rodolfo diaz notas de clase electrodinamica

Electrodinámica: Notas de Clase

Rodolfo A. DiazUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de FísicaBogotá, Colombia

The Date

Índice general

I Campos eléctricos y magnéticos independientes del tiempo 1

1. Electrostática 31.1. Ley de Coulomb y campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1. Cálculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5. Discontinuidades en el campo eléctrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5.1. Capa dipolar super�cial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Funciones de Green en electrostática 212.0.1. Teoremas de Green en electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1. Ecuación de Green y potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Interpretación de la función de Green en electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Expansión en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3. Cálculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.4. Un ejemplo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4. Problemas bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1. Combinación de método directo con expansión ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.2. Problema bidimensional semi-in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3. Función de Green en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3. Método de imágenes 453.1. Método de imágenes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Linea de carga �nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6. Carga puntual en frente de un conductor esférico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iii

iv ÍNDICE GENERAL

3.7. Esfera conductora colocada en campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4. Ecuación de Laplace 554.1. Propiedades de las soluciones de la Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2. Unicidad de la ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3. Ecuación de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.3. Cilindro in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4. Ecuación de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 644.5. Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5.2. Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5.3. Propiedades de Pl (cos �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5.4. Esfera con � = V (�) en la super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.5.5. Cascarones concéntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7. Expansión de 1

jr�r0j en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.8. Funciones asociadas de Legendre y Armónicos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.9. Delta de Dirac en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.10. Función de Green en coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.10.1. Teorema de adición de armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.11. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.12. Función de Green para exterior en interior de la esfera combinando imágenes con autofunciones 804.13. Función de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esféricos concéntricos con

G = 0 en la super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5. Ecuación de Poisson en coordenadas esféricas 835.1. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2. Condición de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3. Carga super�cial en semicírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.4. Distribución poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.5. Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 89

6. Multipolos eléctricos 916.1. Expansión multipolar del potencial electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.1. Multipolos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.1.2. Multipolos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.1.3. Ilustración de los términos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . 946.1.4. Dipolos para campos cercanos* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.1.5. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2. Energía potencial electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2.1. Distribuciones contínuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3. Expansión multipolar de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.4. Expansión multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.5. Expansión multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

A. Teoremas de unicidad de la ecuación de Poisson 107

Parte I

Campos eléctricos y magnéticosindependientes del tiempo

1

Capítulo 1

Electrostática

1.1. Ley de Coulomb y campo eléctrico

La interacción eléctrica se obtuvo inicialmente por frotamiento. Experimentalmente se encuentra que sitenemos dos cuerpos electrizados a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces

La fuerza es proporcional al producto de las cargas.

Dicha fuerza es central, es decir actúa a lo largo de la línea que une las cargas.

F es proporcional a 1=r2 siendo r la distancia que separa las cargas.

Solo hay dos tipos de electrización, partículas con electrizaciones semejantes se repelen en tanto quesi ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puede verse fácilmente con experimentos defrotación.

Convencionalmente se llamó positiva a la electrización que adquiere el vidrio frotado y negativa a laelectrización que adquiere el ámbar frotado.

Cuando tenemos una distribución de cargas que actúan sobre una carga pequeña, la fuerza y campototales obedecen el principio de superposición. Este principio de superposición se puede extrapolar cuandotenemos distribuciones contínuas de carga.

1.1.1. Ley de Coulomb

La fuerza que una carga puntual q1 ejerce sobre la carga q2 viene dada por

Fq1!q2 = Kq1q2 (r2 � r1)jr2 � r1j3

donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algún sistema de referencia inercial, yK es unaconstante universal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido Físico de la electrostática yace en laley de Coulomb y el principio de superposición. La escogencia de la constante de proporcionalidad determinala unidad de carga. Las unidades mas comúnmente usadas son

Unidades electrostáticas (e.s.u) en este sistema de unidades, q = 1 cuando ejerce una fuerza de unadina sobre otra carga idéntica colocada a un centímetro. Esta unidad es el statcoulomb y K = 1 (conunidades).

MKSA o sistema internacional SI. en este caso se de�ne la constante K = 1= (4�"0) con "0 = 8;85 �10�12. q = 1coulomb cuando dos cargas idénticas separadas un metro experimentan una fuerza mutuade 1

4�"0Newtons. 1Coul = 3� 109Statcoul:

3

4 CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA

Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece automáti-camente la ley de acción y reacción. Por otra parte, si asumimos que la Mecánica Newtoniana es unadescripción adecuada de la naturaleza, el principio de superposición está contenido en la segunda ley deNewton, de tal forma que la ley de Coulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecerla segunda ley debe cumplir el principio de superposición. Efectivamente, en el dominio de la mecánicaclásica el principio de superposición está bien soportado a través de diversas pruebas experimentales1. Noobstante, en los dominios de la mecánica cuántica, se pueden observar pequeñas desviaciones debidas aprocesos como la dispersión luz por luz y la polarización del vacío. De igual forma, existe una fuerte baseexperimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microscópico como en el macroscópico.

La ley de Coulomb también puede pensarse como la interacción de q2 con el campo generado por q1.De�nimos E1 �

Fq1!q2q2

= q1(r2�r1)jr2�r1j3

de modo que F2 = q2E1. El campo así de�nido solo depende de la fuente

y no de la carga de prueba. Análogamente, se puede de�nir el campo generado por q2.El campo es un vector y satisface el principio de superposición, el cual es herencia directa del mismo

principio aplicado a las fuerzas. Si una partícula está ubicada en alguna posición dada por r0 (respecto aalgún sistema de referencia inercial) entonces el campo eléctrico evaluado en alguna posición r viene dadopor

E (r) = Kcq (r� r0)jr� r0j3

este campo es central y por tanto conservativo. Cuando tenemos una distribución de carga se usa el principiode superposición para calcular el campo generado por dicha distribución en cualquier punto del espacio.Formalmente

E = l��mq0!0

F

q0

esta de�nición formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad Física, puesto que nopodemos tener hasta el momento, valores de carga menores que la carga electrónica. No obstante, la cargaelectrónica es muy pequeña cuando tratamos fenómenos macroscópicos y la ecuación anterior nos da unabuena descripción de la realidad. Pasando la carga a multiplicar queda

F = q0E

esta ecuación se puede tomar como de�nición alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar elcampo de sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinadopunto, la fuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto será la misma aunque las fuentes decada campo sean muy distintas. Aunque esta rede�nición parece a priori trivial, nos será de gran utilidadcuando estudiemos la generación de campos eléctricos que no dependen de fuentes.

1.1.2. Distribuciones de carga

El descubrimiento de la estructura atómica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga denaturaleza granular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales.Incluso en el caso macroscópico, cuando la distribución de carga está con�nada a un tamaño mucho menorque las distancias de interés, la aproximación de carga puntual nos da una buena descripción de la may-oría de fenómenos eléctricos. Por otra parte, cuando tenemos distribuciones macroscópicas con una grancantidad de átomos y queremos tener en cuenta los efectos que produce la extensión de dicha distribución,es útil considerar que la densidad de carga es una función contínua de las tres dimensiones espaciales. Enconsecuencia el campo eléctrico se puede modelar entonces en términos de distribuciones de carga contínuaso discretas

1Nótese que el principio de superposición depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.

1.1. LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO 5

Discretas

E (r) = Kc

nXi=1

qi (r� ri)jr� rij3

Contínuas

E (r) = Kc

Zdq (r0) (r� r0)jr� r0j3

Las distribuciones contínuas pueden ser lineales �, super�ciales �, o volumétricas �. También es posibletener densidades mixtas.

1.1.3. Función delta de Dirac

Es importante enfatizar que la función delta de Dirac mas que una función es una distribución. En ellenguaje del análisis funcional, es una uno-forma que actúa en espacios vectoriales de funciones, asignándolea cada elemento del espacio, un número real de la siguiente forma: Sea V el espacio vectorial de las funcionesde�nidas en el dominio (b; c) con ciertas propiedades de continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. Ladistribución delta de Dirac es un mapeo que asigna a cada elemento f (x) de V un número real con elsiguiente algoritmo2 Z c

bf (x) � (x� a) dx =

�f (a) si a 2 [b; c]0 si a =2 [b; c]

Con esta distribución es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como unadensidad volumétrica equivalente

� (r) = q��r0 � r0

�(1.1)

esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el potencial que genera

q =

Z��r0�dV 0 =

Zq ��r0 � r0

�d3r0

� (r) = Kc


= Kc

Z� (r0) (r� r0)jr� r0j3

d3r0 = Kc

Zq � (r0 � r0) (r� r0)

jr� r0j3d3r0

� (r) =Kc q (r� r0)jr� r0j3

(1.2)

hay una serie de distribuciones que convergen a la función Delta de Dirac (para mas detalles ver Métodosmatemáticos de Gabriel Téllez Acosta ediciones UniAndes) usaremos fn (x) = np

�e�n

2x2 se puede demostrarque al tomar el límite cuando n ! 1 se reproduce la de�nición y todas las propiedades básicas de ladistribución delta de Dirac.

Algunas propiedades básicas son las siguientes:

1.R1�1 � (x� a) dx = 1

2.R1�1 f (x) r� (r� r0) dV = � rF jr=r0

3. � (ax) = 1jaj� (x)

4. � (r� r0) = � (r0 � r)

5. x� (x) = 0

2Es usual de�nir la �función�delta de Dirac como � (r) =�1 si r = 00 si r 6= 0 y

R� (x) dx = 1. Esta de�nición se basa en

una concepción errónea de la distribución delta de Dirac como una función. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelantede la función delta de Dirac para estar acorde con la literatura.


6. ��x2 � e2

�= 1

2jej [� (x+ e) + � (x� e)]

Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribución, la función delta de Dirac no tiene sentidopor sí sola, sino únicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que � (ax) = 1

jaj� (x), noestamos hablando de una coincidencia numérica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debeaplicar al espacio vectorial de funciones en que estemos trabajando, es decirZ c

bf (x) � (ax) dx =

Z c

bf (x)

1

jaj� (x) dx 8 f (x) 2 V y 8 a 2 R

Estrictamente, el mapeo también se puede hacer sobre los números complejos con propiedades análogas. Eneste mismo espíritu, es necesario aclarar que la densidad volumétrica equivalente de una carga puntual (ytodas las densidades equivalentes que nos encontremos de aquí en adelante) es realmente una distribución.Por ejemplo, la densidad descrita por (1.1), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como lasexpresadas en (1.2). Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribu-ciones. En síntesis, lo que se construye con la densidad volumétrica equivalente es una distribución que meproduzca el mapeo adecuado para reproducir la carga total y el potencial3.

En más de una dimensión la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales,la propiedad

R�(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus

dimensiones son de x�n.

1.2. Ley de Gauss

Es útil cuando queremos evaluar E en una distribución de cargas con cierta simetría. De acuerdo con la�gura ???, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O0 podemos construir undiferencial de �ujo en la vecindad de la posición de�nida por el vector r. El campo electrostático viene dadopor

E (r) = Kcq (r� r0)jr� r0j3

y el diferencial de �ujo es

E (r) � dS (r) = Kcq (r� r0) � dS (r)

jr� r0j3

integrando, se obtiene ZE (r) � dS (r) = Kc q

Z(r� r0) � dS (r)

jr� r0j3= Kc q

Zd

donde Zd =

�4� si O0 est�a dentro de la superficie cerrada0 si O0 est�a fuera de la superficie cerrada

este resultado se puede expresar de manera equivalente asíZE � dS = 4�Kcq

Z��r� r0

�dV = 4�Kcq

�1 si O0 est�a dentro0 si O0 est�a fuera

apelando al principio de superposición esta ley se puede aplicar a cualquier distribución de cargas. Para el�ujo de campo solo contribuye la carga neta que está adentro (suma algebraica de cargas). Obsérvese que laley de Gauss se basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargaspuntuales, b) el principio de superposición, c) la naturaleza central de la fuerza.

3Estos dos mapeos se de�nen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) = jr� r0j en el caso de cargas puntuales. Paracargas lineales serían en el espacio de funciones � (x) y � (x) = jr� r0j.

1.2. LEY DE GAUSS 7

1.2.1. Ley de Gauss en forma diferencial

Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integración volumétrica de la densidadZE � dS = 4�Kcq = 4�Kc

Z� (r) dV

esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, super�cial o puntual, ya que podemos construír unadensidad volumétrica equivalente, como veremos más adelante. Por otro lado el teorema de la divergencianos dice que Z

E � dS =Z(r �E) dV

comparando las integrales de volumenZ(r �E) dV = 4�Kc

Z� (r) dV

al ser esto válido para un volumen arbitrario en forma y tamaño se tiene

r �E = 4�Kc� (r)

Esta ecuación es válida para cualquier distribución estática de cargas, y me dice que las cargas positivas(negativas) son fuentes (sumideros) de líneas de campo eléctrico. Veremos sin embargo, más adelante queesta ecuación se extrapola al caso de campos dependientes del tiempo.

1.2.2. Potencial electrostático

El campo eléctrico generado por una carga puntual estática es conservativo en virtud de su naturalezacentral. Por otro lado, la superposición de campos conservativos genera otro campo también conservativo,de lo cual se sigue que cualquier campo eléctrico generado por una distribución estática de cargas (contínuaso discretas) es conservativo. Matemáticamente, un campo conservativo se puede escribir como E = �r�,siendo � una función escalar. La función escalar asociada al campo eléctrico se conoce como potencial

Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobrela carga de prueba es conservativa y se le asocia una energía potencial F = �rEp. De esto se deduceque � = Ep=q de modo que el potencial es la energía potencial por unidad de carga generada por ciertadistribución. El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma información Física delcampo, es una ventaja operativa, pero también surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado delibertad puede contener la misma información que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que lascomponentes del campo eléctrico no son realmente independientes, puesto que r� E = 0, nos brinda tresecuaciones diferenciales para las componentes de dicho campo4. Cabe mencionar que el potencial obedece aun principio de superposición, heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existeuna arbitrariedad en la de�ición del potencial, para lo cual es necesario �jar el punto del espacio en el cualde�nimos el potencial cero. Esto no es ninguna contradicción ya que el potencial no es un observable físico,como veremos más adelante, el observable es la diferencia de potencial.

Escribamos el campo eléctrico para una distribución arbitraria de cargas

E (r) = Kc


Válido para distribución contínua. Usando

�r�

1

jr� r0j

�=

r� r0

jr� r0j3(1.3)

4Es importante enfatizar que aún quedan grados de libertad, gracias a que estas tres ecuaciones son ecuaciones diferencialesde primer orden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para de�nirlo). Si las ecuaciones soloinvolucraran a los campos en sí, no quedaría ningún grado de libertad.


el campo queda

E (r) = �Kc

Zdq�r0�r�

1

jr� r0j

�y como r opera sobre la variable r pero no sobre r0, puede salir de la integral

E (r) = �r�Kc

Zdq (r0)

jr� r0j

�De�niendo

E = �r� (r) ; � (r) � Kc

Zdq (r0)

jr� r0j

y � (r) es el potencial escalar electrostático5. En esta ecuación podemos tomar r2 a ambos lados

r2� (r) � Kcr2Z

dq (r0)

jr� r0j = Kc

Zdq�r0�r2�

1

jr� r0j

�usando la identidad

r2�

1

jr� r0j

�= �4��

�r� r0

�queda

r2� (r) = �4�Kc

Zdq�r0��r� r0

�= �4�Kc

Z��r0��r� r0

�dV 0 = �4�Kc� (r)

Con lo cual quedar2� (r) = �4�Kc� (r) (1.4)

Conocida como la ecuación de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuación también se puede obtener dela ley de Gauss en forma diferencial

r �E = 4�Kc� (r)) r � (�r�) = 4�Kc� (r)) r2� (r) = �4�Kc� (r)

Demostremos que el � equivalente para una distribución discreta nos da el potencial correcto

� (r) = Kc

Z� (r0)

jr� r0jdV0 = Kc

Xi

qi

Z� (r0�ri)jr� r0j dV

0 = Kc

Xi

qijr� rij

por otro lador�E = �r� (r�) = 0

ya que el rotacional del gradiente de una función escalar bien comportada es siempre cero. Ahora usando elteorema de Stokes Z

(r�E) � dS =IE � dl = 0

de modo que toda integral de línea cerrada del campo electrostático es cero. Ahora sean dos caminos quepasan por los mismos puntos A y B )I

E � dl =

Z B

AE � dl

��C1

+

Z A

BE � dl

��C2

= 0

)Z B

AE � dl

��C1

�Z B

AE � dl

��C2

= 0

5Esta expresión para el potencial depende de que se de�na el cero de potencial en el in�nito. Por esta razón, la forma integraltípica del potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.

1.2. LEY DE GAUSS 9

de lo cual se deduce que Z B

AE � dl

��C1

=

Z B

AE � dl

��C2

de modo que la integral de línea del campo eléctrico es independiente del camino y solo depende de los ex-tremos, es entonces un campo conservativo. Hay que tener especial cuidado con los campos mal comportados.Como ejemplo, sea F (r) = (A=r)u�, una fuerza restringida a dos dimensiones. El diferencial de trabajo esdW = F � dr = (A=r)u� � (dr ur + r d� u�) = (A=r) r d� calculemos el trabajo para varias trayectorias

1) Trayectoria cuyos vectores posición inicial y �nal están a un ángulo �1 y �2 respectivamente

W =

ZAd� = A (�2 � �1)

independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el ángulo (no la distancia)2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen

W =

Z r2

r1

A d� +

Z r1

r2

A d� = 0

da cero independiente de la forma especí�ca de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)3) Trayectoria cerrada que encierra al origen

W =

Z 2�

0A d� = 2�A 6= 0

Luego la fuerza no es conservativa, la cuestión es que r�F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, demodo que un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.

1.2.3. Potencial y trabajo

La colección de todos los puntos con el mismo potencial forman las llamadas super�cies equipotenciales.Como E = �r� las líneas equipotenciales son perpendiculares a tales super�cies, y el campo va en ladirección en la cual el potencial disminuye, veamos el sentido Físico del potencial: consideremos el trabajorealizado sobre una carga q puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia deun campo eléctrico

Wa!b =

Z b

aFext � dr = �q

Z b

aE � dr = q

Z b

ar� � dr

Wa!b = q

Z b

ad� = q [� (b)� � (a)]

el signo menos proviene del hecho de que la fuerza se hace opuesta al campo. Dividiendo por la carga

Wa!bq

= � (b)� � (a) = �Z b

aE � dr

De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidadq puntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo eléctrico.

Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = �r� dejauna constante arbitraria por de�nir en el potencial. �0 = � + c describe la misma Física que �. Esto sellama una transformación Gauge o de calibración (transformación del campo). El campo y el trabajo soninvariantes Gauge. La forma más general del potencial es entonces

� (r) = Kc

Z� (r0) dV 0

jr� r0j + �0


Para �jar la constante escojemos un punto de referencia para de�nir el cero de potencial. Tomemos el ejemplode la carga puntual; en coordenadas polares tenemos:Z b

aE � dr = KcQ

Z1

r2ur � (dr ur) = Kc

ZQ

r2dr = �Kc

Q

r

��ba

= KcQ

�1

ra� 1

rb

�= � (a)� � (b)

de modo que

� (a) = KcQ

�1

ra� 1

rb

�+ � (b)

si hacemos ra = r; rb !1 tenemos que

� (r) =KcQ

r+ � (1)

la escogencia � (1) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejossiempre como puntuales. Cuando hay distribuciones de carga nolocalizadas como en el caso de un alambrein�nito, la escogencia del cero de potencial en el in�nito conduce por lo general a divergencias.

Discusión: En general sí es posible de�nir el cero de potencial en un punto en el in�nito incluso cuandola carga no está localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto de�nir el potencial cero cuando r !1(r distancia del punto a un origen de coordenadas). La razón para ello es que r ! 1 no de�ne un puntosino una super�cie, y no debemos perder de vista que el potencial debe ser �jado en un punto y no enuna super�cie. La pregunta natural es ¿porqué la de�nición del cero de potencial en r ! 1 es válida paradistribuciones localizadas?, la respuesta radica en el hecho de que para distancias su�cientemente grandes, ladistribución se puede ver como una carga puntual, esto signi�ca que para una esfera su�cientemente grandey �centrada� en la distribución, la super�cie de dicha esfera es equipotencial, de modo que de�nir cero elpotencial en un punto de su super�cie equivale a de�nirlo cero en todos los puntos de la super�cie. Cuandola distribución no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alejándonos inde�nidamente, portanto esta enorme esfera no de�ne una super�cie equipotencial.

Veamos el ejemplo especí�co de un alambre in�nito, si ri de�ne la distancia del punto Pi al alambre,tenemos que

�21 = �Z P2

P1

E � dS = �2� ln r2 + 2� ln r1 = �2� ln r + const

Escogemos � (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0; a 6=1). Si elegimos el cero de potencial en un punto especí�coen el in�nito (por ejemplo el punto (0; 0; z !1)), vamos a obtener potenciales in�nitos en todo el espacio.Sin embargo, las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables físicos) van a continuar siendo�nitas. Hay que tener en cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.

1.3. Ecuaciones de campo

Tenemos las dos ecuaciones de campo

r �E = 4�Kc� (r) ; r�E = 0

El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo especi�can el valor del campo salvo por unfactor adicional que sería el gradiente de una función escalar que satisfaga la ecuación de Laplace en todoel espacio. Es decir si E es solución de estas ecuaciones vectoriales entonces E0 también es solución si

E0 = E+r' con r2' = 0 en todo el espacio

1.3. ECUACIONES DE CAMPO 11

pero si r2' = 0 en todo el espacio entonces ' puede ser a lo más una constante, de modo que E0 = E. Sinembargo, en la mayoría de problemas reales de la Física, conocemos la densidad � solo en una cierta región Rdel espacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrostático pero solo dentrode la región R. Esto nos indica que r2' = 0 en la región R, pero no necesariamente en todo el espacio, locual implica que la solución para ' puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desdeel punto de vista Físico, esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta región delespacio, no nos excluye de la in�uencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposicióntambién afectarán el campo. Este sencillo argumento Físico nos dice que hay in�nitas soluciones para Ecuando solo se conoce la densidad en una cierta región del espacio. Esto indica que las ecuaciones anterioressolo son útiles en alguno de los siguientes casos

Conocemos la distribución de carga en todo el universo

La distribución de carga en R está lo su�cientemente aislada de otras cargas, lo cual implica asumirque la carga en el universo es � (r) en el interior de R y cero fuera de R.

Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha región, pero en cambioconocemos ciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solución de la ecuaciones anterioressean únicas.

Esta última posibilidad está inspirada en un argumento Físico y otro Matemático. Físicamente, sabemosque en algunos sistemas como los conductores electrostáticos, aunque no conozcamos la distribución de cargaexterior, conocemos ciertos efectos netos que la interacción de la carga externa con la interna producen:que la super�cie del conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matemático, sabemos quelas ecuaciones diferenciales parciales tienen solución única bajo cierto tipo especí�co de condiciones en lafrontera.

Como ya vimos, las dos ecuaciones anteriores se pueden sintetizar en una sola: la ecuación de Poisson,que en el caso homogéneo se reduce a la ecuación de Laplace. Esta ecuación muestra de nuevo las ventajasde trabajar con el potencial

1. La ecuación para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de loscampos son dos (divergencia y rotacional).

2. Esta única ecuación se de�ne sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.

3. En esta ecuación es mas fácil acomodar las condiciones de frontera.

1.3.1. Cálculo de campos

Hay varias técnicas para calcular campos electrostáticos

1. Utilizando E (r) = Kc

R �(r0) (r�r0)jr�r0j3 dV 0 para usarla requerimos saber la distribución de carga en el

universo, o hacer la aproximación de que la distribución de carga que conocemos es la única en eluniverso.

2. Usar � (r) = Kc

R �(r0)jr�r0jdV

0 + �0 y luego E = �r� se usa bajo las mismas condiciones anteriores perocon la ventaja de que se realiza una integración escalar y no vectorial.

3. UtilizandoIE � dr = 4�Kcq, aunque tiene validez general, solo es útil para casos especiales con muy

alta simetría. Especí�camente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma de lassuper�cies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuación integral muy difícil de resolver.


4. Método de imágenes: también aplicable solo bajo simetrías muy especiales. Requiere del conocimientode algunas super�cies equipotenciales.

5. Usando las formas diferenciales r2� = �4�Kc�; ó r2� = 0, junto con ciertas condiciones de frontera,como veremos este es el método mas fructífero.

6. Usando el método de transformaciones conformes: Aplicación de la teoría de la variable compleja al laecuación de Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales.

Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribución de carga en el interior y cierta condición sobrela frontera, pero desconocemos la distribución de carga en el exterior y en la frontera. Es en estos casos endonde la ecuación de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.

Veamos un caso particular

Example 1 Placa plana conductora in�nita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q enz = h. Al tratar de usar los métodos tradicionales se tiene

� (r) = Kc

Z� (r0) dV 0

jr� r0j + �0 ; ��r0�= q�

�r0�+ �0

�r0�= q�

�r0�+ �

�r0�� (z)

donde �0 (r0) es la carga volumétrica equivalente a la carga super�cial � (r0). El potencial queda

� (r) = Kcq

Z� (x0) � (y0) � (z0 � h) dV 0q(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

+Kc

Z�0 (r0) dV 0

jr� r0j + �0

� (r) =Kcqq

x2 + y2 + (z � h)2+Kc

Z� (r0) � (z) dV 0

jr� r0j + �0

pero � (r0) es deconocido y no se puede inferir fácilmente con la información sobre el potencial (� = 0 enz = 0), lo máximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando coordenadascartesianas o cilíndricas (la simetría indica en todo caso que las coordenadas cilíndricas son mas apropiadas).También podemos decir que por simetría la densidad en el plano es solo función de la distancia al origen,con esto la integral triple se convierte en simple pero no es su�ciente para realizar el último paso.

En general, las formas integrales no pueden incluír fácilmente las condiciones de frontera. En este casoparticular conocemos fácilmente una super�cie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar elmétodo de imágenes, pero en casos mas complejos el método resulta inmanejable.

Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuación de Laplace se puede resolver porseparación de variables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen prácticamente todos los sistemascoordenados de interés físico. Las constantes de integración usualmente se acoplan con facilidad a las condi-ciones de frontera y las soluciones pueden generalmente expresarse con facilidad en términos de funcionesortogonales. Por supuesto, tal ecuación solo es válida en regiones con ausencia de carga.

La ecuación de Poisson que nos permite solucionar el problema estático mas general, es una ecuacióninhomogénea y no admite separación de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la técnica deGreen que veremos mas adelante, hace que el método sea mas manejable.

1.4. Conductores

Un conductor ideal es aquél en el cual los portadores de carga que conducen, no interactúan con losátomos o moléculas del material, excepto en cercanías a la super�cie (puesto que los portadores no sonlibres de abandonar el material). En sólidos la conducción es usualmente de electrones con interaccióndespreciable con la red cristalina, en líquidos los portadores son generalmente iones. Aunque no existen

1.4. CONDUCTORES 13

conductores ideales, existen materiales que se comportan muy aproximadamente como tales. En ese sentidolos portadores se pueden tratar en buena aproximación como un gas interactuante dentro de un contenedor,puesto que las cargas no son libres de abandonar el material6. Existen conductores cargados que puedenformar con�guraciones estáticas de carga, para lo cual es necesario que el campo en el interior del conductorsea cero, puesto que de lo contrario las cargas libres se moverían, abandonando la con�guración estática. Estaa�rmación está respaldada por el hecho experimental de que un conductor en un campo eléctrico externoy estático, produce una redistribución de sus cargas que apantalla completamente al campo en el interiordel conductor. El campo inducido que anula al externo es producido por la polarización de las cargas. Esimportante enfatizar que el campo es cero solo en el interior del conductor.

Por otra parte, la ley de Gauss aplicada al interior del conductor nos dice que r � E (r) = 4�Kc� = 0,puesto que E (r) = 0. Esta ecuación tomada matemáticamente, nos dice que no podría haber ninguna cargaen el punto matemático en donde se evalúa la divergencia. Sin embargo, una visión más Física es que lasecuaciones de Maxwell locales solo son válidas para volúmenes su�cientemente pequeños para considerar elfenómeno como local, pero su�cientemente grandes para contener una gran cantidad de átomos. Por tanto,el signi�cado real es que en promedio hay tanta carga positiva como negativa, en una vecindad alrededordel punto.

Lo anterior trae como consecuencia que cualquier carga neta se distribuye en la super�cie. Adicional-mente, el hecho de que el campo sea nulo en el interior implica que el conductor sea equipotencial en suinterior. Es fácil ver que además, su super�cie debe estar al mismo potencial que el interior, ya que de no serasí también habría �ujo desde el interior hacia la super�cie o viceversa, lo cual es incompatible con la condi-ción estática. Teniendo en cuenta que el campo eléctrico en el exterior del conductor no es necesariamentenulo, se llega a que en las vecindades exteriores de la super�cie las líneas de campo son perpendiculares a lasuper�cie del conductor. Para ver esto, podemos apelar nuevamente a la condición estática, ya que si hubieracomponente tangencial se provocaría movimiento de las cargas super�ciales. Un argumento matemático al-ternativo consiste en recordar que E = �r�, y que el gradiente de una función escalar, es perpendicular enr0 a la super�cie de�nida por la ecuación � = � (r0) = cte, es decir perpendicular a la super�cie equipotencialque pasa por el punto.

Dado que los portadores de carga son esencialmente libres de moverse en el material, ellos buscan sucon�guración de mínima energía, se puede ver con algunos ejemplos concretos (e.g. una esfera uniformementecargada en su volumen o en su super�cie), que la distribución super�cial hace que la energía interna delsistema de portadores sea menor que cuando se distribuye en el volumen7, lo cual es otra manera de verporqué los portadores que producen carga neta libre se acumulan en la super�cie. Es importante añadir queaunque hemos llegado por argumentos simples a que la distribución de carga neta en el conductor debe sersuper�cial, no hay una forma simple de saber como es la forma funcional de dicha distribución.

Lo anterior nos proporciona otra manera de ver el efecto de carga inducida del conductor en presencia deun campo externo. Inicialmente, el conductor está en su estado de mínima energía (en ausencia del campo),la introducción del campo hace que la �curva�de energía potencial se modi�que dejando al sistema fuera dela con�guración de mínimo local. Por tanto el sistema se redistribuye para volver al mínimo de energía. Porsupuesto, también se puede ver como un problema de equilibrio de fuerzas, teniendo presente que además dela interacción eléctrica entre los portadores, también existen fuerzas de enlace con los átomos y moléculas queimpiden a las cargas escapar del material. En un conductor ideal estas últimas serían fuerzas estrictamentesuper�ciales.

Finalmente, vale la pena llamar la atención en el hecho de que la minimización de la energía interna condistribución en la super�cie es un efecto en solo tres dimensiones. Por ejemplo, en un disco bidimensionalconductor, la carga no se acumula solo en los bordes, y en una aguja conductora, la carga no se va todahacia las puntas.

6La interacción solo es signi�cativa entre portadores, y es despreciable su interacción con el resto del material, excepto enlas vecindades de la super�cie.

7Este es un mínimo sujeto a ligaduras, ya que los portadores están impedidos para salir del material. De no ser así lacon�guración de mínima energía (para portadores del mismo signo), sería que todos se alejaran inde�nidamente unos de otros.


