primjena metode sila na prostorno-ravninski ......metoda sila nam omogućava da u slučaju...

SVEUČILIŠTE U SPLITU

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

ZAVRŠNI RAD

PRIMJENA METODE SILA NA

PROSTORNO-RAVNINSKI SUSTAV S

UKLJUČENIM UTJECAJEM SMICANJA

Petar Ilić

Split, rujan 2019.

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I

BRODOGRADNJE

Preddiplomski sveučilišni studij: Strojarstvo

Smjer/Usmjerenje:

Oznaka programa: 130

Akademska godina: 2018/2019.

Ime i prezime: PETAR ILIĆ

Broj indeksa: 322-2016

ZADATAK ZAVRŠNOG RADA

Naslov: PRIMJENA METODE SILA NA PROSTORNO-RAVNINSKI SUSTAV S

UKLJUČENIM UTJECAJEM SMICANJA

Zadatak: U teorijskom dijelu rada, proučiti prostorno-ravninske sustave štapova te dati

kratki opis metode sila. Metodu sila primjeniti pri rješavanju numeričkih primjera

prostorno-ravninskih sustava štapova pri čemu će se uključiti i utjecaj smicanja.

Prijava rada: 04.03.2019.

Rok za predaju rada: 19.09.2019.

Rad predan: 11.09.2019.

Datum obrane: 18.09.2019.

Mentor:

Prof. dr. sc. Frane Vlak

IZJAVA

Ovom izjavom potvrđujem da sam završni rad s naslovom (PRIMJENA METODE SILA NA PROSTORNO-RAVNINSKI SUSTAV S UKLJUČENIM UTJECAJEM SMICANJA) pod mentorstvom (Prof. dr. sc. Frane Vlaka) pisao samostalno, primijenivši znanja i vještine stečene tijekom studiranja na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, kao i metodologiju znanstveno-istraživačkog rada te uz korištenje literature koja je navedena u radu. Spoznaje, stavove, zaključke, teorije i zakonitosti drugih autora koje sam izravno ili parafrazirajući naveo u završnom radu citirao sam i povezao s korištenim bibliografskim jedinicama.

Student

Petar Ilić

Izjava:

Zahvaljujem se profesorici dr. sc. Branki Primorac Bužanćić na savjetima i konzultacijama

prilikom izrade završnog rada, a koje su se ticale kako teorijskog dijela rada tako i provjere

svih rješenja.

1

Sadržaj

1 UVOD .............................................................................................................................2

2 PROSTORNO-RAVNINSKI SUSTAV ŠTAPOVA ........................................................3

2.1 Vrste sustava štapova ...............................................................................................3 2.2 Veze između štapova ................................................................................................4

2.3 Stupanj slobode ........................................................................................................4 2.4 Statička neodređenost ...............................................................................................5

2.5 Simetrija sustava ......................................................................................................5

3 METODA SILA ..............................................................................................................8

3.1 Osnovni sustav metode sila .......................................................................................8

3.2 Kanonske jednadžbe metode sila ..............................................................................8

4 PRIMJER ...................................................................................................................... 11

4.1 Simetrični prostorno-ravninski statički neodređeni sustav ....................................... 11

4.2 Prostorno-ravninski statički neodređen sustav simetrično i antisimetrično opterećen

11

4.3 Osnovni sustavi metode sila.................................................................................... 13 4.4 Kontinuirano simetrično opterećenje bez utjecaja smicanja..................................... 14

4.5 Kontinuirano simetrično opterećenje s utjecajem smicanja ..................................... 23 4.6 Kontinuirano antisimetrično opterećenje bez utjecaja smicanja ............................... 34

4.7 Kontinuirano antisimetrično opterećenje s utjecajem smicanja ................................ 43 4.8 Rješenje primjera.................................................................................................... 52

4.8.1 Bez uključenog utjecaja smicanja .................................................................... 52 4.8.2 S uključenim utjecajem smicanja ..................................................................... 55

5 ZAKLJUČAK ............................................................................................................... 57

6 LITERATURA .............................................................................................................. 58

7 POPIS OZNAKA I KRATICA ...................................................................................... 59

8 SAŽETAK .................................................................................................................... 60

9 Dodatak ......................................................................................................................... 62

2

1 UVOD

Cilj ovog rada je prikazati utjecaj smicanja na raspodjele unutrašnjih sila zadanog prostorno-

ravninskog sustava štapova. Kao raspodjele unutrašnjih sila razmatraju se raspodjele

momenata savijanja My i uvijanja Mt te poprečnih sila Qz. Zadani prostorno-ravninski sustav

štapova biti će prikazan u obliku statički neodređenog simetričnog roštilja opterećenog

jednoliko raspodijeljenim opterećenjem (simetrično i antisimetrično). Određivanje raspodjele

unutrašnjih sila odnosno cijela analiza prostorno-ravninskog sustava štapova izvršit će se

metodom sila koja je pogodna za analizu statički neodređenih sustava. Metoda sila nam

omogućava da u slučaju opterećene simetrične konstrukcije primjenom metode superpozicije

rastavimo opterećenje na simetrični i antisimetrični dio. Za prostorno-ravninski sustav štapova

simetrija sustava predstavlja geometrijsku sličnost sustava u odnosnu na jednu ravninu ili

dvije ravnine simetrije. Zadani sustav štapova ima dvije ravnine simetrije te će se analizirati

jedan dio sustava koji predstavlja četvrtinu sustava, a ukupna raspodjela unutrašnjih sila dobit

će se superpozicijom dijelova.

3

2 PROSTORNO-RAVNINSKI SUSTAV ŠTAPOVA

2.1 Vrste sustava štapova

Ravninski sustav štapova je skup štapova koji su međusobno i za podlogu vezani na različit

način, a čije uzdužne osi leže u jednoj ravnini koja se naziva ravnina sustava. Ta ravnina je

ujedno i glavna ravnina poprečnih presjeka svih štapova i u njoj leže sve vanjske sile,

uključujući i reakcije oslonca(sl. 2.1.a)[1].

Prostorno-ravninski sustav štapova je skup štapova koji su međusobno vezani na različit

način, a čije uzdužne osi leže u jednoj ravnini koja je ujedno i glavna ravnina poprečnih

presjeka svih štapova, kao kod ravninskog sustava, dok vanjske sile djeluju okomito na

ravninu sustava, uključujući reakcije oslonca(sl. 2.1.b)[1].

Prostorni sustav štapova je sustav štapova koji nije definiran ni kao ravninski ni kao

prostorno-ravninski(sl. 2.1.c)[1].

