sadržaj predrag vidović - studentiees.files.wordpress.com · pomaka, koje unose trofazni...

Sadržaj Predrag Vidović

SADRŽAJ:

1 UVOD ........................................................................................................................1

1.1 PRENOSNE MREŽE ....................................................................................2 1.1.1 Proračuni tokova snaga ............................................................................2 1.1.2 Proračuni kvarova ......................................................................................2

1.2 DISTRIBUTIVNE MREŽE ........................................................................3 1.2.1 Proračuni tokova snaga ............................................................................3 1.2.2 Proračuni kvarova ......................................................................................5

1.3 PREDMET TEZE ...........................................................................................5

2 PRORAČUN SIMETRIČNIH TOKOVA SNAGA DISTRIBUTIVNIH MREŽA I NJEGOVA TEORIJSKA ZASNOVANOST ...............................................................................................8

2.1 MODEL ELEMENATA MREŽE...........................................................13 2.2 MODEL MREŽE I NJEGOV PRORAČUN ......................................15

2.2.1 Model radijalne mreže i njegov proračun........................................15 2.2.2 Proračun modela distributivnih mreža s konturama...................25

3 EKVIVALENTNE ŠEME I MATEMATIČKI MODEL TROFAZNE DISTRIBUTIVNE MREŽE .......................................52

3.1 MODELI POTROŠAČA ............................................................................52 3.1.1 Tretman potrošača....................................................................................52 3.1.2 Potrošači koji se napajaju sa strane transformatora čiji su

namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem i bez neutralnog provodnika .........................................54

3.2 MODEL SEKCIJE VODA ........................................................................57 3.3 MODELI TRANSFORMATORA ..........................................................58 3.4 MODEL MREŽE ..........................................................................................61

4 PROCEDURE SUMIRANJA STRUJA I KOREKCIJA NAPONA NA ELEMENTIMA MREŽE ..........................................65

4.1 SEKCIJE VODOVA ....................................................................................65 4.1.1 Procedura sumiranja struja ..................................................................65 4.1.2 Procedura korekcija napona.................................................................66 4.1.3 Proračun nesimetričnog režima sekcije ............................................66

4.2 TRANSFORMATORI ................................................................................67 4.2.1 Transformatori sa spregama YNynk i Dynk ......................................68

4.2.1.1 Zadatak – Procedura sumiranja struja.................................................68 4.2.1.2 Zadatak – Procedura korekcija napona................................................69 4.2.1.3 Zadatak – Postupak za proračun (nesimetričnog) režima

transformatora .......................................................................................70 4.2.2 Transformatori sa spregama YNdk i Ddk .........................................72

4.2.2.1 Zadatak 4.2.2.1 – Procedura sumiranja struja.....................................72

Sadržaj Predrag Vidović

4.2.2.2 Zadatak – Procedura korekcija napona................................................72 4.2.2.3 Zadatak – Postupak za proračun (nesimetričnog) režima

transformatora .......................................................................................74

5 PRORAČUN NESIMETRIČNIH TOKOVA SNAGA.............77

5.1 PRORAČUN ZASNOVAN NA SUMIRANJU STRUJA I KOREKCIJI NAPONA ..............................................................................77

5.1.1 Sprega YNyn .................................................................................................79 5.1.2 Sprega Dyn ...................................................................................................80 5.1.3 Sprega YNy ...................................................................................................80

5.2 PRORAČUN ZASNOVAN NA IMPLICITNOM ZBUS POSTUPKU ....................................................................................................82

6 NUMERIČKA VERIFIKACIJA PRORAČUNA NESIMETRIČNIH TOKOVA SNAGA ............................................84

6.1 PRORAČUN REŽIMA TRANSFORMATORA...............................84 6.2 PRORAČUN MREŽE .................................................................................90

7 ZAKLJUČAK ....................................................................................................94

8 LITERATURA:.................................................................................................97

9 PRILOZI ...............................................................................................................99

9.1 GAUSS-OV I GAUSS/SEIDEL-OV METOD ZA RJEŠAVANJE SISTEMA NELINEARNIH JEDNAČINA..........................................99

9.1.1 Gauss-ov metod ..........................................................................................99 9.1.2 Gauss/Seidel-ov metod...........................................................................101

9.2 VEZA SIMETRIČNOG REŽIMA DIREKTNOG REDOSLIJEDA I REŽIMA FAZE A .................................................101

9.3 METOD KONTURNIH STRUJA ........................................................102 9.4 OTOČNI PARAMETRI TRANSFORMATORA ...........................105 9.5 REDNI PARAMETRI TRANSFORMATORA...............................106

Uvod Predrag Vidović

1

1 UVOD Svjetsku elektroprivredu s kraja prošlog i početka ovog vijeka karakterišu procesi restruk-

turiranja i deregulacije, njene djelimične privatizacije i utvrñivanja slobodnog tržišta električne energije [1]. Ideja restrukturiranja se, prije svega, sastoji od dezintegracije jedinstvenog – vertikal-no integrisanog elektroprivrednog preduzeća jedne države, u (teorijski) četiri, ekonomski nezavis-na subjekta (preduzeća): 1) Proizvodnja, koncentrisana u jednom ili više nezavisnih preduzeća (u privatnom i/ili državnom vlasništvu); 2) Prenos, koncentrisan uglavnom u jednom preduzeću koje je, uglavnom, u državnom vlasništvu; 3) Distribucija, koncentrisana u jednom ili više preduzeća u državnom i/ili privatnom vlasništvu i 4) Isporuka električne energije, pridružena distributivnim preduzećima i/ili posebnim privatnim preduzećima. Jedan od ključnih momenata u restrukturiranoj elektroprivredi jeste taj da se svaki od novonastalih subjekata (proizvodnja, prenos, distribucija i isporuka) brine o svom cjelokupnom poslovanju, težeći da ostvari što veći prihod (profit). Takva briga nameće potrebu za korišćenjem sofisticiranih alata za voñenje tehničkih poslova u sva četiri elektroprivredna dijela. Zbog toga su se sistemi za voñenje prenosnih mreža EMS (Energy Mana-gement Systems) već utvrdili kao nužni alati u preduzećima za prenos električne energije. Štaviše, počelo se sa njihovim prilagoñavanjem novim uslovima poslovanja preduzeća za prenos na slobo-dnom tržištu električne energije.

Ono što je dugo bilo zapostavljano prije restrukturiranja elektroprivrede, jesu slični – sofis-

ticirani sistemi za voñenje tehničkih poslova distributivnih i preduzeća za isporuku električne energije. To su DMS (distributivni menadžment sistemi – Distribution Management Systems). Kombinacija sledeća dva razloga se čini ključnom za to zapostavljanje: 1) Distributivne mreže su višestruko većih dimenzija i sastoje se od složenijih elemenata od prenosnih mreža, pa su i osnov-ne varijante DMS sistema znatno složenije od odgovarajućih EMS sistema i 2) Preduzeće za dis-tribuciju električne energije, integrisano u cjelokupno elektroprivredno preduzeće, bez izdiferenci-ranog sopstvenog poslovanja i interesa, nije motivisano za optimalno voñenje sopstvene mreže. Ali, u restrukturiranoj elektroprivredi, gdje su preduzeća za distribuciju i isporuku električne ener-gije izdiferencirana u okviru elektroprivrede, sa sopstvenom odgovornošću prema svom poslova-nju, stvari se radikalno mijenjanu. Otud veliki porast interesovanja za DMS sistemima u poslednje dvije decenije.

Svejedno da li je riječ o EMS ili DMS sistemu, njihovu osnovu čini softver – EMS Softver

i DMS Softver, respektivno. Bazični dio obje vrste softvera jesu analitičke funkcije, tj. energetski proračuni za nadzor, analizu i optimizaciju pogona, za planiranje razvoja itd.

Proračuni stacionarnih režima (proračuni tokova snaga) i proračuni naizmjenične kompo-

nente režima s kratkim spojevima i/ili prekidima faza (proračuni kvarova), dvije su osnovne anali-tičke funkcije, tj. dva su osnovna proračuna elektroenergetskih – prenosnih i distributivnih mreža. Obje vrste proračuna predstavljaju osnovu za veliku većinu ostalih proračuna u oba sistema – EMS i DMS.

Prenosne mreže su uglavnom trofazne i s velikim brojem kontura. Kada nisu pogoñene

kvarom, one najčešće mogu da se aproksimiraju uravnoteženim mrežama sa simetričnim režimi-ma. Pojmovi simetrije i uravnoteženosti precizno su definisani u [2]. Osim u slučaju trofaznog uravnoteženog kratkog spoja i/ili prekida faza, neuravnoteženi kvarovi unose nesimetriju režima mreža. Proračuni simetričnih tokova snaga i kvarova uravnoteženih mreža, koje su prije kvara bile u simetričnim režimima, definitivno su utvrñeni prije više decenija. Modeli za oba proračuna zas-


2

novani su na mreži koja je, kao linearno električno kolo, opisana metodom nezavisnih potencijala čvorova [3]. Taj model se sastoji od sistem linearnih relacija bilansa struja čvorova kola, izveden sintezom prvog – strujnog i drugog – naponskog Kirchhoff-ovog zakona.

1.1 PRENOSNE MREŽE U ovom dijelu diskutovani su proračuni tokova snaga – Paragraf 1.1.1 i naizmenične kom-

ponente režima s kvarovima prenosnih mreža – Paragraf 1.1.2.

1.1.1 Proračuni tokova snaga Sistem linearnih relacija bilansa struja, napisan saglasno s metodom nezavisnih potencijala

čvorova, radi proračuna tokova snaga, transformiše se u sistem nelinearnih relacija bilansa (kom-pleksnih) snaga čvorova mreže [4, 5]. To se čini s obzirom na prirodu problema tokova snaga. Na-ime, u tom problemu, struje potrošača i generatora nisu poznate, već su poznate njihove snage. Newton/Raphson-ov iterativni metod [4, 5] pokazao se bazičnim za rješenje problema tokova sna-ga prenosnih mreža. Ta činjenica je potvrñena ustanovljavanjem varijante tog metoda u vidu brzog raspregnutog metoda za proračun tokova snaga [6], kao ekskluzivnim – definitivnim rješenjem za proračune tokova snaga prenosnih mreža. Taj metod je zasnovan na sledećoj prirodi "regularnih" režima prenosnih mreža: 1) Moduli napona čvorova u pogonu prenosnih mreža jako su bliski no-minalnim vrijednostima; 2) Njihovi fazni stavovi takoñe su meñusobno jako bliski; 3) Matrica Ja-cobian-a sistema nelinearnih relacija bilansa snaga ne mijenja se značajno iz iteracije u iteraciju Newton/Raphson-ovog metoda za rješenje modela tokova snaga; 4) Tokovi (bilansi) aktivnih sna-ga uglavnom zavise od faznih stavova napona, a ne od njihovih modula i 5) Tokovi (bilansi) reak-tivnih snaga uglavnom zavise od modula napona, a ne od njihovih faznih stavova. Prva dva fakta omogućuju jednostavno generisanje aproksimacije matrice Jacobian-a. Treći fakt omogućuje njeno zadržavanje konstantnom u svim iteracijama proračuna. Poslednja dva fakta posledica su malih vrijednosti odnosa rezistansi i reaktansi grana (vodova i transformatora) prenosnih mreža – R/X≈0. Oni omogućuju rasprezanje problema tokova snaga na dva potproblema – aktivne snage / fazni stavovi i reaktivne snage / moduli napona, što znači smanjenje dimenzija problema na pola. Defi-nitivno, konstantna matrica Jacobian-a omogućuje njenu jednokratnu implicitnu inverziju – LU fa-ktorizaciju [7, 8], pa tako i višestruko (iterativno) rješavanje sistema linearnih jednačina na osnovu jednom izračunatih faktora. Posebnu snagu proračunima tokova snaga daju primjena tehnike rijet-kih matrica [9] i optimalna numeracija čvorova mreže [10]. Ustanovljavanjem brzog raspregnutog metoda, Gauss-ov i Gauss/Seidel-ov iterativni metod [4], definitivno su skinuti sa scene proračuna tokova snaga prenosnih mreža.

Kada su u pitanju simetrični tokovi snaga (uravnoteženih) trofaznih prenosnih mreža, sime-

trične komponente [11], definitivno su izabrane kao domen za njihov proračun. Takvi režimi, u tom domenu, mogu da se proračunavaju na monofaznim pogonskim reprezentima trofaznih mreža (direktnog redoslijeda), dakle na šemama tri puta manjih dimenzija od trofazne mreže koja se raz-matra, zanemarujući fazne pomake koje unose trofazni transformatori sa spregama nenultih sprež-nih (satnih) brojeva. Za nesimetrične (trofazne) tokove snaga (ne)uravnoteženih trofaznih prenos-nih mreža, nije definitivno utvrñen domen za njihove proračune. Za te proračune se u [12] predlaže fazni domen, a u [2] – domen simetričnih komponenti.

1.1.2 Proračuni kvarova Za proračun kvarova trofaznih prenosnih mreža, direktno se koristi sistem linearnih relacija

bilansa struja (originalna forma metoda nezavisnih potencijala čvorova). Taj sistem, proširen uslo-


3

vima kvara ("terminalni uslovi kvara"), predstavlja model za proračun režima mreže s kvarom [4, 5, 13, 14, 15]. Za proračun tog modela koriste se dva postupka. Prvi se zasniva na primjeni Thévenin-ove teoreme za proračun režima na mestu kvara, a zatim, na osnovu tog režima, prora-čunava se režim cijele mreže. Drugi postupak se zasniva na principu dekompozicije/superpozicije [3]. Sistem s kvarom se dekomponuje na sistem (režim) prije kvara i ∆-kolo, pa se problem svodi praktično na proračun režima samo ∆-kola, koje je trivijalno u smislu da je pasivno svuda osim na mjestu kvara [5, 15]. Oba pristupa su po efikasnosti prilično izjednačena. Pošto je problem faznih pomaka, koje unose trofazni transformatori sa spregama nenultih sprežnih (satnih) brojeva, riješen u [15], simetrične komponente definitivno jesu domen za proračun kvarova trofaznih prenosnih mreža. Proračun režima cijele mreže s kvarom se svodi na rješenje sistema lineranih (komplek-snih) jednačina. Gauss-ov metod sukcesivnih eliminacija (Gauss-ova redukcija, odnosno LU fakto-rizacija) predstavlja osnovni metod za taj proračun.

S pojavom interesa za DMS sistemima, s obzirom na već razvijene EMS sisteme, odnosno

proračune prenosnih mreža, pokušalo se s direktnom primjenom algoritama razvijenih u prenos-nom okruženju za odgovarajuće proračune u distributivnom okruženju. Praktično svi takvi pokuša-ji su propali zbog različite prirode prenosnih i distributivnih mreža, što presudno utiče na te prora-čune: 1) Prenosne mreže su s velikim brojem kontura, s jakom vezom svakog čvora sa susedima, a distributivne mreže su radijalne, s malim brojem kontura, pri čemu za režim jednog čvora od pre-sudnog je značaja samo režim čvora i grane preko kojih se on napaja; ova činjenica otežava prim-jenu postupaka za proračun tokova snaga distributivnih mreža, zasnovanih na Newton/Raphson-ovom metodu; 2) Vrlo veliki odnosi rezistansi i reaktansi vodova distributivnih mreža (R/X>>0) i 3) Isključiva zavisnost tokova aktivnih i reaktivnih snaga od rasporeda potrošnje i njene topologi-je, a ne od parametara mreže, definitivno onemogućuje primjenu brzog raspregnutog metoda za proračun modela tokova snaga distributivnih mreža. Zbog toga se u poslednjih nekoliko decenija intenzivno razvijaju specijalizovani algoritmi za proračune distributivnih mreža [16]. Meñu tim proračunima, kao u slučaju prenosnih mreža, najvažniji su proračuni tokova snaga i kvarova.

1.2 DISTRIBUTIVNE MREŽE U ovom dijelu diskutovani su proračuni tokova snaga – Paragraf 1.2.1 i naizmenične kom-

ponente režima s kvarovima distributivnih mreža – Paragraf 1.2.2. 1.2.1 Proračuni tokova snaga

Prije dvadesetak godina su se pojavila definitivna rješenja za proračune simetričnih tokova

snaga trofaznih radijalnih distributivnih mreža i distributivnih mreža s malim brojem kontura (sla-boupetljane mreže) [17, 18, 19]. Kada su u pitanju radijalne mreže, tada su ti postupci zasnovani na numeraciji mreže po slojevima (layers) i procedurama sumiranja struja (čišćenja na gore – sweep-up procedure) i korekcija napona (čišćenja na dolje – sweep-down procedure). Procedura sumiranja struja je zasnovana na činjenici da tokovi snaga (struja) u granama radijalne mreže mo-gu vrlo dobro da se procjene na osnovu: 1) rasporeda i veličine potrošnje potrošača, 2) topologije mreže i 3) poznatih, vrlo dobrih aproksimacija napona čvorova mreže (bliskih nominalnim vrijed-nostima). Rezultat primjene te procedure jeste vrlo dobra aproksimacija struja grana radijalne mre-že, izračunata direktnom primjenom prvog Kirchhoff-ovog zakona, kao i vrlo dobre aproksimacije padova napona grana mreže, izračunatih na osnovu aproksimacije struja grana. Procedura korekci-ja napona se sastoji od direktne primjene drugog Kirchhoff-ovog zakona za proračun napona čvo-rova mreže, počevši od poznatog napona korjena mreže – napojne transformatorske stanice, uva-žavajući vrlo dobre aproksimacije padova napona grana mreže. Iterativnom primjenom ovih pro-cedura, u dovoljnom broju iteracija, postiže se rješenje problema distributivnih simetričnih tokova


4

snaga sa unaprijed specificiranom tačnošću. U drugoj glavi biće pokazano da opisani proračuni to-kova snaga radijalnih mreža, zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, pred-stavljaju vrlo sofisticiranu sintezu primjene oba Kirchhoff-ova zakona (metod konturnih struja) i Gauss/Seidel-ovog metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

Kada su u pitanju proračuni mreža s konturama (slaboupetljane distributivne mreže), te

mreže se prvo svode na radijalne, otvaranjem kontura u izabranim čvorovima. Takva promjena to-pološke strukture mreže kompenzuje se kompenzacionim strujama injektiranim u čvorove u koji-ma su konture otvorene. Kompenzacione struje se izračunavaju primjenom generalizovane Théve-nin-ove teoreme. Time se proračuni mreža s konturama svode na proračune radijalnih mreža. Otud je izveden i naziv ovih postupaka za proračun tokova snaga distributivnih mreža s konturama: kompenzacioni postupci za proračun tokova snaga slaboupetljanih distributivnih mreža [17]. S obzirom da se pod radijalnom mrežom podrazumjeva mreža u kojoj se svaki čvor (potrošač) napa-ja samo iz jednog izvora i to samo jednim putem, to znači da svaki generator u distributivnoj mre-ži, s kojim se kontroliše napon na njegovom priključku za mrežu, narušava osobinu radijalnosti či-neći jednu konturu. Naime, čvorovi koji se nalaze na putu izmeñu korjena i takvog distributivnog generatora napajaju se bar iz dva izvora (generator je drugi izvor). Zato se problem distributivnih generatora, s kojima se kontrolišu naponi na njegovim priključcima za mrežu, rješava opisanom kompenzacijom, isto kao i problem kontura. Neposredna matematička podloga kompenzacionih postupaka za proračun mreža s konturama, ponovo se nalazi u vrlo sofisticiranoj sintezi primjene oba Kirchhoff-ova zakona (metod konturnih struja) i klasičnog Gauss/Seidel-ovog metoda za rje-šavanje sistema nelinearnih jednačina, ali, ovog puta, i u kombinaciji s primjenom generalizovane Thévenin-ove teoreme.

Proračun nesimetričnih (trofaznih) tokova snaga distributivnih mreža jeste problem koji je

otvoren odmah poslije uspješnog utvrñivanja proračuna simetričnih tokova snaga. Nesimetrični re-žimi jesu realni režimi distributivnih mreža, koji su posledica nesimetričnih trofaznih potrošnji uravnoteženih ili mreža koje nisu uravnotežene. Neuravnoteženost distributivnih mreža i nesimet-rija njihovih režima posledice su sledećih efekata: 1) Neuravnoteženost potrošača (potrošači zam-jenjeni impedansama koje nisu jednake u svim fazama); 2) Nesimetrija potrošača (potrošači zam-jenjeni snagama koje nisu jednake u svim fazama) 3) Insistiranje na neuravnoteženostima trofaznih vodova koji nisu transponovani; 4) Primjena neuravnoteženih trofaznih transformatora (otvorene sprege) [20, 21]; 5) Prisustvo transformatora sa sekundarnim namotajima povezanim u trougao, sa uzemljenim srednjim otcjepom na jednom od namotaja i 6) Prisustvo dvofaznih vodova i monofa-znih vodova i transformatora u mreži. Poslednja tri efekta tipična su praksa u USA.

U referenci [22] napravljen je pokušaj da se izuzetno efikasni kompenzacioni postupci za

proračun simetričnih tokova snaga [17], generalizuju na proračune nesimetričnih tokova snaga dis-tributivnih mreža. Efikasnost jeste postignuta, ali je, tim proračunom, obuhvat distributivnih mreža neprirodno sužen na mrežu jedinstvenog naponskog nivoa, dakle, na mrežu bez transformatora. Primjer mreža na koje taj proračun može da se primjeni jesu: 1) Niskonaponska (NN) mreža jed-nog distributivnog transformatora, s poznatim nesimetričnim faznim naponima njegovih NN sabir-nica i 2) Srednjenaponska (SN) mreža jednog napojnog transformatora, sa specificiranim, meñu-sobno različitim snagama potrošnje po fazama SN sabirnica distributivnih transformatora, nezavi-sno od nepoznatih napona tih sabirnica. Nijedan od ovih problema nije tipičan za praksu proračuna distributivnih mreža.

Suštinski problem proračuna nesimetričnih tokova snaga distributivnih mreža iskrsava od-

mah po uvažavanju prirode tih mreža – prisustvo distributivnih trofaznih transformatora, naročito onih sa spregama čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili namotaji bar jedne strane po-vezani u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem. To su sprege tipa Dy, u kojima zvjezdište jeste izo-lovano, odnosno sprege Yy, u kojima bar jedno zvjezdište jeste izolovano. U procedurama korek-


5

cija napona, takvi transformatori onemogućuju iterativno ažuriranje napona na sekundarima, za poznate napone na njihovim primarima [23]. Dakle, čini se da izuzetno efikasni proračuni tokova snaga distributivnih mreža, zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, moraju da budu napušteni. To je i učinjeno. U literaturi je težište rješenja problema nesimetričnih tokova snaga distributivnih mreža prenijeto na modelovanje distributivne mreže direktnom primjenom metoda nezavisnih potencijala čvorova u faznom domenu. Postupak za proračun tog modela se ob-rañuje primjenom klasičnog Gauss-ovog ili Gauss-Seidel-ovog iterativnog metoda za rješavanje si-stema nelinearnih jednačina – implicitni ZBUS postupak (implicit ZBUS Gauss Method) [24], odnos-no metod injektiranih struja (Current Injection Method). Meñutim, ovaj postupak je značajno op-terećen implicitnom inverzijom (LU faktorizacijom) matrice admitansi mreže (YBUS). Pored inver-zije matrica velikih dimenzija, ovaj postupak je opterećen još jednim – većim problemom – potre-bom da se inverzija radi uvijek kada se topologija mreže promijeni. Postupci zasnovani na proce-durama sumiranja struja i korekcija napona nisu praktično osjetljivi na takve promjene.

Dakle, problem nesimetričnih tokova snaga (ne)uravnoteženih distributivnih mreža nije de-

finitivno riješen. 1.2.2 Proračuni kvarova

Za razliku od prenosnih mreža, gdje se postupci za proračun tokova snaga i kvarova radi-

kalno razlikuju, kod distributivnih mreža se ti postupci zasnivaju na sličnim algoritmima [19, 25, 26, 27]. Načelno, ako se struje kvara distributivne mreže izračunaju primjenom Thévenin-ove teoreme za zamjenu dijela mreže koji nije zahvaćen kvarom i ako se svi ostali potrošači zami-jene impedansama, onda može da se uradi jedna iteracija algoritma za proračun tokova snaga, pa tako izračuna režim mreže s kvarom.

1.3 PREDMET TEZE Predmet ove teze jesu proračuni nesimetričnih tokova snaga trofaznih (ne)uravnoteženih

mreža. U vezi s tim proračunima ističu se sledeća pitanja na koja u literaturi nisu dati definitivni odgovori:

1. Da li je za te proračune nužno da se napuste izuzetno efikasni Gauss/Seidel-ovi iterativni pos-

tupci s procedurama sumiranja struja i korekcija napona i da se zamijene primjenom standar-dnih Gauss-ovih ili Gauss-Seidel-ovih iterativnih postupaka za rješavanje problema nesimetri-čnih tokova snaga trofaznih distributivnih mreža, zasnovanih na vrlo zahtjevnoj implicitnoj inverziji (LU faktorizaciji) matrice admitansi mreže, koristeći se tehnikama rijetkih matrica i optimalne numeracije čvorova. (Ovo pitanje je posledica nemogućnosti ažuriranja nulte kom-ponente napona u proceduri korekcija napona, u mrežama s transformatorima čiji su sekun-darni namotaji povezana u trougao ili je bar jedan od namotaja povezan u zvijezdu sa izolova-nim zvjezdištem.)

2. Problem koji se nadovezuje na prethodni odnosi se na specifikaciju snaga potrošnje trofaznih pot-

rošača, posebno onih koji se napajaju s transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trou-gao ili je bar jedan od namotaja povezan u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem.

3. Problem proračuna distributivnih mreža s više SN nivoa koji su povezani uravnoteženim tran-

sformatorima koji imaju sekundarne namotaje povezane u trougao ili koji bar na jednoj njiho-voj strani imaju namotaje povezane u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem.


6

4. Kakav treba da bude tretman neuravnoteženih elemenata trofaznih distributivnih mreža (neu-ravnoteženi potrošači, neuravnoteženi trofazni vodovi, neuravnoteženi trofazni transformatori, transformatori sa sekundarima povezanim u trougao, sa srednjim otcjepom na jednom od na-motaja koji je uzemljen, prisustvo dvofaznih vodova i monofaznih vodova i transformatora u mreži)?

5. Pitanje specifikacije proizvodnje aktivne snage trofaznih distributivnih generatora i njihove

proizvodnje reaktivne snage, odnosno napona. 6. Da li se klasičnim tipovima čvorova – ΘV, PQ i PV [5] – dovoljno dobro odslikava priroda

nesimetričnih režima trofaznih distributivnih mreža? 7. Tretman regulacionih transformatora s ručnom ili automatskom regulacijom pod opterećenjem

i transformatora s regulacijom u beznaponskom stanju (odnosno, tretman transformatora sa odnosima transformacije koji nisu nominalni).

8. Tretman transformatora čiji odnosi transformacije ne mogu da se eliminišu primjenom sistema

relativnih vrijednosti. 9. Problem ogromnog broja različitih sprega uravnoteženih transformatora koje treba da se mo-

deluju i uvaže u algoritmima i softveru za proračun nesimetričnih tokova snaga. (Npr, samo sprega Dy ima šest: Dy1, 3, 5, 7, 9, 11, a svaka od njih ima dvije varijante – sa i bez uzemlje-nja zvjezdišta.)

10. Izbor domena – fazni (s transformatorima realnih odnosa transformacije), ili domen simetrič-

nih komponenti (s transformatorima kompleksnih odnosa transformacije) – za obradu nesimet-ričnih tokova snaga trofaznih distributivnih mreža, a posebno mreža s dvofaznim i monofaz-nim dijelovima.

11. Realizacija proračuna kvarova distributivnih mreža zasnovana na algoritmima razvijenim za

proračun tokova snaga (unifikacija proračuna tokova snaga i kvarova). Obrada prva dva od navedenih pitanja osnovni je predmet ove teze. U tu svrhu, u drugoj

glavi elaborata obrañene su izuzetno efikasne procedure sumiranja struja i korekcija napona za proračun simetričnih tokova snaga radijalnih distributivnih mreža i distributivnih mreža s kontu-rama. Pri tom, data je njihova matematička zasnovanost na Gauss/Seidel-ovom iterativnom meto-du za rješavanje sistema nelinearnih jednačina, u kombinaciji s Thévenin-ovom teoremom. To ra-zmatranje je dato i zato da bi se otvorio put za generalizaciju tih postupaka za utvrñivanje postupa-ka za proračun nesimetričnih tokova snaga (ne)uravnoteženih trofaznih distributivnih mreža.

U trećoj glavi su prikazani modeli elemenata mreže u (ne)simetričnim režimima – trofaznih

potrošača, vodova (sekcija) i transforamtora sa četiri osnovne sprege: Yy, Dy, Yd i Dd, sa svim va-rijantama uzemljenja zvjezdišta, kao i trofazni model mreže sa (ne)simetričnim režimom. U četvr-toj glavi su prikazane procedure sumiranja struja i korekcija napona za proračun nesimetričnih re-žima tih elemenata. To je urañeno da bi se sagledali ključni problemi koje u proračunima nesimet-ričnih tokova snaga distributivnih mreža izazivaju trofazni transformatori.

U petoj glavi je obrañen problem proračuna trofazne (ne)uravnotežene distributivne mreže,

koja se sastoji od naprijed navedenih elemenata, u nesimetričnom režimu, primjenom procedura sumiranja struja i korekcija napona. Kompenzacioni postupci za tretman kontura i distributivnih generatora, s kojima se kontrolišu naponi na njegovim priključcima za trofaznu mrežu, nisu pred-


7

met ove teze. Oni mogu direktno da se realizuju u potpunoj saglasnosti sa odgovarajućim postup-cima za proračune simetričnih tokova snaga mreža s konturama, koji su opisani u drugoj glavi.

Njihova verifikacija, napravljena poreñenjem s postupcima koji su utvrñeni u literaturi (za-

snovani na Gauss-ovoj varijanti implicitne inverzije matrice admitansi mreže), data je u šestoj gla-vi. U sedmoj glavi su data zaključna razmatranja i uputstva za dalji razvoj ove materije, a u osmoj glavi je navedena literatura korišćena za izradu ove teze. Na kraju su dati prilozi koji su izdvojeni da ne bi opterećivali osnovni dio elaborata.

Proračun simetričnih tokova snaga distributivnih mreža i njegova teorijska zasnovanost Predrag Vidović

8

2 PRORAČUN SIMETRIČNIH TOKOVA SNAGA DISTRIBU-TIVNIH MREŽA I NJEGOVA TEORIJSKA ZASNOVANOST Razmatra se linearna, trofazna, uravnotežena distributivna mreža koja se sastoji on n trofa-

znih čvorova (3n faznih čvorova), u stacionarnom simetričnom režimu direktnog redoslijeda. Ona se napaja sa jednog korjena, obično sekundarnih sabirnica napojnog transformatora. Preostali čvo-rovi su ili potrošački, sa specificiranim snagama potrošnje, ili čvorovi sa priključenim distributiv-nim generatorima, na kojima su specificirane proizvodnje aktivne i reaktivne snage ("negativna potrošnja"). Generatorski čvorovi, s regulacijom napona na njihovim priključcima za mrežu, ne ra-zmatraju se pošto, kako je već rečeno, nisu od osnovnog interesa za materiju koja se ovdje izlaže. Čvorovi su klasifikovani na standardan način [5]: korijen mreže jeste balansni čvor, odnosno čvor tipa ΘV, u kojem je priključen idealan naponski izvor specificiranog napona i nepoznate injektira-ne aktivne i reaktivne snage; svi ostali čvorovi, potrošački i generatorski, sa specificiranim aktiv-nim i reaktivnim snagama, jesu tipa PQ. Pošto se ne razmatraju generatorski čvorovi s regulacijom napona, u ovu klasifikaciju nisu uključeni čvorovi tipa PV.

Svakom čvoru mogu da se asociraju dvije kompleksne veličine – injektirana snaga i napon,

odnosno četiri realne veličine – injektirana aktivan (P) i reaktivna snaga (Q), kao i modul (U) i fa-zni stav napona (θ). Opisana klasifikacija i razvrstavanje veličina asociranih čvorovima na poznate i nepoznate veličine, prikazani su u tabeli 2.1.

Tabela 2.1 – Osnovna klasifikacija čvorova distributivnih mreža.

