sayisal kontrol sİstemlerİnİn z dÜzlemİnde...

Sayısal Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi

1

SAYISAL KONTROL SİSTEMLERİNİN z-DÜZLEMİNDE ANALİZİ

Bu derste ve takip eden derste, sayısal kontrol sistemlerinin z-düzleminde analizi ve tasarımı için

gerekli materyal sunulacaktır. z-Dönüşümü Yönteminin temel avantajı, sayısal kontrol sistemlerinin

tasarımında, analog kontrol sistemlerinde kullanılan yöntemlerin (ya da oldukça benzerlerinin)

kullanımına olanak sağlamasıdır. Analiz ve tasarım yöntemleri tanıtılırken, sistemdeki örnekleme

periyodunun sabit olduğu, yani bütün bir operasyon boyunca tüm örnekleyicilerin aynı frekansa

sahip ve senkron olduğu varsayılacaktır.

Dersin başlıca konuları:

İmpals (Darbecik) Örnekleme ve Veri Tutma

z-Dönüşümünün Konvolüsyon İntegrali Yöntemi ile Elde Edilmesi

Örneklenmiş Sinyalden Gerçek Sinyalin Yeniden Elde Edilmesi

Pals (Darbe) Transfer Fonksiyonu

Sayısal Kontrolörlerin ve Sayısal Filtrelerin Gerçeklenmesi


2


İlk derste söylendiği gibi, ayrık-zamanlı kontrol sistemleri hem ayrık-zamanlı hem de sürekli-

zamanlı bileşenler içerir. Bu nedenle de sistemde bazı sinyaller sayısal (dijital) bazıları analogtur.

Dolayısıyla bir sayısal kontrol sistemi, en az birer adet örnekleyici ve tutucu içerir. Bu alt bölümde

örnekleme ve tutma işlemine ilişkin detaylar sunulacaktır.

İmpals Örnekleme: “İmpals (Darbecik) Örnekliyici” ideal bir örnekleyicidir. Bu örnekleyicinin çıkışı,

aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi t=0 anından başlayan ve T örnekleme periyoduna sahip impals

dizisi şeklindedir. Her bir impalsın genliği, örneklenen sürekli-zaman sinyalin o andaki değerine

eşittir. Yani t kT anındaki impalsın ifadesi ( ) ( )x kT t kT şeklindedir. Örneklenmiş sinyal için

genellikle ( )x t notasyonu kullanılır. Dolayısıyla örneklenmiş sinyal, matematiksel olarak bir impals

dizisi şeklinde aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

0

( ) ( ) ( )k

x t x kT t kT

ya da açık ifadesiyle

( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) ( )x t x t x T t T x T t T x kT t kT

Buradaki impals sinyallerinin dizisi özel olarak ( )T t ile gösterilir ve

0

( )T

k

t kT

şeklinde ifade edilir.


3

Örnekleyicinin çıkışı, bir sürekli sinyal olan ( )x t ile impalslerin dizisi olan ( )T t ’nin çarpımına

eşittir. Dolayısıyla örnekleyici, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi modülasyon sinyali ( )x t ve taşıyıcı

sinyali ( )T t olan bir modülator gibi düşünülebilir.

İmpals örnekleyicinin çıkışının açık ifadesi olarak yukarıda yazdığımız

( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) ( )x t x t x T t T x T t T x kT t kT

denkleminin her iki tarafının Laplace Dönüşümü alınırsa

0

( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 ) ( ) ( )

( ) kTs

k

X s x t x t x T t T x T t T x kT t kT

x kT e

Şimdi aşağıdaki gibi bir tanımlama yapalım:

Tsz e

ve dolayısıyla

1

lns zT


4

denklemi, az önce yukarıda elde ettiğimiz

0

( ) ( ) kTs

k

X s x kT e

denkleminde yerine yazılırsa,

1ln

0

( ) ( ) k

s zkT

X s x kT z

elde edilir. Dikkat edilirse bu denklemin sağ tarafı, z-dönüşümünün matematiksel tanımını veren

seridir. Sonuç olarak,

1ln

0

1( ) ln ( ) ( ) k

s zkT

X s X z X z x kT zT

Veri Tutma konusuna geçmeden önce, impals örnekleme ile ilgili olarak elde ettiğimiz sonuçları

özetleyelim:

Zaman domenindeki bir ( )x t sinyalinin, sabit T örnekleme periyodu ile her bir bileşeni

( ) ( )x kT t kT şeklinde ifade edilen impalslerin dizisi şeklinde örneklenmesine “İmpals

Örnekleme” denir. Böyle bir örnekleyici tamamen ideal bir örnekleyicidir, tamamen matematiksel

analiz amacıyla tanılanmıştır, gerçel dünyada böyle bir örnekleyici fiziksel olarak mevcut değildir.

İmpals örnekleyici ile örneklenmiş sinyalin genel ifadesi

0

( ) ( ) ( )k

x t x kT t kT

şeklindedir.

Zaman domenindeki bir ( )x t fonksiyonunun z-dönüşümü olan ( )X z ile, bu fonksiyonun impals

örneklenmiş formunun Laplace Dönüşümü olan ( )X s arasında,

1

ln ( )X z X zT

ilişkisi mevcuttur. Olası bir yanlış anlamanın engellenmesi adına şu vurgulanmalıdır ki bu bağıntı,

( )x t ’nin Laplace Dönüşümü olan ( )X s ile ( )x t ’nin z-dönüşümü olan ( )X z arasında bir bağıntı

değildir. Bu bağıntı, ( )x t ’nin impals örneklenmiş formunun Laplace Dönüşümü olan ( )X s ile ( )x t

’nin z-dönüşümü olan ( )X z arasında bir bağıntıdır.