Es importante enfatizar que aunque el conductor sea neutro como sucede en la mayoría de los casos,pueden existir acumulaciones de carga locales por efecto de campos externos, la carga neta sigue siendo ceropero se produce igualmente el campo inducido que anula el campo total en el interior. Por ejemplo, si seacerca una carga puntual positiva a un conductor, las cargas negativas migran tratando de acercarse a lacarga puntual, en tanto que las cargas positivas se alejan ubicándose en el otro extremo8. Esto produce uncampo inducido como ya se comentó anteriormente, debido a la existencia del campo externo generado por lacarga, pero adicionalmente se produce un efecto neto de atracción entre la carga y el conductor, puesto quelas cargas negativas que producen atracción están mas cercanas y por tanto producen una fuerza (atractiva)de mayor intensidad que las fuerzas (repulsivas) que producen las cargas positivas.

1.4.1. Cavidades en conductores

Si dentro del conductor hay una cavidad, este espacio no forma parte del interior del conductor. En loque sigue de la discusión, cuando hablemos del exterior del conductor nos referiremos a los puntos que nopertenecen ni al conductor ni a la cavidad (a pesar de que los puntos de la cavidad también son parte delexterior del conductor, para estos puntos usaremos el término �interior de la cavidad�).

Si colocamos una cantidad neta de carga qcav, en el interior de la cavidad, se puede demostrar que en lasuper�cie de dicha cavidad se induce una carga de igual magnitud y signo opuesto. Para ello se puede usaruna super�cie gaussiana que contenga a la cavidad, pero que esté contenida en el volumen del conductor,de tal manera que todo punto de dicha super�cie esté en el interior del conductor, donde el campo es cero.Obviamente el �ujo de campo sobre esta super�cie es cero de modo que la ley de gauss me dice que no haycarga neta contenida en la super�cie, y como en el interior del conductor no hay carga, toda la carga seencuentra en el interior de la cavidad o en su super�cie (carga inducida), así que QTotal = qindcav + qcav = 0,de modo que qindcav = �qcav como se quería demostrar. Esto implica que para el exterior de la cavidad,la contribución del campo generado por qcav se vé apantallado por el campo generado por la carga qindcavdistribuída en la super�cie de la cavidad. Aunque no es fácil visualizar la razón por argumentos físicossimples, es un hecho que este apantallamiento es total, de tal manera que la superposición de estos doscampos es cero en el exterior de la cavidad (tanto en el interior como en el exterior del conductor). Por otrolado, en el interior de la cavidad, la superposición de estos dos campos es en general diferente de cero, ytambién lo será el campo resultante en el interior de la cavidad (en caso de que entren otras distribucionesestáticas en juego).

Imaginemos ahora que tenemos un conductor neutro con una cavidad y que además hay distribucionesde carga qcav, qext en el interior de la cavidad, y en el exterior del conductor respectivamente. Como yavimos, en el exterior de la cavidad (y en particular en el interior del conductor) los campos generados porlas cargas qcav y qindcav = �qcav que se encuentran en el volumen y la super�cie de la cavidad respectivamente,se anulan. De esto sale como consecuencia que para que el campo en el interior del conductor sea cero, esnecesario que el campo generado por la distribución exterior de carga qext esté completamente apantalladopor la carga inducida en la super�cie exterior del conductor (qindext = qcav ya que el conductor es neutro). Ensíntesis, tenemos cuatro distribuciones de carga (qcav; qindcav ; qext; q

indext )=(qcav;�qcav; qext; qcav), las cuales en el

interior del conductor, se anulan por pares. Mas aún, en el interior de la cavidad se anula la contribucióndebida a qext; qindext de manera que el campo resultante se debe solo a las cargas en el volumen y super�ciede la cavidad. Similarmente, en el exterior del conductor no hay contribución del par qcav; qindcav , y el camporesultante es debido solo a la pareja qext; qindext . De modo que el conductor aisla completamente a las dosparejas de distribuciones. No hay líneas de campo generadas en la cavidad y su super�cie, que crucen elconductor ni que lleguen al exterior. De la misma forma no hay líneas de campo generadas en el exteriory la super�cie del conductor, que crucen el interior del conductor ni que lleguen al interior de la cavidad.El conductor está actuando como escudo electrostático en ambas direcciones. Mas aún, se pueden fabricarescudos electrostáticos muy efectivos incluso si el conductor no es cerrado sino que posee pequeños huecos

8Hay que recordar que las cargas positivas no son móviles. Pero los huecos dejados por las cargas negativas actúan de maneraefectiva como si se moviera la carga positiva.

1.5. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELÉCTRICO Y EN EL POTENCIAL 15

(jaulas de Faraday), el campo es muy atenuado en el interior excepto en las regiones cercanas a los agujeros.Esto solo es válido para campos exteriores independientes del tiempo o que varían lentamente en el tiempo.

De lo anterior es fácil ver que si la cavidad está libre de carga, el campo eléctrico en su interior es cero.La manera mas sencilla de verlo, es tomando qcav ! 0+, en tal caso qindcav ! 0�, y la contribución de estepar al campo en el interior de la cavidad tiende a cero, y como ya vimos, las otras dos fuentes de campo nocontribuyen en el interior de la cavidad y obtenemos lo que se quería demostrar. Se demuestra además, queno se induce carga en la super�cie de la cavidad9.

Otra manera de verlo es teniendo en cuenta que las líneas de campo generadas en las eventuales cargaspresentes en la super�cie de la cavidad, deben comenzar y terminar en la super�cie de la cavidad (ya queninguna línea de campo le llega del exterior y por otro lado, no hay cargas en el volumen en donde puedaterminar una de estas líneas). Esto no es posible si todas las cargas en la super�cie fueran del mismo signo,es necesario que una línea comience en una carga positiva en la super�cie y termine en una negativa tambiénen la super�cie. Podemos completar un lazo cerrado con esta línea continuándola de tal manera que el restodel lazo yace en el interior del conductor, este complemento no produce contribución a la integral de líneacerrada del campo ya que E = 0 en los puntos por donde pasa, esto conduce a que solo la línea que pasapor el interior de la cavidad contribuye a la integral cerrada, y dicha contribución es positiva (si tomamosel sentido que va de la carga positiva a la negativa), ya que el campo se origina en una carga positiva yotra negativa, esto nos conduce a que este es un campo electrostático no conservativo a menos que no existacarga neta en ningún punto de la super�cie, y el campo sea cero en el interior de la cavidad.

Una aclaración �nal: de lo anterior se sigue que para un conductor neutro, la carga neta inducida sobrela super�cie exterior, es igual en magnitud y signo a la carga neta que está en el interior de la cavidad(digamos positiva). Esto no signi�ca que se distribuya carga positiva a lo largo de toda la super�cie exteriordel conductor. Es posible por ejemplo, que la carga exterior genere una polarización de tal forma que sedistribuye carga positiva y negativa en extremos opuestos de la super�cie conductora, lo importante es quela carga positiva polarizada es mayor que la negativa polarizada, en una cantidad igual a la magnitud de lacarga en el interior de la cavidad.

Example 2 Supongamos una esfera conductora neutra con una cavidad cuya posición y forma es arbitraria,coloquemos una carga puntual q en el interior de la cavidad, y evaluemos el campo eléctrico resultante enel exterior del conductor. En este caso, las cuatro distribuciones mencionadas arriba vienen dadas por(qcav; qindcav ; qext; q

indext )=(q;�q; 0; q). En el interior del conductor las dos primeras se anulan, y como la tercera

es nula, es necesario que la distribución qindext produzca contribución nula al campo en el interior del conductor.Por tanto, la carga qindext = q debe estar uniformemente distribuída en la super�cie de la esfera. El camporesultante en el exterior es entonces el debido a esta última carga uniformemente distribuída, puesto que lasdos primeras se anulan entre sí. Tenemos por tanto que el campo es

E = Kcq

r2ur

este campo es central sin importar la forma de la cavidad ni la posición de la cavidad o la carga. Lo únicoque importa es el valor de la carga encerrada en la cavidad.

1.5. Discontinuidades en el campo eléctrico y en el potencial

Asumamos la existencia de una interfaz bidimensional con una cierta distribución de carga super�cial.Tomemos una super�cie gaussiana que cruza la super�cie de la interfaz. Esta super�cie gaussiana es tal quesu altura es diferencial y sus tapas (de tamaño �nito) a lado y lado de la interfaz, son localmente paralelas

9Este es un hecho interesante, ya que en tal caso, aún con cargas en el exterior del conductor, la carga inducida en éste no sedistribuye sobre toda la super�cie del conductor, puesto que la super�cie que da a la cavidad también hace parte de la super�ciedel conductor.


a la super�cie de la interfaz. Como la altura es diferencial, despreciamos el �ujo lateral y solo se considerael �ujo por las tapas, usando ley de Gauss tenemosI

E � dS =ZE1 � dS1 +

ZE2 � dS2 =

ZE1 � n1 dS1 +

ZE2 � (�n1) dS1 = 4�q = 4�

Z� dS1

donde hemos tenido en cuenta que al ser la altura diferencial, las tapas y la super�cie de la interfaz encerradason todas iguales. Z

(E1 �E2) � n1 dS1 = 4�Kc

Z� dS1

como esto es válido para cualquier tamaño y forma de la super�cie de las tapas (siempre y cuando lasuper�cie no sea in�nitesimal), se concluye que

(E1 �E2) � n1 = 4�Kc�

Esta ecuación me indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consider-amos una super�cie con una cierta densidad super�cial, pues debemos recordar que E1 y E2 están evaluadosarbitrariamente cerca a la interface, aunque en lados opuestos.

Obsérvese que si existe además una densidad volumétrica en el entorno de la interfaz el resultado nose afecta. La razón es que la cantidad de carga volumétrica encerrada en la super�cie gaussiana tendería acero, mas no la densidad super�cial encerrada. Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturalezasuper�cial de la carga es lo que me produce la discontinuidad. Efectivamente, si en vez de considerar unasuper�cie consideramos una capa muy delgada pero con volumen, la discontinuidad desaparece y se vereemplazada por un cambio brusco pero contínuo del campo (ver berkeley vol II segunda ed. sección 1.14).

Usando la naturaleza conservativa del campo electrostático podemos demostrar que la componenteparalela es contínua I

E � dr = 0

formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la super�cie y de longitud diferencial, los otros doslados serán �nitos y localmente paralelos a la super�cie. Solo los lados paralelos contribuyen a la circulaciónI

E � dr = 0 =

ZE1 � dr1 +

ZE2 � dr2 =

ZE1 � dr1 +

ZE2 � (�dr1)

0 =

Z(E1 �E2) � dr1

en este caso el producto punto da la componente paralela

0 =

Z �E1;k � E2;k

�� dr1

y como la relación es válida para cualquier longitud y orientación localmente paralela del lazo, se concluyeque

E1;k = E2;k

veamos lo que ocurre con el potencial, si � tuviera discontinuidades en algún punto, entonces en ese puntotendríamos que jr�j ! 1 y la magnitud del campo no estaría acotada. Observemos sin embargo, queel valor del campo está acotado aunque sea discontínuo, por lo tanto el potencial es contínuo en todaspartes, pero no es derivable en los puntos sobre la super�cie, y esta no derivabilidad es la que produce ladiscontinuidad en la componente normal del campo.

En el caso de un conductor perfecto donde la interfaz es cerrada y de�ne la super�cie del conductor, setiene que el campo en el interior es cero (digamos E2 = 0) además el campo es perpendicular a la super�cieen la vecindad exterior a ésta, de modo que E1 � n1 = E1 con lo cual la discontinuidad queda

E1 = 4�Kc� ) � =E14�Kc

1.5. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELÉCTRICO Y EN EL POTENCIAL 17

o en términos del potencial

� =E14�Kc

=E1 � n14�Kc

= �r� � n14�Kc

r� � n1 es la derivada direccional del potencial en la dirección normal hacia afuera del conductor.

� = � 1

4�Kc

@�

@n1(1.5)

Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades�de orden superior�a la correspondiente a una distribución super�cial de carga. Tal es el caso de distribu-ciones lineales, puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este último caso debido a su importanciaposterior en la interpretación de la formulación de Green para el potencial

1.5.1. Capa dipolar super�cial

Pensemos en una capa de densidad super�cial � y otra muy cercana (y localmente paralela) de densidadde carga ��. Si nos concentramos en un par de elementos diferencial de área da0 que están en contraposición,podemos ver este par de elementos como un dipolo puntual; para usar la aproximación de dipolo es necesarioasumir que la distancia entre las capas tiende a cero en tanto que la densidad super�cial � (r0) tiende ain�nito, de tal manera que podamos de�nir una densidad super�cial de momento dipolar �nito D (r0) através del producto

l��md(r)!1

� (r) d (r) � D�r0�

este momento dipolar va en la dirección normal a la super�cie y en el sentido desdes las cargas negativas alas positivas. El cálculo del potencial se puede realizar de manera directa

� (r) =

Z� (r0) dA0

jr� r0j �Z

� (r0) dA0

jr� r0 + ndj

vamos a asumir que jr� r0j >> jndj con lo cual tenemos

1

jr� r0 + ndj =1q

(r� r0)2 + 2 (r� r0) � nd+ d2� 1q

(r� r0)2 + 2 (r� r0) � nd

=1

jr� r0jq1 + 2(r�r0)�nd

jr�r0j2

usando 1p1+2x

� 1� x si x << 1.

1

jr� r0 + ndj �1

jr� r0j

�1� (r� r

0) � ndjr� r0j2

�usando esta aproximación en el potencial

� (r) =

Z� (r0)

jr� r0j dA0�1� 1 + (r� r

0) � ndjr� r0j2

�� (r) =

Z� (r0) (r� r0) � nd

jr� r0j3dA0 =

Z��r0�d| {z }

D(r0)

�(r� r0) � ndA0

jr� r0j3

�| {z }

d

� (r) =

ZD�r0�d

el ángulo sólido se mide con respecto al origen de coordenadas. Si el ángulo � entre el vector dA0 y el vectorr� r0 es agudo, el ángulo sólido es positivo ya que desde el origen se ve la cara interna de la capa dipolar.


Si la densidad super�cial de momento dipolar es uniforme, vemos que el potencial generado por la capadipolar depende solo del ángulo sólido con que se vé la super�cie desde el punto de observación y no de laforma especí�ca de la capa.

En este caso podemos ver una discontinuidad en el potencial, ya que si D (r0) es constante, la integraciónes únicamente sobre el ángulo sólido. Por simplicidad, asumamos que la capa dipolar es cerrada (por ejemplodos esferas concéntricas de radio muy similar) dicha integral es 4� si el punto de observación está dentro dela capa y cero si estamos afuera, hay entonces una discontinuidad de 4�D en el potencial al atravesar las doscapas (recordemos que la distancia entre ellas tiende a cero). Para entender esta discontinuidad observemosque tenemos dos capas con densidad super�cial que producen discontinuidad del campo al atravesar cadacapa. Sin embargo, el campo que hay entre las capas es en principio in�nito debido a que � (r0) tiende ain�nito, por tanto en este caso el campo no está acotado y esto se debe a la discontinuidad en el potencial.En ese sentido tenemos un �singularidad superior�a la simple presencia de densidad super�cial, puesto queademás tenemos un campo eléctrico in�nito.

También podemos calcular este potencial como la superposición de potenciales de dipolo puntual, losmomentos dipolares diferenciales son dP = Dn dA0 el potencial en r causado por un dipolo en r0 es

d��r0�=dP � (r� r0)jr� r0j3

en términos de �dP � (r� r0)jr� r0j3

=Dn dA0 � (r� r0)

jr� r0j3=cos � dA0

jr� r0j2= d

con d el ángulo sólido subtendido por el área dA0 desde el punto de observación O0.

1.6. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann

En general la solución de las ecuaciones diferenciales parciales, requiere de condiciones de frontera.En el caso especí�co electrostático, con frecuencia se conoce el potencial en la super�cie (condiciones deDirichlet) o la componente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estascondiciones se de�nen sobre una super�cie cerrada S que delimita a un volumen V , la solución es únicacomo demostraremos a continuación.

Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergenciaZr �A =

IA � dS

y tomando A = �r , donde por el momento �; son campos escalares arbitrarios, reemplazando estaexpresión en el teorema de la divergenciaZ �

�r2 +r � r��dV =

I[�r ] � dS (1.6)

La Ec. (1.6) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con elintercambio $ �, y restandoZ �

�r2 � r2��dV =

I[�r � r�] � dS (1.7)

Esta expresión se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. Nótese que es fundamentalque la super�cie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrarla unicidad de la solución de la ecuación de Poisson dentro de un volumen sujeto a condiciones de fronterasobre S de Dirichlet o Neumann.

Para realizar esta demostración supongamos que existen dos soluciones �1 y �2 que satisfacen la ecuaciónde Poisson y las mismas condiciones de frontera.

1.6. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 19

1. Para Dirichlet: �1jS = �2jS = �S

2. Para Neumann: @�1@n

��S= @�2

@n

��S= @�S

@n

Sea U � �2 � �1; entonces r2U = r2�2 �r2�1 = �4�Kc�+ 4�Kc� = 0

1. US = �2jS � �1jS = 0 (Dirichlet)

2. @US@n = @�2

@n

��S� @�1

@n

��S= 0 (Neumann).

Usando la primera identidad de Green (1.6) con � = = U se obtieneZ "Ur2U|{z}

=0

+ jrU j2#dV =

I[UrU ] � ndS

pero rU � n = @U=@n y tenemos ZjrU j2 dV =

I �U@U

@n

�dS

La integral de super�cie es cero tanto para condiciones de Dirichlet (US = 0), como de Neumann (@US=@n).De modo que Z

jrU j2 dV = 0) rU = 0

puesto que jrU j2 dV � 0. Esto nos indica que U = cte.

1. Condiciones de Dirichlet: �2jS = �1jS ) US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la solución es única.

2. Neumann: @US@n = 0 =@(�2��1)S

@n ) �2 � �1 = cte.

Estos resultados son lógicos ya que el conocimiento de � en la super�cie requiere de haber de�nido elcero de potencial en tanto que el conocimiento de la derivada aún deja la constante arbitraria sin �jar.

En general la especi�cación de condiciones de Neumann y Dirichlet simultáneamente sobre una región dela super�cie conduce a contradicción. Sin embargo, la unicidad de la solución (salvo una posible constante),se sigue cumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann seandisyuntas.

El conocimiento de las condiciones en el potencial o su derivada normal en la super�cie, constituyen unacondición de su�ciencia pero no de necesidad, en realidad existen múltiples condiciones posibles de unicidad.En el apéndice A, se demuestra que dada una región equipotencial cerrada S, dentro de la cual hay unconjunto de n conductores, el campo eléctrico está unívocamente determinado en la región comprendidaentre los conductores y la región encerrada por S, si se conocen (a) la carga neta total de cada conductorQi, i = 1; :::; n (b) la densidad de carga en la región comprendida entre los conductores y el interior deS. Por supuesto, si los conductores carecen de cavidades, se conoce en principio el campo en casi todo elinterior de S, puesto que en el interior de los conductores el campo es cero. Los únicos puntos con�ictivospara la evaluación del campo son los de la super�cie de los conductores, ya que la carga super�cial produceun discontinuidad del campo en estos puntos.

Capítulo 2

Funciones de Green en electrostática

2.0.1. Teoremas de Green en electrostática

Lo que usualmente conocemos (o podemos medir) en un problema electrostático real es la densidad decarga en el volumen y el potencial, o su derivada normal en la super�cie. Además los teoremas de unicidadnos aseguran que la solución es única cuando tenemos esa información disponible. Dado que r� � dS =r� � ndS = @�

@ndS, el teorema de Green se escribeZ ��r0�r02

�r0��

�r0�r02�

�r0��

dV 0 =

IS

��r0� @ (r0)

@n0�

�r0� @� (r0)

@n0

�dS0

El término a la derecha involucra � (r0) ; @n0 (r0) ; (r0) ; @n0� (r0) evaluados en la super�cie pero no susvalores en el interior. Por lo tanto, esta integral podría dar cuenta de las condiciones de frontera.

Tomemos � como el potencial electrostático. La integral de volumen incluye a � y a r02�; usando laecuación de Poisson reemplazamos r02� (r0) por �4�Kc� (r

0), y solo quedaría por �despejar�� (r0). Esto se

logra asignando = jr� r0j�1 y recordando la propiedad r02�jr� r0j�1

�= �4�� (r� r0) con lo cual la

identidad de Green queda Z ��r0�r02

��r� r0��1�� 1

jr� r0jr02��r0��

dV 0

=

IS

��r0� @

@n0

�1

jr� r0j

�� 1

jr� r0j@� (r0)

@n0

�dS0

�4�Z��r0��r� r0

�dV 0 + 4�Kc

Z� (r0)

jr� r0j dV0

=

IS

��r0� @

@n0

�1

jr� r0j

�� 1

jr� r0j@� (r0)

@n0

�dS0

Ahora bien, si el punto r está dentro del volumen de integración, entonces es posible �despejar�� (r).

�4�� (r) = �4�Kc

Z� (r0)

jr� r0j dV0 +I

S

��r0� @

@n0

�1

jr� r0j

�� 1

jr� r0j@� (r0)

@n0

�dS0

abreviando la notación R = jr� r0j, queda �nalmente

� (r) = Kc

Z� (r0)

RdV 0 +

1

4�

IS

�1

R

@� (r0)

@n0� �

�r0� @

@n0

�1

R

��dS0 (2.1)

21

22 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE GREEN EN ELECTROSTÁTICA

con esta expresión tenemos en principio despejado el valor de � (r) al menos para valores de r en el interiordel volumen, obsérvese que si r está fuera del volumen, la integral que permitió despejar al potencial seanularía1. El diferencial dV 0 se re�ere a las cargas en el interior

1. Recordando que para un conductor perfecto

� = � 1

4�Kc@n�

tenemos que1

4�

I1

R@n0� dS

0 = �Kc

I�0 dS0

R

La primera integral de super�cie equivale al potencial generado por una carga super�cial �,hay quenotar sin embargo que esta analogía solo es válida para conductores, en tanto que la expresión (2.1)para el potencial también vale para cualquier tipo de material.

2. La segunda integral de super�cie se puede escribir como

� 1

4�

I�@n0

�1

R

�dS0 = � 1

4�

I�(r� r0)jr� r0j3

� dS0

= � 1

4�

I��r0�d0

con lo cual podemos hacer la analogía con el potencial de una capa dipolar discutida anteriormentepara lo cual se hace D = � �

4� , la integral de super�cie queda de la formaRD d que es el potencial

generado por una capa dipolar con densidad de momento super�cial D = � �4� .

3. Se puede ver que si la super�cie avanza hacia el in�nito y el potencial decrece más rápido que 1=R(como por ejemplo en el caso de distribuciones localizadas), la integral en dS0se anula (o tiende a unaconstante) obteniéndose

� (r) = Kc

Z� (r0)

RdV 0 + �0

que es la expresión para el potencial sin frontera (frontera en el 1) cuando la distribución � (r0) esconocida en todo el espacio. Vale la pena notar que esta relación también se cumple para ciertasdistribuciones de carga no localizada (e.g. una esfera cuya densidad viene dada por � (r) = ke��r,� > 0).

4. Esta ecuación requiere conocer � (r) pero también � y @n� simultáneamente sobre la misma super�cielo cual es en general inconsistente. Por tanto, este todavía no es un método práctico para evaluar �. Acontinuación desarrollaremos un fromalismo para poder hacer uso real de las condiciones de frontera.

2.1. Ecuación de Green y potencial electrostático

En el intento de solución anterior elegimos = jr� r0j�1 con el �n de obtener una delta de Dirac quenos permitiera despejar � (r0). Esto fué posible en virtud de la propiedad

r2�

1

jr� r0j

�= �4��

�r� r0

�1Si estamos justo en la frontera tampoco podemos aplicar este formalismo, puesto que el uso de las propiedades de la delta

solo es claro para puntos en el interior y exterior de la región. Sin embargo, el valor del potencial en la super�cie es dado en elcaso de Dirichlet, y en el caso de Neumann se puede obtener recurriendo a la continuidad del potencial a menos que tengamoscierto tipo de singularidades.

2.1. ECUACIÓN DE GREEN Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO 23

Sin embargo, jr� r0j�1 no es la única función que me puede cumplir este cometido, asumamos que existenotras funciones que emulan esta propiedad y las llamaremos funciones de Green

r2G�r; r0

�= �4��

�r� r0

�(2.2)

reescribiendo G (r; r0) = 1jr�r0j + F (r; r0), vemos que G (r; r0) es una función de Green, siempre y cuando

F (r; r0) cumpla la ecuación de Laplace. Usando G (r; r0) y con un procedimiento análogo al que nos llevó a(2.1) se obtiene la siguiente expresión para el potencial

� (r) = Kc

Z��r0�G�r; r0

�dV 0 +

1

4�

IS

�G�r; r0

� @� (r0)@n0

� ��r0� @G (r; r0)

@n0

�dS0

Ahora bien, el problema fundamental es evitar el uso simultáneo de las condiciones de Dirichlet y Neumannpara lo cual podemos hacer uso de la libertad para elegir la función de Green (expresada a través de lafunción F (r; r0)). Se ve de inmediato que podemos eliminar la primera integral de super�cie si hacemosG (r; r0) = 0 en la super�cie, lo cual sería conveniente si tenemos condiciones de Dirichlet, puesto que laintegral de super�cie que sobrevive requiere el conocimiento del potencial en la super�cie. Se deduce entoncesque el problema de Dirichlet se resuelve formalmente si encontramos la solución de la ecuación de Green(2.2), con condición de frontera (GD)S = 0, con lo cual la ecuación para el potencial se reduce a

� (r) = Kc

Z��r0�GD

�r; r0

�dV 0 � 1

4�

IS

��r0� @GD (r; r0)

@n0

�dS0 (2.3)

A priori, se podría pensar que para el problema de Neumann podemos exigir análogamente que se anule laotra integral a través de la condición @n0G (r; r0) = 0, con esta suposición evaluemos las siguientes integralesZ

r2GN dV = �4�Z��r� r0

�dV = �4�I

rGN � dS =

I@GN@n0

� dS = 0

sin embargo, el teorema de la divergencia exige que estas dos integrales sean iguales, de modo que la exigencia@n0G (r; r

0) = 0 es incompatible con el teorema de la divergencia2. Para lograr la compatibilidad requerimosque I

@GN@n0

� dS = �4�

La forma más inmediata es escoger @n0GN (r; r0) = �4�=S, siendo S la magnitud de la super�cie cerrada.Por tanto, F (r; r0) debe ser escogida para cumplir esta condición, y el potencial queda

� (r) = Kc

Z��r0�GN

�r; r0

�dV 0 +

1

4�

IS

�GN

�r; r0

� @� (r0)@n0

� ��r0� @GN (r; r0)

@n0

�dS0

� (r) = Kc

Z��r0�GN

�r; r0

�dV 0 +

1

4�

IS

�GN

�r; r0

� @� (r0)@n0

+4�

S��r0��dS0

� (r) = Kc

Z��r0�GN

�r; r0

�dV 0 +

1

4�

IS

GN�r; r0

� @� (r0)@n0

dS0 +1

S

IS

��r0�dS0

2Obsérvese que si r está fuera del volumen V 0, la condición es compatible con el teorema de la divergencia, pero recordemosque en este caso la solución para el potencial ya no es válida.


el potencial queda �nalmente

� (r) = Kc

Z��r0�GN

�r; r0

�dV 0 +

1

4�

IS

GN�r; r0

� @� (r0)@n0

dS0 + h�iS (2.4)

donde h�iS corresponde al valor promedio del potencial en la super�cie, claramente este promedio es unnúmero (no una función) de modo que solo es una recalibración. De nuevo esta constante arbitraria aparecedebido a que las condiciones de Neumann no �jan el cero de potencial.

2.2. Interpretación de la función de Green en electrostática

La función de Green más simple G = jr� r0j�1 cumple la Ec.r2G = �4�� (r� r0), y se puede interpretarcomo el potencial generado por una carga �unidad� (tal que Kcq = 1)3 ubicada en r0, esto a su vez esconsistente con la ecuación de Poisson, r2� = �4�Kc� puesto que � (r� r0) corresponde a la densidadvolumétrica equivalente de una carga puntual en r0. Para el caso de una función de Green más generalG (r; r0) = jr� r0j�1 + F (r; r0), recordemos que F (r; r0) satisface la ecuación de Laplace en el interior deV 0, de modo que se puede interpretar como el potencial generado dentro de V0 debido a una distribuciónde cargas en la frontera y/o en el exterior de V0, y tal que hace que la función de Green cumplalas condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann. Ahora bien, como la función de Green es la que debecumplir la condición de frontera, lo que tenemos es la superposición de dos potenciales (ambos evaluados enr) el generado por la carga unidad ubicada en r0 y el generado por las cargas externas. La función F (r; r0)debe depender de la ubicación de la carga puntual (r0) ya que es la superposición de ambas la que producelas condiciones de frontera.

Para las condiciones de Dirichlet se puede demostrar una propiedad de simetría de la función de Green.Partiendo del teorema de Green Ec. (1.7) con � (r0) = G (r; r1) ; (r

0) = G (r; r2)Z �G (r; r1)r2G (r; r2)�G (r; r2)r2G (r; r1)

�dV

=

I[G (r; r1)rG (r; r2)�G (r; r2)rG (r; r1)] � dS

al usar condiciones de Dirichlet, se anulan las integrales de super�cie. Por tanto, G (r1; r2) = G (r2; r1). Paracondiciones de Neumann no es automático pero se puede imponer.

Las expresiones para el potencial con condiciones de Neumann o Dirichlet Ecs. (2.3, 2.4), nos indicanque primero debemos encontrar la función de Green con las condiciones de frontera apropiadas. A prioripareciera escasa la ganancia: hemos cambiado la ecuación de Poisson (1.4), por la ecuación de Green (2.2),y las condiciones de frontera para el potencial las cambiamos por las condiciones de frontera para la fun-ción de Green. No obstante, un análisis mas detallado nos muestra la ganancia: La ecuación de Poisson esinhomogénea, y aunque la ecuación de Green también lo es, la ecuación para F (r; r0) es homogénea ( y conF encontramos G). Mas importante aún, para una determinada geometría la ecuación de Poisson requeriríaun tratamiento diferente para diferentes formas de las condiciones de frontera (digamos de Dirichlet). Encontraste, las condiciones de frontera de Green para una geometría dada son las mismas, aunque la distribu-ción de cargas o de potenciales en la super�cie sea diferente (digamos GS = 0 para Dirichlet sin importar laforma funcional de � en la super�cie).

Para evaluar la función de Green podemos recurrir a la expansión de G en funciones ortonormalesapropiadas para la simetría del sistema, los coe�cientes de la expansión se ajustan para reproducir lascondiciones de frontera. Por otro lado, la técnica de imágenes también nos puede proveer de una soluciónmuy elegante en ciertos casos especiales. Hay otros métodos tanto numéricos como analíticos que no citaremosaquí [Ref. ????].

3Este uno no es adimensional y depende del sistema de unidades usado.

