sejarah bilanganSejarah Bilangan dan PerkembangannyaSejarah Angka di DuniaHampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmumatematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut.Dalam berbagai literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kalimenemukan angka-angka atau bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya Keseimbangan Matematika dalam Alquran , catatan angka pertama kali ditemukan pada selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggaldi daerah Mesopotamia sekitar tahun 3.000 SM.Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yangdilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan,lengkungan setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad pertengahan.Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yangdigunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab. Dibandingkan dari seluruh angka yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan, angka nol pernah ditolak keberadaannya olehkalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim terkenal. Dia memperkenalkanangka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebihdikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa ke Eropa oleh LeonardoFibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas pada zamanRenaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di Indiadisebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yangsangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanyakeberadaan angka nol ini dapat menimbulkan kekacauan logika.”Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat didefinisikan. Bahkan,komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol,” jelas Sampayya.Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu dengan sangdivisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.Bilangan dan angkaDalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua hal yang sama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sedangkan angka adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili satu bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V. Lambang ”5” dan ”V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi, sebenarnya benda apakah yang biasa kita sebut dengan bilangan itu?Setiap bilangan, misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal. Misalnya,

tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan lain-lain.Bilangan asli merupakan salah satu konsepmatematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar juga bisa menggunakannya. Bilangan asli terdiridari bilangan bulat positif yang bukan nol (1, 2, 3, 4,….). Wajar bila jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk menghitung ini tidak menggunakan nol. Karena sebenarnya dalam kehidupan sehari-hari kita tidak membutuhkan bilangan nol. Seperti dalam menghitung apel pada gambar di bawah, kita tidak menghitungnyadengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ….) melainkan dengan menghitung dari satu. Atau saat ditanya berapa apel yang kamu punya, kita akan lebih cenderung menjawab tidak punya apel ketimbangmenjawab saya punya nol apel.

Perkembangan Angka dari berbagi tempatKemungkinan terbesar manusia mulai menghitung adalah setelah bahasa berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan simbol untuk satu. Untuk contoh pada angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1 sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai penanda 11 adalah 10 + 1). Atau pada bilangan romawi, bilangan dua puluh satu dilambangkan menjadi XXI (simbol angka sepuluh diulang kemudian dimulai lagi dari satu sebagai penanda 20 adalah 10 + 10 +1)

Angka Mesir (3000-1600 SM)Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10 diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah kemunculan pertamanya yaitu lebihdari 5000 tahun yang lalu.Para juru tulis Fir’aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukanlagi itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno meletakan angka yang besar di kanan, dan yang kecil di kiri. Jadi, untuk keperluan demonstrasi, bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000, koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1. dengan nilai-nilai itu, angka Mesir FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan angka 234.641. Dan angka-angka besar seperti ini berperan dalam dokumen yang mendeskripsikan harta-harta milikfiraun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti 100.000,

adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapiangka-angka yang lebih kecil dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.

Angka Babylonia (1750 SM)Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini benar- benar sulit digunakan, karena secara logika seharusnya membutuhkan 59 simbol yang berbeda (sama seperti sistem desimal berbasis 10 saat inimempunyai simbol yang berbeda sampai 9). Sebaliknya, angka di bawah 60 dilambangkan dengan kelompok-kelompok sepuluh.

Angka BabyloniaYang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan composisi aritmatika manapun.Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan 360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan akurat, sistem yang sama jugadigunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan yang lebih efektif. Mereka memperkenalkan konsep nilai tempat, yaitu angka yang sama bisa mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat tiga angka 2 yang mempunyai nilai yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka, dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan. Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x60 kuadrat + 2 x 60 + 2)Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka 0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai nilai numerik tersendiri.

Angka Suku MayaSuku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis 20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja, angka nol. Mereka menggunakan 3 set grafik notasi yang berbeda untuk mewakili angka:a) Dengan titik dan garis,b) Dengan figur antropomorfik, danc) dengan simbol.

Angka suku Maya

Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya

Angka Romawi 300 SMAngka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan angka X/ lambang

dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C, D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol Vdan X

Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan dua garis miring

Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & XUntuk menulis angka, orang Romawimenggunakan sistem penjumlahan : V + I = VI (6) atau C + X + X + I = CXXI (121), dan sistem pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (Xsebelum C = 90, I sebelum V = 4)

Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu, angka nol belum berfungsi penuh.Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan harus mempunyai simbol sendiri atau paling tidak angka-angka dasar dalam basis hitungan mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul pertama kali di India. Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.