Slika 2.1. Vrste sustava štapova [1]

4

2.2 Veze između štapova

Kod prostorno-ravninskog sustava štapova štapovi mogu biti vezani na slijedeće načine:

Kruti čvor – onemogućuje promjenu kuta između uzdužnih osi štapova u ravnini

sustava (sl. 2.2.c)

Sferni zglob – omogućuje slobodnu promjenu kuta uzdužnih osi štapova u ravnini

okomitoj na ravninu sustava, te rotaciju poprečnih presjeka oko uzdužnih osi štapova

(ne prenosi moment savijanja i moment uvijanja) (sl. 2.2.a)

Cilindrični zglob – za razliku od sfernog ne omogućuju rotaciju poprečnih presjeka

oko uzdužnih osi štapova (prenose moment uvijanja)

Torzijski zglob – omogućuje rotaciju poprečnih presjeka u zglobovima oko uzdužnih

osi štapova (ne prenose moment uvijanja)(sl. 2.2.d)

Poprečno translacijski zglob – omogućuje translaciju poprečnih presjeka u zglobu u

ravnini koja je okomita na ravninu sustava (ne prenose poprečnu silu)(sl. 2.2.b)

Slika 2.2. Veze između štapova[1]

2.3 Stupanj slobode

Stupnjem slobode sustava naziva se kinematička karakteristika koja predstavlja najmanji broj

nezavisnih parametara s pomoću kojih je moguće odrediti položaj svih točaka sustava, kao

krutog tijela[1].

Slobodno kruto tijelo u ravninskom te prostorno-ravninskom sustavu ima tri stupnja

slobode.

Ravninski sustav štapova kao i prostorno-ravninski sustav štapova koji se mogu definirati

kao kruta tijela s pomoću samo tri podatka nazivaju se kinematički (geometrijski)

nepromjenljivim sustavima.

Veze koje kada se uklone iz kinematički nepromjenljivog sustava pretvaraju sustav u

kinematički promjenljiv nazivaju se potrebnim vezama[1].

Stupanj slobode sustava štapova, za slučaj samo zglobnih veza kod prostorno-ravninskog

sustava, računa se pomoću izraza:

S = P – 3K (2.1)

5

gdje je:

P prividan broj sfernih zglobova,

K broj nezavisnih zatvorenih krutih kontura

U slučaju da je stupanj slobode pozitivan (S>0) tada sustav nema potreban broj veza,

kinematički je promjenljiv i predstavlja mehanizam.

U slučaju da je stupanj slobode jednak nuli (S=0) tada sustav ima potreban broj veza, koje ako

se pravilno rasporede, mogu osigurati kinematsku nepromjenljivost sustava. Komponente

unutrašnjih sila u svim štapovima mogu se odredit iz uvjeta statičke ravnoteže.

U slučaju da je stupanj slobode manji od 0 (S<0) sustav je kinematički nepromjenljiv, ali

pored potrebnih veza ima i dodatnih ili prekobrojnih veza. Komponente unutrašnjih sila ne

mogu se odredit iz uvjeta statiče ravnoteže. Sustav je statički neodređen.

2.4 Statička neodređenost

Statički neodređen sustav naziva se sustav kod kojeg se komponente unutarnjih sila ne mogu

odrediti u svim štapovima uz pomoć uvjeta ravnoteže[1].

Kinematički nepromjenjiv sustav koji sadrži dodatne ili prekobrojne veze statički je

neodređen. Broj prekobrojnih veza odgovara stupnju statičke neodređenosti:

D = -S (2.2)

Vezano za prostorno-ravninski sustav, izraz (2.1), može se napisati i kao:

D =3K - P (2.3)

2.5 Simetrija sustava

Simetrija sustava štapova za prostorno-ravninski slučaj predstavlja geometrijsku sličnost u

odnosu na ravninu ili dvije ravnine. Prednost koju nam daje simetrija sustava jest što

proizvoljno opterećenje (sl. 2.3.a) možemo rastaviti na simetrično (sl. 2.3.b) i antisimetrično

(sl. 2.3.c) (u odnosu na os ili ravninu simetrije sustava).

6

Slika 2.3. Simetrija prostorno-ravninskog sustava štapova [1]

Komponente unutarnjih sila simetrične su ili antisimetrične po definiciji, u odnosu na presjek

kojem djeluju. Za prostorno-ravninski sustav sila, za ravninu sustava štapova u ravnini Oxy,

moment savijanja My simetrična je komponenta, dok su poprečna sila Qz i moment uvijanja

Mt antismetrične komponente.

Slika 2.4. Komponente unutarnjih sila kod simetrije prostorno-ravninskog sustava štapova [1]

U ravnini simetrije sustava štapova antisimetrične komponente moraju biti jednake nuli pri

simetričnom opterećenju, dok simetrične komponente moraju biti jednake nuli pri

antisimetričnom opterećenju.

Kod simetrije sustava štapova može se promatrati samo polovica sustava. U presjeku u

ravnini simetrije, treba dodati poprečne translacijske zglobove (sl. 2.2.b), kod kojih su

poprečne sile jednake nuli pri simetričnom opterećenju sustava.

Kod antisimetrije sustava treba dodati sferne zglobove kod koji su momenti savijanja jednaki

nuli (sl.2.2a).

7

Stupanj slobode sustava za polovicu simetričnog prostorno-ravninskog sustava računa se

pomoću sljedeće formule:

S = P – 3K + RQ + RT (2.4.)

gdje je :

RQ-broj poprečnih translacijskih zglobova

RT-broj torzijskih zglobova

8

3 METODA SILA

3.1 Osnovni sustav metode sila

Metoda sila svodi se na oslobađanje zadanog statički neodređenog sustava prekobrojnih veza

tako da se dobije sustav koji je kinematički nepromjenjiv i statički određen, koji se naziva

osnovnim sustavom (ekvivalentnim statički određenim sustavom)[1].

Osnovni sustav bit će ekvivalentan zadanom ako se na mjestu uklonjenih prekobrojnih veza

dodaju odgovarajuće poopćene sile[1]. Pod poopćenom silom Qi razumijeva se bilo sila u

užem smislu F bilo spreg sila momenta M[1].

Određivanje osnovnog sustava nije jednoznačan zadatak. Svodi se na formiranje osnovnog

sustava kao sustava konzola, statički određenih nosača ili statički određenih okvira[1].

Kinematičku nepromjenljivost okvira treba, u pravilu, provjeriti.

Za prostorno-ravninski sustav štapova kinematička nepromjenljivost osnovnog sustava

provjerava se pomoću izraza (2.4.).

3.2 Kanonske jednadžbe metode sila

Nakon postavljanja osnovnog sustava dobiveni sustav se definira pomoću kanonskih

jednadžba metode sila koje se zapisivaju na sljedeći način u obliku matričnog zapisa:

FX + qF = 0

(3.1.)