2.3. EXPANSIÓN EN FUNCIONES ORTONORMALES 25

2.3. Expansión en funciones ortonormales

Sea una espacio vectorial de funciones de�nidas sobre sobre un intervalo [a; b] en x, con ciertas propiedadesde continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. Como todo espacio vectorial, se puede de�nir una baseortonormal de vectores, por el momento asumamos que las funciones de la base son numerables fUn (x)g,antes de de�nir ortonormalidad es necesario de�nir un producto interno, de�namos

(�; ) =

Z b

a�� (x) (x) dx

se puede demostrar que la relación anterior cumple todas las propiedades de un producto interno. Como esbien sabido, la de�nición de un producto interno nos induce automáticamente una norma para los vectores

k� (x)k2 � (�; �) =Z b

aj�� (x)j2 dx � 0

así como el concepto de ortogonalidad, � es ortogonal con cuando

(�; ) =

Z b

a�� (x) (x) dx = 0

esto de�ne entonces la ortonormalidad de una base en este espacio

(Un; Um) = �nm =

Z b

aU�n (x) Um (x) dx

una función f (x) perteneciente a este espacio vectorial puede expandirse a través de una combinación linealde los elementos de la base (estos espacios vectoriales son en general de dimensión in�nita)

f (x) =Xn=1

CnUn (x)

Los coe�cientes Cn se pueden evaluar así

(Um; f) =

Um;

Xn=1

CnUn

!=Xn=1

Cn (Um; Un) =Xn=1

Cn�nm = Cm

de lo cual nos queda que

Cm = (Um; f) =

Z b

aU�n�x0�f�x0�dx0 (2.5)

Las Cm son las componentes de f (x) a lo largo de los vectores unitarios Um (x). Esto puede verse teniendoen cuenta que el producto interno (Um; f) lo que nos da es justamente la proyección del vector f (x) a lolargo de Um (x). Naturalmente, para que todo vector arbitrario f (x) de este espacio sea expandible en estosvectores unitarios, es necesario que el conjunto que de�ne la base sea completo, la condición de completezpuede obtenerse reemplazando Cn en la expansión de f (x)

f (x) =Xn

CnUn (x) =Xn

(Un; f)Un (x) =Xn

Z b

af�x0�U�n�x0�Un (x) dx

0

f (x) =

Z b

af�x0� "X

n

U�n�x0�Un (x)

#dx0

por otro lado

f (x) =

Z b

af�x0��x� x0

�dx0


Igualando las dos últimas expresiones, y teniendo en cuenta que f (x0) es arbitraria se obtieneXn

U�n�x0�Un (x) = �

�x� x0

�(2.6)

retrocediendo en nuestros pasos vemos que la relación anterior nos garantiza que cualquier función arbitrariadentro del espacio se puede expandir en términos del conjunto fUn (x)g. Por tanto a la ec. (2.6), se le conocecomo relación de completez.

Por otro lado, también existen bases contínuas para ciertos espacios vectoriales de funciones. En tal casode�nimos los vectores unitarios de la base como fU (k; x)g donde k es una variable contínua de�nida en unintervalo [c; d], que hace las veces de n en las bases discretas. Para estas bases contínuas la ortonormalidadse plantea como

(Uk; Uk0) =

Z b

aU� (k; x) U

�k0; x

�dx = �

�k � k0

�(2.7)

veremos de aquí en adelante que esta de�nición de ortogonalidad reproduce los resultados anteriores para elcaso discreto. Expandiendo f (x) arbitraria como una combinación lineal contínua de la base

f (x) =

Z d

cC (k) U (k; x) dk

tenemos que

(Uk0 ; f) =

�Uk0 ;

Z d

cC (k) U (k; x) dk

�=

Z d

cC (k) (Uk0 ; Uk) dk

=

Z d

cC (k) �

�k � k0

�dk = C

�k0�

con lo cual los coe�cientes de la expansión contínua se evalúan como

C�k0�= (Uk0 ; f) (2.8)

vemos por tanto que en términos de producto interno, el cálculo de los coe�cientes en una base contínuaEc. (2.8) es igual que en el caso discreto Ec. (2.5), esto depende fuertemente de nuestra de�nición deortonormalidad en el contínuo Ec. (2.7) mostrando la consistencia de dicha de�nición.

Veamos la completez

f (x) =

Z d

cC (k) U (k; x) dk =

Z d

c(Uk; f) U (k; x) dk

f (x) =

Z d

c

�Z b

aU��k; x0

�f�x0�dx0�U (k; x) dk

f (x) =

Z b

a

�Z d

cU��k; x0

�U (k; x) dk

�f�x0�dx0

por otro lado f (x) =R ba � (x� x

0) f (x0) dx0 con lo cual resultaZ d

cU��k; x0

�U (k; x) dk = �

�x� x0

�que nos de�ne la relación de completez para una base contínua fU (k; x)g. De lo anterior puede verse que lasrelaciones de completez para bases contínuas o discretas, pueden interpretarse como representaciones de lafunción delta de Dirac. Lo mismo ocurre con la relación de ortonormalidad pero solo para bases contínuas.Al respecto vale la pena aclarar que una representación dada de la delta en un cierto espacio no puede ser


aplicada a otro espacio, por ejemplo es posible tener un espacio vectorial r�dimensional de funciones V1 conuna base Vn (x), que de�ne una relación de completez

Prn=1 V

�n (x

0)Vn (x) = �1 (x� x0), pensemos en otroespacio vectorial r+ k dimensional que denotaremos por V2 y tal que V2 � V1, de modo que una base fUmgde V2 incluye a la base anterior mas otros vectores linealmente independientes; la relación de completez es:Pr+kn=1 U

�n (x

0)Un (x) = �2 (x� x0). ¿Cuál es la diferencia entre �1 (x� x0) y �2 (x� x0)?, la respuesta estáen el carácter de distribución de la mal llamada función delta de Dirac; la propiedad fundamental de estadistribución me dice que para toda función f (x0) que pertenece al espacio V1 tenemos que

f (x) =

Zf�x0� "X

n

V �n�x0�Vn (x)

#dx0 =

Zf�x0��1�x� x0

�dx0

sin embargo, si la función f (x) no pertenece a V1 pero si pertenece a V2 entonces �1 (x� x0) no es unadistribución adecuada para representar a esta función. Esta es una propiedad general de las distribuciones,ya que estas solo se de�nen a través de sus propiedades de transformación con las funciones del espaciovectorial, una representación de la delta de Dirac (y en general de cualquier distribución) está ligada a unespacio vectorial especí�co.

2.3.1. Ejemplos de funciones ortogonales

Consideremos un conjunto de funciones Un (x) reales o complejas

Un (x) =1pasin�n�xa

�ortonormal en (�a; a) ó (0; 2a) una función impar f (x) en este dominio puede

expandirse en senos. Por otro lado, una función arbitraria f (x) de�nida en (0; a) admite expansión ensenos si en (�a; 0) se asume de la forma �f (�x) con lo que obtenemos una función impar en (�a; a).

Un (x) =1pacos�n�xa

�ortonormal en (�a; a) ó (0; 2a) una función par f (x) en este dominio puede ex-

pandirse en cosenos. Una función arbitraria f (x) en (0; a) admite expansión en cosenos si en (�a; 0) seasume de la forma f (�x).

Un (x) =1pacos�n�xa

�; Vm (x) =

1pasin�m�xa

�conjunto ortonormal en (�a; a). la completez se

expresa por 1aP1n=0 cos

�n�a (x� x

0)�= � (x� x0). Obsérvese que al expandir esta suma de argumentos

aparecen tanto la función seno como la coseno. La ortonormalidad se representa por la propiedad

1

a

Z a

�asin�n�ax�sin�m�ax�dx = �nm

1

a

Z a

�asin�n�ax�cos�m�ax�dx = 0

1

a

Z a

�acos�n�ax�cos�m�ax�dx = �nm

Un (x) =ein�a x

p2a

ortonormal y completa en (�a; a). La ortonormalidad y completez se expresan como

1

2a

Z a

�aei(n�m)

�xa dx = �nm ;

1

2a

1X�1

ein�a(x�x0) = �

�x� x0

�(2.9)

Ejemplos en el contínuo

U (k; x) = eikxp2�con propiedades de ortonormalidad y completez:

1

2�

Z 1

�1ei(k�k

0)xdx = ��k � k0

�1

2�

Z 1

�1eik(x�x

0)dk = ��x� x0

�


U (k; x) = sin kxp� Z 1

�1sin kx sin k0x = ��

�k � k0

�Z 1

�1sin kx sin kx0 = ��

�x� x0

�Comentarios: Obsérvese que la ortonormalidad y completez de las funciones de la forma eikx, tanto en el

discreto como en el contínuo, son la base para el análisis de Fourier para funciones periódicas y no periódicasrespectivamente. Por ejemplo una función de�nida en todos los reales se escribe

F (x) =1p2�

Z 1

�1C (k) eikxdk

los coe�cientes de esta combinación lineal se calculan de la manera tradicional y se les conoce como trans-formada de fourier

C (k) = (Uk; F ) =1p2�

Z 1

�1F (x) e�ikxdx

con frecuencia se denota C (k)! eF (k).Si las funciones a expandir son de dos variables, la expansión queda

f (x; y) =Xm;n

CmnUm (x)Vn (y)

con

Cmn =

Z d

c

Z b

aU�m (x)Vn (y) f (x; y) dx dy

donde Um (x), Vm (y) son cada uno, un conjunto ortonormal y completo en cada variable, de�nidos en losintervalos [a; b] y [c; d] respectivamente

2.3.2. Un teorema sobre las funciones de Green

Por otro lado, las funciones ortogonales son en general autofunciones de operadores lineales y en estesentido conforman bases que permiten expandir funciones.

En este punto podemos demostrar un teorema relacionado con funciones de Green. Sea bO un operadorlineal y hermítico sobre el espacio de funciones de interés de modo que bOF (r) = G (r) me mapea unafunción del espacio, en otra función del mismo espacio. Consideremos una función que cumple la ecuaciónh bO � �i (r) = 0y la función de Green asociada al operador bO � �h bO � �iG �r; r0; �� = �� r� r0�los operadores lineales y hermíticos cumplen una ecuación de valores propios

bO'n (r) = �n'n (r))h bO � �ni'n (r) = 0

Las funciones propias linealmente independientes asociadas a un operador lineal hermítico forman una basecompleta, además los valores propios son reales4. Usando la completez

��r� r0

�=Xn

'�n�r0�'n (r)

4 la notación �n; 'n denota los diferentes funciones y valores propios sin importar la posible degeneración.


donde estamos asumiendo que los vectores propios están normalizados y ortogonalizados5. Aplicando com-pletez a la función de Green h bO � �iG �r; r0; �� = �

Xn

'�n�r0�'n (r)

G�r; r0; �

�=

Xn

Cn (�) '�n

�r0�'n (r)

de modo que la ecuación de Green quedah bO � �iXn

Cn (�) '�n

�r0�'n (r) = �

Xn

'�n�r0�'n (r)

teniendo en cuenta que bO solo opera sobre las funciones con variable r

bO �'�n �r0�'n (r)� = '�n�r0� h bO'n (r)i = �n'

�n

�r0�'n (r)

se obtiene Xn

Cn (�) [�n � �] '�n�r0�'n (r) = �

Xn

'�n�r0�'n (r)

y recurriendo a la independencia lineal de los 'n

Cn (�) [�n � �] = �1) Cn (�) =1

�� n

reemplazando en la función de Green obtenemos

G�r; r0

�=Xn

'�n (r0)'n (r)

�� n(2.10)

Esta solución de la función de Green no tiene en cuenta las condiciones de frontera, las cuales usualmentese incluyen en las 'n. Esta expresión muestra la simetría G (r; r

0) = G� (r0; r). Este formalismo nos ayuda

a resolver la ecuaciónh bO � �i (r) = 0 que es mas general que la ecuación de Poisson. También vale la

pena anotar que en la demostración solo requerimos que las funciones propias sean completas; el espectro�n podría ser complejo y el operador podría no ser hermítico (pero si lineal).

2.3.3. Cálculo de funciones de Green unidimensionales

La formulación anterior no es válida para casos unidimensionales ni bidimensionales, ya que se basa en elteorema de la divergencia, el cual no tiene análogo unidimensional ni bidimensional. En lo que sigue veremosque la solución de la ecuación diferencial

d2�

dx2= f (x)

con condiciones de frontera en x = a, x = b se le puede asociar la función de Green unidimensional

d2G (x; x0)

dx2= �4��

�x� x0

�veamos

d2�

dx2= f (x)) G

�x; x0

� d2�dx2

= G�x; x0

�f (x)

5Recordemos que la ortogonalidad automática de todas las funciones propias solo está garantizada en ausencia de degen-eración.


por otro ladod2G (x; x0)

dx2= �4��

�x� x0

�) d2G (x; x0)

dx2� (x) = �4�� (x) �

�x� x0

�restando las dos últimas ecuaciones

G�x; x0

� d2�dx2

� d2G (x; x0)

dx2� (x) = G

�x; x0

�f (x) + 4�� (x) �

�x� x0

�intercambiando x$ x0 e integrando entre a y b en x0Z b

a

�G�x0; x

� d2� (x0)dx02

� ��x0� d2G (x0; x)

dx02�G

�x0; x

�f�x0��

dx0

=

Z b

a4��

�x0��x� x0

�dx0

despejando � (x) se obtiene

� (x) =1

4�

Z b

a

�G�x0; x

� d2� (x0)dx02

� ��x0� d2G (x0; x)

dx02�G

�x0; x

�f�x0��

dx0

� (x) =1

4�

Z b

a

�d

dx0

�G�x0; x

� d� (x0)dx0

�� d

dx0

��x0� dG (x0; x)

dx0

��G

�x0; x

�f�x0��

dx0

� (x) =1

4�

�G�x0; x

� d� (x0)dx0

� ��x0� dG (x0; x)

dx0

�x0=bx0=a

� 1

4�

Z b

aG�x0; x

�f�x0�dx0

para condiciones de Dirichlet G = 0 en x = a, x = b (o en x0 = a; b da lo mismo por la simetría de G)

� (x) = � 1

4�

Z b

af�x0�GD

�x; x0

�� 1

4�

��x0� dGD (x0; x)

dx0

�x0=bx0=a

??*En el caso de Neumann podemos en este caso tomar dG=dx = 0, ya que la di�cultad para hacer estoen tres dimensiones radicaba en la incompatibilidad con el teorema de la divergencia que como ya se dijo, notiene análogo unidimensional. Incluso, la asignación en tres dimensiones @G=@n = �4�=S es incompatibleaquí.

2.3.4. Un ejemplo unidimensional

Resolvamos la ecuación de Green

d2G (x; x0)

dx2= �4��

�x� x0

�con condiciones de Dirichlet G = 0 en x = 0; a. Abordaremos el problema por varios métodos

1) Expansión ortonormal

G�x; x0

�=

1Xn=1

Cn�x0�sin�n�x

a

�+

1Xn=0

Dn�x0�cos�n�x

a

�


Haciendo Dn = 0 se satisface la condición de frontera de Dirichlet. Adicionalmente, se usa la relación decompletez

��x� x0

�=1

a

1Xn=1

sin�n�x

a

�sin

�n�x0

a

�y reemplazamos la relación de completez, así como la expansión de G (x; x0) en la ecuación de Green

d2

dx2

1Xn=1

Cn�x0�sin�n�x

a

�= �4�

a

1Xn=1

sin�n�x

a

�sin

�n�x0

a

�)

�1Xn=1

�n�a

�2Cn�x0�sin�n�x

a

�= �4�

a

1Xn=1

sin�n�x

a

�sin

�n�x0

a

�recurriendo a la independencia lineal de sin

�n�xa

�nos queda�n�

a

�2Cn�x0�=

4�

asin

�n�x0

a

�Cn�x0�=

4a

n2�sin

�n�x0

a

�reemplazando en la expansión para G (x; x0)

G�x; x0

�=4a

�

1Xn=1

1

n2sin

�n�x0

a

�sin�n�x

a

�nota: La simetría G (x; x0) = G (x0; x), puede sugerir la proposición G (x; x0) =

P1n=1An sin

�n�x0

a

�sin�n�xa

�que simpli�ca un poco el problema.

2) Usando el teorema de Green antes enunciado.

G�r; r0

�= 4�

Xn

'�n (r0)'n (r)

(�� n)

asociado a:� bO � ��G (r; r0) = �4�� (r� r0) (en la demostración no aparece el factor 4� debido a que la

función de Green la de�nimos sin ese factor). Para nuestro caso bO = d2=dx2, � = 0

G�r; r0

�= �4�

Xn

'�n (r0)'n (r)

�n

el conjunto 1pasin�n�xa

�= 'n (x) es un conjunto ortonormal de valores propios del operador d

2=dx2 que

cumplen las condiciones de frontera6. Veamos cuales son los valores propios

d2

dx2

�1pasin�n�x

a

��= �

�n�a

�2 � 1pasin�n�x

a

��de modo que �n = �

�n�a

�2 con lo cual la función de Green quedaG�r; r0

�= �4�

Xn

h1pasin�n�x0

a

�i h1pasin�n�xa

�i��n�a

�2G�r; r0

�=

4a

�

Xn

1

n2sin

�n�x0

a

�sin�n�x

a

�6La parte coseno también son funciones propias, y se requiere para la completez. Pero se elimina en virtud de las condiciones

de frontera.


que coincide con el resultado anterior.3) Método directo: asumamos que x0 está en alguna región del intervalo [0; a], la ecuación de Green

d2G (x; x0)

dx2= �4��

�x� x0

�es homogénea en todos los puntos excepto en x = x0. Este punto divide el intervalo en dos partes, cada unaconteniendo una frontera, la solución de la ecuación homogénea d2G(x;x0)

dx2= 0, es G = A (x0) X +B (x0)

a) Para x < x0, región que contiene la frontera x = 0, se tiene que G = 0; cuando x = 0) B (x0) = 0 yGa (x; x

0) = A (x0) x. A continuación de�nimos x> �el mayor entre x y x0, con lo cual se puede reescribirla solución como Ga (x; x0) = A (x0) x<

b) Para x > x0, contiene a la frontera x = a. Requerimos entonces G = 0 en x = a

Gb�x; x0

�= A0

�x0�x+B0

�x0�) A0

�x0�a+B0

�x0�= 0

) B0 = �A0aGb�x; x0

�= A0x�A0a = �A0 (a� x) = �A0 (a� x>)

una solución válida para las dos regiones es el producto de las dos anteriores

G�x; x0

�= Ga

�x; x0

�Gb�x; x0

�= �A0

�x0�A�x0�x< (a� x>)

pero el factor �A0 (x0)A (x0) se puede absorber en una sola constante C (x0) � �A0 (x0)A (x0), y la funciónde Green se escribe

G�x; x0

�= C

�x0�x< (a� x>)

sin embargo, debemos tener presente que la solución encontrada es solo para la parte homogénea (x 6= x0)la constante C (x0) debe contener la información sobre la parte inhomogénea. Para tener en cuenta la parteinhomogénea, integramos la ecuación diferencial entre x = x0 � ", y x = x0 + ", después se hace "! 0.

Z x=x0+"

x=x0�"

�d2G (x; x0)

dx2

�dx� 4�

Z x=x0+"

x=x0�"��x� x0

�dx

dG (x; x0)

dx

��x=x0+"x=x0�"

= �4�

dG (x; x0)

dx

��x=x0+"

� dG (x; x0)

dx

��x=x0�"

= �4�

Es decir que dG(x;x0)dx es discontinua en x = x0. Reemplazando nuestra solución

d

dx

�C�x0�x< (a� x>)

��x=x0+"

� d

dx

�C�x0�x< (a� x>)

��x=x0�"

= �4�

cuando x = x0 + " tenemos que x = x> y x0 = x<, y lo contrario cuando x = x0 � ".

d

dx

�C�x0�x0 (a� x)

��x=x0+"

� d

dx

�C�x0�x�a� x0

��x=x0�"

= �4�

�C�x0�x0��x=x0+"

� C�x0� �a� x0

��x=x0�" = �4�

C�x0� �

x0 +�a� x0

��= 4�

de lo cual se obtiene C = 4�=a en este caso C resultó independiente de x0. La solución para la función deGreen es:

G�x; x0

�=4�

ax< (a� x>)

2.4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 33

2.4. Problemas bidimensionales

Encontremos la función de Green con condiciones de Dirichlet sobre una región rectangular de modo queG = 0 en x = 0; a y G = 0 en y = 0; b.

La ecuación de Green es�@2

@x2+

@2

@y2

�G�x; x0; y; y0

�= �4��

�x� x0

��y � y0

�utilicemos la expresión general de la función de Green7

G�r; r0

�= 4�

Xn

'�n (r0)'n (r)

�� n

usemos las funciones propias 'nm (r) =1pabsin�nx sin�my, del operador r2 en dos dimensiones8. Deter-

minemos sus valores propios �@2

@x2+

@2

@y2

��1pabsin�nx sin�my

�= �

��2n + �

2m

� � 1pabsin�nx sin�my

�Lo valores propios son �

��2n + �

2m

�. Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condición de

frontera es necesario sin�na = 0, sin�mb = 0, lo cual nos da �na = n�; �mb = m�, de modo que

�n =n�

a; �m =

m�

b

la función de Green queda

G�r; r0

�= 4�

Xn;m

h1pabsin�nx

0 sin�my0i h

1pabsin�nx sin�my

i��2n + �

2m

�G�r; r0

�=

4�

ab

Xn;m

[sin�nx0 sin�my

0] [sin�nx sin�my]��2n + �

2m

�2.4.1. Combinación de método directo con expansión ortonormal

Proponemos expansión ortonormal en x y método directo en y.

G�x; x0; y0y0

�=

1Xn=1

sin�nx sin�nx0Fn�y; y0

�La parte en x; x0 es simétrica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar Fn (y; y0),a partir de la ecuación de Green�

@2

@x2+

@2

@y2

�G�x; x0; y; y0

�= �4��

�x� x0

��y � y0

�usando la realción de completez para los senos en x; x0 y la solución para G se tiene

7En esta expresión general aparece un solo rótulo n, si existe mas de un rótulo siempre es posible renumerar para convertirloen uno solo (n1; n2; : : : ; nk)! n.

8De nuevo, los cosenos también intervienen en principio, pero se eliminan por las condiciones de frontera.


�@2

@x2+

@2

@y2

�" 1Xn=1

sin�nx sin�nx0Fn�y; y0

�#

= �4�a

" 1Xn=1

sin�nx sin�nx0

#��y � y0

�de modo que

1Xn=1

sin�nx sin�nx0��2nFn

�y; y0

�+@2Fn (y; y

0)

@y2

�

= �4�a

" 1Xn=1

sin�nx sin�nx0

#��y � y0

�y en virtud de la independencia lineal de sin�nx

��2nFn�y; y0

�+@2Fn (y; y

0)

@y2= �4�

a��y � y0

��@2y � �2n

�Fn�y; y0

�= �4�

a��y � y0

�De nuevo nos concentramos primero en la solución homogénea cuando y 6= y0, la cual tiene la forma generalFn (y; y

0) = A (y0) cosh�ny +B (y0) sinh�ny

a) Si y < y0 se cumple G = 0 en y = 0 ) Fn1 = 0 en y = 0. de mdo que Fn1 (y; y0) = Bn1 (y0) sinh�ny

que se puede escribir comoFn1

�y; y0

�= Bn1

�y0�sinh�ny<

b) Para y > y0 G = 0 en y = b

Fn2�y; y0

�= Cn2

�x0�sinh�n (b� y)

Fn2�y; y0

�= Cn2

�x0�sinh�n (b� y>)

la solución para ambas regiones es el producto de las soluciones anteriores

Fn�y; y0

�= Bn1

�y0�Cn2

�x0�sinh�ny< sinh�n (b� y>)

Fn�y; y0

�= Cn

�x0�sinh�ny< sinh�n (b� y>)

donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante C se evalúa de nuevo integrando laecuación diferencial en una vecindad de la región inhomogéneaZ y=y0+"

y=y0�"

�@2y � �2n

�Fn�y; y0

�dy = �4�

a

Z y=y0+"

y=y0�"��y � y0

�dyZ y=y0+"

y=y0�"

�@2yFn

�dy � �2n

Z y=y0+"

y=y0�"Fn dy = �4�

a

Z y=y0+"

y=y0�"��y � y0

�dy

si la función Fn (y; y0) es continua y acotada la integral sobre la función tiende a cero cuando "! 0 (no asíla integral de su segunda derivada)

@yFnjy=y0+"

y=y0�" = �4�

a


reemplazando las soluciones que tenemos hasta el momento

Cn@

@y[sinh�ny< sinh�n (b� y>)]

��y=y0+"

�Cn@


��y=y0�"

= �4�a

entonces

Cn@

@y

�sinh�ny

0 sinh�n (b� y)��y=y0+"

�Cn@

@y

�sinh�ny sinh�n

�b� y0

��y=y0�"

= �4�a

��nCn sinh�ny0 cosh�n (b� y)��y=y0+"

��nCn sinh�n�b� y0

�cosh�ny

��y=y0�"

= �4�a

tomando el límite "! 0

�nCn�sinh�ny

0 cosh�n�b� y0

�+ sinh�n

�b� y0

�cosh�ny

0�=

4�

a

usando identidades para la suma de funciones hiperbólicas

�nCn sinh�nb�cosh2 �ny � sinh2 �ny

�=4�

a

pero cosh2 �ny � sinh2 �ny = 1 quedando

Cn =4�

a�n sinh�nb

y la función de Green �nalmente resulta

G�x; x0; y; y0

�=4�

a

1Xn=1

sin�nx sin�nx0 sinh�ny< sinh�n (b� y>)�n sinh�nb

Método directo

Partiendo de la ecuación de Green�@2

@x2+

@2

@y2

�G�x; x0; y; y0

�= �4��

�x� x0

��y � y0

�solucionamos primero la ecuación homogénea�

@2

@x2+

@2

@y2

�G�x; x0; y; y0

�= 0


válida para y 6= y0. Asumimos separación de variables: G = A (x; x0)B (y; y0) reemplazando y dividiendo porAB �

@2

@x2+ @2

@y2

�A (x; x0)B (y; y0)

AB= 0h

@2

@x2A (x; x0)

iB (y; y0) +A (x; x0)

h@2

@y2B (y; y0)

iAB

= 0

@2xA

A+@2yB

B= 0

@2xA

A= �

@2yB

B= ��

donde � es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan

@2xA�x; x0

�+ �A

�x; x0

�= 0 ; @2yB

�y; y0

�� B

�y; y0

�= 0

cuyas soluciones son:

A�x; x0

�= C1

�x0�ei�x + C2

�x0�e�i�x

B�y; y0

�= D1

�y0�e�y +D2

�y0�e��y

la segunda ecuación se puede escribir también como combinación lineal de senos y cosenos hiperbólicos, lasolución general es entonces

G�x; x0; y; y0

�=�A�x0�ei�x +B

�x0�e�i�x

� �C�y0�exp (�y) +D

�y0�exp (��y)

�1. Para y < y0, G = 0 en y = 0 se cumple si D = �C de modo que

B1�y; y0

�= K1

�y0�sinh�y<

2. Para y > y0, G = 0 en y = b se cumple si Ce�b +De��b = 0. La solución se puede escribir como

B2�y; y0

�= K2

�y0�sinh� (b� y>)

El producto nos da la solución para y en todo el intervalo

B�y; y0

�= K

�y0�sinh�y< sinh� (b� y>)

y la función de Green es

G�x; x0; y; y0

�=�A�x0�ei�x +B

�x0�e�i�x

�sinh�y< sinh� (b� y>)

la constante K (y0) se ha absorbido en las constantes A (x0) ; B (x0)9.Para determinar las constantes A (x0) ; B (x0) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0 ) B = �A; con

G = 0 en x = a) sin�a = 0, la solución para x queda

An�x; x0

�= Cn

�x0�sin�nx ; �n =

n�

a

y un conjunto de soluciones para la función de Green es

Gn�x; x0; y; y0

�= Cn

�x0�sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

9Estrictamente, tendríamos que cambiar la notación para estas nuevas constantes, pero como ellas no han sido determinadas,no hace ninguna diferencia.


recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homogénea, y recordando que la superposiciónde soluciones es también solución (principio de superposición solo válido para la parte homogénea), entoncesla solución más general es una superposición de las soluciones ya encontradas

G�x; x0; y; y0

�=Xn

Cn�x0�sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

ahora insertamos esta solución en la ecuación de Green inhomogénea y expandimos � (x� x0) en la baseortonormal de senos.

�@2x + @

2y

� "Xn

Cn�x0�sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

#

= �4�a��y � y0

� 1Xn=1

sin�nx sin�nx0

"Xn

��2nCn�x0�sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

#+Xn

Cn�x0�sin�nx @

2y [sinh�ny< sinh�n (b� y>)]

= �4�a��y � y0

� 1Xn=1

sin�nx sin�nx0

Xn

Cn�x0�sin�nx

��2n sinh�ny< sinh�n (b� y>)

+ @2y [sinh�ny< sinh�n (b� y>)]

= �4�a��y � y0

� 1Xn=1

sin�nx sin�nx0

en virtud de la independencia lineal de sin�nx

Cn�x0� ��2n sinh�ny< sinh�n (b� y>)


= �4�a��y � y0

�sin�nx

0 (2.11)

genéricamente, esta ecuación se puede escribir como

Cn�x0�H�y; y0

�= �4�

a��y � y0

�sin�nx

0

H�y; y0

�� 2n sinh�ny< sinh�n (b� y>) + @2y [sinh�ny< sinh�n (b� y>)]

con lo cual se tiene queCn�x0�= Rn sin�nx

0 (2.12)

y la función de Green queda

G�x; x0; y; y0

�=Xn

Rn sin�nx0 sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

de nuevo esta forma de la función de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde elprincipio usando la simetría G (x; x0; y; y0) = G (x0; x; y; y0). La constante Rn contiene la información de


la parte inhomogénea en y y su valor se puede extraer integrando y entre (y0 � "; y0 + ") en la ecuacióninhomogénea 10. Retomando (2.11) pero teniendo en cuenta (2.12)

Rn sin�nx0 ��2n sinh�ny< sinh�n (b� y>)


= �4�a��y � y0

�sin�nx

0

Rn��2n sinh�ny< sinh�n (b� y>) + @2y [sinh�ny< sinh�n (b� y>)]

= �4�

a��y � y0

�

�Rn�2nZ y=y0+"

y=y0�"sinh�ny< sinh�n (b� y>) dy

+Rn

Z y=y0+"

y=y0�"@2y [sinh�ny< sinh�n (b� y>)] dy

= �4�a

Z y=y0+"

y=y0�"��y � y0

�la primera integral de la izquierda tiende a cero cuando "! 0. La segunda queda

Rn

�@


�y=y0+"y=y0�"

= �4�a

Rn

(�@


�y=y0+"

��@


�y=y0�"

)= �4�

a

Rn

(�@

@y

�sinh�ny

0 sinh�n (b� y)��y=y0+"

��@

@y

�sinh�ny sinh�n

�b� y0

��y=y0�"

)= �4�

a

Rn��n sinh�ny0 cosh�n

�b� y0

�� n cosh�ny0 sinh�n

�b� y0

�= �4�

a

Rn�n�sinh�ny

0 cosh�n�b� y0

�+ cosh�ny

0 sinh�n�b� y0

�=

4�

a

Rn�n sinh�nb�cosh2 �ny � sinh2 �ny

=

4�

a

Rn�n sinh�nb =4�

a

resultandoRn =

4�

a �n sinh�nb

y la función de Green se escribe

G�x; x0; y; y0

�=4�

a

Xn

sin�nx0 sin�nx sinh�ny< sinh�n (b� y>)

�n sinh�nb

que coincide con la encontrada anteriormente.

