s04 - dinamica

DINMICA

Martn. Sandoval Casas.

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Las Leyes de Newton son los pilares de la mecnica, son tres principios con relacin al porqu del movimiento de los cuerpos?. La formulacin matemtica de estas leyes fue publicada por Isaac Newton en 1687, en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Estas leyes constituyen, junto con las transformaciones de Galileo, la base de la mecnica clsica. En el tercer volumen de los Principia, Newton mostr que, combinando estas leyes con la Ley de gravitacin universal, se pueden deducir y explicar las Leyes de Kepler sobre el movimiento de los planetas. Las leyes de Newton son validas para sistemas de referencia inerciales, es decir, sistemas de referencia en reposo o con MRU. En sistemas de referencia noinerciales, es decir, acelerados junto con las fuerzas reales deben incluirse las llamadas fuerzas ficticias o fuerzas de inercia que aaden trminos suplementarios capaces de explicar el movimiento de un sistema cerrado de partculas clsicas que interactan entre s. Fuerza. Definimos fuerza como la interaccin entre dos cuerpos, capaz de deformar o cambiar el estado de movimiento de los cuerpos. Tipos de fuerza. Las interacciones pueden ser a distancia, es decir, sin contacto, como: la fuerza gravitatoria, la fuerza elctrica, la fuerza magntica, etc. y fuerzas de contacto, como la friccin, la normal, la tensin, etc. Fuerzas de contacto. La normal. Es una componente del resultado de la interaccin efectiva entre dos cuerpos en contacto (reaccin). Su naturaleza es electromagntica y siempre es perpendicular a la superficie de contacto.

La friccin. Si dos cuerpos estn en contacto y hay un desplazamiento tangencial entre ellos o un intento de desplazamiento, entonces aparece esta fuerza de rozamiento, que siempre es tangente a la trayectoria y en su mayora de casos se opone al movimiento, pocas veces se encuentra a favor del movimiento.

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La tensin. Generalmente es una fuerza que aparece en las cuerdas, como resultado del estiramiento de la cuerda por fuerzas en sus extremos.

Fuerzas de accin a distancia.

El peso. Es el resultado de la interaccin entre la tierra y los cuerpos que la rodean. Su direccin es hacia el centro de la tierra (hacia abajo en una pequea porcin de tierra).

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Fuerza elctrica. Es el resultado de la interaccin entre cargas elctricas. Es una fuerza conservativa y su direccin es en la lnea que une las cargas y puede ser de atraccin o repulsin, dependiendo del signo de las cargas. Fuerza magntica. Es el resultado de la interaccin de imanes y puede ser de atraccin o repulsin, dependiendo de los polos en interaccin.

Medicin de una fuerza. Una fuerza se mide a travs de un dinammetro, que es un resorte calibrado que obedece a la ley de Hooke. Cuyo modelo matemtico, es: F = -kx Donde F es la fuerza que ejerce el resorte, x es el estiramiento o deformacin del resorte, k es la constante elstica del resorte y el signo menos obedece a que la fuerza del resorte siempre es opuesta a la deformacin. Primera Ley o Ley de Inercia. (ley del equilibrio)

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es nula, el cuerpo se encuentra en equilibrio, en su estado de reposo o de movimiento rectilneo uniforme a menos que acte sobre l una fuerza resultante que le obligue a cambiar dicho estado estacionario.

La Primera ley constituye una definicin de la fuerza como causa de las variaciones de velocidad de los cuerpos e introduce en fsica el concepto de sistema de referencia inercial. Segunda Ley

Si la fuerza resultante sobre un cuerpo es diferente de cero, entonces el cuerpo presenta aceleracin, esta aceleracin es proporcional a la fuerza resultante aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.

Existen otras maneras de formular la segunda ley de Newton, que relaciona las fuerzas actuantes y la variacin de la cantidad de movimiento o momento lineal. La formulacin siguiente es vlida tanto en mecnica newtoniana como en mecnica relativista:

La variacin de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se produce en la direccin en que actan las fuerzas.

En esta parte de la mecnica, ya nos preocupamos del Por qu? del movimiento, que origina el movimiento. La explicacin, radica en las fuerzas, de todo esto se ocupo Isaac Newton, al enunciar las tres leyes de la mecnica, que son el pilar en el desarrollo y entendimiento de la mecnica. Matemticamente: dp , con p = m v F= dt Efectuando la derivada

d (m v ) d v dm F= =m +v dt dt dt

si

m = constante =

dm =0 dt

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La masa m, puede ser variable, como por ejemplo en el lanzamiento de un cohete al espacio, si m es constante, llegamos a la formulacin de la segunda ley de Newton.