Gdje je;

F – matrica podatnosti

X – vektor nepoznanica

qF – vektor slobodnih članova

Broj jednadžbi odgovara stupnju statičke neodređenosti zadanog sustava.

9

Koeficijenti podatnosti i poopćeni pomaci računaju se prema izrazima:

𝑓𝑖𝑗 = ∑ ∫ (��𝑦𝑖

��𝑦𝑗

𝐸𝐼+

��𝑡𝑖��𝑡𝑗

𝐺𝐼𝑡+ 𝜘𝑧

��𝑧𝑖��𝑧𝑗

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

𝑚

1

𝑑𝑥

(3.2.)

𝑞𝑖𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦𝑖

��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡𝑖��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡+ 𝜘𝑧

��𝑧𝑖��𝑧𝐹

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

𝑚

1

𝑑𝑥

(3.3.)

gdje je:

Myi – raspodjela momenta savijanja uslijed jedinične poopćene sile na mjestu „i“

MyF – raspodjela momenta savijanja uslijed djelovanja zadanog opterećenja

Mti – raspodjela momenta uvijanja uslijed jedinične poopćene sile na mjestu „i“

MtF – raspodjela momenta uvijanja uslijed djelovanja zadanog opterećenja

Qzi – raspodjela poprečne sile uslijed jedinične poopćene sile na mjestu „i“

QzF – raspodjela poprečne sile uslijed djelovanja zadanog opterećenja

𝜘𝑧 – faktor smicanja-omjer maksimalnog tangencijalnog naprezanja i srednjeg

tangencijalnog naprezanja u poprečnom presjeku

EIy – savojna krutost nosača

GIt – torzijska krutost nosača

E – Youngov modul elastičnosti

G – modul smicanja

Iy – aksijalni moment tromosti površine u odnosu na os y

It – polarni moment otpora

11

4 PRIMJER

4.1 Simetrični prostorno-ravninski statički neodređeni sustav

Kao primjer za rješavanje statički neodređene konstrukcije pomoću metode sila poslužit će

roštilj s dvije ravnine simetrije koji je proizvoljno opterećen(sl. 4.1.)[1].

Slika 4.1. Zadani statički neodređen sustav [1]

P = 28, K = 13 ; D = 3K – P = 3*13 – 28 = 11

4.2 Prostorno-ravninski statički neodređen sustav simetrično i antisimetrično

opterećen

Pomoću izraza (2.1.) utvrđeno je da je zadani prostorno-ravninski sustav 11 puta statički

neodređen. Da bi, zbog što jednostavnijeg proračuna, smanjili statičku neodređenost

proizvoljno opterećenje će se pomoću navedenih ravnina simetrije raspodijeliti na

simetrično(a)) i antisimetrično(b)) opterećenje.

Simetrično opterećen prostorno-ravninski sustav dobit ćemo ako proizvoljno kontinuirano

opterećenje vrijednosti 2q koje je raspodijeljeno na polovici poprečnih štapova definiramo

kao kontinuirano opterećenje duž cijelih poprečnih štapova s vrijednošću q(sl. 4.2.).

Antisimetrično opterećen prostorno-ravninski sustav dobit ćemo na isti način samo što

umjesto kontinuiranog opterećenja s istim predznakom duž cijelog poprečnog štapa od

polovice štapa, odnosno od ravnine simetrije, opterećenje će djelovati u suprotnom

smjeru(sl.4.3).

12

Slika 4.2. Simetrični roštilj sa simetričnim opterećenjem [1]

P = 8, RQ = 3, RT = 1, K = 5 : D = 3K – P – RQ – RT = 3*5 – 8 – 3 – 1 = 3

Slika 4.3. Simetrični roštilj sa antisimetričnim opterećenjem [1]

P = 13, RQ = 0, RT = 0, K = 5 : D = 3K – P – RQ – RT = 3*5 – 13 = 2

13

4.3 Osnovni sustavi metode sila

Nakon što je statički neodređen sustav pojednostavljen te mu je smanjena statička

neodređenost za oba slučaja, zadani sustav treba pretvoriti u osnovni sustav metode sila za

oba slučaja. Na mjesto uklonjenih prekobrojnih veza dodat će se odgovarajuće poopćene sile.

Slika 4.4. Statički neodređeni sustavi [1]

14

4.4 Kontinuirano simetrično opterećenje bez utjecaja smicanja

Potrebno je odrediti raspodjelu momenata savijanja triput statičkog neodređenog simetričnog

roštilja opterećenog simetričnim kontinuiranim opterećenjem. Zadano: q, l, I, 𝑙, 𝐼 , 𝐼��, E, G.

sl. 4.5. Statički neodređen sustav simetrično opterećen

sl. 4.6. Osnovni sustav

Osnovni sustav (sl. 4.6.) glasi

𝑓11 ⋅ 𝑋1 + 𝑓12 ⋅ 𝑋2 + 𝑓13 ⋅ 𝑋3 + 𝑞1𝐹 = 0

𝑓21 ⋅ 𝑋1 + 𝑓22 ⋅ 𝑋2 + 𝑓23 ⋅ 𝑋3 + 𝑞2𝐹 = 0

𝑓31 ⋅ 𝑋1 + 𝑓32 ⋅ 𝑋2 + 𝑓33 ⋅ 𝑋3 + 𝑞3𝐹 = 0

15

sl. 4.7. Raspodjela momenata savijanja i uvijanja

Koeficijenti podatnosti određeni su izrazom(3.2) te Vereščaginovim pravilom

𝑓11 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦1

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡1

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼[(

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) (

2

3⋅

𝑙

4) + (

𝑙

4⋅

𝑙

4) (

𝑙

4)] +

1

𝐸𝐼(−

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (−

2

3⋅

𝑙

2) =

𝑙3

24𝐸𝐼+

(𝑙)3

24𝐸𝐼

16

𝑓12 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡2

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ (

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (−1) = −

𝑙2

8𝐸𝐼

𝑓13 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡3

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ [(

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (

2

3⋅

𝑙

4) + (

𝑙

4⋅

𝑙

4+

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (

𝑙

4)]

= 11𝑙3

192𝐸𝐼

𝑓22 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡2

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼(−1 ⋅

𝑙

4) ⋅ (−1) +

1

𝐺𝐼��⋅ (1 ⋅

𝑙

2) ⋅ (1)