10La parte inhomogénea en x ya se tuvo en cuenta al expandir � (x� x0). Obsérvese que para solucionar la parte homogéneasolo supusimos y 6= y0.


2.4.2. Problema bidimensional semi-in�nito

Expansión ortonormal

Tomemos un rectángulo cuya anchura tiende a in�nito de tal forma que para condiciones de Dirichletnos impone G = 0 en y = 0; b y G = 0 en x = �1. Las condiciones de frontera en y son satisfechas poruna superposición discreta de senos como ya hemos visto. Por otro lado, las condiciones de frontera en xrequieren el uso de una base completa en el intervalo (�1;1), lo cual a su vez requiere del uso de basescontínuas. Por tanto, es sensato usar la expansión

G�x; x0; y; y0

�=

1Xn=1

sin�ny sin�ny0Z 1

�1An (k) e

ik(x�x0) dk

la proposición en la parte contínua de la forma eik(x�x0) está inspirada en la propiedad G (x; x0; y; y0) =

G� (x0; x; y0; y) teniendo en cuenta que el intercambio y $ y0 deja invariante a la función de Green deacuerdo con la forma propuesta. Usamos las relaciones de completez

��x� x0

�=1

2�

Z 1

�1eik(x�x

0) dk ; ��y � y0

�=1

a

1Xn=1

sin�ny sin�ny0 ; �n �

n�

b

Uso del teorema de valores propios

La expresión (2.10) puede generalizarse, para un espectro de funciones propias con una parte contínuay una parte discreta

G�r; r0; �

�=Xn

Z'�n (k; r

0)'n (k; r)

�� n (k)dk

Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador @2x + @2y que posea unaparte discreta y otra contínua.

Combinación de expansión ortonormal con método directo

asumimos

G =1Xn=1

sin�ny sin�ny0Fn�x; x0

�introduciendo esta expansión en la ecuación de Green y expandiendo � (y � y0) en senos

�@2x + @

2y

� 1Xn=1

sin�ny sin�ny0Fn�x; x0

�= �4�

b��x� x0

� 1Xn=1

sin�ny sin�ny0

1Xn=1

�@2xFn

�x; x0

�� 2nFn

�x; x0

��sin�ny

0 sin�ny = �4�b��x� x0

� 1Xn=1

sin�ny sin�ny0

por independencia lineal �@2x � �2n

�Fn�x; x0

�= �4�

b��x� x0

�para x 6= x0 la solución es Fn (x; x0) = A (x0) e�nx +Be��nx

1. Si x < x0 ) G! 0, cuando x! �1, resultando

Fn1�x; x0

�= An1e

�nx = An1e�nx<


2. Si x > x0 ) G! 0, cuando x!1, resultando

Fn2�x; x0

�= Bn2e

��nx = Bn2e��nx>

La solución esFn1

�x; x0

�= Cne

�nx<e��nx> = Cne��n(x>�x<)

al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuación se obtiene

Cn =2�

b�n

resultando

G�x; x0; y; y0

�=

2�

b

1Xn=1

sin�ny sin�ny0e��n(x>�x<)

�n

G�x; x0; y; y0

�=

2�

b

1Xn=1

sin�ny sin�ny0e��njx�x

0j

�n

Combinación de método directo con expansión contínua

Podemos proceder usando una base contínua sobre x y una función libre en y

G =

Z 1

�1eik(x�x

0)Fk�y; y0

�dk ; �

�x� x0

�=1

2�

Z 1

�1eik(x�x

0) dk

introduciendo estas expansiones en la ecuación de Green

�@2x + @

2y

� Z 1

�1eik(x�x

0)Fk�y; y0

�dk = �4�

2��y � y0

� Z 1

�1eik(x�x

0) dkZ 1

�1eik(x�x

0)��k2Fk

�y; y0

�+ @2yFk

�y; y0

��dk = �2�

�y � y0

� Z 1

�1eik(x�x

0) dk

la independencia lineal nos da �@2y � k2

�Fk�y; y0

�= �2�

�y � y0

�Anotaciones generales

1. Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar así:

a) Expansión ortonormal en x; y: recomendable cuando podemos encontrar bases tanto en x comoen y, que puedan ajustar fácilmente las condiciones de frontera.

b) Expansión ortonormal en x ó y, y función libre en la otra variable: recomendable si la expansiónortonormal es fácilmente ajustable a las condic. de frontera y la ec. diferencial para la funciónlibre es fácilmente soluble.

c) Método directo: Se asume función libre en ambas variables. Si la ec. dif. es fácilmente soluble,este método usualmente conduce a soluciones mas simples o cerradas.

d) Uso del teorema de valores propios: Recomendable cuando podemos hallar una base de funcionespropias en donde las condiciones de frontera sean fácilmente ajustables. En esencia este métodotambién es una expansión ortonormal, pero los coe�cientes se hallan mas fácilmente.


2. Con fronteras en el in�nito, es recomendable usar espectros contínuos de funciones base. En particular,la representación exponencial contínua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue quenos dice que

l��mx!1

Z b

ae�ikxF (k) dk = 0

si F (k) es absolutamente integrable i.e.

Z b

ajF (k)j dk = finito

este lema nos garantiza que G! 0 cuando x! �1.

Función de Green en coordenadas polares

Para encontrar la función de Green de la cuña mostrada en la �gura, es obviamente mas conveniente eluso de coordenadas polares. Usando el laplaciano y la función delta de Dirac en estas coordenadas se obtiene

1

�

@

@�

��@G

@�

�+1

�2@2G

@'2= �4�

�� 0

��'� '0

�(2.13)

las condiciones de Dirichlet equivalen a G = 0 en ' = 0; � y en � = R hagamos una expansión de la forma

G��; �0; '; '0

�=

1Xn=1

sin�n' sin�n'0Fn��; �0

�; �n =

n�

�

��'� '0

�=

1

�

1Xn=1

sin�n' sin�n'0

introduciendo las expansiones en la ecuación de Green (2.13)

@

@�

(�@

@�

" 1Xn=1


�#)+1

�

@2

@'2

" 1Xn=1


�#

= �4�� 0

� 1Xn=1

sin�n' sin�n'0

@

@�

" 1Xn=1


�#

+�

(@2

@�2

" 1Xn=1


�#)

+1

�

@2

@'2

" 1Xn=1


�#

= �4�� 0

� 1Xn=1

sin�n' sin�n'0


1Xn=1

sin�n' sin�n'0@�Fn

��; �0

�+

1Xn=1

� sin�n' sin�n'0@2�Fn

��; �0

��

1Xn=1

1

��2n sin�n' sin�n'

0Fn��; �0

�= �4�

�� 0

� 1Xn=1

sin�n' sin�n'0

1Xn=1

sin�n' sin�n'0�@�Fn

��; �0

�+ �@2�Fn

��; �0

�� 1��2nFn

��; �0

��

= �4�� 0

� 1Xn=1

sin�n' sin�n'0

resultando

@�Fn��; �0

�+ �@2�Fn

��; �0

�� 1��2nFn

��; �0

�= �4�

�� 0

��@2� + @� �

1

��2n

�Fn��; �0

�= �4�

�� 0

�con � 6= �0 tenemos una ecuación homogénea cuya solución es

Fn��; �0

�= A

��0��n +B

��0��n

1. Para � < �0, G = 0 en � = 0) Fn1 (��0) = An1 (�

0) ��n = An1 (�0) ��n<

2. Para � > �0, G = 0 en � = R) Fn1 (��0) = An2 (�

0)h� �R

��n � �R� ��ni = An2 (�0)h��>

R

��n � � R�>

��niLa solución homogénea completa es:

Fn��; �0

�= Cn

��0��n<

��>R

��n��R

�>

��n�Al integrar la ecuación diferencial entre � = �0 � " y � = �0 + " se obtiene Cn = �2�= (�R�n�n) de modoque

G��; �0; '; '0

�= �2�

�

1Xn=1

sin�n' sin�n'0

�n

��<R

��n ��>R

��n��R

�>

��n�Esta solución abarca como casos particulares al sector circular recto (� = �=2) y al semicírculo (� = �).Adicionalmente, si tomamos R!1 obtenemos

G��; �0; '; '0

�=2�

�

1Xn=1

sin�n' sin�n'0

�n

��<�>

��nque abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estaríamos tentados a pensar que el círculose puede generar con � = 2�, y el plano con � = 2�, R ! 1. Sin embargo, es importante enfatizar que niel círculo completo ni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema.


Problem 3 Círculo de radio R. Evaluar G para condiciones de Dirichlet. En este caso no hay condicionesde frontera para ningún valor de ', por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado, por tanto es necesarioel uso de senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar eim('�'

0) con lo cual se propone

G��; �0; '; '0

�=

1Xm=�1

eim('�'0)Fm

��; �0

�una proposición de la forma

G��; �0; '; '0

�=

1Xn=1

1Xm=�1

Amn sin�n� sin�n�0eim('�'

0)

es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en � = 0 puesto que este punto no hace parte de lafrontera. Se necesitan de nuevo senos y cosenos en �.

2.4.3. Función de Green en tres dimensiones

Función de Green para espacio in�nito

r2G (r; r0) = �4�� (r� r0). Recordando que r2�

1jr�r0j

�= �4�� (r� r0) y observando que para 1

jr�r0jtiende a cero cuando r ! 1 tenemos que esta es justamente la función de Green para espacio in�nito(frontera en el in�nito).

Podemos encontrar un representación de fourier de esta función de Green usando la ecuación de Greeny suponiendo una solución de la forma

G�r; r0

�=

Z 1

�1A (k) eik�(r�r

0)d3k

usando la ecuación de Green y la representación de Fourier de la delta de Dirac

r2Z 1

�1A (k) eik�(r�r

0)d3k = � 4�

(2�)3

Z 1

�1eik�(r�r

0)d3k

Z 1

�1k2A (k) eik�(r�r

0)d3k = � 1

2�2

Z 1

�1eik�(r�r

0)d3k )

A (k) =1

2�2k2

la función de Green queda

G�r; r0

�=

1

2�2

Z 1

�1

A (k) eik�(r�r0)

k2d3k

Una integración por polos nos da que esta integral equivale a

G�r; r0

�=

1

jr� r0j

lo cual muestra la consistencia del procedimiento.

Capítulo 3

Método de imágenes

3.1. Método de imágenes y teorema de unicidad

Supongamos que tenemos cierta distribución de cargas en el interior de un volumen V , con unas condi-ciones de frontera dadas sobre la super�cie que delimita a este volumen. En particular, tomemos condicionesde Dirichlet. Ahora supongamos que podemos encontrar una distribución virtual de cargas ubicadas en elexterior del volumen V , de tal manera que la superposición de la distribución real de cargas (en el interiorde V ) con la distribución virtual (en el exterior de V ) emulen las condiciones de frontera en la super�cie.Uno de los teoremas de unicidad que hemos demostrado nos dice que dada una cierta distribución interiorde cargas y unas condiciones de frontera con el potencial, la solución para el potencial en el interior delvolumen V , es única. Ahora bien, comparando la situación real (distribución interior mas condiciones defrontera) con la situación virtual (cargas reales interiores mas cargas virtuales exteriores), podemos inferirque el potencial en el interior del volumen V , es el mismo en ambas situaciones. Para demostrarlo,observemos que en ambos casos la distribución interior es la misma (debido a que las cargas virtuales estántodas en el exterior de V ), y así mismo las condiciones de frontera también coinciden ya que las cargasvirtuales se colocaron precisamente para ajustarse a esa condición. No obstante, es necesario aclarar que elvalor del potencial en el exterior del volumen V , en general no es el mismo en ambas situaciones; esto sepuede ver teniendo en cuenta que si tomamos el complemento del volumen de Dirichlet, las cargas virtualesestarían alterando la carga interior (donde el interior se de�ne ahora en el complemento de V ).

Esto nos sugiere un método para encontrar el potencial en el interior de un volumen en ciertas situacionesespeciales, en las cuales es fácil encontrar una distribución de cargas virtuales exteriores que puedan emularlas condiciones de frontera, sin alterar la distribución interior. Las cargas ubicadas en el exterior se denominanimágenes de modo que este procedimiento se conoce como método de imágenes.

Surge entonces la pregunta ¿cuál es la ventaja del método de las imágenes?. Debemos observar que alintroducir las cargas imagen las condiciones de frontera dejan de ser relevantes en el problema (siemprey cuando se cumplan) y en su lugar debe solucionarse el problema (en general más simple) de calcular elpotencial en el interior del volumen, por simple superposición entre las cargas interiores (reales) y exteriores(imágenes).

Adicionalmente, si conocemos las super�cies equipotenciales de una cierta distribución de cargas, es fácilretroalimentar el problema puesto que un conductor con la forma de una de éstas super�cies equipotenciales(y con un potencial igual al potencial de esta super�cie) puede utilizar la distribución original como imágen.

Veamos la conexión del método de imágenes con el formalismo de Green. Recordemos que la función deGreen mas general se escribe como

r2G�r; r0

�= �4��

�r� r0

�y que su solución mas general se escribe

G�r; r0

�=

1

jr� r0j + F�r; r0

�45

46 CAPÍTULO 3. MÉTODO DE IMÁGENES

donde F (r; r0) debe satisfacer la ecuación de Laplace, el primer término en la función de Green correspondeal potencial de una carga unidad, en tanto que el segundo término es un potencial generado dentro delvolumen delimitado por la super�cie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumenobedece a una ecuación de Laplace) de tal manera que hace que G (r; r0) cumpla las condiciones de frontera.La interpretación de la función F (r; r0) nos proporciona otro punto de vista del método, ya que F (r; r0) esel potencial equivalente a imágenes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la cargaunidad (Kcq = 1) ubicada en una posición interior r0, nos dé un potencial cero en la super�cie (o cualquieraque sea la condición sobre la función de Green en la super�cie).

3.2. Carga frente a un plano equipotencial

A manera de ejemplo consideremos una carga puntual colocada frente a un plano conductor in�nitoubicado en el plano Y Z y a potencial cero. Puede verse fácilmente que si ubicamos una carga puntualimagen al otro lado del plano a la misma distancia y de signo opuesto, las condiciones de frontera sobre elplano Y Z (potencial cero) se cumplen automáticamente.

Sean

r = xi+yj+ zk ; r0 = x0i+ y0j+ z0k ; r0i = �xi+ yj+ zk

las posiciones de el punto donde se quiere evaluar el potencial, el punto donde se ubica la carga real y elpunto donde se ubica la carga imagen respectivamente. El potencial generado por el dipolo es

� (r) =qq

(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2� qq

(x+ x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

claramente este potencial se anula en x = 0. Mas sintéticamente

� (r) =q

jr� r0j �q

jr� r0ij

Si hacemos q = 1 obtenemos la función de Green para el semiespacio con x � 0.

G�r; r0

�=

1

jr� r0j �1

jr� r0ij

que claramente cumple la condición de Dirichlet en las fronteras (y; z ! �1; x!1; ý x = 0).Obsérvese que la carga imagen (con qim = �1) es tal que nos reproduce las condiciones de frontera, y

además está por fuera del semiespacio con x � 0, de tal modo que satisface una ecuación de Laplace endicho semiespacio. Por tanto en este caso (haciendo la carga real igual a la unidad y teniendo en cuenta quela carga imagen tiene igual magnitud pero signo opuesto)

F�r; r0

�= � 1

jr� r0ij

La función de Green aquí calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x � 0 para cualquiercondición de frontera en x = 0, con cualquier distribución de carga localizada y que esté encerrada en elsemiespacio determinado por x � 0 (el hecho de que la carga esté localizada nos garantiza que el potencialsea constante en el in�nito de�nido por y; z ! �1; x ! 1). No debemos olvidar que la formulación deGreen es para volúmenes cerrados, aunque no cerrados físicamente sino que el potencial o su derivada normalse deben conocer en una super�cie cerrada, que en este caso es como una �semiesfera in�nita�.

3.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL 47

3.2.1. Linea de carga �nita

De densidad lineal � constante, paralela al eje X, con � = Va en x = 0. Evaluar el potencial en x � 0.Este ejemplo físicamente podría representar a un hilo perfectamente aislante frente a un plano in�nito

perfectamente conductor. Si el hilo no fuera aislante su carga tendería a acumularse en un extremo. Hablandomas físicamente, sería un hilo cuya longitud y distancia al plano sean mucho menores que las dimensionesdel plano. (revisar este argumento ya que en tal caso el potencial no se puede hacer cero en el in�nito).

Primero debemos calcular la densidad volumétrica equivalente

q =

Z� (r) dV =

Z� dx

Z� (z) dz

Z� (y) dy

q =

Z�� (z) � (y) dx dy dz =

Z�� (z) � (y) dV

la densidad volumétrica equivalente es entonces

��r0�= ��

�z0��y0�

Calculando G en coordenadas cartesianas resulta y evaluando @G=@n0:

@G

@n0

��x0=0

= rG � njx0=0 = rG � (�i)jx0=0 = � (rG)x0 jx0=0 =@G

@x0

��x0=0

@G

@x0

��x0=0

=@

@x0

0@ 1q(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

� 1q(x+ x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

1A��x0=0

=�2x�q

x2 + (y � y0)2 + (z � z0)2�3

la integral de super�cie en la semiesfera in�nita, solo tiene contribución en el plano Y Z ya que se anula enla super�cie semiesférica de radio in�nito. Reemplazando en (2.3) se tiene

� (r) =

Z 1

�1

Z 1

�1

Z d+l

d��z0��y0�24 qq

(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

� qq(x+ x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

35 dx0dy0dz0

� 1

4�

ZVa

26664 �2x�qx2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

�337775 dS0

� (r) = �q

Z 24 1q(x� x0)2 + y2 + z2

� qq(x+ x0)2 + y2 + z2

35 dx0

+Vax

2�

Z 1

�1

Z 1

�1

26664 1�qx2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

�337775 dy0dz0


3.3. Carga puntual frente a una esfera conductora

Supongamos que tenemos una esfera conductora de radio a (a potencial cero) y una carga puntual en elexterior, queremos evaluar el potencial en el exterior de la esfera. De modo que nuestro volumen �cerrado�está entre la esfera de radio a, y una esfera de radio in�nito. Por simetría la carga imagen debe estar en lalínea que une a la carga real con el centro de la esfera, y debe estar en el interior de la esfera (para que seaexterior a nuestro volumen �cerrado�), y debe ser de signo opuesto a la carga real para que sea posible unacancelación del potencial en r = a.

El potencial se escribe como

� (r) =q

jr� r0j �q0

jr� r"j =qp

(r� r0) � (r� r0)� q0p

(r� r") � (r� r")

en r = a se tiene que � = 0, sea r =~a cuando el vector posición de evaluación del potencial tiene magnituda

� (~a) =qp

(~a�r0) � (~a�r0)� q0p

(~a�r") � (~a�r")= 0)

q2

(~a�r0) � (~a�r0) =q02

(~a�r") � (~a�r") )

q2�~a�r"

��~a�r"

�= q02

�~a�r0

��~a�r0

�)

q2�~a�r"

��~a�r"

�� q02

�~a�r0

��~a�r0

�= 0

q2�a2 � 2~a � r" + r"2

�� q02

�a2 � 2~a � r0 + r02

�= 0

a2�q2 � q02

�+ q2r"2 � q02r02 + 2~a �

�q2r" � q02r0

�= 0 (3.1)

la cantidad 2~a ��q2r" � q02r0

�implica un cos � arbitrario en virtud de que ~a toma todas las direcciones

posibles de modo que es necesario que�q2r" � q02r0

�= 0 y como r0 y r" son paralelos se tiene que

q02 =q2r"

r0

reemplazando este valor de q0 en la expresión 3.1 se obtiene

a2�q2 � q2r"

r0

�+ q2r"2 � q2r"

r0r02 = 0

a2q2�1� r"

r0

�+ q2r"2 � q2r"r0 = 0

a2�r0 � r"

�+ r0r"2 � r"r02 = 0

a2�r0 � r"

�+ r0r"

�r"� r0

�= 0�

a2 � r0r"� �r0 � r"

�= 0

es obvio que (r0 � r") 6= 0 ya que el uno es interior (r" < a) y el otro es exterior (r0 > a) de modo que

r" =a2

r0) q0 =

qa

r0

3.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 49

obsérvese que q0 < q. El potencial fuera de la esfera es

� (r) =q

jr� r0j �q0

jr� r"j =q

jr� r0j �qa

r0��r�a2

r0r0r0

�� (r) =

q

jr� r0j �qa

r0��r� a2

r02 r0�� (3.2)

y la función de Green para r � a, es este potencial con la carga real normalizada a uno.Observemos que cuando la carga real se aproxima a la super�cie, el valor de la carga imagen tiende en

magnitud al valor de la carga real, y también se acerca a la super�cie de tal modo que las cargas real eimagen están a lado y lado de la super�cie y aproximadamente equidistantes, veamos: Sea r0 = a + " con"=a << 1, la distancia de la carga real a la super�cie es " y la distancia de la carga imagen a la super�ciees a� r"

a� r" = a� a2

r0= a

�1� a

a+ "

�= a

1� a

a�1 + "

a

�! ' ah1�

�1� "

a

�ia� r" ' a

h "a

i= "

el hecho de que las cargas tiendan a ser iguales en magnitud y equidistantes a la super�cie, se debe al hechode que la acercarse la carga real, ésta ve a la esfera como un plano in�nito y el método de imágenes se reduceal de un conductor plano in�nito.

Recordemos que la densidad super�cial de carga inducida sobre la esfera conductora se puede evaluar apartir de la discontinuidad de la componente perpendicular del campo eléctrico en la super�cie y del hechode que el campo en el interior del conductor es cero. Obteniéndose

� = � 1

4�

@�

@n

��S

= � 1

4�

@�

@r

��r=a

(3.3)

asumamos por ejemplo que la carga está ubicada a lo largo del eje polar Z a una distancia r0 > a. Evaluandola densidad de super�cie 3.3 usando el potencial (3.2) obtenemos

� (r) =q

jr� r0j �qa

r0��r� a2

r02 r0�� = qp

(r� r0) � (r� r0)� qa

r0��r�r� a2

r02 r0��r� a2

r02 r0��

=qp

r2 + r02 � 2rr0 cos �� qa

r0��qr2 + a4

r02 � 2a2

r02 rr0 cos �

�� (r) =

qpr2 + r02 � 2rr0 cos �

� q

r0��q� ra�2 + � ar0 �2 � 2 rr0 cos �� (3.4)

derivando y evaluando en r = a

� = � q

4�a2

� ar0

� �1� a2

r02

��1 + a2

r02 �2ar0 cos �

�3=2al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto último también se puede verpor ley de Gauss, para lo cual podemos construir una super�cie S cerrada que encierre tanto a la esfera comoa la carga real exterior, el �ujo � debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamenteel mismo que generaría el sistema carga real- carga imagen, ya que la super�cie Gaussiana esta toda en la


región del espacio en donde ya se probó que el potencial (y por tanto el campo eléctrico) son iguales paraambas con�guraciones. Como en ambos casos el �ujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga netadebe ser la misma en ambos casos por lo cual la carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud ysigno con la carga imagen.

La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, se puede calcular a partir de la carga imagen

F =qq0

L2u� = q

��qar0

� 1

(r0 � r")2u� = q

��qar0

� 1�r0 � a2

r0

�2u�F = �q

2

a2

� ar0

�3�1� a2

r02

��2u�

11�2xcon r0 >> a

F � �q2

a2

� ar0

�3�1 + 2

a2

r02

�u� � �

q2a

r03u�

si r0 ' a es decir r0 = a+ " con "=a << 1 la magnitud de la fuerza queda

jF j = q2

a2

�a

a+ "

�3�1� a2

(a+ ")2

��2=q2

a2

1�

1 + "a

�!3 1� 1�1 + "

a

�2!�2

=q2

a2

1�

1 + "a

�!3 �1 + � "a��2 � 1�1 +

�"a

��2!�2

=q2

a2

1�

1 + "a

�!3 �1 +

�"a

��2�1 +

�"a

��2 � 1!2

=q2

a2

1�

1 + "a

�!3 2a"+

1a2"2 + 1

2a"+

1a2"2

!2=q2

a2

1�

1 + "a

�!3 1"2

2a"+

1a2"2 + 1

2a +

1a2"

!2

�=q2

a2

�1� "

a

�3 1"2

12a

!2

' q2

4"2

lo cual es consistente con el hecho de que al aproximarse la carga real a la super�cie, la carga imagen tiendea estar equidistante, y a tener la misma magnitud de la carga real, de modo que F �= qq= (2")2 que es elresultado que se obtuvo.

Podemos también resolver el problema interior para el cual se obtiene

q0 =qa

r0; r" =

a2

r

y q0 > q. La expresión para la función de Green tiene la misma forma que para el problema exterior. Debetenerse en cuenta que el problema interior y exterior son excluyentes. Esto debido a que en cada caso lacarga imagen debe estar afuera del volumen sobre el cual se de�ne el potencial. Para comprender mejor elconcepto de excluyente veamos un ejemplo: Supongamos que queremos resolver el problema del potencialgenerado por una con�guración localizada de cargas X, ubicada fuera de una esfera conductora conectada atierra. Para esto usamos la función de Green exterior a la esfera e integramos en el volumen y la super�ciede�nidas entre la esfera y el in�nito, el formalismo de Green no me permite calcular el potencial en el interiorde la esfera en este caso (que sería el exterior de mi volumen de integración). Por otro lado, si tenemos unadistribución de cargas dentro de la esfera podemos usar Green para el interior de la esfera, pero no podemoscalcular con el formalismo de Green el potencial afuera de la esfera en este caso (siempre se puede calcularsolo dentro del volumen limitado por la super�cie en la cual se conocen las condiciones de frontera).

3.4. ESFERA CONDUCTORA CON HEMISFERIOS A DIFERENTE POTENCIAL 51

3.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial

Debemos utilizar la función de Green para problema exterior en la esfera, pero es mas cómodo escribirloen coordenadas esféricas. Podemos tomar la expresión 3.4 pero con q = 1; y con � = ya que � está reservadopara el ángulo con el eje Z.

G�r; r0

�=

1pr2 + r02 � 2rr0 cos

� 1

r0��q� ra�2 + � ar0 �2 � 2 rr0 cos �� (3.5)

G�r; r0

�=

1pr2 + r02 � 2rr0 cos

� 1��q� rr0a �2 + a2 � 2rr0 cos �� (3.6)

los vectores unitarios a lo largo de r y de r0 se escriben

br = cos �uz + sin �uk = cos �uz + sin � (cos'ux + sin'uy)br0 = cos �0uz + sin �0 cos'0ux + sin �

0 sin'0uy

cos = br � br0 = sin � cos' sin �0 cos'0 + sin � sin' sin �0 sin'0 + cos � cos �0cos = sin � sin �0

�cos' cos'0 + sin' sin'0

�+ cos � cos �0

= sin � sin �0 cos�'� '0


cos = sin � sin �0 cos�'� '0


Primero calculamos la derivada normal de G en la super�cie de la esfera, ya que en la otra super�cie (elin�nito) el potencial es cero y la integral de super�cie no contribuye.

@G

@n0

��S0=@G

@r0

��r0=a

= ��r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

como no hay carga en el exterior � (r0) = 0, y el potencial queda

� (r) = � 1

4�

Z��r0� @G@n0

dS0 =1

4�

Z�S0

" �r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

#a2 sin �0d�0d�0

=1

4�

Z 2�

0

"Z �=2

0V

�r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

a2 sin �0d�0

#d�0

+1

4�

Z 2�

0

"Z �

�=2(�V )

�r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

a2 sin �0d�0

#

� (r) =a2V

4�

Z 2�

0

"Z �=2

0

�r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

!sin �0d�0

�Z �

�=2

�r2 � a2

�a (r2 + a2 � 2ar cos )3=2

!sin �0d�0

#d�0

esta integral no es sencilla debido a la complicada dependencia del cos con respecto a �0. Volveremos sobrela solución de este problema mas adelante. Por ahora tomemos el caos particular del potencial sobre el eje


Z. Con � = 0) cos = cos �0 y r = z. La integración nos da

� (z) = 2�aV

4�

�z2 � a2

�2az

"�2p

a2 + z2 � 2az cos �0

��=20

+2p

a2 + z2 � 2az cos �0

��=2

#

� (z) =V

2

�z2 � a2

�z

"�1p

a2 + z2 � 2az cos �0

��=20

+1p

a2 + z2 � 2az cos �0

��=2

#

� (z) =V

2

�z2 � a2

�z

��1p

a2 + z2 � 2az� 1p

a2 + z2

�+

�1p

a2 + z2 + 2az� 1p

a2 + z2

��

� (z) =V�z2 � a2

�2z

�1

(z � a) +1

(z + a)� 2p

a2 + z2

�� (z) =

V

2z

(z + a) + (z � a)�

2�z2 � a2

�pa2 + z2

!

� (z) = V

1�

�z2 � a2

�zpa2 + z2

!(3.7)

3.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada

Sea Q la carga total sobre el sistema, analicemos el problema de la siguiente manera: inicialmente laesfera está conectada a tierra (potencial cero) de modo que la presencia de la carga puntual q induceuna carga super�cial q0 numéricamente igual a la imagen que ya calculamos. Esta carga está distribuidainhomogéneamente debido a la presencia de la carga q.

Ahora se desconecta tierra y se agrega a la esfera una carga Q�q0. Esta carga se distribuye uniformementesobre la esfera, hay dos formas de verlo a) Las fuerzas electrostáticas debidas a q ya fueron balanceadas porq0, b) La super�cie del conductor con carga q0 es equipotencial por lo que la carga restante se distribuyeuniformemente.

Por tanto el potencial se puede escribir como

� (r) =q

jr� r0j �qa

r0��r� a2

r02 r�� + Q+ aq

r0

jrj

Los dos primeros términos corresponden a la esfera con potencial cero enfrente de una carga puntual queya se solucionó, el tercero es el término debido a la carga Q � q0 = Q � (�aq=r0), la cual al repartirseuniformemente produce un potencial puntual equivalente en el exterior de la esfera.

La fuerza sobre la carga q se puede calcular con el mismo proceso. La fuerza debida a la esfera conectadaa tierra con carga q0 ya se calculó como la fuerza entre q y q0; a esto hay que sumarle la fuerza debida a lacarga Q� q0 repartida uniformemente

F = �q2

a2

� ar0

�3�1� a2

r02

��2 br0 + q�Q+ aq

r0�

r02br0

F =q

r02

"Q�

qa3�2r02 � a2

�r0 (r02 � a2)

#br0si r0 >> a, se reduce a la fuerza entre cargas puntuales Q; q. Si Q < 0, la interacción es siempre atractiva(con q > 0) pero si Q > 0, la fuerza es atractiva a cortas distancias y repulsiva a largas distancias.

3.6. CARGA PUNTUAL EN FRENTE DE UN CONDUCTOR ESFÉRICO A POTENCIAL V 53

Si queremos remover una carga del conductor hay que hacer trabajo para vancer la atracción a cortasdistancias. Este trabajo necesario para extraer una carga del conductor se conoce como función trabajo delmetal.

