Assalamualaikum Wr Wb

SEJARAH MATEMATIKA(AAKC148)

Presentasi

MAKALAH

“ SISTEM PENULISAN BILANGAN”

Dosen Pembimbing :Drs. Hidayah Ansori, M.Si.

BANJARMASIN2011

Olehkelompok 1 :

Azella Dara D.S. A1C109022

Basri A1C109026

Eka Munawarti A1C109049

Fenny Pawitra U. A1C109050

Rudi Hartono A1C109039

Tries Morina T. A1C109038

BAB IPENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Penulis kira hal seperti ini (sejarah) adalah khazanah

pengetahuan yang harus diketahui oleh para

matematikawan. Matematikawan yang baik adalah

orang yang berpacu pada inovasi bahkan invensi

matematika masa depan namun tidak melupakan

sejarah yaitu hal yang mendasari dari apa , mana dan

bagaimana matematika itu tumbuh dan berkembang.

1.2. Rumusan Masalah

Apa yang dimaksud dengan sistem penulisan bilangan ?

Bagaimana cara penulisan sistem bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana?

Bagaimana cara penulisan sistem bilangan dengan sistem perkalian ?

Bagaimana cara penulisan sistem bilangan dengan sistem pencirian ?

Bagaimana cara penulisan sistem bilangan dengan sistem posisi ?

Bagaimana cara penulisan sistem bilangan dengan menggunakan basis bilangan yang lain?

1.3. Tujuan

Mengetahui dan memahami sistem penulisan bilangan.

Mengetahui cara penulisan sistem bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana.

Mengetahui cara penulisan sistem bilangan dengan sistem perkalian.

Mengetahui cara penulisan sistem bilangan dengan sistem pencirian.

Mengetahui cara penulisan sistem bilangan dengan sistem posisi.

Mengetahui cara penulisan sistem bilangan dengan menggunakan basisi bilangan yang lain.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

1. SISTEM PENGELOMPOKAN

SEDERHANA

3. SISTEM PENCIRIAN

2. SISTEM PERKALIAN

4. SISTEM POSISI

5. BASIS BILANGAN YANG LAIN

SISTEM PENULISAN BILANGAN

Sejak dahulu penulisan bilangan

menggunakan bilangan basis ( dasar ),

misalnya bilangan yang menggunakan basis

bilangan b, maka simbol bilangan yang

digunakan 1,2,3, . . . ,b. Untuk penulisan

bilangan yang lebih dari b penulisannya

dengan mengkombinasikan simbol — simbol

yang digunakan.

Penulisan bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana menggunakan basis bilangan, misalnya basis b, maka simbol yang digunakan : 1, b, b2, b3 dan seterusnya. Nilai suatu bilangan merupakan penjumlahan nilai simbol - simbol yang digunakan untuk bilangan tersebut.

1. SISTEM PENGELOMPOKAN SEDERHANA

Ada beberapa bilangan yang menggunakan sistem pengelompokan sederhana, yakni :

1.1. Bilangan Hieroglyphic1.2. Bilangan Babylonia1.3. Bilangan Attika1.4. Bilangan Romawi

1.1. Bilangan Hieroglyphic

Bilangan ini digunakan oleh bangsa Mesir Kuno dengan basis 10, dan simbol yang digunakan adalah :

Google.com

Nilai 1 10 102 103 104 105 105 , atau

lebih

Hierog

lyphic Atau

Ketera

ngan

garis tungga

l

tumit simpul tali

teratai Telunjuk

Berudu /katak

Lelaki mengangkat kedua tangan

nya

Wikipedia.org

Ilustrasi :

13015 = 1.104 + 3.103 + 1.10 + 5=

1.2. Bilangan Babylonia

Google.com

Bilangan Babylonia ini digunakan sekitar tahun 2000 sampai tahun 200 sebelum masehi yang ditulis di batu sebagai medianya berupa tablet - tablet dan papirus. Bilangan ini juga menggunakan basis 10 dengan simbol - simbol yang digunakan adalah :

