Capıtulo 2

SECCION DE FIGURAS PLANAS

1

2.1. INTRODUCCION

Una figura plana, tiene todos sus puntos sobre un mismo plano.

En la Figura 1, las rectas m y n se intersectan en un punto. En la Figura 2, r intersecta a la figura f endos puntos y para la Figura 3, la interseccion de s y la figura L, es de tres puntos. En todos los casosanteriores diremos que las figuras son secantes, se cortan en 1, 2 o 3 puntos respectivamente.

2.2. LINEAS CONVEXAS

Son aquellas que se intersectan con alguna recta, en un mximo de dos puntos.

Ejemplos:

2.3. LINEAS NO CONVEXAS

Si alguna recta secante determina sobre ellas, mas de dos puntos de corte. La Geometrıa clasica, mencionaestas figuras concavas.

Ejemplos:

2.4. OBSERVACIONES

1. Dos rectas contenidas en un mismo plano y que no se intersectan, reciben el nombre de paralelas.

Ejemplo:

m y q. En este caso, escribiremos: m ‖ q (”m es paralela a q”).

A veces, suele decirse que las rectas se intersectan, para este caso, en el infinito.

2. Una recta y una circunferencia, pueden ser:

Recta y circunferencia, tangen-tes entre sı.

Recta y circunferencia, secantesentre sı. (2 puntos de intersec-cion).

Nose Intersectan.(Cero puntos de interseccion).

3. Veamos algunos graficos de interseccion entre un triangulo y una circunferencia:

Por supuesto que, podrıan hacerse otros graficos para encontrar un numero determinado de puntos:1; 2; 3; 4; 5 o 6.

Notamos que, el mınimo numero de puntos de interseccion (diferente de cero), entre estas figu-ras, es uno y el maximo: 6.

4. Las formulas que damos a continuacion, permiten encontrar el maximo numero de puntos de inter-seccion entre figuras del mismo tipo, ası como entre dos grupos diferentes.

2.5. MAXIMO NUMERO DE PUNTOS DE CORTE

1. Para n rectas secantesn(n− 1)

2puntos.

Ası por ejemplo, 4 rectas se cortan como maximo, en:4(3)

2= 6 puntos.

2. Para n circunferencias secantes: n(n− 1) puntos.

3 circunferencias secantes se cortan, como maximo, en 3(2) = 6 puntos.

3. Para n triangulos: 3n(n− 1) puntos.

Si se tienen 10 triangulos, encontraremos como maximo: 3 · 10(9) = 270 punto de corte.

4. Para n cuadrilateros convexos: 4n(n− 1) puntos.

5. n pentagonos convexos se cortan, como maximo, en: 5n(n− 1) puntos.

6. En general, n polıgonos convexos de L lados cada uno, se cortan como maximo, en Ln(n−1) puntos.

Por ejemplon polıgonos de 11 lados cada uno (convexos) tienen como formula para el maximo numero de puntosde corte: 11n(n− 1). De modo que, 5 de estas figuras se cortaran en un maximo de: 11 · 5(4) = 220puntos.

Problema 1En cuantos puntos se intersectan, como maximo, 10 icosagonos convexos?

ResolucionUn icosagono es el polıgono de 20 lados. Luego, en la formula del (6), debemos reemplazar:L = 20 −→ numero de lados.n = 10 −→ numero de polıgonos.

Ln(n− 1) = 20 · 10(9)

= 1800 puntos

Problema 2En cuantos puntos se intersectan, como maximo, 5 octogonos convexos?

ResolucionEl octogono es un polıgono de 8 lados. Entonces: L = 8 y n = 5. En la formula de (6):

Ln(n− 1) = 8 · 5(4)

= 160 puntos

7. Dos polıgonos convexos, de diferente numero de lados, se intersectan, como maximo, en un numerode puntos equivalente al doble del numero de lados del menor.

Por ejemplo:

1 triangulo y 1 cuadriatero:

1 cuadrilatero y 1 pentagono:

1 decagono (10 lados) y 1 octogono (8 lados), convexos, se cortan como maximo en: 2 · 8 = 16puntos.

1 cuadrilatero y 1 circunferencia:

ObservacionLa circunferencia se considera como un polıgono de infinitos lados.

