sau predavanje 10

7/26/2019 Sau Predavanje 10

1/15

27. Algebarski kriterijumi stabilnosti diskretnih sistema

Jury-jev kriterijum stabilnosti

Najee korien algebarski kriterijum stabilnosti za diskretne sisteme jeste Jury-jev

kriterijum. Polazi se od pretpostavke da je karakteristini polinom sistema poznat i dat u formi:

( ) 11 1n n

n n 0f z a z a z a z a

= + + + + (10.1)

Tada je neophodno formirati takozvanu Jury-jevu tablicu brojeva koja ima 2n-3 vrsta, gde je n

stepen karakteristinog polinoma:

0 1 2 1

1 2 1

0 1 2 1

1 2 3 0

0 1 2

2 3 4

3 02 1

0 1 2

1

2

3

4

56

2 2

2 3

n n

n n n

n

n n n

n n n

a a a a a

a a a a a

b b b b

b b b b

c c cc c c

l ll ln

n m m m

0

(10.2)

pri emu se koeficijenti raunaju na sledei nain:

0 0 1

1 3

, , ...,n k n k k

k k k

n k n k k

a a b b l l b c m

a a b b l l

= = = 0 3 (10.3)

Tada su uslovi stabilnosti diskretnog sistema, koji su ekvivalentni uslovu da su svi polovi sistema

unutar jedininog kruga, sledei:

( )

( ) ( )

0 0 1 0 2

1 0

1 1 0

, , ,...

n

n n n

f

f

a a b b c c

>

>

< >

= + >

= + >

+

0 (10.9)

Opseg vrednosti parametraKkoji zadovoljava navedene nejednakosti je:


3/15

13 1

0.5,6

K

)

(10.10)

Primer 10.3: U ravni parametara ( skicirajmo oblast stabilnosti za sistem sa karakteristinim

polinomom

,a b

( ) 3f z z az= + + b .

Jury-jeva tablica za ovaj sistem ima formu

2

1 0

2 1 0

3 1

b a

a b

b ab a

1

(10.11)

a uslovi stabilnosti glase:

( )

( ) ( )3

2

1 1 0

1 1 1

1

1

f a b

f a

b

b a

= + + >

= + >

0b (10.12)

Na slici 10.2 je prikazano geometrijsko mesto taaka u ravni parametara ( ),a b za koje su navedene

nejednakosti zadovoljene.

a

b

1b a=

1b a= +

1b =

1b =

1

1 1

1b a=

1b a=

Slika 10.2: Oblast stabilnosti u ravni parametara ( ),a b

Vrlo esto se analiza stabilnosti linearnih diskretnih sistema vri tako to se potrai njihov

kontinualni ekvivalent, koji je po pitanju stabilnosti identian, a onda se primeni neki od kriterijumaza ispitivanje stabilnosti kontinualnih sistema, kao to su na primer Routh-ov ili Hurwitz-ovkriterijum.


4/15

Primena bilinearne transformacije

Jedan od postupaka za diskretizaciju kontinualnih sistema bila je Tustin-ova ili bilinearnatransformacija, koja se zasnivala na preslikavanju iz 's' u 'z'ravan:

2

1

zs

T z

1=

+ (10.13)

koja je imala dobru osobinu da, nezavisno od vrednosti periode diskretizacije T, levu poluravan 's'

ravni preslikava u jedinini krug 'z' ravni. Otuda se, esto, za ispitivanje stabilnosti linearnih

diskretnih sistema koristi ova transformacija, kako bi se odredio kontinualni ekvivalent, pa na

njemu ispitala stabilnost. Ovu tehniku emo ilustrovati na sledeem primeru.