Simbol : Nilai : 1 10

Google.com

Wikipedia.org

Simbol ini digunakan untuk pengurangan

Ilustrasi : 25 = 2.10 + 5 =

38 = 40 – 2 =

1.3. Bilangan AttikaBilangan Attika ini digunakan oleh bangsa Yunani sekitar abad ke - 3 SM dengan basis 10. Simbol - simbol yang mereka gunakan adalah :

Simbol : Ι П Δ Η Χ Μ

Nilai : 1 5 10 102 103 104

 

Kombinasi simbol 5 dengan simbol lain, maka nilai bilangan tersebut limakali bilangan yang dikombinasikan, misalnya :

 

50 :

5.102 :

5.103 :

Ilustrasi : 2857 = 2.103 + 5.102 + 3.102 + 5.10 + 7

= Χ Χ ΗΗΗ П Ι Ι

1.4. Bilangan Romawi

Google.com

Bilangan lain yang menggunakan sistem pengelompokan sederhana dengan basis 10 adalah bilangan Romawi. Simbol — simbol yang digunakan adalah :

Simbol: I V X C D M LNilai: 1 5 10 100 500 1000 50 Apabila simbol bilangan diberi garis di atasnya, maka nilai bilangannya menjadi seribu kali. Pada mulanya bilangan Romawi ditulis seperti bilangan lainnya misalnya :1944 = 1.103 + 9.102 + 4.10 + 4

= MDCCCCXXXXIIII

Tetapi dalam perkembangannya menggunakan sistem pengurangan,apabila simbol bilangan kecil ditulis mendahului simbol bilangan yang lebih besar, maka nilai bilangan tersebut sama dengan bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil, misalnya :

I V = 4 ; CD = 400 dan CM = 900 Sehingga : 1944 = M C M X L I V

2. SISTEM PERKALIANBilangan yang sistem penulisannya dengan sistem perkalian juga

menggunakan sistem basis. Jika basisnya bilangan b, maka

simbol yang digunakan adalah 1, 2, 3, . . . , ( b - 1 ) untuk

kelompok selanjutnya adalah b, b2, b3 dan seterusnya. Misalnya

basis sepuluh, maka simbol yang digunakan adalah I, 2 , 3, . . . , 9

sedangkan bilangan 10, 102 dan 103 disimbolkan dengan a, b,

dan c, maka :

5625 = 5.103 + 6.102 + 2.10 + 5= 5c6b2a5

2.1. Bilangan Cina-Jepang Tradisional

Simbol Nilai

Simbol Nilai Simbol Nilai

〇 0 七 7萬 (T) or

万 (S)104

一 1 八 8億 (T) or

亿 (S)

108

二 2 九 9

三 3 十 10

四 4 百 100

五 5 千 1.000

六 6Wikipedia.org

5625= 5 五103千6 六102百2 二10 十5 五

3. SISTEM PENCIRIAN

Bilangan yang penulisannya dengan sistem pencirian juga menggunakan basis bilangan. Jika basis bilangannya b, maka simbol-simbol bilangan yang digunakan adalah : 1, 2, 3, . . . , ( b-1 ). :b, 2b, 3b, . . . , ( b-1 )b :b2 , 2b3, 3b2 , . . . (b-1) b2 dan seterusnya.

Bilangan yang menggunakan sistem ini adalah bilangan Yunani

Alphabet/Ionian dengan basis 10. Bilangan ini digunakan oleh

bangsa Yunani sekitar abad 4 SM ( 450 SM ). Terdapat 27

abjad Yunani Alphabet yang digunakan sebagai lambang

bilangan, yakni :

YUNANI

1 α 10 ι 100 ρ

2 β 20 κ 200 σ

3 γ 30 λ 300 τ

4 δ 40 μ 400 υ

5 ε 50 ν 500 φ

6 ς/ϝ 60 ξ 600 χ

7 ζ 70 ο 700 ψ

8 η 80 π 800 ω

9 θ 90 ϟ 900 Ϡ

Wikipedia.org

Ilustrasi :