Por ejemplo. Calcular el maximo numero de puntos de corte entre:

a) Un triangulo y un pentagono convexo, es: .

b) Un dodecagono convexo (12 lados) y un icosagono convexo (20 lados), es: .

c) Un polıgono convexo de 50 lados y una circunferencia, es: .

8. Para n figuras cualesquiera (convexas o no convexas), del mismo tipo, el maximo numero de puntosde corte, es:

kn(n− 1)

2

Siendo k, el numero maximo de puntos en que se cortan 2 de dichas figuras.Por ejemplo: Encontremos la formula para calcular el maximo numero de puntos de corte entren elipses.

Una elipse, es de la forma:

Hallamos el valor de k graficando dos elipses, de modo que se tenga el numero maximo de puntosde interseccion entre ellas.

Entonces para n elipses, la formula se obtiene al reemplazar este valor de k en la expresion anterior:

4n(n− 1)

2−→ 2n(n− 1) puntos

Ejemplo: Hallar una formula para calcular al maximo numero de puntos de corte entre n figurasde la forma:

Resolucion:

Graficamos dos de dichas figuras a fin de obtener el valor de k:

Para n de estas figuras9n(n− 1)

2puntos, luego de reemplazar el valor de k en la formula de (8).

PROBLEMAS RESUELTOS

Nota: Vamos a reemplazar el enunciado Maximo numero de puntos de corte, por: MNPC.

1. Hallar el MNPC entre 10 rectas y 5 circunferencias, al cortarse todas estas figuras entre sı.

Resolucion:

El metodo de resolucion consiste en contar por separados los puntos de corte: rectas solas, circun-ferencias solas y al final la combinacion.El resultado se obtiene sumandos los parciales, Ası:

a) Las 10 rectas solas, se cortan como maximo, en:10(9)

2= 45

b) Las 5 circunferencias: 5(4) = 20 puntos.

c) Para el numero de puntos entre rectas y circunferencias:Como cada recta corta a una circunferencia en 2 puntos y son 5 circunferencias, entonces unarecta corta a las 5 circunferencias en 2 ·5 = 10 puntos. Pero, son 10 rectas, entonces tendremosaquı:

10 · 10 = 100 puntos

esto mismo, es:

2 · 10 · 5 = 100 puntos↑ ↑ ↑

Numero de puntosentre una recta yuna circunferencia Numero de circunferencias Numero de rectas

Finalmente, sumando los resultados parciales de (a), (b) y (c):

45 + 20 + 100 = 165 puntos

2. Hallar el MNPC entre 11 rectas secantes y 5 triangulos, al cortarse todas estas figuras entre sı.

Resolucion:

Veamos:

a) Las 11 rectas, por sı solas:11(10)

2= 55 puntos.

b) Los 5 triangulos entre sı: 3 · 5(4) = 60 puntos.

c) Las 11 rectas a los 5 triangulos:

2 · 11 · 5 = 100 puntos↑ ↑ ↑

Numero de puntosentre una recta y

un triangulos Numero de rectas Numero de triangulos

Luego, sumando los resultados (a), (b) y (c) : 55 + 60 + 110 = 225 puntos.

3. Hallar el MNPC entre 21 rectas secantes, 15 circunferencias y 12 triangulos, al intersectarse todasestas figuras entre sı.

Resolucion:

El metodo es similar; evaluamos el maximo numero de puntos de corte entre las rectas solas, lascircunferencias entre sı, los triangulos por si solos y luego hacemos las combinaciones en grupos dedos. Ası:

a) Las 21 ↗ :21(20)

2= 210 puntos

b) Las 15 © : 15(14) = 210 puntos

c) Los 12 ∆: 3 · 12(11) = 396 puntos

d) 21 ↗ a 15 ◦:

2 · 21 · 15 = 630 puntos↑ ↑ ↑

Dos puntos ↗ ∆

e) Las 21 ↗ a los 12 ∆:

2 · 21 · 12 = 504 puntos↑ ↑ ↑

Dos puntos ↗ ∆

f ) Las 15 © a los 12 ∆

6 · 15 · 12 = 1080 puntos↑ ↑ ↑

Seis puntos © ∆

El MNPC total lo obtenemos sumando los resultados parciales de (a) a (f):

210 + 210 + 396 + 630 + 504 + 1080 = 3030 puntos

4. Hallar el MNPC entre 21 triangulos y 10 cuadrilateros convexos, todos secantes entre sı.

Resolucion:

Procedemos como antes:

a) Los 21 triangulos se cortan como maximo, en 3 · 21(20) = 1260 puntos.

b) Los 10 cuadrilateros convexos: 4 · 10(9) = 360 puntos.

c) Los 21 ∆ a los 10 �

6 · 21 · 10 = 1260 puntos↑ ↑ ↑

2 · 3 = 6 pts. ∆ �

∴ Sumando lo obtenido en (a), (b) y (c): MNPC = 1280+360+1260 = 2880 puntos.

