electrodinamica: notas de clase -...

Electrodinamica: Notas de Clase

Rodolfo Alexander Diaz SanchezUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de FısicaBogota, Colombia

The Date

Indice general

Introduction XIII

I Campos electricos y magneticos independientes del tiempo 1

1. Electrostatica 3

1.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Distribuciones de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5. Ley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2. Potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3. Potencial y trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Energıa potencial electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Distribuciones contınuas de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7.1. Calculo de campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Teoremas de unicidad para campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11. Discontinuidades en el campo electrico y en el potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.11.1. Capa dipolar superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Suplemento matematico: completez y ortonormalidad de funciones 31

2.1. Expansion en funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Ejemplos de funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Ejemplos de conjuntos contınuos de funciones ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3. Ecuacion de Laplace 37

3.1. Propiedades de las funciones armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Unicidad de la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.1. Ejemplo de solucion en 2D con coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1. Ejemplo: Interseccion entre dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.2. Cilindro infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5.1. Caja de lados a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

iii

iv INDICE GENERAL

4. Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas 534.1. Operador momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Separacion de variables para la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1. Solucion de la ecuacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2. Solucion de la ecuacion angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. Solucion angular con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.4. Solucion de la ecuacion de Laplace con m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5. Propiedades de Pl (cos θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.6. Ejemplos de aplicacion de la Ec. de Laplace con simetrıa azimutal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6.1. Esfera con φ = V (θ) en la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6.2. Cascarones esfericos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.7. Problemas con condiciones que no son de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.8. Expansion de 1

|r−r′| en polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.8.1. Ejemplos de aplicacion en evaluacion de potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.9. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5. Ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas, Funciones de Bessel 69

6. Conductores electrostaticos 716.1. Cavidades en conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 746.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.5. El caso de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5.1. Esferas concentricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.6. Esfera conductora solida y dos cascarones conductores esfericos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . 826.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.8. Energıa electrostatica y matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.8.1. Simetrıa de los Cij por argumentos de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.8.2. Energıa electrostatica y capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.10. Positividad de la matriz de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7. Funciones de Green y ecuacion de Poisson en electrostatica 917.1. Teoremas de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2. Ecuacion de Green y potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3. Interpretacion de la funcion de Green en electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.4. Un teorema sobre las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.5. Calculo de funciones de Green unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.6. Evaluacion de la funcion de Green en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.6.1. Expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.6.2. Uso del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.6.3. Metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.7. Funcion de Green bidimensional en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.7.1. Utilizacion del teorema (7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.7.2. Combinacion de metodo directo con expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.7.3. Metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.8. Problema bidimensional semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.8.1. Expansion ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.8.2. Uso del teorema de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.8.3. Combinacion de expansion ortonormal con metodo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.8.4. Combinacion de metodo directo con expansion contınua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.9. Anotaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.10. Funcion de Green en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

INDICE GENERAL v

7.11. Funcion de Green para espacio infinito en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8. Metodo de imagenes 1258.1. Metodo de imagenes y teorema de unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.2. Carga frente a un plano equipotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.1. Lınea de carga finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.3. Carga puntual frente a una esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.3.1. Funcion de Green para el exterior e interior de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.3.3. Lımite de carga cercana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.6. Carga puntual en frente de un conductor esferico a potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

8.7. Esfera conductora colocada en campo electrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368.8. Metodo de las imagenes como problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.9. Energıa interna electrostatica usando el metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.10. Ejemplos de calculo de energıa interna por metodo de imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1408.10.1. Energıa interna de plano conductor infinito conectado a tierra frente a una carga puntual . . . 141

8.10.2. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor cargado y aislado 141

8.10.3. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor conectado a unabaterıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

8.10.4. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esferico conectadoa una baterıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.10.5. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esferico cargadoy aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

8.10.6. Energıa interna de un sistema de plano conductor en presencia de un alambre infinito . . . . . 145

9. Funcion de Green y ecuacion de Poisson en coordenadas esfericas 147

9.1. Delta de Dirac en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.2. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.2.1. Teorema de adicion de armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.3. Esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.4. Funcion de Green para exterior e interior de la esfera combinando imagenes con autofunciones . . . . . 1519.5. Funcion de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esfericos concentricos con G = 0 en

la superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.6. Potencial en el espacio entre dos cascarones esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.7. Disco cargado uniformemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.8. Condicion de frontera en esfera con varilla interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.9. Carga superficial en semicırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.10. Distribucion poligonal de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10.Funciones de Green en coordenadas cilındricas 159

11.Multipolos electricos 16111.1. Expansion multipolar cartesiana del potencial electrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

11.2. Multipolos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.3. Relacion entre los multipolos cartesianos y esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.4. Ilustracion de los terminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.5. Promedio volumetrico del campo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.6. Aproximacion dipolar para campos cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.7. Multipolos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.7.1. Multipolos cartesianos para carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

vi INDICE GENERAL

11.7.2. Multipolos esfericos de carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.7.3. Multipolos esfericos de tres cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.8. Multipolos de una esfera uniformemente cargada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.9. Esfera deformada con momento cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.10.Expansion multipolar de la energıa potencial externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.11.Expansion multipolar de la fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.12.Expansion multipolar del torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

12.Electrostatica de medios materiales 181

12.1. Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.1.1. Materiales dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.1.2. Momentos dipolares inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

12.1.3. Momentos dipolares permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos electricos externos . . . . . . . . . 183

12.1.5. Definicion del vector de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

12.2. Campo electrico en el exterior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

12.3. Interpretacion Fısica de las cargas de polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

12.4. Campo en el interior de un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

12.5. Ecuaciones de campo en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12.6. Susceptibilidad electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

12.7. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

12.7.1. Problema con interfase utilizando imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

12.8. Funcion de Green para espacio infinito con semiespacios dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12.9. Esfera dielectrica de radio a colocada en dielectrico ∞. Carga puntual en r′ > a. . . . . . . . . . . . . 196

12.10.Energıa potencial en presencia de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

12.10.1.Distribucion sobre esfera dielectrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

12.11.Energıa de un dielectrico en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.Magnetostatica 203

13.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13.2. El concepto de flujo de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

13.3. Conservacion de la carga electrica y ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

13.4. Ecuacion de continuidad y regimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

13.5. Leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

13.6. Extension volumetrica de las leyes de Ampere y Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

13.7. Corrientes superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

13.8. Ecuaciones diferenciales e integrales de la magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.9. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

13.10.Rango de validez de la formulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.11.Formalismo de Green en magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

13.11.1.Espira circular de corriente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

13.12.Multipolos magneticos cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

13.12.1.Monopolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.12.2.Momento de dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

13.12.3.Termino cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

13.12.4.Expansion multipolar cartesiana de A (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

13.13.Multipolos magneticos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

13.14.Dipolo magnetico de una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

13.15.Flujo de partıculas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

13.16.Expansion multipolar de fuerza y torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

13.17.Promedio volumetrico del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

13.18.Aproximacion dipolar del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

13.19.Ejemplo: densidad de corriente en un estado atomico excitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

INDICE GENERAL vii

13.20.Ejemplo: Sistema de dos anillos paralelos concentricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

13.20.1.Caso particular: anillos de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

14.Magnetostatica de medios materiales 233

14.1. Magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

14.1.1. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

14.1.2. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

14.1.3. Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

14.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.2. Campo generado por objetos magnetizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.3. Interpretacion de las corrientes de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

14.3.1. Corriente superficial de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

14.3.2. Corriente volumetrica de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

14.4. Campos magneticos en el interior de los materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

14.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

14.6. Condiciones de frontera en materiales magnetizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

14.7. Calculo de potenciales y campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

14.7.1. Formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

14.7.2. Vector de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

14.7.3. Densidades de corriente de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

14.7.4. Potencial escalar magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

14.8. Ejemplo: esfera uniformemente magnetizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

14.8.1. Metodo 1: Calculo del potencial escalar magnetico via cargas magneticas efectivas . . . . . . . 246

14.8.2. Metodo 2: Calculo del potencial escalar magnetico via vector de Hertz magnetico . . . . . . . . 247

14.8.3. Metodo 3: Potencial vectorial magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

14.9. Ejemplo: Esfera con magnetizacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

14.10.Ejemplo: Apantallamiento magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

II Campos electricos y magneticos dependientes del tiempo 257

15.Ecuaciones de Maxwell 259

15.1. Ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

15.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

15.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

15.1.3. Forma diferencial de la ley de induccion de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

15.1.4. Inductancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

15.1.5. Energıa almacenada en el campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

15.2. Ecuacion de Ampere Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

15.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacion de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

15.3. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

15.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

15.4.1. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

15.4.2. Gauge de Coulomb o transverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

15.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

15.5.1. Corriente de Polarizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

16.Leyes de conservacion 277

16.1. Conservacion de la energıa: Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

16.2. Conservacion del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

16.3. Presion ejercida por el campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

16.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

16.4.1. Definicion de impedancia en terminos de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

viii INDICE GENERAL

17.Soluciones de la ecuacion de onda 29117.1. Unicidad de la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29117.2. Solucion a la ecuacion de onda homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

17.2.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

17.2.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29517.3. Solucion a la ecuacion de onda inhomogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

17.3.1. Funcion de Green para la ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29717.3.2. Funcion de Green y transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30017.3.3. Funcion de Green para espacio tiempo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30217.3.4. Condicion de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

17.3.5. Evaluacion de la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . 30717.3.6. Otra forma de evaluacion de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30917.3.7. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31117.3.8. Expansion de una onda plana en armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31317.3.9. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

17.3.10.Ejercicio: carga puntual en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31417.3.11.Dipolo puntual oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

17.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

18.Ondas electromagneticas planas 32118.1. Caracterısticas basicas de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

18.1.1. Transporte de momento y energıa en una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32318.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

18.2. Polarizacion de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32718.3. Reflexion y transmision de ondas planas cuando se cambia de medio dielectrico . . . . . . . . . . . . . 328

18.3.1. Reflexion y transmision con incidencia normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32918.3.2. Reflexion y transmision con incidencia oblıcua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

18.3.3. Reflexion total interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33518.4. Absorcion y dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

18.4.1. Ondas planas en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33618.4.2. Reflexion y transmision en superficies metalicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

18.5. Dispersion de ondas en un medio dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

19.Guıas de onda y cavidades resonantes 34319.0.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

19.1. Clasificacion de las ondas en una guıa: modos TM, TE y TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34719.2. Cable coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

19.2.1. Propagacion de modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

19.2.2. Propagacion de modos TM y TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35019.3. Velocidad de fase y de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35119.4. Velocidad de fase y de grupo en una guıa de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35219.5. Guıa de onda rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35319.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

19.6.1. Cavidad resonante cilındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

20.Radiacion 36120.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36120.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36320.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36420.4. Potenciales generados por cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

20.4.1. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36720.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37020.6. Radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37320.7. Radiacion de dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

INDICE GENERAL ix

20.8. Radiacion de dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37720.9. Radiacion generada por un distribucion arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37920.10.Radiacion de cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

20.10.1.Radiacion de Frenado (bremsstrahlung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38520.10.2.Radiacion de Ciclotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

21.Relatividad especial 38721.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38721.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatro dimensiones . . . . . . . . . . . . 39421.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39721.4. Fuerza y energıa en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40321.5. Formulacion Lagrangiana de la mecanica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

21.5.1. Formulacion no manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

22.Electrodinamica y relatividad 41322.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41422.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41522.3. Pruebas de consistencia de la formulacion covariante de Maxwell (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 41522.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacion tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

22.4.1. Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41722.5. Conservacion de momento y energıa del campo electromagnetico: tensor momento energıa . . . . . . . 41722.6. Conservacion del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41922.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

22.7.1. Cuadrivectores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42022.7.2. Tensores de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

A. Teoremas de unicidad de la ecuacion de Poisson 421

B. Coeficientes de capacitancia 423B.1. Pruebas de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423B.2. Derivacion alternativa de la Ec. (6.13) Pag. 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

C. Multipolos electricos 425C.1. Calculo del campo generado por un dipolo puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425C.2. Integral volumetrica del campo sobre una esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

D. Ondas planas 431D.1. Incidencia oblıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

x INDICE GENERAL

Preface

This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX field at the beginning of this paragraphsets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table ofcontents.

xi

xii PREFACE

Introduction

????????????????????

xiii

xiv INTRODUCTION

Parte I

Campos electricos y magneticosindependientes del tiempo

1

Capıtulo 1

Electrostatica

El concepto de carga electrica es relativamente cercano a nuestra experiencia diaria. Comenzaremos analizando elfenomeno de electrizacion, y a aquellos materiales que adquieren tal propiedad los denominaremos cargas electricas.La interaccion entre cargas electricas que se encuentran en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial,sera el motivo de estudio de la electrostatica. Esta es obviamente la mas simple de las configuraciones de cargas yconstituye el punto de partida para el posterior estudio de las cargas en movimiento.

1.1. Ley de Coulomb

La interaccion electrica se obtuvo inicialmente por frotamiento1. Los materiales que son frotados adquieren unapropiedad que denominaremos electrizacion y que genera una serie de fenomenos que describiremos a continuacion.Experimentalmente se encuentra que si tenemos dos cuerpos electrizados en reposo con respecto a algun sistemainercial, y que estan a distancias muchos mayores que sus dimensiones entonces

Dicha fuerza es central, es decir actua a lo largo de la lınea que une los objetos electrizados.

F es proporcional a 1/r2 siendo r la distancia que separa las cargas (i.e. los objetos que se han electrizado).

Solo hay dos tipos de electrizacion (que definimos como electrizacion positiva y negativa), partıculas con elec-trizaciones semejantes se repelen en tanto que si ellas tienen electrizaciones diferentes se atraen. Esto puedeverse facilmente con experimentos de frotacion. Por ejemplo si frotamos dos materiales identicos con panosidenticos, podemos suponer razonablemente que han adquirido el mismo tipo de electrizacion, y al acercarlosestos se repelen mostrando que electrizaciones iguales se repelen. Si llamamos electrizacion A a la adquiridapor un material dado y luego electrizamos otro material, vemos que en algunos casos se repelen y en otrosse atraen. Denominaremos electrizacion B a la de un material que se atrae con el de electrizacion A. La pre-gunta natural es ¿existe una tercera electrizacion C?. Para responder a esta pregunta electrizamos un tercermaterial. Los experimentos muestran que si electrizo cualquier otro material, y si al acercarlo al material conelectrizacion A se atrae con el, entonces se repele con el material de electrizacion B, con lo cual se concluyeque el nuevo material tiene electrizacion B. Similarmente, si el nuevo material electrizado se repele con el deelectrizacion A, se atraera con el de electrizacion B mostrando que el nuevo material tiene electrizacion tipoA. Tendrıamos un conflicto con esta imagen si al electrizar el material se atrajera (o se repeliera) con ambosmateriales de electrizacion tipo A y B. En tal caso, tendrıa que contemplarse la posibilidad de tres o mas tiposde electrizaciones. Los experimentos de frotacion muestran sin embargo, que este no es el caso.

La fuerza es proporcional al producto de las cargas. El sentido de la fuerza lo determina el signo del productode las cargas. Si tal signo es positivo (negativo) la fuerza entre las cargas sera repulsiva (atractiva). La carga esuna cantidad escalar y aditiva lo cual se puede ver midiendo la fuerza que una carga q1 hace sobre una cargaq y luego reemplazando la carga q1 por una carga q2 en la misma posicion, para medir ahora la fuerza de q2

1Por supuesto, el rayo, las auroras boreales, la estatica generada espontaneamente en ciertos materiales, etc. son fenomenos naturalesde origen electrico que fueron parte de la experiencia diaria a lo largo de la historia de la humanidad. No obstante, el frotamiento fuela primera forma de tener control sobre los fenomenos electricos. Ademas, el origen electrico de los diversos fenomenos naturales fueestablecido mucho despues.

3

4 CAPITULO 1. ELECTROSTATICA

sobre q. Finalmente se juntan las dos cargas en la misma posicion en la que se colocaron antes y se observa quela fuerza resultante coincide con la suma vectorial de las fuerzas que se obtuvieron en los dos casos anteriores.Es decir se obtiene el resultado correcto si lo vemos como la interaccion de la carga q1 + q2 con la carga q.

Convencionalmente se llamo positiva a la electrizacion que adquiere el vidrio frotado y negativa a la electrizacionque adquiere el ambar frotado.

Cuando tenemos una distribucion de cargas que actuan sobre una carga pequena, la fuerza y campo totales obede-cen el principio de superposicion. Este principio de superposicion se puede extrapolar cuando tenemos distribucionescontınuas de carga.

Sean dos cargas electricas q1 y q2, ambas en reposo con respecto a un sistema de referencia inercial. Asumiremosque estas cargas son puntuales de modo que estan localizadas en posiciones bien definidas r1 y r2 respectivamente2.Los experimentos muestran que bajo tales condiciones, la fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 viene dadapor

Fq1→q2 = Kcq1q2 (r2 − r1)

|r2 − r1|3(1.1)

donde r1, r2 son las posiciones de las cargas con respecto a algun sistema de referencia inercial, y Kc es una constanteuniversal de proporcionalidad. En principio, todo el contenido Fısico de la electrostatica yace en la ley de Coulomby el principio de superposicion. La escogencia de la constante de proporcionalidad determina la unidad de carga.Notese que la ley de Coulomb nos fija las dimensiones del producto Kcq1q2 pero no de las cantidades Kc y q poraparte, por esta razon es posible fijar las dimensiones de Kc para obtener en consecuencia las dimensiones de q, o porotro lado fijar las unidades de q (como unidades independientes de las unidades basicas de longitud tiempo y masa)con lo cual quedarıan fijadas las unidades de Kc. Esto nos lleva a dos tipos de unidades que son las mas comunmenteusadas

Unidades electrostaticas (e.s.u): Basado en el sistema c.g.s. En este sistema fijamos las unidades de Kc eligiendoKc = 1 (adimensional) de modo que la carga queda con dimensiones de cm3/2g1/2s−1. A la cantidad q =1cm3/2g1/2s−1 la denominamos una unidad electrostatica o statcoulomb. En este sistema de unidades, q =1 statcoul cuando ejerce una fuerza de una dina sobre otra carga identica colocada a un centımetro.

MKSA o sistema internacional SI: Este sistema fija a la carga como unidad independiente (coulombio) encuyo caso la constante Kc queda con unidades definidas. Se define a su vez la constante Kc = 1/ (4πε0) conε0 = 8,85 × 10−12C2/Nm2. Definimos en este sistema la carga unidad q = 1 coulomb cuando dos cargasidenticas separadas un metro experimentan una fuerza mutua de 1

4πε0Newtons. La relacion entre las unidades

SI y las unidades electrostaticas esta dada por 1Coul = 3× 109Statcoul.

Las cargas son cantidades algebraicas reales positivas o negativas. La ley de Coulomb obedece automaticamentela ley de accion y reaccion. Por otra parte, si asumimos que la Mecanica Newtoniana es una descripcion adecuada dela naturaleza, el principio de superposicion esta contenido en la segunda ley de Newton, de tal forma que la ley deCoulomb se puede ver como un caso particular de fuerza que al obedecer la segunda ley debe cumplir el principio desuperposicion. Efectivamente, en el dominio de la mecanica clasica el principio de superposicion esta bien soportado atraves de diversas pruebas experimentales3. No obstante, en los dominios de la mecanica cuantica, se pueden observarpequenas desviaciones debidas a procesos como la dispersion luz por luz y la polarizacion del vacıo. De igual forma,existe una fuerte base experimental para la ley del inverso cuadrado tanto en el dominio microscopico como en elmacroscopico.

1.2. Campo electrico

El campo electrico es un vector que mide la capacidad de interaccion o “influencia” que una carga o conjunto decargas tiene con respecto a otra carga externa. Experimentalmente, el campo electrico en una posicion r generadopor una carga o conjunto de cargas, se mide colocando una carga de prueba q′ en r y midiendo la fuerza que dicha

2En la practica, esto significa que las dimensiones de los objetos electrizados son mucho menores que la distancia relativa entre ellos, ytambien mucho menores que cualquier otra dimension que pueda estar involucrada en el fenomeno.

3Notese que el principio de superposicion depende fuertemente de la naturaleza aditiva de las cargas.

1.3. DISTRIBUCIONES DE CARGA 5

carga experimenta. Formalmente la medicion del campo electrico requiere tomar el lımite cuando la carga de pruebaes arbitrariamente pequena

E = lımq′→0

F

q′(1.2)

con el fin de asumir que q′ no altera la distribucion de carga original al aproximarse a tal distribucion4. Estadefinicion formal de campo no se puede aplicar con todo rigor en la realidad Fısica, puesto que no podemos tenerhasta el momento, valores de carga menores que la carga electronica. No obstante, la carga electronica es muy pequenacuando tratamos fenomenos macroscopicos y la ecuacion anterior nos da una buena descripcion de la realidad. Pasandola carga a multiplicar queda

F = q′E

esta ecuacion se puede tomar como definicion alternativa de campo, y tiene la ventaja de independizar el campode sus fuentes. Si para dos distribuciones de carga diferentes el campo es el mismo en un determinado punto, lafuerza que experimenta una carga de prueba en dicho punto sera la misma, aunque las fuentes de cada campo seanmuy distintas. A priori, esta redefinicion parece trivial, sin embargo nos sera de gran utilidad cuando estudiemos lageneracion de campos electricos que no dependen de fuentes.

Si una carga puntual q esta ubicada en alguna posicion dada por r′ (con respecto a algun sistema de referenciainercial) entonces segun la ley de Coulomb (1.1), la fuerza que esta carga ejerce sobre una carga de prueba q ubicadaen la posicion r, vendra dada por

F = Kcqq (r− r′)

|r− r′|3

y apelando a la definicion (1.2) el campo electrico sera

E = lımq→0

F

q= Kc

q (r− r′)

|r− r′|3

En conclusion, si una carga puntual q esta ubicada en alguna posicion dada por r′ (con respecto a algun sistemade referencia inercial) el campo electrico generado por esta, evaluado en alguna posicion r viene dado por

E (r) = Kcq (r− r′)

|r− r′|3

este campo es central y por tanto conservativo. Ademas el campo satisface el principio de superposicion, el cual esherencia directa del mismo principio aplicado a las fuerzas. Cuando tenemos una distribucion de cargas se usa elprincipio de superposicion para calcular el campo generado por dicha distribucion en cualquier punto del espacio.

La ley de Coulomb tambien puede pensarse como la interaccion de q2 con el campo generado por q1. Definimos

E1 ≡Fq1→q2

q2=Kcq1 (r2 − r1)

|r2 − r1|3

de modo que F2 = q2E1. El campo ası definido solo depende de la fuente y no de la carga de prueba. Analogamente,se puede definir el campo generado por q2.

1.3. Distribuciones de carga

El descubrimiento de la estructura atomica de la materia nos enfrenta con distribuciones de carga de naturalezagranular, que en muchas circunstancias se puede aproximar razonablemente a cargas puntuales. Incluso en el casomacroscopico, cuando la distribucion de carga esta confinada a un tamano mucho menor que las distancias de interes,la aproximacion de carga puntual nos da una buena descripcion de la mayorıa de fenomenos electricos. Por otraparte, cuando tenemos distribuciones macroscopicas con una gran cantidad de atomos y queremos tener en cuentalos efectos que produce la extension de dicha distribucion, es util considerar que la densidad de carga es una funcioncontınua de las tres dimensiones espaciales. En consecuencia el campo electrico se puede modelar en terminos dedistribuciones de carga contınuas o discretas

4De acuerdo con la ley de Coulomb, la carga q′ genera fuerzas electricas sobre cada una de las cargas de la distribucion cuyo campo sequiere medir. Esto genera que las cargas se aceleren y se altere la distribucion, de modo que alteramos lo que se quiere medir. Es por estarazon que se toma el lımite cuando la carga de prueba q′ tiende a cero a fin de que la fuerza de esta sobre las cargas de la distribuciontienda a cero.


Discretas: cuando asumimos que las cargas son puntuales, es decir la distribucion de carga tendra una estructuragranular y el campo electrico es una suma discreta de los campos generados por cada partıcula.

E (r) = Kc

n∑

i=1

qi (r− ri)

|r− ri|3

Contınuas: cuando asumimos que la distribucion es “gelatinosa” de modo que puede describirse por una densidadcontınua ρ (r′). En tal caso, la suma sobre las fuentes que generan el campo electrico es una suma en el contınuo(integral)

E (r) = Kc

∫dq (r′) (r− r′)

|r− r′|3= Kc

∫ρ (r′) (r− r′)

|r− r′|3dV ′

Las distribuciones contınuas pueden ser lineales λ, superficiales σ, o volumetricas ρ. Tambien es posible tenerdensidades mixtas.

1.4. Funcion delta de Dirac

Como veremos a continuacion la funcion delta de Dirac es un excelente instrumento para convertir densidadespuntuales, lineales y superficiales, en densidades volumetricas equivalentes. Esto tiene un gran interes ya que laecuacion de Poisson es para densidades volumetricas y no posee analogo en menores dimensiones, puesto que dichaecuacion proviene del teorema de la divergencia el cual no tiene analogo en dimensiones menores a tres. Es importanteenfatizar que la funcion delta de Dirac mas que una funcion es una distribucion. En el lenguaje del analisis funcional,es una uno-forma que actua en espacios vectoriales de funciones, asignandole a cada elemento del espacio, un numeroreal de la siguiente forma: Sea V el espacio vectorial de las funciones definidas en el dominio (b, c) con ciertaspropiedades de continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. La distribucion delta de Dirac es un mapeo que asignaa cada elemento f (x) de V un numero real con el siguiente algoritmo5

∫ c

bf (x) δ (x− a) dx =

f (a) si a ∈ (b, c)0 si a /∈ [b, c]

Con esta distribucion es posible escribir una densidad de carga puntual (ubicada en r0) como una densidadvolumetrica equivalente

ρ(r′)= qδ

(r′ − r0

)(1.3)

esta densidad reproduce adecuadamente tanto la carga total como el campo electrico que genera

q =

∫ρ(r′)dV ′ =

∫q δ(r′ − r0

)d3r′

E (r) = Kc

∫(r− r′) dq (r′)

|r− r′|3= Kc

∫(r− r′) ρ (r′)

|r− r′|3d3r′ = Kc

∫(r− r′) q δ (r′ − r0)

|r− r′|3d3r′ (1.4)

E (r) =Kcq (r− r0)

|r− r0|3(1.5)

mas adelante veremos que otra cantidad importante, el potencial electrostatico, tambien se reproduce adecuadamente.Hay varias sucesiones de distribuciones que convergen a la funcion Delta de Dirac (para mas detalles ver por ejemplo[2, 3]) una de las mas utilizadas es la sucesion definida por

fn (x− a) =n√πe−n

2(x−a)2

se puede demostrar que al tomar el lımite cuando n→ ∞ se reproduce la definicion y todas las propiedades basicasde la distribucion delta de Dirac. Notese que todas las distribuciones gaussianas contenidas en esta sucesion tienen

5Es usual definir la “funcion” delta de Dirac como δ (r) =

∞ si r = 00 si r 6= 0

y∫δ (x) dx = 1. Esta definicion se basa en una

concepcion erronea de la distribucion delta de Dirac como una funcion. A pesar de ello, hablaremos de ahora en adelante de la funciondelta de Dirac para estar acorde con la literatura.

1.5. LEY DE GAUSS 7

area unidad y estan centradas en a. De otra parte, a medida que aumenta n las campanas gaussianas se vuelven masagudas y mas altas a fin de conservar el area. Para valores de n suficientemente altos, el area se concentra en unavecindad cada vez mas pequena alrededor de a. En el lımite cuando n→ ∞, toda el area se concentra en un intervaloarbitrariamente pequeno alrededor de a.

Algunas propiedades basicas son las siguientes:

1.∫∞−∞ δ (x− a) dx = 1

2.∫∞−∞ f (x) ∇δ (r− r0) dV = − ∇f |r=r0

3. δ (ax) = 1|a|δ (x)

4. δ (r− r0) = δ (r0 − r)

5. xδ (x) = 0

6. δ(x2 − e2

)= 1

2|e| [δ (x+ e) + δ (x− e)]

Vale enfatizar que debido a su naturaleza de distribucion, la funcion delta de Dirac no tiene sentido por sı sola,sino unicamente dentro de una integral. Por ejemplo cuando decimos que δ (ax) = 1

|a|δ (x), no estamos hablando deuna coincidencia numerica entre ambos miembros, sino de una identidad que se debe aplicar al espacio vectorial defunciones en que estemos trabajando, es decir

∫ c

bf (x) δ (ax) dx =

∫ c

bf (x)

1

|a|δ (x) dx ∀ f (x) ∈ V y ∀ a ∈ R

Estrictamente, el mapeo tambien se puede hacer sobre los numeros complejos con propiedades analogas. En estemismo espıritu, es necesario aclarar que la densidad volumetrica equivalente de una carga puntual (y todas lasdensidades equivalentes que nos encontremos de aquı en adelante) es realmente una distribucion. Por ejemplo, ladensidad descrita por (1.3), solo tiene realmente sentido dentro de integrales tales como las expresadas en (1.4).Las densidades ordinarias son funciones, pero las densidades equivalentes son distribuciones. En sıntesis, lo que seconstruye con la densidad volumetrica equivalente es una distribucion que me produzca el mapeo adecuado parareproducir la carga total y el potencial6.

En mas de una dimension la delta se convierte simplemente en productos de deltas unidimensionales, la propiedad∫δ(n) (x) dnx = 1, aplicada a n dimensiones, nos dice que la delta no es adimensional, sus dimensiones son de

x−n.

1.5. Ley de Gauss

La ley de Coulomb junto con el principio de superposicion conducen a una forma integral muy util conocida comoley de Gauss. La ley de Gauss en su forma integral, es util cuando queremos evaluar E en una distribucion de cargascon cierta simetrıa, o cuando queremos evaluar la carga total encerrada en cierto volumen. Finalmente, la formaintegral nos conduce a una forma diferencial con la cual se pueden abordar casos mas generales. De acuerdo con lafigura 1.1, dado un origen de coordenadas O y un punto donde se ubica la carga O′ podemos construir un diferencialde flujo en la vecindad de la posicion definida por el vector r. El campo electrostatico viene dado por

E (r) = Kcq (r− r′)

|r− r′|3

y el flujo de un campo E (r) sobre un diferencial de superficie dS centrada en r esta dado por

E (r) · dS (r) = Kcq (r− r′) · dS (r)

|r− r′|3

6Estos dos mapeos se definen en el espacios de las funciones q (r0) y q (r0) / |r− r′| en el caso de cargas puntuales. Para cargas linealesserıan en el espacio de funciones λ (x) y λ (x) / |r− r′|.


Figura 1.1: Ilustracion del angulo solido subtendido por una superficie dS con respecto al origen O′ en el cual seencuentra la carga, y que esta en la posicion r′ con respecto al origen O del sistema coordenado. El angulo θ mide lainclinacion del vector diferencial de superficie dS con respecto al radio vector r− r′ que va desde O′ hasta el puntodonde esta centrada dicha superficie. Este angulo tambien mide la inclinacion de la superficie con respecto al campoelectrico generado por la carga puntual en O′.

donde r′ define la posicion de la carga que genera el campo (con respecto a O). Integrando sobre una superficiecerrada, se obtiene ∮

E (r) · dS (r) = Kc q

∮(r− r′) · dS (r)

|r− r′|3

es bien conocido que el integrando del miembro derecho define el diferencial de angulo solido subtendido por el areadS tomando como vertice el punto O′, como se aprecia en la Fig. 1.1

∮(r− r′) · dS (r)

|r− r′|3=

∮dΩ (1.6)

donde ∮dΩ =

4π si O′ esta dentro de la superficie cerrada0 si O′ esta fuera de la superficie cerrada

(1.7)

con lo cual resulta ∮E (r) · dS (r) = Kc q

∮dΩ

1.5. LEY DE GAUSS 9

y teniendo en cuenta (1.7), este resultado se puede expresar de manera equivalente ası

∮E · dS = 4πKcq

∫δ(r− r′

)dV = 4πKcq

1 si O′ esta dentro0 si O′ esta fuera

apelando al principio de superposicion esta ley se puede aplicar a cualquier distribucion de cargas. Para el flujo decampo solo contribuye la carga neta que esta adentro (suma algebraica de cargas). Observese que la ley de Gaussse basa en tres suposiciones fundamentales a) La ley del inverso cuadrado del campo de cargas puntuales7, b) elprincipio de superposicion, c) la naturaleza central de la fuerza.

La expresion (1.6) para el angulo solido puede entenderse cualitativamente en el analogo bidimensional, supon-gamos que queremos hacer la integral ∮

dθ

en el plano. Si el lazo cerrado simple8 contiene al origen y comenzamos desde cierta posicion r0 de un punto sobre ellazo, al realizar el giro completo en direccion antihoraria hemos barrido un angulo 2π ya que el sentido de giro (conrespecto al sistema coordenado) del vector posicion nunca se invierte. Por tanto

∮dθ =

∫ θ0+2π

θ0

dθ = 2π si el lazo encierra al origen

en contraste si el lazo cerrado simple no encierra al origen, vemos que el vector posicion inicial de giro r0 al realizarun giro antihorario completo sobre el lazo, debe invertir su sentido de giro con respecto al sistema coordenado paravolver a su posicion inicial. En un giro completo el vector posicion “va y vuelve” con respecto a la coordenada angularθ dentro de cierto intervalo [θ0, θmax] siendo θ0 el angulo inicial. Por esta razon la integral angular se anula en estecaso9 ∮

dθ =

∫ θmax

θ0

dθ +

∫ θ0

θmax

dθ = 0 si el lazo no encierra al origen

Por supuesto podemos hacer un analisis similar si el origen para realizar el barrido del lazo esta desplazado conrespecto al origen de coordenadas. Es decir si r se reemplaza por r− r′ siendo r′ fijo y haciendo el barrido con elvector relativo r− r′. En este caso lo que es relevante es si r′ esta dentro o fuera del lazo. Situacion similar ocurrecon el angulo solido dependiendo de si la superficie cerrada (en 3 dimensiones) encierra o no al origen con respectoal cual se hace el barrido. Cuando la superficie encierra a tal origen, se barre el angulo solido completo 4π (ası comoen el caso dos dimensional se barre el angulo plano completo 2π) y hay un efecto de cancelacion cuando dicho origenno esta contenido en la superficie cerrada.

La expresion (1.6) para el angulo solido nos permitira desarrollar una importante identidad que sera de usofrecuente en nuestros desarrollos, calculemos la divergencia del gradiente de la funcion |r− r′|−1

∇ ·(∇ 1

|r− r′|

)≡ ∇2

(1

|r− r′|

)

el operador ∇ se refiere a las coordenadas no primadas. Haciendo el cambio de variable r = r− r′ y teniendo encuenta que ∇r = ∇ tenemos que

∇2

(1

|r− r′|

)= ∇2

r

(1

r

)

esto es equivalente a redefinir el origen en r′ = 0. Olvidemos la notacion r y calculemos explıcitamente esta cantidadpara r 6= 0; en tal caso escribiendo el operador laplaciano en coordenadas esfericas vemos que solo aparece la derivadacon respecto a la coordenada r debido a la simetrıa esferica de 1/r

∇2

(1

r

)=

1

r

∂2

∂r2

(r1

r

)= 0

7Si el campo electrico fuera proporcional por ejemplo a r−3, no obtendrıamos el angulo solido en la expresion (1.6).8Por lazo cerrado simple indicamos un lazo que no se intersecta a sı mismo, por ejemplo un lazo en forma de 8 NO es un lazo simple.

Aunque no lo decimos explıcitamente, usaremos lazos cerrados simples a menos que se indique lo contrario.9Estrictamente, este analisis solo es valido cuando la curva cerrada tiene la misma concavidad en todos sus puntos, vista por un punto

interior al lazo. Cuando este no es el caso, puede haber varios intervalos de ida y vuelta pero aun ası la cancelacion ocurre.


pero para r = 0 esta expresion esta indeterminada. No obstante, veremos el comportamiento de esta expresion bajouna integral de volumen en una cierta vecindad de r = 0

∫

V∇2

(1

r

)dV =

∫∇ ·[∇(1

r

)]dV =

∮ [∇(1

r

)]· n dS

=

∮ [− r

r3

]· dS = −

∮dΩ = −4π

1 si O′ esta dentro0 si O′ esta fuera

(1.8)

donde hemos aplicado el teorema de Gauss o teorema de la divergencia ası como la Ec. (1.6). Vemos entonces que∇2(1r

)= 0 para r 6= 0 en tanto que su integral en un volumen que contiene a r = 0 es 4π, reasignando r → r− r′

resulta entonces que

∫

V∇2

(1

|r− r′|

)dV = −4π

1 si el volumen incluye al punto r′

0 si el volumen no incluye a r′(1.9)

notese que en (1.8) hemos usado el teorema de Gauss a pesar de que la funcion no es bien comportada en el

volumen en cuestion, esto es inconsistente si tomamos a∇2(|r− r′|−1

)como una funcion ordinaria. Lo que realmente

estamos haciendo es considerando a ∇2(|r− r′|−1

)como una distribucion y encontrando cual es el mapeo que nos

permite asignar un valor a la integral de volumen de modo que nos permita usar el teorema de Gauss. Notemos queprecisamente la Ec. (1.9) emula la propiedad fundamental de la delta de Dirac en tres dimensiones de modo que

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

)(1.10)

esta identidad sera de uso muy frecuente.

1.5.1. Ley de Gauss en forma diferencial

Partiendo de la ley de Gauss, escribimos la carga total como una integracion volumetrica de la densidad

∮E · dS = 4πKcq = 4πKc

∫ρ (r) dV

esto siempre es posible incluso si la densidad es lineal, superficial o puntual, ya que podemos construır una densidadvolumetrica equivalente, como veremos mas adelante. Por otro lado el teorema de la divergencia nos dice que

∮E · dS =

∫(∇ ·E) dV

comparando las integrales de volumen

∫(∇ ·E) dV = 4πKc

∫ρ (r) dV

al ser esto valido para un volumen arbitrario en forma y tamano se tiene

∇ · E = 4πKcρ (r)

Esta ecuacion es valida para cualquier distribucion estatica de cargas, y me dice que las cargas positivas (negativas)son fuentes (sumideros) de lıneas de campo electrico. Sin embargo, veremos mas adelante que esta ecuacion seextrapola al caso de campos dependientes del tiempo.

1.5.2. Potencial electrostatico

El campo electrico generado por una carga puntual estatica es conservativo en virtud de su naturaleza central yde su independencia temporal. Por otro lado, la superposicion de campos conservativos genera otro campo tambienconservativo, de lo cual se sigue que cualquier campo electrico generado por una distribucion estatica de cargas

1.5. LEY DE GAUSS 11

(contınuas o discretas) es conservativo. Matematicamente, un campo conservativo se puede escribir como E = −∇φ,siendo φ una funcion escalar. La funcion escalar asociada al campo electrico se conoce como potencial

Por otro lado, si recordamos que F = qE para una carga de prueba q, resulta que la fuerza F sobre la carga deprueba es conservativa y se le asocia una energıa potencial F = −∇Ep. De esto se deduce que φ = Ep/q de modoque el potencial es la energıa potencial por unidad de carga generada por cierta distribucion.

Escribamos el campo electrico para una distribucion arbitraria de cargas

E (r) = Kc

∫dq (r′) (r− r′)

|r− r′|3

Valido para distribucion contınua. Usando

−∇(

1

|r− r′|

)=

r− r′

|r− r′|3(1.11)

el campo queda

E (r) = −Kc

∫dq(r′)∇(

1

|r− r′|

)

y como ∇ opera sobre la variable r pero no sobre r′, puede salir de la integral

E (r) = −∇[Kc

∫dq (r′)|r− r′|

]

Definiendo

E = −∇φ (r) ; φ (r) ≡ Kc

∫dq (r′)|r− r′| (1.12)

obtenemos una funcion escalar φ (r) asociada al campo electrico E, tal funcion escalar es el denominado potencialescalar electrostatico10 . En esta ecuacion podemos tomar ∇2 a ambos lados

∇2φ (r) ≡ Kc∇2

∫dq (r′)|r− r′| = Kc

∫dq(r′)∇2

(1

|r− r′|

)

usando la identidad (1.10)

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

)(1.13)

queda

∇2φ (r) = −4πKc

∫dq(r′)δ(r− r′

)= −4πKc

∫ρ(r′)δ(r− r′

)dV ′ = −4πKcρ (r)

Con lo cual queda

∇2φ (r) = −4πKcρ (r) (1.14)

Conocida como la ecuacion de Poisson para el potencial escalar. Esta ecuacion tambien se puede obtener de la leyde Gauss en forma diferencial junto con la conservatividad del campo

∇ ·E = 4πKcρ (r) ⇒ ∇ · (−∇φ) = 4πKcρ (r) ⇒ ∇2φ (r) = −4πKcρ (r)

Para un conjunto de cargas puntuales qi ubicadas en las posiciones ri, se puede definir una densidad volumetricaequivalente que me permite usar la formulacion en el contınuo, tal distribucion equivalente se describe por

ρ(r′)=

N∑

i=1

qiδ(r′−ri

)

10Esta expresion para el potencial depende de que se defina el cero de potencial en el infinito. Por esta razon, la forma integral tıpicadel potencial puede diverger cuando se trabajan distribuciones de carga no localizadas.


cualitativamente, esto se puede ver teniendo en cuenta que la densidad de un conjunto de cargas puntuales es cero enlos puntos donde no hay carga, e infinita en cada punto donde hay una carga. Ademas al integrar ρ (r′) sobre todoel espacio, se obtiene la carga total en virtud de la normalizacion de la delta de Dirac

∫ρ(r′)dV ′ =

N∑

i=1

qi

∫δ(r′−ri

)d3r′ =

N∑

i=1

qi

finalmente, podemos verificar que el ρ equivalente para una distribucion discreta nos da el potencial correcto asociadoa dicha distribucion

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)|r− r′|dV

′ = Kc

N∑

i=1

qi

∫δ (r′−ri)

|r− r′| dV′ = Kc

N∑

i=1

qi|r− ri|

por otro lado∇×E = −∇× (∇φ) = 0 (1.15)

ya que el rotacional del gradiente de una funcion escalar bien comportada es siempre cero. Esta es otra formaequivalente de ver la conservatividad del campo, todos los campos conservativos son irrotacionales y viceversa (siemprey cuando el campo dependa exclusivamente de la posicion).

La ecuacion E = −∇φ nos dice que dado el potencial se puede calcular el campo electrico de manera unica.El hecho de que el potencial sea una cantidad escalar con la misma informacion Fısica del campo, es una ventajaoperativa, pero tambien surge la pregunta ¿como un objeto con un solo grado de libertad puede contener la mismainformacion que uno de tres grados de libertad?, la respuesta es que las componentes del campo electrico no sonrealmente independientes, puesto que ∇× E = 0 y ∇ · E = 4πKcρ, de modo que tenemos 6 ecuaciones diferencialespara las componentes de dicho campo11. Cabe mencionar que el potencial obedece a un principio de superposicion,heredado del campo. Finalmente, es importante tener en cuenta que existe una arbitrariedad en la definicion delpotencial, para lo cual es necesario fijar el punto del espacio en el cual definimos el potencial cero. Esto no es ningunacontradiccion ya que el potencial no es un observable fısico como veremos mas adelante, el observable es la diferenciade potencial. El campo electrico en cambio sı es un observable.

Retomando la Ec. (1.15) que es equivalente a la conservatividad y usando el teorema de Stokes, se tiene

∫

S(∇×E) · dS =

∮

CE · dl = 0

donde S es cualquier superficie delimitada por el lazo cerrado C. Vemos entonces que toda integral de lınea cerradadel campo electrostatico es cero. Ahora sean dos caminos que pasan por los mismos puntos A y B ⇒

∮E · dl =

∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

+

∫ A

BE · dl

∣∣∣∣C2

= 0

⇒∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

−∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C2

= 0

de lo cual se deduce que ∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C1

=

∫ B

AE · dl

∣∣∣∣C2

y como los puntos A y B son arbitrarios (en virtud de la arbitrariedad de los lazos cerrados originales), se deduceque la integral de lınea del campo electrico es independiente del camino y solo depende de los extremos. Esta es otraforma de definir a un campo conservativo, y de hecho es la que mayores implicaciones fısicas tiene. Hay que tenerespecial cuidado con los campos mal comportados. Como ejemplo, sea F (r) = (A/r)uθ, una fuerza restringida ados dimensiones. El diferencial de trabajo es dW = F · dr = (A/r)uθ · (dr ur + r dθ uθ) = (A/r) r dθ calculemos eltrabajo para varias trayectorias

11Es importante enfatizar que aun quedan grados de libertad, gracias a que estas 6 ecuaciones son ecuaciones diferenciales de primerorden (estos grados de libertad se traducen en el potencial y en la arbitrariedad para definirlo). Si estas ecuaciones fueran lineales en elcampo, este estarıa de hecho sobredeterminado. Mas adelante veremos que la determinacion del rotacional y la divergencia de un campovectorial, aun no son suficientes para darle unicidad a la solucion de tal campo vectorial.

1.5. LEY DE GAUSS 13

1) Trayectoria cuyos vectores posicion inicial y final estan a un angulo θ1 y θ2 respectivamente

W =

∫Adθ = A (θ2 − θ1)

independiente de la trayectoria, solo importan los extremos e incluso solo el angulo (no la distancia)

2) Trayectoria cerrada que no encierra al origen

W =

∫ r2

r1

A dθ +

∫ r1

r2

A dθ = A (θ2 − θ1) +A (θ1 − θ2) = 0

da cero independiente de la forma especıfica de la trayectoria (siempre que no incluya el origen)

3) Trayectoria cerrada que encierra al origen

W =

∫ 2π

0A dθ = 2πA 6= 0

Luego la fuerza no es conservativa, la cuestion es que ∇ × F = 0 en todo el espacio excepto en el origen, de modoque un camino cerrado que contenga al origen no da necesariamente cero.

Se puede probar que un campo central de la forma E (r) = E (ρ) uρ con ρ en coordenadas esfericas es conservativosi E (ρ) es una funcion bien comportada. Se puede calcular el rotacional de este campo y verificar que es cero en todoel espacio. De especial interes son los campos de la forma

M (r) = k

∫df (r′) (r− r′)

|r− r′|n+1 n = real

Se puede verificar que ∇×M = 0, y el potencial asociado se puede encontrar teniendo en cuenta que

(r− r′)

|r− r′|n+1 =

1

n−1∇(

1|r−r′|n−1

)si n 6= 1

∇ ln |r− r′| si n = 1

1.5.3. Potencial y trabajo

La coleccion de todos los puntos con el mismo potencial forma las llamadas superficies equipotenciales. ComoE = −∇φ, las lıneas de campo son perpendiculares a tales superficies, y el campo va en la direccion en la cualel potencial disminuye, veamos el sentido Fısico del potencial: consideremos el trabajo realizado sobre una carga qpuntual para llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de un campo electrico

Wa→b =

∫ b

aFext · dr = −q

∫ b

aE · dr = q

∫ b

a∇φ · dr

Wa→b = q

∫ b

adφ = q [φ (b)− φ (a)]

el signo menos proviene del hecho de que lo que se esta calculando es el trabajo hecho por el agente externo sobrela carga, como esta debe ir con velocidad constante, la fuerza externa debe ser igual en magnitud pero opuesta endireccion a la fuerza del campo sobre la carga. Dividiendo esta ecuacion por la carga

Wa→b

q= φ (b)− φ (a) = −

∫ b

aE · dr

De modo que la diferencia de potencial asociada al campo E es el trabajo realizado sobre una carga unidad q puntualpara llevarla con velocidad constante desde a hasta b en presencia de dicho campo electrico.

Es importante mencionar que el trabajo solo depende de la diferencia de potencial y que E = −∇φ deja unaconstante arbitraria por definir en el potencial. Por tanto, el potencial φ′ ≡ φ+ c (siendo c una constante) describe lamisma Fısica que φ. Esto se llama una transformacion Gauge o de calibracion (transformacion del campo). El campoy el trabajo son invariantes Gauge. La forma mas general del potencial es entonces


φ (r) = Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| + φ0

Para fijar la constante escojemos un punto de referencia para definir el cero de potencial. Tomemos el ejemplo de lacarga puntual; en coordenadas polares tenemos:

∫ b

aE · dr = KcQ

∫ b

a

1

r2ur · (dr ur + rdθ uθ) = Kc

∫ b

a

Q

r2dr = −Kc

Q

r

∣∣∣∣b

a

= KcQ

(1

ra− 1

rb

)= φ (a)− φ (b)

de modo que

φ (a) = KcQ

(1

ra− 1

rb

)+ φ (b)

si hacemos ra = r, rb → ∞ tenemos que

φ (r) =KcQ

r+ φ (∞)

la escogencia φ (∞) = 0 siempre es posible en distribuciones localizadas de carga, pues estas se ven de lejos siemprecomo puntuales. Cuando hay distribuciones de carga no localizadas como en el caso de un alambre infinito, laescogencia del cero de potencial en el infinito conduce por lo general a divergencias.

Discusion: En general sı es posible definir el cero de potencial en un punto en el infinito incluso cuando la cargano esta localizada. Sin embargo, en tal caso no es correcto definir el potencial cero cuando r → ∞ (r distancia delpunto a un origen de coordenadas). La razon para ello es que r → ∞ no define un punto sino una superficie, y nodebemos perder de vista que el potencial debe ser fijado en un punto y no en una superficie. La pregunta natural es¿porque la definicion del cero de potencial en r → ∞ es valida para distribuciones localizadas?, la respuesta radicaen el hecho de que para distancias suficientemente grandes, la distribucion se puede ver como una carga puntual, estosignifica que para una esfera suficientemente grande y “centrada” en la distribucion, la superficie de dicha esfera esequipotencial, de modo que definir cero el potencial en un punto de su superficie equivale a definirlo cero en todos lospuntos de la superficie. Cuando la distribucion no es localizada, no podemos verla como puntual, incluso alejandonosindefinidamente, por tanto esta enorme esfera no define una superficie equipotencial.

Veamos el ejemplo especıfico de un alambre infinito, si ri define la distancia del punto Pi al alambre, tenemos que

φ21 = −∫ P2

P1

E · dS = −2λ ln r2 + 2λ ln r1 = −2λ ln r + const

Escogemos φ (a) = 0 con a arbitrario (a 6= 0, a 6= ∞). Si elegimos el cero de potencial en un punto especıfico en elinfinito (por ejemplo el punto (0, 0, z → ∞)), vamos a obtener potenciales infinitos en todo el espacio. Sin embargo,las diferencias de potencial (que son los verdaderos observables fısicos) van a continuar siendo finitas. Hay que teneren cuenta sin embargo que las distribuciones reales son localizadas.

1.6. Energıa potencial electrostatica

Dado el caracter conservativo del campo electrostatico, el trabajo realizado para traer una carga desde a hasta ben un potencial externo φ (r) es

Wa→b = −q∫ b

aE · d~l = q [φ (b)− φ (a)]

De esta manera podemos asociar una energıa potencial a una carga q, en cada punto r del espacio, y sera equivalenteal trabajo necesario para mover la carga desde un punto de referencia donde el potencial es cero hasta el punto r encuestion12. Para distribuciones localizadas de carga es usual definir el cero de potencial en el infinito, en tal caso

W∞→r = qφ (r) = U (r) = energıa potencial asociada a la carga q

12Esto es analogo a la energıa potencial asociada a una partıcula en un campo gravitatorio. Cuando estamos en un campo gravitatorioconstante la energıa potencial es mgh donde h = 0 se define por ejemplo en el suelo. Esta energıa potencial es justamente el trabajonecesario para que una partıcula de masa m se traslade desde el cero de potencial hasta un punto con altura h.

1.6. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA 15

Calculemos ahora el trabajo necesario para formar una distribucion estatica de cargas puntuales.Para estimar este trabajo podemos razonar del siguiente modo: El trabajo necesario para traer la primera carga

es cero, ya que no hay fuerzas ni campos a los cuales oponerse, de modo que el trabajo necesario para traer la primeracarga desde el infinito hasta su posicion final r1 (denotado porW1) es nulo. Al traer la segunda carga desde el infinitohasta su posicion final r2, esta ya se mueve en el campo generado por la primera, y como la primera carga genera unpotencial φ1 (r) entonces el trabajo para traer la segunda carga desde el infinito hasta una cierta posicion r2 es

W2 = q2φ1 (r2) = Kcq2q1

|r2 − r1|= Kc

q1q2r12

; rij ≡ |rj − ri| = rji

analogamente, la tercera carga se mueve en el campo generado por las dos primeras desde el infinito hasta su posicionr3

W3 = q3 [φ1 (r3) + φ2 (r3)] = Kcq3

(q1r13

+q2r23

)= Kc

(q1q3r13

+q2q3r23

)

si el sistema solo consta de tres cargas el trabajo total es

WT =W1 +W2 +W3 = Kc

(q1q2r12

+q1q3r13

+q2q3r23

)

esto sugiere que para n cargas la expresion sea

WT =

n−1∑

i=1

n∑

k>i

Kcqiqkrik

se sugiere al lector demostrar la anterior expresion por induccion matematica. Tambien se deja al lector la tarea dedemostrar que este trabajo total coincide con el valor de la energıa potencial interna del sistema Uint, es decir laenergıa potencial asociada con las fuerzas internas. Esta expresion se puede escribir de una forma mas simetrica sitenemos en cuenta que para un par dado i, k podemos escribir

qiqkrik

=1

2

(qiqkrik

+qkqirki

)

de manera que podemos reemplazar la restriccion k > i por la restriccion k 6= i introduciendo un factor 1/2. Laenergıa interna se escribira entonces en la forma

WT = Uint =1

2

n∑

i=1

n∑

k 6=i

Kcqiqkrik

(1.16)

donde el factor 1/2 se coloca debido al doble conteo de terminos, ademas k 6= i lo cual implica que una partıcula nointeractua consigo misma. Veremos ademas que esta expresion es mas adecuada para hacer el paso al contınuo.

Por otro lado, si tenemos en cuenta que

φi =n∑

k 6=i

Kcqkrik

donde φi es el potencial asociado a la carga qi debido a su interaccion con las otras cargas. La energıa interna sepuede escribir como

Uint =1

2

n∑

i=1

qiφi (1.17)

Esta expresion no contiene la autoenergıa asociada a cada carga individual, pues asume que las cargas ya estanarmadas, esto se ve en el hecho de que φi es el potencial debido a todas las cargas excepto la i − esima. Solocontiene los terminos debidos a la interaccion entre las cargas. Estas autoenergıas son divergentes pero se puedenrenormalizar13. Como veremos mas adelante, cuando asumimos distribuciones contınuas de cargas estos terminosde autoenergıa aparecen en la formulacion sin dar divergencias (siempre y cuando la densidad sea finita en todo elespacio).

13El hecho de que las autointeracciones diverjan tiene que ver con el hecho de que se necesita una energıa infinita para ensamblar unacarga puntual.


1.6.1. Distribuciones contınuas de carga

Formaremos la distribucion volumetrica trayendo elementos diferenciales de carga desde el infinito. La natura-leza conservativa de las interacciones electrostaticas nos garantiza que la energıa total final de la distribucion esindependiente del orden en que se traigan las cargas (de lo contrario esta cantidad no tendrıa ningun significadointrınseco).

Pensemos que queremos concentrarnos en armar la carga que finalmente quedara en un volumen dV (r), denotemosel valor final de la densidad asociada a dV (r) como ρ (r). Supongamos que en cierta etapa del proceso hemosacumulado una carga dq′ en el volumen dV (r), por lo tanto se tiene que dq′ = ρ′ (r) dV (r) de modo que ρ′ (r) es ladensidad de carga en r en esta etapa del proceso. Parametricemos ρ′ (r) = αρ (r) donde 0 ≤ α ≤ 1. Si asumimos queα es independiente de la posicion y tomamos la ecuacion de Poisson ∇2φ (r) = −4πKcρ⇒ ∇2 [αφ ( r)] = −4πKc (αρ)y como ∇2φ′ (r) = −4πKcρ

′ = −4πKc (αρ) se concluye que

∇2[αφ (r)− φ′ (r)

]= 0

puesto que esto debe ser valido en todo el espacio, se tiene que αφ (r)− φ′ (r) = constante (veremos las condicionesde unicidad de la Ec. de Laplace en la seccion 3.2, Pag. 40). En particular cuando α = 1 y se haya completado elproceso, debe cumplirse que φ′ (r) = φ (r) con lo cual la constante debe anularse y por tanto φ′ (r) = αφ (r).

Ahora traemos desde el infinito una carga adicional dq hasta el elemento de volumen dV (r), la carga en estevolumen es ahora dq” (r) = (α+ dα) ρ (r) dV (r). El incremento es claramente dq (r) = (dα) ρ (r) dV (r). El trabajorealizado para traer dq es

dW = φ′ (r) dq = [αφ (r)] [(dα) ρ (r) dV (r)] = αdα ρ (r)φ (r) dV (r)

Ahora bien, para traer elementos dq (r) para cada elemento de volumen dV (r) se requiere un trabajo

dW ′ = α dα

∫

Vρ (r)φ (r) dV (r)

este trabajo aun no es el trabajo total, ya que todavıa falta seguir trayendo cargas diferenciales a cada elemento devolumen hasta completar la carga total que debe tener cada dV (r), es decir hasta que la densidad sea ρ (r). Esto sedescribe matematicamente integrando en α desde cero hasta uno.

WT =

∫ 1

0α dα

∫

Vρ (r)φ (r) dV (r)

WT = Uint =1

2

∫

Vρ (r)φ (r) dV (1.18)

observese que hemos supuesto que α no depende del elemento de volumen en el cual este definido, es decir no dependede la posicion. Esto simplemente implica que para cada elemento de volumen se trae un dq (r) que contenga la mismafraccion de la carga total final en cada elemento de volumen, pero como el metodo de construccion no afecta, estono le quita generalidad al problema. Se puede observar que la expresion (1.18) coincide con el paso al contınuo de laexpresion (1.17).

La integral de volumen se realiza solo donde hay carga. Sin embargo, la integral se puede extender sobre todoel espacio teniendo en cuenta que en las regiones donde no hay carga ρ = 0, y no van a contribuir. Al usar todo elespacio podemos escribir

φ (r) =

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| (1.19)

de modo que

WT = Uint =1

2

∫ ∫ρ (r) ρ (r′) dV dV ′

|r− r′| (1.20)

que coincide con el paso al contınuo de (1.16). Este metodo de calculo nos asocia la energıa directamente a las cargas,como si la energıa residiera en las cargas ya que en los sitios de ρ = 0 no hay contribucion a Uint.

1.6. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA 17

Un desarrollo adicional permite asociar la energıa con el campo electrostatico (como si la energıa residiera en elcampo). Partiendo de (1.18) y usando la ley diferencial de Gauss, escribimos

Uint =1

2

∫

Vρφ dV =

1

8πKc

∫

V(4πKcρ)φ dV =

1

8πKc

∫

Vφ (∇ · E) dV

=1

8πKc

∫

V[∇ · (Eφ)−E · ∇φ] dV

usando el teorema de la divergencia y el hecho de que E = −∇φ obtenemos

Uint =1

8πKc

∫Eφ·dS+

1

8πKc

∫E2dV (1.21)

Para dilucidar sobre que volumen estamos integrando, recordemos que se partio de la Ec. (1.18). Por tanto el volumende integracion es aquel que contiene a toda la distribucion de carga. Sin embargo, podemos extender el volumen sinalterar la integral puesto que las partes del volumen que no contienen carga no contribuyen a dicha integral. Enconsecuencia, la expresion (1.21), es valida para cualquier volumen y superficie que lo delimita, siempre y cuandotoda la carga este contenida en el volumen. Una eleccion astuta para distribuciones localizadas de carga es extenderel volumen y la superficie hasta el infinito de modo que E ≃ Q/r2, φ ≃ Q/r y S ∼ r2 de modo que todo el integrandode superficie se comporta como 1/r y tiende a cero. Finalmente tenemos

Uint =1

8πKc

∫

todo el espacioE2dV (1.22)

De modo que la energıa aparece como almacenada en el campo. Esta interpretacion nos permite definir la densidadde energıa del campo electrostatico como

ε ≡ E2

8πKc; Uint =

∫ε dV

Queda la pregunta, A que se asocia la energıa a las cargas o al campo?, la respuesta es que la energıa se asocia alsistema de partıculas pero no se puede asociar a porciones de carga o a porciones del espacio (el termino E2/8πKc

que definimos como densidad de energıa, no se puede medir experimentalmente14). A priori podrıamos pensar quea cada carga se le puede asociar una porcion de esta energıa, si esto es posible debe ser de una manera unıvoca.Pensemos que al armar un sistema de cargas puntuales asociamos a cada partıcula la porcion de energıa asociada alpotencial en el cual se movio cuando se trajo desde el infinito, en ese caso a la primera no le corresponde nada, a lasegunda le corresponde la energıa necesaria para traerla desde el infinito hasta el punto donde se dejo, lo cual se hizoen presencia del campo generado por la primera carga y ası sucesivamente, pero esta forma no es unıvoca ya que lascargas se pueden traer en cualquier orden y las porciones asignadas son diferentes para cada orden.

En conclusion, las interpretaciones como energıa asociada a la carga o al campo son solo metodos de calculo, enla primera interpretacion con cargas solo importa el espacio que tiene carga, en el segundo solo importan las regionesdonde hay campo. Son dos formas diferentes de sumar, ası como lo son las diferentes maneras de traer las cargas,pero el metodo particular de hacer la suma no tiene significado intrınseco15.

Cuando intentamos calcular la energıa potencial de una distribucion de cargas puntuales a traves de la expresion(1.22) obtenemos divergencias debido a la autoenergıas de las partıculas. Veamos un ejemplo concreto: dos cargaspuntuales q1, q2 ubicadas en las coordenadas r1 y r2. El campo electrico esta descrito por

E = Kc

[q1 (r− r1)

|r− r1|3+q2 (r− r2)

|r− r2|3]

E2

8πKc=

K2c q

21

8πKc |r− r1|4+

K2c q

22

8πKc |r− r2|4+K2c q1q2 (r− r1) · (r− r2)

4πKc |r− r1|3 |r− r2|3

14Observese ademas que la Ec. (1.18) nos brinda otra posible definicion de densidad de energıa i.e. ε = 12ρφ. De acuerdo con esta

definicion la densidad de energıa en las regiones sin carga es cero, lo cual en general no es cierto cuando asumimos ε = E2/8πKc.15Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo, veremos que la forma E2/8π es la mas adecuada para definir densidad de energıa.

Pero en el caso estatico, la densidad de energıa no tiene significado Fısico, debido a que ninguna porcion de volumen esta intercambiandoenergıa con otra.


los dos primeros terminos correspondientes a la autoenergıa de las partıculas son intrınsecos de las partıculas y no seintercambian ni se modifican por el hecho de que las partıculas se muevan, solo podrıan ser relevantes si la interaccionentre las partıculas es tan fuerte que revela su estructura interna, en cuyo caso tenemos que abandonar la abstraccionde partıculas puntuales. Las autoenergıas divergen debido a que se producen singularidades para r → r1 y parar → r2. Recordemos que este es el reflejo de que se requiere una energıa infinita para emsamblar una carga puntual.El ultimo termino se debe a la interaccion entre las dos partıculas y su integral de volumen se puede calcular de laforma siguiente.

Uint = Kc

∫q1q2 (r− r1) · (r− r2)

4π |r− r1|3 |r− r2|3dV =

Kcq1q24π

∫∇(

1

|r− r1|

)· ∇(

1

|r− r2|

)dV

=Kcq1q24π

∫∇ ·[

1

|r− r1|∇(

1

|r− r2|

)]dV −

∫1

|r− r1|∇2

[(1

|r− r2|

)]dV

=Kcq1q24π

∫ [1

|r− r1|∇(

1

|r− r2|

)]· dS+ 4π

∫δ (r− r2)

|r− r1|dV

Uint =Kcq1q24π

∫ [(r2 − r)

|r− r1| |r− r2|3]· dS+ 4π

1

|r2 − r1|

donde hemos usado el teorema de la divergencia, ası como las ecuaciones (1.10) y (1.11). La superficie donde se definela primera integral esta en el infinito en el cual el integrando decae como 1/r3, en tanto que la superficie crece comor2 de modo que esta integral se anula. El termino de interaccion queda

Uint =Kcq1q2|r2 − r1|

el cual coincide con el calculo ya realizado en el caso discreto, Ec. (1.16) con n = 2. Sin embargo, cuando se usa (1.16)o (1.17), no resultan los infinitos de autoenergıa como ya se discutio, la razon es que en el caso discreto hemos excluıdola contribucion de las autointeracciones. En contraste, se puede ver que en el caso contınuo descrito por (1.18) [oequivalentemente por (1.20) o (1.22)], el potencial φ (r) sı incluye la contribucion del diferencial de carga centrado enr. Cuando la densidad es bien comportada, la inclusion de este termino no afecta el resultado ya que es despreciable,pero para puntos en donde la densidad tiene singularidades (como en cargas puntuales), estas contribuciones divergen16.

————————————————-Calculemos ahora la fuerza experimentada por la superficie de un conductor de carga superficial σ. En este caso

la densidad y el campo electrico estan relacionados de modo que

ε =E2

8πKc=

2π

Kcσ2

para llevar un elemento de superficie de 1 a 2 se realiza un trabajo ∆W = ∆F ∆x = ε∆V

∆F =ε∆V

∆x= ε∆A⇒ ∆F

∆A= ε =

2π

Kcσ2

este resultado tambien se puede derivar tomando εσ teniendo presente que el campo electrico debido al elementomismo debe ser excluıdo (Jackson second ed. pag. 48).

1.7. Ecuaciones de campo

Tenemos las dos ecuaciones de campo

∇ ·E = 4πKcρ (r) ; ∇×E = 0 (1.23)

16Observese por ejemplo que si las cargas q1 y q2 son de signo opuesto, el calculo con (1.17) da un valor negativo en tanto que la Ec.(1.22) esta definida positiva. Esto se debe a que las autoenergıas son divergentes positivas.

1.7. ECUACIONES DE CAMPO 19

El conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo en todo el espacio especifican el valor del campo, salvopor un factor adicional que serıa el gradiente de una funcion escalar que satisfaga la ecuacion de Laplace en todo elespacio. Es decir si E es solucion de estas ecuaciones vectoriales entonces E′ tambien es solucion si

E′ = E+∇ϕ con ∇2ϕ = 0 en todo el espacio

pero si ∇2ϕ = 0 en todo el espacio entonces ϕ puede ser a lo mas una constante (veremos las condiciones deunicidad de la Ec. de Laplace en la seccion 3.2, Pag. 40), de modo que E′ = E. Sin embargo, en la mayorıa deproblemas reales de la Fısica, conocemos la densidad ρ solo en una cierta region R del espacio y no en todo elespacio. En tal caso conocemos la divergencia y el rotacional del campo electrostatico pero solo dentro de la regionR. Esto nos indica que ∇2ϕ = 0 en la region R, pero no necesariamente en todo el espacio, lo cual implica quela solucion para ϕ puede ser no trivial y tenemos problemas con la unicidad de E. Desde el punto de vista Fısico,esto es de esperarse puesto que el conocimiento de la densidad en cierta region del espacio, no nos excluye de lainfluencia de las densidades externas, las cuales por principio de superposicion tambien afectaran el campo. Estesencillo argumento Fısico nos dice que hay infinitas soluciones para E cuando solo se conoce la densidad en una ciertaregion del espacio. Esto indica que las ecuaciones anteriores solo son utiles en alguno de los siguientes casos

Conocemos la distribucion de carga en todo el universo

La distribucion de carga en R esta lo suficientemente aislada de otras cargas, con lo cual asumir que la densidadde carga es ρ (r) en el interior de R y cero fuera de R constituye una aproximacion razonable.

Conocemos la densidad de carga en R e ignoramos la carga fuera de dicha region, pero en cambio conocemosciertas condiciones en la frontera de R que hacen que la solucion de la ecuaciones anteriores sean unicas.

Esta ultima posibilidad esta inspirada en un argumento Fısico y otro Matematico. Fısicamente, sabemos queen algunos sistemas como los conductores electrostaticos, aunque no conozcamos la distribucion de carga exterior,conocemos ciertos efectos netos que la interaccion de la carga externa con la interna producen: que la superficiedel conductor sea un equipotencial. Desde el punto de vista matematico, sabemos que las ecuaciones diferencialesparciales tienen solucion unica bajo cierto tipo especıfico de condiciones en la frontera.

Como ya vimos, las ecuaciones (1.23) se pueden sintetizar en una sola: la ecuacion de Poisson (1.14), que en elcaso homogeneo se reduce a la ecuacion de Laplace. Esta ecuacion muestra de nuevo las ventajas de trabajar con elpotencial

1. La ecuacion para el potencial (Poisson o Laplace) es una sola, en tanto que las ecuaciones de los campos sondos (divergencia y rotacional).

2. Esta unica ecuacion se define sobre un campo escalar, y no sobre un campo vectorial.

3. En esta ecuacion es mas facil acomodar las condiciones de frontera.

1.7.1. Calculo de campos

Hay varias tecnicas para calcular campos electrostaticos

1. Utilizando E (r) = Kc

∫ ρ(r′) (r−r′)

|r−r′|3 dV ′ para usarla requerimos saber la distribucion de carga en el universo, o

hacer la aproximacion de que la distribucion de carga que conocemos es la unica en el universo (i.e. asumir queel sistema en cuestion esta lo suficientemente aislado).

2. Usar φ (r) = Kc

∫ ρ(r′)|r−r′|dV

′ + φ0 y luego E = −∇φ se usa bajo las mismas condiciones anteriores pero con laventaja de que se realiza una integracion escalar y no vectorial.

3. Utilizando ley de Gauss∮E · dS = 4πKcq, aunque tiene validez general, solo es util para casos especiales

con muy alta simetrıa. Especıficamente, su utilidad se restringe al caso en el cual se conoce la forma de lassuperficies equipotenciales. En caso contrario resulta ser una ecuacion integral muy difıcil de resolver.


4. Metodo de imagenes: tambien aplicable solo bajo simetrıas muy especiales. Requiere del conocimiento de algunassuperficies equipotenciales.

5. Usando el metodo de transformaciones conformes: Aplicacion de la teorıa de la variable compleja a la ecuacionde Laplace. Solo vale para problemas bidimensionales y es en la practica aplicable solo para problemas con altasimetrıa.

6. Usando las formas diferenciales ∇2φ = −4πKcρ, o ∇2φ = 0, junto con ciertas condiciones de frontera, comoveremos este es el metodo mas fructıfero.

Con mucha frecuencia lo que conocemos es la distribucion de carga en el interior de una region y cierta condicionsobre la frontera que encierra a dicha region, pero desconocemos la distribucion de carga en el exterior y en la frontera.Es en estos casos en donde la ecuacion de Poisson con condiciones de frontera resulta provechosa.

Veamos un caso particular

Example 1 Placa plana conductora infinita que yace a potencial cero sobre el plano XY, y una carga q en z = h.Al tratar de usar los metodos tradicionales se tiene

φ (r) = Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′| + φ0 ; ρ(r′)= qδ

(r′ − huz

)+ ρ′

(r′)= qδ

(r′ − huz

)+ σ

(r′)δ (z)

donde ρ′ (r′) es la carga volumetrica equivalente a la carga superficial σ (r′). El potencial queda

φ (r) = Kcq

∫δ (x′) δ (y′) δ (z′ − h) dV ′

√(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

+Kc

∫ρ′ (r′) dV ′

|r− r′| + φ0

φ (r) =Kcq√

x2 + y2 + (z − h)2+Kc

∫σ (r′) δ (z) dV ′

|r− r′| + φ0

pero σ (r′) es desconocido y no se puede inferir facilmente con la informacion sobre el potencial (φ = 0 en z = 0),lo maximo que podemos hacer es reducir la integral por medio de la delta de dirac usando coordenadas cartesianas ocilındricas (la simetrıa indica en todo caso que las coordenadas cilındricas son mas apropiadas). Tambien podemosdecir que por simetrıa la densidad en el plano es solo funcion de la distancia al origen, con esto la integral triple seconvierte en simple pero no es suficiente para realizar el ultimo paso.

En general, las formas integrales no pueden incluır facilmente las condiciones de frontera. En este caso particularconocemos facilmente una superficie equipotencial del sistema (plano XY) y se puede usar el metodo de imagenes,pero en casos mas complejos el metodo resulta inmanejable.

Ahora consideremos el uso de las formas diferenciales. La ecuacion de Laplace se puede resolver por separacion devariables en 11 sistemas coordenados diferentes que incluyen practicamente todos los sistemas coordenados de interesfısico. Las constantes de integracion usualmente se acoplan con facilidad a las condiciones de frontera y las solucionespueden generalmente expresarse con facilidad en terminos de funciones ortogonales. Por supuesto, tal ecuacion soloes valida en regiones con ausencia de carga.

La ecuacion de Poisson que nos permite solucionar el problema estatico mas general, es una ecuacion inhomogeneay no admite separacion de variables salvo en caso muy simples. Sin embargo, la tecnica de Green que veremos masadelante, hace que el metodo sea mas manejable.

1.8. Unicidad del potencial con condiciones de Dirichlet y Neumann

En general la solucion de las ecuaciones diferenciales parciales requiere de condiciones de frontera. En el casoespecıfico electrostatico, con frecuencia se conoce el potencial en la superficie (condiciones de Dirichlet) o la compo-nente normal del campo (equivalentemente la derivada normal del potencial). Si estas condiciones se definen sobreuna superficie cerrada S que delimita a un volumen V , y ademas conocemos la densidad de carga volumetrica dentrode dicho volumen, entonces la solucion es unica como demostraremos a continuacion.

1.8. UNICIDAD DEL POTENCIAL CON CONDICIONES DE DIRICHLET Y NEUMANN 21

Desarrollemos un par de identidades integrales, partiendo del teorema de la divergencia

∫∇ ·A dV =

∮A · dS (1.24)

tomaremos A ≡ φ∇ψ, donde por el momento φ, ψ son campos escalares arbitrarios. Reemplazando esta expresionen el teorema de la divergencia ∫ [

φ∇2ψ +∇ψ · ∇φ]dV =

∮[φ∇ψ] · dS (1.25)

La Ec. (1.25) se conoce como primera identidad de Green. Escribiendo de nuevo esta identidad con elintercambio ψ ↔ φ, y restando

∫ [φ∇2ψ − ψ∇2φ

]dV =

∮[φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (1.26)

Esta expresion se conoce como segunda identidad de Green o teorema de Green. Notese que es fundamentalque la superficie sea cerrada ya que partimos del teorema de la divergencia. Lo que se busca es demostrar la unicidadde la solucion de la ecuacion de Poisson dentro de un volumen V, sujeto a condiciones de frontera sobre la superficieS que delimita a dicho volumen. Utilizaremos condiciones de frontera de tipo Dirichlet o Neumann.

Para realizar esta demostracion supongamos que existen dos soluciones φ1 y φ2 que satisfacen la misma ecuacion dePoisson dentro del volumen V [es decir que ρ1 (r) = ρ2 (r) ≡ ρ (r) dentro de dicho volumen] y las mismas condicionesde frontera sobre S.

1. Para Dirichlet: φ1|S = φ2|S = φS

2. Para Neumann: ∂φ1∂n

∣∣∣S= ∂φ2

∂n

∣∣∣S= ∂φS

∂n

Sea U ≡ φ2 − φ1, entonces ∇2U = ∇2φ2 −∇2φ1 = −4πKcρ+ 4πKcρ = 0

1. US = φ2|S − φ1|S = 0 (Dirichlet)

2. ∂US

∂n = ∂φ2∂n

∣∣∣S− ∂φ1

∂n

∣∣∣S= 0 (Neumann).

Usando la primera identidad de Green (1.25) con φ = ψ = U se obtiene

∫ [U∇2U︸︷︷︸

=0

+ |∇U |2]dV =

∮[U∇U ] · ndS

pero ∇U · n = ∂U/∂n y tenemos ∫|∇U |2 dV =

∮ [U∂U

∂n

]dS

La integral de superficie es cero para las condiciones de Dirichlet (US = 0), y las de Neumann (∂nUS = 0). De modoque17 ∫

|∇U |2 dV = 0 ⇒ ∇U = 0 (1.27)

puesto que |∇U |2 dV ≥ 0. Esto nos indica que U = cte.

1. Condiciones de Dirichlet: φ2|S = φ1|S ⇒ US = 0 = cte. Por tanto U = 0 y la solucion es unica.

2. Neumann: ∂US

∂n = 0 =∂(φ2−φ1)S

∂n ⇒ φ2 − φ1 = cte.

17Estrictamente, solo se obtiene la condicion de que ∇U es una funcion de medida nula. Sin embargo, para funciones bien comportadaspodemos garantizar la nulidad de la funcion ∇U en sı.


Estos resultados son logicos ya que el conocimiento de φ en la superficie requiere de haber definido el cero depotencial en tanto que el conocimiento de la derivada aun deja la constante arbitraria sin fijar.

En general la especificacion de condiciones de Neumann y Dirichlet simultaneamente sobre una region de lasuperficie conduce a contradiccion. Sin embargo, la unicidad de la solucion (salvo una posible constante), se siguecumpliendo si empleamos condiciones mixtas, en donde las regiones de Dirichlet y Neumann sean disyuntas y comple-mentarias. Vale mencionar que estos teoremas de unicidad son teoremas matematicos validos para funciones escalaresarbitrarias φ y ρ que cumplan con la ecuacion de Poisson, aunque estas funciones no tengan ninguna relacion conproblemas electrostaticos.

1.9. Teoremas de unicidad para campos vectoriales

Como corolario de los anteriores teoremas de unicidad obtenemos el siguiente teorema de unicidad para un campovectorial (en nuestro caso los campos vectoriales de interes seran el campo electrico y el campo magnetico)

Theorem 2 Un campo vectorial esta unıvocamente especificado si se conocen la divergencia y el rotacional dentrode una region simplemente conexa y su componente normal en la superficie que delimita a dicha region.

Asumamos que en la region en cuestion la divergencia y el rotacional del campo vectorial V estan dadas por

∇ ·V = s ; ∇×V = c (1.28)

a s usualmente se le llama un termino de fuente (densidad de carga en nuestro caso) y a c una densidad de circulacion(densidad de corriente en nuestro caso). Asumiendo que conocemos la componente normal Vn del campo vectorial enla superficie que delimita la region, supongamos que existen dos soluciones V1 y V2 que satisfacen estas condicionesde frontera, con lo cual definimos

W = V1 −V2

claramente el rotacional y divergencia de W son nulos

∇ ·W = 0 ; ∇×W = 0 (1.29)

dado que W es irrotacional, podemos expresarlo como

W = −∇φ (1.30)

y tomando la divergencia a ambos lados de (1.30) y teniendo en cuenta (1.29) queda

∇ ·W = −∇ · ∇φ = 0 ⇒ ∇2φ = 0

claramente tenemos queWn,s = V1n,s − V2n,s = 0

y

Wn,s = (W · n)s = − ∇φ · n|s = − ∂φ

∂n

∣∣∣∣s

= 0

con lo cual la ecuacion para el escalar φ junto con sus condiciones de frontera son

∇2φ = 0 ;∂φ

∂n

∣∣∣∣S

= 0

es decir ecuacion de Laplace con condiciones de Neumann. Por los teoremas de la seccion anterior, la solucion paraφ es unica salvo por una constante aditiva, por tanto su gradiente es unico y W = 0 en toda la region con lo cualV1 = V2 y el campo vectorial es unico. Es necesario enfatizar que estos teoremas de unicidad son validos paracampos escalares y vectoriales arbitrarios y no solo para el potencial o el campo electrico.

Como comentario final, para campos escalares el conocimiento de las condiciones en el potencial o su derivadanormal en la superficie, constituyen una condicion de suficiencia pero no de necesidad, en realidad existen multiplescondiciones posibles de unicidad. Un argumento similar se sigue para campos vectoriales. A manera de ilustracion

1.10. TEOREMA DE HELMHOLTZ 23

de este hecho, en el apendice A se demuestra que dada una region equipotencial cerrada S, dentro de la cual hayun conjunto de n conductores, el campo electrico esta unıvocamente determinado en la region comprendida entrelos conductores y la region encerrada por S, si se conocen (a) la carga neta total de cada conductor Qi, i = 1, ..., n(b) la densidad de carga en la region comprendida entre los conductores y el interior de S 18. Por supuesto, si losconductores carecen de cavidades, se conoce en principio el campo en casi todo el interior de S, puesto que en elinterior de los conductores el campo es cero. Los unicos puntos conflictivos para la evaluacion del campo son los de lasuperficie de los conductores, ya que la carga superficial produce un discontinuidad del campo en estos puntos comoveremos en la seccion 1.11.

Vamos a discutir ahora un teorema que sera de gran utilidad cuando trabajemos campos dependientes del tiempopero que de nuevo es valido para campos vectoriales arbitrarios

1.10. Teorema de Helmholtz

Antes que nada debemos hacer algunas definiciones: Cuando la divergencia de un campo vectorial sea nula,diremos que el campo es solenoidal. Similarmente cuando el rotacional de un campo sea nulo, diremos que es uncampo irrotacional. El teorema de Helmholtz nos dice que

Theorem 3 Si la divergencia y el rotacional de un campo vectorial F (r) estan especificados en todo el espacio porlas funciones D (r) y C (r) respectivamente, y si ambas funciones tienden a cero mas rapido que 1/r2 cuando r → ∞,entonces F (r) se puede escribir como la suma de un campo irrotacional con otro campo solenoidal. Si adicionalmente,se exige que F (r) → 0 cuando r → ∞ entonces la funcion F (r) es unica (Teorema de Helmholtz).

Demostracion: Tomemos la divergencia y el rotacional de F

∇ · F = D ; ∇× F = C

dado que la divergencia de un rotacional de un funcion de clase C2 debe ser cero, se tiene que por consistencia el campoC (r) debe ser solenoidal. Escribiremos un ansatz para F de modo que quede la suma de un termino irrotacional yotro solenoidal

F = −∇U +∇×W (1.31)

Definamos las funciones

U (r) ≡ 1

4π

∫D (r′)|r− r′| dV

′ ; W (r) ≡ 1

4π

∫C (r′)|r− r′| dV

′ (1.32)

donde las integrales se definen en todo el espacio. Notese que estas funciones tienen estructura similar a los potenciales.Calculemos la divergencia de F

∇ · F = −∇2U = − 1

4π

∫D(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫D(r′)δ3(r− r′

)dV ′ = D (r)

hemos usado el hecho de que la divergencia de un rotacional es cero, y hemos tenido en cuenta que la derivada escon respecto a las variables no primadas. La divergencia reproduce el valor adecuado. Veamos lo que ocurre con elrotacional

∇× F = ∇× (∇×W) = −∇2W +∇ (∇ ·W) (1.33)

hemos usado el hecho de que el rotacional de un gradiente es cero. Calculemos entonces cada termino usando la formaexplıcita de W

−∇2W = − 1

4π

∫C(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∫C(r′)δ3(r− r′

)dV ′ = C (r) (1.34)

la Ec. (1.34) nos muestra que −∇2W ya reproduce el valor correcto del rotacional. Es condicion de suficiencia (node necesidad) que ∇ ·W sea cero para que el ansatz (1.31) sea consistente19. Utilizando la identidad

∇′(

1

|r− r′|

)= −∇

(1

|r− r′|

)(1.35)

18Es probablemente mas conveniente estudiar este teorema en detalle despues del estudio del capıtulo 619Como se ve en la Ec. (1.33), lo que se necesita es que ∇ (∇ ·W) = 0 es decir que ∇ ·W sea constante.


evaluemos entonces ∇ ·W

∇ ·W =1

4π

∫C(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′ = − 1

4π

∫C(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′

∇ ·W =1

4π

∫ ∇′ ·C (r′)|r− r′| dV ′ − 1

4π

∮∇′ ·

[C (r′)|r− r′|

]dV ′

∇ ·W =1

4π

∫ ∇′ ·C (r′)|r− r′| dV ′ − 1

4π

∮C (r′)|r− r′| · dS

′ (1.36)

El primer termino integral de la derecha en (1.36) se anula porque C debe ser solenoidal. Ası mismo es condicionsuficiente para la anulacion de la segunda integral si imponemos que C vaya a cero con r → ∞ mas rapido que 1/r2.Adicionalmente, es necesario que las integrales (1.32) converjan para que las funciones U y W existan. En el lımiter′ → ∞, se tiene |r− r′| ∼= r′ y las integrales adquieren la forma

∫ ∞ X (r′)r′

r′2 dr′ =∫ ∞

r′X(r′)dr′

siendo X cualquiera de los campo D o C. Notese que si X (r′) ∼ 1/r′2 la integral es aun logarıtmica y puede diverger,pero cualquier potencia de la forma 1/r2+k con k > 0 permite la convergencia de esta integral. Por tanto, es condicionde suficiencia que D y C decrezcan mas rapido que 1/r2 en su regimen asintotico.

Se observa que si agregamos a F una funcion M tal que

F′ = F+M ; ∇×M = ∇ ·M = 0

la nueva F′ tiene la misma divergencia y rotacional que F. Pero si exigimos que F (r) → 0 cuando r → ∞ el campoM debe ser cero en el infinito con lo cual M = 0 en todo el espacio por unicidad y F es unico. Basicamente hemosagregado una condicion de contorno para garantizar la unicidad de la solucion.

Notese que de este teorema se desprende un corolario interesante que se obtiene de las ecuaciones (1.31, 1.32):

Corollary 4 Cualquier funcion diferenciable F (r) que va a cero mas rapido que 1/r cuando r → ∞ se puede expresarcomo el gradiente de un escalar mas el rotacional de un vector

F (r) = ∇(− 1

4π

∫ ∇′ · F (r′)|r− r′| dV ′

)+∇×

(1

4π

∫ ∇′ × F (r′)|r− r′| dV ′

)(1.37)

Un caso muy simple de aplicacion de este corolario lo constituyen la electrostatica y la magnetostatica. Si hacemosF → E (campo electrico) y aplicamos (1.37) junto con las ecuaciones de campo

∇ ·E = 4πKcρ ; ∇×E = 0

se tiene

E (r) = ∇(− 1

4π

∫ ∇′ · E (r′)|r− r′| dV ′

)+∇×

(1

4π

∫ ∇′ ×E (r′)|r− r′| dV ′

)

E (r) = − 1

4π∇(∫

4πKcρ (r′)

|r− r′| dV ′)

= −∇(∫

Kcρ (r′)

|r− r′| dV ′)

= −∇φ (r)

que es el resultado conocido. Similarmente en magnetostatica F → B (campo magnetico) y aplicando

∇ ·B = 0 ; ∇×B =4π

cJ

se tiene

B (r) = ∇(− 1

4π

∫ ∇′ ·B (r′)|r− r′| dV ′

)+∇×

(1

4π

∫ ∇′ ×B (r′)|r− r′| dV ′

)

B (r) = ∇×(1

c

∫J (r′)|r− r′| dV

′)

≡ ∇×A

siendo J la densidad de corriente y A el potencial vectorial magnetico (ver capıtulo 13).

1.11. DISCONTINUIDADES EN EL CAMPO ELECTRICO Y EN EL POTENCIAL 25

Figura 1.2: (Derecha) superficie gaussiana que contiene unca carga superficial dentro de la superficie Sb. Puesto quela altura de esta superficie es diferencial las superficies S1, S2 y Sp coinciden en magnitud. (Izquierda) lazo cerradodonde las lıneas perpendiculares a la superficie son infinitesimales y las localmente paralelas a la superficie son delongitud finita.

1.11. Discontinuidades en el campo electrico y en el potencial

Asumamos la existencia de una interfaz bidimensional con una cierta distribucion de carga superficial. Tomemosuna superficie gaussiana que cruza la superficie de la interfaz como se ve en la Fig. 1.2. Esta superficie gaussiana estal que su altura es diferencial y sus tapas (de tamano finito) a lado y lado de la interfaz, son localmente paralelas ala superficie de la interfaz. Como la altura es diferencial, despreciamos el flujo lateral y solo se considera el flujo porlas tapas.

Por otro lado, la altura diferencial junto con el hecho de que las tapas sean localmente paralelas a la superficienos garantizan que n1 = −n2 y que las tapas y la superficie de la interfaz encerrada sean todas iguales i.e. |S1| =|S2| = |Sb|. Esto se aprecia en la Fig. 1.2.

Usando los hechos anteriores y la ley de Gauss tenemos

∮E · dS =

∫

S1

E1 · dS1 +

∫

S2

E2 · dS2 =

∫

S1

E1 · n1 dS1 +

∫

S1

E2 · (−n1) dS1 = 4πKcq = 4πKc

∫

Sb

σ dSb

⇒∫

(E1 −E2) · n1 dS1 = 4πKc

∫

S1

σ dS1

como esto es valido para cualquier tamano y forma de la superficie de las tapas (siempre y cuando la superficie nosea infinitesimal20), se concluye que

(E1 −E2) · n1 = 4πKcσ (1.38)

Esta ecuacion nos indica que hay una discontinuidad de la componente normal del campo cuando consideramos unasuperficie con una cierta densidad superficial, pues debemos recordar que E1 y E2 estan evaluados arbitrariamentecerca a la interface, aunque en lados opuestos.

Observese que si existe ademas una densidad volumetrica (finita) en el entorno de la interfaz, el resultado nose afecta. La razon es que la cantidad de carga volumetrica encerrada en la superficie gaussiana tenderıa a cero (altender a cero el volumen), mas no la carga superficial encerrada (ya que la superficie que contiene carga superficiales finita). Esto nos indica que la singularidad inherente a la naturaleza superficial de la carga es lo que me producela discontinuidad. Efectivamente, si en vez de considerar una superficie consideramos una capa muy delgada perocon volumen, la discontinuidad desaparece y se ve reemplazada por un cambio brusco pero contınuo del campo (verBerkeley vol II segunda ed. seccion 1.14).

20Notese que si la superficie de las tapas fuera infinitesimal, no se podrıa en general despreciar el flujo lateral.


Usando la naturaleza conservativa del campo electrostatico podemos demostrar que la componente paralela escontınua. Partiendo de la expresion ∮

E · dr = 0

formemos un lazo cerrado con dos lados perpendiculares a la superficie y de longitud diferencial, los otros dos ladosseran finitos y localmente paralelos a la superficie (ver Fig. 1.2). Puesto que los lados perpendiculares a la superficieson infinitesimales, solo los lados paralelos contribuyen a la circulacion y son de la misma longitud l1 = l2

∮E · dr = 0 =

∫

l1

E1 · dr1 +∫

l2

E2 · dr2 =

∫

l1

E1 · dr1 +∫

l1

E2 · (−dr1)

0 =

∫

l1

(E1 −E2) · dr1

en este caso el producto punto da la componente paralela ya que dr1 es localmente paralelo a la superficie

0 =

∫ (E1,‖ − E2,‖

)· dr1

y como la relacion es valida para cualquier longitud y orientacion localmente paralela del lazo, se concluye que

E1,‖ = E2,‖ (1.39)

veamos lo que ocurre con el potencial, si φ tuviera discontinuidades en algun punto, entonces en ese punto tendrıamosque |∇φ| → ∞ y la magnitud del campo no estarıa acotada. Observemos sin embargo, que el valor del campo estaacotado aunque sea discontınuo, por lo tanto el potencial es contınuo en todas partes, pero no es derivable en lospuntos sobre la superficie, y esta no derivabilidad es la que produce la discontinuidad en la componente normal delcampo.

En el caso de conductores electrostaticos, la discontinuidad (1.38) toma una forma particularmente simple. Comoveremos en el capıtulo 6, se tiene que el campo en el interior de un conductor perfecto es cero y la carga se acumula ensu superficie. Ademas el campo electrico es perpendicular a la superficie en la vecindad exterior a esta. Si definimosn1 como la normal sobre la superficie del conductor hacia afuera, y a σ (r) como la densidad superficial sobre elconductor, tenemos que E2 = 0 y E1 · n1 = E1 con lo cual la discontinuidad (1.38) queda

E1 = 4πKcσ ⇒ σ =E1

4πKc

o en terminos del potencial

σ =E1

4πKc=

E1 · n1

4πKc= −∇φ · n1

4πKc(1.40)

∇φ·n1 es la derivada direccional del potencial en la direccion normal hacia afuera del conductor. Por tanto la densidadsuperficial sobre un conductor ideal viene dada por

σ =E1 · n1

4πKc= − 1

4πKc

∂φ

∂n1(1.41)

donde n1 es un vector normal a la superficie que apunta hacia afuera del conductor y E1 es el campo generado en lavecindad exterior del conductor.

Existen adicionalmente, casos en los cuales aparece discontinuidad del potencial, debidos a singularidades “deorden superior” a la correspondiente a una distribucion superficial de carga. Tal es el caso de distribuciones lineales,puntuales o de capas dipolares. Analizaremos este ultimo caso debido a su importancia posterior en la interpretacionde la formulacion de Green para el potencial


Figura 1.3: Dos capas localmente paralelas cuyos elementos diferenciales de superficie pueden verse como dipolospuntuales. El vector n d (r′) va desde el elemento de superficie con carga negativa hacia su elemento contrapuesto decarga positiva.

1.11.1. Capa dipolar superficial

Pensemos en una capa de densidad superficial σ y otra muy cercana (y localmente paralela) de densidad de carga−σ como se observa en la Fig. 1.3. Si nos concentramos en un par de elementos diferenciales de area dA′ que estan encontraposicion, podemos ver este par de elementos como un dipolo puntual. Para usar la aproximacion de dipolo esnecesario asumir que la distancia d (r′) entre las capas tiende a cero en tanto que la densidad superficial σ (r′) tiendea infinito, de tal manera que podamos definir una densidad superficial de momento dipolar finito D (r′) a traves delproducto

lımd(r′)→∞

σ(r′)d(r′)= n lım

d(r′)→∞σ(r′)d(r′)≡ D

(r′)= nD

(r′)

esta densidad superficial de momento dipolar va en la direccion normal a la superficie y en el sentido desde las cargasnegativas a las positivas. El calculo del potencial se puede realizar de manera directa como la superposicion de lospotenciales generados por cada capa (ver Fig. 1.3)

φ (r) =

∫

Sa

dq (r′)|r− r′| −

∫

Sb

dq (r′)|r− [r′ − n d (r′)]| =

∫

Sa

σ (r′) dA′

|r− r′| −∫

Sb

σ (r′) dA′

|r− r′ + n d (r′)|

vamos a asumir que∣∣r− r′

∣∣ >>∣∣n d

(r′)∣∣

es decir que la distancia entre el punto de evaluacion del potencial y la fuente dipolar (las dos areas diferenciales demagnitud dA′) es mucho mayor que la distancia d (r′) entre las cargas que generan el dipolo (como corresponde enla aproximacion dipolar). Con esta aproximacion tenemos

1

|r− r′ + n d (r′)| =1√

(r− r′)2 + 2 (r− r′) · n d (r′) + d (r′)2≈ 1√

(r− r′)2 + 2 (r− r′) · n d (r′)

=1

|r− r′|√

1 + 2(r−r′)·n d(r′)

|r−r′|2

usando 1√1+2x

≈ 1− x si x << 1, tenemos

1

|r− r′ + n d (r′)| ≈1

|r− r′|

[1− (r− r′) · n d (r′)

|r− r′|2]


usando esta aproximacion en el potencial

φ (r) =

∫σ (r′)|r− r′| dA

′[1− 1 +

(r− r′) · n d (r′)

|r− r′|2]

φ (r) =

∫σ (r′) (r− r′) · n d (r′)

|r− r′|3dA′ = −

∫d(r′)σ(r′)

︸︷︷︸D(r′)

[(r′ − r) · ndA′

|r− r′|3]

︸︷︷︸dΩ

φ (r) = −∫D(r′)dΩ ; dΩ ≡ (r′ − r) · ndA′

|r− r′|3=

cos θ dA′

|r− r′|2(1.42)

donde dΩ es el angulo solido subtendido por el area dA′ vista desde la posicion r donde se mide el potencial (ver

Figura 1.4: Ilustracion del angulo solido dΩ subtendido por el area dA′ tomando el origen en la posicion r. El vectorque va desde la posicion r hasta el centro del rea que subtiende el ngulo slido, es el vector r′ − r.

Fig. 1.4)21. Si el angulo θ entre el vector dA′ y el vector r− r′ es agudo, el angulo solido dΩ es positivo ya que desder se ve la cara interna de la capa dipolar.

Si la densidad superficial de momento dipolar es uniforme, vemos que el potencial generado por la capa dipolardepende solo del angulo solido con que se ve la superficie desde el punto de observacion y no de la forma especıficade la capa.

En este caso podemos ver una discontinuidad en el potencial, ya que si D (r′) es constante, la integracion esunicamente sobre el angulo solido. Por simplicidad, asumamos que la capa dipolar es cerrada (por ejemplo dos esferasconcentricas de radio muy similar) dicha integral es 4π si el punto de observacion esta dentro de la capa y cerosi estamos afuera, hay entonces una discontinuidad de 4πD en el potencial al atravesar las dos capas (recordemosque la distancia entre ellas tiende a cero). Para entender esta discontinuidad observemos que tenemos dos capas condensidad superficial que producen discontinuidad del campo al atravesar cada capa. Sin embargo, el campo que hayentre las capas es en principio infinito debido a que σ (r′) tiende a infinito, por tanto en este caso el campo no estaacotado y a esto se debe la discontinuidad en el potencial. En ese sentido tenemos un “singularidad superior” a lasimple presencia de densidad superficial, puesto que ademas tenemos un campo electrico y una densidad superficialinfinitos.

Tambien podemos calcular este potencial como la superposicion de potenciales de dipolo puntual, los momentosdipolares diferenciales son dP = Dn dA′ el potencial en r causado por un dipolo en r′ es [ver Ec. (11.4) Pag. 162]

dφ (r) =dP · (r− r′)

|r− r′|3

21Comparando la expresion (1.6) con la expresion (1.42) vemos que hay una diferencia de signo, la cual se debe a que en (1.6) el angulosolido se mide con respecto a la posicion r′, en tanto que en (1.42) tal angulo se mide con respecto a la posicion r. Esto se puede vercomparando las figuras 1.1 y 1.4.


en terminos de θ

dφ (r) =dP · (r− r′)

|r− r′|3=Dn dA′ · (r− r′)

|r− r′|3=D cos θ dA′

|r− r′|2= −D dΩ

Capıtulo 2

Suplemento matematico: completez yortonormalidad de funciones

Las ecuaciones diferenciales lineales y homogeneas tienen la propiedad de que la combinacion lineal de solucionestambien es una solucion. En general, es posible encontrar el conjunto de todas las funciones Un (r) linealmenteindependientes que son soluciones de la ecuacion diferencial en cuestion. Ahora bien, puesto que la combinacionlineal de estas funciones tambien es solucion de la ecuacion diferencial, es posible demostrar que el espacio vectorialgenerado con todas las combinaciones lineales del conjunto Un (r) forman el conjunto mas general de solucionesde la ecuacion diferencial1. En el caso mas general, el conjunto Un (r) es infinito y la solucion mas general ψ (r) seescribe como una serie

ψ (r) =∑

n

CnUn (r) (2.1)

siempre y cuando la serie converja dentro del espacio vectorial de soluciones de la ecuacion diferencial. Puestoque Un (r) genera al espacio vectorial de soluciones de la ecuacion diferencial, decimos que esta es una baseo un conjunto completo de funciones en dicho espacio vectorial. Adicionalmente, veremos que en estos espaciosvectoriales de funciones es posible definir un producto interno con el cual podemos definir a su vez el concepto deortonormalidad. De hecho, por facilidad operativa es usual construir una base o conjunto completo de funcionesUn (r) que ademas de la independiencia lineal, forme un conjunto ortonormal. Una tecnica muy usual para resolverestas ecuaciones diferenciales consiste en hacer una expansion del tipo (2.1) y encontrar los coeficientes Cn que seajusten a las condiciones iniciales y/o de frontera que imponga la ecuacion. Finalmente, en algunos casos la basepuede ser contınua, en cuyo caso las series se transforman en integrales.

2.1. Expansion en funciones ortonormales

Sea una espacio vectorial de funciones definidas sobre sobre un intervalo [a, b] en x, con ciertas propiedades decontinuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc. Como todo espacio vectorial, se puede definir una base ortonormalde vectores, por el momento asumamos que las funciones de la base son numerables Un (x), antes de definirortonormalidad es necesario definir un producto interno, definamos

(φ,ψ) =

∫ b

aφ∗ (x)ψ (x) dx

se puede demostrar que la relacion anterior cumple todas las propiedades de un producto interno. Como es biensabido, la definicion de un producto interno nos induce automaticamente una norma para los vectores

‖φ (x)‖2 ≡ (φ, φ) =

∫ b

a|φ (x)|2 dx ≥ 0

1Usualmente, estamos interesados en soluciones que ademas cumplan alguna propiedad adicional de acotacion, derivabilidad, integra-bilidad etc. Esto restringe el espacio vectorial de soluciones.

31

32 CAPITULO 2. SUPLEMENTO MATEMATICO: COMPLETEZ Y ORTONORMALIDAD DE FUNCIONES

un producto interno permite ademas definir la ortogonalidad entre elementos del espacio vectorial en cuestion. φ esortogonal con ψ cuando

(φ,ψ) =

∫ b

aφ∗ (x)ψ (x) dx = 0

esto define entonces la ortonormalidad de una base en este espacio

(Un, Um) = δnm =

∫ b

aU∗n (x) Um (x) dx

una funcion f (x) perteneciente a este espacio vectorial puede expandirse a traves de una combinacion lineal de loselementos de la base (estos espacios vectoriales son en general de dimension infinita)

f (x) =∑

n=1

CnUn (x)

Los coeficientes Cn se pueden evaluar ası

(Um, f) =

(Um,

∑

n=1

CnUn

)=∑

n=1

Cn (Um, Un) =∑

n=1

Cnδnm = Cm

de lo cual nos queda que

Cm = (Um, f) =

∫ b

aU∗n

(x′)f(x′)dx′ (2.2)

Las Cm son las componentes de f (x) a lo largo de los vectores unitarios Um (x). Esto puede verse teniendo en cuenta elsignificado geometrico del producto interno (Um, f), el cual nos da la proyeccion del vector f (x) a lo largo de Um (x).Naturalmente, para que todo vector arbitrario f (x) de este espacio sea expandible en estos vectores unitarios, esnecesario que el conjunto que define la base sea completo, la condicion de completez puede obtenerse reemplazandoCn en la expansion de f (x)

f (x) =∑

n

CnUn (x) =∑

n

(Un, f)Un (x) =∑

n

∫ b

af(x′)U∗n

(x′)Un (x) dx

′

f (x) =

∫ b

af(x′)[∑

n

U∗n

(x′)Un (x)

]dx′

por otro lado

f (x) =

∫ b

af(x′)δ(x− x′

)dx′

Igualando las dos ultimas expresiones, y teniendo en cuenta que f (x′) es arbitraria se obtiene∑

n

U∗n

(x′)Un (x) = δ

(x− x′

)(2.3)

retrocediendo en nuestros pasos vemos que la relacion anterior nos garantiza que cualquier funcion arbitraria dentrodel espacio se puede expandir en terminos del conjunto Un (x). Por tanto a la Ec. (2.3), se le conoce como relacionde completez.

Por otro lado, tambien existen bases contınuas para ciertos espacios vectoriales de funciones. En tal caso definimoslos vectores unitarios de la base como U (k, x) donde k es una variable contınua definida en un intervalo [c, d], quehace las veces de n en las bases discretas. Para estas bases contınuas la ortonormalidad se plantea como

(Uk, Uk′) =

∫ b

aU∗ (k, x) U

(k′, x

)dx = δ

(k − k′

)(2.4)

veremos de aquı en adelante que esta definicion de ortogonalidad reproduce los resultados anteriores para el casodiscreto. Expandiendo f (x) arbitraria como una combinacion lineal contınua de la base

f (x) =

∫ d

cC (k) U (k, x) dk

2.2. EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES 33

tenemos que

(Uk′ , f) =

(Uk′ ,

∫ d

cC (k) U (k, x) dk

)=

∫ d

cC (k) (Uk′ , Uk) dk

=

∫ d

cC (k) δ

(k − k′

)dk = C

(k′)

con lo cual los coeficientes de la expansion contınua se evaluan como

C(k′)= (Uk′ , f) (2.5)

vemos por tanto que en terminos de producto interno, el calculo de los coeficientes en una base contınua Ec. (2.5)es igual que en el caso discreto Ec. (2.2), esto depende fuertemente de nuestra definicion de ortonormalidad en elcontınuo Ec. (2.4) mostrando la consistencia de dicha definicion.

Veamos la completez

f (x) =

∫ d

cC (k) U (k, x) dk =

∫ d

c(Uk, f) U (k, x) dk

f (x) =

∫ d

c

[∫ b

aU∗ (k, x′

)f(x′)dx′]U (k, x) dk

f (x) =

∫ b

a

[∫ d

cU∗ (k, x′

)U (k, x) dk

]f(x′)dx′

por otro lado f (x) =∫ ba δ (x− x′) f (x′) dx′ con lo cual resulta

∫ d

cU∗ (k, x′

)U (k, x) dk = δ

(x− x′

)(2.6)

que nos define la relacion de completez para una base contınua U (k, x). De lo anterior puede verse que las relacionesde completez para bases contınuas o discretas, pueden interpretarse como representaciones de la funcion delta deDirac. Lo mismo ocurre con la relacion de ortonormalidad pero solo para bases contınuas. Al respecto vale la penaaclarar que una representacion dada de la delta en un cierto espacio no puede ser aplicada a otro espacio, por ejemploes posible tener un espacio vectorial r−dimensional de funciones V1 con una base Vn (x), que define una relacion decompletez

∑rn=1 V

∗n (x′)Vn (x) = δ1 (x− x′), pensemos en otro espacio vectorial r + k dimensional que denotaremos

por V2 y tal que V2 ⊃ V1, de modo que una base Um de V2 incluye a la base anterior mas otros vectores linealmenteindependientes; la relacion de completez es:

∑r+kn=1 U

∗n (x

′)Un (x) = δ2 (x− x′). ¿Cual es la diferencia entre δ1 (x− x′)y δ2 (x− x′)?, la respuesta esta en el caracter de distribucion de la mal llamada funcion delta de Dirac; la propiedadfundamental de esta distribucion me dice que para toda funcion f (x′) que pertenece al espacio V1 tenemos que

f (x) =

∫f(x′)[∑

n

V ∗n

(x′)Vn (x)

]dx′ =

∫f(x′)δ1(x− x′

)dx′

sin embargo, si la funcion f (x) no pertenece a V1 pero si pertenece a V2 entonces δ1 (x− x′) no es una distribucionadecuada para representar a esta funcion. Esta es una propiedad general de las distribuciones, ya que estas solo sedefinen a traves de sus propiedades de transformacion con las funciones del espacio vectorial, una representacion dela delta de Dirac (y en general de cualquier distribucion) esta ligada a un espacio vectorial especıfico.

2.2. Ejemplos de funciones ortogonales

2.2.1. Ejemplos de conjuntos discretos de funciones ortonormales

Consideremos un conjunto de funciones numerables Un (x) reales o complejas, y sea un espacio vectorial defunciones f (x) definidas en un intervalo [a, b] que sean de cuadrado integrable (acotadas), es decir tales que

‖f‖2 ≡ (f, f) =

∫ b

af∗ (x) f (x) dx =

∫ b

a|f (x)|2 dx <∞ (2.7)

Los siguientes son conjuntos ortonormales discretos que generan funciones acotadas.


Un (x) =1√asin(nπxa

)ortonormal en (−a, a) o (0, 2a) una funcion impar f (x) en este dominio puede expandirse

en senos. Por otro lado, una funcion arbitraria f (x) definida en (0, a) admite expansion en senos si en (−a, 0) seasume de la forma −f (−x) con lo que obtenemos una funcion impar en (−a, a).

Un (x) =1√acos(nπxa

)ortonormal en (−a, a) o (0, 2a) una funcion par f (x) en este dominio puede expandirse

en cosenos. Una funcion arbitraria f (x) en (0, a) admite expansion en cosenos si en (−a, 0) se asume de laforma f (−x).

Un (x) = 1√acos(nπxa

); Vm (x) = 1√

asin(mπxa

)conjunto ortonormal en (−a, a). la completez se expresa por

1a

∑∞n=0 cos

[nπa (x− x′)

]= δ (x− x′). Observese que al expandir esta suma de argumentos aparecen tanto la

funcion seno como la coseno. La ortonormalidad se representa por la propiedad

1

a

∫ a

−asin(nπax)sin(mπax)dx = δnm

1

a

∫ a

−asin(nπax)cos(mπax)dx = 0

1

a

∫ a

−acos(nπax)cos(mπax)dx = δnm

Un (x) =ei

nπa x

√2a

ortonormal y completa en (−a, a). La ortonormalidad y completez se expresan como

1

2a

∫ a

−aei(n−m)πx

a dx = δnm ;1

2a

∞∑

−∞ei

nπa(x−x′) = δ

(x− x′

)(2.8)

2.2.2. Ejemplos de conjuntos contınuos de funciones ortonormales

Las bases contınuas pueden generar tanto funciones acotadas como no acotadas. En tal sentido expanden espaciosvectoriales mas amplios que los de sus contrapartidas discretas. Veremos algunos ejemplos

U (k, x) = eikx√2π

con propiedades de ortonormalidad y completez:

1

2π

∫ ∞

−∞ei(k−k

′)xdx = δ(k − k′

)

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk = δ(x− x′

)

U (k, x) = sinkx√π

∫ ∞

−∞sin kx sin k′x dx = πδ

(k − k′

)

∫ ∞

−∞sin kx sin kx′ dk = πδ

(x− x′

)

Comentarios: Observese que la ortonormalidad y completez de las funciones de la forma eikx, tanto en el discretocomo en el contınuo, son la base para el analisis de Fourier para funciones periodicas y no periodicas respectivamente.Por ejemplo una funcion definida en todos los reales se escribe

F (x) =1√2π

∫ ∞

−∞C (k) eikxdk

los coeficientes de esta combinacion lineal se calculan de la manera tradicional y se les conoce como transformada defourier

C (k) = (Uk, F ) =1√2π

∫ ∞

−∞F (x) e−ikxdx

2.2. EJEMPLOS DE FUNCIONES ORTOGONALES 35

con frecuencia se denota C (k) → F (k).Si las funciones a expandir son de dos variables, la expansion queda

f (x, y) =∑

m,n

CmnUm (x)Vn (y)

con

Cmn =

∫ d

c

∫ b

aU∗m (x)Vn (y) f (x, y) dx dy

donde Um (x), Vm (y) son cada uno, un conjunto ortonormal y completo en cada variable, definidos en los intervalos[a, b] y [c, d] respectivamente.

Capıtulo 3

Ecuacion de Laplace

En la seccion 1.5.2, vimos que la ecuacion de Poisson Ec. (1.14) Pag. 11, describe el comportamiento del potencialasociado a una distribucion electrostatica de cargas. En las regiones del espacio donde no hay densidad de cargaelectrica i.e. ρ = 0, la ecuacion de Poisson adquiere la forma particular

∇2φ = 0 (3.1)

Conocida como ecuacion de Laplace. De hecho, la ecuacion (3.1) aparece con frecuencia no solo en la electrodinamicasino en muchas teorıas clasicas de campos, de modo que el estudio de sus soluciones es de importancia mayor.

La ecuacion de Laplace es una ecuacion diferencial parcial lineal y homogenea. Como ya mencionamos, esta ecua-cion admite separacion de variables en 11 sistemas coordenados diferentes. Sus soluciones se denominan funcionesarmonicas, y con frecuencia estas soluciones se obtienen realizando expansiones en funciones ortonormales y com-pletas en cierto espacio vectorial de soluciones. En el presente capıtulo, estudiaremos las propiedades generales dela ecuacion de Laplace y encontraremos soluciones en algunos sistemas coordenados utilizando ciertos conjuntos defunciones ortonormales.

3.1. Propiedades de las funciones armonicas

Figura 3.1: Si no hay carga en el interior ni en la superficie de la esfera, el valor del potencial φc en el centro de laesfera, coincide con el valor promedio del potencial evaluado sobre la superficie de la esfera.

En primer lugar, el caracter lineal y homogeneo de la ecuacion de Laplace hace que la combinacion lineal desoluciones tambien sea una solucion. Decimos entonces que las funciones armonicas obedecen una propiedad delinealidad. Estas funciones poseen ademas la siguiente propiedad importante

Theorem 5 Si φ (x, y, z) satisface la ecuacion de Laplace en una cierta region esferica (incluyendo la superficie), elvalor promedio de esta funcion sobre la superficie de la esfera coincide con el valor de φ en el centro de esta.

37

38 CAPITULO 3. ECUACION DE LAPLACE

Este hecho se ilustra en la figura 3.1 y es valido para cualquier funcion armonica. En particular, es facil ver que elpotencial electrostatico cumple esta condicion. Supongamos que tenemos una carga puntual q y una esfera de radioa cargada uniformemente sobre la superficie con carga q′ (aislante para que en todo instante la carga permanezcauniformemente distribuida en la superficie). Asumamos que manteniendo la esfera en una posicion fija, traemos lacarga puntual desde el infinito hasta una distancia R con respecto al centro de la esfera, con R > a. La energıapotencial necesaria para ensamblar el sistema en esa configuracion es UA = Kcqq

′/R ya que la esfera actua en todoel proceso como el equivalente a una carga puntual de carga q′ y ubicada en el centro de la esfera.

Ahora procedemos al contrario, manteniendo la carga puntual q fija en el origen de coordenadas, y trayendo laesfera desde el infinito hasta ubicarla a una distancia R > a desde el centro de la esfera hasta la carga q. En este casoel trabajo para ensamblar el sistema se puede calcular de la siguiente manera: La energıa potencial se puede calcularde la energıa potencial asociada al par de cargas q y dq′ donde dq′ se integrarıa sobre toda la esfera1,

dUB =Kcq dq

′

|r| ⇒ UB = Kc

∫q dq′

|r| = Kc

∫q σdA′

|r|donde |r| se refiere a la distancia entre q y dq′ y σ es la densidad superficial (constante) de la esfera. Definiendo Acomo la superficie de la esfera, la energıa potencial queda

UB = KcσA

A

∫q dA′

|r| =q′

A

∫Kcq

|r| dA′

donde Kcq/ |r| es el potencial que la carga q genera sobre un punto en la superficie de la esfera, lo denotaremos φq.

UB = q′(1

A

∫φq dA

′)

claramente el termino entre parentesis corresponde al potencial promedio sobre la superficie de la esfera generadopor la carga puntual q. Por otro lado, el caracter conservativo de las fuerzas electrostaticas nos da como resultado laigualdad de la energıa potencial al usar ambos procedimientos de modo que

UA = UB ⇒ Kcqq′

R= q′

(1

A

∫φq dA

′)

⇒ Kcq

R=

(1

A

∫φq dA

′)

el termino de la izquierda es el valor del potencial generado por la carga puntual q en el centro de la esfera, queresulta ser igual al promedio del potencial generado por la misma carga sobre la superficie de la esfera, esto pruebala afirmacion para una carga puntual. Para un sistema de cargas basta con apelar al principio de superposicion parael potencial. Esta demostracion tambien se puede hacer por calculo directo del potencial promedio generado poruna carga puntual sobre una esfera que no contiene a dicha carga (ver Ref. [13]). El lector puede demostrar queesta propiedad tambien se cumple en una dimension (tomando un intervalo) y en dos dimensiones (tomando unacircunferencia). El hecho de que el potencial en un punto sea igual al promedio en una vecindad del punto, sirve comobase de un metodo numerico para el calculo de las soluciones de la ecuacion de Laplace, conocido como metodo derelajacion (ver [1]).

Finalmente, una demostracion alternativa (mas general) se obtiene a partir del teorema de Green Ec. (1.26)

∫ [φ∇2ψ − ψ∇2φ

]dV =

∮[φ∇ψ − ψ∇φ] · dS (3.2)

eligiendo ψ = |r− r′|−1 y tomando a φ tal que ∇2φ = 0 en el volumen de integracion, el teorema de Green (3.2) nosda ∫

φ(r′)∇′2

(1

|r− r′|

)dV ′ =

∮ [φ(r′)∇′(

1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∇′φ(r′)]

· dS′ (3.3)

1A priori uno podrıa pensar que es necesario incluır el trabajo necesario para ensamblar las cargas primadas en la esfera. Sin embargo,en ambos casos estamos considerando que la esfera ya esta armada y por tanto ignoramos ese trabajo. Si decidimos incluirlo apareceraigualmente en UA y en UB de modo que no altera el resultado que aquı se obtiene.

3.1. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ARMONICAS 39

usando las propiedades (1.11, 1.13), ası como la Ec. (1.6)

∇′(

1

|r− r′|

)=

r− r′

|r− r′|3; ∇′2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

);

(r′ − r) · dS (r′)

|r− r′|3= dΩ (3.4)

donde dΩ es el angulo solido subtendido por la superficie dS (r′) visto desde la posicion r. Utilizando (3.4) en (3.3)obtenemos

−4π

∫

Vφ(r′)δ(r− r′

)dV ′ =

∮

S

[φ(r′) r− r′

|r− r′|3− 1

|r− r′|∇′φ(r′)]

· dS′

φ (r) =1

4π

∮

S

[1

|r− r′|∇′φ(r′)− φ

(r′) (r− r′)

|r− r′|3]· dS′

φ (r) =1

4π

[∮

S

1

|r− r′|∇′φ(r′)· dS′ +

∮

Sφ(r′)dΩ

](3.5)

esto es valido en cualquier punto r siempre que la superficie S contenga a dicho punto, es decir r es interior a V(ya que de lo contrario la delta de Dirac anularıa el termino que contiene al potencial), y la funcion φ cumpla conla ecuacion de Laplace en la superficie S y en el volumen V . En particular, es valido para una superficie esfericaS centrada en r y de radio R en cuyo volumen y superficie sea valida la ecuacion de Laplace 2. Por simplicidad,redefinamos el origen de coordenadas de modo que r = 0, con lo cual la esfera esta centrada en el nuevo origen. Deesta forma, es claro que la posicion de un punto de S se puede escribir como r′ = Rur. La Ec. (3.5) queda

φ (0) =1

4π

[∮

S

1

|r′|∇′φ(r′)· dS′ +

∮

Sφ(r′)dΩ

]=

1

4π

[1

R

∮

S∇′φ

(r′)· dS′ +

1

R2

∮

Sφ(r′)R2dΩ

]

en este caso dΩ se mide desde el origen y esta subtendido por una porcion infinitesimal de la superficie de la esferade radio R. Por tanto, dS′ = R2dΩ. Usando este hecho y el teorema de la divergencia tenemos

φ (0) =

[1

4πR

∮

V∇′2φ

(r′)dV ′ +

1

4πR2

∮

Sφ(r′)dS′]

como φ obedece a la ecuacion de Laplace en el volumen se anula la primera integral y se tiene

φ (0) =1

S

∮φ(r′)dS′ = φS

que es lo que se querıa demostrar. Como el origen elegido es arbitrario entonces se deduce que la relacion es validapara cualquier valor del punto r y del radio de la esfera centrada en tal punto, siempre que φ sea armonica en elvolumen y superficie de la esfera. Notese que esta ultima demostracion es mucho mas general ya que no presuponeque la funcion armonica tenga que proceder de una configuracion electrostatica. El resultado anterior nos conduce aun hecho muy importante:

Theorem 6 Ninguna distribucion electrostatica nos genera una configuracion de equilibrio estable para una cargade prueba en el espacio vacıo (teorema de Earnshaw).

Para verlo razonaremos de la siguiente forma: para que una carga positiva en el punto P este en equilibrio estable,es necesario que en cierta vecindad alrededor de P , el potencial sea mayor que el potencial en P en todas direcciones,esto implica que podemos construir una esfera contenida en esa vecindad, para la cual claramente el promedio enla superficie serıa mayor que su valor en el centro, de modo que la existencia de un punto de equilibrio estable nosimplicarıa una violacion del teorema 5. Similarmente, para una carga negativa el equilibrio estable implica que elpromedio en la superficie serıa menor que su valor en el centro. Matematicamente hablando, esto implica que

Theorem 7 Una funcion armonica (en nuestro caso el potencial electrostatico) no puede tener maximos ni mınimoslocales dentro de la region en donde es valida la ecuacion de Laplace.

2Al ser r interior a V siempre existe una esfera que este completamente contenida en V .


La ausencia de maximos y mınimos locales en el volumen donde es valida la ecuacion de Laplace tambien se puedever teniendo en cuenta que la existencia de un maximo local requiere que ∂2ψ/∂x2i < 0, pero la ecuacion de Laplacenos dice que ∇2ψ = 0, algo similar ocurre con la posible existencia de mınimos locales3.

Otra manera de probar la ausencia de puntos de equilibrio estable implica el uso del teorema de Gauss: asumamosque existe un punto P de equilibrio estable y ubicamos una carga positiva en el, al ser estable cualquier desplazamientodebe generar una fuerza restauradora que lo intente regresar a P , esto implica que al construir una esfera alrededorde P el campo debe apuntar hacia el interior de la esfera en todas direcciones; pero esto contradice la ley de Gaussya que no hay cargas negativas en el interior (la carga q es positiva y ademas no cuenta ya que estamos hablandodel campo que generan las fuentes a las cuales esta sometida la carga de prueba, pues ciertamente su propio campono actua sobre ella). Similarmente al poner una carga negativa no es posible que el campo apunte hacia afuera en laesfera alrededor de P . Por tanto no hay equilibrio estable.