\

dv F =m = ma dt

Donde si la analizamos desde la causalidad, debe ser expresada de la siguiente forma:

\

F a= m

Tercera Ley de Newton o Ley de accin y reaccin

Por cada fuerza que acta sobre un cuerpo, ste realiza una fuerza igual pero de direccin opuesta al cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud y direccin opuesta. No se equilibran por actuar en cuerpos diferentes. Son de la misma naturaleza, es decir, a un peso le corresponde un peso de reaccin, a una normal le corresponde una normal, etc.

Dinmica Lineal. Sin la trayectoria de una partcula es una lnea recta y las fuerzas que actan tienen una resultante en la lnea recta, entonces la aceleracin lineal se puede calcular, por:

F a=

FAVOR

+ F CONTRA m

ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir una posible direccin del movimiento Aplicar la ecuacin anterior. Si la aceleracin tiene signo negativo, este signo nos esta indicando que el mvil se mueve en direccin opuesta al que hemos asumido.

Dinmica circular. Si la trayectoria descrita es una circunferencia, entonces existe fuerza resultante radial, es decir en la direccin del radio, esta fuerza es la fuerza centrpeta y es responsable del cambio en la direccin de su movimiento.

mv 2 a= = mRw 2 = R

F ADENTRO + F AFUERAm

ESTRATEGIA DE SOLUCION DE PROBLEMAS Hacer el DCL del cuerpo o de los cuerpos en estudio. Definir la circunferencia donde se produce el movimiento. Trazar los ejes de referencia. Uno a partir del centro de la circunferencia hacia la masa en estudio y el otro eje perpendicular a este. Aplicar la ecuacin anterior al eje radial.

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PROBLEMAS RESUELTOS DINAMICA 1. N bloques idnticos (cada uno con una masa mo) estn situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. si se empuja a la primera masa con una fuerza horizontal P, responda: a. Con qu aceleracin se mueve el conjunto?. b. Cul es la fuerza con que acta la masa de la posicin [N1] sobre la masa de la posicin [N]?.

Solucin:

a. Con qu aceleracin se mueve el conjunto? La segunda Ley de Newton indica que: F = ma (1)

Aplicndola a todo el conjunto, la nica fuerza externa es la fuerza P, y la masa del sistema es: mo + mo + mo+ ... = Nmo: P = Nmo a (1a)

Despejando la aceleracin a en la ec. (1a), se obtiene que: a = P/(Nmo) (1b)

b. Aplicando la segunda Ley de Newton a solo el ltimo bloque: f = mo a (1c)

Donde f es la fuerza buscada y sera la nica fuerza que acta sobre el ensimo bloque. Como la aceleracin no es dato, hay que reemplazarla la expresin (1b) en (1c), para encontrar que:

f = mo P/(Nmo) = P/N

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2. Si el sistema (m1 = 12 kg, m2 = 8 kg, tangq = 3/4) se deja en reposo, encuentre: a. La aceleracin con que se mueve el bloque 2. b. La tensin de la cuerda.

Solucin: Primero se hace el diagrama de cuerpo libre de cada bloque, es decir, se asla cada cuerpo del resto y se le dibujan las fuerzas que actan sobre cada bloque. Estos esquemas se muestran a lado derecho de la figura. En el caso del bloque que est sobre el plano inclinado, es conveniente descomponer todas las fuerzas en las direcciones paralela y perpendicular a dicho plano. a. hay que aplicar la segunda Ley de Newton a cada cuerpo, en la direccin en que se mueven.

SF = maBloque 1: Bloque 2: T m1g senq = m1a m2g T = m2a (2a) (2b)

En donde se ha tenido en cuenta que las tensiones a ambos lados de la polea son iguales, y que los bloques se mueven a la misma velocidad. Adems de que el sentido en que se mueven es con el bloque 2 descendiendo. Este sentido es tomado al inicio arbitrariamente. Si el resultado numrico de la aceleracin sale positivo, el sentido se tom como correcto, si sucede que el signo de la aceleracin es negativo, el sentido se tom equivocadamente. En cualquiera de los dos casos, el valor absoluto de la aceleracin es el mismo. Sumando (2a) + (2b), se encuentra que: m2g m1g senq = ( m1 + m2) a (2c)

Despejando la aceleracin y reemplazando los datos en la ec. (2c) se obtiene que: a = 0,392 m/s2 b. La tensin de la cuerda se puede hallar despejando de la ec. (2a) o ec. (2b), usando la aceleracin como dato, calculando se halla que: T = 75,264 N

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3. Un auto viaja a 29,4 m/s, por una carretera horizontal. Los coeficientes de friccin entre la carretera y los neumticos son 0,6 y 0,4. cunto tiempo tardar el auto en llegar al reposo si se frena: a. suavemente. b. con dureza. Solucin: a. La figura muestra a las fuerzas que actan sobre el auto cuando ste se frena. Ya que no hay aceleracin vertical, la primera Ley de Newton indica que: SFy = N mg = 0 (3a)