Tip čvora θV

Veličine (balansni) PQ

Poznate θ, V P, Q Nepoznate P, Q θ, V

Ako se mreža modeluje u domenu simetričnih komponenti, koristeći se pogonskim para-

metrima trofaznih elemenata (Glava 3), s obzirom na simetriju režima (direktnog redoslijeda), on-da model mreže može da se predstavi po jednoj fazi (npr. fazi a). Dakle, model mreže ima dimen-ziju n (a ne 3n). Struje i naponi koji figurišu u modelu jesu fazne veličine izabrane faze, a snage su jednake trećinama trofaznih snaga [13]. Ako se za modelovanje mreže (prenosne ili distributivne) izabere metod nezavisnih potencijala čvorova, onda linearni model mreže, zasnovan na relacijama bilansa struja u čvorovima mreže, glasi [28]:

nkUyI i

n

ikik ...,,2,1,ˆˆˆ

1

==− ∑=

, (2.1)

odnosno, u matričnoj formi:

UYI ˆˆˆ =− , (2.2)

gdje su:


9

I – vektor (kompleksnih) struja potrošnje u čvorovima, pa se, zbog toga što su one usmjerene od čvorova, ispred lijevih strana relacija (2.1) i (2.2) – injektirane struje čvorova – pojavljuje znak minus,

U – vektor (kompleksnih) faznih napona čvorova – (stacionarno) stanje mreže,

Y – (kompleksna) matrica admitansi. Matematički model mreže (2.1), odnosno (2.2), ne može da se direktno iskoristi za prora-

čun problema tokova snaga pošto je on iskazan u terminima napona i struja, a problem tokova sna-ga se iskazuje u terminima napona i snaga. Zato se iz linearnog modela (2.1) prelazi u nelinearan model zasnovan na bilansima kompleksnih snaga u čvorovima mreže. On se dobija množenjem re-lacija (2.1) sa odgovarajućim konjugovanim naponima:

nkUyUUS i

n

ikikkk ...,,3,2,1,ˆˆˆ)(ˆ

1

* ==− ∑=

, (2.3)

gdje je sa kS označena kompleksna snaga čvora k:

nkIUS kkk ...,,2,1,ˆˆˆ * == . (2.4)

Model – relacije (2.3) jesu algebarske, kompleksne i simultane, ali nisu linearne. One mogu

da se rješavaju Newton/Raphson-ovim iterativnim metodom, ili nekom njegovom varijantom – npr. brzim raspregnutim metodom, odnosno Gauss-ovim iterativnim metodom, ili nekom njego-vom varijantom – npr. Gauss/Seidel-ovim metodom [4] – Prilog 9.1. Ako relacije (2.3) predstav-ljaju model tokova snaga prenosne mreže (s velikim brojem kontura), onda su varijante Newton/Raphson-ovog metoda znatno efikasnije od varijanti Gauss-ovog metoda [4]. Odnosno, definitivno rješenje tokova snaga prenosnih mreža jeste brzi raspregnuti metod. Ako relacije (2.3) predstavljaju model tokova snaga distributivne mreže, onda varijante Newton/Raphson-ovog me-toda nisu efikasne, pa se za rješavanje tokova snaga distributivnih mreža koriste varijante Gauss-ovog iterativnog metoda. Taj metod je izuzetno dobro povezan s prirodom radijalnih mreža, pa i mreža s malim brojem kontura. Proračuni tokova snaga radijalnih i mreža s malim brojem kontura, primjenom Gauss/Seidel-ovog metoda, obrañuju se u naredna dva dijela ove glave. Odnosno, u tim dijelovima se dokazuje da postupci za proračun tokova snaga distributivnih mreža, zasnovani na numeraciji mreže po slojevima i procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i kompen-zaciji za konture, nisu ništa drugo do primjena standardnog Gauss/Seidel-ovog iterativnog metoda za rješenje jednačina bilansa snaga (2.3), u izuzetno efikasnoj kombinaciji s Thévenin-ovom teo-remom (kada je reč o mrežama s konturama).

Oba – Gauss-ov i Gauss/Seidel-ov metod za proračun modela tokova snaga (2.3), prime-

njeni u standardnoj ili formi zasnovanoj na sumiranju struja i korekciji napona, prikazani su algori-tmom koji se sastoji od 4 koraka:

Algoritmi za proračun modela tokova snaga

zasnovani na Gauss-ovom i Gauss/Seidel-ovom metodu

1. Rasprezanje modela tokova snaga (2.3) na dva dijela:


10

Dominantni dio modela:

nkUyUUS i

n

ikikkk ...,,3,2,ˆˆˆ)(ˆ

1

* ==− ∑=

,

pri čemu je: specUU 11 = i specθθ 11 = ,

(prvi čvor je balansni, s poznatim – specificiranim modulom i faznim stavom na-pona – superskript "spec").

(2.5a)

Raspregnuti dio modela:

i

n

iiUyUS ˆˆˆˆ

11

*11 ∑

=

= , (2.5b)

(pošto snage prvog – balansnog čvora nisu poznate, tj. njegova injektirana snaga nije poz-nata, ispred njene oznake nema znaka minus). Otočni elementi asocirani balansnom čvoru ne utiče na proračun tokova snaga, pa se ni ne razmatraju. Režim u tim (otočnim) elementima računa se trivijalno, na osnovu poznatog napona balansnog čvora.

2. Modifikacija dominantnog dijela modela:

nkUyU

USi

n

iki

k

kk ...,,3,2,ˆˆˆ

)(ˆ

1*

==− ∑=

. (2.6)

3. Rješenje dominantnog dela modela (2.6) po nepoznatim naponima niU i ...,,3,2,ˆ = .

3.1. Za rješenje dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) može da se primjeni itera-

tivni postupak zasnovan na Gauss-ovom, odnosno Gauss/Seidel-ovom metodu, u nji-hovom standardnom obliku [24]:

1hh UYII +=∆−− ˆˆˆˆ , (2.7)

pri čemu je sa h označen redni broj iteracije (h=1 znači da je riječ o početnoj iteraciji).

Elementi vektora hI , dimenzija (n–1)×1, jednaki su desnim stranama relacija (2.6), s promjenjenim znakom, odnosno predstavljaju količnike aproksimacija snaga potrošnje (2.4) i aproksimacija odgovarajućih konjugovanih napona čvorova, bez struje prvog – balansnog čvora:

nkU

USI

hk

hkkh

k ...,,3,2,ˆ

)(ˆ*

== . (2.8)

Elementi vektora 1hU +ˆ , dimenzija (n–1)×1, sadrže h+1-vu – korigovanu ("poboljšanu") aproksimaciju napona čvorova, bez poznatog napona prvog (balansnog čvora) –

nkU hk ...,,3,2, = – po kojima treba da se riješi sistem lineranih jednačina (2.7).


11

Matrica Y , dimenzija (n–1)×(n–1), dobijena je tako što su iz matrice admitansi Y po-tisnute prva vrsta i prva kolona, koje odgovaraju balansnom čvoru – redukovana mat-rica admitansi.

U vektoru I∆ , dimenzija (n–1)×1, smješteni su poznati članovi suma na desnim stra-nama relacija (2.6), koji se odnose na balansni čvor; taj vektor glasi:

]ˆˆ,...,ˆˆ[ˆ11121 UyUy n=∆ TI . (2.9)

Sistem jednačina (2.7) može da se rješi eksplicitnom inverzijom redukovane matrice

admitansi Y :

)ˆˆ()ˆ(ˆ 1 IIYU h1h ∆−−= −+ , (2.10) na koji način se dobija standardna forma Gauss-ovog iterativnog metoda za rješavanje sistema jednačina – Prilog 9.1. Eksplicitno sprovoñenje ovog postupka nije praktično s obzirom na vrlo velike dimenzije redukovane matrice admitansi. Sistem linearnih jednačina (2.7), može da se rješi po korigovanoj aproksimaciji napona

niU hi ...,,3,2,ˆ 1 =+ , izbjegavajući operaciju inverzije i koristeći se standardnom Ga-

uss-ovom redukcijom linearnih jednačina (s vrlo rijetkom i optimalno numerisanom matricom admitansi), dajući sistemu linearnih jednačina (2.7) gornju trougaonu for-mu [7, 8]. Ni ovaj postupak nije praktičan pošto se za sprovoñenje Gauss-ove redukci-je, u svakoj iteraciji izračunavaju isti faktori s kojima se vrše operacije prilikom trian-gularizacije redukovane matrice admitansi i proračuna korigovane aproksimacije na-pona. Umjesto toga, za rješenje sistema linearnih jednačina uobičajeno se koristi implicitna inverzija vrlo rijetke i optimalno numerisane matrice admitansi – njena LU faktorizaci-

ja [7, 8]. Naime, kvadratna, regularna, redukovana matrica admitansi Y (2.7) može da

se iskaže kao proizvod donje trougaone matrice faktora D i gornje trougaone matrice

faktora G1:

1hh UGDII +=∆−− ˆˆˆˆˆ . (2.11)

U matricama faktora D i G suštinski se memorišu operacije koje se u svakoj iteraciji naprijed opisane standardne Gauss-ove redukcije koriste za rješavanje sistema linear-nih jednačina, u kojima se mijenjaju samo desne strane poznatih veličina. Jednom iz-vedene, te dvije matrice se nepromjenjene koriste u svakoj iteraciji rješavanja sistema linearnih jednačina (2.11). Već je navedeno da se ovaj postupak za rješavanje modela tokova snaga u literaturi se naziva implicitni ZBUS postupak (Implicit ZBUS Gauss Met-hod) [24], odnosno Current Injection Method. Ako se prilikom izračunavanja korigo-vane aproksimacije napona čvorova u jednoj iteraciji koriste samo aproksimacije na-pona izračunate u prethodnoj iteraciji, riječ je o Gauss-ovom metodu; a ako se koriste i korigovane aproksimacije napona koje su već izračunate u tekućoj iteraciji, onda je ri-

1 Standardne anglosaksonske oznake za donju ( D ) i gornju trougaonu matricu ( G ) jesu L (lower) i U (up-

per), ali su one ovdje izbjegnute da bi se napravila distinkcija u odnosu na obilježavanje vektora fazora na-

pona U .


12

ječ o Gauss/Seidel-ovom metodu – Prilog 9.1. Upravo je zbog toga drugi metod znatno efikasniji od prvog (po broju iteracija, pa tako i vremenu potrebnom za rješenje siste-ma nelinearnih jednačina). Rezultat rješenja dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) sastoji se od napona svih čvorova osim balansnog (koji je unapred specificiran). S obzirom da su u opisanom postupku kao nepoznate veličine ekspliciraju isključivo naponi čvorova (stanje mreže), kaže se da je postupak orjentisan na čvorove (bus ori-ented method).

3.2. Za rješenje dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a), može da se koristi postu-

pak orjentisan na grane (branch oriented method), tj. postupak zasnovan na procedu-rama sumiranja struja i korekcija napona, kao i na proceduri kompenzacije za konture (i generatore, s regulacijom napona na njihovim priključcima za mrežu) [17]. (Taj pos-tupak se u ovom elaboratu generališe na (ne)uravnotežene mreže u nesimetričnim re-žimima.)

Kako je naglašeno u Uvodu, osnovni cilj u ovoj glavi jeste da se dokaže matematička zasnovanost postupaka za proračun simetričnih tokova snaga ponovo na Gauss-ovom, odnosno Gauss/Seidel-ov metodu, ali, sada, u drugačijoj formi, kojom se postiže izuze-tna efikasnost proračuna. Zato modelu (2.6) se sada daje sledeća, opet Gauss-ova, od-nosno Gauss/Seidel-ova forma:

nkUyyU

US

yU i

n

kii

kikkk

kk

kkk ...,,3,2,ˆˆ

ˆ1

ˆ)(ˆ

ˆ1ˆ

1*

=−−= ∑≠=

, (2.12)

pri čemu su sa y označeni elementi matrice admitansi mreže. Za razliku od prethodnog postupka (orjentisanog na čvorove), model (2.12), u kojem figurišu nepoznate varijable stanja mreže – naponi čvorova, sada je potrebno da se pro-širi sa novim nepoznatim veličinama režima mreže – sa strujama rednih grana mreže –

kiI , k = 1, 2, ... , n–l, ∧ i = 2, 3, ... , n, ∧ i > k , pri čemu l predstavlja broj grana u pos-

lednjem sloju, ( kiI = 0, kada nema grane izmeñu čvorova k i i). Koristeći se prvim Kir-

chhoff-ovim zakonom, te struje mogu da se opišu relacijama:

++= ∑

α∈ ijijioi

i

iiki IUY

U

USI ˆˆˆ

ˆ)(ˆ

ˆ*

, k = 1, 2, ... , n–l, ∧ i = 2, 3, ... , n, ∧ i > k, (2.13)

pri čemu je sa oiY označena otočna admitansa priključena u čvoru i, a sa αi označen je

skup indeksa čvorova koji su granama povezani s čvorom i, osim čvora k. Sada, sistem jednačina kojima je opisan problem tokova snaga, sastoji se od n–1 relaci-je (2.12) i relacija (2.13). Postupak za njihovo rješenje, kada su u pitanju radijalne i mreže s konturama, primjenom standardnog Gauss-ovog, odnosno Gauss/Seidel-ovog metoda – Prilog 9.1, osnovni je predmet ove glave, pa se ne daje na ovom mjestu, već mu je posvećen naredni dio.


13

S obzirom da se u ovom postupku kao nepoznate veličine ekspliciraju i struje grana mreže i da se naponi izračunavaju na osnovu proračunatih struja, kaže se da je postu-pak orjentisan na grane (branch oriented method). Rezultat rješenja dominantnog dijela modela tokova snaga (2.5a) sastoji se od napona svih čvorova osim balansnog (koji je unaprijed specificiran) i struja u rednim granama mreže. Nezavisno od toga koji je od prethodno opisana dva postupka primjenjen, rješenje do-minantnog dijela modela tokova snaga se završava kada se zadovolje unaprijed speci-ficirani kriterijumi konvergencije. Ti kriterijumi se definišu na osnovu razlika aprok-simacija napona u dvije uzastopne iteracije i razlika vrijednosti lijevih i desnih strana relacija (2.6) u tekućoj iteraciji.

4. Izračunavanje injektiranih snaga u balansnom čvoru i režima cijele mreže, kojim je obu-

hvaćen i režim u otočnim elementima asociranim balansnom čvoru. Nezavisno od toga koji je od prethodno opisana dva postupka primjenjen, pošto je napon balansnog čvora unaprijed specificiran, rješenjem dominantnog dijela modela tokova sna-ga, dobija se cio vektor stanja mreže – naponi svih čvorova. Raspolažući sa stanjem mreže, injektirana kompleksna snaga u balansnom čvoru izračunava se korišćenjem relacije (2.5b). Sve ostale veličine mreže (struje, padovi napona, ...) izračunavaju se takoñe korišćenjem vrlo jednostavnih relacija na osnovu stanja mreže (kod postupka orjentisanog na grane, struje u rednim granama mreže su već izračunate u okviru proračuna modela mreže). U naredna dva dijela ove glave razmatra se model distributivne mreže (Dio 2.1) i njegovo

rješenje (Dio 2.2), zasnovano na postupku orjentisanom na grane. 2.1 MODEL ELEMENATA MREŽE

U ovom dijelu obrañeni su pofazni (monofazni) matematički modeli trofaznih uravnoteže-

nih potrošača i sekcija (vodova), kao i uravnoteženih transformatora, za trofazne simetrične režime direktnog redoslijeda. Na osnovu tih modela može da se izvede model mreže u simetričnom reži-mu. Modeli se razmatraju u domenu relativnih vrijednosti, s ciljem da se ekvivalentne šeme tran-sformatora tretiraju bez idealnih transformatora.

Potrošači

Kompleksna fazna snaga potrošnje potrošača (potrošačkog područja) funkcija je modula

napona i učestanosti [29]. U proračunima stacionarnih tokova snaga, vrijednost učestanosti je una-prijed specificirana. Dakle, fazna aktivna (P) i reaktivna snaga potrošnje (Q) potrošača priključe-nog u čvoru, funkcije su samo modula napona tog čvora [24, 30]. One se obično iskazuju preko tri komponente [30]: 1) Konstantna snaga, 2) Snaga srazmjerna s modulom napona, odnosno konstan-

tan modul struje (I) i faktor snage (cosϕ, sinϕ) i 3) Konstantna impedansa (admitansa BGY jˆ += ):


14

spec

nNNyq

spec

nNNyp

spec

nNNiq

spec

nNNip

specsq

specsp

QU

UkP

U

Uk

QU

UkP

U

UkQkPkUS

22

j

jj)(ˆ

−

+

−+−=

, (2.1.1)

pri čemu su:

nNNU – Normalizovani nominalni fazni napon potrošača (mreže niskog napona);

U – Normalizovani modul faznog napona potrošača;

specP , specQ – Normalizovana specificirana fazna aktivna i reaktivna snaga potrošnje potrošača, pri

nominalnom naponu; ksp, ksq – Koeficijenti učešća dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potrošnje potrošača, koje

nisu zavisne od napona; kip, kiq – Koeficijenti učešća dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potrošnje potrošača, koje

su linearno zavisne od napona; kyp , kyq – Koeficijenti učešća dijelova fazne aktivne i reaktivne snage potrošnje potrošača, koje

su zavisne od kvadrata napona. Za koeficijente učešća važe sledeće relacije: ksp + kip + kyp = 1.0, (2.1.2a) ksq + kiq + kyq = 1.0. (2.1.2b)

Grane

Sekcije vodova i transformatori predstavljaju grane mreže. Normalizovana pogonska šema

sekcije voda, kojom su povezani čvorovi K i k, za simetričan režim (direktnog redoslijeda), prika-

zana je na slici 2.1.1. Sa kZ je označena redna impedansa, a sa okY otočne admitanse sekcije, koje

su meñusobno jednake. Sa U i I označeni su odgovarajući naponi i struje.

k K

KU okY

kZ

okY

okI oKI

kU

0

kI

Slika 2.1.1 – Pogonska šema sekcije voda. Dvije varijante pogonske šema transformatora, za simetričan režim (direktnog redoslijeda),

prikazane su na slikama 2.1.2a i b [31]. Idealni transformator, obično kompleksnog odnosa tran-


15

sformacije eliminisan je (sveden na jedinicu) primjenom Generalizovanim sistemom relativnih vri-

jednosti [32]. Sa kZ i mZ su označene normalizovane vrijednosti impedanse kratkog spoja i mag-

nećenja transformatora, respektivno. Sa U i I označeni su odgovarajući naponi i struje. (Napo-mena: Ekvivalencija dvije šeme sa slike 2.1.2 nije rigidna, već samo praktična – aproksimativna.)

k K

KU

kZ 'kI

mZ

mI

kU

"kI

0

(a)

k K

KU mZ

kZ 'kI

mI

kU

"kI

0

(b)

Slika 2.1.2 – Pogonska šema transformatora sa skoncentrisanom impedansom kratkog spoja i impedansom magnećenja prikazanom u

čvoru k (a) i impedansom magnećenja prikazanom u čvoru K (b). Raspolažući s predstavom potrošača mreže njihovim snagama potrošnje (2.1.1) i ekvivalen-

tnim (pogonskim) šemama sekcija (slika 2.1.1) i transformatora (slika 2.1.2), nije teško da se for-mira matematički model mreže, pa zatim i matematički model tokova snaga (2.3) i da se on riješi koristeći se algoritmom opisanim u preambuli ove glave. Modelu mreže i rješenju modela tokova snaga posvećen je naredni dio.

2.2 MODEL MREŽE I NJEGOV PRORAČUN U ovom dijelu se na modelu mreže formalno (matematički) izvode postupci za proračun

tokova snaga radijalnih mreža (Paragraf 2.2.1) i mreža s konturama (Paragraf 2.2.2), zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i na kompenzaciji za konture.

2.2.1 Model radijalne mreže i njegov proračun U ovom paragrafu je prikazan postupak za proračun simetričnih tokova snaga (direktnog

redoslijeda) trofaznih (uravnoteženih) radijalnih mreža, zasnovan na procedurama sumiranja struja i korekcija napona [17, 18, 19] – postupak orjentisan na grane. Poseban akcenat je stavljen na nje-govoj matematičkoj zasnovanosti. To je urañeno s ciljem da se na toj matematičkoj zasnovanosti,


16

opisani postupak generalizuje za proračune (ne)simetričnih režima trofaznih (ne)uravnoteženih distributivnih mreža.

Razmatra se radijalna mreža, koja se sastoji od n trofaznih čvorova i n-1 trofazne grane,

n≥2. Model mreže je pofazan (monofazan), saglasan s pogonskom šemom mreže za simetričan re-žim direktnog redoslijeda, i odnosi se na režim faze a – Prilog 9.2. Sa 0 je označena tačka (čvor) referentnog potencijala. Za tu tačku je ovdje utvrñena zemlja koja ima svuda isti potencijal. Nor-malizovana pogonska šema mreže može da se konstituiše koristeći se isključivo monofaznim Γ se-gmentima prikazanim na slici 2.2.1.1. Svaki segment je asociran jednoj sekciji voda ili transforma-toru. Sa K i k su označeni indeksi čvorova na početku i kraju razmatranog segmenta, odnosno čvo-rovi bliži i dalji od korijena radijalne mreže, respektivno. S obzirom na radijalnost mreže, čvor K je ujedno i kraj Γ segmenta prethodnika (predecessor) s kojeg se napaja razmatrani segment, ili je to korijen mreže. Čvor K može da bude početak i za više drugih Γ segmenata koji se napajaju preko istog prethodnika. Čvor k je ujedno i početak jednog ili više Γ segmenata – sljedbenika (succes-sors) koji se napajaju preko razmatranog segmenta i/ili je u njemu priključen potrošač s faznom

kompleksnom snagom )(j)()(ˆkkkkkk UQUPUS −= za definiciju: IUUS ˆˆ)(ˆ *= . Ta snaga može da

bude konstantna ili zavisna od napona – relacije (2.1.1). Vektor fazne struje potrošača označen je

sa kI . Usled radijalnosti mreže, svaki segment i reprezenti njegovih rednih i otočnih parametara

indeksirani su istim indeksom čvora na njegovom kraju k.

'kI

0

K k M M

kB

kAokI

KU kU

kkk IUS ˆ),(ˆ

Slika 2.2.1.1 – Pogonska šema segmenta Гk trofazne distributivne mreže.

Sa kA je označen impedantni reprezent rednog parametra – redna grana segmenta kΓ –

kk ZA ˆˆ = . Kada je u pitanju sekcija voda, onda je to njegova redna impedansa – redna pogonska

impedansa za simetričan režim direktnog redoslijeda; kada je u pitanju transformator, onda je to njegova impedansa kratkog spoja (idealni transformatori su eliminisani primjenom sistema relativ-

nih vrijednosti). Struja redne grane označena je sa 'kI .

Sa kB je označen admitantni reprezent otočnog parametra – otočna grana segmenta kΓ –

okk YB ˆˆ = . On predstavlja sumu admitantnog reprezenata otočnog parametra kraja sekcije ili tran-

sformatora (admitansa magnećenja) kojem je segment kΓ asociran, otočnih parametara na poče-cima sekcija ili transformatora (admitansi magnećenja) koji se napajaju preko razmatrane sekcije ili transformatora (ako ih ima) i reprezenata otočnih elemenata direktno priključenih u čvoru k (npr, baterija kondenzatora). Opet je riječ o pogonskim parametrima za simetričan režim direktnog

redoslijeda. Sa okI je označena struja otočne grane segmenta kΓ . Dakle, reprezent otočnih parame-

tara na početku sekcije ili transformatora kojoj ili kojem je asociran segment kΓ , asociran je otoč-

noj grani segmenta KΓ – prethodnika razmatranog segmenta kΓ . Ako je čvor K korijen mreže

(dakle, razmatrani segment kΓ nema prethodnika), onda otočni parametar koji odgovara čvoru K

sekcije ili transformatora, kojoj ili kojem je razmatrani segment kΓ asociran, ne utiče na proračun


17

tokova snaga, pa se ni ne razmatra. Režim u tom (otočnom) parametru računa se trivijalno, na os-novu poznatog napona korjena.

Problem tokova snaga predstavlja proračun vektora stanja – napona čvorova mreže (odnos-

no, kompletnog režima) distributivne mreže, na bazi poznatog napona korjena mreže (balansnog čvora) i specificiranim injektiranih snaga u svim ostalim čvorovima mreže (čvorovi tipa PQ). Os-novu proračuna tokova snaga radijalne mreže čini numeracija mreže po slojevima. Primjer takve nu-meracije dat je na mreži sa dvanaest čvorova, koja je prikazana na slici 2.2.1.2. Prave linije izmeñu čvorova odnose se na naprijed opisane Γ segmente. Oni, zajedno s čvorovima mreže, numerisani su na sledeći način:

1. Prvi čvor je balansni; drugi čvor i ostali čvorovi (ako ih ima), koji se Г segmentima direktno napajaju

s korjena (čvorovi 2, 3 i 4), pripadaju prvom sloju; a poslednji – n-ti čvor (ovdje dvanaesti), s čvoro-vima koji se direktno napajaju Г segmentima sa čvorova pretposlednjeg sloja (ovdje drugog), pripa-daju poslednjem sloju (ovdje trećem).

2. Svaki čvor koji nije korijen, napaja se preko jedinstvenog Г segmenta istog indeksa, koji je asociran

odgovarajućoj sekciji voda ili transformatoru. (Nema Г segmenta sa kojeg se napaja korijen.)

Sloj 1

Sloj 2

Sloj 3

1

2 3 4

6 5 7

9 8 10 11 12

Slika 2.2.1.2 – Numeracija čvorova i Г segmenata radijalne mreže.

Relacije bilansa kompleksnih snaga čvorova (2.3) imaju standardnu formu modela tokova

snaga, nezavisno od toga o kakvoj je mreži riječ (prenosnoj ili distributivnoj). One su izvedene iz linearnog modela kola napisanog saglasno s metodom nezavisnih potencijala čvorova (2.2) u ter-minima injektiranih struja i napona. Taj metod je izveden sintezom prvog i drugog Kirchhoff-ovog zakona. Relacije bilansa snaga (2.3) nisu linearne (iako je mreža linearna), pošto su iskazane u terminima napona i injektiranih snaga, pri čemu još i snage zavise od napona. Kako je već rečeno, kada je u pitanju prenosna mreža, tada se model rješava primjenom Newton-ovih varijanti iterativ-nih metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina. Kada je u pitanju radijalna distributivna mreža (i mreža s malim brojem kontura), tada se model rješava primjenom Gauss-ovih varijanti iterativnih metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

Model tokova snaga koji se ovdje razmatra (za radijalnu mrežu) može da se napiše polazeći

ponovo od metoda nezavisnih potencijala čvorova, odnosno direktnom primjenom Kirchhoff-ovih


18

zakona, ali, ovdje se taj model izvodi iz već utvrñenih relacija bilansa snaga čvorova (2.3), krećući se "unazad" prema Kirchhoff-ovim zakonima, da bi se pokazalo da je model tokova snaga uvijek isti, nezavisan od tipa mreže koja se obrañuje – relacije (2.3). Tip mreže utiče samo na prilagoñe-nje te forme tipu obrañivane mreže.

Razmatra se radijalna mreža sa n trofaznih čvorova, s pofaznim modelom tokova snaga

(2.3). Za njegov proračun ovdje će se obraditi algoritam 3.2 opisan u preambuli ove glave. On je zasnovan na formi modela tokova snaga (2.12):

nkUyyU

US

yU i

n

kii

kikkk

kk

kkk ...,,3,2,ˆˆ

ˆ1

ˆ)(ˆ

ˆ1ˆ

1*

=−−= ∑≠=

. (2.2.1.1)

Relacije bilansa snaga (2.2.1.1) mogu da se napišu u sledećem obliku:

nkUyUyU

US

yU i

ikiKkK

k

kk

kkk

k

...,,3,2,ˆˆˆˆˆ

)(ˆ

ˆ1ˆ

*=

−−−= ∑

∈α

, (2.2.1.2)

gdje je sa K označen početak segmenta kΓ , a sa kα je označen skup indeksa čvorova koji se Г se-

gmentima napajaju iz čvora k. Ako se umjesto elemenata matrice admitansi napišu originalne admitanse Г segmenata, označene velikim slovima, dobija se:

nkUYUYU

US

YYYU i

iiKk

k

kkn

iiokk

k

k

k

...,,3,2,ˆˆˆˆˆ

)(ˆ

ˆˆˆ

1ˆ*

=

++−

++= ∑

∑ ∈

∈

α

α

, (2.2.1.3)

odnosno:

nkUYUYUYUYU

US

YU i

iik

iikokKk

k

kk

k

k

kk

...,,3,2,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

)(ˆ

ˆ1ˆ

*=

+−−+−= ∑∑

∈∈ αα

, (2.2.1.4)

odnosno:

nkUUYUYU

USZUU ik

iikok

k

kkkKk

k

...,,3,2,)ˆˆ(ˆˆˆˆ

)(ˆˆˆˆ

*=

−++−= ∑

∈α

, (2.2.1.5)

odnosno:

nkIUYU

USZUU

kiikok

k

kkkKk ,...,3,2,ˆˆˆ

ˆ)(ˆ

ˆˆˆ '

*=

++−= ∑

∈α

, (2.2.1.6)

pri čemu su sa '

iI , ki α∈ , označene struje koje rednim granama otiču iz čvora k, k = 2, 3, ... , n (to

su prazni skupovi za sve čvorove iz kojih se ne napajaju grane nižih slojeva); ,ˆ/1ˆkk YZ = k = 2, 3,

... , n. Relacije (2.2.1.6) predstavljaju primjenu drugog Kirchhoff-ovog zakona za konturu koju čini k-ta redna grana s tačkom nultog potencijala.


19

Dakle, dominantnom dijelu modela tokova snaga (relacije bilansa snaga), dat je oblik (2.2.1.6), u kojem su uvedene nove nepoznate varijable – struje rednih grana mreže (Г segmenata). Te struje mogu da se opišu primjenom prvog Kirchhoff-ovog zakona (2.8):

∑∈

++=kj

jkok

k

kkk IUY

U

USI

α

'

*

' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = 2, 3, ... , n. (2.2.1.7)

Sada, relacijama (2.2.1.6) i (2.2.1.7) može da se da sledeći oblik:

nkIZUU kkKk ,...,3,2,ˆˆˆˆ ' =−= ; (2.2.1.8a)

∑∈

++=kj

jkok

k

kkk IUY

U

USI

α

'

*

' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = 2, 3, ... , n. (2.2.1.8b)

Model razmatrane radijalne mreže (2.2.1.8) sastoji se od nelinearnih kompleksnih jednači-

na koje, prije svega, treba da se riješe po nepoznatom dijelu vektora stanja mreža – kU , k = 2, 3, ...

, n, kao i po nepoznatim strujama svih rednih grana mreže 'kI , k = 2, 3, ... , n. Jednačine (2.2.1.8)

mogu da se napišu u sledećem redoslijedu:

∑∈

++=kj

jkok

k

kkk IUY

U

USI

α

'

*

' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = n, n–1, ... , 3, 2; (2.2.1.9a)

nkIZUU kkKk ,...,3,2,ˆˆˆˆ ' =−= . (2.2.1.9b)

Ove relacije predstavljaju matematički model tokova snaga razmatrane mreže, odnosno električ-nog kola kojim ona može da se predstavi. Kolo je linearno, ali njegov matematički model nije, pošto je predstavljen u terminima napona i snaga, a ne u terminima napona i struja (uz to, i snage zavise od napona). Forma modela tog kola je upravo takva da na nju može direktno da se primjeni Gauss-ov ili Gauss/Seidel-ov iterativni metod za rješavanje sistema nelinearnih jednačina (Prilog 9.1). Iteracija h Gauss/Seidel-ovog metoda, u kojoj se izračunavaju h+1-ve aproksimacije struja rednih grana i naponi čvorova, glasi:

∑∈

++ ++=kj

hj

hkokh

k

hkkh

k IUYU

USI

α

1'

*

1' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = n, n–1, ... , 3, 2; (2.2.1.10a)

1'11 ˆˆˆˆ +++ −= h

kkhK

hk IZUU , k = 2, 3, ... , n. (2.2.1.10b)

(Za K = 1, u pitanju je balansni čvor sa specificiranim naponom, pa superskript h+1 nije potreban.)

S obzirom na kretanje indeksa k, očigledno je da svaka od relacija (2.2.1.10a), npr. k-ta,

ima značenje: korigovana (h+1-va) vrijednost struje redne grane k-tog Γ segmenta ( 1'ˆ +hkI ), jednaka

je zbiru h-te aproksimacije struje potrošača koji se direktno napaja sa tog segmenta [ hk

hkk UUS *ˆ/)(ˆ ],

h-te aproksimacije struje otočne grane tog segmenta ( hkokUY ˆˆ ) i sumi već izračunatih struja rednih

grana segmenata koji se napajaju sa k-tog Γ segmenta ( ∑∈

+

kj

hjI

α

1'ˆ ); poslednje struje su izračunate


20

prije k-te, istim relacijama (2.2.1.10a), u okviru iste iteracije, s obzirom na specijalno kretanje in-deksa k i izabranu numeraciju Γ segmenata, odnosno čvorova i grana radijalne mreže; očigledno je da su struje rednih grana Γ segmenata poslednjeg sloja i segmenata sa kojih se ne napajaju drugi segmenti, jednake samo zbirovima struja njihovih potrošača i njihovih otočnih grana za poslednju aproksimaciju napona drugih čvorova tih segmenata. Gore je već rečeno da te relacije predstavljaju primjenu prvog Kirchhoff-ovog zakona na čvorove razmatrane mreže. Ova procedura, koja je od-reñena relacijama (2.2.1.10a), očigledno je da nije ništa drugo do procedura sumiranja struja iz standardnih postupaka za proračun simetričnih tokova snaga trofaznih radijalnih mreža [17].

S obzirom na specijalno kretanje indeksa k, očigledno je da svaka od relacija (2.2.1.10b), npr. k-ta, ima značenje: korigovana (h+1-va) vrijednost napona drugog čvora k-tog Γ segmenta

( 1ˆ +hkU ), jednaka je razlici (h+1-ve) aproksimacije napona prvog čvora tog segmenta ( 1ˆ +h

KU ) i (h+1-

ve) aproksimacije pada napona na rednoj grani tog segmenta ( 1'ˆˆ +hkk IZ ); korigovana vrijednost na-

pona prvog čvora k-tog Γ segmenta ( 1ˆ +hKU ) izračunata je prije korekcije napona drugog čvora tog

segmenta, korišćenjem istih relacija (2.2.1.10b), u okviru iste iteracije, s obzirom na izabrano kre-tanje indeksa k i izabranu numeraciju Γ segmenata, odnosno čvorova i grana radijalne mreže; prvi čvor prvog Γ segmenta i svih Γ segmenata koji se direktno napajaju sa korjena mreže, jeste korijen mreže (balansni čvor), sa specificiranim (poznatim) naponom; gore je već rečeno da te relacije predstavljaju primjenu drugog Kirchhoff-ovog zakona na redne grane razmatrane mreže. Ova pro-cedura, koja je odreñena korišćenjem relacija (2.2.1.10b), očigledno je da nije ništa drugo do pro-cedura korekcija napona iz standardnih postupaka za proračun simetričnih tokova snaga trofaznih radijalnih mreža [17].

Opisani iterativni postupak za proračun simetričnih tokova snaga trofaznih radijalnih mreža razmotriće se i na primjeru uravnotežene mreže s četiri čvora (n = 4) i tri grane – slika 2.2.1.3a. Mreža je numerisana po slojevima; prvi čvor je balansni, a ostala tri čvora su tipa PQ, sa specifici-ranim kompleksnim snagama potrošnje. Oni su rasporeñeni u dva sloja – čvor (grana) 2 pripada prvom, a čvorovi (grane) 3 i 4 drugom sloju. Pogonska šema mreže, prikazana Γ segmentima, data je na slici 2.2.1.3b. Model tog kola glasi:

∑∈

++=kj

jkok

k

kkk IUY

U

USI

α

'

*

' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = 4, 3, 2; (2.2.1.11a)

4,3,2,ˆˆˆˆ ' =−= kIZUU kkKk . (2.2.1.11b) Ako bi se model (2.2.1.11) riješio, dobili bi se naponi čvorova 2, 3 i 4, uz poznat napon balansnog čvora (napon čvora 1), kao i struje grana. Kolo s režimom koji predstavlja rješenje modela (2.2.1.11) dato je na slici 2.2.1.4. Ono je izvedeno primjenom teoreme o kompenzaciji struja u oto-čnim admitansama i potrošnje čvorova Γ segmenata idealnim strujnim izvorima.