No obstante, es necesario aclarar que sı existen puntos de equilibrio electrostatico, solo que no son estables. Sinembargo, campos magneticos o campos electromagneticos variables en el tiempo pueden mantener una carga enequilibrio estable.

3.2. Unicidad de la ecuacion de Laplace

La unicidad de la ecuacion de Laplace con condiciones de Dirichlet o Neumann, se puede ver como un casoparticular de la unicidad de la solucion de la ecuacion de Poisson bajo tales condiciones (ver seccion 1.8, Pag. 20).Sin embargo, es interesante ver un modo alternativo para establecer la unicidad de esta ecuacion para condiciones deDirichlet. Una vez establecida la existencia, la demostracion de la unicidad resulta sencilla gracias a la propiedad delinealidad de la ecuacion de Laplace. Asumamos que φ (x, y, z) es una solucion de la ecuacion con ciertas condicionesde frontera, imaginemos que existe una segunda solucion ϕ (x, y, z) con las misma condiciones de frontera. Siambas son soluciones, tambien lo es una combinacion lineal de estas, en particularW (x, y, z) = φ (x, y, z)−ϕ (x, y, z).W (x, y, z) no satisface las condiciones de frontera ya que en este caso al tomar los puntos en las fronteras φ (x, y, z)y ϕ (x, y, z) toman los mismos valores.W (x, y, z) es la solucion de otro problema electrostatico con todas las superficiesa potencial cero. Adicionalmente si W es cero en todas las superficies, debe ser cero en todo el espacio donde no haycarga por la siguiente razon: si el potencial no es nulo en todo el espacio vacıo entonces deben haber al menos unpunto que sea maximo o mınimo local, pero como ya vimos, las soluciones armonicas no permiten estos extremos, demodo que W debe ser cero en todo punto, y la solucion es unica4.

El argumento anterior es particularmente simple en una dimension. Si W (x) satisface la ecuacion de Laplace enel intervalo [a, b] tal que W (a) =W (b) = 0, es necesariamente contınua (de hecho derivable al menos hasta segundoorden) en el interior de dicho intervalo. Por tanto si la funcion es no trivial, existe un x0 ∈ (a, b) tal que W (x0) 6= 0.Asumamos que W (x0) < 0, al ser la funcion contınua y derivable debe existir al menos un mınimo local para que lafuncion se anule en los extremos del intervalo. Similarmente, si W (x0) > 0 debe existir al menos un maximo localpara que la funcion cumpla las condiciones de frontera. Esto contradice la propiedad de relajacion de la ecuacion deLaplace. Por tanto W (x) = 0 en todo el intervalo.

La solucion de la ecuacion de Laplace suele realizarse sobre un volumen V delimitado por las condiciones defrontera en una superficie cerrada S. Si queremos solucionarla en el exterior de este volumen, debemos asumircondiciones de frontera en la superficie S y en una superficie “cerrada” S∞ en el infinito (es decir siempre formandoun volumen comprendido entre las superficies cerradas y colocando condiciones de frontera en estas superficies).

Finalmente, es importante mencionar que al solucionar la ecuacion de Laplace en el interior de una regionacotada con ciertas condiciones de frontera, debemos tener presente que hay ciertas cargas exteriores a la region(o eventualmente en su superficie), que estan generando tales condiciones de frontera. Lo interesante es que nonecesitamos conocer la distribucion de estas cargas exteriores o superficiales para solucionar el problema en el interiorde la region en cuestion. Su efecto esta todo condensado en la condiciones de frontera. Si las cargas exteriores osuperficiales se redistribuyen esto se traduce en un cambio en las condiciones de frontera.

3Esto significa que la ecuacion podrıa presentar extremos tipo “punto de silla” o puntos de inflexion en el caso unidimensional.4Este argumento tambien nos lleva a la unicidad de la ecuacion de Poisson bajo condiciones de Dirichlet, ya que aun en presencia de

carga, W continua obedeciendo a la ecuacion de Laplace.

3.3. ECUACION DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS CARTESIANAS 41

3.3. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: coordenadas cartesianas

Con el soporte de los teoremas de unicidad, podemos resolver la ecuacion de Laplace en un contorno bidimensionalcerrado en el cual conozcamos el potencial o su derivada normal. En el presente manuscrito nos limitaremos a trabajarcondiciones de Dirichlet. El primer paso es construir la solucion mas general en algun sistema coordenado. La soluciongeneral queda en terminos de algunas constantes a determinar. Para un problema especıfico se procede a ajustar lasconstantes indeterminadas de la solucion general, con el fin de que cumplan las condiciones de contorno.

En coordenadas cartesianas, la ecuacion de Laplace en dos dimensiones se escribe

(∂2x + ∂2y

)φ (x, y) = 0

realizando separacion de variablesφ (x, y) = Ψ (x) Φ (y) (3.6)

y dividiendo la ecuacion por Ψ (x) Φ (y) se obtiene

1

Ψ (x)

d2Ψ(x)

dx2+

1

Φ (y)

d2Φ (y)

dy2= 0

como el primer sumando solo depende de x y el segundo solo de y, entonces cada sumando debe ser igual a unaconstante

1

Ψ (x)

d2Ψ(x)

dx2= −α2 ;

1

Φ (y)

d2Φ (y)

dy2= α2 ⇒

d2Ψ(x)

dx2+ α2Ψ(x) = 0 ;

d2Φ (y)

dy2− α2Φ (y) = 0

la asignacion de ±α, es arbitraria (se pudo haber hecho al contrario). Pero dado que α es en general complejo, estono supone ninguna limitacion. Las soluciones en el caso α 6= 0 son

Ψ (x) = Aeiαx +Be−iαx ; Φ (y) = Ceαy +De−αy (3.7)

la solucion para α = 0, nos daΨ (x) = a′x+ b′ ; Φ (y) = c′y + d′ (3.8)

Sustituyendo (3.7) y (3.8) en (3.6), obtenemos φ (x, y) para α 6= 0 y para α = 0

φ (x, y) =(Aeiαx +Be−iαx

) (Ceαy +De−αy

); α 6= 0 (3.9)

φ (x, y) =(a′x+ b′

) (c′y + d′

)= a′c′xy + a′d′x+ b′c′y + d′b′ ; α = 0

φ (x, y) ≡ axy + bx+ cy + d ; α = 0 (3.10)

donde hemos redefinido las constantes para la solucion con α = 0. Ahora bien, puesto que la superposicion desoluciones tambien es solucion, podemos superponer la solucion con α 6= 0 y la solucion con α = 0, para obtener unasolucion mas general

φ (x, y) =(Aeiαx +Be−iαx

) (Ceαy +De−αy

)+ axy + bx+ cy (3.11)

donde hemos redefinido adecuadamente las constantes. Observese que la constante que aparece en la solucion conα = 0 Ec. (3.10), no se incluye explıcitamente en (3.11). Sin embargo, un termino constante aparece cuando hacemosα = 0 en la ecuacion (3.11), de manera que hemos absorbido la constante d en la constante que resulta evaluandola ecuacion (3.11) en α = 0. Recordemos que una constante puede ser relevante aquı, puesto que con condiciones deDirichlet ya se ha fijado el cero de potencial y dicha constante ya no es arbitraria. Las constantes estan determinadaspor las condiciones de frontera.

Las soluciones para α = 0 y para α 6= 0 son aparentemente excluyentes, de modo que no tendrıa sentido incluırlos dos tipos de soluciones en una sola expresion. Sin embargo, si rotulamos estas soluciones como φα (x, y) dondeα ≥ 0, una superposicion de ellas es tambien solucion y en muchos casos la superposicion es obligatoria para obtenerlas condiciones de frontera (esta superposicion puede ser sobre el discreto o sobre el contınuo dependiendo de losvalores posibles de α). Esto hace indispensable incluır la solucion con α = 0 como parte de la superposicion.


Figura 3.2:

3.3.1. Ejemplo de solucion en 2D con coordenadas cartesianas

Vamos a resolver la ecuacion de Laplace para el potencial electrostatico en la region bidimensional comprendidapor 0 ≤ x ≤ L; 0 ≤ y <∞, con las condiciones de frontera siguientes (ver Fig. 3.2): φ = 0, en x = 0, en x = L, y eny → ∞. φ = V (x) en y = 0. Con estas condiciones de frontera y tomando la ecuacion (3.11) tenemos que

a) φ = 0 en x = 0, ∀y conduce a

φ(0, y) = (A+B)(Ceαy +De−αy

)+ cy = 0

esto solo se cumple ∀y si B = −A, y c = 0, dejando

φ (x, y) = A(eiαx − e−iαx

) (Ceαy +De−αy

)+ axy + bx

φ (x, y) = sinαx(Ceαy +De−αy

)+ axy + bx

donde la constante A (y las constantes necesarias para armar el seno) se han absorbido en C y D. Estrictamentedeberıamos cambiar la notacion a digamos C ′, D′ pero como estas constantes son aun desconocidas, esto no haceninguna diferencia.

b) φ = 0 en x = L⇒φ (L, y) = sinαL

(Ceαy +De−αy

)+ aLy + bL = 0

como φ (L, y) = 0 para todo y tenemos que sinαL = 0, a = b = 0 de modo que α = αn = nπ/L. La solucion sereduce a

φ (x, y) = sinαnx(Cne

αny +Dne−αny

)

Y dado que la solucion es valida para todo n entero (positivo o negativo), tenemos que la solucion mas general esuna superposicion de estos modos (linealidad en accion).

φ (x, y) =

∞∑

n=−∞sinαnx

(Cne

αny +Dne−αny

)

c) φ→ 0, en y → ∞, este requerimiento impide que existan valores positivos y negativos de n (y por tanto de αn)al mismo tiempo, ya que con αn positivo se requiere que Cn = 0 (con el fin de evitar que la solucion diverja cuandoy → ∞), y con αn negativo se requiere que Dn = 0, esto es incompatible con las otras condiciones de frontera. Portanto, es cuestion de convencion si utilizamos αn positivos o αn negativos. Usaremos los valores de αn positivos, yesta condicion conduce a Cn = 0, la solucion queda

φ (x, y) =

∞∑

n=1

Dne−αny sinαnx

d) φ (x, 0) = V (x). Tenemos que

φ (x, 0) = V (x) =

∞∑

n=1

Dn sinαnx

3.4. ECUACION DE LAPLACE EN DOS DIMENSIONES: COORDENADAS POLARES 43

multiplicando la ecuacion por 2L sinαmx dx e integrando entre 0 y L

2

L

∫ L

0V (x) sinαmx dx =

2

L

∞∑

n=1

Dn

∫ L

0sinαnx sinαmx dx =

∞∑

n=1

Dnδmn

Dm =2

L

∫ L

0V (x) sinαmx dx

con lo cual la expresion final para el potencial queda

φ (x, y) =2

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx)∫ L

0V(x′)sin(nπLx′)dx′ (3.12)

En el caso particular en el cual V (x) = V , obtenemos

φ (x, y) =2V

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx)∫ L

0sin(nπLx′)dx′

φ (x, y) =2V

L

∞∑

n=1

e−nπLy sin

(nπLx) (

− 1

π

L

ncos

π

Lnx

)∣∣∣∣L

0

φ (x, y) = −2V

π

∞∑

n=1

e−nπLy

nsin(nπLx)[(−1)n − 1]

la suma solo sobrevive para terminos impares de modo que hacemos n ≡ 2k + 1 quedando

φ (x, y) =4V

π

∞∑

k=0

e−(2k+1)π

Ly

2k + 1sin

((2k + 1) π

Lx

)(3.13)

esta forma del potencial se puede llevar a una forma cerrada (ver Refs. [12, 14])

φ (x, y) =2V

πtan−1

[sin(πLx)

sinh(πLy)]

(3.14)

es importante hacer notar que la serie converge rapidamente para y & a/π, pero para valores mucho mas pequenosque esta cantidad, se necesitan muchos terminos para lograr una buena aproximacion.

3.4. Ecuacion de Laplace en dos dimensiones: Coordenadas polares

La ecuacion de Laplace en coordenadas polares se escribe como

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2

(∂2φ

∂ϕ2

)= 0 (3.15)

de nuevo suponemos separacion de variables

φ (ρ, ϕ) = R (ρ)Ψ (ϕ) (3.16)

insertando (3.16) en (3.15) tenemos

1

ρ

[d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)]Ψ(ϕ) +

R (ρ)

ρ2

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= 0

multiplicando la ecuacion por ρ2

R(ρ)Ψ(ϕ)

ρ

R

d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)+

1

Ψ

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= 0


el primer termino solo depende de ρ y el segundo depende exclusivamente de ϕ, de modo que cada uno de ellos debeser una constante, hacemos entonces

1

Ψ

(d2Ψ(ϕ)

dϕ2

)= −ν2 ;

ρ

R

d

dρ

(ρdR (ρ)

dρ

)= ν2

asumiendo ν2 6= 0, la ecuacion para Ψ (ϕ) es

d2Ψ(ϕ)

dϕ2+ ν2Ψ(ϕ) = 0 ⇒ (3.17)

Ψ (ϕ) =[Ceiνϕ +De−iνϕ

](3.18)

y la ecuacion para R (ρ) queda

ρd

dρ

(ρdR

dρ

)−Rν2 = 0 ⇒

ρ

(dR

dρ

)+ ρ2

d2R

dρ2−Rν2 = 0 (3.19)

Esta ecuacion es homogenea en ρ y se puede resolver con

ρ = eµ ⇒ dρ

dµ= eµ = ρ,

dµ

dρ= e−µ =

1

ρ

dR

dρ=dµ

dρ

dR

dµ=

1

ρ

dR

dµ; (3.20)

d2R

dρ2=

d

dρ

(dR

dρ

)=dµ

dρ

d

dµ

(dR

dρ

)=

1

ρ

d

dµ

(e−µ

dR

dµ

)

d2R

dρ2= −1

ρe−µ

dR

dµ+

1

ρe−µ

(d2R

dµ2

)= − 1

ρ2dR

dµ+

1

ρ2

(d2R

dµ2

)(3.21)

reemplazando (3.20) y (3.21) en (3.19) resulta

ρ

(1

ρ

dR

dµ

)+ ρ2

[− 1

ρ2dR

dµ+

1

ρ2

(d2R

dµ2

)]−Rν2 = 0

dR

dµ− dR

dµ+

(d2R

dµ2

)−Rν2 = 0

(d2R

dµ2

)−Rν2 = 0 (3.22)

la solucion es

R (µ) = Aeνµ +Be−νµ = A (eµ)ν +B (eµ)−ν

R (ρ) = Aρν +Bρ−ν (3.23)

Sustituyendo (3.18) y (3.23) en (3.16), tenemos la solucion para ν2 6= 0

φ (ρ, ϕ) =[Aρν +Bρ−ν

] [Ceiνϕ +De−iνϕ

](3.24)

para ν2 = 0 las ecuaciones (3.17) y (3.22) quedan

d2Ψ

dϕ2= 0 ⇒ Ψ = aϕ+ b

(d2R

dµ2

)= 0 ⇒ R (µ) = (Eµ+ F )


pero ρ = eµ ⇒ µ = ln ρR (ρ) = E ln ρ+ F

de modo que la solucion para ν = 0 es

φ (ρ, ϕ) = (aϕ+ b) (E ln ρ+ F ) (3.25)

Superponiendo la solucion (3.24) para ν 6= 0 con la solucion (3.25) para ν = 0, obtenemos una solucion mas general


] [Ceiνϕ +De−iνϕ

]+ (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )

o alternativamenteφ (ρ, ϕ) =

[Aρν +Bρ−ν

][C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F ) (3.26)

La solucion general es la superposicion de todas las soluciones encontradas, los valores permitidos de ν (sobre loscuales se hace la suma discreta o contınua) dependen del problema particular. En general las soluciones con ν = 0y con ν 6= 0 deben ser incluıdas por completez, al ignorar alguna de ellas es posible que no sea posible ajustar lascondiciones de frontera.

3.4.1. Ejemplo: Interseccion entre dos planos

Evaluaremos el potencial en la region comprendida entre la interseccion de dos planos que forman un angulodiedro β, con un plano a potencial V y el otro a potencial V ′. Este caso puede corresponder a dos conductores planoscon superficies equipotenciales V y V ′ donde la esquina tiene un segmento aislante para evitar que se igualen lospotenciales de los dos conductores. Si los conductores se colocan en contacto directo obtenemos inmediatamente queV = V ′.

Por comodidad colocamos el eje Z a lo largo de la interseccion entre los dos planos, de modo que el plano apotencial V coincida con el plano XZ. Denotando el angulo azimutal como ϕ y al potencial como φ, las condicionesde frontera en coordenadas polares quedan en la forma:

φ (ρ, ϕ = 0) = V ; φ (ρ, ϕ = β) = V ′ (3.27)

Un sistema adecuado de coordenadas son las coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z), pero la geometrıa nos muestra queel potencial no depende de z (no hay punto de z que sea preferencial con respecto a otro punto z′), de modo que elproblema se puede resolver solo con las coordenadas polares. El punto ρ = 0 esta incluıdo en la region por lo cual hayque evitar las divergencias que surgen al tomar ρ = 0 en la Ec. (3.26). Este hecho prohibe que existan valores de νpositivos y negativos al mismo tiempo, ya que para ν negativo se requiere que A = E = 0, para evitar la divergenciaen ρ = 0 y para ν positivo se requiere que B = E = 0. El lector puede comprobar que con A = B = E = 0 no esposible ajustar las demas condiciones de frontera. Por tanto tomaremos ν positivos de modo que B = E = 0, en(3.26) para evitar una divergencia en el potencial. La solucion queda entonces

φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) ; ν > 0 (3.28)

Donde las constantes A y F de la Ec. (3.26) se han absorbido en las otras constantes. Observese que en la esquinatenemos que el potencial tiende a V por un lado y a V ′ por el otro, luego el campo deberıa tener una divergencia, almenos si V 6= V ′. Sin embargo, E y B deben ser cero ya que aunque el campo puede en general diverger, el potencialsı se mantiene acotado. Procedemos entonces a ajustar las demas constantes a traves de las condiciones de frontera

1. En ϕ = 0, φ = V . Sustituyendo esta condicion en (3.28) se obtiene

φ (ρ, 0) = V = Cρν + b

solo es posible para todo ρ, si C = 0, y b = V , con lo cual el potencial (3.28) queda

φ (ρ, ϕ) = aϕ+ V +Dρν sin νϕ (3.29)

observese que el coeficiente b es parte de la solucion con ν = 0, si no hubieramos incluıdo esta contribucion, nohubiese sido posible satisfacer las condiciones de frontera.


2. En ϕ = β, φ = V ′ con lo cual (3.29) queda

φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V +Dρν sin νβ

como esto debe ser valido ∀ρ ⇒ D = 0 o sin νβ = 0 se puede ver que la primera alternativa no es compatiblecon las condiciones de frontera completas5. Con la segunda condicion sin νβ = 0 tenemos que νβ = mπ demodo que los valores permitidos para ν (con ν 6= 0) son

ν = νm =mπ

β(3.30)

m es entero positivo o negativo, pero ρν produce divergencia en ρ→ 0 cuando se toma m negativo, por lo tantom > 0 ⇒ ν > 0 y m es entero positivo. Como la solucion ν = 0 ya ha sido incluıda, entonces m = 1, 2, 3, ....(efectivamente m = 0 nos deja solo con coeficientes que provienen de la solucion con ν = 0, para todo ρ y paratodo ϕ). El potencial para ϕ = β queda

φ (ρ, β) = V ′ = aβ + V

con lo cual

a =V ′ − V

β(3.31)

sustituyendo (3.30) y (3.31) en (3.29) y realizando la combinacion lineal de la solucion para cada m, obtenemosla solucion general en la forma

φ (ρ, ϕ) = V +

(V ′ − V

β

)ϕ+

∞∑

m=1

Dmρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)(3.32)

La determinacion de los coeficientes Dm requiere conocer las condiciones de frontera que cierran el contorno, yaque la unicidad del potencial solo se puede garantizar cuando las condiciones de frontera son sobre un contornocerrado.

3. Por ejemplo sea φ (R,ϕ) = V (ϕ) y V = V ′. Haciendo ρ = R en (3.32), estas condiciones de contorno conducena

φ (R,ϕ) = V (ϕ) = V +

∞∑

m=1

DmRmπ/β sin

(mπ

βϕ

)(3.33)

multiplicando por sin nπϕβ e integrando en ϕ ∈ (0, β) queda

∞∑

m=1

DmRmπ/β

∫ β

0sin

(mπ

βϕ

)sin

(nπ

βϕ

)dϕ =

∫ β

0[V (ϕ)− V ] sin

(nπ

βϕ

)dϕ

∞∑

m=1

DmRmπ/β

(β

2δnm

)=

∫ β

0[V (ϕ)− V ] sin

(nπ

βϕ

)dϕ

los coeficientes Dn quedan entonces

Dn =2

βR−nπ/β

[∫ β

0

[V(ϕ′)− V

]sin

(nπ

βϕ′)]

dϕ′ (3.34)

con lo cual el potencial (3.33) queda

φ (ρ, ϕ) = V +

∞∑

m=1

2

βR−mπ/β

[∫ β

0

[V(ϕ′)− V

]sin

(mπ

βϕ′)]

dϕ′ρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)

se puede verificar que la condicion φ (R,ϕ) = V (ϕ) se cumple. Por otro lado si todas las paredes son equipoten-ciales i.e. V (ϕ) = V = V ′ se cumple que φ (ρ, ϕ) = V y por tanto E = 0 en la region de evaluacion. Este casose darıa por ejemplo si la cuna define un conductor cerrado (o la cavidad de un conductor). En este problema,la superficie equipotencial cerrada es en general un lugar geometrico.

5Utilizando D = 0 y ajustando la condicion φ = V ′ cuando ϕ = β se obtiene φ (ρ,ϕ) =(

V ′−Vβ

)ϕ + V . En esta solucion no quedan

constantes para ajustar la condicion de frontera que cierra el contorno. Ajustar estas condiciones requiere de constantes adicionales comolas Dm que aparecen en la solucion (3.32).


Veamos lo que ocurre en el caso general para ρ pequeno, cuando aun no se ha evaluado Dm. Dado que ladependencia en ρ es de la forma ρmπ/β puede concluirse que cerca de ρ = 0, el potencial depende mayormente delprimer termino en la serie (mas exactamente de los dos primeros con ν = 0 y el segundo con m = 1). Asumiendoademas que V = V ′ el potencial (3.32) queda

φ (ρ, ϕ) = V +

∞∑

m=1

Dmρmπ/β sin

(mπ

βϕ

)(3.35)

φ (ρ ∼ 0, ϕ) ≈ V +D1ρπ/β sin

(π

βϕ

)(3.36)

queremos evaluar la densidad de carga σ en la vecindad de ρ = 0. Para ello aplicamos la relacion (1.41), valida paraconductores ideales

σ =1

4πKcn ·E (3.37)

donde n es un vector unitario normal a la superficie del conductor apuntando hacia afuera de este. Para usar (3.37)debemos evaluar el campo electrico en las vecindades de ρ = 0, para lo cual usamos la expresion aproximada (3.36)

E = −∇φ = −∂φ∂ρ

uρ −1

ρ

∂φ

∂ϕuϕ ; Eρ = −∂φ

∂ρ; Eϕ = −1

ρ

∂φ

∂ϕ

Eρ = −D1π

βρ

(πβ−1

)

sin

(πϕ

β

); Eϕ = −D1π

βρ

(πβ−1

)

cos

(πϕ

β

)(3.38)

estas expresiones son estrictamente correctas cuando asumimos conductores volumetricos. Por tanto, debemos asumirque los conductores planos son realmente volumenes de espesor muy delgado. Las superficies de los conductores endonde evaluaremos las densidades son aquellas que delimitan a la region de evaluacion. Observemos que para elconductor en ϕ = 0, el vector normal en la superficie y que apunta hacia afuera del conductor va en la direccion uϕen tanto que para el conductor en ϕ = β se tiene que el vector normal hacia afuera del conductor va en la direccion−uϕ. Teniendo en cuenta este hecho y sustituyendo (3.38) en (3.37) las densidades son

σ0 =1

4πKcn ·E

∣∣∣∣ϕ=0

=1

4πKcuϕ · E

∣∣∣∣ϕ=0

=1

4πKcEϕ

∣∣∣∣ϕ=0

= − D1

4βKcρ

(πβ−1

)

σβ =1

4πKcn ·E

∣∣∣∣ϕ=β

= − 1

4πKcuϕ ·E

∣∣∣∣ϕ=β

= − 1

4πKcEϕ

∣∣∣∣ϕ=β

= − D1

4βKcρ

(πβ−1

)

= σ0

σ0 = σβ = − D1

4βKcρ

(πβ−1

)

(3.39)

por tanto en la vecindad de ρ = 0, las densidades en ambos planos coinciden, como era de esperarse por la isotropıadel espacio. Para diferentes valores de β tenemos diferentes comportamientos de σ en ρ→ 0 es decir en las esquinas.

1. Para ξ ≡ πβ −1 > 0, con ρ pequeno, la densidad tiende a cero. No hay casi acumulacion de carga en las esquinas.

Especialmente si ξ es grande (β pequeno).

2. Para β ≈ π2 ⇒ |σ| ≈ D1

2πKcρ y tambien disminuye al acercarse a la esquina

3. Para β ≈ π ⇒ |σ| ≈ D14πKc

independiente de ρ, lo cual es de esperarse ya que se convierte en un plano infinito.Desaparece la esquina.

4. Para β ≈ 3π2 ⇒ |σ| ≈ D1

6πKcρ(−1/3) tanto el campo como la densidad de carga son singulares en ρ = 0.

5. Para β ≈ 2π ⇒ |σ| ≈ D18πKc

ρ(−1/2). La carga se acumula en las esquinas mas rapidamente que en el caso anterior.

La diferencia entre β pequeno y β → 2π consiste en que en el segundo caso la region que consideramos interior escasi todo el espacio en tanto que para β pequeno el interior es una cuna muy estrecha. Como se ve en este analisis,la carga tiende a acumularse en las esquinas en algunos casos. Estas acumulaciones de carga producen campos muyintensos. No obstante, el lector puede comprobar que aun en los casos en que existen singularidades de la densidad


superficial σ en las vecindades de ρ, la carga total en una superficie finita en las vecindades de ρ es una cantidadfinita.

La acumulacion de carga en las esquinas o puntas con la correspondiente alta intensidad de campo electrico esun rasgo general de configuraciones geometricas de conductores con este tipo de singularidades6. En este sencilloprincipio se basa el pararrayos.

Finalmente, vale la pena mencionar que el comportamiento funcional de la densidad superficial en las vecidadesde ρ = 0 es practicamente independiente de la condicion de frontera “remota” que cierra el contorno. El analisis serealizo con la expresion (3.35) en la cual no se han evaluado los Dm, es decir no se ha usado la condicion de fronteraque cierra el contorno. Por supuesto el valor exacto de D1 depende de esta condicion de frontera y por tanto el valorexacto de σ, pero no su comportamiento funcional con ρ.

3.4.2. Cilindro infinito

Consideremos un cilindro infinito de radio R a potencial V (ϕ) en su superficie. Por simplicidad ubicamos eleje Z sobre el eje de simetrıa del cilindro. El potencial es independiente de Z lo que lo convierte en un problemabidimensional. Tomemos la solucion bidimensional general


][C cos νϕ+D sin νϕ] + (aϕ+ b) (E ln ρ+ F )

el potencial debe ser el mismo en ϕ = 0 y en ϕ = 2nπ (condicion de periodicidad o univaluacion)7. Esto implicaa = 0, y que ν debe ser entero. Un razonamiento similar a los ya realizados muestra que no es posible tener valoresde ν positivos y negativos al mismo tiempo. Por tanto, eligiendo ν como enteros positivos, se obtiene que E = B = 0para evitar divergencias en ρ→ 0. La solucion queda

φ (ρ, ϕ) = ρν [C cos νϕ+D sin νϕ] + F

teniendo presente que ν debe ser entero positivo, la solucion general es

φ (ρ, ϕ) = F +∞∑

ν=1

ρν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ] (3.40)

usando la condicion φ = V (ϕ) en ρ = R

φ (R,ϕ) = V (ϕ) = F +

∞∑

ν=1

Rν [Cν cos νϕ+Dν sin νϕ] (3.41)

multiplicando por sin ν ′ϕ dϕ e integrando

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =

∫ 2π

0F sin ν ′ϕ dϕ

+

∞∑

ν=1

Rν[Cν

∫ 2π

0cos νϕ sin ν ′ϕ dϕ+Dν

∫ 2π

0sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ

]

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ =

∞∑

ν=1

RνDν

∫ 2π

0sin νϕ sin ν ′ϕ dϕ =

∞∑

ν=1

RνDνπδνν′

∫ 2π

0V (ϕ) sin ν ′ϕ dϕ = πRν

′

Dν′

6Naturalmente estas son solo aproximaciones, ya que fısicamente las “puntas” o “esquinas” suelen tener un comportamiento suavecuando se miran microscopicamente. Sin embargo, el comportamiento funcional de este caso ideal funciona bien en las vecindades deρ→ 0, aunque no coincide con el valor fısico cuando ρ = 0.

7Notese que esta condicion de periodicidad o univaluacion del potencial en ϕ solo aparece cuando la region de Dirichlet barre todos losvalores de ϕ entre 0 y 2π. Por esta razon, esta condicion no aparece en el problema entre dos planos con angulo diedro β, ya que ϕ ∈ [0, β]en la region de Dirichlet con β < 2π.

3.5. ECUACION DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 49

α 6= 0, β 6= 0 α = 0, β = γ 6= 0 β = 0, α = γ 6= 0 α = 0, β = γ = 0

Ω (x) Aeiαx +Be−iαx ax+ b Leiαx +Me−iαx ex+ f

∆(y) Ceiβy +De−iβy Geiβy +He−iβy cy + d gy + h

Ψ(z) Eeγz + Fe−γz Jeβz +Ke−βz Neαz + Pe−αz jz + k

Cuadro 3.1: Soluciones a la ecuacion de Laplace en tres dimensiones en coordenadas cartesianas, usando separacionde variables. Nos restringimos a las soluciones con α, β, γ reales.

se obtiene

Dν =1

πRν

∫ 2π

0V(ϕ′) sin νϕ′ dϕ′ (3.42)

similarmente se obtiene Cν al multiplicar por cos ν ′ϕ

Cν =1

πRν

∫ 2π

0V(ϕ′) cos νϕ′ dϕ′ (3.43)

integrando (3.41) en ϕ se tiene

∫ 2π

0V (ϕ) dϕ =

∫ 2π

0F dϕ+

∞∑

ν=1

Rν[Cν

∫ 2π

0cos νϕ dϕ+Dν

∫ 2π

0sin νϕ dϕ

]

F =1

2π

∫ 2π

0V(ϕ′) dϕ′ (3.44)

sustituyendo (3.42, 3.43) y (3.44) en (3.40) la solucion queda entonces

φ (ρ, ϕ) =1

2π

∫ 2π

0V(ϕ′) dϕ′ +

1

π

∞∑

ν=1

( ρR

)ν ∫ 2π

0

[cos νϕ′ cos νϕ+ sin νϕ′ sin νϕ

]V(ϕ′) dϕ′

φ (ρ, ϕ) =1

2π

∫ 2π

0V(ϕ′) dϕ′ +

1

π

∞∑

ν=1

( ρR

)ν ∫ 2π

0V(ϕ′) cos

[ν(ϕ− ϕ′)] dϕ′

observese que a priori parece que no se estan definiendo las condiciones de frontera sobre una superficie cerrada (nose definio el potencial en las tapas del infinito), y sin embargo se obtiene una solucion unica. Esto tiene que ver conel hecho de que un cilindro infinito es topologicamente equivalente a un toro de radio infinito. Si pensamos en untoro de radio R y definimos condiciones de frontera en una superficie cerrada del toro, este problema se convierte enel aquı descrito cuando R→ ∞.

3.5. Ecuacion de Laplace en tres dimensiones, coordenadas cartesianas

La ecuacion de Laplace en tres dimensiones en coordenadas cartesianas se escribe en la forma

∇2φ (x, y, z) = 0 ⇒(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)φ (x, y, z) = 0

asumiendo separacion de variables φ = Ω(x)∆ (y)Ψ (z) y dividiendo la ecuacion por Ω (x)∆ (y)Ψ (z) se obtiene

1

Ω

d2Ω

dx2︸︷︷︸−α2

+1

∆

d2∆

dy2︸︷︷︸−β2

+1

Ψ

d2Ψ

dz2︸︷︷︸γ2

= 0 ⇒ γ2 = α2 + β2

Para obtener la solucion mas general debemos obtener todas las combinaciones con α, β, γ iguales a cero o diferentesde cero, la solucion mas general requiere que α, β, γ sean complejos. En esta seccion nos restringiremos al caso enque estos parametros son reales, de modo que α2, β2 y γ2 son reales no negativos. La ligadura γ2 = α2 + β2 prohibe


la posibilidad de α = β 6= 0, γ = 0, (aunque esta posibilidad existe cuando asumimos que estos parametros soncomplejos). De acuerdo con la tabla 3.1, la solucion cuasi general queda

φ (x, y, z) =(Aeiαx +Be−iαx

) (Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)

+(ax+ b)(Geiβ

′y +He−iβ′y)(

Jeβ′z +Ke−β

′z)

+(Leiα

′x +Me−iα′x)(cy + d)

(Neα

′z + Pe−α′z)

+(ex+ f) (gy + h) (jz + k) (3.45)

donde α,α′, β, β′ son reales. Notese que en esta expresion final las constantes α,α′, β, β′ pueden tomar el valor cero.Cuando todos ellos toman el valor cero, se obtiene una constante por lo cual uno podrıa remover la constante queaparece en la expresion para el potencial, que es fhk.

La solucion mas general implica sumatorias y/o integrales en α,α′, β, β′ y las constantes estan determinadas porlas condiciones de frontera.

3.5.1. Caja de lados a, b, c

Asumamos una caja (paralelepıpedo) de lados a, b, c. Por simplicidad ubicamos la caja en el primer octante demodo que un vertice coincida con el origen y tres aristas de longitud a, b, c coincidan con los ejesXY Z respectivamente.Asumiremos que el potencial es cero en todas las caras excepto en la cara paralela al plano XY a una distancia cde dicho plano, en esta cara el potencial es V (x, y). Este problema se resuelve facilmente proponiendo una solucionen funciones senoidales en x, y y una funcion libre en z (ver Ref. [12]). Sin embargo, aquı llegaremos a la solucionpartiendo de la expresion general (3.45). Aunque el procedimiento es mucho mas largo que el antes mencionado, nosdara cierta habilidad en el empleo de la formula general. Comenzaremos ajustando las condiciones de frontera

1. Se debe cumplir que φ = 0 en x = 0, la solucion (3.45) queda

φ (0, y, z) = (A+B)(Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)+ b′

(Geiβ


Jeβ′z +Ke−β

′z)

+(L+M)(c′y + d

) (Neα

′z + Pe−α′z)+ f (gy + h) (jz + k) (3.46)

que se puede reescribir como

φ (0, y, z) = (A+B)Φ1 (y, z) + b′Φ2 (y, z) + (L+M) Φ3 (y, z) + fΦ4 (y, z) = 0

Φ1 ≡(Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

); Φ2 ≡

(Geiβ


Jeβ′z +Ke−β

′z)

Φ3 ≡(c′y + d

) (Neα

′z + Pe−α′z)

; Φ4 ≡ (gy + h) (jz + k)

donde hemos usado la notacion a′, b′, c′ para los coeficientes en el potencial, a fin de no confundirlos con lasdimensiones del paralelepıpedo. Como cada Φi (y, z) es linealmente independiente, entonces cada coeficienteque acompana a los Φi (y, z) se debe anular

A+B = 0 ; b′ = 0 ; (L+M) = 0 ; f = 0 (3.47)

sustituyendo (3.47) en (3.45), la solucion queda

φ (x, y, z) = sinαx(Ceiβy +De−iβy

) (Eeγz + Fe−γz

)+ x

(Geiβ


Jeβ′z +Ke−β

′z)

+sinα′x(c′y + d

) (Neα

′z + Pe−α′z)+ x (gy + h) (jz + k) (3.48)

2. Aplicando la condicion φ = 0, en y = 0 en la Ec. (3.48) nos queda

φ (x, 0, z) = sinαx (C +D)(Eeγz + Fe−γz

)+ x (G+H)

(Jeβ

′z +Ke−β′z)

+d sinα′x(Neα

′z + Pe−α′z)+ xh (jz + k) = 0

3.5. ECUACION DE LAPLACE EN TRES DIMENSIONES, COORDENADAS CARTESIANAS 51

un argumento similar al anterior nos da

C +D = 0 ; G+H = 0; d = 0, h = 0 (3.49)

Reemplazando (3.49) en (3.48), la solucion queda

φ (x, y, z) = sinαx sin βy(Eeγz + Fe−γz

)+ x sin β′y

(Jeβ

′z +Ke−β′z)

+y sinα′x(Neα

′z + Pe−α′z)+ xy (jz + k) (3.50)

3. Usando φ = 0 para z = 0 en la Ec. (3.50)

φ (x, y, 0) = sinαx sin βy (E + F ) + x sinβ′y (J +K) + y sinα′x (N + P ) + xyk = 0

conduce a(E + F ) = (J +K) = (N + P ) = k = 0 (3.51)

la sustitucion de (3.51) en (3.50) nos da

φ (x, y, z) = E sinαx sin βy sinh γz + Jx sin β′y sinh β′z +Ny sinα′x sinhα′z + jxyz (3.52)

4. La condicion φ = 0 en x = a aplicada a (3.52) queda en la forma

φ (a, y, z) = E (sinαa) sin βy sinh γz + Ja sin β′y sinhβ′z +Ny(sinα′a

)sinhα′z + jayz = 0

y conduce a

sinαa = 0 ; J = 0 ; sinα′a = 0, j = 0 ⇒αn =

nπ

a; α′

k =kπ

a

de lo cual la Ec. (3.52) queda

φ (x, y, z) = En sinαnx sin βy sinh γz +Nky sinα′kx sinhα

′kz (3.53)

αn =nπ

a; α′

k =kπ

a

5. La condicion φ = 0 en y = b en (3.53) nos da

φ (x, b, z) = En sinαnx (sinβb) sinh γz +Nkb sinα′kx sinhα

′kz = 0

que conduce a Nk = 0, β = βm = mπb y el potencial (3.53) queda

φ (x, y, z) = Enm sinαnx sin βmy sinh γnmz

y dado que cada valor de n y m nos da una solucion, la solucion mas general sera una superposicion de estassoluciones

φ (x, y, z) =∞∑

n=1

∞∑

m=1

Enm sinαnx sin βmy sinh γnmz (3.54)

6. Finalmente la condicion φ = V (x, y) en z = c aplicada sobre (3.54) nos da

φ (x, y, c) = V (x, y) =∞∑

n=1

∞∑

m=1

Enm sinαnx sin βmy sinh γnmc

multiplicando ambos miembros por 1ab sinαn′x sinβm′y e integrando, se obtiene

1

ab

∫ a

0

∫ b

0V (x, y) sinαn′x sinβm′y dx dy


=

∞∑

n=1

∞∑

m=1

Enm sinh γnmc

[1

a

∫ a

0sinαnx sinαn′x dx

] [1

b

∫ b

0sin βmy sin βm′y dy

](3.55)

donde los lımites de integracion los hemos definido en la region (x, y) en la cual esta definido el potencialV (x, y). Teniendo en cuenta la relacion de ortonormalidad para los senos y el hecho de que sinαnx sinαn′x esuna funcion par en x tenemos que

1

a

∫ a

−asinαnx sinαn′x dx = δnn′ =

2

a

∫ a

0sinαnx sinαn′x dx

⇒ 1

a

∫ a

0sinαnx sinαn′x dx =

δnn′

2

y similarmente ocurre para y. Por tanto la relacion (3.55) queda en la forma

1

ab

∫ a

0

∫ b

0V (x, y) sinαn′x sin βm′y dx dy =

1

4

∞∑

n=1

∞∑

m=1

δnn′δmm′Enm sinh γnmc =1

4En′m′ sinh γn′m′c

de modo que los coeficientes Enm quedan en la forma

Enm =4

ab sinh γmnc

∫ a

0dx′∫ b

0V(x′, y′

)sinαnx

′ sin βmy′ dy′ (3.56)

αn ≡ nπ

a; βm =

mπ

b; γmn ≡

√α2n + β2m = π

√n2

a2+m2

b2(3.57)

la solucion final se obtiene entonces sustituyendo (3.56) en (3.54). A manera de consistencia se puede ver quesi V (x, y) = 0, el potencial en el interior nos da φ = 0. Este serıa el caso de un paralelepıpedo conductorconectado a tierra.

Capıtulo 4

Ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

4.1. Operador momento angular orbital

Un operador momento angular es un operador con tres componentes J1, J2, J3 donde cada componente es hermıticay satisface las relaciones de conmutacion [

Ji, Jj

]= iεkijJk

el cuadrado de este operador se define comoJ2 = J2

1 + J22 + J2

3

se puede verificar que cada componente conmuta con J2

[J2, Jj

]= 0

esto implica que J2 y una de las componentes de J admiten un conjunto comun de funciones propias1. Elijamos J3para encontrar este conjunto comun, se cumple que:

J2Ψjm = j (j + 1)Ψjm ; J3Ψjm = mΨjm

j = 0,1

2, 1,

3

2, 2, ...; m = j, j − 1, j − 2, ..,− (j − 2) ,− (j − 1) ,−j

(Ψjm,Ψj′m′

)= δj′jδmm′

El operador momento angular orbital clasico es L = −ir×∇ se puede ver que este operador cumple con las propiedadesde un momento angular, por otro lado la exigencia de periodicidad en 2π nos exige excluir los valores semienteros dej. Es notable el hecho de que la estructura de los valores propios solo depende de la hermiticidad de los operadoresy de su algebra de Lie, pero no de su forma explıcita (ver por ejemplo la Ref. [3]).

4.2. Separacion de variables para la ecuacion de Laplace en coordenadas esferi-cas

La ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas queda

1

r2∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2= 0

utilizando la identidad1

r2∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)=

1

r

∂2

∂r2(rφ)

escribimos1

r

∂2

∂r2(rφ) +

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂φ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2φ

∂ϕ2= 0

1No podemos elegir un conjunto comun de vectores propios asociados a varias componentes de J, ya que estas no conmutan entre sı.

53

54 CAPITULO 4. ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS

hacemos separacion de variables de la forma

φ (r, θ, ϕ) =U (r)

rY (θ, ϕ) (4.1)

reemplazamos

1

rY (θ, ϕ)

∂2U

∂r2+U (r)

r

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+U (r)

r

1

r2 sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2= 0

y multiplicamos por r3/ (UY )

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

sin θ Y (θ, ϕ)

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ Y (θ, ϕ)

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2= 0

r2

U (r)

d2U

dr2+

1

Y (θ, ϕ)

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

]= 0

ahora bien, el termino entre parentesis es justamente el operador momento angular orbital clasico al cuadrado (consigno menos) aplicado sobre la funcion angular Y (θ, ϕ)

L = −ir×∇ ⇒ L2=(−ir×∇)2 = −

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂ϕ2

](4.2)

L2Y (θ, ϕ) = −[

1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

](4.3)

la ecuacion se reduce ar2

U (r)

d2U

dr2︸︷︷︸l(l+1)

− L2Y (θ, ϕ)

Y (θ, ϕ)︸︷︷︸l(l+1)

= 0

y puesto que L2 es un operador puramente angular, el primer sumando depende solo del radio y el segundo solo devariables angulares, quedando las ecuaciones

r2

U (r)

d2U

dr2= l (l + 1) ;

L2Y (θ, ϕ)

Y (θ, ϕ)= l (l + 1) ⇒

d2U

dr2− l (l + 1)

r2U = 0 ; L2Y (θ, ϕ) = l (l + 1)Y (θ, ϕ) (4.4)

4.2.1. Solucion de la ecuacion radial

La ecuacion radiald2U

dr2− l (l + 1)

r2U = 0 (4.5)

es homogenea para r de modo que podemos hacer

r = eµ ; dr = eµdµ ;dµ

dr= e−µ =

1

rd2U

dr2=

d

dr

(dU

dr

)=dµ

dr

d

dµ

(dµ

dr

dU

dµ

)= e−µ

d

dµ

(e−µ

dU

dµ

)= −e−2µ dU

dµ+ e−2µ d

2U

dµ2

d2U

dr2= e−2µ

(d2U

dµ2− dU

dµ

);l (l + 1)

r2U = l (l + 1) e−2µU (4.6)

sustituyendo (4.6) en la ecuacion radial (4.4), esta ultima queda en la forma

d2U

dµ2− dU

dµ− l (l + 1)U = 0 (4.7)

4.2. SEPARACION DE VARIABLES PARA LA ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS55

denotando D ≡ d/dµ como el operador derivada, esta ecuacion queda

[D2 −D − l (l + 1)

]U = 0 ⇒ [D − (1 + l)] [D + l]U = 0 (4.8)

dado que los operadores diferenciales entre parentesis conmutan, U es solucion de la ecuacion diferencial de segundoorden dada por (4.8) si es solucion de alguna de las ecuaciones de primer orden dadas por

[D + l]U1 = 0 ; [D − (1 + l)]U2 = 0

por tanto, las soluciones vienen dadas por

U1 (r) = e(1+l)µ = rl+1 ; U2 (r) = e−lµ = r−l

la solucion para r es entonces una superposicion de las dos soluciones

Ul (r) = Arl+1 +Br−l (4.9)

4.2.2. Solucion de la ecuacion angular

Veamos la solucion para la ecuacion diferencial angular dada por las Ecs (4.3, 4.4)

[1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y (θ, ϕ)

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2Y (θ, ϕ)

∂ϕ2

]+ l (l + 1)Y (θ, ϕ) = 0 (4.10)

separamos variables

Y (θ, ϕ) = P (θ)Q (ϕ) (4.11)

[Q (ϕ)

sin θ

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+P (θ)

sin2 θ

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2

]+ l (l + 1)P (θ)Q (ϕ) = 0

multiplicamos por sin2 θ/ (PQ)

[sin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+ l (l + 1) sin2 θ

]

︸︷︷︸m2

+1

Q (ϕ)

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2

︸︷︷︸−m2

= 0

la solucion se escogio de tal manera que para Q (ϕ) haya soluciones armonicas con m2 positivo.

∂2Q (ϕ)

∂ϕ2+m2Q (ϕ) = 0 ⇒ Q (ϕ) =

Ceimϕ +De−imϕ si m 6= 0

aϕ+ b si m = 0(4.12)

la ecuacion diferencial en θ es

sin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ

dP (θ)

dθ

)+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0

sustituyamos

x = cos θ ⇒ dx

dθ= − sin θ ; sin2 θ = 1− x2 (4.13)

dP

dθ=dx

dθ

dP

dx= − sin θ

dP

dx

sustituyendo esta derivada en la ecuacion

− sin θ

P (θ)

d

dθ

(sin θ sin θ

dP

dx

)+ l (l + 1) sin2 θ −m2 = 0


dividiendo por sin2 θ

1

P (θ)

(− 1

sin θ

)d

dθ

(sin2 θ

dP

dx

)+ l (l + 1)− m2

sin2 θ= 0

1

P (θ)

(dθ

dx

)d

dθ

[(1− x2

) dPdx

]+ l (l + 1)− m2

(1− x2)= 0

1

P (θ)

d

dx

[(1− x2

) dPdx

]+ l (l + 1)− m2

(1− x2)= 0

multiplicando por Pd

dx

[(1− x2

) dPdx

]+ l (l + 1)P − m2P

(1− x2)= 0 (4.14)

o equivalentemente(1− x2

) d2Pdx2

− 2xdP

dx+ l (l + 1)P − m2P

(1− x2)= 0 (4.15)

la cual se conoce como ecuacion asociada de Legendre.

4.3. Solucion angular con m = 0

Consideremos primeramente la ecuacion (4.15) correspondiente a m = 0

(1− x2

) d2Pdx2

− 2xdP

dx+ l (l + 1)P = 0 (4.16)

denominada ecuacion ordinaria de Legendre. Consideremos una solucion en series de potencias

P (x) = xα∞∑

j=0

ajxj (4.17)

α es un parametro a determinar, al introducirlo en la ecuacion ordinaria de Legendre, se tiene

(1− x2

) d2

dx2

∞∑

j=0

ajxj+α

− 2x

d

dx

∞∑

j=0

ajxj+α

+ l (l + 1)

∞∑

j=0

ajxj+α

= 0

(1− x2

) d

dx

∞∑

j=0

aj (j + α) xj+α−1

− 2x

∞∑

j=0

aj (j + α) xj+α−1

+ l (l + 1)

∞∑

j=0

ajxj+α

= 0

(1− x2

) ∞∑

j=0

[aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

]−

∞∑

j=0

[2aj (j + α) xj+α

]+ l (l + 1)

∞∑

j=0

[ajx

j+α]= 0

———————————————————————-

0 =∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α

−∞∑

j=0

[2aj (j + α) xj+α

]+ l (l + 1)

∞∑

j=0

(ajx

j+α)

0 =

∞∑

j=0

[aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

]−

∞∑

j=0

[2aj (j + α) + aj (j + α) (j + α− 1)− aj l (l + 1)] xj+α

4.3. SOLUCION ANGULAR CON M = 0 57

0 =

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −∞∑

j=0

[(j + α) (j + α+ 1)− l (l + 1)] ajxj+α

0 =∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −∞∑

n=0

[(n+ α) (n+ α+ 1)− l (l + 1)] anxn+α

para la segunda suma hacemos el cambio de ındice j ≡ n+ 2 ⇒ n ≡ j − 2

0 =

∞∑

j=0

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2 −∞∑

j=2

[(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2xj+α−2

y separamos explıcitamente los dos primeros terminos en la primera sumatoria

0 = a0α (α− 1) xα−2 + a1 (1 + α)αxα−1 +∞∑

j=2

aj (j + α) (j + α− 1) xj+α−2

−∞∑

j=2

[(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2xj+α−2

0 = a0α (α− 1) xα−2 + a1α (1 + α) xα−1

+∞∑

j=2

aj (j + α) (j + α− 1)− [(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2xj+α−2 (4.18)

—————————————-

Cada coeficiente en la serie de potencias debe ser cero por separado por tanto

a0α (α− 1) = 0 ; a1α (α+ 1) = 0 (4.19)

aj (j + α) (j + α− 1)− [(j + α− 2) (j + α− 1)− l (l + 1)] aj−2 = 0 (4.20)

De las Ecs. (4.19) vemos que si a0 6= 0 ⇒ α solo puede tomar los valores cero o uno. Si a1 6= 0 entonces α = 0,−1.Adicionalmente, la Ec. (4.20) es una relacion de recurrencia para j que se puede reescribir tomando j ≡ n+ 2

an+2 (n+ α+ 2) (n+ α+ 1)− [(n+ α) (n+ α+ 1)− l (l + 1)] an = 0

an+2 (α+ n+ 2) (α+ n+ 1) = [(α+ n) (α+ n+ 1)− l (l + 1)] an

como j comienza en dos, n comienza en cero. Volviendo a la notacion n ≡ j queda finalmente

aj+2 =

[(α+ j) (α+ j + 1) − l (l + 1)

(α+ j + 1) (α+ j + 2)

]aj (4.21)

las dos relaciones (4.19) son en realidad equivalentes de modo que podemos elegir a0 6= 0 o a1 6= 0, pero no los dos altiempo. Eligiendo a0 6= 0 obtenemos que α = 0 o α = 1. La relacion de recurrencia muestra que la serie de potenciastiene solo potencias pares (α = 0) o impares (α = 1).

Ya vimos que α resulta ser cero o uno. Para ambos valores de α la serie converge para x2 < 1, y diverge en x = ±1a menos que la serie sea truncada, convirtiendose entonces en un polinomio2, esto solo es posible si l es cero o enteropositivo. Adicionalmente, para l par (impar) se exige α = 0 (α = 1).

Los polinomios se normalizan de tal manera que valgan 1 en x = 1 y se denominan polinomios de Legendre. Enforma general estos polinomios estan dados por

Pl (x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1

)l(4.22)

2Recordemos que x = ±1 corresponde a θ = 0, π. Es claro que para θ = 0, π debemos exigir convergencia, ya que en general es partede la region de Dirichlet.


los cuales forman la solucion de la funcion P (θ) definida en (4.11), para m = 0 i.e.

P (θ) ≡ Pl (cos θ) (4.23)

Los polinomios de Legendre Pl (x) forman un conjunto ortogonal y completo en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1

∫ 1

−1Pl (x)Pl′ (x) dx =

2

2l + 1δll′

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (x)Pl(x′)

= δ(x− x′

)

y teniendo en cuenta las relaciones (4.13) se obtiene en terminos de θ

x = cos θ ⇒ dx = − sin θ dθ; x = −1 ⇒ θ = π ; x = 1 ⇒ θ = 0

∫ 1


∫ 0

πPl (cos θ)Pl′ (cos θ) [− sin θ dθ]

=

∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ

las relaciones de ortogonalidad y completez quedan

∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =

2

2l + 1δll′ (4.24)

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (cos θ)Pl(cos θ′

)= δ

(cos θ − cos θ′

)(4.25)

cualquier funcion regular definida en el intervalo [−1, 1] puede escribirse

f (x) =

∞∑

l=0

AlPl (x) ⇒ Al =2l + 1

2

∫ 1

−1f(x′)Pl(x′)dx′

la solucion de la parte angular con m = 0 se obtiene entonces reemplazando (4.12) y (4.23) en (4.11) usando m = 0:

Ym=0 (θ, ϕ) = (aϕ+ b)Pl (cos θ) (4.26)

4.4. Solucion de la ecuacion de Laplace con m = 0

La solucion a la ecuacion de Laplace con m = 0 se obtiene reemplazando (4.9, 4.26) en (4.1) y teniendo en cuentaque la superposicion de soluciones tambien es solucion.

φ (r, θ, ϕ) = (aϕ+ b)∞∑

l=0

(Arl+1 +Br−l

)

rPl (cos θ) (4.27)

si asumimos simetrıa azimutal (i.e. independencia con respecto a ϕ), entonces a = 0, y la solucion queda

φ (r, θ) =

∞∑

l=0

[Alr

l +Blrl+1

]Pl (cos θ) (4.28)

puede verse efectivamente que las soluciones con m 6= 0 ya no tienen simetrıa azimutal ya que tienen soluciones notriviales en ϕ. Al, Bl se determinan con las condiciones de frontera.

4.5. PROPIEDADES DE PL (COS θ) 59

4.5. Propiedades de Pl (cos θ)

Hemos visto que los polinomios de Legendre surgen como una solucion de la ecuacion diferencial (4.16) Pag. 56

(1− x2

) d2Pdx2

− 2xdP

dx+ l (l + 1)P = 0

la solucion se puede escribir en la forma (4.22)

Pl (x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1

)l(4.29)

tales funciones cumplen relaciones de ortogonalidad y completez para funciones regulares con simetrıa azimutal

∫ 1


2

2l + 1δll′ (4.30)

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (x)Pl(x′)

= δ(x− x′

)(4.31)

o haciendo x = cos θ estas relaciones se escriben como∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =

2

2l + 1δll′ (4.32)

1

2

∞∑

l=0

(2l + 1)Pl (cos θ)Pl(cos θ′

)= δ


)(4.33)

De la definicion (4.29) podemos ver que

Pl (−x) = (−1)l Pl (x) (4.34)

de modo que Pl (x) es impar (par) con respecto a x = 0 si l es impar (par). Los primeros polinomios de Legendrevienen dados por

P0 (x) = 1 ; P1 (x) = x ; P2 (x) =1

2

(3x2 − 1

)

P3 (x) =1

2

(5x3 − 3x

); P4 (x) =

1

8

(35x4 − 30x2 + 3

)

Teniendo en cuenta P0 (x) = 1 y las relaciones de ortogonalidad (4.32), tenemos que

∫ 1

−1Pl (x) dx =

∫ 1

−1Pl (x) P0 (x) dx = 2δl,0 (4.35)

combinando las ecuaciones (4.35) y (4.34) se encuentra que

2δl,0 =

∫ 1

−1Pl (x) dx =

∫ 0

−1Pl (x) dx+

∫ 1

0Pl (x) dx

=

∫ 0

1Pl (−x) d (−x) +

∫ 1

0Pl (x) dx =

∫ 1

0Pl (−x) dx+

∫ 1

0Pl (x) dx

2δl,0 =

∫ 1

0

[(−1)l + 1

]Pl (x) dx (4.36)

haciendo l = 0, se puede ver simplemente que los dos miembros son iguales. Si l es par diferente de cero la ecuacion(4.36) nos da

2

∫ 1

0Pl (x) dx = 0 ; l = 2, 4, 6, 8, . . .


en tanto que si l es impar la ecuacion (4.36) no brinda ninguna informacion. Utilizando las formulas de Rodrigues esposible demostrar la relacion

∫ 1

0Pl (x) dx =

(−1

2

) (l−1)2 (l − 2)!!

2(l+12

)!

con l impar (4.37)

con lo cual tenemos finalmente

∫ 1

0Pl (x) dx =

(−1

2

) (l−1)2 (l−2)!!

2( l+12 )!

si l es impar

δl,0 si l es par(4.38)

con un argumento similar se puede demostrar que

∫ 1

0Pl (x)Pl′ (x) dx =

δll′

(2l + 1)(4.39)

otras propiedades relevantes son las siguientes

Pl (±1) = (±1)l ; P2l+1 (0) = 0 ; P2l (0) =(−1)l (2l − 1)!!

2ll!=

(−1)l (2l − 1)!

22l−1l! (l − 1)!(4.40)

donde hemos tenido en cuenta las relaciones

(2n)!! ≡ 2n× (2n − 2)× (2n− 4)× . . .× 6× 4× 2 (4.41)

(2n+ 1)!! = (2n + 1)× (2n− 1)× (2n− 3)× . . .× 5× 3× 1 (4.42)

(2n)!! = 2nn! ; (2n+ 1)!! =(2n+ 1)!

2nn!; (2n − 1)!! =

(2n − 1)!

2n−1 (n− 1)!(4.43)

4.6. Ejemplos de aplicacion de la Ec. de Laplace con simetrıa azimutal

4.6.1. Esfera con φ = V (θ) en la superficie

Figura 4.1:

Evaluaremos el potencial φ en el interior de una esfera de radio a, sin carga en su interior y bajo la condicion defrontera φ = V (θ) en la superficie (ver Fig. 4.1). Debido a que la condicion de frontera no depende de ϕ, el problematiene simetrıa azimutal de modo que podemos utilizar la expansion (4.28). Ahora bien, puesto que r = 0 es parte dela region de Dirichlet, se hace Bl = 0 en (4.28) para evitar divergencia en φ (0, θ), con lo cual se obtiene

φ (r, θ) =∞∑

l=0

AlrlPl (cos θ) (4.44)

4.6. EJEMPLOS DE APLICACION DE LA EC. DE LAPLACE CON SIMETRIA AZIMUTAL 61

ahora aplicamos la condicion de frontera de modo que φ (r = a, θ) = V (θ)

φ (a, θ) = V (θ) =

∞∑

l=0

AlalPl (cos θ) (4.45)

multiplicamos por Pl′ (cos θ) sin θ dθ e integramos entre 0 y π para utilizar las relaciones de ortogonalidad (4.32).

∫ π

0V (θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ =

∞∑

l=0

Alal

∫ π

0Pl (cos θ)Pl′ (cos θ) sin θ dθ

=

∞∑

l=0

Alal 2

2l + 1δll′ =

2Al′al′

2l′ + 1

despejando Al nos queda

Al =2l + 1

2al

∫ π

0V(θ′)Pl(cos θ′

)sin θ′ dθ′ (4.46)

sustituyendo (4.46) en (4.44) resulta

φ (r, θ) =

∞∑

l=0

[2l + 1

2al

∫ π


)sin θ′ dθ′

]rlPl (cos θ)

φ (r, θ) =

∞∑

l=0

2l + 1

2

(ra

)lPl (cos θ)

[∫ π


)sin θ′ dθ′

]

si se quiere calcular el potencial por fuera de la esfera con φ (a, r) = V (θ) y con condicion de frontera cero en elinfinito, basta con reemplazar (r/a)l → (a/r)l+1.

4.6.2. Cascarones esfericos concentricos

Calcularemos la solucion de la ecuacion de Laplace en la region comprendida entre dos cascarones esfericosconcentricos de radios a y b con b > a. Por comodidad se hace coincidir el origen con el centro de las esferas. Puestoque la region de Dirichlet no contiene las regiones con r → 0 ni con r → ∞, no es necesario evitar estas divergenciasde modo que Al y Bl son en general no nulos en la expansion (4.28). El cascaron de radio b esta a potencial V0, entanto que el potencial en el cascaron de radio a esta dado por

V (θ) =

V para 0 ≤ θ ≤ π/20 para π/2 ≤ θ ≤ π

(4.47)

es decir, para el cascaron de radio a, el potencial es V en el “hemisferio norte” y cero en el “hemisferio sur”. Denuevo es claro que el problema tiene simetrıa azimutal. Aplicando φ (r = b, θ) = V0 en la Ec. (4.28) resulta

V0 =

∞∑

l′=0

[Al′b

l′ +Bl′

bl′+1

]Pl′ (cos θ)

multiplicamos por Pl (x) integramos y tenemos en cuenta la relacion (4.35), ası como las condiciones (4.30) deortogonalidad

V0

∫ 1

−1Pl (x) dx =

∞∑

l′=0

[Al′b

l′ +Bl′

bl′+1

] ∫ 1

−1Pl′ (x)Pl (x) dx

2V0δl,0 =

∞∑

l′=0

[Al′b

l′ +Bl′

bl′+1

](2

2l′ + 1

)δll′

V0δl,0 =

(1

2l + 1

)[Alb

l +Blbl+1

]


por tanto se obtiene A0 +

B0b = V0 si l = 0

Albl + Bl

bl+1 = 0 si l ≥ 1(4.48)

ahora aplicamos φ (a, θ) = V (θ) en (4.28), con V (θ) definido por (4.47). Usando de nuevo la ortogonalidad de lospolinomios de Legendre

φ (a, θ) = V (θ) =∞∑

m=0

[Ama

m +Bmam+1

]Pm (cos θ)

V (x) =

∞∑

m=0

[Ama

m +Bmam+1

]Pm (x) ; x ≡ cos θ

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

∞∑

m=0

[Ama

m +Bmam+1

] ∫ 1

−1Pm (x)Pl (x) dx

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

2

2l + 1

(Ala

l +Blal+1

)(4.49)

y separando la integral del potencial entre los hemisferios norte y sur resulta

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

∫ 0

−10 · Pl (x) dx+

∫ 1

0V · Pl (x) dx = V

∫ 1

0Pl (x) dx

y utilizando (4.38) resulta

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx =

V Kl si l es imparV δl,0 si l es par

; Kl ≡(−1

2

) (l−1)2 (l − 2)!!

2(l+12

)!

(4.50)

sustituyendo (4.50) en (4.49) obtenemos

Alal +

Blal+1

=2l + 1

2

∫ 1

−1V (x)Pl (x) dx ⇒ (4.51)

Ala

l + Bl

al+1 = 2l+12 V Kl si l es impar

Alal + Bl

al+1 = 12V δl,0 si l es par

(4.52)

Al y Bl se pueden calcular de (4.48, 4.52). Tenemos dos ecuaciones con dos incognitas que por comodidad separaremospara l = 0, l par diferente de cero y l impar

A0 +B0

b= V0 , A0 +

B0

a=V

2; l = 0

Albl +

Blbl+1

= 0 , Alal +

Blal+1

= 0 ; l 6= 0 y l ≡ par

Albl +

Blbl+1

= 0 , Alal +

Blal+1

=2l + 1

2V Kl ; l ≡ impar

resolviendo este sistema lineal se encuentran las soluciones.

4.7. Problemas con condiciones que no son de frontera

Supongamos que tenemos condiciones de Dirichlet, o Neumann, o cualquier otro conjunto de condiciones queconduzcan a la unicidad de la ecuacion de Laplace. La unicidad de la solucion (4.28), nos conduce a que si encontramoscualquier metodo para hallar Al y Bl, estos valores seran unicos. En algunas ocasiones es posible encontrar estoscoeficientes sin recurrir en forma explıcita a las condiciones de frontera, conociendo por ejemplo el potencial en cierta

4.7. PROBLEMAS CON CONDICIONES QUE NO SON DE FRONTERA 63

region (que no necesariamente pertenece a la frontera), usualmente el eje de simetrıa3. Cuando aplicamos la soluciongeneral Eq. (4.28) a dicho eje obtenemos

φ (r = z, θ = 0) =

∞∑

l=0

[Alz

l +Blzl+1

](4.53)

donde hemos usado que Pl (1) = 1. Para la parte negativa del eje i.e. θ = π, tenemos que introducir un factorPl (−1) = (−1)l. Si el potencial en esta region puede desarrollarse en series de potencias, entonces podemos encontrarlos coeficientes ya mencionados por comparacion de la serie de potencias con la Ec. (4.53).

Para ilustrar este metodo, tomemos una esfera centrada en el origen con radio a, y con potenciales ±V en lassuperficies de los hemisferios norte y sur respectivamente. Si a esto le adicionamos la condicion de potencial ceroen el infinito, tenemos condiciones de Dirichlet que nos garantizan la unicidad de la solucion en la region exteriora la esfera. Como veremos mas adelante (seccion 8.4), es plausible obtener una solucion al potencial generado en elexterior de la esfera evaluado sobre el eje de simetrıa (eje Z), y viene dado por la Ec. (8.30)

φ (z) = V

[1−

(z2 − a2

)

z√a2 + z2

]; z > a

dado que z > a, la variable adecuada para la expansion es a/z

φ (z) = V

1−

(z2−a2)z2 z2

z2√

a2+z2

z2

= V

1− 1−

(az

)2√

1 +(az

)2

una expansion de Taylor de esta funcion nos da (ejercicio!)

φ (z) =V√π

∞∑

j=1

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

(az

)2j(4.54)

comparando esta ecuacion con (4.53) tenemos

∞∑

l=0

[Alz

l +Blzl+1

]=

V√π

∞∑

j=1

(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

(az

)2j

comparando las potencias de z se ve que a la derecha no hay potencias positivas ni cero de esta. Por tanto Al = 0.

∞∑

l=0

Bl1

zl+1=

V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

z2j

De esta expresion se ve que al lado izquierdo solo deben contribuir las potencias pares en l+1, es decir impares en l.De modo que Bl = 0 si l es par, por esta razon podemos escribir la suma de la izquierda con l + 1 ≡ 2j, y dado quesolo contribuyen los valores l = 1, 3, 5, 7, .. la suma se expresa como

∞∑

j=1

B2j−11

z2j=

V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

z2j

quedando

B2j−1 =V√π(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j (4.55)

el valor B2j−1 es unico y valido para todas las regiones de la esfera exterior aun fuera del eje. Resumiendo hemosencontrado que Al = 0, B2j = 0 para j entero, y B2j−1 esta dado por la Ec. (4.55), de modo que la solucion general(4.28) para el potencial fuera de la esfera es

φ (r, θ) =∞∑

j=1

B2j−11

r2jP2j−1 (cos θ)

3Con frecuencia ocurre que calcular el potencial sobre un eje de simetrıa es mucho mas facil que en cualquier otro punto de la regiondonde ocurre unicidad.


quedando

φ (r, θ) =

∞∑

j=1

[V√π(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!a2j

]1

r2jP2j−1 (cos θ)

φ (r, θ) =V√π

∞∑

j=1

[(−1)j−1

(2j − 1

2

)Γ(j − 1

2

)

j!

](ar

)2jP2j−1 (cos θ) (4.56)

Recordemos que en realidad se usaron condiciones de Dirichlet para garantizar la unicidad, esto nos permite asegurarque una vez encontrados Al y Bl por cualquier metodo, estos conducen a la solucion (unica) en toda la region.

4.8. Expansion de 1|r−r′| en polinomios de Legendre

Una importante aplicacion de la tecnica anterior nos posibilita expandir la funcion 1|r−r′| (la cual sera muy

importante en aplicaciones subsecuentes) en polinomios de Legendre. Para ello consideraremos que |r− r′|−1 es unafuncion de r en tanto que r′ es un parametro arbitrario pero fijo. Esta funcion satisface la ecuacion de Laplace parar 6= r′. Definiremos γ como el angulo entre los vectores r y r′. Si rotamos los ejes de tal forma que r′ quede a lo largode Z (ya que r′ es fijo en el proceso), el angulo γ coincidira con el angulo polar θ de las coordenadas esfericas. Ademas,es claro que la magnitud |r− r′| solo depende del angulo polar γ. Tenemos entonces una funcion que satisface laecuacion de Laplace y posee simetrıa azimuthal, de modo que podemos usar (4.28)

Fr′ (r) ≡1

|r− r′| =∞∑

l=0

[Al(r′)rl +

Bl (r′)

rl+1

]Pl (cos γ) (4.57)

Naturalmente, Al y Bl son en general funciones de r′, pero son independientes de r y γ. Por tanto Al y Bl solo sonfunciones de |r′| ≡ r′.

Examinemos las condiciones de frontera

1. Para r < r′ puesto que r′ es arbitrario pero fijo y con 1|r−r′| 6= ∞, tenemos que cuando r → 0 esta funcion

tiende a 1/r′, de modo que hay que evitar la divergencia que se genera en (4.57) cuando r → 0. Por tanto, setiene que Bl = 0 en (4.57)

1

|r− r′| =∞∑

l=0

Al rlPl (cos γ) (4.58)

a continuacion introduciremos la siguiente notacion: r> denota al mayor entre r y r′; similarmente r< simbolizaal menor entre r y r′. En esta notacion, la expansion (4.58) se escribe:

1

|r− r′| =∞∑

l=0

Alrl<Pl (cos γ) (4.59)

2. Para r > r′ con 1|r−r′| 6= ∞, hay que evitar divergencia en r→∞ (de hecho, puesto que r′ es arbitrario pero fijo,

en este lımite la funcion debe tender a cero). Entonces Al = 0 en (4.57) en este regimen4

1

|r− r′| =∞∑

l=0

Bl

rl+1>

Pl (cos γ) (4.60)

3. Una solucion valida en ambas regiones se obtiene haciendo el producto entre los coeficientes de Pl (cos γ) de(4.59) con los de (4.60) y sumando5 sobre l.

1

|r− r′| =∞∑

l=0

Cl

(rl<

rl+1>

)Pl (cos γ) (4.61)

4Aquı utilizamos la notacion Al y Bl para los coeficientes de la expansion del tipo (4.57), cuando r > r′. Esto debido a que los casosr < r′ y r > r′ generan expansiones independientes.

5El hecho de poder escribir la solucion valida en ambas regiones como un producto que proviene de las soluciones en cada region, es unacaracterıstica general cuando dichas soluciones se escriben en la notacion r<, r>. En realidad, esa es la motivacion para introducir dichanotacion. Notese sin embargo, que NO se hace el producto de las soluciones 4.59) y (4.60), ni siquiera es el producto de los sumandos, sinosolo el producto de los coeficientes de Pl (cos γ) que luego se suporponen por linealidad.

4.8. EXPANSION DE 1|R−R′| EN POLINOMIOS DE LEGENDRE 65

Para ver que (4.61) es la solucion valida en ambas regiones, examinamos la forma de la solucion en ambasregiones. (a) Cuando r < r′ sustituımos r< = r y r> = r′ en (4.61) y se obtiene

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Cl

(rl

r′l+1

)Pl (cos γ) =

∞∑

l=0

Clr′l+1

rl< Pl (cos γ)

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Al rl< Pl (cos γ) ; Al

(r′)=Cl (r

′)r′l+1

que coincide con (4.58) o equivalentemente con (4.59). (b) Con r > r′ sustituımos r< = r′ y r> = r en (4.61) yse obtiene

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Cl

(r′l

rl+1

)Pl (cos γ) =

∞∑

l=0

Cl r′l(

1

rl+1

)Pl (cos γ)

1

|r− r′| =

∞∑

l=0

Bl

(1

rl+1>

)Pl (cos γ) ; Bl

(r′)= Cl

(r′)r′l

que coincide con (4.60). En estas expresiones hemos tenido en cuenta que los coeficientes son en general funcionesde r′.

Para evaluar Cl consideramos el caso en que r y r′ son colineales i.e. γ = 0. Esto permite hacer facilmente unaexpansion en series de potencias. Para el caso r > r′ la expansion adecuada es en r′/r

1

|r− r′| =1

(r − r′)=

∞∑

l=0

Cl

(rl<

rl+1>

)Pl (cos 0

) =1

r>

∞∑

l=0

Cl

(r<r>

)lPl (1)

1

|r− r′| =1

r>

∞∑

l=0

Cl

(r<r>

)l=

1

r

[C0 + C1

r′

r+ C2

(r′

r

)2

+ ...

]

r>r′

(4.62)

pero a su vez en este mismo regimen se puede expandir en una serie de potencias en r′/r

1

|r− r′| =1

(r − r′)=

1

r(1− r′

r

) =1

r

(1− r′

r

)−1

=1

r

[1 +

r′

r+

(r′

r

)2

+ ...

]

r>r′

(4.63)

comparando las expansiones (4.62) y (4.63) se sigue que Cl = 1 (independiente de r′). El lector puede demostrar queesto tambien es valido para el caso r < r′, y como Cl (r

′) no es funcion de γ, estos valores tambien son validos parael caso en el cual r y r′ forman un angulo γ entre ellos. Por tanto podemos sustituir Cl (r

′) = 1 en (4.61) quedandofinalmente

1

|r− r′| =∞∑

l=0

(rl<

rl+1>

)Pl (cos γ) (4.64)

4.8.1. Ejemplos de aplicacion en evaluacion de potenciales

La expresion (4.64) se puede aplicar para evaluar potenciales. En particular la expresion (4.64) combinada conlos metodos de la seccion 4.7 puede resultar muy fructıfera como veremos en el ejemplo siguiente: Consideremos unanillo con densidad lineal de carga uniforme (ver Fig. 4.2), cuyo plano es paralelo al plano XY a una distancia b dedicho plano, y el eje Z pasa por su centro, sea a el radio del anillo y c la distancia desde el origen a un punto en elborde del anillo, el problema tiene claramente simetrıa azimutal.

En primer lugar, la Ec. (4.28) nos dice que en este caso Al = 0 para evitar divergencias en r → ∞ quedando

φ (r, θ) =∞∑

l=0

Blrl+1

Pl (cos θ) (4.65)


Figura 4.2:

Es muy facil evaluar el potencial sobre el eje de simetrıa Z, el cual viene dado por

φ (z) =

∫Kc dq√

a2 + (z − b)2=

Kcq√a2 + (z − b)2

=Kcq√

a2 + b2 + z2 − 2zb

=Kcq√

c2 + z2 − 2cz cosα=

Kcq√(z− c) · (z− c)

φ (z) =Kcq

|z− c|

usando la expansion (4.64) para z > c

φ (z) =Kcq

|z− c| = Kcq

∞∑

l=0

cl

zl+1Pl (cosα) ; z > c (4.66)

donde estamos expandiendo el potencial en el eje. Por otro lado, este potencial se puede obtener haciendo r = z yθ = 0 en la Ec. (4.65)

φ (z) =∞∑

l=0

Blzl+1

(4.67)

igualando las Ecs. (4.66) y (4.67) obtenemos

Kcq

∞∑

l=0

cl

zl+1Pl (cosα) =

∞∑

l=0

Blzl+1

⇒

Bl = KcqclPl (cosα) (4.68)

Bl no es funcion de θ de modo que su valor sobre el eje Z coincide con su valor en cualquier orientacion. Enconsecuencia, podemos sustituir (4.68) en (4.65), de lo cual el potencial para r > c en cualquier orientacion se escribeen la forma

φ (r) = Kcq∞∑

l=0

cl

rl+1Pl (cosα)Pl (cos θ) ; r > c

analogamente para r < c

φ (r) = Kcq∞∑

l=0

rl

cl+1Pl (cosα)Pl (cos θ) ; r < c

4.9. FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE Y ARMONICOS ESFERICOS 67

4.9. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos Esfericos

Hasta el momento hemos solucionado la ecuacion de Laplace solo en el caso de simetrıa azimutal que surgecuando se hace m = 0 en la Ec. (4.15). Ahora consideremos la situacion general con m 6= 0, la cual sera necesaria siel problema no presenta simetrıa azimuthal. Retornamos a la ecuacion diferencial general Eq. (4.15)

(1− x2

) d2Pdx2

− 2xdP

dx+ l (l + 1)P − m2P

(1− x2)= 0

Que nos brinda la solucion mas general para la funcion P (θ) definida en (4.11) que naturalmente dependera ahorade l y m

P (θ) ≡ Pml (cos θ) (4.69)

Las soluciones finitas en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, solo se pueden obtener con l = 0 o entero positivo y si m tomavalores entre −l,− (l − 1) , ..., 0, ..., l−1, l. Lo cual concuerda con la ecuacion de valores propios para L2 y la exigenciade periodicidad en la funcion. La solucion es conocida como funcion asociada de Legendre Pml (x), con

Pml (x) = (−1)m(1− x2

)m/2 dm

dxmPl (x) =

(−1)m

2ll!

(1− x2

)m/2 dl+m

dxl+m(x2 − 1

)l

puede demostrarse que

P−ml (x) = (−1)m

(l −m)!

(l +m)!Pml (x)

Los Pml (x) forman un conjunto ortogonal para cada m, sobre el intervalo −1 ≤ x ≤ 1.

∫ 1

−1Pml (x)Pml′ (x) dx =

2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δll′

donde P 0l (x) ≡ Pl (x).

La solucion mas general para la parte angular de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas se obtienereemplazando (4.12) y (4.69) en (4.11) usandom 6= 0. Dicha solucion angular genera (salvo factores de normalizacion)unas funciones especiales conocidas como Armonicos Esfericos

Ylm (θ, ϕ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ) eimϕ (4.70)

Yl,−m (θϕ) = (−1)m Y ∗lm (θ, ϕ) (4.71)

Estas funciones cumplen ortonormalidad y completez

∫Ylm (θ, ϕ)Y ∗

l′m′ (θ, ϕ) dΩ = δll′δmm′

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) = δ

(ϕ− ϕ′) δ


)

dΩ ≡ sin θ dθ dϕ

dΩ se refiere a un elemento de angulo solido. Haciendo l′ = m′ = 0 en la relacion de ortonormalidad


00 (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0 ;1√4π

∫Ylm (θ, ϕ) dΩ = δl0δm0

∫Ylm (θ, ϕ) dΩ =

√4πδl0δm0

se puede ver de la forma explıcita de los armonicos esfericos que aquellos armonicos con m = 0 solo dependen de θ,efectivamente se reducen a los polinomios ordinarios de Legendre (salvo por factores de proporcionalidad) que dancuenta de los casos con simetrıa azimuthal.


La completez de los armonicos esfericos me permite expandir cualquier funcion regular F (θ, ϕ) como superposicionde esta base numerable

F (θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−lAlmYlm (θ, ϕ) ; Alm =

∫F (θ, ϕ)Y ∗

lm (θ, ϕ) dΩ

La solucion general para el potencial es entonces

φ (r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Almr

l +Blmrl+1

]Ylm (θ, ϕ) (4.72)

De nuevo, las constantes Alm, Blm se evaluan a traves de las condiciones de frontera.

Capıtulo 5

Ecuacion de Laplace en coordenadascilındricas, Funciones de Bessel

En estas coordenadas la ecuacion toma la forma

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂z2= 0

separando variablesφ = R (ρ)Q (ϕ)Z (z)

1

Q

d2Q

dϕ2= −ν2 ⇒ Q ∝ e±iνϕ ν > 0

1

Z

d2Z

dz2= k2 ⇒ Z ∝ e±kz

se escoge −ν2 en ϕ para obtener soluciones armonicas en la parte angular que son las unicas que garantizan lacontinuidad en el potencial. La escogencia −k2 tambien es posible para Z.

Para la parte radial se obtiene despues del cambio de variable x = kρ la ecuacion de Bessel

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(1− ν2

x2

)R = 0

las soluciones son series de potencias que dan como solucion las funciones de Bessel de orden ν, donde ν es cualquiernumero positivo. Se puede demostrar que si ν no es entero entonces Jν y J−ν son linealmente independientes, perosi ν es entero ellas son linealmente dependientes de modo que cuando ν es entero hay que completar la solucion conuna segunda solucion que sı sea linealmente independiente de Jν . Esta segunda solucion es la funcion de Bessel desegunda clase o funcion de Neumann Nν (x) .

Las funciones de Bessel poseen relaciones de ortonormalidad y completez.Dado que la parte Z posee dos tipos posibles de soluciones ello nos conduce a dos tipos de soluciones generales.

En el caso de Z = e±kz la solucion radial conduce a las funciones de Bessel en tanto que para el caso de Z = e±ikz

la parte radial conduce a la ecuacion de Bessel modificada

d2R

dx2+

1

x

dR

dx−(1 +

ν2

x2

)R = 0

la cual se puede llevar a la forma de la ecuacion de Bessel haciendo x → ix, las soluciones van a ser en generalcombinaciones lineales complejas de Jν , Nν que definen las funciones modificadas de Bessel Iν , Kν . Elegir cual delas dos soluciones generales se debe tomar depende del problema. Basicamente, si al tomar una solucion no podemossatisfacer las condiciones de frontera entonces tomamos la otra.

69

70 CAPITULO 5. ECUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS CILINDRICAS, FUNCIONES DE BESSEL

Capıtulo 6

Conductores electrostaticos

Figura 6.1:

Un conductor ideal es aquel en el cual los portadores de carga que conducen, no interactuan con los atomos omoleculas del material, excepto en cercanıas a la superficie (puesto que los portadores no son libres de abandonarel material). En solidos la conduccion es usualmente de electrones con interaccion despreciable con la red cristalina,en lıquidos los portadores son generalmente iones. Aunque no existen conductores ideales, existen materiales que secomportan muy aproximadamente como tales. En ese sentido los portadores se pueden tratar en buena aproximacioncomo un gas interactuante dentro de un contenedor, puesto que las cargas no son libres de abandonar el material1.Existen conductores cargados que pueden formar configuraciones estaticas de carga, para lo cual es necesario que elcampo en el interior del conductor sea cero, puesto que de lo contrario las cargas libres se moverıan, abandonando laconfiguracion estatica. Esta afirmacion esta respaldada por el hecho experimental de que un conductor en un campoelectrico externo y estatico, produce una redistribucion de sus cargas que apantalla completamente al campo en elinterior del conductor. El campo inducido que anula al externo es producido por la polarizacion de las cargas comose aprecia en la figura (6.1). En dicha figura solo se muestran las lıneas de campo externo las cuales al superponersecon las lıneas del campo inducido producen un apantallamiento total del campo en el interior del conductor. Esimportante enfatizar que el campo es cero solo en el interior del conductor.

Por otra parte, la ley de Gauss aplicada al interior del conductor nos dice que ∇ · E (r) = 4πKcρ = 0, puestoque E (r) = 0. Esta ecuacion tomada matematicamente, nos dice que no podrıa haber ninguna carga en el puntomatematico en donde se evalua la divergencia. Sin embargo, una vision mas Fısica es que las ecuaciones de Maxwell

1La interaccion solo es significativa entre portadores, y es despreciable su interaccion con el resto del material, excepto en las vecindadesde la superficie.

71

72 CAPITULO 6. CONDUCTORES ELECTROSTATICOS

locales solo son validas para volumenes suficientemente pequenos para considerar el fenomeno como local, perosuficientemente grandes para contener una gran cantidad de atomos. Por tanto, el significado real es que en promediohay tanta carga positiva como negativa, en una vecindad alrededor del punto.

Lo anterior trae como consecuencia que cualquier carga neta se distribuye en la superficie. Adicionalmente, elhecho de que el campo sea nulo en el interior implica que el conductor sea equipotencial en su interior. Es facil ver queademas, su superficie debe estar al mismo potencial que el interior, ya que de no ser ası tambien habrıa flujo desdeel interior hacia la superficie o viceversa, lo cual es incompatible con la condicion estatica. Teniendo en cuenta queel campo electrico en el exterior del conductor no es necesariamente nulo, se llega a que en las vecindades exterioresde la superficie las lıneas de campo son perpendiculares a la superficie del conductor. Para ver esto, podemos apelarnuevamente a la condicion estatica, ya que si hubiera componente tangencial se provocarıa movimiento de las cargassuperficiales. Un argumento matematico alternativo consiste en recordar que E = −∇φ, y que el gradiente de unafuncion escalar, es perpendicular en r0 a la superficie definida por la ecuacion φ = φ (r0) = cte, es decir perpendiculara la superficie equipotencial que pasa por el punto.

Dado que los portadores de carga son esencialmente libres de moverse en el material, ellos buscan su configuracionde mınima energıa, se puede ver con algunos ejemplos concretos (e.g. una esfera uniformemente cargada en su volumeno en su superficie), que la distribucion superficial hace que la energıa interna del sistema de portadores sea menorque cuando se distribuye en el volumen2, lo cual es otra manera de ver porque los portadores que producen carganeta libre se acumulan en la superficie. Es importante anadir que aunque hemos llegado por argumentos simples aque la distribucion de carga neta en el conductor debe ser superficial, no hay una forma simple de saber como es laforma funcional de dicha distribucion.

Lo anterior nos proporciona otra manera de ver el efecto de carga inducida del conductor en presencia de un campoexterno. Inicialmente, el conductor esta en su estado de mınima energıa (en ausencia del campo), la introduccion delcampo hace que la “curva” de energıa potencial se modifique dejando al sistema fuera de la configuracion de mınimolocal. Por tanto el sistema se redistribuye para volver al mınimo de energıa. Por supuesto, tambien se puede ver comoun problema de equilibrio de fuerzas, teniendo presente que ademas de la interaccion electrica entre los portadores,tambien existen fuerzas de enlace con los atomos y moleculas que impiden a las cargas escapar del material. En unconductor ideal estas ultimas serıan fuerzas estrictamente superficiales.

Finalmente, vale la pena llamar la atencion en el hecho de que la minimizacion de la energıa interna con distribucionen la superficie es un efecto en solo tres dimensiones. Por ejemplo, en un disco bidimensional conductor, la carga nose acumula solo en los bordes, y en una aguja conductora, la carga no se va toda hacia las puntas.

Es importante enfatizar que aunque el conductor sea neutro como sucede en la mayorıa de los casos, puedenexistir acumulaciones de carga locales por efecto de campos externos, la carga neta sigue siendo cero pero se produceigualmente el campo inducido que anula el campo total en el interior. Por ejemplo, si se acerca una carga puntualpositiva a un conductor, las cargas negativas migran tratando de acercarse a la carga puntual, en tanto que lascargas positivas se alejan ubicandose en el otro extremo3. Esto produce un campo inducido como ya se comentoanteriormente, debido a la existencia del campo externo generado por la carga, pero adicionalmente se produceun efecto neto de atraccion entre la carga y el conductor, puesto que las cargas negativas que producen atraccionestan mas cercanas y por tanto producen una fuerza (atractiva) de mayor intensidad que las fuerzas (repulsivas) queproducen las cargas positivas.

6.1. Cavidades en conductores

Si dentro del conductor hay una cavidad, este espacio no forma parte del interior del conductor. No obstante, en loque sigue de la discusion, cuando hablemos del exterior del conductor nos referiremos a los puntos que no pertenecenni al conductor ni a la cavidad (a pesar de que los puntos de la cavidad tambien son parte del exterior del conductor,para estos puntos usaremos el termino “interior de la cavidad”).

Si colocamos una cantidad neta de carga qcav, en el interior de la cavidad, se puede demostrar que en la superficiede dicha cavidad se induce una carga de igual magnitud y signo opuesto. Para ello se puede usar una superficiegaussiana que contenga a la cavidad, pero que este contenida en el volumen del conductor, de tal manera que todo

2Este es un mınimo sujeto a ligaduras, ya que los portadores estan impedidos para salir del material. De no ser ası la configuracion demınima energıa (para portadores del mismo signo), serıa que todos se alejaran indefinidamente unos de otros.

3Hay que recordar que las cargas positivas no son moviles. Pero los huecos dejados por las cargas negativas actuan de manera efectivacomo si se moviera la carga positiva.

6.1. CAVIDADES EN CONDUCTORES 73

punto de dicha superficie este en el interior del conductor, donde el campo es cero. Obviamente el flujo de camposobre esta superficie es cero de modo que la ley de Gauss nos dice que no hay carga neta contenida en la superficie,y como en el interior del conductor no hay carga, toda la carga se encuentra en el interior de la cavidad o en susuperficie (carga inducida), ası que QTotal = qindcav + qcav = 0, de modo que qindcav = −qcav como se querıa demostrar.Esto implica que para el exterior de la cavidad, la contribucion del campo generado por qcav se ve apantallado porel campo generado por la carga qindcav distribuıda en la superficie de la cavidad. Aunque no es facil visualizar la razonpor argumentos fısicos simples, es un hecho que este apantallamiento es total, de tal manera que la superposicion deestos dos campos es cero en el exterior de la cavidad (tanto en el interior como en el exterior del conductor). Porotro lado, en el interior de la cavidad, la superposicion de estos dos campos es en general diferente de cero.

Imaginemos ahora que tenemos un conductor neutro con una cavidad y que ademas hay distribuciones de cargaqcav, qext en el interior de la cavidad, y en el exterior del conductor respectivamente. Como ya vimos, en el exteriorde la cavidad (y en particular en el interior del conductor) los campos generados por las cargas qcav y qindcav =−qcav que se encuentran en el volumen y la superficie de la cavidad respectivamente, se anulan. De esto sale comoconsecuencia que para que el campo en el interior del conductor sea cero, es necesario que el campo generadopor la distribucion exterior de carga qext este completamente apantallado por la carga inducida en la superficieexterior del conductor (qindext = qcav ya que el conductor es neutro). En sıntesis, tenemos cuatro distribuciones de

carga (qcav, qindcav , qext, q

indext )=(q

(a)cav,−q(b)cav, qext, q(c)cav)4, las cuales en el interior del conductor, anulan sus contribuciones

por pares. Mas aun, en el interior de la cavidad se anula la contribucion debida a qext, qindext de manera que el campo

resultante se debe solo a las cargas en el volumen y superficie de la cavidad. Similarmente, en el exterior del conductorno hay contribucion del par qcav, q

indcav , y el campo resultante es debido solo a la pareja qext, q

indext . En consecuencia, el

conductor aisla completamente a las dos parejas de distribuciones5. No hay lıneas de campo generadas en la cavidad ysu superficie que crucen el conductor ni que lleguen al exterior. De la misma forma no hay lıneas de campo generadasen el exterior o la superficie exterior del conductor, que crucen el interior del conductor ni que lleguen al interior dela cavidad. El conductor esta actuando como escudo electrostatico en ambas direcciones. Mas aun, se pueden fabricarescudos electrostaticos muy efectivos incluso si el conductor no es cerrado sino que posee pequenos huecos (jaulas deFaraday), el campo es muy atenuado en el interior excepto en las regiones cercanas a los agujeros. Esto solo es validopara campos exteriores independientes del tiempo o que varıan lentamente en el tiempo (mas adelante veremos quetambien hay efectos de apantallamiento de campos dependientes del tiempo en el interior de los conductores).

De lo anterior es facil ver que si la cavidad esta libre de carga, el campo electrico en su interior escero. La manera mas sencilla de verlo, es tomando qcav → 0+, en tal caso qindcav → 0−, y la contribucion de este paral campo en el interior de la cavidad tiende a cero, y como ya vimos, las otras dos fuentes de campo no contribuyenen el interior de la cavidad y obtenemos lo que se querıa demostrar. Hay un argumento alternativo con base en elteorema de unicidad para la ecuacion de Laplace: en el interior de la cavidad (en ausencia de carga), se satisface laecuacion de Laplace con potencial constante en la frontera (ya que la superficie de la cavidad es parte de la superficiedel conductor). Adicionalmente, es claro que φ = cte =potencial en la frontera, satisface la ecuacion de Laplace ycumple con las condiciones de frontera, de modo que es la unica solucion, con lo cual el potencial es constante en elinterior de la cavidad. Por tanto, el campo es cero en esta region.

Ademas, si la cavidad esta libre de carga, no se induce densidad superficial de carga en ningun puntode la superficie de la cavidad6. Este es un hecho interesante ya que en tal caso, aun con cargas en el exterior delconductor, la carga inducida en este no se distribuye sobre toda la superficie del conductor, puesto que la superficieque da a la cavidad tambien hace parte de la superficie del conductor. La manera mas clara de verlo es observandoque la presencia de carga superficial en la superficie de la cavidad, conduce a una discontinuidad en la componentenormal del campo electrico tal como se discutio en la seccion 1.11. Tal discontinuidad esta dada por la Ec. (1.38)Pag. 25

(E1 −E2) · n1 = 4πKcσ

siendo n1 un vector normal hacia afuera de la cavidad y siendo E1 y E2 los campos electricos en la vecindad de la

4Los supraındices (a) , (b) , (c) indican que aunque las cargas netas pueden ser iguales, su distribucion es en general, totalmente distinta.5Por ejemplo, si la pareja de distribuciones qcav, q

indcav produjera contribucion al campo en el exterior del conductor, significa que las

lıneas de campo que salen de estas distribuciones desaparecen en el interior del conductor para reaparecer en el exterior de este. Comoestas lıneas de campo tienen como fuente a este par de distribuciones, no es posible que comiencen (o recomiencen) en la superficie exteriordel conductor. Un argumento similar muestra que el par de distribuciones qext y qind

ext no pueden contribuir al campo en el interior de lacavidad.

6Por supuesto esta afirmacion solo es valida estadısticamente. Es decir, para un elemento de superficie lo suficientemente grande paracontener muchos elementos fundamentales de carga, pero muy pequeno con respecto al nivel macroscopico.


superficie interior al conductor e interior a la cavidad respectivamente, pero E1 = E2 = 0 de modo que σ = 0.Un argumento alternativo nos conduce a que en ausencia de carga en el interior de la cavidad, no hay densidad

superficial de carga sobre la superficie de la cavidad, ni hay campo electrico en el interior de esta. Para verlo tendremosen cuenta que las lıneas de campo generadas en las eventuales cargas presentes en la superficie de la cavidad, debencomenzar y terminar en la superficie de la cavidad (ya que ninguna lınea de campo le llega del exterior y por otrolado, no hay cargas en el interior de la cavidad en donde pueda terminar una de estas lıneas), cruzando solo el interiorde la cavidad ya que no hay contribucion de estas cargas al campo en el interior del conductor. Esto no es posible sitodas las cargas en la superficie fueran del mismo signo, es necesario que una lınea comience en una carga positiva enla superficie y termine en una negativa tambien en la superficie. Podemos completar un lazo cerrado con esta lıneacontinuandola de tal manera que el resto del lazo yace en el interior del conductor, este complemento no producecontribucion a la integral de lınea cerrada del campo ya que E = 0 en los puntos interiores al conductor, esto conducea que solo la lınea que pasa por el interior de la cavidad contribuye a la integral cerrada, y dicha contribucion espositiva (si tomamos el sentido que va de la carga positiva a la negativa), ya que el campo se origina en una cargapositiva y otra negativa, esto nos conduce a que este es un campo electrostatico no conservativo a menos que noexista carga neta en ningun punto de la superficie, y el campo sea cero en el interior de la cavidad.

Una aclaracion final: de lo anterior se sigue que para un conductor neutro, la carga neta inducida sobre la superficieexterior, es igual en magnitud y signo a la carga neta que esta en el interior de la cavidad (digamos positiva). Estono significa que se distribuya carga positiva a lo largo de toda la superficie exterior del conductor. Es posible porejemplo, que la carga exterior genere una polarizacion de tal forma que se distribuye carga positiva y negativa enextremos opuestos de la superficie conductora, lo importante es que la carga positiva polarizada es mayor que lanegativa polarizada, en una cantidad igual a la magnitud de la carga en el interior de la cavidad.

Example 8 Supongamos una esfera conductora neutra con una cavidad cuya posicion y forma es arbitraria, coloque-mos una carga puntual q en el interior de la cavidad, y evaluemos el campo electrico resultante en el exterior del con-ductor. En este caso, las cuatro distribuciones mencionadas arriba vienen dadas por (qcav, q

indcav , qext, q

indext )=(q(a),−q(b), 0, q(c)

En el interior del conductor las dos primeras se anulan, y como la tercera es nula, es necesario que la distribucionqindext produzca contribucion nula al campo en el interior del conductor. Por tanto, la carga qindext = q debe estar uni-formemente distribuıda en la superficie de la esfera. El campo resultante en el exterior es entonces el debido a estaultima carga uniformemente distribuıda, puesto que las dos primeras se anulan entre sı. Tenemos por tanto que elcampo es

E = Kcq

r2ur

este campo es central sin importar la forma de la cavidad ni la posicion de la cavidad o la carga. Lo unico que importaes el valor de la carga encerrada en la cavidad.

6.2. Sistemas de conductores como dispositivos de almacenamiento: Capaci-tores

Imaginemos un conductor esferico aislado de radio a, que esta a potencial ϕ0 y que posee una carga Q (definimosel cero de potencial en el infinito). Para un conductor esferico sabemos que ϕ0 = Q/a podemos definir entonces lacapacitancia de la esfera como el cociente

C ≡ Q

ϕ0= a

notamos que este cociente es un factor geometrico, es decir no depende de las cargas ni los potenciales sobre elconductor, unicamente de su forma y tamano. El lector puede comprobar que para un disco delgado de radio a lacarga almacenada y la capacitancia cuando este esta a un potencial ϕ0 vienen dados por

Q =2aϕ0

π; C =

2a

π

nuevamente un factor geometrico. Consideremos ahora un sistema que consiste de dos conductores electrostaticosoriginalmente neutros. La idea es transferir carga positiva desde uno de los conductores hacia el otro7, de modo que

7En solidos lo que usualmente se transmite es carga negativa, ya que los electrones son mucho mas moviles que los nucleos. Sin embargo,carga negativa fluyendo en una direccion es equivalente a carga positiva fluyendo en la direccion contraria. En fluıdos y plasmas es maspalusible el transporte directo de carga positiva.

6.3. SISTEMAS CON N CONDUCTORES: COEFICIENTES DE CAPACITANCIA 75

ambos queden con cargas finales Q y −Q. El procedimiento de transferencia debe ser cuasi estatico con el fin degarantizar que no hay perdidas por radiacion. Extrapolando la definicion anterior de capacitancia es natural definirla capacitancia como el cociente entre la carga Q y la diferencia de potencial V entre los conductores

C ≡ Q

V(6.1)

un caso muy simple lo constituye el sistema de un par de placas paralelas. El lector puede comprobar que para dichosistema el valor de la carga y capacitancia (despreciando efectos de borde) vienen dadas por:

Q = AV

4πs; C =

Q

V=

A

4πs

siendo A el area de cada placa, s la distancia entre placas y V la diferencia de potencial entre ellas. Nuevamente lacantidad denominada capacitancia resulta ser un factor exclusivamente geometrico. De la ecuacion (6.1) se puede verque la capacitancia como su nombre lo indica nos indica la capacidad que el condensador (sistemas de conductores)posee para almacenar carga para un valor fijo del voltaje. Si tenemos dos condensadores cada uno constituıdo pordos conductores y ambos los conectamos a fuentes del mismo voltaje, el de mayor capacitancia almacenara la mayorcantidad de carga (en valor absoluto) en cada armadura (cada conductor). Veremos mas adelante que la capacitanciatambien interviene en las expresiones para la energıa interna del condensador.

El siguiente paso natural es tratar de extrapolar el concepto cuando hay en juego N conductores. Veremos que elconcepto de capacitancia resulta de mucha utilidad en la caracterizacion de sistemas de N conductores electrostaticos.Utilizaremos en este capıtulo las expresiones en el sistema de unidades internacionales en el cual

ε0 =1

4πKc

6.3. Sistemas con N conductores: Coeficientes de capacitancia

Si

SN+1

F= j1

F= ji

F= jN

F= jN+1

ni

nN+1F= j

i

Figura 6.2: Sistema de N conductores internos con un conductor N + 1 que los encierra. Las normales ni coni = 1, . . . , N + 1 apuntan hacia el exterior de los conductores y hacia el interior del volumen VST

. Las superficies Sicon i = 1, .., N son un poco mayores a las de los correspondientes conductores. En contraste, la superficie SN+1 esligeramente menor a la superficie de la cavidad que encierra a los N conductores internos.

Consideremos un sistema de N conductores donde el potencial en cada conductor es ϕi, i = 1, 2, ..., N y unconductor externo que posee una cavidad en la cual estan contenidos los N conductores anteriores. La superficiede la cavidad que contiene a los conductores la denotamos por SN+1 y esta a potencial ϕN+1, ver Fig. 6.2. Haydos razones importantes para introducir el conductor externo que encierra a los otros: la primera es que muchossistemas de capacitores contienen un conductor que encierra a los demas, la segunda es que la condicion de fronterasobre la superficie SN+1 nos garantizara la unicidad de las soluciones que nos interesan como veremos mas adelante.Finalmente, veremos que el caso en el cual no hay conductor externo rodeando al sistema se puede obtener utilizandoel lımite apropiado.


La densidad de carga en la superficie de un conductor esta dada por (1.40), de modo que la carga total en cadaconductor se escribe como

Qi =

∮

Si

σi dS = −ε0∮

Si

∇φ · ni dS , i = 1, . . . , N,N + 1 (6.2)

donde Si para i = 1, . . . , N es la superficie exterior que encierra al conductor i y que esta arbitrariamente cercana ylocalmente paralela a la superficie real del conductor (ver Fig. 6.2)8, ni es un vector normal a Si que apunta hacia elexterior del i−esimo conductor. SN+1 es una superficie ligeramente menor y localmente paralela a la superficie de lacavidad, nN+1 es un vector normal a SN+1 que apunta hacia el exterior del conductor externo, o equivalentementehacia el interior de la cavidad. Definamos la superficie total ST como

ST = S1 + . . .+ SN + SN+1

y el volumen VSTque encierra la superficie ST es aquel delimitado por la superficie exterior SN+1 y las N superficies

interiores Si. Claramente, el potencial φ en VSTdebe satisfacer la ecuacion de Laplace con las condiciones de frontera

φ (Si) = ϕi ; i = 1, . . . , N,N + 1 (6.3)

en virtud de la linealidad de la ecuacion de Laplace, la solucion para φ se puede parametrizar como

φ =N+1∑

j=1

ϕjfj (6.4)

donde fj son funciones que cumplen la ecuacion de Laplace en el volumen VST, y que deben cumplir con las siguientes

condiciones de frontera

∇2fj = 0 ; fj(Si) = δij , i, j = 1, . . . , N,N + 1 (6.5)

Aplicando el operador ∇2 a ambos lados de la Ec. (6.4) y teniendo en cuenta (6.5) vemos que φ obedece la ecuacionde Laplace. Por otro lado evaluando φ en cada superficie Si en la Ec. (6.4) y usando (6.5) vemos que φ cumple conlas condiciones de frontera (6.5). Por tanto, las soluciones para fj nos aseguran que φ es solucion de la ecuacion deLaplace con las condiciones de frontera (6.5). Adicionalmente, los teoremas de unicidad nos aseguran que la solucionpara cada fj es unica (ası como la solucion para φ). Mas aun, las condiciones de frontera (6.5) nos indican claramenteque los factores fj dependen exclusivamente de la geometrıa. Esto se ve teniendo en cuenta que las condicionesde frontera (6.5) son independientes de las cargas y potenciales que tenga cada conductor. De hecho, las funcionesauxiliares fj son adimensionales.

Reemplazando la Ec. (6.4) en (6.2) resulta

Qi = −ε0∮

Si

∇φ · ni dS = −ε0∮

Si

∇

N+1∑

j=1

ϕjfj

· ni dS = −ε0

N+1∑

j=1

ϕj

∮

Si

∇fj · ni dS , i = 1, . . . , N,N + 1

que se puede reescribir en la forma

Qi =N+1∑

j=1

Cijϕj ; Cij ≡ −ε0∮

Si

∇fj · nidS (6.6)

de lo cual se ve claramente que los Cij son factores exclusivamente geometricos, ya que las funciones auxiliaresfj son puramente geometricas ası como la superficie y los vectores normales a la superficie. No hay alucion algunaa cargas ni potenciales en el calculo de Cij. Los coeficientes Cij se pueden organizar en forma de una matriz decapacitancia la cual consiste en una generalizacion del concepto de capacitancia planteado en la seccion 6.2. Podemos

8QN+1 no es necesariamente la carga total sobre el conductor externo, sino la carga acumulada sobre la superficie de la cavidad queencierra a los otros conductores. El valor de la carga se calcula con la integral de superficie (6.2), la cual para el caso de los conductoresinternos comprende toda su superficie, pero para el conductor externo es solo la superficie de la cavidad que encierra a los otros conductores.

6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 77

demostrar que la matriz Cij es simetrica por medio de argumentos puramente geometricos. Partiendo de la definicionde Cij en la Ec. (6.6) se tiene

Cij = −ε0∮

Si

∇fj · nidS = ε0

∮

ST

fi∇fj · (−ni) dS

donde hemos usado el hecho de que fi = 1 en la superficie Si en tanto que fi = 0 en las otras superficies. Puesto que−ni es un vector que va hacia afuera del volumen VST

, podemos aplicar el teorema de Gauss sobre la superficie STy el volumen VST

contenido en ella y encontramos que

Cij = ε0

∫

VST

∇ · (fi∇fj) dV = ε0

∫

VST

[∇fi · ∇fj + fi∇2fj

]dV

y dado que ∇2fj = 0 en VSTse sigue que

Cij = ε0

∫

VST

∇fi · ∇fj dV (6.7)

la cual es claramente simetrica9, i.e.

Cji = Cij (6.8)

una demostracion alternativa usando argumentos de energıa se describe en la seccion 6.8. Notese que la expresion (6.7)tambien constituye un metodo alternativo para calcular la matriz de capacitancia utilizando las funciones auxiliaresfi.

Es posible que uno o mas de los conductores internos tenga una cavidad vacıa. De acuerdo con la discusionhecha en la seccion 6.1, no hay densidad de carga superficial inducida sobre la superficie de esta cavidad (la cualdenotaremos por Sic). En consecuencia, aunque Sic es parte de la superficie del conductor, dicha superficie se puedeexcluir de la integracion en la Ec. (6.2). Por otro lado, se puede ver por argumentos de unicidad que fj = δij en elvolumen de la cavidad Vic con lo cual ∇fj = 0 en dicho volumen, y por tanto Vic puede ser excluıdo de la integral devolumen (6.7). En sıntesis ni Sic ni Vic contribuyen en este caso.

Esta situacion es diferente si hay otro conductor en la cavidad. En este caso la superficie de la cavidad contribuyeen la Ec. (6.2). Similarmente, el volumen comprendido entre la cavidad y el conductor dentro de ella contribuye enla integral (6.7). Estos argumentos se pueden extender para el caso de embebimientos sucesivos de conductores encavidades como muestra la Fig. 6.3 o para conductores con varias cavidades.

6.4. Propiedades adicionales de la matriz de capacitancia

Definamos una funcion F en la forma

F ≡N+1∑

j=1

fj (6.9)

de la ecuacion (6.5) vemos que

∇2F = 0, F (Si) = 1 (i = 1, . . . , N + 1). (6.10)

y dado que F = 1 a lo largo de toda la superficie ST , vemos por unicidad que F = 1 en todo el volumen VSTde

modo que se obtiene la identidadN+1∑

i=1

fi = 1 (6.11)

9La Ec. (6.7) es una integral de volumen para los factores Cij . Podrıamos estar tentandos a usar el teorema de Gauss para obtener unaintegral de volumen directamente de la Ec. (6.6). Sin embargo, fj no esta definido en la region interior a los conductores. El gradiente defj en la Ec. (6.6) se evalua en una vecindad exterior de la superficie conductora.


j1

j3

j2

n2

A

Figura 6.3: Ejemplo de un sistema en el cual hay embebimiento sucesivo de conductores. El volumen VSTcorresponde

a la region en blanco. Las regiones correspondientes a cavidades vacıas (y sus superficies y volumenes asociados)pueden ser excluıdos sin afectar los calculos. En esta figura la cavidad A esta vacıa, de modo que su superficie yvolumen no necesitan ser considerados en los calculos.

adicionalmente si sumamos sobre j en la segunda de las ecuaciones (6.6) y teniendo en cuenta la Ec. (6.11), encon-tramos

N+1∑

j=1

Cij = 0 (6.12)

La simetrıa de los Cij conduce tambien a la identidad

N+1∑

i=1

Cij = 0 (6.13)

Las ecuaciones (6.12) y (6.13) implican que la suma de los elementos sobre cualquier fila o columna de la matriz esnula. En el apendice B.1 se obtienen algunas pruebas de consistencia para estas importantes propiedades. Teniendoen cuenta la simetrıa de la matriz de los Cij con dimensiones (N + 1)× (N + 1) ası como las N + 1 ligaduras dadaspor la Ec. (6.13), vemos que para un sistema de N conductores rodeados por un conductor externo N +1, el numerode coeficientes de capacitancia independientes viene dado por

NI = (N + 1)2 −[N (N + 1)

2

]− (N + 1) =

N (N + 1)

2. (6.14)

Otras propiedades importantes son las siguientes

Cii ≥ 0 ; Cij ≤ 0, i 6= j (6.15)

La primera de las Ecs. 6.15 se sigue directamente de la Ec. (6.7). Para demostrar la segunda, recordemos que lassoluciones de la ecuacion de Laplace no pueden tener mınimos o maximos locales en el volumen en donde la ecuacion

6.4. PROPIEDADES ADICIONALES DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 79

Si

fi= 0Ñf i

Sj

ni

Si

Ñf j

Sj

ni

(a) (b)

C iiC ij

fi= 1

fj= 0

fj= 1

Figura 6.4: Comportamiento del factor ∇fi en la superficie de cada conductor.

es valida (ver seccion 3.1). Por lo tanto las funciones fj deben yacer en el intervalo10

0 ≤ fj ≤ 1. (6.16)

y puesto que fj = 0 sobre las superficies Si con i 6= j, vemos que fj adquiere su valor mınimo sobre tales superficies.En consecuencia, la funcion ∇fj debe apuntar hacia afuera con respecto al conductor i para i 6= j. de modo que

ni · ∇fj ≥ 0 ; para i 6= j. (6.17)

sustituyendo la Ec. (6.17) en la Ec. (6.6) se obtiene que Cij ≤ 0 para i 6= j. Una demostracion adicional de lapropiedad Cii ≥ 0 se puede obtener teniendo en cuenta que fi adquiere su valor maximo sobre la superficie Si con loque se obtiene

ni · ∇fi ≤ 0 (6.18)

Por otra parte, las superficies Si son superficies de nivel de las funciones auxilares fj, de modo que ∇fj esortogonal a cada superficie Si. Por tanto, ni es colineal con ∇fj, combinando este hecho con las ecuaciones (6.17,6.18) se obtiene

ni · ∇fj = ‖∇fj‖ para i 6= j ; ni · ∇fi = −‖∇fi‖ni · ∇fj = (1− 2δij) ‖∇fj‖ (6.19)

La Fig. 6.4, muestra el comportamiento de estos gradientes en las vecindades de las superficies conductoras.

Por otro lado, la Ecuacion (6.13) la podemos reescribir como

N∑

j=1

Cij = −CN+1,j (6.20)

Y a partir de la Ec. (6.15) tenemos que CN+1,j ≤ 0 para j = 1, . . . , N y CN+1,N+1 ≥ 0. Por tanto

N∑

i=1

Cij ≥ 0 (j = 1, . . . , N) (6.21a)

N∑

i=1

Ci,N+1 ≤ 0. (6.21b)

10Si fj tomara valores menores que cero dentro del volumen VST, verıamos que la funcion tuvo que “comenzar” en el valor fj = 1 en

los puntos sobre la superficie Sj y bajar hasta valores negativos de fj para luego volver a subir y llegar al valor cero en cada superficie Si

con i 6= j. Pero esto implicarıa la existencia de al menos un mınimo local. Similarmente, si fj tomara valores mayores que uno, implicarıala existencia de al menos un maximo local.


Las siguientes propiedades se siguen de las Ecs. (6.8), (6.13), (6.15), (6.21a) y (6.21b)

|Cii| ≥N∑

i 6=j|Cij | (6.22a)

|Cii| ≥ |Cij |, (6.22b)

CiiCjj ≥ C2ij (6.22c)

|CN+1,N+1| =

N∑

i=1

|Ci,N+1| (6.22d)

|CN+1,N+1| ≥ |Ci,N+1|, (6.22e)

donde i, j = 1, . . . , N .

Un caso particularmente interesante surge cuando el conductor externo esta a potencial cero. En tal caso, aunquelos elementos de la forma CN+1,j no son necesariamente nulos, no aparecen en las contribuciones a la carga delos conductores internos como se puede ver de la ecuacion (6.6) haciendo ϕN+1 = 0. Por esta razon, la matrizde capacitancia usada para describir N conductores libres (es decir sin un conductor externo que los rodee) tienedimensiones N ×N , ya que por unicidad, la solucion para este problema es equivalente a la solucion del sistema deN conductores rodeados por un conductor externo conectado a tierra y cuyas dimensiones tienden a infinito.

6.5. El caso de dos conductores

Analicemos el caso de un solo conductor interno y el conductor externo i.e. N = 1. En todos los casos el conductor1 es el conductor interno. Tendremos una matriz de capacitancia 2×2 dada por

C ≡(C11 C12

C21 C22

)

De (6.13) y (6.8) la matriz es simetrica y la suma de filas y columnas debe ser cero

C11 + C12 = C21 + C22 = 0 ; C11 + C21 = C12 + C22 = 0 ; C12 = C21

estas ligaduras conducen a que hay un solo grado de libertad, digamos C11 (en consistencia con la Ec. 6.14 conN = 1).

C11 = C22 = −C21 = −C12 (6.23)

Las cargas del conductor interno y externo se obtienen a partir de (6.6)

Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 = C11ϕ1 − C11ϕ2 = C11 (ϕ1 − ϕ2) (6.24)

Q2 = C21ϕ1 + C22ϕ2 = −C11ϕ1 + C11ϕ2 = −C11 (ϕ1 − ϕ2) (6.25)

definiendo la diferencia de potencial con respecto al potencial ϕ2 de la cavidad que encierra al conductor interno,escribimos V = ϕ2 − ϕ1 y la relacion (6.24, 6.25) se escribe como

Q1 = C11V , Q2 = −C11V = −Q1 ; V ≡ ϕ1 − ϕ2 (6.26)

Este ultimo resultado es consistente con la Ec. (B.2) y nos muestra que la carga inducida en la superficie de la cavidaddel conductor 2 es opuesta a la carga del conductor 1, propiedad ya discutida en la seccion 6.1.

Notese que el anterior analisis es independiente de la geometrıa especıfica de los conductores y solo depende deque uno de los conductores contenga al otro. Este ejemplo nos ilustra que para el caso de dos conductores solo unelemento de capacitancia es necesario para caracterizar al sistema, en consistencia con la discusion en la seccion 6.2.

Por otro lado, para el calculo explıcito de C11 sı debemos especificar la geometrıa. De acuerdo con el metodo aquıdescrito, primero se deben calcular las funciones auxiliares fi solucionando las ecuaciones de Laplace correspondientes

6.5. EL CASO DE DOS CONDUCTORES 81

con las condiciones de frontera (6.5) definidas sobre la geometrıa. Posteriormente se insertan estas soluciones en laEc. (6.6) y se calculan las correspondientes integrales de superficie11. En este caso, en virtud de la ligadura (6.11)tenemos que f1 = −f2 de modo que solo hay una funcion auxiliar independiente, digamos f1.

En la tabla 6.1 se describen tres ejemplos de aplicacion en los cuales se calcula de manera explıcita la funcionauxiliar f1 y el coeficiente C11. Describiremos el primer ejemplo en detalle

System f1 C11

Spherical shell with radius band concentric solid spherewith radius a.

abb−a

(1r − 1

b

)4πε0abb−a

Cylindrical shell with radiusb and concentric solid cylin-der with radius a, both withlength L.

ln(r/b)ln(a/b)

2πε0Lln(b/a)

Two parallel planes with areaA at x = 0 and x = d (con-ductor 1).

x/d ε0Ad

Cuadro 6.1: factores C11 y f1 para tres sistemas de dos conductores con a ≤ r ≤ b y 0 ≤ x ≤ d. Despreciamos efectosde borde para los cilindros y planos.

6.5.1. Esferas concentricas

Tomemos el caso de una esfera solida con radio a inmersa en la cavidad de un cascaron esferico concentrico deradio b > a. S1 es la superficie de la esfera solida de area total 4πa2 y S2 la superficie del cascaron de area 4πb2. Elvolumen VST

es el comprendido entre el exterior de la esfera solida y el interior al cascaron. La funcion auxiliar f1se encuentra resolviendo la ecuacion de Laplace con condiciones de frontera dadas por

∇2f1 = 0 ; f1 (S1) = 1 , f1 (S2) = 0 ⇔ f1 (r = a, θ, ϕ) = 1 , f1 (r = b, θ, ϕ) = 0

Esta ecuacion de Laplace se puede resolver en coordenadas esfericas con los metodos descritos en la seccion 4. Por elmomento, escribiremos la respuesta

f1 (r) =ab

b− a

(1

r− 1

b

)

es inmediato ver que esta expresion cumple la ecuacion de Laplace ya que ∇2 (1/r) = 0 para r 6= 0 y el origen estaexcluıdo de la region VST

en donde estamos resolviendo la ecuacion. El cumplimiento de las condiciones de fronteratambien es inmediato

f1 (S1) = f1 (a) =ab

b− a

(1

a− 1

b

)=

ab

b− a

(b− a

ab

)= 1

f1 (S2) = f1 (b) =ab

b− a

(1

b− 1

b

)= 0

podemos ver ademas que

∇f1 = ∇[ab

b− a

(1

r− 1

b

)]=

ab

b− a∇[1

r

]

∇f1 = − ab

b− a

urr2

(6.27)

11Alternativamente puede usarse la integral de volumen (6.7).


sustituyendo (6.27) en (6.6) calculamos el coeficiente C11

C11 = −ε0∮

S1

∇f1 · n1dS = −ε0∫

r=a∇f1 · ur r2dΩ = ε0

ab

b− a

∫

r=a

urr2

∣∣∣r=a

· ur a2dΩ = ε0ab

b− a

∫dΩ

C11 =4πε0ab

b− a(6.28)

el calculo tambien se puede realizar aplicando (6.27) en la integral de volumen (6.7)

C11 = ε0

∫

VST

(∇f1)2 dV = ε0

∫

VST

(ab

b− a

urr2

)2

r2drdΩ = ε0a2b2

(b− a)2

∫ r=b

r=a

1

r2dr

∫

ΩdΩ

= 4πε0a2b2

(b− a)2

∫ b

adr

1

r2= −4πε0a

2b2

(b− a)21

r

∣∣∣∣b

a

=4πε0a

2b2

(b− a)2

(1

a− 1

b

)=

4πε0a2b2

(b− a)2

(b− a

ab

)

C11 =4πε0ab

(b− a)(6.29)

6.6. Esfera conductora solida y dos cascarones conductores esfericos concentri-cos

Consideremos el caso de dos cascarones esfericos concentricos de radios b y c, y un conductor esferico solido(concentrico con los anteriores) de radio a de tal forma que a < b < c. Los potenciales se denotan por ϕ1, ϕ2, y ϕ3

respectivamente. Propondremos un ansatz de solucion para fi en la forma

fi =Air

+Bi (6.30)

Puesto que ∇2 (1/r) = 0 para r 6= 0, es inmediato que estas funciones obedecen la ecuacion de Laplace. Debemosajustar las condiciones de frontera (6.5), con los parametros libres en (6.30). Por ejemplo para f1 en el volumendefinido por el intervalo a ≤ r ≤ b tenemos las condiciones de frontera

f1 (r1) = f1 (a) = 1 ⇒ A1

a+B1 = 1

f1 (r2) = f1 (b) = 0 ⇒ A1

b+B1 = 0

cuya solucion es

A1 =ab

(b− a); B1 =

a

(a− b)

por otra parte, para f1 en el volumen definido por el intervalo b ≤ r ≤ c tenemos las condiciones de frontera12

f1 (r2) = f1 (b) = 0 ; f1 (r3) = f1 (c) = 0

por lo tanto la unica solucion en este intervalo es f1 = 0. Podemos escribir entonces

f1 =

abb−a

(1r − 1

b

), si a ≤ r ≤ b

0, si b ≤ r ≤ c(6.31)

podemos proceder de forma similar para f3

f3 =

0, si a ≤ r ≤ b

bcc−b(1b − 1

r

), si b ≤ r ≤ c

(6.32)

12Estamos asumiendo que los cascarones son muy delgados de modo que el radio b de la cavidad del primer cascaron es practicamenteigual al radio de su superficie externa. Similarmente para el segundo cascaron. Sin embargo, la separacion que generan los cascarones esimportante a la hora de imponer condiciones de frontera.