Orang-orang India menggunakan lingkaran kecil saat tempat pada angka tidak mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya, diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang penuh sekitar tahun 800 Masehi, saat sistem ini juga diadaptasi di Baghdad. Orang arab menggunakan titik sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti yang sama dalam bahasa arab, sifr.Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero” dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-abad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.

Tokoh-tokoh matematika

Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)

Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano , Leonardo Bonacci, atau yang paling sering disebut dengan nama Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapaorang menyebutnya “ahli matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan”.Fibonacci dikenal oleh dunia karena menyebarkan sistem perhitungan Hindu-Arab di Eropa. Terutama melalui publikasi bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang pedagang kaya italia. Guglielmo memimpin sebuah pos perdagangan (beberapa catatan menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia,sebuah pelabuhan di sebelah timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya, disanalah dia belajar tentang sistem

perhitungan Hindu-Arab.Menyadari bahwa berhitung dengan angka Hindu-Arab lebih sederhana dan lebih efisien dibandingkan dengan angka Romawi, Fibonacci menjelajahi seluruh dunia Mediterania untuk belajar di bawah pengawasan matematikawan Arab terkemuka saat itu. Leonardo kembali dari perjalanannya sekitar 1200. Pada 1202, saat ia berusia 32 tahun, ia menuangkan semua yang ia pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa

Al-khawarizmi

Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad Ibn Musa al-Khawarizmi. Selain itu beliau dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di Barat sebagai Al-Khawarizmi, Al-Cowarizmi, Al-Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi.Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan Al-Khawarizmi hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M.Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung, sejarah Islam dan kimia.Beliau telah menciptakan pemakaian Sinus dan Tangen dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad.Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer yang masih digunakan sampai sekarang.Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang tertinggi telah diperoleh oleh orang-orang Timur….” Dalam hal ini Al-Khawarizmi. Tokoh lain,Wiedmann berkata….” Al-Khawarizmi mempunyai kepribadian yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains”. Beberapa cabang ilmu dalam Matematika yangdiperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri, aljabar, aritmatika dan lain-lain.

Pythagoras

Pythagoras of Samos adalah seorang filsuf YunaniIonia dan pendiri gerakan keagamaan disebut Pythagoreanism. Sebagian besar informasi tentang Pythagoras ditulis berabad-abad setelah ia hidup, dan sedikitnya informasi yang dapat dipercaya sehingga sangat sedikit yang diketahui tentang dia.Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya, mengunjungi

Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari pengetahuan. Sekitar 530 SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.Masyarakat mengambil peran aktif dalam politik Croton, tapi ini akhirnya menyebabkan kejatuhan mereka. Tempat pertemuan Pythagoras dibakar, dan Pythagoras terpaksa melarikan diri. Dia dikatakan telah mengakhiri hari-harinya di Metapontum. Pythagoras memberikan kontribusi berpengaruh terhadap filsafat dan ajarankeagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.

Perkembangan BilanganSejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapatmenyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaanlinear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kitaakan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampaipada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. BilanganAsli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secaraalamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluantertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yangdigunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilanganyang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaantersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmupengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalahbilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untukmengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan aslibersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asliakan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kitaakan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan aslihasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukananggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluasdengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagaibilangan Cacah.Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama. Desa adanya bilangan nol, penulisan bilangan –bilangan yang besarpun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India tetapi kemudian dipopulerkan oleh bangsa Arab pada era keemasan Islam.Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnyamerepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang

memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yangmemiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkankeadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yangketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akanmembawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilanganbulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangancacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinyadalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakanhasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentukbilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 – 6, tetapi dapat jugadihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan haltersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berartianggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilanganasli.Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentukstruktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifattertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dankomutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistembilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangansebelumnya.Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifattertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objekmenjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anakmendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untukmenyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/ndengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, makapersoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulatmembentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan(Field).Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitigasiku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi

miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentukm/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisisreal). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangantersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional danbilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapatdidefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistembilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapatmemenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masihdapat diperluas.

