Propiedades de las secciones Planas

ÁREA DE UNA SECCIÓN PLANA

Es una propiedad de la forma que nos indica la cantidad de unidades de superficie que tiene una figura o cuerpo.

Esta definida por dos ejes ortogonales entre si, y precisamente por ser dos ejes es que esta en unidades cuadradas, es decir U2.

En la ingeniería estructural es común encontrar áreas que definen la sección transversal de un sólido a través de un conjunto de figuras esenciales tales como triángulos y rectángulos.

El área total de una sección se puede definir la suma de sub-áreas rectangulares:

Momentos estáticos

Se podría definir el momento estático de una superficie respecto a un eje como el producto de dicha superficie por su distancia la mismo eje.

Sx=Fiy Momento estático respecto al Eje x

Sy=Fix Momento estático respecto al Eje y

Cuando el eje respecto del cual se está tomando el momento contiene al baricentro de la sección considerada, éste se denomina eje baricentrico y como las distancias a un lado y al otro tienen signos opuestos el momento estático resulta nulo.

Sx=0

Sy=0

Centroide

Se le llama centroide o centro de gravedad al punto donde se concentra el valor de la masa de una figura u objeto. También se le llama “momento de primer orden.”

Los ejes que pasan por el centroide se llaman centroidales y son únicos.

Las coordenadas del Centroide son iguales a los momentos estáticos divididos entre el área:

Si un área es simétrica respecto a un eje, el centroide debe encontrarse sobre ese eje porque el momento estático respecto a un eje de simetría es igual a cero. Por lo tanto, sólo debe calcularse una coordenada para localizar el centroide C.

Si un área tiene dos ejes de simetría, la posición del centroide puede determinarse por inspección porque se encuentra en la intersección de los ejes de simetría.

Área con un eje de simetría

Área con dos ejes de simetría

MOMENTO DE INERCIAPara un sistema de partículas se define como la suma de los productos de más masas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje

Io = ∑ mi r²i

Momento de inercia de la figura 1

Io = mr²

Para un sistema continuo de partículas

r = distancia desde el eje de rotación hasta dx

m = ρv

Donde:

p = densidad (constante)

m = masa

v = volumen

r

m

eje

O

w

Figura 1

Para el ejemplo de la figura 2 tenemos

dm = ρAdx

x

r x

y

dx

o cm

L

L/2 L/2

Figura 2

Momento de inercia

Respecto el eje x:

Momento de inercia

Respecto el eje y:

x

y

dA

x

x

dA

El momento de inercia de un área compuesta con respecto a cualquier eje particular es la suma de los momentos de inercia de sus partes con respecto a ese mismo eje.

MOMENTO POLAR DE INERCIA

Si consideramos un eje perpendicular al plano del área que interseca en el origen O. el momento de inercia con respecto a este eje perpendicular se denomina momento polar de inercia Ip

Donde

ρ = distancia desde O hasta el elemento diferencial de área dA.

Dado que ρ² = x² + y² son las coordenadas rectangulares del elemento dA, se obtiene lo siguiente:

A partir de la ecuación se obtiene lo siguiente: IP = Ix + Iy

x

dA

y

C

y

x

p

O

Momento polar de Inercia

Se define con respecto a un conjunto de ejes perpendiculares que se encuentran en el plano del área, con respecto a la figura mostrada se define a los ejes x y y como sigue:

Con base en esta definición se observa que cada elemento diferencial de área dA se multiplica por el producto de sus coordenadas, como consecuencia, los productos de inercia pueden ser positivos, negativos o cero, dependiendo de la posición de los ejes con respecto al área.

Si el área se encuentra por completo en el primer cuadrante de los ejes entonces el producto de inercia es positivo, debido a que cada elemento Da tiene coordenadas x y y positivas. Si el área se encuentra por completo en el segundo cuadrante, el producto de inercia es negativo, dado que cada elemto tiene una coordenada y positiva y una coordenada x negativa. De mane similar, las áreas que estén por completo dentro del tercero y cuarto cuadrante, el signo del producto de inercia depende de la distribución del área dentro de los cuadrantes

x

dA

y

C

y

x

O

Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

El momento de Inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa (centroide) es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. Por ejemplo:

Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

La figura anterior puede ser descompuesta en tres partes para poder obtener de una manera sencilla las inercias en el Eje X, así como en el Eje Y, correspondientes de cada sección o figura. En este caso será respecto al eje X.

Entonces:

Ix = +

1.425x109 mm4

5x107 mm4

1.425 x 109 mm4

Ix = Ix1 + Ix2 + Ix3 = 2.9x109 mm4

X

Y

X'

Y’

X'

Y’

X'

Y’

1

2

3

600 mm

100 mm

100 mm

300 mm

300 mm

100 mm

Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

Ahora, respecto al Y. Entonces:

Iy = +

.90x109 mm4

x109 mm4

1.90x109 mm4

Iy = Iy1 + Iy2 + Iy3 = 5.60x109 mm4

X

Y

X'

Y’

X'

Y’

X'

Y’

1

2

3

600 mm

100 mm

100 mm

300 mm

300 mm

100 mm

Ejes Principales

Se llama Ejes Principales de Inercia o Direcciones Principales de Inercia en un punto O a las que son paralelas a su vector de inercia asociado.Se llaman Momentos Principales en O los Momentos de Inercia respecto a cada uno de los ejes principales en O.Se llaman Planos Principales de Inercia en O los planos que pasan por O y son normales a un eje principal en O.

O

Ejes Principales

Para obtener la inclinación de plano en cuestión, se utilizarán Ix, Iy, así como el producto de inercia Ixy. Utilizando el ejemplo anterior, el producto de inercia Ixy se obtiene como se muestra a continuación:

X

Y

X'

Y’

X'

Y’

X'

Y’

1

2

3

600 mm

100 mm

100 mm

300 mm

300 mm

100 mm

Entonces:

Ixy =

1.50x109 mm4

mm4

1.50x109 mm4

Ixy = Ixy1 + Ixy2 + Ixy3 = -3.00x109 mm4

Ejes Principales

Ahora, se procede a obtener el ángulo del plano en cuestión con la siguiente fórmula:

,

entonces, el ángulo donde se encontrarían los esfuerzos normales a 90° sería:

Momentos principales de Inercia respecto a Ejes Principales

Ahora bien, para los momentos principales de inercia respecto a los ejes inclinados, que llamaremos u y v.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICARecuperado de http://www.emff.urjc.es/docencia/Arquitectura/cap10.pdf

Mecánica estructural. Guillermo Celís Colling, 3ª Edición, (2001).