6.6. ESFERA CONDUCTORA SOLIDA Y DOS CASCARONES CONDUCTORES ESFERICOS CONCENTRICOS83

aunque f2 se puede obtener con el mismo procedimiento, es mas ventajoso extraerlo con base en la propiedad (6.11)y se obtiene

f2 =

abb−a

(1a − 1

r

), si a ≤ r ≤ b

bcc−b(1r − 1

c

), si b ≤ r ≤ c

(6.33)

Los nueve coeficientes de capacitancia se pueden evaluar explıcitamente a partir de (6.6). Sin embargo, es mas facilusar las propiedades (6.13) y (6.8), y tener en cuenta que

C31 = −ε0∮

S3

∇f1 · n3dS = −ε0∫

r=c∇f1 · (−ur) c

2dΩ

C31 = 0 (6.34)

donde hemos usado el hecho de que f1(r) = 0 para r = c. Combinando (6.34) con las Ecs. (6.13) y (6.8) se obtiene

C13 = 0, C11 + C12 + C13 = 0 ; C21 + C22 + C23 = 0 ; C31 + C32 + C33 = 0

C13 = 0, C11 + C12 = 0 ; C12 + C22 + C23 = 0 ; C23 + C33 = 0

C13 = 0, C12 = −C11 ; −C11 + C22 + C23 = 0 ; C33 = −C23

finalmente

C13 = 0, C12 = −C11, C22 = C11 −C23 y C33 = −C23 (6.35)

por lo tanto, solo es necesario calcular C11 y C2313

Calculo de las capacitancias independientes

Es ilustrativo el calculo directo de C23. De la Ec. (6.6) escribimos

C23 = −ε0∮

S2

∇f3 · n2 dS

debemos tener en cuenta sin embargo que la superficie S2 tiene dos caras y en cada una la normal apunta hacia elexterior del cascaron conductor (ver Fig. 6.3, Pag. 78). Como S2 esta caracterizada por r = b, la cara interior ladenotaremos con r = b− (i.e. r tiende a b por la izquierda) y la cara exterior con r = b+.

C23 = −ε0∮

S−

2

∇f−3 · n−2 dS − ε0

∮

S+2

∇f+3 · n+2 dS = −ε0

∮

S−

2

∇f−3 · (−ur) r2dΩ− ε0

∮

S+2

∇f+3 · ur r2dΩ

C23 = −ε0∫ 2π

0

∫ π

0∇f−3

∣∣r=b−

· (−ur) b2 sin θ dθ dϕ− ε0

∫ 2π

0

∫ π

0∇f+3

∣∣r=b+

· ur b2 sin θ dθ dϕ

y teniendo en cuenta que f3 solo depende de r, tenemos

C23 = −ε0b2∫ 2π

0

∫ π

0

∂f−3∂r

∣∣∣∣r=b−

ur · (−ur) sin θ dθ dϕ− ε0b2

∫ 2π

0

∫ π

0

∂f+3∂r

∣∣∣∣r=b+

ur · ur sin θ dθ dϕ

= ε0b2 ∂f

−3

∂r

∣∣∣∣r=b−

∫ 2π

0

∫ π

0sin θ dθ dϕ− ε0b

2 ∂f+3

∂r

∣∣∣∣r=b+

∫ 2π

0

∫ π

0sin θ dθ dϕ

C23 = 4πε0b2

∂f−3∂r

∣∣∣∣r=b−

− ∂f+3∂r

∣∣∣∣r=b+

De la Ec. (6.32) vemos que f−3 corresponde a la solucion en la region a ≤ r ≤ b en tanto que f+3 corresponde a lasolucion en la region b ≤ r ≤ c. Notese que la funcion f3 (r) es contınua en r = b pero no es derivable en tal punto.Por esta razon la derivada es diferente en el lımite r → b− con respecto al lımite r → b+.

∂f−3∂r

=∂ (0)

∂r= 0 ;

∂f+3∂r

=∂

∂r

[bc

c− b

(1

b− 1

r

)]=

bc

c− b

1

r2

13Si tenemos en cuenta que C13 es otro grado de libertad (aunque sea nulo), tenemos un total de tres grados de libertad, en concordanciacon la Ec. 6.14 para N = 2.


con lo cual queda

C23 = −4πε0b2

∂f+3∂r

∣∣∣∣r=b+

= −4πε0b

2

bc

c− b

1

b2

C23 = −4πε0bc

c− b

Notese que solo la cara exterior de S2 contribuyo a la integral de superficie. Esta es una caracterıstica general delcalculo de capacitancias cuando tenemos conductores sucesivamente embebidos, sin importar su geometrıa ni lacantidad de conductores que se esten embebiendo (ver apendice C en la Ref. [11])14. Por otro lado, podrıa habersecalculado C32 en cuyo caso se integra sobre la superficie S3 ≡ SN+1, para la cual solo se integra por una cara (lacara interior que forma la cavidad que contiene a los demas conductores). El lector puede comprobar que se obtieneel mismo resultado como era de esperarse.

Con un procedimiento similar se obtiene C11 (notese que S1 tambien tiene una sola cara). Los coeficientes decapacitancia independientes de este sistema nos dan

C11 = 4πε0ab

b− a, C23 = −4πε0

bc

c− b(6.36)

vemos que C23 < 0 y C11 > 0 como debe ser. Sustituyendo (6.36) en (6.35) se obtienen los otros coeficientes

C13 = 0, C12 = −4πε0ab

b− a, C33 = 4πε0

bc

c− b, C22 = 4πε0b

(a

b− a+

c

c− b

)(6.37)

Cargas inducidas en los conductores

Combinando (6.6) con (6.35) la carga en cada uno de los conductores es

Q1 = C11ϕ1 +C12ϕ2 + C13ϕ3 = C11ϕ1 − C11ϕ2 = C11 (ϕ1 − ϕ2)

Q2 = C21ϕ1 +C22ϕ2 + C23ϕ3 = −C11ϕ1 + (C11 − C23)ϕ2 + C23ϕ3

Q2 = C11 (ϕ2 − ϕ1) + C23 (ϕ3 − ϕ2) = −Q1 + C23 (ϕ3 − ϕ2)

Q3 = C31ϕ1 +C32ϕ2 + C33ϕ3 = C23ϕ2 − C23ϕ3 = C23 (ϕ2 − ϕ3)

las cargas quedan en la forma

Q1 = C11 (ϕ1 − ϕ2)

Q2 = −Q1 + C23 (ϕ3 − ϕ2)

Q3 = C23 (ϕ2 − ϕ3) = −(Q1 +Q2) (6.38)

sustituyendo (6.36) en (6.38) las cargas quedan finalmente

Q1 = 4πε0ab

b− a(ϕ1 − ϕ2) ; Q2 = −Q1 + 4πε0

bc

c− b(ϕ2 − ϕ3) ; Q3 = − (Q1 +Q2)

la ultima ecuacion es consistente con la ley de Gauss. En el caso en que ϕ2 = ϕ3, se llega a que Q1 = −Q2 y Q3 = 0.Es decir, si los dos cascarones estan al mismo potencial, toda la carga inducida queda sobre el cascaron interno deradio b.

Se puede demostrar que las ecuaciones (6.35) y (6.38) son validas incluso si no tenemos conductores esfericos niconcentricos, ya que estas ecuaciones provienen de la primera de las Ecs. (6.6) ası como de las Ecs. (6.8) y (6.13), lascuales reflejan propiedades generales independientes de geometrıas especıficas.

14Tambien se demuestra que para conductores en embebimiento sucesivo, Cij = 0 cuando |i− j| ≥ 2. Para nuestro ejemplo C13 = C31 =0. Esto implica que para estas configuraciones, solo la diagonal principal y las subdiagonales inferior y superior a ella son diferentes decero.

6.7. DOS CONDUCTORES INTERNOS Y UN CONDUCTOR ENVOLVENTE CONECTADO A TIERRA 85

6.7. Dos conductores internos y un conductor envolvente conectado a tierra

Consideremos dos conductores internos y el conductor externo que los contiene conectado a tierra de modoque ϕ3 = 0. Dado que N = 2, la Ec. (6.14) nos dice que solo tres de los coeficientes Cij son independientes.Comencemos con los conductores internos inicialmente neutros i.e. Q1 = Q2 = 0. Si transferimos carga desde uno delos conductores internos al otro se mantendra la condicion Q1 = −Q2. A partir de la Ec. (6.6) y definiendo el voltajeentre los conductores internos V ≡ ϕ1 − ϕ2 encontramos

Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 + C13ϕ3 = C11ϕ1 + C12ϕ2 = C11ϕ1 + C12ϕ1 − C12ϕ1 + C12ϕ2

Q1 = (C11 + C12)ϕ1 − C12 (ϕ1 − ϕ2)

y usando la Ec. (6.13), nos queda

Q1 = −C13ϕ1 − C12V (6.39)

Similarmente

Q2 = −C23ϕ1 − C22V (6.40)

sumando (6.39) y (6.40), y usando de nuevo la Ec. (6.13) encontramos

Q1 +Q2 = − (C13 + C23)ϕ1 − (C12 + C22)V (6.41)

Q1 +Q2 = C33ϕ1 + C32V (6.42)

y dado que el sistema es neutro i.e. Q1 +Q2 = 0 se obtiene que

ϕ1 = −C32

C33V (6.43)

sustituyendo la Ec. (6.43) en la Ec. (6.39) encontramos

Q1 = −C13

(−C23

C33V

)− C12V =

[C13

C23

C33− C12

]V

Q1 = CV ; C ≡ C13C23 − C33C12

C33(6.44)

para escribirlo en terminos de los 3 coeficientes independientes usamos C23 = − (C13 + C33)

C ≡ −C13 (C13 + C33)− C33C12

C33=

−C213 − C33 (C13 + C12)

C33=

−C213 + C33C11

C33

de modo que podemos escribir la cantidad C en terminos de tres de los coeficientes independientes

Q1 = CV ; C ≡ C33C11 − C213

C33(6.45)

Por tanto, para un sistema de dos conductores internos y un conductor envolvente, la carga almacenada en elconductor 1 es directamente proporcional al voltaje V = ϕ1−ϕ2 siempre que se mantenga la condicion Q1 = −Q2 , yel conductor externo permanezca conectado a tierra. La constante de proporcionalidad geometrica es una combinacionde los elementos de la matriz de capacitancia que la llamaremos la capacitancia efectiva C. A partir de las Ecs.(6.44) y (6.15) vemos que esta capacitancia efectiva es positiva. El procedimiento no es valido si C33 = 0, en tal casovemos que al usar las Ecs. (6.13), (6.8) y (6.15) se obtiene Ci3 = C3i = 0, y a partir de la Ec. (6.39) encontramosC = −C12 = C22 = C11 que tambien es positiva.

Finalmente, el lımite en el cual no hay conductor externo se obtiene haciendo tender todas las dimensiones de lacavidad hacia infinito manteniendo el conductor externo conectado a tierra, a fin de obtener la condicion de potencialcero en el infinito. En consecuencia, para un sistema de dos conductores sin conductor externo, la condicion (6.44)permanece valida. Esta es entonces la demostracion formal de la Ec. (6.1) que se discutio en la seccion 6.2 Pag. 74de manera eurıstica.


6.8. Energıa electrostatica y matriz de capacitancia

Notese que a partir de la Ec. (6.6) los argumentos utilizados han sido exclusivamente geometricos sin alucionalguna a cargas o potenciales sobre los conductores. Esto esta relacionado con el hecho de que los coeficientes decapacitancia son factores geometricos independientes de dichas cargas y potenciales. Por otro lado, la Ec. (6.6) nosbrinda la relacion que hay entre las cargas y potenciales a traves de los factores de capacitancia. El objetivo ahoraes ver que informacion nos pueden dar estos coeficientes para observables tales como cargas, potenciales y la energıaelectrostatica.

6.8.1. Simetrıa de los Cij por argumentos de energıa

Podemos calcular el trabajo necesario para elevar el potencial de un conductor desde el valor cero hasta un valorfinal ϕ. Para ello basta con aplicar la Ec. (1.18) Pag. 16, teniendo en cuenta que la integral en dicha ecuacion es solosobre las regiones que tienen carga y que el potencial es constante. De esta forma se obtiene15

W = Uint =1

2Qϕ (6.46)

La propiedad de simetrıa de los Cij se puede obtener utilizando la conservatividad de los sistemas electrostaticos.Para verlo, tomemos un sistema de N conductores con un conductor N +1 que los rodea tal como lo describe la Fig.6.2. Comenzando con todos los conductores a potencial cero, cargamos el conductor j hasta que alcance su potencialfinal ϕj , combinando las Ecs. (6.46) y (6.6) el trabajo necesario para realizar este proceso esta dado por

U(1)j =

1

2Qjϕj =

1

2

(N+1∑

k=1

Cjkϕk

)ϕj

y teniendo en cuenta que todos los demas conductores estan a potencial cero, la expresion se reduce a

U(1)j =

1

2Cjjϕ

2j

Hemos usado el supraındice (1) para indicar que estamos realizando el proceso en el orden rotulado por (1). Ahoramanteniendo el conductor j a potencial ϕj , cargamos el conductor i hasta que quede a potencial ϕi, el trabajo paraesto es

U(1)i =

1

2Qiϕi =

1

2(Ciiϕi + Cijϕj)ϕi

donde hemos tenido en cuenta que solo los conductores i, j estan a potenciales diferentes de cero. La energıa totalpara llevar ambos conductores a potenciales ϕi y ϕj (los otros conductores se mantienen a potencial cero) es

UT = U(1)j + U

(1)i =

1

2

(Ciiϕ

2i + Cijϕjϕi + Cjjϕ

2j

)(6.47)

Por otro lado, desde la misma configuracion inicial podemos llegar a la misma configuracion final por un procesoque rotulamos como (2) en el cual cargamos primero el conductor i para luego cargar el conductor j hasta la mismaconfiguracion final. La conservatividad de los sistemas electrostaticos nos garantiza que la energıa requerida es lamisma y esta dada por

UT = U(2)i + U

(2)j =

1

2

(Ciiϕ

2i + Cjiϕjϕi + Cjjϕ

2j

)(6.48)

de modo que la igualacion de las Ecs. (6.47, 6.48) conduce a

Cij = Cji (6.49)

15Aunque la Ec. (1.18) esta escrita en terminos de densidades volumetricas, la densidad superficial de un conductor se puede interpretarcomo una densidad volumetrica equivalente.

6.9. TEOREMA DE RECIPROCIDAD PARA CARGAS Y POTENCIALES 87

6.8.2. Energıa electrostatica y capacitancia

Para demostrar la simetrıa de los coeficientes de capacitancia hemos calculado la energıa interna en el caso en quese eleva el potencial de dos conductores manteniendo los otros a tierra. Sin embargo, la configuracion final del sistemapuede ser tal que todos los conductores esten a potencial diferente de cero. Para este caso general vamos a calcular laenergıa interna del sistema, es decir el trabajo necesario para que los conductores queden en sus potenciales finalespartiendo todos de potencial cero. En particular queremos ver la conexion que hay entre la energıa interna del sistemay los coeficientes de capacitancia. Partiendo de la expresion (1.22) para la energıa interna electrostatica y aplicandola Ec. (6.4) tenemos:

Uint =ε02

∫

VST

E2dV =ε02

∫

VST

∇φ · ∇φ dV =1

2

N+1∑

i=1

N+1∑

j=1

ϕiϕj

[ε0

∫

VST

∇fi · ∇fj dV]

y teniendo en cuenta las relaciones (6.7) y (6.6) obtenemos

Uint =1

2

N+1∑

i=1

N+1∑

j=1

Cijϕjϕi =1

2

N+1∑

i=1

Qiϕi (6.50)

que nos muestra la forma de calcular la energıa almacenada en el sistema de conductores, con base en los coeficientesde capacitancia y los potenciales de estos. Notese que la relacion (6.50) es consistente con la relacion (6.46) obtenidapara un solo conductor.

6.9. Teorema de reciprocidad para cargas y potenciales

Ahora para una geometrıa dada de conductores, tomemos dos configuraciones de cargas y potenciales Qi, ϕi yQ′

i, ϕ′i. Un resultado adicional interesante surge de aplicar las relaciones (6.8) y (6.6) se tiene que

N+1∑

i=1

Qiϕ′i =

N+1∑

i=1

N+1∑

j=1

Cijϕj

ϕ′

i =

N+1∑

j=1

(N+1∑

i=1

Cjiϕ′i

)ϕj

y aplicando nuevamente (6.6) se obtieneN+1∑

i=1

Qiϕ′i =

N+1∑

j=1

Q′jϕj

resultado conocido como teorema de reciprocidad.

6.10. Positividad de la matriz de capacitancia

Aplicando la relacion (6.19) a las expresiones de capacitancia (6.6) vemos que para geometrıas bien comportadas,todos los elementos no diagonales de la matriz de capacitancia seran estrictamente negativos y los elementos diagonalesseran estrictamente positivos, siempre y cuando el volumen VST

sea arcoconexo como se ve en la Fig. 6.2, Pag. 7516.Por tanto de aquı en adelante asumiremos que todos los Cij son no nulos para configuraciones como la de la figura6.2.

La matriz Cij es de dimension (N + 1)× (N + 1). En notacion matricial llamaremos a esta la “matriz extendidade capacitancia” y la denotaremos por Ce o la denominaremos la e-matriz. Por otro lado los elementos Cij coni, j = 1, . . . , N , forman una submatriz de la matriz anterior, esta es una matriz de dimension N×N y la denominamosla matriz restringida o la r-matriz y la denotamos simplemente porC. Estas matrices poseen las siguientes propiedadesque no demostraremos aquı [11]

Theorem 9 Asumiendo que todos los elementos de la e-matriz son no nulos, dicha matriz es positiva singular. Suvalor propio nulo es no degenerado y el unico vector propio (linealmente independiente) asociado al valor propio nuloes de la forma Φ = (ϕ,ϕ, . . . , ϕ). Adicionalmente, la r-matriz asociada es definida positiva.

16Ya hemos mencionado que para regiones en donde VSTno es arcoconexo como las configuraciones de conductores sucesivamente

embebidos (ver Fig. 6.3 Pag. 78) los elementos Cij son nulos para |i− j| ≥ 2.


Este teorema nos conduce en particular, a la invarianza de los observables fısicos cuando hacemos un corrimientoconstante del potencial. Supongamos que redefinimos el potencial en todo el espacio en la forma ϕ′ (r) ≡ ϕ (r) + ϕ0

siendo ϕ0 una constante. La relacion (6.6) escrita matricialmente para el nuevo potencial nos da

Q′ = CeΦ′ = Ce (Φ+Φ0) ; Φ0 ≡ (ϕ0, ϕ0, . . . , ϕ0)

pero de acuerdo con el teorema 9, Φ0 es vector de Ce con valor propio cero. Por tanto CeΦ0 = 0 y obtenemos

Q′ = Ce (Φ+Φ0) = CeΦ = Q

de modo que las cargas son las mismas que con el potencial Φ como debe ser.Notese que las ligaduras (6.12) y (6.13) nos llevan a que el conocimiento de la r-matriz nos genera automaticamente

la e-matriz. Esto nos induce a encontrar expresiones que solo involucren a la r-matriz. Combinando las Ecs. (6.6,6.20) obtenemos

Qi =N+1∑

k=1

Cikϕk =N∑

k=1

Cikϕk + Ci,N+1ϕN+1 =N∑

k=1

Cikϕk +

(−

N∑

k=1

Cik

)ϕN+1

Qi =N∑

k=1

Cik (ϕk − ϕN+1) ; i = 1, 2, . . . , N,N + 1

esta relacion es valida en particular para i desde 1 hasta N . Tomando esta restriccion la ecuacion anterior de puedeescribir como

Q = CV ; V ≡ (V1, V2, . . . , VN ) , Q ≡ (Q1, Q2, . . . , QN ) , Vi ≡ ϕk − ϕN+1 (6.51)

vemos que los voltajes en la Ec. (6.51) estan medidos con respecto al potencial del conductor externo. Esta ecuacioncontiene todos los grados de libertad independientes, si tenemos en cuenta que

QN+1 = −Qint = −N∑

k=1

Qi

Hemos escrito la energıa interna de una configuracion de conductores en terminos de la e-matriz en la Ec. (6.50),dicha ecuacion se puede escribir en forma matricial como una forma bilineal

Uint =1

2Φ Ce Φ

y puesto que la matriz Ce es positiva, esta forma bilineal es positiva

Uint =1

2Φ Ce Φ ≥ 0

pero adicionalmente Ce es singular, lo cual implica que hay arreglos vectoriales Φ diferentes de cero que conducena la nulidad de esta forma bilineal. Pero dado que los unicos vectores propios asociados al valor propio cero son losde la forma Φ =(ϕ,ϕ, . . . , ϕ), concluımos que las unicas configuraciones con energıa interna cero son aquellas en lasque los conductores estan todos al mismo potencial. El lector puede demostrar que esta forma bilineal tambien sepuede escribir en terminos de la r-matriz en la forma

Uint =1

2V C V ≥ 0

pero dado que C es definida positiva, la unica solucion que conduce a la nulidad de la energıa interna es V = 0, quede nuevo nos indica que las unicas configuraciones de energıa interna cero son aquellas con todos los conductores almismo potencial.

Alternativamente, en terminos de valores propios la matriz Ce contiene un valor propio nulo no degenerado demodo que sus restantes N valores propios son positivos. Para la matriz C todos sus valores propios son estrictamentepositivos. Puesto que estas matrices son reales y simetricas y por lo tanto hermıticas reales, existe un conjuntocompleto de vectores propios reales que forman una base de RN+1 para Ce y de RN para C.

6.10. POSITIVIDAD DE LA MATRIZ DE CAPACITANCIA 89

Nos restringiremos ahora a la r-matriz. Veamos el significado fısico de los valores y vectores propios de C

CV(k) = λkV(k) ; k = 1, 2, . . . , N (6.52)

donde k rotula los N valores propios y los N vectores linealmente independientes. En particular algunos valorespropios de la lista λk pueden tener el mismo valor cuando existe degeneracion. Sustituyendo (6.52) en (6.51)tenemos

Q(k) = λkV(k)

donde Q(k) es el conjunto de cargas que adquieren los conductores internos cuando la configuracion de conductoresse coloca al conjunto de voltajes V(k) asociados al k−esimo vector propio. Tomando la componente i−esima de estaecuacion resulta

Q(k)i

V(k)i

= λk ; i = 1, 2, . . . , N

esto nos indica que un autovector dado V(k) de C, corresponde a un conjunto de N voltajes V(k)i tales que si aplicamos

estos voltajes a los conductores internos (con respecto al conductor externo) el cociente entre la carga Q(k)i que

adquiere cada conductor interno y el voltaje asociado, toman el mismo valor para todos los conductores internos.Este cociente es precisamente el valor propio λk, y puesto que cada λk es estrictamente positivo, vemos que al aplicarlos voltajes V(k), el voltaje y la carga sobre cada conductor tienen el mismo signo. Es importante recalcar que todala discusion con la r-matriz es valida siempre que el voltaje de los conductores internos se calcule con respecto alconductor externo.

De nuevo, si hacemos tender todas las dimensiones de la cavidad a infinito, obtenemos el lımite en el cual losconductores “internos” no estan encerrados por ningun conductor externo. En general es aconsejable hacer el potencialcero en el conductor externo que tiende a infinito, en cuyo caso los voltajes (que estan referidos al conductor externo)se convierten en los potenciales (diferencia de potencial con el infinito).

Lo anterior nos muestra una forma de inspeccionar experimentalmente si una matriz de capacitancia esta biencalculada. Supongamos que se calcula una matriz de capacitancia para una configuracion dada de capacitores. Po-demos entonces calcular los valores y vectores propios de esta matriz. Una vez calculados procedemos a colocar unconjunto de voltajes sobre los conductores que coincidan con un vector propio. La medida de la carga inducida sobrecada conductor dividida por su voltaje debe dar el mismo valor para cada conductor y el cociente debe ser el valorpropio correspondiente (todo esto dentro de los lımites de error experimentales). Procediendo de esta manera concada vector propio, podemos verificar si la matriz de capacitancia estaba bien calculada.

Si definimos un producto interno entre cargas y voltajes de la forma

(Q,V) ≡N∑

i=1

QiVi

el lector puede demostrar que la energıa interna de una configuracion de capacitores que se colocan a un conjunto devoltajes V, se puede escribir en terminos de los vectores y valores propios de C en la forma

Uint =1

2

N∑

k=1

λk

∣∣∣(u(k),V

)∣∣∣2

dondeu(k)

es un conjunto ortonormal completo de vectores propios de C. Si el conjunto de voltajes V es paralelo

con algun vector propio de la base V =V0u(m) la energıa interna adquiere un valor particularmente simple

Uint =1

2

N∑

k=1

λk

∣∣∣(u(k), V0u

(m))∣∣∣

2= Uint =

1

2

N∑

k=1

λkV20 δkm

Uint =1

2λkV

20

el lector puede hacer la analogıa con el tensor de inercia en la mecanica del cuerpo rıgido. Cuando la rotacion esalrededor de un eje principal (i.e. un eje colineal a algun vector propio del tensor de inercia) la matriz de energıacinetica rotacional adquiere una forma mas simple. Colocar voltajes colineales a algun vector propio de C, es comoelegir un eje principal en el espacio de los voltajes.

Capıtulo 7

Funciones de Green y ecuacion de Poisson enelectrostatica

La naturaleza no homogenea de la ecuacion de Poisson trae como consecuencia que sus soluciones no se puedenconstruır por el metodo de separacion de variables salvo en casos muy especiales. En realidad, este es el caso parala mayor parte de las ecuaciones inhomogeneas. Por esta razon es necesario recurrir a otros metodos, en particulartrabajaremos el metodo de las funciones de Green. Es necesario enfatizar que aunque en este texto trabajaremos lamencionada tecnica para los casos particulares de la ecuacion de Poisson y la funcion de onda, el formalismo de Greenes de mucha utilidad para muchas ecuaciones diferenciales inhomogeneas y es tambien extendible al caso particularen que dichas ecuaciones se vuelven homogeneas.

7.1. Teoremas de Green en electrostatica

Lo que usualmente conocemos (o podemos medir) en un problema electrostatico real es la densidad de carga en elvolumen y el potencial, o su derivada normal en la superficie. Ademas los teoremas de unicidad nos aseguran que lasolucion es unica cuando tenemos esa informacion disponible. Por esta razon es natural tomar como punto de partidaun teorema que nos enlace una integral en el volumen donde se conoce la carga, con otra integral en la superficieque delimita a dicho volumen sobre la cual conocemos el potencial o su derivada normal. Se nos viene entonces a lamente el teorema de la divergencia. En realidad, es mucho mas provechoso comenzar con un corolario del teorema dela divergencia conocido como teorema de Green, que ya estudiamos en la seccion 1.8. Dado que

∇φ · dS = ∇φ · n dS =∂φ

∂ndS

el teorema de Green Ec. (1.26), se escribe

∫

V

[φ(r′)∇′2ψ

(r′)− ψ

(r′)∇′2φ

(r′)]

dV ′ =∮

S

[φ(r′) ∂ψ (r′)

∂n′− ψ

(r′) ∂φ (r′)

∂n′

]dS′

El termino a la derecha involucra φ (r′) , ∂n′φ (r′) , ψ (r′) y ∂n′ψ (r′) evaluados en la superficie pero no sus valoresen el interior. Por lo tanto, esta integral podrıa dar cuenta de las condiciones de frontera.

Tomemos φ como el potencial electrostatico. La integral de volumen incluye a φ y a ∇′2φ, usando la ecuacionde Poisson reemplazamos ∇′2φ (r′) por −4πKcρ (r

′), y solo quedarıa por “despejar” φ (r′). Esto se logra asignando

ψ = |r− r′|−1 y recordando la propiedad ∇′2(|r− r′|−1

)= −4πδ (r− r′) con lo cual la identidad de Green queda

∫

V

[φ(r′)∇′2

(∣∣r− r′∣∣−1)− 1

|r− r′|∇′2φ(r′)]

dV ′ =∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

usando la Ec. de Poisson y la identidad (1.13)

−4π

∫

Vφ(r′)δ(r− r′

)dV ′ + 4πKc

∫ρ (r′)|r− r′| dV

′ =∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

91

92 CAPITULO 7. FUNCIONES DE GREEN Y ECUACION DE POISSON EN ELECTROSTATICA

Ahora bien, si el punto r esta dentro del volumen de integracion, entonces la integracion con la delta de Dirachace posible “despejar” φ (r).

−4πφ (r) = −4πKc

∫

V

ρ (r′)|r− r′| dV

′ +∮

S

[φ(r′) ∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂φ (r′)∂n′

]dS′

abreviando la notacion R ≡ |r− r′|, queda finalmente

φ (r) = Kc

∫

V

ρ (r′)R

dV ′ +1

4π

∮

S

[1

R

∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂

∂n′

(1

R

)]dS′ (7.1)

con esta expresion tenemos en principio despejado el valor de φ (r) al menos para valores de r en el interior delvolumen, observese que si r esta fuera del volumen, la integral que permitio despejar al potencial se anularıa1. Laintegral de volumen se realiza en el interior del volumen V .

1. Recordando que para un conductor perfecto

σ = − 1

4πKc∂nφ

tenemos que

1

4π

∮1

R∂n′φ dS′ = −Kc

∮σ′ dS′

R

La primera integral de superficie equivale al potencial generado por una carga superficial σ, hay que notar sinembargo que esta analogıa solo es valida para conductores, en tanto que la expresion (7.1) para el potencialtambien vale para cualquier tipo de material.

2. La segunda integral de superficie se puede escribir como

− 1

4π

∮

Sφ(r′)∂n′

(1

R

)dS′ = − 1

4π

∮

Sφ(r′) (r− r′)

|r− r′|3· dS′ = − 1

4π

∮

Sφ(r′)dΩ′

con lo cual podemos hacer la analogıa con el potencial de una capa dipolar discutida anteriormente para lo cualse hace D = − φ

4π , la integral de superficie queda de la forma∫D dΩ que es el potencial generado por una capa

dipolar con densidad de momento superficial D = − φ4π .

3. Se puede ver que si la superficie avanza hacia el infinito y el potencial decrece mas rapido que 1/R (comopor ejemplo en el caso de distribuciones localizadas), la integral en dS′ se anula (o tiende a una constante)obteniendose

φ (r) = Kc

∫

V

ρ (r′)R

dV ′ + φ0

que es la expresion para el potencial sin frontera (frontera en el ∞) cuando la distribucion ρ (r′) es conocida entodo el espacio.

4. Esta ecuacion requiere conocer ρ (r) en el volumen V y no en todo el espacio como se querıa. Sin embargo,tambien requiere conocer φ y ∂nφ simultaneamente sobre la misma superficie, lo cual es en general inconsistenteo en el caso en que sea consistente es una sobredeterminacion innecesaria del problema. Por tanto, este todavıano es un metodo practico para evaluar φ. A continuacion desarrollaremos un formalismo para poder hacer usoreal de las condiciones de frontera.

1Si estamos justo en la frontera tampoco podemos aplicar este formalismo, puesto que el uso de las propiedades de la delta solo es claropara puntos en el interior y exterior de la region. Sin embargo, el valor del potencial en la superficie es dado en el caso de Dirichlet, y enel caso de Neumann se puede obtener recurriendo a la continuidad del potencial a menos que tengamos cierto tipo de singularidades.

7.2. ECUACION DE GREEN Y POTENCIAL ELECTROSTATICO 93

7.2. Ecuacion de Green y potencial electrostatico

En el intento de solucion anterior elegimos ψ = |r− r′|−1 con el fin de obtener una delta de Dirac que nospermitiera despejar φ (r′). Esto fue posible en virtud de la propiedad

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

)

Sin embargo, |r− r′|−1 no es la unica funcion que puede cumplir este cometido, asumamos que existen otras funcionesque emulan esta propiedad y las llamaremos funciones de Green

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)(7.2)

reescribiendo G (r, r′) = 1|r−r′| + F (r, r′), vemos que G (r, r′) es una funcion de Green, siempre y cuando F (r, r′)

cumpla la ecuacion de Laplace. Usando G (r, r′) y con un procedimiento analogo al que nos llevo a (7.1) se obtienela siguiente expresion para el potencial

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)G(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[G(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′ (7.3)

Ahora bien, el problema fundamental es evitar el uso simultaneo de las condiciones de Dirichlet y Neumann para locual podemos hacer uso de la libertad para elegir la funcion de Green (expresada a traves de la funcion F (r, r′)). Seve de inmediato que podemos eliminar la primera integral de superficie si hacemos G (r, r′) = 0 en la superficie, lo cualserıa conveniente si tenemos condiciones de Dirichlet, puesto que la integral de superficie que sobrevive requiere elconocimiento del potencial en la superficie. Se deduce entonces que el problema de Dirichlet se resuelve formalmentesi encontramos la solucion de la ecuacion de Green (7.2), con condicion de frontera (GD)S = 0, con lo cual la ecuacion(7.3) para el potencial se reduce a

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂GD (r, r′)

∂n′

]dS′ (7.4)

A priori, se podrıa pensar que para el problema de Neumann podemos exigir analogamente que se anule la otraintegral a traves de la condicion ∂n′G (r, r′) = 0, con esta suposicion evaluemos las siguientes integrales

∫

V∇2GN dV ′ = −4π

∫

Vδ(r− r′

)dV ′ = −4π

∮

S∇GN · dS′ =

∮

S

∂GN∂n′

· dS′ = 0

sin embargo, el teorema de la divergencia exige que estas dos integrales sean iguales, de modo que la exigencia∂n′G (r, r′) = 0 es incompatible con el teorema de la divergencia2. Para lograr la compatibilidad requerimos que

∮

S

∂GN∂n′

· dS′ = −4π

La forma mas inmediata es escoger ∂n′GN (r, r′) = −4π/S, siendo S la magnitud de la superficie cerrada. Por tanto,F (r, r′) debe ser escogida para cumplir esta condicion, y el potencial (7.3) queda

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[GN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

− φ(r′) ∂GN (r, r′)

∂n′

]dS′

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

S

[GN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

+4π

Sφ(r′)]dS′

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

SGN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

dS′ +1

S

∮

Sφ(r′)dS′

2Observese que si r esta fuera del volumen V , la condicion es compatible con el teorema de la divergencia, pero recordemos que en estecaso la solucion para el potencial ya no es valida.


el potencial queda finalmente

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GN

(r, r′

)dV ′ +

1

4π

∮

SGN

(r, r′

) ∂φ (r′)∂n′

dS′ + 〈φ〉S (7.5)

donde 〈φ〉S corresponde al valor promedio del potencial en la superficie, claramente este promedio es un numero (nouna funcion) de modo que solo es una recalibracion. De nuevo esta constante arbitraria aparece debido a que lascondiciones de Neumann no fijan el cero de potencial.

La solucion general posee una integral de volumen que depende de la distribucion de carga ρ (r) pero que ademasposee un factor modulador G asociado a la geometrıa de las fronteras, cuando la frontera es el infinito este terminoqueda como en el caso del potencial de distribucion localizada que ya conocıamos. Para otras geometrıas el terminomodulador da cuenta de la forma en que las condiciones de frontera afectan la contribucion de la distribucionvolumetrica. La integral de superficie, es la que contiene la informacion explıcita sobre las condiciones de frontera;dichas condiciones son generadas por las cargas interiores exteriores y superficiales de la region de Dirichlet (oNeumann).

El potencial solo se puede evaluar estrictamente dentro del volumen de Dirichlet (o Neumann) cuando se usanlas funciones de Green, la carga superficial alojada sobre la superficie de Dirichlet (o Neumann) no esta en el interiorde modo que su influencia esta incluıda indirectamente en la integral de superficie. Con frecuencia el potencial escontınuo en las interfaces (a menos que haya cargas puntuales o singularidades de algun tipo) de modo que al resolverel problema interior podemos tomar el lımite cuando se tiende a la frontera y el potencial obtenido sera el correctopara la superficie (debe tender a las condiciones de frontera), recordemos que la componente perpendicular del campoelectrico si puede tener discontinuidad por ejemplo cuando hay densidad de carga superficial presente.

7.3. Interpretacion de la funcion de Green en electrostatica

La funcion de Green mas simple G = |r− r′|−1 cumple la Ec. ∇2G = −4πδ (r− r′), y se puede interpretar comoel potencial generado en el punto r por una carga “unidad” (tal que Kcq = 1)3 ubicada en r′, esto a su vez esconsistente con la ecuacion de Poisson, ∇2φ = −4πKcρ puesto que δ (r− r′) corresponde a la densidad volumetricaequivalente evaluada en r, de una carga puntual unidad ubicada en r′. Para el caso de una funcion de Green masgeneral G (r, r′) = |r− r′|−1 + F (r, r′), recordemos que F (r, r′) satisface la ecuacion de Laplace en el interior de V ,de modo que se puede interpretar como el potencial generado dentro de V debido a una distribucion de cargas enla frontera y/o en el exterior de V, y tal que hace que la funcion de Green cumpla las condiciones de fronterade Dirichlet o Neumann. Ahora bien, como la funcion de Green es la que debe cumplir la condicion de frontera, loque tenemos es la superposicion de dos potenciales (ambos evaluados en r) el generado por la carga unidad ubicadaen r′ (que esta en el interior de V ) y el generado por las cargas exteriores a V . La funcion F (r, r′) debe depender dela ubicacion de la carga puntual (r′) ya que es la superposicion de ambas la que produce las condiciones de frontera.

Para las condiciones de Dirichlet se puede demostrar una propiedad de simetrıa de la funcion de Green. Partiendodel teorema de Green Ec. (1.26) con φ (r) = GD (r, r1) , ψ (r) = GD (r, r2)

∫ [GD (r, r1)∇2GD (r, r2)−GD (r, r2)∇2GD (r, r1)

]dV =

∮[GD (r, r1)∇GD (r, r2)

−GD (r, r2)∇GD (r, r1)] · dS

al usar condiciones de Dirichlet, se anulan las integrales de superficie. Adicionalmente, ∇2GD (r, r′) = −4πδ (r− r′)con lo cual tenemos,

−4π

∫[GD (r, r1) δ (r− r2)−GD (r, r2) δ (r− r1)] dV = 0

−4πGD (r2, r1) + 4πGD (r1, r2) = 0

de modo queGD (r2, r1) = GD (r1, r2) (7.6)

Para condiciones de Neumann no es automatico pero se puede imponer.

3Este uno no es adimensional y depende del sistema de unidades usado.

7.4. UN TEOREMA SOBRE LAS FUNCIONES DE GREEN 95

Las expresiones para el potencial con condiciones de Neumann o Dirichlet Ecs. (7.4, 7.5), nos indican que primerodebemos encontrar la funcion de Green con las condiciones de frontera apropiadas. A priori pareciera escasa laganancia: hemos cambiado la ecuacion de Poisson (1.14), por la ecuacion de Green (7.2), y las condiciones de fronterapara el potencial las cambiamos por las condiciones de frontera para la funcion de Green. No obstante, un analisis masdetallado nos muestra la ganancia: La ecuacion de Poisson es inhomogenea, y aunque la ecuacion de Green tambienlo es, la ecuacion para F (r, r′) es homogenea ( y con F encontramos G). Mas importante aun, para una determinadageometrıa la ecuacion de Poisson requerirıa un tratamiento diferente para diferentes formas de las distribuciones decarga y/o de las condiciones de frontera (digamos de Dirichlet). En contraste, las condiciones de frontera de Greenpara una geometrıa dada son las mismas, aunque la distribucion de cargas en el volumen o de potenciales en lasuperficie, sea diferente (digamos GS = 0 para Dirichlet sin importar la forma funcional de φ en la superficie, ni ladistribucion de carga en el interior).

Para evaluar la funcion de Green podemos recurrir a la expansion de G en funciones ortonormales apropiadas parala simetrıa del sistema (ver seccion 2.1), los coeficientes de la expansion se ajustan para reproducir las condicionesde frontera. Por otro lado, la tecnica de imagenes tambien nos puede proveer de una solucion muy elegante en ciertoscasos especiales. Hay otros metodos tanto numericos como analıticos que no consideraremos en este manuscrito.

7.4. Un teorema sobre las funciones de Green

Cuando una ecuacion diferencial esta caracterizada por un operador diferencial hermıtico, las funciones propiasasociadas a dicho operador son ortogonales (o se pueden ortogonalizar en el caso en que hay degeneracion presente) yforman un conjunto completo de ciertos espacios vectoriales de funciones que cumplen ciertas condiciones de frontera.Esto significa que las funciones propias del operador diferencial se pueden usar como bases para generar las solucionesde la ecuacion diferencial. Si la ecuacion es inhomogenea, usamos estas funciones para calcular la funcion de Greenasociada al operador. En este punto podemos demostrar un teorema relacionado con funciones de Green. Sea O unoperador lineal y hermıtico sobre el espacio de funciones de interes de modo que OF (r) = H (r) me mapea unafuncion del espacio, en otra funcion del mismo espacio. Consideremos una funcion ψ (r) que cumple la ecuacioninhomogenea [

O − λ]ψ (r) = f (r) (7.7)

y la funcion de Green asociada al operador O − λ, esta dada por

[O − λ

]G(r, r′, λ

)= −4πδ

(r− r′

)(7.8)

la ecuacion de valores propios es

Oϕn (r) = λnϕn (r) ⇒[O − λn

]ϕn (r) = 0

asumiremos que el espectro de este operador es completo, es decir que el conjunto de todas las funciones propiasϕn de O linealmente independientes forman una base del espacio vectorial de funciones en donde O esta definido4.Ademas los valores propios son reales ya que el operador es hermıtico. Usando la completez de los ϕn (r) se tiene que

δ(r− r′

)=∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

donde estamos asumiendo que los vectores propios estan normalizados y ortogonalizados5 . Aplicando completez a lafuncion de Green [

O − λ]G(r, r′, λ

)= −4π

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

4Cuando el espacio vectorial en donde esta definido O es de dimension finita, la completez de su espectro esta asegurada por el teoremaespectral. Sin embargo, en la mayorıa de los casos el espacio vectorial en cuestion es de dimension infinita y la completez debe demostrarse.La notacion λn, ϕn se refiere a los diferentes funciones y valores propios sin importar la posible degeneracion. Es decir es posible queλn = λm para algunos m 6= n.

5Recordemos que la ortogonalidad automatica de todas las funciones propias solo esta garantizada en ausencia de degeneracion.


y expandiendo G (r, r′) en terminos de la base ϕ (r) de autofunciones de O

G(r, r′, λ

)=∑

n

Cn (λ) ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

la ecuacion de Green queda[O − λ

]∑

n

Cn (λ) ϕ∗n

(r′)ϕn (r) = −4π

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

teniendo en cuenta que O solo opera sobre las funciones con variable r

O[ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

]= ϕ∗

n

(r′) [Oϕn (r)

]= λnϕ

∗n

(r′)ϕn (r)

se obtiene ∑

n

Cn (λ) [λn − λ] ϕ∗n

(r′)ϕn (r) = −4π

∑

n

ϕ∗n

(r′)ϕn (r)

y recurriendo a la independencia lineal de los ϕn

Cn (λ) [λn − λ] = −4π ⇒ Cn (λ) =4π

λ− λn

reemplazando en la funcion de Green obtenemos

G(r, r′

)= 4π

∑

n

ϕ∗n (r

′)ϕn (r)λ− λn

(7.9)

Esta solucion de la funcion de Green no tiene en cuenta las condiciones de frontera, las cuales usualmente se incluyenen las ϕn. Esta expresion muestra la simetrıa G (r, r′) = G∗ (r′, r). Este formalismo nos ayuda a resolver la ecuacion[O − λ

]ψ (r) = f (r) que es mas general que la ecuacion de Poisson. Tambien vale la pena anotar que en la demos-

tracion solo requerimos que las funciones propias sean completas; el espectro λn podrıa ser complejo y el operadorpodrıa no ser hermıtico (pero si lineal).

7.5. Calculo de funciones de Green unidimensionales

La formulacion anterior no es valida para casos unidimensionales ni bidimensionales, ya que se basa en el teoremade la divergencia, el cual no tiene analogo unidimensional ni bidimensional. En lo que sigue veremos que la solucionde la ecuacion diferencial

d2ξ

dx2= f (x) (7.10)

con condiciones de frontera en x = a, x = b se le puede asociar la funcion de Green unidimensional

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)(7.11)

multiplicando la Ec. (7.10) por G (x, x′) y la Ec. (7.11) por ξ (x) obtenemos

G(x, x′

) d2ξdx2

= G(x, x′

)f (x) ;

d2G (x, x′)dx2

ξ (x) = −4πξ (x) δ(x− x′

)

restando las dos ultimas ecuaciones

G(x, x′

) d2ξdx2

− d2G (x, x′)dx2

ξ (x) = G(x, x′

)f (x) + 4πξ (x) δ

(x− x′

)

intercambiando x↔ x′ e integrando entre a y b en x′

∫ b

a

[G(x′, x

) d2ξ (x′)dx′2

− ξ(x′) d2G (x′, x)

dx′2−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

=

∫ b

a4πξ

(x′)δ(x− x′

)dx′

7.6. EVALUACION DE LA FUNCION DE GREEN EN UNA DIMENSION 97

despejando ξ (x) se obtiene

ξ (x) =1

4π

∫ b

a

[G(x′, x

) d2ξ (x′)dx′2

− ξ(x′) d2G (x′, x)

dx′2−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

ξ (x) =1

4π

∫ b

a

[d

dx′

(G(x′, x

) dξ (x′)dx′

)− d

dx′

(ξ(x′) dG (x′, x)

dx′

)−G

(x′, x

)f(x′)]

dx′

ξ (x) =1

4π

[G(x′, x

) dξ (x′)dx′

− ξ(x′) dG (x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

− 1

4π

∫ b

aG(x′, x

)f(x′)dx′

para condiciones de Dirichlet G = 0 en x = a, x = b (o en x′ = a, b da lo mismo por la simetrıa de G)

ξ (x) = − 1

4π

∫ b

af(x′)GD

(x, x′

)dx′ − 1

4π

[ξ(x′) dGD (x′, x)

dx′

]x′=b

x′=a

notese que el primer miembro a la derecha es una integral a lo largo del intervalo (es decir una integral de “volumen”en el espacio unidimensional), en tanto que el segundo miembro de la derecha esta evaluado en la frontera (“superficie”del espacio unidimensional) que para el caso unidimensional son los puntos de los extremos del intervalo. Ademaslas integrales se evaluan en las condiciones que se conocen: el valor de la fuente f (x′) dentro del volumen y lascondiciones de frontera sobre ξ (x′).

7.6. Evaluacion de la funcion de Green en una dimension

Resolvamos la ecuacion de Greend2G (x, x′)

dx2= −4πδ

(x− x′

)(7.12)

con condiciones de Dirichlet G = 0 en x = 0, a. Abordaremos el problema por varios metodos

7.6.1. Expansion ortonormal

Utilizaremos una expansion de Fourier como ansatz de solucion

G(x, x′

)=

∞∑

n=1

Cn(x′)sin(nπx

a

)+

∞∑

n=0

Dn

(x′)cos(nπx

a

)

Haciendo Dn = 0 se satisface la condicion de frontera de Dirichlet, de modo que el ansatz se reduce a

G(x, x′

)=

∞∑

n=1

Cn(x′)sin(nπx

a

)(7.13)

Puesto que en la expansion de G (x, x′) solo intervendran senos, es razonable utilizar una relacion de completezque incluya a estas funciones. Recordando que el conjunto ortonormal sin

(nπxa

)/√a es completo para las funciones

regulares definidas en el intervalor [0, a], expresaremos la completez en la forma

δ(x− x′

)=

1

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)(7.14)

y reemplazamos la relacion de completez (7.14), ası como la expansion (7.13) de G (x, x′) en la ecuacion de Green(7.12)

d2

dx2

∞∑

n=1

Cn(x′)sin(nπx

a

)= −4π

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)⇒

−∞∑

n=1

(nπa

)2Cn(x′)sin(nπx

a

)= −4π

a

∞∑

n=1

sin(nπx

a

)sin

(nπx′

a

)


recurriendo a la independencia lineal de sin(nπxa

)nos queda

(nπa

)2Cn(x′)

=4π

asin

(nπx′

a

)

Cn(x′)

=4a

n2πsin

(nπx′

a

)(7.15)

reemplazando los coeficientes (7.15) en la expansion (7.13) para G (x, x′) queda finalmente

G(x, x′

)=

4a

π

∞∑

n=1

1

n2sin

(nπx′

a

)sin(nπx

a

)

Nota: La simetrıa G (x, x′) = G (x′, x), puede sugerir la proposicion del ansatz

G(x, x′

)=

∞∑

n=1

An sin

(nπx′

a

)sin(nπx

a

)

que simplifica un poco el problema.

7.6.2. Uso del teorema (7.9)

Podemos determinar la funcion de Green en (7.12) utilizando el teorema para funciones de Green enunciado enla seccion (7.4), Ec. (7.9).

G(r, r′

)= 4π

∑

n

ϕ∗n (r

′)ϕn (r)(λ− λn)

(7.16)

asociado a la Ec. (7.8) pag. 95: (O − λ

)G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)(7.17)

Donde ϕn (r) son funciones propias de O y λn sus correspondientes valores propios. Para nuestro caso O = d2/dx2,λ = 0

G(x, x′

)= −4π

∑

n

ϕ∗n (x

′)ϕn (x)λn

(7.18)

el conjunto 1√asin(nπxa

)= ϕn (x) es un conjunto ortonormal de valores propios del operador d2/dx2 que cumplen las

condiciones de frontera y es completo en el intervalo [0, a]6. Veamos cuales son los valores propios

d2

dx2

[1√asin(nπx

a

)]= −

(nπa

)2 [ 1√asin(nπx

a

)]

de modo que λn = −(nπa

)2con lo cual la funcion de Green queda

G(r, r′

)= −4π

∑

n

[1√asin(nπx′

a

)] [1√asin(nπxa

)]

−(nπa

)2

G(r, r′

)=

4a

π

∑

n

1

n2sin

(nπx′

a

)sin(nπx

a

)

que coincide con el resultado anterior.

6La parte coseno tambien son funciones propias, y son completas en el mismo intervalo. Pero resulta muy difıcil encontrar los coeficientesque ajusten las condiciones de frontera de este problema.

7.6. EVALUACION DE LA FUNCION DE GREEN EN UNA DIMENSION 99

7.6.3. Metodo directo

El metodo directo consiste en resolver la ecuacion diferencial sin recurrir a un ansatz particular de solucion. Laestrategia general consiste en resolver primero la ecuacion homogenea asociada a (7.12) y luego resolver la inhomoge-neidad por medio de una integracion en una vecindad infinitesimal que contenga al polo de la funcion delta de Dirac.Asumamos que x′ esta en alguna region del intervalo [0, a], la ecuacion de Green (7.12)

d2G (x, x′)dx2

= −4πδ(x− x′

)(7.19)

es homogenea en todos los puntos excepto en x = x′. Este punto divide el intervalo en dos partes, cada una conteniendouna frontera, la solucion de la ecuacion homogenea

d2G (x, x′)dx2

= 0

esG(x, x′

)= A

(x′)x+B

(x′)

(7.20)

Ahora analizamos cada intervalo en donde es valida la ecuacion homogenea:a) La region en la cual x < x′, la solucion de la homogenea (7.20) la escribimos en esta region en la forma

Ga = Aa(x′)x+Ba

(x′)

(7.21)

tal region contiene la frontera x = 0, y se tiene que G = 0, cuando x = 0 aplicando esta condicion en (7.21) tenemosque Ba (x

′) = 0 yGa(x, x′

)= Aa

(x′)x

A continuacion definimos x< como el menor entre x y x′, con lo cual se puede reescribir la solucion como

Ga(x, x′

)= Aa

(x′)x< (7.22)

b) Para la region definida por x > x′, la solucion (7.20) la escribimos como7

Gb(x, x′

)= Ab

(x′)x+Bb

(x′)

(7.23)

este region contiene a la frontera x = a. Requerimos entonces G = 0 en x = a. Ajustando esta condicion de fronteraen (7.23) tenemos

Gb(a, x′

)= Ab

(x′)a+Bb

(x′)= 0

⇒ Bb = −Aba (7.24)

Definiendo x> como el mayor entre x y x′ y sustituyendo (7.24) en (7.23) obtenemos

Gb(x, x′

)= Abx−Aba = −Ab (a− x)

Gb(x, x′

)= −Ab (a− x>) (7.25)

una solucion valida para las dos regiones es el producto de las dos soluciones (7.22) y (7.25) (recordemos que esta esla motivacion para introducir la notacion de x>, x<).

G(x, x′

)= Ga

(x, x′

)Gb(x, x′

)= −Ab

(x′)Aa(x′)x< (a− x>)

pero el factor −Ab (x′)Aa (x′) se puede absorber en una sola constante C (x′) ≡ −Ab (x′)Aa (x′), y la funcion deGreen se escribe

G(x, x′

)= C

(x′)x< (a− x>) (7.26)

7Puesto que las Ecs. (7.21) y (7.23) describen dos regiones disyuntas con distintas condiciones de frontera, sus coeficientes son engeneral distintos.


sin embargo, debemos tener presente que la solucion encontrada es solo para la parte homogenea (x 6= x′) la cons-tante C (x′) debe contener la informacion sobre la parte inhomogenea. Para extraer la informacion sobre la parteinhomogenea, integramos la ecuacion diferencial (7.19) entre x = x′ − ε, y x = x′ + ε, para luego tomar el lımiteε→ 0+. En otras palabras, integramos la ecuacion diferencial (7.19) en un intervalo infinitesimal que contiene al polode la delta de Dirac y por tanto a la inhomogeneidad8

∫ x=x′+ε

x=x′−ε

(d2G (x, x′)

dx2

)dx = −4π

∫ x=x′+ε

x=x′−εδ(x− x′

)dx

dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′+ε

x=x′−ε= −4π

dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′+ε

− dG (x, x′)dx

∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

Es decir que dG(x,x′)dx es discontinua en x = x′. Reemplazando nuestra solucion

d

dx

[C(x′)x< (a− x>)

]∣∣∣∣x=x′+ε

− d

dx

[C(x′)x< (a− x>)

]∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

cuando x = x′ + ε tenemos que x = x> y x′ = x<, cuando x = x′ − ε tenemos que x = x< y x′ = x> (notese que denuevo es importante que ε sea infinitesimal positivo).

d

dx

[C(x′)x′ (a− x)

]∣∣∣∣x=x′+ε

− d

dx

[C(x′)x(a− x′

)]∣∣∣∣x=x′−ε

= −4π

−C(x′)x′∣∣x=x′+ε

− C(x′) (a− x′

)∣∣x=x′−ε = −4π

C(x′) [

x′ +(a− x′

)]= 4π

donde se ha tomado el lımite cuando ε → 0+. De la ultima expresion se obtiene C = 4π/a en este caso C resultoindependiente de x′. Insertando este valor de C (x′) en la solucion (7.26) para la funcion de Green queda finalmente

G(x, x′

)=

4π

ax< (a− x>) (7.27)

podemos verificar la simetrıa de G (x, x′) en la expresion (7.27). Si por ejemplo x > x′ entonces x = x> y x′ = x<,en cuyo caso esta funcion queda

G(x, x′

)=

4π

ax′ (a− x) ; x > x′

no obstante, si intercambiamos a x, x′ es claro que x sigue siendo el mayor y x′ sigue siendo el menor, de modo queG (x, x′) = G (x′, x). Un procedimiento similar nos lleva a la simetrıa en el caso x < x′.

7.7. Funcion de Green bidimensional en coordenadas cartesianas

Encontremos la funcion de Green con condiciones de Dirichlet sobre una region rectangular de modo que G = 0en x = 0, a y G = 0 en y = 0, b.

7.7.1. Utilizacion del teorema (7.9)

La ecuacion de Green en dos dimensiones en coordenadas cartesianas tiene la forma(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)(7.28)

8Es importante que ε tienda a cero por la derecha para que en las integrales entre x′ − ε y x′ + ε, se pueda interpretar el primero comoel lımite inferior y el segundo como el lımite superior.

7.7. FUNCION DE GREEN BIDIMENSIONAL EN COORDENADAS CARTESIANAS 101

utilizaremos la expresion (7.9) para la funcion de Green9 asociada al operador O − λ con funciones propias ϕn (r)y valores propios λn. Comparando las ecuaciones (7.8, 7.28) tenemos que λ = 0 y O ≡ ∂2x + ∂2y de modo que la Ec.(7.9) queda

G(r, r′

)= −4π

∑

n

ϕ∗n (r

′)ϕn (r)λn

(7.29)

usemos las funciones propias ϕnm (r) = 1√ab

sinαnx sin βmy, del operador ∇2 en dos dimensiones10. Determinemos

sus valores propios

∇2ϕnm (x, y) =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)[1√ab

sinαnx sin βmy

]= −

(α2n + β2m

) [ 1√ab

sinαnx sin βmy

]

∇2ϕnm (x, y) = −(α2n + β2m

)ϕmn (x, y)

Los valores propios son −(α2n + β2m

). Ahora bien, para que las funciones propias satisfagan la condicion de frontera

es necesario que sinαna = 0, sin βmb = 0, lo cual nos da αna = nπ, βmb = mπ, de modo que

αn =nπ

a; βm =

mπ

b

por tanto las funciones propias y valores propios estan dados por

ϕnm (x, y) =1√ab

sinαnx sin βmy ; λmn = −(α2n + β2m

); αn ≡ nπ

a; βm ≡ mπ

b(7.30)

sustituyendo (7.30) en (7.29) la funcion de Green queda

G(r, r′

)= 4π

∑

n,m

[1√ab

sinαnx′ sin βmy′

] [1√ab

sinαnx sin βmy]

(α2n + β2m)

G(r, r′

)=

4π

ab

∑

n,m

[sinαnx′ sin βmy′] [sinαnx sin βmy]

(α2n + β2m)

(7.31)

Se ve que G (r, r′) = G (r′, r) .

7.7.2. Combinacion de metodo directo con expansion ortonormal

Proponemos expansion ortonormal en x y metodo directo en y.

G(x, x′, y′y′

)=

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′Fn

(y, y′

)(7.32)

La parte en x, x′ es simetrica y satisface las condiciones de frontera. Nos queda por tanto evaluar Fn (y, y′), a partir

de la ecuacion de Green (∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)(7.33)

usando la relacion de completez para los senos11 en x, x′ y el ansatz (7.32) para G, la Ec. (7.33) queda

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′Fn

(y, y′

)]= −4π

a

[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′]δ(y − y′

)

de modo que

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′[−α2

nFn(y, y′

)+∂2Fn (y, y

′)∂y2

]= −4π

a

[ ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′]δ(y − y′

)

9En esta expresion general aparece un solo rotulo n, si existe mas de un rotulo siempre es posible renumerar para convertirlo en unosolo (n1, n2, . . . , nk) → n.

10De nuevo, los cosenos tambien intervienen en principio, pero se eliminan por las condiciones de frontera.11Recordemos que los senos son una base completa en el intervalo (0, a).


y en virtud de la independencia lineal de sinαnx

−α2nFn

(y, y′

)+∂2Fn (y, y

′)∂y2

= −4π

aδ(y − y′

)

(∂2y − α2

n

)Fn(y, y′

)= −4π

aδ(y − y′

)(7.34)

De nuevo nos concentramos primero en la solucion homogenea cuando y 6= y′, la cual tiene la forma general Fn (y, y′) =

A (y′) coshαny +B (y′) sinhαnya) Si y < y′ se cumple G = 0 en y = 0 ⇒ Fn1 = 0 en y = 0, de modo que Fn1 (y, y

′) = Bn1 (y′) sinhαny que se

puede escribir como

Fn1(y, y′

)= Bn1

(y′)sinhαny<

b) Para y > y′ G = 0 en y = b

Fn2(y, y′

)= Cn2

(y′)sinhαn (b− y)

Fn2(y, y′

)= Cn2

(y′)sinhαn (b− y>)

la solucion para ambas regiones es el producto de las soluciones anteriores

Fn(y, y′

)= Bn1

(y′)Cn2

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>)

Fn(y, y′

)= Cn

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.35)

donde de nuevo hemos absorbido dos constantes en una. La constante Cn se evalua de nuevo integrando la ecuaciondiferencial (7.34) en una vecindad infinitesimal de la region inhomogenea12

∫ y=y′+ε

y=y′−ε

(∂2y − α2

n

)Fn(y, y′

)dy = −4π

a

∫ y=y′+ε

y=y′−εδ(y − y′

)dy

∫ y=y′+ε

y=y′−ε

(∂2yFn

)dy − α2

n

∫ y=y′+ε

y=y′−εFn dy = −4π

a

∫ y=y′+ε


)dy

si la funcion Fn (y, y′) es continua y acotada la integral sobre la funcion tiende a cero cuando ε → 0+ (no ası la

integral de su segunda derivada)

∂yFn|y=y′+ε

y=y′−ε = −4π

a(7.36)

reemplazando las soluciones (7.35) en (7.36) tenemos

Cn∂

∂y[sinhαny< sinhαn (b− y>)]

∣∣∣∣y=y′+ε

−Cn∂


∣∣∣∣y=y′−ε

= −4π

a

cuando y = y′+ε tenemos que y = y> y y′ = y<. Cuando y = y′−ε se tiene y′ = y> y y = y<, con lo cual la ecuacionanterior queda en la forma

Cn∂

∂y

[sinhαny

′ sinhαn (b− y)]∣∣∣∣y=y′+ε

− Cn∂

∂y

[sinhαny sinhαn

(b− y′

)]∣∣∣∣y=y′−ε

= −4π

a

−αnCn sinhαny′ coshαn (b− y)

∣∣y=y′+ε

− αnCn sinhαn(b− y′

)coshαny

∣∣y=y′−ε = −4π

a

tomando el lımite ε→ 0+

αnCn[sinhαny

′ coshαn(b− y′

)+ sinhαn

(b− y′

)coshαny

′] = 4π

a

12Notese que en este caso no estamos integrando sobre la funcion de Green completa, sino solo sobre la ecuacion para Fn (y, y′). Estoen virtud de que la inhomogeneidad asociada a x, x′ ya fue incluıda al expandir δ (x− x′) en senos.


usando identidades para la suma de funciones hiperbolicas

4π

a= αnCn

[sinhαny

′ (coshαnb coshαny′ − sinhαnb sinhαny′)

+(sinhαnb coshαny

′ − coshαnb sinhαny′) coshαny′

]

αnCn sinhαnb(cosh2 αny

′ − sinh2 αny′) = 4π

a

pero cosh2 αny′ − sinh2 αny

′ = 1 quedando

Cn =4π

aαn sinhαnb(7.37)

sustituyendo (7.37) en (7.35) la funcion Fn (y, y′) queda en la forma

Fn(y, y′

)=

4π

aαn sinhαnbsinhαny< sinhαn (b− y>) (7.38)

y reemplazando (7.38) en el ansatz (7.32), la funcion de Green finalmente resulta

G(x, x′, y, y′

)=

4π

a

∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′ sinhαny< sinhαn (b− y>)

αn sinhαnb(7.39)

7.7.3. Metodo directo

Partiendo de la ecuacion de Green(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= −4πδ

(x− x′

)δ(y − y′

)(7.40)

solucionamos primero la ecuacion homogenea(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)G(x, x′, y, y′

)= 0 (7.41)

valida para y 6= y′. Puesto que la ecuacion (7.41) es homogenea13 (ecuacion de Laplace en dos dimensiones), esnatural asumir separacion de variables: G = A (x, x′)B (y, y′) reemplazando y dividiendo por AB

(∂2

∂x2 + ∂2

∂y2

)A (x, x′)B (y, y′)

AB= 0

[∂2

∂x2A (x, x′)

]B (y, y′) +A (x, x′)

[∂2

∂y2B (y, y′)

]

AB= 0

∂2xA (x, x′)A

+∂2yB (y, y′)

B= 0

∂2xA (x, x′)A (x, x′)

= −∂2yB (y, y′)

B (y, y′)= −α2

donde α es una constante, las ecuaciones diferenciales quedan

∂2xA(x, x′

)+ α2A

(x, x′

)= 0 ; ∂2yB

(y, y′

)− α2B

(y, y′

)= 0

cuyas soluciones son:

A(x, x′

)= C1

(x′)eiαx + C2

(x′)e−iαx

B(y, y′

)= D1

(y′)eαy +D2

(y′)e−αy

la segunda ecuacion se puede escribir tambien como combinacion lineal de senos y cosenos hiperbolicos, la soluciongeneral es entonces

G(x, x′, y, y′

)=[C1

(x′)eiαx + C2

(x′)e−iαx

] [D1

(y′)exp (αy) +D2

(y′)exp (−αy)

]

13Es suficiente asumir que y 6= y′ para tener una ecuacion homogenea si tenemos en cuenta el caracter de distribucion de la delta deDirac. Es decir, cuando integramos en x y en y, la integral en x es en general finita y la de y es cero. Naturalmente tambien podrıamoscomenzar con x 6= x′.


1. Para y < y′, G = 0 en y = 0 se cumple si D1 = −D2 de modo que

B1

(y, y′

)= D1

(y′)sinhαy<

2. Para y > y′, G = 0 en y = b se cumple si D1eαb +D2e

−αb = 0. La solucion se puede escribir como

B2

(y, y′

)= K2

(y′)sinhα (b− y>)

El producto nos da la solucion para y en todo el intervalo

B(y, y′

)= K

(y′)sinhαy< sinhα (b− y>)

y la funcion de Green es

G(x, x′, y, y′

)=[C1

(x′)eiαx + C2

(x′)e−iαx

]K(y′)sinhαy< sinhα (b− y>)

Para determinar las constantes C1 (x′) , C2 (x

′) tenemos en cuenta que G = 0 en x = 0 ⇒ C2 (x′) = −C1 (x

′); conG = 0 en x = a⇒ sinαa = 0, la solucion para x queda

An(x, x′

)= Cn

(x′)sinαnx ; αn =

nπ

a

y un conjunto de soluciones para la funcion de Green es

Gn(x, x′, y, y′

)= Cn

(x′)Kn

(y′)sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)

recordemos que por ahora estamos solucionando solo la parte homogenea, y recordando que la superposicion desoluciones es tambien solucion (principio de superposicion solo valido para la parte homogenea), entonces la solucionmas general es una superposicion de las soluciones ya encontradas

G(x, x′, y, y′

)=∑

n

Cn(x′)Kn

(y′)sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.42)

puesto que ya ajustamos las condiciones de frontera en x y en y, lo siguiente es encontrar la informacion sobre laparte inhomogenea14. Para extraer la informacion de la parte inhomogenea en x− x′, insertamos esta solucion en laecuacion de Green inhomogenea y expandimos δ (x− x′) en la base ortonormal de senos.

(∂2x + ∂2y

)[∑

n

Cn(x′)Kn


]= −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′

∑

n

−α2nCn

(x′)Kn


+∑

n

Cn(x′)Kn

(y′)sinαnx ∂

2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] = −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′

∑

n

Cn(x′)Kn

(y′)sinαnx

−α2

n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

) ∞∑

n=1

sinαnx sinαnx′

en virtud de la independencia lineal de sinαnx

Cn(x′)Kn

(y′)

−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′ (7.43)

14En la Ec. (7.42) no es conveniente absorber las constantes Cn (x′) y Kn (y′) en una sola constante Pn (x′, y′) puesto que se pierde lainformacion de que son funciones separables de x′ y y′.


genericamente, esta ecuacion se puede escribir como

Cn(x′)Hn

(y, y′

)= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′ (7.44)

Hn

(y, y′

)≡ −α2

nKn

(y′)sinhαny< sinhαn (b− y>) +Kn

(y′)∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] (7.45)

la ecuacion (7.44) nos muestra que Hn (y, y′) es proporcional a δ (y − y′) y que Cn (x

′) es proporcional a sinαnx′. Por

tanto, escribiremosCn(x′)= Fn sinαnx

′ (7.46)

y redefiniendo Rn (y′) ≡ FnKn (y

′), la funcion de Green (7.42) queda

G(x, x′, y, y′

)=∑

n

Rn(y′)sinαnx

′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>) (7.47)

de nuevo esta forma de la funcion de Green (al menos la parte en x) se pudo haber supuesto desde el principio usandola simetrıa G (x, x′, y, y′) = G (x′, x, y, y′) 15. El factor Rn (y

′) contiene la informacion de la parte inhomogenea en y ysu valor se puede extraer integrando y entre (y′ − ε, y′ + ε) en la ecuacion inhomogenea 16. Retomando (7.43) peroteniendo en cuenta (7.46) y la definicion de Rn (y

′) tenemos

Rn(y′)sinαnx

′ −α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

)sinαnx

′

Rn(y′)

−α2n sinhαny< sinhαn (b− y>) + ∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)]

= −4π

aδ(y − y′

)

−Rn(y′)α2n

∫ y=y′+ε

y=y′−εsinhαny< sinhαn (b− y>) dy +Rn

(y′) ∫ y=y′+ε

y=y′−ε∂2y [sinhαny< sinhαn (b− y>)] dy

= −4π

a

∫ y=y′+ε


)

la primera integral de la izquierda tiende a cero cuando ε→ 0+. La segunda queda

Rn

[∂


]y=y′+ε

y=y′−ε= −4π

a

Rn

[∂


]

y=y′+ε

−[∂


]

y=y′−ε

= −4π

a

Rn

[∂

∂y

[sinhαny

′ sinhαn (b− y)]]

y=y′+ε

−[∂

∂y

[sinhαny sinhαn

(b− y′

)]]

y=y′−ε

= −4π

a

Rn−αn sinhαny′ coshαn

(b− y′

)− αn coshαny

′ sinhαn(b− y′

)= −4π

a

Rnαnsinhαny

′ coshαn(b− y′

)+ coshαny

′ sinhαn(b− y′

)=

4π

a

Rnαn sinhαnbcosh2 αny

′ − sinh2 αny′ =

4π

a

Rnαn sinhαnb =4π

a

resultando

Rn =4π

a αn sinhαnb(7.48)

15Notese sin embargo que estrictamente hablando, la simetrıa nos dice que G (r, r′) = G∗ (r′, r) que en realidad equivale a invertir todaslas coordenadas simultaneamente. Esto no nos garantiza que una funcion de Green real sea simetrica cuando se invierte una coordenadasolamente. Sin embargo, este ansatz es consistente en la mayorıa de los casos

16La parte inhomogenea en x ya se tuvo en cuenta al expandir δ (x− x′). Observese que para solucionar la parte homogenea solosupusimos y 6= y′.


reemplazando (7.48) en (7.47), la funcion de Green se escribe

G(x, x′, y, y′

)=

4π

a

∑

n

sinαnx′ sinαnx sinhαny< sinhαn (b− y>)

αn sinhαnb(7.49)

que coincide en forma con la funcion de Green combinando metodo directo con expansion ortonormal, Ec. (7.39),Pag. 103.

7.8. Problema bidimensional semi-infinito

Los problemas que involucran una region no acotada requieren expansiones en el contınuo en la variable que noesta acotada. Esto debido a que las bases para espacios vectoriales de funciones f (x) definidas entre −∞ e ∞, sonbases contınuas. Por tanto, las sumas se convierten en integrales para las variables no acotadas.

7.8.1. Expansion ortonormal

Tomemos un rectangulo cuya anchura tiende a infinito de tal forma que para condiciones de Dirichlet nos imponeG = 0 en y = 0, b y G = 0 en x = ±∞. Puesto que la frontera es acotada en la coordenada y, las condiciones defrontera en esta coordenada son satisfechas por una superposicion discreta de senos como ya hemos visto. Por otrolado, las condiciones de frontera en x requieren el uso de una base completa en el intervalo (−∞,∞), lo cual a suvez requiere del uso de bases contınuas. Por tanto, es sensato usar la expansion

G(x, x′, y, y′

)=

∞∑

n=1

sinβny sin βny′∫ ∞

−∞An (k) e

ik(x−x′) dk

la proposicion en la parte contınua de la forma eik(x−x′) esta inspirada en la propiedad G (x, x′, y, y′) = G∗ (x′, x, y′, y)

teniendo en cuenta que el intercambio y ↔ y′ deja invariante a la funcion de Green de acuerdo con la forma propuesta.Usamos las relaciones de completez

δ(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk ; δ(y − y′

)=

1

a

∞∑

n=1

sin βny sin βny′ ; βn ≡ nπ

b(7.50)

el lector puede verificar que la funcion de Green toma la forma

G ∝

∞∑

n=1

∫dkeik(x−x

′)

k2 + α2n

sinαny sinαny′ (7.51)

7.8.2. Uso del teorema de valores propios

La expresion (7.9) puede generalizarse, para un espectro de funciones propias con una parte contınua y una partediscreta

G(r, r′, λ

)= 4π

∑

n

∫ϕ∗n (k, r

′)ϕn (k, r)λ− λn (k)

dk

Se deja al lector la tarea de encontrar una base de funciones propias del operador ∂2x+∂2y que posea una parte discreta

y otra contınua, y que cumpla las condiciones de frontera.

7.8.3. Combinacion de expansion ortonormal con metodo directo

Asumimos

G =

∞∑

n=1

sinβny sinβny′Fn

(x, x′

)

7.8. PROBLEMA BIDIMENSIONAL SEMI-INFINITO 107

introduciendo esta expansion en la ecuacion de Green y expandiendo δ (y − y′) en senos

(∂2x + ∂2y

) ∞∑

n=1

sin βny sinβny′Fn(x, x′

)= −4π

bδ(x− x′

) ∞∑

n=1

sin βny sin βny′

∞∑

n=1

[∂2xFn

(x, x′

)− β2nFn

(x, x′

)]sin βny

′ sin βny = −4π

bδ(x− x′

) ∞∑

n=1

sin βny sin βny′

por independencia lineal(∂2x − β2n

)Fn(x, x′

)= −4π

bδ(x− x′

)

para x 6= x′ la solucion es Fn (x, x′) = A (x′) eβnx +Be−βnx

1. Si x < x′ ⇒ G→ 0, cuando x→ −∞, resultando

Fn1(x, x′

)= An1e

βnx = An1eβnx<

2. Si x > x′ ⇒ G→ 0, cuando x→ ∞, resultando

Fn2(x, x′

)= Bn2e

−βnx = Bn2e−βnx>

La solucion es

Fn1(x, x′

)= Cne

βnx<e−βnx> = Cne−βn(x>−x<)

y puesto que x> − x< > 0, tenemos que

Fn1(x, x′

)= Cne

−βn|x−x′|

al integrar en la vecindad de la inhomogeneidad en la ecuacion se obtiene

Cn =2π

bβn

resultando

G(x, x′, y, y′

)=

2π

b

∞∑

n=1

sin βny sin βny′e−βn(x>−x<)

βn=

2π

b

∞∑

n=1

sin βny sinβny′e−βn|x−x

′|

βn

7.8.4. Combinacion de metodo directo con expansion contınua

Podemos proceder usando una base contınua sobre x y una funcion libre en y

G =

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)Fk(y, y′

)dk ; δ

(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

introduciendo estas expansiones en la ecuacion de Green

(∂2x + ∂2y

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′)Fk(y, y′

)dk = −4π

2πδ(y − y′

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)[−k2Fk

(y, y′

)+ ∂2yFk

(y, y′

)]dk = −2δ

(y − y′

) ∫ ∞

−∞eik(x−x

′) dk

la independencia lineal nos da [∂2y − k2

]Fk(y, y′

)= −2δ

(y − y′

)

y se obtiene

G = 2

∫ ∞

−∞eik(x−x

′) sinh ky< sinh k (b− y>)

k sinh kbdk


7.9. Anotaciones generales

1. Hemos visto varias estrategias para calcular funciones de Green, que podemos numerar ası:

a) Expansion ortonormal en x, y: recomendable cuando podemos encontrar bases tanto en x como en y, quepuedan ajustar facilmente las condiciones de frontera.

b) Expansion ortonormal en x o y, y funcion libre en la otra variable: recomendable si la expansion ortonormales facilmente ajustable a las condiciones de frontera y la ecuacion diferencial para la funcion libre esfacilmente soluble.

c) Metodo directo: Se asume funcion libre en ambas variables. Si la ecuacion diferencial es facilmente soluble,este metodo usualmente conduce a soluciones mas simples o cerradas.

d) Uso del teorema de valores propios: Recomendable cuando podemos hallar una base de funciones propiasen donde las condiciones de frontera sean facilmente ajustables. En esencia este metodo tambien es unaexpansion ortonormal, pero los coeficientes se hallan mas facilmente.

2. Con fronteras en el infinito, es recomendable usar espectros contınuos de funciones base. En particular, larepresentacion exponencial contınua es de amplio uso en virtud del lema de Riemann-Lebesgue que nos diceque

lımx→∞

∫ b

ae±ikxF (k) dk = 0

si F (k) es absolutamente integrable i.e.

∫ b

a|F (k)| dk = finito

este lema nos garantiza que G→ 0 cuando x→ ±∞.

7.10. Funcion de Green en coordenadas polares

Para escribir la ecuacion de Green en coordenadas polares

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)

debemos escribir el Laplaciano en coordenadas polares

∇2 =1

ρ

∂

∂ρ

[ρ∂

∂ρ

]+

1

ρ2∂2

∂ϕ2

ası como la representacion adecuada de la delta de Dirac en estas coordenadas. Para esto es necesario tener en cuentaque la distribucion debe cumplir la propiedad fundamental

∫

Vδ(r− r′

)d(n)r = 1

siempre que r′ este dentro del volumen. n se refiere a la dimension del espacio en cuestion que en nuestro caso esn = 2, en coordenadas polares un diferencial de area d2r se escribe en la forma dS = ρ dρ dϕ. Teniendo en cuentaque ∫

δ(ρ− ρ′

)dρ =

∫δ(ϕ− ϕ′) dϕ = 1

podemos escribir

1 =

[∫δ(ρ− ρ′

)dρ

] [∫δ(ϕ− ϕ′) dϕ

]=

∫ ∫δ(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′) dρ dϕ

1 =

∫ ∫ [δ (ρ− ρ′)

ρδ(ϕ− ϕ′)

]ρ dρ dϕ =

∫

Vδ(r− r′

)dS

7.10. FUNCION DE GREEN EN COORDENADAS POLARES 109

por tanto la representacion de la delta de Dirac en coordenadas polares queda

δ(r− r′

)=δ (ρ− ρ′)

ρδ(ϕ− ϕ′)

y la ecuacion de Green es entonces

1

ρ

∂

∂ρ

[ρ∂G

∂ρ

]+

1

ρ2∂2G

∂ϕ2= −4π

ρδ(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′) (7.52)

A manera de ejemplo, para encontrar la funcion de Green de la cuna mostrada en la figura 7.1, es obviamente mas

Figura 7.1: Funcion de Green con condiciones de Dirichlet, para el interior de una cuna de radio R y que subtiendeun angulo β.

conveniente el uso de coordenadas polares. Las condiciones de Dirichlet equivalen a G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = R.Hagamos una expansion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′Fn

(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β(7.53)

δ(ϕ− ϕ′) =

1

β

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′ (7.54)

introduciendo las expansiones (7.53) y (7.54) en la ecuacion de Green (7.52)

∂

∂ρ

ρ∂

∂ρ

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

+1

ρ

∂2

∂ϕ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′

∂

∂ρ

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]+ ρ

∂2

∂ρ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]

+1

ρ

∂2

∂ϕ2

[ ∞∑

n=1


(ρ, ρ′

)]= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′∂ρFn

(ρ, ρ′

)+

∞∑

n=1

ρ sinαnϕ sinαnϕ′∂2ρFn

(ρ, ρ′

)

−∞∑

n=1

1

ρα2n sinαnϕ sinαnϕ

′Fn(ρ, ρ′

)= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1



∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′[∂ρFn

(ρ, ρ′

)+ ρ∂2ρFn

(ρ, ρ′

)− 1

ρα2nFn

(ρ, ρ′

)]= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


resultando

∂ρFn(ρ, ρ′

)+ ρ∂2ρFn

(ρ, ρ′

)− 1

ρα2nFn

(ρ, ρ′

)= −4π

βδ(ρ− ρ′

)

(ρ∂2ρ + ∂ρ −

1

ρα2n

)Fn(ρ, ρ′

)= −4π

βδ(ρ− ρ′

)

con ρ 6= ρ′ tenemos una ecuacion homogenea dada por(ρ∂2ρ + ∂ρ −

1

ρα2n

)Fn(ρ, ρ′

)= 0

(ρ2∂2ρ + ρ∂ρ − α2

n

)Fn(ρ, ρ′

)= 0 (7.55)

que coincide con la Ec. (3.19) Pag. 44, cuya solucion esta dada por la Ec. (3.23) Pag. 44

Fn(ρ, ρ′

)= A

(ρ′)ραn +B

(ρ′)ρ−αn (7.56)

1. Para ρ < ρ′, G = 0 en ρ = 0 esto prohibe que existan αn positivos y negativos al tiempo. Eligiendo αn positivo(no puede ser cero) nos queda Fn1 (ρρ

′) = An1 (ρ′) ραn = An1 (ρ

′) ραn<

2. Para ρ > ρ′, G = 0 en ρ = R⇒ Fn2 (ρρ′) = An2 (ρ

′)[( ρ

R

)αn −(Rρ

)αn]= An2 (ρ

′)[(ρ>

R

)αn −(Rρ>

)αn]

La solucion homogenea completa es:

Fn(ρ, ρ′

)= Cn

(ρ′)ραn<

[(ρ>R

)αn −(R

ρ>

)αn]

Al integrar la ecuacion diferencial entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε se obtiene Cn = −2π/ (βRαnαn) de modo que

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) = −2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<R

)αn

[(ρ>R

)αn −(R

ρ>

)αn]

Esta solucion abarca como casos particulares al sector circular recto (β = π/2) y al semicırculo (β = π). Adicional-mente, si tomamos R→ ∞ obtenemos

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) = 2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<ρ>

)αn

que abarca en particular al cuadrante y al semiplano. A priori estarıamos tentados a pensar que el cırculo se puedegenerar con β = 2π, y el plano con β = 2π, R→ ∞. Sin embargo, es importante enfatizar que ni el cırculo completoni el plano se pueden generar de esta forma, como se explica en el siguiente problema.

Problem 10 Evaluar G para condiciones de Dirichlet en el interior de una region circular de radio R. En estecaso no hay condiciones de frontera para ningun valor de ϕ, por tanto el uso exclusivo de senos es inadecuado. Enconsecuencia, es necesario utilizar senos y cosenos, o equivalentemente, se puede usar eim(ϕ−ϕ′) con lo cual se propone

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=−∞eim(ϕ−ϕ′)Fm

(ρ, ρ′

)

una proposicion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amn sinβnρ sin βnρ

′eim(ϕ−ϕ′)

es inconsistente ya que G no es necesariamente cero en ρ = 0 puesto que este punto no hace parte de la frontera.Se necesitan de nuevo senos y cosenos en ρ. Adicionalmente, para el cırculo completo la funcion de Green debe serperiodica en ϕ con periodo 2π, condicion que no se requiere cuando solo se toma un sector circular.

7.11. FUNCION DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO EN TRES DIMENSIONES 111

7.11. Funcion de Green para espacio infinito en tres dimensiones

La funcion de Green en tres dimensiones cumple con la ecuacion

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)

y recordando que

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ

(r− r′

)

y observando que |r− r′|−1 tiende a cero cuando r → ∞ tenemos que esta es justamente la funcion de Green paraespacio infinito (frontera en el infinito). Recordemos que esta fue la primera funcion de Green que nos encontramosen el camino ası como la mas simple.

Podemos encontrar un representacion de Fourier de esta funcion de Green usando la ecuacion de Green y supo-niendo una solucion de la forma

G(r, r′

)=

∫ ∞

−∞A (k) eik·(r−r′)d3k

usando la ecuacion de Green y la representacion de Fourier de la delta de Dirac

∇2

∫ ∞

−∞A (k) eik·(r−r′)d3k = − 4π

(2π)3

∫ ∞

−∞eik·(r−r′)d3k

∫ ∞

−∞k2A (k) eik·(r−r′)d3k = − 1

2π2

∫ ∞

−∞eik·(r−r′)d3k ⇒

A (k) =1

2π2k2

la funcion de Green queda

G(r, r′

)=

1

2π2

∫ ∞

−∞

eik·(r−r′)

k2d3k

Una integracion por polos nos da que esta integral equivale a

G(r, r′

)=

1

|r− r′|lo cual muestra la consistencia del procedimiento.

7.12. Problemas

1) Considere una lınea recta infinita. Evalue la funcion de Green a partir de la ecuacion d2Gdx2 = −4πδ (x− x′).

Notese que no es posible satisfacer las condiciones de frontera utilizando sumatoria en senos y cosenos pues estesistema no es completo cuando el intervalo tiende a infinito, en tal caso se debe utilizar una expansion contınua.Elijamos la expansion

G(x, x′

)=

∫ ∞

−∞g (k) eik(x−x

′)dk ; δ(x− x′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk

introduciendo estas expansiones en la funcion de Green

d2G

dx2= −

∫ ∞

−∞k2g (k) eik(x−x

′)dk = −4π1

2π

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk ⇒∫ ∞

−∞k2g (k) eik(x−x

′)dk = 2

∫ ∞

−∞eik(x−x

′)dk

la independencia lineal de las funciones nos permite igualar coeficientes

k2g (k) = 2 ⇒ g (k) =2

k2



G(x, x′

)=

∫ ∞

−∞

2

k2eik(x−x

′)dk

la condicion de frontera G→ 0 cuando x→ ±∞ se garantiza a traves del lema de Riemann-Lebesgue

lımx→±∞

∫ b

−ag (k) e±ikxdk = 0 si

∫ b

−a|g (k)| dk <∞ y existe

en este caso (a, b) → (−∞,∞) y g (k) = 2/k2

∫ ∞

−∞

∣∣∣∣2

k2

∣∣∣∣ dk =

∫ ∞

−∞

2

k2dk = −2

k

∣∣∣∣∞

−∞= 0

de modo que g (k) es absolutamente integrable y se cumple el lema. Esta integral se puede calcular por polos.——————————————————————-2) Evalue G para un paralelepıpedode lados a, b, c con condiciones de Dirichlet, usando triple suma de senos y

doble suma de senosa) Usando triple suma de senos

G(x, x′

)=

∑

n,m,l

Cmnl sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy

′ sin γlz sin γlz′

αn =nπ

a, βm =

mπ

b, γl =

lπ

c

los valores de αn, βm, γl garantizan las condiciones de frontera para G. el laplaciano aplicado a G queda

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)G(x, x′

)= −

∑

n,m,l

(α2n + β2m + γ2l

)Cmnl

× sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy

′ sin γlz sin γlz′

usando las relaciones de completez

δ(x− x′

)=

1

a

∑

n

sinαnx sinαnx′ ; δ

(y − y′

)=

1

b

∑

m

sin βmy sinβmy′

δ(z − z′

)=

1

c

∑

l

sin γlz sin γlz′

definimos W ≡ sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy′ sin γlz sin γlz′ e introduciendo las expansiones en la funcion de Green

−∑

n,m,l

(α2n + β2m + γ2l

)CmnlW = − 4π

abc

∑

n,m,l

W

debido a la condicion de ortogonalidad de los senos se tiene

(α2n + β2m + γ2l

)Cmnl =

4π

abc⇒ Cmnl =

4π

abc(α2n + β2m + γ2l

)

con lo cual la funcion de Green queda

G(x, x′

)=∑

n,m,l

4π sinαnx sinαnx′ sin βmy sinβmy′ sin γlz sin γlz′

abc(α2n + β2m + γ2l

)

b) Usamos doble suma en senos de x, y y asumimos una funcion libre en z.

G(x, x′

)=∑

n,m

sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy

′Fmn(z, z′

)

7.12. PROBLEMAS 113

escribamosH ≡ sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy′. Utilizando completez para δ (x− x′) , δ (y − y′) y derivandoG (x, x′)

se obtiene

∑

n,m

[d2Fnmdz2

−(α2n + β2m

)Fnm

]H = −4π

ab

∑

m,n

Hδ(z − z′

)⇒

d2Fnmdz2

−(α2n + β2m

)Fnm = −4π

abδ(z − z′

)

definiendo γ2nm ≡ α2n + β2m. sabemos que αn = nπ/a, βm = mπ/b. Para satisfacer las condiciones de frontera.

Para z 6= z′ se obtiene la ecuacion homogenea

d2Fnmdz2

− γ2nm ⇒ Fnm ∼ Aeγnmz +Be−γnmz

a1) Para z < z′ se tiene que si z = 0 ⇒ G = 0 de modo que A = −B y tenemos una solucion de la forma

Fnm ∼ sinh γnmz = sinh γnmz<

b1) Para z > z′: si z = c⇒ G = 0Fnm ∼ sinh γnm (c− z>)

de modo que la solucion general se puede escribir como

Fnm = ρnm sinh γnmz< sinh γnm (c− z>)

para hallar ρnm integramos la ecuacion diferencial entre (z′ − ε, z′ + ε)

∫ z=z′+ε

z=z′−ε

d2Fnmdz2

dz − γ2∫ z=z′+ε

z=z′−εF(z, z′

)dz = −4π

ab

∫ z=z′+ε

z=z′−εδ(z − z′

)dz

al ser Fnm una funcion contınua en los intervalos (z′ − ε, z′) y (z′, z′ + ε) se tiene que

lımε→0

∫ z=z′+ε

z=z′−εF(z, z′

)dz = 0

resultandodFnmdz

∣∣∣∣z=z′+ε

z=z′−ε= −4π

ab⇒ dFnm

dz

∣∣∣∣z=z′+ε

− dFnmdz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

cuando z = z′ + ε⇒ z = z> y z′ = z<. En el caso z = z′ − ε ocurre lo contrario

d

dz

[ρnm sinh γnmz

′ sinh γnm (c− z)]− d

dz

[ρnm sinh γnmz sinh γnm

(c− z′

)]= −4π

ab

ρnm sinh γnmz′ d [sinh γnm (c− z)]

dz

∣∣∣∣z=z′+ε

− ρnm sinh γnm(c− z′

) d [sinh γnmz]dz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

−γnmρnm sinh γnmz′ cosh γnm

(c− z′

)− γnmρnm sinh γnm

(c− z′

)cosh γnmz

′ = −4π

ab

γnmρnm[sinh γnmz

′ cosh γnm(c− z′

)+ sinh γnm

(c− z′

)cosh γnmz

′] =4π

ab

donde hemos apelado a la continuidad de las funciones hiperbolicas para ignorar ε cuando este parametro tiendea cero. Usando identidades trigonometricas hiperbolicas

sinh a cosh (b− a) + sinh (b− a) cosh a =(cosh2 a− sinh2 a

)sinh b = sinh b

γnmρnm sinh γnmc =4π

ab


quedando finalmente

ρnm =4π

γnmab sinh γnmc

Con esto ya tenemos la forma completa de la funcion de Green

G(x, x′

)=∑

n,m

4π sinh γnmz< sinh γnm (c− z>)

γnmab sinh γnmcsinαnx sinαnx

′ sinβmy sin βmy′

————————————————————-3) Encontrar la funcion de Green para una region bidimensional definida por 0 ≤ ϕ ≤ β, y 0 ≤ ρ <∞.La ecuacion para G en coordenadas polares es

∂2G

∂ρ2+

1

ρ

∂G

∂ρ+

1

ρ2∂2G

∂ϕ2= −4π

ρδ(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

ρ∂2G

∂ρ2+∂G

∂ρ+

1

ρ

∂2G

∂ϕ2= −4πδ

(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

las condiciones de Dirichlet exigen que G = 0 en ϕ = 0, β y en ρ = 0 y ρ → ∞. La condicion para ϕ puede sersatisfecha para una serie de senos. Entonces escribimos G de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1


(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β

usando completez para expandir δ (ϕ− ϕ′) = 1β

∑∞n=1 sinαnϕ sinαnϕ

′ en introduciendo estas expansiones en laecuacion de Green

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′[d2Fndρ2

+1

ρ

dFndρ

− α2n

ρ2Fn

]= −4π

βδ(ρ− ρ′

) ∞∑

n=1


igualando coeficientes y multiplicando la ecuacion por ρ

ρd2Fndρ2

+dFndρ

− α2n

ρFn = −4π

βδ(ρ− ρ′

)⇒

d

dρ

[ρdFndρ

]− α2

n

ρFn = −4π

βδ(ρ− ρ′

)

para ρ 6= ρ′ obtenemos la ecuacion homogenea

d

dρ

[ρdFndρ

]− α2

n

ρFn = 0

cuya solucion es Fn (ρ, ρ′) = Aραn +Bρ−αn

a1) si ρ < ρ′, G = 0 para ρ = 0 de modo que B = 0 para que Fn no diverja y cumpla la condicion de frontera

Fn(ρ, ρ′

)∼ ραn ⇒ Fn

(ρ, ρ′

)∼ ραn

<

b1) si ρ > ρ′ ⇒ G = 0 para ρ→ ∞ de modo que A = 0

Fn(ρ, ρ′

)∼ ρ−αn ⇒ Fn

(ρ, ρ′

)∼ ρ−αn

>

la solucion toma la forma

Fn(ρ, ρ′

)= Cnρ

αn< ρ−αn

> = Cn

(ρ<ρ>

)αn

integramos la ecuacion diferencial inhomogenea entre ρ = ρ′ − ε y ρ = ρ′ + ε con ε→ 0

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−ε

d

dρ

[ρdFndρ

]dρ− α2

n

ρ

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εFn dρ = −4π

β

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εδ(ρ− ρ′

)dρ

7.12. PROBLEMAS 115

la continuidad de Fn hace que se anule la segunda integral cuando ε→ 0.

[ρdFndρ

]

ρ=ρ′+ε

−[ρdFndρ

]

ρ=ρ′−ε= −4π

β

cuando ρ = ρ′ + ε⇒ ρ = ρ>, ρ′ = ρ<, cuando ρ = ρ′ − ε⇒ ρ′ = ρ>, ρ = ρ<

Cn

[ρd

dρ

(ρ′

ρ

)αn]

ρ=ρ′+ε

− Cn

[ρd

dρ

(ρ

ρ′

)αn]

ρ=ρ′−ε= −4π

β

−αnCn(ρ′)αn

[(1

ρ

)αn]

ρ=ρ′+ε

− αnCn(ρ′)αn

[ραn ]ρ=ρ′−ε = −4π

β

2αnCn =4π

β⇒ Cn =

2π

αnβ

por ser funciones contınuas en la vecindad de ρ′ hemos evaluado ambas en ρ′ y no en ρ′+ ε cuando ε→ 0. La funcionde Green queda

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) = 2π

β

∞∑

n=1


αn

(ρ<ρ>

)αn

esta solucion abarca en particular 1) El cuadrante (β = π/2) y el semiplano (β = π)———————————————–4) Para la cuna definida por G = 0 en ϕ = 0, β y ρ = 0, R asumase

G =∑

n,m

anm sinαnϕ sinαnϕ′ sinβmρ sin βmρ

′

αn ≡ nπ

β; βm =

mπ

R

¿Es esta una solucion consistente?La funcion ası definida satisface las condiciones de Dirichlet, introduciendo G en la ecuacion diferencial, se mira

si es posible encontrar para esta solucion un coeficiente que dependa exclusivamente de m, y n.

∂G

∂ρ=

∑

n,m

anmβm sinαnϕ sinαnϕ′ cos βmρ sin βmρ

′

∂2G

∂ρ2= −

∑

n,m

anmβ2m sinαnϕ sinαnϕ

′ sin βmρ sin βmρ′

∂2G

∂ϕ2= −

∑

n,m

anmα2n sinαnϕ sinαnϕ

′ sin βmρ sin βmρ′

la ecuacion diferencial insertando la completez es

∑

n,m

[βm cosβmρ−

(α2n + β2m

)sin βmρ

]anm sinαnϕ sinαnϕ

′ sin βmρ′

= − 4π

βR

∑

n,m

sinαnϕ sinαnϕ′ sin βmρ sin βmρ

′ ⇒

∑

m

[βm cos βmρ−

(α2n + β2m

)sin βmρ

]anm sin βmρ

′ = − 4π

βR

∑

m

sinβmρ sin βmρ′

dado que el coseno y el seno son funciones linealmente independientes, no es posible encontrar una expresion para elcoeficiente anm que dependa exclusivamente de m y n como se propone al suponer la solucion de G; luego la solucionpropuesta es inconsistente.

La inconsistencia en la solucion esta relacionada con la singularidad asociada a la frontera en ρ→ 0 (chequear).


—————————————————————

5) Para la cuna con R→ ∞, ¿es posible escoger?

G =

∞∑

n=1

sinαnϕ sinαnϕ′∫ ∞

−∞an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

Veamos si resulta una solucion consistente para a (k)

1

ρ

∂G

∂ρ=

∞∑

n=1


−∞

ik

ρan (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

∂2G

∂ρ2= −

∞∑

n=1


−∞k2an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

1

ρ2∂2G

∂ϕ2= − 1

ρ2

∞∑

n=1

α2n sinαnϕ sinαnϕ

′∫ ∞

−∞an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

introduciendo estas relaciones en la ecuacion diferencial, ası como la completez, nos da

∞∑

n=1


−∞

(ik − k2ρ− α2

n

ρ

)an (k) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk = − 2

β

∞∑

n=1


−∞exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

por ortogonalidad de senos y exponenciales se obtiene

(ik − k2ρ− α2

n

ρ

)an (k) = − 2

β

la cual nos da una solucion compleja para an (k). Sin embargo, esta solucion claramente depende tambien de ρ y noexclusivamente de k lo cual contradice la hipotesis, observese en particular que con a (k, ρ) ya no podemos despejareste coeficiente recurriendo a la independencia lineal (chequear). Por tanto la solucion es inconsistente.

——————————————–

6) Es posible escoger para la cuna con R→ ∞ la solucion

G =

∫ ∞

−∞Fk(ϕ,ϕ′) exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk ?

Introduciendo esta solucion y la completez en la ecuacion de Green se tiene

∫ ∞

−∞

(ikFk

(ϕ,ϕ′)− ρk2Fk

(ϕ,ϕ′)+ 1

ρ

d2Fk (ϕ,ϕ′)

dϕ2

)exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

= −δ(ϕ− ϕ′)

∫ ∞

−∞2 exp

[ik(ρ− ρ′

)]dk

(ik − ρk2 +

1

ρ

d2

dϕ2

)Fk(ϕ,ϕ′) = −2δ

(ϕ− ϕ′)

para ϕ 6= ϕ′ y multiplicando por ρ (ikρ− ρ2k2 +

d2

dϕ2

)Fk(ϕ,ϕ′) = 0

La solucion es en general compleja. Pero de acuerdo con esta ecuacion, Fk (ϕ,ϕ′) dependerıa de ρ contradiciendo la

hipotesis. Por tanto la solucion planteada es inconsistente.

——————————————————-

7) Sea un cırculo de radio R, evalue G con condiciones de Dirichlet.

Dado que no hay condiciones de frontera para ϕ (excepto por la exigencia de periodicidad 2π en ϕ) y teniendoen cuenta que para R no hay condicion de frontera en R = 0 puesto que este punto no es de la frontera, no podemos

7.12. PROBLEMAS 117

hacer una expansion en senos ni podemos generarlo como caso particular de la cuna con β = 2π. Usaremos entoncesuna expansion en senos y cosenos o equivalentemente en exp [im (ϕ− ϕ′)]

G =∞∑

m=−∞Fm(ρ, ρ′

)exp

[im(ϕ− ϕ′)]

en este caso la relacion de completez es

∞∑

m=−∞exp

[im(ϕ− ϕ′)] = 2πδ

(ϕ− ϕ′)

de modo que la ecuacion resultante es

∞∑

m=−∞

[dFm (ρ, ρ′)

dρ+ ρ

d2Fm (ρ, ρ′)dρ2

− m2

ρFm(ρ, ρ′

)]exp

[im(ϕ− ϕ′)]

= −2δ(ρ− ρ′

) ∞∑

m=−∞exp

[im(ϕ− ϕ′)]

d

dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]− m2

ρFm(ρ, ρ′

)= −2δ

(ρ− ρ′

)

la solucion de la ecuacion homogenea para ρ 6= ρ′ es

Fm(ρ, ρ′

)= Aρm +Bρ−m

a1) ρ < ρ′ ⇒ G debe ser finita en ρ = 0 de modo que B = 0 ⇒ Fm (ρρ′) ∼ ρm = ρm<b1) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R de modo que ARm +BR−m = 0 ⇒ B = −AR2m la solucion general queda

Fm = Aρm> +Bρ−m> = Aρm> −AR2mρ−m> = ARm[(ρ>

R

)m−(R

ρ>

)m]= A′

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m]

la solucion general es el producto de las dos anteriores

Fm(ρ, ρ′

)= Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m]

integramos la ecuacion inhomogenea asumiendo continuidad de Fm (ρ, ρ′)

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−ε

d

dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]dρ− m2

ρ

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εFm(ρ, ρ′

)dρ = −2

∫ ρ=ρ′+ε

ρ=ρ′−εδ(ρ− ρ′

)dρ

[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]

ρ=ρ′+ε

−[ρdFm (ρ, ρ′)

dρ

]

ρ=ρ′−ε= −2

ρd

dρ

(Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m])

ρ=ρ′+ε

−ρd

dρ

(Cmρ

m<

[(ρ>R

)m−(R

ρ>

)m])

ρ=ρ′−ε= −2

ρd

dρ

(Cm

(ρ′)m[( ρR

)m−(R

ρ

)m])

ρ=ρ′+ε

−ρd

dρ

(Cmρ

m

[(ρ′

R

)m−(R

ρ′

)m])

ρ=ρ′+ε

= −2

ρCm

(ρ′)m[mρm−1

Rm+mRm

ρm+1

]

ρ=ρ′+ε

−Cmρ

[(ρ′

R

)m−(R

ρ′

)m]mρm−1

ρ=ρ′+ε

= −2

Cm

[m (ρ′)2m

Rm+mRm

]−Cm

[m (ρ′)2m

Rm−mRm

]= −2

2mCmRm = −2 ⇒ Cm = − 1

mRm


la solucion para G sera entonces

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=−∞

ρm<mRm

[(R

ρ>

)m−(ρ>R

)m]exp

[im(ϕ− ϕ′)]

———————————————————

8) Para el caso anterior, pruebe que las dos formas siguientes no son consistentes

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amn sin βnρ sin βnρ

′ exp[im(ϕ− ϕ′)]

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∞∑

m=1

sin βmρ sin βmρ′Fm

(ϕ,ϕ′)

a) usando la primera forma y las expansiones para los deltas de Dirac, la ecuacion de Green

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂G

∂ρ

)+

1

ρ2∂2G

∂ϕ2= −4πδ

(ρ− ρ′

)δ(ϕ− ϕ′)

queda

1

ρ

∂

∂ρ

[ρ

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞βnAmn cos βnρ sin βnρ


]

− 1

ρ2

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞Amnm

2 sin βnρ sin βnρ′ exp

[im(ϕ− ϕ′)]

= − 4π

2πR

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞sin βnρ sin βnρ


entonces

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞

[1

ρβnAmn cos βnρ− β2nAmn sin βnρ−

1

ρ2Amnm

2 sin βnρ

]sin βnρ


= − 4π

2πR

∞∑

n=1

∞∑

m=−∞sin βnρ sin βnρ


la independencia lineal de las funciones exp [im (ϕ− ϕ′)] nos lleva a

∞∑

n=1

[1

ρβnAmn cos βnρ− β2nAmn sin βnρ−

1

ρ2Amnm

2 sin βnρ

]sin βnρ

′ = − 2

R

∞∑

n=1

sinβnρ sin βnρ′

pero no podemos igualar coeficientes recurriendo a la independencia lineal en las funciones de ρ, ρ′ debido a laaparicion del factor cos βnρ, esto a su vez esta ligado al hecho de que en coordenadas polares, el laplaciano poseeprimeras derivadas en ρ lo cual no ocurre cuando utilizamos coordenadas cartesianas, una expresion analoga seobtiene con la segunda forma de expandir G.

————————————————————-

9) La funcion de Green de Dirichlet para el espacio semiinfinito definido por −∞ < y <∞, −∞ < z <∞, x ≥ 0.Esta dada por

G(r, r′

)=

1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

sinh γx< exp i [ky (y − y′) + kz (z − z′)]− γx>γ

dky dkz

γ2 ≡ k2y + k2z

con base en este resultado, calcule el potencial debido a una placa plana infinita a potencial V , asumiendo que nohay cargas en x > 0.

7.12. PROBLEMAS 119

El potencial dentro de la region donde ha sido calculado G viene dado por

φ (r) =

∫

Vρ(r′)G(r, r′

)d3r′ − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′

en nuestro caso ρ (r′) = 0 debido a la ausencia de cargas en la region de interes. El potencial se reduce a

φ (r) = − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′

]dS′

la superficie que limita la region donde fue calculada G se puede pensar como una semiesfera de radio infinito cuyabase es el plano Y Z donde esta la placa, y el eje X es el eje de simetrıa de dicha semiesfera. Sin embargo, solo la baseo superficie donde se encuentra la placa contribuye a la integral de superficie, ya que ∂G/∂n′ = 0 cuando alguna delas variables tiende a infinito, lo cual se puede chequear a traves de las derivadas parciales ∂G/∂xi. Luego solo S′

1 (elplano Y Z) contribuye a la integral. El vector n′ es un vector perpendicular a dicha superficie saliendo del volumendonde se calculo G, por tanto n′ = −ux y la condicion de frontera en la derivada direccional se convierte en

∂G

∂n′= − ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

como x′ = 0 a lo largo de toda la integracion, se tiene que x′ = x< puesto que x ≥ 0. De esta forma la derivadadireccional en la superficie es

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∂

∂x′

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[sinh γx′ exp i [ky (y − y′) + kz (z − z′)]− γx

γ

]dky dkz

∣∣∣∣x′=0

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[cosh γx′ exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkz

∣∣∣∣x′=0

− ∂G

∂x′

∣∣∣∣x′=0

= − 1

π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkz

por otro lado φ (x′) = V sobre S′1 y dS′

1 = dz′ dy′, la expresion para el potencial queda entonces

φ (r) =V

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[exp

i[ky(y − y′

)+ kz

(z − z′

)]− γx

]dky dkzdz

′dy′

φ (r) =V

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞exp

(−ikzz′

)dz′]exp

(−ikyy′

)dy′[exp i [kyy + kzz]− γx] dky dkz

φ (r) =2πV

4π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ (kz) exp

(−ikyy′

)dy′[exp i [kyy + kzz]− γx] dky dkz

y recordando la definicion de γ

φ (r) = V

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞δ (ky) δ (kz)

[exp

i [kyy + kzz]−

(√k2y + k2z

)x]

dky dkz

φ (r) = V

∫ ∞

−∞δ (ky)

[exp

(ikyy −

√k2yx)]

dky

y el potencial queda finalmenteφ (r) = V

????????????????? es bueno revisar si es cierto que la integral de superficie sobre el resto de la semiesfera se anula.—————————————————-10) Calcule G para el ortoedro de altura semi infinita (0 ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).Si proponemos una solucion de la forma

G =∑

m,n

Fmn(z, z′

)sinαnx sinαnx

′ sin βmy sin βmy′ ; αn =

nπ

a; βm =

mπ

b


esta solucion garantiza las condiciones de frontera en X e Y . La ecuacion de Green en coordenadas cartesianas queda

∑

m,n

[d2Fmndz2

− γ2mnFmn

]sinαnx sinαnx

′ sinβmy sin βmy′ = −4π

abδ(z − z′

)∑

m,n

sinαnx sinαnx′ sin βmy sinβmy

′

donde hemos definido γ2mn ≡ α2n + β2m. La ecaucion diferencial para Fmn queda

d2Fmndz2

− γ2mnFmn = −4π

abδ(z − z′

)

resolvemos la homogenea z 6= z′, su solucion general es Fmn = A exp (γmnz) +B exp (−γmnz)a) z < z′ ⇒ G = 0 cuando z = 0 ⇒ Fmn = A1 sinh γmnz<b) z > z′ ⇒ G = 0 cuando z → ∞ ⇒ Fmn = A2 exp (−γmnz>)la solucion en ambos intervalos es

Fmn(z, z′

)= Cmn sinh γmnz< exp (−γmnz>)

integramos la ecucion inhomogenea entre z′ − ε y z′ + ε

dFmndz

∣∣∣∣z=z′+ε

− dFmndz

∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

Cmn

d

dz

[sinh γmnz

′ exp (−γmnz)]∣∣∣∣z=z′+ε

− d

dz

[sinh γmnz exp

(−γmnz′

)]∣∣∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

Cmn

−γmn sinh γmnz′ exp (−γmnz)

∣∣z=z′+ε

−[γmn cosh γmnz exp

(−γmnz′

)]∣∣z=z′−ε

= −4π

ab

−Cmnγmn exp(−γmnz′

) sinh γmnz

′ + cosh γmnz

= −4π

ab

Cmnγmn exp(−γmnz′

)exp

(γmnz

′) =4π

ab

Cmn =4π

abγmn

la funcion de Green es

G =4π

ab

∑

m,n

sinh γmnz< exp (−γmnz>) sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy′

γmn

esta es la solucion para un orotedro de base (a, b) cuya base inferior esta sobre el plano XY y con 0 ≤ z ≤ ∞. Sinembargo, si la altura va desde −∞ ≤ z ≤ ∞ la solucion de G toma otra forma.

——————————————-9) Calcule G para el ortoedro de altura infinita (−∞ ≤ z ≤ ∞) y de base rectangular (a, b).Se podrıa usar la misma forma funcional del problema anterior, la funcion Fmn cumple la misma ecuacion dife-

rencial pero con diferentes condiciones de frontera. En lugar de ello, usaremos la expansion

G(x, x′, y, y′, z, z′

)=∑

m,n

sinαnx sinαnx′ sin βmy sinβmy

′∫ ∞

−∞anm (k) eik(z−z

′) dk

la ecuacion de Green queda

−∑

m,n

sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy

′∫ ∞

−∞anm (k)

[α2n + β2m + k2

]eik(z−z

′) dk

= − 4π

2πab

∑

m,n

sinαnx sinαnx′ sin βmy sin βmy

′∫ ∞

−∞eik(z−z

′) dk

7.12. PROBLEMAS 121

[α2n + β2m + k2

]anm (k) =

2

ab⇒ a (k) = anm (k) =

2

ab (α2n + β2m + k2)

y la funcion de Green queda finalmente

G(x, x′, y, y′, z, z′

)=∑

m,n

sinαnx sinαnx′ sinβmy sin βmy

′∫ ∞

−∞

2eik(z−z′) dk

ab (α2n + β2m + k2)

la integral se puede calcular por polos.—————————————10) Evaluar G en el octante x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. En este caso es mas conveniente usar coordenadas esfericas.

La razon es que para estas coordenadas hay dos variables acotadas y solo una se evalua en un intervalo semi infinito(0 ≤ ρ ≤ ∞). En coordenadas cilındricas habrıan dos variables no acotadas y en cartesianas habrıa tres ?????????

————————————————————-11) Evaluar G para una cuna con un angulo de abertura β y tal que a ≤ ρ ≤ R.Proponemos una solucion de la forma

G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) =

∑

n


(ρ, ρ′

); αn =

nπ

β

La ecuacion diferencial es la misma que aparece en el problema de la cuna completa con 0 ≤ ρ ≤ R. La solucion es

Fn = Aραn +Bρ−αn

pero las condiciones de frontera son diferentesa) ρ < ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = a⇒ Aaαn +Ba−αn = 0, con un procedimiento similar al de la cuna completa, se tiene

que

Fn = A1n

[(ρ<a

)αn

−(a

ρ<

)αn]

b) ρ > ρ′ ⇒ G = 0 en ρ = R

Fn = A2n

[(ρ>R

)αn −(R

ρ>

)αn]

la solucion general es

Fn = Cn

[(ρ<a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]

integrando la ecuacion diferencial homogenea se obtiene

ρ

[dF

dρ

∣∣∣∣ρ=ρ′+ε

− dF

dρ

∣∣∣∣ρ=ρ′−ε

]= −4π

β

resultando

Cnαn

[(ρ′

a

)αn

−(a

ρ′

)αn] [(

ρ′

R

)αn

+

(R

ρ′

)αn]

−Cnαn[(

ρ′

a

)αn

+

(a

ρ′

)αn] [(

ρ′

R

)αn

−(R

ρ′

)αn]= −4π

β

simplificando

2Cnαn

[(R

a

)αn

−( aR

)αn

]=

4π

β⇒ Cn = Cn =

2π

βαn

[(Ra

)αn −(aR

)αn

]


G(ρ, ρ′, ϕ, ϕ′) = 2π

β

∑

n


αn

[(Ra

)αn −(aR

)αn

][(ρ<

a

)αn

−(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn

−(R

ρ>

)αn]

———————————————————————


10) Para la geometrıa anterior, asumamos una densidad lineal de carga en un segmento de arco de radio c. Lospotenciales a lo largo de l1, l2, l3, l4 son 0, V2, V, V1 respectivamente. Encuentre el potencial en el interior de la region.

La carga total viene dada por

q =β

2π(2πrλ) = βrλ = βcλ

donde c es el radio de la cuna.

q = q

∫ R

aδ (r − c) dr

∫ 2π

0

dϕ

2π=

∫qδ (r − c)

2πc(c dr dϕ)

la densidad superficial equivalente es

σ =qδ (r − c)

2πc=βcλδ (r − c)

2πc=βλδ (r − c)

2π

con esta densidad de carga y conociendo G y φ en la superficie se tiene

φ (r) =

∫ρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮φs(r′) ∂G∂n′

dS′

en nuestro caso bidimensional, la primera integral sera de superficie y la segunda de lınea

φ (r) =

∫βλδ (r′ − c)

2π

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[(ρ<

a

)αn −(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]r′ dr′ dϕ′

− 1

4π

[∫

l1

φ(r′) ∂G∂n′

dl′1 +∫

l2

+

∫

l3

+

∫

l4

]GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮φs(r′) ∂G∂n′

dS′

donde l1 es el segmento radial correspondiente a ϕ = 0. l2 es el segmento de arco para r = R y l3, l4 correspondena segmento radial con ϕ = β y segmento de arco con r = a respectivamente. La integral sobre l1 se anula puesto queϕ′ = 0. Evaluamos primero la integral en ϕ′

∫ R

a

βλδ (r′ − c)

2π[][. . . r′ dr′

] ∞∑

n=1

∫ β

0Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ dϕ′

la integral en ϕ′ es∞∑

n=1

∫ β

0Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ dϕ′ =∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1− cosαnβ] (7.57)

para hacer la integral en r′ se parte el intervalo entre a y R en r′ < r y r′ > r. Para r < c ⇒se anula la integral enel intervalo a ≤ r′ ≤ r. Para r > c⇒se anula la integral en el intervalo r < r′ ≤ R.

a) Para r < c

∫ R

a

βλ

2πδ(r′ − c

) [( ra

)αn −(ar

)αn]r′[(

r′

R

)αn

−(R

r′

)αn]dr′

=βλ

2π

[( ra

)αn

−(ar

)αn]c

[( cR

)αn

−(R

c

)αn]

(7.58)

b) Para r > c

∫ r

a

βλ

2πδ(r′ − c

) [(r′a

)αn

−( ar′

)αn]r′[( rR

)αn

−(R

r

)αn]dr′

=βλ

2π

[( ca

)αn −(ac

)αn]c

[( rR

)αn −(R

r

)αn]

(7.59)

7.12. PROBLEMAS 123

Calculemos∫l2φ (r′) ∂G∂n′ dl′2. En tal caso r′ = R de modo que r′ > r

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=R

=∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=R

=∑

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( ra

)αn

−(ar

)αn](2αn

R

)

= V2

∫

l2

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( ra

)αn

−(ar

)αn](2αn

R

) (R dϕ′)

= 2V2

[( ra

)αn −(ar

)αn] ∫ β

0

∞∑

n=1

Knαn sinαnϕ sinαnϕ′ dϕ′

la integral angular coincide con (7.57) de modo que

∫

l2

= 2V2

[(ra

)αn −(ar

)αn] ∞∑

n=1

Knαn sinαnϕ

αn[1− cosαnβ]

con lo cual ∫

l2

= 2V2

[( ra

)αn −(ar

)αn] ∞∑

n=1

Kn sinαnϕ [1− cosαnβ]

Ahora calculemos la integral sobre l4

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= − ∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=a

=∑

Kn sinαnϕ sinαnϕ′[( rR

)αn

−(R

r

)αn]2αna

sea dl = a dϕ ∫

l4

= V1

∫ β

0

∑Kn sinαnϕ sinαnϕ

′ 2αna

a dϕ

[( rR

)αn

−(R

r

)αn]

similarmente, ∫

l4

= 2V1

[( rR

)αn

−(R

r

)αn] ∞∑

n=1

(1− cosαnβ)Kn sinαnϕ (7.60)

finalmente, evaluemos sobre l3∂G

∂n′

∣∣∣∣ϕ′=β

=1

ρ′∂G

∂ϕ′

∣∣∣∣ϕ′=β

=

∞∑

n=1

αn sinαnϕ cosαnβ Kn

[(ρ<a

)αn −(a

ρ>

)αn] [(ρ>

R

)αn −(R

ρ>

)αn]

en este caso dl = dr′

∫

l3

= V

∫ R

a

∑αn sinαnϕ cosαnβ Kn

[(ρ<a

)αn

−(a

ρ<

)αn] [(ρ>

R

)αn

−(R

ρ>

)αn]dr′

haciendo nuevamente la particiona) r′ < r

∫

l3

= V

∫ r

a


[(r′

a

)αn

−( ar′

)αn

] [( rR

)αn −(R

r

)αn]dr′

+V

∫ R

r


[( ra

)αn

−(ar

)αn] [(r′

R

)αn

−(R

r′

)αn]dr′

∫

l3

= V∑ αnKn sinαnϕ cosαnβ

αn

[( rR

)αn −(R

r

)αn] [( r

a

)αn

+(ar

)αn − 2]

+[(ra

)αn −(ar

)αn] [

2−(( r

R

)αn

+

(R

r

)αn)]


∫

l3

= 2V∑

Kn sinαnϕ cosαnβ

[( aR

)αn

−( rR

)αn

−(R

a

)αn

+

(R

r

)αn

+(ra

)αn

−(ar

)αn

]

∫

l3

= 2V∑


[( aR

)αn

−(R

a

)αn]+

[(R

r

)αn

−( rR

)αn]+[( ra

)αn

−(ar

)αn]

(7.61)

La solucion para φ (r) en el interior es la suma de las expresiones anteriores

φ (r) =

∫ρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

4∑

i=1

∮

li

φs(r′) ∂G∂n′

dS′

de (7.57) y (7.58) para r < c

∫

Vρ dV =

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1− cosαnβ]

βλc

2π

[(ra

)αn −(ar

)αn] [( c

R

)αn −(R

c

)αn]

(7.62)

y de (7.57) y (7.59) para r > c

∫

Vρ dV =

∞∑

n=1

Kn sinαnϕ

αn[1− cosαnβ]

βλc

2π

[( ca

)αn −(ac

)αn] [( r

R

)αn −(R

r

)αn]

(7.63)

por otro lado

− 1

4π

4∑

i=1

∮

li

φs(r′) ∂G∂n′

dS′ = − 1

2π

∞∑

n=1

(1− cosαnβ) Kn sinαnϕV2

[(ra

)αn −(ar

)αn]

+ V1

[( rR

)αn −(R

r

)αn]

− V

2π

∞∑

n=1


[( aR

)αn −(R

a

)αn

+( rR

)αn

−(R

r

)αn

+(ra

)αn

−(ar

)αn

](7.64)

luego el potencial para r > c es la suma de (7.62)+ (7.64) y para r > c es la suma de (7.63)+ (7.64).

Capıtulo 8

Metodo de imagenes

8.1. Metodo de imagenes y teorema de unicidad

Supongamos que tenemos cierta distribucion de cargas en el interior de un volumen V , con unas condicionesde frontera dadas sobre la superficie que delimita a este volumen. En particular, tomemos condiciones de Dirichlet.Ahora supongamos que podemos encontrar una distribucion virtual de cargas ubicadas en el exterior del volumenV , de tal manera que la superposicion de la distribucion real de cargas (en el interior de V ) con la distribucionvirtual (en el exterior de V ) emulen las condiciones de frontera en la superficie. Uno de los teoremas de unicidadque hemos demostrado (ver seccion 1.8, Pag. 20) nos dice que dada una cierta distribucion de cargas en el interiorde un volumen V (que denominamos volumen de Dirichlet) y unas condiciones de frontera que definen al potencialen la superficie S que delimita a V , la solucion para el potencial en el interior del volumen V de Dirichlet, esunica. Ahora bien, comparando la situacion real (distribucion interior mas condiciones de frontera) con la situacionvirtual (cargas reales interiores mas cargas virtuales exteriores), podemos inferir que el potencial en el interior delvolumen V , es el mismo en ambas situaciones. Para demostrarlo, observemos que en ambos casos la distribucioninterior es la misma (debido a que las cargas virtuales estan todas en el exterior de V ), y ası mismo las condicionesde frontera tambien coinciden ya que las cargas virtuales se colocaron precisamente para ajustarse a esa condicion.No obstante, es necesario aclarar que el valor del potencial en el exterior del volumen V , en general no es el mismoen ambas situaciones; esto se puede ver teniendo en cuenta que si tomamos el complemento del volumen de Dirichlet,las cargas virtuales estarıan alterando la carga interior (donde el interior se define ahora en el complemento de V ).

Esto nos sugiere un metodo para encontrar el potencial en el interior de un volumen en ciertas situacionesespeciales, en las cuales es facil encontrar una distribucion de cargas virtuales exteriores que puedan emular lascondiciones de frontera, sin alterar la distribucion interior. Las cargas ubicadas en el exterior se denominan imagenesde modo que este procedimiento se conoce como metodo de imagenes.

Surge entonces la pregunta ¿cual es la ventaja del metodo de las imagenes?. Debemos observar que al introducirlas cargas imagen las condiciones de frontera dejan de ser relevantes en el problema (siempre y cuando se cumplan) yen su lugar debe solucionarse el problema (en general mas simple) de calcular el potencial en el interior del volumen,por simple superposicion entre las cargas interiores (reales) y exteriores (imagenes).

Adicionalmente, si conocemos las superficies equipotenciales de una cierta distribucion de cargas, es facil retro-alimentar el problema puesto que un conductor con la forma de una de estas superficies equipotenciales (y con unpotencial igual al potencial de esta superficie) puede utilizar la distribucion original como imagen.