Donde N es la fuerza normal. Para simplificar, se supuso que el peso del auto se distribuye por igual sobre las cuatro ruedas y que los frenos se aplican a las cuatro ruedas. Cuando se frena suavemente, las ruedas no deslizan, esto significa que la fuerza de friccin que ejerce la cartera es esttica. Si se aplica la segunda Ley de Newton en la direccin horizontal se obtiene: SFx = f = msN = m a (3b)

En donde se ha considerado el sentido de la velocidad como positiva. ms es el coeficiente de rozamiento esttico. Usando (3a) en (3b), despejando la aceleracin se encuentra: a = msN/m = msmg/m = msg (3c)

Y reemplazando los datos en la ec. (3c), se halla que: a = 5,88 m/s2. Para encontrar el tiempo que tarda en frenar se usa las ec. del MRU. v = vo + a t t=5s b. cuando el vehculo se frena con dureza, las ruedas se bloquean, es decir, se deslizarn por la carretera y la fuerza de frenado ser de friccin cintica. El razonamiento usado en la parte (a) es el mismo que puede emplearse en esta pregunta. El nico cambio que debe hacerse es emplear el coeficiente de rozamiento cintico: a = mkg El tiempo tambin se halla con la ec. (3d): t = vo/ a Entonces los valores sern ahora: a = 3,92 m/s2, t = 7,5 s (3d) Donde v = 0, despejando t en (3d), y calculando con los datos se obtiene:

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4. Un coche de masa 1 200 kg viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 27 m de radio. Si el coeficiente de friccin esttica entre las llantas del coche y la pista es 0,6; cul es la mxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. Solucin: La figura muestra el diagrama de fuerza correspondiente al auto. La fuerza normal se debe equilibrar con el peso: N mg = 0 (4a)

La nica fuerza horizontal que obliga al vehculo a seguir la trayectoria de una circunferencia es la fuerza de rozamiento esttico y debe ser igual a la fuerza centrpeta: f = mv2/R (4b)

Entonces se deduce que la velocidad mxima a la que puede ir el auto, ocurre cuando la fuerza de rozamiento esttico toma su mximo valor: v(mx) f(mx) = mN (4c)

Si se despeja v de la ec. (4b), se usa (4c) y luego (4a), se encuentra que: v(mx) = f(mx) R/m = mNR / m = mmgR / m = mgR (4d)

y se reemplaza los valores numricos en la ec. (4d), se obtiene: v(mx) = 12,6 m/s 5. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensin mxima y la tensin mnima de la cuerda es de 9,8 N. cul es la masa de la piedra? Solucin: La tensin mxima y la tensin mnima, ocurren en los puntos ms bajo y ms alto respectivamente. Como se trata de un movimiento circular, hay una fuerza resultante dirigida hacia el centro de la circunferencia, que es la fuerza centrpeta: SF = mv2/R (5)

Aplicando la definicin de fuerza centrpeta, en cada uno de los puntos (1 y 2): Punto ms alto (1): Punto ms bajo (2): T1 + mg = mv2/R T2 mg = mv2/R (5a) (5b)

Donde se ha tomado en cuenta que la velocidad es la misma, ya que se menciona que gira uniformemente. Ya que el dato que se menciona es: T2 T1 = 9,8 N, Lo adecuado sera restar las ecuaciones, (5b) (5a): T2 T1 2mg = 0 (5c)

Despejando m en (5c) y reemplazando los datos, se encuentra que: m=0,5 kg

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6. Un hombre de 700 N. se encuentra de pie sobre una bscula en el piso de un elevador. La bscula registra la fuerza de todo lo que se ponga sobre ella Cul es la lectura de la balanza si el elevador tiene una aceleracin de: a. b. 2 m/s2 hacia arriba. g hacia abajo.

Solucin:

a. Cuando el elevador sube, se tiene un peso aparente, que marca la bscula de : WA = m( g + a ) si a = 2 m/s2. WA = 842,86 N b. Cuando el elevador baja, se tendr un peso aparente de: WA= m(g g) si a = g WA = 0 N 7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleracin del sistema y la tensin en la cuerda.

mg

m1 m2q1 q2

Solucin: DCL de m1: N m1 m1gsenq1 q1 m1gcosq1 T Del DCL de m1 Asumiendo que el movimiento es hacia la direccin de m1gsenq1, entonces tenemos lo siguiente: m1gsenq1 T = m1 a .....(1) m1 g

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DCL de m2:

Del DCL de m2 El movimiento es hacia la direccin de T, entonces tenemos lo siguiente:

T m2gcosq2

m2 q2 m2 g m2gsenq2

T m2gsenq2 = m2a ......(2) Sumando (1) y (2) se tiene: g(m1senq1 m2senq2) = (m1 + m2) a

a=

g (m1senq1 - m2 senq2 ) .....(3) m1 + m2

Hallamos la tensin reemplazando (3) en (1):

T=

m1m2 g ( senq1 + senq2 ) m1 + m2

8. Una masa de 15 kg desliza en un plano inclinado 30 con la horizontal, y est unida mediante una cuerda que pasa por una polea, a una masa suspendida libremente de 35 kg. como se muestra en la figura. Halle la tensin en la cuerda y la aceleracin del sistema, suponiendo que el coeficiente mk = 0,2. Solucin:

30

DCL de la masa de m1 = 15 kg : con q = 30 y g = 10 m/s2. T N m1 q m1gcosq m1 g

Del DCL de m1 El movimiento es hacia la direccin de T, entonces tenemos lo siguiente: T (m1gsenq + Fr) = m1 a .....(1) Analizando las fuerzas en la direccin normal, sin movimiento, se tiene: N = m1gcosq .....(2) Adems: Fr = mN Fr = m m1gcosq.....(3) (3) en (1) : T (m1gsenq + m m1gcosq ) = m1 a .....(4)

Fr m1gsenq

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DCL de la masa de m2 = 35 kg : T

Del DCL de m2 El movimiento es hacia la direccin de m2g, entonces tenemos lo siguiente: m2g T = m2 a .....(5) Sumando (4) y (5) se tiene: g[m2 (m1senq + mm1cosq)] = (m1 + m2)a

m2

a=m2 g

g[m 2 - (m1 sen q + mm1 cos q )] .....(6) m1 + m 2

a = 4.88 m/s2T = m2(g a) = 172,17 N

9. En la figura los pesos de los objetos son 200 N y 300 N. Se considera que las poleas no tienen friccin y que sus masas son despreciables. La polea P1 tiene un eje estacionario, la polea P2 puede subir o bajar libremente. Calcule las tensiones T1 y T2 as como la aceleracin del cuerpo A.

P1 T2 P2 T1 A B 300 N

Solucin:

200 N

DCL de A: El movimiento es hacia el peso de 200 N, entonces: 200 T2 = 20 a A .....(1) T2

DCL de P1: Considerando despreciable la masa de la polea, se tiene: T2 T2 2T2 = T1 .....(3) T1

aAA

200N

Adems considerando que el desplazamiento de A es el doble del desplazamiento de B, se tiene:

a A = 2a B .....(4)T1 DCL de B: El movimiento es hacia la tensin T1 entonces: T1 300 = 30 aB .....(2)

aBB

300N

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Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2), (3) y (4) obtenemos:

a A = 1,78m / s 2a B = 0,89m / s 2T1 = 326,7 N T2 = 163,35 N 10. En el sistema mostrado. Halle F, en newton, con la finalidad de que los bloques de masas 2m y m no se muevan respecto del carro de masa M. Considere que no hay friccin. Tome M = 90 kg y m = 10 kg. 2m

M

m

Solucin: Considerando todas las masas como un nico sistema, acelerado por la fuerza F. F = (M + 3m) a.....(1) Teniendo en cuenta que las masas m y 2 m experimentan fuerzas inerciales proporcionales a la aceleracin se tiene lo siguiente: DCL de m : T q

a

mg De (4) y (2): cosq = . q = 60 10 3 a= F = 400 3 N 3

DCL de 2m : T T = 2m a.....(2)

Tsenq = mg.....(3) Tcosq = m a...(4) (3)/(4) tanq = g/ a a = g ctg q

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11. Halle la mxima velocidad a la que un automvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30. Solucin: La fuerza que evita que el automvil deje la pista debido a su velocidad es la fuerza de rozamiento, por lo tanto se tiene la siguiente relacin:

mv 2 = fR v2 = R m g R v = R m g = 8.59 m / s12. Un vehculo de una montaa rusa tiene una masa de 500 kg. est completamente cargado de pasajeros. a. Si el vehculo tiene una rapidez de 20 m/s en el punto A . Cul es la fuerza que ejerce la va sobre el vehculo en ese punto? b. Cul es la rapidez mxima que puede tener el vehculo en ese punto B para que se mantenga sobre la va.B 15 m 10 m

Solucin:

A

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A : (A) 10 m Fv Sea FV la fuerza que ejerce la va sobre el vehculo en estudio.