5. Hallar el MNPC entre 10 rectas paralelas, 5 rectas secantes y 6 triangulos, al intersectarse todasestas figuras entre sı.

Resolucion:

Tenemos:

a) Las 10 rectas paralelas entre sı: cero puntos de corte.

b) Las 5 rectas secantes por sı solas:5(4)

2= 10 puntos

c) Los 6∆: 3 · 6(5) = 90 puntos

Ahora, en grupos de 2:

d) 10 rectas paralelas y 5 secantes

1 · 10 · 5 = 50 puntos↑ ↑ ↑

Nros. de pts. entre unaparalela y una secante Nros. de paralelas Nros. de secantes

e) Las 10 rectas paralelas a los 6 triangulos:

2 · 10 · 6 = 120 puntos↑ ↑ ↑

2 puntos paralelas triangulos

f ) 5 rectas secantes y 6 triangulos:

2 · 5 · 6 = 60 puntos↑ ↑ ↑

2 puntos ↗ secantes triangulos

Sumando ahora, todos los resultados parciales:MNPC = 0 + 10 + 90 + 50 + 120 + 60→ MNPC = 330 puntos.

6. Si a un grupo de rectas de un plano, se le agrega una, el maximo numero de puntos de corte seduplicarıa.Hallar el numero de rectas original.

Resolucion:

Si, inicialmente, hubieran n rectas, el numero maximo de puntos de corte serıan(n− 1)

2puntos.

Al agregar una al grupo anterior (n + 1) rectas, estas se cortan, en(n + 1)(n + 1− 1)

2→

n(n + 1)

2puntos.

Segun enunciado, el segundo resultado debe ser el doble del primero. Luego, resolviendo estasencilla ecuacion: n = 3 rectas.

7. Si a un grupo de n rectas secantes se agrega una recta, el maximo numero de puntos de corteaumentarıa en 12. Hallar el valor de n.

Resolucion:Como, al agregar una recta al grupo existente de n rectas, la nueva debe contar a cada una de lasanteriores en un punto, entonces el MNPC se incrementara en n.Por lo tanto, n = 12.

8. Si a un grupo de n triangulos se le quita uno, el maximo numero de puntos de corte disminuye en18. Hallar n.

Resolucion:Un triangulo corta a otro en 6 puntos, como maximo.Al extraer un triangulo al grupo de n, este cortara a cada uno de los (n− 1) restantes, en 6 puntos.Luego, 6(n− 1) = 18∴ n = 4

9. Al duplicarse el numero de rectas secantes, el maximo numero de puntos de corte se quintuplica.Hallar el numero inicial de rectas. Resolucion:

Sean n el numero inicial de rectas. Ellas determinann(n− 1)

2puntos.

Si se duplica el numero de rectas, ahora tendremos 2n rectas que se cortan en2n(2n− 1)

2puntos.

Segun el enunciado, este ultimo resultado debe ser cinco veces el anterior.

2n(2n− 1)

2= 5 · n(n− 1)

2, despejando n tenemos:

2n(2n− 1)

2= 5 · n(n− 1)

2

���1

2n(2n− 1)

���1

2

= 5 · n(n− 1)

2

/· 1n

/��>

1n(2n− 1)

��>1

n= 5 · (n− 1)

2

4n− 2 = 5n− 5

−5n + 4n = −5 + 2

−n = −3

∴ n = 3

10. Si a un grupo de n polıgonos convexos, de L lados cada uno, se agrega otro de la misma naturalezay cantidad de lados, el maximo numero de puntos que corta se duplica. Hallar n.