Veamos la conexion del metodo de imagenes con el formalismo de Green. Recordemos que la funcion de Greenmas general asociada a la ecuacion de Poisson, se escribe como

∇2G(r, r′

)= −4πδ

(r− r′

)

y que su solucion mas general se escribe

G(r, r′

)=

1

|r− r′| + F(r, r′

)

donde F (r, r′) debe satisfacer la ecuacion de Laplace, el primer termino en la funcion de Green corresponde alpotencial de una carga unidad, en tanto que el segundo termino es un potencial generado dentro del volumen

125

126 CAPITULO 8. METODO DE IMAGENES

delimitado por la superficie debido a cargas externas a este volumen (ya que dentro del volumen obedece a unaecuacion de Laplace) de tal manera que hace que G (r, r′) cumpla las condiciones de frontera. La interpretacion dela funcion F (r, r′) nos proporciona otro punto de vista del metodo, ya que F (r, r′) es el potencial equivalente aimagenes colocadas en el exterior del volumen, de tal forma que junto con la carga unidad (Kcq = 1) ubicada en unaposicion interior r′, nos de un potencial cero en la superficie (o cualquiera que sea la condicion sobre la funcion deGreen en la superficie).

8.2. Carga frente a un plano equipotencial

A manera de ejemplo consideremos una carga puntual q colocada frente a un plano conductor infinito ubicadoen el plano Y Z y a potencial cero. Ahora ubicamos una carga puntual imagen −q, al otro lado del plano a la mismadistancia, de tal forma que la lınea que une las cargas sea perpendicular al plano. Es facil verificar que con esta cargaimagen las condiciones de frontera sobre el plano Y Z (potencial cero) se cumplen automaticamente.

Asumiremos que la carga real esta en el lado positivo del eje X, de modo que el volumen de Dirichlet correspondea todos los puntos con x > 0. Sea r una posicion dentro del volumen de Dirichlet donde queremos evaluar el potencial,y sean r′ y r′i las posiciones de la carga real y de la imagen respectivamente, podemos ver que1

r = xi+yj+ zk ; r′ = x′i+ y′j+ z′k ; r′i = −x′i+ y′j+ z′k (8.1)

El potencial generado por el dipolo es

φ (r) =Kcq√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2− Kcq√

(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2(8.2)

claramente este potencial se anula en x = 0, como corresponde para emular las condiciones de frontera del problemareal. Mas sinteticamente

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcq

|r− r′i|(8.3)

debemos recalcar que para el problema real las Ecs. (8.2, 8.3) solo son validas para la region con x ≥ 0 (volumeny superficie de Dirichlet). A partir del potencial es facil calcular la distribucion de carga sobre la superficie delconductor, usando la relacion (1.41) pag 26, valida para conductores ideales

σ (r) = − 1

4πKc

∂φ

∂n1= − 1

4πKc

∂φ

∂x= − qd

2π (ρ2 + d2)3/2

siendo n1 el vector normal hacia afuera del conductor evaluado en la superficie donde se calcula la densidad superficialde carga, d es la distancia del plano a la carga, y ρ la distancia del punto de evaluacion al eje vertical al plano quepasa por la carga. Si se integra esta cantidad obtenemos que la carga total inducida sobre el conductor es −q, locual se puede ver por ley de Gauss2. La fuerza que el plano hace sobre la carga se puede calcular de dos maneras: 1)calculando la fuerza que la distribucion de carga en el plano hace sobre la carga puntual, usando superposicion, 2)calculando la fuerza entre la imagen y la carga real.

No obstante, es de anotar que aunque el problema del potencial en el interior del semiespacio (x > 0) y el de lafuerza se pueden resolver de forma equivalente con la imagen, la energıa interna del sistema carga real-carga imagenes diferente (el doble) que la energıa del sistema carga real-plano conductor. Hay dos maneras de ver esta diferencia:a) Si se calcula la integral del campo al cuadrado Ec. (1.22), para el sistema de las dos cargas contribuyen los dossemiespacios, por simetrıa ambos semiespacios contribuyen igual. En contraste, para el sistema carga-conductor, soloel semiespacio con x > 0 contribuye, ya que el otro semiespacio tiene campo cero. b) Para calcular la energıa internadel sistema carga conductor, solo hay que calcular el trabajo necesario para traer la carga puntual real desde elinfinito hasta el punto donde se localiza3. En contraste, para calcular la energıa interna del dipolo, se pueden traer

1De hecho podemos definir al eje X (sin perdida de generalidad) como colineal a la lınea que une a las dos cargas. De tal modo queambas cargas quedan sobre el eje X.

2Teniendo en cuenta que el conductor es neutro, el resto de la carga se acumula (en un conductor real) en los bordes de la placa y enla superficie opuesta a la que da frente a la carga puntual.

3La redistribucion de cargas que se produce cuando se va acercando la carga al conductor no requiere trabajo adicional, ya que susuperficie es equipotencial.

8.2. CARGA FRENTE A UN PLANO EQUIPOTENCIAL 127

las dos cargas simultaneamente en forma simetrica, en cuyo caso hay que hacer un trabajo igual al anterior perosobre cada carga.

¿Porque la fuerza sobre la carga real, sı es igual para los dos sistemas? se puede ver simplemente porque la cargareal esta en el interior de la region en donde ambos producen el mismo potencial y por tanto el mismo campo,y la fuerza es qE. La esencia de que la fuerza coincida en tanto que la energıa no, es el hecho de que la fuerzaes una variable local (definida en un punto) que depende de otra variable local (el campo) que coincide en ambasconfiguraciones. La energıa en cambio es un concepto global que depende en general de la configuracion del campo entodo el espacio, y el metodo de las imagenes solo nos garantiza que el campo es el mismo para ambas configuracionesen una cierta porcion del espacio, la region exterior de Dirichlet posee campos diferentes para ambas configuraciones.A pesar de ello, es posible calcular la energıa interna de un sistema de cargas en presencia de un conductor a travesdel metodo de las imagenes como veremos en la seccion 8.9.

Ahora estamos en capacidad de conectar el problema del sistema carga real-carga imagen con la funcion de Greenen el semiespacio x ≥ 0. Si hacemos Kcq = 1 en la Ec. (8.3), lo que tenemos es una carga puntual “unidad” ubicadaen r′ y un sistema de cargas exteriores (la carga imagen) tal que la superposicion de las dos da potencial cero en lafrontera, la carga real estarıa generando el factor 1/ |r− r′|, y la carga imagen esta generando el factor F (r, r′). Esclaro entonces que la asignacion Kcq = 1 en la Ec. (8.3) nos da la funcion de Green con condiciones de Dirichlet parael semiespacio con x ≥ 0.

G(r, r′

)=

1

|r− r′| −1

|r− r′i|para semiespacio con x ≥ 0 y condiciones de Dirichlet (8.4)

donde r, r′, r′i vienen dados por la Ec. (8.1). Claramente la funcion de Green (8.4) cumple la condicion de Dirichleten las fronteras (y, z → ±∞, x→ ∞, y x = 0). Donde

F(r, r′

)= − 1

|r− r′i|

La funcion de Green aquı calculada puede ser utilizada para calcular el potencial en x ≥ 0 para cualquier condicionde frontera en x = 0, con cualquier distribucion de carga localizada y que este encerrada en el semiespacio determinadopor x > 0 (el hecho de que la carga este localizada nos garantiza que el potencial sea constante en el infinito definidopor y, z → ±∞, x→ ∞). No debemos olvidar que la formulacion de Green es para volumenes cerrados, (aunque nonecesariamente cerrados fısicamente) en donde el potencial o su derivada normal se deben conocer en una superficiecerrada, que en este caso es como una “semiesfera infinita”. Veamos un ejemplo de aplicacion de la funcion de Green(8.4) para el semiespacio.

8.2.1. Lınea de carga finita

Figura 8.1: Potencial generado por una lınea de carga de densidad lineal λ paralela al eje X, con φ = Va en x = 0.

Supongamos una lınea de densidad lineal λ constante, paralela al eje X, con φ = Va en x = 0. Ver Fig. 8.1.Queremos evaluar el potencial debido a esta configuracion en la region x ≥ 0.


Este ejemplo fısicamente podrıa representar a un hilo perfectamente aislante frente a un plano infinito perfecta-mente conductor. Si el hilo no fuera aislante su carga tenderıa a acumularse en un extremo. Hablando mas fısicamente,serıa un hilo cuya longitud y distancia al plano sean mucho menores que las dimensiones del plano.

Para calcular el potencial simplemente utilizamos la relacion (7.4) pag. 93

φ (r) = Kc

∫

Vρ(r′)GD

(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮

S

[φ(r′) ∂GD (r, r′)

∂n′

]dS′ (8.5)

con la funcion de Green para espacio semiinfinito (con x ≥ 0) y la distribucion lineal de carga que hemos descrito.Sin embargo, la ecuacion (8.5) posee una integral de volumen para la carga, de modo que primero debemos calcularla densidad volumetrica equivalente de la densidad lineal que tenemos

q =

∫λ dx′ =

∫λ dx′

∫δ(z′)dz′∫δ(y′)dy′ =

∫λδ(z′)δ(y′)dx′ dy′ dz′

q =

∫λδ(z′)δ(y′)dV ′ =

∫ρ(r′)dV ′

la densidad volumetrica equivalente es entonces

ρ(r′)= λδ

(z′)δ(y′)

(8.6)

Escribiendo G para espacio semi-infinito Ec. (8.4), en coordenadas cartesianas y evaluando ∂G/∂n′ en el plano Y Zobtenemos:

∂G

∂n′

∣∣∣∣x′=0

= ∇G · n|x′=0 = ∇G · (−i)|x′=0 = − (∇G)x′ |x′=0 = −∂G∂x′

∣∣∣∣x′=0

(8.7)

= − ∂

∂x′

1√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2− 1√

(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣x′=0

∂G

∂n′

∣∣∣∣x′=0

=−2x

(√x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

)3 (8.8)

el lector puede comprobar que en la superficie semiesferica de radio infinito el termino ∂G/∂n′ se anula (i.e. ∂G/∂n′ →0, con x→ ∞, y/o con y, z → ±∞). En consecuencia, la integral de superficie de la Ec. (7.4) solo tiene contribucionen el plano Y Z 4. Reemplazando (8.6), (8.4) y (8.8) en (7.4) y usando coordenadas cartesianas se tiene

φ (r) = Kc

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ d+l

dλδ(z′)δ(y′) 1√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

− 1√(x+ x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

dx′dy′dz′

− 1

4π

∫Va

−2x(√

x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)3

dS

′

φ (r) = λKc

∫ d+l

d

1√

(x− x′)2 + y2 + z2− 1√

(x+ x′)2 + y2 + z2

dx′

+Vax

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

1(√

x2 + (y − y′)2 + (z − z′)2)3

dy

′dz′

4Observese que esto evita tratar el problema del potencial sobre la esfera semi-infinita, el cual no se puede hacer cero a priori ya quela carga sobre el plano no esta localizada.

8.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 129

8.3. Carga puntual frente a una esfera conductora

Figura 8.2: Potencial generado por una carga puntual q frente a una esfera conductora de radio a. El potencial seevalua en el exterior de la esfera, de modo que el exterior de la esfera es el interior de la region de Dirichlet.

Supongamos que tenemos una esfera conductora de radio a (a potencial cero) y una carga puntual en el exteriorcomo ilustra la Fig. 8.2, queremos evaluar el potencial en el exterior de la esfera. De modo que nuestro volumen“cerrado” de Dirichlet esta entre la esfera de radio a, y una esfera de radio infinito. Por simetrıa la carga imagendebe estar en la lınea que une a la carga real con el centro de la esfera, y debe estar en el interior de la esfera (paraque sea exterior a nuestro volumen “cerrado” de Dirichlet)5, y debe ser de signo opuesto a la carga real para que seaposible una cancelacion del potencial en r = a. Sin embargo, denotaremos la carga imagen como q′ y llegaremos aque debe ser de signo opuesto a q. El potencial generado por la carga real q mas la carga imagen q′ se escribe como

φ (r) =Kcq

|r− r′| +Kcq

′

|r− r”| =Kcq√

(r− r′) · (r− r′)+

Kcq′

√(r− r”) · (r− r”)

(8.9)

donde r, r′ y r” denotan el punto de evaluacion del potencial, el punto donde se ubica la carga real y el punto dondese ubica la carga imagen respectivamente (ver Fig. 8.2). Cuando el vector posicion de evaluacion del potencial tienemagnitud a, lo denotaremos como r =~a que corresponde a un vector en la superficie de la esfera, y puesto que φ = 0en r = a, tenemos que

φ (~a) =Kcq√

(~a−r′) · (~a−r′)+

Kcq′

√(~a−r”) · (~a−r”)

= 0 (8.10)

Es claro de la Ec. (8.10), que q′ debe tener signo opuesto a q para lograr la cancelacion del potencial en la superficie.A partir de dicha ecuacion se obtiene

q2

(~a−r′) · (~a−r′)=

q′2

(~a−r”) · (~a−r”)⇒

q2(~a−r”

)·(~a−r”

)− q′2

(~a−r′

)·(~a−r′

)= 0

q2(a2 − 2~a · r” + r”2

)− q′2

(a2 − 2~a · r′ + r′2

)= 0

a2(q2 − q′2

)+ q2r”2 − q′2r′2 − 2~a ·

(q2r” − q′2r′

)= 0 (8.11)

la cantidad 2~a ·(q2r” − q′2r′

)implica un cos θ arbitrario en virtud de que ~a toma todas las direcciones posibles de

modo que es necesario que (q2r” − q′2r′

)= 0 ⇒ r′ =

q2

q′2r” (8.12)

es decir que r′ y r” son paralelos. Por tanto la relacion (8.12) implica que

q′2 =q2r”

r′(8.13)

5Nuestro volumen de Dirichlet es claramente toda la region exterior a la esfera, que se puede pensar como una region “cerrada” entrela superficie de la esfera conductora y la superficie de otra esfera concentrica a esta, cuyo radio tiende a infinito.


reemplazando este valor de q′2 en la expresion (8.11) y recordando que el ultimo termino a la izquierda de estaecuacion es cero, se obtiene

a2(q2 − q2r”

r′

)+ q2r”2 − q2r”

r′r′2 = 0

a2q2(1− r”

r′

)+ q2r”2 − q2r”r′ = 0

a2(r′ − r”

)+ r′r”2 − r”r′2 = 0

a2(r′ − r”

)+ r′r”

(r”− r′

)= 0(

a2 − r′r”) (r′ − r”

)= 0

es obvio que (r′ − r”) 6= 0 ya que el uno es interior (r” < a) y el otro es exterior (r′ > a) de modo que

r” =a2

r′⇒∣∣q′∣∣ =

∣∣∣∣∣q√r”

r′

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣q√a2

r′2

∣∣∣∣∣ =∣∣∣qar′

∣∣∣⇒ q′ = −qar′

⇒ r” =a2

r′; q′ = −qa

r′(8.14)

donde hemos usado (8.13) y el hecho de que q′debe tener signo opuesto a q. Observese que |q′| < |q|. Reemplazando(8.14) en (8.9), y usando el hecho de que r′ y r” son paralelos, el potencial fuera de la esfera queda

φ (r) =Kcq

|r− r′| +Kcq

′

|r− r”| =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r−a2

r′r′

r′

∣∣∣

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣

(8.15)

8.3.1. Funcion de Green para el exterior e interior de la esfera

La funcion de Green para r ≥ a (exterior de la esfera), es el potencial (8.15) con la carga real normalizada a uno(Kcq = 1) i.e.

Gr>a(r, r′

)=

1

|r− r′| −a

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣

(8.16)

Podemos tambien resolver el problema para la region interior de la esfera (r ≤ a). Tomando r′ < a como laposicion de la carga real ubicada en el interior de la esfera, podemos ubicar una carga imagen q′ en una posicionr” > a de modo que la superposicion de los potenciales de ambas cargas sea cero en r = a (superficie de la esfera)6.Con este procedimiento se obtiene

q′ = −qar′, r” =

a2

r; r < a, r′ < a, r” > a (8.17)

y |q′| > |q|. La expresion para la funcion de Green tiene la misma forma que para el problema exterior

Gr<a(r, r′

)=

1

|r− r′| −a

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣

(8.18)

Debe tenerse en cuenta que el problema interior y exterior son excluyentes. Esto debido a que en cada caso lacarga imagen debe estar afuera del volumen sobre el cual se define el potencial. Para comprender mejor el conceptode excluyente veamos un ejemplo: Supongamos que queremos resolver el problema del potencial generado por una

6Este caso puede corresponder por ejemplo a un conductor con una cavidad esferica de radio a, con potencial cero y con una cargapuntual (real) en el interior de la cavidad. Ya no podemos tener un conductor esferico solido de radio a, puesto que en el interior delconductor no puede haber cargas netas.

8.3. CARGA PUNTUAL FRENTE A UNA ESFERA CONDUCTORA 131

configuracion localizada de cargas X, ubicada fuera de una esfera conductora conectada a tierra. Para esto usamos lafuncion de Green exterior a la esfera e integramos en el volumen y la superficie definidas entre la esfera y el infinito, elformalismo de Green no me permite calcular el potencial en el interior de la esfera en este caso (que serıa el exteriorde mi volumen de integracion). Por otro lado, si tenemos una distribucion de cargas dentro de la esfera podemos usarGreen para el interior de la esfera, pero no podemos calcular con el formalismo de Green el potencial afuera de laesfera en este caso (siempre se puede calcular solo dentro del volumen limitado por la superficie en la cual se conocenlas condiciones de frontera y la distribucion de carga).

8.3.2. Densidad superficial sobre la esfera conductora

Recordemos que la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera conductora se puede evaluar a partir dela discontinuidad de la componente perpendicular del campo electrico en la superficie y del hecho de que el campoen el interior del conductor es cero, Ec. (1.41) pag. 26. Obteniendose

σ = − 1

4πKc

∂φ

∂n

∣∣∣∣S

= − 1

4πKc

∂φ

∂r

∣∣∣∣r=a

(8.19)

Evaluando la densidad de superficie (8.19) usando el potencial (8.15) obtenemos

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2 r′∣∣∣=

Kcq√(r− r′) · (r− r′)

− Kcqa

r′∣∣∣∣√(

r− a2

r′2 r′)·(r− a2

r′2 r′)∣∣∣∣

=Kcq√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θ− Kcqa

r′∣∣∣∣√r2 + a4

r′2 − 2 a2

r′2 rr′ cos θ

∣∣∣∣

φ (r) =Kcq√

r2 + r′2 − 2rr′ cos θ− Kcq

r′∣∣∣∣√(

ra

)2+(ar′

)2 − 2 rr′ cos θ

∣∣∣∣(8.20)

siendo θ el angulo entre r′ y r. Derivando y evaluando en r = a

σ = − Kcq

4πa2

( ar′

)(1− a2

r′2

)

(1 + a2

r′2− 2a

r′ cos θ)3/2 (8.21)

al integrar para obtener la carga se obtiene justamente la carga imagen. Esto ultimo tambien se puede ver por leyde Gauss, para lo cual podemos construir una superficie S cerrada que encierre tanto a la esfera como a la carga realexterior, el flujo Φ debido al campo generado por el sistema esfera-carga real es exactamente el mismo que generarıael sistema carga real- carga imagen, ya que la superficie Gaussiana esta toda en la region del espacio en donde yase probo que el potencial (y por tanto el campo electrico) son iguales para ambas configuraciones. Como en amboscasos el flujo es el mismo, la ley de Gauss me dice que la carga neta debe ser la misma en ambos casos, por lo cualla carga inducida en la esfera debe coincidir en magnitud y signo con la carga imagen.

Podemos asumir sin perdida de generalidad que la carga esta ubicada a lo largo del eje polar Z a una distanciar′ > a. En tal caso r′ = r′uz, y el angulo θ coincide con el angulo polar de r en coordenadas esfericas. De aquı sededuce que la densidad superficial (8.21) tiene simetrıa azimutal como era de esperarse.

8.3.3. Lımite de carga cercana

Observemos que cuando la carga real se aproxima a la superficie, la magnitud de la carga imagen va aumentandotendiendo a la magnitud de la carga real. Adicionalmente, la carga imagen tambien se acerca a la superficie de laesfera y cuando la carga real esta muy proxima a la esfera, la carga imagen tiende a estar equidistante a ella, veamos:Sea r′ = a+ ε con ε/a << 1, la distancia de la carga real a la superficie es ε y la distancia de la carga imagen a lasuperficie es a− r”

a− r” = a− a2

r′= a

(1− a

a+ ε

)= a

(1− a

a(1 + ε

a

))

≃ a[1−

(1− ε

a

)]= a

[ εa

]

a− r” ≃ ε paraε

a<< 1 (8.22)


por tanto, en este lımite las cargas estan a la misma distancia ε de la superficie de la esfera. La magnitud de la cargaimagen en este lımite se puede evaluar de las Ecs. (8.13, 8.22)

q′2 = q2r”

r′≃ q2

a− ε

a+ ε=q2a

(1− ε

a

)

a(1 + ε

a

) ≃ q2(1− ε

a

)(1− ε

a

)

q′2 ≃ q2(1− ε

a

)2≃ q2

El hecho de que las cargas tiendan a ser iguales en magnitud y equidistantes a la superficie, se debe a que alacercarse la carga real, esta ve a la esfera como un plano infinito y el metodo de imagenes se reduce al de una cargapuntual en frente de un conductor plano infinito.

8.3.4. Fuerza de la esfera sobre la carga

La fuerza que la esfera ejerce sobre la carga q, es igual a la fuerza que la carga imagen hace sobre q. Usando lasEcs. (8.12, 8.14) esta fuerza nos da

F =Kcqq

′

(r′ − r”)2r′ = q

(−qar′

) Kc

(r′ − r”)2r′ = q

(−qar′

) Kc(r′ − a2

r′

)2 r′

F = −Kcq2

a2

( ar′

)3(1− a2

r′2

)−2

r′ (8.23)

con r′ >> a (aproximacion de carga lejana) la fuerza esta dada aproximadamente por

F ≈ −Kcq2

a2

( ar′

)3(1 + 2

a2

r′2

)r′

F ≈ −Kcq2a

r′3r′ con r′ >> a (8.24)

si r′ ≃ a (aproximacion de carga cercana) es decir r′ = a+ ε con ε/a << 1 la magnitud de la fuerza (8.23) queda

|F | =Kcq

2

a2

(a

a+ ε

)3(1− a2

(a+ ε)2

)−2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3(

1− 1(1 + ε

a

)2

)−2

|F | =Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3([

1 +(εa

)]2 − 1[1 +

(εa

)]2

)−2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3( [

1 +(εa

)]2[1 +

(εa

)]2 − 1

)2

|F | =Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3( 2

aε+1a2ε2 + 1

2aε+

1a2ε2

)2

=Kcq

2

a2

(1(

1 + εa

))3

1

ε2

(2aε+

1a2ε2 + 1

2a +

1a2ε

)2

|F | ≃ Kcq2

a2

(1− ε

a

)3 1

ε2

(1

(2/a)

)2

|F | ≃ Kcq2

4ε2con r′ ≃ a (8.25)

lo cual es consistente con el hecho de que al aproximarse la carga real a la superficie, la carga imagen tiende a estarequidistante, y a tener la misma magnitud de la carga real, de modo que F ∼= Kcqq/ (2ε)

2 que es el resultado que seobtuvo.

Como veremos mas adelante, la solucion de la esfera conductora conectada a tierra en presencia de carga puntualsirve de base para resolver muchos problemas con simetrıa esferica. En primer lugar, veremos un ejemplo de laaplicacion de la funcion de Green exterior de la esfera, para un problema con condiciones de frontera relativamentecomplejas.

8.4. ESFERA CONDUCTORA CON HEMISFERIOS A DIFERENTE POTENCIAL 133

8.4. Esfera conductora con hemisferios a diferente potencial

Tenemos una esfera conductora que en el hemisferio “norte” (“sur”) esta a potencial +V (−V ). Esto correspon-derıa a dos semiesferas aisladas por algun dielectrico muy delgado en el “ecuador”. La idea es calcular el potencialen el exterior de la esfera asumiendo que no hay cargas exteriores a esta. Debemos utilizar la funcion de Green paraproblema exterior en la esfera, pero es mas comodo escribirlo en coordenadas esfericas. Podemos tomar la expresion8.20 pero con Kcq = 1, y con θ = γ ya que θ esta reservado para el angulo con el eje Z.

G(r, r′

)=

1√r2 + r′2 − 2rr′ cos γ

− 1

r′∣∣∣∣√(

ra

)2+(ar′

)2 − 2 rr′ cos γ

∣∣∣∣(8.26)

G(r, r′

)=

1√r2 + r′2 − 2rr′ cos γ

− 1∣∣∣∣√(

rr′

a

)2+ a2 − 2rr′ cos γ

∣∣∣∣(8.27)

dado que la integracion se realizara sobre coordenadas esfericas, debemos expresar cos γ en terminos de las coorde-nadas esfericas θ, ϕ. Para ello, recordamos que los vectores unitarios a lo largo de r y de r′ en coordenadas esfericasse escriben como

r = sin θ cosϕux + sin θ sinϕuy + cos θuz ; r′ = sin θ′ cosϕ′ux + sin θ′ sinϕ′uy + cos θ′uz

y puesto que γ es el angulo entre r y r′ tenemos que

cos γ = r · r′ = sin θ cosϕ sin θ′ cosϕ′ + sin θ sinϕ sin θ′ sinϕ′ + cos θ cos θ′

cos γ = sin θ sin θ′(cosϕ cosϕ′ + sinϕ sinϕ′)+ cos θ cos θ′

cos γ = r · r′ = sin θ sin θ′ cos(ϕ− ϕ′)+ cos θ cos θ′ (8.28)

Primero calculamos la derivada normal de G en la superficie de la esfera, ya que en la otra superficie (el infinito)el potencial es cero y la integral de superficie no contribuye. Como el volumen de Dirichlet es el complemento de laesfera, el vector normal sobre la superficie de la esfera debe apuntar hacia afuera del volumen de Dirichlet, es decirhacia adentro de la esfera

∂G

∂n′

∣∣∣∣S′

= ∇G ·(−r′)∣∣r′=a

= −∂G∂r′

∣∣∣∣r′=a

= −(r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2(8.29)

como no hay carga en el exterior ρ (r′) = 0, y no hay contribucion de la integral de volumen. Sustituyendo (8.29) enla Ec. (7.4) Pag. 93, el potencial queda

φ (r) = − 1

4π

∫φ(r′) ∂G∂n′

dS′ =1

4π

∫φS′

[ (r2 − a2

)

a (r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

]a2 sin θ′dθ′dφ′

=1

4π

∫ 2π

0

[∫ π/2

0V

(r2 − a2

)

(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2a sin θ′dθ′

]dφ′

+1

4π

∫ 2π

0

[∫ π

π/2(−V )

(r2 − a2

)

(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2a sin θ′dθ′

]dφ′

φ (r) =aV

4π

∫ 2π

0

[∫ π/2

0

( (r2 − a2

)

(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

)sin θ′dθ′

−∫ π

π/2

( (r2 − a2

)

(r2 + a2 − 2ar cos γ)3/2

)sin θ′dθ′

]dφ′

esta integral no es sencilla debido a la complicada dependencia del cos γ con respecto a θ′ dada en la Ec. (8.28). Porahora tomemos el caso particular del potencial sobre el eje Z. Con θ = 0, la Ec. (8.28) nos dice que cos γ = cos θ′ y


r = z. La integracion nos da

φ (z) = 2πaV

4π

(z2 − a2

)

2az

[−2√

a2 + z2 − 2az cos θ′

∣∣∣∣π/2

0

+2√


∣∣∣∣π

π/2

]

φ (z) =V

2

(z2 − a2

)

z

[−1√


∣∣∣∣π/2

0

+1√


∣∣∣∣π

π/2

]

φ (z) =V

2

(z2 − a2

)

z

[(1√

a2 + z2 − 2az− 1√

a2 + z2

)

+

(1√

a2 + z2 + 2az− 1√

a2 + z2

)]

φ (z) =V(z2 − a2

)

2z

(1

(z − a)+

1

(z + a)− 2√

a2 + z2

)

φ (z) =V

2z

((z + a) + (z − a)− 2

(z2 − a2

)√a2 + z2

)

φ (z) = V

(1−

(z2 − a2

)

z√a2 + z2

)(8.30)

este valor del potencial sobre el eje de simetrıa fue el que se tomo en la seccion 4.7 para obtener la solucion en todoel espacio, la cual esta dada por la Ec. (4.56).

8.5. Carga puntual frente a esfera conductora cargada y aislada

Sea una esfera conductora de radio a, aislada y con carga total Q, y sea una carga puntual q en frente de la esferaconductora. Observese que en este caso lo que conocemos a priori es la carga total en lugar del potencial sobre laesfera.

Analicemos el problema de la siguiente manera: inicialmente conectamos la esfera a tierra (potencial cero) demodo que la presencia de la carga puntual q induce sobre la esfera conductora una carga superficial q′ numericamenteigual a la imagen que ya calculamos en la seccion 8.3, Ec. (8.14). Esta carga esta distribuida inhomogeneamentedebido a la presencia de la carga q. Ahora se desconecta tierra y se agrega a la esfera una carga Q − q′ (es decir lacarga necesaria para completar la carga total Q). La carga Q − q′ se distribuye uniformemente sobre la esfera, haydos formas de verlo: (a) Las fuerzas electrostaticas debidas a q ya fueron balanceadas por q′, (b) La superficie delconductor con carga q′ es equipotencial por lo que la carga restante Q− q′ se distribuye uniformemente7. Con estasconsideraciones y la Ec. (8.14), el potencial se puede escribir como

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r∣∣∣+Kc

(Q+ aq

r′

)

|r| (8.31)

Los dos primeros terminos corresponden a la esfera con potencial cero enfrente de una carga puntual que ya sesoluciono en la seccion 8.3, el tercero es el termino debido a la carga Q − q′ = Q − (−aq/r′), la cual al repartirseuniformemente produce un potencial puntual equivalente en el exterior de la esfera.

La fuerza sobre la carga q se puede calcular con las cargas imagen. La fuerza debida a la esfera conectada a tierracon carga q′ ya se calculo como la fuerza entre q y q′ dada en la Ec. (8.23); a esto hay que sumarle la fuerza debidaa la carga Q− q′ repartida uniformemente, que equivale a la fuerza entre dos cargas puntuales q y Q − q′ donde la

7Si la superficie es previamente equipotencial con cierta distribucion de carga, es claro que una carga adicional distribuıda uniformementesobre la superficie eleva el potencial en la misma cantidad en todos los puntos de la esfera, de modo que esta permanece equipotencial.

8.6. CARGA PUNTUAL EN FRENTE DE UN CONDUCTOR ESFERICO A POTENCIAL V 135

ultima se ubica en el centro de la esfera conductora.

F = −Kcq2

a2

( ar′

)3(1− a2

r′2

)−2

r′ +Kcq

(Q+ aq

r′

)

r′2r′ =

KcqQ

r′2r′ − Kcq

2

a2

(a3

r′3

)(r′2 − a2

r′2

)−2

r′ +Kcaq

2

r′3r′

=KcqQ

r′2r′ − Kcaq

2

r′3r′4

(r′2 − a2)2r′ +

Kcaq2

r′3r′ =

Kcq

r′2

[Q− aq

r′r′4

(r′2 − a2)2+aq

r′

]r′

=Kcq

r′2

[Q− aq

r′

(r′4

(r′2 − a2)2− 1

)]r′ =

Kcq

r′2

[Q− aq

r′

(r′4 −

(r′2 − a2

)2

(r′2 − a2)2

)]r′

F =Kcq

r′2

[Q− aq

r′

(2a2r′2 − a4

(r′2 − a2)2

)]r′ =

Kcq

r′2

[Q− qa3

r′

(2r′2 − a2

(r′2 − a2)2

)]r′

F =Kcq

r′2

[Q− qa3

(2r′2 − a2

)

r′ (r′2 − a2)2

]r′ (8.32)

En el regimen de carga lejana (r′ >> a), la expresion (8.32) se reduce a la fuerza entre cargas puntuales Q y q comoera de esperarse (ya que q′ → 0). Si Q y q tienen signos opuestos (o si Q = 0), la interaccion es siempre atractiva.Pero si son del mismo signo, la fuerza es atractiva a cortas distancias y repulsiva a largas distancias. De aquı sededuce que debe existir un punto de equilibrio (inestable como vimos en la Sec. 3.1). Los resultados anteriores nosllevan a concluır que si queremos remover una carga del conductor hay que hacer trabajo para vencer la atracciona cortas distancias. Este trabajo necesario para extraer una carga del conductor se conoce como funcion trabajo delmetal y explica al menos en parte, porque las cargas en un conductor no son expulsadas a pesar de estar rodeadasde cargas del mismo signo8.

Por otra parte, el problema tambien se puede resolver por imagenes, ubicando dos cargas imagen: q′ en r′′ y Q−q′en el centro de la esfera. La fuerza sobre la carga real se puede calcular como la debida a estas dos cargas imagen.La interaccion de estas tres cargas puede darnos una idea mas clara de porque la interaccion puede ser atractiva orepulsiva cuando Q y q son del mismo signo (teniendo en cuenta que q′ y Q − q′ dependen de la posicion r′ de lacarga puntual real q).

Notese que este es un problema con condiciones diferentes a las de Dirichlet o Neumann, con lo cual vale lapena cuestionarse sobre la unicidad de la solucion. En este caso, la unicidad de la solucion para el potencial estagarantizada gracias al teorema de unicidad explicado en el apendice A, puesto que conocemos la carga neta en elconductor, una superficie equipotencial (infinito) y la densidad de carga en la region exterior al conductor e interiora la superficie equipotencial.

8.6. Carga puntual en frente de un conductor esferico a potencial V

Esto corresponde al caso de tener conectada la esfera a traves de una baterıa (o a tierra si V = 0). En este casoes el potencial y no la carga lo que se conoce de antemano. El problema se puede ver con un argumento similar alanterior, conexion a tierra produce carga q′ y luego se desconecta tierra y se agrega la cantidad de carga necesariapara que el potencial en la superficie pase de cero a V , como esta ultima carga QV se reparte uniformemente se tieneque

KcQVa

= V ⇒ KcQV = V a (8.33)

la contribucion de esta QV al potencial es KcQV / |r| = V a|r| el potencial total es

φ (r) =Kcq

|r− r′| −Kcqa

r′∣∣∣r− a2

r′2r∣∣∣+V a

|r|

donde el primer termino es debido a la carga puntual real, el segundo es debido a la carga imagen q′ (a potencialcero), y el tercero es debido a la carga adicional que hay que distribuir en la superficie para elevar el potencial desde

8Para un conductor cargado, es generalmente razonable asumir que Q >> q, si q es un portador de carga fundamental (usualmente el

electron). En este lımite, el punto de equilibrio inestable para dicho portador esta ubicado en r′ ≈ a(1 + 1/2

√q/Q

), es decir muy cerca

a la superficie de la esfera.


cero hasta V (si V < 0 este termino es negativo). Tambien se puede ver el tercer termino como la contribucion deuna carga imagen ubicada en el centro de la esfera, de tal forma que tenemos dos cargas imagen y una real: QV enel origen, q′ en r” y q ubicada en r′. Se puede verificar que φ (~a) = V .

Finalmente, las expresiones para la fuerza sobre la carga (y su comportamiento asintotico) son muy similares alas de la seccion anterior, y se dejan como ejercicio al lector.

8.7. Esfera conductora colocada en campo electrico uniforme

Figura 8.3: Esfera conductora de radio a inmersa en un campo electrico uniforme. Un campo electrico uniforme puedeconsiderarse el paso al lımite cuando dos cargas Q y −Q se colocan en posiciones z = R y z = −R respectivamentecon R→ ∞ y Q→ ∞ de modo que Q/R2 → constante. Tambien se muestran las cargas imagen ±q′.

Examinaremos el caso de una esfera conductora de radio a, a potencial cero e inmersa en un campo electricouniforme. Un campo electrico E uniforme puede pensarse como producido por dos cargas Q y −Q, colocadas enz = R y en z = −R (ver Fig. 8.3). En un vecindad del origen con distancias tıpicas mucho menores que R, el campoes uniforme y aproximadamente constante paralelo a Z. Definiendo θ′ como el angulo entre la direccion del campogenerado por Q y el eje Z, la magnitud de este campo es

E = Kc

(Q

R2+

Q

R2

)cos θ′ ≃ 2KcQ

R2en una vecindad del origen (8.34)

ya que θ′ ∼ 0. En el lımite Q→ ∞, y R→ ∞ con Q/R2 constante, la aproximacion se vuelve exacta. Por simplicidadasumimos que la esfera de radio a, esta ubicada en el origen. Retomando los resultados de la seccion 8.3 Ecs. (8.14),una carga imagen +q′ = Qa/R ubicada en z = a2/R hara que la superposicion del potencial debido a −Q y +q′

sea cero en la superficie de la esfera. Similarmente, una carga imagen −q′ ubicada en z = −a2/R, hara que lasuperposicion del potencial debido a −q′ y Q sea cero sobre la superficie de la esfera. Por tanto, la superposicion delas cargas reales ±Q con sus imagenes ∓q′ reproducen potencial cero en la superficie de la esfera.

En vista de lo anterior, el potencial en el exterior de la esfera se puede pensar como debido a cuatro fuentespuntuales ±Q y ∓q′, donde ±q′ son imagenes de las cargas lejanas ∓Q.

φ (r) =KcQ

|r− rQ|− KcQ

|r− r−Q|− Kcq

′∣∣r− r−q′

∣∣ +Kcq

′∣∣r− rq′

∣∣

=KcQ

|r+Rz| −KcQ

|r−Rz| −Kc

(aQR

)

∣∣∣r+ a2

R z∣∣∣+Kc

(aQR

)

∣∣∣r− a2

R z∣∣∣

φ (r) =KcQ√

r2 +R2 + 2rR cos θ− KcQ√

r2 +R2 − 2rR cos θ

− KcQa

R√r2 + a4

R2 + 2a2rR cos θ

+KcQa

R√r2 + a4

R2 − 2a2rR cos θ

8.7. ESFERA CONDUCTORA COLOCADA EN CAMPO ELECTRICO UNIFORME 137

siendo θ el angulo entre r y el eje Z. Recordando que nuestra idea es generar un campo uniforme, tenemos queR >> r, y puesto que a ≤ r, se tiene que

r

R<< 1 ;

a

R≤ r

R<< 1 ;

a

r≤ 1 (8.35)

de manera que es conveniente escribir φ (r) en terminos de los cocientes r/R y a/R

φ (r) =KcQ

R√

1 +(rR

)2+ 2

(rR

)cos θ

− KcQ

R√1 +

(rR

)2 − 2(rR

)cos θ

− KcQa

Rr

√1 +

(ar

)2 ( aR

)2+ 2

(ar

) (aR

)cos θ

+KcQa

Rr

√1 +

(ar

)2 ( aR

)2 − 2(ar

) (aR

)cos θ

φ (r) =KcQ

R√

1 + (x1 + x2)− KcQ

R√

1 + (x1 − x2)− KcQa

Rr√1 + (x3 + x4)

+KcQa

Rr√

1 + (x3 − x4)(8.36)

x1 =( rR

)2; x2 = 2

( rR

)cos θ ; x3 =

(ar

)2 ( aR

)2; x4 = 2

(ar

)( aR

)cos θ (8.37)

en virtud de (8.35) es claro que xi << 1 para i = 1, 2, 3, 4. Usando la expansion

1√1 + x

= 1− 1

2x+

3

8x2 + . . . (8.38)

en el potencial (8.36) se obtiene

φ (r) ≃ KcQ

R

[1− 1

2(x1 + x2) +

3

8(x1 + x2)

2 + . . .

]− KcQ

R

[1− 1

2(x1 − x2) +

3

8(x1 − x2)

2 + . . .

]

−KcQa

Rr

[1− 1

2(x3 + x4) +

3

8(x3 + x4)

2 + . . .

]+KcQa

Rr

[1− 1

2(x3 − x4) +

3

8(x3 − x4)

2 + . . .

]

=KcQ

R

[3

2x1x2 − x2

]− KcQa

Rr

[3

2x3x4 − x4

]+ . . .

de las Ecs. (8.37) vemos que x1x2 es de tercer orden en r/R y x3x4 es de tercer orden en a/R. Por tanto, unaexpansion hasta segundo orden en estos cocientes nos da

φ (r) ≃ KcQ

R

(a

rx4 − x2 +O

[( rR

)3])=

2KcQ

R

[(ar

)2 ( aR

)cos θ −

( rR

)cos θ + . . .

]

φ (r) ≃ 2KcQ

R2

[a3

r2cos θ − r cos θ + . . .

](8.39)

donde Q/R2 se ha considerado constante, de modo que el campo E0 = 2KcQ/R2 descrito porla Ec. (8.34) pag. 136,

tambien lo es. En terminos del campo electrico uniforme, el potencial (8.39) se escribe como

φ (r) = −E0

(r cos θ − a3

r2cos θ

)(8.40)

El primer termino tiene como fuente al campo uniforme E0, el segundo es debido a la carga inducida sobre la superficieconductora y cuya densidad es

σ = − 1

4π

∂φ

∂r

∣∣∣∣r=a

=3

4πE0 cos θ

Puede verificarse que ∫σdA = 0

lo cual es logico por simetrıa (se puede observar desde el punto de vista de las cuatro cargas ±Q, ±q′). De modo quela esfera es neutra, aunque posee cargas positivas y negativas distribuıdas en su superficie. Para propositos futuros,calcularemos el momento de dipolo inducido sobre la esfera (ver seccion 11.1, pag. 161).

p =

∫σrdA ; pz =

∫σa3 cos θ sin θ dθ dφ =

3a3E0

4π

sin3 θ

3

∣∣∣∣π/2

0

p = E0a3 (8.41)


8.8. Metodo de las imagenes como problema inverso

Vale la pena anotar que el problema de la carga puntual frente al plano conductor infinito conectado a tierra sepuede ver en la forma inversa: asumamos un dipolo y construyamos las superficies equipotenciales de tal configuracion.En particular, es facil ver que el lugar geometrico correspondiente a un plano que pasa por la mitad entre las cargasy que es perpendicular a la lınea que une a las cargas, es una superficie equipotencial para el dipolo y con potencialcero. Por tanto si recubrimos este lugar geometrico con un conductor que este justamente a potencial cero entoncestomando por ejemplo la carga positiva como la real nos indica que la carga negativa es la imagen correcta (o viceversa).

Tıpicamente, las superficies equipotenciales son cerradas. Para una distribucion dada de cargas, asumamos queconocemos una superficie equipotencial cerrada S que delimita un volumen V y que corresponde a un potencial φ0.Denominemos qi a las cargas de la distribucion que quedan por dentro de V y llamemos qi a las cargas que quedanpor fuera. Analicemos ahora un primer problema: el conjunto de cargas qi permanece intacto y en el volumen Vcon superficie S colocamos un conductor a potencial φ0. Por argumentos de unicidad el potencial y el campo en elexterior de V generado por esta configuracion, es identico al generado por la configuracion de cargas qi en V y qi enel exterior de V . Esto significa que para la configuracion dada por este conductor y las cargas reales qi, las cargas qison imagenes adecuadas. Veamos ahora un segundo problema: asumamos un conductor a potencial φ0 y que poseeuna cavidad en el volumen V con superficie S, de tal manera que en el interior de la cavidad tenemos la distribucionde cargas reales qi. Por argumentos similares llegamos a que las qi son imagenes adecuadas que permiten emular lacondicion de frontera en la superficie de la cavidad de modo que los potenciales y campos en el interior de la cavidadse pueden generar como superposicion de las cargas qi y qi.

Un caso particular simple se obtiene cuando la superficie equipotencial encierra toda la carga. En tal caso sicolocamos un conductor en V con superficie S, no tendrıamos cargas reales en el exterior del conductor, por tantolos potenciales y campos que genera la distribucion de cargas son identicos (en el exterior de V ) a los que genera elconductor aislado.

En conclusion, la determinacion de las superficies equipotenciales de una configuracion me puede ayudar a resolverproblemas de conductores que ocupen el lugar geometrico de tales superficies y que esten al potencial de estas.

8.9. Energıa interna electrostatica usando el metodo de imagenes

Como hemos visto el metodo de imagenes es una herramienta util para calcular campos y potenciales electrostati-cos, funciones de Green y fuerzas que los conductores ejercen sobre ciertas distribuciones de carga. Sin embargo, no esobvio como calcular la energıa interna de una configuracion electrostatica usando dicha tecnica. Llamemos sistemaA (el sistema real) aquel que consiste de un conductor y cierta distribucion de cargas en el exterior de este, y sistemaB (el sistema virtual) el que consiste de la distribucion de cargas mas el conjunto de cargas imagenes (ver Fig. 8.4). Larazon por la cual no es directo el calculo de la energıa interna del sistema A basado en el sistema B es que la integral∫E2dV no es la misma para ambas configuraciones, puesto que en la region interior al conductor el campo electrico

es diferente en cada sistema. Para una forma y tamano arbitrarios del conductor no hay una simetrıa evidente queconecte las energıas de ambas configuraciones. Veremos a continuacion la manera en que se puede calcular la energıainterna del sistema A basados en el sistema B.

Tomamos como punto de partida la expresion (1.17) para la energıa interna, ası como su equivalente en el contınuoEq. (1.18)

Uint =1

2

N∑

i=1

qiφi ; Uint =1

2

∫ρ (r) φ (r) dV, (8.42)

donde ρ (r) , φ (r) denotan densidad de carga y potencial respectivamente. Aplicando estas expresiones al sistema A,teniendo en cuenta que dicho sistema tiene un conjunto discreto de cargas qj y otra distribucion contınua superficialde carga sobre el conductor, la energıa interna se puede escribir como

U(A)int =

1

2

∫σ (r) φ (r) dS +

1

2

M∑

j=1

qjφA (rj)

8.9. ENERGIA INTERNA ELECTROSTATICA USANDO EL METODO DE IMAGENES 139

fs qc

System A

r j

qj

r k

qkq

j

System B

r j

Figura 8.4: El sistema A se define como el conjunto compuesto por el conductor y la distribucion de cargas qj fueradel conductor (izquierda). El sistema B consiste en la distribucion de cargas qj mas el conjunto de cargas imagenqk, (derecha).

donde rj describe la localizacion de la carga puntual real qj y M es el numero de cargas reales discretas qj. Puestoque la integral es sobre la superficie del conductor que es equipotencial y denominando φs al valor del potencialconstante sobre la superficie del conductor, se tiene que

U(A)int =

1

2φs

∫σ (r) dS +

1

2

M∑

j=1

qjφA (rj)

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2

M∑

j=1

qjφA (rj) , (8.43)

donde qc es la carga neta total (superficial) del conductor, y φA (rj) es el potencial electrico en rj debido a todaslas fuentes (excluyendo a la propia qj i.e. removiendo la divergencia). El metodo de las imagenes nos garantiza queel potencial electrostatico en la region exterior al conductor es equivalente al potencial generado por el sistema B(las cargas reales qj mas el conjunto de imagenes qk). En particular, el potencial electrostatico generado por elconjunto de imagenes mas las cargas reales en el punto rj esta dado por9

φB (rj) =N∑

k=1

Kcqk|rk − rj|

+M∑

r 6=j

Kcqr|rr − rj |

= φA (rj) , (8.44)

donde (qk, rk) denota el conjunto de cargas imagen y sus posiciones, ası mismo (qr, rr) denota las cargas reales y susposiciones excluyendo a qj. N denota el numero de cargas imagen. Reemplazando (8.44), en (8.43) resulta

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2

M∑

j=1

qj

N∑

k=1

Kcqk|rk − rj |

+

M∑

r 6=j

Kcqr|rr − rj |

. (8.45)

A partir de la ley de Gauss, se puede ver que la carga neta qc sobre la superficie del conductor, es la suma algebraicade las cargas imagen. Similarmente, el potencial sobre la superficie del conductor es aquel generado por el sistema Ben cualquier punto de dicha superficie, por tanto obtenemos

qc =

N∑

k=1

qk ; φs =

M∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

k=1

Kcqk|rk − rs|

, (8.46)

donde rs es la posicion de cualquier punto en la superficie del conductor. Reemplazando (8.46) en (8.45), encontramosla energıa interna del sistema A en terminos exclusivamente de los componentes del sistema B

U(A)int =

1

2

[N∑

k=1

qk

]M∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

m=1

Kcqm|rm − rs|

+

1

2

M∑

j=1

N∑

k=1

Kcqkqj|rk − rj |

+1

2

M∑

j=1

M∑

r 6=j

Kcqrqj|rr − rj|

(8.47)

9Una vez mas, el autopotencial generado por la carga puntual qj en el punto rj ha sido extraıdo.


La energıa interna del sistema A se puede escribir entonces como

U(A)int =

1

2qcφs +

1

2U

(B)ext + U

qjint ; qc =

N∑

k=1

qk ; φs =

M∑

j=1

Kcqj|rj − rs|

+

N∑

m=1

Kcqm|rm − rs|

U(B)ext ≡

M∑

j=1

N∑

k=1

Kcqkqj|rk − rj|

=M∑

j=1

qjφ (rj) ; φ (rj) ≡N∑

k=1

Kcqk|rk − rj |

; Uqjint =

1

2

M∑

j=1

M∑

r 6=j

Kcqrqj|rr − rj|

(8.48)

donde φ (rj) es el potencial generado por las cargas imagen en el punto rj donde se ubica la carga real qj. Ası mismoM

y N es el numero de cargas reales e imagen respectivamente. Por tanto, U(B)ext representa la energıa potencial externa

asociada con la distribucion de cargas reales cuando estas estan inmersas en el campo generado por las imagenes.

Finalmente Uqjint representa la energıa interna asociada a la distribucion real de cargas qj, i.e. el trabajo necesario

para ensamblar esta distribucion si esta estuviera aislada (es decir en ausencia del conductor y/o las imagenes). Porsupuesto, la distribucion (y tal vez las imagenes) pueden ser contınuas, en cuyo caso las sumas se convierten enintegrales.

Por otra parte, ya hemos visto que en muchos problemas de aplicacion la carga qc sobre el conductor o su potencialφs son dados en el problema, en cuyo caso serıa una complicacion innecesaria expresar el parametro conocido enterminos de superposicion de imagenes. Sin embargo, cuando alguna de estas cantidades no sea dada en el problema,la distribucion de las imagenes nos permitira calcular tal cantidad como lo expresan las Ecs. (8.48).

En muchos casos estaremos interesados en el trabajo necesario para traer la distribucion de carga como untodo, es decir qj se mueve como un cuerpo rıgido inmerso en el campo generado por el conductor. En tal caso el

termino Uqjint deja de ser relevante puesto que no cambia en el proceso y podemos removerlo de la formulacion. Si

adicionalmente el conductor se conecta a tierra, la energıa interna adquiere una forma particularmente simple,

U(A)int =

1

2U

(B)ext . (8.49)

En este punto conviene discutir brevemente acerca de la diferencia entre energıa potencial externa e interna.En primer lugar debemos precisar el sistema de partıculas para el cual definimos los conceptos de energıa internay externa. Una vez definido el sistema, la energıa potencial interna es la energıa potencial asociada con las fuerzasinternas y corresponde al trabajo necesario para ensamblar el sistema comenzando con las partıculas muy alejadasentre sı10. Por otro lado, la energıa potencial externa es aquella asociada con las fuerzas externas, y corresponde altrabajo necesario para traer el sistema como un todo desde el infinito hasta su configuracion final, inmerso en un

campo de fuerzas generado por todas las fuentes exteriores al sistema en cuestion. En nuestro caso, U(B)ext representa

la energıa potencial externa asociada con el sistema de cargas reales exteriores al conductor, las fuerzas externas

son las generadas por el conjunto de cargas imagen (o equivalentemente por el conductor). En consecuencia, U(B)ext

es el trabajo necesario para traer la distribucion qj como un todo desde el infinito hasta su configuracion final en

presencia de las cargas imagen (o el conductor). Por otro lado, U(A)int representa el trabajo necesario para ensamblar

el sistema A. Finalmente Uqjint es la energıa necesaria para ensamblar al conjunto de cargas reales en ausencia de

fuerzas externas, vale decir que esta cantidad contribuye a U(A)int pero si el sistema de cargas se trae desde el infinito

“ya ensamblado” y no se redistribuye en el proceso (es decir se comporta como cuerpo rıgido) dicha cantidad esirrelevante en el problema. Notese que las energıas potenciales internas y externas son diferentes tanto conceptualcomo operativamente.

8.10. Ejemplos de calculo de energıa interna por metodo de imagenes

Trabajaremos dos tipos de configuraciones (a) Sistemas en los cuales el conductor esta aislado (de modo que lacarga neta qc es fija), (b) Sistemas en los cuales el potencial en la superficie del conductor es constante (e.g. conectado

10En algunos casos cuando el sistema esta compuestos de subsistemas que actuan como cuerpos rıgidos, la energıa interna se puededefinir como la necesaria para ensamblar estos subsistemas comenzando con ellos muy lejos uno de otro. Esto implica ignorar la energıanecesaria para ensamblar los subsistemas, lo cual esta justificado puesto que en el proceso la energıa interna asociada a cada subsistema noesta cambiando y por tanto no es relevante en el problema. No obstante, debe tenerse presente que si algunos subsistemas pueden cambiarsu energıa interna en el proceso, estas energıas deben incluırse en el calculo de la energıa interna total del sistema.

8.10. EJEMPLOS DE CALCULO DE ENERGIA INTERNA POR METODO DE IMAGENES 141

a tierra o a una baterıa). En todos los casos consideramos al sistema exterior de cargas como un cuerpo rıgido de

modo que omitiremos el termino Uqjint de la Ec. (8.48).

8.10.1. Energıa interna de plano conductor infinito conectado a tierra frente a una cargapuntual

Un caso muy simple es el de una carga puntual en frente de un plano infinito conectado a tierra. Para muchospropositos este sistema es equivalente a reemplazar el conductor por una carga imagen de signo opuesto igual magnitude igual distancia que la carga real al otro lado del plano formando un dipolo fısico, es facil ver que la energıa internacorrespondiente al sistema A, es la mitad de la energıa interna asociada al sistema B. Esto se puede ver por dosargumentos, (a) El espacio se puede dividir en dos mitades separadas por el conductor. Para el sistema B la integral∫E2dV da contribuciones identicas en ambas mitades, en tanto que en el sistema A solo una de estas mitades

contribuye a la energıa. (b) Calculando el trabajo necesario para traer q desde el infinito. En el sistema A solose realiza trabajo sobre q puesto que la redistribucion de cargas en el conductor no requiere trabajo debido a quedichas cargas se mueven en una equipotencial. En contraste, si ensamblamos el sistema B trayendo ambas cargassimultaneamente, podemos trabajar sobre ambas en forma simetrica, resultando claramente un trabajo dos vecesmayor. Esta solucion es consistente con lo que se encuentra al aplicar la Ec. (8.49), y se puede estimar por argumentosde simetrıa. Sin embargo, la Ec. (8.49) es valida mucho mas alla de este ejemplo, incluso en escenarios sin ningunasimetrıa evidente.

8.10.2. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor cargadoy aislado

Sea una carga puntual q ubicada en r0 en presencia de un conductor aislado con carga neta qc. Estamos interesadosen calcular el trabajo externo necesario para traer q desde el infinito hasta r0. La carga neta es invariante durante elproceso y la energıa interna del sistema al comienzo y al final del proceso se obtiene aplicando (8.45)

U(A,i)int =

1

2qcφ

is ; U

(A,f)int =

1

2qcφ

fs +

1

2

N∑

k=1

Kcq(f)k∣∣∣r0 − r(f)k

∣∣∣q

,

donde φis, φfs son los potenciales en la superficie del conductor al comienzo y al final del proceso respectivamente, el

conjunto de imagenesq(f)k , r

(f)k

es la configuracion que fija el potencial del conductor al final del proceso (i.e. con

q localizada en r0), siendo N el numero de cargas imagen. Hemos asumido que la distribucion de las imagenes eslocalizada durante todo el proceso con lo cual se asegura que la energıa potencial asociada con la carga puntual escero cuando esta se ubica en el infinito. El trabajo externo para traer a q desde el infinito hasta r0, es el cambio enla energıa interna

Wext = ∆U(A)int =

1

2qc(φ

fs − φis) +

1

2

∑

k


∣∣∣q

, (8.50)

los valores de φis y φfs se pueden obtener de la Ec. (8.46) utilizando la configuracion de imagenes al principio y al final

del proceso respectivamente 11. Es claro que los valores de φfs , φis dependen de la geometrıa del conductor. Notesesin embargo, que si la carga neta es nula, Wext se vuelve independiente de estos potenciales y el resultado tiene lamisma forma que aquel en el cual el conductor esta conectado a tierra (ver Ecs. 8.49, 8.48) sin importar cual sea lageometrıa del conductor 12.

11El valor de qc es dado en el problema. Pero por consistencia podemos chequear si este valor se obtiene usando la configuracion deimagenes al principo o al final del proceso en la Ec. (8.46), dado que qc es invariante durante el proceso.

12No obstante, el resultado no es necesariamente el mismo para carga nula que para potencial cero, dado que la configuracion de imagenesno es en general la misma en ambos casos.


8.10.3. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor conectadoa una baterıa

Asumamos una carga puntual q ubicada en r0 con conductor conectado a una baterıa que lo mantiene a unpotencial fijo V . En el proceso de traer q desde el infinito hasta r0, la baterıa debe proporcionar una carga ∆Q alconductor para mantener constante su potencial, de tal modo que aplicando (8.45) al comienzo y al final tenemos

U(A,i)int =

1

2q(i)c V ; U

(A,f)int =

1

2q(f)c V +

1

2

∑

k


∣∣∣q

, (8.51)

siendo q(i)c y q

(f)c la carga sobre el conductor al principio y al final del proceso respectivamente. Haciendo la diferencia,

obtenemos el cambio en la energıa interna

∆U(A)int =

V

2∆Q+

1

2

∑

k


∣∣∣q

. (8.52)

Nuevamente, hemos asumido que la configuracion de imagenes esta localizada a lo largo del proceso de modo que nohay energıa potencial asociada a la interaccion entre q y las imagenes al principio del proceso cuando q esta en elinfinito. Usando la Ec. (8.52), el cambio en la energıa interna es

∆U(A)int =

V

2

[(∑

k

q(f)k

)−(∑

m

q(i)m

)]+

1

2

∑

k


∣∣∣q

. (8.53)

donde q(i)m y q

(f)k se refiere a las imagenes que reproducen el potencial V del conductor al principio y al final del

proceso respectivamente. Este cambio en la energıa interna es igual al trabajo neto externo sobre el sistema, el cualse puede separar en dos terminos: el trabajo hecho por la bateria sobre el conductor para suplir la carga ∆Q y eltrabajo hecho por la fuerza externa sobre q

∆U(A)int =Wext =Wbatt +WFext . (8.54)

El trabajo hecho por la baterıa es claramente

Wbatt = V ∆Q = V

[(∑

k

q(f)k

)−(∑

m

q(i)m

)], (8.55)

de las Ecs. (8.52, 8.54, 8.55) vemos que WFext esta dado por

WFext = ∆U(A)int −Wbatt

WFext = −V ∆Q

2+

1

2

∑

k


∣∣∣q

=V

2

[(∑

m

q(i)m

)−(∑

k

q(f)k

)]+

1

2

∑

k


∣∣∣q

(8.56)

el conductor conectado a tierra es un caso especial con V = 0.

Los ejemplos de las secciones 8.10.2 y 8.10.3 son validos para cualquier forma y tamano del conductor. Apliquemosestos resultados a un conductor esferico de radio R, con el origen en el centro de la esfera.


q

x0

q2

q1

x1

R

x

Figura 8.5: Carga puntual q en presencia de un conductor esferico de radio R. Las cargas q1, q2 representan laconfiguracion de imagenes, y adquieren diferentes valores y posiciones de acuerdo con el caso estudiado. Sin embargo,q2 esta siempre en el origen y la configuracion q1, q2, q yace sobre el eje X.

8.10.4. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfericoconectado a una baterıa

Sea una carga puntual en frente de una esfera conductora de radio R que se conecta a una baterıa que mantienesu potencial V constante. La estructura de las imagenes ya se obtuvo en la seccion 8.6 . En la notacion de la figura8.5, con la carga q en cierta posicion x0, la estructura de imagenes esta descrita por la Ec. (8.14) pag. 130 y la Ec.(8.33) pag. 135

q1 = −qRx0

; x1 =R2

x0; q2 =

V R

Kc; x2 = 0 (8.57)

La configuracion inicial de imagenes se obtiene haciendo x0 → ∞, y para la configuracion final asumimos que laposicion es justamente x0, usando (8.46) encontramos

q(i)c = q(i)1 + q

(i)2 =

V R

Kc; q(f)c = q

(f)1 + q

(f)2 = −qR

x0+V R

Kc; ∆Q = q(f)c − q(i)c = −qR

x0(8.58)

reemplazando (8.57, 8.58) en (8.55, 8.56) encontramos

Wbatt = V ∆Q = −qRVx0

(8.59)

WFext = −V ∆Q

2+

1

2

∑

k


∣∣∣q

=

qRV

2x0+

1

2q

Kcq

(f)1∣∣∣x0 − x(f)1

∣∣∣+

Kcq(f)2∣∣∣x0 − x(f)2

∣∣∣

WFext =qRV

2x0+

1

2

Kcqq

(f)1∣∣∣x0 − R2

x0

∣∣∣+Kcqq

(f)2

x0

(8.60)

WFext =qRV

2x0+

1

2

−

KcqqRx0∣∣∣x

20−R2

x0

∣∣∣+Kcq

V RKc

x0

=

1

2

qRV

x0+

1

2

[− Kcq

2R∣∣x20 −R2∣∣ +

qRV

x0

]

WFext =qRV

x0− 1

2

Kcq2R(

x20 −R2) (8.61)

donde hemos tenido en cuenta que x0 > R. De las Ecs. (8.60, 8.57) el trabajoWFext se puede escribir alternativamentecomo

WFext =Kcq

2x0

V R

Kc+

1

2

Kcqq

(f)1∣∣∣x0 − R2

x0

∣∣∣+Kcqq

(f)2

x0

=

Kcq

2x0q2 +

1

2

Kcqq

(f)1∣∣∣x0 − x(f)1

∣∣∣+Kcqq2x0

WFext =Kcqq2x0

+1

2

Kcqq(f)1(

x0 − x(f)1

) (8.62)


En sıntesis, de las Ecs. (8.59, 8.62, 8.61) podemos escribir el trabajo hecho por la baterıa, el trabajo hecho por lafuerza externa sobre q y el trabajo externo total como:

Wbatt = −qRVx0

(8.63)

WFext =Kcq2q

x0+

1

2

Kcqq(f)1(

x0 − x(f)1

) =qRV

x0− 1

2

Kcq2R(

x20 −R2) (8.64)

Wext = Wbatt +WFext = −1

2

Kcq2R(

x20 −R2) (8.65)

la esfera conectada a tierra se obtiene haciendo V = 0 (o q2 = 0). Examinando la primera expresion de la ecuacion(8.64) vemos que el primer termino deWFext es equivalente al trabajo para traer la carga q en presencia de la imagenq2 (que es invariante durante el proceso). Vale la pena enfatizar que en este termino el factor 1/2 no esta presentedebido a que la carga q2 es estacionaria y constante en magnitud en el proceso de traer q, de modo que la fuerzaexterna necesaria para traer la carga es siempre de la forma Kcq2q/r

2 en la direccion de movimiento. En contraste,el segundo termino posee el factor 1/2 y tal termino es equivalente a la mitad del trabajo requerido para transportarla carga q en presencia de la imagen q1 si tal imagen estuviera siempre en su posicion final, y con su magnitud final.Este factor surge del hecho de que durante el proceso de traer q, la carga imagen q1 tiene que cambiar su posicion ymagnitud, con el fin de mantener su rol de carga imagen13.

8.10.5. Energıa interna de un sistema de carga puntual en presencia de un conductor esfericocargado y aislado

Sea una carga puntual en presencia de una esfera conductora de radio R. La esfera esta aislada con una carganeta qc. De nuevo, la estructura de las imagenes ya ha sido estudiada en la seccion 8.5, y en la notacion de la Fig.8.5 esta dada por

q1 = −qRx0

; x1 =R2

x0; q2 = qc − q1 = qc +

qR

x0; x2 = 0 , (8.66)

el potencial en la superficie del conductor cuando la carga q yace en su posicion final, es aquel generado por la cargaq2 solamente, puesto que los potenciales generados por q1 y q se cancelan mutuamente por construccion. Por otrolado, el potencial en la superficie del conductor cuando q yace en el infinito, es claramente de la forma Kcqc/R, yusando (8.66) los potenciales sobre la superficie del conductor al comienzo y al final del proceso se escriben

φfs =Kcq2R

=Kc

(qc +

qRx0

)

R; φis =

KcqcR

, (8.67)

reemplazando las expresiones (8.66, 8.67) en (8.50) encontramos

Wext = Kcq

qcx0

+qR

2

[1

x20− 1(

x20 −R2)]

.

En este caso, no hay trabajo sobre el conductor como ocurre en el caso de la esfera conectada a tierra (V = 0 en laEc. 8.63). En particular, en el escenario con un conductor neutro i.e. qc = 0, el trabajo necesario para traer la cargaes mayor que en el caso de la esfera conectada a tierra en virtud de que una segunda carga imagen localizada en elcentro de la esfera y del mismo signo que q debe ser anadida, dicha imagen conduce a una interaccion repulsiva querequiere incrementar el trabajo externo.

13Naturalmente, la segunda expresion en la Ec. (8.64) es mas adecuada para calcular explıcitamente WFextya que esta en terminos de

los parametros conocidos. Hemos visto sin embargo, que la primera expresion en dicha ecuacion (escrita en terminos de las cargas imageny sus posiciones) admite una interpretacion fısica mas directa.


l-l

a-a x

z

Figura 8.6: Alambre infinito con densidad lineal de carga constante λ, en frente de un conductor infinito conectado atierra. El alambre punteado es la correspondiente imagen.

8.10.6. Energıa interna de un sistema de plano conductor en presencia de un alambre infinito

Consideremos un alambre infinito con densidad lineal uniforme λ, que yace a una distancia a al lado derecho deun conductor plano infinito conectado a tierra, ver Fig. 8.6. En este caso la imagen consiste de otro alambre infinitode densidad lineal −λ al lado izquierdo del plano. En este ejemplo la distribucion real y la configuracion de imagenesson ambas distribuciones contınuas. Los potenciales electricos en un punto r =xı+ y+zk (x > 0) debido al alambrey su imagen estan dados por

Φ(r) = 2Kcλ ln√

(x− a)2 + y2 + C1,

Φ(r) = −2Kcλ ln√

(x+ a)2 + y2 + C2. (8.68)

Para asegurar que el potencial sobre el plano sea nulo (plano Y Z) debemos escoger las constantes arbitrariascomo C1 = −C2 = C de modo que el potencial total sobre el lado derecho del plano esta dado por

ΦT (r) = 2Kcλ ln

√(x− a)2 + y2

(x+ a)2 + y2,

el cual satisface la condicion ΦT (0, y, z) = 0. Nuestro proposito es calcular la energıa interna electrostatica del sistemaA, para el cual usamos la Ec. (8.48) con φs = 0

U(A)int =

1

2U

(B)ext ; U

(B)ext ≡

∫Φ(a,0,0) dq (8.69)

donde la energıa potencial externa asociada con el alambre real en el campo generado por el sistema virtual (sistemaB) puede ser escrito como

U(B)ext

L= Φ(a,0,0)λ,

con L la longitud de un trozo de alambre con densidad λ, de la Ec. (8.68) encontramos que

U(B)ext

L= −2Kcλ

2 ln (2a)−Cλ.

Usando la Ec. (8.69) la energıa potencial por unidad de longitud del alambre en presencia del conductor planoconectado a tierra puede escribirse como

U(A)int

L= −Kcλ

2 ln (2a)− Cλ

2,


y el trabajo externo por unidad de longitud para llevar el alambre (en presencia del conductor) desde la distancia aihasta la distancia af viene dada por:

Wi→f

ext

L= −Kcλ

2 ln

(aiaf

).

Capıtulo 9

Funcion de Green y ecuacion de Poisson encoordenadas esfericas

Cuando tenemos en cuenta problemas con alguna simetrıa esferica, es conveniente escribir la ecuacion de Green

∇2G = −4πδ(r− r′

)

en coordenadas esfericas, para lo cual se utiliza el Laplaciano en coordenadas esfericas que ya se empleo en la seccion4.2 Pag. 53, ası como la funcion delta de Dirac en estas mismas coordenadas.

9.1. Delta de Dirac en coordenadas esfericas

Definimos δ (r − r′), δ (cos θ − cos θ′) , δ (ϕ− ϕ′) a traves de las siguientes relaciones

∫ ∞

0δ(r − r′

)dr = 1 ,

∫ 2π

0δ(ϕ− ϕ′) dϕ = 1 ,

∫ π

0δ(cos θ − cos θ′

)sin θ dθ = 1

⇒∫δ(r− r′

)dV = 1 =

(∫ ∞

0δ(r − r′

)dr

)(∫ 2π

0δ(ϕ− ϕ′) dϕ

)(∫ π

0δ(cos θ − cos θ′

)sin θ dθ

)

=

∫δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2r2dr sin θ dθ dϕ

=

∫δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2dV

Por lo tanto, el delta de Dirac en coordenadas esfericas queda

δ(r− r′

)=δ (r − r′) δ (ϕ− ϕ′) δ (cos θ − cos θ′)

r2

con lo cual ya estamos listos para escribir la ecuacion de Green en estas coordenadas

9.2. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas

Ya conocemos la expresion analıtica para la funcion de Green para espacio infinito con condiciones de Dirichlet(G→ 0, r → ∞). La cual viene dada por

G(r, r′

)=

1

|r− r′|Para ajustar esta funcion de Green a problemas con simetrıa esferica, es conveniente expandir la solucion en armonicosesfericos

G(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)(9.1)

147

148 CAPITULO 9. FUNCION DE GREEN Y ECUACION DE POISSON EN COORDENADAS ESFERICAS

la inclusion de Y ∗lm (θ′, ϕ′) se debe a que la funcion de Green debe satisfacer G (r, r′) = G∗ (r′, r). Utilizando la

completez de los armonicos esfericos expresamos la delta de Dirac angular en la forma

δ(ϕ− ϕ′) δ


)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) (9.2)

Ahora tomando la ecuacion de Green∇2G = −4πδ

(r− r′

)(9.3)

reemplazando la expansion (9.1), la completez (9.2) y el Laplaciano en coordenadas esfericas, la ecuacion de Green(9.3) queda

1

r

∂2

∂r2(rG)− 1

r2L2G = −4πδ (r − r′)

r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

con L2 definido por (4.2). Usando (9.1) se obtiene

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]

− 1

r2L2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)

= −4πδ (r − r′)r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

ahora teniendo en cuenta que los armonicos esfericos son funciones propias del operador L2 con valor propio l (l + 1),y teniendo en cuenta que este operador es solo funcion de θ, ϕ y no de θ′, ϕ′ se obtiene

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]

− 1

r2

∞∑

l=0

l∑

m=−ll (l + 1)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)

= −4πδ (r − r′)r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

igualando coeficientes1

r

d2

dr2[rFlm

(r, r′

)]− 1

r2l (l + 1)Flm

(r, r′

)= −4πδ (r − r′)

r2

multiplicando por r2

rd2

dr2[rFlm

(r, r′

)]− l (l + 1)Flm

(r, r′

)= −4πδ

(r − r′

)(9.4)

la solucion para r 6= r′ podemos obtenerla con la sustitucion

rFlm(r, r′

)≡ Ulm

(r, r′

)

con lo cual la Ec. (9.4) para r 6= r′ (solucion de la ecuacion homogenea) queda

rd2Ulm (r, r′)

dr2− l (l + 1)

Ulm (r, r′)r

= 0

d2Ulm (r, r′)dr2

− l (l + 1)Ulm (r, r′)

r2= 0

que coincide con la Ec. (4.5), Pag. 54, cuya solucion esta dada por la Ec. (4.9) Pag. 55, de modo que Flm (r, r′) queda

Flm(r, r′

)= Almr

l +Blmrl+1

(9.5)

9.2. FUNCION DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO EN COORDENADAS ESFERICAS 149

Para r < r′ Flm 6= ∞, para r → 0 de modo que Blm = 0, y la solucion tiene la forma

Flm = Almrl<

Para r > r′, Flm → 0 cuando r → ∞ (condicion de frontera en el infinito) de modo que Alm = 0 y la soluciones

Flm =Blm

rl+1>

La solucion para ambos casos es el producto de las anteriores

Flm = Clmrl<

rl+1>

(9.6)

Para hallar Clm debemos extraer la informacion de la inhomogeneidad, para lo cual multiplicamos la ecuacion(9.4) por dr e integramos entre r′ − ε y r′ + ε.

∫ r′+ε

r′−εrd2

dr2[rFlm

(r, r′

)]dr − l (l + 1)

∫ r′+ε

r′−εFlm

(r, r′

)dr = −4π

∫ r′+ε

r′−εδ(r − r′

)dr (9.7)

la primera integral se soluciona facilmente por partes con u = r, dv = d2

dr2[rFlm (r, r′)] dr ⇒ du = dr,

v = ddr [rFlm (r, r′)]. Asumimos Flm acotada y contınua de modo que la integral sobre la funcion tiende a cero

cuando ε→ 0+. Con estas consideraciones la ecuacion (9.7) queda

(rd

dr(rFlm)− rFlm

)∣∣∣∣r′+ε

r′−ε= −4π

Clm

[rd

dr

(rrl<

rl+1>

)− r

rl<

rl+1>

]

r=r′+ε

− Clm

[rd

dr

(rrl<

rl+1>

)− r

rl<

rl+1>

]

r=r′−ε= −4π

Clm

[rd

dr

(r(r′)l

rl+1

)− r

(r′)l

rl+1

]

r=r′+ε

− Clm

[rd

dr

(r

rl

r′(l+1)

)− r

rl

r′(l+1)

]

r=r′−ε= −4π

Clm

[−l (r′)lrl

− (r′)l

rl

]

r=r′+ε

− Clm

[(l + 1)

(rl+1

r′(l+1)

)− rl+1

r′(l+1)

]

r=r′−ε= −4π

−Clm (l + 1)

[(r′)l

rl

]

r=r′+ε

− Clm [(l + 1)− 1]

[rl+1

r′(l+1)

]

r=r′−ε= −4π

−Clm (l + 1)−Clm [(l + 1)− 1] = −4π

−Clm (2l + 1) = −4π

Clm =4π

2l + 1(9.8)

Sustituyendo (9.8) en (9.6) y esta a su vez en (9.1), la funcion de Green para espacio infinito queda

G(r, r′

)=

1

|r− r′| = 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

(9.9)

A partir de esta funcion de Green se puede calcular el potencial debido a cualquier distribucion localizada y estaticade cargas en el espacio libre a traves de la Ec. (7.4) pag. 93. Como en tal caso tanto la funcion de Green como elpotencial son cero en el infinito, la integral de superficie en la Ec. (7.4) se anula y solo queda la integral de volumen.


Sustituyendo (9.9) en (7.4) el potencial de una distribucion localizada y estatica de cargas en el espacio libre vienedada por1

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′ (9.10)

esta expresion es la base para la expansion del potencial en multipolos esfericos como veremos en la seccion 11.2.

9.2.1. Teorema de adicion de armonicos esfericos

Comparando la expresion obtenida para 1|r−r′| en terminos de armonicos esfericos Ec. (9.9) y en terminos de

polinomios ordinarios de Legendre, Ec. (4.64) pag. 65 obtenemos

1

|r− r′| = 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

=∞∑

l=0

Pl (cos γ)rl<

rl+1>

donde (θ, ϕ) y (θ′, ϕ′) definen la orientacion de los vectores r y r′ respectivamente, en tanto que γ es el angulo entrer y r′. De lo anterior se deduce

Pl (cos γ) = 4πl∑

m=−l


2l + 1(9.11)

genericamente, en la Ec. (9.11) los angulos (θ, ϕ) y (θ′, ϕ′) definen la orientacion de dos vectores unitarios n y n′

respectivamente, siendo γ el angulo entre n y n′. Este resultado se conoce como teorema de adicion de losarmonicos esfericos. En particular, si θ = θ′, ϕ′ = ϕ (de modo que n y n′ son paralelos) entonces γ = 0 y la Ec.(9.11) se reduce a

Pl (cos 0) = Pl (1) = 1 = 4π

l∑

m=−l

|Ylm (θ, ϕ)|22l + 1

de lo cual se deriva la propiedadl∑

m=−l

|Ylm (θ, ϕ)|22l + 1

=1

4π(9.12)

9.3. Esfera uniformemente cargada

Calcular el potencial interior y exterior debido a una esfera de densidad volumetrica constante ρ y radio a. Usando(9.10)

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

= 4πρKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

] ∫ a

0

rl<

rl+1>

r′2dr′

= 4πρKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[√4π

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′)Y00 (θ, ϕ) dΩ′

] ∫ a

0

rl<

rl+1>

r′2dr′

= 4πρKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[√4πδl0δm0

] ∫ a

0

rl<

rl+1>

r′2dr′

= 4πρKcY00√4π

∫ a

0

r0<r0+1>

r′2dr′

1La unicidad esta garantizada ya que se conoce la condicion en la frontera (potencial cero en el infinito) y la distribucion de carga enla region interior de Dirichlet (el espacio infinito).

9.4. FUNCION DE GREEN PARA EXTERIOR E INTERIORDE LA ESFERA COMBINANDO IMAGENES CONAUTOFUNCIONES

φ (r) = 4πρKc

∫ a

0

1

r>r′2dr′ (9.13)

a) Para r < a (interior de la esfera) la integral se puede escribir en la forma∫ a

0

1

r>r′2dr′ =

∫ r

0

1

r>r′2dr′ +

∫ a

r

1

r>r′2dr′ =

∫ r

0

1

rr′2dr′ +

∫ a

r

1

r′r′2dr′

∫ a

0

1

r>r′2dr′ =

1

6

(3a2 − r2

)(9.14)

b) Para r > a (exterior de la esfera) se tiene que r > r′ de modo que la integral queda en la forma∫ a

0

1

r>r′2dr′ =

∫ a

0

1

rr′2dr′ =

a3

3r(9.15)

sustituyendo (9.14) y (9.15) en (9.13) obtenemos

φ (r) =4πKcρ

3

12

(3a2 − r2

)si r < a

a3

r si r > a(9.16)

φ (r) =Kc

a34πa3

3ρ

12

(3a2 − r2

)si r < a

a3

r si r > a

en terminos de la carga total Q de la esfera este potencial queda

φ (r) =KcQ

a3

12

(3a2 − r2

)si r < a

a3

r si r > a(9.17)

En r = a ambos potenciales coinciden, como debe ocurrir en la interface. El potencial afuera de la esfera coincidecon el de una carga puntual situada en el centro de la esfera con carga Q. En el interior de la esfera, el potencial esel generado por la carga interior con respecto al punto de evaluacion. Estos resultados coinciden con los encontradospor metodos mas elementales, de modo que solo son utiles como prueba de consistencia de la expresion (9.10) parala expansion del potencial en armonicos esfericos.

9.4. Funcion de Green para exterior e interior de la esfera combinando image-nes con autofunciones

En la seccion 8.3.1 se calculo la funcion de Green exterior e interior para la esfera de radio a, a partir del metodode las imagenes, Ecs. (8.16, 8.18), Pag. 130. Ambas tenıan la misma forma funcional

G(r, r′

)=

1

|r− r′| −a

r′∣∣∣r−a2r′

r′2

∣∣∣=

1

|r− r′| −1∣∣ r′r

a −ar′

r′

∣∣ =1

|r− r′| −1∣∣ r′r

a r−ar′

r′ r′∣∣

G(r, r′

)≡ 1

|r− r′| −1∣∣k− k′∣∣ ; k ≡ r′r

ar , k′ ≡ ar′ (9.18)

dado que conocemos la expansion del primer termino |r− r′|−1 en armonicos esfericos [ver Ec. (9.9) Pag. 149] y elsegundo termino es semejante al primero, es facil hacer la expansion del segundo termino en armonicos esfericos, solotenemos que saber cual de los vectores k o k′ tiene mayor magnitud

(a) Problema exterior, en este caso tanto r como r′ son mayores que a, de modo que rr′ > a2 ⇒ r′ra > a ⇒

‖k‖ > ‖k′‖. Aplicando esta desigualdad tenemos que

kl<

kl+1>

=(k′)l

kl+1=

al(rr′

a

)l+1=

a2l+1

(rr′)l+1(9.19)

usando (9.19) y (9.9) podemos expandir el segundo termino en (9.18) en la forma

1∣∣k− k′∣∣ = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

a2l+1

(rr′)l+1


y la funcion de Green completa Ec. (9.18) queda

G(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

rl+1>

− a2l+1

(rr′)l+1

]con r ≥ a y r′ > a

(b) Problema interior: en este caso r y r′ son menores que a, entonces ‖k′‖ > ‖k‖ y tenemos

kl<

kl+1>

=kl

(k′)l+1=

(rr′

a

)l

al+1=

(rr′)l

a2l+1

de modo que

1∣∣k− k′∣∣ = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(rr′)l

a2l+1

y la funcion de Green completa queda

G(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

rl+1>

− (rr′)l

a2l+1

]con r ≤ a y r′ < a

las funciones de Green interior y exterior se pueden considerar como un caso particular del siguiente problema

9.5. Funcion de Green para espacio comprendido entre dos cascarones esferi-

cos concentricos con G = 0 en la superficie

Figura 9.1: Problema de Dirichlet para la region comprendida entre dos cascarones esfericos con a < b.

Resolveremos la ecuacion de Green para la region comprendida entre dos cascarones esfericos de radios a y b cona < b, (ver Fig. 9.1). Partiendo de ∇2G (r, r′) = −4πδ (r− r′), parametrizamos la funcion de Green como en la Ec.(9.1) Pag. 147

G(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)Flm

(r, r′

)(9.20)

Siguiendo exactamente el procedimiento para llegar de (9.1) a (9.5) obtenemos Flm (r, r′)

Flm(r, r′

)= Almr

l +Blmrl+1

(9.21)

que escribiremos genericamente en la forma

Flm(r, r′

)=

Almr

l + Blm

rl+1 para r < r′

Almrl + Blm

rl+1 para r > r′(9.22)

9.6. POTENCIAL EN EL ESPACIO ENTRE DOS CASCARONES ESFERICOS 153

(a) Para r < r′ ⇒ Flm (r, r′) = 0 en r = a. La Ec. (9.22) nos da

Flm(a, r′

)= Alma

l +Blmal+1

= 0 ⇒ Blm = −Alma2l+1 ⇒

Flm(r, r′

)= Almr

l +Blmrl+1

= Almrl −Alm

a2l+1

rl+1; r < r′

Flm(r, r′

)= Alm

(rl< − a2l+1

rl+1<

); r < r′

(b) Si r > r′ ⇒ Flm (r, r′) = 0 en r = b

Flm(b, r′

)= Almb

l +Blmbl+1

= 0 ⇒ − Blmb2l+1

= Alm ⇒

Flm(r, r′

)= Almr

l +Blmrl+1

= − Blmb2l+1

rl +Blmrl+1

Flm(r, r′

)= Blm

(1

rl+1>

− rl>b2l+1

); r > r′

el Flm (r, r′) valido en ambas regiones es

Flm(r, r′

)= Clm

[rl< − a2l+1

rl+1<

][1

rl+1>

− rl>b2l+1

]

evaluamos Clm con el proceso usual para obtener

G(r, r′

)= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

][1

rl+1>

− rl>b2l+1

](9.23)

Notese que r>r< = rr′. Con b→ ∞ obtenemos el problema exterior para la esfera de radio a. Con a→ 0 se obtieneel problema interior para esfera de radio b. Si se hace a → 0 y b → ∞, se obtiene la funcion de Green para espacioinfinito.

9.6. Potencial en el espacio entre dos cascarones esfericos

Utilizaremos la expresion general de la funcion de Green para dos cascarones esfericos Ec. (9.23) con b > a, paracalcular el potencial usando condiciones de Dirichlet

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫φS(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′ (9.24)

El potencial se escribe como

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

[∫

S1

φa(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′ +

∫

S2

φb(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′]

asumiremos el caso general donde las superficies definidas por r = a y r = b estan a potenciales φa (θ, ϕ) y φb (θ, ϕ)respectivamente. Calculemos primero la derivada normal de la funcion de Green (9.23)

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= ∇G · (−ur′)|r′=a = −(∂G

∂r′ur′ +

1

r′∂G

∂θ′uθ′ +

1

r′ sin θ′∂G

∂ϕ′uϕ′

)· ur′

∣∣∣∣r′=a

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= − ∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=a

= −4π∂

∂r′

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

]

×[(r′)l − a2l+1

(r′)l+1

] [1

rl+1− rl

b2l+1

]

r′=a


donde hemos tenido en cuenta que para r′ = a, se tiene que r′ < r

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][l(r′)l−1

+ (l + 1)a2l+1

(r′)l+2

][1

rl+1− rl

b2l+1

]r′=a

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

] [l + (l + 1)]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=a

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm (θ′, ϕ′)[

1− (a/b)2l+1]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

(9.25)

De la misma manera

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= ∇G · ur′ |r′=b =∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=b

= 4π∂

∂r′

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

][1

(r′)l+1− (r′)l

b2l+1

]r′=b

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

] [− (l + 1)

1

bl+2− l

bl−1

b2l+1

]r′=b

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][rl − a2l+1

rl+1

][− (2l + 1)]

1

bl+2

∂G

∂n′

∣∣∣∣r′=b

= −4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


1− (a/b)2l+1]

[rl − a2l+1

rl+1

]1

bl+2

(9.26)

reemplazando (9.25) y (9.26) en el potencial (9.24)

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′

+

∫

S1

φa

(θ′, ϕ′)

∞∑

l=0

l∑

m=−l


1− (a/b)2l+1]

[1

rl+1− rl

b2l+1

]al−1

a2 sin θ′dθ′dϕ′

+

∫

S2

φb

(θ′, ϕ′)

∞∑

l=0

l∑

m=−l


1− (a/b)2l+1]

[rl − a2l+1

rl+1

]1

bl+2

b2 sin θ′dθ′dϕ′

donde hemos dejado indicada la integral de volumen, simplificando

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′

+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

al+1

(1

rl+1 − rl

b2l+1

)

(1− (a/b)2l+1

)

Ylm (θ, ϕ)

∫

S1

φa(θ′, ϕ′)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′

+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

(rl − a2l+1

rl+1

)

bl(1− (a/b)2l+1

)

Ylm (θ, ϕ)

∫

S2

φb(θ′, ϕ′)Y ∗

lm


definiendo

H(1)lm (a, b) ≡ al+1

[1− (a/b)2l+1

]∫

S1

φa(θ′, ϕ′)Y ∗

lm


H(2)lm (a, b) ≡ 1

bl[1− (a/b)2l+1

]∫

S2

φb(θ′, ϕ′)Y ∗

lm


9.7. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE 155

tenemos que

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ +

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[1

rl+1− rl

b2l+1

]Ylm (θ, ϕ)H

(1)lm (a, b)

+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[rl − a2l+1

rl+1

]Ylm (θ, ϕ)H

(2)lm (a, b)

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ +

∞∑

l=0

l∑

m=−lrlYlm (θ, ϕ)

[H

(2)lm (a, b)− 1

b2l+1H

(1)lm (a, b)

]

+

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

rl+1

[H

(1)lm (a, b)− a2l+1H

(2)lm (a, b)

](9.27)

definiendo

Alm ≡ H(2)lm (a, b)− 1

b2l+1H

(1)lm (a, b) ; Blm ≡ H

(1)lm (a, b)− a2l+1H

(2)lm (a, b) (9.28)

y sustituyendo (9.28) y (9.23) en (9.27) el potencial queda

φ (r) = 4πKc

∫ ρ(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


(2l + 1)[1− (a/b)2l+1

][rl< − a2l+1

rl+1<

]

×[

1

rl+1>

− rl>b2l+1

]sin θ′ r′2dr′ dθ′ dϕ′

+

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[Almr

l +Blmrl+1

]

La integral de superficie es solucion de la ecuacion de Laplace ya que se obtiene haciendo ρ (r′) = 0 en el volumende Dirichlet. Los coeficientes Alm, Blm estan determinados por las condiciones de frontera. El lector puede revisarlos lımites (a) a→ 0, (b) b→ ∞, (c) a→ 0, b→ ∞, para verificar que los potenciales se reducen a lo que se espera.

9.7. Disco cargado uniformemente

Sea un disco de radio a y densidad superficial σ, que yace en el planoXY y centrado en el origen. Esta distribucionde carga es localizada, se toma entonces el G para espacio infinito. Como la distribucion es superficial debemos hallarel ρ equivalente. Para ello tenemos en cuenta que en θ solo hay carga presente cuando θ = π/2, pero la carga estapresente en un rango contınuo de las coordenadas r y ϕ

∫ρdV = q =

∫σdA =

∫σr dr dϕ×

∫δ(cos θ − cos

π

2

)sin θ dθ =

∫σ

rδ (cos θ) r2 dr dϕ sin θ dθ

∫σdA =

∫σ

rδ (cos θ) dV ⇒ ρ =

σ

rδ (cos θ)

Reemplazando esta densidad equivalente en el potencial asociado a la funcion de Green para espacio infinito Ec.(9.10) se tiene

φ (r) = Kc

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫σ

r′δ(cos θ′

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ sin θ′dθ′dϕ′

φ (r) = 4πσKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ 2π

0

[∫ π

0δ(cos θ′

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) sin θ′dθ′

]dϕ′[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]


utilizamos las propiedades∫f(θ′)δ(cos θ′

)sin θ′ dθ′ = f

(π2

);

∫ 2π

0Y ∗lm

(π2, ϕ′)dϕ′ = 2π

√2l + 1

4πPl (0) δm0

con lo cual el potencial queda

φ (r) = 4πσKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ 2π

0Y ∗lm

(π2, ϕ′)dϕ′[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

φ (r) = 8π2σKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√2l + 1

4πPl (0) δm0

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

φ (r) = 8π2σKc

∞∑

l=0

Yl0 (θ, ϕ)√4π (2l + 1)

Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

utilizando la relacion

Yl0 (θ, ϕ) =

√2l + 1

4πPl (cos θ)

se tiene que

φ (r) = 2πσKc

∞∑

l=0

Pl (cos θ)Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

(9.29)

la integral sobre r′ se divide como es usual en dos casosa) Para r < a, la integral radial nos da

∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =

∫ r

0

rl<

rl+1>

r′dr′ +∫ a

r

rl<

rl+1>

r′dr′ =∫ r

0

(r′)l

rl+1r′dr′ +

∫ a

r

rl

(r′)l+1r′dr′

∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =r

l + 2+

1

−l + 1

(rl

al−1− r

)si l 6= 1 (9.30)

∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =r

3+ r ln

(ar

)si l = 1 (9.31)

de modo que

φ (r) = 2πσKcP1 (cos θ)P1 (0)︸︷︷︸=0

[r3+ r ln

(ar

)]+ 2πσKc

∞∑

l=0,l 6=1

Pl (cos θ)Pl (0)

[∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′]

teniendo en cuenta que Pl (0) = 0 con l impar y usando (9.30) resulta

φ (r) = 2πσKc

∞∑

k=0

P2k (cos θ)P2k (0)

[r

2k + 2+

1

−2k + 1

(r2k

a2k−1− r

)]; r < a (9.32)

b) Para r > a, la integral radial nos da∫ a

0

rl<

rl+1>

r′dr′ =∫ a

0

(r′)l

rl+1r′dr′ =

al+2

l + 2

1

rl+1

y el potencial (9.29) resulta

φ (r) = 2πσKca

∞∑

k=0

P2k (cos θ)P2k (0)

2 (k + 1)

(ar

)2k+1; r > a (9.33)

se puede observar que en r = a ambas soluciones coinciden. Solo valores pares de l contribuyen. Se puede ver quepara r >> a se puede tomar solo el primer termino en la serie (9.33) i.e. el termino con k = 0, y se sigue que

φ (r) ≈ 2πσKcaP0 (cos θ)P0 (0)

2

(ar

)=Kcπa

2σ

r=Kcq

r

Tambien se puede ver de la solucion (9.32) para r < a que cuando r → 0, el potencial tiende a cero.

9.8. CONDICION DE FRONTERA EN ESFERA CON VARILLA INTERNA 157

9.8. Condicion de frontera en esfera con varilla interna

Calcularemos el potencial en el interior de una esfera de radio a, generado por una varilla y con la condicion defrontera φ = V en r = a. La varilla esta ubicada sobre el eje Z positivo con uno de sus extremos en el origen. Sulongitud es b < a, y su densidad lineal es λ. La densidad volumetrica de carga equivalente es

q =

∫ b

0λ dr =

∫λ dr

[∫δ (cos θ − cos 0) sin θ dθ

][∫dϕ

2π

]

q =

∫λ

2πr2r2 dr

[∫δ (cos θ − 1) sin θ dθ

] [∫dϕ

]

q =

∫λ

2πr2δ (cos θ − 1) r2 dr sin θ dθ dϕ =

∫ρ dV

ρ(r′, θ′

)=

λ

2πr′2δ(cos θ′ − 1

)

en este caso intervienen tanto la integral de volumen como la de superfcie

φ(r′)

=

∫ρ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫φS(r′) ∂G∂n′

dS′

dS′ = a2 sin θ′dθ′dϕ′

usando las propiedades

∫ 2π

0Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′ = 2π

√2l + 1

4πPl (1) δm0 = 2π

√2l + 1

4πδm0

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√4πδl0δm0

Las soluciones quedan

φ (r) = λ

(1− b

a

)+ λ ln

(b

r

)+ V +

+λ∞∑

l=0

P2l+1 (cos θ)

1

2 (l + 1)

[1−

( ra

)2l+1(b

a

)2(l+1)]+

1

2l + 1

[1−

(rb

)2l+1]

para r < b. Y

φ (r) = λ∞∑

l=0

Pl (cos θ)1

(l + 1)

[(b

r

)l+1

−(b

a

)l+1 ( ra

)l]+ V

para r > b. Es importante anotar que

1. φ es singular en r = 0

2. en r = a se reproduce la condicion de frontera

3. en r = b ambas soluciones coinciden

4. Si a→ ∞ se obtiene el potencial de una varilla en espacio libre.

Se puede hacer b → ∞, con a → ∞ (pero manteniendo b < a), y V = 0. Para obtener el potencial generado porla varilla semi-infinita.


9.9. Carga superficial en semicırculo

Sea una carga superficial σ constante en el semidisco de radio a ubicado en z = 0 y barriendo el intervalo0 ≤ ϕ ≤ π. Asumiremos que el cascaron esferico de radio a esta a potencial cero. Evaluaremos φ (r) en el interiorde la esfera de radio a. Como el potencial es cero en la superficie solo sobrevive la integral de volumen, veamos ladensidad equivalente

∫σdA =

∫σr dϕ dr =

∫σ

rr2 dϕ dr


π

2

)sin θ dθ

ρ = σδ (cos θ − 0)

r

hay que tener presente que la integral volumetrica de carga solo varıa entre [0, π] para la variable ϕ. Con esto seobtiene

φ (r) = 4πσ∑

l 6=1

r

l∑

m=−limpar

2iYlm (θϕ)

(2l + 1)m

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (0) +

Yl0 (θ, ϕ) π√2l + 1

√4π

[1

l − 1+

1

l + 2

] [1−

( ra

)l−1]+ 4πσ

[1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

3

2i

m

√3

8πPm1 (0) +

Y10 (θ, ϕ)√12π

π

]r ln

(ar

)

Si la carga cubre el angulo completo en ϕ, la expresion es mucho mas simple debido a la simetrıa azimuthal y es

φ (r) = σ

2π

∑

l 6=1

Pl (cos θ)Pl (0)

(1

l − 1+

1

l + 2

)r

(1−

( ra

)l−1)

9.10. Distribucion poligonal de cargas

Consideremos N cargas puntuales qi, colocadas en los vertices de un polıgono regular de N lados inscrito en unacircunferencia de radio a. El polıgono esta en el plano XY de modo que θ = π

2 . Evalue el potencial.Se usa la funcion de Green para espacio infinito. Hay que construır el equivalente volumetrico de la densidad de

carga, dos cargas subtienden un angulo ϕ = 2π/N . Asumamos que hay una carga en ϕ = 0, de modo que hay unacarga para ϕk = k 2π

N donde k = 0, 1, ..., N − 1 es entero, ϕ0 = 0.

∫ρdV = q =

N−1∑

k=0

qk =

N−1∑

k=0

qk


π

2

)sin θ dθ

∫δ (r − a)

r2r2dr

∫δ

(ϕ− 2πk

N

)dϕ

⇒ ρ = δ (cos θ)δ (r − a)

r2

N−1∑

k=0

qkδ

(ϕ− 2πk

N

)

el potencial es

φ (r) = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

= 4π

N−1∑

k=0

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1qk

[∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′

)δ

(ϕ′ − 2πk

N

)dΩ′]

×∫δ (r′ − a)

r′2rl<

rl+1>

r′2dr′

Capıtulo 10

Funciones de Green en coordenadascilındricas

La base natural para expansiones en coordenadas cilımdricas son las funciones de Bessel. Por tanto, podemosencontrar la funcion de Green para espacio infinito en terminos de funciones de Bessel, de la misma forma esconveniente calcular la funcion de Green para el espacio entre dos cilindros. Lo cual nos permite calcular facilmentepotenciales (de la ec. de Poisson) cuando tenemos problemas que involucran esta simetrıa.

159

160 CAPITULO 10. FUNCIONES DE GREEN EN COORDENADAS CILINDRICAS

Capıtulo 11

Multipolos electricos

Es bien sabido que cuando tenemos una distribucion localizada de cargas, para puntos muy lejanos a la distri-bucion, el campo observado se asemeja al de una carga puntual. Nos podemos preguntar ¿que pasa cuando la carganeta de la distribucion es cero?, ciertamente el campo aun en puntos lejanos no es necesariamente cero, debido aque las cargas individuales que componen a la distribucion, estan a diferentes distancias y orientaciones relativas conrespecto al punto de observacion1. La forma mas obvia de proceder consiste en la aplicacion directa del principio desuperposicion. No obstante, para distribuciones complejas existen alternativas simplificadoras que si bien son soloaproximadas, nos pueden dar una vision mas sencilla del problema. El proposito del presente capıtulo es desarrollarestos metodos de aproximacion para campos lejanos. En particular, veremos mas adelante que la presente formulacionadquiere notable importancia en los casos en que no se conoce la distribucion de carga de manera detallada, comoocurre por ejemplo cuando estudiamos campos en la materia. En dicha situacion no es posible una aplicacion directadel principio de superposicion.

11.1. Expansion multipolar cartesiana del potencial electrostatico

Para una distribucion localizada de cargas, y realizando integracion sobre todo el espacio, solo queda la integralde volumen

φ (r) = Kc

∫ρ (r′)|r− r′|dV

′ (11.1)

Para valores de r >> r′ (aproximacion de campo o potencial lejano), el potencial puede ser expandido en potencias der′/r. Dado que r, r′ son vectores posicion, esta expansion depende fuertemente del origen de coordenadas elegido. Engeneral se elige un origen cercano a la distribucion para acelerar la convergencia de los terminos (es decir, disminuirlos valores de r′/r).

1

|r− r′| =∣∣r− r′

∣∣−1=∣∣∣√

(r− r′) · (r− r′)∣∣∣−1

=(r2 + r′2 − 2r · r′

)−1/2

=

r2

[1 +

(r′

r

)2

− 2r · r′r2

]−1/2

=1

r

1 +

[r′2

r2− 2

r · r′r2

]−1/2

Con la aproximacion r >> r′ es claro que el termino entre parentesis cuadrados es mucho menor que uno. Usando laexpansion de Taylor

1√1 + x

= 1− 1

2x+

(−1

2

) (−1

2 − 1)

2!x2 +O

(x3)

1De hecho aun si existe carga neta es claro que el potencial evaluado en un punto lejano no solo depende de la carga neta, sino tambiende la forma en que las cargas se distribuyen.

161

162 CAPITULO 11. MULTIPOLOS ELECTRICOS

la expansion de |r− r′|−1 queda

1

|r− r′| =1

r

[1− 1

2

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)+

(−1

2

) (−1

2 − 1)

2!

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)2

+ . . .

]

=1

r

[1− 1

2

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)+

3

8

(r′4

r4+ 4

(r · r′)2r4

− 4r′2

r2r · r′r2

)+ . . .

]

Realizaremos la expansion que esta en el parentesis cuadrado, hasta ordenO[(r′/r)2

]. Por ejemplo, el termino (r · r′) /r2 =

(rr′ cos θ) /r2 = (r′/r) cos θ es del orden O [r′/r]; el termino (r · r′)2 /r4 =(r2r′2 cos2 θ

)/r4 =

(r′2/r2

)cos2 θ es del

orden O[(r′/r)2

]. La expansion hasta segundo orden del termino entre parentesis cuadrados nos da entonces

1

|r− r′| =1

r

[1− 1

2

(r′2

r2− 2

r · r′r2

)+

3

8

(4(r · r′)2r4

)+ . . .

]

1

|r− r′| =1

r+

1

r

r · r′r2

− 1

2

1

r

r′2

r2+

3

8

1

r

[4(r · r′)2r4

]+ . . .

1

|r− r′| =1

r+

r · r′r3

− 1

2

r′2

r3+

3

2

(r · r′)2r5

+ . . .

y factorizando potencias iguales en r′, la expansion queda

1

|r− r′| =1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . . (11.2)

reemplazando (11.2) en (11.1) el potencial queda

φ (r) = Kc

∫ρ(r′) [1r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r′ · r

)− r2r′2

]+ . . .

]dV ′

φ (r) =Kc

r

∫ρ(r′)dV ′ +Kc

r

r3·∫

r′ρ(r′)dV ′ +

Kcr

2r5·[∫ (

3r′r′ − I r′2)ρ(r′)dV ′

]· r+ . . . (11.3)

notese que las integrales que aparecen en (11.3) no dependen del punto r de evaluacion del potencial, sino solo de ladistribucion de carga como tal. Si sintetizamos estos terminos integrales adecuadamente los podemos escribir de lasiguiente manera

φ (r) =Kcq

r+Kc (p · r)

r3+Kc

2r5r·Q·r+ . . . (11.4)

q ≡∫ρ(r′)dV ′ ; p ≡

∫r′ρ(r′)dV ′ ⇒ pi =

∫ρ(r′)x′i dV

′ (11.5)

Q ≡∫ (

3r′r′ − I r′2)ρ(r′)dV ′ ⇒ Qij =

∫ρ(r′) [

3x′ix′j − r′2δij

]dV ′ (11.6)

Las Ecs. (11.5, 11.6) nos definen los 3 primeros multipolos cartesianos. La Ec. (11.4) la podemos reescribir en laforma

φ (r) =Kcq

r+Kc (p·r)

r2+Kc

2r3r·Q·r+ . . .

siendo r ≡ r/r, de esta expresion se ve que cada termino integral (multipolo) lo definimos de acuerdo con la potenciade 1/r que lo acompana: q ≡momento de monopolo electrico (carga, escalar), su contribucion al potencial es de laforma 1/r; p ≡momento de dipolo electrico (vector), su contribucion al potencial es de la forma 1/r2. Q ≡momentode cuadrupolo electrico (Diada), contribucion al potencial ∼ 1/r3.

Cuando se toman todos los terminos de la expansion, el resultado es exacto siempre que r > r′ (no serıa estric-tamente necesario que fuera mucho mayor). Sin embargo, la utilidad practica de estas expansiones se da usualmente

11.2. MULTIPOLOS ESFERICOS 163

en el regimen de campo lejano (r >> r′), en el cual es posible tomar solo unos pocos terminos, aunque existenexcepciones a esta regla (ver seccion 11.6).

Para el cuadrupolo se puede observar que

3∑

i=1

Qii = tr [Q] = 0 ; Qij = Qji

es decir que es un tensor de segundo rango, simetrico y de traza nula. Esta diada solo tiene en consecuencia, 5componentes independientes (sin tener en cuenta las posibles simetrıas adicionales de la distribucion de carga). Estosmultipolos tambien se pueden obtener tomando la expansion de |r− r′|−1 en polinomios de Legendre Ec. (4.64) yreemplazandola en el potencial (11.1), teniendo en cuenta que cos γ = r · r′ y que r > r′ de modo que r′ = r<, r = r>.

Finalmente resulta util tener en cuenta que el potencial (11.4) se puede generar a partir de la siguiente densidadvolumetrica equivalente

ρ (r) = qδ (r)− p · ∇δ (r) + 1

6Q : ∇∇δ (r) + . . . (11.7)

que en componentes se escribe como

ρ (r) = qδ (r)− pi∂iδ (r) +1

6Qij∂i∂jδ (r) + . . . (11.8)

lo cual se deja como ejercicio al lector.

11.2. Multipolos esfericos

El potencial para una distribucion localizada de cargas en terminos de armonicos esfericos viene dado por la Ec.(9.10)

φ (r) = 4πKc

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

r′2dr′ dΩ′

si tomamos r > r′ como en la expansion cartesiana, tenemos que r = r>, r′ = r<

φ (r) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)lr′2dr′ dΩ′ ; r > r′

de nuevo, la integral depende solo de la distribucion de cargas, y no del punto de evaluacion del potencial, con locual podemos absorber este termino en un coeficiente.

φ (r) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1qlm (11.9)

donde hemos definido los multipolos esfericos como

qlm ≡∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ (11.10)

una propiedad importante es que

ql,−m =

∫ρ(r′)Y ∗l,−m

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ = (−1)m

∫ρ(r′)Ylm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′

ql,−m = (−1)m q∗lm (11.11)

Como ya vimos antes, los multipolos dependen fuertemente de la escogencia del origen de coordenadas. Imaginemosque los multipolos qlm son nulos para todo l < l0, de modo que l0 es el menor valor de l para el cual los multipolosesfericos son no nulos. Puede demostrarse que


Theorem 11 Si los multipolos qlm son nulos para todo l < l0, pero los multipolos con l = l0 no son nulos, entonceslos 2l0 + 1 multipolos ql0m son independientes del origen de coordenadas. Sin embargo los multipolos de ordenmas alto (l > l0), dependen en general del origen.

Exercise 12 Veamos la manera en que transforma el momento dipolar cuando se hace un cambio de origen. Paraello escribamos el momento dipolar enfatizando en el origen de coordenadas utilizado

pA =

∫rAρA (rA) d

3rA

sea r0 el vector posicion del nuevo origen B con respecto al antiguo origen A. Llamando rB a las nuevas coordenadasde posicion con respecto a B, se tiene que rB = rA − r0 y el momento dipolar visto por B es

pB =

∫rBρB (rB) d

3rB =

∫(rA − r0) ρB (rB) d

3 (rA − r0) =

∫(rA − r0) ρB (rB) d

3rA

Adicionalmente, para un valor fijo de rA se tiene que ρA (rA) = ρB (rB) ya que lo que estamos midiendo es la densidadde la misma distribucion en el mismo punto del espacio, vista por diferentes sistemas de referencia en reposo relativo.Por tanto

pB =

∫(rA − r0) ρA (rA) d

3rA =

∫rAρA (rA) d

3rA − r0

∫ρA (rA) d

3rA

pB = pA − r0Q

esto nos da la manera en que el dipolo de la distribucion transforma cuando cambiamos el origen. En particular sila carga neta de la distribucion se anula nos queda que pB = pA; de modo que cuando el monopolo es nulo, el dipoloes independiente del origen, lo cual es un caso particular del teorema 11.

11.3. Relacion entre los multipolos cartesianos y esfericos

Para encontrar la relacion entre multipolos cartesianos y esfericos tendremos en cuenta que en coordenada esfericas

x′ = r′ sin θ′ cosϕ′ ; y′ = r′ sin θ′ sinϕ′ ; z′ = r′ cos θ′

se cumplen las siguientes relaciones entre la forma polar y cartesiana de los numeros complejos

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ

x′ ± iy′ = r′ sin θ′ cosϕ′ ± ir′ sin θ′ sinϕ′ = r′ sin θ′(cosϕ′ ± i sinϕ′)

x′ ± iy′ = r′ sin θ′e±iϕ′

;(x′ ± iy′

)2= r′2 sin2 θ′e±2iϕ′

y teniendo en cuenta la forma explıcita de los primeros armonicos esfericos, resulta

r′Y ∗11

(θ′, ϕ′) = −

√3

8πr′ sin θ′e−iϕ

′

= −√

3

8π

(x′ − iy′

)

r′2Y ∗22

(θ′, ϕ′) =

1

4

√15

2πr′2 sin2 θ′e−2iϕ′

=1

4

√15

2π

(x′ − iy′

)2

r′Y ∗10

(θ′, ϕ′) =

√3

4πr′ cos θ′ =

√3

4πz′ ; r′2Y ∗

20

(θ′, ϕ′) = 1

2

√5

4πr′2(3 cos2 θ − 1

)=

1

2

√5

4π

(3z′2 − r′2

)

r′2Y ∗21

(θ′, ϕ′) = −

√15

8π

(r′ cos θ′

) (r′ sin θ′e−iϕ

)= −

√15

8πz′(x′ − iy′

)(11.12)

De la definicion (11.10) de los multipolos esfericos

qlm ≡∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ (11.13)

11.3. RELACION ENTRE LOS MULTIPOLOS CARTESIANOS Y ESFERICOS 165

y utilizando las relaciones (11.12) se obtiene

q00 =

∫ρ(r′)Y ∗00

(θ′, ϕ′) (r′

)0dV ′ =

1√4π

∫ρ(r′)dV ′ =

q√4π

q11 =

∫ρ(r′)r′Y ∗

11

(θ′, ϕ′) dV ′ = −

√3

8π

∫ (x′ − iy′

)ρ(r′)dV ′ = −

√3

8π(px − ipy)

q10 =

∫ρ(r′)r′Y ∗

10

(θ′, ϕ′) dV ′ =

√3

4π

∫z′ρ(r′)dV ′ =

√3

4πpz

q22 ≡∫ρ(r′)r′2Y ∗

22

(θ′, ϕ′) dV ′ =

1

4

√15

2π

∫ (x′ − iy′

)2ρ(r′)dV ′ =

1

4

√15

2π

∫ (x′1 − ix′2

)2ρ(r′)dV ′

donde hemos renumerado x′, y′, z′ → x′1, x′2, x

′3

q22 =1

12

√15

2π

∫ (3x′1x

′1 − 6ix′1x

′2 − 3x′2x

′2

)ρ(r′)dV ′

=1

12

√15

2π

∫ (3x′1x

′1 − r′2 − 6ix′1x

′2 + 2r′2δ12 − 3x′2x

′2 + r′2

)ρ(r′)dV ′

=1

12

√15

2π

∫ (3x′1x

′1 − r′2δ11

)− 2i

(3x′1x

′2 − r′2δ12

)−(3x′2x

′2 − r′2δ22

)ρ(r′)dV ′

q22 =1

12

√15

2π(Q11 − 2iQ12 −Q22)

q20 =

∫ρ(r′)r′2Y ∗

20

(θ′, ϕ′) dV ′ =

1

2

√5

4π

∫ (3z′2 − r′2

)ρ(r′)dV ′

=1

2

√5

4π

∫ (3x′3x

′3 − r′2δ33

)ρ(r′)dV ′ =

1

2

√5

4πQ33

q21 =

∫ρ(r′)r′2Y ∗

21

(θ′, ϕ′) dV ′ = −

√15

8π

∫z′(x′ − iy′

)ρ(r′)dV ′ = −

√15

8π

∫ (x′1x

′3 − ix′2x

′3

)ρ(r′)dV ′

= −1

3

√15

8π

∫ (3x′1x

′3 − r′2δ13

)− i(3x′2x

′3 − r′2δ23

)ρ(r′)dV ′ = −1

3

√15

8π(Q13 − iQ23)

los restantes multipolos esfericos se obtienen de la propiedad (11.11), en resumen se obtuvo

q00 =q√4π

; q10 =

√3

4πpz ; q11 = −q∗1,−1 = −

√3

8π(px − ipy)

q20 =1

2

√5

4πQ33 ; q21 = −q∗2,−1 = −1

3

√15

8π(Q13 − iQ23)

q22 = q∗2,−2 =1

12

√15

2π(Q11 − 2iQ12 −Q22) (11.14)

Las Ecs. (11.14), muestran la relacion que hay entre los multipolos esfericos y los cartesianos.En la expansion multipolar en armonicos esfericos, las funciones en base a las cuales se hizo la expansion son

ortogonales en l y en m. De modo que los coeficientes qlm son independientes para cada valor de l y m. A cada valorde l, le corresponden 2l+1 multipolos. En contraste, la expansion en serie de Taylor no nos da terminos ortogonalesentre sı, de modo que no conforma una base, por tanto los coeficientes (multipolos cartesianos) no tienen porque ser

independientes2. Hay (l+1)(l+2)2 multipolos cartesianos de orden l, pero solo 2l+1 son independientes. Por ejemplo, el

cuadrupolo esferico (l = 2) tiene 5 componentes (todas independientes), en tanto que el cuadrupolo cartesiano posee9. Sin embargo, el hecho de que el tensor cartesiano es simetrico y de traza nula hace que solo tenga 5 componentesindependientes.

El octupolo esferico (l = 3) tiene 7 componentes; el cartesiano tiene 10, pero dado que es un tensor de tres ındicespuede ser construıdo de modo que ademas de ser completamente antisimetrico, tenga “trazas” nulas (

∑πiij = 0,

j = 1, 2, 3) lo que reduce el numero de componentes independientes a 7.

2Esto se puede ver tambien por el comportamiento de los tensores multipolares ante rotaciones. Los tensores cartesianos son reduciblesen tanto que los esfericos son irreducibles.


11.4. Ilustracion de los terminos monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc.

Asumiendo una carga puntual q ubicada en el origen, el potencial es de la forma Kcq/r y se comporta como elprimer termino de la Ec. (11.4), razon por la cual se conoce este termino como monopolo.

Ahora tomemos por ejemplo un sistema de dos cargas puntuales q, −q a una cierta distancia d. Por simplicidadse pueden colocar las dos cargas en posiciones equidistantes al origen ± (d/2) z. Si d << r siendo r la distancia desdeel origen al punto de evaluacion del potencial, es razonable hacer una expansion hasta primer orden en d/r, y elpotencial queda

V (r) ≃ Kcqd cos θ

r2= Kc

p · rr3

= Kcp · rr2

; p ≡ qd

donde d es un vector que va desde la carga negativa hacia la positiva y θ es el angulo entre r y d. El potencial secomporta como 1/r2 de forma identica al termino que llamamos dipolo en la Ec. (11.4). El potencial generado porun dipolo decrece mas rapidamente que el asociado a una carga puntual, lo cual era de esperarse debido al efecto deapantallamiento de las cargas. Similarmente si colocamos cuatro cargas ±q y ∓q en los vertices de un cuadrado detal forma que las cargas iguales estan diagonalmente opuestas, podemos ver que el potencial lejano se comporta como1/r3 es decir disminuye mas rapido que en el dipolo3. Este comportamiento es el que corresponde a un cuadrupolo,tercer termino en la expansion (11.4).

Finalmente, examinaremos una configuracion de 4 cargas q y 4 cargas −q, ubicadas en los vertices de un cubo detal manera que dos vertices conectados por una diagonal principal tienen cargas opuestas, y los vertices que conectanlas diagonales de una cara son del mismo signo. Esto implica colocar dos cuadrupolos en contraposicion, se puedever que el potencial decrece como 1/r4 y el termino se denomina octupolo, serıa el siguiente termino (no indicado)en la expansion (11.4).

Es necesario aclarar sin embargo que en cada uno de estos sistemas realmente contribuyen todos los multipolosde mas alto orden (en la carga puntual otros multipolos contribuyen si la colocamos fuera del origen), lo unico quepodemos afirmar es que el multipolo no nulo de menor orden en cada caso son el monopolo, dipolo, cuadrupolo, etc. Deacuerdo con el teorema descrito en la seccion anterior, el monopolo, dipolo, cuadrupolo, y octupolo son independientesdel origen para las configuraciones aquı descritas de una, dos, tres, cuatro y ocho cargas respectivamente.

Bajo ciertos casos lımite podemos construır a partir de las configuraciones reales, ciertos multipolos puros. Esdecir multipolos en los cuales no hay contribuciones ni de menor ni de mayor orden multipolar, de modo que solocontribuye un orden multipolar especıfico. Por ejemplo la carga ubicada en el origen es un monopolo puro (d → 0siendo d la distancia al origen), el sistema de dos cargas ±q, forma un dipolo puro en el lımite r → ∞, o en el lımiteq → ∞, d → 0 con qd = cte siendo q la magnitud de las cargas y d la separacion entre estas4. En tal caso, solo eltermino dipolar contribuye al potencial. De forma analoga, un cuadrupolo puro se obtiene colocando dos dipolos py −p a una distancia d y haciendo d → 0 de tal forma que p d = cte en este caso el cuadrupolo es el unico quecontribuye.

11.5. Promedio volumetrico del campo electrico

A continuacion examinaremos una importante propiedad del campo electrico debido a una distribucion de cargalocalizada. Haremos la integral de volumen del campo generado por la distribucion evaluada en el interior de unaesfera de radio R, tomando el origen en el centro de la esfera

∫

r<RE (r) dV = −

∫

r<R∇φ (r) dV

es posible demostrar (ver apendice C) que esta integral viene dada por

∫

r<RE (r) dV = −4πKcR

2

3

∫r<r2>

n′ρ(r′)dV ′ ; n′ ≡ r′

r′(11.15)

3Dado que este sistema se puede ver como dos dipolos en contraposicion, se puede explicar el decrecimiento mayor que el del monopoloy el del dipolo, ya que en este sistema se apantalla la carga (monopolo) y tambien se apantallan los momentos dipolares vistos por pares.

4El ultimo lımite es un sistema un tanto artificial ya que al tomar el lımite lımd→0 qd = cte, la carga debe diverger para que estacantidad sea una constante. A pesar de lo artificial de la definicion, los dipolos puros (tambien conocidos como dipolos puntuales) resultanmuy utiles en la descripcion de multiples distribuciones de cargas.

11.6. APROXIMACION DIPOLAR PARA CAMPOS CERCANOS 167

donde r< (r>) es el menor (mayor) entre R y r′. Observese que la integracion en las variables primadas se realiza entoda la region en donde hay carga, sin importar si esta region es interior o exterior a la esfera. La expresion (11.15),es valida para cualquier tamano y ubicacion de la esfera, siempre que coloquemos el origen en el centro de esta. Enparticular, tomemos el caso en el cual la esfera encierra toda la carga de la distribucion. En tal caso, R = r>, r

′ = r<en (11.15) de lo cual se obtiene

∫


2

3R2

∫r′r′

r′ρ(r′)dV ′

∫

r<RE (r) dV = −4πKc

3p (11.16)

donde p es el momento dipolar de la distribucion tomando el origen en el centro de la esfera. Observese que elresultado es independiente del tamano de la esfera siempre y cuando encierre toda la carga y el origen se tome enel centro de la esfera. Tambien es notable el hecho de que esta igualdad es exacta, ya que no hemos tomado ninguntipo de aproximacion para el calculo de E (r) (no estamos tomando por ejemplo aproximacion dipolar).

Tomemos un segundo caso particular en el cual la esfera no encierra a ningun elemento de carga de la distribucion,tomando el origen de nuevo en el centro de la esfera. En tal caso R = r<, r

′ = r> y la expresion (11.15) queda:

∫


3

3

∫1

r′2n′ρ(r′)dV ′ =

4πR3

3

[Kc

∫ −n′

r′2ρ(r′)dV ′

]

el termino entre parentesis se reconoce como el campo electrico debido a la distribucion de cargas evaluado en elcentro de la esfera5

∫

r<RE (r) dV =

4πR3

3E (0) ⇒

1

Vesf

∫

r<RE (r) dV = E (0) (11.17)

lo cual nos indica que el valor promedio del campo electrico tomado sobre el volumen de la esfera es igual al valordel campo evaluado en el centro de la misma. Este resultado es independiente del tamano y ubicacion de la esferasiempre que esta no contenga carga6.

11.6. Aproximacion dipolar para campos cercanos

El campo electrico debido a un termino multipolar se puede calcular facilmente tomando el gradiente del corres-pondiente termino en el potencial (11.4). Tomemos el termino dipolar de esta ecuacion de lo cual se obtiene

Edip (r) = −∇φdip (r) = −∇[Kc

p · rr3

]

el campo generado por el dipolo es entonces (ver apendice C)

Edip (r) =3Kcn (p · n)− p

|r− r0|3; n ≡ r− r0

|r− r0|(11.18)

donde r es el punto donde se evalua el potencial, y r0 el punto donde se ubica el momento dipolar (ya que estamosasumiendo dipolo puntual). Notese que n va en la direccion que une al dipolo puntual con el punto de evaluacion delcampo. De la Ec. (11.18), se ve que el campo electrico dipolar no es en general central, ya que es una combinacionlineal de n y p. Ası mismo, la magnitud del campo tambien depende del angulo entre p y n. La naturaleza no centraldel campo electrico tiene que ver con el hecho de que ademas del vector relativo entre la posicion del dipolo y el punto

5La contribucion al campo electrico en el origen debida a un elemento de carga dq = ρ (r′) dV ′ ubicado en la posicion r′ va en ladireccion − [ρ (r′) dV ′]n′ ya que en este caso la fuente esta en r′ y el punto de evaluacion en r = 0.