=𝑙

2𝐸𝐼+

𝑙

2𝐺𝐼��

𝑓23 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡3

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ [(

𝑙

4⋅

𝑙

4+

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (−1)] = −

3𝑙2

16𝐸𝐼

𝑓33 = ∑ ∫ (��𝑦3��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡3��𝑡3

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ (

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (

2

3⋅

𝑙

2) +

2

𝐸𝐼(−

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (−

2

3⋅

𝑙

2)

= 𝑙3

12𝐸𝐼+

(𝑙)3

12𝐸𝐼

Slobodni članovi određeni su izrazom (3.3) te Vereščaginovim pravilom:

𝑞1𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 1

𝐸𝐼 ⋅ (

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞⋅(𝑙)2

8) ⋅ (−

5⋅𝑙

16) = − 5𝑞(𝑙)4

384𝐸𝐼

𝑞2𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 0

𝑞3𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦3��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡3��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ (

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞⋅(𝑙)2

16) ⋅ (−

5⋅𝑙

16) = − 5𝑞(𝑙)4

384𝐸𝐼

17

Za

𝑘 =𝐼

𝐼(

𝑙

𝑙)

3

= 1 𝑘1 =𝑙

𝑙⋅

𝐼

𝐼��= 1 ��2 =

𝑙

𝑙

𝐸𝐼

𝐺𝐼𝑡= 2.6

Bit će

𝑋1 = 0,1484𝑞𝑙 , 𝑋2 = 0,0149𝑞𝑙𝑙, 𝑥3 = 0,0438𝑞𝑙 ,

Raspodjela momenata savijanja

𝑀𝑦 = 2(��𝑦1𝑋1 + ��𝑦2

𝑋2 + ��𝑦3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑦𝐹)

��𝑦(1)

= ��𝑦1(1)

𝑋1 + ��𝑦2(1)

𝑋2 + ��𝑦3(1)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(1)

��𝑦(2)

= 2(��𝑦1(2)

𝑋1 + ��𝑦2(2)

𝑋2 + ��𝑦3(2)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(2)

)

Dobivena rješenja prikazat će se pomoću programskih skripti u MATLAB-u [2] gdje je su u

kodu uneseni ulazni parametri za primjer iz poglavlja 4.1. Dobivena rješenja biti će prikazana

za četvrtinu konstrukcije i za cijelu konstrukciju.

sl. 4.8. Raspodjela momenta savijanja za četvrtinu konstrukcije

18

Ukupna raspodjela momenta savijanja dobije su superpozicijom dijelova te poštujući

simetričnost odnosno antisimetričnost unutrašnjih sila. Za simetrični prostorno-ravninski

sustav sila moment savijanja My je simetrična komponenta stoga je ukupna raspodjela rezultat

simetrične superpozicije dijelova.

Sl. 4.9. Raspodjela momenta savijanja za cijelu konstrukciju

Na slici vidimo da na uzdužnom nosaču u točki B vrijednost momenta savijanja odgovara

iznosi 0.9613 što odgovara vrijednosti koju nam daje dobiveni izraz (X1+X3)*(l/2) za q=10

koji je dobiven analitički.Poprečna sila je antisimetrična komponenta za simetrični prostorno-

ravninski sustav sila. Stoga će dobiveni rezultat biti rezultat superpozicije dijelova.

Raspodjela poprečnih sila

𝑄𝑧 = 2(��𝑧1𝑋1 + ��𝑧2

𝑋2 + ��𝑧3𝑋3 + 𝑄𝑧𝐹)

��𝑧(1)

= ��𝑧1(1)

𝑋1 + ��𝑧2(1)

𝑋2 + ��𝑧3(1)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(1)

��𝑧(2)

= 2(��𝑧1(2)

𝑋1 + ��𝑧2(2)

𝑋2 + ��𝑧3(2)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(2)

19

sl. 4.10. Raspodjela poprečnih sila za četvrtinu konstrukcije

Sl. 4.11. Raspodjela poprečnih sila za cijelu konstrukciju

20

Vidimo da u točki B raspodjela poprečne sile na poprečnom nosaču ima vrijednost 0,4842 što

je jednako X3 za q=10.

Raspodjela momenata uvijanja

��𝑡(1)

= ��𝑡1(1)

𝑋1 + ��𝑡2(1)

𝑋2 + ��𝑡3(1)

𝑋3 + ��𝑡𝐹(1)

Sl. 4.12. Raspodjela momenta uvijanja za četvrtinu konstrukcije

21

Sl. 4.13. Raspodjela momenta uvijanja za cijelu konstrukciju

Moment uvijanja je antisimetrična komponenta unutarnjih sila za simetrični prostorno-

simetrični sustav sila pa je rezultat ukupne raspodjele momenta uvijanja rezultat superpozicije

dijelova. Vidimo da vrijednost momenta uvijanja odgovara vrijednosti X2 za q=10.

