kinematika materijalne toke - weboteka.net 2/kinematika_teorija.pdf · 1 1 kinematika materijalne...
TRANSCRIPT
1
1
Kinematika materijalne to�ke
10. dio
2
Podjela mehanike
3
Mehanika krutog tijela
Statika Kinematika Dinamika
4
5
Galilejevi pokusi kuglica na kosini
6
KinematikaKinematika je grana mehanike koja prou�ava gibanja materijalnih tijela i povezuje položaje tijela s vremenom, ne analiziraju�i uzroke zbog kojih ta gibanja nastaju .
Kinematika je geometrija gibanja.Ne uzima u obzir:
- masu tijela m i- silu F koja uzrokuje gibanje.
2
7
Dinamika
Dinamika je grana mehanike koja prou�ava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.
U dinamici se utvr�uju uzro�ne veze izme�u sila i gibanja materijalnih to�aka ili tijela.
Uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.
8
Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici
9
Kinematika
Kinematikamaterijalne
to�ke
Kinematikakrutog tijela
Dinamika
Dinamikamaterijalne
to�ke
Dinamikakrutog tijela
10
Veli�ine u mehanici
1. Skalari
2. Vektori
3. Tenzori II. reda
4. Tenzori IV. reda
11
1. Skalari: tenzori nultog reda(30= 1 podatak + mjerna jedinica)
2. Vektori: tenzori prvog reda(31= 3 podatka + mjerna jedinica)
3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica
4. Tenzori �etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica
12
1. Skalari1. dužina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. površina A (m2)5. obujam V (m3)6. gusto�a r (kg/m3)7. kut a (°) (rad)8. temperatura T (°C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)
3
13
2. Vektori
1. radijus vektor (m)
2. vektor pomaka (m)
3. brzina (m/s)
4. ubrzanje (m/s2)
→r→s→v→a
14
5. koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)
6. sila (N=kgm/s2)
7. stati�ki moment sile
obzirom na neki pol (Nm)
8. moment koli�ine gibanja (Nms)
9. impuls sile (Ns)
→→⋅= vm K
→→→×= F rMO
→→→⋅×= vmr LO
→→⋅= tF I
→→⋅= am F
15
Mehanika
Zadatak mehanike je prou�avanje op�ih zakona mehani�kog gibanja.
Mehani�ko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kaopremještanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.
16
Materijalno tijelo
Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograni�eni prostor ispunjen materijom.
Glavna svojstva materijalnih tijela su:• oblik• obujam• položaj
i ona �ine prostorno stanje tijela.
17
Promjena položaja tijela je gibanje.Kinematika je grana mehanike koja prou�ava
gibanja materijalnih tijela i samo povezuje položaje tijela s vremenom.
Zakon gibanja: s = s(t)s = f (t)
18
Gibanje to�ke na obodu kota�a vidi: biciklist – kao gibanje to�ke po kružnicipromatra� sa strane – kao gibanje to�ke po krivulji
cikloidi
4
19
Položaj to�ke u bilo kojem trenutku vremena tzadajemo u referentnom koordinatnom sustavu.
Referentni koordinatni sustav je Descartesovortogonalni��������� � ���������en ishodištem i trima me�usobno okomitim koordinatnim osima Oxyz.
20
Putanja ili trajektorija materijalne to�ke je neprekinuta crta koju opisuje materijalna to�ka pri gibanju u odnosu na referentni koordinatni sustav.
21
Treba razlikovati udaljenosti s od prevaljenogputa
Primjer: �Položaj to�ke u trenutku t2 � luk s2= OM2
�Prevaljeni put u intervalu t2 = luk (OM1+ M1M2)
luk s2� luk (OM1+ M1M2)
22
Osnovne kinemati�ke veli�ine:
• put (m) • vrijeme t (s)
Glavne kinemati�ke veli�ine:
• brzina (m/s)
• ubrzanje (m/s2)
s
v
a
23
• Zakon gibanjaodre�uje položaj to�ke u odnosu na referentni koordinatni sustav u bilo kojem trenutku vremena.
• Zakon gibanja jednozna�no odre�uje samo položaj to�ke na putanji ali ne i pre�eni put.