3.6. Carga puntual en frente de un conductor esférico a potencial V

Podemos verlo con un argumento similar al anterior, conexión a tierra produce carga q0 y luego sedesconecta tierra y se agrega la cantidad de carga necesaria para que el potencial en la super�cie pase decero a V , como esta última carga QV se reparte uniformemente se tiene que

QVa= V ) QV = V a

la contribución de esta QV al potencial es QV = jrj = V ajrj el potencial total es

� (r) =q

jr� r0j �qa

r0��r� a2

r02 r�� + V a

jrj

donde el primer término es debido a la carga puntual real, el segundo es debido a la carga imagen q0 (apotencial cero), y el tercero es debido a la carga adicional que hay que distribuir en la super�cie para elevarel potencial desde cero hasta V (si V < 0 este término es negativo) también se puede ver como si estetérmino se ubicara en el centro de la esfera en cuyo caso se puede ver como la interacción de tres cargas:QV en el origen, q0 en r" y q ubicada en r0. Se puede veri�car que � (~a) = V .

3.7. Esfera conductora colocada en campo eléctrico uniforme

Un campo eléctrico E uniforme puede pensarse como producido por dos cargas Q y �Q, colocadas enz = R y en z = �R. En un vecindad de z = 0 con tamaño mucho menor que R, el campo es uniforme yaproximadamente constante, paralelo a Z. La magnitud de este campo es

E =

�Q

R2+

Q

R2

�cos � ' 2Q

R2

ya que � � 0. En el límite Q ! 1; y R ! 1 con Q=R2 constante 1, la aproximación se vuelve exacta.Sea una esfera de radio a, ubicada en el origen. El potencial se puede pensar como debido a cuatro fuentespuntuales �Q y �q0

� (r) =Qp

r2 +R2 + 2rR cos �� Qp

r2 +R2 � 2rR cos �

� Qa

Rqr2 + a4

R2+ 2a2r

R cos �+

Qa

Rqr2 + a4

R2� 2a2r

R cos �

al expandir para los radicales teniendo en cuenta que R >> r, y R >> a, obtenemos

� (r) =Q

Rq1 +

�rR

�2+ 2

�rR

�cos �

� Q

Rq1 +

�rR

�2 � 2 � rR� cos �� Qa

R2q�

rR

�2+�aR

�4+�aR

�2 � rR

�cos �

+Qa

R2q�

rR

�2+�aR

�4 � � aR�2 � rR� cos �


despreciando términos de tercer orden

� (r) ' Q

Rq1 + 2

�rR

�cos � +

�rR

�2 � Q

Rq1� 2

�rR

�cos � +

�rR

�2 � Qa

R2q�

rR

�2 + Qa

R2q�

rR

�2� (r) =

Q

Rq1 + 2

�rR

�cos � +

�rR

�2 � Q

Rq1� 2

�rR

�cos � +

�rR

�2teniendo en cuenta que

1p1� x

= 1� 12x+

3

8x2

� (r) =Q

R

("1� r

Rcos � � 1

2

� rR

�2+3

8

�2r

Rcos � +

� rR

�2�2#

�"1 +

r

Rcos � � 1

2

� rR

�2+3

8

��2 r

Rcos � +

� rR

�2�2#)

� (r) =Q

R

(�1� r

Rcos � � 1

2

� rR

�2+3

2

� rR

�2cos2 �

��"1 +

r

Rcos � � 1

2

� rR

�2+3

8

��2 r

Rcos � +

� rR

�2�2#)

???????????/

� (r) = �2QrR2

cos � +2Q

R2a3

r2cos � + :::

donde Q=R2 se ha considerado constante como E = 2Q=R2

� (r) = �E�r cos � � a3

r2cos �

�El primer término corresponde a l campo uniforme E, el segundo es debido a la carga inducida sobre lasuper�cie conductora y cuya densidad es

� = � 1

4�

@�

@r

��r=a

=3

4�E cos �

Probar queR�dA = 0, lo cual es lógico por simetría.

El momento de dipolo inducido sobre la esfera es

~p =

Z�rdA ; pz =

Z�a3 cos � sin � d� d� =

3a3E

4�

sin3 �

3

��=20

= Ea3

Capítulo 4

Ecuación de Laplace

4.1. Propiedades de las soluciones de la Ecuación de Laplace

Donde quiera que no haya densidad de carga, el potencial electrostático obedece a la ecuación homogénea

r2� = 0

Conocida como ecuación de Laplace, esta ecuación aparece con frecuencia no solo en la electrodinámica sinoen muchas teorías clásicas de campos, de modo que el estudio de sus soluciones es de importancia mayor.Como ya mencionamos, esta ecuación admite separación de variables en 11 sistemas coordenados diferentes.Las soluciones a esta ecuación se les conoce como funciones armónicas. Estas funciones poseen la siguientepropiedad importante

Si � (x; y; z) satisface la ecuación de Laplace, el valor promedio de esta función sobre una esfera (nonecesariamente pequeña) coincide con el valor de � en el centro de la esfera.

Este teorema es válido para cualquier función armónica, es fácil ver que el potencial electrostático enparticular cumple esta condición. Supongamos que tenemos una carga puntual q y una esfera de radioa cargada uniformemente sobre la super�cie con carga q0 (aislante para que en todo instante la cargapermanezca uniformemente distribuida en la super�cie). Asumamos que traemos la carga puntual desdeel in�nito hasta una distancia R, del centro de la esfera con R > a. La energía potencial necesaria paraensamblar el sistema en esa con�guración es UA = qq0=R ya que la esfera actúa como el equivalente a unacarga puntual.

Ahora procedemos al contrario, trayendo la esfera desde el in�nito, en este caso el trabajo para ensamblarel sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energía potencial se puede calcular de la energíapotencial asociada al par de cargas q y dq0 donde dq0 se integraría sobre toda la esfera1,

dUB =q dq0

jrj ) UB =

Zq dq0

jrj =

Zq �dA0

jrjdonde jrj se re�ere a la distancia entre q y dq0. Dado que � es constante, la energía potencial queda

UB =�A

A

Zq dA0

jrj

donde A se re�ere a la super�cie de la esfera. q= jrj es el potencial que la carga q genera sobre un punto enla super�cie de la esfera, lo denotaremos �q.

UB = q0�1

A

Z�q dA

0�

1A priori uno podría pensar que es necesario incluír el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sinembargo, en ambos casos estamos considerando que la esfera ya está armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimosincluirlo aparecera igualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aquí se obtiene.

55

56 CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE LAPLACE

claramente el término entre paréntesis corresponde al potencial promedio sobre la super�cie de la esferagenerado por la carga puntual q. Por otro lado, el carácter conservativo de las fuerzas electrostáticas nos dacomo resultado la igualdad de la energía potencial al usar ambos procedimientos de modo que

UA = UB )qq0

R= q0

�1

A

Z�q dA

0�

) q

R=

�1

A

Z�q dA

0�

el término de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de laesfera, que resulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la esfera, estoprueba la a�rmación para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio desuperposición para el potencial. Esta demostración también se puede hacer por cálculo directo del potencialpromedio generado por una carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (Gri¢ th). El lectorpuede demostrar que esta propiedad también se cumple en una dimensión (tomando un intervalo) y en dosdimensiones (tomando una circunferencia).

Esta propiedad está asociada a un hecho muy importante: ninguna con�guración electrostática nos generauna con�guración de equilibrio estable para una carga de prueba en el espacio vacío (teorema de Earnshaw).Para probarlo asumamos que existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en él,al ser estable cualquier desplazamiento debe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P ,esto implica que al construir una esfera alrededor de P el campo debe apunta hacia el interior de la esferaen todas direcciones; pero esto contradice la ley de Gauss ya que no hay cargas negativas en el interior (lacarga q es positiva y además no cuenta ya que estamos hablando del campo que generan las fuentes al cualestá sometido la carga de prueba, pues ciertamente su propio campo no actúa sobre ella). Similarmente alponer una carga negativa no es posible que el campo apunten hacia afuera en la esfera alrededor de P . Portanto no hay equilibrio estable.

Otra forma de verlo relacionada con la propiedad que ya vimos: para que una carga positiva en el puntoP esté en equilibrio estable, es necesario que en cierta vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que elpotencial en P en todos los puntos, esto implica que podemos construir una esfera contenida en esa vecindad,para la cual claramente el promedio en la super�cie sería mayor que su valor en el centro, de modo que laexistencia de un punto de equilibrio estable nos implicaría una violación de la a�rmación ya demostrada.Para una carga negativa el argumento es similar. Matemáticamente hablando, esto implica que el potencialno puede tener máximos ni mínimos locales dentro de la región en donde es válida la ecuación de Laplace.

Hay que aclarar que puntos de equilibrio electrostáticos si hay, solo que no son estables. No obstante,campos magnéticos o electromagnéticos variables en el tiempo pueden mantener una carga en equilibrioestable.

4.2. Unicidad de la ecuación de Laplace

La unicidad de la ecuación de Laplace se puede ver como un caso particular de la unicidad de la soluciónde Poisson. Sin embargo, es interesante ver un modo alternativo para establecer la unicidad de esta ecuaciónpara condiciones de Dirichlet. Una vez establecida la existencia, la demostración de la unicidad resulta sencillagracias a la propiedad de linealidad de la ecuación de Laplace. Asumamos que � (x; y; z) es una solución de laecuación con ciertas condiciones de frontera, imaginemos que existe una segunda solución ' (x; y; z) con lasmisma condiciones de frontera si ambas son soluciones, también lo es una combinación lineal de éstas,en particular W (x; y; z) = � (x; y; z)� ' (x; y; z). W (x; y; z) no satisface las condiciones de frontera ya queen este caso al tomar los puntos en las fronteras � (x; y; z) y ' (x; y; z) toman los mismos valores. W (x; y; z)es la solución de otro problema electrostático con todas las super�cies a potencial cero. Adicionalmente siWes cero en todas las super�cies, debe ser cero en todo el espacio donde no hay carga por la siguiente razón:si el potencial no es nulo en todo el espacio vacío entonces deben haber al menos un punto que sea máximo

4.3. ECUACIÓN DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES 57

o mínimo local, pero como ya vimos, las soluciones armónicas no permiten estos extremos, de modo que Wdebe ser cero en todo punto, y la solución es única2.

Con base en este teorema de unicidad, se puede hacer una demostración alternativa de que en el interiorde la cavidad de un conductor sin carga interior, el campo es cero (ver Sec. 1.4.1). Recordemos que esto esválido independientemente del tamaño y forma del conductor así como de los posibles campos generadosen el exterior por fuentes super�ciales o exteriores al conductor. La demostración es muy simple: en elinterior se satisface la ecuación de Laplace con potencial constante en la frontera, una solución posible es� = cte =potencial en la frontera, y como la solución es única entonces el potencial es constante en el interiorde modo que el campo es cero en esta región.

4.3. Ecuación de Laplace en dos dimensiones

4.3.1. Coordenadas cartesianas

La ecuación de Laplace en dos dimensiones se escribe�@2x + @

2y

�� (x; y) = 0

realizando separación de variables � (x; y) = A (x)B (y) y dividiendo la ecuación por AB se obtiene

1

A

d2A

dx2+1

B

d2B

dy2= 0

como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual auna constante

1

A

d2A

dx2= ��2 ; 1

B

d2B

dy2= �2

la asiganción de ��, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que � es en general complejo,esto no supone ninguna limitación. Las soluciones en el caso � 6= 0 son

A (x) = Aei�x +Be�i�x ; B (x) = Ce�y +De��y

la solución para � = 0, nos daA (x) = a0x+ b0 ; B (x) = c0y + d0

La solución general es de la forma

� (x; y) =�Aei�x +Be�i�x

� �Ce�y +De��y

�+ axy + bx+ cy (4.1)

donde hemos rede�nido adecuadamente las constantes, obsérvese que en particular, la constante que apareceen la solución con � = 0, no se incluye explícitamente. Sin embargo, un término constante aparece cuandohacemos � = 0 en esta ecuación (recordemos que una constante puede ser relevante aquí, puesto que concondiciones de Dirichlet ya se ha �jado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria). Lasconstantes están determinadas por las condiciones de frontera

Ejemplos de la solución de la ecuación de Laplace en dos dimensiones

Calcular � con las condiciones de frontera bidimensionales siguientes: � = 0, en x = 0, en x = L, y eny !1. � = V (x) en y = 0. Con estas condiciones de frontera y tomando la ecuación (4.1) tenemos que

a) � = 0 en x = 0, 8y conduce a

�(0; y) = (A+B)�Ce�y +De��y

�+ cy = 0

2Este argumento también nos lleva a la unicidad de la ecuación de Poisson, ya que aún en presencia de carga, W continúaobedeciendo a la ecuación de Laplace.


esto solo se cumple 8y si B = �A, y c = 0, dejando

� (x; y) = A�ei�x � e�i�x

� �Ce�y +De��y

�+ axy + bx

� (x; y) = sin�x�Ce�y +De��y

�+ axy + bx

donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. Denuevo, estrictamente deberíamos cambiar la notación a digamos C 0, D0 pero como estas constantes son aúndesconocidas, esto no hace ninguna diferencia.

b) � = 0 en x = L)

� (L; y) = sin�L�Ce�y +De��y

�+ aLy + bL = 0

como � (L; y) = 0 para todo y tenemos que sin�L = 0, a = b = 0 de modo que � = �n = n�=L. La soluciónse reduce a

� (x; y) = sin�nx�Cne

�ny +Dne��ny�

Y dado que la solución es válida para todo n, tenemos que la solución mas general es una superposición deestos modos (linealidad en acción).

� (x; y) =1Xn=1

sin�nx�Cne

�ny +Dne��ny�

c) �! 0, en y !1, dado que �n es positivo, esta condición conduce a Cn = 0; la solución queda

� (x; y) =1Xn=1

Dne��ny sin�nx

d) � (x; 0) = V (x). Tenemos que

� (x; 0) = V (x) =

1Xn=1

Dn sin�nx

multiplicando por 2L sin�mx e integrando entre 0 y L

2

L

Z L

0V (x) sin�mx dx =

2

L

1Xn=1

Dn

Z L

0sin�nx sin�mx dx =

1Xn=1

Dn�mn

Dm =2

L

Z L

0V (x) sin�mx dx

con lo cual la expresión �nal para el potencial queda

� (x; y) =2

L

1Xn=1

e�n�Ly sin

�n�Lx�Z L

0V�x0�sin�n�Lx0�dx0

En el caso particular en el cual V (x) = V , obtenemos

� (x; y) =2V

L

1Xn=1

e�n�Ly sin

�n�Lx�Z L

0sin�n�Lx0�dx0

� (x; y) =2V

L

1Xn=1

e�n�Ly sin

�n�Lx� �

� 1�

L

ncos

�

Lnx

��L0

� (x; y) = �2V�

1Xn=1

e�n�Ly

nsin�n�Lx�[(�1)n � 1]


la suma solo sobrevive para términos impares de modo que hacemos n � 2k + 1 quedando

� (x; y) =4V

�

1Xk=0

e�(2k+1)�

Ly

2k + 1sin

�(2k + 1)�

Lx

�esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Jackson y Sepúlveda)

� (x; y) =2V

�tan�1

"sin��Lx�

sinh��Ly�#

es importante hacer notar que la serie converge rápidamente para y & a=�, pero para valores mucho maspequeños que esta cantidad, se necesitan muchos términos para lograr una buena aproximación.

4.3.2. Coordenadas polares

El Laplaciano se escribe como1

�

@

@�

��@�

@�

�+1

�2

�@2�

@'2

�= 0

suponemos separación de variables� (�; ') = R (�) (')

1

�

�d

d�

��dR (�)

d�

��(') +

R (�)

�2

�d2(')

d'2

�= 0

multiplicando la ecuación por �2

R(�)(')

�

R

d

d�

��dR (�)

d�

�+1

�d2(')

d'2

�= 0

hacemos1

�d2(')

d'2

�= ��2 ; �

R

d

d�

��dR (�)

d�

�= �2

asumiendo �2 6= 0, la ecuación para (') es

d2(')

d'2+ �2(') = 0) (') =

�Cei�' +De�i�'

�y la ecuación para R (�) queda

�d

d�

��dR

d�

��R�2 = 0)

�

�dR

d�

�+ �2

d2R

d�2�R�2 = 0 (4.2)

Esta ecuación es homogénea en � y se puede resolver con

� = e� ) d�

d�= e� = �;

d�

d�= e�� =

1

�

dR

d�=d�

d�

dR

d�=1

�

dR

d�; (4.3)


d2R

d�2=

d

d�

�dR

d�

�=d�

d�

d

d�

�dR

d�

�=1

�

d

d�

�e��

dR

d�

�d2R

d�2= �1

�e��

dR

d�+1

�e��

�d2R

d�2

�= � 1

�2dR

d�+1

�2

�d2R

d�2

�(4.4)

reemplazando (4.3) y (4.4)en (4.2) resulta

�

�1

�

dR

d�

�+ �2

�� 1�2dR

d�+1

�2

�d2R

d�2

��R�2 = 0

dR

d�� dR

d�+

�d2R

d�2

��R�2 = 0�

d2R

d�2

��R�2 = 0

la solución es

R (�) = Ae�� +Be�� = A (e�)� +B (e�)��

R (�) = A�� +B��

La solución para �2 6= 0 es� (�; ') =

�A�� +B��

� �Cei�' +De�i�'

�para �2 = 0 las ecuaciones quedan

d2

d'2= 0) = a'+ b�

d2R

d�2

�= 0) R (�) = (E�+ F )

pero � = e� ) � = ln �

R (�) = E ln �+ F

la solución para � = 0 es

� (�; ') = (a'+ b) (E ln �+ F )

La solución general (para � � 0) es

� (�; ') =�A�� +B��

� �Cei�' +De�i�'

�+ (a'+ b) (E ln �+ F )

o alternativamente

� (�; ') =�A�� +B��

�[C cos �'+D sin �'] + (a'+ b) (E ln �+ F )

Discusión: las soluciones para � = 0;y para � 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no tendríasentido incluír los dos tipos de soluciones en una sola expresión. Sin embargo, si rotulamos estas solucionescomo �� (�; ') donde � � 0, una superposición de ellas es también solución y en muchos casos la superposiciónes obligatoria para obtener las condiciones de frontera (esta superposición puede ser sobre el discreto o sobreel contínuo dependiendo de los valores posibles de �). Esto hace indispensable incluír la solución con � = 0como parte de la superposición, lo mismo vale en coordenadas cartesianas.


Intersección entre dos planos

Evaluar el potencial en la región cercana a la intersección entre dos planos que forman un ángulo diedro�.

El punto � = 0 está incluído en la región por lo cual B = E = 0 para evitar una divergencia en elpotencial. Quedando la solución

� (�; ') = �� [C cos �'+D sin �'] + (a'+ b)

discusión: obsérvese que en la punta tenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V 0 por el otro,luego el campo debería tener una divergencia, al menos si V 6= V 0. Sin embargo, E y B deben ser cero yaque aunque el campo puede en general diverger, el potencial si se mantiene acotado.

1. En ' = 0, � = V� (�; 0) = V = C�� + b

solo es posible si C = 0, y b = V

� (�; ') = a'+ V +D�� sin �'

obsérvese que el coe�ciente b es parte de la solución con � = 0, si no hubiéramos incluído esta con-tribución, no hubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.

2. En ' = �, � = V 0

� (�; �) = V 0 = a� + V +D�� sin ��

como esto debe ser válido 8� ) D = 0 ó sin �� = 0 se puede ver que la primera alternativa nosoluciona las condic. de frontera. Con la segunda tenemos los valores permitidos para � (con � 6= 0)

� = �m =m�

�

dado que � � 0 ) m � 0. y m es entero, como la solución � = 0 ya ha sido incluída entoncesm = 1; 2; 3; :::. (efectivamente m = 0 nos deja solo con coe�cientes que provienen de la solución con� = 0; para todo � y para todo '). El potencial para ' = � queda

� (�; �) = V 0 = a� + V

con lo cual

a =V 0 � V�

La solución es entonces la combinación lineal de la solución para cada m

� (�; ') = V +

�V 0 � V�

�'+

1Xm=1

Dm�m�=� sin

�m�

�'

�Los coe�cientes Dm requieren conocer las condiciones de frontera que cierren el contorno, por ejemplosea ' (R;') = V (') y V = V 0

3.

� (R;') = V (') = V +1Xm=1

DmRm�=� sin

�m�

�'

�multiplicando por sin n�� e integrando en ' 2 (0; �) queda

Dm =2

�R�m�=�

�Z �

0[V (')� V ] sin

�m�

�'0��

d'0


el potencial queda

� (�; ') = V +1Xm=1

�2

�R�m�=�

�Z �

0[V (')� V ] sin

�m�

�'0��

d'0��m�=� sin

�m�

�'

�se puede veri�car que la condición � (R;') = V (') se cumple. Por otro lado si todas las paredes sonequipotenciales i.e. V (') = V = V 0 se cumple que � = V en el interior es decir como si tuviéramos unsolo conductor cerrado en forma de cuña de radio R (recordemos que en realidad no hay conductor enel arco de la cuña).

Veamos lo que ocurre en el caso general para � pequeño, cuando aún no se ha evaluado Dm. Dado que ladependencia en � es de la forma �m�=� puede concluirse que cerca de � = 0, el potencial depende mayormentedel primer término en la serie (mas exactamente de los dos primeros con � = 0 y el segundo con m = 1).Asumamos V = V 0

� (�; ') = V +1Xm=1

Dm�m�=� sin

�m�

�'

�� V +D1�

�=� sin

��

�'

�queremos evaluar la densidad de carga en la vecindad de � = 0. La cual para un conductor viene dada por

� = � 1

4�n � r' = � 1

4�

@�

@n=1

4�n �E

evaluemos el campo eléctrico

E� = �@�@�

= �D1��

�

��1�sin

��'

�

�E' = �1

�

@�

@'= �D1�

��

��1�cos

��'

�

�observemos que para el conductor en ' = 0, el vector normal es �u' en tanto que para el conductor en' = � se tiene que el vector normal es u' las densidades son

�0 = � 1

4�u' �E

��'=0

= � 1

4�E'

��'=0

=D14��

��1�

�� =1

4�u' �E

��'=�

=1

4�E'

��'=�

=D14��

��1�

para diferentes valores de � tenemos diferentes comportamientos de � en �! 0 es decir en las puntas.

1. para � � �� 1 > 0, con � pequeño, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulación de carga en

las puntas. Especialmente si � es grande (� pequeño).

2. para � � �2 ) j�j � D1

2� � y también disminuye al acercarse a la punta

3. para � � � ) j�j � D14� independiente de �, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano

in�nito.

4. para � � 3�2 ) j�j � D1

6� �(�1=3) tanto el campo como la densidad de carga son singulares en � = 0.

5. Para � � 2� ) j�j � D18� �

(�1=2). La carga se acumula en las puntas mas rápidamente que en el casoanterior.

Como se vé, la carga tiende a acumularse en las puntas en algunos casos. Estas acumulaciones de cargaproducen campos muy intensos. En este sencillo principio se basa el pararrayos.


4.3.3. Cilindro in�nito

Cilindro in�nito a potencial V (') en su super�cie.El potencial es independiente de Z lo que lo convierte en un problema bidimensional. Tomemos la solución

bidimensional general

� (�; ') =�A�� +B��

�[C cos �'+D sin �'] + (a'+ b) (E ln �+ F )

el potencial debe ser el mismo en ' = 0 y en ' = 2n�. Esto implica a = 0; y que � debe ser entero. Por otrolado E = B = 0 para evitar divergencias en �! 0. La solución queda

� (�; ') = �� [C cos �'+D sin �'] + F 0

teniendo presente que � debe ser entero, la solución general es

� (�; ') = F 0 +1X�=1

�� [C� cos �'+D� sin �']

usando la condición � = V (') en � = R

� (R;') = V (') = F 0 +1X�=1

R� [C� cos �'+D� sin �'] (4.5)

multiplicando por sin � 0' d' e integrandoZ 2�

0V (') sin � 0' d' =

Z 2�

0F 0 sin � 0' d'

+

1X�=1

R��C

Z 2�

0cos �' sin � 0' d'+D

Z 2�

0sin �' sin � 0' d'

�Z 2�

0V (') sin � 0' d' =

1X�=1

R�D�

Z 2�

0sin �' sin � 0' d'Z 2�

0V (') sin � 0' d' = �R�

0D�0

obteniendo

D� =1

�R�

Z 2�

0V (') sin �' d'

similarmente se obtiene C� al multiplicar por cos � 0'

C� =1

�R�

Z 2�

0V (') cos �' d'

integrando (4.5) en ' se tieneZ 2�

0V (') d' =

Z 2�

0F 0d'+

1X�=1

R��C�

Z 2�

0cos �' d'+D�

Z 2�

0sin �' d'

�F 0 =

1

2�

Z 2�

0V (') d'

la solución queda entonces

� (�; ') =1

2�

Z 2�

0V (') d'

+1

�2

1X�=1

� �R

�� Z 2�

0

�V�'0�cos �'0 cos �' d'0 + V

�'0�sin �'0 sin �' d'0

�


4.4. Ecuación de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas

r2� (x; y; z) = 0)�@2

@x2+

@2

@y2+

@2

@z2

�� (x; y; z) = 0

separación de variables � = A (x)B (y)C (z)

1

A

d2A

dx2| {z }��2

+1

B

d2B

dy2| {z }��2

+1

C

d2C

dz2| {z } 2

= 0) 2 = �2 + �2

Para obtener la solución mas general debemos obtener todas las combinaciones con �; �; iguales a cero odiferentes de cero, todos ellos son no negativos.

� 6= 0; � 6= 0 � = 0; � = 6= 0 � = 0; � = 6= 0 � = 0; � = = 0

A (x) Aei�x +Be�i�x ax+ b Lei�x +Me�i�x ex+ f

B (y) Cei�y +De�i�y Gei�y +He�i�y cy + d gy + h

C (z) Ee z + Fe� z Je�z +Ke��z Ne�z + Pe��z jz + k

la ligadura 2 = �2 + �2 prohibe la posibilidad de � = � 6= 0; = 0. La solución general queda

� (x; y; z) =�Aei�x +Be�i�x

� �Cei�y +De�i�y

� �Ee z + Fe� z

�+(ax+ b)

�Gei�

0y +He�i�0y��

Je�0z +Ke��

0z�

+�Lei�

0x +Me�i�0x�(cy + d)

�Ne�

0z + Pe��0z�

+(ex+ f) (gy + h) (jz + k)

�; �0; �; �0 son positivos, aunque en esta expresión �nal pueden tomar el valor cero. Cuando todos ellostoman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podría remover la constante que aparece en laexpresión para el potencial, que es fhk.

La solución mas general implica sumatorias y/o integrales en �; �0; �; �0 y las constantes están determi-nadas por las condiciones de frontera.

Caja de lados a; b; c

Paralelepípedo de lados a; b; c, con todas las super�cies a potencial cero excepto una.

1. � = 0 en x = 0, la solución queda

� (0; y; z) = (A+B)�Cei�y +De�i�y


�+b0

�Gei�

0y +He�i�0y��

Je�0z +Ke��

0z�

+(L+M)�c0y + d

� �Ne�

0z + Pe��0z�

+f (gy + h) (jz + k)

� (0; y; z) = (A+B) �1 (y; z) + b�2 (y; z)

+ (L+M) �3 (y; z) + f [�4 (y; z) + hk]

= 0

4.4. ECUACIÓN DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 65

donde usaremos la notación a0; b0; c0 para los coe�cientes en el potencial, a �n de no confundirlos conlas dimensiones del paralelepípedo. Como cada �i (y; z) es linealmente independiente, y además laconstante fhk se puede remover, entonces cada coe�ciente que acompaña a los �i (y; z) se debe anular

A+B = 0 ; b0 = 0 ; (L+M) = 0 ; f = 0

la solución queda

� (x; y; z) = sin�x�Cei�y +De�i�y


�+x�Gei�

0y +He�i�0y��

Je�0z +Ke��

0z�

+sin�0x�c0y + d

� �Ne�

0z + Pe��0z�

+x (gy + h) (jz + k)

2. � = 0, en y = 0

� (x; 0; z) = sin�x (C +D)�Ee z + Fe� z

�+x (G+H)

�Je�

0z +Ke��0z�

+sin�0x (d)�Ne�

0z + Pe��0z�

+xh (jz + k)

un argumento similar al anterior nos da

C +D = 0 ; G+H = 0; d = 0; h = 0

estamos suponiendo que A y L de la expresión original son diferentes de cero. Puede chequearse quesi cualquiera de ellos se hace cero las condiciones de frontera no se cumplen (chequear). La soluciónqueda

� (x; y; z) = sin�x sin�y�Ee z + Fe� z

�+ x sin�0y

�Je�

0z +Ke��0z�

+y sin�0x�Ne�

0z + Pe��0z�+ xy (jz + k)

3. � = 0 en z = 0

� (x; y; 0) = sin�x sin�y (E + F ) + x sin�0y (J +K)

+y sin�0x (N + P ) + xyk

conduce a(E + F ) = (J +K) = (N + P ) = k = 0

quedando

� (x; y; z) = E sin�x sin�y sinh z + Jx sin�0y sinh�0z

+Ny sin�0x sinh�0z + jxyz

4. � = 0 en x = a

� (a; y; z) = E (sin�a) sin�y sinh z + Ja sin�0y sinh�0z

+Ny�sin�0a

�sinh�0z + jayz


conduce asin�a = 0 ; J = 0 ; sin�0a = 0; j = 0

quedando� (x; y; z) = En sin�nx sin�y sinh z +Nky sin�

0kx sinh�

0kz

con

�n =n�

a; �0k =

k�

a

5. � = 0 en y = b� (x; b; z) = En sin�nx (sin�b) sinh z +Nkb sin�

0kx sinh�

0kz

conduce a Nk = 0; � = �m =m�b

� (x; y; z) = Enm sin�nx sin�my sinh nmz

6. � = V (x; y) en z = c

� (x; y; c) = V (x; y) = Enm sin�nx sin�my sinh nmc

multiplicamos por sin�n0x sin�m0y e integramos con lo cual se obtiene

Anm =4

ab

Z a

0

Z b

0

V (x; y) sin�nx sin�my

sinh mncdx dy

con

2mn = �2�n2

a2+m2

b2

�a manera de consistencia se puede ver que si V (x; y) = 0, el potencial en el interior nos da � = 0. Estesería el caso de un paralelepípedo conductor conectado a tierra.

4.5. Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas

4.5.1. Operador momento angular orbital

Un operador momento angular es un operador con tres componentes J1; J2; J3 donde cada componentees hermítica y satisface las relaciones de conmutaciónh

Ji; Jj

i= i"kijJk

el cuadrado de este operador se de�ne como

J2 = J21 + J22 + J

23

se puede veri�car que cada coponente conmuta con J2hJ2; Jj

i= 0

esto implica que J2 y Jj admiten un conjunto común de funciones propias. Elijamos J3 para encontrar esteconjunto común, se cumple que:

J2jm = j (j + 1)jm ; J3jm = mjm

j = 0;1

2; 1;3

2; 2; :::; m = j; j � 1; j � 2; ::;� (j � 2) ;� (j � 1) ;�j�

jm;j0m0�= �j0j�mm0

El operador momento angular orbital clásico es L = �ir�r se puede ver que este operador cumple con laspropiedades de un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2� nos exige excluir losvalores semienteros de j. Es notable el hecho de que los valores propios solo depeden de la hermiticidad delos operadores y de su álgebra de Lie, pero no de su forma explícita.