6Observese la analogıa de este resultado con el que se obtiene para el potencial cuando no hay carga dentro de la esfera (ver seccion3.1), salvo que en el caso del potencial el promedio se toma sobre la superficie y no sobre el volumen. Por otro lado, de los resultadosaquı expresados se ve que el promedio del campo sobre el volumen de la esfera vienen dado por −Kcp/R

3 en el caso en el cual la esferacontiene a toda la carga de la distribucion.


de evaluacion del campo, existe otro vector asociado al sistema: el momento dipolar p. En virtud de esta discusion,podemos ver al dipolo de manera efectiva como una “carga vectorial” de magnitud ‖p‖ y direccion p. Finalmente,puede verse que en el caso en el cual p y n son paralelos, el campo es central de nuevo, ya que solo n serıa unadireccion privilegiada para el sistema.

Por otro lado asumiendo aproximacion dipolar del campo Ec. (11.18) y realizando la integral sobre una esferaque contiene al dipolo, vemos que no se reproduce la Ec. (11.16), esto ocurre debido a una serie de aspectos

La aproximacion dipolar y en general la expansion multipolar requiere que r > r′ para garantizar la convergenciade la serie. Sin embargo, en este caso al evaluar la integral de volumen descrita arriba, estamos tomando puntoscercanos en donde la serie multipolar no necesariamente converge.

En particular en el punto donde esta ubicado el dipolo r0, la integral diverge en su componente radial. Se puedever en general que la integracion angular se anula en tanto que la radial diverge.

La expresion (11.16) es valida para el campo exacto y no para la aproximacion dipolar del campo.

Es notable sin embargo que podemos hacer compatibles las integrales de volumen agregando un termino a laaproximacion dipolar (11.18) de la siguiente forma

E (r) = Kc

[3n (p · n)− p

|r− r0|3− 4π

3pδ (r− r0)

](11.19)

Con este termino la integral de volumen del campo en (11.19) coincide con el valor obtenido en (11.16). Unprocedimiento interesante para encontrar el termino adicional se puede ver en [13] problema 3.42. Observese que ladelta de Dirac no contribuye en regiones de campo lejano de modo que no altera la contribucion dipolar para r > r′,indicando que la expresion (11.18) es adecuada en el regimen de campo lejano como esperabamos. Para analizarla utilidad de (11.19), podemos ver que la integral (11.16) fue realizada sobre una distribucion real de cargas entanto que la integral de volumen realizada con (11.19) se hace en principio sobre un dipolo puntual. El hecho deque ambas integrales coincidan no indica que ambos campos sean iguales en cada punto, pero sı significa que suspromedios coinciden en un cierto volumen. Con frecuencia cuando tomamos campos en la materia debemos realizarlos calculos basados en promedios macroscopicos, para cuyos efectos el campo real se puede emular muy bien a travesde (11.19) puesto que ambos reproducen el mismo promedio. Observese en particular que en este caso estamos usandola aproximacion dipolar en un regimen muy cercano a la distribucion, para el cual la expansion multipolar originalqueda fuera de rango. El primer termino en (11.19) es la contribucion de un dipolo puntual, en tanto que el segundoes un termino efectivo que nos da cuenta de los efectos adicionales producidos por la distribucion real de cargas.Como veremos mas adelante, los momentos dipolares magneticos admiten un tratamiento similar.

11.7. Multipolos de carga puntual

Evaluaremos los multipolos cartesianos y esfpericos de algunas distribuciones discretas de carga.

11.7.1. Multipolos cartesianos para carga puntual

Evaluaremos los multipolos cartesianos para una carga puntual ubicada en z = a. Comenzamos escribiendo ladensidad volumetrica equivalente en coordenadas cartesianas

ρ(r′)= qδ

(x′)δ(y′)δ(z′ − a

)

El monopolo y el dipolo vendran dados por

q =

∫ρ(r′)dV ′

p =

∫ρ(r′)r′dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (x′ux + y′uy + z′uz

)dx′ dy′ dz′

p = qauz

11.7. MULTIPOLOS DE CARGA PUNTUAL 169

en tanto que el cuadrupolo se evalua en la forma

Q =

∫ρ(r′) [

3r′r′ − r′2I]dV ′ ; Qij =

∫ρ(r′) [

3x′ix′j − r′2δij

]dV ′

x′1 ≡ x′ ; x′2 ≡ y′ ;x′3 ≡ z′

Qxx =

∫ρ(r′) [

3x′x′ − r′2δ11]dV ′

Qxx = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [3x′2 −

(x′2 + y′2 + z′2

)]dx′dy′dz′

Qxx = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2x′2 − y′2 − z′2

]dx′dy′dz′

Qxx = −a2q

Qyy = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2y′2 − x′2 − z′2

]dx′dy′dz′ = −a2q

Qzz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [2z′2 − x′2 − y′2

]dx′dy′dz′ = 2a2q

Qxy = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) [3x′y′ − r′2δ12

]dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′y′

)dV ′ = 0

Qxz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′z′ − r′2δ13

)dV ′ = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3x′z′

)dV ′ = 0

Qyz = q

∫δ(x′)δ(y′)δ(z′ − a

) (3y′z′

)dV ′ = 0

11.7.2. Multipolos esfericos de carga puntual

Para evaluar los multipolos esfericos de la misma carga puntual q ubicada en (0, 0, a), escribimos la densidadvolumetrica equivalente en coordenadas esfericas

ρ(r′)=

q

2πa2δ(r′ − a

)δ(cos θ′ − 1

)

y utilizamos la expresion (11.10)

qlm =

∫ρ(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′ =

q

2πa2

∫δ(r′ − a

)δ(cos θ′ − 1

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)lr′2 dr′ sin θ′dθ′dϕ′

qlm =qal+2

2πa2

∫δ(cos θ′ − 1

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) sin θ′dθ′dϕ′ =

qal

2π

∫Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′

apelando a la definicion (4.70) de Y ∗lm (θ′, ϕ′), y evaluando en θ′ = 0 se obtiene

qlm =qal

2π

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1)

∫ 2π

0eimϕ

qlm =qal

2π

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1) (2πδmo) = qalδmo

√2l + 1

4πP 0l (1) =

(qal√

2l + 1

4π

)δmo

si a = 0 solo q00 existe (o solo el monopolo cartesiano). Efectivamente, para carga puntual en el origen solo contribuyeel monopolo. Para la carga en posicion (0, 0, a), los multipolos con m 6= 0 se anulan lo cual es logico por la simetrıaazimutal (que por supuesto depende de que la carga se ubique sobre el eje Z).

De un modo similar se puede demostrar que para un par de cargas puntuales q, −q situadas en r0 y r1 respecti-vamente, sus momentos multipolares se pueden escribir como

qlm = q[rl0Y

∗lm (θ0, φ0)− rl1Y

∗lm (θ1, φ1)

]


en este caso el momento monopolar se anula y los momentos dipolares (l = 1) quedan

q10 =

√3

4πq (z0 − z1) ; q11 = −

√3

8πq [(x0 − x1)− i (y0 − y1)]

q1,−1 = −q∗11estos tres momentos dipolares son independientes de la eleccion del origen de coordenadas (aunque sı dependen dela posicion relativa entre las cargas), y son los momentos multipolares no nulos con l mas bajo, es decir cumplen elteorema discutido en la seccion 11.2.

Para el caso de una sola carga puntual, el momento monopolar es el multipolo no nulo con l mas bajo (l = 0) yefectivamente es el unico que es independiente del origen.

11.7.3. Multipolos esfericos de tres cargas puntuales

Sean dos cargas −q ubicadas en z = ±a, y una carga 2q ubicada en el origen. La densidad volumetrica de cargaen coordenadas esfericas es

ρ(r′)= q

[−δ (r

′ − a) δ (cos θ′ − 1)

2πa2− δ (r′ − a) δ (cos θ′ + 1)

2πa2+

2δ (r′)4πr′2

]

y los multipolos esfericos de esta distribucion quedan

qlm = q

∫ [2δ (r′)4πr′2

− δ (r′ − a) δ (cos θ′ − 1)

2πa2− δ (r′ − a) δ (cos θ′ + 1)

2πa2

]

×Y ∗lm

(θ′, ϕ′) (r′

)ldV ′

= q

∫2δ (r′)4π

(r′)ldr′∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ − q

∫δ (r′ − a)

2πa2(r′)l+2

dr′

×∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′ − 1

)sin θ′dθ′dϕ′

−q∫δ (r′ − a)

2πa2(r′)l+2

dr′∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) δ

(cos θ′ + 1

)sin θ′dθ′dϕ′

qlm =

(2q

4πδl0

)(√4πδl0δm0

)−(qal+2

2πa2

)∫Y ∗lm

(0, ϕ′) dϕ′

−(qal+2

2πa2

)∫Y ∗lm

(π, ϕ′) dϕ′

qlm =

(2q√4π

)(δl0δm0) a

l

︸︷︷︸=δl0δm0

−(qal

2π

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (1)

∫ 2π

0e−imϕ

′

dϕ′

︸︷︷︸2πδmo

−(qal

2π

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (−1)

∫ 2π

0e−imϕ

′

dϕ′

︸︷︷︸2πδmo

qlm =

(2q√4π

)δm0

[√2l + 1 al

]δl0

︸︷︷︸=δl0

− qal√

2l + 1

4πP 0l (1) δm0 − qal

√2l + 1

4πP 0l (−1) δm0

qlm = qal√

2l + 1

4πδm0 [2δl0 − Pl (1)− Pl (−1)]

y como Pl (1) + Pl (−1) = 1 + (−1)l nos queda

qlm = 2qal√

2l + 1

4πδm0 [δl0 − δl,par]

11.8. MULTIPOLOS DE UNA ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA 171

De estos ejemplos podemos ver que una ventaja adicional de los multipolos esfericos (ademas de ser todos inde-pendientes), es que en muchos casos podemos encontrar expresiones analıticas validas para todos los multipolos decualquier orden. En multipolos cartesianos esto no es posible dado que cada multipolo es un tensor de rango diferente.

11.8. Multipolos de una esfera uniformemente cargada

Sea una esfera uniformemente cargada de radioR0, ubicada en el origen de coordenadas. Calculemos sus multipolosesfericos

qlm = ρ

∫

Ω′

∫ R0

0r′lY ∗

lm

(θ′, ϕ′) r′2 dr′ dΩ′ = ρ

Rl+30

l + 3

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=√4πρ

Rl+30

l + 3

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) Y00

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√4πρ

Rl+30

l + 3δl0δm0

qlm =

√4π

3ρR3

0 δl0 δm0

de modo que para una esfera uniformemente cargada centrada en el origen, solo sobrevive la contribucion monopolarq00 como era de esperarse debido a la equivalencia de su campo generado con el de una carga puntual. Por tanto, laaparicion de cualquier multipolo de mayor orden nos mide la desviacion de la distribucion de carga con respecto a lasimetrıa esferica. No obstante, al igual que con la carga puntual, todos los demas multipolos aparecen si el centro dela esfera no se ubica en el origen de coordenadas.

11.9. Esfera deformada con momento cuadrupolar

Tomemos ahora una distribucion de carga con densidad uniforme pero configurada sobre una esfera ligeramentedeformada. Modelaremos la geometrıa de esta cuasi esfera con la ecuacion

R (θ, ϕ) = R0

(1 +

2∑

m=−2

α2mY2m (θ, ϕ)

); |α2m| << 1 (11.20)

donde R es un punto de la superficie de esta cuasi esfera. Evaluemos de nuevo los multipolos esfericos

qlm = ρ

∫

Ω′

∫ R(θ′,ϕ′)

0r′lY ∗

lm

(θ′, ϕ′) r′2 dr′ dΩ′ = ρ

∫

Ω′

[∫ R(θ′,ϕ′)

0r′l+2 dr′

]Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

= ρ

∫

Ω′

[R (θ′, ϕ′)]l+3

l + 3

Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ = ρ

Rl+30

l + 3

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′)

1 +

2∑

µ=−2

α2µY2µ(θ′, ϕ′)

l+3

dΩ′

Usando la expansion (1 + x)n ≃ 1 + nx, se obtiene

qlm ∼= ρRl+3

0

l + 3

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′)

1 + (l + 3)

2∑

µ=−2

α2µY2µ(θ′, ϕ′)

dΩ′

donde esta aproximacion se justifica en virtud de que |α2µ| << 1. De nuevo podemos usar ortogonalidad de losarmonicos esfericos

qlm ∼= ρRl+3

0

l + 3

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) Y00 (θ

′, ϕ′)√4π

dΩ′ + ρRl+3

0 (l + 3)

l + 3

2∑

µ=−2

α2µ

∫Y ∗lm

(θ′, ϕ′) Y2µ

(θ′, ϕ′)

=ρ√4π

Rl+30

l + 3δl0δm0 + ρRl+3

0

2∑

µ=−2

α2µδl2δmµ ⇒

qlm ∼= ρR30

3√4πδl0δm0 + ρR5

0α2mδl2


por tanto los unicos multipolos que contribuyen, al menos en esta aproximacion son el monopolo l = 0 y el cuadrupolol = 2

q00 ∼=ρR3

0

3√4π

; q2m = ρR50 α2m

de la Ec. (11.20) se puede ver que el hecho de que el monopolo y el cuadrupolo sean las contribuciones dominantes(los otros no son estrictamente nulos cuando no se toma la aproximacion), esta relacionado con el hecho de quela geometrıa de la superficie es la suma de dos terminos, uno constante (es decir proporcional a Y00) y otro cuyacontribucion proviene de los armonicos con l = 2.

Estos resultados tienen muchas aplicaciones en Fısica nuclear, ya que la presencia de momentos multipolares nomonopolares nos indica la existencia de deformacion en los nucleos.

11.10. Expansion multipolar de la energıa potencial externa

Consideremos una distribucion localizada de cargas ρ (r) colocada en un campo externo φext (r) generado poralguna distribucion remota que no se incluye explıcitamente en el formalismo. La energıa potencial de la distribuciones

Uext =

∫ρ (r)φext (r) dV (11.21)

debemos anotar que este valor no corresponde a la energıa necesaria para ensamblar la distribucion. En realidad, seesta suponiendo que dicha distribucion ya esta armada y que se comporta como un cuerpo rıgido a fin de que suenergıa interna (energıa para ensamblarla) no sea relevante en el problema. Con el valor de Uext de la ecuacion (11.21)conocemos la energıa potencial asociada a las fuerzas externas (interaccion de las cargas con el campo externo), ycon ella podemos calcular el trabajo necesario para que la distribucion como un todo se transporte de un lugar a otrodentro del campo en el que se encuentra inmerso.

Si suponemos que φext (r) varıa suavemente en las regiones en las cuales ρ no es despreciable, podemos hacer unaexpansion de Taylor del potencial alrededor de un cierto origen r0. Por brevedad definamos x = r− r0

φext (r) = φext (r0) + x · ∇φext (r0) +1

2

∑

i

∑

j

xixj∂2φext∂xi∂xj

(r0) + . . .

por brevedad, usaremos convencion de suma sobre ındices repetidos, eliminaremos el subındice “ext” y denotaremos

xixj∂2φ

∂xi∂xj(r0) ≡ xx : ∇∇φ (r0)

= −xx : ∇E (r0) ≡ −xixj∂Ej∂xi

(r0)

Donde hemos tenido en cuenta que E = −∇φ. La notacion de dos puntos : es una extension natural de la notacionde producto punto a · b = aibi en el caso en el cual hay suma sobre dos ındices independientes. Con esta notacion,el potencial queda

φ (r) = φ (r0)− x · E (r0)−1

2xx : ∇E (r0) + . . .

Ahora debemos tener en cuenta que el potencial φ (r), corresponde al potencial debido a las fuentes remotas unica-mente. Es decir, no corresponde al potencial total generado en el punto r, el cual serıa la superposicion del potencialgenerado por las cargas remotas (cuya distribucion denotaremos por ρ (r)) y el generado por las cargas de la distri-bucion que estamos considerando (que denotaremos como ρ (r)). La razon por la cual φ (r) no es el potencial totalen el punto r, es que en la Ec. (11.21) estamos evaluando la energıa asociada a fuerzas externas al sistema ρ (r), ylas fuerzas internas han sido excluıdas de la formulacion. De la misma forma, E (r) no es el campo resultante en r,sino el campo producido exclusivamente por las cargas remotas ρ (r), por lo tanto ∇ · E (r0) = 0, siempre y cuandono haya presencia de carga remota en r0, incluso si en dicho punto hay carga ρ (r0) de la distribucion bajo estudio.Asumiendo por tanto que no hay carga remota en r0 tenemos que

∂iEi (r0) = 0 ⇒ δij∂iEj (r0) = 0 (11.22)

11.10. EXPANSION MULTIPOLAR DE LA ENERGIA POTENCIAL EXTERNA 173

o en la notacion que hemos desarrolladoI : ∇E (r0) = 0, (11.23)

multiplicando esta expresion por el escalar (r− r0)2 se obtiene

(r− r0)2I : ∇E (r0) = 0 (11.24)

adicionando este termino nulo al tercer termino en la expansion del potencial, y recordando que x ≡ r− r0 se obtiene

φ (r) = φ (r0)− (r− r0) ·E (r0)−1

6

[3 (r− r0) (r− r0)− (r− r0)

2I]: ∇E (r0) + . . .

al reemplazar en (11.21) resulta

Uext =

∫ρ (r)

φ (r0)− (r− r0) ·E (r0)−

1

6

[3 (r− r0) (r− r0)− (r− r0)

2I]: ∇E (r0) + . . .

dV

separando las integrales que solo dependen de las distribuciones, queda

Uext = qφ (r0)−[∫

ρ (r) (r− r0) dV

]·E (r0)+

−1

6

∫ρ (r)

[3 (r− r0) (r− r0)− (r− r0)

2 I]dV

: ∇E (r0) + . . . (11.25)

los cuales identificamos como los multipolos cartesianos Ecs. (11.5, 11.6)

Uext = qφ (r0)− p · E (r0)−1

6Q : ∇E (r0) + . . . (11.26)

Uext = qφ (r0)− piEi (r0)−1

6Qij∂iEj (r0) + . . . (11.27)

estos momentos multipolares son los correspondientes a la distribucion de carga ρ (r) colocada en el campo externo,y se evaluan con respecto a r0. Es importante insistir en que r0 debe estar ausente de carga remota i.e. ρ (r0) = 0,aunque puede estar presente carga de la distribucion ρ (r). De acuerdo con esta expresion los diferentes multipolosinteractuan de diferente manera con el campo externo: La carga interactua con el potencial, el dipolo con el campoE, el cuadrupolo con el gradiente del campo E, etc.

Observese que los multipolos dependen del origen pero la energıa no. Esto tiene que ver con el hecho de que elteorema de Taylor permite hacer la expansion alrededor de cualquier punto en donde la funcion sea analıtica, perola expansion completa no depende del punto elegido. No obstante, es mas conveniente elegir un punto cercano a ladistribucion de carga externa, ya que de esa manera la serie converge mas rapido7.

Como caso particular, puede verse que para φ = cte, E = 0 y solo contribuye el monopolo dando energıa potencialexterna constante como era de esperarse8. Para campo electrico uniforme contribuye hasta el dipolo, para campoelectrico con gradiente todos los multipolos en general pueden contribuır. De acuerdo con la discusion sobre laforma en que cada multipolo se acopla al campo, vemos que la expansion cuadrupolar es importante cuando tenemoscampos de alto gradiente, tal es el caso de los campos en las vecindades de un nucleo atomico, en donde los momentosmultipolares pueden revelar aspectos de la estructura nucleonica y de la forma del nucleo. En el caso de campos enla materia en el cual los campos se calculan a nivel macroscopico, la aproximacion dipolar sera usualmente suficiente.

Un caso de gran interes es el del calculo de la energıa potencial externa de un dipolo debida al campo generadopor otro dipolo, para lo cual podemos usar las Ecs. (11.26, 11.18) y se obtiene9

U =p1 · p2 − 3 (n · p1) (n · p2)

|r1 − r2|3; n ≡ r1 − r2

|r1 − r2|(11.28)

7Estrictamente, al truncar la serie estamos haciendo que la energıa dependa del origen elegido, se espera que esta dependencia sea suavesi los terminos convergen rapidamente.

8Cuando transportamos a la distribucion ρ (r) como un todo desde una configuracion inicial a una final, el trabajo realizado es elcambio en la energıa potencial externa. Cuando E = 0, la energıa potencial externa es uniforme, indicando que no se hace ningun trabajoal mover a la distribucion de un lugar a otro.

9Si utilizamos la expresion (11.19) en lugar de (11.18) se obtiene la energıa potencial efectiva

U =p1 · p2 − 3 (n · p1) (n · p2)

|r1 − r2|3

+4π

3p1 · p2 δ (r1 − r2)


donde se asume que r1 6= r2. Esta energıa tambien se puede interpretar como la energıa potencial interna del sistemade los dos dipolos, es decir su energıa de interaccion. La interaccion entre dipolos es repulsiva o atractiva dependiendode la orientacion relativa de los dipolos. Cuando la orientacion y separacion de los dipolos esta fija, el valor de estainteraccion promediado sobre las posiciones relativas es nulo. Si los momentos dipolares son paralelos la fuerza esatractiva (repulsiva) cuando dichos momentos estan orientados de tal forma que la lınea que une sus centros esparalela (perpendicular) a los momentos dipolares. Efectivamente, sin los momentos dipolares son paralelos entre sıy a su vez paralelos al vector relativo unitario n, la energıa interna que se obtiene es

U =(|p1| n) · (|p2| n)− 3 [n · (|p1| n)] (n · |p2| n)

|r1 − r2|3= −2 |p1| |p2|

|r1 − r2|3< 0

que corresponde a interaccion atractiva. Similarmente, si ambos momentos dipolares van en una direccion n1 per-pendicular a n esta energıa es positiva, como corresponde a una interaccion repulsiva

U =(|p1| n1) · (|p2| n1)− 3 [n · (|p1| n1)] (n · |p2| n1)

|r1 − r2|3=

|p1| |p2||r1 − r2|3

> 0

Se deja al lector verificar lo que ocurre cuando los momentos dipolares son antiparalelos entre sı y uno de ellos esparalelo (perpendicular) a n.

Dado que con frecuencia se puede asumir aproximacion dipolar en las distribuciones de carga presentes en lamateria, la interaccion entre dipolos se puede ver como una interaccion efectiva entre porciones diferentes de distri-buciones, en particular cuando el tamano de las porciones que definen el multipolo es mucho menor que la distanciaentre dichas porciones, ya que en este caso estarıamos evaluando campo lejano10.

Finalmente, reemplazando (11.9) en (11.21), podemos calcular la energıa potencial externa en terminos de mul-tipolos esfericos

Uext =

∫ρ (r)

[ ∞∑

l=0

l∑

m=−l

4πKc

2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1qlm

]dV

Sin embargo, de aquı no se puede ver facilmente la forma caracterıstica en que cada multipolo interactua con elcampo externo, esto se debe a que aquı no se realiza una expansion de Taylor que nos muestre las sucesivas derivadasdel potencial en forma explıcita.

Example 13 Para dipolo Fısico en campo externo, la energıa potencial externa se puede calcular en forma directa.Asumiendo que las cargas −q, q estan en las posiciones r0, r1 respectivamente tenemos que la carga volumetricaequivalente es

ρ (r) = q [−δ (r− r0) + δ (r− r1)] (11.29)

reemplazando esta densidad en (11.21) se obtiene

Uext = −qφ (r0) + qφ (r1) (11.30)

esta expresion es exacta. Cuando los vectores posicion de ambas cargas estan muy proximos entre sı podemos haceruna expansion a primer orden en ∆r ≡ r1 − r0 para obtener

Uext ≃ −qφ (r0) + q [φ (r0) + ∆r·∇φ (r0) + . . .]

Uext ≃ q ∆r·∇φ (r0) = −q ∆r ·E (r0)

el dipolo puntual se obtiene haciendo ∆r → 0 con q ∆r = p = cte con lo cual la energıa externa para configuracionde dipolo puntual se escribe

Uext = −p ·E (r0) (11.31)

10Notese que esta suposicion es cierta en una gran variedad de materiales, ya que por lo general las distancias entre atomos o moleculasson mucho mayores que los tamanos tıpicos de los atomos o moleculas.

11.10. EXPANSION MULTIPOLAR DE LA ENERGIA POTENCIAL EXTERNA 175

Por otro lado, podemos calcular esta energıa (en forma aproximada) por medio de la expansion multipolar Ecs. (11.25,11.26) y la densidad (11.29) con respecto a r0 se tiene

Uext = qtotal φ (r0)−[∫

ρ (r) (r− r0) dV

]·E (r0) + . . .

Uext = −q

∫[−δ (r− r0) + δ (r− r1)] (r− r0) dV

·E (r0) + . . .

Uext = −q (r1−r0) ·E (r0) + . . .

en el lımite (r1−r0) → 0, con q (r1−r0) = cte ≡ p, se obtiene de nuevo la energıa externa para el dipolo puntualEc. (11.31). Naturalmente, en el lımite de dipolo puntual la expresion (11.31) se considera exacta. Notese que laexpansion se ha hecho tomando como origen a r0 punto en el cual hay una carga puntual localizada, sin embargorecordemos que esta carga pertenece a la distribucion bajo estudio ρ (r) y no a la distribucion remota ρ (r), por locual el campo E (r0) es bien comportado pues este se debe solo a ρ (r).

Example 14 Calcular la energıa potencial externa de la distribucion de tres cargas (q,−2q, q) alineadas sobre el ejeX e inmersas en el campo generado por una carga Q. La carga −2q esta en el origen y las cargas q estan en (±a, 0, 0),finalmente la carga Q esta en (0, 0,−R). El potencial y los multipolos se expandiran alrededor de O′ el punto dondese ubica la carga −2q, el cual sera nuestro origen. La densidad volumetrica de la distribucion bajo estudio (q, q,−2q)es

ρ (r) = q δ (y) δ (z) [−2δ (x) + δ (x− a) + δ (x+ a)]

en tanto que la distribucion de carga remota se describe por

ρ(r′)= Q δ (x) δ (y) δ (z +R)

es necesario tener claro que calculos requieren la distribucion bajo estudio ρ (r) y que calculos requieren la distribucionremota ρ (r′) que genera el campo. Primero calculamos los multipolos para lo cual se requiere la distribucion ρ (r)

qtotal = q + q − 2q = 0 ; p =qaux − qaux + (0) · 2qux = 0

Q11 =

∫ρ (r)

[3xx−

(x2 + y2 + z2

)δ11]dV

Q11 =

∫[−2qδ (x) δ (y) δ (z) + qδ (x− a) δ (y) δ (z) + qδ (x+ a) δ (y) δ (z)]

×[3x2 −

(x2 + y2 + z2

)]dV

Q11 =

∫[qδ (x− a) δ (y) δ (z) + qδ (x+ a) δ (y) δ (z)]

[2x2 − y2 − z2

]dV

Q11 = 2qa2 + 2qa2 = 4qa2

similarmente

Q22 = Q33 = −2qa2; Q12 = Q23 = Q31 = 0

en forma sintetica se puede escribir

Qij = 2qa2δij [3δi1 − 1] (11.32)

no hay suma sobre ındices repetidos. Por otro lado, la expansion multipolar requiere tambien el campo electricogenerado unicamente por la distribucion remota, quedando

E (r) = Kc

∫ρ (r′) (r− r′)

|r− r′|3dV ′ = KcQ

∫δ (x′) δ (y′) δ (z′ +R) (x− x′, y − y′, z − z′)[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

]3/2 dx′ dy′ dz′

E (r) = KcQ(x, y, z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2


y como el cuadrupolo es el primer multipolo que contribuye, tambien debemos calcular el gradiente del campo electrico

∂Ex∂x

= KcQ∂

∂x

x[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2x[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2x

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

esta derivada se debe evaluar en el origen elegido

∂Ex∂x

∣∣∣∣x=y=z=0

= KcQR3

R6=KcQ

R3

y similarmente con las otras derivadas

∂Ex∂y

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂y

x[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

−32x[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2y

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

= 0

∂Ex∂z

= 0

∂Ey∂x

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂x

y[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= 0

∂Ey∂z

∣∣∣∣r=0

= 0

∂Ey∂y

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂y

y[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2y[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2· 2y

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

∂Ey∂y

∣∣∣∣r=0

=KcQ

R3

∂Ez∂x

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂x

z +R[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

= KcQ

−32 · 2x

[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2(z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

= 0

∂Ez∂y

∣∣∣∣r=0

= 0

11.11. EXPANSION MULTIPOLAR DE LA FUERZA 177

∂Ez∂z

∣∣∣∣r=0

= KcQ∂

∂z

z +R[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2

r=0

= KcQ

[x2 + y2 + (z +R)2

]3/2− 3

2 · 2 (z +R)[x2 + y2 + (z +R)2

]1/2(z +R)

[x2 + y2 + (z +R)2

]3

r=0

∂Ez∂z

∣∣∣∣r=0

= KcQ

R3 − 3R3

R6

= −2KcQ

R3

en forma sintetica se puede escribir

[∇E (0)]ij =∂Ei∂xj

(0) =KcQ

R3δij [1− 3δi3] (11.33)

no hay suma sobre ındices repetidos, vemos por tanto que el cuadrupolo es en este caso, el primer multipolo no nuloen la expansion. Reemplazando (11.32) y (11.33) en (11.27) y teniendo en cuenta que en (11.27) sı hay suma sobreındices repetidos, solo los elementos diagonales sobreviven de modo que

Uext = −1

6Qij∂iEj (r0) + . . . = −1

6Qii∂iEi + . . .

Uext = −1

6Q11∂1E1 +Q22∂2E2 +Q33∂3E3+ . . .

Uext = −1

6

(4qa2

)(KcQ

R3

)+(−2qa2

)(KcQ

R3

)+(−2qa2

)(−2

KcQ

R3

)

Uext = −(KcQqa

2

R3

)

haciendo el calculo de la energıa potencial externa de modo directo, se calculan los acoples de las tres cargas externascon la carga remota

Uext =KcQq√R2 + a2

+KcQq√R2 + a2

− 2KcqQ

R= −2KcqQ

R+

2KcqQ

R√

1 +(aR

)2

∼= −2KcqQ

R

[1− 1 +

1

2

a2

R2+ . . .

]⇒

Uext = −Kcqa2Q

R3+ . . .

vemos en consecuencia que la aproximacion de cuadrupolo puntual, coincide con el metodo directo cuando expandimoshasta orden (a/R)2. Visto desde el punto de vista de los multipolos esfericos, el cuadrupolo (l = 2) corresponde en esteejemplo al multipolo no nulo con l mas bajo y se puede observar que efectivamente es independiente del origen. Unaimagen interesante consiste en ver la carga −2q como dos cargas −q y −q muy cercanas entre sı. Esto nos permitever al sistema de tres partıculas como dos dipolos alineados antiparalelamente con lo cual los momentos dipolares seanulan como se ve en el calculo. Por otro lado, la expansion de Taylor que se hace a partir de la expresion exacta deUext, nos muestra que la aproximacion cuadrupolar solo es razonable si a << R, es decir que para que la aproximaciontenga sentido, es necesario que las fuentes que llamamos remotas sean verdaderamente remotas.

11.11. Expansion multipolar de la fuerza

Sea una distribucion de carga ρ (r) colocada en un campo externo. Suponemos que las fuentes de campo externopermanecen fijas. La fuerza experimentada por la distribucion es

Fext =

∫dq (r) E (r) =

∫ρ (r)E (r) dV (11.34)


siendo E (r) el campo electrico debido solo a las fuentes remotas, es decir no es el campo resultante sobre r. Recurrimosentonces a la expansion de Taylor del campo electrico externo, usamos la notacion x ≡ r− r0, y suma sobre ındicesrepetidos

Ei (r) = Ei (r0) + xj∂jEi (r0) +1

2xjxk

∂Ei (r0)

∂xj∂xk+ . . .

en notacion tensorial

E (r) = E (r0) + (r− r0) · ∇E (r0) +1

2(r− r0) (r− r0) : ∇∇E (r0) + . . .

donde las contracciones se hacen con respecto a las componentes del gradiente y no con respecto a las componentesdel campo. Tomando esta expansion en la expresion de la fuerza

F =

[∫ρ (r) dV

]E (r0) +

[∫ρ (r) (r− r0) dV

]· ∇E (r0)+

+

[∫ρ (r) (r− r0) (r− r0) dV

]:∇∇E (r0)

2+ . . .

En regiones donde no hay carga remota se tiene que ∇2φ (r) = 0, incluso si hay presencia de la carga bajo estudio.De modo que

∇2φ = 0 ⇒ ∂i∂iφ = 0 ⇒ −∂k (∂i∂iφ) = 0 ⇒ −∂i∂i (∂kφ) = 0

⇒ δij∂i∂j (Ek) = 0 ⇒ xmxmδij∂i∂j (Ek) = 0

en notacion diadica esto se escribe como

(r− r0)2 I : ∇∇E (r0) = 0, (11.35)

este termino nulo puede incluırse en la ultima integral con el fin de completar el cuadrupolo, de lo cual se obtiene

F =

[∫ρ (r) dV

]E (r0) +

[∫ρ (r) (r− r0) dV

]· ∇E (r0)

+

∫ρ (r)

[3 (r− r0) (r− r0)− (r− r0)

2 I]dV

:∇∇E (r0)

6+ . . .

la expansion multipolar de la fuerza queda finalmente

F = qE (r0) + p (r0) · ∇E (r0) +1

6Q (r0) : ∇∇E (r0) + . . . (11.36)

vamos a reescribir el termino p (r0) · ∇E (r0). La componente k−esima de este termino es pi∂iEk. Por otro lado,examinando componente a componente la ecuacion ∇×E = 0, valida para el campo electrostatico podemos ver que∂iEk = ∂kEi para k 6= i, trivialmente esta relacion tambien se cumple para k = i. Adicionalmente, debemos teneren cuenta que los multipolos dependen del origen elegido pero no de la posicion11, por tanto son constantes. Usandoestos dos hechos se tiene

[p · ∇E]k = pi∂iEk = p1∂1Ek + p2∂2Ek + p3∂3Ek

= p1∂k (E1) + p2∂k (E2) + p3∂k (E3)

= ∂k (p1E1) + ∂k (p2E2) + ∂k (p3E3)

[p · ∇E]k = ∂k (p · E) = [∇ (p ·E)]k

se llega a la identidadp · ∇E = ∇ (p · E) (11.37)

el lector podrıa a primera vista pensar que la identidad (11.37), es trivial dado que p no depende de la posicion ypuede simplemente introducirse dentro del gradiente, esta peligrosa conclusion nos llevarıa a que (11.37) es valida

11Al calcular los multipolos se esta integrando sobre las posiciones de la distribucion de cargas.

11.12. EXPANSION MULTIPOLAR DEL TORQUE 179

para cualquier campo vectorial E. Sin embargo, es necesario tener presente el significado de las contracciones a cadalado de la igualdad en (11.37), escrito en componentes esta igualdad nos dice que pi∂iEk = ∂k (piEi) lo cual no seobtiene simplemente introduciendo pi en el operador diferencial, la propiedad adicional ∇×E = 0 es necesaria paragarantizar la validez general de (11.37).

Con un procedimiento similar transformamos el termino cuadrupolar en (11.36). Teniendo en cuenta que Qij esindependiente de la posicion, se tiene

[Q : ∇∇E]k = Qij∂i∂jEk = ∂i (Qij∂jEk)

usando la propiedad ∂iEj = ∂jEi, y haciendo las sumas explıcitas

∂i (Qij∂jEk) =

3∑

i=1

∂i (Qi1∂1Ek +Qi2∂2Ek +Qi3∂3Ek)

=

3∑

i=1

∂i (Qi1∂kE1 +Qi2∂kE2 +Qi3∂kE3) =

3∑

i=1

3∑

j=1

∂i (Qij∂kEj)

retornando a la convencion de suma sobre ındices repetidos

[Q : ∇∇E]k = ∂i (Qij∂kEj) = ∂k (Qij∂iEj) = [∇ (Q : ∇E)]k

se llega a la identidad[Q : ∇∇E] = [∇ (Q : ∇E)] (11.38)

finalmente, reemplazamos las identidades (11.37, 11.38) en la expansion multipolar de la fuerza (11.36) para obtener

F = −q∇φ (r0) +∇ [p (r0) ·E (r0)] +∇(Q (r0) : ∇E (r0)

6

)+ . . .

F = −∇[qφ (r0)− p (r0) ·E (r0)−

Q (r0) : ∇E (r0)

6+ . . .

](11.39)

pero la expresion entre parentesis, es justamente la expansion multipolar de la energıa potencial externa asociada ala distribucion, Ec. (11.26), y se concluye que

F = −∇Uext (11.40)

De acuerdo con la expresion (11.34), F es la fuerza externa total sobre la distribucion. Por tanto la Ec. (11.40), muestrala consistencia entre ambas expansiones. La Ec. (11.40) nos permite entender porque la condicion, ∇ × E = 0, esnecesaria para garantizar las identidades (11.37, 11.38), ya que estas ultimas nos conducen a la conservatividad deF (manifestada en F = −∇Uext) la cual en realidad proviene de la conservatividad del campo (que se manifiesta en∇×E = 0)12.

De la expansion (11.36) se puede ver en particular, que un dielectrico neutro en un campo E uniforme, noexperimenta fuerza externa neta. Esto refuerza el hecho de que el monopolo interactua con el campo, el dipolo consu gradiente y ası sucesivamente.

11.12. Expansion multipolar del torque

Para la misma situacion anterior calculamos el torque alrededor del origen de coordenadas teniendo en cuenta lamisma expansion para el campo electrico.

~τ =

∫r× dF =

∫r×E (r) dq =

∫r×E (r) ρ (r) dV

12A priori la ecuacion F = −∇Uext es desconcertante ya que tanto F como Uext son variables globales, y para una distribucion dada,son realmente numeros. Esta sutileza yace en el hecho de que la fuerza total externa (variable global) es igual a la suma de las fuerzasexternas sobre cada partıcula (variables locales). Tanto la fuerza externa como la energıa potencial asociadas a una sola partıcula sonvariables locales, de modo que la relacion Fi = −∇Ui tiene sentido, cuando escribimos F = −∇Uext lo que realmente estamos escribiendoes

∑i Fi (ri) = −

∑i ∇Ui (ri). Argumento similar se da para distribuciones contınuas.


~τ =

∫ρ (r) [r0 + (r− r0)]×

[E (r0) + (r− r0) · ∇E (r0) +

1

2(r− r0) (r− r0) : ∇∇E (r0) + . . .

]dV

~τ =

∫ρ (r) r0 ×

[E (r0) + (r− r0) · ∇E (r0) +

1

2(r− r0) (r− r0) : ∇∇E (r0) + . . .

]dV

+

∫ρ (r) (r− r0)×

[E (r0) + (r− r0) · ∇E (r0) +

1

2(r− r0) (r− r0) : ∇∇E (r0) + . . .

]dV

denotando

xl ≡ (r− r0)l ; ∂l ≡∂

∂xl

y agrupando los terminos que dependen de la distribucion

~τ = r0 ×[∫

ρ (r) dV

]E (r0) + r0 ×

[∫ρ (r)xl dV

]∂lE (r0) +

1

2r0 ×

[∫ρ (r)xlxm dV

]∂l∂mE (r0)

+

[∫ρ (r)x dV

]×E (r0) +

∫ρ (r)x× [xl∂lE (r0)] dV +

1

2

∫ρ (r)x× [xlxm∂l∂mE (r0)] dV + . . .(11.41)

desarrollemos la penultima integral

A ≡∫ρ (r)x× [xl∂lE (r0)] dV (11.42)

escribamos la i−esima componente del integrando

ρ (r) x× [xl∂lE (r0)]i = ρ (r) εijkxj [xl∂lE (r0)]k = ρ (r) εijkxj [xl∂lEk (r0)] = ρ (r) εijkxjxl∂lEk (r0) (11.43)

usando la conservatividad de E (r0) como campo electrostatico tenemos

∇×E (r0) = 0 ⇒ εijk∂jEk (r0) = 0 ⇒ εijkxmxm∂jEk (r0) = 0

⇒ εijkδjlxmxm∂lEk (r0) = 0 (11.44)

reemplazando (11.43) en (11.42) y agregando el cero definido en (11.44) queda

Ai =1

3

∫ρ (r) [3εijkxjxl∂lEk (r0)] dV =

1

3

∫ρ (r) [3εijkxjxl∂lEk (r0)− εijkδjlxmxm∂lEk (r0)] dV

Ai =

[εijk3

∫ρ (r) [3xjxl − δjlxmxm] dV

]∂lEk (r0) =

[εijk3Qjl

]∂lEk (r0) =

1

3εijk [Qjl∂l]Ek (r0)

Ai =1

3εijk [Q · ∇]j Ek (r0)

⇒ A ≡∫ρ (r)x× [xl∂lE (r0)] dV =

1

3(Q · ∇)×E (r0) (11.45)

finalmente, puede verse que el integrando de la ultima integral en (11.41) es de la forma

x× [xlxm∂l∂mE (r0)] = εijkxj [xlxm∂l∂mEk (r0)]

de modo que aparece una triada de la forma xjxlxm que corresponderıa al momento octupolar. Como estamosinteresados en expansion hasta cuadrupolo, ignoraremos este termino. Reemplazando (11.45) en (11.41), recordandolas definiciones de los multipolos y agregando un cero de la forma (11.35) en la tercera integral de esta ecuacionresulta

~τ = qr0 ×E (r0) + r0 × [pl∂lE (r0)] +1

6r0 ×

[∫ρ (r) (3xlxm − xnxnδlm) dV

]∂l∂mE (r0)

+p×E (r0) +1

3(Q · ∇)×E (r0) + . . . (11.46)

queda finalmente

~τ = qr0 ×E (r0) + r0 × (p · ∇)E (r0) +r06

× (Q : ∇∇)E (r0) + p×E (r0) +1

3(Q · ∇)×E (r0) + . . . (11.47)

Capıtulo 12

Electrostatica de medios materiales

12.1. Polarizacion

12.1.1. Materiales dielectricos

La gran mayorıa de materiales pertenecen a dos grandes grupos, caracterizados por sus propiedades electricas:conductores y aislantes (o dielectricos). En los dielectricos no existen portadores de carga que puedan moversecon facilidad a lo largo de todo el material, mas bien cada electron esta ligado a un nucleo especıfico con fuertesinteracciones de enlace. Por supuesto que campos electricos lo suficientemente intensos pueden ionizar estos materiales,pero para la mayorıa de campos tıpicos macroscopicos podemos despreciar este fenomeno.

Sin embargo, aunque no puede haber un desplazamiento macroscopico de las cargas, los materiales dielectricossufren desplazamientos de cargas a nivel atomico y molecular, bien sea en forma espontanea o por presencia decampos electricos externos. En el primer caso hablamos de polarizacion permanente y en el segundo caso hablamosde polarizacion inducida. Estudiaremos en algun detalle ambos casos

12.1.2. Momentos dipolares inducidos

Como estaremos interesados en campos y potenciales macroscopicos, podremos considerar que estos observablesse miden en puntos lejanos con respecto a los tamanos tıpicos de un atomo o una molecula. Por esta razon, lascontribuciones monopolar y dipolar seran las dominantes cuando calculemos campos y potenciales generados pordistribuciones de carga atomicas o moleculares. Por otro lado, teniendo en cuenta que los atomos y moleculas (asıcomo el material macroscopico) son usualmente neutros, la contribucion dipolar sera en muchos casos la contribuciondominante.

Imaginemos por simplicidad el atomo de hidrogeno en su estado base, su momento monopolar es cero debidoa la ausencia de carga neta. Por otro lado, aunque en un determinado instante de tiempo dicho atomo posee unmomento dipolar neto (al menos en una imagen clasica), su momento dipolar sera cero cuando tomamos un promediotemporal de este observable, en virtud de la simetrıa esferica del estado base de dicho atomo. Naturalmente, unelectron orbitando en una trayectoria cerrada debe radiar, lo cual pondrıa en problemas la estabilidad del atomo.En un escenario cuantico, tenemos una vision de la carga negativa como una nube electronica que rodea al nucleo,mientras esta nube continue poseyendo simetrıa esferica el momento dipolar promediado en el tiempo continuarasiendo cero1.

No obstante, si aplicamos un campo electrico externo podemos ver que la nube electronica como un todo, sufre undesplazamiento en la direccion contraria al campo, de tal manera que su “centro de carga” se desplaza con respectoal nucleo en una cantidad ∆z, el atomo adquiere entonces un momento dipolar e∆z. A traves de argumentos simples,trataremos de estimar el valor aproximado del desplazamiento ∆z. En las vecindades del atomo hay campos electricosdel orden de e/a2 siendo a el radio de Bohr. En forma general, se espera que la distorsion relativa de la estructuraatomica (medida por el cociente ∆z/a) sea del mismo orden de magnitud que el cociente entre el campo externo ylos campos generados por el atomo mismo en sus vecindades, lo cual nos da

∆z

a≈ E

e/a2

1De hecho si la nube electronica posee simetrıa esferica el promedio dipolar instantaneo tambien serıa cero.

181

182 CAPITULO 12. ELECTROSTATICA DE MEDIOS MATERIALES

para campos tıpicos de laboratorio este cociente serıa menor que una parte en 103, el momento dipolar del atomodistorsionado serıa de la forma2

p = e∆z ≈ a3E (12.1)

dado que el atomo era esfericamente simetrico en ausencia del campo, se espera que en el momento en que se activael campo, esta simetrıa esferica se rompa para dejar una simetrıa cilındrica cuyo eje de simetrıa es paralelo al campo,esto trae como consecuencia que el desplazamiento ∆z y por lo tanto el momento dipolar, sean paralelos a E, elfactor que relaciona al campo con el momento dipolar se conoce como polarizabilidad atomica.

p = αE (12.2)

de acuerdo con los estimativos anteriores, se espera que α sea del orden del volumen atomico. Pero el valor de esteobservable para un atomo en particular depende de la estructura de carga detallada. Por ejemplo, los atomos alcalinospresenta alta polarizabilidad en tanto que los gase nobles son muy poco polarizables.

Como es natural, las moleculas tambien exhiben polarizabilidad inducida por campos electricos externos. Porejemplo, la polarizabilidad electrica de la molecula de metano CH4 es α = 2,6 × 10−24cm3, si sumaramos laspolarizabilidades individuales del carbono y los cuatro hidrogenos (medidas experimentalmente) se obtiene αT =4,1×10−24cm3, mostrando que la estructura atomica esta siendo afectada por los enlaces. La polarizabilidad moleculares un observable muy util para caracterizar la estructura molecular. En general el comportamiento de las moleculasen campos externos es mucho mas complejo debido a su mayor variedad en formas geometricas, por ejemplo el CO2

es una molecula lineal cuya polarizabilidad es 4,5 × 10−40C2 ·m/N para campos aplicados a lo largo de la cadenamolecular, en tanto que para campos perpendiculares a la cadena, la polarizabilidad es 2× 10−40C2 ·m/N (decimosque la polarizabilidad es anisotropica, es decir depende de la direccion de aplicacion del campo). En general paracampos no muy intensos la relacion lineal se conserva, pero no el paralelismo entre E y P obteniendose una relacionde la forma

p = αijE

donde αij es un tensor de nueve componentes simetrico. En virtud de su simetrıa, siempre se pueden encontrar ejesprincipales que diagonalicen este tensor.

Es importante anotar que en el presente analisis hemos dejado de lado muchos aspectos relacionados con laestructura del material, como es la interaccion de los atomos o moleculas con sus vecinos, las fluctuaciones termicas,posibles estructuras cristalinas anisotropicas, etc.

12.1.3. Momentos dipolares permanentes

Hay moleculas que en virtud de la alta asimetrıa de su distribucion de carga, presentan momento dipolar inclusoen ausencia de un campo electrico externo. Esto se puede ver teniendo en cuenta que en moleculas con alta asimetrıa,la nube electronica asociada difıcilmente estarıa centrada en el “centro de carga” de la carga positiva. Un ejemplomuy simple es la molecula diatomica HCl, los dos extremos de la molecula son muy diferentes. Cuando se forma estamolecula la nube electronica del hidrogeno se corre parcialmente hacia el atomo de cloro, provocando un exceso decarga negativa en el lado del cloro. La magnitud del momento dipolar electrico resultante es 1,03 × 10−18esu− cm.A manera de comparacion, un atomo de hidrogeno en un campo externo de 30kilovolts/cm, adquiere un momentoinducido de 10−22 esu-cm. En general, los momentos dipolares permanentes cuando existen son mucho mayores quelos inducidos con campos electricos tıpicos de laboratorio. Esto se puede explicar teniendo en cuenta que para obtenermomentos dipolares inducidos del mismo orden que los dipolares permanentes, se necesitarıan campos externos cuyaintensidad fuera del orden del campo interno en un atomo, pero por obvias razones campos de esta intensidad puedendestruir la estructura del material.

En el caso del atomo de hidrogeno se dijo que aunque podrıan (en una imagen clasica) tener dipolo neto en uninstante de tiempo, este dipolo se anula cuando se realiza un promedio temporal. Sin embargo, en el caso de lasmoleculas se tiene que el tiempo que requiere una molecula para interactuar con sus alrededores, es tıpicamentemenor que el tiempo en el cual se anula el momento dipolar cuando se toma el promedio, por tanto el momentodipolar neto logra tener efecto en los alrededores.

La molecula de agua es un ejemplo de una molecula de muy alta polarizabilidad (1,84× 10−18esu-cm), esta granpolarizabilidad es en gran parte responsable de las propiedades del agua como solvente.

2Comparese la Ec. (12.1) con la Ec. (8.41) pag. 137.

12.1. POLARIZACION 183

Finalmente, es necesario destacar que estos momentos dipolares son aleatorios en ausencia de campos externospor lo cual no hay momento dipolar neto a nivel macroscopico. No obstante, cuando se activa un campo electrico estosmomentos se alinean para dar una contribucion neta mucho mayor a la de los dipolos inducidos. Como la mayorıa demoleculas son polares, y estos momentos permanentes son los dominantes, es necesario estudiar el comportamientode materiales polares en presencia de campos electricos externos.

12.1.4. Materiales con momentos dipolares permanentes en campos electricos externos

Para la mayor parte de fenomenos en que estaremos interesados, podemos considerar a las moleculas como dipolospuntuales a menos que tengan carga neta. La fuerza y el torque que un dipolo puntual experimenta cuando se sumergeen un campo externo E (r), se evalua de las expresiones (11.36, 11.47) tomando solo la contribucion dipolar

F = p (r0) · ∇E (r0)

~τ = r0 × (p · ∇)E (r0) + p×E (r0)

en este punto debemos tener especial cuidado, ya que la fuerza externa, el momento dipolar y el torque externo,son en principio propiedades globales (ya que surgen de integrar sobre la distribucion de carga en el espacio). Noobstante, cuando pretendemos abordar un tratamiento estadıstico del problema, los observables se deben medir sobrevolumenes que sean suficientemente pequenos para que el observable se pueda considerar local a nivel macroscopico, ylo suficientemente grandes para que contengan un gran numero de partıculas de modo que las fluctuaciones estadısticasdisminuyan. En este sentido, las variables p, F, ~τ se deben considerar locales ya que son integrales sobre distribucionesen volumenes macroscopicamente pequenos3. Se puede ver que la fuerza en aproximacion dipolar depende del gradientedel campo. En consecuencia, si el campo es uniforme o de bajo gradiente, no hay fuerza neta sobre el dipolo. Porotro lado, si calculamos el torque con respecto al punto en donde se ubica el dipolo, se tiene que

~τ = p (0)×E (0) (12.3)

se puede observar que este torque es de naturaleza restauradora con respecto al eje definido por el campo electrico.En otras palabras, el torque siempre es tal que trata de alinear el momento dipolar p con el campo electrico externo,en ausencia de otros efectos el momento dipolar oscilarıa alrededor del eje del campo, esto no significa una alineacionperfecta pero sı significa que el promedio temporal del dipolo ira en la direccion del campo. Adicionalmente, si existenefectos disipativos, la amplitud de la oscilacion disminuira y obtendremos para tiempos suficientemente grandes,dipolos casi perfectamente alineados (la agitacion termica no permite una alineacion perfecta).

Finalmente, vale anotar que el desplazamiento de cargas en la molecula puede producir dipolos inducidos adicio-nales, pero como ya se discutio, estos son usualmente despreciables con respecto a las contribuciones de los dipolospermanentes. Un rasgo comun que tienen los momentos dipolares permanentes e inducidos (cuando asumimos queE y P son paralelos), es que en presencia de un campo electrico externo, ambos generan un campo que se opone alcampo externo, generando un fenomeno de apantallamiento. Esto se puede verificar cualitativamente al examinar lamigracion o distribucion de cargas que generan a los dipolos, o cuantitativamente a traves de la expresion (11.18).

12.1.5. Definicion del vector de polarizacion

Un material dielectrico ideal es aquel que no posee en su estado natural (neutro) cargas libres. De modo que enpresencia de un campo electrico externo los unicos movimientos son: a) la separacion de sus portadores de carga y b)la reorientacion de sus dipolos permanentes. Como ya se discutio, en la mayorıa de los casos en ausencia de campoelectrico externo los momentos de dipolo se anulan estadısticamente, incluso cuando las moleculas son polares.

La redistribucion de carga en el material crea un campo electrico, el campo generado por el dielectrico. Asumiremosque dicho campo se debe solo a momentos dipolares y despreciaremos la contribucion de multipolos de mayor orden.Ası, un material polarizado produce en su interior y exterior un campo que debe ser superpuesto al campo externo,el campo inducido en general tiende a cancelar el campo externo, lo cual se ve por la forma en que se produce lamigracion de cargas o la rotacion de los dipolos permanentes.

Si las moleculas del material tienen momento dipolar permanente, el campo electrico tiende a reorientarlos demodo que el material presenta una polarizacion neta no nula. El campo rompe la aleatoriedad de los momentos de

3En tal caso, la relacion F = −∇U tambien se vuelve local. Por este motivo, al tomar un volumen macroscopico no podemos asumirque p es constante de modo que no podemos aplicar macroscopicamente la relacion (11.39).


dipolo permanentes creando un momento dipolar promedio que va en la direccion del campo si el medio es isotropo,por otro lado la migracion de cargas puede crear dipolos inducidos los cuales tambien en promedio tienden a orientarseen direccion al campo cuando el medio es isotropo. La agitacion termica no permite que todos los dipolos se orientende la misma manera pero lo que interesara macroscopicamente es el momento dipolar promedio.

Es posible definir una cantidad que describe el momento de dipolo promedio por unidad de volumen: El vectorde Polarizacion P (r) ≡ dp(r)

dV =∑

iNi〈pi〉. Donde asumiendo la existencia de diversos tipos de moleculas o atomos〈pi〉 nos da el momento dipolar promedio de moleculas o atomos del tipo i, Ni es la densidad volumetrica de estetipo de molecula o atomo. El vector de polarizacion incluye la contribucion tanto de la reorientacion de los dipolospermanentes como de la creacion de dipolos inducidos por la redistribucion de carga. El promedio 〈pi〉 se toma enun volumen macroscopicamente pequeno (lo suficientemente pequeno para considerar al vector de polarizacion comouna cantidad local) pero lo suficientemente grande como para que contenga un gran numero de moleculas con loscuales tenga sentido la estadıstica, y se puedan despreciar las fluctuaciones. El vector de polarizacion es en generalfuncion de la posicion cuando el material es inhomogeneo. Por otro lado, no debemos perder de vista que el materialpuede ser anisotropico en cuyo caso no necesariamente ocurre la alineacion de los dipolos con el campo y la respuestadel dielectrico puede depender de la orientacion del campo externo.

12.2. Campo electrico en el exterior de un dielectrico

Nos ocuparemos de evaluar el campo producido por los momentos dipolares permanentes e inducidos en el mate-rial. No nos preocuparemos por el campo externo (el cual simplemente debe superponerse al anterior) y simplementeasumiremos que el material ya esta polarizado. Asumiremos que conocemos el valor del vector de polarizacion (ex-perimentalmente o a traves de algun modelo fenomenologico) en todo el dielectrico y por tanto debemos escribir elpotencial en terminos de el. El potencial en r debido al dipolo diferencial dp contenido en el volumen dV esta dadopor

dφ (r) = Kcdp · (r− r′)

|r− r′|3= Kc

P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV(r′)

si ademas hay cargas libres, hay que adicionar el termino ρ(r′)dV (r′)|r−r′| . Por ahora supondremos dielectrico ideal es decir

sin cargas libres.

φ (r) = Kc

∫P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV(r′)= Kc

∫P(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ (12.4)

= Kc

∫∇′ ·

(P (r′)|r− r′|

)dV ′ −Kc

∫ ∇′ ·P (r′)|r− r′| dV ′

φ (r) = Kc

∫P (r′)|r− r′| · n dS′ +Kc

∫ −∇′ ·P (r′)|r− r′| dV ′ (12.5)

estas integrales tienen la forma

Kc

∫σ (r′) dS′

|r− r′| +Kc

∫ρ (r′) dV ′

|r− r′|es decir analogo al potencial debido a una distribucion superficial y una distribucion volumetrica de carga. Decimosentonces que el campo debido al dielectrico polarizado es equivalente al producido por distribuciones de carga condensidades efectivas

σp(r′)= P

(r′)· n∣∣S

; ρp(r′)= −∇′ ·P

(r′)

(12.6)

Estas densidades de carga de polarizacion son cargas ligadas ya que no se pueden mover a traves del material. Estascargas deben ser tales que la carga total en el dielectrico debe ser cero si estaba inicialmente neutro. Veamos:

Q =

∫σpdS +

∫ρpdV =

∫P(r′)· n dS −

∫∇′ ·P

(r′)dV

=

∫P(r′)· n dS −

∫P(r′)· n dS = 0

12.3. INTERPRETACION FISICA DE LAS CARGAS DE POLARIZACION 185

De momento, estas densidades de polarizacion aparecen como un artificio para realizar los calculos consistentemente yademas provienen de cantidades estadısticas. Sin embargo, veremos mas adelante, que esta expresiones son atribuıblesa la forma en que se organizan las cargas reales en el dielectrico. Usualmente a las cargas de polarizacion se lesdenomina tambien cargas ligadas, no obstante es importante mencionar que estas no son necesariamente las unicascargas ligadas. Por ejemplo si el material posee moleculas ionizadas hay contribucion monopolar, pero si el excesode carga no se puede mover en el material tenemos otro tipo de cargas ligadas, ademas de las cargas efectivas depolarizacion.

Por otro lado, a partir de la expresion (12.4)

φ(r′)= Kc

∫P (r′) · (r− r′)

|r− r′|3dV ′

y usando

∇(

1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r− r′|3

se puede obtener una expresion alternativa para el potencial que tambien se escribe en terminos del vector depolarizacion, de lo anterior se sigue

φ (r) = −Kc

∫P(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′ = −Kc

∫∇ ·(

P (r′)|r− r′|

)dV ′

φ (r) = −∇ · ~Πe ; ~Πe ≡ Kc

∫P (r′)|r− r′| dV

′ (12.7)

donde ~Πe se conoce como vector de Hertz electrico. Notese que la evaluacion de cada componente del vector de Hertzelectrico es semejante a la evaluacion del potencial electrostatico en el vacıo, donde cada componente es el analogode la densidad. Es importante recordar que los potenciales (12.5, 12.7) no incluyen la contribucion de cargas libres(contribuciones monopolares) ni la contribucion asociada al campo externo. Dado que el vector de Hertz esta escritoexclusivamente en terminos del vector de Polarizacion es en general mas facil de evaluar que la expresion originalpara el potencial, ya que esta incluye densidades de carga libres y de polarizacion.

12.3. Interpretacion Fısica de las cargas de polarizacion

Figura 12.1: (a) Dipolos perfectamente alineados. (b) Puesto que las cargas contıguas tienden a anularse, excepto lascargas de los extremos, estos dipolos alineados en cadena pueden verse de manera efectiva como la configuracion decargas opuestas en los extremos que son las que no se apantallan.

Tomemos una imagen de dipolos perfectamente alineados en cadena, como se representa en la figura 12.1. En talfigura se observa que las cargas “interiores” se apantallan con su vecino. No obstante, las cargas de los extremos notienen companero que los apantalle, de modo que en terminos efectivos es como si tuvieramos una configuracion condos cargas opuestas ubicadas en los extremos, como se ilustra en la Fig. 12.1(b).

Ahora para modelar a un dielectrico inmerso en un campo electrico, utilizaremos una imagen ideal de dipolosperfectamente alineados con el vector de polarizacion, de tal manera que podemos en buena aproximacion pensar encolumnas muy delgadas paralelas a los momentos dipolares como se ilustra a la izquierda de la Fig. 12.2. Tomemosuna de estas columnas de seccion transversal A, y la dividimos en trozos de longitud d ≡ ∆z (como se aprecia enla Fig. 12.2), el momento dipolar en el volumen A ∆z es P A ∆z. Esto se puede simular como una carga q en unextremo y otra −q en el otro. Dado que estas cargas estan a una distancia ∆z, ellas deben tomar un valor de q = P A,a fin de generar el momento dipolar P A ∆z. Tomemos entonces la imagen de que los dipolos son generados por lascargas q y −q en los extremos del trozo de columna. Al tomar la columna completa, lo que hacemos es superponer


Figura 12.2: Podemos imaginar al material dielectrico como compuesto de un serie de columnas paralelas entre sı, yparalelas al vector de polarizacion. Un trozo interior de una columna con altura d (espesor) tiene seccion transversalrecta, pero un trozo de los extremos puede contener una seccion transversal oblıcua que pertenece a la superficie deldieletrico.

carga q, −q a lo largo de la columna, de tal manera que cada carga +q queda unida con una carga −q y viceversa,excepto para las cargas de los extremos, es decir las que se ubican en los topes de la columna. Si asumimos que lostopes de la columna tienen seccion transversal recta, la densidad superficial sobre los topes sera

σp =q

A=PA

A= P

pero dado que esta columna termina en la superficie del dielectrico, sus topes no necesariamente tienen secciontransversal recta como se ilustra en la Fig. 12.2. Si la seccion transversal en el tope es oblıcua, de tal modo que elvector de area hace un angulo θ con P, se tiene que el area transversal en regiones interiores del tubo esta relacionadacon el area del tope por A = Atop cos θ, y dado que la carga es la misma que en el caso de tope recto tenemos

σp =q

Atop=

q

A/ cos θ= P cos θ

σp = P · n (12.8)

por tanto el efecto neto de la polarizacion es el de colocar una carga ligada superficial de la forma σp = P · n sobreel dielectrico. Este valor coincide con la expresion para la carga superficial de polarizacion definida en (12.6).

Figura 12.3: Cuando la polarizacion no es uniforme pueden existir acumulaciones locales de carga, que generarancargas volumetricas interiores de polarizacion.

Si la polarizacion no es uniforme podemos tener tambien cargas netas acumuladas en ciertas regiones del espacio.Imaginemos un conjunto de cargas negativas −qi en el interior de una esfera y sus cargas positivas en el exterior deesta como se ilustra en la Fig. 12.3. Los momentos dipolares generados por cada par de la forma ±qi apuntan haciaafuera de la esfera dando un flujo neto diferente de cero. El vector de polarizacion resultante de esta distribucion dedipolos tendra divergencia diferente de cero, y el volumen definido por la esfera claramente tiene carga neta.

12.4. CAMPO EN EL INTERIOR DE UN DIELECTRICO 187

Ahora bien, para cualquier volumen razonablemente grande en el interior del dielectrico, la carga neta en suinterior es cero y se genera una carga superficial dada por (12.8)4, de esta forma podemos escribir

∫ρp dV +

∫σp dS = Q = 0 ⇒

∫ρp dV +

∫P · n dS = 0

usando el teorema de la divergencia ∫ρp dV +

∫∇ ·P dV = 0

como esto es valido para cualquier volumen macroscopico en el interior del dielectrico, se tiene que al menos enpromedio se debe cumplir la relacion

ρp = −∇ ·Pque coincide con la expresion (12.6). Notese la similitud de esta ecuacion con la ley de Gauss para el campo electrico.

12.4. Campo en el interior de un dielectrico

La aproximacion dipolar esta plenamente justificada cuando el campo se evalua en el exterior del dielectrico yaque todas las distribuciones de carga estarıan muy lejos del punto de evaluacion con respecto a un radio atomico omolecular, con lo cual podemos estar seguros de que la aproximacion dipolar esta muy bien justificada. Sin embargo,cuando pretendemos evaluar el campo en el interior del dielectrico no podemos asegurar que el punto de evaluaciones lejano a todas las distribuciones de carga. En particular para puntos cercanos a los electrones o nucleos, nostropezamos con campos de altısima intensidad, altısimo gradiente (en direccion y magnitud), y enormes fluctuacionesen el tiempo. Los campos en el interior de la materia pueden ser tremendamente complejos si queremos una evaluaciondetallada de ellos.

Sin embargo, debemos recordar que macroscopicamente, lo que evaluamos es en general promedios estadısticostomados en volumenes macroscopicamente pequenos pero que contengan un gran numero de cargas (y dentro delos cuales el gradiente del campo sea despreciable)5. Por tanto, al evaluar el campo en un punto r lo que haremosen realidad es evaluar su promedio en un cierto volumen alrededor de el que cumpla los requisitos ya mencionados.Tomemos en particular una esfera del radio apropiado de modo que contenga un gran numero de cargas pero quesea pequena con respecto al tamano del dielectrico y dentro de la cual el gradiente del campo sea tambien pequeno.Hay distribucion de carga interior y exterior a la esfera y cada una de estas distribuciones produce un campo Eint,Eext respectivamente, de modo que el campo electrico total es

E (r) = Eint (r) +Eext (r)

es necesario tener muy claro el significado de Eint (r), ya que NO significa el campo evaluado en el interior de laesfera, sino el campo evaluado en el punto r (interior o exterior) debido exclusivamente a las cargas en el interior dela esfera. Similarmente, Eext (r) es el campo producido en el mismo punto r, debido exclusivamente a las cargasexteriores a la esfera. Recurriendo a los resultados obtenidos en la seccion (11.6), Ecs. (11.16, 11.17), los campos Eint

y Eext cumplen las siguientes relaciones

∫

r<REint (r) dV = −4πKc

3pint (12.9)

1

Vesf

∫

r<REext (r) dV = Eext (0)

donde la integral de volumen se realiza sobre una esfera de radio R, tomando el origen en el centro de la esfera. Dadoque el radio de la esfera es mucho mayor que un radio atomico o molecular, se puede considerar la aproximaciondipolar como muy razonable para las cargas exteriores, ellas producen un campo Eext (r) tal que su valor en el centrode la esfera es igual a su promedio sobre el volumen de la esfera, y como lo que buscamos es justamente un promediode este tipo, entonces el valor del campo Eext (0) en el centro de la esfera es un buen representativo estadıstico del

4El analisis que se realizo para el dielectrico completo se puede hacer identico para un volumen macroscopico en su interior para estimaruna densidad superficial en tal volumen.

5Incluso para el campo en el exterior del dielectrico, lo que tenemos son promedios estadısticos de todos los observables.


campo en toda la esfera debido a fuentes exteriores a esta. Por otro lado, como la aproximacion dipolar es buenapara este campo se tiene que

φext (r) = Kc

∫

exterior

(r− r′) ·Pext

|r− r′|3dV ′

el promedio del campo Eint sobre el volumen de la esfera, se puede evaluar a partir de (12.9), dividiendo a amboslados por el volumen de la esfera, y se obtiene

Eint = −KcpintR3

(12.10)

escribiendolo en terminos del vector de Polarizacion (que se supone constante en este pequeno volumen) se tiene

pint =4

3πR3Pint

el asumir que el vector de polarizacion es constante dentro de la esfera es consistente con el resultado (12.10), ya quese puede demostrar que para una esfera uniformemente polarizada, el campo electrico en el interior de la esfera esuniforme y viene dado justamente por (12.10). El potencial electrico promedio total en el centro de la esfera se puedeescribir como

φint (r) + φext (r) = Kc

∫

int

(r− r′) ·Pint

|r− r′|3dV ′ +Kc

∫

ext

(r− r′) ·Pext

|r− r′|3dV ′

φint (r) + φext (r) = Kc

∫

V

(r− r′) ·P|r− r′|3

dV ′

donde la ultima integral se hace sobre todo el volumen del dielectrico. Esta expresion para el potencial promediocoincide con la que se uso para campo exterior, como se ve en la Ec. (12.4). En conclusion: el potencial en elinterior del dielectrico se calcula con la misma expresion que se usa para el potencial en el exteriorde dicho dielectrico.

12.5. Ecuaciones de campo en presencia de dielectricos

El campo electrostatico macroscopico que se trabaja para medios materiales es conservativo como todo campoelectrostatico6 , y por tanto es calculable de E = −∇φ (r). Dada la conservatividad del campo se tiene que ∇×E = 0.Como ya vimos, el campo generado por materiales polarizados es equivalente a la existencia de distribuciones decarga σp y ρp, ademas de eventuales densidades de carga libres σf y ρf

7 con lo cual podemos usar la ley de Gauss

∇ · E (r) = 4πKcρtotal = 4πKc (ρf + ρp)

donde hemos incluıdo posibles cargas libres y asumimos que las cargas ligadas son solo cargas de polarizacion.

∇ · E (r) = 4πKc [ρf −∇ ·P (r)] ⇒ ∇ ·[E (r)

4πKc+P (r)

]= ρf

definiendo el vector desplazamiento electrico

D ≡ E (r)

4πKc+P (12.11)

se obtiene∇ ·D (r) = ρf (r) (12.12)

expresion que se conoce como ley de Gauss para dielectricos.

6En realidad, no existen en la naturaleza campos electrostaticos microscopicos, ya que cuando se trabaja a nivel atomico o molecular,las cargas tienen movimientos traslacionales, rotacionales y vibracionales muy fuertes. El concepto de campo electrostatico como unabuena descripcion de los fenomenos tiene su mejor escenario en el mundo macroscopico.

7Como ya mencionamos, tambien pueden existir cargas ligadas que no son de polarizacion, como son por ejemplo los excesos de cargaen atomos y moleculas en un plasma. Estas cargas son ligadas en el sentido de que no son libres de salir de su nucleo, sin embargo paraefectos operativos estas cargas se pueden adicionar a ρf , con lo cual un nombre mas adecuado para ρf serıa el de “densidad monopolar”.

12.6. SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA 189

Observese que el rol del vector desplazamiento electrico es el de parametrizar nuestra “ignorancia” sobre el ver-dadero campo electrico y lo reemplaza por un promedio estadıstico. Si conocieramos en detalle como se distribuyentodas las cargas libres y ligadas en el material, este formalismo no serıa en principio necesario (al menos no en unaaproximacion clasica al problema). Hay que tener presente que la definicion de D asume que solo hay contribuciondipolar. Si introducimos otras contribuciones multipolares, su definicion serıa mas compleja. La aproximacion dipolaresta justificada por el hecho de que las moleculas se comportan muy bien como dipolos puntuales a escala macroscopi-ca. La pregunta crucial es: ¿cual es la ventaja de plantear una ecuacion como (12.12)?, en realidad debe tenerse encuenta que lo que mejor se puede controlar o medir experimentalmente es la carga libre, la carga de polarizacion esjustamente una respuesta del dielectrico a la presencia (con frecuencia controlada) de carga libre.

Esta ley de Gauss se interpreta de la siguiente forma: Las lıneas de campo D comienzan o terminan en cargaslibres8; en tanto que las lıneas de E comienzan o terminan en cargas libres y de polarizacion. En el vacıo D = E(r)

4πKc

ya que P = 0 puesto que clasicamente el vacıo no es polarizable. Es necesario enfatizar en el hecho de que en generalD NO es conservativo y por tanto no se puede generar de un potencial.

12.6. Susceptibilidad electrica

Se dice que un dielectrico es lineal si la polarizacion P esta relacionada linealmente con el campo que la producees decir que Pi es combinacion lineal de las componentes del campo polarizador9. El dielectrico es isotropo si P esparalelo a E para cualquier direccion de E, de modo que las propiedades del medio no dependen de la direccion; y eshomogeneo si el medio responde igualmente en todos los puntos. Para un medio lineal e isotropo

P =χl

4πKcE (12.13)

donde E es el campo electrico total en el punto donde se evalua P (campo externo mas campo dipolar)10. χl es unacantidad adimensional que depende de la temperatura ası como de la estructura atomica y molecular del material. Seconoce como susceptibilidad electrica y es en general funcion de la posicion cuando el medio es inhomogeneo. Comola ecuacion (12.13) depende tanto del campo externo como del inducido, esta puede ser de difıcil evaluacion ya queel campo inducido depende de la densidad de carga de polarizacion. Razon por la cual es de gran interes encontraruna relacion entre D y E ya que con frecuencia (aunque no en general) el campo D se puede encontrar a partir de lascargas libres, especialmente cuando estas ultimas tienen alguna simetrıa (por ejemplo usando la ley de Gauss 12.12).A partir de las definiciones del vector desplazamiento electrico (12.11) y susceptibilidad electrica (12.13), se puedeencontrar una relacion mas sencilla entre D y E:

D =E

4πKc+P =

E

4πKc+

χl4πKc

E =

(1 + χl4πKc

)E ⇒

εE = D ; ε ≡(1 + χl4πKc

)(12.14)

valida para medios lineales e isotropos. ε se conoce como permitividad del dielectrico, tambien se puede definirla constante adimensional εr ≡ 4πKcε = 1 + χl conocida como constante dielectrica. En el vacıo se tiene queχl = 0, εr = 1. En general εr ≥ 1 (o equivalentemente χl > 0) reflejando el efecto de apantallamiento que eldielectrico produce sobre el campo electrico externo. Para medios no lineales, anisotropos e inhomogeneos se puedeescribir en general:

Pi =3∑

j=1

aij (r)Ej +3∑

i,j=1

bijk (r)EjEk + . . .

8Esta afirmacion nos puede dar la sensacion de que el vector desplazamiento electrico esta dictaminado unicamente por las cargaslibres. Como contraejemplo simple, se puede ver que en ausencia de carga libre el vector desplazamiento no es necesariamente nulo, yaque la ecuacion ∇ ·D = 0, no especifica completamente el campo.

9Para una relacion lineal general

Pi =3∑

j=1

aij (r)Ej

el vector de polarizacion no es necesariamente paralelo al campo electrico.10Notese que la expresion (12.13) es el equivalente macroscopico de la expresion microscopica (12.2).


El primer termino a la derecha es lineal pero revela anisotropıa del medio ya que cada aij es en general diferente11,tambien revela inhomogeneidad (dependencia con r). El segundo termino es no lineal (cuadratico) anisotropico einhomogeneo. Por otro lado, cuando el medio es lineal, isotropo y homogeneo

aij = χlδij , bijk = 0, χl = cte

En este caso particular

∇ ·D = ∇ · (εE) = ε∇ ·E = ρf

∇ · E =ρfε

⇒ ∇2φ = −ρfε

los campos en dielectricos (E,φ) estan reducidos en un factor 1/ε respecto a campos en el vacıo. Esto se debe a quela polarizacion genera campo opuesto a la direccion del campo polarizante.

Por otro lado, es importante enfatizar que la ecuacion ∇ ·D = ρF es valida en general (caso estatico al menos)aunque el medio sea no lineal, anisotropo e inhomogeneo. Incluso si vamos mas alla de la aproximacion dipolar, estaecuacion se puede mantener con una redefinicion adecuada de D.

Es en este punto en donde la parametrizacion realizada en el sistema internacional para Kc resulta util.

12.7. Condiciones de frontera en la interfase entre dielectricos

En general podemos tener yuxtapuestos varios materiales dielectricos con diferente permitividad, es importanteen consecuencia estudiar el comportamiento de las lıneas de campo cuando pasan de un medio dielectrico al otro.En particular, es importante encontrar si existen ligaduras entre los campos en ambos lados de una frontera entredos medios dielectricos (condiciones de frontera entre dielectricos). Para ello utilizamos argumentos similares a losya empleados en la seccion 1.11 relacionados con el comportamiento del campo cuando cruza una superficie.

Asumamos que en una interfase entre dos medios dielectricos se acumula una densidad superficial de carga libreσf . Considerando un pequeno cilindro que cruza la interfase entre los dos medios dielectricos (con tapas localmenteparalelas a la interfase de area A, similar a la Fig. 1.2, Pagina 25) y con altura diferencial de manera que podemosdespreciar el area lateral y por tanto el flujo sobre las caras laterales, se tiene

∫D · dS =

∫D2 · n12dS −

∫D1 · n12dS =

∫σfdS

⇒∫

(D2 −D1) · n12 dS =

∫σfdS

donde hemos usado la ley de Gauss para dielectricos Ec. (12.12) Pag. 188 y donde n12 es el vector unitario perpendi-cular a la interfase que apunta desde el medio 1 hacia el medio 2. Como esto es valido para una superficie arbitrariaen tamano, forma y ubicacion entonces

(D2 −D1) · n12 = σf (12.15)

lo cual nos dice que hay una discontinuidad en la componente normal de D en la interfase debido a la presencia decargas libres superficiales.

Por otro lado, teniendo en cuenta que el campo electrostatico E es conservativo i.e. ∇ × E = 0, podemos usaruna integral de lınea con un rectangulo con dos lados localmente paralelos a la superficie y dos lados (de longitudinfinitesimal) localmente perpendiculares (similar a la Fig. 1.2, Pagina 25). Solo intervienen en la integral cerrada loslados paralelos ya que los perpendiculares son infinitesimales.

∫E · dl = 0 ⇒ (E2 −E1) · dl = 0 (12.16)

lo cual nos indica que la componente tangencial de E es contınua a traves de la interfase. Esto tambien se puedeexpresar con (E2 −E1) × n12 = 0. Notese que la integral sobre la misma trayectoria cerrada, serıa no nula si la

11De hecho si hay anisotropia los vectores P y E no son paralelos incluso si la respuesta es lineal.

12.7. CONDICIONES DE FRONTERA EN LA INTERFASE ENTRE DIELECTRICOS 191

evaluamos con D, esto en virtud de la diferencia entre las permitividades de ambos medios

∫D · dl = (D2 −D1) · dl = (ε2E2 − ε1E1) · dl

∫D · dl = ε2

(E2 −

ε1ε2

E1

)· dl 6= 0

Este hecho nos muestra la no conservatividad de D. Usando las Ecs. (12.15, 12.16) se pueden resolver problemas queinvolucran a la frontera entre dos medios dielectricos diferentes.

Finalmente, notese que para un medio lineal, homogeneo e isotropico, la densidad de carga volumetrica de pola-rizacion ρp es proporcional a la carga libre ρf . Esto se puede ver sustituyendo las Ecs. (12.13) y (12.14) en (12.6)

ρp = −∇ ·P = −∇ ·(Kc

χl4πε

D)

ρp = −(

χl1 + χl

)ρf (12.17)

en particular si no hay carga volumetrica libre, la carga de polarizacion es estrictamente superficial. En tal caso elpotencial en el interior del dielectrico esta descrito por una ecuacion de Laplace. Es importante enfatizar que noexiste una proporcionalidad analoga entre las densidades σf y σp debido justamente a que χl es diferente a lado ylado de la frontera.

Veamos algunos ejemplos de aplicacion de estas condiciones de frontera. En ellos asumiremos que los medios sontodos lineales, isotropos, y homogeneos.

12.7.1. Problema con interfase utilizando imagenes

Consideremos una carga puntual ubicada en un medio dielectrico ε1 semiinfinito (z > 0) separado de otro mediosemiinfinito ε2 (z < 0) de modo que la interfase esta sobre el plano XY . Por simplicidad definiremos el eje z demodo que sea perpendicular a la interfase y que pase por la carga. Asumamos ademas, que no se acumula cargasuperficial libre en ningun punto de la interfase entre los dielectricos. Los campos D y E generados por q y las cargasde polarizacion, deben satisfacer las siguientes condiciones de frontera.

a) D1n = D2n componentes normales contınuas del vector desplazamiento electrico D. Esto en virtud de que nohay cargas superficiales libres en la interfase. Esta condicion se manifiesta en

−ε1E1n|z=0 = −ε2E2n|z=0 ⇒ ε1∂φ1∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂φ2∂z

∣∣∣∣z=0

(12.18)

notese que En es discontınuo en la interfase aunque Dn es contınuo.b) Continuidad de la componente tangencial del campo electrico.

E1T |z=0 = E2T |z=0 ⇒∂φ1∂ρ

∣∣∣∣z=0

=∂φ2∂ρ

∣∣∣∣z=0

(12.19)

Como el problema tiene simetrıa azimutal para el sistema coordenado propuesto, no hay condicion no trivial sobre∂φ∂ϕ

∣∣∣z=0

. Notese que la condicion trivial sobre ϕ se debe al hecho de elegir al eje Z de modo que pase por la carga.

El potencial en el medio 1 debe satisfacer la ecuacion de Poisson

∇2φ1 = −4πq

ε1δ(r− r′

)

ası como las condiciones de frontera (tanto en la frontera dielectrica como en la frontera de Dirichlet). Asumamosuna carga imagen localizada simetricamente respecto a z = 0 y de magnitud q′. Por tanto, las posiciones r′, r′i de lascargas real e imagen respectivamente estan dadas por

r′ =(0, 0, z′

); r′i =

(0, 0,−z′

)

Las condiciones que se piden para el potencial generado por q′ son las siguientes:


1) El potencial debido a q′ debe satisfacer la ecuacion de Laplace en z > 0, a fin de que el potencial total en elmedio 1 (debido a q y q′) siga cumpliendo la misma ecuacion de Poisson que antes de la introduccion de la cargaimagen. Esta condicion se cumple dado que la carga imagen esta fuera de la region donde se evalua el potencial.

2) La introduccion de la carga imagen debe mantener las condiciones de frontera de Dirichlet originales (teoremade unicidad). Esto es inmediato ya que la condicion de Dirichlet en este caso es potencial cero en el infinito, condicionque no se ve alterada porque la nueva distribucion sigue siendo localizada.

3) El potencial generado en los medios 1 y 2 (debido a q y q′) debe satisfacer las condiciones de frontera en lainterface dielectrica Ecs. (12.18, 12.19). Para ello escribamos la forma explıcita del potencial en el medio 1 (z > 0 conconstante dielectrica ε1):

φ1 (r) = φ1 (x, y, z > 0) =Kcq

ε1 |r− r′| +Kcq

′

ε1 |r− r′i|=

Kcq

ε1

√x2 + y2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√x2 + y2 + (z + z′)2

φ1 (r) =Kcq

ε1

√ρ2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√ρ2 + (z + z′)2

; z > 0 (12.20)

donde ρ es la coordenada radial cilındrica. La expresion (12.20) muestra la simetrıa azimuthal (i.e. la independenciade ϕ). Sin embargo el cumplimiento de esta tercera condicion requiere conocer el potencial en el medio 2 evaluadoen la frontera. Para evaluar el potencial en el medio 2 tengamos en cuenta que no hay carga en este hemisferio y portanto φ2 obedece la ecuacion de Laplace. Localizamos entonces una carga imagen q” en r′ (en z > 0 en el mismopunto donde esta ubicada la carga real q), de modo que el potencial en z < 0 solo sea generado por q”12.

φ2 (r) =Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

(12.21)

claramente la introduccion de esta carga no altera la ecuacion de campo (Laplace) en el medio 2, y tampoco alteralas condiciones de Dirichlet del problema original, por tanto cumple con las dos primeras condiciones antes citadas.La tercera condicion (condicion de frontera dielectrica) requiere entonces reemplazar (12.20) y (12.21) en las Ecs.(12.18, 12.19) y ver si existen soluciones para q′ y q” que satisfagan tales relaciones. En caso afirmativo, el problemaesta resuelto.

La condicion de frontera (12.18) conduce aa)

ε1∂φ1∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂φ2∂z

∣∣∣∣z=0

⇒

ε1∂

∂z

Kcq

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

= ε2∂

∂z

Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

ε1−q[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(z − z′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

] + ε1−q′

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]−1/2(z + z′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

= ε2

−q”

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(z − z′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

12Quizas pueda resultar inadecuado el uso del termino “carga imagen” para q”, puesto que lo que pretendemos resolver en la regionde interes es la ecuacion de Laplace. Al no haber ninguna carga al otro lado, q” no es imagen de nada. Sin embargo, cumple las mismaspropiedades de la carga imagen cuando hay una carga o cargas en la region de interes: q” debe reproducir las condiciones de frontera, ydebe estar por fuera de la region de interes R, por tanto no esta alterando la distribucion de carga en R, lo cual garantiza la unicidad dela solucion en dicha region.

12.7. CONDICIONES DE FRONTERA EN LA INTERFASE ENTRE DIELECTRICOS 193

al evaluar en z = 0

(q − q′

)[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2z′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

] = q”

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2z′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

resultando

q” = q − q′ (12.22)

b) Tomando la condicion (12.19) se tiene

∂φ1∂ρ

∣∣∣∣z=0

=∂φ2∂ρ

∣∣∣∣z=0

⇒

∂

∂ρ

Kcq

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

+Kcq

′

ε1

√(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

=∂

∂ρ

Kcq”

ε2

√(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

∣∣∣∣∣∣z=0

−q[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

] +−q′

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + (z + z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

=−q”

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + (z − z′)2

]

∣∣∣∣∣∣∣z=0

−q[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + z′2

] +−q′

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε1

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

=−q”

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]−1/2(ρ− ρ′)

ε2

[(ρ− ρ′)2 + z′2

]

q”

ε2=q + q′

ε1(12.23)

las expresiones (12.22, 12.23) nos dan un conjunto de dos ecuaciones con dos incognitas que al resolver nos da

q′ = −q(ε2 − ε1ε2 + ε1

); q” = q

(2ε2

ε2 + ε1

)(12.24)

Reemplazando (12.24) en (12.20) y (12.21), escribimos entonces q” y q′ (cargas imagen) en terminos de q (carga real).De lo cual el potencial en ambos medios se escribe como

φ1 (r) =Kcq

ε1 |r− r′| −(ε2 − ε1)Kcq

ε1 (ε1 + ε2) |r− r′i|; φ2 (r) =

2Kcq

(ε2 + ε1) |r− r′| (12.25)

se puede observar que el potencial es contınuo en la interfase. Adicionalmente, para ε1 = ε2 = ε se obtiene

φ1 = φ2 =Kcq

ε |r− r′|


volviendo al caso general, el potencial en todo el espacio se puede escribir en forma mas compacta

φ (r) =Kcq

ε1

[1

|r− r′| −(ε2 − ε1)

(ε1 + ε2) |r− r′i|

]θ (z) +

[2Kcq

(ε2 + ε1) |r− r′|

]θ (−z) (12.26)

siendo θ (z) la funcion paso o escalon. La densidad volumetrica de polarizacion en ambos medios esta dada por

ρp1 = −∇ ·P1 , ρp2 = −∇ ·P2

por otro lado, cada medio produce una densidad de carga de polarizacion superficial con lo cual se puede calcular lacarga de polarizacion superficial total que yace en la interfase z = 0:

σp1 = P1 · n12 = −P1 · uz ; σp2 = P2 · n21 = P2 · uz ⇒σp = σp1 + σp2 = (P2 −P1) · uz

Con P = χl

4πKcE ⇒ P =

(ε−14π

)E . Evaluando en la superficie teniendo en cuenta que D es contınuo en virtud

de la ausencia de carga libre en la superficie, tenemos

P1 =ε1 − 1

4πE1 =

− (ε1 − 1)

4π∇φ1 ; P2 =

ε2 − 1

4πE2 =

− (ε2 − 1)

4π∇φ2

recuerdese que aunque φ es contınuo, el gradiente no necesariamente lo es. La carga neta resulta

σp =(ε1 − ε2)

4π∇φ

φ es el campo debido a la distribucion ρ (r′) en z > 0. En particular, para carga puntual q en r′

σp =q (ε1 − ε2) z

′

2πε1 (ε1 + ε2)[(ρ− ρ′)2 + z′2

]3/2 (12.27)

Vemos que aunque no hay cargas libres sobre la interface, sı se acumulan cargas de polarizacion. Un resultado muyinteresante se ve en el lımite en el cual ε2 >> ε1 ya que en este caso el campo electrico en el medio 2 (medioexterior a la carga) se apantalla fuertemente, y la densidad superficial en (12.27) se aproxima al valor que adquirirıauna superficie conductora. El comportamiento global del medio 2 se asemeja al de un conductor, mostrando que losdielectricos tambien pueden bajo ciertas condiciones actuar como escudos electrostaticos.

En resumen, lo que tenemos es el potencial generado por una carga puntual en z > 0 en presencia de una interfaseque separa dos medios dielectricos. En consecuencia, si hacemos Kcq = 1 en (12.26) se obtiene una funcion de Green

Gε1,ε2(r, r′

)=

1

ε1

[1

|r− r′| −(ε2 − ε1)

(ε1 + ε2) |r− r′i|

]θ (z) +

[2

(ε2 + ε1) |r− r′|

]θ (−z) (12.28)

que corresponde a la funcion de Green para todo el espacio (ya que la region de Dirichlet es todo el espacio) condielectricos semiinfinitos separados por una interfase en z = 0, y con carga unidad solo en z > 0. Por lo tanto, lafuncion de Green (12.28) nos permite calcular el potencial generado por cualquier distribucion de carga localizadaubicada en z > 0, en presencia de medios dielectricos ε1 en z > 0 y ε2 en z < 0,

φε1,ε2 (r) =

∫

z>0ρf(r′)Gε1,ε2

(r, r′

)dV ′

se puede ver que con ε1 = ε2 = 1 se obtiene el resultado esperado.

G11

(r, r′

)=θ (z) + θ (−z)

|r− r′| =1

|r− r′|

Nota: Es importante diferenciar entre las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann, y las condiciones defrontera entre medios dielectricos. Las primera son condiciones relacionadas con el conocimiento del potencial o de suderivada normal, en tanto que las segundas son condiciones relacionadas con el conocimiento de la constante dielectricaa ambos lados de la frontera. Por ejemplo, las Ecs. (12.18) son condiciones en la derivada normal del potencial. No

12.8. FUNCION DE GREEN PARA ESPACIO INFINITO CON SEMIESPACIOS DIELECTRICOS 195

obstante, estas NO son condiciones de Neumann ya que en esta interfase no conocemos el valor especıfico de estaderivada, solo sabemos que hay una relacion entre dichas derivadas a ambos lados de la superficie. Adicionalmente,las superficies entre dielectricos no tienen que ser cerradas para garantizar la unicidad del potencial. En el caso quehemos resuelto la condicion de frontera en el potencial es de tipo Dirichlet, con superficie que encierra a todo elespacio y condicion de potencial cero en el infinito. La condicion de frontera dielectrica en cambio esta definida sobreel plano XY . No obstante, ambas condiciones de frontera son necesarias para definir el potencial.

————————————

Asociada al potencial que es solucion de ∇2φ (r) = −4πε ρf existe una funcion de Green definida por

∇2G(r, r′

)= −4π

εδ(r− r′

)

para cada region en donde ε es constante. Para el problema de Dirichlet el potencial es

φ (r) =

∫ρf(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∫

Sφ(r′) ∂G (r, r′)

∂n′dS′

La region encerrada (con superficie donde G = 0) puede ser finita o infinita y puede contener dielectricos de diferenteε. ¿Es factible definir G (r, r′) si ε = ε (r)?. ¿De que modo?.

Algunos potenciales y funciones de Green se pueden evaluar de forma inmediata.

1) Para espacio infinito ocupado por dielectrico ε y una carga puntual q:

φε (r) =q

ε |r− r′| ; Gε(r, r′

)=

1

ε |r− r′|

Ası, para distribucion arbitraria φ (r) =∫ρ (r′)G (r, r′) dV ′

2) Para espacio semi-infinito ocupado por dielectrico y con condiciones de Dirichlet

G(r, r′

)=

1

ε |r− r′| −1

ε |r− r′i|

12.8. Funcion de Green para espacio infinito con semiespacios dielectricos

Hemos encontrado la funcion de Green para dos medios dielectricos semiinfinitos con interface plana, pero con larestriccion de que la solucion del potencial solo se puede hacer en el caso en que la distribucion de carga este ubicadaen uno solo de los medios, z > 0. Veamos un caso mas general en que permitimos que haya carga en ambos medios.En tal caso la funcion de Green debe ser inhomogenea a ambos lados de la interfase.

∇2G1

(r, r′

)= −4π

ε1δ(r− r′

)z < 0

∇2G2

(r, r′

)= −4π

ε2δ(r− r′

)z > 0

mas sinteticamente

∇2[G1

(r, r′

)θ(−z′)+G2

(r, r′

)θ(z′)]

= −4πδ(r− r′

) [θ (−z′)ε1

+θ (z′)ε2

]

Descomponiendo en Fourier para x, y con

G1,2 =

∫ei[kx(x−x

′)+ky(y−y′)]f1,2(z, z′

)dkxdky

se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales

d2f1,2dz2

− γ2f1,2 = − 1

πδ(z − z′

); γ2 ≡ k2x + k2y


hasta aquı las soluciones son exactamente iguales, pero esta igualdad deja de ser cierta cuando demandamos lascondiciones de frontera. Al tener en cuenta que f1,2 → 0 cuando z → ∓∞ respectivamente, las funciones quedan

f1 (z) = eγz<(Aeγz> +Be−γz>

); f2 (z) = e−γz>

(Ceγz< +De−γz<

)

Las condiciones de frontera son

ε1∂G1

∂z

∣∣∣∣z=0

= ε2∂G2

∂z

∣∣∣∣z=0

∂G1

∂x

∣∣∣∣z=0

=∂G2

∂x

∣∣∣∣z=0

Naturalmente existe una condicion de frontera asociada a la derivada parcial en y pero no da informacion adicional,lo cual se ve de la simetrıa azimuthal. Con estas condiciones se obtienen las siguientes ecuaciones

A−B = ε2e−2γz′

ε1(C −D) ; A+B = e−2γz′ (C +D)

por integracion de las ecuaciones diferenciales para f1 y f2 se obtiene

B =1

2πε1γ; C =

1

2πε2γ

de lo cual resulta finalmente

A =1

2πε1γ

[2ε1e

−2γz′ + ε1 − ε2

] 1

ε1 + ε2

D =1

2πε2γ

[2ε2e

−2γz′ + ε2 − ε1

] 1

ε1 + ε2

En el lımite ε1 = ε2 = ε se obtiene el resultado esperado

G(r, r′

)=

1

π

∫ ∫ei[kx(x−x

′)+ky(y−y′)+γ(z<−z>)]

εγdkx dky

12.9. Esfera dielectrica de radio a colocada en dielectrico ∞. Carga puntual

en r′ > a.

Sea una esfera dielectrica de radio a con permitividad ε1 y el resto del espacio tiene permitividad ε2. La cargaesta en el exterior de la esfera y es localizada, ası que la region de Dirichlet es el espacio infinito. Por tanto, elpotencial en el exterior obedece a una ecuacion de Poisson y en el interior es una ecuacion de Laplace. Esto lo debenmanifestar las funciones de Green

∇2G1

(r, r′

)= 0 ; ∇2G2

(r, r′

)= −4π

ε2δ(r− r′

)

Lo mas natural es asumir una expansion en armonicos esfericos para las funciones de Green

G1,2

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) f (1,2)lm

(r, r′

)(12.29)

usando el Laplaciano en coordenadas esfericas llegamos a

1

r

∂2

∂r2

(rf (2)

)− l (l + 1)

r2f (2) = −4π

ε2δ(r− r′

)(12.30)

resolviendo la ecuacion homogenea, es decir para r 6= r′ se obtiene

f (2)(r, r′

)= r−l−1

>

(Arl< +Brl+1

<

)

12.9. ESFERADIELECTRICADE RADIOA COLOCADA ENDIELECTRICO∞. CARGA PUNTUAL ENR′ > A.197

Un procedimiento analogo para G1 nos da

f (1)(r, r′

)= C

(r′)rl

(r−l−1 diverge en r → 0.

)

quedando

G1

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)rl

G2

(r, r′

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) [r−l−1

>

(Arl< +Br−l−1

<

)]

La aplicacion de las condiciones de frontera,

ε1∂G1

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε2∂G2

∂r

∣∣∣∣r=a

,∂G1

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∂G2

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

(siendo la tercera condicion linealmente dependiente con estas), nos da

ε1∂G1

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε1

∞∑

l=0

l∑

m=−ll Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)al−1

ε2∂G2

∂r

∣∣∣∣r=a

= ε2∂

∂r

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) [(r′

)−l−1(Arl +Br−l−1

)]∣∣∣∣∣r=a

= ε2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) (r′

)−l−1[lAal−1 − (l + 1)Ba−l−2

]

donde hemos tenido en cuenta que la carga esta fuera i.e. r′ > a, de modo que si r = a ⇒ r = r<. Igualando estasexpresiones

ε1l C(r′)al−1 = ε2

(r′)−l−1

[lAal−1 − (l + 1)Ba−l−2

]⇒

ε1l C(r′)

= ε2

(r′)−l−1

[lA+ (l + 1)Ba−2l−1

]

la otra condicion de frontera nos da

∂G1 (r, r′)

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=

∞∑

l=0

l∑

m=−l

∂Ylm (θ, ϕ)

∂ϕY ∗lm

(θ′, ϕ′) C

(r′)al

∂G2 (r, r′)

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∞∑

l=0

l∑

m=−l

∂Ylm (θ, ϕ)

∂ϕY ∗lm

(θ′, ϕ′) [(r′

)−l−1(Aal +Ba−l−1

)]

C(r′)al =

[(r′)−l−1

(Aal +Ba−l−1

)]⇒

C(r′)

=[(r′)−l−1

(A+Ba−2l−1

)]

resultan dos ecuaciones con tres incognitas, con un poco de algebra vemos que

B =(l + 1) (ε2 − ε1) a

2l+1

[ε1 (l + 1) + ε2l]; C

(r′)=

Ar′−l (2l + 1)

[ε1 (l + 1) + ε2l]

el coeficiente A se puede evaluar integrando la ecuacion diferencial (12.30) para f (2), de lo cual se obtiene A =4π/ (2l + 1) ε2. Finalmente

G(r, r′

)=

4π

ε2

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) ε2r

l

[ε1 (l + 1) + ε2l]θ (a− r)

+r−l−1>

(rl< +

(l + 1) (ε2 − ε1) a2l+1r−l+1

<

[ε1 (l + 1) + ε2l]

)θ (r − a)

(12.31)


una vez mas podemos obtener el valor esperado cuando hacemos ε1 = ε2 = ε

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) εrl

[ε (l + 1) + εl]θ (a− r)

+r−l−1> rl<θ (r − a)

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

(r′)−l−1 (2l + 1) εrl

ε (2l + 1)θ (a− r)

+r−l−1> rl<θ (r − a)

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl

(r′)l+1θ (a− r)

+rl<

rl+1>

θ (r − a)

ahora teniendo en cuenta que θ (a− r) solo es no nulo cuando r < a, y asumiendo que solo hay carga en elexterior es decir r′ > a, se tiene que r′ = r> y r = r< con lo cual

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

[rl<

(r>)l+1

θ (a− r) +rl<

rl+1>

θ (r − a)

]

G(r, r′

)=

4π

ε

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

(r>)l+1

(12.32)

lo cual reproduce la funcion de Green para espacio infinito en el vacıo cuando ε = 1, Ec. (9.9). Es importante enfatizarque para llegar de (12.31) a (12.32) con ε1 = ε2 = ε, fue necesario usar ademas el hecho de que la carga libre esexterior a la esfera.

12.10. Energıa potencial en presencia de dielectricos

Supongamos que tenemos un dielectrico inicialmente descargado y sin campo externo. Vamos a formar unadistribucion de cargas en cercanıas del dielectrico, para lo cual tenemos que armar las cargas trayendolas del infinitocomo es usual. Sin embargo, a diferencia del caso en el cual el dielectrico esta ausente, la presencia del dielectricoinduce un campo adicional que se agrega al campo de la distribucion de carga. Por tanto al traer una nueva carga,dicha carga tiene que vencer el campo generado por la superposicion del campo de las cargas mas el campo inducidoen el dielectrico. En ultimas podemos decir que el trabajo realizado no solo debe armar la configuracion sino quetambien debe polarizar el dielectrico.

Supongamos que ya hemos traıdo una cierta cantidad de carga, de modo que el dielectrico ya esta polarizado. Elcampo resultante en cierto punto sobre una carga dq′ es la suma de los dos campos ya explicados. Cuando traemosmas carga el dielectrico se polariza aun mas de modo que el campo de polarizacion al igual que el generado por lascargas, es variable en el proceso.

En particular, el campo que tiene que vencer la partıcula viniendo desde el infinito hasta un punto, es menorque si solo existiera la distribucion de cargas, y el trabajo necesario para armar la distribucion es menor en presenciade un dielectrico. Es importante enfatizar que el trabajo necesario para armar las cargas en presencia del dielectricocorresponde a el cambio en la energıa interna del sistema cargas-dielectrico y no del sistema de cargas solamente (yaque con este trabajo no solo se reorganizan las cargas libres del sistema sino tambien las cargas de polarizacion deldielectrico). El calculo del proceso es analogo al caso sin dielectrico

W =1

2

∫

V ol. de la distribucionρf (r)φ (r) dV =

1

2

∫

Todo el espacioρf (r)φ (r) dV

12.10. ENERGIA POTENCIAL EN PRESENCIA DE DIELECTRICOS 199

la extrapolacion a todo el espacio es posible siempre que el dielectrico no posea cargas libres. Con ρf = 14π∇ ·D ⇒

W =1

8π

∫φ∇ ·D dV =

1

8π

∫∇ · (φD) dV − 1

8π

∫D · ∇φ dV

=1

8π

∫φD · dS+

1

8π

∫D · E dV

Si la distribucion esta localizada la integral de superficie desaparece quedando

W =1

8π

∫

todo el espacioD · E dV

este resultado es valido incluso si el medio dielectrico es no lineal, anisotropo, e inhomogeneo ya que solo depende dela ecuacion ∇ ·D = 4πρf . Pero sı depende de que hagamos aproximacion dipolar para el dielectrico. Observese queaquı como antes se pueden definir varias densidades de energıa, todas ellas diferentes.

12.10.1. Distribucion sobre esfera dielectrica

Es interesante calcular la energıa potencial de una distribucion q de carga libre colocada en la superficie de unaesfera (conductora) de radio b, recubierta por un cascaron dielectrico ε de radio exterior a. En virtud de la simetrıadel sistema, es conveniente comenzar con la ley de Gauss

∫D · dS = 4πq ⇒ D=

q

r2⇒ E =

q

εr2

E =

qεr2

si b < r < aqr2 si r > a0 si r < b

W =1

8π

∫

todo el espacioE ·D dV =

1

8π

∫

b≤r≤aE ·D dV +

1

8π

∫

r≥aE ·D dV

=q2

2

[1

ε

(1

b− 1

a

)+

1

a

]

Si no hubiese dielectrico (o si su polarizacion es muy pequena) entonces ε = 1

W0 =q2

2b

W −W0 =−q2

(1− b

a

)(ε− 1)

2εb< 0

Por otro lado si a→ ∞ ⇒W −W0 = − q2(ε−1)2εb =WD

La cantidad WD nos da el incremento de energıa del dielectrico al ser colocado alrededor de q. (este incrementoes negativo).

Es importante mencionar que en este problema las fuentes libres del campo han sido mantenidas fijas. Al introducirdielectrico el campo de polarizacion se opone al campo original y lo disminuye. Ası, el trabajo para mover una cargaes ahora menor, esto es consecuente con el hecho de que WD sea negativo.

Si en el anterior problema, en vez de q fija tenemos V constante en el cascaron obtendremos para radio infinito

W = 2πεbV 2

W0 = 2πbV 2

W −W0 = 2πbV 2 (ε− 1) > 0

En este caso la fuente de potencial suministra energıa para hacer fluır cargas al cascaron


Example 15 Condensador de placas paralelas con carga fija en las placas: (q,−q) en este caso D = 4πσf ⇒ εE =4πσf , la energıa viene dada por

Uε =1

8π

∫(D · E) dV =

1

8π

∫(4πσf ) ·

(4πσfε

)dV =

2πσ2fε

Ad⇒

Uε =2πσ2fAd

ε⇒ Uε − Uε0 = −2πσ2Ad (ε− 1)

ε< 0

El campo dentro de las placas es menor cuando hay dielectrico, esto hace que V sea menor en presencia de este ypor tanto tambien es menor el trabajo necesario para desplazar una carga positiva de la placa negativa a la positiva.

Example 16 Condensador de placas paralelas con voltaje fijo entre ellas:

Uε =1

8π

∫(D ·E) dV =

ε

8π

∫E2 dV =

ε

8π

∫ (V

d

)2

dV =εV 2

8πd2Ad

Uε =V 2εA

8πd⇒ Uε − Uε0 =

V 2A

8πd(ε− 1) > 0.

El campo electrico entre las placas es V/d de modo que es fijo, con o sin dielectrico, pero la baterıa suministra cargasa las placas para mantener V constante cuando se introduce el dielectrico. Notese que aquı no es fija la distribucionde carga libre y hay un agente externo que provee la carga libre adicional (la baterıa).

12.11. Energıa de un dielectrico en un campo externo

Supongamos que originalmente tenemos una distribucion de cargas libres que permanece fija y que genera uncampo E0. La energıa de esta distribucion sera W0 =

18π

∫E0 ·D0 dV. En el vacıo D0 = E0. Introduzcamos ahora un

dielectrico en las cercanıas de la distribucion (un proceso inverso al anterior). El campo cambia a los valores E,D ytendremos que W = 1

8π

∫E ·D dV , el cambio de energıa interna debido a la introduccion del dielectrico es

W −W0 =1

8π

∫[E ·D−E0 ·D0] dV

E ·D−E0 ·D0 = E ·D0 −E0 ·D+ (E+E0) · (D−D0)

W −W0 =1

8π

∫[E ·D0 −E0 ·D+ (E+E0) · (D−D0)] dV

A continuacion veremos que la integral del ultimo termino es nula si la carga y el dielectrico son localizados

∇× [E+E0] = 0 ⇒ E+E0 = −∇φ

siendo φ la suma de los potenciales asociados a E y E0.

∫(E+E0) · (D−D0) dV = −

∫∇φ · (D−D0) dV

=

∫∇ · [(D−D0)φ] dV −

∫φ∇ · [(D−D0)] dV

=

∫(D−D0)φ · dS−

∫φ [4π (ρf − ρf )] dV

la primera integral tambien se anula cuando hacemos tender la superficie a infinito. Continuamos calculando W −W0

W −W0 =1

8π

∫[E ·D0 −E0 ·D] dV =

1

8π

∫[E · E0 −E0 ·D] dV

12.11. ENERGIA DE UN DIELECTRICO EN UN CAMPO EXTERNO 201

notese que el integrando se anula en las regiones fuera del dielectrico ya que en el exterior de este se tiene que D = E,por tanto la integral se puede restringir al volumen interior al dielectrico y en dicha region se cumple que D = εE

W −W0 =1

8π

∫

int diel[E ·E0 − εE0 · E] dV = − 1

8π

∫

int diel(ε− 1)E · E0 dV

y teniendo en cuenta que D = εE = E+ 4πP se tiene que P = (ε−1)E4π de modo que

W −W0 = −1

2

∫P ·E0 dV =WD

esta integral incluso se puede extender a todo el espacio ya que en el exterior del dielectrico el vector de polarizaciones nulo. Esta integral corresponde a la energıa de un dielectrico colocado en un campo externo E0 i.e. el trabajonecesario para traerlo desde el infinito hasta su configuracion final.

Example 17 Volviendo al cascaron conductor rodeado de dielectrico infinito tenemos E0 = q/r2, P = (ε−1)E4π ⇒

P = (ε−1)q4πεr2

, por tanto

WD = −1

2

∫P ·E0 dV = −(ε− 1) q2

2εb

que coincide con el resultado ya obtenido.

Capıtulo 13

Magnetostatica

13.1. Aspectos generales

Hasta el momento hemos estudiado configuraciones estaticas de carga. Cuando las cargas se ponen en movimientose generan corrientes que ademas del conocimiento de la densidad de carga, requieren del conocimiento de la direccionen que estas se desplazan, surge ası el concepto (vectorial) de densidad de corriente, definida como la cantidad decarga que cruza una superficie unidad en la unidad de tiempo, multiplicada por un vector unitario en la direccionde desplazamiento de las cargas. A traves de diversos experimentos se demostro que estas corrientes interactuan conuna carga puntual a traves de una interaccion no central y dependiente de la velocidad de la carga puntual. Paraentender la naturaleza no central de la fuerza producida, se puede ver que el caracter central de la ley de Coulomb esconsecuencia de la isotropıa del espacio y del hecho de que el unico vector privilegiado es la coordenada relativa entrelas partıculas. La introduccion de una velocidad para la “partıcula de prueba” ası como de una velocidad asociadaal movimiento de las cargas fuente (corriente) hace que exista por lo menos dos vectores privilegiados adicionalesasociados con la propagacion de la corriente y de la carga de prueba. La dependencia de la fuerza con la velocidad dela partıcula de prueba, pone a esta ley de fuerzas en inmediato conflicto con las leyes de Newton, ya que no es posibleconciliar con la primera y segunda ley de Newton a una fuerza que dependa de la velocidad de una partıcula conrespecto al sistema de referencia inercial que se tome. Para ver esto, notemos que para este tipo de fuerza, si tenemosuna partıcula que viaja a velocidad constante podemos tener un sistema de referencia inercial donde la fuerza esdiferente de cero y otro (el sistema de referencia en el cual la partıcula esta en reposo, que tambien inercial) en dondela fuerza es nula, la segunda ley tendrıa entonces una forma diferente para dos sistemas de referencia inerciales. Estaclase de contradicciones son las que condujeron a la teorıa de la relatividad especial1.

A diferencia del caso electrico, no es posible dividir experimentalmente una corriente entre sus constituyentesprimarios. Por ejemplo, si tenemos una corriente estacionaria en un circuito cerrado, no podemos hacer experimentoscon un segmento del circuito que sostenga la misma corriente estacionaria. Por esta razon, todo calculo real debeimplicar al circuito como un todo, aunque en algunos casos es posible modelar matematicamente el aporte de un solosegmento.

En este capıtulo y el siguiente, estudiaremos escenarios en donde la corriente es estacionaria, lo cual implica que ladensidad de corriente solo puede ser funcion de la posicion y no puede ser funcion explıcita del tiempo. Antes de entraral formalismo de fuerzas y campos, estudiaremos mas detalladamente el significado de la naturaleza estacionaria de lacorriente, a la luz del principio de conservacion de la carga electrica traducido en la llamada ecuacion de continuidad.

13.2. El concepto de flujo de carga

Para caracterizar el flujo de carga que entra o sale de una region cerrada, primero caracterizaremos el flujo sobreun elemento diferencial de superficie dS. Por definicion, J es la cantidad de carga por unidad de tiempo que atraviesaun area unidad y que es perpendicular a la direccion de propagacion de la corriente (i.e. el vector de superficie esparalelo a la velocidad de las cargas que forman la corriente). Este vector queda localmente determinado si calculamos

1Por ejemplo, para el caso de las fuerzas viscosas es usual introducir un ansatz en el cual la fuerza viscosa es proporcional a la velocidadde la partıcula relativa al fluıdo en el cual dicha partıcula esta inmersa. Sin embargo esta es una velocidad relativa entre la partıcula y elfluıdo, la cual es invariante bajo un cambio de sistema de referencia inercial, al menos con las transformaciones de Galileo. Estas fuerzaspor tanto no entran en conflicto con la leyes de Newton.

203

204 CAPITULO 13. MAGNETOSTATICA

Figura 13.1: (a) Cuando la densidad de corriente es paralela al vector de superficie (i.e. perpendicular a la superficie),la carga que cruza tal superficie en un intervalo de tiempo ∆t, yace dentro del ortoedro cuya base es dS y cuya alturaes ∆L = v ∆t, siendo v la velocidad de las cargas que generan la corriente. (b) Cuando las cargas se propagan endireccion perpendicular al vector de superficie (i.e. paralelo a la superficie), las cargas no cruzan tal superficie demodo que no hay flujo de cargas a traves de dS.

Figura 13.2: (a) La carga que incide oblıcuamente sobre una superficie yace sobre el paralelepıpedo indicado en lafigura. (b) Cuando las cargas inciden oblıcuamente sobre la superficie forman un angulo θ con el vector de superficie.La componente de la velocidad de las partıculas que va a lo largo del vector de superficie (i.e. perpendicular a lasuperficie) es la unica que contribuye al flujo a traves de tal superficie.

el flujo sobre un elemento diferencial de area dS. Al ser dS infinitesimal, podemos considerar que todas las cargas queatraviesan esta ventana poseen la misma velocidad (en direccion y magnitud). Construyamos un elemento diferencialde superficie dS = u dS, tal que las cargas lo atraviesan con velocidad v = vu, de modo que el “parche” diferencialde superficie es perpendicular a la corriente. Por simplicidad asumiremos un diferencial rectangular de superficie.Ahora vamos a calcular la cantidad de carga que atraviesa esta superficie en un tiempo ∆t (asumiendo velocidadconstante dentro de dicho intervalo temporal). Es claro que las cargas que atraviesan esta superficie en el tiempo ∆testan dentro de un ortoedro cuya base es dS y cuya altura es v ∆t, como se ilustra en la Fig. 13.1(a). Por tanto lacantidad de carga que atraviesa esta superficie en el tiempo ∆t esta dada por

∆Q = ρ ∆V = ρ (dS) (v∆t)

13.2. EL CONCEPTO DE FLUJO DE CARGA 205

siendo ∆V el volumen del ortoedro ya mencionado, y ρ la densidad de carga al interior de dicho volumen. La cantidadde carga por unidad de area y unidad de tiempo es2

‖J‖ = J =∆Q

dS ∆t= ρ v

y puesto que u define la velocidad de las cargas y por tanto la direccion de la densidad de corriente, se tiene que

J = ρv (13.1)

Ahora bien, definimos el flujo de carga sobre la superficie dS como la cantidad de carga por unidad de tiempo queatraviesa a la superficie dS. Tenemos entonces

F ≡ J dS

Por otra parte, es importante caracterizar el flujo que cruza una superficie que es oblicua a la direccion de lacorriente. La Fig. 13.1(b) muestra que si la corriente es paralela al “parche de area” (i.e. perpendicular al vector dearea) entonces la carga no atraviesa la superficie y el flujo serıa nulo. En consecuencia las figuras 13.1 (a) y (b) nosmuestran dos casos extremos en los cuales el flujo se maximiza y minimiza respectivamente.

Finalmente, cuando la direccion de la corriente forma un angulo θ con el vector de area como se ilustra en laFig. 13.2(b), solo la componente paralela al vector de area contribuye al flujo, ya que la componente perpendicularal vector de area no atraviesa la superficie. Por tanto el flujo viene dado por

F ≡ ‖J‖ ‖dS‖ cos θ = J · dS

Alternativamente, se puede obtener este flujo observando que las cargas que atraviesan la superficie dS en un tiempo∆t estan dentro de un paralelogramo como el de la Fig. 13.2(a), donde la longitud de las aristas punteadas es∆L = v ∆t de modo que la altura del paralelogramo es ∆H = ∆L cos θ, con lo cual la carga total contenida en elparalelogramo es

∆Q = ρ ∆V = ρ (dS) (∆H) = ρ dS ∆L cos θ

∆Q = ρ dS (v ∆t) cos θ

y la cantidad de carga por unidad de tiempo que atraviesa la superficie dS es

F =∆Q

∆t= ρv dS cos θ = J dS cos θ = J · dS

Ahora supongamos que dS es un parche diferencial sobre una superficie cerrada S que delimita a un volumen V .En tal caso, si definimos a dS como perpendicular al parche y hacia afuera del volumen, vemos que J · dS es positivasi la carga fluye hacia afuera del volumen en tanto que sera negativa si la carga fluye hacia adentro del volumen. Elflujo total de carga sobre la superficie cerrada estara dado por la integral del flujo diferencial sobre tal superficie

FT =

∮

S

J · dS

si el flujo neto es hacia afuera la integral sera positiva y si el flujo neto es hacia adentro la integral sera negativa.Por supuesto pueden haber contribuciones tanto positivas como negativas en diversas regiones de la superficie, esdecir puede haber carga entrando en algunas zonas y saliendo en otras. El signo de FT solo nos dice si en total estasaliendo o entrando la carga en el volumen.

2Si dS se hace tender a cero en las dos dimensiones y si ∆t tiende a cero, el volumen ∆V tenderıa a cero en sus tres dimensiones, demodo que la densidad de carga en su interior estarıa bien definida. Adicionalmente, la velocidad de las cargas que cruzan tal superficie yque estan dentro de ∆V estara bien definida, aun si las cargas se mueven en todas direcciones o con variadas rapideces.


13.3. Conservacion de la carga electrica y ecuacion de continuidad

Dado que ahora estudiaremos fenomenos que involucran cargas en movimiento i.e. corrientes, y que existe unprincipio de conservacion de la carga, debemos ver como se traduce este importante principio de conservacion enterminos de una ecuacion diferencial. Si tenemos una region cerrada la carga que sale (entra) se debe manifestarcomo una disminucion (aumento) de la carga en el interior. De no ser ası, significa que se esta creando o destruyendocarga neta de manera espontanea. La carga que sale por unidad de tiempo del volumen V es

∮

S

J · dS

y esta cantidad debe ser igual a la disminucion de carga en el interior por unidad de tiempo

∮

S

J · dS = −dqintdt

el signo menos se puede entender teniendo en cuenta que cuando la carga sale (entra) el signo de la integral desuperficie es positivo (negativo), esto implica que la carga en el interior debe disminuir (aumentar) es decir debe seruna funcion decreciente (creciente) del tiempo y por lo tanto su derivada debe ser negativa (positiva). Por tanto, elsigno menos garantiza que ambos miembros tengan el mismo signo en ambas circunstancias. La carga en el interiorse puede escribir en la forma

−dqintdt

= − d

dt

∫ρ dV

donde la integral de volumen se realiza en un instante fijo de tiempo y la derivada depende de este valor evaluado ent y en t + dt. Sin embargo, el volumen y un cierto punto x, y, z dentro de este son fijos en el proceso, de modo queesta es realmente una derivada parcial en el tiempo.

−dqintdt

= −∫∂ρ

∂tdV ⇒

∮

S

J · dS = −∫∂ρ

∂tdV

y utilizando el teorema de la divergencia se obtiene

∫ [∇ · J+

∂ρ

∂t

]dV = 0

como el volumen en cuestion es arbitrario, llegamos a la ecuacion diferencial

∇ · J+∂ρ

∂t= 0 (13.2)

esta ecuacion diferencial se conoce como ecuacion de continuidad y expresa la conservacion de la carga electricaen procesos generales donde existen corrientes que pueden incluso depender del tiempo. Cuando fluye una ciertacantidad de carga hacia afuera (adentro) del volumen, la cantidad de carga disminuye (aumenta) a la misma rataen que tal carga sale (entra). Vale decir que la ecuacion diferencial es extrapolable para expresar la conservacion demuchas cantidades escalares que puedan desplazarse como un fluıdo (corrientes generalizadas), tales como energıa,masa, probabilidad, etc.

13.4. Ecuacion de continuidad y regimen estacionario

Hemos descrito la situacion estacionaria como aquella en que la densidad de corriente en todas las regiones deinteres solo depende de la posicion y no depende explıcitamente del tiempo. En este caso las lıneas de J mantienen suforma en el tiempo. Por otro lado, si en un volumen determinado la corriente que entra no es igual a la corriente quesale, en virtud de la conservacion de la carga habra un flujo neto (constante en el tiempo) que entra o sale de dichovolumen, esto trae como consecuencia que haya un aumento o disminucion de carga que crece sin cota (ya que el flujono puede aumentar ni disminuır en el tiempo por la condicion de estacionaridad) produciendo una carga que crece

13.5. LEYES DE AMPERE Y BIOT-SAVART 207

al infinito en magnitud (positiva o negativa). Este argumento conduce al hecho de que en regimen estacionario ladivergencia de la densidad de corriente debe ser cero a fin de que el flujo se anule en cualquier volumen de referenciaque tomemos.

∇ · J = 0 (13.3)

que de acuerdo con la ecuacion de continuidad (13.2) implica que la densidad de carga no depende explıcitamentedel tiempo

∂ρ

∂t= 0

Adicionalmente la corriente que atravieza cierta superficie S (abierta o cerrada) esta dada por

I =

∫J (r) · dS

y sera claramente constante en el tiempo. Las corrientes seran en consecuencia constantes en el regimen estacionario.Una vez definido el regimen estacionario y sus implicaciones, procedemos a desarrollar el formalismo de fuerzascampos y potenciales cuando tenemos corrientes estacionarias.

13.5. Leyes de Ampere y Biot-Savart

A partir de razonamientos empıricos provenientes de la experimentacion se puede ver que la fuerza entre doscircuitos cerrados a y b con corrientes electricas estacionarias ia e ib puede escribirse en la forma

Fa→b =1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r3ab=

1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r2ab(13.4)

Esta expresion nos da la fuerza ejercida por el circuito a sobre el b. Donde dla, dlb son segmentos diferenciales delos circuitos que tienen las direcciones de las corrientes ia e ib, respectivamente y rab es el vector posicion trazadodesde el segmento dla hasta el segmento dlb. La integral es sobre lazos cerrados. La corriente electrica es i = dq/dtsus unidades en el cgs son el statamperio (statcoulomb/seg) y en MKS el amperio (coulombio/seg). En la expresion(13.4) se considera valido el principio de superposicion (formalismo Newtoniano), puesto que se asume que lafuerza de a sobre b es la suma (integral) de la fuerza de a sobre cada elemento diferencial de b.