Relacije opisanog Gauss/Seidel-ovog metoda za proračun tokova snaga u h-toj iteraciji za

proračun režima ove mreže glase:

∑∈

++ ++=kj

hj

hkokh

k

hkkh

k IUYU

USI

α

1'

*

1' ˆˆˆˆ

)(ˆˆ , k = 4, 3, 2; (2.2.1.11a)

1'11 ˆˆˆˆ +++ −= h

kkhK

hk IZUU , k = 2, 3, 4, (2.2.1.11b)

odnosno:


21

3U

4U

2U

(a)

2

3

4

'3I

2S

3S

4S

'4I

'2I 1

1U

0

Slika 2.2.1.3 – Primjer trofazne radijalne mreže s četiri čvora, u simetričnom režimu (a) i njena pogonska šema prikazana Γ segmentima (b).

3U

4U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z 2oY

3oY

4oY

2oI

3oI

4oI

'2I

'3I

'4I

(b)

2U

2S

3S

4S 1U

0


22

3U

4U

2U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z 22

ˆˆ UYo

33ˆˆ UYo

44ˆˆ UYo

*2

2

ˆ

ˆ

U

S

*3

3

ˆ

ˆ

U

S

*4

4

ˆ

ˆ

U

S

'2I '

3I

'4I

Slika 2.2.1.4 – Ekvivalentno kolo kojim se interpretira rješenje tokova snaga mreže prikazane na slici 2.2.1.3.

1U

0

hoh

hh UY

U

USI 44*

4

441'4

ˆˆˆ

)(ˆˆ +=+ ,

hoh

hh UY

U

USI 33*

3

331'3

ˆˆˆ

)(ˆˆ +=+ ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 1'

41'

322*2

221'2

+++ +++= hhhoh

hh IIUY

U

USI ;

(2.2.1.12a)

1'221

12

ˆˆˆˆ ++ −= hh IZUU ,

1'33

12

13

ˆˆˆˆ +++ −= hhh IZUU ,

1'44

12

14

ˆˆˆˆ +++ −= hhh IZUU .

(2.2.1.12b)

Ako se raspolaže s naponom korjena mreže ( 1U ) i h-tom aproksimacijom napona ostala tri

čvora ( hU2ˆ , hU3

ˆ i hU4ˆ ) i ako se parovi struja u čvorovima 2, 3 i 4 (

h

h

U

US*2

22

ˆ)(ˆ

, ho UY 22

ˆˆ ), (h

h

U

US*3

33

ˆ)(ˆ

,

ho UY 33

ˆˆ ) i (h

h

U

US*4

44

ˆ)(ˆ

, ho UY 44

ˆˆ ), zamjene idealnim strujnim izvorima, onda relacije (2.2.1.12) predstav-

ljaju matematički model kola koje je prikazano na slici 2.2.1.5. Idealni izvori – naponski priključen u prvom čvoru i parovi strujnih izvora priključeni u ostalim čvorovima – predstavljaju eksitaciju kola. Odziv kola jednoznačno je odreñen vektorom stanja, kojem nedostaju nepoznati naponi čvo-rova 2, 3 i 4. Model kola je napisan direktnom primjenom prvog (2.2.1.12a) i drugog Kirchhoff-


23

ovog zakona (2.2.1.12b). Taj model ne prestavlja ništa drugo do primjenu metoda konturnih struja za proračun kola prikazanog na slici 2.2.1.5 (Prilog 9.3). Kolo na slici 2.2.1.5 predstavlja lineari-zovano kolo kola prikazanog na slici 2.2.1.3b, sa aspekta sada linearne eksitacije idealnim strujnim izvorima u čvorovima 2, 3 i 4, umesto eksitacije snagama u tim čvorovima. Ovde se insistira na sledećim činjenicama:

1. Proračunom režima kola po nepoznatim naponima 12

ˆ +hU , 13

ˆ +hU i 14

ˆ +hU (i struja u rednim gra-

nama kola 1'2

ˆ +hI , 1'3

+hI i 1'4

ˆ +hI ), dobija se korekcija tekuće aproksimacije napona hU2ˆ , hU3

ˆ i hU4ˆ

(i struja u rednim granama kola hI '2

ˆ , hI '3 i hI '

4ˆ );

2. Dakle, proračun tog kola ne predstavlja rješenje osnovnog problema tokova snaga – model

(2.2.1.11), odnosno proračun režima kola sa slike 2.2.1.3b, već predstavlja samo rješenje line-arizovanog problema tokova snaga – model (2.2.1.12), odnosno kolo sa slike 2.2.1.5;

3. Model, odnosno režim kola sa slike 2.2.1.5, može da se izračuna primjenom bilo kog metoda

(metod nezavisnih potencijala čvorova, konturnih struja itd.); naravno, najjednostavnije je da se to uradi izračunavanjem lijevih strana Gauss/Seidel-ovih relacija (2.2.1.12), što nije ništa drugo do primjena metoda konturnih struja za rješenje tog kola; a taj metod nije ništa drugo do specijalna sinteza Kirchhoff-ovih zakona.

1U

13

ˆ +hU

14

ˆ +hU

12

ˆ +hU

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z

ho UY 22

ˆˆ

ho UY 33

ˆˆ

ho UY 44

ˆˆ

1'2

+hI1'

3+hI

1'4

+hI

0

Slika 2.2.1.5 – Ekvivalentno kolo kojim se interpretiraju relacije h-te iteracije Gauss/Seidel-ovog postupka za proračun mreže prikazane na slici 2.2.1.3.

hU

S*3

3

ˆ

ˆ

hU

S*4

4

ˆ

ˆ

hU

S*2

2

ˆ

ˆ

Time je završen dio zadatka postavljenog u ovoj glavi – utvrñivanje matematičke (teorij-ske) zasnovanosti postupaka za rješenje nelinearnog problema simetričnih tokova snaga radijalnih mreža, koji se sastoje od procedura sumiranja struja i korekcija napona, na Gauss-ovom, odnosno Gauss/Seidel-ovom iterativnom metodu za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

Postupak za proračun simetričnih tokova snaga radijalnih distributivnih mreža [17] dat je

blok-dijagramom prikazanim na slici 2.2.1.6.


24

1. 1U – fazni napon korjena;

2. )(),( kkkk UQUP – analitički oblici

funkcija potrošnje fazne aktivne i reaktivne snage potrošača priključenog u čvoru k, od modula njegovog faznog napona, ∈k 2, 3, … n;

3. kU – početna aproksimacija faznog

napona čvora k, ∈k 2, 3, … n;

4. okk YZ ˆ,ˆ – parametri segmenta kΓ ,

∈k 2, 3, … n; 5. Kriterijumi konvergencije.

k= n, 2

nkIk ...,3,2,0.0ˆ ' ∈=

( ) ( ) *ˆ/)(ˆˆ,j)(ˆkkkkkkkkkk UUSIUQUPUS =−=

kokkkk UYIII ˆˆˆˆˆ '' ++⇐

Početak procedure sumiranja struja

''' ˆˆˆkKK III +⇐ K je indeks segmenta

prethodnika segmentu kΓ

Kraj procedure sumiranja struja

k= 2, n

,ˆˆˆˆ 'kkKk IZUU −= K je početak segmenta kΓ

Provjera konvergencije? Ne

Da

Kraj proračuna

Početak procedure korekcija napona

Kraj procedure korekcija napona

Ne

Da K (početak segmenta kΓ ) = 1?

Slika 2.2.1.6 – Blok dijagram postupka za proračun simetričnih tokova snaga radijalnih distributivnih mreža.

Snaga opisanog postupka za proračun radijalnih mreža, koji je zasnovan na procedurama

sumiranja struja i korekcija napona, leži u sledećim činjenicama:

1. Nepoznati naponi čvorova mreže ne odstupaju značajno od napona balansnog čvora. Dakle, nije teško izabrati kvalitetnu početnu aproksimaciju za nepoznate napone.


25

2. Za kvalitetnu aproksimaciju napona čvorova mreže, kvalitetne su i izračunate aproksimacije otočnih struja čvorova – struje potrošača i struje otočnih admitansi čvorova (Γ segmenata).

3. Za kvalitetnu aproksimaciju struja potrošača i struja otočnih admitansi čvorova, kvalitetne su i

izračunate aproksimacije struja rednih grana mreže (Γ segmenata). 4. Za kvalitetnu aproksimaciju struja rednih grana mreže (Γ segmenata), kvalitetne su i aproksi-

macije padova napona na rednim granama mreže (Γ segmenata). 5. Za kvalitetnu aproksimaciju padova napona na rednim granama mreže (Γ segmenata) i poznat

napon korjena radijalne mreže, kvalitetne su i korekcije tekuće aproksimacije napona čvorova mreže.

Kada su u pitanju prenosne mreže (s velikim brojem kontura) činjenica br. 3 ne stoji, što bi

definitivno ruiniralo efikasnost opisanog postupka kada bi se on primjenio na proračun tokova snaga prenosnih mreža.

Na osnovu izlaganja u ovom paragrafu, očigledno je da proračuni tokova snaga radijalnih

mreža, koji su zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, predstavljaju vrlo sofisticiranu sintezu primjene oba Kirchhoff-ova zakona (metod konturnih struja) i Gauss/Seidel-ovog metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina.

2.2.2 Proračun modela distributivnih mreža s konturama U ovom paragrafu je obrañena matematička platforma postupka za proračun simetričnih

tokova snaga (direktnog redoslijeda) trofaznih (uravnoteženih) mreža s konturama, zasnovanog na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i kompenzaciji za konture (i generatore) [17, 18, 19]. Dakle, i dalje je u pitanju postupak orjentisan na grane. Mreže s konturama jesu i pre-nosne i distributivne. Ono u čemu se, sa aspekta kontura, te dvije vrste mreža razlikuju, to je broj kontura. Naime, relativni broj kontura u prenosnim mrežama je obično "veliki", a u distributivnim mrežama "mali". Velika efikasnost postupka za proračun tokova snaga distributivnih mreža, koji se ovdje izlaže, rezultat je praktično radijalne strukture, odnosno relativno malog broja kontura distributivnih mreža.

Razmatra se mreža koja se sastoji od n trofaznih čvorova, n≥2, sa p kontura, p≥1. Dakle

mreža ima n – 1 + p trofaznih grana. Model mreže je monofazan, saglasan s pogonskom šemom mreže za simetričan režim direktnog redoslijeda, i odnosi se na režim faze a – Prilog 9.2. I dalje zemlja predstavlja čvor nultog potencijala. Pogonska šema mreže može da se konstituiše koristeći se isključivo monofaznim Γ segmentima prikazanim na slici 2.2.1.1. Svaki Γ segment je asociran jednoj sekciji voda ili transformatoru. U mreži s konturama ne može da se definiše početak i kraj Г segmenta na način kako je to urañeno za radijalne mreže – Paragraf 2.2.1.

Da bi mreža s konturama mogla da se tretira isto kao radijalna mreža, potrebno je da se ot-

vore sve njene konture. Izbor mjesta gde se otvaraju konture potpuno je slobodan [17]. Otvaranjem svih kontura, mreža se svodi na radijalnu mrežu – radijalizovana mreža. Režim u toj mreži se raz-likuje od režima mreže s konturama (osnovne mreže). Da bi režim u radijalizovanoj mreži bio isti s režimom osnovne mreže, potrebno je da se promjene topološke strukture mreže, koje su se desile njenom radijalizacijom, kompenzuju odgovarajućim strujama – kompenzacionim strujama. Kom-penzacione struje se injektiraju u čvorove u kojima su konture otvorene. Čvor izabran za otvaranje konture "cijepa" se na dva čvora, tj. umjesto jedinstvenog čvora, za svaku konturu se uvode po dva "različita" čvora: osnovni (originalni) čvor – čvor u kojem je otvorena kontura i novogenerisani čvor,


26

koji je nastao cijepanjem osnovnog čvora. Snage i otočne admitanse čvorova u kojima se otvaraju konture, rasporeñuju se po želji na odgovarajuće osnovne i novogenerisane čvorove (npr. ostaju u osnovnim i nema ih u novogenerisanim, ili obrnuto, odnosno, njihovi dijelovi se raspodjeljuju na oba čvora, zapažajući njihove zbirove).

Primjer mreže s jednom konturom prikazan je na slici 2.2.2.1a. Čvorovi su označeni opštim

brojevima, pri čemu je sa j indeksiran korijen mreže – balansni čvor. Radijalizacija razmatrane mre-že prikazana je na slikama 2.2.2.1b, c i d. Jedina kontura u mreži otvorena je u čvoru m, pri čemu je novogenerisani čvor označen sa m'. (Nepoznata) struja u kratkospojniku, usmjerena od osnov-

nog ka novogenerisanom čvoru, označena je sa 'ˆ

mmJ . Ona, saglasno s teoremom o kompenzaciji,

može da se zamjeni idealnim strujnim izvorom iste struje, a da se stanje mreže ne promjeni – slika

2.2.2.1.c. Struja idealnog strujnog izvora 'ˆ

mmJ jeste kompenzaciona struja, s kojom se obezbjeñuje

jednakost režima radijalizovane mreže i mreže s konturom. Taj idealni strujni izvor može da se ek-vivalentno prikaže sa dva otočna idealna strujna izvora – slika 2.2.2.1d. Numeracija čvorova i Г segmenta radijalizovane mreže, sa insertovanim odgovarajućim idealnim strujnim izvorima u osno-vnom i novogenerisanom čvoru, koja je izvršena saglasno s pravilom izloženim u Paragrafu 2.2.1, pri-kazana je na slici 2.2.2.1e. U toj mreži su jednoznačno definisani početak i kraj svih Г segmenata.

(a)

j

k

l

n

m

(b)

m'

j

k

l

n

m

'ˆ

mmJ

(c)

m'

j

k

l

n

m

'ˆ

mmJ

(e)

Sloj 3

1

2

3 4

6

5

(d)

m'

j

k

l

n

m

'ˆ

mmJ '

ˆmmJ 45J 45J

Sloj 2

Sloj 1

Slika 2.2.2.1 – Mreža s jednom konturom (a), s čvorom m koji je rascjepljen na dva čvora m i m', povezana kratkospojnikom (b), kompenzacija kratkospojnika idealnim strujnim izvorom (c),

kompenzacija kratkospojnika sa dva idealna strujna izvora (d) i njena numeracija po slojevima, saglasna sa numeracijom radijalnih mreža (e).


27

Režim mreže s konturama isti je s režimom radijalizovane mreže sa insertovanim odgova-rajućim idealnim strujnim izvorima u čvorove u kojima su konture otvorene (osnovni i novogene-risani čvorovi). Prema tome, umjesto modelovanja i rješavanja mreže s konturama, može da se na-piše i riješi matematički model radijalizovane mreže sa insertovanim odgovarajućim idealnim strujnim izvorima u čvorove u kojima su konture otvorene. To rješenje se sastoji od napona svih čvorova koji su jednaki naponima mreže s konturama, kao i od kompenzacionih struja, čije vrijed-

nosti impliciraju jednakost napona čvorova u kojima su konture otvorene ( 'ˆˆmm UU = ). Broj čvorova

mreže koja je radijalizovana otvaranjem kontura i uvoñenjem novogenerisanih čvorova, veći je od broja čvorova mreže s konturama za p (broj kontura u mreži). Ali, naponi parova čvorova – osnovi i novogenerisani – meñusobno su jednaki, saglasno sa slikom 2.2.2.1b. Prema tome, postoji potpu-na ekvivalencija režima mreže s konturama i radijalizovane mreže sa insertovanim odgovarajućim idealnim strujnim izvorima u čvorove u kojima su konture otvorene.

Ovaj postupak za proračun tokova snaga distributivnih mreža s konturama naziva se kom-

penzacionim, a radijalizovana mreža sa insertovanim kompezacionim idealnim strujnim izvorima – kompenzovana mreža.

Razmatrana kompenzovana mreža se sastoji od n+1+p čvorova (ubrojan i čvor nultog po-

tencijala). Neka je sa P označen skup parova indeksa, od kojih svaki par odgovara jednom čvoru u kojem je otvorena jedna kontura. Prvi broj para odgovara indeksu osnovnog čvora, a drugi broj in-deksu novogenerisanog čvora. Npr, za mrežu sa slike 2.2.2.1, skup P se sastoji od jednog para (je-dna kontura) – P=(4, 5).

Kako je već rečeno, suma snaga para čvorova, npr. (l, m), lS i mS , jednaka je originalnoj

snazi osnovnog čvora l, u kojem se otvara kontura, pre otvaranja konture, P),( ∈ml . Isto važi i za otočne admitanse para čvorova (l, m), P),( ∈ml .

Sada, analogno s modelom radijalnih mreža, ovaj model može da se proširi novim nepoz-natim varijablama – strujama rednih grana (Г segmenata) kompenzovane mreže, pa se dobija sle-deći sistem jednačina:

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ '

*

' ∑∈

+++=kj

jkokck

k

kkk IUYJ

U

USI

α

k = 2, 3, ... , n+p; (2.2.2.1a)

'ˆˆˆˆkkKk IZUU −= k = 2, 3, ... , n+p; (2.2.2.1b)

ml UU ˆˆ = , P),( ∈ml , (2.2.2.1c)

pri čemu je sa ckJ označena kompenzaciona struja:

ako čvor k nije indeks ni jednog od čvorova u kojima su otvorene konture,

=

0

ˆckJ

lmJ , kompenzaciona struja iskazana relacijama (2.2.2.1c), ako je k indeks

osnovnog čvora u kojem je otvorena kontura (k = l);

lmJ− , ako je k indeks novogenerisanog čvora u kojem je otvorena kontura (k

= m), P),( ∈ml ,

(2.2.2.1d)


28

za k = 2, 3, ... , n+p, pa unutar skupa tih varijabli ima samo 2p nenultih, od kojih su po dvije meñu-sobno jednake, sa suprotnim znacima.

Dakle, model razmatrane mreže sa p kontura, odnosno odgovarajuće kompenzovane mreže sa istim režimom, čine jednačine (2.2.2.1a, b i c), sa isto toliko nepoznatih veličina, koje mogu da

se klasifikuju u sledeća tri skupa: 1) n + p – 1 struja rednih grana Г segmenata – 'kI , k = 2, 3, ... ,

n+p, 2) n + p – 1 napona čvorova – kU , k = 2, 3, ... , n+p i 3) p kompenzacionih struja lmJ ,

P),( ∈ml (2.2.2.1d). Taj model treba da se rješi, prije svega po naponima čvorova – stanju mreže. Mreža s konturama čiji se model razmatra načelno je prikazana na slici 2.2.2.2a.

Ako za rješenje modela (2.2.2.1) želi da se primjeni kompenzacioni postupak [17], onda

modelu treba da se da sledeća ekvivalentna forma, zasnovana na generalizovanoj Thévenin-ovoj teoremi:

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ '

*

' ∑∈

+++=kj

jkokck

k

kkk IUYJ

U

USI

α

k = 2, 3, ... , n+p; (2.2.2.2a)

'ˆˆˆˆkkKk IZUU −= k = 2, 3, ... , n+p; (2.2.2.2b)

0JZE cTT =− ˆˆˆ . (2.2.2.2c)

Sa TZ je označena Thévenin-ova matrica impedansi, dimenzija p×p, a sa TE i cJ su ozna-

čeni vektori Thévenin-ovih elektromotornih sila i kompenzacionih struja, dimenzija p×1, respekti-vno:

P),(,ˆˆ,ˆˆ ∈

=

= mlJE lmlm

M

M

M

M

cT JE . (2.2.2.3)

Nulti vektor s desne strane relacija (2.2.2.2c), dimenzije p×1, predstavlja nulte napone iz-

meñu čvorova u kojima se prekidaju konture, odnosno razlike napona osnovnih i novogenerisanih

čvorova [ P),(,ˆˆ ∈= mlUU ml ]. Dakle, te relacije su ekvivalentne relacijama (2.2.2.1c).

Razmatrana mreža, u razmatranom stanju, s Thévenin-ovim ekvivalentom kojim je zamje-

njen njen dio do čvorova u kojima se prekidaju konture, prikazana je na slici 2.2.2.2b. Na njoj je samo simbolički prikazan Thévenin-ov ekvivalent pojačanim linijama. (Termin "simbolički" ko-rišćen je pošto su veličine na toj slici matrične i vektorske.)

Vektor Thévenin-ovih elektromotornih sila TE definiše se kao što je to prikazano na slici 2.2.2.3a. Naime: 1. Neka je, za specificiran napon korjena i zadate snage potrošnje svih ostalih čvorova, riješen

problem tokova snaga mreže, na bilo koji način. Tada se raspolaže s vektorom stanja (napona)

razmatrane mreže s konturama: 1U , pnml UUUU +ˆ,...,ˆ,...,ˆ,...,ˆ

2 , meñu kojim naponima ima po


29

jedan par jednakih napona po svakom paru čvorova u kojima će se otvarati konture, slika 2.2.2.2a. To rješenje podjednako zadovoljava model (2.2.2.1) i ekvivalentni model (2.2.2.2).

l

m

.

.

.

.

.

.

lS

mS lmJ

Slika 2.2.2.2 – Načelan prikaz mreže s konturama čiji se model razmatra (a) i ekvivalentno kolo s dijelom mreže prema čvorovima u kojim se prekidaju konture zamjenjenim Thévenin-

ovim ekvivalentom (b).

(a)

.

.

.

.

.

.

lmJ

(b)

Thévenin-ov ekvivalent razmatrane

mreže prema čvorovima u

kojima se pre-kidaju konture.

TZ

Stanje mreže:

l

m

lU

mU

lU

mU

;P),(,ˆˆ ∈= mlUU ml;ˆ,...,ˆ,...,ˆ,...,ˆ,ˆ21 pnml UUUUU +

Stanje ekvivalentne mreže:

Svi čvorovi i grane mreže.

(Njihova povezanost s

čvorovima l i m, P),( ∈ml , nije

eksplicirana.) 1

+ 1U

+

TE

cJ

2. Neka se kompleksne snage svih čvorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju

stanju mreže: *ˆ

ˆ

k

k

U

S, k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od čvorova) – slika 2.2.2.3a.

3. Neka se otočne admitanse svih čvorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju

stanju mreže: kokUY ˆˆ , k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od čvorova) – slika

2.2.2.3a. 4. Neka se uklone svi kratkospojnici koji se nalaze izmeñu parova čvorova u kojima se prekidaju

konture. Za rezultat se dobija radijalizovana mreža razmatrane mreže s konturama. 5. Stanje nove (radijalne) mreže, sa istim – specificiranim naponom korjena, sastoji se od slede-

ćih napona: pnml UUUUU +ˆ,...,ˆ,...,ˆ,...,ˆ,ˆ

21 , koji su podvučeni da bi se razlikovali od stanja

mreže s konturama (osim napona korjena). Neka se i to stanje izračuna na bilo koji način.

6. Generalno nenulti elementi vektora Thévenin-ovih elektromotornih sila TE iznose:

P),(,ˆˆˆ ∈−= mlUUE mllm . (2.2.2.4)


30

Elementi Thévenin-ove matrice impedansi TZ definišu se kao što je to prikazano na slici 2.2.2.3b. Naime: 1. Neka se kompleksne snage svih čvorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju

stanju mreže: *ˆ

ˆ

k

k

U

S, k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od čvorova) – slika 2.2.2.3a.

2. Neka se otočne admitanse svih čvorova zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovaraju

stanju mreže: kokUY ˆˆ , k = 2, 3, ... , n+p (s referentnim smjerovima od čvorova) – slika

2.2.2.3a. 3. Neka se uklone svi kratkospojnici koji se nalaze izmeñu parova čvorova u kojima se prekidaju

konture. Za rezultat se dobija radijalizovana mreža razmatrane mreže s konturama. 4. Neka se pasiviziraju svi idealni izvori u radijalizovanoj mreži (idealni naponski izvor u korije-

nu se zamjeni kratkospojnikom, a idealni strujni izvori, kojima su predstavljene potrošnje i otočne admitanse čvorova, prekinu se)– slika 2.2.2.3b (pasivizirana radijalizovana mreža).

5. Neka se samo u jednom paru čvorova u kojima se prekidaju konture priključe idealni strujni

izvori jediničnih struja [npr. u paru čvorova (k, l)]: struja idealnog strujnog izvora je usmjere-na od osnovnog čvora, ka novogenerisanom čvoru. Dakle razmatrano kolo je pasivno svuda, osim u jednom izabranom paru čvorova od onih u kojima se prekidaju konture – slika 2.2.2.3.b.

6. Neka se izračunaju naponi u svim parovima čvorova u kojima se prekidaju konture kola sa

slike 2.2.2.3b. Oznake elemenata vektora stanja tog kola dva puta su podvučene – slika 2.2.2.3.b.

7. Razlika napona para čvorova (k, l), ml

UU ˆˆ − , brojno je jednaka dijagonalnom elementu Thé-

venin-ove matrice impedansi; razlike napona ostalih parova čvorova u kojima se prekidaju konture (razlika napona osnovnog i novogenerisanog čvora), brojno su jednake ostalim ele-mentima te matrice koji odgovaraju njenoj koloni kojoj pripada upravo razmotreni dijagonalni

element. Isto važi za sve ostale kolone Thévenin-ove matrice impedansi TZ .

Ako se raspolaže s Thévenin-ovom matricom impedansi TZ , koja je izračunata prema da-tom postupku, ili nekim drugim postupkom i ako se raspolaže s h-tom aproksimacijom stanja mre-

že i kompenzacionih struja: ( 1U ), hU 2ˆ , hU3

ˆ , ..., hnU , ..., h

pnU +ˆ , h

lmJ , P),( ∈ml , onda sistem relacija

Gauss/Seidel-ovog iterativnog metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina (2.2.2.2), u h-toj iteraciji, glasi (treća – Thévenin-ova matrična relacija, stavljena je na prvo mjesto):

1h

T1

T1h

c EZJ+−+ = ˆˆˆ ; (2.2.2.5a)

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ 1'1

*

1' ∑∈

+++ +++=kj

hj

hkok

hckh

k

hkkh

k IUYJU

USI

α

k = n+p,..., 3, 2; (2.2.2.5b)

1'11 ˆˆˆˆ +++ −= hkk

hK

hk IZUU k = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.5c)


31

l

m

.

.

.

.

.

.

Slika 2.2.2.3 – Situacija razmatrane mreže za izvoñenje Thévenin-ovog ekvivalenta: vektora

Thévenin-ovih elektromotornih sila TE (a) i Thévenin-ove matrice impedansi TZ (b).

(a)

.

.

.

.

.

.

(b)

Stanje kola za odreñivanje Thévenin-ovih

elektromotornih sila:

lU

mU

;ˆ,...,ˆ,...,ˆ,...,ˆ,ˆ21 pnml UUUUU +

+*ˆ

ˆ

l

l

U

S lolUY ˆˆ

+*ˆ

ˆ

m

m

U

S momUY ˆˆ

l

m

lU

mU

Stanje kola za odreñivanje elemenata Thévenin-ove

matrice impedansi:

;ˆ,...,ˆ,...,ˆ,...,ˆ,02 pnml

UUUU+

0ˆ1 =U+ 1U

j01+

j01+

Slično kao u slučaju radijalne mreže, relacije (2.2.2.5) predstavljaju model kola kompenzo-

vane mreže. U tom kolu, sve snage i otočne admitanse čvorova zamjenjene su idealnim strujnim

izvorima, izračunatim s naponima iz prethodne, h–1-ve iteracije: hkU , k = 2, 3, ... , n+p. Kompen-

zacione struje koje su odreñene Thévenin-ovom matričnom relacijom (2.2.2.5a), garantuju meñu-sobnu jednakost h+1-vih aproksimacija napona svih parova čvorova u kojima se prekidaju konture.

Za odreñivanje Thévenin-ovih elektromotornih sila, prema ranije datoj definiciji, potrebno

je da se riješi opisano kolo, odnosno njegov model sa uklonjenim kratkospojnicima i zadržanim svim ostalim idealnim izvorima (naponski u korjenu i strujni u svim ostalim čvorovima). Za rezul-tat se dobija radijalna mreža odreñena sledećim modelom:

,ˆˆˆ0ˆ

)(ˆˆ 1'

*

1'

∑∈

+++++=

kj

h

jhkokh

k

hkk

h

k IUYU

USI

α

k = n+p,..., 3, 2; (2.2.2.6a)

1'11 ˆˆˆˆ +++

−=h

kk

h

K

h

k IZUU k = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.6b)

Rješenje ovog modela sastoji se od veličina (napona čvorova i struja rednih grana) – podvučene veličine, koje svakako nisu jednake s odgovarajućim veličinama kola s konturama. Ali, naponima tog kola odreñene su tražene Thévenin-ove elektromotorne sile, odnosno vektor Thévenin-ovih

elektromotornih sila 1h

TE+ˆ :

P),(,ˆˆˆ 111∈−=

+++mlUUE

h

m

h

l

h

lm . (2.2.2.7)


32

Sada, za poznatu Thévenin-ovu matricu impedansi, koristeći se relacijom (2.2.2.5a), izra-

čunavaju se h+1-ve aproksimacije kompenzacionih struja 1hcJ +ˆ . Toj relaciji može simbolički da se

asocira kolo prikazano na slici 2.2.2.4. Priključenjem parova idealnih strujnih izvora sa izračunatim kompenzacionim strujama u

sve čvorove u kojima se prekidaju konture, dobija se radijalno kolo koje je ekvivalentno s kolom s konturama čiji se model rješava – (2.2.2.5). Model radijalnog ekvivalentnog kola (s priključenim parovima idealnih strujnih izvora u svim čvorovima u kojima se prekidaju konture) glasi:

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ 1'1

*

1' ∑∈

+++ +++=kj

hj

hkok

hckh

k

hkkh

k IUYJU

USI

α

k = n+p,..., 3, 2, (2.2.2.8a)

1'11 ˆˆˆˆ +++ −= h

kkhK

hk IZUU k = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.8b)

+

TZ

1h

TE+ˆ

1hcJ +ˆ

Slika 2.2.2.4 – Kolo koje simbolički predstavlja relaciju (2.2.2.5a).

Proračun tog kola se svodi na standardne procedure sumiranja struja (2.2.2.8a) i korekcija napona (2.2.2.8b). Rezultat proračuna se sastoji od nove – h+1-ve aproksimacija rješenja nelinearnog mo-

dela mreže s konturama (2.2.2.1) odnosno (2.2.2.2): ( 1U ), 1ˆ +hkU , 1'ˆ +h

kI , k =2, 3, ... , n+p, 1ˆ +hlmJ ,

P),( ∈ml . U ovdje opisanom postupku, u svakoj iteraciji se proračunavaju nove kompenzacione stru-

je, nezavisno od vrijednosti izračunatih u prethodnoj iteraciji. To je praćeno utroškom po jednog proračuna radijalne mreže bez kompenzacionih struja, radi izračunavanja Thévenin-ovih elektro-motornih sila. To znači utrošak po jedne sub-iteracije u okviru svake iteracije primjene Ga-uss/Seidel-ovog metoda za rješenje modela mreže s konturama. Kompenzacioni postupci za prora-čun mreža s konturama [17] neznatno se u formi razlikuju od opisanog postupka, ali, njihova suš-tinska prednost jeste u tome da u njima nema pomenutog utroška sub-iteracija. Naime, u njima se u svakoj iteraciji izračunavaju korekcije tekuće aproksimacije kompenzacionih struja, a ne same kompenzacione struje. Izvoñenje forme tih kompenzacionih postupaka slijedi.

Kada se raspolaže sa h+1-vom aproksimacijom, radi izračunavanja h+2-ge aproksimacije

rješenja, opisani postupak se ponavlja u narednoj – h+1-oj iteraciji. U kolu koje odgovara toj itera-ciji, sve snage i otočne admitanse čvorova zamjenjene su idealnim strujnim izvorima, izračunatim

s naponima iz prethodne, h-te iteracije: 1ˆ +hkU , k = 2, 3, ... , n+p. Naime:


33

1. Proračun radijalnog kola bez kompenzacionih struja:

,ˆˆˆ0ˆ

)(ˆˆ 2'1

1*

12'

∑∈

+++

++

+++=kj

h

jhkokh

k

hkk

h

k IUYU

USI

α

k = n+p,..., 3, 2, (2.2.2.9a)

2'22 ˆˆˆˆ +++

−=h

kk

h

K

h

k IZUU k = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.9b)

2. Proračun h+2-ge aproksimacije Thévenin-ovih elektromotornih sila, odnosno vektora Théve-

nin-ovih elektromotornih sila 2h

TE+ˆ :

P),(,ˆˆˆ 222∈−=

+++mlUUE

h

m

h

l

h

lm . (2.2.2.10)

3. Proračun h+2-ge aproksimacije kompenzacionih struja 2h

cJ + (potpuno nezavisno od prethodno

izračunate h+1-ve aproksimacije):

2h

T1

T2h

c EZJ+−+ = ˆˆˆ . (2.2.2.11)

Relaciji (2.2.2.11) može simbolički da se asocira kolo prikazano na slici 2.2.2.5.

+

TZ

2h

TE+ˆ

2hcJ +ˆ

Slika 2.2.2.5 – Kolo koje simbolički predstavlja relaciju (2.2.2.11).