Share this:

Di Mesopotamia (sekarang wilayah Irak) pada tahun 2500 SM sistem desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentuk baji. Lalu di Babilonia menggunakan sistem desimal. Pada tahun 300 SM, Mesir kuno menggunakan sistem bilangan berbasis 10

Pada zaman Romawi kuno menggunakan penomoran tersendiri yang sangat berbeda dengan sistem penomeran pada jaman seperti sekarang. Angka Romawi hanya terdiri dari 7 nomor dengan simbol huruf tertentu di mana setiap huruf melambangkan arti angka tertentu, yaitu :

I / i untuk angka satu / 1V / v untuk angka lima / 5X / x untuk angka sepuluh / 10L / l untuk angka lima puluh / 50C / c untuk angka seratus / 100D / d untuk angka lima ratus / 500M / m untuk angka seribu / 1000

Beberapa kekurangan atau kelemahan sistem angka romawi, yakni :1.         Tidak ada angka nol / 02.         Terlalu panjang untuk menyebut bilangan tertentu3.         Terbatas untuk bilangan-bilangan kecil saja

Untuk menutupi kekurangan angka Romawi pada keterbatasan angka kecil, maka dibuat pengali seribu dengan simbol garis strip di atas simbol huruf (kecuali I).

V / v dengan garis di atas untuk angka lima ribu / 5000X / x dengan garis di atas untuk angka sepuluh ribu / 10000L / l dengan garis di atas untuk angka lima puluh ribu / 50000C / c dengan garis di atas untuk angka seratus ribu / 100000D / d dengan garis di atas untuk angka lima ratus ribu / 500000M / m dengan garis di atas untuk angka satu juta / 1000000

Metode / Teknik Penomoran Angka Romawi :1.         Simbol ditulis dari yang paling besar ke yang paling kecil2.         Semua simbol besar ke kecil dijumlah kecuali kecil ke besar berarti ada pengurangan.

Contoh penulisan angka Romawi kuno :1. 45 = XLV2. 79 = LXXIX3. 99 = IC4. 110 = CX5. 999 = CMXCIX6. 1666 = MDCLXVI7. 2008 = MMVIII

Ketika awal lambang bilangan dalam matematika menggunakan huruf-huruf seperti yang pernah diajarkan oleh bangsa Romawi tergolong rumit, Ali bin Abi Thalib dari Arab (658-695 M) mempopulerkan lambang bilangan dalam huruf Arab dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0. Ali juga yang menyederhanakan penulisan lambang bilangan Romawi di mana sepuluh dengan “X”, seratus dengan “C”, seribu dengan “M” dan seterusnya dipermudah dengan menambahkan angka nol di belakang angka puluhan, ribuan dan satuan dengan bilangan 10, 100, 1000 dan seterusnya, di mana angka “0″ dalam bilangan Arab diwakili dengan titik.

Jadi angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 adalah angka Arab yang disebarkan ke penjuru dunia pada saat peradaban Islam di abad pertengahan sedang jaya dengan munculnya ilmuwan-ilmuwan muslim yang pandai matematika dan ilmu-ilmu eksakta lainnya.

Buku Al Khawarizmi pada tahun 830 M, al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala (Arab والمقابلة الجبر حساب في المختصر atau: “Buku Rangkuman untuk Kalkulasi (الكتابdengan Melengkapakan dan Menyeimbangkan”, buku pertama beliau yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12. Pada buku ini, Kalkulasi dengan angka Hindu, memprinsipkan kemampuan difusi angka India ke dalam perangkaan Timur Tengah dan kemudian Eropa. Buku ini telah diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, Algoritmi de numero Indorum, menunjukkan kata algoritmi menjadi bahasa Latin.

Kemudian, Leonardo da Pisa yang terkenal dengan nama Fibonacci memperkenalkan sistem angka Arab ini ke Eropa (Italia) sehingga menggantikan sistem angka Romawi yang rumit. Setelah ditemukannya angka Arab, ilmuwan-ilmuwan eksakta di dunia ini mampu mengembangkan ilmu pengetahuan lebih jauh lagi sampai sekarang.

Sejarah BilanganSejarah Teori Bilangan

A.Pengertian Bilangan

 

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia:

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia:

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno:

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:

Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini.