• Poznavaju�i zakon gibanja tijela odre�ujemo kinemati�ke veli�ine koje definiraju gibanje a to su:- brzina i- ubrzanje .
v
a
)t(fs = )t(ss =
24
Prema obliku putanje - trajektorijerazlikujemo slijede�a gibanja:
�prostorno i ravninsko gibanje �krivocrtno i pravocrtno gibanje to�ke
�kružno gibanje - putanja to�ke je kružnica�povratno - oscilatorno gibanje kada se
to�ka gibaju�i se po istoj putanji vra�a u svoj prvobitni položaj.
5
25
Kinematikamaterijalne
to�ke
Krivocrtnogibanje
a) Kružnogibanje
b) Pravocrtno gibanje
c) Oscilatornogibanje
26
Prostorno gibanje
27
Ravninsko gibanje
28
Gibanje po kružnici
29
Gibanje po pravcu
30
Oscilatorno gibanje
6
31
Kinematikakrutog tijela
1. Translacija 2. Rotacija
Krivocrtna Pravocrtna
32
Krivocrtna translacija Pravocrtna translacija
2. Rotacija
33
Kinematika materijalne to�ke
a) Zadavanje krivocrtnog gibanjab) Brzina v i ubrzanje ac) Vrste krivocrtnih gibanja
34
Osnovne kinemati�ke veli�ine:
• put (m) • vrijeme t (s)
Glavne kinemati�ke veli�ine:
• brzina (m/s)
• ubrzanje (m/s2)
s
v
a
35
Krivocrtno gibanje materijalne to�ke
Položaj materijalne to�ke u svakomtrenutku vremena možemo definirati naslijede�e na�ine: 1. Vektorski na�in definiranja gibanja
2. Prirodni na�in definiranja gibanja
)t(rr→→
=
)t(ss→→
=
36
1. Vektorski na�in definiranja gibanja
• Pri gibanju to�ke M mijenja se vektor položaja po pravcu i intenzitetu.
→r
• Zakon krivocrtnoggibanja vektorskom obliku: )t(rr
→→=
7
37
2. Prirodni koordinatni sustav
Ortogonalni sustav s pravolinijskim osima koji se od Oxyzortogonalnog sustava razlikuje samo svojom pomi�noš�u.
� Zakon krivocrtnog gibanja:
)t(ss→→
=
38
Koordinatni sustav je vezan uz materijalnu to�ku M koja se giba po putanji – trajektoriji s.
2. Prirodni koordinatni sustav
Primjena prirodnog koordinatnog sustavamogu�a je samo ako je poznata putanja:
)t(ss→→
=
39
1. Vektorski na�in definiranja gibanja
Gibanje zadajemo vektorom položaja – radijusvektora u jednom od koordinatnih sustava:
� Descartesovom, � cilindri�nom (polarnom) ili � sfernom.
)t(rr→→
=
40
1a. Descartesov koordinatni sustav
)t(zz)t(yy)t(xx
===
�Zakon krivocrtnog gibanja:
(Parametarske jednadžbe)
→→→→
→→→→
→→
++=
++=
=
k)t(zj)t(yi)t(xr
k)t(rj)t(ri)t(rr
)t(rr
zyx
41
)t(zz )t(yy )t(xx :prostoru u gibanje Za
===
)t(yy )t(xx :avninir u gibanje Za
==
)t(xx :ravcup op gibanje Za =
42
1.b. Cilindri�ni (polarni) koordinatni sustav
� Položaj to�ke u odnosu na referentni koordinatni sustav Oxyz definiran je dvjema dužinama ρρρρ i zte jednim kutom ϕϕϕϕ koji se mijenjaju tijekom vremena
� Zakon krivocrtnog gibanja:
)t( zz)t( )t(
=ϕ=ϕρ=ρ
8
43 44
Za gibanja u ravnini koordinata z = z(t) = 0 pa se vektori ρρρρ i r podudaraju.