Resolucion:Es facil deducir que dos polıgonos convexo de L lados cada uno se cortan como maximo en 2Lpuntos.Luego, el nuevo polıgono corta al grupo de n, en 2Ln puntos.Como los n polıgonos de L lados se cortan en Ln(n − 1) puntos, segun la formula, y al colocar elnuevo polıgono, esta cantidad se duplica, entonces:

2Ln = Ln(n− 1)→ 2 = (n− 1), donde n = 3

11. Encontrar la cantidad de decagonos que se intersectan, sabiendo que al hacerlo determinan comomaximo 6250 puntos, en los cuales estan tambien considerados los vertices.

Resolucion:Sea n el numero de decagonos. Luego:

Numero total de vertices: 10n

Numero maximo de puntos de interseccion : 10n(n− 1), donde 10n + 10n(n− 1) = 6250.∴ n2 = 625→ n = 25

12. Si a un conjunto de rectas secantes, se le agregase una cantidad igual de rectas, su numero maximode puntos de corte aumentarıa en 330. Calcular cuantas rectas tiene el conjunto.

Resolucion:

Si, inicialmente, hubieran n rectas, estas se cortarıan, enn(n− 1)

2puntos.

Al agregar otras n rectas al grupo anterior, habran 2n rectas que se cortarıan en2n(2n− 1)

2puntos.

Usando el dato numerico2n(2n− 1)

2=

n(n− 1)

2+ 330

En efecto, 3n2 − n− 660 = 0→ (3n + 44)(n− 15) = 0, de donde n = 15

13. Se tiene n circunferencias secantes. Si se quitan dos circunferencias, al numero maximo de puntosde corte disminuye en 30. Hallar n.

Resolucion:

Las n circunferencias secantes: n(n− 1) puntos.

Al quitar 2, las (n− 2) circunferencias restantes, se cortan en: (n− 2) [(n− 2)− 1] puntos.

Con el dato: n(n− 1)− 30 = (n− 2) [(n− 2)− 1]Resolviendo, hallamos n = 9

14. Encontrar el numero maximo de puntos de corte que hay entre F decagonos convexos y F cua-drilateros convexos.

Resolucion:

{F decagonos convexosF Cuadrilateros convexos

a) Los F decagonos (10 lados cada uno): 10F (F − 1)

b) Los F cuadrilateros: 4F (F − 1)

c) Los F decagonos con los F cuadrilateros.

Numero de puntosde corte entre

1 decagono y 1 cuadrilatero

· (Numero de decagonos)·(

Numero decuadrilateros

)

Ası (2 · 4) · (F )(F ) = 8F 2

Finalmente, sumanod los resultados parciales: 10F (F−1)+4F (F−1)+8F 2 → 2F (11F−7) puntos.

15. Hallar el maximo numero de puntos de interseccion de 10 cuadrilateros no convexos.

Resolucion:

Debemos usar la formula vista en el numero (8) de la teorıa, para encontrar el MNPC entren cuadrilateros no convexos y aquı reemplazar el valor de n:

MNPC =Kn(n− 1)

2puntos

K es el numero maximo de puntos en que se cortan 2 cuadriateros no convexos. Para ello,tenemos el siguiente grafico:

∴ K = 16 puntos

Entonces, para n de estas figuras, la formula es: MNPC =16n(n− 1)

2→ MNPC = 8n(n − 1)

puntos.Y si n = 10: MNPC = 8 · 10(9) = 720 puntos.

16. Deducir una formula para encontrar el numero total de puntos en que se cortan n circunferenciasdispuestas como se indica:

Resolucion:El analisis lo hacemos incrementando cada vez, en uno, el numero de circunferencias. Debemosrelacionar el numero de puntos con el numero de circunferencias.

Ası:

Numero de circunferencias Numero de puntos

2 puntos → 2(2− 1)

4 puntos → 2(3− 1)

6 puntos → 2(4− 1)

8 puntos → 2(5− 1)

10 puntos → 2(6− 1)

......

n circunferencias 2(n− 1) puntos (formula)

17. En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas entre sı; sobre L1 se tomanm puntos y sobre L2, n puntos. Hallar el maximo numero de puntos decorte en que las rectas determinadas por los m puntos de L1 y n puntosde L2, cortan a la circunferencia.

Resolucion:

Cada recta intersecta a la circunferencia, como maximo, en 2puntos. El numero de rectas determinadas, lo obtenemos ası:

Un punto de L1 con los N puntos de L2 determinan n rectas.Luego, los m puntos de L1 con los n puntos de L2, determinanm · n rectas.