4. Proračun h+2-ge aproksimacije struja rednih grana i napona čvorova:

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ 2'12

1*

12' ∑

∈

++++

++ +++=

kj

hj

hkok

hckh

k

hkkh

k IUYJU

USI

α

k = n+p,..., 3, 2, (2.2.2.12a)

2'22 ˆˆˆˆ +++ −= hkk

hK

hk IZUU , k = 2, 3, ... , n+p. (2.2.2.12b)

Rezultat proračuna se sastoji od nove – h+2-ge aproksimacija rješenja nelinearnog modela

mreže s konturama (2.2.2.1) odnosno (2.2.2.2): ( 1U ), 2ˆ +hkU , 2'ˆ +h

kI , k = 2, 3, ... , n+p, 2ˆ +hlmJ ,

P),( ∈ml . Kako je već naglašeno, i odavde je očigledno da se kompenzacione struje u

h+1-oj iteraciji ( 2hcJ +ˆ ) izračunavaju potpuno nezavisno od kompenzacionih struja izračuna-

tih u h-toj iteraciji ( 1hcJ +ˆ ).


34

Ako se uvede vektorska varijabla koja predstavlja razlike kompenzacionih struja izračuna-tih u tekućoj (h+1-voj) i prethodnoj (h-toj) iteraciji:

1h

T1

T

2h

T1

T1h

c2h

c1h

c EZEZJJJ∆+−+−+++ −=−= ˆˆˆˆˆˆˆ , (2.2.2.13)

onda kolo sa slike 2.2.2.5 može da se zamjeni (ekvivalentnim) kolom prikazanim na slici 2.2.2.6. U tom kolu, idealni strujni izvori, kojima su zamjenjene kompenzacione struje izračunate u h+1-

voj (tekućoj) iteraciji 2hcJ +ˆ , ekvivalentirani su parovima idealnih strujnih izvora s kompenzacionim

strujama izračunatim u prethodnoj iteraciji 1hcJ +ˆ i razlikama kompenzacionih struja odreñenih ko-

rišćenjem relacije (2.2.2.13). Jednakost napona čvorova u kojima su priključeni idealni strujni iz-vori (Thévenin-ovog ekvivalenta) garantuju relacije (2.2.2.11).

Dio kola sa slike 2.2.2.6, koji čine Thévenin-ova grana (2h

TE+ˆ , TZ ) i grana sa idealnim

strujnim izvorima 1hcJ +ˆ , može da se zamjeni novim Thévenin-ovim ekvivalentom. U tu svrhu, za

proračun novih Thévenin-ovih elektromotornih sila, potrebno je da se kolo sa slike 2.2.2.6 otvori saglasno sa isprekidanom linijom prikazanom na istoj slici. Na taj način se dobija kolo (simbolič-

ki) prikazano na slici 2.2.2.7a. Sa 1U i mU označeni su vektori napona osnovnih i novogenerisa-nih čvorova u kojima se prekidaju konture, respektivno. Njihovim korespondentnim razlikama od-reñene su tražene Thévenin-ove elektromotorne sile.

+

TZ

2h

TE+ˆ

1hcJ∆ +ˆ

Slika 2.2.2.6 – Kolo ekvivalentno kolu sa slike 2.2.2.5.

1hcJ +ˆ

Ključno pitanje koje se postavlja na ovom mjestu izlaganja glasi: kolike su vrijednosti ele-

menata vektora napona 1U i mU , odnosno, kolike su vrijednosti napona čvorova u kojima se pre-kidaju konture razmatrane mreže, ali u kolu sa slike 2.2.2.7a. Odgovor na to pitanje slijedi.

Thévenin-ov ekvivalent dijela kola s lijeve strane isprekidane linije kola prikazanog na slici

2.2.2.6, odnosno kola sa slike 2.2.2.7a odreñen je na sledeći način:

1. Uklonjeni su kratkospojnici sa svih parova čvorova u kojima se prekidaju konture; 2. Snage i otočne admitanse razmatrane mreže s konturama zamjenjene su idealnim strujnim iz-

vora sa strujama izračunatim za napone iz h-te iteracije: 1ˆ +hkU , k = 2, 3, ... , n+p – korišćenjem

relacija (2.2.2.9) i (2.2.2.10).


35

3. Thévenin-ova matrica impedansi izračunata je prema slici 2.2.2.7c (pasivizirani idealni izvori razmatranog kola). Saglasno s tim, ona ostaje nepromjenjena.

Dakle, sada, Thévenin-ov ekvivalent bi mogao da se zamjeni kolom iz kojeg je on izveden.

Ako bi se na to kolo još priključili i kratkosponjici izmeñu svih parova čvorova u kojima se preki-daju konture, dobija se situacija koja je ekvivalentna situaciji prikazanoj na slici 2.2.2.7b. Naime, ako se Thévenin-ov ekvivalent s te slike zamjeni kolom iz kojeg je ekvivalent izveden i ako se na to kolo priključe kratkosponici, dobija se kolo čiji je model opisan relacijama (2.2.2.8), a korišće-

njem tih relacija se izračunavaju h+1-ve aproksimacije napona čvorova: 1ˆ +hkU , k = 2, 3, ... , n+p.

Znači, razmatrani naponi 1U i mU odnose sa na h+1-ve aproksimacije napona čvorova razmatrane mreže s konturama – slika 2.2.2.7b.

Ako se uvede promjena vektora Thévenin-ovih elektromotornih sila kao vektor razlika na-

pona parova čvorova u kojima se prekidaju konture sa slike 2.2.2.7b:

1hm

1hl

1h

T UUE∆ +++−= ˆˆˆ , (2.2.2.14)

onda vektor korekcija kompenzacionih struja može da se izračuna na sledeći način:

)ˆˆ(ˆˆˆ 1hm

1hl

1T

1hT

1T

1hc UUZE∆ZJ∆ ++−+−+ −== . (2.2.2.15)

+

TZ

2h

TE+ˆ

1hcJ +ˆ

1U

mU

Slika 2.2.2.7 – Kolo pripremljeno za odreñivanje novog Thévenin-ovog ekvivalenta dijela kola sa slike 2.2.2.6 (a), kolo sa odreñenim novim Thévenin-ovim elektromotornim silama (b) i kolo sa

odreñenom Thévenin-ovom matricom impedansi (c).

+

TZ

2h

TE+ˆ

1hcJ +ˆ

1h1U +ˆ

1hmU +ˆ

(a) (b)

TZ

(c)

1hm

1hl

1h

T

UU

E∆++

+

−= ˆˆ

ˆ

Na osnovu relacija (2.2.2.13) i izračunatog vektora korekcija kompenzacionih struja – rela-

cije (2.2.2.15), može da se izračuna vektor kompenzacionih struja u h+1-voj iteraciji:

1hc

1hc

2hc J∆JJ +++ += ˆˆˆ . (2.2.2.16)

Dakle, u svakoj iteraciji se izračunava vektor korekcija kompenzacionih struja koji se sabi-

ra s vektorom kompenzacionih struja iz prethodne iteracije i tako se dobija vektor kompenzacionih struja u tekućoj iteraciji.


36

Kada bi se vektor kompenzacionih struja izračunat relacijama (2.2.2.16) priključio na kolo koje je ekvivalentno modelu, čije rješenje predstavljaju naponi iz prethodne iteracije, naponi svih parova čvorova u kojima se prekidaju konture bili bi isti.

Opisani iterativni postupak za proračun simetričnih tokova snaga trofaznih mreža s kontu-

rama razmotriće se i na primjeru uravnotežene mreže s tri čvora (n = 3) i tri grane – slika 2.2.2.8a. Čvor 3, u kojem kontura može da se otvori, pocjepan je na dva čvora povezana kratkospojnikom – slika 2.2.2.8b. Novogenerisani čvor indeksiran je sa 4. Kompenzovana mreža prikazana je na slici 2.2.2.8c. Mreža je numerisana po slojevima; prvi čvor je balansni, a ostala tri čvora su tipa PQ, sa specificiranim kompleksnim snagama potrošnje. Drugi čvor (grana) pripada prvom, a treći i četvrti čvor (grana) pripadaju drugom sloju. Pogonska šema mreže, prikazana Γ segmentima, data je na slici 2.2.2.8d.

3U 2U

(a)

2 3

'3I 2S

'3S

'2I 1

'4I 1U

0

3U

4U

2U

(b)

2

3

4

'3I

2S

3S

4S

'4I

'2I 1

34J

1U

0


37

3U

4U

1 2

3

4

'2I

'3I

'4I

(c)

2U

2S

3S

4S

34J

34J

1U

0

Slika 2.2.2.8 – Primjer trofazne mreže s tri čvora i jednom konturom, u simetričnom režimu (a), s pocjepanim čvorom 3 u kojem se otvara kontura na dva čvora povezana

kratkospojnikom (b), kompenzovana mreža (c) i njena pogonska šema prikazana Γ segmentima (d).

3U

4U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z 2oY

3oY

4oY

2oI

3oI

4oI

'2I

'3I

'4I

(d)

2U

2S

3S

4S

34J

34J

1U

0


38

Kako je već rečeno, suma snaga para čvorova (3, 4), 3S i 4S , jednaka je originalnoj snazi

osnovnog čvora 3, '3S , u kojem se otvara kontura, prije otvaranja konture. Isto važi i za otočne

admitanse para čvorova (3, 4) – 3oY i 4oY .

Sada, analogno s modelom radijalnih mreža, ovaj model može da se proširi novim nepoz-

natim varijablama – strujama rednih grana (Г segmenata) kompenzovane mreže, pa se dobija sle-dećih 7 jednačina:

,ˆˆˆˆˆ

)(ˆˆ '

*

' ∑∈

+++=kj

jkokck

k

kkk IUYJ

U

USI

α

k = 2, 3, 4, (2.2.2.17a)

'ˆˆˆˆkkKk IZUU −= , k = 2, 3, 4, (2.2.2.17b)

43ˆˆ UU = , (2.2.2.17c)

pri čemu je sa ckJ označena kompenzaciona struja:

za k=2,

=

0

ˆckJ 34J , kompenzaciona struja iskazana relacijama (2.2.2.17c), za k = 3.

34J− , za k = 4,

(2.2.2.17d)

Unutar skupa varijabli (2.2.2.17d) samo su dvije nenulte, koje su po modulu iste a po znaku razli-

čite ( 2ˆ

cJ =0, 3ˆ

cJ = 34J , 4ˆ

cJ =– 34J ).

Ako se relacije (2.2.2.17d) uvrste u relacije (2.2.2.17a), relacijama (2.2.2.17) može da se da

sledeći oblik:

4434*4

44'4

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ UYJ

U

USI o+−= ,

3334*3

33'3

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ UYJ

U

USI o++= ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ '

4'322*

2

22'2 IIUY

U

USI o +++= ;

(2.2.1.18a)

'2212

ˆˆˆˆ IZUU −= ,

'3323


'4424

ˆˆˆˆ IZUU −= ;

(2.2.1.18b)

43ˆˆ UU = . (2.2.1.18c)


39

Dakle, model razmatrane mreže s jednom konturom, odnosno odgovarajuće kompenzovane mreže sa istim režimom, sada se sastoji od 7 jednačina (2.2.2.18), sa isto toliko nepoznatih veliči-

na, koje mogu da se klasifikuju u sledeća tri skupa: 1) tri struje rednih grana Г segmenata – '2I , '

3I , '4I , 2) tri napona čvorova – 2U , 3U , 4U i 3) jedna kompenzaciona struja 34J . Taj model treba da

se rješi, prije svega po naponima čvorova – stanju mreže. Mreža s konturama čiji se model razmat-ra prikazana je na slici 2.2.2.9a.

Ako za rješenje modela (2.2.2.18) želi da se primjeni kompenzacioni postupak, onda mode-

lu treba da se da sledeća ekvivalentna forma, zasnovana na Thévenin-ovoj teoremi:

4434*4

44'4

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ UYJ

U

USI o+−= ,

3334*3

33'3

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ UYJ

U

USI o++= ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ '

4'322*

2

22'2 IIUY

U

USI o +++= ;

(2.2.1.19a)

'2212


'3323


'4424

ˆˆˆˆ IZUU −= ;

(2.2.1.19b)

0ˆˆˆ3434 =− JZE T . (2.2.1.19c)

Sa TZ je označena Thévenin-ova impedansa, a sa 34E i 34J su označeni Thévenin-ova

elektromotornih sila i kompenzaciona struja, respektivno. Nula s desne strane relacija (2.2.2.19c), predstavlja nulte napone izmeñu čvorova 3 i 4, od-

nosno razliku napona osnovnog i novogenerisanog čvorova ( 43ˆˆ UU = ).

Razmatrana mreža s konturom i njeno stanje, prikazani su na slici 2.2.2.9a. Ista mreža, u

razmatranom stanju, s Thévenin-ovim ekvivalentom kojim je zamjenjen njen dio do čvorova 3 i 4, prikazana je na slici 2.2.2.9b.

Thévenin-ova elektromotorna sila 34E definiše se kao što je to prikazano na slici 2.2.2.10a. Naime: 1. Neka je, za specificiran napon korjena i zadate snage potrošnje svih ostalih čvorova, riješen

problem tokova snaga, na bilo koji način. Tada se raspolaže s vektorom stanja (napona) raz-

matrane mreže s konturom: 4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆ UUUU , slika 2.2.2.9a. To rješenje podjednako zadovoljava

model (2.2.2.18) i ekvivalentni model (2.2.2.19).


40

4U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z 2oY

3oY

4oY

2oI

3oI

4oI

'2I

'3I

'4I

(а)

2U

2S

3S

4S

3U

4

4S

34J

Stanje mreže:

;ˆ,ˆ,ˆ,ˆ4321 UUUU

1U

0

Slika 2.2.2.9 – Pogonska šema mreže s konturom čiji se model razmatra (a) i ekvivalentno kolo s dijelom mreže prema

čvorovima 3 i 4 zamjenjenim Thévenin-ovim ekvivalentom (b).

34J

(b)

Thévenin-ov ekvivalent razmatrane

mreže prema čvorovima 3 i 4

TZE ˆ,ˆ34

3

4

3U

4U

;P)4,3(,ˆˆ43 ∈=UU

Stanje ekvivalentne mreže:

TZ +

34E


41

2. Neka se kompleksne snage čvorova 2, 3 i 4 zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgova-

raju stanju mreže: *2

2

ˆ

ˆ

U

S,

*3

3

ˆ

ˆ

U

S,

*4

4

ˆ

ˆ

U

S (s referentnim smjerovima od čvorova).

3. Neka se otočne admitanse čvorova 2, 3 i 4 zamjene idealnim strujnim izvorima koji odgovara-

ju stanju mreže: 22ˆˆ UYo , 33

ˆˆ UYo , 44ˆˆ UYo (s referentnim smjerovima od čvorova) – slika

2.2.2.10a. 4. Neka se ukloni kratkospojnik koji se nalaze izmeñu parova čvorova 3 i 4. Za rezultat se dobija

radijalna mreža. 5. Stanje nove (radijalne) mreže, sa istim – specificiranim naponom korjena, sastoji se od slede-

ćih napona: 4321ˆ,ˆ,ˆ,ˆ UUUU , koji su podvučeni da bi se razlikovali od stanja mreže s konturom

(osim napona korjena). Neka se i to stanje izračuna na bilo koji način.

6. Generalno nenulta Thévenin-ova elektromotorna sila 34E iznosi:

4334ˆˆˆ UUE −= . (2.2.2.20)

Thévenin-ova impedansa TZ definiše se kao što je to prikazano na slici 2.2.2.10b. Naime: 1. Neka se pasiviziraju svi idealni izvori u kolu sa slike 2.2.2.10a (idealni naponski se zamjene

kratospojnicima, a idealni strujni se prekinu). Dakle: napon korjena (idealan naponski izvor) zamjeni se kratkim spojem; idealni strujni izvori u čvorovima 2, 3 i 4, kojima su zamjenjene snage i otočne admitanse, anuliraju se – slika 2.2.2.10b.

2. Neka se u paru čvorova 3 i 4 priključe idealni strujni izvori jediničnih struja: struja idealnog

strujnog izvora je usmjerena od osnovnog čvora 3, ka novogenerisanom čvoru 4. Dakle razma-trano kolo je pasivno svuda, osim u paru čvorova 3 i 4.

3. Neka se izračunaju naponi u paru čvorova 3 i 4 kola sa slike 2.2.2.10b. Oznake elemenata vek-

tora stanja tog kola dva puta su podvučene.

4. Razlika napona para čvorova (3, 4), 43

ˆˆ UU − , brojno je jednaka Thévenin-ovoj impedansi TZ .

Ako se raspolaže s Thévenin-ovom impedansom TZ , koja je izračunata prema datom pos-tupku, ili nekim drugim postupkom i ako se raspolaže s h-tom aproksimacijom stanja mreže i

kompenzacionom strujom – ( 1U ), hU 2ˆ , hU3

ˆ , hU 4ˆ , hJ34

ˆ , onda sistem relacija Gauss/Seidel-ovog ite-

rativnog metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina (2.2.2.18), u h-toj iteraciji, glasi (se-dma – Thévenin-ova relacija, stavljena je na prvo mjesto):

T

h

h

Z

EJ

ˆ

ˆˆ

1

34134

+

+ = ; (2.2.2.21a)


42

ho

h

h

hh UYJ

U

USI 44

134*

4

441'4

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ +−= ++ ,

ho

h

h

hh UYJ

U

USI 33

134*

3

331'3

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ ++= ++ ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 1'

41'

322*2

221'2

+++ +++= hhhoh

hh IIUY

U

USI ;

(2.2.1.21b)

1'221

12


1'33

12

13


1'44

12

14


(2.2.1.21c)

Slično kao u slučaju radijalne mreže, ove relacije predstavljaju model kola kompenzovane

mreže. U tom kolu, sve snage i otočne admitanse čvorova zamjenjene su idealnim strujnim izvori-

ma, izračunatim s naponima iz prethodne, h–1-ve iteracije: hU 2ˆ , hU3

ˆ , hU 4ˆ . Kompenzaciona struja

odreñena korišćenjem Thévenin-ove relacije (2.2.2.21a) garantuje meñusobnu jednakost h+1-vih aproksimacija napona para čvorova 3 i 4.

Za odreñivanje Thévenin-ove elektromotorne sile, prema već datoj definiciji, potrebno je

da se rješi opisano kolo, odnosno njegov model sa uklonjenim kratkospojnikom i zadržanim svim ostalim idealnim izvorima (naponski u korjenu i strujni u svim ostalim čvorovima). Za rezultat se dobija radijalna mreža odreñena sledećim modelom:

3U

4U

2U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z

'

2I

'

3I

'

4I

Stanje kola za odreñivanje Thévenin-ove elektromotorne

sile:

;ˆ,ˆ,ˆ,ˆ4321 UUUU

+*3

3

ˆ

ˆ

U

S 33

ˆˆ UYo

+*4

4

ˆ

ˆ

U

S 44

ˆˆ UYo

+*2

2

ˆ

ˆ

U

S 22

ˆˆ UYo

(a)

1U

0


43

0ˆ1 =U

3U

4U

2U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z

'

2I

'

3I

'

4I

0

(b)

Stanje kola za odreñivanje Thévenin-ove impedanse:

;ˆ,ˆ,ˆ,0432

UUU

j01+

j01+

Slika 2.2.2.10 – Situacija razmatrane mreže za izvoñenje Thévenin-ovog ekvivalenta: Thévenin-ova elektromotorna

sila 34E (a) i Thévenin-ova impedansa TZ (b).

hoh

hh

UYU

USI 44*

4

441'

4ˆˆ0

ˆ)(ˆ

ˆ +−=+

,

hoh

hh

UYU

USI 33*

3

331'

3ˆˆ0

ˆ)(ˆ

ˆ ++=+

,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 1'

4

1'

322*2

221'

2

++++++=

hhhoh

hh

IIUYU

USI ;

(2.2.1.22a)

1'

221

1

2ˆˆˆˆ ++

−=hh

IZUU ,

1'

33

1

2

1

3ˆˆˆˆ +++

−=hhh

IZUU ,

1'44

1

2

1

4ˆˆˆ +++

−= hhhIZUU .

(2.2.1.22b)

Rješenje tog modela sastoji se od veličina (napona čvorova i struja rednih grana) – podvučene ve-ličine, koje svakako nisu jednake s odgovarajućim veličinama kola s konturom. Ali, naponima tog

kola odreñena je tražena Thévenin-ova elektromotorna sila 1

34ˆ +hE :

1

4

1

3

1

34ˆˆˆ +++

−=hhh

UUE . (2.2.2.23)


44

Sada, za poznatu Thévenin-ovu impedansu, koristeći se relacijom (2.2.2.21a), izračunava

se h+1-va aproksimacija kompenzacione struje 134

ˆ +hJ . Toj relaciji može da se asocira kolo prikaza-

no na slici 2.2.2.11.

+

TZ

1

34ˆ +hE

134

ˆ +hJ

Slika 2.2.2.11 – Kolo koje predstavlja relaciju (2.2.2.21a). Priključenjem para idealnih strujnih izvora sa izračunatom kompenzacionom strujom u

čvorovima 3 i 4, dobija se radijalno kolo koje je ekvivalentno s kolom s konturom čiji se model rješava – (2.2.2.21). Model radijalnog ekvivalentnog kola (s priključenim parom idealnih strujnih izvora u čvorovima 3 i 4) glasi:

ho

h

h

hh UYJ

U

USI 44

134*

4

441'4

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ +−= ++ ,

ho

h

h

hh UYJ

U

USI 33

134*

3

331'3

ˆˆˆˆ

)(ˆˆ ++= ++ ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 1'

41'

322*2

221'2

+++ +++= hhhoh

hh IIUY

U

USI ;

(2.2.1.24a)

1'221

12


1'33

12

13


1'44

12

14


(2.2.1.24b)

Kolo koje je ekvivalentno modelu (2.2.1.24) prikazano je na slici 2.2.2.12. Proračun tog

kola se svodi na standardne procedure sumiranja struja (2.2.2.24a) i korekcija napona (2.2.2.24b). Rezultat proračuna se sastoji od nove – h+1-ve aproksimacija rješenja nelinearnog modela mreže s

konturama (2.2.2.18), odnosno (2.2.2.19): ( 1U ), 12

ˆ +hU , 13

ˆ +hU , 14

ˆ +hU , 1'2

ˆ +hI , 1'3

+hI , 1'4

ˆ +hI , 134

ˆ +hJ .

Prilikom razmatranja opšteg slučaja ovog postupka, pokazano je da se u svakoj njegovoj

iteraciji proračunavaju nove kompenzacione struje, nezavisno od vrijednosti izračunatih u pretho-dnoj iteraciji. Tamo je isto pokazano da standardni kompenzacioni postupci za proračun mreža s konturama neznatno se u formi razlikuju od opisanog postupka, ali, njihova suštinska prednost jes-te u tome da u njima nema pomenutog utroška sub-iteracija za proračun kompenzacionih struja. Naime, u njima se u svakoj iteraciji izračunavaju korekcije tekuće aproksimacije kompenzacionih struja, a ne same kompenzacione struje. Forma tih kompenzacionih postupaka se pokazuje i na primjeru koji se ovdje obrañuje.


45

13

ˆ +hU

12

ˆ +hU

1 2

3

2Z

3Z

4Z

1'2

+hI1'

3+hI

1'4

+hI

Slika 2.2.2.12 – Kolo koje je ekvivalentno modelu (2.2.1.24).

134

+hJ

hU

S*3

3

ˆ

ˆh

o UY 33ˆˆ

14

ˆ +hU

4

134

+hJ

hU

S*4

4

ˆ

ˆh

o UY 44ˆˆ

ho UY 22

ˆˆ hU

S*2

2

ˆ

ˆ 1U

0

Kada se raspolaže sa h+1-vom aproksimacijom rješenja, radi izračunavanja h+2-ge aprok-

simacije rješenja, opisani postupak se ponavlja u h+1-oj iteraciji. U kolu koje odgovara toj iteraci-ji, sve snage i otočne admitanse čvorova zamjenjene su idealnim strujnim izvorima, izračunatim s

naponima iz prethodne, h-te iteracije: 12

ˆ +hU , 13

ˆ +hU , 14

ˆ +hU . Naime:

1. Proračun radijalnog kola bez kompenzacionih struja:

1441*

4

144

2'

4ˆˆ0

ˆ)(ˆ

ˆ ++

++

+−= hoh

hh

UYU

USI ,

1331*

3

133

2'

3ˆˆ0

ˆ)(ˆ

ˆ ++

++

++= hoh

hh

UYU

USI ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 2'

4

2'

31

221*2

122

2'

2

++++

++

+++=hhh

oh

hh

IIUYU

USI ;

(2.2.1.25a)

2'

221

2

2ˆˆˆˆ ++

−=hh

IZUU ,

2'

33

2

2

2

3ˆˆˆˆ +++

−=hhh

IZUU ,

2'44

2

2

2

4ˆˆˆ +++

−= hhhIZUU .

(2.2.1.25b)

Kolo koje je ekvivalentno modelu (2.2.1.25) prikazano je na slici 2.2.2.13.


46

2. Proračun h+2-ge aproksimacije Thévenin-ove elektromotorne sile 2

34ˆ +hE :

2

4

2

3

2

34ˆˆˆ +++

−=hhh

UUE . (2.2.2.26)

2

3ˆ +h

U

2

2ˆ +h

U

1 2

3

2Z

3Z

4Z

2'

2ˆ +hI

2'

3ˆ +hI

2'

4ˆ +hI


133

ˆˆ +ho UY

1*3

3

ˆ

ˆ+hU

S

2

4ˆ +h

U

4

144

ˆˆ +ho UY

1*4

4

ˆ

ˆ+hU

S

1*2

2

ˆ

ˆ+hU

S 1

22ˆˆ +h

o UY1U

0

3. Proračun h+2-ge aproksimacije kompenzacionih struja 2

34+hJ :

T

h

h

Z

EJ

ˆ

ˆˆ

2

34234

+

+ = . (2.2.2.27)

Relaciji (2.2.2.27) može da se asocira kolo prikazano na slici 2.2.2.14.

+

TZ

2

34ˆ +hE

234

ˆ +hJ

Slika 2.2.2.14 – Kolo koje predstavlja relaciju (2.2.2.27).


47

4. Proračun h+2-ge aproksimacije (struja rednih grana i) napona čvorova:

144

2341*

4

1442'

4ˆˆˆ

ˆ)(ˆ

ˆ +++

++ +−= h

oh

h

hh UYJ

U

USI ,

133

2341*

3

1332'

3ˆˆˆ

ˆ)(ˆ

ˆ +++

++ ++= h

oh

h

hh UYJ

U

USI ,

)ˆˆ(ˆˆˆ

)(ˆˆ 2'

42'

31

221*2

1222'

2+++

+

++ +++= hhh

oh

hh IIUY

U

USI ;

(2.2.2.28a)

2'221

22


2'33

22

23


2'44

22

24


(2.2.2.28b)

Kolo koje je ekvivalentno modelu (2.2.2.28) prikazano je na slici 2.2.2.15.

Rezultat proračuna se sastoji od nove – h+2-ge aproksimacija rješenja nelinearnog modela

mreže s konturom (2.2.2.18), odnosno (2.2.2.19): ( 1U ), 22

ˆ +hU , 23

ˆ +hU , 24

ˆ +hU , 2'2

ˆ +hI , 2'3

+hI , 2'4

ˆ +hI , 2

34ˆ +hJ . Kako je već naglašeno, i odavde je očigledno da se kompenzacione struje u h+1-oj iteraciji

( 234

ˆ +hJ ) izračunavaju potpuno nezavisno od kompenzacionih struja izračunatih u h-toj iteraciji

( 134

ˆ +hJ ).

23

ˆ +hU

22

ˆ +hU

1 2

3

2Z

3Z

4Z

2'2

+hI 2'

3+hI

2'4

+hI


234

+hJ

1*3

3

ˆ

ˆ+hU

S

133

ˆˆ +ho UY

24

ˆ +hU

4

234

+hJ

1*4

4

ˆ

ˆ+hU

S 1

44ˆˆ +h

o UY

122

ˆˆ +ho UY

1*2

2

ˆ

ˆ+hU

S 1U

0

Ako se uvede varijabla koja predstavlja razliku kompenzacione struje izračunate u tekućoj

(h+1-voj) i prethodnoj (h-toj) iteraciji:


48

T

h

T

h

hhh

Z

E

Z

EJJJ∆

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

1

34

2

34134

234

134

++

+++ −=−= , (2.2.2.29)

onda kolo sa slike 2.2.2.14 može da se zamjeni (ekvivalentnim) kolom prikazanim na slici 2.2.2.16. U tom kolu, idealni strujni izvor, kojim je zamjenjena kompenzaciona struja izračunata u

h+1-voj (tekućoj) iteraciji 234

ˆ +hJ , ekvivalentiran je parom idealnih strujnih izvora s kompenzacio-

nom strujom izračunatom u prethodnoj iteraciji 134

ˆ +hJ i razlikom kompenzacionih struja odreñenih

korišćenjem relacije (2.2.2.29). Jednakost napona čvorova u kojima su priključeni idealni strujni izvori (Thévenin-ovog ekvivalenta) garantuje relacija (2.2.2.27).

+

TZ

2

34ˆ +hE

134

ˆ +hJ∆

Slika 2.2.2.16 – Kolo ekvivalentno kolu sa slike 2.2.2.14.

134

ˆ +hJ

Dio kola sa slike 2.2.2.16, koji čine Thévenin-ova grana (2

34ˆ +hE , TZ ) i grana s idealnim

strujnim izvorom 134

ˆ +hJ , može da se zamjeni novim Thévenin-ovim ekvivalentom. U tu svrhu, za

proračun nove Thévenin-ove elektromotorne sile, potrebno je da se kolo sa slike 2.2.2.16 otvori saglasno sa isprekidanom linijom prikazanom na istoj slici. Na taj način dobija se kolo prikazano

na slici 2.2.2.17a. Sa 3U i 4U označeni su naponi osnovnog i novogenerisanog čvorova u kojima se prekida kontura, respektivno. Njihovom korespondentnom razlikom odreñena je tražena Théve-nin-ova elektromotorna sila.

Ključno pitanje koje se postavlja na ovom mjestu izlaganja glasi: kolika je vrijednost napo-

na 3U i 4U , ali u kolu sa slike 2.2.2.17a. Odgovor na to pitanje slijedi. Thévenin-ov ekvivalent sa slike 2.2.2.17a izveden je na sledeći način:

1. Uklonjen je kratkospojnik sa para čvorova 3 i 4. 2. Snage i otočne admitanse razmatrane mreže s konturom zamjenjene su idealnim strujnim izvo-

rima sa strujama izračunatim za napone iz h-te iteracije: 12

ˆ +hU , 13

ˆ +hU , 14

ˆ +hU – relacije (2.2.2.25)

i (2.2.2.26). 3. Thévenin-ova impedansa izračunata je prema slici 2.2.2.17c (pasivizirani idealni izvori razmat-

ranog kola). Dakle, ona ostaje nepromjenjena.

Sada, Thévenin-ov ekvivalent bi mogao da se zamjeni kolom iz kojeg je on izveden. Ako bi se na to kolo još priključio kratkospojnik izmeñu para čvorova 3 i 4, dobija se situacija koja je ek-


49

vivalentna situaciji prikazanoj na slici 2.2.2.17b. Naime, ako se Thévenin-ov ekvivalent s te slike zamjeni kolom iz kojeg je ekvivalent izveden i ako se na to kolo priključi kratkospojnik, dobija se kolo čiji je model opisan relacijama (2.2.2.24), a tim relacijama se izračunavaju h+1-ve aproksi-

macije napona čvorova: 12

ˆ +hU , 13

ˆ +hU , 14

ˆ +hU – slika 2.2.2.12. Znači, razmatrani naponi 3U i 4U od-

nose sa na h+1-ve aproksimacije napona čvorova razmatrane mreže s konturom – slika 2.2.2.17b.

+

TZ

2

34ˆ +hE

134

ˆ +hJ

3U

4U

Slika 2.2.2.17 – Kolo pripremljeno za odreñivanje novog Thévenin-ovog ekvivalenta dijela kola sa slike 2.2.2.16 (a), kolo sa odreñenom novom Thévenin-ovom elektromotornom silom (b) i kolo

sa odreñenom Thévenin-ovom impedansom (c).

+

TZ

2

34ˆ +hE

134

ˆ +hJ

13

ˆ +hU

14

ˆ +hU

(a) (b)

TZ

(c)

14

13

1

34

ˆˆ

ˆ

++

+

−= hh

h

UU

E∆

Ako se uvede promjena Thévenin-ove elektromotorne sile kao razlika napona para čvorova

3 i 4 sa slike 2.2.2.17b:

14

13

1

34ˆˆˆ +++

−= hhhUUE∆ , (2.2.2.30)

onda korekcija kompenzacione struje može da se izračuna na sledeći način:

T

hh

T

hh

Z

UU

Z

E∆J∆

ˆ)ˆˆ(

ˆˆ

14

13

1341

34

++++ −

== . (2.2.2.31)

Na osnovu relacija (2.2.2.29) i izračunate korekcije kompenzacionih struja – relacija

(2.2.2.31) može da se izračuna kompenzaciona struja u h+1-voj iteraciji:

134

134

234

ˆˆˆ +++ += hhh J∆JJ . (2.2.2.32)

Dakle, u svakoj iteraciji se izračunava korekcija kompenzacione struje koja se sabira s

kompenzacionom strujom iz prethodne iteracije i tako se dobija kompenzaciona struja u tekućoj iteraciji.

Kada bi se kompenzaciona struja izračunata relacijom (2.2.2.32) priključila na kolo koje je

ekvivalentno modelu, čije rješenje predstavljaju naponi iz prethodne iteracije, naponi para čvorova 3 i 4 bili bi isti.

Postupak za proračun simetričnih tokova snaga distributivnih mreža s konturama [17, 18, 19] dat je blok-dijagramom prikazanim na slici 2.2.2.18.


50

Na osnovu izlaganja u ovom paragrafu, očigledno je da proračuni tokova snaga radijalnih mreža s konturama, zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, kao i kompen-zaciji za konture, predstavljaju vrlo sofisticiranu sintezu primjene oba Kirchhoff-ova zakona (me-tod konturnih struja), Thévenin-ove teoreme i Gauss/Seidel-ovog metoda za rješavanje sistema ne-linearnih jednačina.

