrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña la fabrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si se vende las bicicletas de paseo a 200 soles y las de montaña a 150 soles, ¿cuántas bicicletas de cada tipo se deben construir para que el beneficio sea máximo?

4. Maribel necesita mensualmente 60 unidades de carbohidratos, 45 unidades de proteínas y 30 unidades de grasa; de cada libra del alimento A, ella recibe 5 unidades de carbohidratos, 3 de proteínas y 4 de grasa. El alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos, 2 unidades de proteína y 1 de grasa por libra; si el alimento A cuesta 5 soles la libra y el alimento B cuesta 4 soles la libra. ¿Cuántas libras de cada alimento debe comprar Maribel cada mes para mantener un costo mínimo?


5. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 10 céntimos, por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 20 céntimos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.

Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

6. Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada.

Si siembra trigo gasta S/.300 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de S/.400 por hectárea.

El capital total disponible es de S/.25 000 Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:

Mes Consumo m3/Hcta Consumo m3/Hcta Disponibilidad

Trigo Cebada m3

Octubre 900 650 57,900

Noviembre 1,200 850 115,200

Una hectárea cultivada rinde 3 Tm de trigo o 2.5 Tm de cebada según sea el caso. Los precios vigentes por Tm son de S/.150 para el trigo y S/.200 para la cebada.

Utilizando el método gráfico, determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio.

7. Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a S/.30 m3 y el B a S/.40 m3?

8. En unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible?


9. La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan S/.5 100 y las de tipo rancho S/.5 000. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla:

Recurso por tipo de cada Disponibilidad de horasCampo Rancho

200 100 12 000 Carpintero

50 120 13 000 Albañil

• Formule el problema de programación lineal. • Encuentre la solución óptima.

10. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

R S T

P 1 3 1

Q 2 1 1

determine cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo.

sem9-1 estadistica y programacion.pdf

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