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Segundo Momento de Área
ÍNDICE Objetivos …………………………………………………………….. 2 Introducción ……………………………………………………………….. 3 Aplicación ……………………………………………………………….. 41. Definición de momento de inercia …………………………………………. 4
2. Teorema de los ejes paralelos para un área ……………………………….. 5
2.1. Enunciado ……………………………………………………………... 5
2.1.1. Momentos de Inercia …………………………………………
2.1.2. Segundo Momento de Área ………………………………….. 6
2.1.3. Tensor de Inercia …………………………………………….. 7
2.2. Demostración ………………………………………………………….. 7
2.3. Generalización ………………………………………………………… 8
3. Radio de giro de un área ………………………............................................. 8
4. Momento de inercia para un área por integración ……………………....... 10
4.1. Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia ……………………………
10
4.2. Momento de inercia de una área rectangular ………………………….
11
5. Momentos de inercia para áreas compuestas …………………………….. 12
5.1. Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas … 12
6. Producto de inercia para un área ………………………………………….. 13
7. Momentos de inercia para un área con respecto a ejes inclinados ………. 13
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7.1. Momentos principales de Inercia …………………… 14
Conclusiones …………………………………………………… 16
Bibliografía ………………………………………………….. 17
OBJETIVOS
- Observar un sistema mecánico donde se conjugan los movimientos de traslación de
una partícula y la rotación del cuerpo rígido.
- Analizar dicho sistema mecánico a partir de las leyes dinámicas de traslación y
rotación, o alternativamente, del principio de conservación de la energía.
- Interiorizar el concepto de inercia rotacional.
- Calcular el momento de inercia de diferentes cuerpos y configuraciones de cuerpos.
- Reconocer el carácter aditivo del momento de inercia y verificar el teorema de ejes
paralelos.
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INTRODUCCION
La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en
su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con
precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que
dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en
movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos
una fuerza externa. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la
inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una
magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de
partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo
al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor
escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
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APLICACIÓN
- Se emplea para el cálculo de deflexiones, mayor inercia menor deformación en el eje de trabajo, así mismo I/y te da el módulo de sección y te sirve para calcular resistencia a flexión.
- Un pequeño experimento seria para calcular la deformación de una viga, entre mayor es la inercia respecto a un eje de su sección menos se deformara.
- El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material.
- Lo cierto es que el momento de inercia es un factor importante a considerar en cuanto a la construcción, pues debemos tener conciencia de como las vigas (por ejemplo) se comportan en cuanto a la tendencia a girar para tal distribución de masa. En general en los cálculos es importante encontrar los valores máximos y mínimos del momento de inercia para tener un control de cómo poner y que viga debemos colocar de acuerdo a lo que se requiere.
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1. Definición:
El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia
rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de
inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe
representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que
forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el
análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de
partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de
la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas
que intervienen en el movimiento.
El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del
movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal
de un sólido rígido.
2. Teorema de los Ejes Paralelos de un Área.
En física, el teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos o
simplemente teorema de Steiner es un teorema usado en la determinación del momento
de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto
sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular
(r) entre ejes. También puede usarse para calcular el segundo momento de área de una
sección respecto a un eje paralelo a otro cuyo momento sea conocido. Debe su nombre
al geómetra suizo del siglo XIX Jakob Steiner.
2.1. Enunciado
2.1.1. Momentos de Inercia
Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido, y dado un segundo eje paralelo
al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:
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donde:
es el momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su
centro de masas;
es el momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su
centro de masas;
es la masa del objeto;
es la distancia perpendicular entre los dos ejes.
El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de
inercia. Dado una base vectorial B el tensor de inercia según esa base
respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de
masas están relacionados por la relación:
donde:
es el vector con origen en G y extremo en P.
2.1.2. Segundo Momento de Área.
La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes
perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.
La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de
área (momento de inercia planar) para
una región planaD:
donde:
es el momento de inercia
planar de D relativo al eje paralelo;
es el momento de inercia planar de D relativa a su centroide;
es el área de una región plana D;
es la distancia del nuevo eje z al centroide de la región plana D.
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Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija con
la misma forma que tiene densidad uniforme.
2.1.3. Tensor de Inercia
En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner)
puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia Jij a partir de un tensor
de inercia sobre el centro de masas Iij cuando el punto pivotante es un
desplazamiento a del centro de masas:
Donde:
es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y
es la función delta de Kronecker.
Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j),
desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión
simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.
2.2. Demostración
Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la
distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de
masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a
través del centro de masas, es:
El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo
del eje x del centro de masas, es:
Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:
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El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término
se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda
como:
2.3. Generalización
Para los momentos de tercer orden se tiene la expresión:
donde:
son los momentos de tercer orden respecto al centro de masa.
son los momentos de segundo orden respecto al centro de masa.
es el símbolo de Levi-Civita.
Si para el cálculo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de
inercia se tiene:
3. Radio de Giro de un Área
Colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de
inercia del área total.
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/21/A) L1 =(IL1K
Eje L2
2/1/A)L2 =(IL2K
POLO
/ 1 2 = (Jo/A)oK
Eje L1 Eje L1
Eje L2
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El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.
Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que:
I x = K x2A
K x =
I y =K y2A K y = ; donde Ix + Iy = Iz= Ko
2A Ko2 = Kx2 + Ky2
Ko =
I z = Jo = K z2A
4. Momento de inercia de una área por integración
El momento de inercia Iy del área A con respecto al eje y, se define como:
Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA
dIx = y2dA dIy = x2dA
4.1. Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia
Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A,
pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de
los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que
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x
y
z
IA
I
A
IA
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todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x; el momento de
inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja
por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que
la forman estén a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja
es x2dA.
dx
dIy = x2dA
4.2. Momento de inercia de una área rectangular
Como ejemplo determinaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a
su base. Dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. obtenemos
dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3
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- Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos
de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto
al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la
figura 9.3c. Haciendo b = dx y h=y en la fórmula, escribimos:
dIx = 1/3y3 dx
- Por otra parte se tiene
dIy = x2 dA = x2y dx
Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia
Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura.
dx
dIx = 1/3y3 dx
dIy = x2y dx
5. Momento de Inercia para Áreas Compuestas
Consideremos una área compuesta A formada por varias áreas componentes A1, A2. etc.
Como la integral que representa el momento de inercia de A puede subdividirse en
integrales calculadas sobre A1, A2. etc. el momento de inercia de A con respecto a un
eje dado se obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1, A2, etc. con
respecto al mismo eje. El momento de inercia de un área formada por varias de las
formas comunes puede entonces obtenerse de las fórmulas dadas. Sin embargo, antes de
sumar los momentos de inercia de las áreas componentes, se debe usar el teorema de los
ejes paralelos para referir cada momento de inercia al eje deseado.
5.1.Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas
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a) Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples
b) Determinar las áreas de las partes, designarlas por .
c) Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes con
respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada
por todas las áreas parciales anteriores.
d) Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.
e) Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de
masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: e , para el área i-
ésima.
f) Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando
el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de
Steiner: y
g) Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los momentos
anteriores: e
6. Producto de inercia para un área
Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:
Ixy =∫ xydA
Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los
ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede
ser positiva, negativa ó cero.
Cuando uno ó ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de inercia será
nulo. Ixy =∫xydA=0
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x
y
dA
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7. Momento de inercia para un área con respecto a ejes inclinados
En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el
producto de inercia Iu, Iv e Iuv para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados
U y V cuando se conocen los valores de θ, Iu, Iv e Iuv. Para hacer esto usaremos las
ecuaciones de transformación que relacionan las coordenadas x, y, u, v.
Respecto a un sistema de ejes inclinados u, v conocidos los valores de θ, Ix, Iy e Ixy
Usamos ecuaciones de transformación que relacionan los ejes x, y con los u, v
u=xcos θ+y sin θ
v=y cosθ−x sin θ
dIu=v2 dA=( y cosθ−x sin θ )2dA
dI v=u2 dA=( x cosθ+y sin θ )2dA
dIuv=uvdA=( xcos θ+y sin θ )( y cos
θ−xsin θ )dA
Integrando,
Iu=I x cos2θ+I y sin2θ−2Ixy sin θ cos
θ
Iv=I x sin2θ+I y cos2θ+2Ixy sin θ
cosθ
Iuv=I x sin θ cosθ−I y sin θ cosθ+2Ixy (cos2θ−sin2θ)
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Simplificando mediante identidades trigonométricas,
sin2θ=2sin θ cosθ
cos2θ=cos2θ−sin2θ
Podemos simplificar en
Iu=Ix+I y + Ix − I y =cos2θ−Ixy sin2θ
2 2
Iv= I x +I y − Ix − I y cos2θ+I xy sin2θ
2 2
Iuv= Ix − I y sin2θ+2Ixy cos2θ
2
El momento polar de inercia respecto al eje z que pasa a través del punto O es,
J O=Iu+I v=I x+I y
7.1.Momentos principales de Inercia
Iu, Iv, Iuv dependen del Angulo de inclinación θ de los ejes u, v
El Angulo θ = θp define la orientación de los ejes
Principales del área
dIudθ
=¿−2 ( Ix−I y
2¿ sin2θ−2Ixy cos2θ=
θ=θp
tan2θp=−I xy (Ix−I y)/2
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Momentos principales de Inercia
• Sustituyendo cada una de las razones para el seno y el coseno, tenemos
Imin= (Ix+I y)/2√ ¿)2 +I2xy
Max
• Los resultados dan el momento de inercia max y min para el área
• Se puede demostrar que Iuv = 0, i.e. el producto de inercia respecto a los ejes
principales es cero
• Cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área
CONCLUSIONES
Se logró determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas similares
(disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos
gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momento del aro porque su
masa está distribuida en el borde la circunferencia
Los resultados obtenidos tuvieron cierto margen de error debido a factores como
las fuerzas de rozamiento que aunque eran despreciables incidieron en los
resultados.
Se pudieron comparar dos métodos para hallar la inercia de los cuerpos: Por
medio de la relación de sus radios y sus masas y usando la araña
Se puede concluir que entre más alejada este la masa del centro de rotación,
mayor es su inercia. Esto se ve en los resultados obtenidos con el aro, mucho
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mayor que el disco a pesar que sus masas eran muy similares
BIBLIOGRAFIA
1. Estática y Estructuras Isostáticas, de Vicente Viana
2. Simetría Mecánica - Joaquín Obregón - Diciembre 2012 - ISBN 978 1 4772
3117 3
3. MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS-ESTÁTICA, FERDINAND
P. BEER, E. RUSSELL JOHNSTON JR.-EDITORIAL: MC GRAW-HILL
4. http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/nayive/mr10_web/MR10_TEMAIII.pdf
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