5

Veri Tutma Devreleri: “Veri Tutma”, bir ayrık-zaman sinyali olan ( )x kT ’den, bir sürekli zaman

sinyali olan ( )h t ’yi üretme işlemidir. Yani bir tutma devresi, örneklenmiş sinyali bir sürekli zaman

sinyaline dönüştüren devredir. En basit, gerçeklenmesi en kolay ve en ucuz tutma devresi “Sıfırıncı

Mertebeden Tutucu – Zero Order Hold” devresidir.

Sıfırıncı Mertebeden Tutucu: Bir sıfırıncı mertebeden tutucu, sinyalin bir örnekleme anındaki genlik

değerini bir sonraki örnekleme anına kadar tutar. Sıfırıncı mertebeden tutucunun çıkışı, bir

merdiven sinyali şeklinde olduğu için, bu tür tutma devreleri genellikle “merdiven basamağı

üreteci” olarak da adlandırılır. Tutucunun fonksiyonunu görselleştirmek amacıyla, aşağıdaki şekilde

bir örnekleyici ve bir tutucu beraber gösterilmiştir. Şekilde görüldüğü gibi tutucu, örneklenmiş

sinyal ( )x kT ’nin her bir örnekleme anındaki genliğini, bir sonraki örnekleme anına kadar

tutmaktadır. Bu işlem, matematiksel olarak

( ) ( ) , 0h kT t x kT t T

şeklinde ifade edilebilir.

Tutucu devre, sayısal kontrol sisteminin bir parçası olduğu için, bu devrenin transfer fonksiyonu

elde edilmelidir ki sistemin analizi ve tasarımı yapılabilsin. Aşağıda Şekil (a)’da gerçek bir

örnekleyici ve tutucunun şeması görülmektedir. Eğer sürekli zaman sinyali ( )x t ’nin, gerçekte var

olmayan bir impals örnekleyici örneklendiği kabul edilirse, Şekil (b)’de görülen şema elde edilir.

Sürekli-zaman sinyalinin bir impals örnekleyici ile örneklendiğinin kabul edilmesinin nedeni, bu

örnekleyici ve tutucu kombinasyonunun z-düzleminde analizinin yapılabilmesini sağlamaktır.


6

Türetilmesine ilişkin detaylar sunulmaksızın, bir sıfırıncı mertebeden tutucunun s-domenindeki

transfer fonksiyonu,

0

1( )

Ts

h

eG s

s

olarak elde edilir. Yani özetle, yukarıda Şekil (a)’da görülen gerçek örnekleyici ve tutucu,

matematiksel olarak analizinin yapılabilmesi için Şekil (b)’de görülen (ve gerçekte var olmayan)

impals örnekleyici ve tutucu ile temsil edilebilir. Bu durumda örnekleyici ve tutucunun transfer

fonksiyonu yukarıdaki denklemde görüldüğü gibi olacaktır. Gerçek bir örnekleyici ile impals

örnekleyicinin şemalarda ayırt edilebilmesi için, impals örnekleyici sembolünde yukarıdaki şekilde

görüldüğü gibi fazladan bir ok vardır.

Birinci Mertebeden Tutucu: Birinci Mertebeden Tutucu (First-Order Hold), her bir örnekleme

anında, önceki iki örneğin ekstrapolasyonunu çıkış olarak verir ve bu değeri bir sonraki örnekleme

anına kadar tutar. Sayısal kontrol sistemlerinde birinci mertebeden tutucu pek kullanılmaz.

Genellikle sıfırıncı mertebeden tutucu pratik uygulamalarda daha çok kullanılır. Aşağıda birinci

mertebeden tutucunun tipik bir şeması görülmektedir.

Bu tür tutucunun transfer fonksiyonunu türetmek için sisteme basit bir giriş sinyali uygulanır.

Örneğin aşağıda ( )x t giriş sinyali için bir adım girişi kullanılmıştır. Şekil (a)’da gerçek bir

örnekleyicinin ve ardına bağlanmış bir birinci mertebeden tutucunun şeması, Şekil (b)’de ise bu

yapının matematiksel olarak analiz edilebilmesine olanak sağlayan, impals örnekleyici kullanılan

eşdeğer modeli görülmektedir.


7

Birinci mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu ise şu şekilde elde edilir:

2

1

1 1( )

Ts

h

e TsG s

s T

Örnekleme ve tutma devrelerine ilişkin bahsettiklerimizi özetlersek:

Gerçek bir örnekleyici, giriş sinyalini periyodik olarak örnekler ve çıkışında bir pals dizisi

üretir. Eğer örnekleme süresi çok küçükse ya da (pratikte asla sıfır olamaz ancak) sıfır kabul

edilirse, genliği sürekli-zaman sinyalinin örnekleme anındaki genliğine eşit impals dizisi elde

edilir ve böylece örnekleyici z-domeninde analiz edilebilir.

Gerçek bir örnekleyici ve sıfırıncı mertebeden tutucu, yukarıda anlatılan yaklaşım

kullanılarak, matematiksel olarak 1 /Tse s denklemiyle modellenebilir ve böylece

örnekleyici ve tutucu içeren kontrol sistemlerinin analizi ve tasarımında bu model

kullanılabilir.