)t( )t( rr
ϕ=ϕ=
1.b. Polarni koordinatni sustav
45
1.b. Kružno gibanje u ravnini Oxy –naj�eš�i oblik krivocrtnog gibanja
� Zakon kružnog gibanja:
)t(.konstr
ϕ=ϕ=
46
1c. Sferni koordinatni sustav
• Položaj to�ke u sfernom����������� � �����odre�en je jednom dužinom r i dvama kutovimaϕϕϕϕ i θθθθ koji se mijenjaju tijekom vremena.
)t( )t(
)t( rr
θ=θϕ=ϕ
=
� Zakon krivocrtnog gibanja:
47
2. Prirodni koordinatni sustav
� Zakon krivocrtnog gibanja:
)t(ss→→
=
48
Prirodni koordinatni sustava tvore: � tangenta t,�glavna normala n i� binormala b
(desni koordinatni sustav).
9
49
Iz osnovnih kinematskih veli�ina:
• puta s (m) odnosno [kut ϕ (rad)]• vremena t (s)
možemo odrediti glavne karakteristike gibanja: • brzinu v (m/s) [kutna brzina ω (1/s)]• ubrzanje a (m/s2) [kutno ubrzanje ε (1/s2)]
50
Brzina v i ubrzanje to�ke a
• Odre�ivanje brzine gibanja to�ke u krivocrtnomgibanju ovisi o na�inu na koji je zadano gibanje
1. vektorski u:a) Descartesovom koordinatnom sustavub) Polarnom koordinatnom sustavu
2. u prirodnom koordinatnom sustavu
51
dt
drv
dtdr
v yy
xx ==
→→→⋅+⋅= j)t(ri)t(rr yx
Komponente brzine:
2y
2x vvv +=
Intenzitet brzine:
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2y
2x aaa +=
2y
2y
y
2x
2x
x
dt
rd
dt
dva
dtrd
dtdv
a
==
==
1. Vektorski na�in:
52
dtdy
v dtdx
v yx ==
→→→⋅+⋅= j)t(yi)t(xr
Komponente brzine:
2y
2x vvv +=
Intenzitet brzine:
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
2y
2x aaa +=
2
2x
xdt
xddt
dva ==
2
2y
ydt
yddt
dva ==
1.a Descartesov koordinatni sustav
53
1.b. Cilindri�ni koordinatni sustavPolarni koordinatni sustav (z=0)
)t(
.konstr
ϕ=ϕ=
Kružno gibanje:
Kutna brzina: ω
Kutno ubrzanje: ε
54
Obodna brzina:
ω⋅= rv
⋅⋅
⋅
ϕ=ϕ=ω=ε
ϕ=ϕ=ω
2
2
dtd
dtd
dtd
10
55
.konstr
)t(
=ϕ=ϕ
2n
t
aa
tgωε==α
Komponente ubrzanja:
Intenzitet ubrzanja:
422n
2t raaa ω+ε=+=
( )
22
n
t
rr
va
rdtrd
dtdv
a
ω⋅==
ε⋅=ω⋅==
ω⋅= rv
Vektor ubrzanja a ima dvije komponente:
tangencijalnu at i normalnu an. 56
Kružno gibanje
Razlikujemo slu�ajeve:� ε >0 dω = ε.dt >0 ubrzano
gibanjeε =konst. jednoliko ubrzano
� ε <0 dω = ε.dt <0 usporeno gibanjeε =konst. jednoliko usporeno
� ε =0 dω = ε.dt =0 jednoliko gibanje
57
a) Jednoliko ubrzano gibanje
20 t
21
t ⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ
Zakon gibanja:
b) Jednoliko usporeno gibanje2
0 t21
t ⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ
c) Jednoliko gibanje
t0 ⋅ω+ϕ=ϕ
r
58
a) Jednoliko ubrzano gibanje
20
0
t21
t :gibanja Zakon
t :brzina Kutna
.konstdtd
:ubrzanje Kutno
⋅ε+⋅ω+ϕ=ϕ
⋅ε+ω=ω
=ω=ε
ε > 0
59
b) Jednoliko usporeno gibanje
20
0
t21
t :gibanja Zakon
t :brzina Kutna
.konstdtd
:eusporavanj Kutno
⋅ε−⋅ω+ϕ=ϕ
⋅ε−ω=ω
=ω=ε
ε < 0
60
c) Jednoliko kružno gibanje
t :gibanja Zakon
.konstdtd
:brzina Kutna
0 :ubrzanje Kutno
0 ⋅ω+ϕ=ϕ
=ϕ=ω
=ε
11
61
2. Prirodni koordinatni sustav s = s (t)
2
2
dtsd
dtdv
va :Ubrzanje
dtds
sv :Brzina
===
==
•
•
Vektor brzine v poklapa se sa smjerom tangente t.