 

 

 

 

B. Pengertian Teori Bilangan

 

Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini. Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

1.Perkembangan Teori Bilangan Pada Zaman Batu

Berhitung, merupakan salah satu kebudayaan kuno, bahkan paling kuno, yaitu sekuno zaman batu tua atau paleolitikum. Eh, apakah zaman batu tua itu? Menurut ahli sejarah, manusia yang hidup di zaman itu menggantungkan sepenuhnya kehidupan mereka terhadap alam dan berpindah-pindah dari satu tempat ke tempat lain.

Awalnya, berhitung dipakai untuk menghitung benda-benda, kemudian berkembang dengan menggunakan jari tangan sebagai alat berhitung. Namun, waktu itu, mereka sekadar membedakan “satu, dua dan banyak”

Seiring pergantian waktu, datanglah zaman batu muda atau neolitikum, kira-kira 10.000 tahun yang lalu. Zaman itu ditandai dengan adanya kegiatan untuk mengolah alam sehingga manusia di zaman itu hidup menetap. Di zaman itu, kemampuan berhitung mulai berkembang ditandai dengan pengetahuan berhitung berupa pengurangan dan penjumlahan kemudian ke perkalian dan pembagian. Namun, kemajuan berhitungnya terbatas pada hitungan bilangan bulat saja.

Beberapa ratus tahun lalu, bangsa Inca (Peru) dan Maya (Guatemala) merupakan bangsa yang telah memiliki Kebudayaan tinggi. Hal itu terlihat pada kemampuan mereka berhitung dalam jumlah yang cukup besar.

Bangsa Inca mencatat bilangan tersebut pada kulpu, yaitu untaian tali yang bersimpul-simpul. Susunan simpul itulah yang menunjukkan bilangan. Keren juga ya tekniknya!!! Kepandaian berhitung juga diteruskan pada kebudayaan Mesopotamia sekitar 4.000 tahun yang lalu. Mereka menggunakan bilangan dalam enam puluh atau dikenal sebagai sesagesimal. Besar kemungkinan bilangan enam puluh itu berasal dari kelipatan bilangan dua belas, sedangkan bilangan dua belas itu sendiri berasal dari jumlah bulan dalam setahun.

 

 

 

a.Teori Bilangan Pada suku Babilonia

 

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan

Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal

b. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

 

 

c. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu

sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

2. Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Modern)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya

3. Tokoh-Tokoh Teori Bilangan

a. Pythagoras (582-496 SM)Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui

teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

 

b. Jamshid Al-Kashi (1380 M)Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

c. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.d. Pierre de FermatFermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .

4. Kapankah angka nol ditemukan?Zero = 0 = Empty = Kosong (Nol) Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol) berasal dari bahasa Arab ‘sifr’, suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit “shûnya” yang bermakna

“kosong”. Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa: shûnya (Sanskrit) -> (Ancient Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) -> (Rome/Byzantium) – sifr (Arab) -> zero (English) -> nol; kosong (Indonesia) Wikipedia The word “zero” comes ultimately from the Arabic “sifr”, or “empty,” a literal translation of the Sanskrit “shûnya”. With its new use for the concept of zero, zephyr came to mean a light breeze – “an almost nothing” (Ifrah 2000; see References). The word zephyr survives with this meaning in English today. The Italian mathematician Fibonacci (c.1170-1250), who grew up in Arab North Africa and is credited with introducing the Arabic decimal system to Europe. Around the same time, the Arab mathematician al-Khwarizmi described the “Hindu number” system with positional notation and a zero symbol in his book Kitab al-jabr wa’l muqabalah. Nol asalnya dari India “shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji miring, //, untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan.Perhatikan contoh ini :0=0 ( nol sama dengan nol, benar)0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)(0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung)Walaupun demikian sebenarnya nol itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol tulisan satu juta dalam bilangan romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas tidak sampai untuk hanya memberikan symbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika nol tidak ada. Banyak kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah perangkat paling penting dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan filosofis yang aneh pada angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan.Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan setelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.5. Macam-macam bilanganBilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.Misal : ….-2,-1,0,1,2….Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.