Sl. 4.14. Deformirana konfiguracija sustava za četvrtinu konstrukcije

22

Sl. 4.15. Deformirana konfiguracija za cijelu konstrukciju

23

4.5 Kontinuirano simetrično opterećenje s utjecajem smicanja



sl. 4.16. Statički neodređen sustav


Osnovni sustav (sl. 4.17) glasi

𝑓11 ⋅ 𝑋1 + 𝑓12 ⋅ 𝑋2 + 𝑓13 ⋅ 𝑋3 + 𝑞1𝐹 = 0

𝑓21 ⋅ 𝑋1 + 𝑓22 ⋅ 𝑋2 + 𝑓23 ⋅ 𝑋3 + 𝑞2𝐹 = 0

𝑓31 ⋅ 𝑋1 + 𝑓32 ⋅ 𝑋2 + 𝑓33 ⋅ 𝑋3 + 𝑞3𝐹 = 0

24


25

sl. 4.19. Raspodjela poprečnih sila

26

Koeficijenti podatnosti određeni su izrazom (3.2) te Vereščaginovim pravilom

𝑓11 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦1

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡1

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1 ��𝑧1

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼[(

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) (

2

3⋅

𝑙

4) + (

𝑙

4⋅

𝑙

4) (

𝑙

4)] +

1

𝐸𝐼(−

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (−

2

3⋅

𝑙

2) +

2⋅𝜘𝑧

𝐺𝐴⋅ [(1 ⋅

𝑙

4) ⋅ 1] +

𝜘𝑧

𝐺��⋅ [(1 ⋅

𝑙

2

) ⋅ 1] = 𝑙3

24𝐸𝐼+

(𝑙)3

24𝐸𝐼+

1

2⋅

𝜘𝑧⋅𝑙

𝐺𝐴+

1

2⋅

𝜘𝑧 ⋅𝑙

𝐺��

𝑓12 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡2

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1 ��𝑧2

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ (

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (−1) = −

𝑙2

8𝐸𝐼

𝑓13 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡3

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1 ��𝑧3

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼⋅ [(

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (

2

3⋅

𝑙

4) + (

𝑙

4⋅

𝑙

4+

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (

𝑙

4)] +

2⋅𝜘𝑧

𝐺𝐴⋅ [(1 ⋅

𝑙

4) ⋅ 1] =

11𝑙3

192𝐸𝐼+

1

2

𝜘𝑧⋅𝑙

𝐺𝐴

𝑓22 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡2

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧2��𝑧2

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼(−1 ⋅

𝑙

4) ⋅ (−1) +

1

𝐺𝐼��⋅ (1 ⋅

𝑙

2) ⋅ (1) =

𝑙

2𝐸𝐼+

𝑙

2𝐺𝐼��

𝑓23 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡3

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧2��𝑧3

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ [(

𝑙

4⋅

𝑙

4+

1

2⋅

𝑙

4⋅

𝑙

4) ⋅ (−1)] = −

3𝑙2

16𝐸𝐼

𝑓33 = ∑ ∫ (��𝑦3��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡3��𝑡3

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧3 ��𝑧3

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼⋅ (

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (

2

3⋅

𝑙

2) +

2

𝐸𝐼(−

1

2⋅

𝑙

2⋅

𝑙

2) ⋅ (−

2

3⋅

𝑙

2) +

2⋅𝜘𝑧

𝐺𝐴[(

𝑙

2⋅ 1) ⋅ 1] +

2⋅��𝑧

𝐺𝐴⋅ [(1 ⋅

𝑙

2) ⋅ 1] =

𝑙3

12𝐸𝐼+

(𝑙)3

12𝐸𝐼+

𝜘𝑧𝑙

𝐺𝐴+

��𝑧⋅𝑙

𝐺��

27


𝑞1𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1��𝑧𝐹

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 =

1

𝐸𝐼⋅ (

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞⋅(𝑙)2

8) ⋅ (−

5⋅𝑙

16) +

��𝑧

𝐺��⋅ [(1 ⋅

𝑙

2) ⋅ (−𝑞 ⋅

𝑙

4)] = − 5𝑞(𝑙)4

384𝐸𝐼−

��𝑧𝑞(𝑙)2

8𝐺��

𝑞2𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧2 ��𝑧𝐹

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼⋅ (

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞⋅(𝑙)2

16) ⋅ (−

5⋅𝑙

16) +

2⋅��𝑧

𝐺��⋅ [(1 ⋅

𝑙

2) ⋅ (−𝑞 ⋅

𝑙

8)] = −

5𝑞(𝑙)4

384𝐸𝐼−

��𝑧𝑞(𝑙)2

8𝐺��

Za

𝑘 =𝐼

𝐼(

𝑙

𝑙)

3

= 1 𝑘1 =𝑙

𝑙⋅

𝐼

𝐼��= 1 �� =

��𝑧𝐸𝐼

𝐺��(𝑙)2 =1

4 ��2 =

𝑙

𝑙

𝐸𝐼

𝐺𝐼𝑡= 2.6 𝑘2 =

𝜘𝑧𝐸𝐼

𝑙2𝐺𝐴=

1

4

Bit će

𝑋1 = 0,1166𝑞𝑙 , 𝑋2 = 0,0120𝑞𝑙𝑙, 𝑥3 = 0,0379𝑞𝑙 ,

Raspodjela momenata savijanja

𝑀𝑦 = 2(��𝑦1𝑋1 + ��𝑦2

𝑥2 + ��𝑦3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑦𝐹)

��𝑦(1)

= ��𝑦1(1)

𝑋1 + ��𝑦2(1)

𝑋2 + ��𝑦3(1)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(1)

��𝑦(2)

= 2(��𝑦1(2)

𝑋1 + ��𝑦2(2)

𝑋2 + ��𝑦3(2)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(2)

)

Dobivena rješenja prikazat će se pomoću programski skripti u MATLAB-u [2] gdje je su u


grafički za četvrtinu konstrukcije i za cijelu konstrukciju.

28



simetričnost odnosno antisimetričnost unutrašnjih sila. Za simetrični prostorno-ravninski

sustav sila moment savijanja My je simetrična komponenta stoga je ukupna raspodjela rezultat

superpozicije dijelova.

29

Sl. 4.21. Raspodjela momenta savijanja za cijelu konstrukcijui


iznosi 0.77254 što odgovara vrijednosti koju nam daje dobiveni izraz (X1+X3)*(l/2) za q=10

koji je dobiven analitički.

Poprečna sila je antisimetrična komponenta za simetrični prostorno-ravninski sustav sila.

Stoga će dobiveni rezultat biti rezultat superpozicije dijelova.


𝑄𝑧 = 2(��𝑧1𝑋1 + ��𝑧2

𝑋2 + ��𝑧3𝑋3 + 𝑄𝑧𝐹)

��𝑧(1)

= ��𝑧1(1)

𝑋1 + ��𝑧2(1)

𝑋2 + ��𝑧3(1)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(1)

��𝑧(2)

= 2(��𝑧1(2)

𝑋1 + ��𝑧2(2)

𝑋2 + ��𝑧3(2)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(2)

30



31

Vidimo da u točki B raspodjela poprečne sile na poprečnom nosaču ima vrijednost 1.166 što

je jednako X3 za q=10.


��𝑡(1)

= ��𝑡1(1)

𝑋1 + ��𝑡2(1)

𝑋2 + ��𝑡3(1)

𝑋3 + ��𝑡𝐹(1)

sl. 4.24. Raspodjela momenta uvijanja za četvrtinu konstrukcije

Moment uvijanja je antisimetrična komponenta unutarnjih sila za prostorno-ravninski sustav

sila pa je rezultat ukupne raspodjele momenta uvijanja rezultat superpozicije dijelova. Vidimo

da vrijednost momenta uvijanja odgovara vrijednosti X2 za q=10.