Primer 10.4:Funkcija povratnog prenosa diskretnog sistema je

( ) 2 1K

W zz z

= +

(10.14)

Odredimo njegov diskretni ekvivalent, usvajajui T=2:

( ) ( ) ( )2

1 2 21

1 23 11 1

11 1

sz

s

K s sKW s W z ss s

s s

+=

+= = =++ +

+

(10.15)

Kako je u pitanju funkcija povratnog prenosa sistema, karakteristini polinom postaje:

( ) ( ) 23 2 1f s K s Ks K= + + + (10.16)

Za kontinualne sistema prvog i drugog reda potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jesteda su svi koeficijenti karakteristinog polinoma istog znaka. Otuda dobijamo uslove:

(10.17)3 0, 0, 1K K K+ > > + > 0

to rezultuje konanim dozvoljenim opsegom vrednosti parametraK:

( )1,0K (10.18)

28. Grafoanalitiki kriterijumi stabilnosti kontinualnih sistema

Najee korieni grafoanalitiki kriterijumi stabilnosti sistema su Nyquist-ovkriterijum ikriterijumMihajlova. Ovi kriterijumi se baziraju na Koijevoj teoremi o prirataju argumenta, pa e,za poetak, na ovom mestu, ukratko biti sadraj ove znaajne teoreme.

Koijeva teorema o prirataju argumenta

Pretpostavimo da nam je data funkcija kompleksne promenljive ( )F s i da je u 's' ravni datakontura C, kako je to prikazano na slici 10.3.a. Pretpostavimo jo da je konturi C pridruen

pozitivan smer obilaska (pod pozitivnim smerom se podrazumeva smer kretanja suprotan odkazaljke na satu). Zamislimo dalje da je za svaku vrednost kompleksne promenljivessa konture C,

sraunata vrednost funkcije ( )F s i da je ta vrednost ucrtana u ( )F s ravni. Kretanjem po konturi C

i preslikavanjem svake take sa ove konture u ravan ( )F s , formira se kontura u ravni'C ( )F s ,

kako je to prikazano na slici 10.3.b.

Izaberimo taku A na konturi C i odgovarajuu taku A' na konturi C'. Uoimo vektor u

ravni ( )F s iji je poetak u koordinatnom poetku, a vrh se nalazi u taki 'A . Ukoliko

kompleksna promenljiva pone da se kree, iz take A obilazei konturu C, tada e i posmatranivektor poeti da se okree oko koordinatnog poetka. Koijevom teoremom je dokazano da e

prirataj argumenta ovog vektora, kada kompleksna promenljivasobie konturu Cbiti jednak:


5/15

( ) ( )arg 2s C

F s N

= P (10.19)

gde je saNoznaen broj nula a saPbroj polova funkcije ( )F s koje su obuhvaene konturom C.

{ }Re s

{ }Im s

C

( ){ }Re F s

( ){ }Im F s

'C

A'A

(a) (b)

Slika 10.3: a) Kontura Cu ravni kompleksne promenljive s, b) Odgovarajua preslikana

kontura ' u ravniC ( )F s

Primenom Koijeve teoreme o prirataju argumenta, mogue je izvesti dva razliita kriterijuma za

ispitivanje stabilnosti kontinualnih sistema.

Nyquist-ov kriterijum stabilnosti kontinualnih sistema

Poimo od pretpostavke da je na sistem, iju stabilnost ispitujemo, predstavljen kao sistem

sa jedininom negativnom povratnom spregom (slika 10.4)

( )W s( )r t ( )e t ( )c t

+

Slika 10.4: Struktura sistema sa jedininom negativnom povratnom spregom

pri emu je funkcija povratnog prenosa realna racionalna funkcija:

( ) ( )

( ),m

n

P sW s m n

Q s= (10.20)

Primeniemo Koijevu teoremu o prirataju argumenta usvajajui da je funkcija :( )F s

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 m n

n

P s Q sF s W s

Q s

+= + = (10.21)

a da je kontura Ctako izabrana da pokriva celu desnu poluravan 's'ravni, dakle poluravan u kojoj se

nalaze nestabilni polovi sistema. Ova oblast je prikazana na slici 10.5.


6/15

{ }Re s

{ }Im s

R

A

B

D

E

Slika 10.5: Kontura Ckoja pokriva desnu poluravan s ravni

Primetimo da se prikazana kontura Csastoji iz tri segmenta. Prvi segment je od takeAdo takeB

pozitivni deo imaginarne ose, drugi segment BDE je polukrug beskonanog poluprenika sacentrom u koordinatnom poetku, i trei segmentEAje negativni deo imaginarne ose.