8







Zaman domenindeki bir ( )x t sinyalinin Laplace Dönüşümü, konvolüsyon integrali kullanılarak da

hesaplanabilir. Aşağıdaki impals örnekleyiciyi göz önünde bulunduralım:

Bu impals örnekleyicinin çıkışı,

0 0

( ) ( ) ( )k k

x t x T t kT x t t kT

şeklindedir. İmpals fonksiyonunun Laplace Dönüşümünün

( ) kTst kT e

şeklinde olduğu bilindiğine göre;

2 3

0

1( ) 1

1

Ts Ts Ts

Tsk

t kT e e ee

olur. Örneklenmiş sinyal ( )x t ’nin Laplace Dönüşümü,

0

( ) ( ) ( )k

X s x t x t t kT


9

olduğuna göre; ( )X s zamana bağlı iki fonksiyonun çarpımının Laplace dönüşümüdür: ( )x t ve

0

( )k

t kT

. (Bu çarpımın Laplace dönüşümünün, fonksiyonların her birinin ayrı ayrı Laplace

dönüşümlerinin çarpımına eşit olmadığına dikkat ediniz).

Laplace dönüşümü alınabilir olan ( )f t ve ( )g t şeklinde iki fonksiyonun çarpımının Laplace

dönüşümü, konvolüsyon integrali yoluyla şu şekilde hesaplanır:

0

( ) ( ) ( ) ( )

1( ) ( )

2

st

c j

c j

f t g t f t g t e dt

F p G s p dpj

Bu denklemde p integral değişkenidir. Bu denklemde ( )f t ve ( )g t yerine sırasıyla ( )x t ve

0

( )k

t kT

yazılırsa, bu durumda ( )x t ’nin Laplace dönüşümü, yani

0

( ) ( ) ( )k

X s x t x t t kT

konvolüsyon integrali yoluyla şu şekilde bulunur:

0

( )

( ) ( ) ( )

1 1( )

2 1

k

c j

T s p

c j

X s x t x t t kT

X p dpj e

Bu integral, konvolüsyon integrali olarak adlandırılır. Ters z-Dönüşümü konusundan

hatırlayacağımız üzere, bu integrali hesaplamanın pratik yolu, ilgili ifadenin rezidülerini bulmaktır.

( )

1( ) ( ) 'nin kutbundaki rezidüleri

1iT s p

X s X p p pe

şeklinde hesaplanır (bu formül, ( )X s ’in tüm kutuplarının sol yarı düzlemde olması durumunda

geçerlidir). Bu formülde, önce Tsz e dönüşümü yapılıp, sonra da integral değişkeni p’nin yerine

esas değişken s yazılırsa, ( )X z aşağıdaki şekilde bulunur:

( ) ( ) 'nin kutbundaki rezidüleriiTs

zX z X s s s

z e


10

Ör: Aşağıda verilen ( )X s fonksiyonunun z-dönüşümü olan ( )X z ’yi, Konvolüsyon İntegrali Yöntemi

ile bulunuz.

C: Verilen ( )X s fonksiyonu, 0s noktasında katlı kutba ve 1s noktasında bir kutba sahiptir.

Bu durumda ( )X z aşağıdaki gibi bulunur.

2

2 20 1

2 20 2

2

( ) ( ) 'nin kutbundaki rezidüleri

1 1 1lim lim ( 1)

(2 1)! ( 1) ( 1)

( 1)( ) 1lim

( 1)( 1)

( 1 )

( 1)

iTs

Ts Tss s

Ts Ts

Ts Ts

zX z X s s s

z e

d z zs s

ds s s z e s s z e

z z e s T e z

z es z e

z z T z

z z

2

2

1 2

21 1

1 1

( 1)

1 1

1 1

T

T T T

T

T T T

T

e

z T e z e Te

z z e

T e z e Te z

z e z

1 /Tse s Terimi İçeren Fonksiyonların z-Dönüşümünün Bulunması: Eğer s-domenindeki

fonksiyon, 1 /Tse s şeklinde bir terim içeriyorsa, bu fonksiyonun z-dönüşümü kısa yoldan

bulunabilir (bu terimin, bir sıfırıncı mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu olduğunu

hatırlayınız). z-dönüşümü bulunacak olan ( )X s fonksiyonunu,

1

( ) ( )Tse

X s G ss

şeklinde yazalım. Bu durumda, ( )X s ’in z-dönüşümü olan ( )X z şu şekilde bulunur:

1 ( )( ) ( ) 1

G sX z X s z

s


11

Ör: Aşağıda verilen fonksiyonun z-dönüşümünü bulunuz.

1 1

( )1

TseX s

s s

C:

1

1

1

1 1

1

1

1( ) ( ) 1

( 1)

1 11

1

1 11

1 1

1

1

T

T

T

X z X s zs s

zs s

zz e z

e z

e z







12


Eğer örnekleme frekansı, sürekli-zaman sinyalinin en yüksek frekanslı bileşeninden yeterince fazla

ise, örneklenmiş sinyalde sürekli-zaman sinyalinin genlik karakteristiği korunur.