Pozitivan je smjer osi glavne normale n onaj koji gleda prema središtu zakrivljenosti.
62
Gibanje to�ke po kružnici polumjera R
63
( ) ( ) ( )
→→→
→→→→→→→
→→→→
+⋅=
+++⋅��
���
� ++=
+++++=
0rtur
k5j4itk6j3i2r
k5t6j4t3i1t2r
Trajektorija je pravac
Primjer 1. Vektorsko na�in zadavanjakrivocrtnog gibanja:
→→→→⋅+⋅+⋅= k)t(rj)t(ri)t(rr zyx
64
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0a 0a 0a 0a
m/s 7632vvv vk6j3i2v
dtdv
a dt
dva
dtdv
a dtdr
v dt
drv
dtdr
v
5t6r ;4t3r ;1t2rk5t6j4t3i1t2r
zyx
2222z
2y
2x
zz
yy
xx
zz
yy
xx
zyx
====
=++=++=++=
======
+=+=+=+++++=
→→→→
→→→→
Jednoliko gibanje po pravcu
65
Primjer 2. Descartesov koordinatni sustav
( ) 4
2x
y
8y24-y2 x xu4-yy t iz
tparametra aeliminacij :iju trajektorza- (4;6) C 2(s) t
(2;5) B (s) 1 t 4ty (0;4)A 0 t t2x
+=
−===
=
=+===
apravc dio je jatrajektori
B
66
0a ;0a ;0dt
dva :Ubrzanje
m/s 24,2512v
1dtdy
v
2dtdx
v:Brzina
4ty
t2x
yx
x
22
y
x
====
==+=
==
==
+==
Jednoliko pravocrtno gibanje
12
67
tsin5dt
sddtdv
a
tcos5dtds
v
2
2⋅−===
⋅==
050-50a = - 5 sin t (m/s2)
50-505v = 5 cos t (m/s)
0-5050s = 5 sin t (m)
2π3π/2ππ/20t (s)
Brzina:
Ubrzanje:
Primjer 3: Prirodni koordinatni sustav
s = 5 . sin t - oscilatorno (harmonijsko) gibanje
68
s = 5 . sin t
v = 5 . cos t
a = - 5 . sin t
69
Ravninsko krivocrtno gibanje materijalne to�ke
Prema promjeni brzine razlikujemo slijede�agibanja:
� Jednoliko�Promjenljivo
v
70
Brzina to�ke• Jednoliko gibanje:
To�ka se giba jednoliko ako u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje jednake putove (ubrzanje a=0)Brzina gibanja je:
• Promjenljivo (nejednoliko) gibanje: To�ka u jednakim vremenskim intervalima prevaljuje razli�ite putove (a = 0; ubrzanje a>0 ili usporenje: a<0).Razlikujemo srednju vsr i trenutnu brzinu v.
��
���
�=sm
ts
v
→v
71
• Srednja brzina:
• Trenutna brzina:
dtds
ts
lim)vlim(vtt
sr =∆
∆==→
→∆→∆
→→
00
t s
v sr∆∆=
→→
72
Ubrzanje to�ke
• Pri gibanju to�ke po krivocrtnoj putanji (trajektoriji) mijenjaju se pravac i intenzitet brzine to�ke.