Entonces, el numero de puntos en que esta cantidad (m · n) de rectas corta a la circunferencia, es:2m · n, como maximo.

18. Hallar MNPC entre n circunferencias, 2n rectas secantes y n triangulos, al cortarse todas estasfiguras entre sı.

Resolucion:

MNPC =

n circunferencias2n rectasn triangulos

a) Las n circunferencias: n(n− 1) puntos.

b) Las 2n rectas secantes:2n(2n− 1)

2= n(2n− 1)

c) Los n triangulos: 3n(n− 1) puntos.

d) n circunferencias a 2n rectas: 2 · n · 2n = 4n2 punto.

e) n circunferencias a n triangulos: 6 · n · n = 6n2 puntos.

f ) 2n rectas a n triangulos: 2 · 2n · n = 4n2 puntos.

Sumamos los resultados parciales: ∴ efectuando, MNPC = 5n(4n− 1) puntos.

19. Se muestran n circunferencias concentricas y otras n circunferenciasmenores formando una argolla. El maximo numero de puntos de corte,es:

Resolucion:

a) El numero de puntos entre las circunferencias que forman la argolla se determina ası:

−→ La argolla se obtiene al intersectar las circunferencias extremas (2 puntosmas): n circunferencias en esta posicion: 2(n− 1) puntos.

Entonces, el numero de puntos en la argolla sera: 2(n− 1) + 2 = 2n puntos. . . (1).

b) Cada circunferencia de la argolla corta a una de las concentricas, en 2 puntos. Ası que, las ncircunferencias de la argolla cortan a las n concentricas, en:

2 · n · n = 2n2 . . . (2)

∴ el numero total de puntos de corte se obtiene sumando los resultados (1) y (2):

MNPC = 2n + 2n2 = 2n(n + 1)

20. Al numero maximo de puntos de corte entre n polıgonos convexos, de L lados cad auno, se le sumael maximo numero de puntos de corte entre n polıgonos de 2L lados cada uno, obteniendose entotal 630 puntos. Hallar L + n

Resolucion:MNPC entre n polıgonos de L lados es Ln(n− 1).MNPC entre n polıgonos de 2L lados es 2Ln(n− 1).Segun enunciado:

Ln(n− 1) + 2Ln(n− 1) = 630

3Ln(n− 1) = 630

∴ Ln(n− 1) = 210

En factores primos, 210 es 2 · 3 · 5 · 7Escrito este producto en forma que contenga dos factores consecutivos, para luego comparar con elprimer miembro, tenemos:Ln(n− 1) = 7 · 6 · 5De donde: L = 7 y n = 6

∴ L + n = 13

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar el MNPC entre 11 circunferencias y 8triangulos al intersectarse todas estas figurasentre sı.

a) 726

b) 706

c) 806

d) 906

e) 278

2. Hallar el MNPC entre 6 cuadrilateros conve-xos, 11 pentagonos convexos y 21 ocogonosconvexos, al intersectarse todas estas figurasentre sı.

a) 7414

b) 7604

c) 6704

d) 4706

e) 7456

3. Si a un grupo de n rectas secantes se agregandos rectas, el maximo numero de puntos decorte aumentarıa en 15. Hallar n.

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) N.A.

4. Hallar el numero maximo de puntos que cor-te, entre 5 octogonos y 10 icosagonos, todosconvexos.

a) 2670

b) 2770

c) 2760

d) 2870

e) 7260

5. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te entre 10 rectas secantes, 6 triangulos y 11cuadrilateros convexos.

a) 1311

b) 1312

c) 1213

d) 1321

e) N.A.

6. Calcular el maximo numero de puntos de in-terseccion de 10 rectas paralelas, 12 rectasecantes y 16 circunferencias secantes.

a) 1130

b) 306

c) 316

d) 746

e) 1098

7. n polıgonos convexos de l lados cada uno seintersectan en 6240 puntos, como maximo. Siquitamos un polıgono, el numero de puntos deinterseccion disminuye en 312. Hallar (l + n).

a) 33

b) 40

c) 42

d) 46

e) 44

8. Hallar el MNPC entre 5 elipses y 11 cua-drilateros no convexos.

a) 1360

b) 1260

c) 1460

d) 1560

e) 960

9. Encontrar el numero maximo de puntos decorte que hay entre 3 polıgonos convexos de2k lados y 6 polıgonos convexos de 3k ladoscada uno.

a) 102K

b) 112K

c) 122K

d) 164K

e) 174K

10. Luego de disponer 50 circunferencias y 20 rec-tas paralelas, como indica la figura siguiente,hallar el maximo numero de puntos de corte.

a) 2098

b) 2089

c) 2090

d) 2080

e) 2198

11. 7 rectas secantes, 8 circunferencias y 9triangulos, se cortan como maximo, en:

a) 963 pts.

b) 396 pts.

c) 693 pts.

d) 973 pts.

e) N.A.