FC =

mv 2 mv 2 = FV - mg FV = mg + R R 500 x 20 2 = 25 x10 3 N 10

mg

FV = 500 x10 +

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B: (B) mg 15m La rapidez mxima en el punto B, la calculamos justo en el momento supuesto que el vehculo est apunto de despegar de la va, es decir la fuerza que ejerce la va sobre el vehculo es cas cero:

mv 2 v = gR = 9,8 x15 = 12,12m / s mg = R

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13. Un piloto de masa m, que vuela en un avin de reaccin ejecuta una maniobra de rizar el rizo, como se muestra en la figura. En ese vuelo modelo, el avin se mueve en un circulo vertical de radio 2,7 km. a una rapidez constante de 225 m/s. Determine la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto en: a. La parte inferior del rizo. b. La cima del rizo. De las respuestas en trminos del peso del piloto.

Solucin:

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA PARTE INFERIOR DEL RIZO: Sea FA la fuerza que ejerce el asiento del avin sobre el piloto.

FA

mg

mv 2 mv 2 FC = = FA - mg FA = mg + R R v2 FA = mg (1 + ) = 2,91mg Rg

FA mg

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA CIMA DEL RIZO: En este caso el avin esta volteado, FA y mg tienen la misma direccin. Haciendo el diagrama de cuerpo libre se tiene:

mv 2 mv 2 = FA + mg FA = - mg R R v2 FV = mg ( - 1) = 0,91mg Rg FC =66

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Martn. Sandoval Casas. A

14. Se hace girar una masa m en un plano vertical con velocidad angular constante w, al extremo de una barra delgada pero rgida, de longitud ro, la masa de la barra es despreciable en comparacin de la masa m. Calcule: a. La tensin en la varilla cuando la masa est en el punto w ms alto de su trayectoria. b. La tensin de la varilla cuando la masa est en el punto ms bajo de su trayectoria. Solucin: A T FC = T + mg

T

B

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE A: mg w

T =

mv 2 mR 2w 2 - mg = - mg R R

T = m(w 2 R - g )DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE B: FC = T mg w T

mR 2w 2 mv 2 + mg = + mg T = R R

mg

T = m(w 2 R + g )O

15. Una bola B est unida al extremo de un hilo de 24 cm de longitud cuyo extremo es un punto fijo O. La bola describe una circunferencia horizontal de radio CB como indica la figura. Halle la velocidad de la bola sabiendo que el hilo forma un ngulo de 30 con la vertical. Solucin: DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE : B T 60 B 12 cm

30

C

T cos 60 =

mv 2 .....(1) R T sen 60 = mg .......( 2)

Dividiendo (2) / (1) se obtiene:

mg

c tg 60 =

v2 v= Rg

gRc tg 60

Con R = 12 cm = 12x102 m v = 0,824 m/s

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PROBLEMAS PROPUESTOS DINAMICA 1. Haga un diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B .Considere rozamiento en todas las superficiesB A

5. Halle la aceleracin y la tensin de la cuerda en el sistema mostrado. Considere bloques iguales de masa 10 kg y coeficiente de rozamiento cintico 0,2. Rpta. 1,18 m/s2 y 86,2 N B

2. El sistema mostrado se mueve con velocidad constante, en una superficie con rozamiento cintico 0,2, determine: a) La masa m, que hace posible este movimiento. b) Si del carro extraemos 20 g y le agregamos a m, la aceleracin del sistema ser: NOTA: Haga un clculo terico exacto, sin aproximaciones. 20 g/ cada 1.2 kg

A 37 6. De acuerdo al grfico mostrado, si el sistema esta inicialmente en reposo. Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: a. La fuerza resultante sobre el sistema es de 19,6 N. b. La fuerza resultante sobre el sistema es de 29,4 N. c. El sistema se mueve hacia la derecha. d. El sistema se mueve hacia la izquierda.10 kg mE = 0,5

Rpta. 0,26 kg y 0,15 m/s2

m

3. En el sistema mostrado, las masas parten del reposo y se mueven 1,2 m en 4 segundos, en una superficie con rozamiento cintico m. Determine: a) La aceleracin del sistema. b) La tensin de la cuerda. c) El coeficiente de rozamiento cintico m.1,2 kg

Todas son Falsas.

2 kg

7. Dos masas m1 y m2 unidas mediante una cuerda flexible, se colocan sobre un par de planos inclinados, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. Halle la aceleracin del sistema y la tensin en la cuerda.

am1 q1 m2 q2

Rpta. 0,15 m/s2, 0,386 N y 0,02. 40 g 4. Sobre un bloque de 4 kg de masa se aplica una nica fuerza F, que varia segn la ley F = 7t + 5, donde F esta en Newton y t en segundos. Al cabo de que tiempo la aceleracin del bloque es de 10 m/s2 F 4 kg Rpta. 5 s. Liso

a

Rpta. a = g(m1senq1m2senq2)/(m1+m2) 8. Una cuerda pasa sobre una polea sin friccin y con una masa despreciable. Un objeto de 4 kg se cuelga en un extremo y en el otro un objeto de 12 kg. Calcule la aceleracin y la tensin en la cuerda. Rpta. 4,9 m/s2 y 58,8 N68