Pre nego to primenimo Koijevu teoremu o prirataju argumenta, primetimo da se naa

funkcijaF(s)moe napisati u formi:

( ) ( ) ( )

( )1 z

o

f sF s W s

f s= + = (10.22)

gde je u brojiocu sa ( )zf s oznaen karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi, a u

imeniocu sa ( )0f s je oznaen karakteristini polinom sistema u otvorenoj sprezi. Tada je, po

tvrenju Koijeve teoreme mogue napisati:

( )( ) ( )arg 1 2s ABDEA

W s N P

+ = (10.23)

Znak minus je dodat na desnoj strani jednakosti (10.23) jer je smer kretanja po konturi sa slike 10.5

negativan. U relaciji (10.23) je sada sa Noznaen broj nula funkcije koji je obuhvaen

konturom C. Imajui u vidu relaciju (10.22) i poloaj konture, jasno je da N predstavlja brojnestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi i, analogno tome, P predstavlja broj nestabilnih

polova sistema u otvorenoj sprezi.

( )1 W s+

Potreban i dovoljan uslov da sistem bude stabilan jeste da karakteristini polinom u

zatvorenoj sprezi ( )zf s nema nula u desnoj poluravni 's' ravni, odnosno unutar konture C, te uslovstabilnosti sistema postaje (N=0):


7/15

( )( )arg 1 2s ABDEA

W s P

+ = (10.24)

Prirataj argumenta iz poslednje relacije se moe napisati kao zbir tri prirataja argumenta po

pojedinim segmentima:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )arg 1 arg 1 arg 1 arg 1s ABDEA s AB s BDE s EA

W s W s W s W s

+ = + + + + + (10.25)

Drugi sabirak u poslednjem izrazu je jednak nuli, jer kada kompleksna promenljiva s pripada

segmentuBDEona se moe napisati u obliku:

[ ]e , , / 2, / 2js R R = (10.25)

i tada srednji sabirak postaje:

( )( )

( )( )

1

2 22 2 2 2

arg 1 arg arg lim arg 0n n j

z

n n jRs BDE s BDE o

f s a R e aW s

f s a R e a

= =

+ = = = =1 (10.26)

gde je sa noznaen red sistema.

Takoe su, u relaciji 10.25, prvi i trei sabirak identini, jer je segment ABkonjugovano

kompleksan segmentuEA.Tako da se na kraju, kao potreban i dovoljan uslov stabilnosti sistema u

zatvorenoj sprezi dobija sledea relacija:

( )( ) ( )( )[0, )

arg 1 arg 1s AB

W s W j P

+ = + = (10.27)

U primeni Nyquist-ovog kriterijuma se najee ne rauna funkcija ( )( )1 W s+ vefunkcija ( )W s ,ali da bi prirataj argumenta ostao nepromenjen, vektor iji se argument rauna nema poetak u

koordinatnom poetku ve u taki . Time smo doli do konane forme Nikvistovog

kriterijuma stabilnosti kontinualnih sistema:

( 1, 0j )

Potreban i dovoljan uslov da kontinualni sistem ija je funkcija povratnog prenosa ( )W s bude

stabilan jeste da prirataj argumenta vektora iji je poetak u taki ( )1, 0j a vrh se kree po krivoj

( )W j za [0, ) bude P gde je P broj nestabilnih polova sistema u otvorenoj sprezi.

Vrlo esto, u primeni, funkcija povratnog prenosa ima formu ( )KW s , gde je K nepoznati

parametar iji opseg treba odrediti da bi sistem bio stabilan. Tada se Nikvistova kriva crta za

funkciju a poetak vektora, iji argument raunamo, se smeta u taku( )W s ( )1/ , 0K j .