1. 1U – fazni napon korjena;

2. )(),( kkkk UQUP – analitički oblici funkcija

potrošnje fazne aktivne i reaktivne snage potrošača priključenog u čvoru k, od modula njegovog faznog napona,

∈k 2, 3, … n;

3. kU – početna aproksimacija faznog napona

čvora k, ∈k 2, 3, … n;

4. okk YZ ˆ,ˆ – parametri segmenta kΓ ,

∈k 2, 3, … n; 5. Utvrñivanje čvorova za otvaranje kontura; 6. Kriterijumi konvergencije.

k= n+p, 2

pnkIk +∈= ...,3,2,0.0ˆ '

( ) ( ) *ˆ/ˆˆ,jˆkkkkkkkk USIUQUPS =−=

kokkkk UYIII ˆˆˆˆˆ '' ++⇐

Početak procedure sumiranja struja

''' ˆˆˆkKK III +⇐ K je indeks segmenta prethodnika segmentu kΓ


Ne


Inicijalizacija kompenzacionih struja 0.1ˆ =cjJ , ,...,2,1 pj ∈ , p – broj kontura

Proračun Thévenin-ove matrice impedansi TZ

Da li je čvor k osnovni ili novogenerisani čvor konture?

Da

Čvor k? Osn. Novogen.

ckkk JII ˆˆˆ −⇐ ckkk JII ˆˆˆ +⇐

Ne

Y

X


51

ј= 1, p


Da

Kraj proračuna

Tjljmjcj ZUUJ ˆ/)ˆˆ(ˆ −=∆ , m je osnovni, a l novogenerisani čvor konture j

k= 2, n+p

,ˆˆˆˆ 'kkKk IZUU −= K je početak segmenta kΓ


X

Y

Kraj procedure korekcija napona

cjcjcj JJJ ˆˆˆ ∆+⇐

Slika 2.2.2.18 – Blok dijagram postupka za proračun simetričnih tokova snaga distributivnih mreža s konturama.

Ekvivalentne šeme i matematički model trofazne distributivne mreže Predrag Vidović

52

3 EKVIVALENTNE ŠEME I MATEMATIČKI MODEL TRO-FAZNE DISTRIBUTIVNE MREŽE U ovoj glavi obrañeni su matematički modeli trofaznih (ne)uravnoteženih potrošača, sekci-

ja (vodova) i uravnoteženih transformatora sa osnovnim spregama: Yy, Dy, Yd i Dd (zvjezdišta mogu i ne moraju da budu uzemljena). Na osnovu njih, utvrñen je model trofazne radijalne distri-butivne mreže u (ne)simetričnom režimu. 3.1 MODELI POTROŠAČA

U ovom dijelu obrañeni su modeli potrošača (Paragraf 3.1.1), s posebnim akcentom na pot-

rošače koji se napajaju sa strane transformatora čiji su namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem i bez neutralnog provodnika (Paragraf 3.1.2).

3.1.1 Tretman potrošača

Snaga potrošnje potrošača, c,b,a),(ˆ ∈xUS xx , gdje su sa a, b i c indeksirane faze trofaz-

nog sistema, zavisna je od učestanosti sistema i modula njegovog napona. Kako je već rečeno, za-visnost od učestanosti nije od interesa u analizi stacionarnih režima pošto je u tim režimima ona specificirana na poznatu vrijednost. Generalni oblik zavisnosti potrošnje od napona dat je slede-

ćom funkcijom, za definiciju kompleksne snage – )(j)(ˆˆ)(ˆ * UQUPIUUS −== :

,c,b,a,j

jj)(ˆ

22

∈

−

+

−+−=

xQU

UkP

U

Uk

QU

UkP

U

UkQkPkUS

specx

nNN

xyqx

specx

nNN

xypx

specx

nNN

xiqx

specx

nNN

xipx

specxsqx

specxspxxx

(3.1.1.1)

pri čemu oznake imaju značenja kao u relacijama (2.1.1), ali se ovdje odnose na svaku fazu ponao-sob, što je ukazano subskriptom x, c,b,a∈x . Za koeficijente učešća važe relacije (2.1.2), ali sa-da za svaku fazu ponaosob: kspx + kipx + kypx = 1.0, c,b,a∈x , (3.1.1.2a) ksqx + kiqx + kyqx = 1.0, c,b,a∈x . (3.1.1.2b)

Pored opšteg slučaja, kada su svi koeficijenti iz relacija (3.1.1.2) različiti od nule, potrošnja

potrošača se često pojednostavljuje specijalnim izborom vrijednosti koeficijenata učešća. U tabeli 3.1.1.1 prikazano je šest specijalnih slučajeva tretmana potrošnje na koje može da se naiñe u prak-si.

Ako je potrošnja potrošača specificirana pri nominalnom naponu, u dijelu potrošnje koja je

srazmjerna s kvadratom napona, odnosno za cijelu potrošnju potrošača koji je, prema tabeli 3.1.1.1, red. br. 6, tretiran potrošačem s konstantnom impedansom (admitansom):


53

0==== iqxipxsqxspx kkkk , 1== yqxypx kk , c,b,a∈x , potrošač može da se zamijeni sledećim faz-

nim impedansama (admitansama):

specayqa

specaypa

nNNa QkPk

UZ

jˆ

2

−= ,

specbyqb

specbypb

nNNb QkPk

UZ

jˆ

2

−= ,

speccyqc

speccypc

nNNc QkPk

UZ

jˆ

2

−= , (3.1.1.3a)

2

jˆnNN

specayqa

specaypa

a U

QkPkY

−= ,

2

jˆnNN

specbyqb

specbypb

b U

QkPkY

−= ,

2

jˆnNN

speccyqc

speccypc

c U

QkPkY

−= . (3.1.1.3b)

Tabela 3.1.1.1 – Specijalni potrošači s obzirom na vrijednosti koeficijenata učešća dijelova njiho-vih snaga.

Vrijednosti koeficijenata učešća Red.

br. kspx ksqx kipx kiqx kypx kyqx Osobina potrošača

1. >0 >0 >0 >0 0 0 – 2. >0 >0 0 0 >0 >0 – 3. 0 0 >0 >0 >0 >0 – 4. >0 >0 0 0 0 0 Potrošač s konstantnom snagom.

5. 0 0 >0 >0 0 0 Potrošač s konstantnim modulom struje i faktorom

snage. 6. 0 0 0 0 >0 >0 Potrošač s konstantnom impedansom (admitansom).

Važna napomena: Tretman potrošača u admitantnom obliku je praktičniji od impedantnog oblika s

obzirom na problem koji se javlja kada je snaga potrošnje jednaka nuli [u tak-vim situacijama imenioci u relacijama (3.1.1.3a) bili bi jednaki nuli].

Tri admitanse s kojima bi bio zamjenjen dio ili cio razmatrani potrošač, mogu da se sažmu

u sledeću dijagonalnu matricu:

=

c

b

a

Y

Y

Y

ˆ00

0ˆ0

00ˆ

ˆabcY . (3.1.1.4)

Za napone i struje zamjenjenog dijela, ili cijelog potrošača, važi sledeća matrična relacija,

napisana saglasno s metodom nezavisnih potencijala čvorova:

=

c

b

a

c

b

a

c

b

a

U

U

U

Y

Y

Y

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ00

0ˆ0

00ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

. (3.1.1.5)

Iz ove relacije mogu vrlo jednostavno da se izračunaju struje (zavisno-promjenljive veliči-

ne) ako se znaju naponi potrošača, ili njegovog dijela koji je zamjenjen admitansama (nezavisno-promjenljive veličine).


54

3.1.2 Potrošači koji se napajaju sa strane transformatora čiji su namotaji po-vezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem i bez neutralnog provodnika

Pitanje koje se ovdje razmatra odnosi se na mogućnost specifikacije faznih napona aU , bU

i cU i faznih snaga aS , bS i cS potrošača koji se napajaju sa strane transformatora čiji su namotaji

povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem i bez neutralnog provodnika. Iako je ta-kvo napajanje trofaznih potrošača uglavnom teorijske prirode, ono se ipak ovdje razmatra radi ut-vrñivanja jedinstvenog Gauss/Seidel-ovog postupka s procedurama sumiranja struja i korekcija napona za proračune trofaznih transformatora svih sprega (Yy, Dy, Yd i Dd).

Nezavisno od tretmana potrošača u opisanoj situaciji, tri fazne struje uvijek mogu da se de-

finišu i za njih važi relacija:

0ˆˆˆ =++ cba III . (3.1.2.1)

Kada su u pitanju fazni naponi cba UUU ˆiˆ,ˆ , oni mogu, ali i ne moraju da budu definisani. To zavisi

od toga da li su potrošači povezani s čvorom referentnog – nultog potencijala 0. Ta situacija je pri-kazana na slici 3.1.2.1. Ako oni mogu da se definišu, onda mogu da se definišu i fazne snage:

aaa IUS ˆˆˆ *= , bbb IUS ˆˆˆ *= i ccc IUS ˆˆˆ *= . (3.1.2.2) U suprotnom slučaju, kada naponi ne bi bili definisani, tada fazne snage ne bi mogle da se definišu na tako jednostavan način. Sada se otvara pitanje definisanja snaga u takvim situacijama.

Otvoreno pitanje može ekvivalentno da se razmotri na trofaznom kolu prikazanom na slici

3.1.2.1. Eksitaciju kola čine tri idealna naponska izvora sa elektromotornim silama 1E , 2E i 3E ,

povezanim u trougao. Situacija sa eksitacijom bi potpuno ekvivalentno mogla da se prikaže sa tri idealna naponska izvora povezana u zvijezdu, sa izolovanim zvjezdištem. Potrošači se razmatraju u sledeće četiri varijante:

1. Kada se napajaju preko voda u čijoj su ekvivalentnoj šemi uvaženi otočni parametri prema

čvoru referentnog – nultog potencijala 0 (zemljom); 2. Kada potrošači čine zvijezdu impedansi sa uzemljenim zvjezdištem; 3. Kada potrošači čine zvijezdu impedansi sa izolovanim zvjezdištem; 4. Kada potrošači čine trougao impedansi.

a

b

c

+ +

+

Potrošači

0

1E

2E

3E

aI

bI

cI

Slika 3.1.2.1 – Trofazno kolo.


55

Varijanta 1

U ovoj varijanti se potrošači napajaju preko voda u čijoj su ekvivalentnoj šemi uvaženi

otočni parametri – slika 3.1.2.2. Egzistencija faznih napona cba UUU ˆiˆ,ˆ obezbjeñena je otočnim

parametrima voda, čiji je matrični reprezent označen sa Z o abc. Sa Z abc je označen matrični rep-rezent rednih parametara voda. Oba matrična reprezenta jesu regularne matrice. Otočni parametri voda povezani su s čvorom nultog potencijala 0. Tako, egzistencija faznih napona nije zavisna od uzemljenja potrošača (isprekidana linija). Time je, uz fazne struje, obezbjeñena egzistencija i faz-nih snaga – relacije (3.1.2.2).

a

b

c

+ +

+

Potrošači

Z o abc

Z abc

Z o abc

0

1E

2E

3E aU

bU

cU

aI

bI

cI

cS

bS

aS

Slika 3.1.2.2 – Trofazno kolo – napajanje potrošača u varijanti 1.

Varijanta 2

U ovoj varijanti – potrošači u vidu zvijezde impedansi sa uzemljenim zvjezdištem – slika

3.1.2.3, egzistencija faznih napona cba UUU i, obezbjeñena je impedansama cba ZZZ i, , poveza-

nim sa čvorom nultog potencijala 0. Time je, uz fazne struje, obezbjeñena egzistencija i faznih snaga – relacije (3.1.2.2).

a

b

c

+ +

+

0

1E

2E

3E aU

bU

cU

cS

bS

aS cZ bZ aZ

aI

bI

cI

Potrošači

Slika 3.1.2.3 – Trofazno kolo – potrošači u varijanti 2.


56

Varijanta 3

U ovoj varijanti – potrošači u vidu zvijezde impedansi sa izolovanim zvjezdištem – slika

3.1.2.4, egzistencija faznih napona cba UUU îˆ,ˆ obezbjeñena je impedansama cba ZZZ îˆ,ˆ , otočno

priključenim za zvjezdište impedansi, koje može da se tretira kao čvor referentnog potencijala 0’. Ovaj čvor nije identičan čvoru nultog potencijala 0, ali to ne onemogućuje definiciju faznih napona

prema novom referentnom čvoru 0’, pa tako i snaga koje se realizuju na impedansama cba ZZZ îˆ,ˆ .

Time je, uz fazne struje, obezbjeñena egzistencija i faznih snaga – relacije (3.1.2.2).

a

b

c

+ +

+

0

0’

1E

2E

3E aU

bU

cU

cS bS

aS cI

bI

aI

aZ bZ cZ

Potrošači

Slika 3.1.2.4 – Trofazno kolo – potrošači u varijanti 3. Varijanta 4

U ovoj varijanti – potrošači u vidu trougla impedansi prikazani su na slici 3.1.2.5. Zamje-

nom trougla u ekvivalentnu zvijezdu impedansi, ova varijanta se svodi na prethodnu – varijantu 3.

a

b

c

+ +

+

Potrošači

0

1E

2E

3E

aI

bI

cI

1Z

2Z

3Z

Slika 3.1.2.5 – Trofazno kolo – potrošači u varijanti 4. U ovoj tezi se potrošač u varijantama 2, 3 i 4, tretira (zamjenjuje) konstantnim impedansa-

ma (admitansama). Kao što je objašnjeno u Paragrafu 3.1.1, veza napona i struja takvog potrošača data je matričnom relacijom (3.1.1.5). Pošto se potrošač napaja sa strane transformatora koja je povezana u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem, zbir faznih struja forsirano je jednak nuli:

0ˆˆˆ =++ cba III . (3.1.2.3)


57

Iz ove činjenice je očigledno da se raspolaže sa četiri relacije (3.1.1.5) i (3.1.2.3), sa šest

varijabli: cba UUU ˆ,ˆ,ˆ , cba III ˆ,ˆ,ˆ . Zato samo dvije varijable mogu da budu nezavisno-promjenljive

veličine, npr, dva fazna napona ba UU ˆ,ˆ , odakle slijedi da se tri zavisno-promjenljive veličine sasto-

je od trećeg faznog napona i dvije fazne struje cU , ba II ˆ,ˆ :

c

bbaac

Y

UYUYU

ˆ

ˆˆˆˆˆ +

−= . (3.1.2.4)

aaa UYI ˆˆˆ = i bbb UYI ˆˆˆ = . (3.1.2.5)

Na osnovu gornjih razmatranja se vidi velika praktična vrijednost zamjene potrošača kon-

stantnom impedansom (admitansom), ako to njegova priroda dopušta. Ta vrijednost leži u linear-noj zavisnosti napona i struje na izračunatim impedansama (admitansama). Takva (linearna) zavis-nost vrlo povoljno djeluje u okviru iterativnih postupaka za proračune režima mreža (npr. u prora-čunima tokova snaga). Osim toga, takav tretman potrošača omogućuje prevazilaženje problema na koje se, prilikom sprovoñenja postupaka sumiranja struja i korekcija napona, nailazi kada se treti-raju distributivni transformatori sa sekundarnim namotajima povezanim u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem. 3.2 MODEL SEKCIJE VODA

Načelna šema sekcije trofaznog voda, kao elementa radijalne distributivne mreže, prikaza-na je na slici 3.2.1. Trofazni čvorovi K i k jesu početak i kraj sekcije – Paragraf 2.2.1. Matematički model sekcije glasi:

''k

'k II ˆˆ = , (3.2.1a)

KokoK UYI ˆˆˆ = , kokok UYI ˆˆˆ = , (3.2.1b)

'kkKk IZUU ˆˆˆˆ −= , (3.2.1c)

pri čemu su korišćene sledeće oznake:

KU , kU – vektori faznih napona na početku i kraju sekcije, dimenzija 3×1;

'kI , ''

kI – meñusobno jednaki vektori faznih struja na početku i kraju sekcije, dimenzija 3×1;

oKI , okI – vektori faznih struja otočnih parametara na početku i kraju sekcije, dimenzija 3×1;

kZ , okY – matrični reprezenti rednih i otočnih parametara sekcije (jednaki na oba kraja sekcije),

dimenzija 3×3; ako je sekcija uravnotežena, onda su te matrice cirkularne; ako su još i vektori svih napona i struja u pogonu sekcije simetrični, onda je sekcija u simetričnom režimu.


58

0

''kI K k

'kI

oKI

KU kU

okI

okY okY

kZ

Slika 3.2.1 – Načelna šema trofazne sekcije (voda). 3.3 MODELI TRANSFORMATORA

Načelna šema trofaznog transformatora, s bilo kojom od četiri osnovne sprege – Yy, Dy,

Yd i Dd, kao elementa radijalne distributivne mreže, prikazana je na slici 3.3.1. Kada se slova N ili n nalaze u subskriptu oznake Y ili y (namotaji povezani u zvijezdu), to ukazuje na uzemljeno zvje-zdište. Kada tih subskripta nema, zvjezdište je izolovano. U ovom izlaganju, ako je zvjezdište uzemljeno, onda je to uzemljenje direktno, pošto taj momenat ne utiče na suštinu materije koja se izlaže.

Matematički model transformatora s ma kojom od četiri osnovne sprege, napisan saglasno s

metodom nezavisnih potencijala čvorova, glasi [12, 23, 33] (idealni transformatori su eliminisani primjenom sistema relativnih vrijednosti):

KoKoK UYI ˆˆˆ = , kokko UYI ˆˆˆ = , (3.3.1a)

kKkKKK'k UYUYI ˆˆˆˆˆ += , (3.3.1b)

kkkKkK"k UYUYI ˆˆˆˆˆ +=− , (3.3.1c)

pri čemu se čvorovi K i k odnose na početak i kraj (odnosno na primar i sekundar) transformatora, respektivno. Značenja ostalih oznaka jesu:

KU , kU – vektori faznih napona primara i sekundara, dimenzija 3×1;

'kI , ''

kI – meñusobno različiti vektori faznih struja primara i sekundara, dimenzija 3×1;

oKI , okI – vektori faznih struja otočnih parametara primara i sekundara transformatora, dimenzija

3×1;

oKY , okY – matrični reprezenti magnećenja transformatora (otočni parametri) predstavljeni alter-

nativno na primaru, odnosno sekundaru transformatora, dimenzija 3×3; samo jedan od njih može da bude nenulti – Prilog 9.4.

Matrični reprezenti rednih parametara transformatora, iz relacija (3.3.1b i c), dimenzija

3×3, za sve četiri obrañivane sprege, date su u tabeli 3.3.1 [23] (T je znak za transpoziciju matri-ce). Matrice iz tabele 3.3.1 odnose se na sprege Yy i Dd sa sprežnim brojem 0, a za Yd i Dy sa sprežnim brojem 1. Matrični reprezenti za sve sprege se dobijaju preko odgovarajućih matrica in-cidencije [12]. Za transformator sprege Dyn5, izvoñenje matričnih reprezenata rednih parametara dato je u Prilogu 9.5.


59

K k

kkkK

KkKK

YY

YYˆˆ

ˆˆ

''kI '

kI

0

oKI okI

KU kU oKY okY

Slika 3.3.1 – Načelna šema trofaznog transformatora.

Tabela 3.3.1 – Matrični reprezenti rednih parametara transformatora.

Sprega KKY KkY kKY kkY

YNyn IY IY− IY− IY

YNy IIY IIY− IIY− IIY

Yyn IIY IIY− IIY− IIY

Yy IIY IIY− IIY− IIY

YNd IY T

IIIY IIIY IIY

Yd IIY TIIIY IIIY IIY

Dyn IIY TIIIY IIIY IY

Dy IIY TIIIY IIIY IIY

Dd IIY IIY− IIY− IIY

U Tabeli 3.3.1, sa IY , IIY i IIIY označene su matrice:

Y

100

010

001ˆ

=IY , Y

211

121

112

3

1ˆ

−−

−−

−−

=IIY , Y

101

110

011

3

1ˆ

−

−

−

=IIIY , (3.3.2)

gdje je sa Y označena admitansa kratkog spoja transformatora.

Matrica IY je regularna, a matrice IIY i IIIY su singularne matrice. Tako, na osnovu tabele

3.3.1 je očigledno da, u zavisnosti od sprege transformatora, matrice KKY , KkY , kKY i kkY mogu da budu i regularne i singularne.

Za razliku od vodova (3.2.1) i transformatora u simetričnim režimima, na osnovu modela

transformatora u nesimetričnim režimima (3.3.1), očigledno je, zbog pomenute singularnosti mat-rica modela, da struje i naponi ne mogu da se trivijalno prenose s jednog na drugi njegov kraj, osim u slučaju sprege YNyn. Ova činjenica predstavlja suštinsku teškoću za generalisanje pro-cedura sumiranja struja i korekcija napona s proračuna simetričnih tokova snaga za prora-čune nesimetričnih tokova snaga. Napomena: U ovom elaboratu važi sledeće: Ako modul odnosa transformacije idealnog tran-

sformatora u domenu relativnih vrijednosti nije jednak jedinici, onda su redni pa-rametri transformatora ekvivalentirani Π šemom impedansi (admitansi); otočne


60

grane koje se pritom pojavljuju, pridružene su otočnim granama priključnih čvoro-va primara i sekundara transformatora za mrežu.

Matrični reprezent otočnih parametara transformatora, pridružen je otočnim granama prik-

ljučnih čvorova primara ili sekundara transformatora za mrežu. Prema tome, transformator kao re-dna grana mreže, može da se predstavi samo matričnim reprezentom njegovih rednih parametara. Upravo za tako tretiran transformator potrebno je da se napiše matematički model, kojim su opisa-ne vrijednosti faznih napona i struja obje strane transformatora, kao i snaga sekundara.

Matematički model transformatora s bilo kojom od četiri osnovne sprege – Yy, Dy, Yd i Dd (zvjezdišta mogu i ne moraju da budu uzemljena), s matričnim reprezentima otočnih parameta-ra pridruženim otočnim granama priključnih čvorova primara ili sekundara transformatora za mre-žu, dat je relacijama (3.3.1b i c):

kKkKKK'k UYUYI ˆˆˆˆˆ += , (3.3.3a)

kkkKkK"k UYUYI ˆˆˆˆˆ +=− . (3.3.3b)

U modelu (3.3.3), kojeg čini šest skalarnih relacija, pojavljuje se sledećih dvanaest varijab-

li:

,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ

cbaCBA

cbaCBA

UUUUUU

IIIIII (3.3.4)

gdje su CBA III ˆ,ˆ,ˆ elementi vektora 'kI , cba III ˆ,ˆ,ˆ elementi vektora "

kI , CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ elementi vek-

tora KU i cba UUU ˆ,ˆ,ˆ elementi vektora kU .

Tri definicione relacije faznih snaga sekundara transformatora – u čvoru k, glase:

aaaa IUUS ˆˆ)(ˆ *= , bbbb IUUS ˆˆ)(ˆ *= , cccc IUUS ˆˆ)(ˆ *= . (3.3.5)

U njima se pojavljuju još tri varijable – tri fazne snage – )(ˆaa US , )(ˆ

bb US i )(ˆcc US . Dakle, kada se

uvaže relacije (3.3.5), tada je riječ o devet relacija sa petnaest varijabli. Tako, matematički model transformatora s potrošačima priključenim na njegovom sekundaru, može da se definitivno sastavi od devet relacija (3.3.3) i (3.3.5) na sledeći način:

(3.3.3a) kKkKKK'k UYUYI ˆˆˆˆˆ += , (3.3.6a)

(3.3.3b) kkkKkK"k UYUYI ˆˆˆˆˆ +=− , (3.3.6b)

(3.3.5) aaaa IUUS ˆˆ)(ˆ *= , bbbb IUUS ˆˆ)(ˆ *= , cccc IUUS ˆˆ)(ˆ *= , (3.3.6c)

s petnaest varijabli:

cbaCBA UUUUUU ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ , cbaCBA IIIIII ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ , )(ˆ),(ˆ),(ˆccbbaa USUSUS . (3.3.7)

Dakle, petnaest varijabli (3.3.7) opisano je s devet relacija (3.3.6). Za odreñivanje režima

transformatora potrebno je da se specificira šest od tih varijabli, odnosno da se specificira (zada) eksitacija transformatora, pa tek onda da se odredi (izračuna) preostalih devet nepoznatih varijabli


61

iz isto toliko jednačina (3.3.6). Mogućnost izbora varijabli koje će činiti eksitaciju transformatora zavisi od regularnosti matrica modela kojeg čine relacije (3.3.6a i b).

U nastavku ovog dijela prikazane su principske šeme uravnoteženih transformatora s bilo

kojom od četiri osnovne sprege – slika 3.3.2. Transformatori sa spregama YNynk , Dynk , YNdk i Ddk, prikazani su na slikama 3.3.2a, b, c i d, respektivno Ostale sprege (YNyk, Yynk, Yyk, Dyk i Ydk), ne razmatraju se eksplicitno, pošto se njihov tretman svodi na tretman navedene četiri spre-ge: tretman sprege YNyk, Yynk i Yyk svode se na tretman sprege YNynk; tretman sprege Dyk svodi se na tretman sprege Dynk i tretman sprege Ydk svodi se na tretman sprege YNdk. Faze na primaru transformatora označene su sa A, B i C, a na sekundaru sa a, b i c. Sa 0 je označen čvor (tačka) re-ferentnog (nultog) potencijala – zemlja. Sa N je označeno zvjezdište primara, a sa n zvjezdište se-kundara koji su povezani u zvijezdu. Sa ZN je označena impedansa uzemljenja primara, a sa Zn im-pedansa uzemljenja sekundara. Sa k je označen sprežni broj transformatora za simetričan režim di-rektnog redoslijeda (k = kd). Na slici su označene sve veličine režima transformatora, koje su od in-teresa. Blokovi I i II korišćeni su da se ukaže na to da se različitim prilazom faza krajevima namo-taja transformatora generišu različiti sprežni brojevi: k ∈ 0, 2, 4, 6, 8, 10 za transformatore čiji su namotaji i primara i sekundara povezani na isti način (na obje strane u zvijezdu ili trougao), od-nosno k ∈ 1, 3, 5, 7, 9, 11 za transformatore čiji su namotaji primara i sekundara povezani na ra-zličit način (namotaji jedne strane povezani u zvijezdu, a druge u trougao).

Parametri transformatora su poznati:

• Nominalni linijski naponi: nVNV i nNNV ;

• Sprežni broj za simetričan režim direktnog redoslijeda kd (ki =12 – kd, ko može da bude, 0 ili 6

za namotaje primara i sekundara povezane u uzemljenu zvijezdu); Za sprege (YNyn0, 4 i 8) ko je 0, a za sprege (YNyn2, 6 i 10) ko je 6. Ako je bar jedan namotaj transformatora povezan u trou-gao ili izolovanu zvijezdu sprežni broj za simetričan režim nultog redoslijeda se ne definiše.

• Pogonska impedansa kratkog spoja transformatora: Z ;

• Impedanse uzemljenja transformatora: NZ i nZ ;

3.4 MODEL MREŽE

Trofazni model mreže koji se ovdje izlaže predstavlja generalizaciju pofaznog (monofaz-

nog) modela prikazanog u Glavi 2. Saglasno s modelima potrošača, sekcija (vodova) i transforma-tora, model trofazne radijalne distributivne mreže može da se konstituiše koristeći se isključivo trofaznim Γ segmentima prikazanim na slici 3.4.1. Svaki Γ segment je asociran jednoj grani mreže (sekciji voda ili transformatoru). Sa K i k su označeni trofazni čvorovi na početku i kraju segmenta.

Sa KU i kU označeni su vektori faznih napona čvorova na početku i kraju segmenta, dimenzija

3×1. U čvoru k može da bude priključen potrošač s trofaznom kompleksnom snagom

)(j)()(ˆkkkkkk UQUPUS −= – vektor faznih snaga potrošnje, dimenzija 3×1. Vektor faznih struja

potrošača, dimenzije 3×1, označen je sa kI .

Vektori struja s obje njegove strane označene su sa 'kI i ''

kI , dimenzija 3×1. Kada je u pita-nju segment koji je asociran sekciji, ti vektori su meñusobno jednaki; kada je u pitanju transforma-tor, čak i kada je normalizovan, to, generalno, nije slučaj!


62

YNynk a

b

0

c

I II

A

B

C

(a)

N n

AU

BU

CU

CI

BI

AI

NI

NZ nZ

nI

aI

bI

cI

aU

bU

cU

cS

bS

aS

Dynk a

b

0

c

I II

A

B

CC

n

(b)

AU

BU

CU

AI

BI

CI nI

nZ

aI

bI

cI

aU

bU

cU

cS

bS

aS

YNdk

a

b

0

c

II

A

B

C

I

(c)

N

AU

BU

CU

AI

BI

CI NI

NZ

aU

bU

cU

aI

bI

cI

cS

bS

aS


63

Ddk

a

b

0

c

I II

A

B

C

AU

BU

CU

CI

BI

AI aI

bI

cI

cU

cS

bS

aS bU

aU

(d)

Slika 3.3.2 – Principska šema transformatora sprege YNynk (a), Dynk (b), YNdk (c) i Ddk (d).

Sa kA označen je matrični reprezent rednih parametara – redna grana segmenta kΓ :

−×

−×

=3.3.1.slikatortransformaza,66dimenzija,

ˆˆ

ˆˆ2.1,.3slikasekcijuza,33dimenzija,ˆ

ˆ

kkkK

KkKK

k

k

YY

YY

Z

A (3.4.1)

Sa kB (dimenzija 3×3) označen je admitantni matrični reprezent otočnih parametara – oto-

čna grana segmenta kΓ : okk YB ˆˆ = . Iako je korišćena ista oznaka kao u slučaju otočnih parametara

sekcije i transformatora, okY ovdje predstavlja sumu admitantnih matričnih reprezenata otočnih

parametara kraja sekcije ili transformatora kojoj ili kojem je asociran razmatrani segment kΓ , oto-čnih parametara na počecima sekcija ili transformatora koji se napajaju preko razmatrane sekcije ili transformatora i matričnih reprezenata elemenata direktno priključenih u čvoru k (npr, baterija

kondenzatora). Sa okI je označena struja otočne grane segmenta kΓ . Dakle, matrični reprezent

otočnih parametara na početku sekcije ili transformatora, kojoj ili kojem je asociran segment kΓ ,

pridružen je otočnoj grani segmenta KΓ – prethodnika razmatranog segmenta kΓ . Ako je čvor K

korijen mreže (dakle razmatrani segment kΓ nema prethodnika), onda otočni parametri sekcije ili

transformatora, kojoj ili kojem je asociran razmatrani segment kΓ , ne utiču na proračun tokova snaga, pa se i ne razmatraju.

''kI

0

K M M

'kI k

okI

kkk IUS ˆ),(ˆ

kB kU KU

kA

Slika 3.4.1 – Segment kΓ trofazne radijalne distributivne mreže.


64

Raspolažući s matematičkim modelima elemenata distributivne mreže (potrošači, sekcije, transformatori), odnosno sa ekvivalentnim šemama sekcija i transformatora, raspolaže se i sa ma-tematičkim modelima, odnosno ekvivalentnim šemama svakog Γ segmenta mreže. Sintezom tih modela (ekvivalentnih šema) dobija se matematički model mreže. Taj model je u ovoj tezi zasno-van na korišćenju prvog i drugog Kirchhoff-ovog zakona za opis svih Γ segmenata od kojih je konstituisana radijalna distributivna mreža.

Procedure sumiranja struja i korekcija napona na elementima mreže Predrag Vidović

65

4 PROCEDURE SUMIRANJA STRUJA I KOREKCIJA NAPO-NA NA ELEMENTIMA MREŽE U ovoj glavi obrañene su procedure sumiranja struja i korekcija napona za proračun režima

trofaznih sekcija vodova i transformatora u nesimetričnim režimima. Na početku svakog od razma-tranih elemenata nalazi se korijen s fiksiranim faznim naponima, a na kraju potrošač sa specifici-ranim faznim snagama potrošnje (trivijalna radijalna mreža sa dva trofazna čvora). Ti proračuni su obrañeni s ciljem da se uoče i riješe osnovni problemi na koje se nailazi prilikom primjene tih pro-cedura u proračunima tokova snaga trofaznih radijalnih distributivnih mreža, koje su konstituisane upravo od tih elemenata, posebno transformatora.

4.1 SEKCIJE VODOVA Već obrañena šema sekcije trofaznog voda (Glava 3) prikazana je na slici 4.1.1. Trofazni

čvorovi K i k jesu početak i kraj sekcije – Paragraf 2.2.1. Sve oznake koje su korišćene na slici

4.1.1, definisane su u Dijelu 3.2. Vektor napona čvora K ( KU ), jeste poznat, kao što je i specifici-

ran vektor faznih snaga potrošača priključenog u čvoru k: T]ˆ,ˆ,ˆ[)(ˆ specc

specb

speca SSS=kk US , dimenzija

3×1.

0

''kI K k

'kI

oKI

KU kU

okI

okY okY

kZ M

kkk IUS ˆ),(ˆ KI

Slika 4.1.1 – Šema trofazne sekcije (voda). Problem koji treba da se obradi glasi: Izračunati (nesimetrični) režim sekcije za poznate

(nesimetrične) napone na početku KU ( AU , BU i CU ) i specificirane (meñusobno različite) snage

na kraju sekcije kS ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ). Problem riješiti u tri dijela – zadatka: 1 – Procedura sumi-

ranja struja, 2 – Procedura korekcija napona i 3 – Postupak za proračun (nesimetričnog) režima se-kcije zasnovan na rješenjima prethodna dva zadatka.

4.1.1 Procedura sumiranja struja Vektor struja potrošača priključenog u čvoru k glasi:

[ ]T*** ˆ/)(ˆ,ˆ/)(ˆ,ˆ/)(ˆˆcccbbbaaa UUSUUSUUS=kI , (4.1.1.1)

gdje su aU bU i cU tri fazna napona čvora k.


66

Sada, vektor struja k-te sekcije ( ''k

'k II ˆˆ = ), kojom je odreñena promjena napona na sekciji,

može da se iskaže relacijom (prvi Kirchhoff-ov zakon):

kokk'k UYII ˆˆˆˆ += . (4.1.1.2)

Vektor struja na početku k-te sekcije ( KI ) može da se odredi na sledeći način (prvi Kir-chhoff-ov zakon):

Kok'kK UYII ˆˆˆˆ += , (4.1.1.3)

čime je završena procedura sumiranja struja razmatrane trofazne sekcije. 4.1.2 Procedura korekcija napona

Za poznatu vrijednost vektora struja k-te sekcije (4.1.1.2) i vrijednost vektora napona čvora

K, može da se odredi vrijednost napona čvora k (drugi Kirchhoff-ov zakon):

'kkKk IZUU ˆˆˆˆ −= , (4.1.2.1)

čime je završena procedura korekcija napona razmatrane trofazne sekcije.