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9. Determine la fuerza de reaccin entre los bloques A y B, si las masas son de 3 kg y 2 kg respectivamente. Considere que no hay rozamiento. F1=60 N

A B

F2=40 N

14. Si el sistema (m1 = 18 kg, m2 = 5 kg, m = 0,14) se deja en reposo encuentre: a. La aceleracin con que se mueve el bloque 2 y la tensin de la cuerda. b. La velocidad v con que se mueve el bloque 1, si se ha desplazado una distancia 0,3 m. 1

Rpta. 48 N 10. Un auto de 900 kg viaja a 20 m/s en un camino plano. Cul es la magnitud de una fuerza retardadora constante necesaria para detener el auto a una distancia de 30 m. Rpta. 6000 N 11. Sobre una mesa se halla un bloque, m1 = 20 kg, que est unido por una cuerda a otros dos, m2 = 5 kg y m 3 = 3 kg como se muestra. El coeficiente de rozamiento entre m1 y la mesa vale 0,2. Calcular: a. La aceleracin con que se mueven. b. La tensin de los hilos.1

2 15. Determine el ngulo mnimo "a" para que los bloques empiecen a moverse. b = 45. El coeficiente de rozamiento entre los bloques y la superficie es 0,5. m b m Rpta. 26,56. b a

2 Rpta. 1,4 m/s2 , T1= 67,2 N y T2= 25,2 N

16. Una bala de 300 g de masa impacta contra un tabln fijo de 10 cm de espesor. Si ingresa con v1 = 300 m/s y sale con v2 = 200 m/s. Cul es la fuerza media de rozamiento, en N, que le imprimi el tabln, considerndola constante? 17. Un pndulo de masa m = 3 kg cuelga de una cuerda, suspendida de un extremo del techo del mvil de masa M = 9 kg, cuando el sistema es jalado con una fuerza F = 36 N, permanente y segn corno se indica en la figura, la cuerda del pndulo se separa de la vertical un ngulo q. Calcule: a. La aceleracin del sistema. b. La medida del ngulo q. c. EI valor de la tensin en la cuerda. Rpta. 3m/s2, 17,02 y 30,74 N. q

12. Un hombre cuya masa es de 85 kg se encuentra en un ascensor. Determinar la fuerza que ejerce el piso sobre el hombre cuando: a. El ascensor asciende con velocidad uniforme. b. El ascensor desciende con aceleracin de 4,9 m/s2. c. El ascensor asciende con aceleracin de 6,3 m/s2. 13. Calcule la aceleracin del cuerpo de masa m2; Si, m1 = 10 kg y m2 = 20 kg. q = 30

m1 q

m M m269

F

m=0

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18. Para el sistema de bloques mostrado, calcule: a. La aceleracin del sistema. b. La tensin en la cuerda. 20 kg 80 kg 37 Desprecie el rozamiento entre las superficies en contacto

22. Determinar el valor de la fuerza F que impedir que el bloque de masa m1 = 5 kg resbale, sobre el coche de masa M = 32 kg, sabiendo adems que m2 = 3 kg, la masa de la cuerda, polea, y rozamiento entre los bloques es despreciable. m1

F 19. Calcular la masa del bloque A, para que el bloque B, cuya masa es 24 kg, pueda descender aceleradamente a razn de 2 m/s2.

M

m2 m=0

A 37 24 kg

20. Tres bloques A, B y C, estn colocados como se muestra en la figura, sus masas son mA = 12 kg, mB = 16 kg y mC = 24 kg. Sobre cada bloque se ejerce una fuerza horizontal FA = 30 N FB = 85 N y FC = 20 N. Los coeficientes de rozamiento esttico y cintico entre los bloques A y B son respectivamente ms(AB) = 0,4 y mk(AB) = 0,2; y los coeficientes de rozamiento esttico y cintico entre los bloques B y C son respectivamente ms(BC) = 0,15 y mk(BC) = 0,05. No hay friccin entre C y la mesa. Determine la aceleracin de A con respecto a la mesa.A FB B C FC FA

23. Para el sistema de bloques conectados mostrado en la figura, determine: a. La tensin en las cuerdas. b. La aceleracin de cada bloque. Considere que el coeficiente de rozamiento cintico entre B y el piso es 0,25; mA = 100 kg; mB = 50 kg; mC=150 kg.mB

mA

mC

24. N bloques (con masas m, 2m ,3m, Nm) estn situados sobre una mesa sin rozamiento como se muestra en la figura. Si se empuja a la primera masa (m) con una fuerza horizontal F, cul es la fuerza con que acta la masa antepenltima (de masa [n2]m) sobre la masa penltima (de masa [n1]m)?. m 1 2m 2 3m 3 Nm N

21. Un elevador parte del reposo y sube con una aceleracin constante, se mueve 2 m en los primeros 0,6 s. Un pasajero en el elevador sostiene un paquete de 3 kg con una cuerda. Cul es la tensin en la cuerda durante la aceleracin?. Rpta. 64,8 N.