Misal : 1,2,3….Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.Misal : 0,1,2,3,….Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.Misal : 2,3,5,7,11,13,…..(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.Misal ; 4,6,8,9,10,12,….Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat).Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasionalMisal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log2 dan sebagainya.Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1Misal: √(-4)=⋯?√(-4)=√(4×(-1) )= √4×√(-1)= 2 × i= 2iJadi, √(-4)=2i.Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.Misal; π√(-1)= πiLog √(-1)=logiC. Aplikasi Teori Bilangan

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju

perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.

Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat memiliki dua faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.

Contoh Bilangan Prima :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …}

Faktorisasi Prima adalah pembentukan suatu bilangan menjadi bentuk perkalian dimana faktornya merupakan bilangan prima.

Cara mencari faktorisasi prima

1. Menggunakan Pohon Faktor

a. 12 Faktorisasi Prima dari 12 = 2 X 2 X 3

= 22 X 3

2 6

2 3

b. 30 Faktorisasi Prima dari 30 = 2 X 3 X 5

2 15

3 5

c. 84 Faktorisasi Prima dari 84 = 2 X 2 X 3 X 7

= 22 X 3 X 7

2 42

2 21

3 7

2. Menggunakan Tabel

a. 24

2 122 62 33 1

Faktorisasi Prima dari 24 = 2 X 2 X 2 X 3

= 23 X 3

b. 40

2 202 102 55 1

Faktorisasi Prima dari 40 = 2 X 2 X 2 X 5

= 23 X 5

c. 150

2 753 255 55 1

Faktorisasi Prima dari 150 = 2 X 3 X 5 X 5

= 2 X 3 X 52

Latihan

1. Carilah faktorisasi prima dengan dari bilangan-bilangan sebagai berikut :a. 36b. 54c. 68d. 72e. 80f. 99g. 100h. 250i. 300j. 500

FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

FPB merupakan faktor paling besar dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari FPB

1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

Contoh :

a. Tentukan FPB dari bilangan 18 dan 24Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = { 1, 2, 3, 6}

FPB dari 18 dan 24 = 6

b. Tentukan FPB dari bilangan 75 dan 120Faktor 75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}

Faktor 120 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

Faktor persekutuan dari 75 dan 120 = {1, 3, 4, 15}

FPB dari 75 dan 120 = 15

c. Tentukan FPB dari bilangan 36, 48 dan 72Faktor 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Faktor 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16,24, 48}

Faktor 72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}

Faktor persekutuan dari 36 dan 48 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

FPB dari 36 dan 48 = 12

2. Menggunakan Pohon Faktor

Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya. Tulis faktorisasi primanya. Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima. Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambillah bilangan prima

dengan pangkat yang terendah.

Contoh :

a. Tentukan FPB dari bilangan 20 dan 3020 30

2 10 2 15

2 5 3 5

22 X 5 2 X 3 X 5

FPB = 2 X 5

= 10

2 dan 5 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

Pangkat terendah dari 2 adalah 1. Pangkat terendah dari 5 adalah 1. Maka FPB = 2 X 5 = 10

b. Tentukan FPB dari bilangan 48 dan 6048 60

2 24 2 30

2 12 2 15

2 6 3 5

2 3 22 X 3 X 5

24 X 3

FPB = 22 X 3

= 12

2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima kedua pohon faktor.

Pangkat terendah dari 2 adalah 2. Pangkat terendah dari 3 adalah 1. Maka FPB = 22 X 3 = 12

c. Tentukan FPB dari bilangan 18, 30, dan 3618 30 36

2 9 2 15 2 18

3 3 3 5 2 9

2 X 32 2 X 3 X 5 3 3

22 X 32

FPB = 2 X 3

= 6

2 dan 3 adalah bilangan prima yang sama-sama terdapat faktorisasi prima ketiga pohon faktor.

Pangkat terendah dari 2 adalah 1. Pangkat terendah dari 3 adalah 1. Maka FPB = 2 X 3 = 6

3. Menggunakan Tabel

Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya. Beri tanda faktor prima yang sama.

Contoh

a. Tentukan FPB dari bilangan 21 dan 35

21 353 7 55 7 17 1 1

FPB = 3

b. Tentukan FPB dari bilangan 36 dan 54c.