Örneklenmiş sinyalden orijinal sinyali elde etmek için, örnekleme işleminin sağlaması gereken

belirli bir minimum frekans değeri vardır. Bu minimum örnekleme frekansı, “Örnekleme Teoremi”

ile belirlenir. Örnekleme teoremini açıklarken, sürekli-zaman sinyali ( )x t ’nin aşağıdaki gibi bir

frekans spektrumuna sahip olduğunu kabul edeceğiz. Yani ( )x t sinyali, 1 rad/sn frekansından

daha yüksek frekans komponentleri içermemektedir.

Örnekleme Teoremi: T örnekleme periyodu ve 2 /s T olmak üzere, eğer

12s

şartı sağlanıyorsa, orijinal sürekli-zaman sinyali ( )x t ’nin, örneklenmiş sinyal ( )x t den tekrar

üretilmesi (teorik olarak) mümkündür.

Aslında yukarıda koşul, orijinal sinyalin, örneklenmiş sinyalden yeniden üretilebilmesi için minimum

şartı verir. Pratikte ise sayısal kontrol sistemlerinin kararlılığı için örnekleme frekansı s , genellikle

110 ile 120 arasında seçilir.


13

İdeal Alçak Geçiren Filtre: İdeal bir alçak geçiren filtrenin frekans spektrumu aşağıdaki şekilde

görülmektedir. İdeal alçak geçiren filtrenin genliği, 1 1

2 2s s aralığında 1 birimdir (yani

girişteki sinyalin genliğini değiştirmez).

Örnekleme işlemi, maalesef örneklenmiş sinyale çok sayıda yüksek frekans bileşeni ekler. İdeal

alçak geçiren filtre, sadece temel bileşeni geçirir, yüksek frekans bileşenlerini durdurur. Ancak ideal

alçak geçiren filtre pratikte gerçeklenemez. Yani pratikte filtre edilen sinyal bazı yüksek frekans

bileşenlerini de içerir. Bu nedenle her ne kadar örnekleme frekansı yukarıda belirtilen kriteri

sağlayacak şekilde seçilse de, örneklenmiş sinyalden orijinal sinyalin kusursuz şekilde tekrar

üretilmesi mümkün değildir.

Sıfırıncı Mertebeden Tutucunun Frekans Karakteristiği: Daha önce sıfırıncı mertebeden tutucunun

transfer fonksiyonunun

0

1 Ts

h

eG

s

şeklinde olduğunu bulmuştuk. Aşağıdaki şekil, alçak geçiren filtrenin frekans karakteristiği ile,

sıfırıncı mertebeden tutucunun yukarıda verilen transfer fonksiyonu kullanılarak elde edilen

frekans karakteristiğini aynı grafik üzerinde göstermektedir.


14

Grafikten anlıyoruz ki, sıfırıncı mertebeden tutucunun frekans karakteristiği, alçak geçiren filtrenin

filtrenin frekans karakteristiğine benzemekte, yani sıfırıncı mertebeden tutucu bir alçak geçiren

filtre gibi davranmaktadır. Ancak bir farkla; sıfırıncı mertebeden tutucunun frekans karaktersitiği,

1

2s frekansından sonra bazı istenmeyen ek bileşenler içermektedir. Bu ek bileşenlerin genliği,

örnekleme frekansının tamsayı katlarında sıfır olmakta, buçuklu katlarında ise maksimum değerini

almaktadır. Eğer örnekleme işleminden önce bir alçak geçiren filtre kullanılırsa, bu istenmeyen ek

bileşenler büyük oranda elimine edilir ve sıfırıncı mertebeden tutucu, tutma fonksiyonuna ek

olarak bir de alçak geçiren filtre gibi görev yapar.

Hazır konu frekans cevabından açılmışken, örnekleme işleminin mevcut olduğu sistemlerde

meydana gelen birkaç olaydan bahsedelim:


15

Katlanma (Folding): Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, frekans spektrumu üzerinde üst üste binme

(çakışma) olayı Katlanma olarak adlandırılır. Bu şekil aynı zamanda katlanma olayının olduğu

bölgeyi de göstermektedir. 1

2s frekansı, “Katlanma Frekansı” ya da “Nyquist Frekansı” olarak

anılır. Pratikte, kontrol sistemlerindeki sinyaller genellikle yüksek frekans bileşenleri içerirler ve bu

nedenle katlanma olayı neredeyse her zaman mevcuttur.

Örtüşme (Aliasing): Bir ( )x t sürekli zaman sinyali örneklenip ( )x t elde edilirken, eğer örnekleme

frekansı 12s şeklinde seçilirse, örneklenmiş sinyalin frekans spektrumunun bazı bölgelerinde

aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi herhangi bir değeri için iki ayrı bileşen oluşur. Bu olaya Örtüşme

denir. Bunu engellemek için ya örnekleme frekansı yeterince büyük seçilmeli ya da örnekleyicinin

önüne bir filtre konulmalıdır.


16

Gizli Osilasyon: Eğer örneklenecek olan sürekli-zaman sinyali ( )x t , n bir pozitif tamsayı olmak

üzere örnekleme frekansı s ’in n katı frekansa sahip bileşenler içeriyorsa, bu bileşenler

örneklenmiş sinyalde görülmeyecektir. Yani örneklenecek sinyal sn bileşenine sahip bir osilasyon

içerirken, örneklenmiş sinyal böyle bir osilasyonu, yani bu bileşenin etkisini örnekleme anlarında

barındırmayacaktır. Bu bileşene ilişkin osilasyon sadece iki örnekleme anı arasında mevcuttur

ancak örnekleme anlarında mevcut değildir. Bu olaya gizli osilasyon denir.

