Sejarah Bilangan dalam Matematika

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-

sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai

Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang

sungai Huang Ho dan Yang Tze.

Gambar Ilustrasi Taman Gantung Babilonia

Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-

rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk

itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.

Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim

sepanjang aliran sungai tersebut.

Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan

musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki.

Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan

pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam

perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan

kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat

penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan

selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam

teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek

kehidupan lainnya.

Bilangan Asli

Ribuan tahun yang lalu manusia hanya mengenal 9 angka dalam kehidupannya, yaitu angka 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kesembilan angka ini dinamakan dengan bilangan asli. Hal ini karena

secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda lalu kemudian untuk keperluan tertentu

mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-

lain.

1 2 3

4 5 6

7 8 9 Gambar Susunan Awal Bilangan Asli

Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-

benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak

menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan

Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu

pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan

yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N. Anggota bilangan

asli adalah N={1,2,3,}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk

mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan,

perkalian, dan pembagian.

Angka Nol

Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya,

penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan

pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan

asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 5 = 0. Jelas bahwa bukan anggota

bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0

sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan cacah.

Angka Nol

Bilangan Cacah

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol,

menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki

notasi yang sama. Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun

menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian

dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Bilangan Bulat

Perkembangan selanjutnya, bilangan cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya

merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang,

ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan

pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan

bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah

keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi

menjadi bilangan bulat.

.. -2 -1 0 1 2 .. Bilangan Bulat

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan

operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka

hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan

cacah, tetapi 4 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan

bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 6. Dengan demikian, karena 4 6 merupakan

kebalikan dari , maka 4 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang

kemudian membentuk bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah Z, dan anggota

bilangan bulat adalah Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3,}.

Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 7, 10

12, 20 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili

suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2

0, 3 1, 4 2, }. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 3, 2 5, 7 10, }. Hal ini

berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur

tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi

penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini

berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas,

memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat,

tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan

bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.

Bilangan Rasional

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam

kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah

dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel

kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel

(masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak,

maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk

menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai dengan m dan n bilangan bulat dan

n0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat

diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi

penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).

Bilangan Rasional

Bilangan Irasional

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku

dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa)

adalah . Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat

dan n0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar

bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan

rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real

membentuk lapangan terurut dan lengkap.

Gambar Contoh Bilangan Irasional

Bilangan Kompleks

Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan

kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat .

Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1.

Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan

bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan dan

$latex i= \sqrt{-1}} $.

Peta Konsep Bilangan