Primer 10.5: Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema ija je funkcija

povratnog prenosa

( )( ) ( )

2

1

1 2W s K

s s=

+ + (10.28)

Potrebno je da skiciramo Nikvistovu krivu:

( ) ( )

( ) ( )2

1'

1 2

W jW j

K j j

= =+ +

(10.29)

i da je predstavimo u ( )'W s ravni. U tom cilju, vano je odrediti poetnu taku krive, za 0= ,

terminalnu taku krive za i mogue preseke krive sa realnom i imaginarnom osom. U tomsluaju, izraz (10.29) treba predstaviti u obliku zbira realnog i imaginarnog dela:


8/15

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2

22 2

1 2 2'

1 4 4

j jW j R jI

2

= + =

+ +

(10.30)

gde je

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

22

2 22 2 2 2 2

52 4 ;

1 4 4 1 4 4R I

2

= = + + + +

(10.31)

Na osnovu ovih izraza moemo odrediti sledee karakteristine take:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3 / 2

2 3

0 0 0.5, 0 0

1 1lim ' lim lim 0

1 1

j

R I

W j ej j j

= = =

= = =+ +

(10.32)

( ) ( ) 2 20 0.5 0.59

R I = = = (10.33)

( ) ( ) 10 5 518

I R = = = (10.34)

Navedene, kritine take su nam dovoljne da skiciramo Nikvistovu krivu i ona je prikazana na slici

10.6.

( ){ }Re 'W s

( ){ }Im 'W s

0.5

2 2 / 9

1/18

Slika 10.6: Nikvistova kriva za primer 10.5

Zavisno od paramtraK, poetak Nikvistovog vektora ( )1/ , 0K j moe uzeti razliite vrednosti. Na

slici 10.6 vidimo da Nikvistova kriva deli realnu osu na etiri segmenta i za svaki od njih moemo

izvriti sledeu analizu:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

[0, )

[0, )

[0, )

[0, )

1/ 1/18 arg 0

1/ 1/18,0 arg 2

1/ 0,0.5 arg

1/ 0.5 arg 0

K W j

K W j

K W j

K W j

< =

=

=

> =

(10.35)


9/15

Uzimajui u obzir injenicu da je sistem u otvorenoj sprezi stabilan, odnosno da je parametar P=0,jedino prvi etvrti segment realne ose zadovoljavaju Nikvistov kriterijum stabilnosti, te dolazimo do

zakljuka da je sistem u zatvorenoj sprezi stabilan ukoliko parametarKuzme vrednost iz intervala:

( )2,18K (10.36)

Primer 10.5: Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo stabilnost sistema ija je funkcija

povratnog prenosa

( ) ( )

( )

2

2

1

4

K sW s

s s

+=

+ (10.37)

Primena Nikvistovog kriterijuma u ovom sluaju nije direktna, kao u malopreanjem sluaju, jer

sistem u otvorenoj sprezi ima tri pola na imaginarnoj osi. U ovim takama funkcija povratnogprenosa nije definisana i putanja kompleksne promenljive s se u tom sluaju mora modifikovati

kako bi Nikvistov kriterijum bio primenjiv. Uobiajen put kompleksne promenljive s bi bio

, [0,s j ) = ali u takama 0= i 2= , se nalaze polovi sistema u otvorenoj sprezi, te ovaj

put trajektoriju treba promeniti neznatno i zaobii singularitete tipa polova. Putanja kompleksne

promenljives, je u ovakvom sluaju, prikazana na slici 10.7.

{ }Re s

{ }Im s

A

B

C

D

E

2

Slika 10.7: Kretanje kompleksne promenljivesu sluaju postojanja singulariteta tipa polova naimaginarnoj osi

Pri tome je vano napomenuti da je etvrtkrugABuveden kako bi se zaobiao pol u koordinatnompoetku, dok je polukrug CD uveden kako bi se zaobiao pol u taki 2j. Takoe je vanonapomenuti, da u elji da ova trajektorija to manje odstupa od uobiajenog kretanja kompleksne

promenljive s po imaginarnoj osi, poluprenici i etvrtkruga AB i polukruga CD treba da budu

beskonano mali.

Poto smo ovako definisali kretanje kompleksne promenljivesu njenoj ravni, primetimo da

svi polovi funkcije povratnog prenosa ( )W s ostaju sa leve strane trajektorije, dakle parametar P

ima vrednostP=0.

Sledei korak u analizi stabilnosti je crtanje Nikvistove krive, odnosno preslikavanje svakog

od segmenata sa slike 10.7 u odgovarajui segment u

( )'W s ravni.