4.1.3 Proračun nesimetričnog režima sekcije

Neka je sekcija eksitovana naponima na početku ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i specificiranim

(meñusobno različitim) snagama na kraju sekcije kS ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ). Izračunati odziv koji čine

naponi na kraju sekcije ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ i njihova nulta komponenta oU ), struje sekcije ( "kI , tj.

cba III ˆ,ˆ,ˆ ) i snage na kraju sekcije ( )(ˆ),(ˆ),(ˆccbbaa USUSUS ). Zadatak riješiti Gauss-ovim iterativ-

nim metodom za rješavanje nelinearnih jednačina (postupkom zasnovanim na sumiranju struja i korekcijama napona)2.

Ako se zada početna aproksimacija faznih napona na kraju sekcije ( cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ), na osnovu

zadatih snaga na kraju sekcije ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ), kao i zadatih napona na početku ( CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ),

onda se raspolaže sa ulaznim veličinama za rješenje zadatka 4.1.1. Ako se on riješi, dobija se apro-

ksimacija struja sekcije ( "kI , cba III ˆ,ˆ,ˆ ).

Sada, za poznate napone na početku sekcije ( KU ) i rezultate zadatka 4.1.1 (aproksimacija faznih struja sekcije), može da se riješi zadatak 4.1.2, po korigovanoj aproksimaciji faznih napona

na kraju sekcije ( kU , cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ).

Opisani postupak predstavlja osnovu za iterativno rješenje proračuna nesimetričnog režima

sekcije. Blok-dijagram tog rješenja prikazan je na slici 4.1.3.1.

2 Za proračun režima kola koje, pored korjena, ima samo jedan čvor, Gauss/Seidel-ov se svodi na Gauss-ov metod.


67

Poslije konvergencije iterativnog postupka, slijedi proračun ostalih veličina koje se traže u

zadatku. Iz faznih napona ba UU ˆ,ˆ i cU , može da se izračuna njihova nulta komponenta oU .

h=1

h→h+1

Rješenje zadatka 4.2.1.1, za poznatu eksitaciju koju čine naponi KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ , hkU , tj.

hc

hb

ha UUU ˆ,ˆ,ˆ i snage na sekundaru transformatora )(ˆ),(ˆ),(ˆ h

cchbb

haa USUSUS , po nepoznatom odzivu

koji čine struje na početku sekcije hKI , i struje sekcije h"

kI tj. hc

hb

ha III ˆ,ˆ,ˆ .

K R A J

Rješenje zadatka 4.1.2, za poznatu eksitaciju koju čine naponi KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ i struje sekcije h"kI , tj.

hc

hb

ha III ˆ,ˆ,ˆ , po nepoznatom odzivu koji čine naponi na kraju sekcije 1h

kU +ˆ , tj. 111 ˆ,ˆ,ˆ +++ hc

hb

ha UUU .

Da li su zadovoljeni kriterijumi konvergencije?

DA

NE

Proračun snaga na kraju sekcije: ccccbbbbaaaa IUUSIUUSIUUS ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ *** === .

Parametri sekcije, i kriterijumi konvergencije;

Zadate (ulazne) veličine: KU i ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ );

Početna aproksimacija napona na kraju sekcije: 1kU .

Slika 4.1.3.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.1.3.

.c,b,a,j

jj)(ˆ

22

∈

−

+

−+−=

xQU

UkP

U

Uk

QU

UkP

U

UkQkPkUS

specx

nNN

hx

yqxspec

xnNN

hx

ypx

specx

nNN

hx

iqxspec

x

nNN

hx

ipxspecxsqx

specxspxx

hx

Koeficijenti učešća: ( c,b,a,,,,,, ∈xkkkkkk yqxypxiqxipxsqxspx );

4.2 TRANSFORMATORI

Načelna šema trofaznog transformatora s bilo kojom od četiri osnovne sprege – Yy, Dy, Yd

i Dd, prikazana je na slici 4.2.1. Čvorovi K i k odnose se na početak i kraj (odnosno na primar i sekundar) transformatora,

respektivno. Sve oznake koje su korišćene na slici 4.2.1, definisane su u Dijelu 3.3. Matrični rep-

rezenti rednih parametara transformatora KKY , KkY , kKY i kkY , dimenzija 3×3, za sve četiri obra-ñivane sprege, dati su u tabeli 3.3.1.


68

Problem koji treba da se obradi glasi: Izračunati (nesimetrični) režim transformatora za po-

znate (nesimetrične) napone na primaru KU ( AU , BU i CU ) i specificirane (meñusobno različite)

snage na sekundaru kS ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ). Problem riješiti u tri dijela – zadatka: 1 – Procedura

sumiranja struja, 2 – Procedura korekcija napona i 3 – Postupak za proračun (nesimetričnog) reži-ma transformatora zasnovan na rješenjima prethodna dva zadatka. Prvo će biti obrañeni transfor-matori kod kojih ne postoji problem ažuriranja nulte komponente napona na sekundaru – transfor-

matori sa spregama YNynk i Dynk – matrica kkY u relacijama (3.3.3b) regularna je. Posle toga ob-radiće se i transformatori kod kojih postoji problem ažuriranja nulte komponente napona na se-

kundaru – transformatori sa spregama YNdk i Ddk – matrica kkY u relacijama (3.3.3b) singularna je. Potrebno je da se obrati pažnja da se ne razmatraju sve kombinacije povezanosti namotaja pri-mara i sekundara (tabela 3.3.1) pošto se one, modelski, sa aspekta ažuriranja nulte komponente na-pona na sekundaru transformatora, svode na neku od četiri osnovne sprege obrañene u naredna dva paragrafa.

K k

kkkK

KkKK

YY

YYˆˆ

ˆˆ

''kI '

kI

0

oKI okI

KU kU oKY okY

Slika 4.2.1 – Načelna šema trofaznog transformatora.

4.2.1 Transformatori sa spregama YNynk i Dynk U ovom paragrafu se obrañuju procedura sumiranja struja – Tačka 4.2.1.1, procedura kore-

kcija napona – Tačka 4.2.1.2 i postupak za proračun (nesimetričnog) režima transformatora sa spregama YNynk i Dynk – Tačka 4.2.1.3.

4.2.1.1 Zadatak – Procedura sumiranja struja Neka je transformator s ma kojom od sprega YNynk i Dynk eksitovan naponima i snagama

na sekundaru transformatora: ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ), respektivno. Izračunati od-

ziv koji čine struje na sekundaru transformatora ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ).

Rješenje zadatka

Koristeći se zadatim naponima na sekundaru transformatora i relacijama (3.3.6c), mogu da

se izračunaju fazne struje na sekundaru:

*** ˆ

)(ˆˆ,

ˆ)(ˆ

ˆ,ˆ

)(ˆˆ

c

ccc

b

bbb

a

aaa

U

USI

U

USI

U

USI === . (4.2.1.1.1)

Time je zadatak 4.2.1.1 riješen. Blok-dijagram rješenja prikazan je na slici 4.2.1.1.1.


69

K R A J

( cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ), ( )(ˆ),(ˆ),(ˆccbbaa USUSUS ).

*** ˆ)(ˆ

ˆ,ˆ

)(ˆˆ,

ˆ)(ˆ

ˆc

ccc

b

bbb

a

aaa

U

USI

U

USI

U

USI === .

Slika 4.2.1.1.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.1.1 – sumiranje struja.

4.2.1.2 Zadatak – Procedura korekcija napona Neka je transformator s ma kojom od sprega YNynk i Dynk eksitovan naponima na primaru

transformatora ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i strujama na sekundaru ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ). Ove struje su iz-

računate u prethodnom zadatku. Izračunati odziv koji čine naponi na sekundaru transformatora

( kU , cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ).

Rješenje zadatka

Na osnovu poznatih napona na primaru transformatora KU i relacije (3.3.6b), mogu da se odrede fazni naponi na sekundaru na sledeći način:

−

−=

−−

c

b

a

C

B

A

c

b

a

I

I

I

U

U

U

U

U

U

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆ1

kkkK1

kk YYY , (4.2.1.2.1)

odnosno:

"kKk IFUEU ˆˆˆˆˆ += , (4.2.1.2.2)

gdje su:

=−=

=−= −−

333231

232221

131211

333231

232221

131211

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆ,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

fff

fff

fff

eee

eee

eee1

kkkK1

kk YFYYE . (4.2.1.2.3)

Uvažavajući relacije (4.2.1.2.3), relacije (4.2.1.2.1) mogu da se napišu na sledeći način:


70

,ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ



333231333231

232221232221

131211131211

cbaCBAc

cbaCBAb

cbaCBAa

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

+++++=

+++++=

+++++=

(4.2.1.2.4)

pri čemu parametri ovih relacija predstavljaju elemente matrica korišćenih u relacijama (4.2.1.2.3).


( CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ), ( cba III ˆ,ˆ,ˆ ),

E , F .

K R A J

.ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ



333231333231

132221232221

131211131211

cbaCBAc

cbaCBAb

cbaCBAa

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

+++++=

+++++=

+++++=

Slika 4.2.1.2.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.1.2 – korekcije napona. 4.2.1.3 Zadatak – Postupak za proračun (nesimetričnog) režima transformatora

Neka je transformator s ma kojom od sprega YNynk i Dynk eksitovan naponima na primaru

transformatora ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i snagama na sekundaru transformatora ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ). Iz-

računati odziv koji čine naponi na sekundaru transformatora ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ i njihova nulta

komponenta oU .), struje na sekundaru transformatora ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ) i snage na sekundaru

transformatora [ )(ˆ),(ˆ),(ˆccbbaa USUSUS ]. Zadatak riješiti Gauss-ovim iterativnim metodom za rje-

šavanje nelinearnih jednačina (postupkom zasnovanim na sumiranju struja i korekcijama napona). Rješenje zadatka

Ako se zadata početna aproksimacija faznih napona na sekundaru transformatora ( kU , tj.

cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ), na osnovu specificiranih snaga na sekundaru transformatora ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ), onda

se raspolaže sa ulaznim veličinama za rješenje zadatka 4.2.1.1. Ako se on riješi, dobijaju se struje

na sekundaru transformatora ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ).

Sada, za poznate napone na primaru transformatora ( KU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i rezultate zadat-

ka 4.2.1.1 (fazne struje na sekundaru transformatora), može da se riješi zadatak 4.2.1.2, po faznim

naponima na sekundaru transformatora ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ).


71

Opisani postupak predstavlja osnovu za iterativno rješenje ovog zadatka. Blok-dijagram tog rješenja prikazan je na slici 4.2.1.3.1. Time je zadatak 4.2.1.3 riješen.



h=1

h→h+1

Rješenje zadatka 4.2.1.1, za poznatu eksitaciju koju čine napon hkU , tj. h

chb

ha UUU ˆ,ˆ,ˆ i snage na

sekundaru transformatora )(ˆ),(ˆ),(ˆ hcc

hbb

haa USUSUS , po nepoznatom odzivu koji čine struje na

sekundaru transformatora h"kI tj. h

chb

ha III ˆ,ˆ,ˆ .

K R A J

Rješenje zadatka 4.2.1.2, za poznatu eksitaciju koju čine naponi KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ i struje sekundara

transformatora h"kI , tj. h

chb

ha III ˆ,ˆ,ˆ , po nepoznatom odzivu koji čine naponi sekundara transformatora 1h

kU +ˆ ,

tj. 111 ˆ,ˆ,ˆ +++ hc

hb

ha UUU .


DA

NE

Proračun nulte komponente napona sekundara transformatora: );ˆˆˆ(3

1ˆcba

o UUUU ++=

Proračun snaga sekundara transformatora: ccccbbbbaaaa IUUSIUUSIUUS ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ *** === .

Parametri transformatora, matrice FE ˆ,ˆ i kriterijumi konvergencije;


specb


Početna aproksimacija napona na sekundaru

transformatora: 1kU .

Slika 4.2.1.3.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.1.3.

.c,b,a,j

jj)(ˆ

22

∈

−

+

−+−=

xQU

UkP

U

Uk

QU

UkP

U

UkQkPkUS

specx

nNN

hx

yqxspec

xnNN

hx

ypx

specx

nNN

hx

iqxspec

x

nNN

hx

ipxspecxsqx

specxspx

hxx

Koeficijenti učešća: ( c,b,a,,,,,, ∈xkkkkkk yqxypxiqxipxsqxspx )


72

4.2.2 Transformatori sa spregama YNdk i Ddk U ovom paragrafu se obrañuju procedura sumiranja struja – Tačka 4.2.2.1, procedura kore-

kcija napona – Tačka 4.2.2.2 i postupak za proračun (nesimetričnog) režima transformatora sa spregama YNdk i Ddk – Tačka 4.2.2.3.

4.2.2.1 Zadatak 4.2.2.1 – Procedura sumiranja struja Neka je transformator s ma kojom od sprega YNdk i Ddk eksitovan naponima i snagama na

sekundaru transformatora: ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ), respektivno. Izračunati odziv

koji čine struje na sekundaru transformatora ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ , 0ˆˆˆ =++ bba III ).

Rješenje zadatka Kod ovih sprega, da bi se obezbjedilo ažuriranje nulte komponente napona u iterativnim

postupcima za proračun modela transformatora, potrošnja se tretira u vidu konstantne impedanse (admitanse), pa na osnovu relacija (3.1.1.5) slijedi:

cccbbbaaa UYIUYIUYI ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ === . (4.2.2.1.1)


4.2.2.2 Zadatak – Procedura korekcija napona Neka je transformator s ma kojom od sprega YNdk i Ddk eksitovan naponima na primaru

transformatora ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i strujama na sekundaru ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ). Ove struje su iz-

računate u prethodnom zadatku. Izračunati odziv koji čine naponi na sekundaru transformatora

( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ).

Rješenje zadatka

Pošto su matrice kkkK YY ˆiˆ (3.3.6b) singularne, a zbir faznih struja vektora ''kI jednak nuli,

tri relacije (3.3.6b) linearno su zavisne. Zato, treća od relacija (3.3.6b) koja o režimu transformato-ra ne govori ništa više nego prve dvije relacije, može i treba da se zamjeni relacijom kojom se uka-zuje na prirodu režima ovog transformatora – nulti zbir struja sekundara:

ccbbaa UYUYUY ˆˆˆˆˆˆ0 ++= . (4.2.2.2.1)

Tada se umjesto originalnih relacija (3.3.6b), dobijaju sledeće:


73

,ˆˆˆˆˆˆ0



232221232221

131211131211

ccbbaa

ckkbkkakkCkKBkKAkKb

ckkbkkakkCkKBkKAkKa

UYUYUY

UyUyUyUyUyUyI

UyUyUyUyUyUyI

++=

+++++=−

+++++=−

(4.2.2.2.2)

pri čemu parametri prve dvije relacije (4.2.2.2.2) predstavljaju elemente matrica kkkK YY ˆiˆ . Ako se relacije (4.2.2.2.2) zapišu u matričnoj formi i ako se naponi sekundara, sa koefici-

jentima uz njih, prebace na lijevu stranu jednakosti, dobija se:

"kKk ILUKUH ˆˆˆˆˆˆ += , (4.2.2.2.3)

gdje su:

,

000

010

001ˆ,

000

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

,ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

232221

131211

232221

131211

−=

−=

=

LK

H

kKkKkK

kKkKkK

cba

kkkkkk

kkkkkk

yyy

yyy

YYY

yyy

yyy

(4.2.2.2.4)

K R A J

( cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ), ( cba YYY ˆ,ˆ,ˆ ).

cccbbbaaa UYIUYIUYI ˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆ === ,

Slika 4.2.2.1.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.2.1 – sumiranje struja. odnosno:

"kKk IFUEU ˆˆˆˆˆ += , (4.2.2.2.5)

gdje su:

==

== −−

333231

232221

131211

1

333231

232221

131211

1

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ

fff

fff

fff

eee

eee

eee

LHFKHE . (4.2.2.2.6)


74

Uvažavajući relacije (4.2.2.2.6), relacije (4.2.2.2.5) mogu da se napišu skalarno na sledeći način:




333231333231

232221232221

131211131211

cbaCBAc

cbaCBAb

cbaCBAa

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

+++++=

+++++=

+++++=

(4.2.2.2.7)

pri čemu parametri ovih relacija predstavljaju elemente matrica relacija (4.2.2.2.6).


( CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ), ( cba III ˆ,ˆ,ˆ ),

E , F .

K R A J

.ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ



333231333231

132221232221

131211131211

cbaCBAc

cbaCBAb

cbaCBAa

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

IfIfIfUeUeUeU

+++++=

+++++=

+++++=

Slika 4.2.2.2.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.2.2 – korekcije napona.

4.2.2.3 Zadatak – Postupak za proračun (nesimetričnog) režima transformatora Neka je transformator s ma kojom od sprega YNdk i Ddk eksitovan naponima na primaru

transformatora ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i snagama na sekundaru transformatora ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ). Iz-

računati odziv koji čine naponi na sekundaru transformatora ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ i njihova nulta

komponenta oU .), struje na sekundaru transformatora ( "kI , tj. cba III ˆ,ˆ,ˆ ) i snage na sekundaru

transformatora [ )(ˆ),(ˆ),(ˆccbbaa USUSUS ]. Zadatak riješiti Gauss-ovim iterativnim metodom za rje-

šavanje nelinearnih jednačina (postupkom zasnovanim na sumiranju struja i korekcijama napona).

Rješenje zadatka Ako se zada početna aproksimacija faznih napona na sekundaru transformatora [treći na-

pon treba da se preračuna na osnovu druga dva prema relaciji (3.1.2.4)] ( cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ), na osnovu

specificiranih snaga na sekundaru transformatora ( specc

specb

speca SSS ˆ,ˆ,ˆ ), koje mogu da se predstave

admitansama cba YYY ˆ,ˆ,ˆ – relacije (3.1.1.3b), onda se raspolaže sa ulaznim veličinama za rješenje


75

zadatka 4.2.2.1. Ako se on riješi, dobijaju se fazne struje na sekundaru transformatora ( "kI , tj.

cba III ˆ,ˆ,ˆ ).

Sada, za poznate napone na primaru transformatora ( KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ ) i rezultate zadat-

ka 4.2.2.1 (fazne struje na sekundaru transformatora), može da se riješi zadatak 4.2.2.2, po faznim

naponima na sekundaru transformatora ( kU , tj. cba UUU ˆ,ˆ,ˆ ).

Opisani postupak predstavlja osnovu za iterativno rješenje ovog zadatka. Blok-dijagram

tog rješenja prikazan je na slici 4.2.2.3.1. Time je zadatak 4.2.2.3 riješen.

h=1

h→h+1

Rješenje zadatka 4.2.2.1, za poznatu eksitaciju koju čine naponi hkU , tj. h

chb

ha UUU ˆ,ˆ,ˆ i admitanse

cba YYY ˆ,ˆ,ˆ , po nepoznatom odzivu koji čine struje na sekundaru transformatora ( h"kI , tj. h

chb

ha III ˆ,ˆ,ˆ ).

K R A J

Rješenje zadatka 4.2.2.2, za poznatu eksitaciju koju čine naponi KU , tj. CBA UUU ˆ,ˆ,ˆ i struje na sekundara

transformatora h"kI , tj. h

chb

ha III ˆ,ˆ,ˆ , po nepoznatom odzivu koji čine naponi na sekundaru transformatora

1hkU +ˆ , tj. 111 ˆ,ˆ,ˆ +++ h

chb

ha UUU .


DA

NE

Proračun nulte komponente napona na sekundaru transformatora: );ˆˆˆ(3

1ˆcba

o UUUU ++=

Proračun snaga na sekundaru transformatora: ccccbbbbaaaa IUUSIUUSIUUS ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ,ˆˆ)(ˆ *** === .

Parametri transformatora, matrice FE ˆ,ˆ i kriterijumi konvergencije;


specb


Početna aproksimacija napona na sekundaru

transformatora: 1kU .

Slika 4.2.2.3.1 – Blok-dijagram rješenja zadatka 4.2.2.3.

./ˆˆ,/ˆˆ,/ˆˆ 222nNN

specccnNN

specbbnNN

specaa USYUSYUSY ===


76



Na osnovu gornjih izlaganja može da se zaključi da su procedure za proračune nesimetrič-

nih tokova snaga transformatora s različitim spregama potpuno unificirane, u smislu da se koriste iste formula za korekciju napona na sekundaru transformatora [relacije (4.2.1.2.4) i (4.2.2.2.6)], a

da se samo razlikuju elementi matrica E i F . Ovo je bitno s praktičnog aspekta pisanja softvera za proračun tokova snaga, jer u okviru samog proračuna ne mora da se vodi računa o kojoj sprezi transformatora jeste riječ. Sve to dovodi do ubrzanja proračuna jer se ne gubi vrijeme na ispitiva-nje sprege transformatora, nego se uvijek koriste iste relacije. Pomenute matrice se formiraju u di-jelu algoritama matematičkog modela mreže i one ostaju nepromjenjene tokom cijelog proračuna.

Proračun nesimetričnih tokova snaga Predrag Vidović

77

5 PRORAČUN NESIMETRIČNIH TOKOVA SNAGA U ovoj glavi data su dva načina proračuna tokova snaga distributivnih mreža: 1) Proračun

zasnovan na procedurama sumiranja struja i korekcija napona – postupak orjentisan na grane, koji je razvijen u ovoj tezi i 2) Proračun zasnovan na implicitnom ZBUS postupku – postupak orjentisan na čvorove, koji je preuzet iz literature, koji će biti korišćen kao referenca za ocjenu performansi ovdje razvijenog postupka.

5.1 PRORAČUN ZASNOVAN NA SUMIRANJU STRUJA I KOREKCIJI NAPONA Razmatra se radijalna, trofazna, (ne)uravnotežena SN distributivna mreža, sa n trofaznih

čvorova i (n–1) granom, n≥2. Mrežu čine SN sekcije i distributivni – SN/NN transformatori. Da-kle, ona može da se prikaže radijalnim rasporedom (n–1) Г segmenata. Čvorovi, pa tako i Г seg-menti, numerisani su po slojevima. Prvi čvor je korijen mreže – balansni čvor, sa specificiranim (ne)simetričnim trofaznim naponom. Potrošači mogu da budu priključeni na NN stranama distribu-tivnih transformatora, ali i direktno na SN mrežu. Najmanje radi napona korjena, režim mreže nije simetričan. Postupak za njegov proračun – proračun nesimetričnih tokova snaga koji slijedi, pred-stavlja generalizaciju procedura sumiranja struja i korekcija napona za proračun simetričnih tokova snaga, koji su obrañeni u Glavi 2. Neka su primjenom Generalizovanog sistema relativnih vrijed-nosti [15, 32] eliminisani svi idealni transformatori realnih i kompleksnih odnosa transformacije u ekvivalentnim šemama svih transformatora. Postupak za proračun nesimetričnih tokova snaga dat je blok-dijagramom prikazanim na slici 5.1.1.

Kada bi se razmatrao simetričan režim, tada bi se struje i naponi trivijalno prenosili s jed-

nog na drugi kraj transformatora, isto kao kod sekcija, pa ispitivanje prirode segmenata i blokova I i II na dijagramu sa slike 5.1.1 ne bi bilo. Tako bi se forma ovog dijagrama svela na formu dija-grama sa slike 2.2.1.6, koji se odnosi na simetrične tokove snaga. Suštinska razlika izmeñu tih di-jagrama bi bila u tome da su veličine u dijagramu na slici 2.2.1.6 skalarne, a na slici 5.1.1 vektor-ske i matrične. Kada bi se od matričnih relacija uzele samo prve, koje se odnose na fazu a i kada bi se fazni parametri zamijenili pogonskim za simetričan režim direktnog redoslijeda, tada bi se dija-gram sa slike 5.1.1 i suštinski izjednačio s dijagramom na slici 2.2.1.6. Pošto se ovdje radi o nesi-metričnim tokovima snaga, slijedi razrada blokova I i II sa dijagrama na slici 5.1.1.

Ovdje se izlaže procedura sumiranja struja Γ segmenta kada je on asociran distributivnom

transformatoru, sa specificiranom potrošnjom (3.1.1.1), zavisno od njegove sprege. Odnosno: 1) Izlaže se proračun aproksimacija faznih struja sekundara i njihovo iznošenje na primarnu stranu i 2) Eventualna korekcija tekuće aproksimacije faznih napona sekundara koji ne mogu potpuno slo-bodno da se formiraju kada su u pitanju sprege s namotajima sekundara povezanim u trougao, ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem – Blok I sa dijagrama na slici 5.1.1. Paralelno s tim, izlaže se procedura korekcija napona istog Γ segmenta, odnosno proračun korigovanih faznih napona se-kundara na osnovu već korigovanih faznih napona primara i faznih struja sekundara transformatora izračunatih u proceduri sumiranja struja – Blok II sa dijagrama na slici 5.1.1.

Prvo se obrañuje najjednostavnija sprega – YNyn, da bi se poslije nje obradila najčešće pri-

mjenjivana sprega distributivnih transformatora – Dyn. Kao treća, obrañena je sprega YNy, kao


78

predstavnik svih ostalih sprega, kod kojih su, nezavisno od namotaja primara, namotaji na sekun-daru transformatora povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem.

1. 1U – vektor faznih napona korjena;

2. )(),( kikikiki UQUP – analitički oblici

funkcija potrošnje aktivne i reaktivne snage faze i potrošača priključenog u čvoru k, od modula njegovih faznih napona, ∈k 2, 3, … , n, ∈i a, b, c;

3. kU – vektor početnih aproksimacija

faznih napona čvora k, ∈k 2, 3, … , n;

4. kk B,A ˆˆ – parametri segmenta kΓ ,

∈k 2, 3, … , n; 5. Kriterijumi konvergencije.

k=n, 2

nk ,...,3,2,ˆˆ ∈== 0II ''k

'k

( ) ( ),jˆkikikikiki UQUPS −=

c,b,a,ˆ/ˆˆ * ∈= iUSI kikiki

[ ]Tˆ,ˆ,ˆˆkckbka III=kI

kkk'k

'k UBIII ˆˆˆˆ)(ˆ ++= ;

Segment kΓ ? Transformator Sekcija

Blok I

Proračun vektora

struja 'kI i eventualna

korekcija tekuće aproksimacije napona

kU ;

X Početak procedure sumiranja struja


Y

'k

'K

'K III ˆˆ)(ˆ += , K je indeks segmenta

prethodnika segmentu kΓ .

Ne



79

k= 2, n


Da

Kraj proračuna.

'kkKk IAUU ˆˆˆˆ −= , K je

indeks na početku segmenta kΓ .

Segment kΓ ?

Blok II

Proračun vektora

napona kU

X

Y


Kraj procedure кorekcija napona

Slika 5.1.1 – Blok-dijagram postupka za proračun nesimetričnih tokova snaga.

Transformator Sekcija

5.1.1 Sprega YNyn Aproksimacije kompleksnih faznih snaga potrošnje mogu da se izračunaju koristeći se rela-

cijama (3.1.1.1), za tekuću aproksimaciju napona k-tog potrošačkog čvora (sekundara transforma-tora) – slika 3.4.1. Iz tih snaga i tekuće aproksimacije napona mogu da se izračunaju tekuće aprok-simacije faznih struja sekundara transformatora (uvažavajući da je magnećenje transformatora pri-

kazano na sekundaru – okY ):

[ ] kokokk''k UYIII ˆˆˆ/)ˆ(ˆ,ˆ/)ˆ(ˆ,ˆ/)ˆ(ˆˆˆˆ T*** +=+= kckckckbkbkbkakaka UUSUUSUUS . (5.1.1.1)

Koristeći se relacijama (3.3.1b i c), za tekuću aproksimaciju napona kU i naprijed izraču-

natu aproksimaciju struja sekundara ''kI (5.1.1.1), te struje mogu da se iznesu na primar sledećom

relacijom:

kkk1

kKKKKk"k

1kKKK

'k UYYYYIYYI ˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆˆˆ −− −+−= , (5.1.1.2)

pošto je matrica koja se invertuje ( kKY ) regularna – tabela 3.3.1. Time je riješen Blok I za spregu YNyn.

Kada se do ovog transformatora stigne s procedurom korekcija napona, tada se raspolaže s

kvalitetnom aproksimacijom napona njegovog primara KU , kao i aproksimacijom struja sekundara ''kI (5.1.1.1), izračunatom u proceduri sumiranja struja koja je prethodila. Na osnovu relacije

(3.3.1c), naponi primara mogu da se prenesu na sekundar – procedura korekcija napona:


80

)ˆˆˆ(ˆˆKkK

''k

1kkk UYIYU +−= − , (5.1.1.3)

pošto je matrica koja se invertuje ( kkY ) regularna – tabela 3.3.1. Time je riješen i Blok II za spregu YNyn.

5.1.2 Sprega Dyn Slično kao kod sprege YNyn, tekuće aproksimacije faznih struja sekundara transformatora,

uvažavajući da je magnećenje kod ove sprege prikazano na sekundaru, mogu da se izračunaju ko-

rišćenjem relacije (5.1.1.1). S obzirom na singularnost matrice kKY , relacija (5.1.1.2) ne može da se iskoristi za iznošenje ovih struja na primar. Zato, ako se raspolaže s kvalitetnom aproksimaci-

jom napona na primaru transformatora KU , a to je u iteracijama posle prve, za to iznošenje se ko-risti relacija (3.3.1b):

kKkKKK'k UYUYI ˆˆˆˆˆ += , (5.1.2.1)

a u prvoj iteraciji, ovdje se predlaže da se struje iznose prostom primjenom normalizovanog odno-sa transformacije razmatranog transformatora za simetričan režim direktnog redoslijeda:

6/πjeˆ dk''k

'k II = , (5.1.2.2)

pri čemu je sa dk označen sprežni broj za simetričan režim transformatora direktnog redoslijeda (1, 3, 5, 7, 9, ili 11). Time je riješen Blok I za spregu Dyn.

Relacije (5.1.2.2) koriste se da bi se izbjegao problem moguće loše početne aproksimacije

napona na primaru transformatora, koji bi svakako usporio proces konvergencije postupka. Rješenje Bloka II za spregu Dyn identično je s odgovarajućim rješenjem za spregu YNyn,

relacija (5.1.1.3).

5.1.3 Sprega YNy Sa ovih transformatora, ili transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao,

ne može da se napaja široka potrošnja za koju su nužni fazni naponi (neutralni provodnici) i uzem-ljenje (nulovanje) kućnih aparata. Sa njih mogu da se napajaju npr. trofazni motori sa statorskim namotajima povezanim u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem. Za takve ureñaje nije pri-rodno da se specificiraju fazne snage pri nepoznatim naponima. Ono što za njih jeste prirodno, to je da se specificiraju njihove trofazne (ukupne) snage potrošnje, ili da se oni zamjene trouglovima ili zvijezdama ekvivalentnih šema impedansi čija su zvjezdišta izolovana. Poslednje dvije varijante meñusobno su ekvivalentne s obzirom na postojanje ekvivalencije zvijezde i trougla impedansi (admitansi). Ovdje će se izložiti samo varijanta specifikacije potrošnje admitansama (impedansa-ma), i to povezanim u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem. Njihovo zvjezdište, makar ono bilo i fi-ktivno, dozvoljava definiciju faznih napona, a iz njih, makar oni bili i fiktivni, na kraju proračuna tokova snaga, nije teško da se izračunaju linijski naponi koji su jedini aktuelni naponi u takvoj si-tuaciji. Ova situacija je sadržana u opisu snaga potrošnje potrošača relacijama (3.1.1.1), sa dvije


81

prve komponente (konstantne snage i snage srazmjerne s naponom) jednake nuli – tabeli 3.1.1.1, red. br. 6 – Paragraf 3.1.1.

