Rotacija krutog tijela

Kutne veličine

x

y

referentna linija

nulti kutni položaj

Kutne veličine

Kutni položaj

Kutni pomak

Kutna brzina

s

r

2 1

t

t

Kutno ubrzanje

Veza linearnih i kutnih veličina

s r v r a r

Rotacija s stalnom kutnom akceleracijom2

0 0

1

2t t

Zamašnjak se vrti s stalnim kutnim ubrzanjem od . U trenutku t=0 ima kutnu brzinu , a referentna linija na njemu je horizontalna i kutni je položaj .

20.3 /rad s

0 4 /rad s

0 0

a) Kada nakon t=0 referentna linija ima kutni položaj ? 4 okreta

b) Opišite vrtnju kola do t=28.5s

c) U kojem trenutku zamašnjak za trenutak stane ?

0 t

Rješenje

a) Primjenom formule za vrtnju s stalnim kutnim ubrzanjem uz početne uvjete

( ; ; ) može se izračunati trenutak t kada je

:

0 0 0t

2 218 ( 4 / ) (0.3 / )

2rad rad s t rad s t

4 okreta=8 rad

Rješenje ove kvadratne jednadžbe je t=28.5s

b) Zamašnjak se na početku giba u smjeru vrtnje kazaljke sata (negativna brzina ) ali se usporava jer je ubrzanje suprotno, stane i onda se vrti u suprotnom smjeru.Nakon što referentna linija prođe kroz početni položaj , prijeđe još 4 okreta.

0 4 /rad s

c)Tražimo trenutak kad je kutna brzina nula 0

Uvrštavanjem u izraz za kutnu brzinu se dobije :0 t 20 4 / (0.3 / )rad s rad s t odakle je t=13.3s

Inercijska sila u rotirajućem sustavu

2cgF m r

2

2

4cgF m r

T

a kako je

2 1T

f

Na česticu mase m udaljenu r od osi vrtnje djeluje sila tromosti prema vani koja se naziva centrifugalna sila.

Čovjek mase 80 kg se nalazi u šupljem valjku radijusa 3 m koji se ubrzano vrti.Pri nekoj brzini se pod izmakne , ali čovjek ne propada .Ako je faktor trenja , kolika je tada frekvencija vrtnje ?

0.3

cgF N2 24 mf r N N mg

trenjaF mg

12

0.534

gf s

r

Kinetička energija rotacije i moment tromosti

1m

2m

im

iv

1v

2 2 2 21 1 2 2

1 1 1 1...

2 2 2 2kin i i i iE m v m v m v m v Kako je linearna brzina različita za različite čestice koje čine kruto tijelo , zamjenom se dobije :v r

2 21( )

2kin i iE m v

Veličina u zagradi se naziva moment tromosti tijela oko osi rotacije ,opisuje raspodjelu čestica tijela oko te osi i označava s I pa je :

21

2kinE I

Isti štap je znatno lakše rotirati u slučaju a) jer je moment tromosti oko uzdužne osi štapa manji nego oko osi okomite na štap.

2i iI m r

Moment sile

Fos vrtnje

Fos vrtnje

Iskustvo nam sugerira da učinak pri otvaranju vrata ovisi o iznosu i smjeru sile te o udaljenosti r pravca na kojem djeluje sila od pravca oko kojeg se vrata vrte što je sadržano u definiciji momenta sile :

sinr F

r r

Pozitivni moment sile izaziva rotaciju suprotno od vrtnje kazaljke sata

Jedinica za moment sile je Nm.

2.Newtonov zakon za rotaciju

Tim je eksperimentalnim zakonom utvrđena veza momenta sile koja djeluje na kruto tijelo, momenta tromosti tijela oko osi vrtnje i kutnog ubrzanja koje pritom ima tijelo :

ukupni

I

Kutno je ubrzanje je u rad/s2 , a moment tromosti u kgm2.

Bočni judo zahvat

Judo borac nastoji baciti na pod suparnika mase 70 kg koristeći bočni judo zahvat : silom F poteže ga za kimono uz krak sile od 0.25 m od osi rotacije koja prolazi kroz njegov bok i centar gravitacijske sile suparnika. Kutno ubrzanje suparnika bi trebalo biti –6rad/s2, moment tromosti s obzirom na tu os vrtnje 15 kgm2.

centar mase suparnika

krak sile potezanja

Foslonac na boku

kroz koji prolazi

os vrtnje

Analiza zahvata

Na suparnika djeluju tri sile : gravitacijska,kontaktna od boka,sila potezanja

Krakovi tih sila kad je suparnik na boku :

centar mase je iznad oslonca pa je krak te sile nula

krak kontaktne (normalne)sile je nula

krak sile potezanja je 0.25r m

Primjenom 2.Newtonovog zakona za rotaciju ukupni I F r

i uvrštavanjem poznatih veličina za r ,I, izračuna se iznos sile potezanja 15 ( 6)

3600.25

F N N

Kad bi suparnika potezali bez podizanja na bok , uz pretpostavku da je krak

gravitacijske sile 0.1m , onda bi imali ( 0.1 0.25)ukupni mg F Nm

i potrebna sila potezanja bi iznosila 635N.

Kutna količina gibanja i zakon njenog očuvanja

Ako tijelo mase m rotira oko fiksne osi s kutnom brzinom i ako je moment tromosti oko te osi I , kutna količina gibanja je vektor u smjeru osi oznake L i iznosa :

L IKutna količina gibanja u zatvorenom sustavu je očuvana veličina .

Uvjeti ravnoteže

0ukupni

0ukupnaF

Vektorska suma vanjskih sila koje djeluju na tijelo mora biti nula .

Vektorska suma vanjskih momenata sila koje djeluju na tijelo mora biti nula, izmjerena oko bilo koje točke .

Podaci: 1loptem kg 2podlakticem kg

0.2podlakticer m

podlakticer

hvatišta mišićar

hvatišta mišića 0.03r mF

teretar

tereta 0.35r m

mišića 245F N