Postupak crtanja Nikvistove krive se realizuje kroz sledee segmente:


10/15


11/15

( )( ) ( )arg /s ABCDE

W s K P N

= (10.44)

gde je saNoznaen broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi. Lako se proverava da je za

negativnoK, broj nestabilnih polova sistema u zatvorenoj spreziN=3.

( ){ }Re 'W s

( ){ }Im 'W s

'A

'B

'C

'D

'E

Slika 10.8.

29. Grafoanalitiki kriterijumi stabilnosti diskretnih sistema

Primena Nikvistovog kriterijuma u analizi stabilnosti diskretnih sistema

Kao i u sluaju kontinualnih sistema, pretpostavlja se da je diskretni sistem dat u formi

sistema sa jedininom negativnom spregom (slika 10.9).

( )W z[ ]r k [ ]e k [ ]c k

+

Slika 10.9: Struktura diskretnog sistema

pri emu je funkcija povratnog prenosa poznata i predstavljena u formi realne racionalne funkcije

po kompleksnoj promenljivojz:

( ) ( )

( ),m

n

P zW z m n

Q z= (10.45)

Funkcija na koju se primenjuje Koijeva teorema o prirataju argumenta je ista kao i za sluaj

kontinualnog sistema:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )0

1m n z

n

P z Q z f zF z W z

Q z f z += + = = (10.46)


12/15

gde je sa ( )zf z oznaen karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi a sa ( )0f z

karakteristini polinom sistema u otvorenoj sprezi. Kontura C se ponovo bira tako da pokrije ceo

skup taaka 'z' ravni koji predstavlja nestabilne polove. Dakle, to je spoljanjost jedininog kruga.Ova kontura je prikazana na slici 10.10.

{ }Re z

{ }Im z

1

R

BC D

E F

Slika 10.10: Kontura u 'z'ravni koja pokriva oblast nestabilnosti

Polazei od Koijeve teoreme o prirataju argumenta moemo dalje pisati:

( )( ) ( )arg 1 2z ABCDEFA

W z N P

+ = (10.47)

gde je saNoznaen broj nula funkcije ( )( )1 W z+ koje su obuhva

ene konturom, aPbroj polova

iste funkcije koje su obuhvaene konturom. Imajui u vidu da funkcija predstavlja

kolinik karakteristinih polinoma sistema u zatvorenoj i otvorenoj sprezi, postaje jasni da jeNbroj

nestabilnih polova sistema u zatvorenoj sprezi a P broj nestabilnih polova sistema u otvorenojsprezi. Takoe, predznak '-' u poslednjoj relaciji stoji jer je smer kretanja po konturi u pravcu

kazaljke na satu, dakle negativan.

( )(1 W z+ )

Shodno napred reenom, kao uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi moemo postaviti

uslov

( )( )arg 1 2z ABCDEFA

W z P

+ = (10.48)

a imajui u vidu oblik konture za koju se prirataj argumenta rauna, ovaj prirataj argumenta se

moe razloiti na 5 sabiraka:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

arg 1 arg 1 arg 1

arg 1 arg 1 arg 1

z ABCDEFA z AB z BC

z CDE z EF z FA

W z W z W z

W z W z W z

+ = + + +

+ + + + + + (10.49)

Lako se pokazuje da su prvi i poslednji sabirci identini (po gornjem i donjem polukrugu jedininog

kruga) jer su to konjugovano kompleksni segmenti sa istim pravcem kretanja. Dalje, kretanjem po

realnoj osi (segmentiBC iEF) funkcija ( )( )1 W z+ stalno dobija istu realnu vrednost, te promeneargumenta nema. Konano, prilikom kretanja po krugu CDEmoduo kompleksne promenljive z je

beskonano veliki, a kako je funkcija ( )(1 W z+ ) zapravo kolinik dva polinoma istog stepena, za


13/15

svaku taku sa ovog kruga beskonanog poluprenika, ovaj kolinik dva polinoma dobija vrednostrealne konstante. Dakle, i ovaj prirataj argumenta je jednak nuli. Konano, uslov stabilnosti

diskretnog sistema postaje:

( )( )[ ]

( )( )0,

arg 1 arg 1 j

z AB

W z W e P

+ = + = (10.50)