25. Calcular la aceleracin del bloque B, si mA = 3 kg, mB = 4 kg y F = 210 N. No F considere rozamiento.B

A 30

70

DINMICA


26. Las masas de los bloques A, B y C de la figura son 15, 25 y 10 kg respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento entre B y la superficie horizontal es 0,10, calcule: a. La tensin en cada cuerda. b. La aceleracin del cuerpo B.B

30. Las masas de los bloques A y B del sistema mostrado en la figura son: 5 kg y 12 kg respectivamente. El sistema se mueve debido a la fuerza horizontal F = 150N y el bloque A adquiere una aceleracin hacia arriba de 2 m/s2. Halle el coeficiente de rozamiento entre el bloque B y la superficie horizontal. F B

A

C

27. Para el sistema mostrado el coeficiente de rozamiento cintico en todas las superficies es 0,2; calcular: a. La aceleracin de los bloques. b. La tensin en las cuerdas. 3kg A 2kg B

Rpta. 0,61.

A

31. S el sistema con m1 = 21 kg, m2 = 14 kg, mk = 0,3; se deja en reposo; encuentre la aceleracin del punto P, cuando el bloque 1 se ha desplazado una distancia de 0,7 m. Radio de la Polea, R = 2,1 cm.

C 7kg 28. Los bloques mostrados tienen masas m1 = 1 kg y m2 = 2 kg. si la fuerza F = 16 N, halle la aceleracin de los bloques. No hay rozamiento.

32. Determine la aceleracin del sistema y las masas de A y C, si TA = 30 N y TC = 60 N. Considere rozamiento con m=0,2 y la masa de B es de 5 kg.B

m1 m2 F 29. En la figura mostrada el bloque de masa M tiene una aceleracin doble que el bloque de 2M. El coeficiente de rozamiento entre los bloques es mK y entre bloque 2M y el piso es mK/6. Halle el coeficiente mK. mK mK/6 Rpta. 0,5.71 A C

M2M

33. En la figura, se muestran los bloques A y B de masas 2 kg y 4 kg respectivamente. Los coeficientes de rozamiento son mA = 0,70 entre los cuerpos A y B; y mB = 0,20 entre B y la superficie horizontal. Calcule las aceleraciones en los cuerpos al aplicar al cuerpo A una fuerza de 20N. A 20 N

M

B

DINMICA


34. En el sistema que muestra la figura, encuentre el peso del bloque A, si partiendo del reposo y descendiendo recorre la distancia de 27 m en 3 segundos. No considere rozamiento ni el peso de las poleas.

38. La aceleracin del bloque de 2 kg, que desliza por el plano lizo de la figura, es:

37 39. El sistema se mueve con velocidad constante cuando la masa colgante es de 100 g, como se muestra en la figura, determine la aceleracin del sistema cuando de la masa 9,9 kg se le quite 1,9 kg y se le agregue a la masa colgante de 100 g.9,9 kg

A 100 N Rpta. 17,2 kg. 35. Haga el diagrama de cuerpo libre de los bloques A y B, Si el peso de A es 200N y el de B es de 150 N. Determine la fuerza de contacto entre los bloques. A B F=700 N 36. La cua B tiene una aceleracin horizontal de 5 m/s2 segn se muestra en la figura. Un bloque de masa m se encuentra encima de la cua, sin considerar rozamientos, halle la aceleracin relativa del bloque respecto a la cua. Indica hacia donde se mueve el bloque. A a B 30 27 m

100g

40. Halle el coeficiente de rozamiento entre la masa m y el carrito M, de tal modo que el bloque de masa m se mantenga en reposo con respecto al carrito M.a = 8 m/s2 m

M

37

Rpta. 0,56. 41. Se quiere subir con movimiento uniformemente acelerado un cuerpo de 2 kg por una rampa del 10 por 100 de pendiente y 5m de longitud en un tiempo de 10 s. El coeficiente de rozamiento vale 0.4. Calcule la fuerza paralela a la rampa que se debe aplicar. F

37. El mvil de masa m se desliza hacia abajo con velocidad constante y apoyada sobre la pared vertical mostrada. Haga el diagrama de cuerpo libre de la masa m. Explique cada una de las fuerzas que identifique. F