12. 5 angulos y 8 circunferencias, se cortan comomaximo, en:

a) 136 pts.

b) 296 pts.

c) 160 pts.

d) 246 pts.

e) 216 pts.

13. 7 rectas paralelas, 6 secantes y 12 pentagonosse cortan como maximo en:

a) 1029pts.

b) 2929

pts.

c) 1129pts.

d) 1309pts.

e) N.A.

14. Se tiene n triangulos secantes. si se quitan 3triangulos, el numero maximo de puntos decorte disminuye en 54. Hallar n.

a) 10

b) 6

c) 7

d) 5

e) 8

15. Hallar el maximo numero de puntos de corteentre n elipses y 2n rectas, todas secantes.

a) 4n(3n −1)

b) 2n(n+2)

c) 4n(n−1)

d) 3n(4n −1)

e) 3n(4n +1)

16. Hallar el maximo numero de puntos de inter-seccion entre 5 octogonos y 6 decagonos con-vexos.

a) 460

b) 480

c) 940

d) 840

e) N.A.

17. n rectas secantes, n cicunferencias y ntriangulos, se cortan como maximo, en:

a) n(29n− 9)

b)n

2(9n− 29)

c) 2n(n− 1)

d)n

2(29n− 9)

18. Hallar el maximo numero de puntos de cortede 5 rectas que tienen un punto comun y 5circunferencias que tienen un punto comun.

a) 60

b) 61

c) 62

d) 63

e) 64

19. Hallar el numero maximo de puntos de corte,entre 10 rectas paralelas y 50 curcunferenciasdispuestas ası:

a) 1980

b) 1890

c) 1098

d) 1690

e) N.A.

20. Hallar el numero de puntos de corte entre 10curcunferencias concentricas y 20 rectas quepasan por el centro comun.

a) 400

b) 401

c) 200

d) 201

e) 101

21. De un conjunto de 30 rectas, 18 son secantes,8 son paralelas que tienen una determinadadireccion y las 4 restantes son tambien para-lelas pero tienen una direccion distintas a lasanteriores. Hallar el maximo numero de pun-tos de corte.

a) 400

b) 401

c) 402

d) 403

e) 404

22. Se tiene un grupo de recta secantes, cuyonumero se desea calcular sabiendo que si setuviera 2 rectas mas, se obtendrıan 18 pun-tos de corte mas que si se tuviera una rectamenos.

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 9

23. Existen varias rectas coplanares que determi-nan 9 puntos de corte como maximo. Si 2 de

ellas son paralelas entre sı, hallar el numerode rectas.

a) 10

b) 9

c) 8

d) 5

e) 7

24. Si se tienen 5 grupos de 3 rectas paralelas en-tre sı cada una, hallar el maximo numero depuntos de corte de las rectas.

a) 60

b) 70

c) 80

d) 90

e) 100

25. Cuatro rectas secantes y tres circunferenciasoriginan el mimo numero de puntos de cortede n triangulos. Hallar n.

a) 6

b) 8

c) 4

d) 7

e) 9

26. Hallar el maximo numero de puntos de cortede cuatro grupos de triangulos de a 3, si lostriangulos de cada grupo no se cortan entresı, pero sons ecantes con los triangulos de losotros grupos.

a) 360

b) 308

c) 270

d) 324

e) 316

27. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te de 10 cuadrilateros convexos secantes y 20circunferencias, que no se cortan entre sı.

a) 1960

b) 1980

c) 1700

d) 1240

e) 1600

28. Hallar el maximo numero de puntos de cortede los siguientes grupos: cuatro cuadrilaterosconvexos, cinco pentagonos convexos.Los polıgonos de cada grupo no se cortan en-tre ellos pero sı cortan a los polıgonos del otrogrupo.