En condiciones estacionarias se espera que la fuerza entre circuitos satisfaga la ley de accion y reaccion, peroesto no es evidente de la expresion (13.4). Para que se vea explıcitamente que la ley de fuerzas (13.4) satisface la leyde accion y reaccion, utilizaremos la identidad vectorial

dlb × (dla × rab) = (dlb · rab) dla − (dlb · dla) rabcon lo cual la Ec. (13.4) queda

Fa→b =1

c2iaib

[∮

a

∮

b

(dlb · rab) dlar2ab

−∮

a

∮

b

(dlb · dla) rabr2ab

]

Fa→b =1

c2iaib

[∮

adla

∮

b

(dlb · rab)r2ab

−∮

a

∮

b


]

En la primera integral cada elemento diferencial de corriente ia dla aparece interactuando con el circuito b. Porotro lado, en el proceso de integracion sobre el circuito b, el segmento dla permanece fijo y recorremos los diferentessegmentos dlb. Esto equivale a decir que en el proceso de integracion sobre el circuito b, el origen de rab permanecefijo y por tanto dlb = drab, de donde

∮

b

dlb · rabr2ab

=

∮

b

drab · rabr2ab

=

∮

bd

(1√

rab·rab

)=

1√rab·rab

∣∣∣∣2

1

esta integral se anula para lazos cerrados, tambien se anula si la corriente se extiende desde −∞ hasta ∞. La fuerzaresulta

Fa→b = − 1

c2iaib

∫

a

∫

b


(13.5)


de la Ec. (13.5) es claro que Fa→b = −Fb→a, de modo que satisface la ley de accion y reaccion. En condiciones noestacionarias la tercera ley de Newton no se satisface. Esto se debe a que en condiciones no estacionarias, ya nopodemos considerar a la interaccion como instantanea y parte del momento es transportado por los campos

Esta misma interaccion se puede escribir en terminos de campos. Podemos ver la fuerza del circuito a sobre el bcomo la interaccion del campo generado por a con el circuito b. Para lograr esta vision, debemos separar las corrientesque actuan como fuentes, de las corrientes de prueba. Retornando a la Ec. (13.4) podemos separar las fuentes de lasiguiente manera

Fa→b =1

c2iaib

∮

a

∮

b

dlb × (dla × rab)

r2ab

=ibc

∮

bdlb ×

(1

cia

∮

a

dla × rabr2ab

)

el termino entre parentesis depende solo del circuito a (fuente). Con lo cual podemos definir el vector induccionmagnetica B como

Ba =iac

∮

a

dla × rabr2ab

(13.6)

expresion conocida como ley de Biot Savart. La fuerza queda entonces

Fab =1

cib

∮

bdlb ×Ba (13.7)

expresion conocida como ley de Ampere que nos da la interaccion del circuito b con el campo magnetico generadopor el circuito a. De la ley de Biot-Savart se ve que dado que rab y dla son vectores polares, su producto cruz es unvector axial. En contraste, el campo electrico es un vector polar, por este motivo, ningun observable vectorial enelectrodinamica es de la forma E + B. Por otro lado, cuando tenemos varios circuitos actuando sobre otro circuitose verifica experimentalmente que la fuerza y tambien B satisfacen el principio de superposicion.

13.6. Extension volumetrica de las leyes de Ampere y Biot-Savart

Hasta el momento hemos formulado las leyes de Ampere y Biot-Savart en el regimen unidimensional, en el cualla corriente circula por alambres que implıcitamente asumimos infinitamente delgados. Si bien esta idealizacion esadecuada en algunos casos, tambien se dan en la naturaleza (o en los dispositivos electronicos), corrientes que cruzanun area que debemos considerar finita. Es decir, corrientes que se mueven en todo el espacio. Debemos entoncesconstruir el “equivalente volumetrico” de las leyes ya mencionadas. Para ello comenzamos por reescribir un elementodiferencial unidimensional que es recurrente en estas leyes

idl =dq

dtdl = dq

dl

dt= dq v

y construımos el equivalente volumetrico usando dq → ρ dV junto con la expresion (13.1) para el vector densidad decorriente J es decir la densidad de flujo de carga electrica (carga/area* tiempo)

idl = dq v → ρv dV = J dV ⇒idl → J dV (13.8)

Con el equivalente volumetrico (13.8), podemos generar la extrapolacion de las expresiones (13.6), (13.7) para elcaso volumetrico arbitrario. Reemplazando (13.8) en (13.6) y en (13.7) tenemos

Ba =1

c

∫Ja × rabr2ab

dV ⇒ F =1

c

∫Jb ×Ba dV (13.9)

y para el torque sobre un circuito colocado en un campo Ba, con respecto a un cierto origen

~τ =1

c

∫r× (Jb ×Ba) dV (13.10)

13.7. CORRIENTES SUPERFICIALES 209

La expresion aquı encontrada permite obtener Ba conociendo la corriente en todo el espacio (analogo a las formulasoriginales de la electrostatica). Sin embargo, al igual que en el caso electrostatico a veces conocemos la corriente solo encierta region junto con ciertas condiciones de frontera, en cuyo caso hay que usar formas mas convenientes. Haremosademas una extrapolacion extra, la expresion original Ec. (13.4) es valida para corrientes unidimensionales querecorren lazos cerrados. De aquı en adelante asumiremos que las expresiones (13.9, 13.10) son validas para corrientesvolumetricas arbitrarias que ademas no necesariamente recorren un circuito cerrado (por esta razon omitimos elsımbolo de integral cerrada en las Ecs. 13.9 y 13.10). Esta extrapolacion tiene su base en la confrontacion experimental.

Por otro lado, aunque tenemos expresiones para evaluar el campo magnetico con base en las corrientes, debemosrecordar que una de las ventajas del concepto de campo se obtiene cuando el valor del campo se puede obtenerindependientemente de la distribucion de sus fuentes. Analogamente al caso electrostatico, la idea serıa poder colocaruna carga puntual en el punto donde se quiere evaluar el campo y medir este a traves de la fuerza que experimentadicha carga, para esto necesitamos conocer la forma en que una carga puntual interactua con B.

Example 18 Sea una carga puntual con velocidad v inmersa en un campo magnetico B. La densidad de corrienteequivalente esta dada por

Jb = ρv = qv δ (r− r0 (t)) (13.11)

donde hemos enfatizado que la posicion de la carga r0 (t) es funcion del tiempo. Sustituyendo (13.11) en la Ec. (13.9)resulta

F =1

c

∫Jb ×Ba dV =

q

c

∫v δ (r− r0 (t))×B (r) dV

F =q

cv (r0)×B (r0) (13.12)

Similarmente, sustituyendo (13.11) en la Ec. (13.10) resulta

~τ = qr×(v ×B)

c(13.13)

Esta derivacion es por supuesto altamente sospechosa ya que el tratamiento que hemos desarrollado hasta aquı(y en particular la ley de Biot-Savart), es valido solo en el regimen estacionario y una carga puntual en movimientoclaramente NO genera una corriente estacionaria. Es notable sin embargo, que el resultado aquı derivado se cumplemuy bien experimentalmente. En realidad veremos mas adelante que la ley de Biot Savart se puede utilizar hastacierto punto en un regimen no estacionario para derivar otros resultados, la razon para esta inesperada extrapolacionsolo resultara mas clara en la seccion (20.2). La expresion para la fuerza ejercida por el campo B sobre una cargapuntual, se conoce como fuerza de Lorentz. Si ademas existe un campo electrico (cuya fuente sigue siendo en elcaso estacionario las densidades de carga) tenemos

F = qE+q

cv ×B (13.14)

cuando solo existe campo magnetico, basta con conocer la velocidad de la carga y la fuerza que experimenta paramedir B. Enfatizamos entonces que la ley de Fuerza de Lorentz Ec. (13.14) no se demuestra, sino que se postula conbase en los experimentos.

13.7. Corrientes superficiales

Hemos examinado el caso de corrientes en alambres y en el espacio, tambien resulta conveniente en algunos casosmodelar corrientes superficiales. Sea dS una superficie diferencial sobre la cual circula carga3, podemos construirel equivalente superficial en la forma

i dl =dq

dtdl =

dq

dS

dl

dtdS = σJv dS

3Es importante enfatizar que la carga esta propagandose sobre la superficie S y NO esta cruzando dicha superficie. En este caso lacorriente es tangente a la superficie y no normal a ella.


siendo σJ la densidad superficial de carga. En analogıa con (13.1) es natural definir la densidad de corriente superficialen la forma

σ = σJv

de modo que

i dl → σ dS

siendo σ la densidad de corriente superficial equivalente. Esto nos define la corriente por unidad de longitud, dondedicha longitud se define sobre un segmento transversal a la corriente (al igual que la densidad volumetrica de corrientese define sobre una superficie perpendicular a la velocidad de las cargas).

13.8. Ecuaciones diferenciales e integrales de la magnetostatica

La forma general para el campo magnetostatico generado por una densidad de corriente estacionaria J indepen-diente del tiempo viene dada por (13.9):

B (r) =1

c

∫J (r′)× (r− r′)

|r− r′|3dV ′

esta integral se hace sobre todo el espacio e incluye todas las fuentes. Estas son ecuaciones integrales, y permitenen principio calcular el campo cuando conocemos la distribucion de corrientes en todo el espacio, sin embargo paraproblemas que involucren algun tipo de condicion de frontera y el conocimiento de la corriente solo en cierta region delespacio, las ecuaciones diferenciales son mas adecuadas. Como en el caso electrostatico (o el de cualquier otro campovectorial), es necesario conocer la divergencia y el rotacional del campo (y la componente normal en la frontera)para determinar unıvocamente su solucion (ver teorema 2, pag 22). Para encontrar la divergencia y el rotacional delcampo magnetico, exploraremos algunas propiedades vectoriales de B.

∇(

1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r− r′|3; B (r) = −1

c

∫J(r′)×∇

(1

|r− r′|

)dV ′

∇×(

J (r′)|r− r′|

)= ∇

(1

|r− r′|

)× J

(r′)+

∇× J (r′)|r− r′|︸︷︷︸

=0

(∇× J (r′) = 0 puesto que ∇ contiene solo derivadas en r) quedando

B (r) =1

c

∫∇×

(J (r′)|r− r′|

)dV ′ = ∇×

[1

c

∫ (J (r′)|r− r′|

)dV ′]

⇒ B (r) = ∇×A (r) ; A (r) ≡ 1

c

∫ (J (r′)|r− r′|

)dV ′ (13.15)

Con lo cual se define el potencial vectorial magnetico A (r). La integral en (13.15) esta definida sobre todo el espacio.

A es el analogo de φ en electrostatica. De hecho, tenemos las analogıas A ↔ φ, J↔ ρ. Las expresiones matematicasde A y φ son analogas, ambas poseen un gauge y obedecen la ecuacion de Poisson, son componentes del cuadrivectorpotencial en relatividad. Una diferencia importante es que uno es vectorial y el otro es escalar, esto esta relacionadocon el hecho de que las fuentes de cada potencial (densidades de carga y densidades de corriente) son escalar yvectorial respectivamente. Otra diferencia importante es que la existencia del potencial escalar esta asociada a laconservatividad del campo E, en tanto que el potencial vectorial no esta asociado a una conservatividad de B, ya quecomo veremos mas adelante, B es en general no conservativo (aunque la fuerza magnetica sı es conservativa ya queno realiza trabajo). En realidad dado que hemos cambiado al vector B por otro vector, no es clara en un principio laventaja de trabajar con A en lugar de B. Sin embargo, a lo largo de los desarrollos posteriores iremos descubriendovarias ventajas. La expresion B = ∇×A permite evaluar B al igual que la expresion E = −∇φ permite evaluar E.Una consecuencia inmediata es

∇ ·B (r) = ∇ · [∇×A (r)] = 0

13.8. ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES DE LA MAGNETOSTATICA 211

ya que la divergencia del rotacional de cualquier funcion vectorial es cero si dicha funcion vectorial es de clase C2

(para una interpretacion geometrica ver Ref. [1] problema 2.16).

∇ ·B = 0 (13.16)

vale decir que aunque estrictamente partimos de la ecuacion para la fuerza entre dos circuitos unidimensionales, laformula anterior es de validez general incluso en el caso volumetrico y no estacionario. Esta ecuacion nos dice que elflujo por unidad de volumen de B en cualquier punto es nulo. Usando el teorema de la divergencia en un volumenarbitrario ∫

∇ ·B dV = 0 =

∫

SB · dS (13.17)

En el caso del campo electrico la divergencia es cero si no hay fuentes ni sumideros (o si estos se cancelan) cuando hayfuentes y/o sumideros en el volumen, hay lıneas de campo que empiezan o terminan dentro del volumen de modo queno salen todas las lıneas que entran, y/o viceversa. Pero para el campo magnetico las lıneas de campo no empiezanni terminan en ningun punto ya que de lo contrario tendrıamos al menos un punto con divergencia no nula. Es decirlas lıneas de campo magnetico no tienen fuentes ni sumideros4, no hay cargas magneticas, de modo que las lıneasde B deben cerrarse sobre sı mismas o ir hasta el infinito5.

Ahora que hemos determinado la divergencia de B, debemos calcular tambien su rotacional. Para ello, empleamosotra identidad vectorial

∇×B = ∇× (∇×A) = ∇ (∇ ·A)−∇2A (13.18)

calculemos ∇2A

∇2A =1

c∇2

∫J (r′)|r− r′|dV

′ =1

c

∫J(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′

= −4π

c

∫J(r′)δ(r− r′

)dV ′

∇2A = −4π

cJ (r) (13.19)

Calculemos la divergencia de A

∇ ·A =1

c∇ ·∫

J (r′)|r− r′|dV

′ =1

c

∫∇ ·[J (r′)|r− r′|

]dV ′

=1

c

∫J(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′ = −1

c

∫J(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′

= −1

c

∫ [∇′ ·

(J (r′)|r− r′|

)dV ′ − ∇′ · J (r′)

|r− r′| dV′]

La conservacion de la carga para corrientes estacionarias nos lleva a que ∇′ · J (r′) = 0. Y utilizando el teorema dela divergencia

∇ ·A = −1

c

∫ (J (r′)|r− r′|

)· dS′ = 0 (13.20)

expresion valida para corrientes localizadas, ya que en ese caso J = 0 en el infinito6. Reemplazando, (13.19) y (13.20)en (13.18) se obtiene

∇×B =4π

cJ (13.21)

4Por supuesto las corrientes son fuentes pero en otro sentido. Cuando hablamos de fuentes y sumideros aquı, nos referimos a puntosdonde comienza o termina una lınea de campo.

5Notese que no serıa permisible una lınea semi infinita, ya que esta posee un extremo.6Recordemos que las integrales de volumen estan definidas sobre la region en donde hay corrientes, pero se puede extender al volumen

de todo el espacio como en el caso de la electrostatica.


Enfatizamos de nuevo que la ecuacion (13.21) fue construıda para ser compatible con la conservacion de la carga enel caso estacionario ya que ∇ · (∇×B) = 0 = 4π

c ∇ ·J. Adicionalmente, la Ec. (13.19) nos muestra que A satisfacela ecuacion de Poisson, escrita en componentes cartesianas

∂2Ax∂x2

+∂2Ax∂y2

+∂2Ax∂z2

= −4πJxc

y similarmente para las otras componentes.

Para obtener la forma integral de la ecuacion (13.21) integramos dicha ecuacion sobre una superficie abierta Sdelimitada por un lazo cerrado C, se encuentra que

∫(∇×B) · dS =

4π

c

∫J · dS

∮

C

B · dl =4π

ci (13.22)

donde la integral de lınea es sobre el lazo cerrado que expande a la superficie, e “i” es la corriente que atraviesala trayectoria cerrada (o que cruza la superficie que expande la trayectoria). Esta expresion se conoce como leycircuital de Ampere. Estableciendo un analogo con la electrostatica, la ley de Biot-Savart es el equivalente de laley de Coulomb, en tanto que la ley circuital de Ampere es el equivalente de la ley de Gauss7. En virtud de estaequivalencia, la forma integral de la ley circuital de Ampere es tambien util para calcular campos magneticos conalta simetrıa, en particular su utilidad es evidente cuando la corriente posee una configuracion como las siguientes:lıneas infinitas, planos infinitos, solenoides infinitos y toroides (ver [13]). Veamos algunos ejemplos

Example 19 ?***

13.9. Invarianza Gauge

La identidad vectorial ∇ × (∇ψ) = 0 nos indica que la definicion de A a traves de la relacion B = ∇ ×A, nodefine unıvocamente al potencial vectorial, ya que si redefinimos

A′ ≡ A+∇ψ (13.23)

tenemos que aun se cumple que∇×A′ = B, la transformacion descrita por (13.23) se conoce como una transformaciongauge o recalibracion del potencial A. Se dice que el vector B es invariante ante esta transformacion gauge de supotencial vectorial asociado.

Esto nos indica que hay cierta arbitrariedad en la definicion de A. La definicion dada en la Ec. (13.15) es por tantosolo una forma posible para el potencial vectorial. Un campo vectorial se especifica completamente si se conoce sucomponente normal en la frontera ası como su divergencia y su rotacional. En este caso solo conocemos el rotacionalde A y su divergencia queda en principio indeterminada, esto nos da la libertad de escoger la divergencia siempreque se pueda encontrar una solucion para ψ. Una posibilidad interesante y que simplifica muchos calculos consisteen imponer la condicion

∇ ·A′ = 0 (13.24)

este gauge especıfico se denomina gauge de Coulomb. Notese que la imposicion de este gauge no conduce todavıa aun valor unico de A ya que aun es necesario especificar las condiciones de frontera. El potencial vectorial magneticodefinido en (13.15) cumple con esta condicion como se ve en la Ec. (13.20) (implıcitamente tambien estamos definiendosu valor en la frontera i.e. A = 0 en el infinito ya que asumimos que la corriente es localizada).

El gauge de Coulomb junto con A′ = A+∇ψ implica

∇ ·A′ = ∇ ·A+∇2ψ = 0 ⇒∇2ψ = −∇ ·A (13.25)

7La ley de Coulomb conduce a la ley de Gauss y a ∇×E = 0. Por otro lado, la ley de Biot-Savart conduce a la ley circuital de Amperey a la Ec. (13.17) o equivalentemente a ∇ ·B = 0. No debe confundirse la ley de Ampere (13.7) con la ley circuital de Ampere (13.22).

13.10. RANGO DE VALIDEZ DE LA FORMULACION 213

la existencia de soluciones para la ecuacion de Poisson garantiza la existencia de soluciones para ψ (aunque no suunicidad), y por tanto, la garantıa de que el gauge de Coulomb es consistente. De hecho, puesto que no se hanespecificado en general condiciones de frontera para A, no tendremos unicidad para este potencial aun fijando elgauge. En realidad, no estaremos interesados en encontrar soluciones explıcitas para ψ en la Ec. (13.25), solo nosinteresa la existencia de dichas soluciones para garantizar que podemos fijar el gauge de Coulomb apropiadamente.

Volviendo al caso de la definicion en (13.15) tenemos que para este caso ∇ ·A = 0 y por tanto ∇2ψ = 0. Por otrolado, calculando ∇×B teniendo en cuenta que B = ∇×A, se obtiene

∇× (∇×A) = ∇ (∇ ·A)−∇2A = ∇[∇ ·(A′ −∇ψ

)]−∇2

(A′ −∇ψ

)

= ∇(∇ ·A′ −∇2ψ

)−∇2A′ +∇2 (∇ψ)

= ∇(∇ ·A′)−∇

(∇2ψ

)−∇2A′ +∇2 (∇ψ)

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A′)−∇2A′ = ∇×

(∇×A′)

con lo cual se llega a que∇×(∇×A) = ∇×B es invariante gauge, lo cual es de esperarse ya que este es un observable.Es claro que no necesariamente ∇ ·A = 0, pero sı podemos recalibrar para que el nuevo A′ cumpla ∇ ·A′ = 0. Enadelante solo usaremos la notacion A (sin primar), incluso si estamos en el gauge de Coulomb, ya que una vez hechala recalibracion adecuada es irrelevante usar la notacion primada. Recordando que ∇×B = 4π

c J resulta

∇×B = ∇ (∇ ·A)−∇2A ⇒ ∇ (∇ ·A)−∇2A =4π

cJ

si en particular usamos el gauge de Coulomb i.e. ∇ ·A = 0 se llega a

−∇2A =4π

cJ (13.26)

con lo cual cada componente del potencial vectorial obedece una ecuacion de Poisson, cuyas fuentes son las com-ponentes del vector densidad de corriente. Es importante enfatizar que la relacion (13.26) es valida solo en elgauge de Coulomb. La ecuacion (13.26), muestra una de las ventajas de la inclusion del potencial vectorial, yaque en principio hemos sintetizado las dos ecuaciones de B (su divergencia y su rotacional) en una sola, similar alcaso electrostatico. Adicionalmente, tenemos una ecuacion de Poisson (aunque vectorial), de tal manera que con lasextensiones adecuadas podemos emular el formalismo seguido en el caso electrostatico (ver por ejemplo la seccion13.11).

Para espacio infinito con gauge de Coulomb, tenemos que

A (r) =1

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′ +∇ψ con ∇2ψ = 0 (13.27)

Sin embargo, debemos recordar que en virtud de las propiedades de la Ecuacion de Laplace ψ no puede tener maximosni mınimos locales en V . Si exigimos ademas que A sea nulo en el infinito, tendremos que ∇ψ = 0. Estos dos hechosnos llevan a que ψ debe ser constante8.

En el caso en que −∇ ·A = ∇2ψ 6= 0, ψ no es constante. No obstante, si fijamos el valor de ∇ ·A y asumimosque A = 0 en el infinito, entonces tendremos definido unıvocamente el valor de A ya que habremos especificado ladivergencia, el rotacional y la componente normal (nula) en la superficie infinita.

13.10. Rango de validez de la formulacion

La ley de Biot Savart, establecida como una regla empırica para el calculo del campo magnetico, es solo validaen el caso estacionario, de modo que las ecuaciones que se derivan de ella para el campo magnetico

∇ ·B = 0 ; ∇×B =4π

cJ

son en principio solo validas en el regimen estacionario. Cuando estudiemos campos dependientes del tiempo veremosque la primera ecuacion es de validez general aun fuera del regimen estacionario, en tanto que la segunda requerirauna modificacion para ser compatible con el principio de conservacion de la carga.

8Por ejemplo una funcion lineal permite que ∇2ψ = 0 sin que haya maximos ni mınimos, pero la funcion ψ no estarıa acotada en elinfinito y ∇ψ 6= 0.


Un ejemplo interesante para enfatizar en el rango de validez de la ley de Biot Savart, se da cuando intentamosaplicar este formalismo para calcular el campo generado por una carga puntual en movimiento, facilmente se obtiene

B (r) =µ04π

qv × (r− r′)

|r− r′|3

este valor es solo aproximado y se aplica en el rango no relativista (v << c), la razon es que una carga puntual enmovimiento no genera una corriente estacionaria y por tanto la ley de Biot Savart no es aplicable en este caso9.

13.11. Formalismo de Green en magnetostatica

Dado que aquı tenemos un potencial vectorial y no escalar, es necesario utilizar el teorema de Gauss en su formaextendida aplicado a una diada T a fin de llegar al teorema vectorial de Green, el teorema de Gauss queda

∫∇ · T dV =

∫dS · T

lo cual escrito en componentes se lee ∫∂iTijdV =

∫dSiTij

donde se ha usado convencion de suma sobre ındices repetidos. Utilizando para la diada el siguiente valor particular

T = (∇G)A−G∇A

o en componentesTij = (∂iG)Aj −G∂iAj

obtenemos

∂iTij =(∇2G

)Aj + (∂iG) (∂iAj)− (∂iG) (∂iAj)−G

(∇2Aj

)

=(∇2G

)Aj −G

(∇2Aj

)

o en notacion tensorial∇ · T =

(∇2G

)A−G∇2A

y el teorema de la divergencia aplicado a esta diada nos da∫ [

A∇2G−G∇2A]dV =

∫dS · [(∇G)A−G∇A]

la funcion de Green tiene como argumentos G = G (r, r′). Integrando sobre variables primadas tenemos∫ [

A(r′)∇′2G

(r, r′

)−G

(r, r′

)∇′2A

(r′)]

dV ′ =∫dS′ ·

[∇′G

(r, r′

)]A(r′)−G

(r, r′

)∇′A

(r′)

con ∇′2A (r′) = −4πc J (r′) (valido solo en el gauge de coulomb) y con ∇′2G (r, r′) = −4πδ (r− r′) se tiene:

−4π

∫A(r′)δ(r− r′

)dV ′ +

4π

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′

=

∫ [dS′ · ∇′G

(r, r′

)]A(r′)−G

(r, r′

) [dS′ · ∇′A

(r′)]

de nuevo la presencia de la delta de Dirac permite despejar a A (r)

−4πA (r) = −4π

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ +

∫ [∂G (r, r′)∂n′

]dS′ A

(r′)−G

(r, r′

) [∂A (r′)∂n′

]dS′

9Notese sin embargo que la expresion para la fuerza de Lorentz sı se obtiene a partir de la ley de Biot Savart y aplicado a la corrientegenerada por una carga puntual, como se aprecia en el ejemplo 18. Sin embargo, esto no constituye una demostracion de la expresion parala fuerza de Lorentz, la cual se considera una ley empırica fundamental.

13.11. FORMALISMO DE GREEN EN MAGNETOSTATICA 215

quedando finalmente

A (r) =1

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ − 1

4π

∫ [∂G (r, r′)∂n′

]A(r′)−G

(r, r′

) [∂A (r′)∂n′

]dS′ (13.28)

es necesario enfatizar que esta forma de la solucion es valida solo en el Gauge de Coulomb. Para el problema deDirichlet G = 0 en la frontera y nos queda.

A (r) =1

c

∫G(r, r′

)J(r′)dV ′ − 1

4π

∫∂G (r, r′)∂n′

A(r′)dS′ (13.29)

que es la expresion analoga a la Ec. (7.4) Pag. 93, para el potencial escalar en electrostatica. Recordemos que Gsolo depende de la geometrıa y de la ecuacion diferencial, pero no depende de la presencia de cargas o corrientes, demanera que para la misma geometrıa la funcion de Green es la misma que en electrostatica, puesto que la ecuaciondiferencial para A (r) tambien es la ecuacion de Poisson (es importante insistir en que esto solo es cierto en el gaugede Coulomb). Si la frontera esta en el infinito, tomamos G (r, r′) = |r− r′|−1 y desaparece la integral de superficie,en cuyo caso el potencial se reduce a la expresion (13.15) como era de esperarse.

13.11.1. Espira circular de corriente constante

Este ejemplo es de gran importancia ya que como veremos mas adelante, los dipolos magneticos puntuales sepueden visualizar como pequenas espiras de corriente. Encontraremos A (r) y B (r), para una espira circular decorriente constante de radio a. Primero debemos calcular la densidad de corriente volumetrica equivalente. Porconveniencia, hacemos coincidir el plano XY con el plano de la espira, de modo que el origen coincida con el centrode la espira. Con esta convencion la densidad de corriente volumetrica equivalente qeuda en la forma

∫J dV =

∫Idl = I

∫auϕdϕ =

∫Iauϕdϕ

∫δ (cos θ − 0) sin θ dθ

∫δ (r − a)

r2r2 dr

=

∫ a

0

∫ 2π

0

∫ π

0Ia δ (cos θ)

δ (r − a)

a2uϕr

2 dr sin θ dθdϕ

∫J dV =

∫I δ (cos θ)

δ (r − a)

auϕdV

la densidad de corriente volumetrica equivalente es

J(r′)= I δ

(cos θ′

) δ (r′ − a)

auϕ′ = Jϕ′uϕ′

teniendo en cuenta que uϕ′ = −ux sinϕ′ + uy cosϕ

′ y sustituyendo la expansion de G en armonicos esfericos [Ec.(9.9) Pag. 149] en la Ec. (13.15) queda

A (r) =4π2I

ca

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√(2l + 1) (l −m)!

4π (l +m)!Pml (0)

×∫ ∞

0

rl<

rl+1>

r′2dr′δ(r′ − a

) [−uxi

(δm,1 − δm,−1) + uy (δm,1 + δm,−1)]

usando

P−1l = −(l − 1)!

(l + 1)!P 1l , Yl,−1 = −Y ∗

l,1

A (r) =πI

ca

∞∑

l=1

2P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!

−ux sinϕ

′ + uy cosϕ′

︸︷︷︸uϕ′

×∫ ∞

0

rl<

rl+1>

r′2dr′δ(r′ − a

)· P 1

l (cos θ)


Despues de integrar en r se obtiene

A (r) =4πI

cuϕ

∞∑

l=1

P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ)

rl<

rl+1>

= Aϕuϕ

B (r) = ∇×A (r) =4πI

c

∞∑

l=1

P 1l (0) (l − 1)!

(l + 1)!

[urrl (l + 1)Pl (cos θ)

rl<

rl+1>

−uθrP 1l (cos θ)

rl(l+1)al+1 si r < a

−l al

rl+1 si r > a

]

Ahora examinaremos el lımite de campo lejano r >> a, para lo cual conservamos solo el primer termino en la sumasobre l:

B (r) =2πIa

cP 11 (0)

[2urP1 (cos θ) + uθP

11 (cos θ)

] ar3

B (r) =2πIa

c

[− sin

π

2

][2ur cos θ + uθ (− sin θ)]

a

r3

B (r) = −2πIa

c[2ur cos θ − uθ sin θ]

a

r3

Br =2µ cos θ

r3, Bθ =

µ sin θ

r3; µ =

IA

c=Iπa2

c(13.30)

como veremos mas adelante, estas expresiones definen el campo lejano de dipolo magnetico. Si comparamos este casocon la misma espira circular pero con carga estatica, vemos que en el caso electrostatico aparecen los polinomiosordinarios de Legendre, en tanto que en el caso de corrientes aparecen polinomios asociados de Legendre. Estadiferencia se puede atribuir a la diferencia entre el caracter escalar de la densidad de carga y el caracter vectorial dela densidad de corriente.

13.12. Multipolos magneticos cartesianos

A continuacion realizaremos la expansion multipolar del potencial vectorial A. Las motivaciones son las mismasque en el caso electrostatico, es decir simplificar las expresiones para los campos lejanos y eventualmente hacerpredicciones sobre distribuciones de corriente que no se conocen detalladamente como en el caso de los camposmagneticos en la materia. La idea de nuevo es hacer una expansion en 1/r que como antes sera dependiente delorigen. Sin embargo, una ventaja que tendremos es que los dipolos seran independientes del origen y estos seranlos que se usen en la mayorıa de aplicaciones (los monopolos se anulan). Utilizaremos la expansion de la funcion deGreen |r− r′|−1 dada por la Ec. (11.2)

1

|r− r′| =1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . .

Y la expresion para A en el caso de corrientes localizadas y espacio infinito.

A (r) =1

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′ (13.31)

dado que partimos de (13.31), la expansion multipolar de A solo sera valida en el gauge de Coulomb.

A (r) =1

c

∫ 1

r+

r · r′r3

+1

2r5[3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]+ . . .

J(r′)dV ′

A (r) =1

cr

∫J(r′)dV ′ +

r

cr3·∫

r′J(r′)dV ′ +

1

2cr5

∫ [3(r · r′

) (r · r′

)− r2r′2

]J(r′)dV ′ + . . .

A (r) =1

cr

∫J(r′)dV ′ +

r

cr3·∫

r′J(r′)dV ′ +

1

2cr5

∫J(r′) [

3r′r′ − r′2I]dV ′ : rr+ . . . (13.32)

13.12. MULTIPOLOS MAGNETICOS CARTESIANOS 217

13.12.1. Monopolo magnetico

Analizaremos el primer termino en la Ec. (13.32) por medio de la relacion

∇ · (JXk) = ∂i (JiXk) = (∂iJi)Xk + Ji (∂iXk)

= (∇ · J)︸︷︷︸=0

Xk + Jiδik = Jk

∇ · (JXk) = Jk ⇒ uk∇ · (JXk) = ukJk ⇒ ∇ · (JXkuk) = Jkuk

J = ∇ · (Jr) (13.33)

Combinando (13.33) con el teorema de la divergencia, se tiene∫

J dV =

∫∇ · (Jr) dV =

∫dS· (Jr) = 0 (13.34)

valido para corriente localizada (J = 0 en el infinito) y para caso estacionario (se supuso que ∇ · J = 0). Enconsecuencia el primer termino de la expansion (13.32) (monopolo magnetico) es nulo.

13.12.2. Momento de dipolo magnetico

Calculemos

∇ · (JXkXi) = ∂m (JmXkXi) = XkXi(∂mJm)︸︷︷︸=0

+ (Jm∂mXk)Xi + (Jm∂mXi)Xk

= (Jmδmk)Xi + (Jmδmi)Xk

= JkXi + JiXk

∇ · (JXkXi) = JkXi +XkJi ⇒ ∇ · [J (Xkuk) (Xiui)] = (Jkuk) (Xiui) + (Xkuk) (Jiui)

∇ · (Jrr) = Jr+ rJ

observese que el producto tensorial se escribe en el orden ki. Integrando

∫∇ · (Jrr) dV =

∫dS· (Jrr) = 0 =

∫(Jr+ rJ) dV

donde se anula la integral de superficie porque la corriente esta localizada

∫Jr dV = −

∫rJ dV

con lo cual podemos escribir∫

rJ dV =1

2

∫rJ dV +

1

2

∫rJ dV

∫rJ dV =

1

2

∫(rJ− Jr) dV (13.35)

Aplicando (13.35) para el segundo termino de la expansion (13.32) en su componente i se tiene(r

c·∫

r′J′ dV ′)

i

=

(r

2c·∫ (

r′J′ − J′r′)dV ′

)

i

=1

2cXj

∫ (X ′jJ

′i − J ′

jX′i

)dV ′

=1

2cXj

∫εjik

(r′ × J′)

kdV ′ = − 1

2cεijkXj

∫ (r′ × J′)

kdV ′

= −[r

2c×∫

r′ × J′ dV ′]

i

=

[1

2c

∫r′ × J′ dV ′

]× r

(r

c·∫

r′J′ dV ′)

i

≡ (m× r)i (13.36)


Reiteramos aquı el uso de la convencion de suma sobre ındices repetidos. Se ha definido el momento de dipolomagnetico

m ≡ 1

2c

∫r× J dV (13.37)

tal como se ha definido, el momento de dipolo magnetico proviene de una diada antisimetrica, lo que hace que secomporte como un vector axial ya que con las tres componentes independientes de un tensor antisimetrico de segundoorden, se puede formar un vector axial10.

Se puede observar que el dipolo magnetico a diferencia del electrico, no depende nunca del origen, para ver estobasta con observar que un cambio de origen equivale a un cambio de variable de la forma r → r− r0 siendo r0 unvector constante asociado al vector relativo entre los dos orıgenes

m′ =1

2c

∫(r− r0)× J dV =

1

2c

∫r× J dV − 1

2cr0 ×

∫J dV

m′ = m− 1

2cr0 ×

∫J dV = m

donde hemos usado la Ec. (13.34) que nos dice que no hay monopolos magneticos. El hecho de que el dipolo magneticosea siempre independiente del origen, esta relacionado con el hecho de que no hay monopolo y por tanto el terminodipolar es el termino no nulo mas bajo (a menos que tambien sea nulo)11. En el caso electrico, el dipolo es independientedel origen solo cuando la distribucion no tiene carga neta (monopolo nulo).

13.12.3. Termino cuadrupolar

Calculamos

∇ · (JXiXjXk) = XiXjXk∇ · J+ (J · ∇Xi)XjXk

+(J · ∇Xj)XiXk + (J · ∇Xk)XiXj

= JiXjXk +XiJjXk +XiXjJk

∇ · (Jrrr) = Jrr+ rJr+ rrJ∫∇ · (Jrrr) dV =

∫dS · (Jrrr) dV = 0 =

∫[Jrr+ rJr+ rrJ] dV

⇒∫

Jrr dV = −∫

[rJr+ rrJ] dV

de modo que el tercer termino en la expansion del potencial es∫ [

3Jrr− JI r2]dV =

∫ [3

2(Jrr− rJr− rrJ)−JI r2

]dV (13.38)

desarrollemos el segundo termino de la izquierda en (13.38)

∇ ·(JXkr

2)

= ∇ · (JXkXlXl) = ∂i (JiXkXlXl)

= (∂iJi)XkXlXl + Ji (∂iXk)XlXl + 2JiXk (∂iXl)Xl

= Ji (δik)XlXl + 2JiXk (δil)Xl

= JkXlXl + 2JlXkXl

= Jkr2 + 2 (J · r)Xk

queda entonces∇ ·(Jrr2

)= r2J+ 2 (J · r) r ⇒ r2J = ∇ ·

(Jrr2

)− 2 (J · r) r

10Alternativamente, se puede ver del hecho de que J y r son vectores polares y el producto cruz de dos vectores polares es un vectoraxial.

11Es facil ver que el teorema 11 Pag. 164 es extrapolable a los multipolos esfericos magneticos. Ademas, los multipolos cartesianos deorden l son combinaciones lineales de los multipolos esfericos del mismo orden.

13.13. MULTIPOLOS MAGNETICOS ESFERICOS 219

de lo cual la segunda integral de volumen a la izquierda de (13.38) queda∫

JIr2 dV =1

2

[∫JIr2 dV +

∫JIr2 dV

]

=1

2

[∫JIr2 dV +

∫ [∇ ·(JIrr2

)− 2 (JI · r) r

]dV

]

=1

2

[∫JIr2 dV − 2

∫(J · r) rI dV +

∫dS ·

(JIrr2

)]

nuevamente el termino de superficie se va y nos queda∫

JIr2 dV =1

2

∫ [JIr2 − 2 (J · r) rI

]dV

por tanto (13.38) queda∫ [

3Jrr− JI r2]dV =

1

2

∫ 3 (Jrr− rJr− rrJ)−

[r2JI− 2 (J · r) rI

]dV

∫ [3Jrr− JI r2

]dV =

c

2Q (13.39)

donde Q define el momento de cuadrupolo magnetico y es una triada o tensor de tercer rango. En componentes elcuadrupolo se escribe

Qijk =1

c

∫ 3 (JiXjXk −XiJjXk −XiXjJk)− r2Jiδjk + 2JlXlXiδjk

dV

la traza con respecto a jk es nula∑3

j=1Qijj = 0. Cuantos elementos independientes tiene Qijk?.

13.12.4. Expansion multipolar cartesiana de A (r)

Sustituyendo las Ecs. (13.34), (13.36) y (13.39) en la Ec. (13.32), obtenemos la expansion cartesiana del potencialvectorial magnetico

A (r) =m× r

r3+

1

4r5Q : rr+ . . . (13.40)

Ai (r) =(m× r)i

r3+

1

4r5QijkXjXk (13.41)

donde los momentos dipolar y cuadrupolar m y Q vienen dados por

m ≡ 1

2c

∫r× J dV (13.42)

Qijk =1

c

∫ 3 (JiXjXk −XiJjXk −XiXjJk)− r2Jiδjk + 2JlXlXiδjk

dV (13.43)

13.13. Multipolos magneticos esfericos

En analogıa con el caso electrostatico Seccion 11.2, podemos utilizar la expansion de |r− r′|−1 en armonicosesfericos Ec. (9.9), y la expresion (13.31) para obtener

A =1

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′ =4π

c

∫J(r′) ∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

dV ′

A =4π

c

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫J(r′)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) rl<

rl+1>

dV ′]

A =4π

c

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1q(M)lm

los multipolos magneticos esfericos tienen propiedades similares a los multipolos electricos esfericos. Por ejemplo, elprimer multipolo no nulo es independiente del origen.


13.14. Dipolo magnetico de una espira de corriente

Figura 13.3: (a) Por comodidad ubicamos la espira plana de modo que sea paralela al plano XY , y que el eje Zintersecte el plano de la espira en un punto interior de la espira. Por tanto un punto r en el borde de la espiralo descomponemos en dos vectores r0 paralelo al eje Z y r′ perpendicular a Z. (b) El area comprendida entre losvectores r′, dl y r′ + dl es aprimer orden el area de un triangulo de base r′ y altura dl. El vector n es perpendiculara la espira y su sentido lo define la regla de la mano derecha con base en el sentido de circulacion de la corriente.

Asumamos una espira plana pero de contorno arbitrario como indica la figura 13.3. Para calcular el momentodipolar magnetico hacemos el analogo unidimensional J dV → idl

m =1

2c

∫r× J dV =

i

2c

∮r× dl

Para calcular el valor de esta integral separamos el vector posicion r = r0 + r′ como se ve en la Fig. 13.3(a). Donder0 va desde el origen hasta un punto fijo que pasa por el plano de la espira y que esta encerrado por el lazo cerrado;r′ es un vector que va desde el punto fijo en cuestion hasta el borde de la espira, es decir hasta el extremo de r.

m =i

2c

∮ (r′ + r0

)× dl =

i

2c

∮r′ × dl+ r0 ×

∮dl =

i

2c

∮r′ × dl

donde hemos tenido en cuenta que∮dl = 0. Ahora examinaremos la magnitud y direccion del vector r′ × dl. De

acuerdo con la Fig. 13.3(b) el angulo entre r′ y dl es recto a primer orden, ya que dθ es infinitesimal. Por tanto lamagnitud del producto cruz es

∥∥r′ × dl∥∥ = ‖r‖ ‖dl‖ sin π

2= ‖r‖ ‖dl‖ = 2 dA

siendo dA el area barrida entre los vectores r′ y r′ + dl como lo indica la figura 13.3(b). La direccion del productocruz es claramente la del vector n perpendicular al plano de la espira y cuyo sentido se define por la regla de la manoderecha con respecto al sentido del flujo de corriente (el vector dl tiene su sentido definido segun el sentido de lacorriente). Con estas consideraciones tenemos que

m =i

2c

∮r′ × dl =

i

cn

∮ ‖r‖ ‖dl‖2

=i

cn

∮dA

m =iA

cn

Siendo A el area delimitada por el contorno de la espira. Por ultimo, si bien es un arreglo mas bien artificial,conviene hacernos una idea de lo que es un dipolo magnetico puro: lazo cerrado con todas sus dimensiones infini-tesimales, ubicado en el origen y de tal forma que m = iA sea constante de modo que el area A tiende a cero y lacorriente i, tiende a infinito.

13.15. FLUJO DE PARTICULAS PUNTUALES 221

13.15. Flujo de partıculas puntuales

Sea un conjunto de cargas puntuales qi de masas mi que viajan a las velocidades vi, formando un flujo discretode carga. La densidad de corriente se escribe

J (r) =

N∑

i=1

ρivi =

N∑

i=1

qiδ (r− ri) vi

con lo cual el momento dipolar magnetico estara dado por

m =

∫r× J

2cdV =

1

2c

∫r×

N∑

i=1

qiviδ (r− ri) dV

m =1

2c

N∑

i=1

ri × viqi =1

2c

∑

i=1

qimi

ri × pi =1

2c

∑

i=1

qimi

Li

si la relacion carga masa es la misma para todas las partıculas, el momento dipolar magnetico se simplifica

m =qL

2mc

esta es la relacion clasica entre el momento angular y el momento dipolar magnetico. Tal relacion es modificada enmecanica cuantica por la introduccion del momento angular intrınseco.

13.16. Expansion multipolar de fuerza y torque

La fuerza que un elemento de carga dq que tiene velocidad v, experimenta en un campo magnetico es

dF =dq

c(v ×B) =

1

cρ (v ×B) dV =

1

c(ρv ×B) dV =

1

c(J×B) dV

Por tanto, la fuerza que una distribucion de corriente J experimenta cuando esta inmersa en un campo B es

F =1

c

∫(J×B) dV

En analogıa con el procedimiento realizado para la fuerza electrica (Sec. 11.11, p. 177), realizamos una expansion deB alrededor de algun punto r0 cercano a la distribucion J.

F =1

c

∫J (r)× [B (r0) + (r− r0) · ∇B (r0) + (r− r0) (r− r0) : ∇∇B (r0) + . . .] dV

=

[1

c

∫J (r) dV

]×B (r0) +

1

c

∫J (r)× [(r− r0) · ∇B (r0)]

+1

c

∫J (r)× [(r− r0) (r− r0) : ∇∇B (r0)]+ . . .

El primer termino se anula ya que corresponde al monopolo magnetico, calculando los terminos dipolares y cuadru-polares se obtiene

F = ∇ (m ·B) +∇6(Q : B) + . . .

Para el torque, se tiene

~τ =

∫r× dF =

1

c

∫r× (J×B) dV

calculando solo el dipolo queda

~τ = m×B


que define el torque sobre un dipolo magnetico puntual. Al igual que en el caso electrostatico, este torque tiende aalinear al dipolo en direccion paralela al campo, es decir, es de caracter restaurador.

La expansion de la fuerza hasta orden dipolar nos lleva a definir un valor de la energıa potencial de la formaU = −m ·B. Sin embargo, es facil ver que esta no es la energıa total del sistema ya que para traer al dipolo m a suposicion final en el campo externo, es necesario hacer trabajo para mantener a la corriente J de la distribucion quese trae, de tal forma que mantenga a m constante. Sin embargo, este valor de la energıa es util para el calculo delos efectos que un campo magnetico tiene sobre los atomos como es el caso del efecto Zeeman, la estructura fina y laestructura hiperfina. Notese finalmente que esta energıa U depende de la velocidad ya que m depende de la densidadde corriente que a su vez depende de la velocidad.

13.17. Promedio volumetrico del campo magnetico

Para distribuciones localizadas de corrientes estacionarias, los promedios volumetricos de los campos magneticosdefinidos sobre una esfera, tienen propiedades muy semejantes a las que se obtuvieron en la seccion 11.5, para elcampo electrostatico de una distribucion localizada de cargas. La expresion analoga a la Ec. (11.15) Pag. 166, es

∫

r<RB dV =

4π

3c

∫ (R2r<r′r2>

)r′ × J

(r′)dV ′ (13.44)

donde r> es el mayor entre r′ y R, con el origen en el centro de la esfera. La integracion en las variables primadasse realiza en toda la region en donde hay corriente, sin importar si esta region es interior o exterior a la esfera. Laexpresion (13.44), es valida para cualquier tamano y ubicacion de la esfera. En particular, si toda la densidad decorriente esta contenida en la esfera, entonces r′ = r< quedando

∫

r<RB dV =

8π

3m (13.45)

donde

m ≡ 1

2c

∫r× J dV

es el dipolo magnetico que aparece en el primer termino en la expansion multipolar del potencial vectorial Ec. (13.40)Pag. 219. Si por otro lado, la carga es totalmente externa a la esfera se tiene

1

Vesfera

∫

r<RB dV = B (0) (13.46)

vale la pena mencionar que estos resultados son exactos, y no dependen de la aproximacion dipolar del campo, enanalogıa con lo que ocurre con los campos electrostaticos. De hecho las Ecs. (13.45) y (13.46) son los analogos de lasEcs. (11.16) y (11.17) respectivamente.

13.18. Aproximacion dipolar del campo magnetico

El campo magnetico en aproximacion dipolar se obtiene tomando el rotacional del termino dipolar en A, de laEc. (13.40)

B (r) = ∇×A ≈ 3r (r ·m)−m

r3

Este termino es identico en forma al campo dipolar electrostatico, no obstante en el caso de dipolos Fısicos, los dipoloselectrico y magnetico difieren fuertemente en su estructura en el caso de campos cercanos. En forma analoga al casoelectrostatico seccion 11.6, podemos aquı encontrar la correccion que este termino dipolar requiere para poder serusado estadısticamente en regiones cercanas a las corrientes. Para ello requerimos que el campo corregido reproduzcael promedio obtenido en la Ec. (13.45), este campo corregido es

B (r) =3r (r ·m)−m

r3+

8π

3m δ (r)

el termino extra es necesario para calcular el valor de la constante hiperfina de los atomos.

13.19. EJEMPLO: DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN ESTADO ATOMICO EXCITADO 223

13.19. Ejemplo: densidad de corriente en un estado atomico excitado

Un buen modelo para la densidad de corriente producida por un electron 2p en el atomo de hidrogeno es:

J = uϕq~

32ma50e−r/a0r sin θ (13.47)

siendo a0 el radio de Bohr, m, q la masa y carga del electron, y (r, θ, ϕ) son coordenadas esfericas asociadas a unsistema de ejes con origen en el nucleo12 [Ver manuscrito de Sepulveda, pag 197]. Hallaremos el potencial vectorialmagnetico A (r) para todo el espacio, asociado a la densidad de corriente (13.47).

La expresion para A (r) con condiciones de Dirichlet es

A (r) =1

c

∫

VJ(r′)G(r, r′

)dV ′ − 1

4π

∮∂G

∂n′A(r′)dS′

si las fronteras estan en el infinito, G es la funcion de Green para espacio infinito, y la integral de superficie se anulaobteniendose

A (r) =1

c

∫

VJ(r′)G(r, r′

)dV ′ =

1

c

∫

V

J (r′)|r− r′| dV

′ (13.48)

utilizando el diferencial de volumen en coordenadas esfericas y la expansion de G en armonicos esfericos (9.9), seobtiene

A (r) =1

c

∫

V

[uϕ

q~

32ma50e−r

′/a0r′ sin θ′][

4π∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

A (r) =4π

c

q~

32ma50

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫uϕ sin θ

′ Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

][∫rl<

rl+1>

r′3e−r′/a0 dr′

](13.49)

realizamos primero la integracion angular

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0uϕ sin θ

′ Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

recordando la expresion para el vector unitario uϕ = −ux sinϕ′ + uy cosϕ

′ y utilizando las expresiones

sinϕ′ =eiϕ

′ − e−iϕ′

2i; cosϕ′ =

eiϕ′

+ e−iϕ′

2

se tiene

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0

[−ux

(eiϕ

′ − e−iϕ′

2i

)+ uy

(eiϕ

′

+ e−iϕ′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

AΩ =

∫ 2π

0

∫ π

0

[−ux

(eiϕ

′

2i

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[ux

(e−iϕ

′

2i

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[uy

(eiϕ

′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ +

∫ 2π

0

∫ π

0

[uy

(e−iϕ

′

2

)]sin θ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

definiendo

AΩ1 ≡∫ 2π

0

∫ π

0eiϕ

′

sin θ′ Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ ; AΩ2 ≡

∫ 2π

0

∫ π

0e−iϕ

′

sin θ′ Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

obtenemosAΩ =

uy2

(AΩ1 +AΩ2)−ux2i

(AΩ1 −AΩ2)

12El eje Z desde el cual se mide el angulo θ es el eje de cuantizacion que determina todos los numeros cuanticos. Este problema no tienesimetrıa esferica dado que corresponde a un estado excitado, y no al estado base del atomo de Hidrogeno.


en lo que sigue seran utiles las siguientes expresiones

Y11 (θ, ϕ) = −√

3

8πsin θ eiϕ ; Yl,−m (θ, ϕ) = (−1)m Y ∗

lm (θ, ϕ) (13.50)

calculemos AΩ1, de las anteriores identidades tenemos que

sin θ eiϕ = −√

8π

3Y11 (θ, ϕ)

sustituyendo esto en la expresion para AΩ1

AΩ1 ≡ −√

8π

3

∫ 2π

0

∫ π

0Y11(θ′, ϕ′) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ = −

√8π

3δl1δm1

calculamos ahora AΩ2. Conjugando la identidad antes usada se tiene sin θ e−iϕ = −√8π/3Y ∗

11 (θ, ϕ), y usando lasegunda identidad (13.50), sin θ e−iϕ =

√8π/3Y1,−1 (θ, ϕ), sustituyendo en la expresion para AΩ2

AΩ2 ≡√

8π

3

∫ 2π

0

∫ π

0Y1,−1

(θ′, ϕ′) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√8π

3δl1δm,−1

la integral angular queda

AΩ =uy2

(−√

8π

3δl1δm1 +

√8π

3δl1δm,−1

)− ux

2i

(−√

8π

3δl1δm1 −

√8π

3δl1δm,−1

)

AΩ = uy

√2π

3δl1 (−δm1 + δm,−1)− iux

√2π

3δl1 (δm1 + δm,−1)

AΩ =

√2π

3δl1 [uy (−δm1 + δm,−1)− iux (δm1 + δm,−1)]

sustituımos esta expresion en (13.49)

A (r) =4π

c

q~

32ma50

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

√2π

3δl1 [uy (−δm1 + δm,−1)− iux (δm1 + δm,−1)]

[∫rl<

rl+1>

r′3e−r′/a0 dr′

]

A (r) =4π

c

√2π

3

q~

32ma50

1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

2 + 1uy (−δm1 + δm,−1)− iux (δm1 + δm,−1)

[∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′]

A (r) =4π

3c

√2π

3

q~

32ma50

1∑

m=−1

[uyY1m (θ, ϕ) (−δm1 + δm,−1)− iuxY1m (θ, ϕ) (δm1 + δm,−1)] Ar

A (r) =π

24c

√2π

3

q~

ma50uy [−Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)]− iux [Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ)] Ar (13.51)

donde hemos definido

Ar =

∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′

tomando la expresion explıcita para Y11 (θ, ϕ) y Y1,−1 (θ, ϕ)

√3/8π sin θ e−iϕ = Y1,−1 (θ, ϕ) ; −

√3/8π sin θ eiϕ = Y11 (θ, ϕ)

−Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) =√

3/8π sin θ eiϕ +√

3/8π sin θ e−iϕ = 2√

3/8π sin θ cosϕ =

√3

2πsin θ cosϕ

Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = −√3/8π sin θ eiϕ +

√3/8π sin θ e−iϕ = −2i

√3/8π sin θ sinϕ = −i

√3

2πsin θ sinϕ

13.19. EJEMPLO: DENSIDAD DE CORRIENTE EN UN ESTADO ATOMICO EXCITADO 225

sustituyendo en (13.51)

A (r) =π

24c

√2π

3

q~

ma50

uy

[√3

2πsin θ cosϕ

]− iux

[−i√

3

2πsin θ sinϕ

]Ar

A (r) =π

24c

√3

2π

√2π

3

q~

ma50sin θ uy cosϕ− ux sinϕ Ar

A (r) =

[πq~

24cma50sin θ

]uϕ Ar (13.52)

debemos ahora evaluar la integral radial Ar, para lo cual partimos la integral entre [0, r], y (r,∞)

Ar =

∫r<r2>r′3e−r

′/a0 dr′ =∫ r

0

r′

r2r′3e−r

′/a0 dr′ +∫ ∞

r

r

r′2r′3e−r

′/a0 dr′

Ar =1

r2

∫ r

0r′4e−r

′/a0 dr′ + r

∫ ∞

rr′e−r

′/a0 dr′

hacemos el cambio de variable x = r′/a0

Ar =1

r2

∫ r/a0

0(a0x)

4 e−x a0 dx+ r

∫ ∞

r/a0

a0x e−x a0 dx

Ar =a50r2

∫ r/a0

0x4e−x dx+ a20 r

∫ ∞

r/a0

x e−x dx ≡ a50r2Ar2 + a20 r Ar1 (13.53)

Ar1 se calcula facilmente por partes con u = x, dv = e−xdx∫x e−x dx = −xe−x −

∫−e−xdx = −xe−x +

∫e−xdx = −e−x (x+ 1) ⇒

Ar1 =

∫ ∞

r/a0

x e−x dx = e−r/a0(1 +

r

a0

)

Ar2 se puede hacer por partes en forma sucesiva, comenzando con u1 = x4, dv1 = e−xdx, para las siguientes integralesse tiene u2 = x3, dv2 = e−xdx y ası sucesivamente

∫x4e−x dx = −x4e−x + 4

∫x3e−xdx = −x4e−x + 4

(−x3e−x + 3

∫x2e−xdx

)

= −x4e−x + 4

[−x3e−x + 3

(−x2e−x + 2

∫xe−xdx

)]

= −x4e−x − 4x3e−x − 12x2e−x + 24

∫xe−xdx

= −x4e−x − 4x3e−x − 12x2e−x − 24e−x (1 + x)∫x4e−x dx = −e−x

[x4 + 4x3 + 12x2 + 24x+ 24

]

Ar2 =

∫ r/a0

0x4e−x dx = 24− e−r/a0

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]

la integral radial (13.53) queda

Ar =a50r2

24− e−r/a0

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]+ a20 r

e−r/a0

(1 +

r

a0

)

factorizando adecuadamente

Ar =a50r2e−r/a0

24er/a0 −

[(r

a0

)4

+ 4

(r

a0

)3

+ 12

(r

a0

)2

+ 24

(r

a0

)+ 24

]+a50r2e−r/a0

[(r

a0

)3

+

(r

a0

)4]

Ar =a50r2e−r/a0

24er/a0 − 3

(r

a0

)3

− 12

(r

a0

)2

− 24

(r

a0

)− 24


Ar = −3a50r2e−r/a0

−8er/a0 +

(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

Ar = −3a50r2e−r/a0

(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1− er/a0

)(13.54)

reemplazando (13.54) en (13.52) se tiene

A (r) =

[−3a50r2e−r/a0

πq~

24cma50sin θ

]uϕ

[(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1− er/a0

)]

A (r) = −πq~ sin θ8mcr2

e−r/a0

[(r

a0

)3

+ 4

(r

a0

)2

+ 8

(r

a0

)+ 8

(1− er/a0

)]uϕ

13.20. Ejemplo: Sistema de dos anillos paralelos concentricos

Figura 13.4: Anillos paralelos y concentricos de radios a y b que transportan corrientes I1 e I2, y separados unadistancia 2h.

Sean dos anillos de radios a y b con corrientes I1 e I2 respectivamente como se ilustra en la Fig. 13.4. Los planosde los anillos son paralelos y estan a una distancia 2h, ademas los anillos son concentricos. Evaluaremos A y B paraeste sistema de dos anillos.

Por comodidad colocaremos los dos anillos paralelos al plano XY y equidistantes a dicho plano estando el anillode radio a “por encima” del plano XY es decir en el sector del eje Z positivo, en tanto que el anillo de radio b seubica en el sector con eje Z negativo. Ademas el eje Z sera aquel que une los centros de ambos anillos. Por tanto,los centros de los anillos se ubican en las posiciones Ca,b = (0, 0,±h).

Primero calculamos la densidad volumetrica equivalente J = J1 + J2

J dV = I1 dl1 + I2 dl2, dl1 = a dϕ uϕ, dl2 = b dϕ uϕ

∫J1 dV =

∫I1 a dϕ uϕ

∫ δ(r −

√h2 + a2

)

r2r2 dr

∫δ (cos θ − cos θ1) sin θ dθ

=

∫ I1 a

δ(r −

√h2 + a2

)

h2 + a2δ

(cos θ − h√

h2 + a2

)uϕ

sin θ dθ dϕ r2 dr

13.20. EJEMPLO: SISTEMA DE DOS ANILLOS PARALELOS CONCENTRICOS 227

⇒ J1 = I1 aδ(r′ −

√h2 + a2

)δ(cos θ′ − h√

h2+a2

)

h2 + a2uϕ′

para la otra corriente (debajo del plano XY), el angulo θ2 viene dado por θ2 = π − α0, donde α0 es el angulo agudoentre el eje Z negativo y la posicion de un punto en el alambre 2 de modo que

cos θ2 = cos (π − α0) = − cosα0 = − h√h2 + b2

y la densidad equivalente para el alambre 2 es

J2 = I2 bδ(r′ −

√h2 + b2

)δ(cos θ′ + h√

h2+b2

)

h2 + b2uϕ′

por brevedad escribiremos

R1 ≡√h2 + a2 , R2 ≡

√h2 + b2 , cos θ1 =

h√h2 + a2

, cos θ2 = − h√h2 + b2

(13.55)

la densidad de corriente equivalente total J = J1 + J2es

J =

[I1 a δ (r

′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

+I2 b δ (r

′ −R2) δ (cos θ′ − cos θ2)

R22

]uϕ′

usando la expresion de A, para espacio infinito, con expansion G en armonicos esfericos

A (r) =1

c

∫

V

[I1 a δ (r

′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

+I2 b δ (r

′ −R2) δ (cos θ′ − cos θ2)

R22

]uϕ′

×[4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

evaluamos la integral sobre un solo alambre ya que el resultado se extrapola facilmente para el otro

A1 (r) =1

c

∫

V

[I1 a δ (r

′ −R1) δ (cos θ′ − cos θ1)

R21

uϕ′

][4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ dΩ′

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫δ(cos θ′ − cos θ1

)uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

][∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′]

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1AθAr (13.56)

Aθ ≡∫δ(cos θ′ − cos θ1

)uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ ; Ar ≡

∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′

evaluemos la integral angular

Aθ =

∫ 2π

0

[∫ π

0δ(cos θ′ − cos θ1

)sin θ′ dθ′

]uϕ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dϕ′ =

∫ 2π

0uϕ′Y ∗

lm

(θ1, ϕ

′) dϕ′

Aθ =

∫ 2π

0

[−ux sinϕ

′ + uy cosϕ′]Y ∗

lm

(θ1, ϕ

′) dϕ′ = −ux

∫ 2π

0sinϕ′Y ∗

lm

(θ1, ϕ

′) dϕ′ + uy

∫ 2π

0cosϕ′Y ∗

lm

(θ1, ϕ

′) dϕ′

Aθ = −ux

∫ 2π

0

(eiϕ

′ − e−iϕ′

2i

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1) e

−imϕ′

dϕ′

+uy

∫ 2π

0

(eiϕ

′

+ e−iϕ′

2

)√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1) e

−imϕ′

dϕ′


Aθ = −ux

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1)

∫ 2π

0

(eiϕ

′ − e−iϕ′

2i

)e−imϕ

′

dϕ′

+uy

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pml (cos θ1)

∫ 2π

0

(eiϕ

′

+ eiϕ′

2

)e−imϕ

′

dϕ′

usando las expresiones ∫ 2π

0e±iϕ

′

e−imϕ′

dϕ′ = 2πδm,±1

Aθ =

√2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!

2π

2Pml (cos θ1) [iux (δm1 − δm,−1) + uy (δm1 + δm,−1)]

Aθ = πiux

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 −

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!P−1l (cos θ1) δm,−1

]

+πuy

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 +

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!P−1l (cos θ1) δm,−1

]

usando la identidad

P−1l (cos θ) = −(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ)

Aθ = πiux

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 +

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm,−1

]

+πuy

[√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm1 −

√2l + 1

4π

(l + 1)!

(l − 1)!

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) δm,−1

]

Aθ = π

√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

Aθ =1

2

√(2l + 1) π

l (l + 1)P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

reemplazando en (13.56)

A1 (r) =4πaI1cR2

1

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

×1

2

√(2l + 1) π

l (l + 1)P 1l (cos θ1) [iux (δm1 + δm,−1) + uy (δm1 − δm,−1)]

Ar

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

√π

(2l + 1) l (l + 1)×Ar

×P 1l (cos θ1) iux [Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ)] + uy [Yl,1 (θ, ϕ)− Yl,−1 (θ, ϕ)]

observese que la suma sobre l comienza desde 1 y no desde cero, en virtud de que los unicos valores permitidos de mson ±1, y por tanto el termino l = 0 estarıa prohibido. Por otro lado

Yl,1 (θ, ϕ) + Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ)− Y ∗l,1 (θ, ϕ) = 2iRe [Yl,1 (θ, ϕ)]

= 2i

√2l + 1

4π

(l − 1)!

(l + 1)!P 1l (cos θ) cosϕ

= i

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) cosϕ


Yl,1 (θ, ϕ)− Yl,−1 (θ, ϕ) = Yl,1 (θ, ϕ) + Y ∗l,1 (θ, ϕ) = 2Im [Yl,1 (θ, ϕ)]

=

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) sinϕ

reemplazando en la expresion para A1

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

√π√

(2l + 1) l (l + 1)×Ar P

1l (cos θ1)

iux

[i

√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) cosϕ

]+ uy

[√2l + 1

πl (l + 1)P 1l (cos θ) sinϕ

]

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

Arl (l + 1)

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ) −ux cosϕ+ uy sinϕ

A1 (r) =2πaI1cR2

1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ)

l (l + 1)uϕ Ar

ahora debemos evaluar la integral radial

Ar =

∫rl<

rl+1>

r′2 δ(r′ −R1

)dr′

para lo cual consideramos dos intervalos

a) si r < R1 ⇒ r < r′

Ar = rl∫ ∞

0

1

(r′)l+1r′2 δ

(r′ −R1

)dr′ = rl

∫ ∞

0

1

(r′)l−1δ(r′ −R1

)dr′ =

rl

R(l−1)1

b) si r > R1 ⇒ r > r′

Ar =1

rl+1

∫ r

0

(r′)lr′2 δ

(r′ −R1

)dr′ =

1

rl+1

∫ r

0

(r′)l+2

δ(r′ −R1

)dr′ =

R(l+2)1

rl+1

podemos sintetizar la expresion de Ar de la siguiente manera

Ar = R1

[(r

R1

)lΘ(R1 − r) +

(R1

r

)l+1

Θ(r −R1)

]

la expresion final para A1 es

A1 (r) =2πaI1cR1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ1)P

1l (cos θ)

l (l + 1)uϕ

[(r

R1

)lΘ(R1 − r) +

(R1

r

)l+1

Θ(r −R1)

]

la expresion para A2 se obtiene simplemente reemplazando cos θ1 → cos θ2, a → b, I1 → I2, R1 → R2. Escribiremosel potencial vectorial total A = A1 +A2 en forma sintetica

A (r) =2πuϕc

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

cos θ1 =h√

h2 + a2; cos θ2 = − h√

h2 + b2; R1 ≡

√h2 + a2 ; R2 ≡

√h2 + b2

Fl (r,R) ≡( rR

)lΘ(R− r) +

(R

r

)l+1

Θ(r −R)


Notese que la magnitud de A es independiente de ϕ a pesar de que su direccion es uϕ. Esto se debe a quela configuracion de anillos tiene simetrıa azimutal (por la eleccion de ejes coordenados) pero las corrientes van endireccion uϕ.

Ahora evaluamos el campo magnetico B, para lo cual tendremos en cuenta que para A = Auϕ el rotacionalvendra dado por

B = ∇×A =ur

r sin θ

∂

∂θ(A sin θ)− uθ

r

∂

∂r(rA)

B = ∇×A =2πurcr sin θ

∞∑

l=1

∂∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

−2πuθcr

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1

∂

∂r[rFl (r,R1)] +

bI2P1l (cos θ2)

R2

∂

∂r[rFl (r,R2)]

utilizamos la identidad

dP 1l (cos θ)

dθ= P 2

l (cos θ) + cot θ P 1l (cos θ) ⇒

∂

∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

= 2cos θ P 1l (cos θ) + sin θ P 2

l (cos θ)

toda la contribucion angular en θ para la componente ur se puede escribir como

∂∂θ

[sin θ P 1

l (cos θ)]

sin θ= 2cot θ P 1

l (cos θ) + P 2l (cos θ)

por otro lado las derivadas radiales se escriben

∂

∂r[rF (r,R)] = (l + 1)

( rR

)lΘ(R− r)− l

(R

r

)l+1

Θ(r −R)

el campo magnetico se puede escribir sinteticamente como

B =2πurcr

∞∑

l=1

Zl (θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Fl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Fl (r,R2)

−2πuθcr

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

aI1P

1l (cos θ1)

R1Hl (r,R1) +

bI2P1l (cos θ2)

R2Hl (r,R2)

Zl (θ) ≡ 2 cot θ P 1l (cos θ) + P 2

l (cos θ) ; H (r,R) ≡ (l + 1)( rR

)lΘ(R− r)− l

(R

r

)l+1

Θ(r −R)

13.20.1. Caso particular: anillos de Helmholtz

Si a = b se obtienen los anillos de Helmholtz, en tal caso R1 = R2, cos θ1 = − cos θ2. Vamos a suponer adicional-mente que i1 = i2, usando la relacion Pl (−x) = (−1)l Pl (x) se puede ver que

Pl (cos θ2) = Pl (− cos θ1) = (−1)l Pl (cos θ1)

de modo que

Bh =4πaI1urcrR1

∞∑

l=1

Zl (θ)

l (l + 1)

[P 1l (cos θ1) + (−1)l Pl (cos θ1)

]Fl (r,R1)

−4πaI1uθcrR1

∞∑

l=1

P 1l (cos θ)

l (l + 1)

[P 1l (cos θ1) + (−1)l Pl (cos θ1)

]Hl (r,R1)


por lo tanto cuando a = b, e I1 = I2, las contribuciones impares de l se anulan y el campo magnetico se reduce a

Bh =4πaI1urcrR1

∞∑

l=1

Z2l (θ)

2l (2l + 1)

[2P 1

2l (cos θ1)F2l (r,R1)]

−4πaI1uθcrR1

∞∑

l=1

P 12l (cos θ)

2l (2l + 1)

[2P 1

2l (cos θ1)H2l (r,R1)]

Bh =8πaI1crR1

∞∑

l=1

P 12l (cos θ1)

2l (2l + 1)

[urZ2l (θ) F2l (r,R1)− uθP

12l (cos θ) H2l (r,R1)

]

para obtener el valor aproximado de Bh cerca al origen coordenado, se observa que r/R1 << 1. Por tanto podemostomar solo el termino de primer orden en r/R1, en las expresiones de F2l (r,R1) y H2l (r,R1), lo cual equivale a tomarsolo el termino l = 1 en la sumatoria

Bh ≈ 8πaI1crR1

P 12 (cos θ1)

2 (2 + 1)

[urZ2 (θ) F2 (r,R1)− uθP

12 (cos θ) H2 (r,R1)

]

teniendo en cuenta que r < R1 ⇒ Θ(r −R1) = 0 y se tiene

Bh ≈ 8πaI1crR1

P 12 (cos θ1)

6

ur[2 cot θ P 1

2 (cos θ) + P 22 (cos θ)

] ( r

R1

)2

−uθP12 (cos θ)

[3

(r

R1

)2]

usando las identidades

P 12 (x) = −3x

√(1− x2) ; P 2

2 (x) = 3(1− x2

)⇒

P 12 (cos θ) = −3 cos θ sin θ = −3

2sin 2θ ; P 2

2 (cos θ) = 3 sin2 θ

el campo magnetico Bh cerca al origen es

Bh ≈ 8πaI1crR1

(−3

2 sin 2θ1)

6

ur

[2 cot θ

(−3

2sin 2θ

)+ 3 sin2 θ

] (r

R1

)2

−uθ

(−3

2sin 2θ

) [3

(r

R1

)2]

Bh ≈ 2πaI1crR1

sin 2θ1

(r

R1

)2ur[3 cot θ sin 2θ − 3 sin2 θ

]− 3uθ

(3

2sin 2θ

)

Bh ≈ 6πaI1crR1

(r

R1

)2

sin 2θ1

ur[2 cos2 θ − sin2 θ

]− 3

2uθ sin 2θ

Bh ≈ 6πaI1crR1

(r

R1

)2

sin 2θ1

ur[3 cos2 θ − 1

]− 3

2uθ sin 2θ

Capıtulo 14

Magnetostatica de medios materiales

14.1. Magnetizacion

En la materia existen corrientes microscopicas (electrones y tal vez iones en movimiento). Estas corrientes mi-croscopicas dan lugar a dipolos magneticos microscopicos cuando el material se sumerge en un campo magnetico B;por reorientacion surgen entonces efectos macroscopicos. No obstante, la forma en que responden los cuerpos a uncampo magnetico nos lleva a tres grandes tipos de materiales: paramagneticos, diamagneticos y ferromagneticos. Losdos primeros tienen usualmente una respuesta lineal y no dependen de la historia del material, por el contrario elferromagnetismo es un fenomeno no lineal que ademas depende de la historia del material. Aunque la explicacionmas satisfactoria de todos estos fenomenos yace en la mecanica cuantica, haremos un acercamiento cualitativo clasicoo semiclasico a estos fenomenos.

Al igual que en el caso de campos electricos en la materia, bajo la aproximacion dipolar podemos definir ladensidad de dipolos magneticos dentro de un material. Tal densidad de dipolos magneticos se conoce como magne-tizacion M (que es el analogo al vector de Polarizacion P para campos electricos en la materia). La respuesta de unmaterial cuando se aplican campos magneticos externos se caracterizara en buena parte atraves de este vector demagnetizacion, al menos en la aproximacion dipolar.

14.1.1. Paramagnetismo

En la seccion 13.16 vimos que el torque generado por un dipolo magnetico viene dado por

~τ = m×B

esta forma funcional del torque es identica a la que se encontro para el caso electrostatico Ec. (12.3), donde ~τ = p×E.Y al igual que en el caso electrostatico, este torque es de tipo restaurador, de modo que tiende a alinear a los camposen la direccion paralela al campo B. Cuando los materiales alinean sus momentos dipolares (en promedio) en ladireccion paralela al campo se habla de materiales paramagneticos. Por otro lado, el movimiento electronico enlos atomos produce un momento dipolar1, que genera esta clase de torque restaurador en presencia de un campo Bexterno. Sin embargo, la mayor contribucion a m la da el momento dipolar intrınseco (momento magnetico de espınµs), y dado que el principio de exclusion de Pauli en mecanica cuantica “organiza” a los electrones en pares con valoropuesto de µs, existe una cancelacion de estos torques a menos que el numero de electrones sea impar. De esta forma,el fenomeno del paramagnetismo se observa generalmente en atomos con numero impar de electrones. Por supuesto,la alineacion no es perfecta dados los efectos termicos y las interacciones con atomos vecinos.

14.1.2. Diamagnetismo

Aun una discusion clasica del diamagnetismo requiere de la ley de induccion de Faraday, por lo cual haremosuna breve discusion que sera complementada cuando lleguemos a campos dependientes del tiempo. Podemos verlos dipolos magneticos en la materia como una serie de espiras cerradas de corrientes microscopicas (usualmente de

1Se podrıa decir que el electron como partıcula no produce una corriente estacionaria. Sin embargo, si reemplazamos esta vision por lade una nube electronica podemos ver al electron mas como una esfera rotante de carga, que por tanto puede en promedio mantener unacorriente estacionaria.

233

234 CAPITULO 14. MAGNETOSTATICA DE MEDIOS MATERIALES

electrones). Consideremos la corriente microscopica producida por un electron con enorme frecuencia orbital, en talcaso se puede tomar la corriente del electron como si fuera estacionaria. Si este lazo de corriente se introduce en uncampo B, y este campo depende del tiempo, se produce un fenomeno de induccion debido al cambio del flujo enla espira, este fenomeno de induccion tambien se puede producir si el campo es no uniforme y la espira se mueveinmersa en el campo. Como veremos mas adelante, este fenomeno de induccion produce un cambio en el momentodipolar que se opone al campo i.e. ∆m = −KB, este fenomeno de induccion sobre la espira microscopica da lugar aldiamagnetismo el cual es tıpicamente de menor magnitud que el paramagnetismo, sin embargo, el paramagnetismose ve usualmente muy apantallado en atomos con numero par de electrones como ya se discutio, en tal caso eldiamagnetismo se vuelve un fenomeno importante.

Al igual que con los campos electricos en la materia nos limitaremos a una aproximacion dipolar. La respuestadel material a campos magneticos externos se resume en la magnetizacion (ovector de magnetizacion) M definidacomo la cantidad de dipolos magneticos por unidad de volumen. Es decir, es el analogo magnetico del vector depolarizacion P para campos electricos en la materia.

Como comentario final, es bien sabido que en la vida diaria conocemos la interaccion magnetica por medio de ob-jetos ferromagneticos (imanes, brujulas etc.), la razon es que los fenomenos diamagnetico y paramagnetico, son muchomas debiles y por tanto la materia ordinaria no produce un fenomeno de imanacion apreciable macroscopicamente,salvo con instrumentos muy sensibles.

14.1.3. Ferromagnetismo

Figura 14.1: Grafica de la magnetizacion de un nucleo de hierro versus la corriente sobre la bobina envolvente, la cuales proporcional al campo magnetico que se aplica sobre el nucleo de hierro. Ademas de la no linealidad, se observa elfenomeno de histeresis segun el cual la respuesta del material depende de su historia.

Este fenomeno al igual que el paramagnetismo, se debe a la alineacion de espines en electrones desapareados. Perola diferencia con este, consiste en que existen fuertes correlaciones entre los momentos magneticos vecinos de maneraque un dipolo tiende a alinearse paralelamente a sus vecinos. El origen de esta correlacion es mecanico cuantica. Sinembargo esta alineacion solo ocurre en pequenas regiones conocidas como dominios magneticos, pero los dominiossı estan aleatoriamente orientados de modo que se anula el campo macroscopico generado. Sin embargo, colocandouna pieza de este material en un campo magnetico intenso se genera un torque que tiende a alinear a los dipolos alo largo del campo, pero la mayorıa de los dipolos se resisten al cambio en virtud de las fuertes correlaciones. Noobstante, en la frontera entre dos dominios hay tensiones entre los dipolos de uno u otro dominio debido a que estanorientados de forma diferente, y el torque tiende a favorecer al lado de la frontera en donde los dipolos tienen unadireccion mas cercana a la del campo, de modo que se modifican las fronteras de los dominios tal que crecen losdominios paralelos al campo en tanto que los otros decrecen. Cuando el campo es muy intenso, un dominio puedeocupar todo el material y se llega a una saturacion.

El fenomeno anterior no es completamente reversible, si ahora se apaga el campo, aunque se recupera parte de la

14.2. CAMPO GENERADO POR OBJETOS MAGNETIZADOS 235

aleatoriedad de los dominios, sigue existiendo una preponderancia de los dominios en la direccion del campo que seapago. El objeto permanece magnetizado o imanado.

Una forma de producir un iman permanente es usando una bobina e introduciendo un nucleo de hierro enella. La grafica 14.1 nos muestra la magnetizacion o imanacion M del nucleo de hierro como funcion de la corrienteI sobre la bobina, la cual es directamente proporcional al campo magnetico que esta genera. Originalmente tenemosun material no magnetizado de modo que en ausencia de corriente (y por tanto de campo magnetico externo) no haymagnetizacion, de modo que la grafica parte del origen (punto P1 en la Fig. 14.1). Cuando se aumenta la corriente sobrela bobina (y por lo tanto el campo aplicado sobre el nucleo de hierro), se mueven los dominios y crece la magnetizacionM, hasta alcanzar un punto de saturacion (punto P2) en el cual todos los dipolos estan alineados y un incrementoen la corriente ya no tiene efecto sobre M. Si ahora reducimos la corriente, tambien se reduce la magnetizacion perono volvemos sobre el mismo camino, en particular al pasar por I = 0, todavıa hay magnetizacion (punto P3) esdecir predominan los dominios paralelos al campo. Ahora aumentamos la corriente pero en la direccion contraria(campo en direccion contraria al original) hasta anular la magnetizacion (punto P4), y si seguimos aun aumentadoesta corriente, encontramos una corriente de saturacion (punto P5) y la magnetizacion aquı ya no aumenta mas (yva en direccion contraria a la magnetizacion original). Una vez que llegamos a la saturacion disminuımos el valor dela corriente hasta llegar a cero (punto P6) encontrando aun una magnetizacion (de nuevo contraria en direccion a lamagnetizacion original que obtuvimos con I = 0), y luego aumentando la corriente (en la direccion original) podemosanular en un cierto punto la magnetizacion (punto P7) y si seguimos aumentando la corriente llegamos de nuevo aun punto de saturacion completando un lazo de Histeresis, de modo que la magnetizacion no depende solo delcampo aplicado sino de la historia del material. Adicionalmente, este fenomeno conocido como ferromagnetismo esaltamente no lineal.

Es logico pensar que al aumentar la temperatura la alineacion de los dominios se destruya por la agitaciontermica. De hecho, existe una temperatura crıtica (temperatura de Curie) a la cual ocurre una transicion de fasey el material abruptamente se vuelve paramagnetico.

14.1.4. Consecuencias de la ausencia de monopolos magneticos

Debido a la gran cantidad de expresiones matematicas que se asemejan entre el caso electrostatico y el mag-netostatico, es usual en algunos contextos visualizar “cargas magneticas” a una cierta distancia una de otra. Estaimagen es muy efectiva para muchos propositos, en particular para las aproximaciones de campo lejano (modelo deGilbert). Sin embargo, como ya se discutio, la forma de los dipolos fısicos para regiones cercanas a las distribuciones,es drasticamente diferente para los dipolos electrostaticos y magnetostaticos. Otro aspecto drasticamente diferentees la ausencia de monopolos magneticos. Este fenomeno se puede ver cuando se hacen sucesivos cortes a un iman,en ese caso no nos quedamos con un polo norte y un polo sur por separado, sino que automaticamente se generannuevos polos en las nuevas piezas, de tal manera que cada una adquiere polos norte y sur. Una imagen pictorica dela situacion se ve si miramos a una bobina como un conjunto de espiras independientes muy cercanas, si separamosen dos mitades esta bobina, el campo que se genera en cada espira se sigue pareciendo al de la bobina original yaque se “reorganizan” los efectos de borde. Este procedimiento no evita que las nuevas lıneas de campo se cierrensobre sı mismas. Otro procedimiento imaginable es cortar las espiras, pero este proceso simplemente desemboca enla desaparicion de la corriente y por tanto, del campo magnetico. Aquı tenemos una caracterıstica esencialmentediferente al caso electrostatico, si una carga puntual (elemento fundamental de carga) la dividimos en dos mitades, seproducen dos cargas que generan campos con intensidades tambien divididas por dos. El lazo de corriente en cambio,es indivisible como elemento generador de campo B. Esto esta relacionado con el hecho de que existe un principiode conservacion de la carga, en tanto que no hay un principio de conservacion de la corriente.

Por esta razon, la imagen mas precisa es ver a los dipolos magneticos puros como pequenos lazos de corriente(modelo de Ampere), lo cual refleja mas la esencia de esta interaccion. La posibilidad de existencia de monopolosmagneticos en etapas primigenias del universo, es un tema de gran interes en la literatura cientıfica contemporanea.

14.2. Campo generado por objetos magnetizados

Asumiremos que los materiales magnetizables se pueden describir por medio de dipolos magneticos. Siguiente unproceso analogo al caso electrico, definimos un vector de magnetizacion del material como la cantidad de dipolos


magneticos por unidad de volumen (densidad de dipolos magneticos)

M ≡ dm

dV=∑

Ni〈mi〉 (14.1)

siendo Ni la densidad de atomos o moleculas del tipo i y 〈mi〉 su momento magnetico dipolar promedio. En generalla magnetizacion es funcion de la posicion. No consideramos en esta seccion corrientes libres. Ademas ignoraremosque tipo de material tenemos y por tanto de donde proviene el valor M, simplemente asumiremos que lo conocemos.De acuerdo con la Ec. (13.40) Pag. 219, el potencial dA generado por un elemento de volumen dV de materialmagnetizado con momento dipolar dm es

dA (r) =dm× (r− r′)

|r− r′|3=

M (r′)× (r− r′)

|r− r′|3dV ′

donde hemos usado la definicion (14.1) del vector de magnetizacion M. Integrando sobre el volumen del materialmagnetizado se obtiene

A (r) =

∫M (r′)× (r− r′)

|r− r′|3dV ′ , ∇

(1

|r− r′|

)= − (r− r′)

|r− r′|3(14.2)

A (r) = −∫

M(r′)×∇

(1

|r− r′|

)dV ′ (14.3)

teniendo en cuenta la identidad vectorial

∇× (Mf) = f∇×M −M×∇f

A (r) =

∫ [∇×

(M (r′)|r− r′|

)− ∇×M (r′)

|r− r′|

]dV ′ = ∇×

∫M (r′)|r− r′| dV

′

donde hemos tenido en cuenta que ∇×M (r′) = 0 ya que ∇ actua sobre las coordenadas r. Definiendo el vector deHertz magnetostatico

Πm (r) ≡∫

M (r′)|r− r′| dV

′ ⇒ A (r) = ∇× Πm (r) (14.4)

Conocido M, el vector de Hertz es en general mas facil de evaluar que la ecuacion original para A. Ademas debetenerse en cuenta que la magnetizacion es usualmente mas facil de medir que las corrientes. Otro metodo alternativopara encontrar A (r) en funcion de la magnetizacion M es el siguiente:

A (r) =

∫M (r′)× (r− r′)

|r− r′|3dV ′ =

∫M(r′)×∇′

(1

|r− r′|

)dV ′

A (r) =

∫ [∇′ ×M (r′)|r− r′| − ∇′ ×

(M (r′)|r− r′|

)]dV ′

Utilizando la identidad ∫(∇×A) dV =

∫

SdS×A

se encuentra que

A (r) =

∫ ∇′ ×M (r′)|r− r′| dV ′ +

∫M (r′)× n

|r− r′| dS′

Esta ecuacion tiene la forma

A (r) =1

c

∫JM (r′)|r− r′| dV

′ +1

c

∫~σM

|r− r′|dS′ (14.5)

que es analogo a distribuciones volumetricas y superficiales de corriente. Ası:

JM (r) = c∇×M , ~σM = cM× n|S (14.6)

14.3. INTERPRETACION DE LAS CORRIENTES DE MAGNETIZACION 237

Las cuales se denominan corrientes de magnetizacion2. Un material magnetizado equivale entonces a la presencia decorrientes de magnetizacion volumetrica y superficial (como un dielectrico polarizado equivale a ρp, σp). No olvidemosque estamos bajo la aproximacion dipolar y que por tanto esta equivalencia es solo aproximada. Observese que ladensidad volumetrica cumple la ecuacion de continuidad ∇ · JM = 0, para corrientes estacionarias.

14.3. Interpretacion de las corrientes de magnetizacion

14.3.1. Corriente superficial de magnetizacion

Figura 14.2: Ilustracion del origen de las corrientes superficiales de magnetizacion. A la izquierda tenemos un materialmagnetizado y a la derecha un elemento de volumen de espesor d, de este material.

Tomemos el material magnetizado con magnetizacion constante y uniforme M, y lo dividimos en contornos muydelgados perpendiculares a la magnetizacion como se ilustra en la Figura 14.2. Uno de estos contornos de espesord, tiene en general un area lateral que es parte de la superficie del material, sea n un vector unitario definido sobreun punto del area lateral y que es ortogonal a ella. Este contorno delgado posee una gran cantidad de lazos decorriente microscopicos, en promedio estos lazos estan orientados en la direccion de M (definido con la regla de lamano derecha). Puesto que la magnetizacion es uniforme, las corrientes contiguas se anulan entre sı, excepto aquellasque estan contıguas al borde del contorno, estas corrientes que no se anulan son claramente de naturaleza superficial,y generan un efecto neto macroscopico que se ve como una corriente que recorre toda el area lateral (ver Fig. 14.2).Estimemos el valor de esta corriente superficial. Por simplicidad asumiremos que n es perpendicular a M, ya que esfacil extenderlo al caso en el cual M y n hacen un angulo arbitrario. Cada lazo cerrado tiene un area a, y un espesord, la magnitud de su momento dipolar es

m =MV =Mad

Por otro ladom = Ia para una espira de corriente, y el valor de la corriente circulante neta es igual al valor (promedio)de las corrientes microscopicas en los lazos cerrados, por tanto la corriente efectiva macroscopica se escribe como

I =m

a=Mad

a=Md (14.7)

y como la densidad superficial de corriente ~σM es corriente por unidad de longitud, se tiene que

‖~σM‖ =I

d=Md

d‖~σM‖ = M

Finalmente, se puede ver que la direccion correcta de esta densidad de corriente viene dada por

~σM = M× n (14.8)

2Comparando las Ecs. (12.6) Pag. 184 con las Ecs. (14.6) vemos que al comparar el caso de electrostatica en la materia con lamagnetostatica en la materia, M es el equivalente de P y las corrientes de magnetizacion volumetrica y superficial tienen una expresionsimilar a las cargas volumetrica y superficial de polarizacion, pero cambiando el producto punto por el producto cruz debido a la naturalezavectorial de las corrientes.


esta expresion ademas nos dice que no hay corrientes superficiales en las “tapas” del contorno, puesto que en esasregiones M y n son paralelos. Esto coincide con el hecho de que esta region es interior y allı se cancelan estascorrientes. La expresion (14.8) coincide con la segunda de las Ecs. (14.6) obtenida analıticamente.

14.3.2. Corriente volumetrica de magnetizacion

Figura 14.3: Ilustracion del origen de las corrientes volumetricas de magnetizacion. Aunque los elementos de volumense muestran separados para ilustrar la circulacion, estos estan contıguos. (a) Circulacion paralela al plano XY quegenera la componente Z de la magnetizacion. Tambien se muestra su variacion a lo largo de Y (b) Circulacionparalela al plano XZ que genera la componente Y de la magnetizacion. Tambien se muestra su variacion a lo largode Z. Por supuesto, tambien contribuye una circulacion paralela al plano Y Z y que genera la componente X de lamagnetizacion. Ası mismo su variacion a lo largo de X, contribuye a la corriente volumetrica de magnetizacion.

En los argumentos anteriores hemos asumido que la magnetizacion es constante y uniforme. Si la magnetizacionno es uniforme, la cancelacion entre los lazos contıguos de corriente en el interior del contorno ya no es exacta. Enrealidad en ese caso, los lazos pueden estar orientados en diversas direcciones de modo que podemos ver la circulacioncomo la superposicion de tres circulaciones paralelas a los planos XY, XZ, y YZ. La Fig. 14.3(a) muestra la circulacionparalela al plano XY y la Fig. 14.3(b) muestra la circulacion paralela al plano XZ. Hay tambien por supuesto unacontribucion de los lazos paralelos a Y Z.

Nos enfocaremos en la contribucion que estos lazos hacen a la corriente en la direccion x. Examinemos la con-tribucion de la Fig. 14.3(a) en la cual la circulacion es paralela al plano XY . Como se aprecia en esta figura, lacontribucion de dos de estos lazos contıguos a la corriente en la direccion x, va en direccion opuesta y tiende acancelarse. No obstante, si la magnetizacion no es uniforme la cancelacion no es exacta. Con un argumento similaral que nos llevo a (14.7) vemos que la corriente esta dada por Mz dz para el lazo de la izquierda de la Fig. 14.3(a),la contribucion va en la direccion negativa de X de modo que

I(XY )x,1 = −Mz (x, y, z) dz

en tanto que la contribucion del lazo de la derecha de la Fig. 14.3(a) esta en la direccion de X positivo, por tanto

I(XY )x,2 =Mz (x, y + dy, z) dz

por tanto la contribucion d elos lazos paralelos a XY dan una contribucion a la corriente sobre el eje X dada por

I(XY )x = I

(XY )x,2 + I

(XY )x,1 = [Mz (x, y + dy, z)−Mz (x, y, z)] dz =

[Mz (x, y + dy, z)−Mz (x, y, z)]

dydy dz =

∂Mz

∂ydy dz

la densidad volumetrica asociada es (J(XY )M

)x=∂Mz

∂y(14.9)

14.4. CAMPOS MAGNETICOS EN EL INTERIOR DE LOS MATERIALES 239

Ahora veamos la contribucion a la corriente en X debida a los lazos paralelos al plano XZ, Fig. 14.3(b). En estecaso la contribucion del lazo de abajo es positiva y la del lazo de arriba es negativa por tanto se tiene

I(XZ)x = I(XZ)x,1 + I

(XZ)x,2 = [My (x, y, z)−My (x, y, z + dz)] dy = − [My (x, y, z + dz)−My (x, y, z)]

dzdz dy

I(XZ)x = −∂My

∂zdz dy

de modo que la contribucion a la densidad volumetrica equivalente es

(J(XZ)M

)x= −∂Mz

∂z(14.10)

finalmente, es facil ver que los lazos paralelos al plano Y Z no contribuyen a la corriente en X. Esto puede verseteniendo en cuenta que una circulacion paralela a Y Z mantiene su coordenada x fija. Por tanto, la contribucion totala la densidad volumetrica en x esta dada por la suma de los terminos (14.9) y (14.10)

(JM )x =∂Mz

∂y− ∂My

∂z(14.11)

procediendo de manera analoga para las corrientes en las direcciones Y y Z, resulta

JM = ∇×M (14.12)

La expresion (14.12) coincide con la primera de las Ecs. (14.6) obtenida analıticamente.

14.4. Campos magneticos en el interior de los materiales

Los campos magneticos microscopicos en el interior de los materiales tienen fuertes fluctuaciones al igual queen el caso electrico. Sin embargo, dado que los promedios volumetricos tienen propiedades semejantes a las delcampo electrostatico, se puede ver que el formalismo anterior tambien es aplicable para hallar los campos magneticospromedio en el interior de los materiales, cuando trabajamos a nivel macroscopico.

14.5. Ecuaciones de campo en medios magnetizables

De acuerdo con lo que encontramos en la seccion anterior, un material magnetizado equivale a la existencia decorrientes volumetrica y superficial de magnetizacion, al menos bajo la suposicion de que la aproximacion dipolarsea buena. Por supuesto, tambien es posible la presencia de corrientes libres Jf , es decir corrientes que se muevenen regiones macroscopicas, usualmente por todo el material. Bajo la existencia de corrientes libres en el materialtenemos que

∇×B =4π

c(Jf + JM ) =

4π

c(Jf + c∇×M)

∇× (B− 4πM) =4π

cJf

definimos el vector intensidad de campo magnetico

H ≡ B− 4πM

con lo cual queda

∇×H =4π

cJf

se sigue por integracion que∫

(∇×H) · dS =

∫4π

cJf · dS (14.13)

∫

loopH · dl =

4π

cIf (14.14)


Lo cual nos da la ley cicuital de Ampere para medios materiales con corrientes libres. Dicha ley es valida inclusopara medios no lineales, anisotropos, e inhomogeneos, pero bajo la aproximacion dipolar.

Para materiales diamagneticos y paramagneticos (lineales) se cumple experimentalmente que

M = χMH (14.15)

χM es en general un tensor 3 × 3 y local. Si el medio es isotropo χM se convierte en un escalar, y si es ademashomogeneo este escalar es independiente de la posicion. De esta forma, el vector intensidad de campo magneticoqueda

H = B− 4πχMH ⇒ B = (1 + 4πχM )H

B = µH ; µ ≡ 1 + 4πχM (14.16)

χM se denomina la susceptibilidad magnetica, µ se conoce como la permeabilidad magnetica. Para el diamagnetismo(paramagnetismo) se tiene que µ < 1(> 1)3. Para el ferromagnetismo, la relacion entre B y H es no lineal.

Por otro lado la relacion B = ∇×A permanece valida, de tal forma que

∇ ·B = 0 (14.17)

la relacion ∇ · H = 0 es valida tambien si tenemos medios isotropos, homogeneos lineales (bajo la aproximaciondipolar). Pero la ec. (14.17) es valida en general, incluso sin la aproximacion dipolar.

Hay un aspecto practico importante a senalar, el campo H es el que en general se puede determinar experimen-talmente, debido a que las corrientes libres son manipuladas externamente, o se miden con facilidad, en tanto queel campo B depende de las corrientes libres y de polarizacion, es decir del material y su estructura. Por otro lado,en el campo electrico ocurre en general lo contrario, es mas facil determinar E experimentalmente debido a que engeneral lo que se puede medir son voltajes i.e. los potenciales y se aplica la relacion E = −∇φ, pero las cargas libresnormalmente no se pueden medir en forma directa, ademas el campo D depende de la estructura del material4. Sinembargo, el campo D es util en ciertas situaciones altamente simetricas en donde la ley de Gauss es aplicable.

Por otro lado, de manera semejante al caso electrostatico, se tiene que para medios lineales, homogeneos eisotropicos la corriente volumetrica de magnetizacion es proporcional a la corriente libre

JM = ∇×M = ∇× (χMH) = χMJf

con lo cual en la ausencia de corriente volumetrica libre, la corriente de magnetizacion sera unicamente superficial.

14.6. Condiciones de frontera en materiales magnetizables

Las condiciones de frontera que los campos B y H satisfacen en la interfase entre dos medios de diferente permea-bilidad magnetica, estan dictaminados por las ecuaciones ∇ ·B = 0 y ∇ ×H = 4π

c Jf . El procedimiento es analogoal caso electrostatico, aunque se llega a resultados diferentes.

Tomemos primero un pequeno cuasi cilindro con altura diferencial y tapas localmente paralelas a la superficie dearea arbitraria pero finita. El flujo por la superficie lateral es despreciable de modo que

∫∇ ·B dV =

∫B · n da =

∫B1 · n1 da+

∫B2 · n2 da =

∫(B1 −B2) · n1 da

∫∇ ·B dV =

∫(B1 −B2) · n1 da = 0

de lo cual resulta

(B1 −B2) · n = 0 ⇒ B1n = B2n (14.18)

La Ec. (14.18) nos dice que el vector induccion magnetica B es contınuo en su componente normal a la interfase.

3De acuerdo con la Ec. (14.16), la relacion µ > 1 (< 1) corresponde a χM < 0 (> 0). Lo cual segun la Ec. (14.15) corresponde avectores de magnetizacion antiparalelos (paralelos) a H, i.e. a materiales lineales diamagneticos (paramagneticos).

4Recuerdese que aunque ∇ ·D = 4πρf , el campo D depende tanto de las cargas libres como de las de polarizacion.

14.6. CONDICIONES DE FRONTERA EN MATERIALES MAGNETIZABLES 241

Figura 14.4: Ilustracion de las condiciones de frontera en materiales magnetizables asociadas al teorema de Stokes.Los segmentos del lazo cerrado perpendiculares a la interfase son infinitesimales.

Ahora tomemos un lazo cerrado plano que atraviesa la interfase como el descrito en la Fig. 14.4. Los ladosperpendiculares a la superficie son de longitud infinitesimal de manera que dl2 = −dl1, los lados localmente paralelosa la superficie son de longitud arbitraria pero finita. Asumiremos por simplicidad que el lazo cerrado de la Fig. 14.4esta en el plano del papel. nl1 es el vector unitario en la direccion de dl1, y n es un vector unitario ortogonal a lainterfase que yace sobre el plano del lazo en el sentido que va desde el medio 1 hacia el medio 2. nl es un vectorunitario perpendicular al plano del lazo cuyo sentido se define por la regla de la mano derecha para la circulacionsobre el lazo (en nuestra convencion y con la circulacion pintada en el lazo de la Fig. 14.4, nl es perpendicular alpapel apuntando hacia fuera).

Con estas definiciones aplicaremos el teorema de Stokes sobre el vector intensidad de campo magnetico H y sobreel lazo cerrado definido en la Fig. 14.4, ası como sobre una superficie S delimitada por el lazo. Utilizando el teoremade Stokes ası como la Ec. (14.13) tenemos

∫

S(∇×H) · nl da =

∮H · dl = 4π

c

∫

sJf · nl da

Puesto que las lıneas del lazo que son ortogonales a la interfase son infinitesimales, solo las lıneas localmente paralelascontribuyen a la integral cerrada

∮H · dl =

∫

l1

H1 · dl1 +∫

l2

H2 · dl2∮

H · dl =

∫

l1

(H1 −H2) · dl1 =4π

c

∫

sJf · nl da

donde la integral de longitud se hace sobre el segmento l1 localmente paralelo a la interfase. En la integral desuperficie, tomaremos por simplicidad la superficie plana encerrada por el lazo. Observemos que una densidad decorriente volumetrica Jf darıa una contribucion nula a la integral de superficie, puesto que la superficie plana ya

mencionada tiene un area que tiende a cero. En cambio, una densidad de corriente superficial ~λf puede dar unacontribucion finita, en virtud de la finitud de los segmentos localmente paralelos a la interfase. Si en lugar de unadensidad de corriente volumetrica Jf tenemos una densidad de corriente superficial ~λf , la integral de superficie se


convierte en integral de lınea sobre la longitud de interfase contenida en el lazo5

∫

l1

(H1 −H2) · nl1 dl1 =4π

c

∫

l1

~λf · nl dl1

de la Fig. 14.4 es facil ver que vectorialmente se cumple que

nl × nl1 = n ; nl1 × n = nl ; n× nl = nl1 (14.19)

recordemos que n es perpendicular a la interfase desde el medio 1 hacia el medio 2, nl1 va en la direccion de dl1 y nles perpendicular a la superficie que delimita el lazo, con el sentido regido por la regla de la mano derecha para lacirculacion6. Con estas relaciones se tiene

∫

l1

(H1 −H2) · (n× nl) dl1 =4π

c

∫

l1

~λf · nl dl1

usando la identidad vectorial a · (b× c) = c · (a× b) nos queda

∫

l1

nl · [(H1 −H2)× n] dl1 =4π

c

∫

l1

~λf · nl dl1

como esto es valido para cualquier segmento l1 finito pero de cualquier longitud y en cualquier ubicacion localmenteparalela a la superficie se concluye que

[(H1 −H2)× n] · nl =4π

c~λf · nl (14.20)

por otro lado, (H1 −H2)×n claramente yace sobre el plano tangente a la superficie (interfase) y definido por n. Dela misma forma ~λf tambien esta sobre este plano tangente. Adicionalmente, el lazo cerrado puede estar orientado encualquier direccion siempre y cuando nl este contenido en el plano tangente. Por tanto, nl puede estar en cualquierdireccion sobre el plano tangente, esto nos garantiza que

[(H1 −H2)× n] =4π

c~λf (14.21)

Por conveniencia definiremos tres vectores unitarios mutuamente ortogonales dados por

n‖ , n⊥ , n

donde los vectores n‖, n⊥ yacen en el plano tangente a la interfase de modo que n‖ va en la direccion paralela (yno antiparalela) de la corriente superficial en tanto que n⊥ va en la direccion perpendicular a la corriente superficial.Para definir el sentido de n⊥ definiremos

n‖ × n ≡ n⊥ (14.22)

Retornando a la Ec. (14.20), y orientando a nl en direccion perpendicular a ~λf , i.e. nl = n⊥ se obtiene

[(H1 −H2)× n] · n⊥ =4π

c

(λfn‖

)· n⊥

[(H1 −H2)× n] · n⊥ = 0 (14.23)

que podemos escribir en la forma

[(H1 −H2)× n]⊥ = 0 (14.24)

5Una vez mas, para longitudes infinitesimales de los segmentos perpendiculares a la interfase, las longitudes l1 y l2 ası como la longitudde interfase contenida en el lazo, son todas iguales a primer orden.

6Es importante mencionar que las identidades vectoriales (14.19), solo son validas si se toma una superficie plana delimitada por ellazo cerrado cuasi rectangular. Sin embargo, como en el teorema de Stokes puede tomarse cualquier superficie delimitada por el lazo, lasidentidades son validas para esta superficie en particular.

14.7. CALCULO DE POTENCIALES Y CAMPOS 243

que denota la componente perpendicular a ~λf del vector (H1 −H2) × n. Escribiendo explıcitamente la Ec. (14.23)en la base ortonormal

(n‖, n⊥, n

)tenemos

[((H1 −H2) · n‖

)n‖ + ((H1 −H2) · n⊥)n⊥ + ((H1 −H2) · n)n

× n

]· n⊥ = 0[(

(H1 −H2) · n‖) (

n‖ × n)+ ((H1 −H2) · n⊥) (n⊥ × n)

]· n⊥ = 0[

(H1 −H2) · n‖] [(

n‖ × n)· n⊥

]+ [(H1 −H2) · n⊥] [(n⊥ × n) · n⊥] = 0[

(H1 −H2) · n‖] [(

n‖ × n)· n⊥

]= 0[

(H1 −H2) · n‖][n⊥ · n⊥] = 0

donde hemos usado la definicion (14.22) en el ultimo paso. Por tanto la Ec. (14.23) [o la Ec. (14.24)] es equivalentea la expresion

(H1 −H2)‖ = 0 (14.25)

similarmente, si en la Ec. (14.20), orientamos a nl en direccion paralela a ~λf , i.e. nl = n‖ se obtiene

[(H1 −H2)× n]‖ =4π

cλf

que se puede escribir equivalentemente en la forma

(H1 −H2)⊥ =4π

cλf

En conclusion, el campo B es contınuo en su componente normal a la superficie, en tanto que la componente paralelaa la superficie de H, se puede dividir a su vez en dos componentes, la componente paralela a la densidad superficialde corriente que es contınua, y la componente perpendicular a la densidad superficial de corriente que sufre unadiscontinuidad. Todos estos resultados se resumen vectorialmente en las expresiones (14.18, 14.21)

(B1 −B2) · n = 0 (14.26)

n× (H2 −H1) =4π

c~λf (14.27)

con ~λf definido como densidad de corriente superficial libre. Se puede ver que en este caso obtenemos lo contrarioal caso electrostatico, continuidad en la componente normal a la superficie, y discontinuidad en la componentetransversal a la superficie. Esto es natural ya que en el caso electrostatico tenıamos ∇ · D 6= 0, ∇ × E = 0, en elcaso magnetostatico es todo lo contrario ∇ ·B = 0, ∇×H 6= 0. De nuevo, la discontinuidad se debe a las corrientessuperficiales, las corrientes volumetricas no contribuyen a la discontinuidad.

14.7. Calculo de potenciales y campos

En general se pueden emplear tres estrategias basicas para calcular el potencial vectorial o el campo magnetico

14.7.1. Formalismo de Green

Para distribuciones de corriente libres Jf en el vacıo o en medios materiales se tiene que B = ∇×A, tal que, enel caso particular de medios lineales, isotropos y homogeneos

∇×H = ∇× B

µ=

1

µ∇× (∇×A) =

1

µ

[∇ (∇ ·A)−∇2A

]=

4π

cJf

y utilizando el gauge de Coulomb i.e. ∇ ·A = 0

∇2A = −4π

cµJf

la ecuacion de Laplace se puede solucionar con el formalismo de Green. En particular, para corrientes localizadas yespacio infinito tenemos

A (r) =µ

c

∫J (r′)|r− r′|dV

′

donde la funcion de Green para espacio infinito |r− r′|−1 se puede escribir en terminos de una representacion apro-piada para la simetrıa del problema.


14.7.2. Vector de Hertz

Si lo que conocemos es la magnetizacion M del material, el metodo mas directo para calcular A (r) consiste enusar el vector de Hertz magnetico definido en la Ec. (14.4) Pag. 236

A (r) = ∇× Πm (r) ; Πm (r) ≡∫

M (r′)|r− r′| dV

′ (14.28)

14.7.3. Densidades de corriente de magnetizacion

Adicionalmente, con base en la magnetizacion M del material, se puede encontrar el potencial vectorial calculandolas densidades superficial y volumetrica de magnetizacion Ecs. (14.6)

JM (r) = c∇×M , ~σM = cM× n|S (14.29)

para luego calcular el potencial vectorial a traves de la expresion (14.5)

A (r) =1

c

∫JM (r′)|r− r′| dV

′ +1

c

∫~σM

|r− r′|dS′ (14.30)

o mas explıcitamente

A (r) =

∫ ∇′ ×M (r′)|r− r′| dV ′ +

∫M (r′)× n′

|r− r′| dS′ (14.31)

14.7.4. Potencial escalar magnetico

Cuando Jf = 0 se tiene que ∇×H = 0 de modo que H = −∇φM . Donde φM es el denominado potencial escalarmagnetico. Si en particular trabajamos sobre medios lineales, isotropos y homogeneos, tenemos entonces que

∇ ·B = ∇ · (µH) = µ∇ ·H = −µ∇2φM = 0

Nos queda entonces

∇2φM = 0

debemos tener presente que esta ecuacion solo es valida en las regiones donde no hay distribuciones de corriente7. Sihay mas de un medio material (medios con µi constante cada uno) se tiene que ∇2φM1 = ∇2φM2 = . . . = 0, y hayque aplicar las condiciones de contorno sobre las interfases con diferente µ.

Sin embargo, el metodo del potencial escalar tambien se puede usar para medios no isotropos, no lineales y nohomogeneos, si se conoce su magnetizacion (aproximacion dipolar), siempre y cuando estemos en regiones fuera delas distribuciones de corriente.

∇×H = 0 ⇒ H = −∇φM∇ ·B = ∇ · (H+ 4πM) = ∇ · (−∇φM + 4πM) = −∇2φM + 4π∇ ·M = 0

de lo cual resulta

∇2φM = 4π∇ ·M ≡ −4πρM (14.32)

donde ρM es la densidad volumetrica de “carga” de magnetizacion. No obstante, es importante enfatizar en que eltermino de “carga magnetica” es solo un termino efectivo pero no algo fısicamente real8.

Calculemos la “carga” total de magnetizacion, se sigue que

∫ρM dV = −

∫∇ ·M dV = −

∫M · n dS = −

∫σM dS

7Recordemos que para medios lineales, isotropos y homogeneos, no hay corriente de magnetizacion volumetrica si no hay corriente librevolumetrica.

8Sin embargo, vale la pena observar la analogıa estructural de la Ec. (14.32) con la segunda de las Ecs. (12.6) Pag. 184.

14.7. CALCULO DE POTENCIALES Y CAMPOS 245

de modo que

∫ρM dV +

∫σM dS = 0

σM ≡ M · n (14.33)

De modo que tambien hay “carga” superficial de magnetizacion (notese la diferencia en notacion entre densidad de“carga” superficial de magnetizacion σM y densidad de corriente superficial de magnetizacion ~σM )9.

La solucion a la ecuacion ∇2φM = −4πρM debe incluır la presencia de “cargas” superficiales, como en el problemade Green electrostatico.

φM =

∫ρM

|r− r′|dV′ +∫

σM|r− r′|dS

′ = −∫ ∇′ ·M (r′)

|r− r′| dV ′ +∫

M (r′) · n′

|r− r′| dS′ (14.34)

donde la integral volumetrica corresponde a la solucion homogenea en tanto que la integral de superficie es la solucioninhomogenea. Al continuar desarrolando esta expresion queda

φM = −∫

∇′ ·(M (r′)|r− r′|

)dV ′ +

∫M(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ +

∫M (r′) · n′

|r− r′| dS′

aplicando teorema de la divergencia

φM = −∫

M (r′) · n′

|r− r′| dS′ +∫

M(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ +

∫M (r′) · n′

|r− r′| dS′

Las integrales de superficie se anulan entre sı (si las corrientes estan localizadas, se tiene ademas que cada una escero por aparte) y queda

φM =

∫M(r′)· ∇′

(1

|r− r′|

)dV ′ = −

∫M(r′)· ∇(

1

|r− r′|

)dV ′

= −∫

∇·(M (r′)|r− r′|

)dV ′ = −∇ ·

∫M (r′)|r− r′|dV

′

φM = −∇ · Πm (r) = −∇ ·∫

M (r′)|r− r′|dV

′ (14.35)

Siendo Πm (r) el vector de Hertz magnetico definido en la Ec. (14.28). Observese que lejos de la region donde selocalizan las corrientes |r− r′|−1 ≃ |r|−1 y el potencial escalar queda

φM ≃ −∇(1

r

)·∫

M(r′)dV ′ =

m · rr3

dondem es el momento magnetico total. En electrostatica, este es el potencial escalar de un dipolo electrico, en dondem (momento dipolar magnetico) esta haciendo las veces de p (momento dipolar electrico). En sıntesis, el potencialescalar magnetico de una distribucion localizada se comporta asintoticamente como un dipolo electrico.

Un ejemplo sencillo lo constituye el dipolo puntual magnetico ubicado en un punto r0

ρM(r′)= −∇ · (mδ (r− r0)) = −m · ∇δ (r− r0) = m · ∇′δ (r− r0) ; σM = 0

φM =

∫ρM

|r− r′|dV′ =

∫m·∇′δ (r− r0)

|r− r′| dV ′ = −∇ ·(

m

|r− r0|

)

= −m · ∇(

1

|r− r0|

)=

m· (r− r0)

|r− r0|3

que de nuevo, coincide con la forma funcional de un dipolo electrico. Tambien se puede evaluar primero ΠM y luegoφM .

9Tambien se puede comparar la Ec. (14.33) con la primera de las Ecs. (12.6) Pag. 184.


14.8. Ejemplo: esfera uniformemente magnetizada

Asumamos una esfera de radio a, con magnetizacion permanente uniforme y constante M de magnitud M0. Porcomodidad elegimos el eje Z a lo largo del vector de magnetizacion de modo que M = M0z. Asumiremos que laesfera esta en el vacıo o en un medio no permeable, de tal manera que no consideraremos una posible magnetizacioninducida por la esfera sobre el medio exterior.

14.8.1. Metodo 1: Calculo del potencial escalar magnetico via cargas magneticas efectivas

El metodo mas simple para calcular el campo magnetico es la expresion (14.34) para el potencial escalar magneticoen coordenadas esfericas, junto con el uso de la densidad superficial efectiva σM (θ) de “carga magnetica” (puestoque la magnetizacion es uniforme, no hay densidad volumetrica de “carga magnetica” efectiva).

M =M0z ; σM (θ) = n ·M =M0 cos θ (14.36)

sustituyendo (14.36) en (14.34) el potencial escalar magnetico queda en la forma

φM (r, θ) =M0a2

∫dΩ′ cos θ′

|r− r′| =√

4π

3M0a

2

∫dΩ′Y10 (θ, ϕ)

|r− r′|

Utilizando la expansion (4.64) Pag. 65, o la expansion (9.9) Pag. 149, se puede demostrar que solo el termino conl = 1 contribuye. El potencial queda en la forma

φM (r, θ) =4π

3M0a

2 r<r2>

cos θ (14.37)

donde r< es el menor entre r y a. En el interior de la esfera tenemos r< = r y r> = a. En tal caso se obtiene

φM (r, θ) =4π

3M0r cos θ

φM (r, θ) =4π

3M0z en el interior de la esfera (14.38)

Los vectores intensidad e induccion magnetica vendran dados por

H = −∇φM ; B = H+ 4πM

de lo cual se obtiene

Hin = −4π

3M ; Bin =

8π

3M (14.39)

observese que Bin es paralelo a M en tanto que Hin es antiparalelo. En el exterior de la esfera r< = a y r> = r conlo cual la Ec. (14.37) queda

φM (r, θ) =4π

3M0a

3 cos θ

r2(14.40)

que es el potencial asociado a un dipolo magnetico con momento dipolar

m =4πa3

3M

Notese que para una esfera con magnetizacion uniforme, los campos en el exterior de esta son puramente dipolaresincluso cerca a la esfera. No hay multipolos de mayor orden para esta (y solo esta) geometrıa. La presencia demultipolos magneticos de mayor orden indicarıa una deformacion de la simetrıa esferica al igual que en el caso de losmultipolos electricos.

Las lıneas de campo de B y H se muestran en la Fig. 14.5. Se observa que las lıneas de B son lazos cerrradoscontınuos, en tanto que las lıneas de campo de H terminan sobre la superficie debido a la presencia de la cargamagnetica superficial efectiva σM . Notese ademas que en el interior de la esfera los campos B y H tienen sentidoscontrarios siendo B paralelo a M y siendo H antiparalelo a M.

14.8. EJEMPLO: ESFERA UNIFORMEMENTE MAGNETIZADA 247

Figura 14.5: Ilustracion de los campos B y H generados por una esfera uniformemente magnetizada. Las lıneas deB son curvas cerradas contınuas en tanto que las lıneas de H se originan en la superficie de la esfera en virtud dela presencia de “cargas magneticas” superficiales efectivas. Tambien se observa en la grafica que en el interior dela esfera H y B son antiparalelos y que la magnitud de H es la mitad de la magnitud de B, como se indica en laEc.(14.39). Esto ultimo se ilustra observando que la densidad de lıneas de campo a la izquierda es el doble que a laderecha en el interior de la esfera.

14.8.2. Metodo 2: Calculo del potencial escalar magnetico via vector de Hertz magnetico

Para calcular el potencial escalar magnetico podemos utilizar la Ec. (14.35) en lugar de (14.34). Con M = M0zla Ec. (14.35) nos da

φM (r, θ) = −M0∂

∂z

∫ a

0r′2dr′

∫dΩ′ 1

|r− r′| (14.41)

en este caso al insertar la expansion (4.64) o la expansion (9.9) en (14.41) e integrar sobre los angulos, solo el terminocon l = 0 contribuye. Dado que ∂r/∂z = cos θ, el potencial queda

φM (r, θ) = −4πM0 cos θ∂

∂r

∫ a

0

r′2dr′

r>

y al integrar sobre r′ se reproduce la expresion (14.37) para el potencial escalar magnetico.

14.8.3. Metodo 3: Potencial vectorial magnetico

Utilizaremos la Ec. (14.31). Puesto que M es uniforme, no hay corriente volumetrica de magnetizacion y portanto solo sobrevive la integral de superficie en (14.31). Con M =M0z se tiene que

M× n′ =M0 sin θ′uϕ =M0 sin θ

′ (− sinϕ′ x+ cosϕ′ y)

en virtud de la simetrıa azimutal, podemos escoger el punto de observacion en el plano x−z (ϕ = 0) de modo que solosobrevive la componente y de M× n′ al integrar sobre el azimut, con lo cual la componente azimutal del potencialvectorial queda

Aφ (r) =M0a2

∫dΩ′ sin θ

′ cosϕ′

|r− r′| (14.42)

dado que r′ tiene coordenadas (a, θ′, ϕ′), podemos escribir el factor angular como

sin θ′ cosϕ′ = −√

8π

3Re[Y1,1

(θ′, ϕ′)] (14.43)


y aplicando la expansion (9.9) en (14.42) junto con (14.43), solo sobrevive el termino con l = m = 1. Con esto seobtiene

Aϕ (r) =4π

3M0a

2

(r<r2>

)sin θ (14.44)

de nuevo r< es el menor entre r y a. Puesto que A solo tiene componente azimutal el campo magnetico tendra laforma

B =ur

r sin θ∂θ (sin θAϕ)−

uθr∂r (rAϕ) (14.45)

Sustituyendo (14.44) en (14.45) se obtiene el campo uniforme B dentro de la esfera y el campo dipolar fuera de laesfera, en concordancia con los anteriores metodos.

14.9. Ejemplo: Esfera con magnetizacion radial

Evaluaremos φM (potencial escalar magnetico) para una esfera con magnetizacion M permanente de la formaM =Mur. Evaluaremos H y B.

Comenzaremos evaluando el vector de Hertz magnetostatico

~ΠM =

∫M (r′)|r− r′|dV

′ =M

∫ur′

|r− r′|r′2 dr′ sin θ′ dθ′ dϕ′

ur′ = ux sin θ′ cosϕ′ + uy sin θ

′ sinϕ′ + uz cos θ′

recurriendo a la expansion en armonicos esfericos de |r− r′|−1

~ΠM = M

∫ur′

[4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

]r′2 dr′ sin θ′ dθ′ dϕ′

~ΠM = 4πM∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1

[∫ur′Y

∗lm

(θ′, ϕ′) sin θ′ dθ′ dϕ′

] ∫rl<

rl+1>

r′2 dr′

sintetizando

~ΠM = 4πM

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1Z Fl (r) ; Fl (r) ≡

∫rl<

rl+1>

r′2 dr′ (14.46)

Z ≡∫ (

ux sin θ′ cosϕ′ + uy sin θ

′ sinϕ′ + uz cos θ′)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

escribamos la integracion angular para cada componente cartesiana. Evaluemos la componente x

Zx =

∫sin θ′ cosϕ′ Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

1

2

∫sin θ′

(eiϕ + e−iϕ

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

Zx = −1

2

∫ √8π

3

[Y11(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

= −√

2π

3

∫ [Y11(θ′, ϕ′)+ (−1)1 Y1,−1

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=

√2π

3δl1 [δm,−1 − δm1]

evaluemos la segunda componente

Zy =1

2i

∫sin θ′

(eiϕ − e−iϕ

)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

1

2i

∫ √8π

3

[−Y11

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=1

i

√2π

3

∫ [−Y11

(θ′, ϕ′)+ (−1)1 Y1,−1

(θ′, ϕ′)] Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ = i

√2π

3δl1 [δm1 + δm,−1]

14.9. EJEMPLO: ESFERA CON MAGNETIZACION RADIAL 249

y la componente z

Zz =

∫cos θ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′ =

√4π

3

∫Y10(θ′, ϕ′) Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

Zz =

√4π

3δl1δm0

en sıntesis Z se escribe como

Z ≡√

2π

3δl1

ux [(δm,−1 − δm1)] + uy [i (δm1 + δm,−1)] + uz

√2δm0

y reemplazando en la expresion para (14.46)

~ΠM = 4πM

√2π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm (θ, ϕ)

2l + 1δl1


√2δm0

Fl (r)

~ΠM = 4πM

√2π

3

1∑

m=−1

Y1m (θ, ϕ)

2 (1) + 1


√2δm0

F1 (r)

~ΠM = 4πM

√2π

3

1

3

ux [Y1,−1 (θ, ϕ)− Y1,1 (θ, ϕ)] + iuy [Y1,−1 (θ, ϕ) + Y1,1 (θ, ϕ)] + uz

√2Y10 (θ, ϕ)

F1 (r)

teniendo en cuenta las identidades

Y1,1 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = 2iIm [Y11 (θ, ϕ)] = −2i

√3

8πsin θ sinϕ (14.47)

Y1,1 (θ, ϕ)− Y1,−1 (θ, ϕ) = 2Re [Y11 (θ, ϕ)] = −2

√3

8πsin θ cosϕ (14.48)

usando los resultados (14.47) y (14.48) se obtiene

~ΠM = 4πM

√2π

3

1

3

ux

[2

√3

8πsin θ cosϕ

]+ iuy

[−2i

√3

8πsin θ sinϕ

]+ uz

√2

(√3

4πcos θ

)F1 (r)

~ΠM = 8πM

√2π

3

1

3

√3

8πux [sin θ cosϕ] + uy [sin θ sinϕ] + uz cos θ F1 (r)

~ΠM =4π

3M F1 (r) ur

en este caso observamos que −∇ · M 6= 0, y por tanto ρM 6= 0, de modo que hay que considerar una “carga”volumetrica de magnetizacion (ya que ur no es constante en el espacio). Calculemos la integral radial

F1 (r) ≡∫r<r2>r′2 dr′

partimos en intervalosa) r < a

F1 (r) ≡∫ a

0

r<r2>r′2 dr′ =

∫ r

0

r′3

r2dr′ +

∫ a

r

r

r′2r′2 dr′ =

r4

4r2+ r (a− r) = r

(a− 3

4r

)

b) r > a

F1 (r) ≡∫ a

0

r<r2>r′2 dr′ =

∫ a

0

r′

r2r′2 dr′ =

a4

4r2

en sıntesis

F1 (r) = r

(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4r2Θ(r − a)


el vector de Hertz ~ΠM queda

~ΠM =4π

3M

[r

(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4r2Θ(r − a)

]ur

evaluemos el potencial escalar magnetico en regiones donde no hay densidad de corriente libre

φM = −∇ · ~ΠMpara ~ΠM = ΠMur la divergencia en coordenadas esfericas queda

φM = −∇ · ~ΠM = − 1

r2∂

∂r

[r2 ΠM

]

φM = − 4π

3r2M

∂

∂r

[r3(a− 3

4r

)Θ(a− r) +

a4

4Θ (r − a)

]

de modo que el potencial escalar queda

φM = −4πM (a− r) Θ (a− r)

es decir, en el exterior de la esfera se anula el potencial escalar magnetico. Recuerdese que el formalismo del potencialescalar solo es util en ausencia de corrientes libres, aunque existan corrientes de polarizacion. Al tomar el gradientede φM obtenemos la intensidad de campo magnetico H

H = −∇φM = −∂φM∂r

ur = −4πMur Θ(a− r)

adicionalmente, tomando la relacion entre B y H para medios lineales, isotropos y homogeneos

H = B− 4πM

y teniendo en cuenta que M =Mur Θ(a− r), ya que la magnetizacion se anula fuera de la esfera. Se tiene que

B = H+ 4πM =− 4πMur Θ(a− r) + 4πMur Θ(a− r) = 0

por tanto, B = 0 dentro y fuera de la esfera.