4.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS 67

4.5.2. Ecuación de Laplace

r2� = 0

en coordenadas esféricas queda

1

r2@

@r

�r2@�

@r

�+

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@�

@�

�+

1

r2 sin2 �

@2�

@'2= 0

utilizando la identidad1

r2@

@r

�r2@�

@r

�=1

r

@2

@r2(r�)

escribimos1

r

@2

@r2(r�) +

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@�

@�

�+

1

r2 sin2 �

@2�

@'2= 0

hacemos separación de variables de la forma

� (r; �; ') =U (r)

rY (�; ')

reemplazamos

1

rY (�; ')

@2U

@r2+U (r)

r

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@Y (�; ')

@�

�+U (r)

r

1

r2 sin2 �

@2Y (�; ')

@'2= 0

y multiplicamos por r3= (UY )

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

sin �Y (�; ')

@

@�

�sin �

@Y (�; ')

@�

�+

1

sin2 �Y (�; ')

@2Y (�; ')

@'2= 0

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

Y (�; ')

�1

sin �

@

@�

�sin �

@Y (�; ')

@�

�+

1

sin2 �

@2Y (�; ')

@'2

�= 0

ahora bien, el término entre paréntesis es justamente el operador momento angular orbital clásico al cuadrado(con signo menos)

L = �ir�r) L2=(�ir�r)2= �

�1

sin �

@

@�

�sin �

@

@�

�+

1

sin2 �

@2

@'2

�L2Y (�; ') = �

�1

sin �

@

@�

�sin �

@Y (�; ')

@�

�+

1

sin2 �

@2Y (�; ')

@'2

�la ecuación se reduce a

r2

U (r)

d2U

dr2| {z }l(l+1)

� L2Y (�; ')

Y (�; ')| {z }l(l+1)

= 0

quedando las ecuacionesr2

U (r)

d2U

dr2= l (l + 1)

) d2Udr2

� l(l+1)r2

U = 0

L2Y (�; ') = l (l + 1)Y (�; ')


La ecuación radial es homogénea para r de modo que podemos hacer r = e� obteniéndose

d2U

d�2� dU

d�� l (l + 1)U = 0

denotando D como el operador derivada�D2 �D � l (l + 1)

�U = 0) [D � (1 + l)] [D + l]U = 0

la soluciones sonU = e(1+l)� = rl+1 ; U = e�l� = r�l

la solución para r quedaU = Arl+1 +Br�l

veamos la solución para la parte angular�1

sin �

@

@�

�sin �

@Y (�; ')

@�

�+

1

sin2 �

@2Y (�; ')

@'2

�+ l (l + 1)Y (�; ') = 0

separamos variablesY (�; ') = P (�)Q (')�

Q (')

sin �

d

d�

�sin �

dP (�)

d�

�+P (�)

sin2 �

@2Q (')

@'2

�+ l (l + 1)P (�)Q (') = 0

multiplicamos por sin2 �= (PQ)�sin �

P (�)

d

d�

�sin �

dP (�)

d�

�+ l (l + 1) sin2 �

�| {z }

m2

+1

Q (')

@2Q (')

@'2| {z }�m2

= 0

la solución se escogió de tal manera que en Q (') haya soluciones armónicas.

@2Q (')

@'2+m2Q (') = 0) Q (') =

�Ceim' +De�im' si m 6= 0

a'+ b si m = 0

la solución en � essin �

P (�)

d

d�

�sin �

dP (�)

d�

�+ l (l + 1) sin2 � �m2 = 0

sustituyamos

x = cos � ) dx

d�= � sin �; sin2 � = 1� x2 (4.6)

dP

d�=dx

d�

dP

dx= � sin �dP

dx

sustituyendo esta derivada en la ecuación

� sin �P (�)

d

d�

�sin � sin �

dP

dx

�+ l (l + 1) sin2 � �m2 = 0

dividiendo por sin2 �

1

P (�)

�� 1

sin �

�d

d�

�sin2 �

dP

dx

�+ l (l + 1)� m2

sin2 �= 0

1

P (�)

�d�

dx

�d

d�

��1� x2

� dPdx

�+ l (l + 1)� m2

(1� x2) = 0

1

P (�)

d

dx

��1� x2

� dPdx

�+ l (l + 1)� m2

(1� x2) = 0


multiplicando por Pd

dx

��1� x2

� dPdx

�+ l (l + 1)P � m2P

(1� x2) = 0 (4.7)

o equivalentemente �1� x2

� d2Pdx2

� 2xdPdx

+ l (l + 1)P � m2P

(1� x2) = 0 (4.8)

la cual se conoce como ecuación asociada de Legendre.Consideremos primeramente la solución correspondiente a m = 0�

1� x2� d2Pdx2

� 2xdPdx

+ l (l + 1)P = 0

denominada ecuación ordinaria de Legendre. Consideremos una solución en series de potencias

P (x) = x�1Xj=0

ajxj

� es un parámetro a determinar, al introducirlo en la ecuación ordinaria de Legendre, se tiene

�1� x2

� d2

dx2

0@ 1Xj=0

ajxj+�

1A� 2x ddx

0@ 1Xj=0

ajxj+�

1A+ l (l + 1)0@ 1Xj=0

ajxj+�

1A = 0

�1� x2

� d

dx

0@ 1Xj=0

aj (j + �)xj+��1

1A� 2x0@ 1Xj=0

aj (j + �)xj+��1

1A+ l (l + 1)0@ 1Xj=0

ajxj+�

1A = 0

� � � � � � � � � � �1� x2

�0@ 1Xj=0

aj (j + �) (j + �� 1)xj+��21A

�2x

0@ 1Xj=0

aj (j + �)xj+��1

1A+ l (l + 1)0@ 1Xj=0

ajxj+�

1A = 0

� � � � � � � � �

0@ 1Xj=0

aj (j + �) (j + �� 1)xj+��21A�

0@ 1Xj=0

aj (j + �) (j + �� 1)xj+�1A

�1Xj=0

�2aj (j + �)x

j+��+ l (l + 1)

1Xj=0

�ajx

j+��

= 0

1Xj=0

�aj (j + �) (j + �� 1)xj+��2

��

1Xj=0

[2aj (j + �) + aj (j + �) (j + �� 1)� ajl (l + 1)]xj+� = 0

� � � � � � -1Xj=0

�aj (j + �) (j + �� 1)xj+��2 � [(j + �) (2 + j + �� 1)� l (l + 1)] ajxj+�

= 0


quedando �nalmente

1Xj=0

�aj (j + �) (j + �� 1)xj+��2 � [(j + �) (j + �+ 1)� l (l + 1)] ajxj+�

= 0

cada coe�ciente debe ser cero por separado

aj (j + �) (j + �� 1) = 0

aj (j + �) (j + �+ 1)� l (l + 1) = 0

con lo cual para j = 0; 1; tenemos que si a0 6= 0 )con j = 0

� (�� 1) = 0

la primera relación nos dice que � =cero ó uno. Si a1 6= 0 con j = 1

(1 + �)� = 0

para cualquier otro j se obtiene la recurrencia

aj+2 =

�(�+ j) (�+ j + 1)� l (l + 1)(�+ j + 1) (�+ j + 2)

�aj

las relaciones para j = 0 y j = 1 son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a0 6= 0 ó a1 6= 0,pero no los dos al tiempo. Eligiendo a0 6= 0 obtenemos que � = 0 ó � = 1. La relación de recurrencia muestraque la serie de potencias tiene solo potencias pares (� = 0) o impares (� = 1).

� resulta ser cero o uno. Para ambos valores de � la serie converge para x2 < 1, y diverge en x = �1 amenos que la serie sea truncada, convirtiéndose entonces en un polinomio, esto solo es posible si l es cero oentero positivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige � = 0 (� = 1).

Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios deLegendre. En forma general estos polinomios están dados por

Pl (x) =1

2ll!

dl

dxl�x2 � 1

�lellos forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalo �1 � x � 1Z 1

�1Pl (x)Pl0 (x) dx =

2

2l + 1�ll0

1

2

1Xl=0

(2l + 1)Pl (x)Pl�x0�= �

�x� x0

�y teniendo en cuenta la relaciones 4.6 se obtiene en términos de �

x = cos � ) dx = � sin � d�; x = �1) � = � ; x = 1) � = 0

Z 1

�1Pl (x)Pl0 (x) dx =

Z 0

�Pl (cos �)Pl0 (cos �) [� sin � d�]

=

Z �

0Pl (cos �)Pl0 (cos �) sin � d�


las relaciones de ortogonalidad y completez quedanZ �

0Pl (cos �)Pl0 (cos �) sin � d� =

2

2l + 1�ll0

1

2

1Xl=0

(2l + 1)Pl (cos �)Pl�cos �0

�= �

�cos � � cos �0

�cualquier función regular de�nida en el intervalo [�1; 1] puede escribirse

f (x) =1Xl=0

AlPl (x) ) Al =2l + 1

2

Z 1

�1f�x0�Pl�x0�dx0

la solución a la ecuación de Laplace con m = 0 es entonces

� (r; �; ') = (a'+ b)1Xl=0

Ul (r)

rPl (cos �)

si asumimos simetría azimutal, a = 0, y la solución queda

� (r; �) =

1Xl=0

�Alr

l +Blrl+1

�Pl (cos �) (4.9)

puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetría azimutal ya que tienensoluciones no triviales en '. Al; Bl se determinan con las condiciones de frontera.

4.5.3. Propiedades de Pl (cos �)

4.5.4. Esfera con � = V (�) en la super�cie

Evaluar � en el interior de una esfera si � = V (�) en la super�cie.

� (r; �) =1Xl=0

�Alr

l +Blrl+1

�Pl (cos �)

para evitar divergencia en � se hace Bl = 0

� (r; �) =

1Xl=0

AlrlPl (cos �)

en r = a) � = V (�)

V (�) =1Xl=0

AlalPl (cos �)

multiplicamos por Pl0 (cos �) sin � d� e integramos entre 0 y �.Z �

0V (�)Pl0 (cos �) sin � d� =

1Xl=0

Alal

Z �

0Pl (cos �)Pl0 (cos �) sin � d�

=

1Xl=0

Alal 2

2l + 1�ll0 =

2Al0al0

2l0 + 1

Al =2l + 1

2al

Z �

0V��0�Pl�cos �0

�sin �0 d�0


� (r; �) =1Xl=0

�2l + 1

2al

Z �


�sin �0 d�0

�rlPl (cos �)

� (r; �) =

1Xl=0

2l + 1

2

�ra

�lPl (cos �)

�Z �


�sin �0 d�0

�

si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera basta con reemplazar (r=a)l ! (a=r)l+1.

4.5.5. Cascarones concéntricos

Cascarón de radio b a potencial V0 cascarón de radio a a potencial

V para 0 � � � �=2 ;

0 para �=2 � � � �

con � = V0 en r = b )

V0 =1Xl=0

�Alb

l +Blbl+1

�Pl (cos �)

multiplicamos por Pl0 (x) e integramosZ 1

�1V0Pl0 (x) dx =

1Xl=0

�Alb

l +Blbl+1

� Z 1

�1Pl (x)Pl0 (x) dx

2V0�l00 =1Xl=0

�Alb

l +Blbl+1

��2

2l + 1

��ll0

2V0�l0 =

�Alb

l +Blbl+1

��2

2l + 1

�por tanto se obtiene �

A0 +B0b = V0 si l = 0

Albl + Bl

bl+1= 0 si l � 1 (4.10)

ahora aplicamos � = V (�) en r = aZ 1

�1V (x)Pl (x) dx =

2

2l + 1

�Ala

l +Blal+1

�Z 1

�1V (x)Pl (x) dx =

Z 0

�10 � Pl (x) dx+

Z 1

0V � Pl (x) dx = V

Z 1

0Pl (x) dx

V

Z 1

0Pl (x) dx =

�V �l0 si l = par0 si l = impar

por tanto

)

8<:2

2l+1

�Ala

l + Blal+1

�= V si l = 0

22l+1

�Ala

l + Blal+1

�= 0 si l � 1

(4.11)

Al y Bl se pueden calcular de (4.10, 4.11).

4.6. PROBLEMAS CON CONDICIONES QUE NO SON DE FRONTERA 73

4.6. Problemas con condiciones que no son de frontera

La unicidad de la solución (4.9), nos conduce a que si encontramos cualquier método para hallar Al yBl, estos valores serán únicos. En algunas ocasiones es posible encontrar estos coe�cientes sin recurrir enforma explícita a las condiciones de frontera, conociendo por ejemplo el potencial en cierta región (que nonecesariamente pertenece a la frontera), usualmente el eje de simetría. Cuando aplicamos la solución generalEq. (4.9) a dicho eje obtenemos

� (r = z; � = 0) =1Xl=0

�Alz

l +Blzl+1

�(4.12)

para la parte negativa del eje i.e. � = �, tenemos que introducir un factor (�1)l. Si el potencial en esta regiónpuede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrar los coe�cientes ya mencionados porcomparación de la serie de potencias con la Eq. (4.12). Veamos algunos ejemplos.

Para la esfera con potenciales �V en los hemisferios norte y sur, encontramos una forma integral difícilde evaluar, pero vimos que la integración era posible cuando nos restringíamos al eje Z, para la cualencontramos el potencial 3.7

� (z) = V

1�

�z2 � a2

�zpa2 + z2

!esto es válido para z > a. En consecuencia la variable adecuada para la expansión es a=z

� (z) = V

0@1� (z2�a2)z2

z2

z2q

a2+z2

z2

1A = V

241� 1��az

�2q1 +

�az

�235

una expansión de Taylor de esta función nos da

� (z) =Vp�

1Xj=1

(�1)j�1�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

�az

�2j(4.13)

comparando esta ecuación con (4.12) tenemos

1Xl=0

�Alz

l +Blzl+1

�=

Vp�

1Xj=1

(�1)j�1�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

�az

�2jcomparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas de ésta. Por tanto Al = 0.

1Xl=0

Bl1

zl+1=

Vp�

1Xj=1

"(�1)j�1

�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

a2j

#1

z2j

De esta expresión se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l + 1, es decirimpares en l. De modo que Bl = 0 si l es par, por esta razón podemos escribir la suma de la izquierda conl + 1 � 2j, y dado que solo contribuyen los valores l = 1; 3; 5; 7; :: la suma se expresa como

1Xj=1

B2j�11

z2j=

Vp�

1Xj=1

"(�1)j�1

�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

a2j

#1

z2j

quedando

B2j�1 =Vp�(�1)j�1

�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

a2j


el valor B2j�1 es único y válido para todas las regiones de la esfera exterior aún fuera del eje, de modo quela solución general para el potencial fuera de la esfera es

� (r; �) =1Xj=1

B2j�11

r2jP2j�1 (cos �)

quedando

� (r; �) =1Xj=1

"Vp�(�1)j�1

�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

a2j

#1

r2jP2j�1 (cos �)

� (r; �) =Vp�

1Xj=1

"(�1)j�1

�2j � 1

2

��j � 1

2

�j!

#�ar

�2jP2j�1 (cos �)

4.7. Expansión de 1jr�r0j en polinomios de Legendre

Una importante aplicación de la técnica anterior nos posibilita expandir la función 1jr�r0j en polinomios

de Legendre. Esta función satisface la ecuación de Laplace para r 6= r0. Si rotamos los ejes de tal formaque r0 quede a lo largo de Z, tendremos una función que satisface la ecuación de Laplace y posee simetríaazimuthal, de modo que podemos usar (4.9)

1

jr� r0j =1Xl=0

�Alr

l +Blrl+1

�Pl (cos )

donde es el ángulo entre los vectores r y r0 que en el caso de la rotación ya descrita coincidiría con � delas coordenadas esféricas. Examinemos las condiciones de frontera

1. Para r < r0 y con 1jr�r0j 6=1, hay que evitar divergencia en r!0 se tiene

1

jr� r0j =1Xl=0

Alrl<Pl (cos )

para r > r0 con 1jr�r0j ! 0 hay que evitar divergencia en r!1 se sigue entonces

1Xl=0

Bl

rl+1>

Pl (cos )

una solución válida en ambas regiones sería

1

jr� r0j =1Xl=0

Cl

rl<

rl+1>

!Pl (cos )

para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r0 son colineales i.e. = 0. Esto permite hacer fácilmenteuna expansión en series de potencias. para el caso r > r0 la expansión adecuada es en r0=r

1

jr� r0j =1

(r � r0) =1Xl=0

Cl

rl<

rl+1>

!Pl (cos )

=1

r>

1Xl=0

Cl

�r<r>

�lPl (cos ) =

1

r

"C0 + C1

r0

r+ C2

�r0

r

�2+ :::

#r>r0

4.8. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Y ARMÓNICOS ESFÉRICOS 75

pero a su vez1

(r � r0) =1

r

�1� r0

r

��1=1

r

"1 +

r0

r+

�r0

r

�2+ :::

#r0>r

se sigue que Cl = 1 ( e igualmente para r < r0) con lo cual

1

jr� r0j =1Xl=0

rl<

rl+1>

!Pl (cos )

esta expresion se puede aplicar para evaluar potenciales. Consideremos un anillo cargado, el potencialsobre el eje es

� (z) =

Zdq

(z � b)2 + a2=

qq(z � b)2 + a2

=qp

a2 + b2 + z2 � 2bz

=qp

z2 + c2 � 2z cos�=

q

jz� cj

expandiendo para z > c

� (z) =q

jz� cj = q

1Xl=0

ClZ l+1

Pl (cos�)

donde estamos expandiendo el potencial en el eje, el cual a su vez está dado por

� (r) =1Xl=0

Blzl+1

Pl (1)

igualando

q1Xl=0

C l

Z l+1Pl (cos�) =

1Xl=0

Blzl+1

Bl = qC lPl (cos�)

de modo que el potencial para r > c es

� (r) = q1Xl=0

C l

rl+1Pl (cos�)Pl (cos �)

análogamente para r < c

� (r) = q

1Xl=0

rl

C l+1Pl (cos�)Pl (cos �)

4.8. Funciones asociadas de Legendre y Armónicos Esféricos

Ahora consideremos la situación general con m 6= 0, la cual será necesaria si el problema no presentasimetría azimuthal. Retornamos a la ecuación diferencial general Eq. (4.8)

�1� x2

� d2Pdx2

� 2xdPdx

+ l (l + 1)P � m2P

(1� x2) = 0

Las soluciones �nitas en el intervalo �1 � x � 1, solo se pueden obtener con l = 0 o entero positivo y si mtoma valores entre �l;� (l � 1) ; :::; 0; :::; l � 1; l. Lo cual concuerda con la ecuación de valores propios para


L2 y la exigencia de periodicidad en la función. La solución es conocida como función asociada de LegendrePml (x), con

Pml (x) = (�1)m �1� x2�m=2 dm

dxmPl (x) =

(�1)m

2ll!

�1� x2

�m=2 dl+m

dxl+m�x2 � 1

�lpuede demostrarse que

P�ml (x) = (�1)m (l �m)!(l +m)!

Pml (x)

Los Pml forman un conjunto completo ortogonal para cada m, sobre el intervalo �1 � x � 1.Z 1

�1Pml (x)P

ml0 (x) dx =

2

2l + 1

(l +m)!

(l �m)!�ll0

donde P 0l (x) � Pl (x).Por otro lado recordemos que para m 6= 0 aparece una solución en ' de la forma e�im'. La combinación

de Pml con e�im' nos da los Armónicos Esféricos

Ylm (�; ') =

s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (cos �) eim'

Yl;�m (�') = (�1)m Y �lm (�; ')

Estas funciones cumplen ortonormalidad y completezZYlm (�; ')Y

�l0m0 (�; ') d = �ll0�mm0

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�= �

�'� '0

��cos � � cos �0

�d � sin � d� d'

d se re�ere a un elemento de ángulo sólido. haciendo l0 = m0 = 0 en la relación de ortonormalidadZYlm (�; ')Y

�00 (�; ') d = �l0�m0 ;

1p4�

ZYlm (�; ') d = �l0�m0Z

Ylm (�; ') d =p4��l0�m0

se puede ver de la forma explícita de los armónicos esféricos que aquellos armónicos conm = 0 solo dependende �, efectivamente se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre (chequear) que dan cuenta de loscasos con simetría azimuthal.

La completez de los armónicos esféricos me permite expandir cualquier función F (�; ') como superposi-ción de esta base numerable

F (�; ') =

1Xl=0

lXm=�l

AlmYlm (�; ') ; Alm =

ZF (�; ')Y �lm (�; ') d

La solución general para el potencial es entonces

� (r; �; ') =

1Xl=0

lXm=�l

�Almr

l +Blmrl+1

�Ylm (�; ')

De nuevo, las constantes Alm; Blm se evalúan a través de las condiciones de frontera.

4.9. DELTA DE DIRAC EN COORDENADAS ESFÉRICAS 77

4.9. Delta de Dirac en coordenadas esféricas

De�nimos � (r � r0), ��cos � � cos �0

�; � ('� '0) a través de las siguientes relacionesZ 1

0��r � r0

�dr = 1 ,

Z 2�

0��'� '0

�d' = 1 ;

Z �

0��cos � � cos �0

�sin � d� = 1

)Z��r� r0

�dV = 1 =

�Z 1

0��r � r0

�dr

��Z 2�

0��'� '0

�d'

��Z �

0��cos � � cos �0

�sin � d�

�=

Z� (r � r0) � ('� '0) �


�r2

r2dr sin � d� d'

=

Z� (r � r0) � ('� '0) �


�r2

dV

Por lo tanto, el delta de Dirac en coordenadas esféricas queda

��r� r0

�=� (r � r0) � ('� '0) �


�r2

4.10. Función de Green en coordenadas esféricas

Ya conocemos la expresión analítica para la función de Green para espacio in�nito con condiciones deDirichlet (G! 0, r !1). La cual viene dada por

G�r; r0

�=

1

jr� r0j

Para ajustar esta función de Green a problemas con simetría esférica, es conveniente expandir la soluciónen armónicos esféricos

G�r; r0

�=

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�Flm

�r; r0

�(4.14)

la inclusión de Y �lm��0; '0

�se debe a que la función de Green debe satisfacer G (r; r0) = G� (r0; r). Utilizando

la completez de los armónicos esféricos

��'� '0

��cos � � cos �0

�=

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�reemplazando en r2G = �4�� (r� r0)

1

r

@2

@r2(rG)� 1

r2L2G = �4�� (r � r

0)

r2

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�usando (4.14)

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

� 1r

d2

dr2�rFlm

�r; r0

�� 1r2L2

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�Flm

�r; r0

�= �4�� (r � r

0)

r2

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�


ahora teniendo en cuenta que los armónicos esféricos son funciones propias del operador L2 con valor propiol (l + 1), y teniendo en cuenta que este operador es solo función de �; ' y no de �0; '0 se obtiene

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

� 1r

d2

dr2�rFlm

�r; r0

�� 1r2

1Xl=0

lXm=�l

l (l + 1)Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�Flm

�r; r0

�= �4�� (r � r

0)

r2

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�igualando coe�cientes

1

r

d2

dr2�rFlm

�r; r0

�� 1

r2l (l + 1)Flm

�r; r0

�= �4�� (r � r

0)

r2

multiplicando por r2

rd2

dr2�rFlm

�r; r0

�� l (l + 1)Flm

�r; r0

�= �4��

�r � r0

�(4.15)

la solución para r 6= r0 ya la hemos estudiado cuando solucionamos la ecuación de Laplace

Flm�r; r0

�= Almr

l +Blmrl+1

Para r < r0 Flm 6=1, para r ! 0 de modo que la solución tiene la forma

Flm = Almrl<

Para r > r0, Flm ! 0 cuando r !1 (condición de frontera en el in�nito)

Flm =Blm

rl+1>

la solución para ambos casos es

Flm = Clmrl<

rl+1>

para hallar Clm multiplicamos la ecuación (4.15) por r dr e integramos entre r0 � " y r0 + ".Z r0+"

r0�"rd2

dr2�rFlm

�r; r0

��dr � l (l + 1)

Z r0+"

r0�"Flm

�r; r0

�dr = �4�

Z r0+"

r0�"��r � r0

�dr

la primera integral se soluciona fácilmente por partes con u = r; dv = d2

dr2[rFlm (r; r

0)] dr ) du = dr,v = d

dr [rFlm (r; r0)]. Asumimos Flm acotada y contínua de modo que la integral sobre la función tiende a

cero cuando "! 0. �rd

dr(rFlm)� rFlm

��r0+"r0�"

= �4�

Clm

"rd

dr

rrl<

rl+1>

!� r r

l<

rl+1>

#r0+"

� Clm

"rd

dr

rrl<

rl+1>

!� r r

l<

rl+1>

#r0�"

= �4�

Clm

"rd

dr

r(r0)l

rl+1

!� r (r

0)l

rl+1

#r0+"

� Clm�rd

dr

�r

rl

r0(l+1)

�� r rl

r0(l+1)

�r0�"

= �4�

4.11. ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA 79

Clm =4�

2l + 1

La función de Green queda

G�r; r0

�=

1

jr� r0j = 4�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

rl<

rl+1>

(4.16)

A partir de esta función de Green se puede calcular el potencial debido a cualquier distribución localizaday estática de cargas en el espacio libre. Como en tal caso tanto la función de Green como el potencial soncero en el in�nito, la integral de super�cie se anula y solo queda la integral de volumen.

� (r) = 4�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 d0 (4.17)

esta expresión es la base para la expansión del potencial en multipolos esféricos

4.10.1. Teorema de adición de armónicos esféricos

Comparando la expresión obtenida para 1jr�r0j en términos de armónicos esféricos y en términos de

polinomios ordinarios de Legendre

1

jr� r0j = 4�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

rl<

rl+1>

=

1Xl=0

Pl (cos )rl<

rl+1>

resulta

Pl (cos ) = 4�

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

resultado que se conoce como teorema de adición de los armónicos esféricos. En particular, si � = �0,'0 = ') = 0

Pl (cos 0) = Pl (1) = 1 = 4�

lXm=�l

jYlm (�; ')j2

2l + 1

de lo cual se deriva la propiedadlX

m=�l

jYlm (�; ')j2

2l + 1=2l + 1

4�

4.11. Esfera uniformemente cargada

Calcular el potencial interior y exterior debido a una esfera de densidad volumétrica constante � y radioa.

� (r) = 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 d0

= 4��1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

�ZY �lm

��0; '0

�d0� Z a

0

rl<

rl+1>

r02dr0

= 4��

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

hp4��l0�m0

i Z a

0

rl<

rl+1>

r02dr0

= 4��Y00p4�

Z a

0

r0<r0+1>

r02dr0


� (r) = 4��

Z a

0

1

r>r02dr0

a) Para r < a Z a

0

1

r>r02dr0 =

Z r

0

1

r>r02dr0 +

Z a

r

1

r>r02dr0

=

Z r

0

1

rr02dr0 +

Z a

r

1

r0r02dr0

=1

6

�3a2 � r2

�b) Para r > a) r > r0 Z a

0

1

r>r02dr0 =

Z a

0

1

rr02dr0 =

a3

3r

� (r) =4��

3

� 12

�3a2 � r2

�si r < a

a3

r si r > a

� (r) =Q

a3

� 12

�3a2 � r2

�si r < a

a3

r si r > a

En r = a ambos potenciales coinciden, como debe ocurrir en la interface. El potencial afuera coincide con elde una carga puntual situada en el centro de la esfera con carga Q. En el interior el potencial es el generadopor la carga interior con respecto al punto.

4.12. Función de Green para exterior en interior de la esfera combinandoimágenes con autofunciones

Recordando que la función de Green exterior e interior para la esfera se sacaron por el método de lasimágenes

G�r; r0

�=

1

jr� r0j �a

r0��r�a2r0

r02

��=

1

jr� r0j �1�� r0r

a �ar0r0

�� 1

jr� r0j �1��k� k0��

como el segundo término es semejante al primero, es fácil hacer la expansión del segundo término en ar-mónicos esféricos, solo tenemos que saber cual de los términos r

0ra ó ar0

r0 (o k;k0) tiene mayor magnitud

a) Problema exterior, en este caso tanto r como r0 son mayores que a, de modo que rr0 > a2 ) r0ra >

a) r0ra > ar0

r0 de modo que aplicando la Eq. (4.16) la expansión para1�� r0ra �ar0r0

�� es

G2�r; r0

�= 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

�r0ar0

�l�rr0a

�l+1y la función de Green completa queda

G�r; r0

�= 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

"rl<

rl+1>

� a2l+1

(rr0)l+1

#

4.13. FUNCIÓN DEGREEN PARA ESPACIO COMPRENDIDO ENTRE DOS CASCARONES ESFÉRICOS CONCÉNTRICOS CONG = 0 EN LA SUPERFICIE81

b) Problema interior, r y r0 menores que a entonces

rr0

a<ar0

r0

de modo que

G2�r; r0

�= 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

�rr0

a

�l�r0ar0�l+1

y la función de Green completa queda

G�r; r0

�= 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�2l + 1

"rl<

rl+1>

� (rr0)l

a2l+1

#

las funciones de Green interior y exterior se pueden considerar como un caso particular del siguiente problema

4.13. Función de Green para espacio comprendido entre dos cascaronesesféricos concéntricos con G = 0 en la super�cie

Partiendo de r2G (r; r0) = �4�� (r� r0). Siguiendo el procedimiento usual encontramos

F�r; r0

�= Arl +

B

rl+1

a) Para r < r0 ! f = 0 en r = a

f = Al

rl< �

a2l+1

rl+1<

!b) si r > r0 ! f = 0 en r = b

f = Bl

rl> �

b2l+1

rl+1>

!el F que cumple ambas es

f = Clm

"rl< �

a2l+1

rl+1<

#"rl> �

b2l+1

rl+1>

#evaluamos Clm con el proceso usual para obtener

G�r; r0

�= �4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i "rl< � a2l+1

rl+1<

#"1

rl+1>

� rl>b2l+1

#

con b!1 obtenemos el problema exterior para la esfera de radio a. Nótese que (r>r<)2l+1 = (rr0)2l+1

Con a ! 0 se obtiene el problema interior para esfera de radio b. Si además se hace b ! 1, se obtieneGreen para espacio in�nito.