→a
13
73
�Srednja vrijednost ubrzanja:
�Trenutno ubrzanje:
��
���
�
∆∆=
→→
2srs
m
t v
a
��
���
�
∆∆==
→
→∆
→
→∆
→
2tsr
t s
m
t v
limalima00
��
���
�
∆∆=
→→
2srs
m
t v
a
74
�Rastavljanje ubrzanja na prirodne komponente:
2n
2t aaa +=
n
t
aa
tg =α
aaa nt→→→
+=
75
Tangencijalna komponenta at :� podudara se s pravcem brzine – tangenta na putanju� karakterizira promjenu intenziteta vektora brzine � može biti u istom ili suprotnom smjeru od brzine
Normalna komponenta an:� okomita je na pravac brzine v odnosno at
� odre�uje promjenu smjera vektora brzine� usmjerena prema centru zakrivljenosti
a nata
a
76
�Tangencijalna komponenta:
�Normalna komponenta:
rv
an
2=
dtdv
t v
lima0t
t =∆∆=
→∆
77
A. Slu�ajevi krivocrtnih gibanja:
1. at >0 at=konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = at
.dt >0)
2. at <0 at=konst. jednoliko usporeno gibanje(dv = at
.dt <0)
3. at =0 jednoliko gibanje (dv = at
.dt =0)
78
1. Jednoliko ubrzano gibanje 2. Jednoliko usporeno gibanje
Iznos brzina se pove�ava Iznos brzine se smanjuje
at > 0 at < 0
Jednoliko krivocrtno gibanje at=konst.
14
79
1. Jednoliko ubrzano krivocrtno gibanje
.konsta 0a tt =>
tavv
tvv
tv
a
t0
0t
⋅+=
−=∆∆=
2t00
t000
00sr00
ta21
tvss
t2
tavvst
2vv
stvssss
⋅⋅+⋅+=
⋅⋅+++=⋅++=⋅+=∆+=
tvs
vv
sr
0
⋅=∆>
80
2. Jednoliko usporeno krivocrtno gibanje
.konsta 0a tt =<
tavv
tvv
tv
a
t0
0t
⋅−=
−=∆∆=−
2t00
t000
00sr00
ta21
tvss
t2
tavvst
2vv
stvssss
⋅⋅−⋅+=
⋅⋅−++=⋅++=⋅+=∆+=
ta tvs
vv
sr
0
⋅=∆<
81
3. Jednoliko krivocrtno gibanje
rv
aa2
n ==
Tangencijalno ubrzanje:
Ukupno ubrzanje je jednako
normalnom ubrzanju:
0a t =
Brzina: v = konst.
82
Ovisno o trajektoriji razlikujemo slijede�a krivocrtna gibanja:
A. Kružno gibanje
B. Pravocrtno gibanje
C. Oscilatorno gibanje
83
A. Jednoliko kružno gibanje v = konst.
� Tangencijalno ubrzanje at = 0
natv =
∆∆
� Normalno ubrzanje an = ? 84
Odre�ivanje intenziteta normalnog ubrzanja an
Normalna komponenta an:� okomita je na pravac brzine v odnosno at
�odre�uje promjenu smjera vektora brzine� usmjerena prema centru zakrivljenosti
natv =
∆∆
15
85
1. Brzina mijenja samo smjer: vA= vB = v2. Za male kutove: ∆s = r . ∆ϕ 3. Analogno iz poligona brzina: ∆v = vA
. ∆ϕ = v . ∆ϕ
tvs ts
v.4 ∆⋅=∆�∆∆=
natv =
∆∆
86rv
a
tv
a
rv
tv
rt
vr
tvvvv 3 .ad
rtv
rs
4.ju supstituci uz 2 ad.
2
n
n
2
2
=
∆∆=
=∆∆
∆⋅=∆⋅⋅=ϕ∆⋅=∆
∆⋅=∆=ϕ∆
87
B. Pravocrtno gibanje
• Radijus zakrivljenosti je beskona�no velik r = �
• Nema normalnog ubrzanja:
• Ubrzanje jednako je tangencijalnom ubrzanju
0r
va
2
n ==
tv
limaa
aaa
t
tn
∆∆==
+=→
→→
→→→
a ta
88
B. Slu�ajevi pravocrtnih gibanja:
1. a >0 a = konst. jednoliko ubrzano gibanje(dv = a.dt >0)
2. a <0 a =konst. jednoliko usporeno gibanje(dv = a.dt <0)
3. a =0 jednoliko gibanje (dv = a.dt =0)
89
1. Jednoliko ubrzano gibanje 2. Jednoliko usporeno gibanje
Jednoliko pravocrtno gibanje a = konst.