32


33

Sl. 4.26. Deformirana konfiguracija sustava za četvrtinu konstrukcije

Sl. 4.27. Deformirana konfiguracija cijele konstrukcije

34

4.6 Kontinuirano antisimetrično opterećenje bez utjecaja smicanja






𝑓11 ⋅ 𝑋1 + 𝑓12 ⋅ 𝑋2 + 𝑓13 ⋅ 𝑋3 + 𝑞1𝐹 = 0

𝑓21 ⋅ 𝑋1 + 𝑓22 ⋅ 𝑋2 + 𝑓23 ⋅ 𝑋3 + 𝑞2𝐹 = 0

35



𝑓11 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦1

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡1

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 1

𝐸𝐼[

1

2⋅

𝑙

2⋅ (−1) ⋅ (−

2

3)] +

2

𝐺𝐼𝑡⋅ [(

𝑙

4⋅ 1) ⋅ 1] =

= 𝑙

6𝐸𝐼+

𝑙

2𝐺𝐼𝑡

𝑓12 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡2

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐺𝐼𝑡⋅ [(

𝑙

4⋅ 1) ⋅ 1] =

𝑙

2𝐺𝐼𝑡

𝑓22 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦3

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡3

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼[

1

2⋅

𝑙

2⋅ (−1) ⋅ (−

2

3)] +

2

𝐺𝐼𝑡[(

𝑙

2⋅ 1) ⋅ 1]

= 𝑙

3𝐸𝐼+

𝑙

𝐺𝐼𝑡

36


𝑞1𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 1

𝐸𝐼[(

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞(𝑙)2

32) ⋅ (−

1

2)] = −

𝑞(𝑙)3

192𝐸𝐼

𝑞2𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ [(

2

3⋅

𝑙

1⋅

𝑞(𝑙)2

64) ⋅ (−

1

2)] = − 𝑞(𝑙)3

192𝐸𝐼

Za

��2 =𝑙

𝑙

𝐸𝐼

𝐺𝐼𝑡= 2.6

Bit će

𝑥1 = 0,003257𝑞(𝑙)2 , 𝑥2 = 0,0003323𝑞(𝑙)

2

Raspodjela momenata savijanja može se dobiti s pomoću izraza

𝑀𝑦 = 2(��𝑦1𝑋1 + ��𝑦2

𝑥2 + ��𝑦3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑦𝐹)

��𝑦(1)

= ��𝑦1(1)

𝑋1 + ��𝑦2(1)

𝑋2 + ��𝑦3(1)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(1)

��𝑦(2)

= 2(��𝑦1(2)

𝑋1 + ��𝑦2(2)

𝑋2 + ��𝑦3(2)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(2)

)



grafički za četvrtinu konstrukcije i za cijelu konstrukciju.

37



simetričnost odnosno antisimetričnost unutrašnjih sila. Za antisimetricni prostorno-ravninski

sustav sila moment savijanja My je antisimetrična komponenta stoga je ukupna raspodjela

rezultat superpozicije dijelova.

38

Sl. 4.32. Raspodjela momenta savijanja


iznosi 0.032566 što odgovara vrijednosti X1 za q=10 koju smo dobili analitički.

Poprečna sila je simetrična komponenta za antisimetrični prostorno-ravninski sustav sila.

Stoga će dobiveni rezultat biti rezultat simetrične superpozicije dijelova.


𝑄𝑧 = 2(��𝑧1𝑋1 + ��𝑧2

𝑋2 + ��𝑧3𝑋3 + 𝑄𝑧𝐹)

��𝑧(1)

= ��𝑧1(1)

𝑋1 + ��𝑧2(1)

𝑋2 + ��𝑧3(1)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(1)

��𝑧(2)

= 2(��𝑧1(2)

𝑋1 + ��𝑧2(2)

𝑋2 + ��𝑧3(2)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(2)

39



40


je jednako izrazu (𝑋1 +𝑞⋅(𝑙)2

8) ⋅

2

𝑙 za q=10 koji je dobiven analitički.




da vrijednost momenta uvijanja u točki C odgovara vrijednosti X2 za q=10.


𝑀𝑡 = 2 ⋅ (��𝑡1⋅ 𝑋1 + ��𝑡2

⋅ 𝑋2 + ��𝑡3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑡𝐹)

41


42

Sl. 4.37. Deformirana konfiguracija četvrtine sustava

Sl. 4.38. Deformirana konfiguracija cijelog sustava

43

4.7 Kontinuirano antisimetrično opterećenje s utjecajem smicanja






𝑓11 ⋅ 𝑋1 + 𝑓12 ⋅ 𝑋2 + 𝑓13 ⋅ 𝑋3 + 𝑞1𝐹 = 0

𝑓21 ⋅ 𝑋1 + 𝑓22 ⋅ 𝑋2 + 𝑓23 ⋅ 𝑋3 + 𝑞2𝐹 = 0

44

sl. 4.41. Raspodjela momenaa savijanja i uvijanja


45


𝑓11 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦1

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡1

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1 ��𝑧1

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

1

𝐸𝐼[

1

2⋅

𝑙

2⋅ (−1) ⋅ (−

2

3)] +

��𝑧

𝐺��⋅ [(

2

𝑙 ⋅

𝑙

2) ⋅

2

𝑙 ] +

2

𝐺𝐼𝑡⋅ [(

𝑙

4⋅ 1) ⋅ 1] =

𝑙

6𝐸𝐼+

2��𝑧

𝐺��𝑙 +

𝑙

2𝐺𝐼𝑡

𝑓12 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡2

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1 ��𝑧2

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 = 2

𝐺𝐼𝑡⋅ [(

𝑙

4⋅ 1) ⋅ 1] =

𝑙

2𝐺𝐼𝑡

𝑓22 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦2

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡2

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧2��𝑧2

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑚=1

𝑑𝑥 =

2

𝐸𝐼[

1

2⋅

𝑙

2⋅ (−1) ⋅ (−

2

3)] +

2��𝑧

𝐺��[(

2

𝑙 ⋅

𝑙

2) ⋅

2

𝑙 ] +

2

𝐺𝐼𝑡[(

𝑙

2⋅ 1) ⋅ 1] =

𝑙

3𝐸𝐼+

4��𝑧

𝐺��𝑙 +

𝑙

𝐺𝐼𝑡


𝑞1𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦1��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡1��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧1��𝑧𝐹

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 1

𝐸𝐼[(

2

3⋅

𝑙

2⋅

𝑞(𝑙)2

32) ⋅ (−

1

2)] = −

𝑞(𝑙)3

192𝐸𝐼

𝑞2𝐹 = ∑ ∫ (��𝑦2��𝑦𝐹

𝐸𝐼+

��𝑡2��𝑡𝐹

𝐺𝐼𝑡+

��𝑧2 ��𝑧𝐹

𝐺𝐴)

𝑙𝑚

0

3

𝑛=1

𝑑𝑥 = 2

𝐸𝐼⋅ [(

2

3⋅

𝑙

1⋅

𝑞(𝑙)2

64) ⋅ (−

1

2)] = −

𝑞(𝑙)3

192𝐸𝐼

Za

�� =��𝑧𝐸𝐼

𝐺��(𝑙)2 =1

4 ��2 =

𝑙

𝑙

𝐸𝐼

𝐺𝐼𝑡= 2.6

Bit će:

𝑥1 = 0,0022687𝑞(𝑙)2 , 𝑥2 = 0,0005743𝑞(𝑙)

2

46

Raspodjela momenata savijanja može se dobiti s pomoću izraza

𝑀𝑦 = 2(��𝑦1𝑋1 + ��𝑦2

𝑥2 + ��𝑦3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑦𝐹)

��𝑦(1)

= ��𝑦1(1)

𝑋1 + ��𝑦2(1)

𝑋2 + ��𝑦3(1)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(1)

��𝑦(2)

= 2(��𝑦1(2)

𝑋1 + ��𝑦2(2)

𝑋2 + ��𝑦3(2)

𝑋3 + ��𝑦𝐹(2)

)


kodu uneseni ulazni parametri za primjer iz cjeline 4.7. Dobivena rješenja biti će prikazana

grafički za četvrtinu konstrukcije i cijelu konstrukciju.