36 542 18 272 9 273 3 93 1 33 1 1

FPB = 2 X 3 X 3

= 2 X 32 = 18

d. Tentukan FPB dari bilangan 75, 105 dan 120

75 105 1202 75 105 602 75 105 302 75 105 153 25 35 55 5 7 1

5 1 7 17 1 1 1

FPB = 3 X 5 = 15

KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

KPK merupakan kelipatan paling kecil dari gabungan beberapa bilangan

Cara mencari KPK

1. Menggunakan Himpunan Kelipatan Persekutuan

Contoh :

a. Tentukan KPK dari bilangan 8 dan 12

Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

Kelipatan 12 = {21, 24, 36, 48, 60, 72, ….}

Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 = { 24, 48, …}

KPK dari 8 dan 12 = 24

b. Tentukan KPK dari bilangan 15 dan 20

Kelipatan 15 = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …}

Kelipatan 20 = {20, 40, 60, 80, 100,120, …}

Kelipatan persekutuan dari 15 dan 20 = {60, 120, ….}

KPK dari 15 dan 20 = 60

c. Tentukan KPK dari bilangan 6, 8 dan 10

Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, …}

Kelipatan 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, …}

Kelipatan 12 = {12, 24, 36, 48, 60, …}

Kelipatan persekutuan dari 6, 8 dan 12 = {24, 48, …}

KPK dari 6, 8 dan 12 = 24

2. Menggunakan Pohon Faktor

Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari KPK-nya. Tulis faktorisasi primanya. Kalikan semua faktorisasi prima Jika satu bilangan terdapat di lebih dari satu pohon, ambillah bilangan dengan

pangkat yang tertinggi.

Contoh :

a. Tentukan KPK dari bilangan 10 dan 1510 15

2 5 3 5

2 X 5 3 X 5

FPB = 2 X 3 X 5

= 30

2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima. Pangkat tertinggi 5 adalah 1 Maka KPK = 2 X 3 X 5 = 30

b. Tentukan KPK dari bilangan 12 dan 3012 30

2 6 2 15

2 3 3 5

22 X 3 2 X 3 X 5

KPK = 22 X 3 X 5

= 60

2, 3, dan 5 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima. Pangkat tertinggi 2 adalah 2. Pangkat tertinggi 3 adalah 1. Maka KPK = 22 X 3 X 5 = 60

c. Tentukan FPB dari bilangan 8, 24, dan 36

8 24 36

2 4 2 12 2 18

2 2 2 6 2 9

23 2 3 3 3

23 X 3 22 X 32

KPK = 23 X 32

= 72

2 dan 3 adalah faktor prima yang terdapat pada faktorisasi prima. Pangkat tertinggi 2 adalah 3. Pangkat tertinggi 3 adalah 2. Maka KPK = 23 X 32 = 72

3. Menggunakan Tabel

Buatlah cara tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari KPK-nya. Kalikan semua faktor prima.

Contoh

a. Tentukan KPK dari bilangan 16 dan 40

16 402 8 202 4 102 2 52 1 55 1 1

KPK = 2 X 2 X 2 X 2 X 5

= 24 X 5 = 80

b. Tentukan KPK dari bilangan 36 dan 64

36 542 18 272 9 273 3 93 1 33 1 1

KPK = 2 X 2 X 3 X 3 X 3

= 22 X 33 = 108

b. Tentukan KPK dari bilangan 10, 15 dan 25

10 15 252 5 15 253 5 5 255 1 1 55 1 1 1

KPK = 2 X 3 X 5 X 5

= 2 X 3 X 52 = 150

saran : dalam mencari FPB dan KPK lebih mudah menggunakan cara tabel

Contoh Soal FPB dan KPK

1. Doni mempunyai 20 butir kelereng merah, 28 butir kelereng putih, dan 36 butir kelereng biru. Kelereng tersebut dimasukkan ke dalam kantong dengan isi sama banyak. Berapa kantong yang diperlukan ? Berapa butir kelereng merah, kelereng putih, dan kelereng biru dalam satu kantong ?

Penyelesaian

FPB dari 20, 28, dan 36

20 28 362 10 14 182 5 7 93 5 7 33 5 7 15 1 7 17 1 1 1

FPB dari 20, 28, dan 36 = 2 X 2 = 4

Jadi jumlah kantong yang diperlukan = 4 kantong

Isi tiap kantong :

Kelereng merah = 20 : 4 = 5 butir Kelereng putih = 28 : 4 = 7 butir Kelereng biru = 36 : 4 = 9 butir

2. Pak Andi mendapat giliran ronda setiap 4 hari. Pak Karim mendapat giliran ronda setiap 6 hari. Pak Tedi mendapat giliran ronda setiap 8 hari. Setiap berapa hari mereka ronda bersama-sama ? Jika mereka ronda bersama-sama tanggal 1 Januari 2008, tanggal berapakah mereka ronda bersama-sama lagi ?