Pošto: 1) sa sekundara ovog transformatora ne napajaju se Γ segmenti sledbenici, 2) ako se

magnećenje ovog transformatora iskaže na njegovom primaru – Prilog 9.4 i 3) snage potrošnje su

zamenjene admitansama, onda su snaga kS i struja kI segmenta kΓ koji reprezentuje razmatrani

transformator – slika 3.4.1, jednake nuli. Zbog toga, reprezent njegove otočne grane kB postaje di-

jagonalna matrica faznih admitansi s kojima je zamjenjena potrošnja: okY = diag[ kckbka YYY ˆ,ˆ,ˆ ]. Na

početku postupka za proračun tokova snaga, usvojene su (po želji izabrane) početne aproksimacije napona svih čvorova mreže, pa i razmatranog čvora k – blok-dijagram na slici 5.1.1. Kada bi se napravili proizvodi aproksimacija faznih napona i admitansi potrošača, dobile bi se fazne struje po-trošača. Njihov zbir, generalno, ne bi bio jednak nuli. To, s obzirom na zvijezdu namotaja sekun-dara sa izolovanim zvjezdištem, nije moguće. Dakle, takva aproksimacija faznih napona na sekun-

daru transformatora kU nije korektno izabrana. Ona mora da bude korigovana tako da zbir razma-tranih struja bude jednak nuli. U tu svrhu, za po želji izabrane aproksimacije dva fazna napona

(npr, kbka UU ˆiˆ ), na osnovu nultog zbira faznih struja, aproksimacija trećeg faznog napona iznosi:

)ˆˆˆˆ)(ˆ/1(ˆkbkbkakakckc UYUYYU +−= . (5.1.3.1)

Za tako izabranu aproksimaciju faznih napona, aproksimacija faznih struja sekundara transforma-tora glasi:

[ ]Tˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆkckckbkbkaka UYUYUY=''

kI . (5.1.3.2)

Sada, iznošenje ovih struja na primar transformatora ( 'kI ) isto je kao u slučaju sprege Dyn –

relacije (5.1.2.1) i (5.1.2.2), zavisno od iteracije postupka. Time je riješen Blok I za spregu YNy. Kada se do ovog transformatora stigne s procedurom korekcija napona, tada se raspolaže s

kvalitetnom aproksimacijom napona njegovog primara KU , kao i aproksimacijom struja sekundara ''kI , izračunatom u proceduri sumiranja struja koja je prethodila. Pošto su matrice kkkK YY ˆiˆ

(3.3.1c) singularne (tabela 3.3.1), a zbir faznih struja vektora ''kI jednak nuli, tri relacije (3.3.1c) li-

nearno su zavisne. Zato, treća od relacija (3.3.1c) može i treba da se zamjeni relacijom kojom se ukazuje na prirodu režima ovog transformatora – nulti zbir struja sekundara (Zadatak 4.2.2.2):

kckckbkbkaka UYUYUY ˆˆˆˆˆˆ0 ++= . (5.1.3.3)

Tada se, umjesto originalnih relacija (3.3.1c), dobijaju sledeće:

kkkKkK

''

k UYUYI ˆˆˆˆˆ +=− , (5.1.3.4)

odnosno, u razvijenoj formi:

kc

kb

ka

kckbkaKc

Kb

Ka

kb

ka

U

U

U

YYYU

U

U

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ///

///

ˆ

ˆ

ˆ

000

///

///

0

ˆ

ˆ''

''

+=−

−

. (5.1.3.5)


82

Kose crte u matricama ovih relacija ukazuju da su elementi na tim mjestima identični sa elementi-

ma originalnih matrica kkkK YY ˆiˆ (3.3.1c). Pošto je matrica kkY (5.1.3.5) regularna, prenos aprok-simacije napona primara na sekundar transformatora vrši se korišćenjem relacije:

)ˆˆˆ(ˆˆKkK

''

k

1

kkk UYIYU +−=−

, (5.1.3.6)

čime je riješen i Blok II za spregu YNy. 5.2 PRORAČUN ZASNOVAN NA IMPLICITNOM ZBUS POSTUPKU

Ovaj proračun se izlaže saglasno s literaturom [24]. U pitanju je implicitni ZBUS postupak,

koji je načelno opisan u Uvodu. Razmatra se radijalna distributivna mreža sa n trofaznih čvorova, odnosno 3n faznih (monofaznih) čvorova. Korijen mreže (trofazni čvor sekundarnih sabirnica na-pojne transformatorske stanice) predstavlja balansni čvor. U njemu su poznati naponi sve tri faze. Nije nužno da oni budu simetrični. Model mreže se zasniva na redukovanoj matrici admitansi. Za razliku od redukovane matrice admitansi definisane u Glavi 2, gde su bile potisnute samo prva vrs-ta i kolona (pošto je tamo bilo riječi o simetričnim – monofaznim tokovima snaga), ovdje su potis-nute sve tri vrste i tri kolone koje odgovaraju faznim čvorovima korjena. U algoritmu za proračun tokova snaga ovim postupkom, podrazumjeva se da je prvo urañena dekompozicija mreže na dva kola. Prvo kolo predstavlja mrežu u kojoj su idealni strujni izvori kojima je predstavljena potrošnja čvorova isključeni. Tako, eksitaciju kola čini samo trofazni napon (tri fazna napona) korjena mre-že. Drugo kolo je sa kratko-spojenim idealnim naponskim izvorima (korjenom mreže), a eksitaciju kola čine trofazni idealni strujni izvori koji predstavljaju potrošnju čvorova.

Pošto tri idealna naponska izvora, čije su elektromotorne sile jednake faznim naponima

korjena originalne mreže, predstavljaju jedinu eksitaciju prvog kola (razmatrana mreža u praznom hodu), naponi svih čvorova u tom kolu praktično su jednaki s odgovarajućim faznim naponima idealnih naponskih izvora – faznim naponima korjena originalne mreže. Zato, proračun tog kola se i ne vrši, već se za početne aproksimacija faznih napona svih čvorova usvajaju fazni naponi korje-na.

Eksitaciju drugog kola čine trojke idealnih strujnih izvora. Oni su priključeni u svakom

(trofaznom) čvoru (osim u korjenu mreže). Njihove vrijednosti jednake su količnicima odgovara-jućih faznih snaga potrošnje i konjugovanih faznih napona čvorova, s promjenjenim znacima. Promjena znaka je izvršena da bi se dobile injektirane struje, koje su pozitivne kada su usmjerene ka čvorovima. Pošto naponi čvorova nisu poznati, nego su poznate aproksimacije tih napona, eksi-tacija drugog kola predstavlja aproksimaciju struja potrošnji s promjenjenim znacima. Zbog krat-ko-spojenih idealnih izvora u korjenu, naponi čvorova dobijeni proračunom tokova snaga u ovom kolu predstavljaju korekcije napona. Te korekcije, kada se dodaju naponima odgovarajućih čvoro-va prvog kola, predstavljaju aproksimacije napona čvorova razmatrane mreže. Pošto se znaju samo aproksimacije eksitacija drugog kola, a ne tačne eksitacije, proračun režima drugog kola vrši se ite-rativno.

Proračun tokova snaga na osnovu implicitnog ZBUS postupka, sastoji se od sledećih koraka:

1. Formiranje matrice admitansi trofazne mreže Y , dimenzije n×n;

2. Formiranje redukovane matrice admitansi Y , potiskivanjem tri vrste i tri kolone matrice admitan-si, koje odgovaraju korjenu, dimenzije (3n-3)×(3n-3);


83

3. Optimalna numeracija čvorova mreže; 4. Faktorizacija redukovane matrice admitansi; 5. Inicijalna dodjela vrijednosti napona svim čvorovima, koje su jednake vrijednostima napona kor-

jena mreže (početna aproksimacija napona); 6. Početak iterativnog procesa: h=1;

7. Proračun aproksimacija injektiranih struja ( hI− ) u sve čvorove, osim u fazne čvorove korjena mreže u tekućoj iteraciji; one su jednake aproksimacijama potrošnji čvorova sa suprotnim predz-nacima;

8. Proračun korekcija napona 1hU∆ +ˆ , na osnovu relacije:

1hh U∆YII +=∆−− ˆˆˆˆ , (5.2.1)

koristeći se implicitnom inverzijom (faktorizacijom) redukovane matrice admitansi Y , gdje su:

hI− – vektor tekućih aproksimacija injektiranih struja u čvorove mreže; one su jednake količni-

cima faznih snaga (zavisne od napona) i odgovarajućih konjugovanih faznih napona čvo-rova, sa promjenjenim znakom, osim tri fazna čvora, korjena mreže; dimenzije (3n-3)×1;

]ˆˆ,...,ˆˆ[ˆ11121 UyUy n ∆∆=∆ TI – vektor u koji su smješteni poznati članovi suma na desnim stra-

nama relacija (5.2.1), koji se odnose na balansni čvor, dimenzije (3n-3)×1;

1hU∆ +ˆ – vektor korekcija faznih napona čvorova mreže, osim tri fazna napona čvorova korjena mreže; dimenzija (3n-3)×1;

1hU +ˆ – vektor faznih napona čvorova mreže, osim tri fazna napona čvorova korjena mreže; di-

menzije (3n-3)×1; h – indeks tekuće iteracije.

9. Proračun korekcija aproksimacija napona čvorova u tekućoj iteraciji, na osnovu relacije:

1hkorjenavc

1h U∆U1U ++ += ˆˆˆ ; (5.2.2)

gdje su:

1vc – matrica čiji su svi elementi jednaki jedinici; dimenzije (3n-3)×3;

korjenaU – tri fazna napona korjena mreže; dimenzija 3×1;

10. Provjera konvergencije; 11. Ako je postupak konvergirao, proračun svih režimskih veličina od interesa, a ako nije – povećanje

indeksa tekuće iteracije h i povratak na korak 5.

Numerička verifikacija proračuna nesimetričnih tokova snaga Predrag Vidović

84

6 NUMERIČKA VERIFIKACIJA PRORAČUNA NESIMETRI-ČNIH TOKOVA SNAGA U četvrtoj glavi elaborata obrañene su procedure sumiranja struja i korekcija napona na se-

kciji voda i transformatoru. Ovdje se daju numerički primjeri za proračun režima samo transforma-tora (Dio 6.1), pošto su procedure za proračun režima sekcije trivijalne. Poslije toga su dati nume-rički primjeri za proračun režima radijalne distributivne mreže. Pri tom je verifikovan ovdje razvi-jeni postupak za proračun nesimetričnih tokova snaga (Dio 5.1). Verifikacija je izvršena poreñe-njem performansi tog postupka s performansama implicitnog ZBUS postupka, koji je opisan u Dije-lu 5.2 (koji je verifikovan u literaturi). Svi proračuni su urañeni u domenu relativnih vrijednosti.

6.1 PRORAČUN REŽIMA TRANSFORMATORA Ovdje je data numerička verifikacija razvijenog postupka za proračun nesimetričnih tokova

snaga (režima) transformatora. U tu svrhu obrañeno je nekoliko primjera proračuna. U prvom pri-mjeru potrošač koji se napaja s transformatora tretira se kao potrošač konstantne snage, a drugi primjer je opšti, tj. potrošnja potrošača se tretira sa tri komponente: konstantna snaga, snaga sra-zmjerna s modulom napona i konstantna impedansa/admitansa. Oba primjera se rade s dvije vari-jante početnih rješenja, s ciljem da se uoči (ne)osjetljivost postupka na početno rješenje. Oba prim-jera su urañena za svaku od sprega transformatora YNyn0 i Dyn5. Za sprege transformatora YNd5 i Dd0, u drugom primjeru je potrošnja potrošača tretirana kvadratno zavisnom od napona – potrošač konstantne impedanse/admitanse.

Transformatori koji se tretiraju u primerima prikazani su na slici 6.1.1. Oni imaju sledeće

zajedničke podatke:

20=nVNV kV,

4.0=nNNV kV,

630=nS kVA,

4.4=ku %,

0=CuP (zanemaruju se gubici u bakru),

0=mI (zanemaruju se gubici u praznom hodu).

(Oznake VN i NN u subskriptima se odnose na primar i sekundar, respektivno.)

Primjer 1: Transformator je eksitovan naponima primara i snagama sekundara. Potrošač se tretira s

konstantnom snagom: kspx = ksqx = 1, kipx = kiqx = 0 i kypx = kyqx = 0; ,, cbax ∈ . Naponi faza A, B i


85

C primara iznose: j0e6.10 kV, 171-je3.11 kV i 542-je4.11 kV, respektivno. Dakle, oni nisu simetrični. Specificirane snage sekundara, u fazama a, b i c, iznose: (100 – j 50) kVA, (90 – j 40) kVA i (100 – j 30) kVA, respektivno. Dakle, ni one nisu meñusobno jednake.

Transformator AU

BU

CU cU bU

aU

0 cS bS

aS

A

B

C c b

a

Slika 6.1.1 – Principska šema transformatora. Na osnovu podataka o transformatoru može da se izračuna impedansa kratkog spoja tran-

sformatora: (0 + j 27.9365)Ω. Impedanse uzemljenja zvjezdišta primara i sekundara jednake su nu-li.

Sada, radi normalizacije modela transformatora, uvode se osnovne bazne veličine, jedins-

tvena bazna snaga bS i dva bazna napona, jedan za primar, jedan za sekundar transformatora, bVNU

i bNNU , respektivno.

• 100=bS kVA,

• 3

20=b

VNU kV, 3

4.0=b

NNU kV.

Iz osnovnih baznih veličina izračunavaju se sledeće (potrebne) izvedene bazne veličine:

• 35

3

20100

===bVN

bbVN

U

SI A, 3250

3

4.0100

===bNN

bbNN

U

SI A,

• 3

4

353

20

===bVN

bVNb

VNI

UZ kΩ,

3

0016.0

32503

4.0

===bNN

bNNb

NNI

UZ kΩ,

• 50

3

4.03

20

/ ===bNN

bVNb

NNVN U

UT .

Za tako izabrane bazne veličine, normalizovani podaci o transformatoru glase:

• 0je9180.0ˆ =AU r.j,

• 7-j11e9786.0ˆ =BU r.j,


86

• -j245e9873.0ˆ =CU r.j,

• )50.j1(ˆ −=specaS r.j,

• )40.j9.0(ˆ −=specbS r.j,

• )30.j1(ˆ −=speccS r.j,

• 524)90.020j0(ˆ +=Z r.j,

• 0)j0(ˆ +=NZ r.j,

• 0)j0(ˆ +=nZ r.j,

• 1/ =NNVNT .

Kriterijum konvergencije postupka glasi: maksimalna apsolutna vrijednost razlike normali-

zovanih napona u dvije uzastopne iteracije treba da je manja od 610− . Razmatrani primjer se rješava u dvije varijante – varijanta 1 i varijanta 2. One se razlikuju

samo po početnom rješenju za napone sekundara transformatora:

Varijanta 1: 022j1 e95.0ˆ =aU r.j,

j1001 e95.0ˆ =bU r.j, 403j1 e95.0ˆ =cU r.j.

Varijanta 2: 02j1 e90.0ˆ =aU r.j,

j881 e50.0ˆ =bU r.j, 301j1 e85.0ˆ =cU r.j.

Očigledno je da je suštinska razlika izmeñu te dvije varijante u tome što je početna aproksimacija napona u prvoj varijanti simetrična, a u drugoj ona radikalno odstupa od simetričnih veličina. Cilj rješavanja primjera u dvije varijante, sa tako različitim početnim aproksimacijama rješenja, jeste da se provjeri osjetljivost predloženog postupka na početnu aproksimaciju rješenja. Primjer 2:

Ovaj primjer se rješava samo u varijanti 1. Potrošaču su asocirane sledeće vrijednosti koe-

ficijenata učešća: kspx = 0.4, ksqx = 0.3, kipx = 0.3, kiqx = 0.4 i kypx = 0.3, kyqx = 0.3; cb,a,∈x – op-šti slučaj tretmana potrošača. Ovo je urañeno s ciljem da se provjeri efekat zavisnosti potrošnje od napona. Rješenja: Transformator sprege Ynyn0:

S obzirom da rješenje primjera ne zavisi od njegove početne aproksimacije, jedinstveni re-

zultati za obje varijante dati su u tabeli 6.1.1.


87

Tabela 6.1.1 – Primjer 1.

aU [kV] 0.209e-j1.44

bU [kV] 0.224ej241.86

cU [kV] 0.226ej113.76

oU [kV] 0.00438ej20.12

AI [A] 10.685e-j28.01

BI [A] 8.795ej217.90

CI [A] 9.220ej97.06

aI [kA] 0.534e-j28.01

bI [kA] 0.440ej217.90

cI [kA] 0.461ej97.06

aS [kVA] 100.000-j50.000

bS [kVA] 90.000-j40.000

cS [kVA] 100.000-j30.000

U prvoj varijanti primjer je riješen u šest, a u drugoj varijanti u pet iteracija. Vrijeme potre-

bno da se na personalnom računaru uradi 10.000.000 iteracija ovog algoritma, iznosi 10.42 sekun-di.

Rezultati primjera 2 su dati u tabeli 6.1.2. Primjer je riješen u pet iteracija. Očigledno je da

je postupak praktično neosjetljiv na početnu aproksimaciju rješenja.


aU [kV] 0.210 e-j1.32

bU [kV] 0.224ej241.89

cU [kV] 0.226ej113.78

oU [kV] 0.00449ej20.99

AI [A] 9.789e-j27.66

BI [A] 8.554ej217.99

CI [A] 9.059ej97.11

aI [kA] 0.489e-j27.66

bI [kA] 0.428ej217.99

cI [kA] 0.453ej97.11

aS [kVA] 91.910-j45.491

bS [kVA] 87.597-j38.812

cS [kVA] 98.282-j29.427


88

Snage na sekundaru transformatora, date u tabeli 6.1.2, razlikuju se od zadatih specificira-nih snaga pošto se u ovom primjeru razmatrao opšti tretman potrošača (snage zavisne od napona). Transformator sprege Dyn5:

Jedinstveni rezultati za obje varijante su dati u tabeli 6.1.3. U prvoj varijanti primjer je rije-šen u pet, a u drugoj varijanti u šest iteracija.


aU [kV] 0.213ej211.23

bU [kV] 0.234ej88.08

cU [kV] 0.213e-j35.23

oU [kV] 0.00023ej143.82

AI [A] 10.330e-j22.60

BI [A] 9.510ej210.82

CI [A] 8.947ej98.81

aI [kA] 0.525ej184.66

bI [kA] 0.422ej64.11

cI [kA] 0.491e-j51.93

aS [kVA] 100.000-j50.000

bS [kVA] 90.000-j40.000

cS [kVA] 100.000-j30.000

Vrijeme potrebno da se na personalnom računaru uradi 10.000.000 iteracija ovog algorit-

ma, iznosi 10.29 sekundi. Rezultati primjera 2 su dati u tabeli 6.1.4. Primjer je riješen u četiri iteracije.

Rezultati ovog primjera potvrñuju komentare navedene za spregu transformatora Ynyn0 ko-

ji se odnose na osjetljivost postupka na početnu aproksimaciju rješenja. Transformator sprege Ynd5:

Rezultati primjera 2 su dati u tabeli 6.1.5. Primjer je riješen u pet iteracija. Vrijeme potrebno da se na personalnom računaru uradi 10.000.000 iteracija ovog algorit-

ma, iznosi 2.54 sekundi. Postupak za proračun nesimetričnih tokova snaga i za ovu spregu transformatora je neosjet-

ljiv na početnu aproksimaciju rješenja. Snage na sekundaru transformatora, date u tabeli 6.1.5, raz-likuju se od specificiranih snaga pošto se u ovom primjeru razmatrao opšti slučaj potrošača (snage zavisne od napona).


89


aU [kV] 0.213ej211.32

bU [kV] 0.234ej88.06

cU [kV] 0.213e-j35.13

oU [kV] 0.000091ej134.82

AI [A] 9.605e-j22.34

BI [A] 9.190ej212.30

CI [A] 8.634ej97.43

aI [kA] 0.488ej184.95

bI [kA] 0.426ej64.08

cI [kA] 0.456e-j51.70

aS [kVA] 93.255-j46.243

bS [kVA] 90.942-j40.465

cS [kVA] 93.116-j27.699


aU [kV] 0.214ej212.45

bU [kV] 0.230ej87.69

cU [kV] 0.216e-j35.61

oU [kV] 0.00392e-j68.95

AI [A] 15.846e-j44.54

BI [A] 13.379ej251.80

CI [A] 2.383ej11.69

aI [kA] 0.449ej185.88

bI [kA] 0.425ej63.73

cI [kA] 0.423e-j52.31

aS [kVA] 86.018-j43.009

bS [kVA] 89.263-j39.672

cS [kVA] 87.581-j26.274

Transformator sprege Dd0: Rezultati primjera 2 su dati u tabeli 6.1.6. Primjer je riješen u pet iteracija.


90


aU [kV] 0.207 e-j0.51

bU [kV] 0.223ej241.06

cU [kV] 0.230ej114.13

oU [kV] 0.00459ej67.43

AI [A] 8.688e-j27.08

BI [A] 8.239ej217.09

CI [A] 8.999ej97.43

aI [kA] 0.434e-j27.08

bI [kA] 0.412ej217.09

cI [kA] 0.450ej97.43

aS [kVA] 80.509-j40.254

bS [kVA] 83.980-j37.324

cS [kVA] 99.061-j29.718

Vrijeme potrebno da se na personalnom računaru uradi 10.000.000 iteracija ovog algorit-

ma, iznosi 2.55 sekundi. Na osnovu rezultata urañenih primjera, vidi se da:

1. početna aproksimacija rješenja praktično ne utiče na rezultat proračuna, 2. početna aproksimacija rješenja praktično ne utiče ni na broj iteracija proračuna, 3. tretman potrošača preko konstantne impedanse/admitanse dobro utiče na brzinu proračuna

(jako brz proračun). 6.2 PRORAČUN MREŽE

Pod verifikacijom postupka prikazanog u elaboratu (Postupak 1) podrazumjeva se prakti-

čan dokaz da je on moguć i da je efikasniji od postupaka za proračun nesimetričnih tokova snaga distributivnih mreža, koji su utvrñeni u literaturi – implicitni ZBUS postupak (Postupak 2). U tu svrhu se razmatra 20 kV test mreža prikazana na slici 6.2.1. U pitanju je mreža s jednim korjenom, deset 20 kV sekcija i deset distributivnih transformatora 20 kV/0.4 kV, svaki s potrošnjom na se-kundaru. Da bi se omogućila potpuna rekonstrukcija rezultata proračuna, daju se kompletni podaci o razmatranoj mreži s relativno malim dimenzijama3. Da bi se prostor koji zauzimaju podaci mi-nimizovao, mreža je prilično unificirana. Sekcije, transformatori i potrošači su numerisani rednim brojevima od 1 do 10, i identični su meñusobno. Dužina sekcija iznosi 0.5 km, s podužnim pogon-skim impedansama direktnog (inverznog) i nultog redoslijeda koje iznose: (0.224 + j0.109)Ω/km i (0.87 + j1.03)Ω/km, respektivno. Uticaj otočnih parametara je zanemaren. Nominalne snage i na-poni kratkog spoja svih transformatora iznose 630 kVA i 4.4 %, respektivno. Gubici kratkog spoja

3 Kada su u pitanju radijalne mreže (pa i mreže s malim brojem kontura), tada je broj iteracija, za relativno isto optere-

ćenje mreže, praktično konstantan. Osim toga, za takva opterećenja, vrijeme proračuna mreže linearno zavisi od bro-ja čvorova (broj iteracija se ne mijenja). Iz tih razloga, radi omogućavanja rekonstrukcije rezultata proračuna, ovde je obrañena mreža malih dimenzija.


91

i struje praznog hoda (magnećenja) zanemareni su. Sprege transformatora su date na slici 6.2.1. Na istoj mreži su urañena dva primjera: prvi primjer – sa spregama transformatora zapisanim izvan zagrada i drugi primjer – sa zamjenjenim spregama četvrtog i osmog transformatora datim u za-gradama, kao i desetom sekcijom koja nije uravnotežena. Snage potrošača po fazama a, b i c nisu jednake. One iznose: (100 – j50), (90 – j40) i (100 – j30) kVA, respektivno. Svaka sekcija, tran-sformator na njenom kraju i potrošač na sekundaru transformatora, označeni su istim indeksom. Fazni naponi korjena nisu simetrični. Oni, po fazama A, B i C, iznose: j0e6.10 , 171-je3.11 i

542-je4.11 kV, respektivno. Na osnovu podataka o mreži može da se zaključi da je mreža u jednom primjeru uravnote-

žena, a u drugom nije. U obje varijante njen režim nije simetričan. Ključni elementi mreže – tran-sformatori, u prvom primjeru imaju sekundarne namotaje povezane u uzemljenu zvijezdu. Dakle, kod ovih transformatora ne postoji problem ažuriranja nulte komponente napona na sekundaru. U drugom primjeru, dva transformatora na sekundarima imaju namotaje povezane u trougao (s razli-čitim sprežnim brojevima), što predstavlja ključni problem pri ažuriranju nulte komponente napo-na u iterativnim postupcima za proračun distributivnih mreža, koji su zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekcija napona (osnovni predmet ove teze).

Stanje mreže, iskazano naponima distributivnih transformatora, sa spregama transformatora

za prvi primjer, izračunato s kriterijumom konvergencije 10-5 relativnih jedinica po korekcijama napona, dato je u tabeli 6.2.1. Ono je izračunato Postupkom 1, polazeći sa četiri varijante početnih aproksimacija. To su:

V1. Početne aproksimacije nepoznatih napona čvorova jednake su naponima praznog hoda

mreže, sa specificiranim naponima korjena. V2. Moduli početnih aproksimacija nepoznatih napona iz prve varijante smanjeni su na polovi-

nu. V3. Moduli početnih aproksimacija nepoznatih napona iz prve varijante povećani su za 50%. V4. Vrijednosti aproksimacija nepoznatih napona faza b i c svakog čvora meñusobno su zami-

jenjene (osim specificiranih napona korjena); dakle, u pitanju je još radikalnije "pogorša-nje" početnih aproksimacija rješenja, u odnosu na varijante 2 i 3. Cilj korišćenja različitih početnih aproksimacija rješenja jeste da se ispita (ne)osjetljivost

predloženog postupka na početne aproksimacije rješenja. U varijanti V1, proračun je izvršen u četiri iteracije, u varijanti V3 u pet, a u ostalim vari-

jantama u šest. Na osnovu rezultata urañenih primjera, vidi se da:

1. početna aproksimacija rješenja praktično ne utiče na rezultate proračuna, 2. početna aproksimacija vrlo malo utiče na broj iteracija proračuna, čak i za aproksimacije

koje radikalno odstupaju od rješenja.

Verifikacija ovdje razvijenog Postupka 1 izvršena je poreñenjem rezultata dobijenih prim-jenom tog postupka s rezultatima proračuna dobijenih primjenom Postupka 2. Za to poreñenje iza-bran je prvi primjer, koji se ovdje obrañuje. Primjenom implicitnog ZBUS postupka (Postupak 2), proračun je izvršen u četiri iteracije, sa istim kriterijumom konvergencije. Dobijeni su praktično is-


92

ti rezultati sa onim koji su dobijeni primjenom Postupka 1 (Tabela 6.2.1). Test sa različitim vari-jantama početnih aproksimacija, posebno onih koje radikalno odstupaju od rješenja, nije urañen zato što je Postupku 2 inherentno da je početna aproksimacija napona svih čvorova jednaka napo-nima mreže u praznom hodu, sa specificiranim naponima korjena (V1).

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

YNyn0 Dyn5 Dyn7

YNyn8

YNyn10

YNyn0

Dyn3 Dy

Dyn9

YNyn4

Dyn5

S1 S2 S3 S4 S5

S6 S7 S8 S9 S10

Korijen mreže

(Dd8)

(YNd9)

Slika 6.2.1 – Test mreža.

Tabela 6.2.1 – Naponi primara i sekundara distributivnih transformatora (Tr) – prvi primjer.

Fazni naponi [kV] Tr

a b c 10.586 e-j0.007 11.289 ej242.996 11.389 ej115.003

1 0.209 e-j1.454 0.224 ej242.987 0.226 ej113.761

10.574 e-j0.014 11.280 ej242.994 11.378 ej115.006 2

0.212 ej211.222 0.233 ej61.855 0.212 e-j35.250 10.564 e-j0.020 11.271 ej242.990 11.368 ej115.009

3 0.211 ej144.736 0.213 ej31.363 0.233 ej267.952 10.554 e-j0.028 11.264 ej242.988 11.360 ej115.013

4 0.225 ej113.759 0.209 e-j1.334 0.224 ej241.117 10.546 e-j0.033 11.257 ej242.986 11.353 ej115.015

5 0.223 ej61.708 0.225 e-j61.837 0.209 ej178.516 10.540 e-j0.036 11.251 ej242.985 11.348 ej115.016

6 0.208 e-j1.496 0.223 ej241.837 0.225 ej113.764

10.535 e-j0.040 11.247 ej242.986 11.343 ej115.015 7

0.232 ej267.942 0.211 ej144.861 0.213 ej31.218 10.531 e-j0.042 11.243 ej242.986 11.339 ej115.015

8 0.232 ej87.942 0.211 e-j35.143 0.213 ej211.216 10.528 e-j0.045 11.241 ej242.987 11.337 ej115.015

9 0.222 ej241.705 0.225 ej113.884 0.209 e-j1.500 10.527 e-j0.045 11.240 ej242.987 11.336 ej115.014

10 0.212 ej211.209 0.232 ej88.061 0.211 e-j35.286


93

Vrijeme potrebno da se na personalnom računaru uradi 106 iteracija algoritma Postupka 1, iznosilo je 28.09 sekundi, a Postupka 2 – 97.85 sekundi. Dakle, odnos ta dva vremena jeste oko 3.5 puta u korist Postupka 1. Prednost Postupka 1 je i veća od iskazanog odnosa vremena, pošto u vremenu za sprovoñenje Postupka 2 nisu uključena vremena za optimalnu numeraciju čvorova mreže i LU faktorizaciju redukovane matrice admitansi.

Drugi primjer proračuna nesimetričnih tokova snaga predloženim Postupkom 1 razlikuje se

od prvog primjera kako je već rečeno, u sledećem: 1) Sprege četvrtog i osmog transformatora su zamjenjene saglasno sa onim zapisanim u zagradi na slici 6.2.1 – namotaji sekundara su kod oba transformatora povezani u trougao; 2) Deseta sekcija je neuravnotežena – pogonske šeme direkt-nog i inverznog redoslijeda su spregnute meñusobnom impedansom u iznosu od deset procenata pogonske impedanse direktnog (inverznog) redoslijeda. Dakle, u ovom primjeru se obrañuje neu-ravnotežena mreža. Rezultati proračuna dati su u tabeli 6.2.2.

Tabela 6.2.2 – Naponi primara i sekundara distributivnih transformatora (Tr)– drugi primjer.

Fazni naponi [kV]

Tr a b c

10.583 e-j0.000 11.290 ej242.974 11.392 ej115.020 1

0.209 e-j1.448 0.224 ej241.883 0.226 ej113.778 10.567 e-j0.000 11.282 ej242.949 11.384 ej115.039

2 0.212 ej211.222 0.233 ej88.070 0.212 e-j35.249 10.552 e-j0.001 11.274 ej242.923 11.378 ej115.060

3 0.211 ej144.738 0.213 ej31.362 0.233 ej267.953 10.539 e-j0.001 11.267 ej242.898 11.373 ej115.080

4 0.226 ej116.548 0.199 e-j2.192 0.232 ej239.994 10.526 e-j0.001 11.262 ej242.873 11.369 ej115.102

5 0.227 ej61.596 0.225 e-j66.023 0.209 ej178.545 10.515 e-j0.003 11.258 ej242.848 11.366 ej115.122

6 0.208 e-j1.464 0.223 ej241.701 0.226 ej113.874

10.506 e-j0.005 11.254 ej242.825 11.364 ej115.141 7

0.232 ej269.359 0.211 ej144.864 0.213 ej31.216 10.498 e-j0.008 11.252 ej242.802 11.364 ej115.161

8 0.232 ej89.359 0.206 e-j35.828 0.218 ej210.609 10.495 e-j0.006 11.250 ej242.802 11.362 ej115.160

9 0.224 ej241.523 0.225 ej114.034 0.208 e-j1.459 10.494 e-j0.005 11.249 ej242.803 11.360 ej115.160

10 0.212 ej211.207 0.232 ej88.062 0.211 e-j35.282

Dakle, na osnovu drugog primjera može da se zaključi da predloženi Postupak 1 za prora-

čun nesimetričnih tokova snaga praktično nije osjetljiv na:

1. vrstu sprega transformatora, 2. uravnoteženost mreže.

Proračun je izvršen u svim varijantama u 6 iteracija, za isti kriterijum konvergencije kao u prvom primjeru.

Zaključak Predrag Vidović

94

7 ZAKLJUČAK U magistarskoj tezi je predložen postupak za proračun nesimetričnih tokova snaga

(ne)uravnoteženih distributivnih mreža, s transformatorima svih osnovnih sprega. Postupak je raz-vijen generalizacijom kompenzacionih postupaka, s procedurama sumiranja struja i korekcija na-pona, koji se izuzetno efikasno koriste za proračune simetričnih tokova snaga distributivnih mreža. To je bio osnovni zadatak teze. U okviru razvijenog postupka, poseban naglasak je stavljen na tre-tman transformatora i neuravnoteženih potrošača, naročito onih koji se napajaju s distributivnih transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdiš-tem.

Značajan dio teze je posvećen teorijskoj zasnovanosti kompenzacionih postupaka, s proce-

durama sumiranja struja i korekcija napona, korišćenih za proračune simetričnih tokova snaga. Dokazano je da oni predstavljaju vrlo sofisticiranu sintezu primjene oba Kirchhoff-ova zakona (metod konturnih struja) i Gauss/Seidel-ovog metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina. To je učinjeno radi toga da se prilikom generalizacije tih postupaka na proračune nesimetričnih re-žima neuravnoteženih mreža ide sigurnim putem. Dakle, generalizacija je izvršena prateći u pot-punosti ideje proračuna simetričnih tokova snaga i njihove teorijske zasnovanosti.

Verifikacijom performansi predloženog postupka, pokazano je da, u proračunima nesimet-

ričnih tokova snaga (ne)uravnoteženih distributivnih mreža, ne samo da nije nužno, već nije racio-nalno da se napuste izuzetno efikasni postupci razvijeni za proračune simetričnih tokova snaga, bez da se ispitaju sve njihove mogućnosti primjene.

Matematički model transformatora, čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili zvi-

jezdu sa izolovanim zvjezdištem, napisan saglasno s metodom nezavisnih potencijala čvorova, ima matricu admitansi koja je singularna. Ta singularnost je upravo uzrok nemogućnosti ažuriranja na-pona na sekundaru tih transformatora u proceduri korekcija napona. Kada bi se singularnost odgo-varajuće matrice modela transformatora izbjegla, tada problem ažuriranja napona na sekundaru u proceduri korekcija napona bio bi riješen. U tu svrhu, u četvrtoj glavi je predložen tretman potroš-nje u vidu konstantne impedanse/admitanse, što je saglasno s jednim načinom tretmana potrošača obrañenih u trećoj glavi elaborata. Dakle, u elaboratu je predložen način prevazilaženja problema ažuriranja napona na sekundaru transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem u proceduri korekcija napona. Rezultati proračuna potpuno za-dovoljavaju praktične zahteve korisnika rezultata proračuna tokova snaga.

Cilj ove teze nije bio da se zatvore svi problemi inherentni proračunima nesimetričnih to-

kova snaga, koji su nabrojani u Uvodu, već da se riješe samo dva najznačajnija problema – prvi i drugi od navedenih u Uvodu. Naime, u tezi je pokazano da:

1. Za proračune nesimetričnih tokova snaga nužno je da se prvo iskoriste sve pogodnosti izuzetno

efikasnih Gauss/Seidel-ovih iterativnih postupaka zasnovanih na procedurama sumiranja struja i korekcija napona, pa tek onda da se izlazi iz tih okvira. Odnosno, još uvijek je rano da se ti postupci zamijene postupcima zasnovanim na vrlo zahtjevnoj implicitnoj inverziji (LU faktori-zaciji) matrice admitansi mreže. Postupci zasnovani na procedurama sumiranja struja i korekci-ja napona nisu praktično osjetljivi na: 1) početnu aproksimaciju rješenja; 2) sprege transforma-tora i 3) uravnoteženost distributivne mreže.