Örneğin ( )x t sinyalinin, 1 2( ) ( ) ( ) sin sin3x t x t x t t t şeklinde iki ayrı bileşenden oluştuğunu

düşünelim. Burada örnekleme frekansı 3s rad/sn olarak seçilirse, sin3t bileşenine ilişkin

osilasyon, örneklenmiş sinyalde görülmez. Aşağıdaki şekil, bu durumu görsel olarak anlatmaktadır.


17







Analog kontrol sistemlerinde transfer fonksiyonu, sürekli-zaman çıkış sinyalinin Laplace Dönüşümü

ile sürekli-zaman giriş sinyalinin Laplace dönüşümünü ilişkilendirir.

Sayısal kontrol sistemlerinde Pals Transfer Fonksiyonu, örneklenmiş çıkışın z-dönüşümü ile

örneklenmiş girişin z-dönüşümünü ilişkilendirir.

Aşağıdaki şekilde görülen analog kontrol sisteminde çıkış ile girişin zamana bağlı ifadesi şu

şekildedir:

0 0

( )

t t

y t g t x d x t g d

( )x t ( )G s ( )y t

Bu integral, konvolüsyon integrali olarak adlandırılır.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, giriş ve çıkış sinyalleri örneklenirse, bu durumda örneklenmiş çıkış

ile örneklenmiş giriş arasındaki bağıntı şu şekilde ifade edilir:

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

h h

y kT g kT hT x hT x kT hT g hT

Bu toplam, konvolüsyon toplamı olarak adlandırılır ve basitleştirilmiş notasyonla

( ) ( ) ( )y kT x kT g kT

şeklinde gösterilir.


18

Aşağıdaki gibi, girişi ( )X z , transfer fonksiyonu ( )G z ve çıkışı ( )Y z ile gösterilen bir sistemin

Darbe Transfer Fonksiyonu şu şekildedir:

( )

( )( )

Y zG z

X z

Dikkat edilirse burada eğer giriş sinyali Kronecker Delta Girişi, yani

0

1, 0( ) ( )

0, 0

kx kt kT

k

olursa, Kronecker Delta Girişinin z-dönüşümü

0

( ) ( ) 1k

k

X z x kT z

olduğu için, çıkış doğrudan transfer fonksiyonuna eşit olacaktır, ( ) ( )Y z G z .

Sayısal kontrol sistemlerinde, sistemdeki sinyallerin bazıları impals örneklenmiş sinyaller iken

bazıları değildir. Sistemi analiz edebilmek için, sistemin pals transfer fonksiyonunun elde edilmesi

gerekir. Pals transfer fonksiyonunun elde edilebilmesi için, sinyallerin z-domeninde ifade

edilebilmesi gerekir. Dolayısıyla sinyallerin impals örneklenmiş olup olmadıkları, pals transfer

fonksiyonunun yazılması açısından büyük önem taşır. Aşağıdaki şekilde görülen basit sistemde,

sistem girişinin bir impals örnekleyici ile örneklendiğini ve sistemin s-domenindeki transfer

fonksiyonunun ( )G s olduğunu düşünelim.


19

Bu sistemde çıkışın ifadesi

( ) ( ) ( )Y s G s X s

şeklindedir. Yani çıkış, periyodu 2 / s olan periyodik sinyal ( )X s ile, periyodik olmayan ( )G s

’in çarpımına eşittir. İmpals örneklenmiş sinyaller periyodik sinyallerdir çünkü

( ) ( )sX s X s j k dır. Yukarıdaki denklemin her iki tarafının yıldızlı (impals örneklenmiş)

formuna bakalım:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s G s X s G s X s

Bu ifade, pals transfer fonksiyonunun elde edilmesi açısından oldukça önemlidir. Çünkü

( ) ( ) ( )Y s G s X s

denklemindeki tüm sinyaller yıldızlı (impals örneklenmiş) sinyaller olduğu için, bu sinyallerin her

birinin z-dönüşümünün alınması suretiyle, sistemin pals transfer fonksiyonu

( )

( )( )

Y zG z

X z

yazılabilir. Özetle eğer ilgili bloğun girişinde bir impals örnekleyici varsa, her ne kadar ( )G s

periyodik olmayan bir sinyal olsa da ( )G s ’in impals örneklenmiş formunun z-dönüşümü bulunarak

sistemin pals transfer fonksiyonu yazılabilir ve bu yolla sistemin z-domeninde analizi yapılabilir.

! Peki bloğun girişinde bir impals örnekleyici yoksa?

Bu durumu incelemek için aşağıdaki blok diyagramı göz önünde bulunduralım.

Burada frekans domenindeki transfer fonksiyonu,

( )

( )( )

Y sG s

X s

şeklindedir ancak Pals Transfer Fonksiyonu ( )G z maalesef ( )G s ’e eşit değildir. Çünkü girişte

bir impals örnekleyici yoktur.


20

Bu sistemde çıkışın ifadesi,

( ) ( ) ( )Y s G s X s

şeklindedir. Her iki tarafın impals örneklenmiş hali;

( ) ( ) ( ) ( )Y s G s X s GX s

şeklindedir ve bu denklemin her iki tarafının z-dönüşümü alınırsa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y z Y s G s X s GX s GX z G z X z

Eğer girişte bir impals örnekleyici yoksa, ( ) ( )G s X s ’in z-dönüşümünün ( ) ( )G z X z ’e eşit olmadığı,

bu dersin ilerleyen kısımlarında daha detaylı olarak tartışılacaktır.