Iznos brzina se pove�ava Iznos brzine se smanjuje 90
1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje
.konsta 0aa tt =>=
tavv
tvv
tv
a
t0
0t
⋅+=
−=∆∆=
2t00 ta
21
tvss ⋅⋅+⋅+=
16
91
2. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje
tavv t0 ⋅−=
2t00 ta
21
tvss ⋅⋅−⋅+=
.konsta 0aa tt =<=
ta
92
Brzina je konstantna
3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = at = 0
0r
va r
2
n ==�∞=
tvss 00 ⋅+=
v = konst.
93
Odredite vrstu gibanja:
94
B. Pravocrtna gibanja
1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 02. Jednoliko usporeno pravocrtno gibanje a > 03. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0
Dijagrami:a – tv – ts – t
95
Dijagrami:
( )020
2
200
0
ssa2vv
ta21
tvss
tavv
−⋅⋅+=
⋅⋅+⋅+=
⋅⋅+=
tavv t0 ⋅+=
1. Jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje a > 0
96
Primjer: Galilejeva kosina
2ta21
s
tav
⋅⋅=
⋅=
16:9:4:14:3:2:1s:s:s:s 22224321 ==
17
97
Primjer: Slobodni pad
2tg21
s
tgv
⋅⋅=
⋅=
98
Slobodni pad
sg2v gv
g21
s
gv
t tgv
22
⋅⋅=����
����
�⋅⋅=
=�⋅=
99
2. Jednoliko usporenopravocrtno gibanje
( )020
2
200
0
ssa2vv
ta21
tvss
tavv
−⋅⋅−=
⋅⋅−⋅+=
⋅⋅−=
a < 0
100
Vertikalni hitac:
gv2
t2T
vrha)do (samo leta Trajanje
Hg2v g2
vH
hica Visina
tg21
tvs
t gvvg a
0
20
20
20
0
⋅=⋅=
⋅⋅=�⋅
=
⋅⋅−⋅=
⋅−=−=Usporeno pravocrtno gibanje:
101
gv2
t2T
leta trajanjeUkupno
g2
vH
gv
g21
gv
vH
:hica Visina
tg21
tvs
gv
t
tgv0t gvv
0
20
200
0
20
0
00
⋅=⋅=
⋅=
���
����
�⋅⋅−⋅=
⋅⋅−⋅=
=
⋅−=⋅−=
102
Dijagrami:
3. Jednoliko pravocrtno gibanje a = 0
tvss.konstv
0a
00 ⋅+===
18
103
Formalna analogija pravocrtnog i kružnog gibanja
Jednoliko gibanje:ε = 0
Jednoliko gibanje:a = 0
Jednoliko promjenjivo gibanje
kutno ubrzanjeubrzanje
kutna brzinabrzina
ϕkut rotacijesput
Krivocrtno gibanjePravocrtno gibanje
dtds
v =
dtdv
aa t ==
200
0
ta21
tvss
tavvkonst. a
⋅±⋅+=
⋅±==
200
0
t21
t
t
konst.
⋅ε±⋅ω+ϕ=ϕ
⋅ε±ω=ω=ε
dtdϕ=ω
dtdω=ε
tvss
.konstv
0 ⋅+==
t.konst
0 ⋅ω+ϕ=ϕ=ω
104
• Primjer: Jedan �ovjek s vrha zgrade visine 12 m pusti bez po�etne brzine loptu A. U isto vrijeme drugi �ovjek s visine od 1,5 m od podnožja zgrade baci uvis loptu B. Ako pretpostavimo da su se lopte mimoišle na visini od 6 m, odredite brzinu kojom je lopta B ba�ena uvis.