47

sl. 4.44. Raspodjela momenata savijanja za cijelu konstrukciju


iznosi 0.022687 što odgovara vrijednosti X1 za q=10 koju smo dobili analitički.

Poprečna sila je simetrična komponenta za antisimetrični prostorno-ravninski sustav sila.

Stoga će dobiveni rezultat biti rezultat simetrične superpozicije dijelova.


𝑄𝑧 = 2(��𝑧1𝑋1 + ��𝑧2

𝑋2 + ��𝑧3𝑋3 + 𝑄𝑧𝐹)

��𝑧(1)

= ��𝑧1(1)

𝑋1 + ��𝑧2(1)

𝑋2 + ��𝑧3(1)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(1)

��𝑧(2)

= 2(��𝑧1(2)

𝑋1 + ��𝑧2(2)

𝑋2 + ��𝑧3(2)

𝑋3 + ��𝑧𝐹(2)

48


sl. 4.46. Raspodjela poprečnih sila za cijelu konstrukciju

49


je jednako izrazu (𝑋1 +𝑞⋅(𝑙)2

8) ⋅

2

𝑙 za q=10 koji je dobiven analitički.

Raspodjela momenta uvijanja:

𝑀𝑡 = 2 ⋅ (��𝑡1⋅ 𝑋1 + ��𝑡2

⋅ 𝑋2 + ��𝑡3⋅ 𝑋3 + 𝑀𝑡𝐹)




da vrijednost momenta uvijanja u točki C odgovara vrijednosti X2 za q=10.

50

sl. 4.48. Raspodjela momenta uvijanja za cijelui konstrukciju

Sl. 4.49. Deformirana konfiguracija četvrtine sustava

51

sl. 4.50. Deformirana konfiguracija cijelog sustava

52

4.8 Rješenje primjera

Ukupno rješenja primjera dobiti će se superpozicijom rješenja iz prethodnih cjelina tako da su

zbroje rješenja sustava sa simetričnim i antisimetričnim opterećenjima za slučajeve bez i s

uključenim utjecajem smicanja.

4.8.1 Bez uključenog utjecaja smicanja

sl. 4.51. Ukupna raspodjela momenta savijanja

53

sl. 4.52. Ukupna raspodjela poprečnih sila

sl. 4.53. Ukupna raspodjela momenta uvijanja

54

sl. 4.54. Ukupna deformirana konfiguracija

55

4.8.2 S uključenim utjecajem smicanja

sl. 4.55. Ukupna raspodjela momenta savijanja

sl. 4.56. Ukupna raspodjela poprečnih sila

56

sl. 4.57. Ukupna raspodjela momenta uvijanja

sl. 4.57. Ukupna deformirana konfiguracija

57

5 ZAKLJUČAK

U ovom radu bilo je potrebno analitički riješiti prostorno-ravninski nosač metodom sila te

rezultate usporediti s grafičkim rješenjima koja su dobivena u MATLAB-u. Također je kroz

rješavanje bilo potrebno uočiti razlike dobivenih rješenja kod nosača kod kojeg je uključen

utjecaj smicanja i onog bez. Pomoću koda u MATLAB-u dobivene su grafičke raspodjele

unutarnjih sila ovisne o ulaznim parametrima koji definiraju konstrukciju i oblik opterećenja.

Da bi što lakše opisali kako smicanje utječe na raspodjelu unutarnjih sila u tablici 5.1. će

prikazane vrijednosti unutarnjih sila za točku B za oba slučaja ( s i bez utjecaja smicanja) za

q=10 kN/m.

Tablica 5.1. Vrijednosti unutarnjih sila primjera

Točka B Bez smicanja Sa smicanjem

Moment savijanja My 0.9613 0.77254

Moment uvijanja Mt 0.071778 0.05686

Poprečna sila Qz 3.8452 3.0902

Progib w 0.06837 0.07451

Iz dobivenih vrijednosti iz tablice 5.1. možemo zaključiti da smicanje povećava progib, a

smanjuje unutarnje sile (moment savijanja, moment uvijanja i poprečna sila).

58

6 LITERATURA

[1] Pavazza, Radoslav: „Energijske metode-Uvod u strukturnu analizu“, Element,

Zagreb,2018.

[2] Vlak, Frane: „Matrix Structural Analysis“, MATLAB programske skripte za analizu

štapnih konstrukcija, FESB, 2018.

59

7 POPIS OZNAKA I KRATICA

q kontinuirano opterećenje

E Young-ov modul elastičnosti

Iy aksijalni moment tromosti površine u odnosu na os y

A površina presjeka uzdužnog štapa nosača

�� površina presjeka poprečnog štapa nosača

𝐺 modul smicanja

𝜘𝑧 faktor smicanja

It polarni moment tromosti

l duljina štapa uzdužnog nosača

𝑙 duljina štapa poprečnog nosača

My moment savijanja u odnosu na os y

Mt moment uvijanja

Qz poprečna sila u smjeru osi z

60

8 SAŽETAK

Naslov: Primjena metode sila na prostorno-ravninskom sustavu s uključenim utjecajem

smicanja

Sažetak: Metoda sila koristi se za određivanje raspodjele unutarnjih sila kod statički

neodređenih sustava. Metoda sila polazi od određivanja stupnja statički neodređenosti nakon

čega se taj sustav oslobađa tako da se dobije sustav koji je kinematički nepromjenljiv i statički

određen. Taj sustav naziva se osnovni sustav i kod njega su na mjestu uklonjenih

prekobrojnih veza dodane odgovarajuće poopćene sile, takozvane dodatne nepoznanice X. U

radu je prikazan prostorno-ravninski sustav opterećen kontinuiranim opterećenjem

(simetrično pod a) i antisimetrično pod b)). Također određena je raspodjela bez i s utjecajem

smicanja. Zadaci su riješeni analitički dok su grafička rješenja raspodjela momenata savijanja

i uvijanja te poprečnih sila prikazana pomoću programskog paketa MATLAB.