12 =10+2= ι β

21 =20+1= κ α

247 =200+40+7= σ μ ζ

4. SISTEM POSISIBilangan dengan sistem posisi atau dasar tempat juga menggunakan basis bilangan. Jika bilangan berbasis b, maka simbol-simbol yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, . . . , ( b -1 ).Suatu bilangan N dengan basis b dapat dinyatakan dengan :N = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 + . . . + a2 b2 + a1 b + a0

Dimana : 0 ≤ ai < b ; i = 0, 1, 2, 3, . . , n sehingga bilangan N ditulis dengan urutan simbol :

an an-1 an-2 . . . a2 a1 a0

Bilangan yang menggunakan sistem posisi adalah :

4.1. Bilangan Babylonia4.2. Bilangan Mayan4.3. Bilangan Hindu-Arab

4.1. Bilangan Babylonia

Ilustrasi:524551 = 2.603 + 25.602 + 42.60 + 31

=

4.2. Bilangan Mayan

Bilangan Mayan ini data aslinya tidak diketahui.

Bilangan ini ditemukan oleh tim ekspedisi bangsa

Spanyol pada permulaan abad ke-16. Bilangan Mayan

menggunakan basis dua puluh, untuk kelompok

pertama, kelompok kedua (18) (20) sebagai pengganti

202, kelompok ketiga (18) (202 ) sebagai pengganti 203.

Simbol-simbol Bilangan Mayan adalah :

Google.com

Google.com

Wikipedia.org Google.com

43487 = 6 (18) (202) + 0 (18) (20) + 14 (20) + 7

=

Ilustrasi :

4.3. Bilangan Hindu-Arab1 2 3 4 5 6 7 8 9

Angka Arab adalah sebutan untuk sepuluh buah digit (yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Angka-angka adalah keturunan dari angka India dan sistem angka Hindu-Arab . Angka India kemudian diadopsi oleh matematikawan Persia di India, dan diteruskan lebih lanjut kepada orang-orang Arab di sebelah barat. Bentuk angka-angka itu dimodifikasi di saat mereka diteruskan, dan mencapai bentuk Eropanya (bentuk yang sekarang) pada saat mencapai Afrika Utara. Dari sana, penggunaan mereka menyebar ke Eropa pada Abad Pertengahan. Penggunaan Angka Arab tersebar ke seluruh dunia melalui perdagangan, buku dan kolonialisme Eropa. Saat ini, Angka Arab adalah simbol representasi angka yang paling umum digunakan di dunia.

Sesuai dengan sejarah mereka, angka-angka (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

juga dikenal sebagai Angka Hindu atau Angka Hindu-Arab. Alasan

mereka lebih dikenal sebagai "Angka Arab" di Eropa dan Amerika

adalah karena mereka diperkenalkan ke Eropa pada abad kesepuluh

melalui bangsa Arab di Afrika Utara.

Di sisi lain, orang-orang Arab menyebut sistem tersebut dengan

nama "Angka Hindu",yang mengacu pada asal mereka di India.

Namun demikian, angka ini tidak boleh dirancukan dengan "Angka

Hindu" yang dipergunakan orang-orang Arab di Timur Tengah

( . . . . . . . . .٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩), yang disebut dengan nama lain Angka Arab

Timur ; atau dengan angka-angka lain yang saat ini dipergunakan di

India (misalnya angka Dewanagari: ०.१.२.३.४.५.६.७.८.९).

Wikipedia.com

5. BASIS BILANGAN YANG LAIN

Bilangan dengan sistem posisi yang menggunakan basis b, simbol yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, . . . , (b - 1). Oleh karena itu, bilangan yang berbasis 4 simbol bilangan yang digunakan adalah 0,1,2,dan 3.

Ilustrasi: (30124) 4 = 3.43 + 0.42 + 1.4 + 2

= 198

Mengubah bilangan berbasis sepuluh menjadi bilangan berbasis lain

Suatu bilangan N dengan basis b yang dinyatakan dengan :N = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 + . . . + a2 b + a1 b + a0

Dimana 0 ≤ ai < b dan i = 0, 1, 2, 3, . .. , n.