Penyelesaian

KPK dari 4, 6 dan 8

4 6 82 2 3 42 1 3 2

2 1 3 13 1 1 1

KPK dari 4, 6, dan 8 = 2 X 2 X 2 X 3

= 23 X 3

= 8 X 3

= 24

Jadi mereka ronda bersama-sama setiap 24 hari.

Jika tanggal 1 Januari mereka ronda bersama-sama, maka tanggal 25 Januari mereka ronda bersama-sama lagi.

SOAL LATIHAN FPB DAN KPK

Carilah FPB dan KPK dari bilangan-bilangan berikut :

1. 21 dan 272. 18 dan 483. 10 dan 124. 30 dan 425. 60 dan 756. 8, 16, dan 247. 36, 54, dan 608. 25, 35, dan 409. 120, 150, dan 18010. 124, 160, dan 200

1. Ibu membeli 30 tangkai bunga mawar putih, 40 tangkai bunga mawar merah, dan 75 tangkai bunga mawar kuning. Ketiga bunga tersebut akan disimpan didalam vas dengan jumlah bunga yang sama. Berapa buah vas yang diperlukan ? Berapa banyak bunga mawar putih, mawar merah dan mawar kuning dalam setiap vas ?

2. Ardi les bahasa Inggris setiap 3 hari. Lukman les bahasa Inggris setiap 4 hari. Kemal les bahasa Inggris setiap 6 hari. Jika mereka les bersama-sama pada tanggal 18 Juni, tanggal berapa mereka les bersama-sama lagi ?

Mata Pelajaran  : MatematikaKelas                 :  V ( lima )Semester           :  1 ( satu )

Standar Kompetensi :1.  Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:     1.2 Menggunakan Faktor Prima untuk menentukan FPB dan KPK

Tujuan Pembelajaran :Setelah menyelesaikan pembelajaran peserta didik dapat :

*       Melakukan dan menggunakan 0perasi hitung bilangan bulat*       Menentukan KPK dari dua bilangan *     Menentukan FPB dari dua bilangan

A.  Menentukan FPB dari dua bilangan

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan telah kalian pelajari di Kelas IV. Kalian juga telah mempelajari cara menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Sekarang kita akan kembali belajar tentang FPB. Marilah kita terapkan untuk menyelesaikan masalah berikut!

Pak Yudi memiliki 12 apel dan 18 jeruk. Apel dan jeruk tersebut akan dimasukkan ke dalam kantong plastik. Berapa kantong plastik yang dibutuhkan, jika setiap kantong berisi apel dan jeruk dengan jumlah yang sama? Untuk menjawab soal tersebut, kamu harus mencari FPB dari 12 dan 18.

Langkah-langkah pengerjaan FPB.1. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.2. Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.3. Mengalikan hanya faktor-faktor yang sama.

Perhatikan diagram berikut ini.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3   = 22 × 3.Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3   = 2 × 32.Dari hasil faktorisasi proma di atas, kalian dapat melihat bahwa ada 2 faktor yang dimiliki 12 dan 18, yakni 2 dan 3, untuk menentukan FPB, hanya dua faktor ini yang kita kalikan, maka :

FPB dari 12 dan 18 adalah 2 ×  3  = 6.

Jadi, kantong plastik yang diperlukan adalah 6 buah. Setiap kantong plastikmemuat 2 apel dan 3 jeruk, seperti terlihat pada gambar berikut.

Coba kita ulangi dengan contoh yang lain!Sekarang mari kita hitung FPB dari 36 dan 63, kita mulai dengan menentukan faktorisasi primanya dulu!