95

2. Problem specifikacije snaga potrošnje trofaznih potrošača koji se napajaju s transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao, ili je bar jedan od namotaja povezan u zvijezdu sa izolova-nim zvjezdištem, riješen je njihovom zamenom konstantnim impedansama/admitansama.

Dakle, istraživanja problema nesimetričnih tokova snaga (ne)uravnoteženih distributivnih

mreža potrebno je da se usmjere ka sledećim, manje ili više složenim pitanjima koja su navedena u Uvodu elaborata:

• Problem proračuna distributivnih mreža s više SN nivoa koji su povezani uravnoteženim

transformatorima koji imaju sekundarne namotaje povezane u trougao, ili koji bar na jednoj njihovoj strani imaju namotaje povezane u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem.

• Kakav treba da bude tretman neuravnoteženih elemenata trofaznih distributivnih mreža

(neuravnoteženi potrošači, neuravnoteženi trofazni vodovi, neuravnoteženi trofazni tran-sformatori, transformatori sa sekundarima povezanim u trougao, sa srednjim otcjepom na jednom od namotaja koji je uzemljen, prisustvo dvofaznih vodova i monofaznih vodova i transformatora u distributivnoj mreži)?

• Pitanje specifikacije proizvodnje aktivne snage trofaznih distributivnih generatora i njihove

proizvodnje reaktivne snage, odnosno napona.

• Da li se standardnim tipovima čvorova – ΘV, PQ i PV – dovoljno dobro odslikava priroda nesimetričnih režima trofaznih distributivnih mreža?

• Tretman regulacionih transformatora s ručnom ili automatskom regulacijom pod optereće-

njem i transformatora s regulacijom u beznaponskom stanju (odnosno, tretman transforma-tora sa odnosima transformacije koji nisu nominalni).

• Tretman transformatora čiji odnosi transformacije ne mogu da se eliminišu primjenom sis-

tema relativnih vrijednosti.

• Problem koji se odnosi na specifikaciju proizvodnje aktivne snage trofaznih distributivnih generatora i njihove proizvodnje reaktivne snage, odnosno napona.

• Problem ogromnog broja različitih sprega uravnoteženih transformatora koje treba da se

modeluju i uvaže u algoritmima i softveru za proračun nesimetričnih tokova snaga. (Npr, samo sprega Dy ima šest: Dy1, 3, 5, 7, 9, 11, a svaka od njih ima dvije varijante – sa i bez uzemljenja zvjezdišta.)

• Izbor domena – fazni (s transformatorima realnih odnosa transformacije), ili domen simet-

ričnih komponenti (s transformatorima kompleksnih odnosa transformacije) – za obradu nesimetričnih tokova snaga trofaznih distributivnih mreža, a posebno mreža s dvofaznim i monofaznim dijelovima.

• Realizacija proračuna kvarova distributivnih mreža zasnovana na algoritmima razvijenim

za proračun tokova snaga (unifikacija proračuna tokova snaga i kvarova). Na kraju, ovdje se ističu sledeći osnovni doprinosi teze:

1. Utvrñena je teorijska zasnovanost postupaka za proračun simetričnih tokova snaga distributivnih mreža. Time je obezbjeñena platforma za njihovu pravilnu generalizaciju na proračune nesimetričnih tokova snaga.


96

2. Pokazano je da i za proračun nesimetričnih tokova snaga mogu da se u velikoj mjeri iskoriste

pogodnosti izuzetno efikasnih Gauss/Seidel-ovih iterativnih postupaka zasnovanih na proce-durama sumiranja struja i korekcija napona.

3. Predložena je specifikacija snaga potrošača koji se napajaju sa transformatora čiji su sekun-

darni namotaji povezani u trougao ili zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem, u vidu konstantne impedanse.

4. Predložen je jedan način prevazilaženja problema ažuriranja nulte komponente napona na se-

kundaru transformatora čiji su sekundarni namotaji povezani u trougao ili je bar jedan od na-motaja povezan u zvijezdu sa izolovanim zvjezdištem.

Literatura Predrag Vidović

97

8 LITERATURA: 1. L. Philipson, H. L. Willis, Understanding Electric Utilities and De-Regulation. USA:

New York, Marcel Dekker Inc., 1999.

2. V. Strezoski, Lj. Trpezanovski, “Three-Phase Asymmetrical Load-Flow”, Electrical Power & Energy Systems, No. 22, pp. 511-520, October, 2000.

3. C. A. Desoer, E. S. Kuh, Basic Circuit Theory. USA: McGraw-Hill Inc., 1969.

4. G. W. Stag, A. H. El-Abiad, Computer Methods in Power System Analysis. Japan: Tokyo, McGraw-Hill Kogakusha Ltd, 1968.

5. R. Bergen, Power Systems Analysis. New Jersey: Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, 1986.

6. B. Stott, O. Alsac, “Fast Decoupled Load Flow”, IEEE Trans. on PAS-93, No. 3, pp. 859-869, May/June, 1974.

7. V. Levi, D. Bekut, Primena računarskih metoda u elektroenergetici. Srbija: Novi Sad, Stilos, 1997.

8. Z. Stojaković, D. Herceg, Numeričke metode linearne algebre. Srbija: Beograd, Gra-ñevinska knjiga, 1988.

9. Р. Тьюaрсoн, Рaзреженные мaтрицы. СССР: Мoсквa, Мир, 1977.

10. W. F. Tinney, C. E. Hart, “Power Flow Solutions by Newton’s Method”, IEEE Trans. on PAS-86, No. 11, pp. 1449-1460, November, 1967.

11. C. L. Fortesque, “Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks”, AIEE Trans. 37, pp. 1027-1140, 1918.

12. J. Arillaga, C. P. Arnold, B. J. Harker, Computer Modeling of Electrical Power Systems. USA: John Wiley & Sons Ltd, 1983.

13. P. M. Anderson, Analysis of Faulted Power Systems. USA: Iowa State University Press, AMES, 1973.

14. G. Gross, H. W. Hong, “A Two-Step Compensation Method for Solving Short Circuit Problems“, IEEE Trans. on PAS-101, No. 6, pp. 1322-1331, June, 1982.

15. V. C. Strezoski, D. D. Bekut, “A Canonical Model for the Study of Faults in Power Systems”, IEEE Trans. on PS, Vol. 6, pp. 1493-1499, November 1991.

16. D. Popović, D. Bekut, V. Treskanica, Specijalizovani DMS algoritmi. Srbija: Novi Sad, DMS Grupa DOO za elektroenergetski inžinjering, 2004.

17. D. Shirmohammadi, H. W. Hong, A. Semlyen, G. X. Luo, “A Compensation-Based Power Flow Method for Weakly Meshed Distribution and Transmission Networks”, IEEE Trans. on PS, Vol. 7, pp. 753-762, May, 1988.

Literatura Predrag Vidović

98

18. G. X. Luo, A. Semlyen, “Efficient Load Flow for Large Weakly Meshed Networks”, IEEE Trans. on PS, Vol. 5, No. 4, pp. 1309-1316, November, 1990.

19. D. Rajičić, R. Taleski, “Two Novel Methods for Radial and Weakly Meshed Network Analysis”, Electric Power Systems Research 48, pp. 79-87, December, 1998.

20. ***, Distribution Systems. USA: East Pittsburgh, Westinghouse Electric Corporation, 1959.

21. T. Gonen, Electric Power Distribution System Engineering. USA: New York, New York McGraw-Hill, Inc, 1986.

22. C. S. Cheng, D. Shirmohammadi, “A Three-Phase Power Flow Solutions Method for Real-Time Distribution System Analysis”, IEEE Trans. on PS, Vol. 10, No. 2, pp. 671-679, May, 1995.

23. P. Xiao, D. C. Yu, W. Yan, “A Unified Three-Phase Transformer Model for Distribu-tion Load Flow Calculations”, IEEE Trans. on PS, Vol. 21, No. 1, pp. 153-159, February, 2006.

24. T. -H. Chen, M. -S. Chen, K. -J. Hwang, P. Kotas, E. A. Chebli, “Distribution System Power Flow Analysis – A Rigid Approach”, IEEE Trans. on PD, Vol. 6, No. 3, pp. 1146-1152, July, 1991.

25. X. Zhang, F. Soudi, D. Shirmohammadi, C. S. Cheng, “A Distribution Short Circuit Analysis Approach Using Hybrid Compensation Method”, IEEE Trans. PS, Vol. 10, pp. 2053-2059, November, 1995.

26. A. Tan, W. -H. E. Liu, D. Shirmohammadi, “Transformer and Load Modeling in Short Circuit Analysis for Distribution Systems”, IEEE Trans. on PS, Vol. 12, pp. 1315-1322, August, 1997.

27. D. Bekt, B. Mihić, Z. Grahovac, “Proračuni režima sa kratkim spojevima/prekidima u radijalnim distributivnim mrežama”, Elektroprivreda, br. 3, str. 47-58, Juli-Septembar, 2003.

28. B. Popović, Osnovi elektrotehnike 1 i 2. Srbija: Beograd, Nauka, 1998.

29. ***, Electrical Transmission and Distribution. USA: East Pittsburgh, Westinghouse Elec-tric Corporation, 1950.

30. S. Khushalani, J. M. Solanki, N. N. Schulz, “Development of Three-Phase Unbalanced Power Flow Using PV and PQ Models for Distributed Generation and Study of the Impact of DG Models“, IEEE Trans. on PS, Vol. 22, No. 3, pp. 1019-1025, August, 2007.

31. V. Strezoski, S. Milaković, Ekvivalentne šeme elektroenergetskih transformatora u analizi stacionarnih režima. Srbija: Novi Sad, Fakultet tehničkih nauka Novi Sad, EPS-JP “Elektrovojvodina”, MP “STYLOS”, 1998.

32. V. Strezoski “New Scaling Concept in Power System Analysis”, IEE Proc.-Gener. Transm. Distrib., Vol. 143, No. 5, pp. 399-406, September, 1996.

33. T. -H. Chen, M. -S. Chen, T. Inoue, P. Kotas, E. A. Chebli, “Three-Phase Cogenerator and Transformer Models for Distribution System Analysis”, IEEE Trans. on PD, Vol. 6, No. 4, pp. 1671-1681, October, 1991.

Prilozi Predrag Vidović

99

9 PRILOZI U ovoj glavi je izložena materija koja bi opterećivala osnovni tekst eleborata. U Dijelu 9.1

prikazani su Gauss-ov i Gauss/Seidel-ov iterativni metod za rješavanje sistema nelinearnih jedna-čina. Osim toga, izvedeni su: veza simetričnog režima direktnog redoslijeda i režima faze a trofaz-ne mreže – Dio 9.2, matrični reprezenti otočnih parametara transformatora – Dio 9.3 i matrični re-prezenti rednih parametara transformatora – Dio 9.4.

9.1 GAUSS-OV I GAUSS/SEIDEL-OV METOD ZA RJEŠAVANJE SIS-TEMA NELINEARNIH JEDNAČINA U ovom dijelu se razmatraju dva metoda za rješavanje sistema nelinearnih jednačina: 1 –

Gauss-ov i 2 – Gauss/Seidel-ov metod, koji se koriste za obradu modela distributivnih mreža. Oba metoda su iterativna. Pod iterativnim metodima se podrazumjeva da se sastoje od iteracija, a pod iteracijom se podrazumjeva postupak za sistematsku korekciju tekuće (raspoložive) aproksimacije rješenja radi dobijanja "bolje" aproksimacije rješenja sistema jednačina. Iterativnim metodima se ne dobijaju rješenja jednačina, već se tim rješenjima može prići po želji blizu (ako proračuni kon-vergiraju). Kada se sa aproksimacijom priñe onoliko blizu rješenju jednačine, koliko se unaprijed specificira, tada se ta aproksimacija proglašava rješenjem.

Razmatra se sistem od n algebarskih jednačina, sa n nepoznatih veličina:

( )nxxxxy ,...,,,f 32111 = ,

( )nxxxxy ,...,,,f 32122 = ,

M ( )nn xxxxy ,...,,,f 321n= ,

(9.1.1)

pri čemu su nepoznate veličine označene sa x1, x2, x3,...,xn, veličine y1, y2, y3,...,yn su poznate, a sa f1, f2, f3,...,fn označeni su analitički oblici desnih strana jednačina.

Ako u sistemu jednačina (9.1.1) postoje i linearne i nelinearne jednačine, onda linearne je-

dnačine mogu da se tretiraju na dva načina. Prvi način je da se linearne jednačine rješavaju simul-tano sa nelinearnim jednačinama – simultano rješavanje sistema od n jednačina. Drugi način je da se iz svake linearne jednačine izrazi po jedna varijabla pa da se onda tako izražena varijabla uvrsti u sve ostale jednačine. Na taj način, se sistem od n jednačina redukuje na sistem od n-l jednačina sa n-l nepoznatih varijabli, gdje l predstavlja broj linearnih jednačina.

9.1.1 Gauss-ov metod Ako jednačinama (9.1.1) može da se da sledeći oblik:


100

( )nxxxxx ,...,,,Φ 32111 = ,

( )nxxxxx ,...,,,Φ 32122 = ,

M ( )nn xxxxx ,...,,,Φ 321n= ,

(9.1.1.1)

onda Gauss-ov iterativni metod za rješavanje nelinearnih algebarskih jednačina glasi: ako se raspo-laže h-tom aproksimacijom rješenja:

hn

hhhh xxxx ,...,,, 321=x , h = 1, 2, ... (redni broj iteracije), (9.1.1.2)

onda se korekcija h-te aproksimacije rješenja izračunava se sledećim izrazima:

( )hn

hhhh xxxxx ,...,,,Φ 32111

1 =+ ,

( )hn


2 =+ ,

M ( )h

nhhhh

n xxxxx ,...,,,Φ 321n1 =+

(9.1.1.3)

Kada je h = 1, radi se o početnoj aproksimaciji, koja se obično zadaje po želji, koristeći se

iskustvom u rješavanju razmatranih sistema jednačina. Ako postupak konvergira (približava se rješenju), on se zaustavlja kada je:

− razlika izmeñu dvije uzastopne aproksimacije rješenja dovoljno "mala" i − kada je razlika izmeñu vrijednosti funkcija u tekućoj aproksimaciji rješenja i poznatih veli-

čina y dovoljno "mala",

odnosno, ako je:

xhi

hi xx ε≤−+1 ∧ ( ) y

hn

hhhii xxxxfy ε≤− ++++ 11

31

21

1 ,...,,, , ni ,...,3,2,1∈ , (9.1.1.4)

gdje su εx i εy proizvoljni, unaprijed specificirani realni pozitivni brojevi – kriterijumi konvergenci-je. Nakon zaustavljanja postupka, (h+1)-va aproksimacija rješenja se proglašava rješenjem razmat-ranog sistema. Kvalitet (tačnost) tog rješenja utoliko je veći, ukoliko su kriterijumi konvergencije strožiji (manji brojevi εx i εy).

Ako postupak nije konvergirao, onda se relacije (9.1.1.3) koriste za novu korekciju tekuće

– (h+1)-ve aproksimacije rješenja da bi se dobila nova – (h+2)-ga aproksimacija, itd. Kada je postupak zaustavljen zbog zadovoljenja kriterijuma (9.1.1.4), kaže se da je postu-

pak konvergirao. Utvrñivanje niza sukcesivnih aproksimacija rješenja koji vodi ka rješenju jedna-čina naziva se konvergencijom postupka. U slučaju da se iz aproksimacije rješenja ide u narednu tako što se apsolutne vrijednosti (9.1.1.4) stalno povećavaju, ili njihove vrijednosti "osciluju", on-da iterativni postupak divergira.


101

9.1.2 Gauss/Seidel-ov metod Ako se ponovo razmatra sistem jednačina (9.1.1) kome je dat oblik (9.1.1.1), onda Ga-

uss/Seidel-ov iterativni metod za rješavanje nelinearnih algebarskih jednačina glasi: ako se raspo-laže h-tom aproksimacijom rješenja:

h

nhhhh xxxx ,...,,, 321=x , (9.1.2.1)

onda se korekcija h-te aproksimacije rješenja izračunava sledećim izrazima:

( )h

nhhhh xxxxx ,...,,,Φ 3211

11 =+ ,

( )hn


121

2++ = ,

M ( )h

nhn

hhhhn xxxxxx ,,...,,,Φ 1

11

31

21

1n1 +

−++++ = .

(9.1.2.2)

Postupak se i ovdje započinje i zaustavlja na isti način kao u slučaju Gauss-ovog metoda. Dakle, u Gauss-ovom metodu se prilikom izračunavanja korigovane aproksimacije nepoz-

natih veličina koriste samo aproksimacije izračunate u prethodnoj iteraciji – relacije (9.1.1.3). U Gauss/Seidel-ovom metodu se za izračunavanja korigovane aproksimacije nepoznatih veličina ko-riste i korigovane aproksimacije nepoznatih veličina koje su već izračunate u tekućoj iteraciji – re-lacije (9.1.2.2). Ovaj momenat daje suštinsku prednost drugom u odnosu na prvi metod.

Gauss/Seidel-ov metod je u ovoj tezi korišćen u proračunu nesimetričnih tokova snaga dis-

tributivnih mreža. Jednačine koje se rješavaju predstavljaju relacije bilansa kompleksnih snaga u čvorovima mreže, a varijable su kompleksni naponi čvorova – stanje mreže.

9.2 VEZA SIMETRIČNOG REŽIMA DIREKTNOG REDOSLIJEDA I REŽIMA FAZE A

Razmatra se trofazna mreža u simetričnom režimu direktnog redoslijeda. Prema tome,

komponente režima inverznog i nultog redoslijeda jednake su nuli. Ako se za transformaciju faznih

veličina u simetrične komponente i obrnuto usvoje sledeće matrice A i 1A−ˆ , respektivno:

=

111

aa1

aa1

3

1ˆ 2

2

A ,

=−

1aa

1aa

111ˆ

2

21A , oj120ea = , (9.2.1)

onda se simetrične komponente svake trofazne veličine ( OID XXX ˆ,ˆ,ˆ ) transformišu u fazne

( CBA XXX ˆ,ˆ,ˆ ) na sledeći način:


102

=

−

O

I

D

C

B

A

X

X

X

X

X

X

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1A . (9.2.2)

Relacije (9.2.2) mogu da se napišu na sledeći način:

=

=

0

0

ˆ

1aa

1aa

111

ˆ

ˆ

ˆ

1aa

1aa

111

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

2

2

D

O

I

D

C

B

A X

X

X

X

X

X

X

, (9.2.3)

pošto su, kako je gore rečeno, simetrične komponente inverznog i nultog redosleda jednake nuli.

Dakle, kada se radi o simetričnom režimu direktnog redosleda, iz relacija (9.2.3) slijedi da je režim u fazi A isti s režimom "faze" D, odnosno:

DA XX ˆˆ = . (9.2.4)

Ova činjenica je od suštinskog značaja za domen simetričnih komponenti. Naime, kada se

razmatraju trofazni simetrični režimi, tada oni mogu da se tretiraju pofazno, dakle, da im se di-menzije modela smanje na trećinu. Otud i pofazni (monofazni) tretman simetričnih tokova snaga trofaznih mreža.

9.3 METOD KONTURNIH STRUJA Kao i metod nezavisnih potencijala čvorova, metod konturnih struja predstavlja specijalnu

sintezu primjene oba Kirchhoff-ova zakona za modelovanje električnih kola [28]. Neka se razmat-ra kolo sa n+1 čvorova, sa ubrojanim čvorom referentnog – nultog potencijala (zemlja) i ng grana. Matematički model tog kola, saglasan s metodom konturnih struja, konstituiše se na sledeći način:

Algoritam I – Konstituisanje matematičkog modela kola saglasno s metodom konturnih struja

1. Utvrñivanje broja kontura koje treba da se odrede: nk= ng–n (broj grana umanjen za broj čvoro-

va bez čvora referentnog potencijala). Konture koje sadrže granu koja ne pripada ni jednoj dru-goj konturi, nazivaju nezavisnim konturama.

2. Utvrñivanje nk kontura u razmatranom kolu, sa odgovarajućim referentnim smjerovima, tako da

ni jedna od kotura ne sadrži dvije grane sa idealnim strujnim izvorima:

2.1. Prvih nk1 kontura se odredi tako da ne sadrže ni jednu granu sa idealnim strujnim izvorom. 2.2. Drugih nk2 kontura (nk1 + nk2 = nk) odredi se tako da svaka od njih sadrži po jednu granu sa

idealnim strujnim izvorom. (Svaka od ovih kontura jeste nezavisna, pošto odgovarajuća grana sa idealnim strujnim izvorom pripada samo toj konturi.)

3. Matematički model kola se sastoji od jednačina konturnih struja zapisnih samo za one konture

koje ne sadrže grane sa idealnim strujnim izvorima (drugi Kirchhoff-ov zakon za svaku od tih kontura).


103

Proračun tako utvrñenog matematičkog modela se sastoji od sledećih koraka:

Algoritam II – Proračun matematičkog modela kola napisanog saglasno s metodom konturnih struja

1. Utvrñivanje vrijednosti konturnih struja u svim konturama za koje nisu zapisane jednačine kon-

turnih struja: one su jednake strujama odgovarajućih (jedinstvenih) idealnih strujnih izvora u granama tih kontura, sa istim znakom ako se referentni smjerovi struja idealnih strujnih izvora i kontura poklapaju i sa suprotnim znakom ako se ne poklapaju.

2. Rješavanje sistema jednačina konturnih struja po preostalim nepoznatim konturnim strujama. 3. Izračunavanje struja grana:

3.1. U okviru nezavisnih kontura, struje grana koje ne pripadaju drugim konturama jednake su konturnim strujama tih kontura, sa istim znakom ako se referentni smjerovi konturnih struja i struja grana poklapaju i suprotnim znakom ako se ne poklapaju.

3.2. Struje grana koje istovremeno pripadaju različitim konturama jednake su sumi konturnih

struja tih kontura, gde se svaka konturna struja, čiji se referentni smjer poklapa sa referent-nim smjerom struje grane, uzima sa znakom plus, a sa znakom minus kada se ti smjerovi ne poklapaju.

4. Izračunavanje napona čvorova u odnosu na čvor nultog potencijala, koristeći se strujama grana

(drugi Kirchhoff-ov zakon za svaku granu). Na osnovu ovih razmatranja može da se zaključi: Ako se razmatra kolo u kojem su sve iza-

brane konture nezavisne i ako se u grani svake konture koja ne pripada ni jednoj od ostalih kontura nalazi idealan strujni izvor, onda se za modelovanje tog kola primjenom metoda konturnih struja ne piše ni jedna konturna jednačina (korak 3 Algoritma I). Konturne struje su jednake strujama od-govarajućih idealnih strujnih izvora (korak 1 Algoritma II), pa struje u ostalim granama mogu da se direktno računaju na osnovu tako poznatih konturnih struja (korak 3 Algoritma II) i da se odmah preñe na proračun napona kola (korak 4 Algoritma II). Upravo ova razmatranja važe za obradu svake iteracije proračuna radijalnih distributivnih mreža opisanih u drugoj glavi. Primjer takve ob-rade slijedi.

Razmatra se kolo prikazano na slici 9.3.1. Primjenom metoda konturnih struja potrebno je

da se proračuna režim u kolu, ako je poznata eksitacija koju čine elektromotorna sila idealnog na-

ponskog izvora 1E i idealni strujni izvori sa strujama 321ˆ,ˆ,ˆsss III .

Saglasno s korakom 1 Algoritma I, kolo prikazano na slici 9.3.1 ima tri nezavisne konture

(nk = ng – n = 7 – 4 = 3), od kojih svaka sadrži po jedu granu sa idealnim strujnim izvorom. Zato: nk1 = 0, nk2 = nk – nk1 = 3 – 0= 3 – korak 2 Algoritma I. Te konture (svaka sa odgovarajućom gra-nom koja sadrži idealan struji izvor) – I, II i III, kao i njihovi izabrani referentni smjerovi, prikaza-ne su na slici 9.3.2. Sve tri konture su nezavisne – korak 1 Algoritma I.

Pošto u svakoj od utvrñenih kontura postoji grana sa idealnim strujnim izvorom, ne treba

da se pišu jednačine konturnih struja, nego su konturne struje jednake strujama idealnih strujnih izvora (korak 3 Algoritma I i korak 1 Algoritma II):


104

3U

4U

2U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z

'2I

'3I

'4I

3ˆ

sI

4ˆ

sI

2ˆ

sI 1E

0

Slika 9.3.1 – Razmatrano kolo.

3U

4U

2U

1 2

3

4

2Z

3Z

4Z

'2I

'3I

'4I

3ˆ

sI

4ˆ

sI

2ˆ

sI 1E

0

Slika 9.3.2 – Razmatrano kolo sa označenim nezavisnim konturama.

II

I

III

4ˆˆsI II = ,

3ˆˆsII II = ,

2ˆˆsIII II = .

(9.3.1)


105

Kada su odreñene konturne struje, potrebno je da se izračunaju struje grana. Saglasno s ko-rakom 3 Algoritma II, struje grana glase:

III ˆˆ'4 = ,

IIII ˆˆ'3 = ,

IIIIII IIII ˆˆˆˆ'2 ++= ,

(9.3.2)

odnosno:

4'4

ˆˆsII = ,

3'3

ˆˆsII = ,

'4

'32

'2

ˆˆˆˆ IIII s ++= .

(9.3.3)

Saglasno s korakom 4 Algoritma II, naponi čvorova u odnosu na čvor nultog potencijala

računaju se primjenom drugog Kirchhoff-ovog zakona:

'2212


'3323


'4424

ˆˆˆˆ IZUU −= .

(9.3.4)

Odreñivanjem napona čvorova proračunat je režim razmatranog kola – slika 9.3.1, primje-

nom metoda konturnih struja. Potrebno je da se primjeti da su konture u razmatranom kolu mogle (i morale) da se izaberu

tako da nije trebalo da se eksplicira ni jedna jednačina konturnih struja, a da se konturne struje od-rede (izračunaju). Poslije toga, struje grana su direktno odreñene iz već odreñenih konturnih struja, pa se praktično direktno prišlo proračunu napona čvorova.

9.4 OTOČNI PARAMETRI TRANSFORMATORA Kod trofaznog uravnoteženog transformatora, matrica impedansi/admitansi magnećenja

svedenih na izabranu stranu transformatora, u domenu simetričnih komponenti, dijagonalna je ma-trica, tj. može da se napiše u sledećem obliku [31]:

=o

m

dm

dm

Y

Y

Y

ˆ00

0ˆ0

00ˆ

ˆ diomY . (9.4.1)


106

Sa dmY su označene meñusobno jednake admitanse magnećenja transformatora za simetrič-

ne režime direktnog i inverznog redoslijeda (recipročne vrijednosti impedansi magnećenja). Sa omY

je označena admitansa magnećenja za simetričan režim nultog redoslijeda. Ona je različita od nule samo kod transformatora čiji su namotaji bar na jednoj njegovoj strani povezani u zvijezdu koja je-ste uzemljena. Kada je samo jedna strana transformatora tako povezana i uzemljena, tada se upra-vo na toj strani prikazuju admitanse magnećenja transformatora. U slučaju sprege YNyn, sa

0ˆ ≠omY , admitanse magnećenja mogu da se prikažu na strani izabranoj po želji.

Matrica admitansi magnećenja u faznom domenu, svedena na izabranu stranu transforma-

tora, dobija se sledećom transformacijom matrice (9.4.1):

AYAY diom

1abcm

ˆˆˆˆ −= , (9.4.2)

pri čemu su matrice A i 1A−ˆ definisane relacijama (9.2.1), odakle se dobija sledeća cirkularna i simetrična matrica:

++−+−

+−++−

+−+−+

=o

md

mo

md

mo

md

m

om

dm

om

dm

om

dm

om

dm

om

dm

om

dm

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

ˆˆ2ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ2ˆˆ

ˆˆˆˆˆˆ2

3

1ˆ abcmY , (9.4.3)

koja je na slici 3.3.1 označena sa okY odnosno oKY , zavisno od strane prikaza magnećenja.

9.5 REDNI PARAMETRI TRANSFORMATORA

Šema trofaznog uravnoteženog transformatora sprege Dyn5 u domenu relativnih vrijednos-

ti, data je na slici 9.5.1 [32]. Otočni parametri transformatora pridruženi su čvorovima u kojima su primar i sekundar transformatora priključeni na mrežu.

D

I

O

d

i

o

0

Z

Z

DI

II

0ˆ =OI DU

OU

dU

iU

oU

IU

dI

iI

oI

1:e π/65j

1:e π/67j

Z

Slika 9.5.1 – Pogonska šema transformatora sprege Dyn5 u domenu relativnih vrijednosti.


107

Matematički model kola sa slike 9.5.1 glasi:

.ˆˆˆ

,0ˆ

,êˆ

,êˆˆˆ

,êˆ

,êˆˆˆ

6/π7j

6/π7j

6/π5j

6/π5j

oo

O

iI

iII

dD

dDD

IZU

I

II

UIZU

II

UIZU

−=

=

=

=−

=

=−

(9.5.1)

Iz prve relacije modela (9.5.1) može da se izrazi struja DI , iz druge relacije struja dI , iz

treće relacije struja II , iz četvrte realcije struja iI , a iz šeste relacije struja oI :

.ˆ

ˆˆ

,0ˆ

,ˆ

êêˆ

,ˆ

êˆˆ

,ˆ

êêˆ

,ˆ

êˆˆ

6/π7j6/π7j-

6/π7j

6/π5j6/π5j-

6/π5j

Z

UI

I

Z

UUI

Z

UUI

Z

UUI

Z

UUI

oo

O

iIi

iII

dDd

dDD

−=

=

−=

−=

−=

−=

(9.5.2)

Odgovarajući matematički model, napisan saglasno s metodom nezavisnih potencijala čvo-

rova, glasi:

−

−

−

−

=

−

−

−

o

i

d

O

I

D

o

i

d

O

I

D

U

U

U

U

U

U

Z

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

I

I

I

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1/00000

0ˆ1/00ˆ/e0

00ˆ/100ˆ/e

000000

0ˆ/e00ˆ1/0

00ˆ/e00ˆ/1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

6/π7j-

6/π5j-

6/π7j

6/π5j

. (9.5.3)

Parcionisanjem, matrična relacija (9.5.3) može da se ekvivalentno prikaže sa sledeće dvije

matrične relacije, svaka sa upola manjim dimenzijama:

−

−

+

=

o

i

d

O

I

D

O

I

D

U

U

U

Z

Z

U

U

U

Z

Z

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/e0

00ˆ/e

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/10

00ˆ/1

ˆ

ˆ

ˆ6/π7j

6/π5j

, (9.5.4a)


108

+

−

−

=

−

−

−

o

i

d

O

I

D

o

i

d

U

U

U

Z

Z

Z

U

U

U

Z

Z

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1/00

0ˆ/10

00ˆ/1

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/e0

00ˆ/e

ˆ

ˆ

ˆ6/π7j-

6/π5j-

. (9.5.4b)

Transformacija ovog modela iz domena simetričnih komponenti u domen faznih veličina

vrši se na sledeći način, koristeći se matricama transformacije A i 1A−ˆ (9.2.1):

−

−

+

=

−−

c

b

a

C

B

A

C

B

A

U

U

U

Z

Z

U

U

U

Z

Z

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/e0

00ˆ/eˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/10

00ˆ/1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ6/π7j

6/π5j

AAAA 11 , (9.5.5a)

+

−

−

=

−

−

−−−

c

b

a

C

B

A

c

b

a

U

U

U

Z

Z

Z

U

U

U

Z

Z

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1/00

0ˆ/10

00ˆ/1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

000

0ˆ/e0

00ˆ/eˆ

ˆ

ˆ

ˆ6/π7j-

6/π5-j

AAAA 11 , (9.5.5b)

odnosno:

−

−

−

+

−−

−−

−−

=

c

b

a

C

B

A

C

B

A

U

U

U

ZZ

ZZ

ZZ

U

U

U

ZZZ

ZZZ

ZZZ

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ/1ˆ/10

0ˆ/1ˆ/1

ˆ/10ˆ/1

3

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ/2ˆ/1ˆ/1

ˆ/1ˆ/2ˆ/1

ˆ/1ˆ/1ˆ/2

3

1

ˆ

ˆ

ˆ

, (9.5.6a)

+

−

−

−

=

−

−

−

c

b

a

C

B

A

c

b

a

U

U

U

Z

Z

Z

U

U

U

ZZ

ZZ

ZZ

I

I

I

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ1/00

0ˆ/10

00ˆ/1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ/10ˆ/1

ˆ/1ˆ/10

0ˆ/1ˆ/1

3

1

ˆ

ˆ

ˆ

. (9.5.6b)

Matrice koje su na slici 3.3.1 označene sa KKY , KkY , kKY i kkY glase:

,ˆ1/00

0ˆ/10

00ˆ/1ˆ,

ˆ/10ˆ/1

ˆ/1ˆ/10

0ˆ/1ˆ/1

3

1ˆ

,ˆ/1ˆ/10

0ˆ/1ˆ/1

ˆ/10ˆ/1

3

1ˆ,ˆ/2ˆ/1ˆ/1

ˆ/1ˆ/2ˆ/1

ˆ/1ˆ/1ˆ/2

3

1ˆ

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−−

−−

−−

=

Z

Z

Z

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

kkkK

KkKK

YY

YY

(9.5.7)

odnosno,


109

,ˆ

100

010

001ˆ,ˆ

101

110

011

3

1ˆ

,ˆ

110

011

101

3

1ˆ,ˆ

211

121

112

3

1ˆ

YY

YY

=

−

−

−

=

−

−

−

=

−−

−−

−−

=

kkkK

KkKK

YY

YY

(9.5.8)

gdje je ZY ˆ/1ˆ = .

Na osnovu (9.5.8), očigledno je da su matrice kKKkKK YYY ˆiˆ,ˆ , kada je u pitanju transfor-

mator sprege Dyn5, singularne. Jedina regularna matrica jeste kkY . Na isti način mogu da se izvedu modeli trofaznih transformatora sa svim ostalim spregama.

sadržaj predrag vidović - studentiees.files.wordpress.com · pomaka, koje unose trofazni...

Documents