14.10. Ejemplo: Apantallamiento magnetico

Supongamos que tenemos un campo magnetico externo B0 en el vacıo o en un medio no permeable de modo queB0 = H0. Ahora sumergimos en dicho campo un cascaron esferico de radio interno a y radio externo b, de tal maneraque el cascaron tiene permeabilidad magnetica µ, en tanto que su cavidad tiene permeabilidad magnetica µ0 = 1[ver Fig. 14.6(a)]. Asumimos que todas las corrientes libres son lejanas de modo que en todos los sectores podemosutilizar el formalismo del potencial escalar magnetico. Definimos el medio 1 como el interior de la cavidad (r < a,con permeabilidad µ0 = 1), el medio 2 como el cascaron (a ≤ r ≤ b, con permeabilidad µ) y el medio 3 es el exterioral cascaron (r > b, con permeabilidad µ0 = 1).

∇2φM1 = ∇2φM2 = ∇2φM3 = 0

expandimos la solucion de la ecuacion de Laplace en armonicos esfericos Ec. (4.72) Pag. 68

φM (r, θ, ϕ) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Almr

l +Blmrl+1

]Ylm (θ, ϕ)

Los valores de los potenciales escalares en las tres regiones vienen dados por

φM1 =∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ) Almr

l ; φM2 =∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

](14.49)

φM3 =

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′′lmr

l +B′′lm

rl+1

](14.50)

14.10. EJEMPLO: APANTALLAMIENTO MAGNETICO 251

Figura 14.6: (a) Cascaron de permeablidad magnetica µ inmerso en un campo magnetico uniforme H0 = B0. (b)Lıneas de campo magnetico B en el caso ideal con µ >>> 1, en el cual las lıneas de campo no penetran la cavidad.

donde en la region 1 hicimos Blm = 0 para evitar divergencia cuando r = 0. Podrıa pensarse a priori que deberıamoshace A′′

lm = 0 para evitar la divergencia r → ∞ en la region 3. Sin embargo, la presencia del campo magnetico externode hecho requerira la presencia de este termino como veremos mas adelante. Ahora bien, las condiciones de frontera(14.26) y (14.27) en ausencia de corrientes libres superficiales nos dicen que deben ser contınuas la componente normalde B y la componente tangencial de H. Estas condiciones de frontera quedan en la forma10

B1n|r=a = B2n|r=a ⇒ ∂φM1

∂r

∣∣∣∣r=a

= µ∂φM2

∂r

∣∣∣∣r=a

(14.51)

B2n|r=b = B3n|r=b ⇒ µ∂φM2

∂r

∣∣∣∣r=b

=∂φM3

∂r

∣∣∣∣r=b

(14.52)

H1T |r=a = H2T |r=a ⇒ ∂φM1

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∂φM2

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

(14.53)

H2T |r=b = H3T |r=b ⇒ ∂φM2

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

=∂φM3

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

(14.54)

Por comodidad elegimos el eje Z en la direccion del campo externo B0 de modo que

H0 = B0 = H0z

Un potencial escalar magnetico (aunque por supuesto, no es el unico) que reproduce este campo externo serıa

φ (r) = −H0z = −H0r cos θ

ahora bien, para campo lejano con respecto al cascaron, es claro que debemos recuperar la forma del campo externo.Por tanto la condicion asintotica en el medio 3 nos da

lımr→∞

φM3 (r) = −H0r cos θ (14.55)

10La continuidad de la componente tangencial de H tambien genera una ecuacion para la derivada en θ de H , pero esta condicion nobrinda informacion adicional.


teniendo en cuenta que cos θ = P 01 (cos θ), este lımite se puede reescribir como11

lımr→∞

φM3 (r) = −H0rP01 (cos θ) = −

∞∑

l=0

l∑

m=−lH0P

ml (cos θ) eimϕrlδl1δm0

lımr→∞

φM3 (r) = − lımr→∞

∞∑

l=0

l∑

m=−lH0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!Ylm (θ, ϕ) rlδl1δm0 (14.56)

tomando el lımite r → ∞ en la ecuacion (14.50)

lımr→∞

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′′lmr

l +B′′lm

rl+1

]= lım

r→∞

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)A′′

lmrl (14.57)

igualando (14.57) y (14.56), obtenemos la relacion asintotica

− lımr→∞

∞∑

l=0

l∑

m=−lH0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!Ylm (θ, ϕ) rlδl1δm0 = lım

r→∞

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)A′′

lmrl

por tanto

A′′lm = −H0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!δl1δm0 (14.58)

de (14.51) y (14.49) se deduce

∂φM1

∂r

∣∣∣∣r=a

= µ∂φM2

∂r

∣∣∣∣r=a

⇒

∂

∂r

[ ∞∑

l=0

l∑


l

]∣∣∣∣∣r=a

= µ∂

∂r

[ ∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

]]∣∣∣∣∣r=a

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ) Almla

l−1 = µ

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmla

l−1 − B′lm (l + 1)

al+2

]

resultando

Almlal−1 = µA′

lmlal−1 − µ

B′lm (l + 1)

al+2⇒

Almla2l+1 = µA′

lmla2l+1 − µB′

lm (l + 1) (14.59)

similarmente sustituyendo (14.49) y (14.50) en (14.52) se obtiene

µ∂φM2

∂r

∣∣∣∣r=b

=∂φM3

∂r

∣∣∣∣r=b

⇒

µ∂

∂r

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

]∣∣∣∣∣r=b

=∂

∂r

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′′lmr

l +B′′lm

rl+1

]∣∣∣∣∣r=b

µlA′lmb

l−1 − µ (l + 1)B′lm

bl+2= lA′′

lmbl−1 − (l + 1)

B′′lm

bl+2⇒

µlA′lmb

2l+1 − µ (l + 1)B′lm = lA′′

lmb2l+1 − (l + 1)B′′

lm (14.60)

11Es claro que el potencial escalar magnetico debe diverger para obtener un campo magnetico finito en todo el espacio, lo cual a su vezesta relacionado con el hecho de que las corrientes remotas que generan el campo externo no deben estar localizadas. En la vida real ellımite asintotico es el comportamiento del campo para r >> b.


sustituyendo (14.49) en (14.53) se obtiene que

∂φM1

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

=∂φM2

∂ϕ

∣∣∣∣r=a

⇒

∂

∂ϕ

[ ∞∑

l=0

l∑


l

]∣∣∣∣∣r=a

=∂

∂ϕ

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

]∣∣∣∣∣r=a[ ∞∑

l=0

l∑

m=−limYlm (θ, ϕ) Alma

l

]=

∞∑

l=0

l∑

m=−limYlm (θ, ϕ)

[A′lma

l +B′lm

al+1

]

Almal = A′

lmal +

B′lm

al+1

de manera queAlma

2l+1 = A′lma

2l+1 +B′lm (14.61)

y finalmente de la ultima condicion de frontera (14.54) y empleando (14.49) y (14.50) se tiene

∂φM2

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

=∂φM3

∂ϕ

∣∣∣∣r=b

∂

∂ϕ

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′lmr

l +B′lm

rl+1

]∣∣∣∣∣r=b

=∂

∂ϕ

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

[A′′lmr

l +B′′lm

rl+1

]∣∣∣∣∣r=b

∞∑

l=0

l∑


[A′lmb

l +B′lm

bl+1

]=

∞∑

l=0

l∑


[A′′lmb

l +B′′lm

bl+1

]

A′lmb

l +B′lm

bl+1= A′′

lmbl +

B′′lm

bl+1

la realcion queda en la formaA′lmb

2l+1 +B′lm = A′′

lmb2l+1 +B′′

lm (14.62)

los coeficientes quedan completamente determinados con el sistema 5× 5, descrito por las Ecs. (14.58, 14.59, 14.60,14.61, 14.62)

−H0

√4π

(2l + 1)

(l +m)!

(l −m)!δl1δm0 = A′′

lm (14.63)

Almla2l+1 = µA′

lmla2l+1 −B′

lmµ (l + 1) (14.64)

µlA′lmb

2l+1 − µ (l + 1)B′lm = lA′′

lmb2l+1 − (l + 1)B′′

lm (14.65)

Alma2l+1 = A′

lma2l+1 +B′

lm (14.66)

A′lmb

2l+1 +B′lm = A′′

lmb2l+1 +B′′

lm (14.67)

En resumen, las cinco ecuaciones (14.63)-(14.67) provienen de 4 condiciones de frontera (14.51)-(14.54) mas la con-dicion asintotica (14.55). Multiplicando (14.67) por (l + 1) y sumando este resultado con (14.65)

b2l+1A′lm [µl + l + 1] +B′

lm (l + 1) (1− µ) = (2l + 1)A′′lmb

2l+1 (14.68)

multiplicando (14.66) por −l y sumando con (14.64)

(µl + µ+ l)B′lm = (µ− 1) lA′

lma2l+1 ⇒

B′lm =

(µ− 1) lA′lma

2l+1

(µl + µ+ l)(14.69)

sustituyendo (14.69) en (14.68)

(2l + 1)A′′lmb

2l+1 = A′lm

[(µl + l + 1) b2l+1 +

(µ− 1) la2l+1 (l + 1) (1− µ)

(µl + µ+ l)

]⇒

(2l + 1)A′′lmb

2l+1 = A′lm

[(µl + l + 1) (µl + µ+ l) b2l+1 − (µ− 1)2 l (l + 1) a2l+1

(µl + µ+ l)

](14.70)


recordando (14.63) se ve que A′′lm 6= 0, si y solo si l = 1, m = 0. Por otro lado, si partimos de A′′

lm = 0, la ecuacion(14.70) muestra que A′

lm = 0 y la Ec. (14.69) nos darıa B′lm = 0, luego la Ec. (14.64) conducirıa a Alm = 0 y

finalmente la Ec. (14.65) nos llevarıa a B′′lm = 0. En resumen, solo para l = 1, m = 0 tenemos una solucion no trivial

de los coeficientes12, por tanto tomaremos l = 1,m = 0; en tal caso obtenemos de (14.63)

A′′10 = −

√4π

3H0 (14.71)

Por otro lado, la Ec. (14.70) queda

3A′′10b

3 = A′10

[(µ+ 2) (2µ + 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3

(2µ+ 1)

]⇒

A′10 =

3b3 (2µ+ 1)A′′10

(µ+ 2) (2µ + 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3= −

3b3 (2µ + 1)√

4π3 H0

(µ+ 2) (2µ + 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3

A′10 = − 2

√3πb3 (2µ+ 1)H0

(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3(14.72)

donde hemos usado (14.71). De (14.66)

Alm = A′lm +

B′lm

a2l+1(14.73)

aplicando (14.69) se tiene

Alm = A′lm +

1

a2l+1

A′lm (µ− 1) la2l+1

(µl+ µ+ l)

Alm = A′lm

[1 +

(µ− 1) l

(µl + µ+ l)

]

y usando l = 1,m = 0 en esta ultima ecuacion junto con (14.72)

A10 = A′10

[1 +

(µ− 1)

2µ + 1

]⇒

A10 =

[3µ

2µ+ 1

]A′

10 (14.74)

y sustituyendo (14.72) en (14.74)

A10 = −[

3µ

2µ + 1

][2√3πb3 (2µ + 1)H0

(µ+ 2) (2µ+ 1) b3 − 2 (µ− 1)2 a3

]

A10 = − 6µ√3πH0

(µ+ 2) (2µ+ 1)− 2 (µ− 1)2(ab

)3 (14.75)

recordando la expresion general de φM1 dada por (14.49) y teniendo en cuenta que solo contribuye A10:

φM1 = Y10 (θ, ϕ) A10 r =

√3

4πcos θ A10 r (14.76)

al sustituir (14.75) en (14.76)

φM1 = Y10 (θ, ϕ) A10 r = −√

3

4πcos θ

[6µ

√3πH0

(µ+ 2) (2µ + 1)− 2 (µ− 1)2(ab

)3

]r

φM1 = − 9µH0r cos θ[(2µ + 1) (µ+ 2)− 2

(ab

)3(µ− 1)2

] (14.77)

12De hecho las expresiones (14.63)-(14.67) forman un conjunto de ecuaciones lineales homogeneas que solo tiene solucion no trivial si eldeterminante del sistema es nulo, esta es otra manera de llegar a la condicion l = 1,m = 0.


Los potenciales en las otras dos regiones se pueden hallar utilizando el resto de coeficientes. Puede verificarse queen el medio 3 (fuera del cascaron) el potencial corresponde al de un campo magnetico uniforme B0 mas un campodipolar del tipo (13.30) page 216 con momento dipolar paralelo a B0.

El valor del potencial (14.77) en el medio 1 (cavidad) se puede reescribir como

φM1 = −Γ r cos θ = −Γ z

Γ ≡ 9µH0[(2µ + 1) (µ+ 2)− 2

(ab

)3(µ− 1)2

]

de modo que el vector intensidad de campo en la cavidad vendra dado por

H1 = −∇ΦM1 = Γz

si tomamos el caso µ >> 1 el factor Γ tiende a

Γ =9H0/µ[(

2µ+1µ

)(µ+2µ

)− 2

(ab

)3 (µ−1µ

)2] ≈ 9H0/µ[2− 2

(ab

)3]

Γ ≈ 9H0

2µ[1−

(ab

)3] µ >> 1

y por tanto la magnitud de H1 disminuye tendiendo a cero si la permeabilidad magnetica µ del cascaron tiende ainfinito. Por tanto, las lıneas de campo tienden a ser “expulsadas” de la cavidad, de esta manera el cascaron cumpleun papel de “apantallamiento” magnetico o escudo magnetico, de manera similar a la forma en que los conductoresapantallan campos electricos. Las lıneas de campo magnetico B para el caso idealizado de µ tendiendo a infinito semuestran en la Fig. 14.6(b).

Parte II

Campos electricos y magneticosdependientes del tiempo

257

Capıtulo 15

Ecuaciones de Maxwell

15.1. Ley de induccion de Faraday

La circulacion de un campo electrostatico es nula. Lo cual proviene de su caracter central (y por tanto conserva-tivo). Las lıneas de campo electrostatico comienzan y terminan en las cargas. Los experimentos de Faraday (1831)revelan que campos electricos con circulacion no nula pueden ser creados (en ausencia de cargas netas) por camposmagneticos variables en el tiempo, o mas generalmente, por flujos magneticos que cambian con el tiempo. Estoscampos electricos tienen lıneas que se cierran sobre sı mismas, de modo que no son conservativos (la integral de lıneacerrada a lo largo de una de estas lıneas es ±

∫|E| |dl| la cual es positiva o negativa dependiendo de la direccion de

circulacion, pero no es cero).

Veamos brevemente algunos antecedentes de la ley de induccion. Supongamos una varilla conductora rectangularmoviendose con velocidad constante en un campo magnetico uniforme. Asumamos que la velocidad de la varilla esperpendicular a su longitud. En este caso las cargas se estan moviendo respecto al campo magnetico y se produceuna polarizacion. Cuando de nuevo se alcanza la condicion estacionaria el observador F con respecto al cual la espirase mueve con velocidad uniforme, ve que se tuvo que crear un campo electrico debido a la redistribucion de cargasque cancelara el efecto del campo magnetico en el interior del conductor. De esta forma, las cargas en la distribucionestatica final han creado una campo electrico semejante al de un dipolo, aunque no exactamente igual dado que lascarga no se concentran estrictamente en los extremos. En el interior del conductor las fuerzas electricas y magneticasse cancelan, y en el exterior el campo electrico asemeja a un dipolo, en tanto que el campo magnetico es el mismo queestaba antes, ya que las cargas han cesado de moverse. La cancelacion de la fuerza electrica con la fuerza magneticanos da una ecuacion que nos relaciona los campos en el interior del conductor

eE = −qcv ×B

lo cual nos determina el valor del campo electrico inducido E en el interior del conductor.

Veamos el fenomeno desde el punto de vista de un observador en F ′ que se mueve con la espira. Si hemos decreer en el principio de relatividad, este observador debe ver la misma Fısica, de modo que es necesario que esteobservador tambien vea una polarizacion. Sin embargo, para F ′ las cargas no estan inicialmente en movimiento y portanto cualquiera que sea el campo magnetico que el mida, no puede ser responsable del desplazamiento que producepolarizacion de cargas. Esto nos indica que para dicho observador es necesario que exista un campo electrico inicial,a fin de mantener el principio de la relatividad. F ′ nos dice que hay un campo magnetico B′ y un campo electrico E′

que son la transformacion relativista de el campo B. E′ viene dado por

E′ = −v′

c×B′ =

v

c×B′

La presencia del campo magnetico no influye sobre las cargas del conductor ya que estas estan en reposo. Pero elcampo electrico produce una polarizacion que a su vez produce un campo electrico inducido, este campo inducido estal que cancela al campo electrico E′ en el interior del conductor, tal como ocurre con los conductores en presenciade campos electrostaticos. El observador F′ ve un campo total que es cero en el interior del conductor (pero noen el exterior) y que corresponde a la superposicion de E′ y el campo inducido por la redistribucion de carga. Elcampo magnetico B′ existe para F ′ pero no influye en la condicion estacionaria (si nos preguntamos por la condicion

259

260 CAPITULO 15. ECUACIONES DE MAXWELL

transitoria, el campo magnetico juega un papel ya que durante ese breve instante de redistribucion de cargas e’stasse estan moviendo).

Si colocamos una espira que forma un lazo cerrado moviendose a velocidad constante en este mismo campomagnetico uniforme, ocurre un fenomeno de polarizacion similar al de la varilla. Mas interesante es el caso en el cualdicha espira se mueve inmersa en un campo B que no es uniforme. Por simplicidad asumiremos que B es estacionario,de modo que es funcion de la posicion pero no del tiempo. Movamos la espira a velocidad constante en el campogenerado por un solenoide finito. Sea B1 el campo en el segmento mas cercano de la espira y B2 el campo en elsegmento mas lejano. En el segmento cercano las cargas se mueven tendiendo a circular en la direccion antihorariavisto desde arriba, en el segmento mas lejano las cargas se mueven tendiendo a circular en la direccion horaria, perodado que el campo es mas intenso en el segemento cercano, la circulacion neta se hara en direccion antihoraria.

Es por tanto interesante calcular el trabajo que se realizarıa sobre una carga q en la espira al girar en sentidoantihorario dando la vuelta completa. En los segmentos paralelos a la velocidad de la espira el desplamiento de q yla fuerza son perpendiculares, de modo que no contribuyen al trabajo. Tomando entonces solo la contribucion de lossegmentos mas cercano y mas lejano se tiene

∮f · dr =

qv

c(B1 −B2)w

(ver Berkeley Cap 7). Donde w es el ancho de la espira, B1 es el campo en el segmento mas cercano a la espira y B2

en el lado opuesto. Esta fuerza de origen magnetico es claramente no conservativa. Se define la fuerza electromotrizcomo el trabajo por unidad de carga para hacer el lazo cerrado.

ε =1

q

∫f · dr = vw

c(B1 −B2)

Se puede calcular el flujo de campo magnetico a traves de la espira como la integral de B sobre una superficie limitadapor el lazo cerrado (el hecho de que ∇ ·B = 0 nos garantiza que este flujo no depende de la superficie particular quese elija). El cambio de flujo en un lapso de tiempo dt se puede calcular como

dΦ = − (B1 −B2)wv dt

relacionando las dos ultimas ecuaciones se llega a

ε = −1

c

dΦ

dt

esto se puede demostrar para una espira de cualquier forma y con cualquier velocidad (Berkeley).

Veamos lo que describe un observador F ′ que se mueve con la espira. El ve un campo E′ y un campo B′. Para el,la fuerza electromotriz se debe exclusivamente al campo electrico y calcula que

ε′ =∫

E′ · dS′ =∫ (v

c×B′

)· dS′ =

wv

c

(B′

1 −B′2

)

este observador tambien concluye que

ε′ = −1

c

dΦ′

dt′

en estos desarrollos hemos usado aproximacion de primer orden en v/c de modo que se puede despreciar la dilataciondel tiempo, la contraccion de Lorentz y el cambio en el campo magnetico (pero no el cambio en el campo electrico elcual es de primer orden).

Se pueden hacer tres experimentos claves con una espira y una bobina

1) Alejar la espira mientras la bobina posee corriente constante. Se detecta una corriente en la espira.

2) Ahora se aleja la bobina en la direccion contraria, se detecta la misma corriente lo cual es consistente con elprincipio de relatividad.

3) Dejamos quietos ambos elementos y hacemos que la corriente en la bobina varıe en el tiempo de modo queB decrezca en el tiempo (en el loop) de la misma forma que en los experimentos I y II. Localmente esta situacion esidentica a la anterior, y se obtiene la misma corriente en la espira.

15.1. LEY DE INDUCCION DE FARADAY 261

De aquı se obtiene la llamada ley de Lenz, que nos dice que la fuerza electromotriz inducida se opone al cambioen el flujo del campo magnetico sobre la espira. Esto significa que una variacion del flujo magnetico con el tiempoproduce una corriente que circula en la espira y que produce un flujo que se opone al cambio del flujo original.

Es importante mencionar que la corriente inducida puede calentar el material. Este calentamiento lo provee unpatron externo. Para verlo, basta con observar que cuando la espira se mueve a velocidad constante en el campo delsolenoide finito, la fuerza neta del campo magnetico externo sobre la espira, es tal que se opone al movimiento. Enconsecuencia, es necesario que se haga trabajo sobre la espira para mantenerla en movimiento constante.

La ley de induccion de Faraday requiere una abstraccion adicional, los experimentos anteriores requirieron lapresencia de un lazo conductor cerrado, a traves del cual pasa un flujo de campo magnetico. Podemos preguntarnosque pasa si tenemos un lazo imaginario que forma una curva C, pero sin que haya necesariamente algo material enel lazo. Ciertamente, aun tiene sentido el concepto de flujo de campo magnetico, y si extrapolamos el caso anteriorcuando no hay necesariamente algo Fısico en el lazo, obtenemos la ley de induccion de Faraday: Si tenemos unacurva cerrada C, estacionaria e cierto sistema de referencia inercial y si S es una superficie que expande a C, yB (x, y, z, t) , E (x, y, z, t) son los campos electrico y magnetico medidos en la posiscion x, y, z para cierto tiempo t,entonces para un valor fijo de t se tiene que

ε =

∮

C

E·dr = −1

c

d

dt

∫

SB · dS

En este punto debe enfatizarse la diferencia entre la ley de induccion de Faraday y la ley de Lenz. La ley de Lenzasume la existencia de una espira conductora real en tanto que para la ley de induccion solo tenemos que tomar unacurva cerrada real o imaginaria, sin que necesariamente haya algo Fısico en dicha curva.

Es importante recalcar que bajo las condiciones de la ley, la fuerza electromotriz solo se debe al campoelectrico. Esto se debe a que la curva se asume estacionaria respecto al sistema de referencia, recordemos quecuando el lazo cerrado esta en movimiento, la fuerza electromotriz puede deberse al campo magnetico como lo vimosen el caso de la espira conductora. Un segundo aspecto es que esta fuerza electromotriz se calcula como una integralcerrada en donde cada elemento diferencial se calcula en el mismo instante de tiempo, por ejemplo dos pequenascontribuciones E1 (x1, y1, z1, t) ·dr1 y E2 (x2, y2, z2, t) ·dr2 se calculan en el mismo tiempo t. Esto implica que estaintegral cerrada no es estrictamente el trabajo que realizarıa una carga unidad real para realizar el circuito, ya quesi el campo es funcion del tiempo, un diferencial de este trabajo deberıa calcularse usando el valor del campo en elpunto espacio temporal donde se ubica la partıcula, dos pequenas contribuciones de este trabajo real serıan de laforma E1 (x1, y1, z1, t1) ·dr1 y E2 (x2, y2, z2, t2) ·dr2. Por supuesto en el caso de campos cuasi estaticos y partıculasque circulan rapidamente por el lazo, esta diferencia resultarıa insignificante (cuando hicimos el ejemplo de la espiraconductora, se hizo implıcitamente esta aproximacion).

Otro punto fundamental a discutir es el de la naturalea del campo electrico que aparece en la ley de induccion.Este campo electrico inducido claramente no proviene de fuentes de carga. En el ejemplo de la espira, este campoaparece como la transformacion relativista del campo magnetico uniforme que veıa el sistema de referencia F en elcual la espira tenıa velocidad constante. En el caso general, este campo inducido se debe a la transformacion relativistade los campos que ve el sistema F cuando hacemos un boost para pasar al sistema F ′ con espira estacionaria. Seve adicionalmente que la integral de lınea cerrada de este campo no es cero, por lo cual no puede ser un campoelectrostatico, ya que no es conservativo 1.

Otra aclaracion al respecto, observese que el campo electrico proveniente de cargas cumple la condicion ∇ ×Ecargas = 0 en todo el espacio. En electrostatica aprendimos que esto es condicion necesaria y suficiente para laconservatividad del campo. Sin embargo, para el caso de cargas en movimiento, en el cual E es funcion explıcitadel tiempo, la nulidad del rotacional solo nos garantiza que E = −∇φ (r, t) lo cual a su vez implica que al realizarun trabajo virtual q

∫ rBrA

E · dr = q [φ (rA, t)− φ (rB , t)] este trabajo es independiente de la trayectoria ya que no

1Podrıa pensarse en la posibilidad de que este campo se deba a cargas electricas en movimiento, lo cual explicarıa la dependenciatemporal explıcita y la no conservatividad. Sin embargo, debemos observar que la integral cerrada del campo electrico se realiza para unmismo instante de tiempo. Para un campo que proviene de cargas electricas en movimiento, la integral cerrada del campo electrico debe sercero si la calculamos en el mismo instante de tiempo para todo tramo, ya que instantaneamente un campo electrico proveniente de cargases la superposicion de campos centrales conservativos. Por supuesto, el campo magnetico generado por las cargas en movimiento podrıagenerar una fuerza electromotriz virtual diferente de cero, pero en la ley de Faraday esta FEM solo aparece debida al campo electrico.La no conservatividad de campos originados por cargas en movimiento la da el hecho de que la integral debe ser realizada sobre unatrayectoria real, en la cual la partıcula ocupa diferentes posiciones en diferentes instantes. En ese sentido, la integral cerrada de la ley deFaraday no es la cantidad correcta para evaluar conservatividad, excepto bajo ciertas aproximaciones.


variamos el tiempo. Sin embargo, en una trayectoria real el trabajo puede depender de la trayectoria puesto que eltiempo varıa. La conclusion es que ∇×E = 0 en todo el espacio, solo me garantiza conservatividad del campo en elsentido de trabajos virtuales, por supuesto que en el caso electrostatico los trabajos virtuales coinciden con los realesy la conservatividad es real.

Cabe finalmente preguntarse, porque llamar ¿campo electrico al campo generado por la ley de induccion?,despues de todo no es conservativo ni se origina en las cargas. Sin embargo, si observamos la principal motivacionpara construır el concepto de campo, resulto ser un concepto util independiente de la naturaleza de sus fuentes, parael campo electrico encontramos que si tenemos un campo de esa naturaleza (haciendo caso omiso de las fuentes) lafuerza que experimenta una carga q debida a este campo cuando esta inmersa en el, es de la forma F = qE. La fuerzaque experimenta una carga inmersa en este campo inducido tiene esta misma expresion; es decir, aunque sus fuentesson diferentes, cumple la misma propiedad local que definio originalmente al campo electrico.

La integral cerrada del campo electrico es la fuerza electromotriz. Es posible generar un campo electrico indepen-diente del tiempo si dΦ/dt = cte. Segun la ley de induccion lo que importa es el cambio con el tiempo del flujo. Demodo que los campo electricos se pueden inducir de varias formas

Tomemos el ejemplo de dos espiras, 1 y 2 y asumamos que por al espira 1, circula una corriente i. En los siguientescasos aparecera una corriente en la espira (2) (cargas libres de conduccion son puestas en movimiento por el campoinducido.

a) Si i varıa con el tiempo, con ambas espiras fijas.

b) Acercando o alejando la espira (2) manteniendo la otra fija (y la corriente constante). esto se puede entendersin ley de induccion teniendo en cuenta que la fuerza de Lorentz actua sobre las cargas de la espira 2.

c) Acercando o alejando la espira (1) dejando fija la espira (2) con corriente constante. Este efecto es equivalenteal anterior en virtud del principio de relatividad. pero no puede ser entendido directamente con la fuerza de Lorentzsino con la ley de induccion.

d) Cambiando con el tiempo la forma de la espira o su orientacion relativa.

En cualquiera de estos casos se obtiene un cambio de flujo magnetico a traves de la espira (2).

En la ley de induccion se toma la convencion de la regla de la mano derecha para dr y dS. El signo menos indicaque la direccion del campo ele´ctrico inducido es tal que genera una corriente que con su campo B, trata de oponerseal cambio de flujo magnetico (ley de lenz).

El efecto se presenta incluso con una sola espira: El cambio de flujo sobre la propia espira da lugar a una corrientesobre ella que con su campo se opone al cambio de flujo. Fenomeno conocido como autoinduccion.

15.1.1. Algunas sutilezas sobre el concepto de fuerza electromotriz

Supongamos que tenemos una espira rectangular de tal manera que hay un campo magnetico uniformeB = Buz enel semiespacio y < 0, y que la espira se mueve con velocidad constante v = vuy sobre el plano XY . En tanto que unaporcion de la espira este en la region con y < 0, y otra porcion este en y > 0, se generara una fuerza electromotriz enla espira. Sea w el ancho de la espira (paralelo al eje X). La fuerza electromotriz se calcula como el trabajo virtualque se hace sobre una trayectoria cerrada en la espira, claramente sobre la espira se ejercen dos fuerzas, la fuerzamagnetica, y la fuerza debida al agente externo que hace que la espira viaje a velocidad constante. En las porcionesdel alambre de ancho w la fuerza externa es perpendicular al desplazamiento virtual (que va en direccion ±ux), y enlas porciones de longitud L, los trabajos se cancelan por simetrıa. De esta forma, la fuerza externa no contribuyeal trabajo virtual. Por otro lado, la fuerza magnetica contribuye al trabajo virtual unicamente en el el tramo deancho w que esta inmerso en el campo.

ε =1

q

∮

virt(Fmag + Fext) · dl =

1

q

∮

virtFmag · dl = vBw

El calculo anterior podrıa sugerirnos errroneamente que el campo magnetico realiza el trabajo necesario para quese induzca una corriente en la espira. Sin embargo, la forma de la fuerza de Lorentz es tal que la fuerza magneticano puede realizar trabajo sobre la carga q por arbitraria que sea la trayectoria. ¿por que la integral anterior noes entonces nula?, la respuesta requiere de nuevo tener en cuenta que la FEM es un trabajo virtual. Esto implicaque debe ser un agente externo quien realiza el trabajo real, necesario para generar la corriente, lo cual se puedever teniendo en cuenta que se requiere una fuerza externa en la direccion uy para mantener a la espira a velocidadconstante. Calculemos entonces, el trabajo real teniendo en cuenta el movimiento de la espira. La velocidad real de


la espira es igual a la suma vectorial w = v + u, siendo u la velocidad de la carga con respecto a la espira (en ladireccion ux). La fuerza magnetica sobre toda la espira tiene una componente neta en la direccion −uy y por tantodebe ser compensada por una fuerza externa en direccion uy. En el tramo de ancho w inmerso en el campo se tieneque sobre una carga, el campo magnetico ejerce una fuerza qvBux − quBuy, la componente X es la que genera lacorriente en tanto que la Y debe ser compensada por una fuerza externa de modo que Fext = quBuy, la trayectoriareal a lo largo del ancho w, tiene una longitud w/ cos θ, siendo θ el angulo entre u y w. La fuerza magnetica esperpendicular al desplazamiento real y por tanto no contribuye como ya se anticipo. El trabajo real por unidad decarga sobre una trayectoria cerrada en la espira sera

ε =1

q

∮

ℜ(Fmag + Fext) · dl =

1

q

∮

ℜFext · dl = (uB)

( w

cos θ

)cos(π2− θ)= vBw = ε

observese que el calculo real aunque involucra en principio a las mismas fuerzas, implica una trayectoria muy diferentea la trayectoria virtual, por lo cual la contribucion de cada una de estas fuerzas al trabajo resulta muy diferente encada caso. Sin embargo, los dos resultados coinciden de modo que la FEM coincide con el trabajo real por unidad decarga.

Ley de induccion e invarianza Galileana

Si partimos de la ley de induccion en la forma

ε = −KinddΦ

dt

el valor de la constante Kind no es una constante empırica determinada experimentalmente, como se puede ver delos casos particulares que emplean la ley de Lorentz2. Veremos ademas que esta constante se puede determinarexigiendo invarianza Galileana a la ley de induccion. Para ello usaremos la derivada convectiva, que es una formamuy conveniente de escribir una derivada total en el tiempo

d

dt=

∂

∂t+ v · ∇ ⇒ dB

dt=∂B

∂t+ (v · ∇)B =

∂B

∂t+∇× (B× v) + v (∇ ·B)

⇒ dB

dt=∂B

∂t−∇× (v ×B)

donde v se trata como un vector fijo en la diferenciacion. En la ley de induccion, el lugar geometrico del lazo cerradodebe ser estacionario con respecto al sistema de referencia, con el fin de que solo el campo electrico contribuya a laFEM3. La derivada temporal del flujo queda

d

dt

∫

SB · n da =

∫

S

dB

dt· n da

este paso implica que el lazo y la superficie que lo delimita, son estaticos en el tiempo

d

dt

∫

SB · n da =

∫

S

∂B

∂tda−

∫

S[∇× (v ×B)] da

la ley de induccion de faraday queda

∮E · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂tda+Kind

∫

S[∇× (v×B)] da⇒

aplicando el teorema de Stokes a la segunda integral de superficie

∮[E−Kind (v ×B)] · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂tda

2Aunque los caso que se derivan de la ley de Lorentz son particulares, la ley general debe incluır la misma constante que aparece enestos casos particulares.

3En tal caso, si pusieramos un conductor en el lugar geometrico del lazo cerrado, solo el campo electrico causarıa corriente, en virtudde la estacionaridad del lazo.


este serıa el equivalente de la ley de induccion para un circuito que se mueve a velocidad v. Pero por otro lado,para un sistema de referencia que se mueve con esta velocidad, de modo que tanto el lazo como la superficie que lodelimita son estacionarios se tiene ∮

E′ · dl = −Kind

∫

S

∂B

∂t· n da

la invarianza galileana implica que los dos sistemas de referencia deben ver la misma Fısica y por lo tanto

E′ = E−Kind (v ×B)

15.1.2. Fuerza de Lorentz y ley de induccion

La modificacion del flujo que genera corriente en una espira se puede hacer cambiando el area con campo magneticofijo. Veamoslo desde el punto de vista de la fuerza de Lorentz.

Supongamos una varilla que se corre apoyada en un alambre con el cual se forma un lazo cerrado, la velocidadde la varilla es v. Cada partıcula cargada q de la varilla esta sometida a una fuerza F = q (v ×B) /c. Esto producirauna corriente que va de b hacia a. Y recorre el circuito en el sentido antihorario.

Para un observador F ′ que viaja con la varilla, el flujo de carga se produce debido a un campo electrico querealiza una fuerza qE sobre q

qE =q (v ×B)

c⇒ E =

v ×B

c

de modo que entre lo extremos aparece una diferencia de potencial inducida por el movimiento o fem que se escribecomo ∫ b

aE · dr =

∫ (v ×B

c

)· dr = −vBl

c

al calcular el flujo se obtiene

ΦB =

∫B · dS = BlX

de lo cual se vedΦBdt

=d

dt(BlX) = Bl

dX

dt= Blv

de lo cual se deduce que ∫E · dr = −1

c

dΦBdt

de modo que para cambio de area la ley de induccion se sigue cumpliendo y la fuerza de Lorentz da el mismoresultado. El campo ele´ctrico que ve el observador que se mueve con la varilla es experimentalmente real y se deba las transformaciones relativistas de los campos.

Lo ultimo nos da como consecuencia el hecho de que el campo inducido aparece incluso en ausencia de espirassobre las cuales se puedan inducir corrientes (aquı la ley de induccion es mas general que la ley de lenz). La variaciondel area de la espira no esta incluıda en la ley de induccion ya que esta se supone estacionaria, sin embargo, conbase en la fuerza de Lorentz vemos que aun en este caso se cumple la ley de induccion. (lo mismo ocurre con areasrotantes).

15.1.3. Forma diferencial de la ley de induccion de Faraday

∫E·dr = −1

c

d

dt

∫B · dS

usando teorema de Stokes ∫

cE·dr =

∫

S∇×E · dS

con lo cual queda ∫ [∇×E+

1

c

∂B

∂t

]· dS = 0


dado que esta expresion debe ser valida para toda area sin importar su magnitud, tamano y orientacion se tiene que

∇×E = −1

c

∂B

∂t

otra manera que justifica mejor el cambio de derivada total a parcial es la siguiente: como la ley de induccion esvalida para toda curva cerrada y cualquier area que lo delimita, tomemos un lazo de dimensiones infinitesimales demodo que el campo B esta bien definido en el area que lo delimita, el flujo de B se vuelve simplemente B · dS. Porotro lado en virtud de la definicion del rotacional tenemos

∫

dCE · dr = (∇×E) · dS

cuando el lazo cerrado tiende a cero en dimensiones. Debemos tener en cuenta que tanto el lazo cerrado como lasuperficie que lo delimita estan fijos en el espacio (hay muchas superficies que delimitan a dC pero aquı estamostomando una fija) pues el lazo y la superficie estan construıdos alrededor de un punto fijo. Por tanto, la derivadatotal del flujo se convierte en parcial ya que no hay variacion en el espacio (ni de el lazo, ni de la superficie ni de loscampos) solo hay variacion en el tiempo. Tenemos entonces

(∇×E) · dS = −1

c

∂ (B·dS)∂t

= −1

c

∂B

∂t·dS

como esto esvalido ∀ dS sin importar su orientacion, se concluye que

∇×E = −1

c

∂B

∂t

15.1.4. Inductancia

Supongamos que tenemos dos lazos cerrados de alambre, y que por uno de ellos (lazo 1) circula una corriente I1,que genera un campo B1. Este campo produce un flujo sobre el lazo cerrado 2, para calcular este flujo apelaremosprimero a la ley de Biot Savart, con el fin de encontrar el campo B1

B1 =µ04πI1

∮dl1 × (r2 − r1)

|r2 − r1|3

la ley de Biot Savart nos dice que este campo es proporcional a la corriente. Por otro lado, el flujo sobre el lazo 2 delcampo generado por el lazo 1 es

Φ2 =

∫B1 · dS2 =

µ04πI1

∫ [∮dl1 × (r2 − r1)

|r2 − r1|3]· dS2 ⇒

Φ2 = M21I1

la constante de proporcionalidad M21 se puede reescribir utilizando el teorema de Stokes

Φ2 =

∫B1 · dS2 =

∫(∇×A1) · dS2 =

∮A1 · dl2

usando la expresion (13.15) o mas bien su equivalente unidimensional

Φ2 =

∮ [µ04πI1

∮dl1

|r2 − r1|

]· dl2

con lo cual se obtiene

M21 =µ04π

∮ ∮dl1 · dl2|r2 − r1|

(15.1)

donde |r2 − r1| es la distancia entre los dos segmentos de alambre dl1 y dl2. Esta expresion, conocida como formulade Neumann, nos revela varias caracterısticas de esta constante de proporcionalidad que llamaremos inductanciamutua: a) Es una constante geometrica que solo depende de la forma tamano y posiciones relativas de los lazoscerrados. b)M21 =M12 lo cual se obtiene intercambiando ındices, esto indica que el flujo sobre el lazo 2 debido a una


corriente I en el lazo 1, es igual al flujo que se producirıa en el lazo 1 si la misma corriente se pone a circular ahorasobre el lazo 2. Esta simetrıa se conoce como teorema de reciprocidad, por esta razon a la inductancia mutuausualmente se le denota simplemente con la letra M .

Es de anotar que para llegar a la formula de Neumann hemos usado la ley de Biot Savart la cual es estrictamentevalida solo en el caso estacionario. Sin embargo, ley de Biot Savart tambien es aplicable en muy buena aproximacioncuando la corriente varıa en el tiempo, siempre y cuando estemos en un regimen cuasi estacionario (ver Sec. 20.2).En consecuencia, la formula de Neumann tambien sera aplicable en el regimen temporal cuasiestacionario. Con estaaclaracion, hagamos ahora variar la corriente I1 en el tiempo, de tal forma que se induzca una fuerza electromotrizen el lazo 2

ε2 = −dΦ2

dt= −MdI1

dt(15.2)

naturalmente esto induce una corriente en el lazo 2.Por otro lado, la variacion de la corriente en un alambre cerrado tambien cambia el flujo sobre el propio alambre,

de nuevo el flujo es proporcional a la corriente y podemos escribir

Φ1 = L1I1

la cantidad L1 es un factor de proporcionalidad geometrico que depende de la forma y tamano del alambre, y sedenomina autoinductancia, o simplemente inductancia. Cuando la corriente cambia en el tiempo, la fem inducidaes

ε = −LdIdt

la inductancia se mide en Henrios (H) que equivale a Volt-Seg/amp.La inductancia al igual que la capacitancia, son positivas. De acuerdo con lo anterior, hay una oposicion al cambio

de corriente en el alambre debido a la fem inducida por el alambre sobre sı mismo, esta oposicion hace que a estacantidad usualmente se le denomine contrafem. En este sentido la inductancia juega un papel similar a la masa enmecanica, ya que ası como en mecanica a mayor masa hay mayor oposicion al cambio en la velocidad, de la mismaforma a mayor inductancia mayor oposicion al cambio de corriente.

Veamos la energıa necesaria para establecer una corriente en un circuito. Si inicialmente no hay corriente, seranecesario aumentar esta desde cero hasta el valor en cuestion para lo cual habra que vencer la contrafem, el trabajohecho por unidad de carga en una vuelta completa del circuito sera −ε, (el signo menos indica que el trabajo es hechopor un agente externo para contrarrestar la contrafem). Por otro lado, la cantidad de carga por unidad de tiempoque pasa por el alambre es I y el trabajo total por unidad de tiempo es

dW

dt= −εI = LI

dI

dt

comenzando con corriente cero el trabajo se obtiene integrando entre 0 e I (valor final de la corriente)∫dW = L

∫I dI ⇒W =

1

2LI2

esta expresion refuerza la analogıa entre la masa y la inductancia (ası como entre la corriente y la velocidad). Es deanotar que esta cantidad no depende del ritmo con el cual se aumente la corriente, y que es una energıa recuperable(diferente por ejemplo al caso de la energıa disipada en una resistencia). Mientras la corriente este presente es unaenergıa latente en el circuito, pero se recupera cuando se apaga dicha corriente.

15.1.5. Energıa almacenada en el campo magnetico

Reescribiremos la expresion para la energıa almacenada en una inductancia, de modoq ue sea facilmente gene-ralizable al caso superficial y volumetrico. Comencemos escribiendo el flujo en terminos de el potencial vectorial, yusando el teorema de Stokes

Φ =

∫B · dS =

∫(∇×A) · dS =

∮A · dl

por lo tanto

LI =

∮A · dl

15.2. ECUACION DE AMPERE MAXWELL 267

el trabajo para llevar la corriente desde cero hasta un valor I, viene dado por

W =1

2LI2 =

1

2I

∮A · dl =1

2

∮A · (I dl)

como ya vimos anteriormente, la generalizacion volumetrica se obtiene haciendo I dl → J dV

W =1

2

∮(A · J) dV (15.3)

esta expresion es analoga a la Ec. (1.18), y nos muestra como si la energıa residiera en las corrientes. Veremosotra expresion analoga a (1.22) que muestra como si la energıa residiera en el campo. Usando la ley de Ampere,∇×B = µ0J, podemos escribir la expresion del trabajo en terminos del campo

W =1

2µ0

∮[A · (∇×B)] dV

usamos la identidad vectorial

A · (∇×B) = B ·B−∇ · (A×B)

de modo que

W =1

2µ0

∮ [B2 −∇ · (A×B)

]dV

W =1

2µ0

∮B2 dV − 1

2µ0

∮(A×B) · dS

de nuevo tenemos en cuenta que la integral (15.3) se realiza sobre el volumen en donde hay corrientes pero se puedeextender hasta el infinito con lo cual se anularıa la integral de superficie, quedando

W =1

2µ0

∫

todo el espacioB2 dV (15.4)

que nos muestra como si la energıa residiera en el campo. Cualquiera de las dos interpretaciones es correcta dadoque lo relevante Fısicamente es el valor total de la energıa. Por otra parte, podrıa a priori ser desconcertante que lacreacion de un campo magnetico demande trabajo, ya que las fuerzas magneticas nunca realizan trabajo, la respuestareside en el hecho de que en el proceso de llevar el campo desde cero hasta su valor final, dicho campo tuve que teneruna variacion temporal y por tanto se indujo un campo electrico que sı puede hacer trabajo. Aunque este campo estaausente la principio y al final del proceso, esta presente en todas las etapas intermedias y es contra el que se realizael trabajo.

Por otro lado, este resultado ha sido probado con argumentos de cuasi estaticidad. Por un lado, se utilizo la leyde Biot Savart que nos obliga a tener procesos estacionarios o cuasi estacionarios para garantizar su validez, tambiense utilizo la ley de Ampere que como veremos mas adelante, debe ser corregida en el caso dependiente del tiempo (leyde Ampere Maxwell). Por otro lado, sin embargo, hemos usado la ley de induccion de Faraday, que requiere que elcampo magnetico tenga una variacion temporal (sin la ley de induccion no se requerirıa trabajo para crear el campoo la corriente, ya que no habrıa contrafem). En sıntesis el procedimiento debe ser cuasiestacionario para despreciarlas desviaciones de la ley de Biot Savart y de la ley de Ampere (corriente de desplazamiento), pero debe darselecierta dinamica a los campos que me den razon de la existencia de la contrafem. Es notable que la ecuacion (15.4) esgeneral para campos que varıan en el tiempo a pesar de las condiciones tan restrictivas con las que se demostro.

15.2. Ecuacion de Ampere Maxwell

Las ecuaciones basicas que se han obtenido hasta el momento son

∇ ·E = 4πρ ∇ ·B = 0 ∇×E = −1

c

∂B

∂t∇×B =

4π

cJ


recuerdese que formalmente hablando, las ecuaciones en la materia no tienen ningun contenido nuevo. Las redefini-ciones de campos que se hacen allı solo parametrizan estadısticamente la ignorancia que poseemos de la distribuciondetallada de todas las cargas y corrientes en el material. Escribamos en todo caso los analogos en la materia

∇ ·D = 4πρf ∇ ·B = 0 ∇×E = −1

c

∂B

∂t∇×B =

4π

cJ

Vemos que D tiene como fuentes a las cargas libres en tanto que E tiene como fuentes a las cargas libres y a lasde polarizacion. Las lıneas de campos fluyen de tales fuentes.

Las lıneas de campo de B se cierran sobre sı mismas. No hay cargas magneticas.

La ley de induccion de Faraday nos dice que existen campos eleectricos inducidos por campos magneticos variablesen el tiempo. Esstos campos electricos no son conservativos y no tienen a las cargas como fuentes y sus lıneas decampo se cierran sobre sı mismas ya que al no tener fuentes ρ = 0 y entonces ∇ ·E = 0.

La ultima ecuacion nos dice que el campo magnetico es originado por cargas en movimiento, y por tanto suexistencia depende del sistema de referencia. Esta ecuacion no expresa la posibilidad de campos magneticos inducidospor los electricos que varıen en el tiempo. Esta posibilidad tendrıa sentido ya que estos campos tampoco tendrıanfuentes y se mantiene entonces que ∇ ·B = 0 y que las lıneas de B se cierran sobre sı mismas.

La ley fundamental de la conservacion de la carga nos conduce a la ecuacion de continuidad

∇ · J+∂ρ

∂t= 0

Es importante examinar si las ecuaciones anteriores son compatibles con dicha ecuacion de continuidad, en particular,las ecuaciones que involucran fuentes, veamos

∇ ·E = 4πρ ⇒ 1

4π∇ ·(∂E

∂t

)=∂ρ

∂t;

∇×B =4π

cJ ⇒ ∇ · (∇×B) =

4π

c(∇ · J) ⇒ 0 = (∇ · J)

vemos por tanto que la ecuacion (∇×B) = 4πc J solo es compatible con la ecuacion de continuidad si no hay

acumulacion o perdida de carga en ninguna region, es decir en el caso estacionario en el cual ∇ · J = 0 = ∂ρ∂t , pero es

claramente incompatible en el caso dependiente del tiempo. Por otro lado la ecuacion ∇·E = 4πρ no presenta ningunacotradiccion aparente, puesto que el valor de ∂E

∂t nos es desconocido hasta el momento, si bien tampoco podemosver su compatibilidad con la ecuacion de continuidad. Adicionalmente, la experiencia muestra que las ecuaciones queinvolucran las divergencias de los campos se pueden extrapolar al caso dependiente del tiempo. Por tanto, es naturalintentar modificar la ecuacion del rotacional del campo magnetico, colocando un termino adicional que vuelva estaecuacion compatible con la ecuacion de continuidad.

Otra forma de ver mas fenomenologicamente la violacion de la conservacion de la carga si la ley de Ampere nose modifica: Sea un circuito RC para descarga de condensador, la corriente se interrumpe entre las armaduras, allıjustamente hay acumulacion de carga (perdida en este caso) tomemos una curva cerrada C alrededor de uno de losalambres suficientemente lejos del condensador el teorema de la divergencia nos da

∫B · dl =

∫(∇×B) · dS

tomemos dos superficies que estan acotadas por la misma C. Una la del plano generado por C, la otra de tal formaque se alargue y atrape a la armadura mas cercana. La primera encierra una corriente I, quedando

∫B · dl = 4π

c

∫

SJ · dS

con J la densidad de corriente que atravieza a S. Basicamente el campo magnetico es el de un alambre. Sobre lasuperficie S′ en cambio no fluye ninguna corriente pues ninguna carga atraviesa esta superficie, esto nos indicarıa que

∫

SJ · dS 6=

∫

S′

J · dS′

15.2. ECUACION DE AMPERE MAXWELL 269

lo cual contradice el teorema de stokes, o el hecho de que divB = 0 (chequear). Amba situaciones una formal y laotra fenomenologica nos induce a pensar que algo falta en la ecuacion ultima

∇×B =4π

cJ+R ⇒ c

4π(∇×B−R) = J

usandola ecuacion de continuidad

∇ · (∇×B) =4π

c∇ · J+∇ ·R

0 =4π

c∇ · J+∇ ·R

∇ · J = − c

4π∇ ·R

pero de ρ = 14π∇ · E

∂ρ

∂t=

1

4π

∂

∂t(∇ ·E)

las dos ultimas ecuaciones se reemplazan en la Ec. de continuidad

− c

4π∇ ·R+

1

4π

∂

∂t(∇ ·E) = 0

∇ ·(− c

4πR+

1

4π

∂E

∂t

)= 0

si tomamos

R =1

c

∂E

∂t

es condicion suficiente para satisfacer ec. de continuidad (no es necesaria ya que ∇ ·V = 0 no implica V = 0). Unargumento interesante es que esta igualdad le da simetrıa a las ecuaciones.

Este nuevo termino soluciona el problema ya que el teorema de stokes nos dice ahora∫

B · dl = 4π

c

∫

S

(J+

1

c

∂E

∂t

)· dS

como el campo E esta disminuyendo en intensidad con el tiempo (pues se esta descargando el condensador) suderivada apunta en la direccion contraria al campo, este termino produce entonces un flujo hacia el interior de lasuperficie S′ de modo que este ya no serıa nulo. Para ver que el flujo es el mismo por S y S′ obse’rvese que los dosforman una superficie cerrada y que el flujo sobre esta superficie cerrada es cero (justamente por conservacion decarga).

La ecuacion corregida queda

∇×B =4π

cJ+

1

c

∂E

∂t

ecuacion de Ampere Maxwell. Maxwell la saco por razones teoricas sin justificacion experimental, fue necesario esperarhasta la deteccion de ondas electromagnetica por H. Hertz para comprobarlo. El termino adicional se denominocorriente de desplazamiento pues parece darle continuidad a la corriente que se interrumpio en las placas.

15.2.1. Forma integral de la cuarta ecuacion de Maxwell

Supongamos una superficie abierta S rodeada por una curva C. Por integracion∫

(∇×B) · dS =4π

c

∫J · dS+

1

c

∫∂E

∂t· dS

con el teorema de stokes ∫B · dr =

4π

ci+

1

c

dΦEdt

el termino de la izquierda se le conoce a veces como fuerza magnetomotriz. En este caso, la fuerza magnetomotrizno se opone al incremento de flujo. Las direcciones de los campos inducidos tambien dependen de la corriente. Enausencia de estas, los campos inducidos contribuyen al flujo electrico.


15.3. Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones basicas que describen la dinamica de los campos electrico y magnetico son

∇ ·E = 4πρ , ∇ ·B = 0

∇×E = −1

c

∂B

∂t, ∇×B =

4π

cJ+

1

c

∂E

∂t

La ecuacion de continuidad es deducible de las ecuaciones de Maxwell gracias a la inclusion de la corriente de despla-zamiento. Debemos recordar que un campo vectorial esta completamente especificado si se conocen su divergencia,su rotacional y las condiciones de frontera. Las ecuaciones de Maxwell determinan completamente la dinamica de loscampos si se conocen las condiciones de frontera (o en la materia si se conocen las relaciones entre E,B,H,D, lascuales dependen de las propiedades de los materiales). En general, es mas facil conocer las condiciones de frontera enlos potenciales vectorial y escalar, por lo cual escribir las ecuaciones de Maxwell en terminos de dichos potencialessera de gran utilidad.

Es notable la simetrıa que tienen las ecuaciones de Maxwell en ausencia de fuentes (J = ρ = 0), la preguntanatural es ¿porque la introduccion de las fuentes agrega una asimetrıa en las ecuaciones?, la respuesta reside enla ausencia de cargas magneticas y corrientes generadas por dichas cargas, si tales cargas existieran las ecuacionestendrıan una notable simetrıa aun en presencia de fuentes. La ecuacion ∇ · B = 0 es la que nos revela la ausenciade estas cargas, y fenomenologicamente se refleja en la ausencia de monopolos magneticos (imanes de un solo polopor ejemplo), por lo cual las lıneas de campo se deben cerrar sobre sı mismas. En contraste, la ley de Gauss parael campo electrico ∇ · E = 4πρ (que fundamentalmente es la ley de Coulomb mas el principio de superposicion),nos revela la existencia de cargas electricas en el sentido de que las lıneas de campo comienzan y terminan en talescargas.

Las ecuaciones que involucran al rotacional nos describen procesos de induccion de campos E ↔ B, un campoelectrico puede ser inducido por la variacion temporal de un campo magnetico, de acuerdo con la ley de induccion deFaraday, otro aspecto notable de esta ley de induccion es el hecho de que un cambio de flujo sobre un lazo cerradoproduce una fuerza electromotriz que se opone a dicho cambio, de modo que el signo menos en la tercera ecuacionde Maxwell es mucho mas que una mera convencion, se puede ver incluso que el cambio de este signo implicarıaun crecimiento indefinido del flujo que comprometerıa la estabilidad de la materia misma. Finalmente, la cuartaecuacion (ley de Ampere Maxwell) indica que un campo magnetico es inducido bien por corrientes o bien por camposelectricos que varıan en el tiempo, recordemos que el termino ∂E/∂t (corriente de desplazamiento) fue introducidopara que las ecuaciones fueran compatibles con la ecuacion de continuidad, hay varias diferencias con respecto a laley de induccion de Faraday a) La ausencia de cargas magneticas produce una asimetrıa entre ambas ecuaciones, b)La derivada temporal no tiene un signo menos en la cuarta ecuacion, la razon es que la “fuerza magnetomotriz” quese introducirıa en la formulacion integral de la cuarta ecuacion, no puede interpretarse en ningun sentido como untrabajo, y por tanto no compromete la estabilidad de la materia.

Es notable el hecho de que el campo electrico se puede separar en dos terminos E = Eind + Egen donde Eind

es un campo inducido por la variacion temporal del campo magnetico en tanto que Egen es el campo generado porlas cargas. El campo Eind es un campo transversal ya que ∇ · Eind = 0, en tanto que el campo generado por lascargas es longitudinal ya que ∇ × Egen = 0. En consecuencia la primera y tercera de las ecuaciones de Maxwell sepodrıan escribir en terminos del campo Egen y Eind respectivamente. En contraste, el campo magnetico es puramenteinducido y netamente transversal, no se conoce un Bgen. Por otro lado, hay dos fuentes para la induccion del campomagnetico: las corrientes y las variaciones temporales de los campos electricos.

Por otro lado, las ecuaciones de Maxwell describen la dinamica completa de los campos una vez que se conocela distribucion de sus fuentes (J, y ρ). Sin embargo, estas ecuaciones no predicen el comportamiento de una cargainmersa en estos campos, de modo que la expresion de la fuerza de Lorentz es independiente de las ecuaciones deMaxwell.

15.4. Potenciales A y φ, transformaciones gauge

De ∇ ·B = 0, se tiene que

B = ∇×A (15.5)

15.4. POTENCIALES A Y φ, TRANSFORMACIONES GAUGE 271

Por otro lado, de

∇×E+1

c

∂B

∂t= 0 ⇒ ∇×E+

1

c∇× ∂A

∂t= 0

∇×[E+

1

c

∂A

∂t

]= 0

esto indica que el vector E+ 1c∂A∂t define un campo virtualmente conservativo, de modo que

E+1

c

∂A

∂t= −∇φ

con lo cual el campo electrico resulta

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t(15.6)

Los campos E y B estan unıvocamente determinados por las condiciones de frontera, pero este no es el caso con loscampos A,φ definidos anteriormente. La transformacion A′ = A +∇ψ deja invariante la relacion B = ∇ ×A. Sinembargo, la relacion con el campo electrico sı se ve alterada a menos que se haga la transformacion adecuada sobreel campo escalar φ. Hagamos la transformacion φ′ = φ + g adecuada para mantener invariante la expresion para elcampo electrico

E = −∇φ′ − 1

c

∂A′

∂t= −∇ (φ+ g)− 1

c

∂ (A+∇ψ)∂t

= −∇φ− 1

c

∂A

∂t−∇g − 1

c

∂ (∇ψ)∂t

= −∇φ− 1

c

∂A

∂t−∇

[g +

1

c

∂ψ

∂t

]

la invarianza se obtiene si ∇[g + 1

c∂ψ∂t

]= 0, en todo el espacio tiempo. Por tanto, se obtiene como condicion de

suficiencia

g = −1

c

∂ψ

∂t

Por tanto los campos E y B son invariantes ante la transformacion simultanea de los campos A y φ de la siguienteforma

A′ = A+∇ψ ; φ′ = φ− 1

c

∂ψ

∂t(15.7)

donde ψ es cualquier funcion regular (bien comportada) del espacio y el tiempo.Esta arbitrariedad en la definicion de los potenciales nos permitira importantes simplificaciones y la eleccion de

diferentes gauges.Reemplazando las expresiones de los campos en terminos de los potenciales en las ecuaciones de Maxwell con

fuentes, se llega a

∇ ·[−∇φ− 1

c

∂A

∂t

]= 4πρ⇒

∇2φ+1

c

∂

∂t∇ ·A = −4πρ (15.8)

∇× (∇×A) =4π

cJ+

1

c

∂

∂t

(−∇φ− 1

c

∂A

∂t

)= ∇ (∇ ·A)−∇2A

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2−∇

(∇ ·A+

1

c

∂φ

∂t

)= −4π

cJ (15.9)

hemos obtenido un par de ecuaciones en las cuales A y φ aparecen acoplados. El desacople se puede lograr gracias ala simetrıa gauge. Dado que hay cierta libertad para escoger la divergencia de A podemos hacer diversas escogenciasrelativas a esta divergencia. Recordemos en todo caso que aun la especificacion de la divergencia de A no conduce aun valor unico de este, en virtud de que la unicidad requiere tambien de condiciones de frontera. En particular, estoimplicara que las escogencias que haremos aquı (gauge de Lorentz y de Coulomb) no son en general excluyentes,es decir el potencial vectorial puede eventualmente satisfacer las condiciones impuestas por ambos gauges.


15.4.1. Gauge de Lorentz

Las ecuaciones (15.8) y (15.9) estan fuertemente acopladas. Una forma natural de desacoplar dichas ecuacioneses a traves de la siguiente escogencia de la divergencia de A:

∇ ·A+1

c

∂φ

∂t= 0 (15.10)

conocida como gauge de Lorentz. Con este gauge las Ecs. (15.8, 15.9) quedan

∇2φ− 1

c

∂

∂t

(1

c

∂φ

∂t

)= −4πρ⇒ ∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ

quedando

∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ (15.11)

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ (15.12)

los potenciales se han desacoplado y han quedado en terminos de sus propias fuentes (escalar con carga, vectorialcon corriente). Ademas hemos obtenido una ecuacion de onda para ambos potenciales y ambos se propagarıan a lavelocidad c (mas adelante se vera que corresponde a la velocidad de la luz).

Es importante demostrar que la condicion de Lorentz siempre se puede satisfacer. Supongamos que A, φ nosatisfacen la condicion de Lorentz, utilicemos un gauge que nos lleve a dicha condicion

∇ ·A′ +1

c

∂φ′

∂t= 0 = ∇ · (A+∇ψ) + 1

c

∂

∂t

(φ− 1

c

∂ψ

∂t

)

0 = ∇ ·A+1

c

∂φ

∂t+∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2

de modo que los nuevos potenciales satisfacen la condicion de Lorentz si ψ satisface la ecuacion

∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2= −

(∇ ·A+

1

c

∂φ

∂t

)

una transformacion gauge restringida es aquella que satisface

∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2= 0

de modo que la condicion de Lorentz es invariante.

15.4.2. Gauge de Coulomb o transverso

En este caso se elige∇ ·A = 0

aplicado a las ecuaciones 15.8, 15.9 obtenemos

∇2φ+1

c

∂

∂t(0) = −4πρ⇒ ∇2φ = −4πρ

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2−∇

(0 +

1

c

∂φ

∂t

)= −4π

cJ ⇒ ∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ+

1

c∇(∂φ

∂t

)

quedando

∇2φ = −4πρ (15.13)

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ+

1

c∇(∂φ

∂t

)(15.14)

15.4. POTENCIALES A Y φ, TRANSFORMACIONES GAUGE 273

La primera es una ecuacion de Poisson para φ la cual tiene como solucion para frontera en espacio infinito φ (r, t) =∫ ρ(r′,t)|r−r′| dV

′. De modo que este campo φ se propaga instantaneamente, en tanto que A obedece a una ecuacion de onda

inhomogenea (que acopla los dos campos) y que se propaga con velocidad finita. La accion instantanea contradicea priori los postulados de la relatividad especial. Sin embargo, no debemos olvidar que son los campos y no lospotenciales, los que tienen sentido Fısico, los ultimos como hemos visto portan una arbitrariedad en su definicion. Alobservar las ecuaciones de los campos en funcion de los potenciales vemos que son las variaciones espacio temporalesde estos campos las que tienen sentido Fısico, y puede probarse que estas variaciones si se propagan con velocidad cen el vacıo. En este gauge, A, φ no estan desacoplados aunque se puede escribir para frontera en el infinito

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ+

1

c∇ ∂

∂t

∫ρ (r′, t)|r− r′|dV

′

una simplificacion importante puede hacerse si tenemos en cuenta que todo vector se puede descomponer en unaparte longitudinal y otra transversal tal que

J = Jl + Jt ∇× Jl = 0, ∇ · Jt = 0

usando las identidades vectoriales

∇×

∇× Jl︸︷︷︸

=0

= ∇ (∇ · Jl)−∇2Jl ⇒ ∇2Jl = ∇ (∇ · Jl) = ∇ (∇ · J)

queda una ecuacion de Poisson para Jl con “densidad de carga” 14π∇ (∇ · J) de modo que la solucion para espacio

infinito queda

Jl = − 1

4π

∫ ∇′ (∇′ · J′)|r− r′| dV ′ = − 1

4π∇∫

(∇′ · J′)|r− r′| dV

′

para Jt

∇× (∇× Jt) = ∇(∇ · Jt)︸︷︷︸=0

−∇2Jt ⇒

∇2Jt = −∇× (∇× Jt) = −∇× (∇× J)

ecuacion de Poisson con densidad equivalente − 14π∇× (∇× J)

Jt = − 1

4π

∫ ∇′ × (∇′ × J′)|r− r′| dV ′ =

1

4π∇×

[∇×

∫J′

|r− r′|dV′]

Es importante enfatizar que Jl y Jt existen en todo el espacio aunque J este localizado. Teniendo en cuenta la solucionpara el potencial escalar y la ecuacion de continuidad

∂φ (r, t)

∂t=

∂

∂t

∫ρ (r′, t) dV ′

|r− r′| =

∫dV ′

|r− r′|∂ρ (r′, t)

∂t= −

∫dV ′

|r− r′|∇′ · J′

∇∂φ (r, t)

∂t= −∇

∫dV ′

|r− r′|∇′ · J′ = 4πJl

la ecuacion para A toma la forma

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJ+

1

c∇∂φ

∂t

= −4π

cJ+

4π

cJl

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cJt

el potencial obdece a una ecuacion de onda que solo esta determinada por la parte transversal de la densidad decorriente. Por este motivo tambien se le suele llamar gauge transverso.


Haciendo una separacion similar para el potencial vectorial

A = Al +At ∇×Al = 0 ⇒ Al = −∇η ; ∇ ·At = 0 ⇒ At = ∇× b

en este gauge

∇ ·A = 0 = ∇ ·Al +∇ ·At = ∇ ·Al = ∇2η

de donde se concluye que

∇2η = 0

en todo el espacio. Ya se habıa discutido que esta solucion conduce a η = 0 en todo el espacio y ası. A = At resultando

∇2At −1

c2∂2At

∂t2= −4π

cJt ; Al = 0

Observese que en ausencia de fuentes (campo libre)

∇2φ = 0 ; ∇2A− 1

c2∂2A

∂t2=

1

c∇(∂φ

∂t

)

la solucion φ = 0, nos lleva a

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= 0

con ∇ ·A = 0. En condiciones estacionarias se obtiene lo que ya conocıamos

∇2φ = −4πρ ; ∇2A = −4π

cJ

15.5. Ecuaciones de Maxwell en la materia

15.5.1. Corriente de Polarizacion

Consideremos un dielectrico inmerso en un campo electrico variable en el tiempo. Los centros de carga cambiansu posicion relativa con respecto al tiempo, por tanto al considerar un pequeno volumen ∆V a medida que aumentael campo mas cargas positivas (negativas) entran (salen) por la izquierda. Del mismo modo por la derecha lascargas positivas (negativas) salen (entran) esto equivale a la existencia de una corriente conocida como corriente depolarizacion.

Si el dielectrico no posee cargas libres, la corriente de polarizacion Jp se debe exclusivamente a los momentosdipolares. Especıficamente, es proporcional al cambio con el tiempo del momento dipolar de los atomos o moleculasdel material.

Asumiendo que la ecuacion de continuidad es valida para este tipo de corrientes se tiene

∇ · Jp +∂ρP∂t

= 0 con ρp = −∇ ·P

∇ · Jp +∂

∂t(−∇ ·P) = 0 ⇒ ∇ ·

(Jp −

∂P

∂t

)= 0

Veamos las limitaciones de esta formulacion. No hay un principio de conservacion para las cargas de polarizacion, depor sı estas pueden ser creadas (destruıdas) con la creacion (destruccion) de dipolos en el material. Por ejemplo si loscampos oscilantes llegan a ser muy intensos pueden disociar o ionizar moleculas, destruyendo cargas de polarizaciony creando cargas libres. Si cargas de polarizacion pueden ser creadas el principio de conservacion de la carga debeestar asociada a la suma de cargas libres mas las de polarizacion. Observese ademas que incluso si los dipolos no secrean ni se destruyen sino que solo se reorientan, es posible que la carga de polarizacion no se conserve ya que elvector de polarizacion como promedio estadıstico tambien puede cambiar en este caso. Por tanto es necesario que loscampos no sean muy intensos en ningun instante y ademas varıen suavemente en el tiempo4.

4Variaciones rapidas aun con campos debiles inducen campos magneticos fuertes que pueden afectar la distribucion de cargas en elmaterial (chequear).

15.5. ECUACIONES DE MAXWELL EN LA MATERIA 275

Las corrientes de magnetizacion tambien satisfacen una ecuacion de continuidad bajo condiciones semejantes alcaso de la polarizacion.

∇ · JM +∂ρM∂t

= ∇ · (c∇×M) +∂

∂t(0) = 0

ya que no existen cargas magneticas (no se deben confundir estas cargas magneticas con aquellas “cargas ”que sedefinieron para el potencial escalar, pues estas no estan ligadas a la corriente de magnetizacion) (chequear).

———————————————–

Como ya vimos, la presencia de campos electricos en la materia genera cargas de polarizacion y la presencia decampos magneticos genera corrientes de magnetizacion. Como en los casos estatico y estacionario, resulta beneficoreescribir las ecuaciones de Maxwell de tal manera que solo aparezcan explıcitamente las cargas y corrientes libres,que son las que mas se pueden controlar experimentalmente.

En el caso dependiente del tiempo, las cargas de polarizacion y corrientes de magnetizacion obedecen a expresionessimilares a los casos estaticos y estacionarios de las Ecs. (12.6, 14.6). Sin embargo, en el caso dependiente del tiempoaparece un nuevo tipo de corriente ligada que surge de la variacion temporal del vector de polarizacion. Para veresto, tomemos un trozo de columna del material de tal modo que la columna va en la direccion de P. Como ya sediscutio en la seccion (12.3) la polarizacion produce una carga superficial en los extremos del material de valores ±σptal que |σp| = P . Si P aumenta hay una aumento tambien en las densidades superficiales, lo cual da una corrienteneta de la forma

dI =∂σp∂t

da⊥ =∂P

∂tda⊥

la densidad vectorial es entonces

Jp =∂P

∂t(15.15)

esta corriente de polarizacion debe ser agregada a la corriente libre Jf y a la corriente de magnetizacion JM . Observeseque a diferencia de las corrientes de magnetizacion (que se produce por circulaciones microscopicas cerradas) estacorriente esta asociada a movimiento lineal de carga, que surge cuando la polarizacion cambia con el tiempo.

En relacion con lo anterior, es necesario verificar que la ecuacion (15.15) que define a la densidad de corriente depolarizacion, es consistente con la ecuacion de continuidad.

∇ · Jp = ∇ ·(∂P

∂t

)=

∂

∂t(∇ ·P) = −∂ρp

∂t

de modo que la ecuacion de continuidad se cumple, en realidad puede verse que en el caso dependiente del tiempo,la conservacion de la carga ligada requiere de la existencia de esta corriente de polarizacion5.

Podrıa pensarse que la variacion temporal de la magentizacion produce una carga o corriente adicional.Sin em-bargo, este no es el caso y la variacion de la magnetizacion solo genera cambios en la corriente de magnetizacionJM = ∇ × M. Por lo tanto, en la materia definimos dos tipos de densidad de carga: densidad de carga libre y depolarizacion

ρ = ρf + ρp = ρf −∇ ·P

en tanto que la corriente se divide en tres partes

J = Jf + JM + Jp = Jf +∇×M+∂P

∂t

la ley de Gauss se escribe

∇ ·E = 4πKc (ρf −∇ ·P)

∇ ·D = 4πKcρf ; D ≡ E

4πKc+P

5Recuerdese que en general lo que se tiene que conservar es la carga total definida como la carga ligada mas la carga libre. En realidades posible que la carga libre se convierta en carga ligada y viceversa, pero en la mayorıa de los casos ambos tipos de carga se conservanpor aparte.


por otro lado la ley de Ampere Maxwell se reescribe como

∇×B = 4πKa

(Jf +∇×M+

∂P

∂t

)+Ka

Kc

∂E

∂t

∇×(

B

4πKa−M

)= Jf +

∂

∂t

(P+

E

4πKc

)

∇×H = Jf +∂D

∂t; H ≡ B

4πKa−M

la definicion de H es la misma que en el caso estacionario, sin embargo la corriente de desplazamiento en la materia(que aparece solo en el caso dependiente del tiempo), contiene la informacion de la corriente de desplazamiento en elvacıo mas la contribucion debida a las corrientes de polarizacion. Las ecuaciones de Maxwell restantes (∇ ·B = 0, yla ley de induccion de Faraday) no contienen a las fuentes de modo que no sufren modificaciones, las ecuaciones deMaxwell quedan

∇ ·D = 4πKcρf ∇ ·B = 0

∇×E = −∂B∂t

; ∇×H = Jf +∂D

∂t

las ecuaciones de Maxwell en la materia tienen la ventaja de estar escritas en terminos de las corrientes y cargaslibres, pero tienen la desventaja de mezclar los campos en la materia y en el vacıo. Por esta razon, las ecuacionesde Maxwell en la materia deben ser complementadas con relaciones constitutivas que determinen completamente aD y H en terminos de E y B. Para medios isotropicos lineales y homogeneos estas relaciones constitutivas estandetermindas por

P = ε0χeE ; M = χMH

D = εE H =B

µ

las condiciones de frontera en presencia de cargas y corrientes superficiales se pueden calcular usando la formaintegral de las ecuaciones de Maxwell, y con un procedimiento analogo al descrito en las secciones (12.7, 14.6), estascondiciones vienen dadas por

D⊥1 −D⊥

2 = σf ; B⊥1 −B⊥

2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ; H

‖1 −H

‖2 =

~λf × n (15.16)

en el caso de medios lineales, estas discontinuidades se pueden escribir como

ε1E⊥1 − ε2E

⊥2 = σf ; B⊥

1 −B⊥2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ;

B‖1

µ1− B

‖2

µ2= ~λf × n (15.17)

estas ecuaciones son fundamentales a la hora de estudiar la refracion reflexion y transmision de ondas cuando cambiande medio. Las ecuaciones (15.17) se obtienen con razonamientos similares a los presentados en los casos estaticos yestacionarios descritos en las secciones (1.11, 14.6), el unico criterio nuevo es tener en cuenta que la cantidad

d

dt

∫D · dS

es nula (¿porque?).

Capıtulo 16

Leyes de conservacion

Las ecuaciones de Maxwell describen la dinamica de los campos electricos y magneticos generados por cargas ycorrientes, describe la generacion y propagacion de ondas y permite describir los campos en medios materiales bajociertas consideraciones estadısticas.

Sin embargo, estas ecuaciones no pueden describir el movimiento de una carga o distribucion de cargas inmersaen un campo electromagnetico, para lo cual hay que recurrir a la ecuacion de la fuerza de Lorentz1. Asumiremosque la expresion F = q (E+ v ×B/c), es tambien valida para campos que varıan con el tiempo. Si la distribucion esvolumetrica podemos aplicar esta expresion sobre un elemento diferencial dF = dq (E+ v×B/c) con dq = ρ dV yρv = J, podemos definir f = dF/dV como la densidad volumetrica de fuerza, con lo cual

dF

dV=

dq

dV(E+ v ×B/c) ⇒ f = ρ (E+ v ×B/c)

f = ρE+ ρv ×B/c⇒ f = ρE+J×B

c(16.1)

En mecanica Newtoniana se obtienen unos principios de conservacion para sistemas aislados (energıa, momentolineal, momento angular). En lo que sigue definiremos sistemas aislados de cargas y campos que nos conduzcan aestos mismos principios de conservacion, para lo cual sera necesario redefinir las cantidades de energıa, momentolineal, y momento angular2. En el formalismo original de la mecanica Newtoniana, todas estas cantidades estabanasociadas a las partıculas, no obstante es necesario postular que los campos pueden transportar estas cantidades parapoder conciliar los postulados de la relatividad especial, y la causalidad con los principios de conservacion.

16.1. Conservacion de la energıa: Teorema de Poynting

Calculemos el trabajo realizado por el campo electromagnetico sobre un elemento infinitesimal de carga dq, y enun intervalo infinitesimal de tiempo dt (o trayectoria infinitesimal dl)

dW = dF · dl = f · dl dV =

[ρE+

J×B

c

]· dl dV

dW =

[ρE+

J×B

c

]· v dt dV = ρE · v dt dV

donde hemos tenido en cuenta que J = ρv, de lo cual se deduce que (J×B) ·v = 0, de modo que el campo magneticono realiza trabajo sobre la distribucion de cargas. Este es un diferencial de segundo orden ya que la trayectoria serıa

1En la discusion sobre la ley de induccion de Faraday se utilizo la fuerza de Lorentz para derivar el principio de induccion sobre unlazo conductor cerrado. Sin embargo, la ley de induccion de Faraday extrapola el mecanismo de creacion de un campo electrico inducido,al caso en el cual el loop puede ser cualquier lugar geometrico cerrado (incluso en el vacıo), al hacer esta extrapolacion, ya no se puedederivar la ley de induccion de la fuerza de Lorentz, de modo que esta ultima no esta en general contenida en la ley de induccion de Faraday.

2Una forma mas natural de redefinir estas cantidades consiste en observar las variables cıclicas del lagrangiano de Maxwell y susmomentos canonicamente conjugados. Desde el punto de vista del teorema de Noether se puede ver a su vez, que si exigimos la invarianzade este lagrangiano ante traslaciones temporales, espaciales y rotaciones, los momentos canonicamente conjugados corresponderan a laenergıa, el momento, y el momento angular respectivamente.

277

278 CAPITULO 16. LEYES DE CONSERVACION

infinitesimal, ası como la carga sobre la cual se realiza trabajo. El trabajo realizado por unidad de tiempo sobre lacarga infinitesimal dq (potencia suministrada por el campo a la distribucion confinada al volumen dV ) es

dW ′

dt= ρE · v dV = J ·E dV

y la potencia suministrada por el campo a la distribucion de cargas confinada en un cierto volumen V es

dW

dt=

∫

VρE · v dV =

∫

VJ ·E dV (16.2)

esta potencia representa la transformacion de energıa electrica a mecanica o termica y debe ser balanceada por undecrecimiento en la energıa del campo dentro del volumen V 3. Con el fin de escribir esta potencia en terminosexclusivamente de los campos, despejamos J de la ecuacion ∇×B = 4πJ

c + 1c∂E∂t y reemplazamos4

dW

dt=

∫J · E dV =

c

4π

∫ [∇×B− 1

c

∂E

∂t

]·E dV

y utilizando la identidad vectorial ∇ · (A×B) ≡ B · (∇×A)−A· (∇×B) se tiene5

∇ · (E×B) ≡ B · (∇×E)−E· (∇×B) = −B ·(1

c

∂B

∂t

)−E· (∇×B)

dW

dt=

c

4π

∫ [(∇×B) · E− 1

c

∂E

∂t· E]dV

dW

dt=

c

4π

∫ [−∇ · (E×B)−B ·

(1

c

∂B

∂t

)− 1

c

∂E

∂t·E]dV

dW

dt=

1

4π

∫ [−∇ · (cE×B)− 1

2

(∂

∂t

)(B2 +E2

)]dV =

∫J · E dV

si la expresion es valida para un volumen arbitrario se concluye que

∇ ·( c

4πE×B

)+

(∂

∂t

)(B2 +E2

8π

)= −J ·E

quedando

∇ · S+∂ε

∂t= −J · E (16.3)

donde definimos

S ≡ c

4πE×B ; ε ≡

(B2 +E2

8π

)(16.4)

3Observese que si en un cierto sector del volumen las cargas van en direccion contraria al campo electrico (o al menos la proyeccionde la velocidad sobre el campo es negativa), tendremos que J · E es negativo de modo que son la cargas las que realizan trabajo sobreel campo, contribuyendo a un aumento de la energıa de este. Esto es logico ya que se produce un frenado de las partıculas, de lo cual elcampo extrae energıa a expensas de la disminucion de la energıa cinetica de estas (radiacion de frenado).

4A priori se podrıa pensar que este despeje no es correcto, dado que J no es parte de las fuentes del campo, sino una distribucioninmersa en el (las fuentes se consideran remotas). Sin embargo, hay que tener en cuenta que las ecuaciones de Maxwell en forma diferencialson locales y dependen de las densidades de carga y corriente en el punto de evaluacion, sin importar cuales son las fuentes.

5Esta identidad se puede demostrar ası:

∇ · (A×B) ≡ ∂i (A×B)i = ∂i (εijkAjBk)

= εijk (∂iAj)Bk + εijkAj (∂iBk) = εkij (∂iAj)Bk − εjikAj (∂iBk)

= (εkij∂iAj)Bk −Aj (εjik∂iBk) = (∇×A)k Bk − Aj (∇×B)j

= B · (∇×A)−A· (∇×B)

16.1. CONSERVACION DE LA ENERGIA: TEOREMA DE POYNTING 279

la ecuacion (16.3) es una ecuacion de continuidad con fuentes. Comparando con la ecuacion de continuidad asociadaa la conservacion de la carga, S es el analogo a la densidad de corriente, en tanto que ε es el equivalente de la densidadde carga. Recordando que la magnitud de la densidad de corriente representa la cantidad de carga por unidad dearea por unidad de tiempo que atraviesa la superficie, y que su direccion describe la direccion de propagacion de lascargas, entonces es logico interpretar a S (vector de Poynting), como un vector cuya magnitud representa la energıa(asociada a los campos) por unidad de area por unidad de tiempo que atraviesa la superficie, y su direccion es ladireccion en la cual esta energıa se propaga. Similarmente ε representa la densidad de energıa asociada a los campos.

En virtud de que tenemos una ecuacion de continuidad inhomogenea para la energıa asociada a los campos, sededuce que dicha energıa no se conserva, ¿significa esto que se viola el principio de conservacion de la energıa? unexamen mas cuidadoso nos muestra el origen del termino inhomogeneo (fuente o sumidero de energıa), el terminoinhomogeneo surge de la presencia de partıculas cargadas, lo cual simplemente nos indica que estas pueden inter-cambiar energıa con el campo electromagnetico. En sıntesis, la inhomogeneidad se debe a que la energıa que hemosdefinido no tiene en cuenta a todos los subsistemas que pueden almacenar e intercambiar energıa. Sin embargo, laenergıa total (tomando todos los sistemas que la pueden almacenar e intercambiar) debe cumplir una ecuacion decontinuidad homogenea, de lo contrario habrıa una autentica violacion de este principio de conservacion. En el casoen el cual no hay cargas, de modo que tenemos un campo puro de radiacion o campos confinados en una region dondeno hay cargas, se tiene que ∇ · S + ∂ε

∂t = 0 y la energıa del campo se conserva, puesto que el flujo de energıa estaimplicando un cambio en su densidad, en tal caso la ecuacion de continuidad no tiene fuentes para la energıa.

Retornado al caso general, integramos en el volumen∫

(∇ · S) dV +

∫∂ε

∂tdV = −

∫(J ·E) dV

∮S · da+

d

dt

∫εdV = −

∫(J ·E) dV

−∮

S · da =

∫(J ·E) dV +

d

dt

∫εdV (16.5)

teniendo en cuenta que S es la energıa por unidad de area por unidad de tiempo que cruza la superficie, se tieneque −

∮S · da es la energıa por unidad de tiempo que entra al volumen (dado que da apunta hacia afuera del

volumen). Por otro lado, de acuerdo con la ecuacion (16.2), la expresion∫(J ·E) dV 6representa el trabajo por

unidad de tiempo que el campo hace sobre la distribucion de cargas, o en otras palabras la potencia absorbida porlas partıculas. Finalmente, dado que ε es la densidad de energıa del campo, el termino

∫εdV representa la energıa

asociada al campo contenido en el volumen V , por tanto ddt

∫εdV representa la variacion de la energıa asociada al

campo dentro del volumen V . En sıntesis, la ecuacion (16.5) se convierte en

dETotaldt

=dEpdt

+dEcdt

donde hemos interpretado Ep como la energıa asociada a las partıculas, Ec es la energıa asociada a los campos ydET /dt ≡ −

∮S · da representa el flujo de energıa hacia adentro del volumen, lo cual equivale a la rata de aumento

de energıa total (estamos asumiendo que no entran ni salen partıculas al volumen V )7.Adicionalmente, si la superficie es lo suficientemente grande para contener todo el campo, S sera cero en la

frontera ya que no hay flujo de campo a traves de la superficie, de modo que

dETdt

= 0 ⇒ E = Ec + Ep = cte

cualquier disminucion (aumento) en la energıa del campo Ec se traduce en un aumento (disminucion) en la energıaasociada a las cargas Ep. De modo que escribimos

dEcdt

=

∫(J · E) dV

6Observese que el termino∫(J ·E) dV no contribuye en las regiones donde hay ausencia de cargas o donde las cargas estan en reposo.

Efectivamente, si las cargas estan en reposo, ellas pueden contribuır a Ep pero no a su variacion temporal.7Observese que la interpretacion de −

∮S · da como la energıa por unidad de tiempo que entra al volumen es consecuente con la

interpretacion del vector S, ya que si la energıa esta entrando al volumen a traves de un cierto da, se tiene que S es antiparalelo a da endicha region y por lo tanto −S · da es positivo.


Adicionalmente, si definimos la densidad de energıa asociada a las partıculas εp (energıa mecanica), tendremos que

dEcdt

=

∫(J · E) dV =

∂

∂t

∫

VεpdV ⇒ J · E =

∂εp∂t

y reemplazamos la ultima expresion en (16.3)

∇ · S+∂ε

∂t= −∂εp

∂t⇒ ∇ · S+

∂ (ε+ εp)

∂t= 0

como ya anticipamos, al tener en cuenta todos los agentes que almacenan o intercambian energıa, se debe llegar auna ecuacion de continuidad homogenea 8. Como prueba de consistencia el lector puede demostrar que para el campoelectrostatico 1

2mv2 + qφ = cte.

16.2. Conservacion del momento lineal

De la mecanica Newtoniana sabemos que el intercambio de momento nos cuantifica la interaccion entre las partıcu-las a traves de la fuerza, por lo tanto es natural comenzar con el concepto de fuerza para estudiar la transferenciade momento. Por otro lado, dado que aquı estamos trabajando con un medio contınuo (distribucion contınua decargas) y la fuerza se distribuye en forma tambien contınua en todo el volumen de la distribucion, es mas util auncomenzar con el concepto de densidad de fuerza. Ya vimos que la densidad de fuerza para una distribucion contınuainmersa en un campo electromagnetico es f = ρE+ J×B

c , nuevamente en aras de escribir esta densidad en terminosexclusivamente de campos, usaremos la ley de Gauss y la Ecuacion de Ampere Maxwell para despejar las fuentes

ρ = ∇ ·E/4π, J =c

4π

(∇×B−1

c

∂E

∂t

)

reemplazando en f = ρE+ J×Bc

f =1

4π

[E (∇ · E) + (∇×B)×B− 1

c

∂E

∂t×B

]

f =1

4π

[E (∇ · E)−B× (∇×B)− 1

c

∂

∂t(E×B) +

1

cE× ∂B

∂t

]

usando la ley de induccion de Faraday ∂B∂t = −c∇ × E, y agregando un cero de la forma B (∇ ·B), esta ecuacion

queda muy simetrica en los campos E y B.

f =1

4π

[E (∇ ·E)−B× (∇×B)− 1

c

∂

∂t(E×B) +

1

cE× (−c∇×E) +B (∇ ·B)

]

f =1

4π

[E (∇ ·E)−E× (∇×E) +B (∇ ·B)−B× (∇×B)− 1

c

∂

∂t(E×B)

]

usando

1

2∇ (E ·E) = (E · ∇)E+E× (∇×E) ⇒

E× (∇×E) =1

2∇ (E · E)− (E · ∇)E

y similarmente para B, con lo cual obtenemos

f =1

4π

[E (∇ ·E)− 1

2∇ (E ·E) + (E · ∇)E+

+B (∇ ·B)− 1

2∇ (B ·B) + (B · ∇)B− 1

c

∂

∂t(E×B)

]

8Esta ecuacion no es totalmente general ya que no hemos considerado la posibilidad de que las cargas traspasen la frontera. En talcaso, para mantener homogenea la ecuacion, hay que redefinir el vector de Poynting para dar cuenta del flujo de energıa mecanica a travesde la superficie.

16.2. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 281

y teniendo en cuenta que

∇ ·[EE− 1

2I (E ·E)

]= E (∇ ·E)− 1

2∇ (E ·E) + (E · ∇)E

y analogamente para B, se llega a

f = ∇ ·[EE+BB− 1

2 I(E2 +B2

)

4π

]− ∂

∂t

(E×B

4πc

)

que se puede reescribir como

f = ∇ · T− ∂g

∂t

con lo cual llegamos a la ecuacion

∇ · (−T) +∂g

∂t= −f (16.6)

donde hemos definido

g ≡ E×B

4πc=

S

c2(16.7)

T ≡ 1

4π

[EE+BB− 1

2I(E2 +B2

)](16.8)

donde, en analogıa con la ecuacion de continuidad para la carga, definimos g como la densidad de momentolineal asociada a los campos, y −T lo definimos como la densidad de flujo de momento lineal asociada alos campos (flujo vectorial de momento por unidad de area por unidad de tiempo). El tensor de segundo rango Tse denomina tensor de tensiones de Maxwell, el cual en componentes se escribe:

Tij =1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]= Tji (16.9)

adicionalmente I ≡∑3k=1 ukuk representa la diada identidad. La interpretacion que hemos dado nos sugiere la razon

por la cual es llamado tensor de tensiones, ya que al ser un flujo de momento por unidad de area y de tiempo escomo una fuerza por unidad de area (presion) pero por su caracter vectorial (la presion no es un vector) adquiereel caracter de tension. Vale decir sin embargo, que esta presion o tension no son ejercidas necesariamente sobreun objeto fısico ya que la superficie cerrada puede ser simplemente un lugar geometrico (lo mismo aplica para laconservacion de la energıa). No obstante, veremos mas adelante que en el caso en el cual hay una superficie fısica,podemos calcular la presion ejercida por la radiacion a traves de este tensor de tensiones. En virtud de su simetrıa,el tensor de tensiones de Maxwell solo tiene 6 componentes independientes. En ocasiones es conveniente escribir estetensor en forma matricial.

T =

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

es facil ver que la traza de este tensor es −ε.

Tr (T) = Tii =1

4π

[EiEi +BiBi −

1

2δii(E2 +B2

)]

Tii =1

4π

[E2 +B2 − 3

2

(E2 +B2

)]= − 1

8π

[E2 +B2

]

Tii = −ε

donde hemos usado la convencion de suma sobre ındices repetidos. En virtud de que hemos obtenido una ecuacion decontinuidad con fuentes, se tiene que el momento lineal

∫g dV del campo electromagnetico no se conserva cuando

hay cargas presentes. De modo que parte de este momento ha sido absorbido o transmitido por las cargas. Esto sepuede ver con claridad integrando en un cierto volumen

∫∇ · (−T) dV +

∫∂g

∂tdV = −

∫f dV


recordando que f es la densidad de fuerza que los campos ejercen sobre la distribucion de cargas, entonces la integralsobre este termino corresponde a la fuerza total ejercida sobre las cargas en ese volumen

∫f dV = F =

dPp

dt

donde Pp corresponde al momento lineal total asociado a las partıculas que estan dentro del volumen V . Aplicandoel teorema de la divergencia, la integral de volumen de la ecuacion de continuidad con fuentes queda

−∫

T· dA+d

dt

[∫g dV +Pp

]= 0

d

dt

[∫g dV +Pp

]=

∫T· dA

de modo que la integral∫T· dA debe darnos el flujo hacia adentro de momento lineal por unidad de tiempo. Lo

cual se puede ver componente a componente teniendo en cuenta que el vector dA = n dA apunta hacia afuera delvolumen, y que (−T) es la densidad de flujo de momento lineal. Se deduce entonces que T· n nos da la componentenormal hacia adentro de la densidad de flujo de momento lineal.

Si la integracion se toma sobre todo el volumen que contiene los campos, el tensor se anula en la superficie yqueda

d

dt

[∫g dV +Pp

]= 0

∫g dV +Pp = cte

de lo cual se ve que la conservacion del momento lineal exige considerar g como la densidad de momento lineal delcampo electromagnetico. Adicionalmente, vemos que g va en la direccion de propagacion de la energıa (que es ladireccion de S de acuerdo con la interpretacion de la seccion anterior), esto coincide con la caracterıstica del momentomecanico de las partıculas, el cual apunta en la direccion de propagacion de estas. Todo ello nos induce a pensarque S ademas de determinar la direccion de propagacion del momento y la energıa nos debe definir la direccion depropagacion de la onda, lo cual se vera mas adelante cuando se estudien algunas soluciones a la ecuacion de onda.

La ecuacion ∇ · (−T) + ∂g∂t = −f proviene de considerar una distribucion de cargas y corrientes inmersa en un

campo que previamente es generado por otras cargas y corrientes. Sin embargo, en virtud de la naturaleza localde las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, en un punto dado se debe considerar la densidad y la corrienteen ese punto, de modo que en general para un punto dentro de la distribucion inmersa, los campos se deben a lascontribuciones de las fuentes lejanas mas las de las propias partes de la distribucion inmersa 9. En consecuencia enT aparecen los campos totales debidos a las fuentes originales y la distribucion inmersa.

El campo en un punto P se debe a toda la distribucion. Si queremos calcular la fuerza sobre una cierta distribucionconfinada dentro de un cierto volumen, integramos sobre el volumen que la contiene

∫∇ · T dV = F =

∫T·dA

esto solo es valido para el caso estacionario en el cual asumimos que el momento total debido a los campos dentrodel volumen no depende del tiempo es decir d

dt

∫gdV = 010. Asumamos que la distribucion esta aislada de otras

distribuciones que existen en el espacio. Esto nos permite definir dos superficies cerradas A y A′ tal que ambasencierran a la distribucion y A′ encierra completamente a A, de tal manera que no hay cargas en el volumen limitadopor las dos superficies. Si definimos VAA′ el volumen entre ambas superficies cerradas, entonces

∫(∇ · T) dVAA′ = 0

9Para un pequeno volumen dentro de la distribucion inmersa, el rotacional y la divergencia solo requieren de los valores locales delas fuentes. Sin embargo, dado que la solucion completa requiere de condiciones de frontera e iniciales (o por otro lado el conocimientodetallado de todas las fuentes en todo el espacio) las fuentes no locales tambien se requieren para conocer el valor de los campos en talvolumen.

10Dicho de otra forma, todo el momento que atraviesa las paredes de la superficie hacia adentro (afuera) es absorbido (emitido) por laspartıculas. En particular, esto es valido para la condicion estacionaria.

16.2. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL 283

en virtud de la ausencia de cargas en este volumen. Esta integral de volumen se puede escribir como

∫(∇ · T) dVAA′ =

∫(∇ · T) dVA′ −

∫(∇ · T) dVA = 0

de lo cual se tiene∫

(∇ · T) dVA′ =

∫(∇ · T) dVA ⇒

∫T · dA′ =

∫T · dA

lo cual nos indica que la integral∫T · dA se puede elegir en una superficie arbitraria que encierre la distribucion que

nos interesa, siempre y cuando no encierre otras cargas fuera de dicha distribucion. Con esta salvedad, la superficiese puede escoger a conveniencia. De nuevo enfatizamos que dado que el tensor de tensiones depende de los campostotales, esta fuerza tambien depende de los campos totales.

Como ejemplo, calculemos la fuerza entre dos cargas puntuales utilizando el tensor de tensiones de Maxwell.Calculemos la fuerza ejercida sobre la carga −q, la forma mas sencilla consiste en construir una esfera centrada en lacarga con radio r → 0. Tomaremos no obstante, otra geometrıa mas ilustrativa

Tomemos una superfice semiesferica A, hacemos tender su radio a infinito de modo que el tensor se anula en laparte esferica y solo sobrevive en el plano z = a. La contribucion al campo electrico debido a todas las cargas (q y−q) sobre este plano viene dada por

E =2q

r2uz cos θ

el campo magnetico es nulo, el tensor de tensiones queda

Tij =1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]=

1

4π

[EiEj −

1

2δijE

2

]

y con Ei =2qr2δi3 cos θ

Tij =1

4π

[(2q

r2cos θ

)2

δi3δj3 −1

2δij

(2q

r2cos θ

)2]

Tij =q2

πr4cos2 θ

[δi3δj3 −

1

2δij

]

ahora calculamos T · dA ⇒ (T · dA)i = TijdAj

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[δi3δj3 −

1

2δij

]dAj

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[δi3 dA3 −

1

2dAi

]

teniendo en cuenta que en este caso particular el diferencial de area sobre el plano es −dA uz escribimos dAi = −δi3dAy dA3 = −dA

TijdAj =q2

πr4cos2 θ

[−δi3 dA+

1

2δi3dA

]

TijdAj = − q2

2πr4cos2 θδi3 dA

el vector T ·dA, tiene como componentes(T · dA)i = − q2

2πr4 cos2 θδi3 dA es decir solo sobrevive la tercera componente

T · dA = − q2

2πr4uz cos

2 θ dA


teniendo en cuenta que todos los elementos de area en el plano estan orientados en la misma direccion, podemos definirdiferenciales vectoriales de area con cualquier particion diferencial de la magnitud del area. Usando la coordenada ρcilındrica, tenemos que un diferencial conveniente es el definido por un anillo de radio interior ρ y exterior ρ+ dρ.

dA = 2πρ dρ (−uz) = −dA uz

reemplazando

T · dA = − q2

2πr4uz cos

2 θ (2πρ dρ)

pero cos2 θ = a2/r2 = a2/(ρ2 + a2

), r4 =

(ρ2 + a2

)2

T · dA = − q2

(ρ2 + a2)2uz

a2

(ρ2 + a2)ρ dρ

T · dA = −q2a2uzρ

(ρ2 + a2)3dρ

∫T · dA = −q2a2uz

∫ ∞

0

ρ

(ρ2 + a2)3dρ

∫T · dA = −q2a2uz

(1

4a4

)

∫T · dA = − q2

(2a)2uz

que es el resultado esperado.

16.3. Presion ejercida por el campo

En la seccion anterior se concluyo que∫T · dA es el flujo de momento lineal hacia adentro de una superficie

cerrada. Podemos tambien realizar esta integracion para una porcion de la superficie.

El flujo de momento lineal se traduce en una fuerza si la superficie es material, y por tanto en presion sobre estasuperficie. Para un elemento diferencial de superficie

dF = −T · dA = −T · n dA

y la componente de la fuerza normal a la superficie (que es la que contribuye a la presion), viene dada por

n·dF = −n · T · n dA

n·dFdA

= −n · T · n

y esta ultima expresion es precisamente la presion ejercida por los campos sobre el elemento de area dA.

P = −n · T · n

en el procedimiento anterior podemos extaer una componente de la fuerza diferente de la normal

nk·dF

dA= −nk·T · n

en particular si nk es una componente paralela a la superficie, y paralela a la proyeccion de la fuerza sobre talsuperficie, lo que obtenemos es la tension de cizalladura sobre tal superficie. Esto refuerza la idea de llamar a Ttensor de Tensiones de Maxwell.

16.4. TEOREMA DE POYNTING PARA VECTORES DE CAMPO COMPLEJOS 285

Veamos un ejemplo sencillo de aplicacion: calcular la presion ejercida por una onda electromagnetica que incidenormalmente sobre una placa. Asumamos E = uyE, B = uzB y E = B. Construyamos primero el tensor de tensionesde Maxwell

T ≡ 1

4π

[EE+BB− 1

2I(E2 +B2

)]

=1

4π

[(Euy) (Euy) + (Buz) (Buz)−

1

2I(E2 +B2

)]

T ≡ 1

4π

[E2uyuy + E2uzuz − IE2

]

T ≡ 1

4π

[E2uyuy + E2uzuz − (uxux + uyuy + uzuz)E

2]

T ≡ −E2

4πuxux

La presion se escribe como

−n · T · n = −ux · T · ux =E2

4πux · (uxux) · ux

−n · T · n =E2

4π(ux · ux) (ux · ux) =

E2

4π

se puede ver que el valor promedio de la presion coincide con el promedio de la densidad de energıa. 〈P 〉 = 〈ε〉 = 18πE

2.Implıcitamente hemos asumido que la superficie es perfectamente absorbente (ninguna parte de la onda se reflejani se transmite). Para superficie perfectamente reflectora el momento absorbido es doble y por tanto se duplica lapresion.

16.4. Teorema de Poynting para vectores de campo complejos

Con frecuencia es mas facil resolver la ecuacion de onda introduciendo soluciones exponenciales complejas en elespacio y/o el tiempo, con ciertos parametros a ajustar. No obstante, la solucion fısica debe ser de caracter real ynormalmente corresponde a la parte real de la solucion compleja encontrada. En particular, las variaciones temporalesperiodicas se introducen a menudo atraves de un factor de la forma e±iωt. Queremos por tanto conservar este tipo desoluciones complejas asegurando que las respuestas fısicas continuen siendo reales. Por ejemplo, es necesario asegurarque ε y S sigan siendo reales.

Vamos entonces a considerar el flujo promedio de energıa cuando los campos complejos varıan armonicamentecon el tiempo, es decir con factores de la forma e±iωt. Descompondremos los vectores E, H en sus partes real eimaginaria para la componente espacial

E (r, t) = E0 (r) e−iωt = [E1 (r) + iE2 (r)] e

−iωt

H (r, t) = H0 (r) e−iωt = [H1 (r) + iH2 (r)] e

−iωt (16.10)

donde E1 (r) , E2 (r) , H1 (r) , H2 (r) son reales. Para el caso de campos reales el vector de Poynting esta dado porS = cE×H

4π . Cuando los campos son complejos esta vector se define a traves de las partes reales de tales campos

S =c

4πReE×ReH

el flujo promedio de energıa es

〈S〉 = c

4π〈ReE×ReH〉

dado que

ReE = E1 cosωt+E2 sinωt ; ReH = H1 cosωt+H2 sinωt


el flujo promedio de energıa queda

〈S〉 =c

4π〈(E1 cosωt+E2 sinωt)× (H1 cosωt+H2 sinωt)〉

=c

4πE1 ×H1〈cosωt cosωt〉+E1 ×H2〈cos ωt sinωt〉

+E2 ×H1〈sinωt cosωt〉+E2 ×H2〈sinωt sinωt〉calculamos los promedios

ω

2π

∫ 2π/ω

0cos2 ωt dt =

1

2=

ω

2π

∫ 2π/ω

0sin2 ωt dt

ω

2π

∫ 2π/ω

0sinωt cosωt dt = 0

con lo cual

〈ReE ×ReH〉 = 1

2E1 ×H1 +E2 ×H2

por otro lado, dado que el promedio no depende del factor armonico, y que los campos E y B tienen la mismavariacion armonica, podemos tratar de obtener este promedio como un producto de los campos complejos en dondese anule dicho factor armonico, lo cual nos induce a utilizar un campo con el complejo conjugado del otro. CalculemosRe (E×H∗)

E×H∗ = [E1 + iE2] e−iωt × [H1 − iH2] e

iωt

= E1 ×H1 − iE1 ×H2 + iE2 ×H1 +E2 ×H2

la parte real esRe (E×H∗) = E1 ×H1 +E2 ×H2

de lo cual se deduce que

〈ReE×ReH〉 = 1

2Re (E×H∗)

por tanto

〈S〉 = c

8πRe (E×H∗) (16.11)

otra cantidad que es importante evaluar es la densidad de energıa ε, la cual para campos reales se escribe como

ε =1

8π(E ·D+B ·H)

y en el caso de campos complejos tenemos

ε =1

8π(ReE ·ReD+ReB · ReH)

su promedio temporal esta dado por

〈ε〉 = 1

8π〈ReE ·ReD+ReB ·ReH〉

con un procedimiento analogo podemos encontrar que

〈ε〉 = Re

16π(E ·D∗ +B ·H∗) (16.12)

estos dos resultados provienen del siguiente resultado general: Para cualquier par de campos complejos F y G con lamisma variacion armonica temporal, el promedio temporal de su producto esta dado por

〈ReF⊗ReG〉 = 1

2Re〈F ⊗G∗〉 = 1

2Re (F∗ ⊗G) (16.13)

donde ⊗ denota producto escalar o producto vectorial. Si queremos calcular cantidades analogas para el momentolineal tales como el promedio temporal de la densidad de momento lineal 〈g〉, y el promedio temporal de la densidadde flujo de momento lineal 〈T〉 es necesario desarrollar relaciones analogas para diadas.

Se puede demostrar que 〈Re (E×H)〉 = Re〈E ×H〉 = 0 de modo que estas cantidades no sirven para describir〈S〉.

¿Como plantear el anterior teorema para campos complejos no monocromaticos?.


16.4.1. Definicion de impedancia en terminos de los campos

Es util disponer de una definicion de terminos como la resistencia y la reactancia que nos son familiares en lateorıa de circuitos, a partir de los campos. Es bien conocido que las reglas de Kirchhoff provienen de la conservacionde la energıa, la cual se manifiesta en los campos a traves del vector de Poynting. Si estos campos, ası como susfuentes, varıan armonicamente de la forma expresada en la seccion anterior, podemos utilizar los resultados de dichaseccion para escribir por ejemplo, el promedio temporal del producto J ·E usando (16.13)

〈J ·E〉 = 1

2Re (J∗ · E) (16.14)

veamos como quedan las ecuaciones de Maxwell (complejas) cuando asumimos campos armonicos de la forma plan-teada en (16.10)

∇×E = −1

c

∂B

∂t, ∇×H =

4π

cJ+

1

c

∂D

∂t

∇×E = −1

c

∂[B0 (r) e

−iωt]

∂t, ∇×H =

4π

cJ+

1

c

∂[D0 (r) e

−iωt]

∂t

∇×E =iω

cB0 (r) e

−iωt , ∇×H =4π

cJ− iω

cD0 (r) e

−iωt

con lo cual queda finalmente

∇×E =iω

cB , ∇×H =

4π

cJ− iω

cD (16.15)

En virtud del resultado (16.14) definimos la potencia (compleja) entregada por los campos a las cargas, como

1

2

∫

V(J∗ · E) dV

ya que (16.14) garantiza que la parte real de este termino corresponde a la potencia real. En lo que sigue se hace undesarrollo similar al de la seccion 16.1, despejando la densidad de corriente en (16.15), se obtiene

1

2

∫

V(J∗ · E) dV =

1

2

∫

V

c

4πE ·[∇×H∗ − iω

cD∗]dV =

1

2

∫

V

c

4π

[E · (∇×H∗)− iω

cE ·D∗

]dV

usando la identidad

∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)

se tiene que1

2

∫

V(J∗ ·E) dV =

1

2

∫

V

c

4π

[∇ · (H∗ ×E) +H∗ · (∇×E)− iω

cE ·D∗

]dV

y usando (16.15) queda

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV =

1

2

∫

V

c

4π

[−∇ · (E×H∗) +H∗ ·

(iω

cB

)− iω

cE ·D∗

]dV

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV =

1

8π

∫

V[−∇ · (cE×H∗)− iω (E ·D∗ −B ·H∗)] dV (16.16)

claramente, si definimos el vector de Poynting complejo

S ≡ c

8πE×H∗

obtenemos el promedio expresado por la Ec. (16.11) tomando la parte real de la expresion anterior. De identica forma,podemos identificar las densidades de energıa electrica y magnetica armonicas

εe =1

16π(E ·D∗) ; εm =

1

16π(B ·H∗)


consistentes con (16.12), con estas definiciones del vector de Poynting y las densidades de energıa, la Ec. (16.16)queda en la forma

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV =

∫

V[−∇ · S− 2iω (εe − εm)] dV

con lo cual se llega a la relacion

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV + 2iω

∫

V(εe − εm) dV +

∮(S · n) da = 0 (16.17)

Esta ecuacion expresa la conservacion de la energıa para un promedio temporal de campos armonicos y es analoga ala ecuacion que resultarıa de tomar el promedio temporal en (16.5), y asumiendo variacion armonica en el tiempo. Laparte real esta relacionada con la conservacion de la energıa para la media temporal de las magnitudes involucradas,en tanto que la parte imaginaria esta relacionada con la energıa almacenada o reactiva y su flujo alternante???. Enel caso en que εe y εm son reales (e.g. conductores perfectos, dielectricos sin perdidas etc.) la parte real de (16.17) es

1

2

∫

VRe (J∗ ·E) dV +

∮Re (S · n) da = 0

el primer termino es el promedio temporal del trabajo por unidad de tiempo realizado por el campo sobre las cargasdentro de V , en tanto que el segundo corresponde al flujo medio de potencia hacia adentro del volumen V . Este esel resultado que se obtendrıa con el uso del teorema original de Poynting Ec. (16.5) asumiendo que la densidad deenergıa ε posee una parte estacionaria y una parte armonica en el tiempo, ya que al aplicar el promedio sobre laparte armonica de la energıa se anula la contribucion de ε. En el caso en que existen perdidas o acumulaciones en loscomponentes del sistema (e.g. cuando asumimos que tambien pueden entrar o salir partıculas del volumen, o cuandotenemos medios como condensadores o inductancias que pueden almacenar energıa electrica o magnetica), el segundotermino en (16.17) tiene una parte real (que corresponde a la parte imaginaria de εe− εm en virtud del numero i queaparece multiplicando a la expresion).

Es muy importante reiterar que el teorema de Poynting para campos complejos expresado en la Ec. (16.17) soloes valido para promedios temporales y no para medidas instantaneas de energıa o flujo11. Tambien es importantemencionar que el teorema se basa en que los campos tengan una componente estacionaria y una componente armonicaen el tiempo.

El teorema de Poynting complejo puede usarse para definir la impedancia de entrada entre las terminales de unsistema electromagnetico pasivo, lineal con dos terminales. Imaginemos un sistema electromagnetico confinado alvolumen V , limitado por la superficie S, y del cual asoman solo dos terminales. La corriente y la tension de entrada(complejas) son Vi e Ii. De nuevo tomando el resultado (16.13), la potencia compleja de entrada se puede escribircomo 1

2I∗i Vi. Esta potencia se puede escribir en funcion del vector de Poynting usando (16.17), pero aplicandolo al

espacio exterior a S, quedando1

2I∗i Vi = −

∮

Si

(S · n) da (16.18)

donde n es el vector normal dirigido hacia afuera de V . Ademas se ha supuesto que el flujo de entrada de potenciase da solo a traves de la superficie Si (seccion transversal por donde atraviesan los terminales).

Ahora bien, utilizando (16.17), definido en el volumen V delimitado por la superficie S. El miembro derecho en(16.18) se puede escribir en terminos de las integrales en los campos definidos en el interior de V

1

2I∗i Vi =

1

2

∫

V(J∗ ·E) dV + 2iω

∫

V(εe − εm) dV +

∮

S−Si

(S · n) da = 0 (16.19)

esta integral de superficie corresponde a un flujo de potencia que sale de la superficie S′ = S−Si, es decir descontandola zona de entrada de las terminales. Si S′ se hace tender a infinito, la integral es real y representa la perdida porradiacion, esta perdida es usualmente pequena en el regimen de bajas frecuencias, en tal caso todo el flujo de potenciase puede considerar como aquel que pasa por Si.

11Estrictamente, lo que es valido no es la ecuacion (16.17), sino el promedio temporal de la ecuacion.


Ahora bien, definimos la impedancia de la manera usual i.e. Vi ≡ ZiIi. Usando (16.19), con Z ≡ R− iX podemosobtener la resistencia y la reactancia del sistema electromagnetico pasivo, lineal y de dos terminales como

R =1

|Ii|2Re

∫

V(J∗ ·E) dV + 2

∮

S−Si

(S · n) da+ 4ω Im

∫

V(εm − εe) dV

(16.20)

X =1

|Ii|24ω Re

∫

V(εm − εe) dV − Im

∫

V(J∗ · E) dV

(16.21)

donde hemos supuesto que el flujo de potencia saliente a traves de S, es real. El segundo termino del miembro derechoen (16.20), corresponde a la resistencia de radiacion que es usualmente importante a frecuencias elevadas. A bajasfrecuencias se puede considerar que la disipacion ohmica es el unico efecto apreciable de perdida de energıa, en cuyocaso la impedacia se simplifica

R ≃ 1

|Ii|2∫

Vσ |E|2 dV ; X ≃ 4ω

|Ii|2∫

V(εm − εe) dV

donde σ es la conductividad real y las densidades de energıa tambien se consideran reales. La resistencia como serepresenta usualmente en los circuitos es una cantidad que solo nos da cuenta de las perdidas ohmicas por calor en elcircuito. En el caso de una bobina, la energıa almacenada es basicamente magnetica de modo que la reactancia X espositiva (X = ωL). Por otro lado, en un condensador la energıa almacenada es mayoritariamente electrica de modoque la reactancia es negativa (X = −1/ωC). de una manera similar se pueden definir la conductancia y susceptanciade una admitancia compleja Y = G− iB de una red pasiva lineal de dos terminales, esto se logra tomando la partecompleja de (16.17), a bajas frecuencias donde se pueden despreciar las perdidas por radiacion se tiene

G ≃ 1

|V1|2∫

Vσ |E|2 dV ; B ≃ − 4ω

|V1|2∫

V(εm − εe) dV

Capıtulo 17

Soluciones de la ecuacion de onda

17.1. Unicidad de la ecuacion de ondas

Consideremos por simplicidad un campo ondulatorio escalar ψ (r, t) que satisface la ecuacion de onda inhomogenea(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t) (17.1)

si el campo es vectorial, tendremos una ecuacion de este estilo para cada componente. De la misma forma, lascondiciones iniciales y de frontera serıan como las presentadas aquı, pero para cada componente.

Asumamos que conocemos las siguientes condiciones

ψ (r, 0) = f1 (r) ;∂ψ (r, 0)

∂t= f2 (r)

ψ (r, t)|S = h (r, t) (17.2)

las dos primeras ecuaciones corresponden a condiciones iniciales, la tercera es una condicion de frontera definidaen alguna superficie cerrada S. Por otro lado, el valor inicial de la funcion de onda sobre la frontera se puededeterminar tanto con las condiciones de frontera como con las condiciones iniciales, esto nos lleva a una ecuacion decompatibilidad

ψ(r, 0+

)∣∣S= h

(r, 0+

)= f1 (r)|S

fijadas estas condiciones la solucion es unica1.Supongamos que existen dos soluciones ψ1, ψ2 que satisfacen la misma ecuacion de onda inhomogenea y las

mismas condiciones iniciales y de frontera. Definimos U = ψ1 − ψ2, claramente esta funcion obedece la ecuacion deonda homogenea (

∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)U = 0 (17.3)

cada solucion reproduce las mismas condiciones de frontera

ψ1 (r, 0) = ψ2 (r, 0) = f1 (r) ;∂ψ1 (r, 0)

∂t=∂ψ2 (r, 0)

∂t= f2 (r)

ψ1 (r, t)|S = ψ2 (r, t)|S = h (r, t) (17.4)

De esto se sigue que

U (r, 0) = 0 ;∂U (r, 0)

∂t= 0 ; U (r, t)|S = 0 (17.5)

la primera de estas ecuaciones nos dice que U (r, t) es nula para t = 0 en todo el espacio, de modo que el gradienteevaluado en t = 0 nos da cero tambien, ya que dicho operador no mueve la coordenada temporal. De manera similar,puesto que U (r, t) definido en la frontera es cero para todo tiempo, la derivada parcial respecto al tiempo definidaen la frontera es cero.

∇U (r, 0) = 0 ;∂U (r, t)

∂t

∣∣∣∣S

= 0 (17.6)

1La notacion 0+ nos enfatiza que la variable tiempo evoluciona hacia el futuro.

291

292 CAPITULO 17. SOLUCIONES DE LA ECUACION DE ONDA

multiplicando (17.3) por U ≡ ∂U/∂t

U∇2U − 1

c2U∂2U

∂t2= 0 ⇒

U∇ · (∇U)− 1

c2U∂U

∂t= 0

∇ ·(U∇U

)−∇U · ∇U − 1

c2∂

∂t

(U2

2

)= 0

∇ ·(U∇U

)− 1

2

∂

∂t

[(∇U)2 +

U2

c2

]= 0

si la superficie S (sobre la cual se define la condicion de frontera), es cerrada y delimita un volumen V , podemosintegrar sobre este volumen

∫ [∇ ·(U∇U

)]dV − 1

2

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0

usando el teorema de la divergencia

∫ (U∇U

)· dS− 1

2

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0 (17.7)

la segunda de las ecs. (17.6) nos dice que U es cero en la frontera. Por tanto la integral de superficie se anula

d

dt

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = 0

la integral no depende de las variables espaciales ya que estas han sido integradas, tampoco depende del tiempopuesto que la derivada temporal es cero, por tanto

∫ [(∇U)2 +

U2

c2

]dV = k

donde k es constante en el espacio y el tiempo, como esto es valido para todo tiempo, se concluye que el integrandoes constante en el tiempo [

(∇U)2 +U2

c2

]= c (r)

donde c (r) es independiente del tiempo. En particular, su valor es el mismo si evaluamos este integrando en t = 0.

(∇U)2∣∣∣t=0

+U2

c2

∣∣∣∣∣t=0

= c (r)

pero la primera de las Ecs. (17.6) nos dice que ∇U = 0 en t = 0. Ademas la segunda de las Ecs. (17.5) nos dice queU = 0 en t = 0. De lo cual queda

c (r) = 0

de lo cual se deduce que U = cte en el espacio y el tiempo. Finalmente la primera de las Ecs. (17.5) nos dice queU (r, 0) = 0 de modo que dicha constante vale cero. Por tanto ψ1 = ψ2 y la solucion es unica.

En conclusion, la ecuacion inhomogenea (17.1) tiene solucion unica si se especifican las condiciones iniciales y defrontera dadas en la ec. (17.4).

Se pueden especificar condiciones de Newmann en donde en lugar de ψ (r, t)|S se conoce ∂ψ∂n

∣∣∣Slo cual conduce a

la condicion ∂U(r,t)∂n

∣∣∣S= 0. La integral de superficie definida en (17.7) tambien se anularıa y el resto del procedimiento

es similar.

17.2. SOLUCION A LA ECUACION DE ONDA HOMOGENEA 293

Discusion (chequear) para garantizar la unicidad hemos supuesto que la frontera define una superficie cerrada,que delimita un volumen, de lo contrario no podemos usar el teorema de la divergencia. Tambien esta implıcito quedicha superficie es fija en el tiempo. Si esta superficie es finita solo podemos garantizar unicidad en el interior deella. Pues la unicidad proviene de resolver la ecuacion en el interior del volumen definido por la superficie. Cuandola onda cruza esta superficie debido a su evolucion temporal, seran necesarias nuevas condiciones de frontera pararesolver el problema para tiempos posteriores.

El dominio de la solucion es una region en el espacio-tiempo 3+1 dimensional. La unicidad requiere la aplicacionde condiciones de cauchy con frontera abierta en la direccion temporal (futuro)

Nota: (chequear) la frontera temporal deja de ser abierta si la onda puede cruzar la superficie donde se define lafrontera de acuerdo con la discusion anterior.

Es importante notar que la inclusion de la coordenada temporal nos introduce un concepto nuevo hasta elmomento, causalidad. Pues esta coordenada tiene una flecha de propagacion, a diferencia de las coordenadasespaciales. Esto tendra profundas implicaciones en las soluciones.

17.2. Solucion a la ecuacion de onda homogenea

17.2.1. Coordenadas cartesianas

Una dimension

En el caso unidimensional la ecuacion de onda se reduce a(∂2

∂x2− 1

c2∂2

∂t2

)ψ (x, t) = 0

ψ (x, t) ≡ X (x)T (t)

T (t)∂2X (x)

∂x2− 1

c2X (x)

∂2T (t)

∂t2= 0

dividiendo por X (x)T (t)

X”

X− T

c2T= 0 ⇒ X”

X=

T

c2T= −k2

X” + k2X = 0 ; T + (kc)2 T = 0

la solucion es

X = Aeikx +Be−ikx ; T = Ceikct +De−ikct

ψ (x, t) =[Aeikx +Be−ikx

] [Ceikct +De−ikct

]

tambien es posible que k = 0 aunque estas soluciones no son de tipo ondulatorio. En general y dependiendo de lascondiciones iniciales y de frontera, el valor de k puede depender de uno o mas ındices discretos o contınuos (y portanto, tambien las constantes A,B,C,D). En tal caso, la solucion mas general sera la superposicion en donde sebarran todos los valores posibles de estos ındices. Esto ultimo debido a que las soluciones de esta ecuacion lineal yhomogenea obedecen a un principio de superposicion.