105
? v
m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta
m 6,0 s 0v 0s :A Lopta
B
0
00
=
==
===
s 106,122,18,962
t t8,921
00 6,0
tg21
tvss
gibanje ubrzano jednoliko- )s( pad slobodan
m 6,0 s 0v 0s :A Lopta
2
200
00
==⋅=�⋅⋅++=
⋅⋅+⋅+=
↓+
===
106
m/s 9,49v
106,1
106,19,44,5 v
106,18,921
106,1v1,5 6,0
tg21
tvss
)s( gibanje usporeno ednolikoj
m ,0 6 s m 5,1s :B Lopta
B
2
B
2B
200
0
=
⋅+=
⋅⋅−⋅+=
⋅⋅−⋅+=
↑+
==
107
C. Oscilatorno gibanje materijalne to�ke
108
• Oscilatorno gibanje je najrasprostranjenije gibanje u prirodi.
• To je gibanje materijalne to�ke koje se u odre�enom vremenskom intervalu ponavlja(potpuno u svim pojedinostima).
• Najvažnije i najjednostavnije je harmonijsko oscilatorno titranje.
• Kulisni mehanizam je primjer harmonijskog gibanja.
19
109
Poluga OA vezana je zaosovinu u to�ci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.
To�ka B mehanizmakulise kre�e se gore -������izme�u to�aka D-O-C
110
2
cosrx
OBx
��
���
� π−ψ⋅=
=
ϕ+⋅ω=ψ tZa ω = konst. prije�eni kut ψ je:
ϕ – po�etni kut
111
ψ⋅=��
���
� π−ψ⋅= sinr 2
cosrxϕ+⋅ω=ψ t
Zakon harmonijskog gibanja:
r – amplitudaϕ – po�etna faza
( )ϕ+⋅ω⋅= t sinrx
112
ωπ= 2
T
π=⋅ω 2T
Za jedan okret – kut 2π vrijedi relacija:
Period oscilacija:
Broj oscilacija u sekundi πω==2T
1f
113
Brzina v i ubrzanje a••
= xa
( )ϕ+⋅ω⋅= t sinrx
( )ϕωω +⋅⋅⋅==•
t cosrxv
•= xv
( )ϕ+⋅ω⋅ω⋅−==••
t sinrxa 2
114
( )ϕω +⋅⋅= t sinrx
( )ϕωω +⋅⋅⋅==•
t cosrxv
20
115
t sin ⋅⋅= ωrxBez po�etne faze
0 0t0 =ϕ=
π=ωπ=
=ω
2 2
T
1
116
Brzina v t cos ⋅⋅⋅==•
ωωrxvv (m)
117
t sin ⋅⋅= ωrx
t cos ⋅⋅⋅==•
ωωrxv
118
119
π=ωπ=
=ω
2 2
T
1
s = 5.sin tPrimjer 1:
120
tsin5dt
sddtdv
a
tcos5dtds
v
tsin5s
2
2⋅−===
⋅==
⋅=
050-50a = - 5 . sin t (m/s2)
50-505v = 5 . cos t (m/s)
0-5050s = 5 . sin t (m)
2π3π/2ππ/20t (s)
21
121 122
• Primjer 2:
(s) 42
T (1/s) 2
)m( 2r
(m) t2
sin2x
=ωπ=π=ω=
��
���
� π⋅=
123
t2
sin2
xa
t2
cosxv t2
sin2x
2 π⋅π−==
π⋅π==��
���
� π⋅=
⋅⋅
⋅
0π2/20-π2/20a (m/s2)
π0-π0πv (m/s)
0-2020x (m)
43210t (s)
124
125
• Primjer 3:
)(m/s 6
tsin3xva
)(m/s 6
tcos13xv
22
T 1 3r
)(m 6
tsin3x
2��
���
� π+⋅−===
��
���
� π+⋅⋅==
π=ωπ==ω=
��
���
� π+⋅=
⋅⋅⋅
⋅
126
2/33
- 3/2030-3-3/2a (m/s2)30-30v (m/s)10-10cos(t+π/6)
3/20-3033/2x (m)1/20-1011/2sin(t+π/6)
13π/612π/69π/66π/63π/6π/6t+π/612π/611π/68π/65π/62π/60t (s)
2/33
2/32/3
��
���
� π+⋅−=��
���
� π+⋅=��
���
� π+⋅=6
tsin3a 6
tcos3v 6
tsin3x
Dijagrami: s - t, v - t i a - t doma�a zada�a