Şimdi darbe transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin örneklere bakalım.

Ör: Şekilde verilen sistemde eğer

1

( )G ss a

şeklinde ise, sistemin pals transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: Girişte bir impals örnekleyici mevcut olduğu için, bu sistemin pals transfer fonksiyonu doğrudan

( ) ( )G z G s şeklinde bulunur. Verilen ( )G s transfer fonksiyonunun z-dönüşümü iki farklı

yoldan bulunabilir. Birinci yol, z-dönüşümü anlatılırken sunulan z-Dönüşüm Tablosuna

başvurmaktır. Bu tablodan,

1

1 1

1 aTs a e z

bulunur. Dolayısıyla pals transfer fonksiyonu


21

1

1( )

1 aTG z

e z

olarak elde edilir. İkinci yol, s-domeninde verilen fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü yoluyla

zaman domenindeki ifadesi ( )g t ’yi bulup, z-dönüşüm formülü yardımıyla ( )G z ’yi hesaplamaktır:

1

0 0 0

1

( ) ( )

( ) , 0,1,2,3,....

( ) ( )

1

1

at

akT

kk akT k aT

k k k

aT

g t G s e

g kT e k

G z g kT z e z e z

e z

Herhangi bir bloğun ya da sistemin çıkışında impals örnekleyici olup olmaması darbe transfer

fonksiyonunu etkilemez. Eğer çıkışta bir örnekleyici yoksa da varmış kabul edilebilir. Çünkü çıkış

sinyali sürekli olsa bile, bu sinyalin sadece t=kT anlarındaki değerleri göz önünde bulundurularak,

analiz buna göre yapılabilir.


22

Ör: Şekilde verilen sistemde eğer

1 1( )

1

TseG s

s s s

şeklinde ise, sistemin pals transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: Girişte bir impals örnekleyici mevcut olduğu için, bu sistemin pals transfer fonksiyonu doğrudan

( ) ( )G z G s şeklinde bulunur. Verilen ( )G s transfer fonksiyonunun z-dönüşümü iki farklı

yoldan bulunabilir. Birinci yol, z-dönüşümü anlatılırken sunulan z-Dönüşüm Tablosuna

başvurmaktır. 1 /Tse s terimi içeren fonksiyonların z-dönüşümünün hesaplanması için özel bir

formülasyon elde etmiştik. Buna göre,

1

2

1

2

11

2 1 11

1 2

1 1

1 1( ) ( )

1

11

1

1 1 11

1

1 11

1 11

1 1

1 1

Ts

T

T T T

T

eG z G s

s s s

zs s

zs s s

Tzz

z e zz

T e z e Te z

z e z

bulunur. Pals transfer fonksiyonunu ikinci yoldan bulabilir misiniz?


23

Kaskat Bağlı Elemanların Pals Transfer Fonksiyonu: Transfer fonksiyonları ( )G s ve ( )H s olan iki

bileşenin aşağıda blok diyagramda görüldüğü gibi kaskat (seri) bağlandığını düşünelim. Bu sistemin

pals transfer fonksiyonunu türetelim (Tüm örnekleyicilerin senkronize edildiğini ve aynı örnekleme

periyoduna sahip olduğunu düşünelim).

Blok diyagramdan görüldüğü gibi,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

U s G s X s

Y s H s U s

Bu denklemlerin her iki tarafının impals örneklenmiş formu;

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

U s G s X s

Y s H s U s

şeklinde olur. Buradan,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s H s U s H s G s X s

ve z-domeninde

( ) ( ) ( ) ( )Y z H z G z X z

elde edilir. Sonuç olarak bu kaskat bağlı sistemin pals transfer fonksiyonu,

( )

( ) ( )( )

Y zG z H z

X z

olur.


24

Şimdi de aşağıdaki kaskat bağlı sistemin pals transfer fonksiyonunu bulalım. Dikkat edilirse burada

( )G s ile ( )H s blokları arasında bir impals örnekleyici yoktur.

Çıkış ifadesi,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s G s H s X s GH s X s

şeklindedir. Yani,

( ) ( ) ( )GH s G s H s

dir. Çıkış denkleminin her iki tarafının impals örneklenmiş hali,

( ) ( ) ( )Y s GH s X s

olur. Bu durumda, yukarıdaki denklemin z-domenindeki ifadesi

( ) ( ) ( )Y z GH z X z

ve dolayısıyla pals transfer fonksiyonu

( )

( ) ( )( )

Y zGH z GH s

X z

olur. Aşağıdaki ayrıntıya dikkat edilmelidir:

( ) ( ) ( ) ( )G z H z GH z GH s

Diğer bir ifadeyle,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

G z H z G s H s

GH z G s H s

Bu önemli ayrıntıyı bir örnekle açıklayalım.


25

Ör: Aşağıda Şekil (a) ve Şekil (b)’de verilen sistemlerin her biri için ( ) / ( )Y z X z pals transfer

fonksiyonunu bulunuz.

C: Şekil (a)’da verilen sistemde ( )G s ile ( )H s arasında bir impals örnekleyici mevcuttur. Bu

nedenle pals transfer fonksiyonu

( )

( ) ( )( )

Y zG z H z

X z

şeklindedir. Verilen ( )G z ve ( )H z ifadeleri için pals transfer fonksiyonunu hesaplayalım.