Kedua ruas dibagi dengan b sehingga didapat :

= an bn-1 + an-1 bn-2 + an-2 bn-3 + . . . + a2 b + a1 +

Dimana a0 merupakan sisa pembagian. Misalnya = N yang selanjutnya

kedua ruas dibagi dengan b, maka didapatkan :

= an bn-2 + an-1 bn-3 + an-2 bn-4 + . . . + a3 b + a2 +

Dimana a1 sebagai sisa pembagian sehingga terdapat urutan bilangan sisa pembagian :

an an-1 an-2. . . a1 a0

Ilustrasi : 1. 198 = ( )4 ???

Jawab : 4 / 1984 / 49 sisa 24 / 12 sisa 14 / 3 sisa 04 / 0 sisa 3

Jadi 198 = (3012)4

Mengubah bilangan desimal menjadi bilangan basis lain

Bilangan desimal adalah bilangan pecah berbasis 10, sehingga

0,3275 = 3 / 10 + 2 / 102 + 7 / 103 + 5 / 104 dan(0,2312)4 = 2 / 4 + 3 / 42 + 1 / 43 + 2 / 44

Jika bilangan pada ruas kanan diproses / diselesaikan akan mendapatkan bilangan desimal. Yang menjadi menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan dengan basis lain.

Ilustrasi : 0,92314 = ( )5

0,92314 = (0,abcde)5

kedua ruas dikalikan 5 didapatkan :4,61570 = a, bcde .5 ; maka a = 43,07850 = b,cde . 5 ; maka b=30,39250 = c,de . 5 ; maka c=01,96250 = d,c . 5 ; maka d=14,81250 = e ; maka e=4

Jadi : 0,92314 = (0,43014)5

BAB IIIPENUTUP

3.1. Kesimpulan3.1.1. Penulisan bilangan menggunakan bilangan basis ( dasar

), misalnya bilangan yang menggunakan basis bilangan b, maka simbol bilangan yang digunakan 1,2,3, . . . ,b.

Untuk penulisan bilangan yang lebih dari b penulisannya dengan mengkombinasikan simbol — simbol yang digunakan.

3.1.2. Penulisan bilangan dengan sistem pengelompokan sederhana menggunakan basis bilangan, misalnya basis b, maka simbol yang digunakan : 1, b, b2, b3 dan seterusnya. Nilai suatu bilangan merupakan penjumlahan nilai simbol - simbol yang digunakan untuk bilangan tersebut.

3.1.3. Penulisan bilangan dengan sistem perkalian menggunakan basis bilangan, misal basis bilangan b, maka simbol yang digunakan adalah 1, 2, 3, . . . , ( b - 1 ) untuk kelompok selanjutnya adalah b, b2, b3 dan seterusnya.

3.1.4. Penulisan bilangan dengan sistem pencirian menggunakan basis bilangan, misal basis bilangannya b, maka simbol-simbol bilangan yang digunakan adalah :

1, 2, 3, . . . , ( b-1 ). :

b, 2b, 3b, . . . , ( b-1 )b :

b2 , 2b3, 3b2 , . . . (b-1) b2 dan seterusnya.

3.1.5. Penulisan bilangan dengan sistem posisi menggunakan basis bilangan, misalnya bilangan berbasis b, maka

simbol-simbol yang digunakan adalah 0, 1, 2, 3, . . . , ( b -1) dinyatakan dengan :

N = an bn + an-1 bn-1 + an-2 bn-2 + . . . + a2 b2 + a1 b + a0

Ditulis : an an-1 an-2 . . . a2 a1 a0

3.1.6. Bilangan dari basis tertentu dapat diubah ke basis lainnya dengan memperhatikan basis-basis tersebut untuk syarat perubahannya.

DAFTAR PUSTAKA

Djainal Rusli.2007.Diktat Sejarah Matematika. FKIP Unlam: Banjarmasin.

Lain-lain :Wikipedia.orgGoogle.com