s04+(rta.+tiempo)
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Escalón
)()( tutf s
sF1
)(
Polo en el origen
atetf )(as
sF
1
)(
a > 0 creciente. Ej: e2t
a < 0 decreciente. Ej: e-2t
)()( tsentf 22)(
ssF
Polos imaginarios puros jw
Un resultado similar para cos(wt)
)()( tsenetf t 22)()(
ssF
Polos complejos p1,2 = σ±jw
Crece o decrece según σ
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El primer paso al analizar un sistema de control es
establecer un modelo matemático del sistema.
Obtenido este modelo matemático se dispone de
diversos métodos para analizar el comportamiento
del sistema
La solución se puede obtener mediante:
Resolución de las ecuaciones diferenciales.
Métodos basados en la transformada de Laplace.
Solución de las ecuaciones de estado.
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Un sistema continuo de primer orden, cuya FT es de
la forma
Tomando como entrada δ(t),(C.I.=0), la respuesta y(t)es:
Donde τ =1/a, se conoce como la constante de tiempo
del sistema.
as
ksG
t
at ekekty
)(
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Si la entrada es el escalón unitario
Aplicando fracciones parciales, para t≥0
sas
ksUsGsY
1
)()()()(
)1()1()( t
at ekea
kty
Al cambiar el valor de a también cambia el valor del
único polo de la FT
o Para t=τ el valor de y(t) ha alcanzado el 63.2 % de
su variación total.
o Cuanto más pequeña es la constante de tiempo más
rápida es la respuesta del sistema
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Si los polos están en semiplano izquierdo
el sistema es estable mientras que si
están en el derecho será inestable.
Tiempo a partir del cual la respuesta natural (su
valor absoluto) no supera un porcentaje de su
valor máximo, por ejemplo el 5%. Para el caso del
sistema continuo de primer orden, este tiempo tas
que satisface:
Al alejar el polo del origen (al desplazarlo hacia
la izquierda) disminuye el tiempo de asentamiento,
es decir, la respuesta es más rapida.
Si el polo de la FT cae en esa región podemos
asegurar que su tiempo de asentamiento satisface
tas ≤ 3/a.
Nótese que la región de tas máximo esta contenida
dentro de la región de estabilidad; ya que esta
definición de tas solo tiene sentido para sistemas
estables.
Expresados por EDO de la siguiente forma
Se estudiara el caso en el cual b1=0, en su forma
normalizada
Donde ωn se llama frecuencia natural no
amortiguada, mientras que ζ se denomina
coeficiente de amortiguamiento
nn
n
sssG
22
2
2)(
)()(
)()()(
01012
2
tubdt
tdubtya
dt
tdya
dt
tyd
Los polos de la FT serán:
)()(2 21
2
22
2
pspssssG n
nn
n
2
4)(4222
2,1
nnnp
o Sistema oscilatorio
o Sistema Criticamortiguado
o Sistema Subamortiguado
o Sistema Sobreamortiguado
njp 2,1ζ= 0
d
nn
j
jp
2
2,1 10<ζ <1
np 2,1ζ =1
12
2,1 nnpζ >1
12
2,1 nnp
21 nj
21 nj
n
La distancia de los polos al origen (la magnitud
del complejo) es justamente
Además, el coseno del ángulo formado con el
semieje real negativo, es justamente ζ:
nnnd )1( 222
n
n)cos(
Donde
ssssUsGsY
nn
n 1
2)()()(
22
2
ttety dd
tn
sen1
cos1)(2
tety d
tn sen1
11)(
2
)(cos 1
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ζ = 0.5
a. Parte real constante
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b. Parte imaginaria constante.
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c. Factor de Amortiguamiento constante
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o Estabilidad
o Tiempo de Asentamiento
o Frecuencia de Oscilación
o Sobrepico
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deeMp
21
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El sistema es estable
El tiempo de asentamiento es menor o
igual que 3/a
La frecuencia máxima de oscilación
de la respuesta natural es ω*
Al estimularlo con un escalón
unitario el sobrepico máximo es menor
que
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La respuesta transitoria de un sistema de
control real ante entrada escalón
frecuentemente presenta oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar el estado
estacionario.
Si se conoce la respuesta a una entrada
escalón, matemáticamente es posible
calcular la respuesta a cualquier entrada.
Al especificar las características de
respuesta transitoria de un sistema
de control a una entrada escalón
unitario, es habitual especificar lo
siguiente:
1. Tiempo de retardo.
2. Tiempo de crecimiento.
3. Tiempo de pico.
4. Sobreimpulso máximo.
5. Tiempo de establecimiento.
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Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el
tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por
primera vez la mitad del valor final.
Tiempo de crecimiento, tr: el tiempo de
crecimiento es el tiempo requerido para que la
respuesta crezca del 10 al 90%, del 5 al 95% o del
0 al 100% de su valor final.
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Tiempo de pico, tp: el tiempo de pico es el tiempo
requerido por la respuesta para alcanzar el primer
pico del sobreimpulso.
Máximo sobrepico(por ciento), Mp: el máximo
sobreimpulso es el valor pico máximo de la curva
de respuesta medido desde la unidad, es común
utilizar el máximo sobreimpulso porcentual. Está
definido del siguiente modo:
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%100)(
)()(
y
ytyM
p
p
%10021
eMp
Tiempo de establecimiento, ts: el tiempo de
establecimiento es el tiempo requerido por la
curva de respuesta para alcanzar y mantenerse
dentro de determinado rango del valor final de
dimensión especificada en porcentaje absoluto del
valor final (habitualmente 5% o 2%). Se relaciona
el tiempo de establecimiento con la constante de
tiempo más grande del sistema de control. El
criterio para la fijación del porcentaje de error
a usar depende de los objetivos del diseño del
sistema en cuestión. Donde
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Constante de tiempo del
sistema subamortiguado
Excepto en ciertas aplicaciones en que no sepueden tolerar oscilaciones, es deseableque la respuesta transitoria seasuficientemente rápida y estésuficientemente amortiguada.
Para una respuesta transitoria deseable deun sistema de segundo orden, la relación deamortiguamiento debe estar entre 0.4 y 0.8.
Valores pequeños de ζ (0.4<ζ) dan excesivosobreimpulso en la respuesta transitoria y
un sistema con un valor grande de ζ (0.8<ζ)responde muy tardíamente.
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El MP y el tiempo de crecimiento
están en conflicto entre sí. En otras
palabras no se puede simultáneamente
lograr un máximo sobreimpulso y un
tiempo de crecimiento pequeños. Si se
hace pequeño a uno de ellos,
necesariamente el otro se hace
grande.
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Hallar FT y parámetros de tiempo de un sistema
cuya constante de amortiguamiento es de 0.7 y con
una frecuencia natural de 63Hz y ganancia
estacionaria unitaria.
Hallar la FT para un sistema con un máximo
sobrepíco de 10% y un tiempo de establecimiento
menor de 3s y ganancia estacionaria de 2.
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