Kao i kod praktine primene, uobiajeno je da se ne crta hodograf funkcije ve samo

funkcije ali se zato poetak vektora iji prirataj argumenta raunamo pomera u taku

. Tako da konani uslov stabilnost diskretnog sistema postaje:

( )(1 W z+ )

)

( )W z

( 1, 0j

[ ]

( )( ) (0,

arg ; 1, 0jW e P j

= ) (10.51)

a konani stav o stabilnosti glasi:

Potreban i dovoljan uslov da diskretni sistem ija je funkcija povratnog prenosa ( )W z bude

stabilan jeste da prirataj argumenta vektora iji je poetak u taki ( )1, 0j a vrh se kree po

Nikvistovoj krivoj ( jW e ) za [ ]0, bude P gde je P broj nestabilnih polova sistema uotvorenoj sprezi.

Primer 10.6:Primenom Nikvistovog kriterijuma ispitajmo opseg vrednosti parametraKza koju je

sistem sa funkcijom povratnog prenosa

( )( )

1

1W z K

z z=

(10.52)

Po Nikvistovom kriterijumu potrebno je da pustimo kompleksnu promenljivu z da se kree po

gornjem polukrugu jedininog kruga i da za svaku od tih taaka odredimo odgovarajuu vrednostfunkcije povratnog prenosa. Meutim, primetimo da zadata funkcija povratnog prenosa ima pol u

taki 1 koji je takoe na jedininom krugu, i zbog toga je putanju kompleksne promenljive z

potrebno neznatno modifikovati kako je to prikazano na slici 10.11.

{ }Re z

{ }Im z

11 A

B

C

Slika 10.11: Putanja kompleksne promenljivez

S obzirom da sada putanja kompleksne promenljivez ima dva segmenta, crtanje Nikvostove krive

treba realizovati iz dva koraka.

[ ]

( )

( )0 0 0

1 , 0, 0, / 2

1 1 1lim lim lim

1

j

j

j

jj j

z AB z e

W ee

K ee e

= +

+= =

+

= (10.53)


14/15

Poslednja relacija nam govori o tome da se etvrtkrug AB beskonano malog poluprenikapreslikava u etvrtkrug beskonano velikog poluprenika u etvrtom kvadrantu kreui se u smeru

kazaljke na satu.

Sledei korak u formiranju Nikvistove krive je preslikavanje drugog segmentaBC:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

, (0 , ]

1 1

cos 2 cos sin 2 sin1

j

j

j j

z BC z e

W e

K je e

+

=

= = +

(10.54)

U cilju jednostavnijeg crtanja Nikvistove krive i odreivanja kritinih taaka, pogodno je poslednjiizraz napisati u formi zbira realnog i imaginarnog dela:

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

cos 2 cos sin 2 sin

2 1 cos 2 1 cos

jW ej R

K

jI= =

+ (10.55)

Kritine take se odreuju na osnovu preseka Nikvistove krive sa realnom i imaginarnom osom

ravni:( )W z

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

30 cos 2 cos cos 0.5 4 / 3 2 / 3

3

0 sin 2 sin sin 0 cos 0.5

/ 3 / 3 1, 0.5

R I

I

R R

= = = = =

= = = =

= = = =

(10.56)

Na osnovu dobijenih rezultata moe se skicirati Nikvistova kriva i ona je prikazana na slici 10.12.

( ){ }Re 'W z

( ){ }Im 'W z

'

'B

R

1 0.5

3 / 3

Slika 10.12: Nikvistova kriva za diskretni sistem

Nikvistova kriva deli realnu osu na tri segmenta, i zavisno od vrednosti parametra K prirataj

argumenta Nikvistovog vektora uzima razliite vrednosti:


15/15

( )

( )

( )

( )

1/ 1 arg 0

1/ 1,0.5 arg 2

1/ 0.5 arg

z ABC

z ABC

z ABC

K W z

K W

K W z

z

< =

=

> =

(10.57)

Kako je za zadati sistem parametarP=0, jer svi polovi ostaju van modifikovane konture, jedino prvisegment zadovoljava Nikvostov uslov da je:

( )arg 0z ABC

W z P

= = (10.58)

te traeni opseg vrednosti pojaanjaKpostaje:

( )1,0K (10.59)

sau predavanje 10

Documents