Capítulo 5

Ecuación de Poisson en coordenadasesféricas

Utilizaremos la expresión general para el potencial cuando se utilizan condiciones de Dirichlet

� (r) =

Z��r0�G�r; r0

�dV 0 � 1

4�

Z�S�r0� @G (r; r0)

@n0dS0

Veamos el caso del cascarón esférico discutido en la sección anterior. El potencial se escribe como

� (r) =

Z��r0�G�r; r0

�dV 0 � 1

4�

�ZS1

�a�r0� @G (r; r0)

@n0dS0 +

ZS2

�b�r0� @G (r; r0)

@n0dS0�

asumiremos el caso general donde las super�cies de�nidas por r = a y r = b están a potenciales �a (�; ') y�b (�; ') respectivamente. Calculemos primero la derivada normal de la función de Green

@G

@n0

��r0=a

= rG � (�ur0) = ��@G

@r0ur0 +

1

r0@G

@�0u�0 +

1

r0 sin �0@G

@'0u'0

�� ur0

@G

@n0

��r0=a

= � @G

@r0

��r0=a

= �4� @

@r0

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i�"�r0�l � a2l+1

(r0)l+1

# �1

rl+1� rl

b2l+1

�)r0=a

donde hemos tenido en cuenta que para r0 = a, se tiene que r0 < r

@G

@n0

��r0=a

= �4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i�"l�r0�l�1

+ (l + 1)a2l+1

(r0)l+2

# �1

rl+1� rl

b2l+1

�)r0=a

@G

@n0

��r0=a

= �4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i� [l + (l + 1)]

�1

rl+1� rl

b2l+1

�al�1

�83

84 CAPÍTULO 5. ECUACIÓN DE POISSON EN COORDENADAS ESFÉRICAS

@G

@n0

��r0=a

= �4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�h1� (a=b)2l+1

i��1

rl+1� rl

b2l+1

�al�1

�De la misma manera

@G

@n0

��r0=b

=@G

@r0

��r0=b

= 4�@

@r0

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i��rl � a2l+1

rl+1

�"1

(r0)l+1� (r0)l

b2l+1

#)r0=b

@G

@n0

��r0=b

= 4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i��rl � a2l+1

rl+1

� �� (l + 1) 1

bl+2� l b

l�1

b2l+1

��r0=b

@G

@n0

��r0=b

= 4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i��rl � a2l+1

rl+1

�[� (2l + 1)] 1

bl+2

�

@G

@n0

��r0=b

= �4�

8<:1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�h1� (a=b)2l+1

i��rl � a2l+1

rl+1

�1

bl+2

�reemplazando en el potencial

� (r) = �4�Z 8<:� �r0�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i "rl< � a2l+1

rl+1<

#

�"1

rl+1>

� rl>b2l+1

#)sin �0 r02dr0 d�0 d'0

+

ZS1

8<:�a ��0; '0�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�h1� (a=b)2l+1

i��1

rl+1� rl

b2l+1

�al�1

�a2 sin �0d�0d'0

+

ZS2

8<:�b ��0; '0�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�h1� (a=b)2l+1

i��rl � a2l+1

rl+1

�1

bl+2

�b2 sin �0d�0d'0

85

simpli�cando

� (r) = �4�Z 8<:� �r0�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i "rl< � a2l+1

rl+1<

#

�"1

rl+1>

� rl>b2l+1

#)sin �0 r02dr0 d�0 d'0

+1Xl=0

lXm=�l

24al+1�

1rl+1

� rl

b2l+1

��1� (a=b)2l+1

�35Ylm (�; ')Z

S1

�a��0; '0

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0

+

1Xl=0

lXm=�l

24�rl � a2l+1

rl+1

�bl�1� (a=b)2l+1

�35Ylm (�; ')Z

S2

�b��0; '0

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0

de�niendo

H(1)lm (a; b) �

RS1�a��0; '0

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0h

1� (a=b)2l+1i

H(2)lm (a; b) �

RS2�b��0; '0

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0h

1� (a=b)2l+1i

tenemos que

� (r) = �4�Z 8<:� �r0�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')Y�lm

��0; '0

�(2l + 1)

h1� (a=b)2l+1

i "rl< � a2l+1

rl+1<

#

�"1

rl+1>

� rl>b2l+1

#)sin �0 r02dr0 d�0 d'0

+

1Xl=0

lXm=�l

al+1�1

rl+1� rl

b2l+1

�Ylm (�; ')H

(1)lm (a; b)

+1Xl=0

lXm=�l

�rl � a2l+1

rl+1

�1

blYlm (�; ')H

(2)lm (a; b)

� (r) = �4�Z��r0�GdV 0 +

1Xl=0

lXm=�l

rlYlm (�; ')

"H(2)lm (a; b)

bl� al+1

b2l+1H(1)lm (a; b)

#

+1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

rl+1

�al+1H

(1)lm (a; b)�

a2l+1

blH(2)lm (a; b)

�de�niendo

Alm �H(2)lm (a; b)

bl� al+1

b2l+1H(1)lm (a; b) ; Blm � al+1H

(1)lm (a; b)�

a2l+1

blH(2)lm (a; b)

� (r) = �4�Z��r0�GdV 0 +

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

�Almr

l +Blmrl+1

�


la solución general posee una integral de volumen que depende de la distribución de carga � (r) pero queademás posee un factor modulador G asociado a la geometría de las fronteras, cuando la frontera es elin�nito este término queda como en el caso del potencial de distribución localizada que ya conocíamos. Paraotras geometrías el término modulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan lacontribución de la distribución volumétrica. La integral de super�cie, es la que contiene la información ex-plícita sobre las condiciones de frontera; dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exterioresy super�ciales de la región de Dirichlet.

Discusión (chequear) El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichletcuando uno usa las funciones de Green, la carga super�cial alojada sobre la super�cie de Dirichlet no está enel interior de modo que su in�uencia está incluída indirectamente en la integral de super�cie. Con frecuenciael potencial es contínuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de algún tipo)de modo que al resolver el problema interior podemos tomar el límite cuando se tiende a la frontera y elpotencial obtenido será el correcto para la super�cie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemosque la componente perpendicular del campo si puede tener discontinuidad.

La integral de super�cie es solución de la ecuación de Laplace ????. Los coe�cientes Alm, Blm estándeterminados por las condiciones de frontera.

Podemos chequear que en los casos a) a! 0, b) b!1, c) a! 0; b!1, los potenciales se reducen alo que se espera.

5.1. Disco cargado uniformemente

Un disco de radio a y densidad super�cial �, es una distribución localizada de carga, se toma entoncesel G para espacio in�nito. Como la distribución es super�cial debemos hallar el � equivalenteZ

�dV = q =

Z�dA =

Z�r dr d'�

Z� (cos �) sin � d� =

Z�

r� (cos �) r2 dr d' sin � d�Z

�dA =

Z�

r� (cos �) dV ) � =

�

r� (cos �)

El potencial sería entonces

� (r) =

Z��r0�G�r; r0

�dV 0 = 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 d0

� (r) = 4�

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z�

r0��cos �0

�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 sin �0d�0d'0

� (r) = 4��1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

�Z��cos �0

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0

�"Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0

#

utilizamos la propiedadZf��0��cos �0

�sin �0 d�0 = f

��2

�;

Z 2�

0Y �lm

��2; '0�d'0 = 2�

r2l + 1

4�Pl (0) �m0

� (r) = 8�2�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

r2l + 1

4�Pl (0) �m0

"Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0

#

� (r) = 8�2�

1Xl=0

Yl0 (�; ')p4� (2l + 1)

Pl (0)

"Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0

#

5.2. CONDICIÓN DE FRONTERA EN ESFERA CON VARILLA INTERNA 87

Yl0 (�; ') =

r2l + 1

4�Pl (cos �)

� (r) = 2��1Xl=0

Pl (cos �)Pl (0)

"Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0

#la integral sobre r0 se divide como es usual en dos casos

a) r < a)Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0 =

Z r

0

rl<

rl+1>

r0dr0 +

Z a

r

rl<

rl+1>

r0dr0 =

Z r

0

(r0)l

rl+1r0dr0 +

Z a

r

rl

(r0)l+1r0dr0Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0 =r

l + 2+

1

�l + 1

�rl

al�1� r�

si l 6= 1Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0 =r

3+ r ln

�ar

�si l = 1

de modo que

� (r) = 2��P1 (cos �)P1 (0)| {z }=0

hr3+ r ln

�ar

�i+ 2��

1Xl=0;l 6=1

Pl (cos �)Pl (0)

"Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0

#

teniendo en cuenta quePl (0) = 0 con l impar

� (r) = 2��1Xk=0

P2k (cos �)P2k (0)

�r

2k + 2+

1

�2k + 1

�r2k

a2k�1� r��

b) r > a Z a

0

rl<

rl+1>

r0dr0 =

Z a

0

(r0)l

rl+1r0dr0 =

al+2

l + 2

1

rl+1

� (r) = 2��a1Xk=0

P2k (cos �)P2k (0)

2 (k + 1)

�ar

�2k+1se puede observar que en r = a ambas soluciones coinciden. Solo valores pares de l contribuyen. Se puedever que para r >> a se sigue � ! �a2�

r = qr . También se puede ver de la solución para el interior que en

r = 0, el potencial es cero.

5.2. Condición de frontera en esfera con varilla interna

Calcular el potencial generado por una varilla y con la condición de frontera � = V en r = a. La varillaestá ubicada sobre el eje z positivo con uno de sus extremos en el origen, su longitud es b < a, su densidadlineal es �.

La densidad de carga es

q =

Z b

0� dr =

Z� dr

�Z� (cos � � 1) sin � d�

� �Rd'

2�

�q =

Z�

2�r2r2 dr

�Z� (cos � � 1) sin � d�

� �Zd'

�q =

Z�

2�r2� (cos � � 1) r2 dr sin � d� d' =

Z� dV


��r0; �0

�=

�

2�r02��cos �0 � 1

�en este caso intervienen tanto la integral de volumen como la de superfcie

��r0�=

Z��r0�G�r; r0

�dV 0 � 1

4�

Z�S�r0� @G@n0

dS0

dS0 = a2 sin �0d�0d'0

usando las propiedadesZ 2�

0Y �lm

�0; '0

�d'0 = 2�

r2l + 1

4�Pl (1) �m0 = 2�

r2l + 1

4��m0Z

Y �lm��0; '0

�d0 =

p4��l0�m0

Las soluciones quedan

� (r) = �

�1� b

a

�+ � ln

�b

r

�+ V +

+�1Xl=0

P2l+1 (cos �)

(1

2 (l + 1)

"1�

�ra

�2l+1� ba

�2(l+1)#+

1

2l + 1

�1�

�rb

�2l+1�)

para r < b. Y

� (r) = �

1Xl=0

Pl (cos �)1

(l + 1)

"�b

r

�l+1��b

a

�l+1 �ra

�l#+ V

para r > b. Es importante anotar que

1. � es singular en r = 0

2. en r = a se reproduce la condición de frontera

3. en r = b ambas soluciones coinciden

4. Si a!1 se obtiene el potencial de una varilla en espacio libre.

Se puede hacer b ! 1, con a ! 1 (pero manteniendo b < a), y V = 0. Para obtener el potencialgenerado por la varilla semi-in�nita.

5.3. Carga super�cial en semicírculo

Carga super�cial � constante en el semidisco ubicado en z = 0. Cascarón a potencial cero. Evaluar � (r)interior. Como el potencial es cero en la super�cie solo sobrevive la integral de volumen, veamos la densidadequivalente Z

�dA =

Z�r d' dr =

Z�

rr2 d' dr

Z��cos � � cos �

2

�sin � d�

� = �� (cos � � 0)

r

hay que tener presente que la integral volumétrica de carga solo varía entre [0; �] para la variable '. Conesto se obtiene

5.4. DISTRIBUCIÓN POLIGONAL DE CARGAS 89

� (r) = 4��Xl 6=1

r

2664 lXm=�limpar

2iYlm (�')

(2l + 1)m

s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (0) +Yl0 (�; ')�p2l + 1

p4�

3775�1

l � 1 +1

l + 2

� �1�

�ra

�l�1�+ 4��

"1X

m=�1

Y1m (�; ')

3

2i

m

r3

8�Pm1 (0) +

Y10 (�; ')p12�

�

#r ln

�ar

�Si la carga cubre el ángulo completo en ', la expresión es mucho más simple debido a la simetría azimuthaly es

� (r) = �

242�Xl 6=1

Pl (cos �)Pl (0)

�1

l � 1 +1

l + 2

�r

�1�

�ra

�l�1�355.4. Distribución poligonal de cargas

Consideremos N cargas puntuales qi, colocadas en los vértices de un polígono regular de N lados inscritoen una circunferencia de radio a. El polígono está en el plano XY de modo que � = �

2 . Evalúe el potencial.Se usa la función de Green para espacio in�nito. Hay que construír el equivalente volumétrico de la

densidad de carga, dos cargas subtienden un ángulo ' = 2�=N . Asumamos que hay una carga en ' = 0; demodo que hay una carga para 'k = k 2�N donde k = 1; :::; N es entero, 'N = 0.

Z�dV = q =

NXk=1

qk =NXk=1

qk

Z��cos � � cos �

2

�sin � d�

Z� (r � a)

r2r2dr

Z�

�'� 2�n

N

�

) � = � (cos �)� (r � a)

r2

NXk=1

qk�

�'� 2�n

N

�

el potencial es

� (r) = 4�1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 d0

= 4�NXk=1

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1qk

�ZY �lm

��0; '0

��cos �0

��

�'0 � 2�n

N

�d0�

�Z� (r0 � a)

r02rl<

rl+1>

r02dr0

5.5. Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, Funciones de Bessel

En estas coordenadas la ecuación toma la forma

1

�

@

@�

��@�

@�

�+1

�2@2�

@'2+@2�

@z2= 0

separando variables

� = R (�)Q (')Z (z)


1

Q

d2Q

d'2= ��2 ) Q / e�i�' � > 0

1

Z

d2Z

dz2= k2 ) Z / e�kz

se escoge ��2 en ' para obtener soluciones armónicas en la parte angular que son las únicas que garantizanla continuidad en el potencial. La escogencia �k2 también es posible para Z.

Para la parte radial se obtiene después del cambio de variable x = k� la ecuación de Bessel

d2R

dx2+1

x

dR

dx+

�1� �2

x2

�R = 0

las soluciones son series de potencias que dan como solución las funciones de Bessel de orden �, donde �es cualquier número positivo. Se puede demostrar que si � no es entero entonces J� y J�� son linealmenteindependientes, pero si � es entero ellas son linealmente dependientes de modo que cuando � es entero hayque completar la solución con una segunda solución que si sea linealmente independiente de J� . Esta segundasolución es la función de Bessel de segunda clase o función de Neumann N� (x) :

las funciones de Bessel poseen relaciones de ortonormalidad y completez.Dado que la parte Z posee dos tipos posibles de soluciones ello nos conduce a dos tipos de soluciones

generales. En el caso de Z = e�kz la solución radial conduce a las funciones de Bessel en tanto que para elcaso de Z = e�ikz la parte radial conduce a la ecuación de Bessel modi�cada

d2R

dx2+1

x

dR

dx��1 +

�2

x2

�R = 0

la cual se puede llevar a la forma de la ecuación de Bessel haciendo x ! ix, las soluciones van a ser engeneral combinaciones lineales complejas de J� ; N� que de�nen las funciones modi�cadas de Bessel I� , K� .Elegir cual de las dos soluciones generales se debe tomar depende del problema. Básicamente, si al tomaruna solución no podemos satisfacer las condiciones de frontera entonces tomamos la otra.

Análogamente podemos encontrar la función de Green para espacio in�nito en términos de funciones deBessel, de la misma forma es conveniente calcular la función de Green para el espacio entre dos cilindros.Lo cual nos permite calcular fácilmente potenciales (de la ec. de Poisson) cuando tenemos problemas queinvolucran esta simetría.

Capítulo 6

Multipolos eléctricos

Es bien sabido que cuando tenemos una distribución localizada de carga, para puntos muy lejanos ala distribución, el campo observado se asemeja al de una carga puntual. Nos podemos preguntar ¿quepasa cuando la carga neta de la distribución es cero?, ciertamente el campo aún en puntos lejanos no esnecesariamente cero, debido a que las cargas individuales que componen a la distribución, están a diferentesdistancias y orientaciones relativas con respecto al punto de observación. La forma mas obvia de procederconsiste en la aplicación directa del principio de superposición. No obstante, para distribuciones complejasexisten alternativas simpli�cadoras que si bien son solo aproximadas, nos pueden dar una visión más simpledel problema. El propósito del presente capítulo es desarrollar estos métodos de aproximación para camposlejanos.

6.1. Expansión multipolar del potencial electrostático

6.1.1. Multipolos cartesianos

Para una distribución localizada de cargas, y realizando integración sobre todo el espacio, solo queda laintegral de volumen

� (r) = Kc

Z� (r0)

jr� r0jdV0 (6.1)

Para valores de r >> r0, el potencial puede ser expandido en potencias de r0=r. Dado que r; r0 son vectoresposición, esta expansión depende fuertemente del origen de coordenadas elegido. En general se elige unorigen cercano a la distribución para acelerar la convergencia de los términos (es decir, disminuir los valoresde r0=r).

1

jr� r0j =��r� r0��1 = ��p(r� r0) � (r� r0)��1 = �r2 + r02 � 2r � r0��1=2

=

(r2

"1 +

�r0

r

�2� 2r � r

0

r2

#)�1=2=1

r

�1 +

�r02

r2� 2r � r

0

r2

��1=2=

1

r

"1� 1

2

�r02

r2� 2r � r

0

r2

�+

��12

� ��12 � 1

�2!

�r02

r2� 2r � r

0

r2

�2+ : : :

#

=1

r

"1� 1

2

�r02

r2� 2r � r

0

r2

�+3

8

r04

r4+ 4

(r � r0)2

r4� 4r

02

r2r � r0r2

!+ : : :

#

Realizaremos la expansión que está en el paréntesis cuadrado, hasta orden Oh(r0=r)2

i. Por ejemplo, el

término (r � r0) =r2 = (rr0 cos �) =r2 = (r0=r) cos � es del ordenO [r0=r]; el término (r � r0)2 =r4 =�r2r02 cos2 �

�=r4 =

91

92 CAPÍTULO 6. MULTIPOLOS ELÉCTRICOS

�r02=r2

�cos2 � es del orden O

h(r0=r)2

i. La expansión hasta segundo orden es entonces

1

jr� r0j =1

r+1

r

r � r0r2

� 12

1

r

r02

r2+3

8

1

r

"4(r � r0)2

r4

#+ : : :

1

jr� r0j =1

r+r � r0r3

� 12

r02

r3+3

2

(r � r0)2

r5+ : : :

1

jr� r0j =1

r+r � r0r3

+1

2r5�3�r � r0

� �r � r0

�� r2r02

�+ : : : (6.2)

donde hemos factorizado potencias iguales en r0. El potencial queda

� (r) = Kc

Z��r0� �1r+r � r0r3

+1

2r5�3�r � r0

��r � r0

�� r2r02

�+ : : :

�dV 0

=Kc

r

Z��r0�dV 0 +Kc

r

r3�Zr0��r0�dV 0 +

Kcr

2r5��Z �

3r0r0 � I r02��r0�dV 0�� r+ : : :

� (r) =Kcq

r+Kc (p � r)

r3+Kc

2r5r�Q�r+ : : : (6.3)

donde de�nimos: q �momento de monopolo eléctrico (carga, escalar); p �momento de dipolo eléctrico(vector). Q �momento de cuadrupolo eléctrico (Diada). Cuando se toman todos los términos de la expansión,el resultado es exacto siempre que r > r0 (no sería estrictamente necesario que fuera mucho mayor). Sinembargo, la utilidad práctica de estas expansiones se da usualmente en el régimen de campo lejano (r >> r0),aunque existen excepciones a esta regla (ver sección ??).

Los 3 primeros multipolos cartesianos son

q =

Z��r0�dV 0 ; p =

Zr0��r0�dV 0 ) pi =

Z��r0�x0i dV

0 (6.4)

Q =

Z �3r0r0 � I r02

��r0�dV 0 ) Qij =

Z��r0� �3x0ix

0j � r02�ij

�dV 0 (6.5)

Para el cuadrupolo se puede observar que

3Xi=1

Qii = tr [Q] = 0 ; Qij = Qji

es decir que es un tensor de segundo rango, simétrico y de traza nula. Esta diada solo tiene en consecuencia,5 componentes independientes (sin tener en cuentas las posibles simetrías adicionales de la distribución decarga). Estos multipolos también se pueden obtener tomando la expansión de jr� r0j�1 en polinomios deLegendre Ec. (??) y reemplazándola en el potencial (6.1), teniendo en cuenta que = br � br0 y que r > r0 demodo que r0 = r<; r = r>.

6.1.2. Multipolos esféricos

El potencial para una distribución localizada de cargas en términos de armónicos esféricos viene dadopor la Ec. (4.17)

� (r) = 4�Kc

1Xl=0

lXm=�l

Ylm (�; ')

2l + 1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� rl<

rl+1>

r02dr0 d0

6.1. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO 93

si tomamos r > r0 como en la expansión cartesiana, tenemos que r = r>; r0 = r<

� (r) =1Xl=0

lXm=�l

4�Kc

2l + 1

Ylm (�; ')

rl+1

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� �r0�lr02dr0 d0

� (r) =

1Xl=0

lXm=�l

4�Kc

2l + 1

Ylm (�; ')

rl+1qlm (6.6)

donde hemos de�nido los multipolos esféricos como

qlm =

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� �r0�ldV 0

una propiedad importante es que

ql;�m =

Z��r0�Y �l;�m

��0; '0

� �r0�ldV 0 = (�1)m

Z��r0�Ylm

��0; '0

� �r0�ldV 0

ql;�m = (�1)m q�lm

teniendo en cuenta la forma explícita de los primeros armónicos esféricos, así como las siguientes relaciones

ei' = cos'+ i sin' ; x0 = r0 sin � cos'0 ; y0 = r0 sin �0 sin'0 ; z0 = r0 cos �0

x0 + iy0 = r0 sin �0e�i'0 / Y �11

��0; '0

��x0 � iy0

�2= r02 sin2 �0e�2i'

0 / Y �22��0; '0

�se obtiene

q00 =1p4�

Z��r0�dV 0 =

qp4�

; q11 = �r3

8�

Z �x0 � iy0

��r0�dV 0 = �

r3

8�(px � ipy)

q10 =

r3

4�

Zz0��r0�dV 0 =

r3

4�pz

q22 =1

4

r15

2�

Z 0 �x0 � iy0

�2��r0�dV 0 =

1

12

r15

2�(Q11 � 2iQ12 �Q22)

q21 = �r15

8�

Zz0�x0 � iy0

��r0�dV 0 = �1

3

r15

8�(Q13 � iQ23)

q20 =1

2

r5

4�

Z �3z02 � r02

��r0�dV 0 =

1

2

r5

4�Q33 (6.7)

Las Ecs. (6.7), muestran la relación que hay entre los multipolos esféricos y los cartesianos. Se puededemostrar que el � (r) equivalente que genera el potencial (6.3) es

� (r) = q� (r)� p � r� (r) + 16Q : rr� (r) + : : :

En la expansión multipolar en armónicos esféricos, las funciones en base a las cuales se hizo la expansiónson ortogonales en l y en m. De modo que los coe�cientes qlm son independientes para cada valor de l y m.A cada valor de l, le corresponden 2l + 1 multipolos. En contraste, la expansión en serie de taylor no nosda términos ortogonales entre sí. La expansión de taylor no conforma una base, por tanto los coe�cientes(multipolos cartesianos) no tienen porqué ser independientes1. Hay (l+1)(l+2)

2 multipolos cartesianos de ordenl, pero solo 2l+1 son independientes. Por ejemplo, el cuadrupolo esférico (l = 2) tiene 5 componentes (todas

1Esto se puede ver también por el comportamiento de los tensores multipolares ante rotaciones. Los tensores cartesianos sonreducibles en tanto que los esféricos son irreducibles.


independientes), en tanto que el cuadrupolo cartesiano posee 9. Sin embargo, el hecho de que el tensorcartesiano es simétrico y de traza nula hace que solo tenga 5 componentes independientes.

El octupolo esférico (l = 3) tiene 7 componentes; el cartesiano tiene 10, pero dado que es un tensor detres índices puede ser construído de modo que además de ser completamente antisimétrico, tenga �trazas�nulas (

P�iij = 0, j = 1; 2; 3) lo que reduce el número de componentes independientes a 7.

Como ya vimos antes, los multipolos dependen fuertemente de la escogencia del origen de coordenadas.Imaginemos que los multipolos qlm son nulos para todo l < l0, de modo que l0 es el menor valor de lpara el cual los multipolos esféricos son no nulos. Puede demostrarse que los 2l0 + 1 multipolos ql0m sonindependientes del origen de coordenadas. Sin embargo los multipolos de orden más alto (l > l0),dependen en general del origen.

6.1.3. Ilustración de los términos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc.

Asumiendo una carga puntual q ubicada en el origen, el potencial es de la forma Kcq=r y se comportacomo el primer término de la Ec. (6.3), razón por la cual se conoce este término como monopolo.

Ahora tomemos por ejemplo un sistema de dos cargas puntuales q; �q a una cierta distancia d. Si d << rsiendo r la distancia al punto de evaluación del potencial, es razonable hacer una expansión hasta primerorden en d=r, y el potencial queda

V (r) ' Kcqd cos �

r2= Kc

p � rr3

; p � qd

donde d es un vector que va desde la carga negativa hacia la positiva. El potencial se comporta como 1=r2

de forma idéntica al término que llamamos dipolo en la Ec. (6.3). El potencial decrece mas rápidamente queuna carga puntual lo cual era de esperarse debido al efecto de apantallamiento de las cargas. Similarmentesi colocamos cuatro cargas �q y �q en los vértices de un cuadrado de tal forma que las cargas igualesestán diagonalmente opuestas, podemos ver que el potencial se comporta como 1=r3 es decir disminuye masrápido que en el dipolo2. Este comportamiento es el que corresponde a un cuadrupolo, tercer término en laexpansión (6.3).

Finalmente, examinaremos una con�guración de 4 cargas q y 4 cargas �q, ubicadas en los vértices deun cubo de tal manera que dos vértices conectados por una diagonal principal tienen cargas opuestas, y losvértices que conectan las diagonales de una cara son del mismo signo. Esto implica colocar dos cuadrupolosen contraposición, se puede ver que el potencial decrece como 1=r4 y el término se denomina octupolo, seríael siguiente término (no indicado) en la expansión (6.3).

Es necesario aclara sin embargo que en cada uno de estos sistemas realmente contribuyen todos losmultipolos (en la carga puntual otros multipolos contribuyen si la colocamos fuera del origen), lo únicoque podemos a�rmar es que el multipolo no nulo de menor orden en cada caso son el monopolo, dipolo,cuadrupolo, etc. De acuerdo con el teorema descrito en la sección anterior, el monopolo, dipolo, cuadrupolo,y octupolo son independientes del origen para las con�guraciones de una dos tres, cuatro y ocho cargasrespectivamente.

Bajo ciertos casos límite podemos construír a partir de las con�guraciones reales, ciertos multipolospuros, por ejemplo la carga ubicada en el origen es un monopolo puro, el sistema de dos cargas �q, formanun dipolo puro en el límite r !1, o en el límite q !1; d! 0 con qd = cte. En tal caso, solo el términodipolar contribuye al potencial.

6.1.4. Dipolos para campos cercanos*

El campo eléctrico debido a un término multipolar se puede calcular fácilmente tomando el gradientedel correspondiente término en el potencial. 6.3. Tomemos el término dipolar de esta ecuación de lo cual se

2Dado que este sistema se puede ver como dos dipolos en contraposición, se puede explicar el decrecimiento mayor que eldel monopolo y el del dipolo, ya que en este sistema se apantalla la carga (monopolo) y también se apantallan los momentosdipolares vistos por pares.


obtiene

E (r) = �r� (r) = �rhKcp � rr3

iE (r) =

3Kcn (p � n)� pjr� r0j3

(6.8)

donde r es el punto donde se evalúa el potencial, y r0 el punto donde se ubica el momento dipolar.A continuación examinaremos una importante propiedad del campo eléctrico debido a una distribución

de carga localizada. Haremos la integral de volumen del campo generado por la distribución, evaluada en elinterior de una esfera de radio R, tomando el origen en el centro de la esferaZ

r<RE (r) dV = �

Zr<R

r� (r) dV

es posible demostrar que esta integral viene dada por (ver Jackson)Zr<R

E (r) dV = �4�KcR2

3

Zr<r2>n0��r0�dV 0 ; n0 � r0

r0(6.9)

donde r< (r>) es el menor (mayor) entre R y r0. Obsérvese que la integración en las variables primadas serealiza en toda la región en donde hay carga, sin importar si esta región es interior o exterior a la esfera. Laexpresión (6.9), es válida para cualquier tamaño y ubicación de la esfera. En particular, tomemos el caso enel cual la esfera encierra toda la carga de la distribución. En tal caso, R = r>, r0 = r< en (6.9) de lo cual seobtiene Z

r<RE (r) dV = �4�KcR

2

3R2

Zr0r0

r0��r0�dV 0 = �4�Kc

3p (6.10)

donde p es el momento dipolar de la distribución tomando el origen en el centro de la esfera. Obsérvese queel resultado es independiente del tamaño de la esfera siempre y cuando encierre toda la carga. También esnotable el hecho de que esta igualdad es exacta, ya que no hemos tomado ningún tipo de aproximación parael cálculo de E (r) (no estamos tomando por ejemplo aproximación dipolar).

Tomemos un segundo caso particular en el cual la esfera no encierra a ningún elemento de carga de ladistribución, tomando el origen de nuevo en el centro de la esfera. En tal caso R = r<, r0 = r> y la expresión(6.9) queda: Z

r<RE (r) dV = �4�KcR

3

3

Z1

r02n0��r0�dV 0

la integral claramente se reconoce como la evaluación del campo eléctrico en el centro de la esfera exceptopor algunos factores multiplicativos Z

r<RE (r) dV =

4�R3

3E (0))

1

Vesf

Zr<R

E (r) dV = E (0) (6.11)

lo cual nos indica que el valor promedio del campo eléctrico tomado sobre el volumen de la esfera es igual alvalor del campo evaluado en el centro de la misma. Este resultado es independiente del tamaño y ubicaciónde la esfera siempre que esta no contenga carga3.

Por otro lado asumiendo aproximación dipolar del campo Ec. (6.8) y realizando la integral sobre unaesfera que contiene al dipolo, vemos que no se reproduce la Ec. (6.10), esto ocurre debido a una serie deaspectos

3Obsérvese la analogía de este resultado con el que se obtiene para el potencial (ver sección 4.1), salvo que en el caso delpotencial el promedio se toma sobre la super�cie y no sobre el volumen. Por otro lado, de los resultados aquí expresados se véque el promedio del campo sobre el volumen de la esfera vienen dado por �Kcp=R

3 en el caso en el cual la esfera contiene atoda la carga de la distribución.


La aproximación dipolar y en general la expansión multipolar requiere que r > r0 para garantizar laconvergencia de la serie. Sin embargo, en este caso al evaluar la integral de volumen descrita arriba,estamos tomando puntos cercanos en donde la serie multipolar no necesariamente converge.

En particular en el punto donde está ubicado el dipolo x0, la integral diverge en su componente radial.Se puede ver en general que la integración angular se anula en tanto que la radial diverge.

La expresión (6.10) es válida para el campo exacto y no para la aproximación dipolar del campo.

Es notable sin embargo que podemos hacer compatibles las integrales de volumen agregando un términoa la aproximación dipolar (6.8) de la siguiente forma

E (r) = Kc

�3n (p � n)� pjr� r0j3

� 4�3p� (r� r0)

�(6.12)

Con este término la integral de volumen del campo en (6.12) coincide con el valor obtenido en (6.10).Un procedimiento interesante para encontrar el término adicional se puede ver en Gri¢ th tercera ediciónproblema 3.42. Obsérvese que la delta de Dirac no contribuye en regiones de campo lejano de modo que noaltera la contribución dipolar para r > r0. Para analizar la utilidad de (6.12), podemos ver que la integral(6.10) fué realizada sobre una distribución real de cargas en tanto que la integral de volumen realizada con(6.12) se hace en principio sobre un dipolo puntual. El hecho de que ambas integrales coincidan no indicaque ambos campos sean iguales en cada punto, pero sí signi�ca que sus promedios coinciden en un ciertovolumen. Con frecuencia cuando tomamos campos en la materia debemos realizar los cálculos basados enpromedios macroscópicos para cuyos efectos el campo real se puede emular muy bien a través de (6.12)puesto que ambos reproducen el mismo promedio. Obsérvese en particular que en este caso estamos usandola aproximación dipolar en un régimen muy cercano a la distribución, para el cual la expansión multipolaroriginal queda fuera de rango. El primer término en (6.12) es la contribución de un dipolo puntual, entanto que el segundo es un término efectivo que me da cuenta de los efectos adicionales producidos por ladistribución real de cargas. Como veremos más adelante, los momentos dipolares magnéticos admiten untratamiento similar.