a) 160

b) 120

c) 150

d) 170

e) 190

29. Hallar el maximo numero de puntos de cortepara 10 cuadrilateros convexos, 10 octogonosconvexos y 10 icosagonos convexos.

a) 7200

b) 6080

c) 6020

d) 7020

e) 6070

30. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te para 30 triangulos que tienen un punto encomun.

a) 2100

b) 2176

c) 2716

d) 2160

e) 2170

31. Se tiene n triangulos y n cuadrilateros conve-xos. Si al maximo numero de puntos de cortede los triangulos se aumenta el numero to-tal de lados de los triangulos, mas el maximonumero de puntos de corte de los cuadrilate-ros, mas el numero total de los angulos de loscuadrilateros se obtiene 1008. Hallar n.

a) 16

b) 18

c) 14

d) 12

e) 20

32. ¿Cual es el maximo numero de puntos de cor-te de N cuadrilateros secantes y N triangulossecantes (polıgonos convexos)?

a) 12N2

b) N(13N − 7)

c) N(7n− 6)

d) N(N − 2)

e) N(12N − 5)

33. ¿Cual es el maximo numero de puntos de cortepara N circufnerencias secnates y N pentago-nos convexos secantes?

a) N(8N − 2)

b) 2N(8n− 1)

c) 2N(8N − 3)

d) N(8N − 5)

e) N2

34. ¿Cual es el maximo numero de puntos de cortede N cuadrilateros convexos y N pentagonosconvexos?

a) N(17N − 9)

b) N(9N − 4)

c) N(7N − 3)

d) N(17N − 8)

e) 3N2

35. En cuanto disminuye el maximo numero depuntos de corte de 8 cuadrilateros secantes y 6hexagonos secantes, si se quitan 3 cuadrilate-ros y 3 hexagonos (polıgonos convexos).

a) 420

b) 360

c) 452

d) 512

e) 552

36. Si se anulan 3 rectas de un grupo que se estancortando, el maximo numero de puntos de cor-te disminuira en 57. ?’Cuantas rectas formandicho grupo inicial?

a) 31

b) 21

c) 19

d) 27

e) 28

37. Hallar el maximo numero de rectas que pasanpor el maximo numero de puntos de intersec-cion de 15 rectas secantes.

a) 5460

b) 5640

c) 4560

d) 5260

e) 4260

38. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te de los siguientes grupos: cuatro hexago-nos convexos, cinco decagonos convexos y seisoctogonos convexos. Los polıgonos de cadagrupo no se cortan entre ellas pero sı con lospolıgonos de los otros grupos.

a) 1000

b) 1002

c) 1004

d) 1006

e) 1008

39. Hallar el maximo numero de puntos de cortede n pentagonos, n octogonos y n decagonos(todos convexos).

a) 1000

b) 1002

c) 1004

d) 1006

e) 1008

40. Hallar el maximo numero de puntos de cortepara 30 triangulos que tienen 2 puntos comu-nes.

a) 720

b) 600

c) 762

d) 672

e) 276

41. Hallar el maximo numero de puntos de cortede 5 cuadrilateros concavos y 10 triangulos.

a) 820

b) 830

c) 840

d) 850

e) 860

42. ¿Cual es el maximo numero de puntos de cortede 4 octogonos convexos secantes, 5 decagonosconvexos secantes y 6 dodecagonos convexossecantes?

a) 1960

b) 1690

c) 1980

d) 1890

e) 1920

43. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te para n polıgonos convexos de n lados, quetienen 2 puntos comunes.

a) n(n− 1)2

b) n(n− 1) + 2

c) n(n− 1)2 + 2

d) n2 + 2

e) (n− 1)2 + 2

44. Hallar el maximo numero de puntos de cor-te de n grupos de n polıgonos convexos de nlados, conociendo que los polıgonos de cadagrupo entre ellos no se cortan pero sı con lospolıgonos de los otros grupos.

a) n2(n− 1)

b) n3(n− 1)

c) n(n− 1)2

d) n4(n− 1)

e) n2(n + 1)

45. Hallar el maximo numero de puntos de cortede n rectas secantes, n rectas paralelas y ncircunferencias secantes.

a)n

2(13n− 3)

b)n

2(11n− 2)

c)n

2(9n− 5)

d)n

2(7n− 3)

e)n

2(13n− 1)