1 1

( ) 1 1 1 1( ) ( )

( ) 1 1aT bT

Y zG z H z

X z s a s b e z e z


26

Şekil (b)’de verilen sistem için pals transfer fonksiyonu ise

( ) 1 1

( )( )

Y zGH z

X z s a s b

Parantez içindeki ifade kısmi kesirlerine ayrılırsa,

1 1

1

1 1

( ) 1 1 1( )

( )

1 1 1

1 1

1

1 1

aT bT

aT bT

aT bT

Y zGH z

X z b a s a s b

b a e z e z

e e z

b a e z e z

Bu örnekten görüldüğü üzere, ( ) ( ) ( )G z H z GH z dir. Pals transfer fonksiyonu elde edilirken,

kaskat bağlı elemanların arasında bir impals örnekleyici olup olmadığına dikkat edilmelidir.


27

Kapalı Çevrim Sistemlerin Pals Transfer Fonksiyonu: Kapalı çevrim bir sistemde, çevrimin içinde

bir örnekleyici olup olmaması, sistemin dinamik davranışını etkiler. Çevrimin dışında örnekleyici

olup olmaması ise sistem davranışını etkilemez.

Aşağıdaki kapalı çevrim sistemi göz önünde bulunduralım. Bu sistemde hata sinyali

örneklenmektedir.

Blok diyagramdan görüleceği üzere,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

E s R s H s C s

C s G s E s

Dolayısıyla,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s G s E s

Bu denklemin her iki tarafının impals örneklenmiş hali,

( ) ( ) ( ) ( )E s R s GH s E s

şeklindedir. Bu denklem ( )E s için çözülürse, hata transfer fonksiyonu

( )

( )1 ( )

R sE s

GH s

olarak bulunur. Çıkış ifadesi ( ) ( ) ( )C s G s E s olduğu için,

( ) ( )

( )1 ( )

G s R sC s

GH s


28

şeklindedir. Bu ifade z-domeninde

( ) ( )

( )1 ( )

G z R zC z

GH z

olarak yazılır. Buradan, bu sistemin pals transfer fonksiyonu

( ) ( )

( ) 1 ( )

C z G z

R z GH z

olarak elde edilir.

Eğer ( )G s bloğunun çıkışında da aşağıdaki gibi bir impals örnekleyici olsaydı, bu durumda pals

transfer fonksiyonu

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C z G z

R z G z H z

olacaktı.

Aşağıdaki tablo, çeşitli kapalı çevrim blok diyagramlar için çıkışın z-domenindeki ifadesini

vermektedir. Tüm bloklarda örnekleyicilerin senkron ve aynı örnekleme frekansına sahip olduğu

kabul edilmektedir. Dikkat edilirse bazı sistemlerde ( ) / ( )C z R z ifadesi yazılamamaktadır (çünkü

( )R z denklemin diğer tarafına geçirilememektedir), yani bu sistemlerin pals transfer fonksiyonu

yoktur. Her ne kadar bazı konfigürasyonlar için pals transfer fonksiyonu yazılamasa da, şu ana

kadar öğrendiğimiz yöntemler bu sistemlerin analizi için halen uygulanabilir.


29


30

Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemlerinin Pals Transfer Fonksiyonu: Aşağıda Şekil (a)’da bir

sayısal kontrol sisteminin en temel blok diyagramı görülmektedir. Şekil (b)’de ise bu blokların her

birinin transfer fonksiyonu gösterilmektedir.

Sayısal kontrolörün transfer fonksiyonu ( )DG s ile gösterilmiştir. Bilgisayar (sayısal kontrolör), giriş-

çıkış ilişkisi ( )DG z pals transfer fonksiyonu ile verilen fark denklemini çözer.

Bu sistemde çıkış ( )c t , geribesleme yolu üzerinden giriş ( )r t ile karşılaştırılır ve bu karşılaştırma

sonucunda üretilen hata sinyali ( ) ( ) ( )e t r t c t örneklenir, daha sonra bir bu sinyal bir A/D

dönüştürücü vasıtasıyla bir sayısal sinyale dönüştürülür. Sayısal sinyal ( )e kT kontrolöre beslenir ve

kontrolör ( )m kT sinyalini üretir.

( )e kT ile ( )m kT arasındaki ilişki, darbe transfer fonksiyonu ( )DG z tarafından belirlenir. Yani

( )DG z ’in kutupları uygun şekilde seçilerek, arzu edilen giriş-çıkış karakteristiği elde edilir.

Şekil (b)’yi göz önünde bulundurarak bu kapalı çevrim sistemin transfer fonksiyonunu türetelim.