72

DINMICA


42. Un auto viaja por una carretera horizontal describiendo una circunferencia de 30 m de radio. Si el coeficiente de friccin esttica es 0,6; calcule: a. cul es la mxima velocidad a la que puede ir el auto sin patinar?. b. Repetir la pregunta anterior para un peralte de 5. Rpta. 13,28 m/s y 14,22 m/s. 43. En la figura se muestra tres bloques A, B y C de pesos WA = 100 N, WB = 200 N y WC = 500 N respectivamente. Si el coeficiente de rozamiento cintico entre A y B es 0,2 y entre B y la superficie horizontal 0,3; halle la aceleracin relativa del bloque A con respecto a B.A B

46. Una piedra gira en un plano vertical describiendo una circunferencia. Si la cuerda que la mantiene en movimiento tiene una tensin 6 veces el peso de la piedra, calcular la velocidad de la piedra para la posicin mostrada en la figura (Longitud de la cuerda 5 m)

47. Una carretera tiene una curva de radio r = 54 m y un peralte de q = 37, se sabe que el coeficiente de friccin entre los neumticos y el pavimento es m=2/3 Cul es la mxima velocidad que puede mantener el automvil sin salir resbalando por la carretera? (Peralte, es la inclinacin de la carretera). Rpta. 38,72 m/s. 48. Un automvil arranca, y aumentando la velocidad uniformemente avanza por un tramo de carretera horizontal en forma de arco de circunferencia con ngulo q, el radio de la circunferencia es r = 180 m Con que velocidad mxima v puede salir el automvil a la parte recta de la carretera?. El coeficiente de rozamiento entre los neumticos y el pavimento es m = 0,25.

C

44. Se tiene un pndulo que oscila en un plano vertical. La masa es m, la longitud de la cuerda es L y la aceleracin de la gravedad es g , responda: a. Cul es la tensin de la cuerda cuando la masa llega a su punto mas alto?. Inicialmente la masa se separo de su posicin de equilibrio de modo que la cuerda formaba un ngulo q con la vertical. b. Dnde es mayor la tensin de la cuerda, si la masa esta en el punto mas bajo o en el punto mas alto?.

qRpta. 21 m/s. O

v

q

L

m Rpta. mgcosq y en el punto ms bajo. 45. Halle la mxima velocidad a la que un automvil puede tomar una curva de 25 m de radio sobre una carretera horizontal si el coeficiente de rozamiento entre las ruedas y la carretera es de 0,30.73

49. Una masa de 20 g colgada de un hilo de 1 m de longitud describe una circunferencia de 0,5 m de radio con rapidez constante, como se indica en el grfico. Calcule: a. La tensin del hilo. b. La velocidad con que gira.

DINMICA


50. Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensin mxima y la tensin mnima de la cuerda es 9,8 N. Cul es la masa de la piedra? 51. Un nio ata una pita de 0,5 m de longitud a una pelota de 1 kg de masa y lo hace girar en un crculo vertical. La velocidad de la pelota en el punto mas alto es de 4 m/s y en el punto mas bajo 6 m/s. Haga el DCL de la pelota en el punto mas alto y en el punto ms bajo y halle el valor de la aceleracin centrpeta en dichos puntos. 52. El sistema de la figura gira con velocidad angular constante alrededor del eje vertical. Si la rapidez del bloque A es de 3 m/s, halle la tensin de la cuerda. mA = 0,5 kg (longitud de la cuerda 5 m)w

54. La masa A esta movindose en un plano horizontal segn se muestra en la figura. La longitud de la cuerda es 5 m. La rapidez de la masa de 1 kg en todo instante es: w

37

A Rpta. 4,7 m/s.

m = 1 kg

A 53

55. Se tiene una barra doblada en L (b = 0,57 m) en su extremo hay una cuerda de longitud l = 0,83 m, y est unida a una masita m = 4,74 kg y q = 50. Calcular: a. La velocidad angular con que debe girar el eje de la barra; y la tensin de la cuerda. b. Si la tensin mxima que puede soportar la cuerda es 98 N; encontrar el ngulo a que se inclinara la cuerda.

53. Dos bloques tienen el peso y la posicin indicados en la figura. Descansan sobre una plataforma que gira alrededor de un eje vertical con velocidad angular constante. El coeficiente de rozamiento esttico entre los bloques y la plataforma es 0,2. Despreciando el peso de la pequea polea, determinar: a. A cuantas revoluciones por minuto empiezan a deslizarse los bloques. b. La tensin en la cuerda.45 cm 15 cm

Rpta. 3,12 rad/s y 61,7 56. Una bolita de masa "m" descansa inicialmente en la parte baja de un casquete semiesfrico cuyo interior es liso, tiene 2 m de radio. Qu ngulo "q" habr subido "m" cuando el casquete gire a razn constante de p rad/s. w R

B 16N

A 24N

w

Rpta. 31,5 rev/min y 11,2 N.74

Rpta. 60,23.

q

s04 - dinamica

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