6.1.5. Multipolos de carga puntual

Evaluar multipolos cartesianos y esféricos para carga puntual en z = a

a) Multipolos cartesianos: el � equivalente es

��r0�= q�

�x0��y0��z0 � a

�monopolo

q =

Z��r0�dV 0

dipolo

p =

Z��r0�r0dV 0 = q

Z��x0��y0��z0 � a

�(xux + yuy + zuz) dx

0 dy0 dz0

p = qauz


cuadrupolo

Q =

Z��r0� �3r0r0 � r02I

�dV 0 ; Qij =

Z��r0� �3x0ix

0j � r02�ij

�dV 0

Qxx =

Z��r0� �3x0x0 � r02�11

�dV 0

Qxx = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �3x02 �

�x02 + y02 + z02

��dx0dy0dz0

Qxx = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �2x02 � y02 � z02

�dx0dy0dz0

Qxx = �a2q

Qyy = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �2y02 � x02 � z02

�dx0dy0dz0 = �a2q

Qzz = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �2z02 � x02 � y02

�dx0dy0dz0 = 2a2q

Qxy = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �3x0y0 � r02�12

�dV 0 = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �3x0y0

�dV 0 = 0

Qxz = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �3x0z0

�dV 0 = 0

Qyz = q

Z��x0��y0��z0 � a

� �3y0z0

�dV 0 = 0

b) Multipolos esféricos

��r0�=

q

2�a2��r0 � a

��cos �0 � 1

�qlm =

Z��r0�Y �lm

��0; '0

� �r0�ldV 0 =

q

2�a2

Z��r0 � a

��cos �0 � 1

�Y �lm

��0; '0

� �r0�lr02 dr0 sin �0d�0d'0

qlm =qal+2

2�a2

Z��cos �0 � 1

�Y �lm

��0; '0

�sin �0d�0d'0 =

qal

2�

ZY �lm

�0; '0

�d'0

qlm =qal

2�

s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (1)

Z 2�

0eim'

qlm =qal

2�

s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (1) (2��mo) = qal�mo

r2l + 1

4�P 0l (1) =

qalr2l + 1

4�

!�mo

si a = 0 solo q00 existe. Los multipolos con m 6= 0 se anulan lo cual es lógico por la simetría azimutal.De un modo similar se puede demostrar que para un par de cargas puntuales q, �q situadas en x0 y x1

respectivamente, sus momentos multipolares se pueden escribir como

qlm = qhrl0Y

�lm (�0; �0)� rl1Y �lm (�1; �1)

ien este caso el momento monopolar se anula y los momentos dipolares (l = 1) quedan

q10 =

r3

4�q (z0 � z1) ; q11 = �

r3

8�q [(x0 � x1)� i (y0 � y1)]

q1;�1 = �q�11estos tres momentos dipolares son independientes de la elección del origen de coordenadas (aunque si de-penden de la orientación de los ejes coordenados), y son los momentos dipolares no nulos con l más bajo, esdecir cumplen el teorema discutido en la sección anterior.

Para el caso de una sola carga puntual, el momento monopolar es el multipolo con l mas bajo (l = 0) yefectivamente es el único que es independiente del origen.


multipolo de tres cargas puntuales

Sean dos cargas �q ubicadas en z = �a, y una carga 2q ubicada en el origen. La densidad volumétricade carga es

��r0�= q

"�� (r0 � a) �

�cos �0 � 1

�2�a2

�� (r0 � a) �

�cos �0 + 1

�2�a2

+2� (r0)

4�r02

#Los multipolos quedan

qlm = q

Z "2� (r0)

4�r02�� (r0 � a) �

�cos �0 � 1

�2�a2

�� (r0 � a) �

�cos �0 + 1

�2�a2

#�Y �lm

��0; '0

� �r0�ldV 0

= q

Z2� (r0)

4�

�r0�ldr0ZY �lm

��0; '0

�d0 � q

Z� (r0 � a)2�a2

�r0�l+2

dr0

�ZY �lm

��0; '0

��cos �0 � 1

�sin �0d�0d'0

�qZ� (r0 � a)2�a2

�r0�l+2

dr0ZY �lm

��0; '0

��cos �0 + 1

�sin �0d�0d'0

qlm =

�2q

4��l0

��p4��l0�m0

��qal+2

2�a2

�ZY �lm

�0; '0

�d'0

��qal+2

2�a2

�ZY �lm

��; '0

�d'0

qlm =

�2qp4�

�(�l0�m0) a

l ��qal

2�

�s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (1)

Z 2�

0eim'

0d'0| {z }

2��mo

��qal

2�

�s2l + 1

4�

(l �m)!(l +m)!

Pml (�1)Z 2�

0eim'

0d'0| {z }

2��mo

qlm =

�2qp4�

��m0

h(2l + 1) al

i�l0| {z }

=�l0

� qalr2l + 1

4�P 0l (1) �m0 � qal

r2l + 1

4�P 0l (�1) �m0

qlm = qalr2l + 1

4��m0 [2�l0 � Pl (1)� Pl (�1)]

y como Pl (1) + Pl (�1) = 1 + (�1)l nos queda

qlm = qalr2l + 1

4��m0 [2�l0 � �l;par]

6.2. Energía potencial electrostática

Dado el carácter conservativo del campo electrostático, el trabajo realizado para traer una carga desdea hasta b en un potencial externo � (r) es

Wa!b = �qZ b

aE � d~l = q [� (b)� � (a)]

6.2. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA 99

De esta manera podemos asociar una energía potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y seráequivalente al trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial es cerohasta el punto r en cuestión4. Para distribuciones localizadas de carga es usual de�nir el cero de potencialen el in�nito, en tal caso

W1!r = q� (r) = U (r) = energ�{a potencial asociada a la carga q

Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribución estática de cargas puntuales.Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera

carga es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario paratraer la primera carga (denotado por W1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el in�nito ésta ya semueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera un potencial �1 (r) entonces eltrabajo para traer la segunda carga desde el in�nito hasta una cierta posición r2 es

W2 = U2 = q2�1 =q1q2r12

análogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras

W3 = U3 = q3 (�1 + �2) = q3

�q1r13

+q2r23

�=

�q1q3r13

+q2q3r23

�si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es

W1 +W2 +W3 = U1 + U2 + U3 =q1q2r12

+q1q3r13

+q2q3r23

esto sugiere que para n cargas la expresión sea

U =

n�1Xi=1

nXk>i

qiqkrik

se sugiere al lector demostrar la anterior expresión por inducción matemática. El trabajo total es precisa-mente el valor de la energía potencial asociado a todas las partículas. Esta expresión se puede escribircomo

W = U =1

2

nXi=1

nXk 6=i

qiqkrik

(6.13)

donde el factor 1=2 se coloca debido al doble conteo de términos, además j 6= i lo cual implica que unapartícula no interactúa consigo misma. Por otro lado, si tenemos en cuenta que

�i =nXj 6=i

qkrik

donde �i es el potencial asociado a la carga qi debido a su interacción con las otras cargas. El trabajo sepuede escribir como

W =1

2

nXi=1

qi�i (6.14)

Esta expresión no contiene la autoenergía asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas yaestán armadas, esto se vé en el hecho de que �i es el potencial debido a todas las cargas excepto la i��esima.Solo contiene los términos debidos a la interacción entre las cargas. Estas autoenergías son divergentes perose pueden renormalizar. Cuando asumimos distribuciones contínuas de cargas estos términos de autoenergíaaparecen en la formulación sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea �nita en todo el espacio).

4Esto es análogo a la energía potencial asociada a una partícula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campogravitatorio constante la energía potencial es mgh donde h = 0 se de�ne por ejemplo en el suelo. Esta energía potencial esjustamente el trabajo necesario para que una partícula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto conaltura h.


6.2.1. Distribuciones contínuas de carga

Formaremos la distribución volumétrica trayendo elementos diferenciales de carga desde el in�nito. Lanaturaleza conservativa de las interacciones electrostáticas nos garantiza que la energía total �nal de ladistribución es independiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendríaningún signi�cado intrínseco).

Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que �nalmente quedará en un volumen dV (r),denotemos el valor �nal de la densidad asociada a dV (r) como � (r). Supongamos que en cierta etapa delproceso hemos acumulado una carga dq0 en el volumen dV (r) se tiene que dq0 = �0 (r) dV 0 (r) de modo que�0 (r) es la densidad de carga en r es esa etapa del proceso. Parametricemos �0 (r) = �� (r) donde 0 � � � 1.De la ecuación de Poisson r2� (r) = 4�� ) r2 [�� ( r)] = 4� (��) y como r2�0 (r) = 4��0 = 4� (��) seconcluye que �0 (r) = �� (r).

Ahora traemos desde el in�nito una carga adiconal dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga eneste volumen es ahora dq" (r) = (�+ d�) � (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (d�) � (r) dV (r).El trabajo realizado para traer dq es

dW = �0 (r) dq = [�� (r)] [(d�) � (r) dV (r)] = �d� � (r)� (r) dV (r)

Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo

dW 0 =

ZV�d�� (r)� (r) dV (r)

este trabajo aún no es el trabajo total, ya que aún falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada elementode volumen hasta completar la carga total que debe tener cada elemento de volumen, es decir hasta que ladensidad sea � (r). Esto se logra integrando en � desde cero hasta uno.

W =

Z 1

0�d�

ZV� (r)� (r) dV (r)

W =1

2

ZV� (r)� (r) dV (6.15)

obsérvese que hemos supuesto que � no depende del elemento devolumen en el cual esté de�nido, es decirno depende de la posición. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r)que contenga la misma fracción de la carga total �nal en cada elemento de volumen, pero como el métodode construcción no afecta, esto no le quita generalidad al problema.

Se puede observar que la expresión (6.15) coincide con el paso al contínuo de la expresión (6.14).La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre

todo el espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga � = 0, y no van a contribuir. Alusar todo el espacio podemos escribir

� (r) =

Z� (r0) dV 0

jr� r0j (6.16)

de modo que

W =1

2

Z Z� (r) � (r0) dV dV 0

jr� r0jque coincide con el paso al contínuo de (6.13). Este método de cálculo nos asocia la energía directamente alas cargas, como si la energía residiera en las cargas ya que en los sitios de � = 0 no hay contribución a W .

Un desarrollo adicional permite asociar la energía con el campo electrostático (como si la energía residieraen el campo). Partiendo de (6.15) escribimos

W =1

2

ZV�� dV =

1

8�

ZV(4��)� dV =

1

8�

ZV�r �E dV

=1

8�

ZV[r � (E�)�E � r�] dV

6.2. ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA 101

usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = �r�

W =1

8�

ZE��dS+ 1

8�

ZE2dV (6.17)

Para dilucidar sobre qué volumen estamos integrando, recordemos que se partió de la Ec. (6.15). Por tantoel volumen de integración es aquél que contiene a toda la distribución de carga. Sin embargo, podemosextender el volumen sin alterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga nocontribuyen a dicha integral. En consecuencia, la expresión (6.17), es válida para cualquier volumen ysuper�cie que lo delimita, siempre y cuando toda la carga esté contenida en el volumen. Una elección astutapara distribuciones localizadas de carga es extender el volumen y la super�cie hasta el in�nito de modo queE ' Q=r2, � ' Q=r y S � r2 de modo que todo el integrando de super�ce se comporta como 1=r y tiendea cero. Finalmente tenemos

W =1

8�

Ztodo el espacio

E2dV (6.18)

De modo que la energía aparece como almacenada en el campo. Esta interpretación nos permite de�nir ladensidad de energía del campo electrostático como

" =E2

8�; W =

Z" dV

Queda la pregunta, A que se asocia la energía a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energía seasocia al sistema de partículas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio (eltérmino E2=8� que de�nimos como densidad de energía, no se puede medir experimentalmente5). A prioripodríamos pensar que a cada carga se le puede asociar una porción de esta energía, si esto es posible debe serde una manera unívoca. Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada partículala porción de energía asociada al potencial en el cual se movió cuando se trajo desde el in�nito, en ese casoa la primera no le corresponde nada, a la segunda le corresponde la energía necesaria para traerla desde elin�nito hasta el punto donde se dejó, lo cual se hizo en presencia del campo generado por la primera cargay así sucesivamente, pero esta forma no es unívoca ya que las cargas se pueden traer en cualquier orden ylas porciones asignadas son diferentes para cada orden.

En conclusión, las interpretaciones como energía asociada a la carga o al campo son solo métodos decálculo, en la primera interpretación con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo soloimportan las regiones donde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, así como lo son las diferentesmaneras de traer las cargas, pero el método particular de hacer la suma no tiene signi�cado intrínseco6.

Cuando intentamos calcular la energía potencial de una distribución de cargas puntuales a través dela expresión (6.18) obtenemos divergencias debido a la autoenergías de las partículas. Veamos un ejemploconcreto: dos cargas puntuales q1; q2ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo eléctrico está descritopor

E =q1 (r� r1)jr� r1j3

+q2 (r� r2)jr� r2j3

E2

8�=

q218� jr� r1j4

+q22

8� jr� r2j4+q1q2 (r� r1) � (r� r2)4� jr� r1j3 jr� r2j3

los dos primeros términos correspondientes a la autoenergía de las partículas son intrínsecos de las partículasy no se intercambian ni se modi�can por el hecho de que las partículas se muevan, solo podrían ser relevantes

5Obsérvese además que la Ec. (6.15) nos brinda otra posible de�nición de densidad de energía i.e. " = 12��. De acuerdo

con esta de�nición la densidad de energía en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos" = E2=8�.

6Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E2=8� es la mas adecuada para de�nir densidadde energía. Pero en el caso estático, la densidad de energía no tiene signi�cado Físico, debido a que ningúna porción de volumenestá intercambiando energía con otra.


si la interacción entre las partículas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemosque abandonar la abstracción de partículas puntuales. Las autoenergías divergen debido a que se producensingularidades para r! r1 y para r! r2. El último término se debe a la interacción entre las dos partículasy se puede calcular de la forma siguiente.Z

q1q2 (r� r1) � (r� r2)4� jr� r1j3 jr� r2j3

dV =q1q24�

Zr�

1

jr� r1j

�� r�

1

jr� r2j

�dV

=q1q24�

�Zr ��

1

jr� r1jr�

1

jr� r2j

��dV � q1q2

4�

Zr2��

1

jr� r2j

��1

jr� r1jdV

�=

q1q24�

�Z �1

jr� r1jr�

1

jr� r2j

�� dS+ q1q2

Z� (r� r2)

1

jr� r1jdV

�=

q1q24�

�Z �(r� r2)

jr� r1j jr� r2j3

�� dS+ q1q2

1

jr2 � r1j

�como la carga es localizada, la super�cie donde se de�ne la primera integral es el in�nito en el cual elintegrando decae como 1=r3 en tanto que la super�cie crece como r2 de modo que esta integral de anula. Eltérmino de interacción queda

W =q1q2

jr2 � r1jel cual coincide con el cálculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (6.14). Sin embargo, cuando se usa (6.14),no resultan los in�nitos de autoenería como ya se discutió, la razón es que en el caso discreto el potencial �iexcluye la contribución de autointeracción. En contraste, se puede ver que en el caso contínuo descrito por(6.15), el potencial � (r) sí incluye la contribución del diferencial de carga centrado en r. Cuando la densidades bien comportada, la inclusión de este término no afecta el resultado ya que es despreciable, pero parapuntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen7.

� � � � � � � � � � � � � � � � -Calculemos ahora la fuerza experimentada por la super�cie de un conductor de carga super�cial � en

este caso la densidad y el campo eléctrico están relacionados de modo que

" =E2

8�= 2��2

para llevar un elemento de super�cie de 1 a 2 se realiza un trabajo �W = �F �x = "�V

�F ="�V

�x= "�A) �F

�A= " = 2��2

este resultado también se puede derivar tomando "� teniendo presente que el campo eléctrico debido alelemento mismo debe ser excluído (Jackson second ed. pag. 48).

6.3. Expansión multipolar de la energía

Consideremos una distribución localizada de cargas � (r) colocada en un campo externo � (r) genera-do por alguna distribución que no se incluye explícitamente en el formalismo. la energía potencial de ladistribución es

W =

Z� (r)� (r) dV (6.19)

7Obsérvese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el cálculo con (6.14) da un valor negativo en tantoque la Ec. (6.18) está de�nida positiva. Esto se debe a que las autoenergías son divergentes positivas.

6.3. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA ENERGÍA 103

debemos anotar que este valor no corresponde a la energía necesaria para ensamblar la distribución. Enrealidad, se está suponiendo que dicha distribución ya está armada y que se comporta como un cuerporígido a �n de que su energía interna (energía para ensamblarla) no sea relevante en el problema. Con elvalor deW de la ecaución de arriba conocemos la energía potencial debida a las fuerzas externas (interacciónde las cargas con el campo externo), y con ella podemos calcular el trabajo necesario para que la distribucióncomo un todo se transporte de un lugar a otro dentro del campo en el que se encuentra inmerso (chequear).

Si suponemos que � (r) varía suavemente en las regiones en las cuales � no es despreciable, podemos haceruna expansión de Taylor del potencial alrededor de un cierto origen r0. Por brevedad de�namos x = r� r0

� (r) = � (r0) + x � r� (r0) +1

2

Xi

Xj

xixj@2�

@xi@xj(r0) + : : :

de nuevo por brevedad, denotaremosXi

Xj

xixj@2�

@xi@xj(r0) � xx : rr� (r0)

= �xx : rE (r0) =Xi

Xj

xixj@Ej@xi

(r0)

Donde hemos tenido en cuenta que E = �r�. El potencial queda

� (r) = � (r0)� x �E (r0)�1

2xx : rE (r0) + : : :

En regiones externas a sus propias fuentes el campo externo cumple la ecuación r � E (r0) = 0, que ennuestra nueva notación se escribe I : rE (r0) = 0, adicionando este término nulo al tercer término en laexpansión del potencial, y recordando que x � r� r0 se obtiene

� (r) = � (r0)� (r� r0) �E (r0)�1

6

h3 (r� r0) (r� r0)� (r� r0)2I

i: rE (r0) + : : :

al reemplazar en (6.19) resulta

W =

Z� (r)

�� (r0)� (r� r0) �E (r0)�

1

6

h3 (r� r0) (r� r0)� (r� r0)2I

i: rE (r0) + : : :

�dV

W = q� (r0)��Z

� (r) (r� r0) dV��E (r0)�

1

6

�Z� (r)

h3 (r� r0) (r� r0)� (r� r0)2 I

idV

�: rE (r0) + : : :

los cuales identi�camos como los multipolos cartesianos

W = q� (r0)� p �E (r0)�1

6Q : rE (r0) + : : :

estos momentos multipolares son los correspondientes a la distribución de carga � (r) colocada en el campoexterno, y se evalúa respecto a r0. Es importante insistir en que r0 debe estar ausente de carga (cargas dela distribución o fuentes del campo). De acuerdo con esta expresión los diferentes multipolos interactúan dediferente manera con el campo externo: La carga interactúa con el potencial, el dipolo con el campo E; elcuadrupolo con el gradiente del campo E, etc.

Comentario: Los multipolos dependen del origen pero la energía no. Hay alguna forma clara de ver comose cancela la dependencia del origen en la expansión anterior?. Esto tiene que ver con el hecho de que elteorema de taylor permite hacer la expansión alrededor de cualquier punto en donde la función sea analítica,es mas conveniente elegir un punto cercano a la distribución de carga, ya que de esa manera la serie convergemás rápido.


para � = cte; E = 0 y solo contribuye el monopolo dando energía potencial cte como era de esperarse.para campo eléctrico uniforme contribuye hasta el dipolo, para campo eléctrico con gradiente el cuadrupoloy talvez los otros términos serán importantes.

De la Ec. (6.6) podemos calcular la energía en términos de multipolos esféricos

W =

Z� (r)

" 1Xl=0

lXm=�l

4�

2l + 1

Ylm (�; ')

rl+1qlm

#dV

Sin embargo, de aquí no se puede ver fácilmente la forma característica en que cada cuarupolo interactúacon el campo externo, esto se debe a que aqúi no se realiza una expansión de Taylor que nos muestre lassucesivas derivadas del potencial en forma explícita.

Example 4 Para dipolo puro en campo externo el desarrollo de la energía en multipolos es

W = �q� (r0) + q� (r)

donde r0; r corresponden a las posiciones de las cargas �q; q respectivamente.

W = �q� (r0) + q� (r0) + (r� r0) � r� (r0) + : : : = q (r� r0) � r� (r0)W = �q (r� r0) �E (r0) + : : :

si (r� r0)! 0, con q (r� r0) = cte � p

W = p�r� (r0) = �p �E (r0)

cuando se toma el límite (r� r0)! 0 tenemos un dipolo puntual y la expresión se vuelve exacta (las otrascontribuciones tienden a cero).

Example 5 Calcular la energía potencial de la distribución de tres cargas (q;�2q; q) colocadas en el campode una carga Q. El potencial se expande alrededor de O0 el punto donde se ubica la carga �2q, (ojo! sesupone que r0 debe estar ubicado en un punto donde no hay carga???) así como los momentos de las trescargas. La densidad volumétrica es

� (r) = �2q� (x) � (y) � (z) + q� (x� a) � (y) � (z) + qq� (x+ a) � (y) � (z)

qtotal = 0 ; p =qaux � qaux + q (0)ux = 0

Q11 =

Z� (r)

�3xx�

�x2 + y2 + z2

��11�dV

Q11 =

Z[�2q� (x) � (y) � (z) + q� (x� a) � (y) � (z) + qq� (x+ a) � (y) � (z)]

��3xx�

�x2 + y2 + z2

��11�dV

Q11 =

Z[q� (x� a) � (y) � (z) + q� (x+ a) � (y) � (z)]

�2x2 � y2 � z2

�dV

Q11 = 2qa2 + 2qa2 = 4qa2

similarmenteQ22 = Q33 = �2qa2; Q12 = Q23 = Q31 = 0

de E = Qr=r3 sus componentes son

Ei =Qxi�p

x21 + x22 + x

23

�3

6.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DE LA FUERZA 105

@1E1 =Q�r3 � 3x21r

�r6

; @1E1�O0�=Q�R3 � 3

�02�R�

r6=

Q

R3

@2E2�O0�=

Q

R3; @3E3

�O0�= �2Q

R3

la expansión multipolar de la energía queda

W = �16

�Q11@1E1

�O0�+Q22@2E2

�O0�+Q33@3E3

�O0��+ : : :

W = �qa2Q

R3+ : : :

haciendo el cálculo de la energía de modo directo

W =QqpR2 + a2

+QqpR2 + a2

� 2qQR

= �2qQR

+2qQ

Rq1 +

�aR

�2�= �2qQ

��1 + 1� 1

2

a2

R2+ : : :

�)

W = �qa2Q

R3+ : : :

Este resultado es la aproximación de cuadrupolo puntual, podemos ver que coincide con el método direc-to cuando expandimos hasta orden (a=R)2. Visto desde el punto de vista de los multipolos esféricos, elcuadrupolo (l = 2) corresponde al multipolo no nulo con l más bajo y se puede observar que efectivamentees independiente del origen.

6.4. Expansión multipolar de la fuerza

Sea una distribución de carga � (r) colocado en una campo externo. Suponemos que las fuentes de campoexterno permanecen �jas. La fuerza experimentada por la distribución es

F =

Zdq (r) E (r) =

Z� (r)E (r) dV

recurrimos entonces a la expansión de Taylor del campo eléctrico

E (r) = E (r0) + (r� r0) � rE (r0) +1

2(r� r0) (r� r0) : rrE (r0) + : : :

tomando esta expansión en la expresión de la fuerza

F =

�Z� (r) dV

�E (r0) + [� (r) (r� r0) dV ] � rE (r0)

+

�Z� (r) (r� r0) (r� r0) dV

�:rrE (r0)

2+ : : :

Para el campo externo se cumpler2E = 0 lo cual equivale a I : rrE = 0 ó (r� r0) (r� r0) I : rrE (r0) = 0este término puede incluírse en la última integral con el �n de completar el cuadrupolo de lo cual se obtiene

F = qE (r0) + p �E (r0) +1

6Q : rrE (r0) + : : :

= �qr�+r (p �E) +r�Q : rE6

�+ : : :

= �r�q�� p �E�Q : rE

6+ : : :

�= �rW

siendo W la energía potencial de la distribución.En particular un dieléctrico neutro en un campo E uniforme, no experimenta fuerzas.


6.5. Expansión multipolar del torque

Para la misma situación anterior calculamos el torque alrededor del origen de coordenadas teniendo encuenta la misma expansión para el campo eléctrico.

~� =

Zr� dF =

Zr�E (r) � (r) dV

~� =

Z� (r) [r0 + (r� r0)]�

��E (r0) + (r� r0) � rE (r0) +

1

2(r� r0) (r� r0) : rrE (r0) + : : :

�

~� = r0 ��Z

� (r) dV

�E (r0) + r0 � [� (r)xl dV ] @lE (r0)

+r0 � [� (r)xlxm dV ] @l@mE (r0) + [� (r)x dV ]�E (r0)

+

Z� (r)x� xl dV @lE (r0) + : : :

donde

xl � (r� r0)l ; @l �@

@xl

quedando �nalmente

~� = qr0 �E (r0) + r0 � (p � r)E (r0) +r06� (Q : rr)E (r0)

+p�E (r0) +1

3(Q � r)�E (r0) + : : :

Apéndice A

Teoremas de unicidad de la ecuación dePoisson

Además del teorema de unicidad asociado a las condiciones de Dirichlet o Neumann, existen múltiplesteoremas de unicidad. Uno de los mas importantes es el siguiente: dada una región equipotencial cerrada S,dentro de la cual hay un conjunto de n conductores, el campo eléctrico está unívocamente determinado enla región comprendida entre los conductores y la región encerrada por S (que llamaremos Vp), si se conocen(a) la carga total de cada conductor Qi, i = 1; :::; n (b) la densidad de carga �p en el interior de Vp.

Demostración: llamemos Vp el volumen comprendido entre los conductores y el interior de la super�cieequipotencial S (S podría ser el in�nito). Asumamos que se conoce la distribución de carga en el interior deVp y la carga total de cada uno de los condensadores. Asumamos además que existen dos soluciones para elcampo eléctrico E1; E2 entonces en el interior de Vp

r �E1 = 4�Kc� ; r �E2 = 4�Kc�

tomemos para cada conductor, una super�cie Si que lo encierre completamente1 pero de tal manera quela diferencia entre el volumen Vi y el volumen del conductor sea in�nitesimal. Esto nos garantiza que lacarga volumétrica en la región exterior al conductor e interior a Si es in�nitesimal y solo contribuye la cargasuper�cial del conductor. Para cada una de estas super�cies se puede escribirI

Si

E1 � dSi =ISi

E2 � dSi = 4�KcQi

de la misma forma, se calcula la integral de super�cie sobre una super�cie S0que está incluída en S pero quese acerca arbitrariamente a S2. I

S0

E1 � dS0 =IS0

E2 � dS0 = 4�KcQtot

donde Qtot es la suma de las cargas en Vp mas las cargas en los conductores3. Si sumamos las integrales desuper�cie consideradas anteriormente obtenemos la super�cie total que delimita al volumen Vp.I

S0

E1 � dS0 +nXi=1

ISi

E1 � dSi =IS

E2 � dS0 +nXi=1

ISi

E2 � dSi

1Colocar una super�cie gaussiana justo sobre la super�cie del conductor nos conduciría a un con�icto al usar la ley de gauss,dado que la carga es precisamente super�cial.

2Si la super�cie equipotencial S es precisamente un conductor que encierra a los demás, evitamos un posible uso inadecuadode la ley de Gauss haciendo que la super�cie S0 esté incluída en S. De esta forma evitamos incluír las posible cargas super�cialesdel conductor en S.

3Además de las cargas super�ciales en los conductores, también podrían haber cargas volumétricas en las cavidades de losconductores. Para este caso podemos considerar a las cavidades como parte del interior del conductor.

107

108 APÉNDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACIÓN DE POISSON

de�niendo esta super�cie como Sp y de�niendo un nuevo campo vectorial E3 = E2 �E1encontramosISp

E3 � dSp = 0 ; r �E3 = 0 (A.1)

la relación diferencial es válida en los puntos interiores a Vp. La super�cie Sp no es estrictamente la super�ciedelimitada por S y los conductores, ya que los Si deben contener completamente a los conductores, y S0 estáincluída en S, pero recordemos que estas super�cies se deben aproximar arbitrariamente a las super�cies delos conductores y a S respectivamente. Sean �1 y �2 los potenciales asociados a los campos E1 y E2en lasuper�cie Sp como estas super�cies son prácticamente las super�cies de los conductores y de S, entonces sonequipotenciales, por tanto �3 � �2 � �1 es otra constante en Sp. Ahora se calcula la siguiente divergencia

r � (V3E3) = V3 (r �E3) +E3 � (rV3)

aunque V3 es constante en la super�cie, su gradiente es diferente de cero, en realidad rV3 = �E3, y teniendoen cuenta (A.1), resulta

r � (V3E3) = �E23ahora se integra sobre el volumen Vp y se usa el teorema de la divergenciaZ

Vp

r � (V3E3) dVp =ISp

V3E3 � dSp = �ZVp

E23 dVp

y teniendo en cuenta la primera de las Ecs. (A.1) y el hecho de que V3 es constante sobre SpISp

V3E3 � dSp = �ZVp

E23 dVp = V3

ISp

E3 � dSp = 0

llegamos a la conclusión de que ZVp

E23 dVp = 0 (A.2)

de modo que el integrando es no negativo de modo que la integral es cero solo si el campo escero en todo elvolumen Sp.

Una prueba alternativa consiste en usar la primera identidad de Green, Ec. (1.6), aplicada aVp y SpZ ��r2 +r � r�

�dV =

I[�r ] � dS

con � = = V3, en tal caso r = r� = �E3, y r2 = r �E3 = 0 quedandoZE23 dVp = �

I(V3E3) � dSp

y teniendo en cuenta que V3 es constante en Sp y usando el teorema de la divergenciaZE23 dVp = �V3

IE3 � dSp = �V3

I(r �E3) dVp = 0

y se llega de nuevo a la Ec. (A.2). Esta demostración muestra las ventajas del uso de las identidades deGreen.

La super�cie equipotencial S podría ser por ejemplo la super�cie de un conductor que circunda a losotros conductores, o podría ser una super�cie en el in�nito. Nótese que la prueba de unicidad no requiereconocer la forma en que la carga se distribuye en las super�cies conductoras, solo es necesario conocer la

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carga neta en cada conductor. Adicionalmente, aunque se requiere que la super�cie S sea equipotencial, noes necesario conocer el valor de dicho potencial, ni tampoco necesitamos conocer el valor de la densidadcorrespondiente a una eventual distribución super�cial de carga sobre S.

Comparando con el criterio de unicidad de Neumann, vemos que dicho criterio requiere en el caso deconductores, conocer la densidad super�cial de carga, ya que en un conductor j�j = 1= (4�Kc) j@�=@n1j Ec.(1.5). Este criterio de unicidad requiere un información Físicamente mas accesible como es la carga netasobre cada conductor. Aunque por otro lado, el criterio de Neumann no requiere que las super�cies seanequipotenciales(cuando no tenemos conductores).

rodolfo diaz notas de clase electrodinamica

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