Faktorisasi prima dari 36 adalah = 2 x 2 x 3 x 3 Faktorisasi prima dari 63 adalah = 7 x 3 x  3 Faktor yang sama adalah 3 dan 3, maka FPB 36 dan 63 adalah = 3 x 3 = 9

Menentukan FPB dari Tiga BilanganSekarang, kalian akan mempelajari cara menentukan FPB dari tiga bilangan.Perhatikan contoh berikut.Contoh 1Tentukan FPB dari 12, 24, dan 42.Jawab:

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 Faktorisasi prima dari 24 adalah 24 = 2 × 2 × 2 × 3 Faktorisasi prima dari 42 adalah 42 = 2 × 3 × 7.Faktor yang sama adalah 2 dan 3. Jadi, FPB dari 12, 24, 24, dan adalah 2 × 3 = 6.

Contoh 2Tentukan FPB dari 15, 25, dan 60.

Jawab:

Faktorisasi prima dari 15 adalah 15 = 3 × 5.Faktorisasi prima dari 25 adalah 25 = 5 × 5.Faktorisasi prima dari 60 adalah 60 = 2 × 2 ×3 × 5 Karena faktor yang sama hanya 5 , FPB dari 15, 25, dan 60 adalah 5.

Coba simak video berikut ini supaya kamu lebih memahami materi ini!

yo Berlatih 5

B. Ayo, kerjakanlah soal-soal cerita berikut di buku latihanmu.1. Ibu memiliki 28 kue keju dan 40 kue donat. Kue-kue tersebut akan dimasukkan

    ke dalam kotak-kotak. Jika setiap kotak memuat jumlah kue keju dan kue donat    dalam jumlah yang sama, berapa banyak kotak yang diperlukan ?2. Ibu Siska akan membagikan 27 kemeja dan 45 celana pendek kepada anakanak    yang membutuhkan. Setiap anak memperoleh jumlah kemeja dan celana    pendek dalam jumlah yang sama.a. Berapa banyak anak yang memperoleh kemeja dan celana pendek tersebut?b. Berapa banyak kemeja dan celana pendek yang diperoleh setiap anak?3. Seorang pedagang memiliki 42 permen rasa cokelat, 48 permen rasa jeruk, dan    60 permen rasa mangga. Ia menginginkan setiap stoples memuat ketiga jenis    permen tersebut dalam jumlah yang sama.a. Berapa banyak stoples yang harus disediakan?b. Berapa banyak permen rasa cokelat, rasa jeruk, dan rasa mangga dalam    setiap stoplesnya?

 

2. Menentukan KPK

Cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari dua bilangan dengan menggunakan faktorisasi prima telah kamu pelajari di Kelas V. Ingatlah kembali materi tentang KPK tersebut karena kamu akan mempelajarinya lebih dalam di bab ini.

Pak Teguh mendapat tugas piket di sekolah setiap 12 hari sekali. Pak Didi mendapat tugas piket setiap 18 hari sekali. Tanggal 1 Juli 2007 mereka mendapat tugas piket secara bersamaan. Kapan mereka akan mendapat tugas piket secara bersamaan untuk

yang kedua?Untuk menjawab soal tersebut, kamu harus mencari KPK dari 12 dan 18.

Langkah-langkah menentukan KPK.1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan tersebut.2. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari bilangan-bilangan tersebut.3. Jika ada faktor yang sama, masing-masing faktor yang sama, diwakili salah satu saja.4. Kalikan semua faktor yang tidak sama dan faktor yang sama

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3Faktor yang sama adalah 2 dan 3, karena masing-masing faktor yang sama diwakili salah satu saja, maka KPK diperoleh dari hasil perkalian : 

KPK 12 dan 18 adalah  = 2 x 2 x 3 x 3 = 36

Jadi, Pak Teguh dan Pak Didi akan mendapat tugas piket secara bersamaansetiap 36 hari sekali. Coba kamu tentukan tanggal berapakah itu?Kalian akan mempelajari cara mencari KPK dari tiga bilangan. Caramenentukan KPK dari tiga bilangan sama seperti dalam mencari KPK dari duabilangan. Perhatikan contoh berikut.

Menentukan KPK dari Tiga Bilangan

ContohTentukanlah KPK dari 8, 16, dan 40.

Jawab:

Faktorisasi prima dari 8 = 2 × 2 × 2 

Faktorisasi prima dari 16 = 2 × 2 × 2 × 2 Faktorisasi prima dari 40 = 2 × 2 × 2 × 5 Faktor yang sama adalah : 2, 2, dan 2 (masing-masing hanya diwakili salah satu)KPK dari 8, 16, dan 40 adalah 2 x 2 × 2 x 2 x 5 = 80.