Şekil (b)’den görüleceği üzere,

1

( ) ( )Ts

p

eG s G s

s


31

şeklindedir. Ayrıca yine Şekil (b)’den

( ) ( ) ( ) ( )DC s G s G s E s

ya da impals örneklenmiş formda

( ) ( ) ( ) ( )DC s G s G s E s

elde edilir. Bu denklem z-domeninde

( ) ( ) ( ) ( )DC z G z G z E z

şeklinde ifade edilir. ( ) ( ) ( )E z R z C z olduğu için,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )DC z G z G z R z C z

olur ve buradan kapalı çevrim pals transfer fonksiyonu

( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

D

D

C z G z G z

R z G z G z

şeklinde elde edilir. Bu denklem bir sayısal kontrol sisteminin kapalı çevrim darbe transfer

fonksiyonunu verir. Böyle bir kapalı çevrim sayısal kontrol sisteminin performansı, pals transfer

fonksiyonu ( )DG z ’in (yani kontrolörün) uygun bir şekilde seçimi yoluyla iyileştirilebilir. Dersin

ileriki haftalarında, ( )DG z ’in (yani kontrolörün) tasarımı için çok sayıda yöntem göreceğiz. Şimdi

ise burada ( )DG z ’in tasarımı için sadece basit bir kontrolörün yapısını sunacağız: Sayısal PID

kontrolör.


32

Sayısal PID Kontrolörün Pals Transfer Fonksiyonu: Elli yıldan fazla bir süredir, analog PID

kontrolörler endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır. PID kontrolün temel prensibi, manipüle

edilecek değişkenin üzerinde üç temel kontrol aksiyonunu etki ettirmektir: (1) Oransal

(Proportional) kontrol aksiyonu, (2) Integral kontrol aksiyonu, (3) Türevsel (Derivative) kontrol

aksiyonu.

Analog PID kontrolörün denklemi,

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

d

i

de tm t K e t e t dt T

T dt

şeklindedir. Burada ( )e t kontrolör giriş sinyali (hata sinyali), ( )m t kontrolör çıkış sinyali, K oransal

kazanç, iT integral zamanı,

dT türev zamanı olarak adlandırılır.

Sayısal PID kontrolörün pals transfer fonksiyonunu elde etmek için, yukarıdaki denklem önce

ayrıklaştırılmalı (yani ( )m kT ve ( )e kT ifadeleri bulunmalı) ve daha sonra da z-dönüşümü

yardımıyla çıkış ( )M z ile giriş ( )E z arasındaki pals transfer fonksiyonu yazılmalıdır. Denklemdeki

türev ve integral işlemleri için uygun ayrıklaştırma yöntemleri kullanılırsa, sayısal PID kontrolörün

pals transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir:

1

1

( )( ) 1

( ) 1

ID p D

M z KG z K K z

E z z

Burada,

: Oransal kazanç2 2

: İntegral kazancı

: Türev kazancı

Ip

i

I

i

dD

KT KK K K

T

KTK

T

KTK

T

olarak isimlendirilir. Türev ve integral içeren terimlerin ayrıklaştırılması için faklı nümerik

yaklaşımlar kullanıldığında, sayısal PID kontrolörün farklı pals transfer fonksiyonu ifadeleri elde

edilebilir ancak yukarıdaki form, yaygın olarak kullanılan formdur.


33

Ör: Aşağıdaki şekilde görülen PID kontrolörde plantın (kontrol edilecek sistemin) transfer

fonksiyonu,

1

( )( 1)

pG ss s

şeklindedir. Örnekleme periyodu ise T=1 sn olarak seçilmiştir. Kontrol kazançlarının değeri 1pK ,

0.2IK , ve 0.2DK olarak seçilirse, sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: Örnekleme periyodu 1 sn olduğuna göre, sıfırıncı mertebeden tutucunun transfer fonksiyonu,

1

( )s

h

eG s

s

olur. Bu durumda plant+tutucunun transfer fonksiyonunun z-dönüşümü

1 2

1 1

1 1 0.3679 0.2642( )

( 1) 1 0.3679 1

se z zG z

s s s z z

olarak bulunur. Eşdeğer blok diyagram aşağıdaki gibi elde edilir:

Kontrol kazançları için verilen değerler, sayısal PID kontrolörün daha önce elde edilen transfer

fonksiyonunda yerine yazılırsa, kontrolörün transfer fonksiyonu şu şekilde olur:


34

1 2

1

1.4 1.4 0.2( )

1D

z zG z

z

Böylece kapalı çevrim transfer fonksiyonu ise

1 2 3 4

1 2 3 4

( ) ( ) ( ) 0.5151 0.1452 0.2963 0.0528

( ) 1 ( ) ( ) 1 1.8528 1.5906 0.6642 0.0528

D

D

C z G z G z z z z z

R z G z G z z z z z

olarak elde edilir.

Geçici Durum Cevabının MATLAB ile Çizdirilmesi: Yukarıdaki örnekte elde edilen PID kontrolörün

geçici durum cevabını k=40 örnek için çizdirelim. Bu durumda giriş sinyali ( )r t , MATLAB ortamında

r=ones(1,41)

komut satırıyla tanıtılır. Aşağıdaki kod parçası, örnekte verilen sistemin sistemin birim adım girişine

cevabını (k’ya karşılık c(k)’nın değişimini) çizdirir.

num = [0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];

den = [1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];

r = ones(1,41);

k = 0:40;

c = filter(num,den,r);

plot(k,c,’o’,k,c,’-‘)


35

Aynı sistemin rampa girişine cevabı ise aşağıdaki kod ile çizdirilir ve şekildeki gibi bir değişim elde

edilir.

num = [0 0.5151 -0.1452 -0.2963 0.0528];

den = [1 -1.8528 1.5906 -0.6642 0.0528];

k = 0:40;

r = [k];

c = filter(num,den,r);

plot(k,c,’o’,k,c,’-‘,k,k,’—‘)

sayisal kontrol sİstemlerİnİn z dÜzlemİnde...

Documents