U MATLAB-u je napisan kod za prostorno-ravninski sustav koji se promjenom ulaznih

parametara (simetrija opterećenja, utjecaj smicanja) može primijeniti za sva 4 slučaja. U

ovom slučaju MATLAB se pokazao kao alat za rješavanje zadataka pomoću metode sila.

KLJUČNE RIJEČI: metoda sila, prostorno-ravninski sustav, MATLAB

Title: Application of the force method on statically indeterminate structures with influence of

shear

Summary: The force method is used to determine the distribution of internal forces in

statically indeterminate structures. The force method starts with determining the degree of

statical indeterminacy, after which the system is released to obtain a system that is

geometrically unchangeable and statically determined. This system is called a primary system

and instead of removed redundant constraints the corresponding primary unknowns-reactions

is added, the so-called additional unknowns X. In this work, the spatial-planar system is

loaded with continuous load in two cases (symetric on a) and antisymetric on b)). Also,

distribution of internal forces was determined without and with the influence of shear. Tasks

were solved analytically while graphical solutions were showing distributed bending

moments, torsion moments and transverse forces were displayed with the MATLAB software

package.

In MATLAB, a code for a spatial-planar system is written by changing the input parameters

61

(load symmetry, shear influence) which can apply for all 4 cases. In this case, MATLAB

showed itself as an appropriate task-solving tool with force method.

Keywords: force method, spacious-planar system, MATLAB

62

9 Dodatak

U dodtaku je ubačen kod u kojem se definiraju ulazni parametri koji opisuju konstrukciju i

opterećenje.

%---MATRIX STRUCTURAL ANALYSIS USING FORCE AND DISPLACEMENT METHOD-----

clc

clear all

%

% linear finite element analysis of beam structures

%

% finite element type:

% eltype = 1 -> spatial frame (defined in OXYZ coordinate system)

% admissible degrees of freedom at node:

% 1 = X-translation; 2 = Y-translation; 3 = Z-translation

% 4 = X-rotation; 5 = Y-rotation; 6 = Z-rotation

% eltype = 2 -> spatial truss (defined in OXYZ coordinate system)


% 1 = X-translation; 2 = Y-translation; 3 = Z-translation

% eltype = 3 -> planar truss (defined in OXY coordinate system)


% 1 = X-translation; 2 = Y-translation

% eltype = 4 -> planar frame without axial strain(defined in OXY coordinate system)


% 1 = X-translation; 2 = Y-translation; 3 = Z-rotation

% eltype = 5 -> planar frame with axial strain(defined in OXY coordinate system)



% eltype = 6 -> beam without axial strain(defined in OX coordinate system)


% 1 = Y-translation; 2 = Z-rotation

% eltype = 7 -> beam with axial strain(defined in OX coordinate system)



% eltype = 8 -> grid(structure GEOMETRY defined in OXY coordinate system)


% 1 = Z-translation; 2 = X-rotation; 3 = Y-rotation

%

npe = 2; % number of nodes per element

%

%----INPUT DATA-----------

%

% Zadatak - shear beam (statically determinate)

%

% FEM: finite element method used in the analysis

% FEM: 1 = force method; 2 = displacement method

FEM = 2;

%

% node: nodal coordinates in global OXYZ coordinate system

% 1.column: X-coordinate; 2.column: Y-coordinate; 3.column: Z-coordinate

L = 1;

L1 = L;

node = [L1/2 0 0;

L1/2 L/4 0;

L1/2 L/2 0;

L1/2 3*L/4 0;

L1/2 L 0;

0 L/4 0;

0 L/2 0;

0 3*L/4 0;

L1 L/4 0;

L1 L/2 0;

L1 3*L/4 0];

%

63

% material: material data = elastic constants

% 1. column: modulus of elasticity E; 2. column: Poisson's ratio Nu

material = [1 0.3];

%

% crossSection: beam cross section geometry properties

% 1.column: area A; 2. column: torsional second moment of area It;

% 3. column: second moment of area Iy; 4. column: second moment of area Iz;

% 5. column: shear factor kapa_y; 6. column: shear factor kapa_z

crossSection = [1 1 1 1 0 1/(4*2.6);

1 1 1 1 0 1/(4*2.6)];

%

% element: element data

% 1.column: 1st element node; 2.column: 2nd element node; 3.column: element type;

% 4.column: element material number; 5.column: element cross section number

element = [1 2 8 1 1;

2 3 8 1 1;

3 4 8 1 1;

4 5 8 1 1;

6 2 8 1 2;

2 9 8 1 2;

7 3 8 1 2;

3 10 8 1 2;

8 4 8 1 2;

4 11 8 1 2];

%

% pointP: auxilary point P to define local xy plane of the cross section

% (its position in global coordinate system OXYZ defines direction of

% the local y axis while local x axis is directed from 1st element node

% to 2nd element node)

% 1. column: X-coordinate; 2.column: Y-coordinate; 3.column: Z-coordinate

pointP = [0 0 0;

0 0 0;

0 0 0;

0 0 0;

L1 L 0;

L1 L 0;

L1 L 0;

L1 L 0;

L1 L 0;

L1 L 0];

% BC: prescribed boundary conditions data

% 1.column: node number; 2.column: restrained degree of freedom;

% 3. column: value of restrained/prescribed degree of freedom

% prescribed values should be defined only with displacement method

% otherwise, they are always zero

BC = [1 1 0;

1 3 0;

5 1 0;

5 3 0;

6 1 0;

6 2 0;

7 1 0;

8 1 0;

8 2 0;

9 1 0;

9 2 0;

10 1 0;

11 1 0;

11 2 0];

% nLoad: concentrated load data at node

% 1.column: node number; 2.column: load component at corresponding DOF;

% 3.column: concentrated load value

nLoad = [];

% eLoad: distributed load on element defined in global coordinate system

% 1.column: element number; 2.-4.column: distributed load values qX, qY, qZ

% possible distributed load values for element types:

% eltype = 1 -> qX, qY, qZ

% eltype = 2 -> none

64

% eltype = 3 -> none

% eltype = 4 -> qY

% eltype = 5 -> qX, qY

% eltype = 6 -> qY

% eltype = 7 -> qX, qY

% eltype = 8 -> qZ

q = 10;

eLoad = [6 0 0 -2*q;

8 0 0 -2*q;

10 0 0 -2*q];

%

% number of numerical solutions along each element

nSol = 50;

%

primjena metode sila na prostorno-ravninski ......metoda sila nam omogućava da u slučaju...

Documents