Nota: (chequear) Hemos asumido la hipotesis de separacion de variables. Con base en esta hipotesis, hemosencontrado que existen soluciones y en general, dado que la ecuacion es lineal y homogenea la superposicion de lassoluciones tambien es solucion. Por tanto, si hallamos todas las soluciones posibles una superposicion arbitraria detodas ellas es la solucion mas general. Sin embargo, es necesario demostrar que no existen otras soluciones linealmenteindependientes de las que se obtienen por separacion de variables2. A priori ¿es posible pensar en que existieransoluciones de la ec. de Laplace, linealmente independientes de las que se obtienen por separacion de variables?.

2Dado que la solucion general en este caso contiene a las funciones exponenciales complejas en x,t. Podrıa pensarse que cualquier funcionde x, t (y por tanto cualquier solucion) se puede generar puesto que estas exponenciales forman una base completa. Sin embargo, paragenerar una funcion arbitraria de x,t se requiere que en general la expansion en f (x) tenga un ındice independiente del ındice que expandeg (t). Pero en este caso el ındice asociado a ambas funciones es el mismo de modo que no se pueden hacerexpansiones independientes enx, t de modo que no se puede garantizar la completez de las soluciones con este argumento. En la ecuacion de Laplace es mas claro quela solucion no genera una base completa para generar cualquier funcion (aunque esto no significa que no se puedan generar todas lassoluciones), (ver por ejemplo la solucion de Laplace en coordenadas polares),


Example 20 Encontrar la forma especıfica de ψ (x, t) para las siguientes condiciones iniciales y de frontera

ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0, ψ (x, 0) = f (x) ,∂ψ (x, 0)

∂t= 0

reemplazando las condiciones de contorno en la solucion general

ψ (0, t) = (A+B)(Ceikct +De−ikct

)= 0

ψ (L, t) =(AeikL +Be−ikL

)(Ceikct +De−ikct

)= 0

y como esto debe ser valido para todo tiempo, se tiene que A = −B y

A(eikL − e−ikL

)= 0 ⇒ sin kL = 0 ⇒ kn =

nπ

L

la otra solucion, A = 0 es trivial y se puede ver que no satisface las otras condiciones a menos que f (x) = 0. Lasolucion es de la forma

ψn (x, t) =(Cne

iknct +Dne−iknct

)sin knx

la forma mas general es entonces una superposicion de estas soluciones

ψ (x, t) =∞∑

n=1

(Cne

iknct +Dne−iknct

)sin knx

∂ψ (x, t)

∂t=

∞∑

n=1

iknc(Cne

iknct −Dne−iknct

)sin knx

tomando la condicion inicial en la derivada

∂ψ (x, 0)

∂t=

∞∑

n=1

iknc (Cn −Dn) sin knx = 0 ⇒ Cn = Dn

⇒ ψ (x, t) =

∞∑

n=1

Cn cos knct sin knx

finalmente usamos la condicion inicial en la funcion

ψ (x, 0) =

∞∑

n=1

Cn sin knx = f (x)

∞∑

n=1

Cn1

L

∫ L

−Lsin knx sin kmx dx =

1

L

∫ L

−Lf (x) sin kmx dx

∞∑

n=1

Cnδnm =1

L

∫ L


Cm =1

L

∫ L


la solucion queda

ψ (x, t) =1

L

∞∑

n=1

[∫ L


]cos knct sin knx

debemos tener en cuenta que f (x) solo esta definido en el intervalo [0, L].

17.2. SOLUCION A LA ECUACION DE ONDA HOMOGENEA 295

Tres dimensiones

La ecuacion queda (∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2− 1

c2∂2

∂t2

)ψ (x, y, z, t) = 0

ψ = X (x)Y (y)Z (z)T (t)

Y (y)Z (z)T (t)∂2X (x)

∂x2+X (x)Z (z)T (t)

∂2Y (y)

∂y2+X (x)Y (y)T (t)

∂2Z (z)

∂z2

− 1

c2X (x)Y (y)Z (z)

∂2T (t)

∂t2= 0

dividiendo por X (x)Y (y)Z (z)T (t)

X”

X︸︷︷︸−α2

+Y ”

Y︸︷︷︸−β2

+Z”

Z︸︷︷︸−γ2

− T”

c2T︸︷︷︸−k2

= 0

−α2 − β2 − γ2 −(−k2

)= 0 ⇒ −γ2 = α2 + β2 − k2

hemos elegido que todas las soluciones sean armonicos como corresponde a un movimiento ondulatorio (chequear)en todo caso de nuevo las constantes α, β, γ, k pueden depender de ındices y la solucion es superposicion de ondasplanas, esta superposicion se vuelve completa incluso para funciones no periodicas si aparecen ındices contınuos.

X” = −α2X ⇒ X = Aeiαx +Be−iαx

Y ” = −β2Y ⇒ Y = Ceiβy +De−iβy

Z” = −γ2X ⇒ X = Eeiγz + Fe−iγz

T = −k2T ⇒ T = Geikct +He−ikct

Hay que anadir la posibilidad de que alguno de los parametros se vuelva cero, ya que estas soluciones hacen parte dela superposicion general. Ver un analisis semejante en la seccion 3.5.

17.2.2. Coordenadas esfericas

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = 0 ⇒

1

r2∂

∂r

(r2∂ψ

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂ψ

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂ϕ2− 1

c2∂2ψ

∂t2= 0

Usando separacion de variables

ψ (r, t) = R (r)Y (θ, ϕ)T (t)

y dividiendo la ecuacion por esta misma cantidad

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Y sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂Y

∂θ

)+

1

r2Y sin2 θ

∂2Y

∂ϕ2− T

c2T= 0

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)+

1

r2Y

(−L2Y

)− T

c2T= 0

por otro lado el cociente Tc2T

es el unico que depende de la variable temporal, los otors factores dependen de lascoordenadas espaciales de modo que

T

c2T= −k2 ⇒ T + k2T = 0 ⇒ T = Ceikct +De−ikct


y la ecuacion queda

1

r2R

d

dr

(r2dR

dr

)− L2Y

r2Y+ k2 = 0

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)− L2Y

Y+ k2r2 = 0

haciendo L2Y = l (l + 1)Y ????. Nos queda

1

R

d

dr

(r2dR

dr

)+ k2r2 − l (l + 1) = 0

1

R

[2rdR

dr+ r2

d2R

dr2

]+ k2r2 − l (l + 1) = 0

multiplicando por R/r2

d2R

dr2+

2

r

dR

dr− l (l + 1)R

r2+ k2R = 0

esta ecuacion es semejante a la de Bessel, y de por sı puede convertirse en una ecuacion de Bessel mediante latransformacion R = µ/

√r

dR

dr=

d

dr

(µ√r

)=

1√r

dµ

dr− µ

2 (√r)

3 =1√r

(dµ

dr− µ

2r

)

d2R

dr2=

d

dr

[1√r

(dµ

dr− µ

2r

)]= − 1

2 (√r)

3

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

d

dr

(dµ

dr− µ

2r

)

d2R

dr2= − 1

2r√r

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)

reemplazamos en la ecuacion

− 1

2r√r

(dµ

dr− µ

2r

)+

1√r

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)

+2

r

1√r

(dµ

dr− µ

2r

)− l (l + 1)µ

r2√r

+k2µ√r

= 0

multiplicando por√r

− 1

2r

(dµ

dr− µ

2r

)+

(d2µ

dr2+

µ

2r2− 1

2r

dµ

dr

)+

2

r

(dµ

dr− µ

2r

)− l (l + 1)µ

r2+ k2µ = 0

organizando

d2µ

dr2+

[− 1

2r− 1

2r+

2

r

]dµ

dr+

[1

4r2+

1

2r2− 1

r2− l (l + 1)

r2+ k2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[− 1

4r2− l (l + 1)

r2+ k2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

14 + l (l + 1)

r2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

14 + l2 + l

r2

]µ = 0

d2µ

dr2+

1

r

dµ

dr+

[k2 −

(l + 1

2

)2

r2

]µ = 0 (17.8)

17.3. SOLUCION A LA ECUACION DE ONDA INHOMOGENEA 297

Esta ultima corresponde a una ecuacion de Bessel cuya solucion se escribe

µ = AJl+ 12(kr) +BNl+ 1

2(kr)

y volviendo a la solucion que necesitamos

R (r) =µ√r=AJl+ 1

2(kr)

√r

+BNl+ 1

2(kr)

√r

Definimos las funciones de Bessel y Hankel esfericas como:

l (x) =

√π

2xJl+ 1

2(x) , ηl (x) =

√π

2xNl+ 1

2(x)

h(1,2)l (x) = l (x)± iηl (x)

l (x) , ηl (x) son las funciones esfe’ricas de Bessel y h(1,2)l (x) son las de Hankel.

La solucion queda entonces

R (r) = Al (kr) +Bηl (kr) = A′h(1)l (kr) +B′h(2)l (kr)

la solucion completa se escribe como

ψ (r, t) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l[Alml (kr) +Blmηl (kr)]Ylm (θ, ϕ)

[Clme

ikct +Dlme−ikct

]

ψ (r, t) =

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[A′h(1)l (kr) +B′h(2)l (kr)

]Ylm (θ, ϕ)

[Clme

ikct +Dlme−ikct

]

los coeficientes se evaluan a traves de las condiciones iniciales y de frontera. La solucion mas general podrıa contenera su vez una superposicion sobre diferentes valores permitidos de k2, estos valores permitidos podrıan estar en elcontınuo o en el discreto, tambien es necesario incluır explıcitamente la posibilidad de que k2 sea cero.

En particular si hay simetrıa esferica se hace l = m = 0, y la funcion de ondas se reduce a

ψ (r, t) =[A′h(1)0 (kr) +B′h(2)0 (kr)


]

y teniendo en cuenta que

h(1,2)0 (kr) = ∓ie

ikr

kr

se obtiene

ψ (r, t) =1

r

[A′eikr +B′e−ikr


]

esta solucion tiene la forma genericae±ik(r±ct)

r

que caracteriza a una onda esfericamente simetrica.

17.3. Solucion a la ecuacion de onda inhomogenea

17.3.1. Funcion de Green para la ecuacion de ondas

La ecuacion de onda inhomogenea

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t)


describe la propagacion de un campo con velocidad c, asumiendo que no existe dispersion (o que la onda asociada esmonocromatica). f (r, t) es una distribucion de fuentes que se asume conocida. A dicha ecuacion se le puede definiruna funcion de Green asociada

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(r, r′, t, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)

A esta solucion debemos ponerle una restriccion de causalidad. Esto se hace mediante el requerimiento de que G = 0para t < t′.

G (r, r′, t, t′) describe entonces la propagacion de una perturbacion originada en r′, t′. Para t < t′ no hay propa-gacion y para t > t′ hay un frente unico propagandose esfericamente ??? a velocidad c.

Asumiendo que se ha obtenido de algun modo la funcion de Green asociada, calculemos la funcion de onda quees solucion de la ecuacion inhomogenea

(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)= −4πf

(r′, t′

)

multiplicamos la ecuacion de Green por ψ (r′, t′) y la ecuacion de onda por G (r, r′, t, t′)

[(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)

[(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)= −4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

restamos ambas ecuaciones

[(∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)

−[(

∇′2 − 1

c2∂2

∂t′2

)ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

separamos la parte espacial y luego la temporal como

[∇′2G

(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)−[∇′2ψ

(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

−[1

c2∂2

∂t′2G(r, r′, t, t′

)]ψ(r′, t′

)+

1

c2

[∂2

∂t′2ψ(r′, t′

)]G(r, r′, t, t′

)

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

esta expresion se puede escribir como

∇′ ·[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)+ 4πf

(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)

integrando en dV ′dt′ (la integral en t′ va desde t′ = t0 hasta t′ = t1 con t1 > t esto es necesario para que en laexpresion que contiene al ψ (r′, t′) el intervalo temporal pase por el polo t = t′),

∫ ∇′ ·

[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]dV ′dt′

= −4π

∫ [δ(r− r′

)δ(t− t′

)ψ(r′, t′

)]dV ′dt′

+4π

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′


quedando∫

∇′ ·[ψ∇′G−G∇′ψ

]+

1

c2∂

∂t′

[G∂ψ

∂t′− ψ

∂G

∂t′

]dV ′dt′

= −4πψ (r, t) + 4π

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

de aquı se puede despejar la funcion de onda

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∇′ ·

[G∇′ψ − ψ∇′G

]+

1

c2∂

∂t′

[ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

]dV ′dt′

la integral∫

∇′ · [G∇′ψ − ψ∇′G] + 1c2

∂∂t′

[ψ ∂G∂t′ −G∂ψ

∂t′

]dV ′dt′ se puede simplificar usando el teorema de la diver-

gencia para el primer integrando y teniendo en cuenta que el segundo termino se puede integrar en el tiempo

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′ +

1

4π

∫∇′ ·

[G∇′ψ − ψ∇′G

]dV ′dt′

+1

4πc2

∫∂

∂t′

[ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

]dV ′dt′

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ [G∇′ψ − ψ∇′G

]· dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

)∣∣∣∣t′=t1

t′=t0

dV ′

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∫ t′=t1

t′=t0

[G∂ψ

∂n′− ψ

∂G

∂n′

]dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ∂G

∂t′−G

∂ψ

∂t′

)∣∣∣∣t′=t1

t′=t0

dV ′

La causalidad me exige que G = 0 para t′ > t entonces G|t′=t1>t = 0, con lo cual el termino correspondiente al lımitesuperior en la ultima integral se anula de modo que

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)]dV ′dt′

+1

4π

∫ ∫ t′=t1

t′=t0

[G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂n′

−ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂n′

]dS′dt′

+1

4πc2

∫ (ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂t′

−G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂t′

)∣∣∣∣t′=t0

dV ′ (17.9)

la integracion temporal continua siendo en principio desde t0 hasta t1 > t, sin embargo dado que G = 0 en t′ > t 3

podemos partir este intervalo en t0, t y t, t1 en el segundo intervalo no hay contribucion justo por esta condicion decausalidad, de modo que la integracion se puede hacer en el intervalo t0, t.

3Observese que si G 6= 0 para t′ > t donde t es el tiempo en que se evalua la funcion de onda, implicarıa que eventos futuros (en t′)influyen en el pasado (en t), violando la causalidad.


Tanto ψ como G obedecen ecuaciones de onda inhomogeneas, las cuales tienen solucion unica bajo las condicionesiniciales y de frontera que ya se discutieron. Para la funcion de onda debemos conocer en consecuencia

ψ (r, t)|t0 ,∂ψ (r, t)

∂t

∣∣∣∣t0

, ψ (r, t)|S o∂ψ (r, t)

∂n

∣∣∣∣S

por razones similares al caso estatico, no se pueden especificar condiciones de Dirichlet y Neumann simultaneamente,debemos trabajar con condiciones de Dirichlet (GS = 0) o de Neumann ( ∂G∂n

∣∣S= −4π

S ).Una vez conocida G, son calculables las derivadas que se requieren para determinar ψ (r, t) de modo que supo-

niendo conocido el termino inhomogeneo f (r, t), podemos evaluar ψ (r, t) por medio de la Ec. (17.9).

17.3.2. Funcion de Green y transformada de Fourier

Una forma alterna de despejar ψ se realiza haciendo una transformada de Fourier de la ecuacion de onda, que laconvierte en la ecuacion de Helmholtz

Comenzando con (∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)ψ (r, t) = −4πf (r, t)

y tomando las transformadas de fourier de la funcion de ondas y de la funcion f (r, t)4

ψ (r, t) =1√2π

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω ; f (r, t) =

1√2π

∫ ∞

−∞F (r, ω) e−iωt dω (17.10)

la ecuacion de onda queda(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω = −4π

∫ ∞

−∞F (r, ω) e−iωt dω

∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω − 1

c2

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω)

[∂2

∂t2e−iωt

]dω = −4π

∫ ∞


∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω +

ω2

c2

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω = −4π

∫ ∞


∫ ∞

−∞

[∇2Ψ(r, ω) +

ω2

c2Ψ(r, ω)

]e−iωt dω = −4π

∫ ∞


igualando componente a componente

∇2Ψ(r, ω) +ω2

c2Ψ(r, ω) = −4πF (r, ω)

definiendo k2 ≡ ω2/c2 (∇2 + k2

)Ψ(r, ω) = −4πF (r, ω)

Donde k describe el numero de onda asociado a la frecuencia ω, en general la relacion entre k y ω es arbitraria(salvo algunas restricciones impuestas por la causalidad) y podemos escribir k = ω/c (ω), de manera que en generalla velocidad de la onda que se propaga puede ser funcion de su frecuencia. La forma especıfica de c (ω) depende delas caracterısticas del medio en que la onda se propaga y se conocen como relacion de dispersion. Para esta ecuacionde onda en el espacio (k, ω), definimos una ecuacion de green asociada

(∇2 + k2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

observese que hemos llegado de nuevo a una funcion de green que solo depende de la posicion pues la dependenciacon ω es solo parametrica. Cambiando ∇2 → ∇′2 y las coordenadas por las primadas

(∇′2 + k2

)Ψ(r′, ω

)= −4πF

(r′, ω

)(∇′2 + k2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

4Recordemos que esto basicamente equivale a hacer una expansion de estas funciones en una base completa (ondas planas temporales)en donde los coeficientes son los pesos asociados a cada vector unitario.


5donde hemos usado la simetrıa de la funcion de Green y de la delta de Dirac. Multiplicando estas ecuaciones por Gy Ψ

[(∇′2 + k2

)Ψ(r′, ω

)]G(r, r′, ω

)= −4πF

(r′, ω

)G(r, r′, ω

)[(∇′2 + k2

)G(r, r′, ω

)]Ψ(r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

restando

[(∇′2 + k2

)Ψ]G−

[(∇′2 + k2

)G]Ψ = −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

[∇′2Ψ

]G+ k2ΨG−

[∇′2G

]Ψ− k2GΨ = −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

[∇′2Ψ

]G−

[∇′2G

]Ψ = −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

∇′ ·[(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]= −4πFG+ 4πδ

(r− r′

)Ψ(r′, ω

)

integrando en dV ′ y usando teorema de la divergencia

∫ ∇′ ·

[(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]dV ′ = −4π

∫FG dV ′

+4π

∫δ(r− r′

)Ψ(r′, ω

)dV ′

∫ [(∇′Ψ

)G−

(∇′G

)Ψ]· dS′ + 4π

∫FG dV ′ = 4πΨ(r, ω)

quedando finalmente

Ψ (r, ω) =1

4π

∫ [(∂Ψ(r′, ω)

∂n′

)G(r, r′, ω

)−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)Ψ(r′, ω

)]dS′

+

∫F(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ (17.11)

usando las transformadas inversas de F (r′,ω) y Ψ (r′, ω) de la Ec. (17.10) resulta

Ψ (r, ω) =1

4π

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]eiωt

′

√2πdS′dt′

+1√2π

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)eiωt

′

dV ′dt′ (17.12)

y recordando que Ψ (r, ω) es un coeficiente de la transformada de Fourier de ψ (r′, t′) se tiene

ψ (r, t) =1√2π

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωt dω

ψ (r, t) =1√2π

1

4π√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′eiω(t

′−t)dt′ dω

+1√2π

1√2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t

′) dt′ dω

5Duda: en principio la funcion de Green cumple la propiedad G (r, r′) = G∗ (r, r′). En la ecuacion(∇2 + k2

)G (r, r′, ω) =

−4πδ (r− r′) podemos intercambiar variables primadas con no primadas y se obtiene(∇′2 + k2

)G (r′, r, ω) = −4πδ (r′ − r) y final-

mente(∇′2 + k2

)G∗ (r, r′, ω) = −4πδ (r′ − r). En esta ecuacion debe aparecer el conjugado. Al conjugar esta ecuacion resulta la ecuacion(

∇′2 + k2)G∗ (r, r′, ω) = −4πδ (r′ − r) ????.


ψ (r, t) =1

8π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′e−iω(t−t

′)dt′ dω

+1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t

′) dt′ dω (17.13)

definiendo

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞G(r, r′, ω

)e−iω(t−t

′)dω

nos queda

ψ (r, t) =1

4π

∫ ∞

−∞

[∫

S

(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, t, t′

)−(∂G (r, r′, t, t′)

∂n′

)ψ(r′, t′

)dS′]dt′

+

∫ ∞

−∞

∫

V ′

f(r′, t′

)G(r, r′, t, t′

)dV ′

dt′ (17.14)

Hay varias diferencias entre las Ecs. (17.9) y (17.14). Por ejemplo en (17.14) no aparece la integral

1

4πc2

∫ (ψ(r′, t′

) ∂G (r, r′, t, t′)∂t′

−G(r, r′, t, t′

) ∂ψ (r′, t′)∂t′

)∣∣∣∣t′=t0

dV ′.

Por otro lado, la integracion temporal en (17.14) se hace entre −∞, ∞6; en tanto que en la ecuacion (17.9) laintegracion temporal se realiza en el intervalo t0 y t1, esto explica la falta del termino integral, puesto que si laintegral temporal en (17.9) se extendiera hasta −∞ la ultima integral desaparecerıa.

17.3.3. Funcion de Green para espacio tiempo infinito

En virtud de la isotropıa del espacio tiempo (solo rota por la causalidad), la funcion de Green solo dependera dela diferencia de coordenadas espacio temporales.

Tomemos una expansion de Fourier (que nos indica que G→ 0 cuando r → ∞ o t→ ±∞).Escribimos la fucion delta de Dirac como

δ(r− r′

)=

1

(2π)3

∫eik·(r−r′)d3k

δ(t− t′

)=

1

2π

∫ ∞

−∞e−iω(t−t

′)dω

escribiendo la funcion de Green como

G(r, r′, t, t′

)=

∫g (k, ω) ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

reemplazando en la ecuacion de Green

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G(r, r′, t, t′

)= −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)

nos queda

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)∫g (k, ω) ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

= −4π1

(2π)4

[∫eik·(r−r′)d3k

] ∫ ∞

−∞e−iω(t−t

′)dω

6La integracion entre −∞, ∞ es indispensable para garantizar la completez en la transformada de Fourier.


∫g (k, ω)

[−k2 +

ω2

c2

]ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)] d3K dω

= − 1

4π3

∫ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)]d3k dω

con lo cual resulta

g (k, ω)

[−k2 +

ω2

c2

]= − 1

4π3⇒

g (k, ω) =1

4π3[k2 − ω2

c2

]

la funcion de Green queda entonces

G(r, r′, t, t′

)=

1

4π3

∫ei[k·(r−r′)−ω(t−t′)][k2 − ω2

c2

] d3k dω

utilicemos coordenadas esfericas en la variable k. Abreviando t− t′ ≡ τ, r− r′ = R, y |r− r′| = R nos queda

G(r, r′, t, t′

)=

1

4π3

∫ei[kR cos θ−ωτ ][k2 − ω2

c2

] k2 dk sin θ dθ dϕ dω

donde definimos θ el angulo entre R y k, y colocamos el eje Z a lo largo de R. Esta escogencia particular de eje Z, leda simetrıa azimutal al integrando (para esta integracion r y r′ son fijos, de modo que no hay contradiccion en estaescogencia). Integrando en ϕ

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π2

∫ei[kR cos θ−ωτ ][k2 − ω2

c2

] k2 dk sin θ dθ dω

hacemos el cambio de variable

µ = ikR cos θ ⇒ dµ = −ikR sin θ dθ

donde hemos considerado a k como una constante, de modo que este cambio de variable solo se usara para integraren θ.

G(r, r′, t, t′

)=

1

2π2

∫eµe−iωτ[k2c2−ω2

c2

]k2−ikR sin θ dθ

(−ikR) dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2

∫eµe−iωτ

[k2c2 − ω2]

dµ

(−ikR)k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2

∫eµdµ

ikR

e−iωτ

[ω2 − k2c2]k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

k [ω2 − k2c2]

[∫eµdµ

]k2 dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[eµ|µfµ0

]k dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[eikR cos θ

∣∣∣θ=π

θ=0

]k dk dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫e−iωτ

[ω2 − k2c2]

[e−ikR − eikR

]k dk dω


debemos tener presente que hemos escrito k ·R = kR cos θ, de tal modo que k esta en coordenadas esfericas, y portanto dicha variable va entre 0 e infinito

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk −

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]eikR k dk

dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk +

∫ 0

∞

e−iωτ

[ω2 − k2c2]eikR k dk

dω

haciendo k → −k en la segunda integral

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0

e−iωτ

[ω2 − k2c2]e−ikR k dk +

+

∫ 0

−∞

e−iωτ[ω2 − (−k)2 c2

]e−ikR (−k) d (−k)

dω

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞e−ikR

[∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − k2c2]

]k dk

la integral∫∞−∞

e−iωτ dω[ω2−k2c2]posee dos polos simples en ω = ±kc, y puede evaluarse pasando al plano complejo y des-

plazando los polos de z = ±kc a z = ± (kc+ iγ) con el fin de evitar que los polos queden sobre la trayectoria deintegracion. Con esta extension al plano complejo se tiene

e−izτ = e−iτ(ω+iη)

y utilizando el contorno cerrado de la parte inferior de dicho plano (η < 0) tenemos

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] =

∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − (kc+ iγ)2

] +∫

C

e−izτ dz[z2 − (kc+ iγ)2

]

donde la segunda integral se ejecuta en el semicirculo con radio infinito, primero demostraremos que esta integral escero, escribamos z = Aeiξ esta integral esta evaluada en A→ ∞, por otro lado, dz = iAeiξdξ ⇒ dz = izdξ

∣∣∣∣∣∣

∫

C

e−izτ dz[z2 − (kc+ iγ)2

]

∣∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣∫

C

e−izτ dzz

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ π

0e−izτ i dξ

∣∣∣∣ ≤∫ π

0

∣∣e−izτ∣∣ dξ

basta con demostrar que la ultima integral se va a cero (ver Kreyszig vol II pag 327, version espanola de la 6 Ed. delingles).

Por tanto la integral de lınea cerrada con radio infinito coincide con la integral que necesitamos

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] =

∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − (kc+ iγ)2

]

en este caso, unicamente el polo z = −kc− iγ esta contenido en el loop, de modo que

∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = −2πi res (z = −kc− iγ)

el menos se debe a que la integral de lınea se esta haciendo en el sentido de las agujas del reloj, este polo es simpleya que

e−izτ[z2 − (kc+ iγ)2

] =e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]

lımz→−(kc+iγ)

z − [− (kc+ iγ)] e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]= finito


∮e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = −2πi lım

z→−(kc+iγ)[z + (kc+ iγ)]

e−izτ

[z − (kc+ iγ)] [z + (kc+ iγ)]

= −2πi lımz→−(kc+iγ)

e−izτ

[z − (kc+ iγ)]= πi

ei(kc+iγ)τ

(kc+ iγ)

ahora tomamos el lımite cuando γ → 0.

lımγ→0

∫e−izτ dz[

z2 − (kc+ iγ)2] = πi lım

γ→0

ei(kc+iγ)τ

(kc+ iγ)= πi

eikcτ

kc

quedando finalmente ∫ ∞

−∞

e−iωτ dω[ω2 − k2c2]

= πieikcτ

kc

con τ > 0, lo cual se ha supuesto a lo largo de toda la integracion (la integral sobre el semicırculo infinito solo seanula cuando τ > 0). Recordemos que la condicion τ > 0 indica causalidad.

Volviendo a la funcion de Green, tenemos que

G(r, r′, t, t′

)=

c2

2π2iR

∫ ∞

−∞e−ikR

[πieikcτ

kc

]k dk

G(r, r′, t, t′

)=

c

2πR

∫ ∞

−∞e−ik(R−cτ) dk

G(r, r′, t, t′

)=

c

Rδ (R− cτ) =

1

Rδ

(τ − R

c

)

teniendo en cuenta que R > 0, τ > 0 es decir t > t′ a la funcion de Green

G(r, r′, t, t′

)=δ(t− t′ − |r−r′|

c

)

|r− r′|se le conoce como funcion de Green causal o retardada. Esta funcion corresponde a propagacion de un frente de ondaesferico con centro en r′, t′ y moviendose a velocidad c.

En el espacio tiempo la funcion de Green existe solo sobre la superficie determinada por t− t′ − |r−r′|c .

Es facil ver que con R = |r− r′| finito, G→ 0 para t→ ∞, y con t− t′ finito G→ 0 para r → ∞.Otra solucion matematicamente aceptable se obtiene desplazando los polos en la forma z → ± (kc− iγ) y con

τ < 0. Se obtiene (demostrar)

G =δ(τ + R

c

)

R

conocida como funcion de Green avanzada (τ < 0). Esta funcion de Green tiene cierto interes en Fısica teorica perono arroja soluciones fısicas en este contexto debido a que viola causalidad.

17.3.4. Condicion de radiacion

Por medio de la funcion de Green retardada o causal, se puede plantear una condicion general que deben satisfacerlos campos lejanos debidos a distribuciones arbitrarias de fuentes (cargas y/o corrientes) localizadas. Derivando lafuncion de Green respecto a t′, r′

∂G

∂t′

∣∣∣∣t′=0

=1

Rδ′(t− t′ −R/c

)∣∣∣∣t′=t0

=1

Rδ′(t′ − t+R/c

)∣∣∣∣t′=t0

=δ′ (t0 − t+R/c)

R

∇′G = ∇′[δ(−τ + R

c

)

R

]= δ

(−τ + R

c

)∇′[1

R

]+

1

R∇′[δ

(−τ + R

c

)]

=δ(−τ + R

c

)(r− r′)

R3+

1

R∇′[δ

(−τ + R

c

)]


por otro lado

∇′δ(t′ − t+R/c

)= uR

∂

∂Rδ(t′ − t+R/c

)= uR

∂

∂t′δ(t′ − t+R/c

) ∂t′∂R

ahora, dado que G solo existe si t′ − t+R/c = 0 de modo que ∂R∂t′ = −c tenemos

∇′δ(t′ − t+R/c

)= −uR

cδ′(t′ − t+R/c

)

el gradiente primado de la funcion de Green queda

∇′G =δ(τ + R

c

)(r− r′)

R3− RuR

Rc

δ′ (t′ − t+R/c)

R

∇′G =δ(τ + R

c

)R

R3− R

Rc

δ′ (t′ − t+R/c)

R

∇′G =R

R

[δ(−τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]

reemplazando en (17.9) y tomando t′ → −∞ (lo que hace desaparecer la ultima integral, ya que G→ 0 en t→ ±∞)se obtiene

ψ (r, t) =

∫ [f(r′, t′

) δ(τ + R

c

)

R

]dV ′dt′

+1

4π

∫ t′=t1

t′=−∞

∫

S

δ(τ + R

c

)

R∇′ψ

(r′, t′

)

−ψ(r′, t′

) RR

[δ(τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]· dS′dt′ (17.15)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫ t′=t1

t′=−∞

∫

S

δ(τ + R

c

)

R∇′ψ

(r′, t′

)

−ψ(r′, t′

) RR

[δ(τ + R

c

)

R2− δ′ (t′ − t+R/c)

Rc

]· dS′dt′ (17.16)

si ψ (r′, t′) = ψ (r′) e−iωt′

, introduciendo esta expresion

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

[∫

S

1

R∇′ψ

(r′)· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′

δ

(τ +

R

c

)dt′

− 1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R3· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′

δ

(τ +

R

c

)dt′

+1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R2c· dS′

] ∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′

δ′(t′ − t+R/c

)dt′ (17.17)

teniendo en cuenta que ∫ ∞

−∞f (x)

d

dxδ (x− x0) dx = −

(df (x)

dx

)

x=x0

∫ t′=t1

t′=−∞e−iωt

′

δ′(t′ − t+R/c

)dt′ = −

(d

dt′e−iωt

′

)

t′=t−R/c= iωe−iωt

′

∣∣∣t′=t−R/c

= iωe−iω(t−R/c)


ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

[∫

S

1

R∇′ψ

(r′)· dS′

]e−iω(t−R/c)

− 1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R3· dS′

]e−iω(t−R/c) +

1

4π

[∫

Sψ(r′) R

R2c· dS′

]iωe−iω(t−R/c) (17.18)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫

S

[∇′ψ (r′)R

− ψ(r′) R

R3+ iωψ

(r′) R

R2c

]e−iω(t−R/c) · dS′ (17.19)

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′ +

1

4π

∫

S

∇′ψ (r′)R

− R

R2ψ(r′) [ 1R

− iω

c

]e−iω(t−R/c) · dS′ (17.20)

si f (r′, t′) esta localizada, desde puntos suficientemente lejanos aparecera como una fuente puntual, teniendo ψ, portanto, la misma forma espacial que G, esto es si G ∼ 1/R tambien ψ ∼ 1/R para puntos lejanos. Este comportamientoya aparece en la primera integral, de modo que para S → ∞, la segunda integral debe anularse7, es decir

∂ψ (r)

∂n−(1

r− iω

c

)ψ (r) → 0 para r → ∞ (i.e. R→ r)

∂ψ (r)

∂r→(1

r− iω

c

)ψ (r)

esta ultima ecuacion se conoce como condicion de radiacion. Integrando esta ecuacion

ψ (r) −−−−→r → ∞ f (θ, ϕ)eikr

ro ψ (r, t) −−−−→r → ∞ f (θ, ϕ)

ei(kr−ωt)

r

lo cual corresponde a una onda esferica en r → ∞.

La condicion de radiacion dice simplemente que las fronteras en el infinito no contribuyen a la radiacion (no lareflejan).

Teniendo en cuenta la solucion para la funcion de Green en el espacio tiempo infinito. La solucion general a laecuacion inhomogenea de ondas en el infinito se escribe como

ψ (r, t) =

∫f (r′, t−R/c)

RdV ′

ψ (r, t) =

∫f (r′, t′)R

δ(t′ − t+R/c

)dV ′ dt′

17.3.5. Evaluacion de la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz

(∇2 + α2

)G(r, r′, ω

)= −4πδ

(r− r′

)

si queremos resolver esta cuacion para espacio infinito

δ(r− r′

)=

1

(2π)3

∫eik·(r−r′)d3k

G(r, r′, ω

)=

∫g (k) eik·(r−r′)d3k

remplazando en la ecuacion de Helmholtz

g (k) =4π

(2π)3 (k2 − α2)

quedando

G(r, r′, ω

)=

1

(2π)2

∫eik·(r−r′)

k2 − α2d3k

7Observese que si se reemplaza f (r′, t′) ∼ δ (r′ − r0) δ (t′ − t0) en la ecuacion para ψ (r, t) la segunda integral se anula automaticamente.


integrando en ϕ y haciendo µ = ikR cos θ

G(r, r′, ω

)=

∫ ∫ ∫eikR cos θk2 sin θ dk dθ dϕ

k2 − α2

G(r, r′, ω

)=

1

iπR

∫ ∞

0k

[e−ikR − eikR

]

k2 − α2dk =

1

iπR

∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk

como antes, esta integral se evalua pasando al plano complejo y desplazando los polos de k = ±α hasta z = ± (α+ iγ).La integral sobre la semicircunferencia con radio infinito se anula y queda

∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk =

∫eizRz dz

z2 − (α2 + iγ)2= 2πi

(eizRz

z + (α+ iγ)

)

z=α+iγ

= πiei(α+iγ)R

tomando el lımite cuando γ → 0 se obtiene∫ ∞

−∞k

eikR

k2 − α2dk = πieiαR

de modo que la funcion de Green para la ec. de Helmholtz queda

G(r, r′, ω

)=eiαR

R(17.21)

lo cual corresponde a una onda esferica debida a una fuente puntual monocromatica (onda saliente).Ahora reemplazamos en la funcion de onda dada en (17.13) para lo cual calculamos

G =eiα|r−r′|

|r− r′| ⇒ ∂G

∂r′=

∂

∂r′

(eiα|r−r′|

|r− r′|

)=

1

|r− r′|∂

∂r′

(eiα|r−r′|

)+ eiα|r−r′| ∂

∂r′

(1

|r− r′|

)

=iαeiα|r−r′|

|r− r′|∂

∂r′(∣∣r− r′

∣∣)+ eiα|r−r′| ∂∂r′

(1

|r− r′|

)

=iαeiα|r−r′|

|r− r′|∂

∂r′

(√r2 + r′2 − 2rr′ cos η

)+ eiα|r−r′| ∂

∂r′

(1√

r2 + r′2 − 2rr′ cos η

)

∂G

∂r′=

iαeiα|r−r′|

|r− r′|

[r′ − r cos η√

r2 − 2rr′ cos η + r′2

]+ eiα|r−r′|

[r cos η − r′

(r2 − 2rr′ cos η + r′2)3/2

]

∂G

∂r′=

iαeiα|r−r′|

|r− r′|2[r′ − r cos η

]+eiα|r−r′|

|r− r′|3[r cos η − r′

]

=

(iα− 1

|r− r′|

)[r′ − r cos η

] eiα|r−r′|

|r− r′|2

=

(iα− 1

|r− r′|

)[r′ − r·r

′

r′

]eiα|r−r′|

|r− r′|2

=

(iα− 1

R

)(r′ − n′ · r

) eiα|r−r′|

|r− r′|2

como estos terminos se evaluan en una superficie que tiende a infinito

lımr′→∞

G(r, r′, ω

)= lım

r′→∞eiα|r−r′|

|r− r′| =eiαr

′

r′

lımr′→∞

∂G (r, r′, ω)∂r′

= lımr′→∞

(iα− 1

R

)(r′ − n′ · r

) eiα|r−r′|

|r− r′|2

= lımr′→∞

(iα− 1

r′

)r′eiαr

′

r′2

=

iαeiαr

′

r′− eiαr

′

r′2

lımr′→∞

∂G (r, r′, ω)∂r′

= iαeiαr

′

r′


ahora sı reemplazamos en la funcion de onda dada en (17.13)

ψ (r, t) =1

8π2

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫ [(∂ψ (r′, t′)∂n′

)G(r, r′, ω

)

−(∂G (r, r′, ω)

∂n′

)ψ(r′, t′

)]dS′e−iω(t−t

′)dt′ dω

+1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)dV ′

e−iω(t−t

′) dt′ dω

ψ (r, t) =1

2π

∫f(r′, t′

) eiαRR

e−iω(t−t′)dV ′dt′dω

+1

4π

1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞

∫

S′→∞

[eiαr

′

r′∂ψ (r′, t′)

∂r− ψ

(r′, t) iαeiαr′

r′

]e−iω(t−t

′)dS′dt′dω

al integrar en ω (recordando que α2 = ω2/c2) nos queda

ψ (r, t) =

∫f (r′, t′)R

δ

(R

c− t+ t′

)dV ′dt′

+1

4π

∫

S′→∞

[1

r′∂ψ (r′, t′)

∂r′− ψ (r′, t′)

r′iα

]δ

(R

c− t+ t′

)dS′dt′

dado que la frontera esta en infinito, la ultima integral no contribuye para lo cual es necesario que???

∂ψ (r′, t′)∂r′

→ iαψ(r′, t′

)⇒ ψ

(r′, t′

) −−−−−→r′ → ∞ f (θ, ϕ)

eiαr′

r′

recıprocamente, del conocimiento de que la funcion de onda para puntos muy lejanos se comporta como una funcionde Green, se sigue que la integral de superficie en el infinito debe anularse.

17.3.6. Otra forma de evaluacion de G

Demostraremos que G causal puede expresarse a traves de un problema de valor inicial para la ecuacion de ondahomogenea.

Se sabe que la solucion a la ecuacion de onda homogenea es unica si se especifican las condiciones iniciales y defrontera definidas en (17.2).

Si definimos G (r, r′, t, t′) = ψh (r, t) θ (t− t′), donde ψh (r, t′) es la solucion para la ecuacion de onda homogenea,para un conjunto fijo de condiciones iniciales y de frontera. θ (t− t′) es la funcion de Heaviside. Observemos que laintroduccion de la funcion paso nos garantiza el caracter causal de G.


Se sigue

∇2G(r, r′, t, t′

)= ∇2

[ψh (r, t) θ

(t− t′

)]= θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t)

∂G (r, r′, t, t′)∂t

=∂

∂t

[ψh (r, t) θ

(t− t′

)]

= ψh (r, t)∂

∂t

[θ(t− t′

)]+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

= ψh (r, t) δ(t− t′

)+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

∂2G

∂t2=

∂

∂t

[ψh (r, t) δ

(t− t′

)+ θ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

]

= ψh (r, t)d

dt

[δ(t− t′

)]+ δ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

+θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)∂t2

+∂ψh (r, t)

∂tδ(t− t′

)

∂2G

∂t2= ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]+ 2δ

(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

+θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)∂t2

Sustituyendo en la ecuacion de ondas

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t)−

1

c2

ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]

+2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

+ θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)∂t2

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

)∇2ψh (r, t)−

1

c2θ(t− t′

) ∂2ψh (r, t)∂t2

− 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = θ

(t− t′

) ∇2 − 1

c2∂2

∂t2

ψh (r, t)

− 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

pero por definicion∇2 − 1

c2∂2

∂t2

ψh (r, t) = 0 por tanto

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = − 1

c2ψh (r, t)

d

dt

[δ(t− t′

)]− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

ambos terminos solo contribuyen cuando t = t′. De modo que se puede escribir como

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = − 1

c2ψh (r, t)

∣∣∣∣t=t′

dδ (t− t′)dt

− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

∣∣∣∣t=t′

por otro lado, por definicion de funcion de Green

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)G = −4πδ

(r− r′

)δ(t− t′

)


esto se cumple si

− 1

c2ψh (r, t)

∣∣∣∣t=t′

dδ (t− t′)dt

= 0

− 2

c2δ(t− t′

) ∂ψh (r, t)∂t

∣∣∣∣t=t′

= −4πδ(r− r′

)δ(t− t′

)

finalmente

ψh (r, t)|t=t′ = 0

∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

= 2πc2δ(r− r′

)

Por tanto, es suficiente determinar ψ (o ∂ψ/∂n) sobre la frontera espacial8; ya que usandoG (r, r′, t, t′) = ψh (r, t) θ (t− t′) seobtiene

G(r, r′, t, t′

)∣∣S= ψh (r, t)|S θ

(t− t′

)

o∂G (r, r′, t, t′)

∂n

∣∣∣∣S

=∂ψh (r, t)

∂n

∣∣∣∣S

θ(t− t′

)

tal que si se quiere G = 0 sobre la superficie se hara ψh|S = 0. Si se propone G ∼ eiαr′

r′ en r′ → ∞, tambien se tiene

que ψh ∼ eiαr′

r′

Para resumir: la funcion de Green se puede determinar solucionando la ecuacion homogenea de ondas con lascondiciones de frontera e iniciales requeridas ψh (r, t). Con esta solucion se propone

G(r, r′, t, t′

)= ψh (r, t) θ

(t− t′

)

con las condiciones

ψh (r, t)|t=t′ = 0 ;∂ψh (r, t)

∂t

∣∣∣∣t=t′

= 2πc2δ(r− r′

)

observese que estas no son condiciones iniciales, 8aunque estas tambien las debe cumplir la solucion homogenea).Solucionada la ecuacion homogenea con estas condiciones se tiene

G(r, r′, t, t′

)∣∣S= ψh (r, t)|S θ

(t− t′

)

17.3.7. Funcion de Green para espacio infinito en coordenadas esfericas

la ecuacion de Helmholtz en coordenadas esfericas toma la forma

1

r2∂

∂r

[r2∂G

∂r

]− L2G

r2+ k2G = −4π

δ (r− r′)r2

δ(cos θ − cos θ′

)δ(ϕ− ϕ′)

L2 es el cuadrado del operador momento angular. Como es usual expandamos G en armonicos esfericos.

G(r, r′, ω

)=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)

antes de reemplazar en la funcion de Helmholtz calculamos

1

r2∂

∂r

[r2∂G

∂r

]=

1

r2∂

∂r

[r2∂

∂r

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)]

=

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′) 1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]

8Las condiciones iniciales han sido absorbidas en la solucion de la parte homogenea.


− L2G

r2= − 1

r2

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[L2Ylm (θ, ϕ)

]Y ∗lm

(θ′, ϕ′) flm

(r, r′

)

= −∞∑

l=0

l∑

m=−l[l (l + 1)Ylm (θ, ϕ)]Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) flm (r, r′)

r2

reemplazando en la ecuacion de Helmholtz

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)

= −4πδ (r− r′)

r2

∞∑

l=0

l∑


lm

(θ′, ϕ′)

La ecuacion para flm (r, r′) es

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= −4π

δ (r− r′)r2

(17.22)

primero trabajemos la solucion homogenea, es decir para r 6= r′

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= 0

la solucion es (ver sec. 17.2.2, pag. 295)

fl(r, r′

)= A′h(1)l (kr) +B′h(2)l (kr) = Ajl (kr) +Bηl (kr)

Al exigir que G 6= ∞ en r → 0, queda

fl(r, r′

)= Ajl (kr<)

tambien se exige que en r → ∞, G represente frentes de onda viajando hacia afuera (“outgoing waves”). Es facil verque de

lımr→∞

fl(r, r′

)= A′ e

iαr

αr+B′ e

−iαr

αr

se sigue que B′ = 0. Por tanto,

fl(r, r′

)= Cjl (kr<) h

(1)l (kr>) (17.23)

Para evaluar C tomamos la ecuacion inhomogenea (17.22)

1

r2d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]− l (l + 1)

flm (r, r′)r2

+ k2flm(r, r′

)= −4π

δ (r− r′)r2

multiplicamos por r2 e integramos

∫ r′+ε

r′−ε

d

dr

[r2dflm (r, r′)

dr

]dr − l (l + 1)

∫ r′+ε

r′−εflm

(r, r′

)dr

+k2∫ r′+ε

r′−εr2flm

(r, r′

)dr = −4π

∫ r′+ε

r′−εδ(r− r′

)dr

asumiendo que la funcion flm (r, r′) es integrable en este intervalo, solo sobrevive el primer termino de la izquierdacuando ε→ 0.

r2dflm (r, r′)

dr

∣∣∣∣r=r′+ε

r=r′−ε= −4π


y tomando (17.23)

C r2d

dr

[jl (kr<)h

(1)l (kr>)

]∣∣∣∣r=r′+ε=r>

r=r′−ε=r<= −4π

Cr2d

dr

[jl(kr′)h(1)l (kr)

]− d

dr

[jl (kr)h

(1)l

(kr′)]

= −4π

Cr2jl(kr′) ddr

[h(1)l (kr)

]− h

(1)l

(kr′) ddr

[jl (kr)]

= −4π

se puede demostrar que C = 4πik (ver Sepulveda pags. 270-271) resulta entonces

fl(r, r′

)= 4πik jl (kr<)h

(1)l (kr>)

La funcion de Green es

G(r, r′, ω

)= 4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

como una aplicacion de gran utilidad, obtengamos la expansion de una onda plana en armonicos esfericos

17.3.8. Expansion de una onda plana en armonicos esfericos

De la expansion anterior y tomando (17.21) queda

eik|r−r′|

|r− r′| = 4πik∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) (17.24)

realizando una expansion de |r− r′| para r′ >> r, con lo cual r = r<, r′ = r> resulta

∣∣r− r′∣∣ =

∣∣r′ − r∣∣ =

∣∣n′r′ − r∣∣ = r′

∣∣∣n′ − r

r′

∣∣∣ = r′√

1 +r2

r′2− 2n′·r

r′

∣∣r− r′∣∣ ≃ r′

√1− 2n′·r

r′≃ r′

(1− n′·r

r′

)= r′ − n′·r

la expansion es valida ya que n′·r ≤ r << r′ ⇒ 2n′·rr′ << 1

de modo que con r′ >> r

eik|r−r′|

|r− r′| ≃ eik(r′−n′·r)

r′ − n′·r ≃ eikr′

e−ikn′·r

r′

y definiendo k = kn′ resultaeik|r−r′|

|r− r′| ≃ eikr′

e−ik·r

r′

ademas, h(1)l (kr>) = h

(1)l (kr′) → (−i)l+1 eikr

′

kr′

con estas aproximaciones, la relacion asintotica para la ecuacion (17.24) queda

eikr′

e−ik·r

r′= 4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l+1 jl (kr)

eikr′

kr′Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−ik·r = 4π∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l jl (kr)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

recordemos que θ′, ϕ′ se asocian a r′ y por otro lado k va en la direccion de n′. Por lo tanto θ, ϕ estan asociados a ren tanto que θ′, ϕ′ estan asociados a k. Tambien se puede escribir

e−i(k·r−ωt) = 4π

∞∑

l=0

l∑

m=−l(−i)l jl (kr)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) eiωt


17.3.9. Resumen

Para espacio infinito, la funcion de onda se puede escribir como

ψ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫f(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t

′) dω dt′ dV ′

la integral espacial se realiza sobre el volumen de las fuentes. La funcion G (r, r′, ω) puede expresarse en cualquierade sus representaciones eikR/R, fourier, armonicos esfericos etc.

Recordemos ademas que los potenciales φ (r, t) y A (r, t) satisfacen la ecuacion de onda inhomogenea cuandousamos el gauge de Lorentz. Ademas, cada potencial tiene como fuentes para la parte inhomogenea las cargas y lascorrientes.

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)φ (r, t) = −4πρ (r, t)

(∇2 − 1

c2∂2

∂t2

)A (r, t) = −4π

cJ (r, t)

la solucion para espacio infinito es

φ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t


A (r, t) =1

2πc

∫ ∞

−∞

∫ ∫J(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t


17.3.10. Ejercicio: carga puntual en reposo

La densidad volumetrica equivalente si la carga esta en el origen, es

ρ(r′, t)= q

δ (r′)4πr′2

evaluaremos el potencial escalar usando la funcion de Green para todo el espacio, expandida en armonicos esfericos.

φ (r, t) =1

2π

∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t


φ (r, t) =1

2π

∫qδ (r′)4πr′2

G(r, r′, ω

)e−iω(t−t


φ (r, t) =4πiq

2π · 4π

∫δ (r′)r′2

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>)×

×Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) e−iω(t−t′) k dω dt′ dV ′

debido a la delta de Dirac, r′ solo contribuye para r′ → 0, se tiene entonces que r′ = r<

φ (r, t) =iq

2π

∫ ∫ ∞∑

l=0

l∑

m=−l

[∫δ (r′)r′2

jl(kr′)h(1)l (kr)

× Ylm (θ, ϕ)Y ∗lm

(θ′, ϕ′) dV ′] e−iω(t−t′)

k dω dt′

efectuando la integral volumetrica primero

IV =

∫δ (r′)r′2

jl(kr′)h(1)l (kr) r′2dr′


lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

=

∫δ(r′)jl(kr′)h(1)l (kr) dr′


lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

︸︷︷︸=1

= jl (0) h(1)l (kr)


lm

(θ′, ϕ′) dΩ′


usando la propiedad jl (0) = δl0

IV = h(1)l (kr) δl0

volviendo a la expresion para el potencial escalar y recordando que k = ω/c

φ (r, t) =iqc

2π

∫ ∫ ∞∑

l=0

l∑

m=−lh(1)l (kr) δl0e

−ikc(t−t′)k dk dt′

φ (r, t) =iqc

2π

∫ h(1)0 (kr)

[∫e−ikc(t−t

′)dt′]

k dk

φ (r, t) =iqc

2π

∫ h(1)0 (kr) e−ikct

[∫eikct

′

dt′]

k dk

φ (r, t) =iqc

2π

∫ h(1)0 (kr) e−ikct

[∫eik(ct

′)d (ct′)

c

]k dk

φ (r, t) =iqc

2π

∫ (−i) e

ikr

kre−ikct

2πδ (k)

c

k dk

φ (r, t) =q

r

∫ eikr e−ikctδ (k)

dk

φ (r, t) =q

r

17.3.11. Dipolo puntual oscilante

Calcular los campos generados por un dipolo electrico puntual oscilante es de gran interes puesto que como hemosvisto, la aproximacion dipolar es muy buena en la mayorıa de problemas de campos en la materia. Por otra parte, estosdipolos que ya hemos estudiado en la situacion estatica, podrıan oscilar por efectos termicos o por perturbacionesexternas tales como campos externos variables en el tiempo.

Como se trata de un dipolo puntual, lo ubicaremos por simplicidad en el origen de coordenadas, si asumimos unmomento dipolar p0 y una frecuencia de oscilacion ω0 podemos escribir el vector de polarizacion como

P (r, t) = p0 δ (r) e−iω0t

naturalmente, el valor real de P es la parte real de esta cantidad, pero es mas comodo trabajar con el exponencialcomplejo y tomar la parte real al final del proceso. En el capıtulo de campos electricos en la materia aprendimos quela densidad volumetrica equivalente del dipolo es

ρ (r, t) = −∇ ·P

y como δ (r) solo sobrevive para r → 0, se puede integrar el angulo solido y obtener

δ (r) =δ (r)

4πr2; ∇δ (r) = ur

4π

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]

la densidad queda

ρ (r, t) = −∇ ·(p0 δ (r) e

−iω0t)= −p0 · [∇ δ (r)] e−iω0t

ρ (r, t) = −p0k ·ur4π

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]e−iω0t

ρ (r, t) = − p04π

k · ur

1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

e−iω0t

ρ (r, t) = − p04π

cos θ

[1

r2dδ (r)

dr− 2

δ (r)

r3

]e−iω0t


si convenientemente colocamos p0 (o equivalentemente k) en la direccion del eje Z, entonces θ es el angulo encoordenadas esfericas, puesto que serıa el angulo entre el eje Z y el vector unitario radial.

Expandiendo G (r, r′, ω) en armonicos esfericos, el potencial queda

φ (r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞

∫ ∫ρ(r′, t′

)G(r, r′, ω

)e−iω(t−t


φ (r, t) =1

2π

∫ ∫ ∫ − p04π

cos θ′[1

r′2dδ (r′)dr′

− 2δ (r′)r′3

]e−iω0t′

×4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−iω(t−t


φ (r, t) =1

2π

∫ ∫ ∫ − p04π

cos θ′[1


− 2δ (r′)r′3

]e−iω0t′

×4πik

∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

e−iω(t−t


φ (r, t) = − ip02π

∫ ∫ ∫ cos θ′

[1


− 2δ (r′)r′3

]

× ∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<) h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

dV ′k e−iω(t−t

′) dω e−iω0t′dt′

φ (r, t) = − ip02π

∫ ∫IV k e−iω(t−t


realizamos primero la integral de volumen

IV =

∫cos θ′

[1


− 2δ (r′)r′3

]

× ∞∑

l=0

l∑

m=−ljl (kr<)h

(1)l (kr>)Ylm (θ, ϕ)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′)

dV ′

IV =∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

]jl (kr<)h

(1)l (kr>) r

′2 dr′

∫cos θ′Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′

recordando que

cos θ =

√4π

3Y10 (θ, ϕ)

tenemos que estas integrales solo sobreviven para r′ → 0 de modo que r′ = r<.

IV =

√4π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)h

(1)l (kr)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

]jl(kr′)r′2 dr′

∫Y10(θ′, ϕ′)Y ∗

lm

(θ′, ϕ′) dΩ′


IV =

√4π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−lYlm (θ, ϕ)h

(1)l (kr)

∫ [1


− 2δ (r′)r′3

](δl1δm0) jl

(kr′)r′2 dr′

IV =

√4π

3Y10 (θ, ϕ) h

(1)1 (kr)

∫ [dδ (r′)dr′

− 2δ (r′)r′

]j1(kr′)dr′

recordando que∫f (x)

d

dxδ (x− x0) dx = −

(df (x)

dx

)

x=x0

j1 (x) = −x(1

x

d

dx

)(sinx

x

)= − d

dx

(sinx

x

)

j1 (x) =1

x2(sinx− x cos x)

dj1 (kr′)

dr′=

d

dr′

[1

k2r′2(sin kr′ − kr′ cos kr′

)]

dj1 (kr′)

dr′=

1

k2r′3(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)

tenemos

IV = cos θ h(1)1 (kr)×

× lımr′→0

[− 1

k2r′3(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)− 2

1

k2r′3(sin kr′ − kr′ cos kr′

)]

IV = cos θ h(1)1 (kr)×

× lımr′→0

[−(2kr′ cos kr′ − 2 sin kr′ + k2r′2 sin kr′

)− 2 (sin kr′ − kr′ cos kr′)

]

k2r′3

IV = cos θ h(1)1 (kr) lım

r′→0

[−k2r′2 sin kr′

]

k2r′3

IV = − cos θ h(1)1 (kr) lım

r′→0

sin kr′

r′

IV = −k cos θ h(1)1 (kr)

reemplazando en el potencial

φ (r, t) = − ip02π

∫ ∫ [−k cos θ h(1)1 (kr)

]k e−iω(t−t


φ (r, t) =ip02π

cos θ

∫ [∫k2h

(1)1 (kr) e−iω(t−t

′) dω

]e−iω0t′dt′

φ (r, t) =ip02π

cos θ

∫k2h

(1)1 (kr)

[∫e−iω(t−t

′)e−iω0t′dt′]dω

φ (r, t) = ip0 cos θ

∫k2h

(1)1 (kr) e−iωt

[1

2π

∫ei(ω−ω0)t′dt′

]dω


∫k2h

(1)1 (kr) e−iωtδ (ω − ω0) dω

y teniendo en cuenta que k = ω/c


(ω20

c2

)h(1)1

(ω0

cr)e−iω0t


h(1)1 (x) = −i (−1) x

(1

x

d

dx

)(eix

x

)= i

d

dx

(eix

x

)=

−eix

x− ieix

x2= −e

ix

x

(1 +

i

x

)


(ω20

c2

)[−e

i(ω0cr)

(ω0c r)(1 +

i(ω0c r))]

e−iω0t

φ (r, t) = −ip0 cos θ(ω0

c

)[(1

r+

ic

ω0r2

)]e−iω0(t− r

c )

φ (r, t) = −ip0 cos θ[(

ω0

rc+

i

r2

)]e−iω0(t− r

c )

el espectro es monocromatico con frecuencia ω0 (l = 1, m = 0). Es interesante analizar algunos casos lımite

1. Si ω0 → 0 el potencial se reduce a p0 cos θ/r2 es decir al dipolo electrico estatico.

2. En la aproximacion de campo lejano es decir con r >> λ, es decir k0r >> 1 se tiene que

ω0

cr > > 1 ⇒ ω0

rc>>

1

r2⇒

φ (r, t) ≈ − ip0 cos θcr

ω0 e−iω0(t− r

c )

notese que aun para el campo de radiacion lejano no hay simetrıa esferica debido al factor cos θ, esto se debe aque el momento dipolar rompe esta simetrıa aun cuando el dipolo sea puntual. Efectivamente, θ esta midiendoel angulo entre el momento dipolar y el vector de observacion r.

3. Para campo cercano

φ (r, t) ≈ p0 cos θ

r2e−iω0(t− r

c )

lo cual corresponde a campo de dipolo estatico afectado por un termino oscilante

para calcular A (r, t) debe tenerse en cuenta que

J (r, t) =∂P (r, t)

∂t= −iωp0e

−iω0t


A (r, t) =ω20p0k

c2h(1)0

(ω0r

c

)e−iω0t = −iω0p0k

cre−iω0(t− r

c )

h(1)0 (x) =

eix

ix

Es facil comprobar que A y φ satisfacen la condicion de Lorentz.Con estos potenciales se puede proceder a calcular los campos

E = −∇φ (r, t)− 1

c

∂A (r, t)

∂t; B = ∇×A (r, t)

dichos campos toman la forma

E (r, t) = p0

er

(2

r3− 2iω0

cr2

)cos θ

+eθ

(1

r3− iω0

cr2− ω2

0

c2r

)sin θ

e−iω0(t−r/c)

17.4. TRANSFORMADA DE FOURIER DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL 319

B (r, t) = −eϕiω0p0cr

1

r− iω0

c

sin θ e−iω0(t−r/c)

de nuevo se puede apreciar que en el lımite ω0 → 0, se obtiene el dipolo puntual electrico, y el campo magnetico tiendea cero. Tambien se puede observar que el campo electrico tiene componente radial, pero no B, de modo que el campode dipolo electrico es transverso magnetico (TM). Por otro lado en la zona de radiacion (campo lejano) se tiene queEr << Eθ y el campo llega a ser TEM. Finalmente, se puede verificar que los campos E y B son ortogonales.

17.4. Transformada de Fourier de las ecuaciones de Maxwell

???????????

Capıtulo 18

Ondas electromagneticas planas

18.1. Caracterısticas basicas de una onda plana

En este capıtulo trabajaremos el comportamiento de ondas viajeras planas en medio infinito o semi-infinito (parael caso en que hay una interfase entre dos medios). Analizaremos primero el caso mas sencillo en el cual las ondas sepropagan en un medio no conductor isotropo, homogeneo y lineal. En tal caso, las constantes ε y µ se consideraranconstantes i.e. independientes de la frecuencia de tal manera que las ondas no presentan dispersion. Tomando lasecuaciones de Maxwell sin fuentes, en un medio infinito

∇ · E = 0 ; ∇×E+1

c

∂B

∂t= 0

∇ ·B = 0 ; ∇×B− µε

c

∂E

∂t= 0 (18.1)

como ya habıamos notado, estas ecuaciones poseen una mayor simetrıa en ausencia de cargas y corrientes libres. Estonos permite escribir con facilidad la ecuacion de onda para los campos E y B directamente. Derivando parcialmenterespecto al tiempo una de las ecuaciones rotacionales

∂

∂t(∇×E) +

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ ∇×

(∂E

∂t

)+

1

c

∂2B

∂t2= 0

y reemplazando ∂E∂t de la otra ecuacion rotacional

⇒ ∇×(c

µε∇×B

)+

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ c

µε

[∇ (∇ ·B)−∇2B

]+

1

c

∂2B

∂t2= 0 ⇒ −∇2B+

µε

c2∂2B

∂t2= 0

quedando finalmente

∇2B− 1

v2∂2B

∂t2= 0 ; v ≡ c√

µε

Con un procedimiento similar se encuentra la ecuacion de onda para E, en sıntesis(∇2 − µε

c2∂2

∂t2

)(E (r, t)B (r, t)

)(18.2)

una solucion (compleja) a esta ecuacion es de la forma

E (r, t) = E0ei(k·r−ωt) ; B (r, t) = B0e

i(k·r−ωt) (18.3)

con E0, B0 constantes complejas, de modo que un posible factor de fase constante se absorbe en este termino.Estas soluciones de tipo sinusoidal son de gran importancia ya que aunque no son las mas generales, se sabe quecualquier solucion de la ecuacion de onda es una superposicion de estas (analisis de Fourier). Por este motivo nosconcentraremos en las expresiones (18.3) en lo que sigue. Las soluciones (18.3) corresponden a una unica frecuencia ωpor lo cual describen ondas monocromaticas. Al introducir estas soluciones en las ecuaciones de Maxwell se encuentra

(∇2 − 1

v2∂2

∂t2

)E0 exp [ik · r− ωt] = −

(k2 − ω2

v2

)E0 exp [ik · r− ωt] = 0

321

322 CAPITULO 18. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS

por lo tanto ω = kv. El frente de onda para un instante fijo de tiempo, esta constituıdo por los puntos con la mismafase k ·r−ωt. Al ser el tiempo fijo, lo que obtenemos es el conjunto de puntos donde k ·r = cte, donde cada valor de laconstante equivale a un frente distinto. La ecuacion k · r = cte, con k un vector constante, es la ecuacion de un planoperpendicular al vector k 1. Por tanto, la solucion (18.3), representa una onda plana viajando en la direccion k. Esfacil demostrar de nuestras soluciones complejas (tomando la solucion real Fısica) que los puntos de fase constanteson tambien de amplitud constante. Adicionalmente aunque toda solucion de las ecuaciones de Maxwell es solucionde la ecuacion de onda, lo recıproco no es cierto. En particular, las expresiones (18.3) son soluciones de la ecuacion deonda, pero para que sean soluciones de las ecuaciones de Maxwell deben cumplir condiciones adicionales relacionadascon las ecuaciones con divergencia2

∇ ·[E0e

i(k·r−ωt)]= 0 ⇒ k ·E0e

i(k·r−ωt) = 0 ⇒ k ·E = 0

similarmente para el campo Bk ·E = 0, k ·B = 0

lo cual significa que tanto E como B son perpendiculares a la direccion de propagacion (onda transversal). Lasecuaciones rotacionales nos dan informacion complementaria

∇×E+1

c

∂B

∂t= 0 ⇒ εijk∂jEk = −1

c∂tBi

calculando las derivadas de Ek, Bi de acuerdo con (18.3), resulta

∂jEk = ∂j

[E0k e

i(k·r−ωt)]= E0k∂j

[ei(k·r−ωt)

]= E0k e

i(k·r−ωt)∂j (knxn − ωt)

∂jEk = E0k ei(k·r−ωt)knδjn =

[E0k e

i(k·r−ωt)]kj = iEkkj

similarmente∂tBi = ∂t

[B0i e

i(k·r−ωt)]= −iωBi

con lo cual

εijkkjEk = −1

c(−ωBi) ⇒ (k × E)i =

ω

cBi

B =c

ωk×E

por conveniencia, definamos el ındice de refraccion n ≡ c/v. Como v = c/√εµ y ω = kv ⇒

n =√εµ ; k =

nω

c

la expresion anterior queda

B =ck

ωk×E = n

(k×E

)(18.4)

de lo cual se ve que E y B son perpendiculares entre sı, y los vectores k,B, y E forman un sistema ortogonal. Estonos indica que las ondas electromagneticas asociadas a campos sin fuentes son de naturaleza transversal. Notese quecon k real, la ecuacion anterior nos garantiza que E y B tienen la misma fase. Si k es complejo, la fase asociada a khace que las fases de los dos campos ya no coincidan, y como veremos mas adelante el conjunto de vectores k,B, yE ya no necesariamente forma un sistema ortogonal. Por otro lado, la Ec. (18.4) tambien nos da una relacion entrelas amplitudes de B y E

‖B‖ =∥∥∥n(k×E

)∥∥∥⇒ B0 = nE0 (18.5)

finalmente, el lector puede verificar que la ecuacion de Ampere Maxwell, no provee ninguna restriccion adicional sinosolo una prueba de consistencia para la solucion.

1Aquı de nuevo enfatizamos que estamos suponiendo k = cte independiente de la frecuencia. Cuando esto no ocurre, el frente de ondacambia y ya no serıa en general un plano.

2Observese que para obtener la ecuacion de onda se usaron las ecuaciones rotacionales y se combinaron en una sola, razon por la cualuna de las ecuaciones rotacionales nos da informacion no trivial. Por otro lado, se usaron las condiciones ∇ (∇ ·B) = ∇ (∇ ·E) = 0,las cuales son mas debiles que las condiciones ∇ · B = ∇ · E = 0, por este motivo las ecuaciones de Maxwell con divergencia aportaninformacion adicional sobre la solucion (18.3).

18.1. CARACTERISTICAS BASICAS DE UNA ONDA PLANA 323

18.1.1. Transporte de momento y energıa en una onda plana

La densidad de energıa se puede calcular con la Ec. (16.4) pero dado que la solucion obtenida es compleja se tieneque

εF =1

8π

(|Re (E)|2 + |Re (B)|2

)

(usaremos la notacion εF para no confundirlo con la permitividad electrica ε) y teniendo en cuenta la Ec. (18.5)

εF =1

8π

(|Re (E)|2 + n2 |Re (E)|2

)=

1

8π

(1 + n2

)E2

0 cos2 (k · r− ωt) (18.6)

adicionalmente, como vimos en la seccion (16.4), la energıa por unidad de area y por unidad de tiempo que transportanlos campos electromagneticos viene dada por el vector de Poynting Ec. (16.4), teniendo en cuenta que las ondas planasdescritas en (18.3) son complejas el vector de Poynting se escribe como

S =c

4π(ReE×ReH)

usando las ecuaciones (18.3) y teniendo en cuenta (18.6), se obtiene

S =c

nεF k = εFv

esta relacion es muy logica ya que el “volumen” de la onda que atraviesa el area A en un tiempo ∆t es V = Av ∆ty la energıa contenida en este volumen es ∆EV = εFAv ∆t de modo que la energıa por unidad de area por unidadde tiempo es εF v, la ecuacion anterior nos muestra ademas que la direccion de transporte de energıa coincide con ladireccion de propagacion de la onda. Notese que esta relacion es analoga a J = ρv.

Finalmente, la expresion para la densidad de momento resulta

g =S

c2=εF k

nc=εFc2

v

no obstante, teniendo en cuenta que la luz tıpicamente tiene una longitud de onda muy corta (∼ 10−7m), y un periodomuy corto (∼ 10−15seg) con relacion a las mediciones macroscopicas, usualmente no nos interesan las medicionesinstantaneas de momento y energıa, sino los promedios realizados sobre un ciclo completo. De acuerdo con lasexpresiones (18.3), una onda plana es una forma particular de variacion armonica temporal de los campos, por lotanto podemos aplicar los resultados de la seccion (16.4). Al evaluar los promedios temporales 〈S〉, 〈εF 〉

〈S〉 =c

8πRe (E×H∗) =

c

8πµRe (E×B∗) =

c

8πµRe[E×

( cωk∗ ×E∗

)]

〈S〉 =c

8πµRe[E×

( cωkk×E∗

)]=

c2k

8πµωRe[(E ·E∗) k−

(E · k

)E∗]

〈S〉 =cn

8πµ|E|2 k =

cn

8πµ|E0|2 k (18.7)

el promedio del vector de Poynting apunta en la direccion de propagacion que es la direccion del vector de Poyntinginstantaneo. Calculemos ahora 〈εF 〉

〈εF 〉 =1

16πRe (E ·D∗ +B ·H∗) =

1

8π|E0|2

de lo cual se obtiene

〈S〉 = v〈εF 〉 ; v = c/n

es decir la misma relacion que se obtiene para sus valores instantaneos. Al valor promedio 〈S〉 se le conoce comointensidad de la onda. Adicionalmente, si usamos g = S/c2 donde g es la densidad de momento lineal de la onda,tenemos

〈g〉 = v

c2〈εF 〉


de acuerdo con la dinamica relativista asociada a una partıcula E = γmc2, p = γmv con γ =

(√1− v2

c2

)−1

. De

estas relaciones se obtiene que para una partıcula p = vE/c2. Por otro lado, para sistemas contınuos en donde todoslos subsistemas viajan a la misma velocidad, el analogo de esta relacion es g = vεF /c

2. Al comparar esta relacioncon la obtenida para los campos, se ve que hay una analogıa entre la propagacion del sistema contınuo de partıculasy la propagacion de energıa de una onda electromagnetica. Este constituye un punto de partida para la proposiciondel foton (aunque todos nuestros supuestos son clasicos). Hay otro hecho que resulta consistente con la teoria deEinstein para el efecto fotoelectrico, Einstein postula cuantos de onda electromagnetica (fotones) con energıa ~ω, ladensidad de energıa del foton en el volumen V es

w =~ω

V

si p es el momento del foton la densidad de momento sera

g =p

V=

S

c2=w

c

k

k=

~ω/c

V

k

k=

~k

V

de modo que p = ~k. Por tanto, si la onda plana esta contenida en el volumen V , y requerimos que esta onda planarepresente un cuanto de energıa con energıa ~ω, la electrodinamica nos dice que el momento del cuanto debe serp = ~k conocido como relacion de de Broglie.

Un comentario final, hemos resuelto el problema de propagacion de ondas planas en materiales dielectricos enausencia de cargas y corrientes libres. Sin embargo, pueden existir cargas y corrientes de polarizacion y magnetizacion.Desde el punto de vista matematico esto solo repercutio en la modificacion de algunas constantes, sin embargo desdeel punto de vista fısico microscopico el paso de la onda produce polarizacion de cargas ligadas y magnetizacionde corrientes ligadas, estas se manifiestan en forma de dipolos oscilantes que crean su propia onda. Lo que se vemacroscopicamente es la superposicion de la onda original con la creada por los dipolos oscilantes en la materia.La superposicion es tal que crea una onda de la misma frecuencia que la original pero con diferente velocidad. Estehecho es responsable del fenomeno de transparencia y es una consecuencia de la linealidad del medio (Am. J. Phys.60, 309 (1992)).

18.1.2. Ondas planas con vector de onda complejo

Debemos tener en cuenta sin embargo, que la suposicion de que k es real, no nos da la solucion mas general posiblepara una onda plana. Para ver esto, volvamos a la solucion general de la ecuacion de onda homogenea, discutida enla seccion (17.2.1) pero con una generalizacion adicional

(∇2 − 1

v2∂2

∂t2

)ψ (x, y, z, t) = 0 ; ψ = X (x)Y (y)Z (z)T (t)

X”

X︸︷︷︸−k2x

+Y ”

Y︸︷︷︸−k2y

+Z”

Z︸︷︷︸−k2z

− T”

v2T︸︷︷︸−ω2/v2

= 0

k2x + k2y + k2z =ω2

v2≡ k2 (18.8)

donde la notacion˜ enfatiza en la posibilidad de considerar valores complejos para estas cantidades (en la seccion17.2.1, se consideraron reales todas estas variables). De nuevo tomamos una solucion exponencial compleja, de lamisma forma anterior pero con extensiones complejas para las variables k, ω

E (r, t) = E0ei(k·r−ωt) ; B (r, t) = B0e

i(k·r−ωt) (18.9)

definimos

k ≡ k˜n (18.10)

18.1. CARACTERISTICAS BASICAS DE UNA ONDA PLANA 325

a partir de (18.8) se obtiene k2 = k · k = k2 ñ · ñ de modo que ñ · ñ = 13. Esta ultima relacion se puede descomponeren sus partes real e imaginaria si escribimos

ñ = nR + inI ⇒ ñ · ñ = 1 = n2R − n2

I + 2i (nR · nI) ⇒n2R − n2

I = 1 ; (nR · nI) = 0

la primera es una relacion entre las magnitudes de los vectores reales nR y nI , en tanto que la segunda es una relacionentre sus direcciones (ortogonalidad). La primera relacion se asemeja a una relacion entre senos y cosenos hiperbolicosde modo que es natural definir

nR = u1 cosh θ ; nI = u2 sinh θ ; u1 · u2 = 0

donde u1 y u2 son vectores reales y unitarios. El vector unitario complejo se puede escribir como

ñ = u1 cosh θ + iu2 sinh θ (18.11)

Ahora calculamos ∇ · E asociada a la onda plana

∇ ·E = ∇ ·E0 exp

[i(kñ · r− ωt

)]= ∂i

E0,i exp

[i(kñ · r− ωt

)]

∇ · E = iE0,i exp[i(kñ · r− ωt

)]∂i

kñ · r− ωt

∇ · E = iE0,i exp

[i(kñ · r− ωt

)]∂i

(kñjxj − ωt

)

∇ · E = iE0,ikñjδij exp[i(kñ · r− ωt

)]= iE0,ikñi exp

[i(kñ · r− ωt

)]

∇ · E = ik exp[i(kñ · r− ωt

)](ñ · E0

)

y teniendo en cuenta que ∇ ·E = 0, se obtiene que

ñ · E0 = 0 (18.12)

escribiendo E0 en terminos de constantes complejas Ai

E0 = A1u1 +A2u2 +A3u3

tenemosñ · E0 = 0 = A1 cosh θ + iA2 sinh θ ⇒ A2 = iA1

cosh θ

sinh θ

lo cual nos permite reescribir E0 = A1u1 + A2u2 + A3u3 = A1u1 + iA1cosh θsinh θu2 + A3u3. Redefiniendo constantes

complejas A1 → iA′1 sinh θ nos queda

E0 = A′1 (i sinh θ u1 − cosh θ u2) +A3u3 (18.13)

sustituyendo (18.13, 18.10, 18.11) en (18.9) y usando ω ≡ ω + iγ ; k ≡ k + iβ

E0 exp[i(k · r− ωt

)]=[A′

1 (i sinh θ u1 − cosh θ u2) +A3u3

]exp

i[kñ · r− (ω + iγ) t

](18.14)

desarrollemos primero la fase en la exponencial

i[kñ · r− (ω + iγ) t

]= i (k + iβ) (u1 cosh θ + iu2 sinh θ) · (xu1 + yu2 + zu3)− i (ω + iγ) t

3Notese que ñ · ñ = 1, no implica que∥∥∥ñ

∥∥∥2

= 1, i.e. el vector no tiene necesariamente norma unidad. Esto se debe a que el producto

punto definido como a ·b =∑3

i=1 aibi no es un producto interno cuando las componentes ai, bi son complejas. Por tanto, el producto puntoası definido no induce una norma para vectores con componentes complejas (redefiniendo a · b =

∑3i=1 aib

∗

i , sı se obtiene un productointerno).


= i (k + iβ) (x cosh θ + iy sinh θ)− iωt+ γt

= ik (x cosh θ + iy sinh θ)− β (x cosh θ + iy sinh θ)− iωt+ γt

= ikx cosh θ − ky sinh θ − βx cosh θ − iβy sinh θ − iωt+ γt

sustituyendo en (18.14), y separando las partes real e imaginaria de la fase

E =[A′


]exp − [ky sinh θ + βx cosh θ − γt]

× exp i [kx cosh θ − βy sinh θ − ωt] (18.15)

finalmente, a partir de la relaciones (18.8) se puede establecer una dependencia entre los parametros de la onda

k2 = ω2/v2 ⇒ (k + iβ)2 =(ω + iγ)2

v2⇒ k2 − β2 + 2ikβ =

ω2 − γ2 + 2iωγ

v2

⇒ k2 − β2 =ω2 − γ2

v2; kβ =

ωγ

v2(18.16)

de la solucion (18.15), conocida como ondas planas no homogeneas, podemos extraer las siguientes conclusiones.

La onda tiene un termino oscilatorio (fase imaginaria) y un termino de amortiguamiento (fase real) que puederepresentar un crecimiento o decrecimiento exponencial en ciertas direcciones, y a traves del tiempo (estodepende de los signos de k, β, γ).

Las ondas se propagan en el plano XY . Para mirar en detalle la direccion de propagacion, se puede reescribirla fase imaginaria en la forma

kx cosh θ − βy sinh θ − ωt = (k cosh θ u1 − β sinh θ u2) · (xu1 + yu2)− ωt

de modo que la onda se propaga en la direccion del vector (k cosh θ u1 − β sinh θ u2)

Se puede ver que las superficies de fase y amplitud constantes siguen siendo planas, pero ya no son paralelasentre sı.

Observese que E0 (y por tanto E) tienen componentes a los largo de ñ, lo cual se puede ver comparando(18.15) con (18.11). Esto puede ser a priori sorprendente debido a la relacion (18.12). Sin embargo, debemos

recordar que el caracter complejo de ñ y E0 puede hacer que existan componentes de E0 a lo largo de ñ aunqueñ ·E0 = 0 4. La existencia de estas componentes significa que hay componente longitudinal de campo. La ondano es netamente transversal.

Tambien se pueden examinar algunos casos lımite.

Si ñ es real i.e. θ = 0, pero con k, ω complejos, la Ec. (18.15) queda

E =[−A′

1 u2 +A3u3

]exp −βx+ γt exp i [kx− ωt]

con lo cual se obtiene una onda que se propaga en x, y que esta amortiguada en esa misma direccion (que en

este caso es la direccion de ñ). Se puede ver que en este caso la onda sı es transversal ya que ñ ·E0 = u1 ·E0 = 0.

Veamos ahora el lımite en el que k es real i.e. β = 0, pero ñ, ω son complejos. Usando (18.16), con β = 0 (kreal), resulta que γ = 0 (ω tambien es real), y la onda se reduce a

E =[A′


]exp −ky sinh θ exp i [kx cosh θ − ωt] (18.17)

se observa que la onda se propaga en la direccion x, pero se amortigua en la direccion y. En este caso haycomponente longitudinal, puesto que E0 tiene componente no nula a lo largo de la direccion de propagacionu1. Finalmente, se ve que si en la ecuacion anterior tomamos el lımite θ = 0 (ñ real), la onda plana se reduceal caso de ondas planas homogeneas como era de esperarse.

Ejemplos de ondas planas no homogeneas aparecen en los fenomeos de reflexion total interna y refraccion en unmedio conductor, aunque en el ultimo caso la inhomogeneidad se debe a un numero de onda complejo y no a unvector complejo n. Las ondas planas inhomogeneas son una base general para el tratamiento de problemas de valoren la frontera y son especialmente utiles en la solucion de patrones de difraccion en dos dimensiones.

4De nuevo esto esta asociado al hecho de que ñ ·E0, no define una proyeccion de E0 sobre ñ debido a que esta operacion no define unproducto interno para vectores complejos.

18.2. POLARIZACION DE ONDAS PLANAS 327

18.2. Polarizacion de ondas planas

Regresemos a las ondas planas con k y n reales (recordemos que esto automaticamente conduce a ω real). Podemoscondensar la notacion para el campo electromagnetico

(E0

B0

)ei(k·r−ωt)

donde E0, B0 son constantes complejas, de modo que los campos electrico y magnetico permanecen fijos en direccionaunque pueden invertir su sentido, ası mismo su amplitud maxima permanece constante. Por esta razon, se dice quelas ondas estan polarizadas linealmente. El lugar geometrico normal al vector de propoagacion de la onda define elplano de polarizacion el cual contiene a E0 y B0 (o mas bien a sus componentes reales). Por convencion consideramosal vector de campo E como representativo de toda la onda plana y en particular de sus propiedade de polarizacion.Por tanto, definimos el vector de polarizacion como un vector unitario definido por la direccion del campo electrico.

Por convencion colocamos a k en la direccion u3 de modo que los campos E y B estan en el plano perpendiculara k. Si superponemos dos ondas linealmente polarizadas de la misma frecuencia y que estan polarizadas en lasdirecciones ua y ub (que forman un plano perpendicular a u3), obtenemos la onda plana homogenea mas general quese propaga en la direccion k = kn, ya que bastan dos vectores linealmente independientes para generar cualquiervector en el plano de polarizacion, el campo electrico resultante es

E = (uaE1 + ubE2) exp [i (k · r− ωt)] (18.18)

E1, E2 son cantidades complejas y su diferencia de fase nos da diferentes formas de polarizacion, usando E1 =E01e

iα, E2 = E02eiβ, el campo electrico se puede reescribir como

E =(uaE01e

iα + ubE02eiβ)exp [i (k · r− ωt)]

E =[uaE01 + ubE02e

i(β−α)]exp [i (k · r− ωt+ α)]

E =[uaE01 + ubE02e

iδ]exp [i (k · r− ωt+ α)]

con δ ≡ β − α. Veamos algunos casos particulares de esta diferencia de fase, asumiendo que ua = ux = u1 y queub = uy = u2 es decir que las ondas linealmente polarizadas tienen polarizaciones perpendiculares entre sı.

1. δ = ±nπ ⇒ eiδ = e±nπ = cosnπ ± i sinnπ = (−1)n; tomando la parte real de las componentes del campo, nosqueda

Ex = E01 cos (kz − ωt+ α)

Ey = (−1)nE02 cos (kz − ωt+ α)

se puede ver que

Ex = (−1)n(E01

E02

)Ey

de modo que obtenemos de nuevo una polarizacion lineal. El modulo del campo es claramente E =√E2

1 + E22 .

Si n = 0 (ondas en fase), el vector de polarizacion forma un angulo θ = arctan (E2/E1) con u1 (vector depolarizacion de la onda plana 1).

2. δ = ±π/2 → eiδ = ±i. El campo electrico vendra dado por

E = [u1E01 ± iu2E02] exp [i (k · r− ωt+ α)]

Las componentes de la parte real del campo resultan ser

Ex = E01 cos (kz − ωt+ α) ⇒ E2x

E201

= cos2 (kz − ωt+ α)

Ey = ∓E02 sin (kz − ωt+ α) ⇒E2y

E202

= sin2 (kz − ωt+ α)


sumando las dos ecuaciones de la derechaE2x

E201

+E2y

E202

= 1

de modo que se obtiene polarizacion elıptica. En el caso en que E01 = E02, se obtiene polarizacion circular.

En el caso de la polarizacion circular, si tomamos un punto fijo en el espacio z = z0, se ve que las componentesson tales que el campo es constante en modulo, y gira en un cırculo con frecuencia angular ω. Para δ = π/2, el campoelectrico gira en sentido antihorario cuando el observador mira hacia la onda que incide, se dice que la onda tienehelicidad positiva, ya que la proyeccion del momento cinetico sobre el eje de propagacion (eje z), es positiva. Tambienpodemos decir que su quiralidad es derecha ya que su sentido de giro viene dado por la regla de la mano derechacuando el dedo pulgar derecho se coloca hacia la direccion de propagacion. Para δ = −π/2, el campo electrico inviertesu sentido de giro de modo que la helicidad es negativa y la quiralidad es izquierda.

Por otro lado, una vez conocido el campo electrico, el campo magnetico se puede hallar a traves de la relacionB = nk×E = µH. El promedio temporal del vector de Poynting se escribe 〈S〉 = c

8πRe (E×H∗) = cn8πµE

2k, donde

E2 = E201 + E2

02 y 〈εF 〉 = εE2

8π de donde resulta que 〈S〉 = v〈εF 〉.En la formulacion anterior hemos usado ondas planas homogeneas linealmente polarizadas como base para generar

cualquier onda plana homogenea. Sin embargo, las ondas planas homogeneas de polarizacion circular sirven igualmentecomo base para la descripcion de un estado cualquiera de polarizacion, definiendo los vectores unitarios complejosortogonales ε± = u1 ± iu2 la onda circularmente polarizada se puede reescribir como

E = E0ε± exp [i (kz − ωt)]

para ondas con helicidad positiva (negativa). Los vectores de polarizacion circular poseen las siguientes propiedades

ε∗± · ε∓ = 0, ε∗± · ε3 = 0 , ε∗± · ε± = 1

una representacion de ondas arbitrariamente polarizadas equivalente a (18.18) es

E (x, t) = (E+ε+ +E−ε−) exp [i (kz − ωt)]

donde E+, E− son coeficientes complejos en la nueva base.Finalmente, vale la pena mencionar que aunque simples desde el punto de vista matematico, las bases de polari-

zacion lineal y circular no son muy adecuadas para la obtencion del estado de polarizacion de una onda plana. Parala determinacion del estado de polarizacion de una onda plana en el laboratorio, es mas adecuado el uso de los cuatroparametros de Stokes (solo tres de ellos son independientes), el lector interesado puede consultar J. D. Jackson y lasreferencias allı citadas.

18.3. Reflexion y transmision de ondas planas cuando se cambia de mediodielectrico

Es familiar el hecho de que cuando una onda cambia de medio dielectrico, su velocidad cambia. Sin embargo,dado que la frecuencia de la onda permanece igual5, su longitud de onda tambien debe cambiar. Eventualmente, ladireccion de propagacion tambien se puede modificar siempre y cuando se mantengan los principios de conservacionde la energıa, el momento y el momento angular. En general supondremos que las unicas condiciones de frontera quedeben satisfacer las ondas son aquellas en la frontera entre los dielectricos, por lo demas asumiremos que la ondaincidente viene desde el infinito y las ondas reflejadas y transmitidas tambien continuan viajando indefinidamente.

La clave para la solucion del problema son las condiciones de frontera entre medios dielectricos, descritas por lasecuaciones (15.16), que para medios isotropicos, lineales y homogeneos se reducen a las Ecs. (15.17). Dado que noslimitaremos a estudiar el comportamiento de las ondas solo en medios lineales, usaremos las condiciones (15.17), lascuales reproducimos aquı por comodidad

ε1E⊥1 − ε2E

⊥2 = σf ; B⊥

1 −B⊥2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ;

B‖1

µ1− B

‖2

µ2= ~λf × n (18.19)

5Se puede demostrar que si la frecuencia cambiara, habrıa una acumulacion (o perdida) indefinida de energıa en la interfase entre losdielectricos.

18.3. REFLEXION Y TRANSMISION DE ONDAS PLANAS CUANDO SE CAMBIA DEMEDIO DIELECTRICO329

examinaremos primero el caso mas sencillo de incidencia normal

18.3.1. Reflexion y transmision con incidencia normal

Supongamos que el plano XY define la frontera entre dos medios lineales. Una onda plana homogenea incidente,con polarizacion en la direccion ux se propaga en la direccion uz acercandose a la interfase en z = 0. El campoelectrico incidente se escribe

EI (z, t) = E0Iei(kIz−ωt)ux

Dado el campo electrico y la direccion de propagacion, el campo magnetico queda determinado por la ecuacion (18.4)

BI (z, t) = n1

(kI ×EI

)= n1

[uz ×

(E0Ie

i(kIz−ωt)ux)]

= n1E0Iei(kIz−ωt)uz × ux

BI (z, t) = n1E0Iei(kIz−ωt)uy

cuando esta onda incide sobre la superficie genera una onda que se refleja y otra que se transmite al otro medio

ER (z, t) = E0Rei(−kRz−ωt)ux

BR (z, t) = n1

(kR ×ER

)= n1

[−uz ×

(E0Re

i(−kRz−ωt)ux)]

BR (z, t) = −n1E0Rei(−kRz−ωt)uy

Nota: es facil caer en el error de creer que el valor de ER debe invertir su signo dado que se trata de la onda reflejada.Sin embargo, debe tenerse en cuenta que la direccion de propagacion la dictamina k y no la direccion del campoelectrico. En todo caso, puesto que E0I y E0R son dos numeros complejos diferentes, sus diferencias de fase son enprincipio arbitrarias y podrıan generar por ejemplo una inversion del campo cuando se refleja.

Aplicando la relacion k = ω/v y teniendo en cuenta que la rapidez de la onda reflejada es la misma que la incidentepuesto que esta en el mismo medio i.e. v = c/

√µ1ε1, y que ademas ω tambien es la misma, se concluye que kR = kI

de modo queER (z, t) = E0Re

i(−kIz−ωt)ux ; BR (z, t) = −n1E0Rei(−kIz−ωt)uy

se puede verificar que efectivamente el vector de Poynting asociado a la onda reflejada va en direccion contraria alvector de Poynting de la onda incidente. Por otro lado, la onda que se transmite viene dada por

ET (z, t) = E0T ei(kT z−ωt)ux ; BT (z, t) = n2E0T e

i(kT z−ωt)uy

ahora aplicando las condiciones de frontera (18.19) para z = 0, se observa que las condiciones asociadas a lascomponentes perpendiculares resultan triviales puesto que los campos no poseen componentes perpendiculares a lasuperficie6. La condicion sobre la componente paralela del campo electrico se escribe

E‖1 −E

‖2 = 0 ⇒ [EI (0, t) +ER (0, t)]−ET (0, t) · ux = 0

⇒ E0Ie−iωt+E0Re

−iωt −E0T e−iωt = 0

resultandoE0I +E0R = E0T (18.20)

la condicion sobre la componente paralela al campo magnetico es

1

µ1[BI (0, t) +BR (0, t)] · uy =

1

µ2BT (0, t) · uy

n1µ1

[EI (0, t) −ER (0, t)] · uy =n2µ2

ET (0, t) · uyn1µ1

[E0I −E0R] =n2µ2

E0T

6Estrictamente, hemos supuesto desde el principio que las ondas reflejada y transmitida no cambian de direccion respecto a la ondaincidente, lo cual es razonable por simetrıa. No obstante, si asumimos que dichas ondas se propagan en una direccion diferente, formandoangulos θ, φ con el eje Z, las condiciones sobre las componentes perpendiculares ya no serıan triviales y nos llevan a que θ = φ = 0, siemprey cuando haya un solo haz reflejado y un solo haz transmitido.


que mas sinteticamente se escribe

[E0I −E0R] = βE0T ; β ≡ µ1n2µ2n1

=µ1v1µ2v2

(18.21)

las Ecs. (18.20, 18.21), nos permiten escribir las amplitudes reflejada y transmitida en terminos de la incidente

E0R =

(1− β

1 + β

)E0I ; E0T =

(2

1 + β

)E0I (18.22)

si β < 1, el factor(1−β1+β

)es positivo con lo cual E0R y E0I estan en fase y solo difieren en su magnitud. Si por el

contrario β > 1 se tiene que

E0R = −∣∣∣∣1− β

1 + β

∣∣∣∣E0I ⇒ E0R =

∣∣∣∣1− β

1 + β

∣∣∣∣ eiπE0I

E0ReiδR =

∣∣∣∣1− β

1 + β

∣∣∣∣E0Iei(δI+π)

luego δR = δI + π de modo que la onda reflejada estarıa en antifase con la incidente. Finalmente, el vector de ondakT se relaciona con kI teniendo en cuenta que los dos estan asociados a la misma frecuencia

kT =ω

v2=ω

v1

v1v2

= kIv1v2

⇒

kT = kIv1v2

= kIn2n1

Un punto interesante consiste en averiguar como se reparte la intensidad incidente entre las ondas reflejada ytransmitida. Para ello usaremos la medida de intensidad tomada como promedio temporal del vector de Poynting,usando la expresion (18.7) calculamos el promedio temporal del vector de Poynting para cada onda

〈SI〉 =cn18πµ1

|E0I |2 uz =cn1E

20I

8πµ1uz

〈SR〉 = − cn18πµ1

|E0R|2 uz = −cn1E20R

8πµ1uz = −

(1− β

1 + β

)2 cn18πµ1

E20Iuz

〈ST 〉 =cn28πµ2

|E0T |2 uz =cn2E

20T

8πµ2uz =

(2

1 + β

)2 cn2E20I

8πµ2uz

definimos el coeficiente de reflexion como el cociente entre la intensidad de la onda reflejada sobre la intensidad dela onda incidente. Analogamente se define el coeficiente de transmision

R ≡ IRII

=|〈SR〉||〈SI〉|

=

(1− β

1 + β

)2

T ≡ ITII

=µ1n2n1µ2

(2

1 + β

)2

= β

(2

1 + β

)2

naturalmente se cumple que R + T = 1, que equivale a la conservacion de la energıa. El balance de intensidadpromedio se puede escribir como

〈SI〉 · uz = 〈SR〉 · (−uz) + 〈ST 〉 · uzlo cual nos dice que la energıa incidente es igual a la suma de la energıa reflejada mas la transmitida. De las Ecs.(18.22), se ve que si β ≈ 1, la onda reflejada es casi nula en tanto que la transmitida queda practicamente como laincidente, lo cual es de esperarse ya que al ser los dos medios casi identicos, el fenomeno se asemeja a la propagacion enun solo medio dielectrico. Si por otro lado, β >> 1, la onda transmitida esta muy atenuada en tanto que la reflejadatiene practicamente las mismas caracterısticas que la incidente, salvo su direccion de propagacion. Adicionalementela onda reflejada estarıa en antifase con la incidente, formando una interferencia casi perfectamente destructiva en elcampo electrico (y casi perfectamente constructiva en el campo magnetico) generando una onda cuasiestacionaria ?*(chequear).


Por otra parte, dado que para la mayor parte de materiales se tiene que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0, la condicion β < 1 (> 1)se traduce en n2 < (>)n1. Los coeficientes de reflexion y transmision quedan

R =

(n1 − n2n1 + n2

)2

; T =4n1n2

(n1 + n2)2

Por ejemplo, cuando la luz pasa del aire (n1 = 1) al vidrio (n2 = 1,5), R = 0,04 y T = 0,96 es decir casi toda la luzse transmite como era de esperarse.

?* Si comparamos el problema anterior con el de la transmision de una onda sobre dos cuerdas en donde el nudotiene masa despreciable y donde µ′1, µ

′2 denota sus densidades lineales, se tiene (bajo el supuesto de que µ1 ≈ µ2 ≈ µ0)

que las relaciones entre las amplitudes incidente reflejada y transmitida son identicas cuando estos coeficientes seescriben en terminos de la velocidad, la condicion n1 ≈ n2 equivale a la condicion µ′1 ≈ µ′2 y n2 >> n1 equivale aµ′2 >> µ′1 ambos equivalentes son razonables ya que el primero implica que se pasa a un medio casi identico al inicialpor lo cual se espera un reflejo debil y una transmision casi perfecta. Por otro lado la condicion mecanica µ′2 >> µ′1equivale a tener una cuerda de masa enorme al otro lado con lo cual se espera que la transmision sea casi nula. ¿quepasa con el caso β << 1?.

18.3.2. Reflexion y transmision con incidencia oblıcua

Tomemos el caso mas general en el cual el angulo de incidencia es θI . Definiremos el plano de incidencia como elformado por la normal n al plano y el vector kI . Por simplicidad hacemos coincidir este plano con el plano XZ. Lasondas monocromaticas que describen a las ondas incidente, reflejada y transmitida vienen dadas por

EI (r, t) = E0Iei(kI ·r−ω1t) ; BI (r, t) = n1

(kI ×EI

)

ER (r, t) = E0Rei(kR·r−ω2t) ; BR (r, t) = n1

(kR ×ER

)

ET (r, t) = E0T ei(kT ·r−ω3t) ; BT (r, t) = n2

(kT ×ET

)

en el caso en el cual no hay cargas ni corrientes libres superficiales en la interfase entre dos medios dielectricos, lascondiciones de frontera tienen la siguiente forma generica

AIei(kI ·r−ω1t) +ARe

i(kR·r−ω2t) = AT ei(kT ·r−ω3t) en z = 0 (18.23)

donde los factores AI , AR, AT no dependen de la posicion ni el tiempo, estas condiciones se tienen que cumplir enlas vecindades de z = 0 para todo x, y, t. En particular, cuando lo aplicamos para todo tiempo se llega a que

ω1 = ω2 = ω3 ≡ ω (18.24)

que es la condicion ya mencionada de que las frecuencias de las ondas incidente reflejada y transmitida son todasiguales. Esto a su vez nos lleva a una relacion entre los tres numeros de onda de la forma

kIv1 = kRv1 = kT v2 = ω ⇒ kI = kR =v2v1kT =

n1n2kT (18.25)

Que coincide con las relaciones ya encontradas para el caso de incidencia frontal. De otro lado, los terminosespaciales de la exponencial deben cumplir

(kI · r)z=0 = (kR · r)z=0 = (kT · r)z=0 ⇒ (18.26)

x (kI)x + y (kI)y = x (kR)x + y (kR)y = x (kT )x + y (kT )y (18.27)

como esto es valido para todo x, y se tiene

(kI)x = (kR)x = (kT )x ; (kI)y = (kR)y = (kT )y

y recordando que por convencion kI yace sobre el plano XZ se tiene que las componentes en Y son nulas, por tantotodos los vectores de onda yacen en el plano XZ a este plano tambien pertenece el vector normal a la superficie (enla direccion ±uz) y se obtiene la


Primera ley: Los vectores de onda de las ondas incidente, reflejada y transmitida ası como el vector normal ala superficie, estan todos contenidos en un mismo plano (el plano de incidencia).

Adicionalmente, a partir de la primera ley y de la igualdad en las componentes X de los vectores de onda seconcluye que

kI sin θI = kR sin θR = kT sin θT (18.28)

donde hemos definido a θI , θR, θT con respecto a la normal n. El angulo de transmision θT es mas conocido comoangulo de refraccion. Vale la pena enfatizar que las relaciones (18.28) dependen del hecho de que todos los vectoresde onda y la normal esten en el mismo plano, es decir dependen de la primera ley. A partir de (18.28) y de lasrelaciones (18.25) se obtienen dos leyes adicionales. Con kI = kR se obtiene que θI = θR; y con kI =

n1n2kT se obtiene

que n1 sin θI = n2 sin θTSegunda ley: El angulo de incidencia es igual al angulo de reflexionTercera ley (ley de Snell o de refraccion):

sin θTsin θI

=n1n2

(18.29)

es notable el hecho de que la extraccion de las tres leyes fundamentales de la optica geometrica solo dependen de laforma generica de las condiciones de frontera y no de dichas condiciones en forma especıfica. Tambien de esta formagenerica se extrae el hecho de que las tres ondas deben tener la misma frecuencia.

Sin embargo, la extraccion del valor de las amplitudes reflejada y transmitida ası como el calculo de los coeficientesIR, IT dependen de la forma especıfica de las condiciones de frontera. Dado que una onda plana homogenea conpolarizacion arbitraria se puede escribir como una superposicion de dos ondas polarizadas linealmente, analizaremosdos casos de polarizacion lineal:

a) Onda incidente con vector de polarizacion perpendicular al plano de incidencia.b) Onda incidente con vector de polarizacion paralelo al plano de incidencia.Despues de estudiar los dos casos separadamente se hace una combinacion lineal de las dos polarizaciones para

obtener cualquier onda plana homogenea. Manteniendo la condicion de que el plano de incidencia es el plano XZ,asumiendo que no hay cargas ni corrientes superficiales libres en z = 0 y teniendo en cuenta que las exponenciales secancelan en las condiciones de frontera debido a (18.24, 18.26), las condiciones de frontera (18.19) en componentesse simplifican a

ε1 [E0I +E0R]z = ε2 [E0T ]z ; [B0I +B0R]z = [B0T ]z

[E0I +E0R]x,y = [E0T ]x,y ;1

µ1[B0I +B0R]x,y =

1

µ2[B0T ]x,y (18.30)

analizaremos ahora cada uno de los casos

Polarizacion perpendicular al plano de incidencia

Al ser la polarizacion perpendicular a XZ, el campo electrico incidente se puede escribir como

EI (z, t) = (E0I)y ei(kI ·r−ωt)uy ; kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

las Ecs. (18.24, 18.26), nos dicen que las fases de todas las ondas son iguales y por tanto se factorizan de las condicionesde frontera, de modo que toda informacion adicional estara contenida en las amplitudes, podrıamos decir que lastres leyes fundamentales de la optica geometrica ya extrajeron toda la informacion contenida en la exponenciales.Asumiendo que los campos electricos reflejado y transmitido son tambien perpendiculares a XZ y recordando quesolo necesitamos los coeficientes de los campos (sin el exponencial) se obtienen los siguientes valores de los coeficientespara los campos electricos y magneticos (ver apendice D.1)

E0I = (E0I)y uy ; B0I = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux]

E0R = (E0R)y uy ; B0R = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux]

E0T = (E0T )y uy ; B0T = −

n1 sin θIuz +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y


donde los vectores de onda se escriben

kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

kR = −kI sin θIux − kI cos θIuz

kT = kT

−n1

n2sin θIux +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

uz

y los angulos θI , θR, θT son todos positivos y medidos respecto a la normal a la superficie. Las condiciones de fronteraaplicadas a estos coeficientes nos da

(E0I)y + (E0R)y = (E0T )y

n1 cos θIµ1

[− (E0I)y + (E0R)y

]= − 1

µ2

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

(E0T )y

una de las condiciones resulta trivial porque los campos no tienen componente Z7 y la otra reproduce la primeracondicion arriba escrita (ver apendice D.1).

Asumiendo µ1 ∼= µ2 ∼= µ0, estas condiciones conducen a

E0R =cos θI − (n2/n1) cos θTcos θI + (n2/n1) cos θT

E0I

E0T =2cos θI

cos θI + (n2/n1) cos θIE0I

conocidas como ecuaciones de Fresnel para polarizacion perpendicular al plano de incidencia. Notese que la reflejadapuede estar en fase o antifase con la incidente, en tanto que la transmitida siempre esta en fase con esta ultima.

Polarizacion paralela al plano de incidencia

Teniendo en cuenta que las ondas reflejadas y transmitida tambien estarıan polarizadas en el plano incidente, lascondiciones de frontera conducen a las siguientes ecuaciones

ε1 (−E0I sin θI +E0R sin θR) = ε2 (−E0T sin θT )

E0I cos θI +E0R cos θR = E0T cos θT1

µ1v1(E0I −E0R) =

1

µ2v2E0T

usando las leyes de reflexion y refraccion, la primera y tercera de estas ecuaciones se reducen a

E0I −E0R = βE0T

y la segunda queda

E0I +E0R = αE0T ; α ≡ cos θTcos θI

=

√1−

(n1n2

)2sin2 θI

cos θI

las ecuaciones de Fresnel para las amplitudes quedan

E0R =

(α− β

α+ β

)E0I ; E0T =

(2

α+ β

)E0I

de aquı se puede ver que la onda trasmitida siempre esta en fase con la incidente, en tanto que la reflejada esta enfase (antifase) si α > (<)β.

7Esta condicion resulta trivial gracias a la suposicion inicial de que las ondas reflejada y transmitida son tambien perpendiculares aXZ, de otro modo conducen justamente a esta conclusion.


Se puede ver que con incidencia normal θI = 0, se reduce todo correctamente. Cuando la incidencia es paralela ala superficie i.e. θI = π/2, α diverge y la onda es totalmente reflejada. Adicionalmente hay un angulo intermedio enel cual la onda reflejada se extingue completamente, (angulo de Brewster θB), que ocurre cuando α = β i.e.

sin2 θB =1− β2

(n1/n2)2 − β2

las intensidades incidente, reflejada y transmitida vienen dadas por la magnitud del valor promedio del vector dePoynting

II =1

2ε1v1E

20I cos θI ; IR =

1

2ε1v1E

20R cos θR

IT =1

2ε2v2E

20T cos θT

en este caso se ha tenido en cuenta que el area subtendida por la superficie es oblıcua es decir subtiende un angulocon respecto al frente de onda, de lo cual surgen los cosenos

R =

(α− β

α+ β

)2

; T = αβ

(2

α+ β

)2

; R+ T = 1

R+ T expresa la conservacion de la energıa ya que la energıa por unidad de tiempo que incide sobre una porcion dearea debe ser igual a la energıa por unidad de tiempo que sale de esta porcion (repartida entre la onda reflejada ytransmitida), asumiendo que no hay absorcion en la superficie. Notese que para polarizacion perpendicular no existeangulo de Brewster, y el unico caso en que no hay onda reflejada es el caso trivial en el que β = 1, de modo que losdos medios son opticamente indistinguibles.

—————–Usando µ1 = µ2 las ecuaciones de Fresnel para polarizacion paralela se pueden escribir como

E0R =

(tan (θI − θT )

tan (θI + θT )

)E0I ; E0T =

(2 cos θI sin θT

sin (θI + θT ) cos (θI − θT )

)E0I

se pueden ver los lımites de anulacion del rayo reflejado, el trivial (θI = θT donde n1 = n2) y el de BrewsterθI+θT = π/2 vemos que si existiera el vector de onda kR serıa perpendicular al trasmitido. En el caso de polarizacionparalela el rayo reflejado se anula de modo que kR no existe.

Polarizacion arbitraria

Las ecuaciones de Fresnel para polarizacion paralela y perpendicular se pueden combinar en una sola expresionescogiendo un par de vectores unitarios que por comodidad escogeremos ası: u1 (antiparalelo a Y ) y k × u1 que sesitua en el plano de polarizacion, de esta forma se obtiene

u1 (E0R)⊥ = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ ; u1 (E0T )⊥ = u1

sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥

(kR × u1

)(E0R)‖ =

(kR × u1

) tan (θI − θT )

tan (θI + θT )(E0I)‖

(kT × u1

)(E0T )‖ =

(kT × u1

) 2 cos θI sin θTsin (θI + θT ) cos (θI − θT )

(E0I)‖

por otro lado

E0R = u1 (E0R)⊥ +(kR × u1

)(E0R)‖

E0T = u1 (E0T )⊥ +(kT × u1

)(E0T )‖

con lo cual queda

E0R = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ +

(kR × u1

) tan (θI − θT )

tan (θI + θT )(E0I)‖

E0T = u1sin (θT − θI)

sin (θT + θI)(E0I)⊥ +

(kT × u1

) 2 cos θI sin θTsin (θI + θT ) cos (θI − θT )

(E0I)‖


se puede ver en esta expresion que cuando θI = θB, la onda reflejada solo tiene componente perpendicular al planode polarizacion. Esto se explica por el hecho de que la polarizacion arbitraria se puede ver como una superposicion deuna onda polarizada paralelamente y otra perpendicularmente al plano de incidencia, cuando el angulo de incidenciacoincide con el angulo de Brewster la onda reflejada correspondiente a la componente paralela desaparece y soloqueda la componente con polarizacion perpendicular, el efecto neto es que cuando la onda incidente con polarizacionarbitraria incide con el angulo de Brewster, se obtiene una onda reflejada polarizada en una direccion paralela a lainterfase y perpendicular al plano de incidencia. A este fenomeno se le conoce como polarizacion por reflexion, yal angulo de Brewster se le llama tambien angulo de polarizacion.

18.3.3. Reflexion total interna

Si tenemos una onda que va de un medio 1 a un medio 2 de tal forma que n2 < n1, y aumentamos gradualmenteel angulo de incidencia, llega el momento en el cual θT = π/2, para un cierto θI = θc (angulo crıtico), este angulo sepuede hallar por ley de Snell

n1 sin θc = n2 sinπ/2 ; θc = arcsin

(n2n1

)

veamos ahora lo que ocurre para angulos incidentes mayores al crıtico, usando ley de Snell

sin θT =n1n2

sin θI =sin θIsin θc

> 1

de modo que sin θT es un numero real mayor que uno, esto implica que θT debe ser complejo

cos θT =√

1− sin2 θT =

√

1− sin2 θI

sin2 θc=√

1− w2 = iQ

Q ≡√w2 − 1 ; w = sin θT

de modo que la onda transmitida se escribe como

ET = E0T ei(kT ·r−ωt)

calculando kT · r

kT · r = (−kT sin θTux + kT cos θTuz) · (xux + zuz)

kT · r = kT z cos θT − kTx sin θT

reemplazando en la onda transmitida

ET = E0T ei(kT ·r−ωt) = E0T exp [i (kT z cos θT − kTx sin θT − ωt)]

ET = E0T exp [ikT z (iQ)− kTxw − ωt]ET = E0T exp [−kT zQ] exp [−i (kTxw + ωt)]

esta expresion nos indica que la onda trasmitida (o refractada) se propaga sin amortiguamiento en la direccion −uxy se propaga con amortiguamiento en la direccion uz. Finalmente, hay una forma muy conveniente de reescribir lafase oscilante de esta onda

kTxw + ωt = kTw

(x+

ωt

kTw

)= kTw (x+ vt)

de lo cual se sigue que v es la velocidad de fase y

v =ω

kTw=

c

n1 sin θI


18.4. Absorcion y dispersion

18.4.1. Ondas planas en medios conductores

En las condiciones de frontera que hemos trabajado hasta ahora, hemos asumido que la densidad de carga y decorriente libres, es nula. Aunque esta suposicion puede ser razonable para medios dielectricos, como el vidrio o elagua destilada, no es en general cierto en el caso de medios conductores. En este caso, la ley de Ohm nos dice que lacorriente libre en un medio conductor es proporcional al campo electrico

Jf = σE

en este caso las ecuaciones de Maxwell para medios lineales isotropos y homogeneos asumen la siguiente forma

∇ · E =ρfε

; ∇×E = −∂B∂t

(18.31)

∇ ·B = 0 ; ∇×B = µJf + µε∂E

∂t(18.32)

Es facil demostrar que estas ecuaciones de Maxwell conducen a las siguiente ecuaciones de onda inhomogeneas paralos campos E, B

∇2E− εµ

c2∂2E

∂t2= 4π∇ρf +

4πµ

c2∂Jf∂t

∇2B− εµ

c2∂2B

∂t2= −4π

c(∇× Jf ) (18.33)

Por otro lado la ecuacion de continuidad para las cargas y corrientes libres nos da

∇ · Jf = −∂ρf∂t

usando la ley de Ohm y la ley de Gauss en la ecuacion de continuidad se llega a

σ∇ · E = −∂ρf∂t

=σ

ερf

donde hemos asumido σ constante lo cual es consistente con la suposicion de homogeneidad del material. Estaecuacion diferencial tiene solucion para ρf en funcion del tiempo

ρf (t) = e−(σ/ε)tρf (0)

lo cual significa que cualquier carga libre que este inicialmente presente, se disipara con un tiempo caracterısticodado por τ = ε/σ. Este hecho implica que aun en presencia de campos dependientes del tiempo, la carga libre en elinterior del conductor tiende a emigrar a la superficie de este. Para un conductor ideal σ → ∞, y τ → 08. Una formamas realista de hablar de un buen conductor es comparando τ con cualquier otro tiempo caracterıstico del sistema(por ejemplo con 1/ω donde ω es una frecuencia de oscilacion caracterıstica del sistema). Teniendo en cuenta quelos tiempos de disipacion de carga libre son muy cortos (∼ 10−14s) esta fase transitoria es usualmente despreciabley no la consideraremos en lo que sigue de modo que la ley de Gauss en (18.31) resulta en una ecuacion homogenea.Usando la ley de Ohm se tiene que

∇× Jf = σ∇×E = −σc

∂B

∂t;∂Jf∂t

= σ∂E

∂t

con ρf = 0, y los resultados anteriores, las ecuaciones de onda (18.33) resultan

∇2E− εµ

c2∂2E

∂t2=

4πµσ

c2∂E

∂t

∇2B− εµ

c2∂2B

∂t2=

4πµσ

c2∂B

∂t8Por supuesto, cualquier modelo realista impone lımites a este tiempo por efectos relativistas. Por otro lado para tiempos caracterısticos

menores que el tiempo promedio entre colisiones τc, el tiempo tıpico de disipacion de carga libre esta dado por τC y no por τ . En realidadesto ocurre para la mayorıa de buenos conductores.

18.4. ABSORCION Y DISPERSION 337

(∇2 − εµ

c2∂2

∂t2− 4πµσ

c2∂

∂t

)(E (r, t)B (r, t)

)= 0 (18.34)

el termino extra en esta “ecuacion de onda modificada” actua como un amortiguamiento (similar al amortiguamientoen fluıdos que es usualmente proporcional a la primera derivada de la posicion). Es natural preguntarse si la solucionde onda plana es todavıa una solucion a esta ecuacion diferencial y en caso afirmtivo, cuales son las diferencias conrespecto a la solucion no amortiguada. Si introducimos una solucion tipo onda plana de la forma

E (r, t) = E0 exp[i(k · r− ωt

)]; B (r, t) = B0 exp

[i(k · r− ωt

)]

en la ecuacion de onda, resulta que

−k2 + εµω2

c2+ i

4πµσω

c2= 0 ⇒ k2 =

εµω2

c2

(1 + i

4πσ

εω

)(18.35)

donde hemos parametrizado al vector k = kk donde k es un vector unitario real y k es complejo9. Ahora parametri-zamos

k ≡ α+ iβ (18.36)

sacando la raız cuadrada de k2 resulta

α =ω

c

√µε

2

√

1 +

(4πσ

ωε

)2

+ 1

1/2

; β =ω

c

√µε

2

√

1 +

(4πσ

ωε

)2

− 1

1/2

(18.37)

finalmente definimos ξ ≡ k · r y escribimos

E (r, t) = E0 exp (−βξ) exp [i (αξ − ωt)]

la parte compleja de k nos da el factor de amortiguamiento. De una forma similar al caso con vector de onda real, esposible encontrar una relacion entre E y B. Reemplazando la forma de la onda plana en la ley de Faraday se obtiene

B =ck

ωk ×E

con lo cual tenemos una extension natural compleja para el ındice de refraccion

B = nk ×E ; n ≡ ck

ω

debido al factor complejo en n, los campos E y B estan en general en desfase. Para calcular la diferencia de faseentre ambos basta con extraer la fase del vector de onda complejo

k =∣∣∣k∣∣∣ eiφ =

√α2 + β2eiφ ; tan φ =

β

α

tan 2φ =2 tan φ

1− tan2 φ=

2β

α(1− β2

α2

) =2αβ

α2 − β2=

4πσ

ωε

⇒ φ =1

2arctan

(4πσ

ωε

)

y∣∣∣k∣∣∣ =

√α2 + β2 =

ω√µε

c

[1 +

(4πσ

ωε

)2]1/4

9Notese que esta no es la forma mas general de parametrizar un vector complejo, ya que con esta parametrizacion se esta asumiendo quetodas las componentes complejas del vector poseen la misma fase. No obstante, tal parametrizacion nos brinda una solucion consistentepara la Ec. (18.35)


con lo cual la expresion para B en funcion de E resulta

B =√µε

[1 +

(4πσ

ωε

)2]1/4

eiφ(k ×E

)

el campo magnetico esta “atrasado” en una fase φ con respecto al campo electrico. Recurriendo a las ecuaciones deMaxwell con divergencia se llega de nuevo a que los campos son transversales, la relacion anterior nos muestra quetambien son perpendiculares entre sı ya que k es un vector real. La ecuacion de Ampere Maxwell no da informacionadicional.

Volviendo a la expresion original para k2 Ec.(18.35) vemos que la parte real proviene de la corriente de desplaza-miento en tanto que la parte imaginaria proviene de la corriente de conduccion. Como la parte imaginaria es la quenos da la desviacion con respecto al caso con vector de onda real, usaremos como parametro de desviacion el cocienteentre ellos es decir 4πσ/ (ωε), con lo cual se distinguen dos casos

1) 4πσ/ (ωε) << 1, lo cual corresponde a malos conductores o buenos conductores a muy altas frecuencias,expandiendo α y β de (18.37), en terminos de este cociente, se obtiene

α ≈ ω

c

√µε

[1 +

1

2

(2πσ

ωε

)2]

; β ≈ 2πσ

c

√µ

ε

asumiendo que σ, ε, µ son independientes de ω de modo que no se presenta dispersion, se tiene que el amortiguamientoβ tambien es independiente de ω.

En el caso de malos conductores β ∼ 0, la atenuacion es pequena como era de esperarse ya que nos acercamosalcaso de vector de onda real. Tambien son validas para malos conductores las siguientes aproximaciones

∣∣∣k∣∣∣ ≃ ω

c

√µε ; φ ≃ 0 ; |B| ≃ √

µε |E|

de modo que los campos estan aproximadamente en fase como era de esperarse.Por otro lado, podemos calcular la velocidad de fase

αξ − ωt = α (ξ − ωt/α) = α (ξ − vt) ; v = ω/α =c

√µε[1 + 1

2

(2πσωε

)2]

la velocidad de grupo se calcula como

vg =dω

dα≃ c√

µε

2) 4πσ/ (ωε) >> 1, lo cual corresponde a buenos conductores o malos conductores a muy bajas frecuencias,sin embargo dado que las frecuencias usualmente son altas estamos en el regimen de buenos conductores10. Losparametros en este caso se aproximana a

α ≃ β ≃√2πµσ

c;∣∣∣k∣∣∣ ≃ 1

c

√4πµωσ ; φ ≃ π/4

|B| ≃√µε

(4πσ

ωε

)|E| ⇒ |B| >> |E|

Lo anterior nos indica que la densidad de energıa es mayormente magnetica, en el caso lımite ω → 0, la energıa sevuelve puramente magnetica lo cual nos dice que un campo electrostatico es totalmente apantallado en el interior deun conductor como era de esperarse.

Es interesante calcular de nuevo la velocidad de fase y la velocidad de grupo

v (ω) ≃ c

√ω

2πµσ=

c√µε

√ωε

4πσ< c

vg (ω) =dω

dα=

c√µε

√2ωε

πσ<< c

10En la mayorıa de los metales σ/ε ≈ 108 tal que la condicion se cumple para frecuencias debajo de 1017s−1, es decir de la region derayos X hacia abajo.

18.4. ABSORCION Y DISPERSION 339

vemos que para el caso de medios disipativos las velocidaes de fase y de grupo son funcion e la frecuencia. En elfactor de amortiguamiento e−iβξ se puede definir β ≡ 1/δ donde δ tiene unidades de longitud. En realidad δ define elparametro de penetracion o piel del conductor, que para una frecuencia dada nos da la longitud que recorre la ondapara decrecer en un fator 1/e con respecto a su valor en la superficie.

En un buen conductor la corriente de conduccion domina sobre la corriente de desplazamiento, con lo cual laecuacion de onda se puede aproximar de la siguiente forma

∇2E− 4πσµ

c2∂E

∂t= 0

y usando Jf = σE

∇2Jf −4πσµ

c2∂Jf∂t

= 0

ambas ecuaciones tienen la forma de una ecuacion de difusion, de modo que es de esperarse que sus solucionesdecaigan con la distancia, como ya se ha visto en la solucion general.

18.4.2. Reflexion y transmision en superficies metalicas

Para el estudio de la reflexion y transmision de un medio dielectrico 1 a un medio conductor 2, se utiliza unaestrategia similar a la utilizada en la seccion (18.3). Se comienza con las condiciones de frontera generales Ecs.(18.19), teniendo en cuenta que un material ohmico de conductividad finita requerirıa un campo electrico infinito enla superficie para sostener una corriente superficial, solo los conductores ideales pueden sostener tales corrientes, demodo que se omitiran debido a que los materiales reales son buenos conductores pero no conductores ideales.

Asumiremos incidencia frontal de una onda desde un medio dielectrico (medio 1) hacia un medio conductor (medio2). El plano XY determina el lımite entre ambos medios, las ondas incidente reflejada y transmitida se escriben como

EI (z, t) = E0Iei(kIz−ωt)ux ; BI (z, t) =

ckIω

E0Iei(kIz−ωt)uy

ER (z, t) = E0Rei(−kIz−ωt)ux ; BR (z, t) = −ckI

ωE0Re

i(−kIz−ωt)uy

ET (z, t) = E0T ei(kT z−ωt)ux ; BT (z, t) =

ckTω

E0T ei(kT z−ωt)uy

donde se ha tenido en cuenta que solo la onda transmitida presenta atenuacion ya que es la unica que se propaga enel medio conductor, de modo que puede tener vector de onda complejo.

Tomando la ecuacion (18.35)

k2T =µ2ε2ω

2

c2

[1 +

4πσ2ε2ω

i

]

por otro lado, dado que no hay componentes perpendiculares de los campos, una de las condiciones de frontera estrivial y la otra conduce a σf = 0, las condiciones sobre las componentes paralelas conducen a

Eq1 −Eq

2 = 0 → E0I +E0R = E0T

Bq1

µ1− Bq

2

µ2= 0 → E0I −E0R = βE0T

β ≡ µ1v1µ2v2

kT

como la condicion de frontera se evalua en z = 0, la relacion entre las amplitudes tiene la misma forma que en el casoen el cual el vector de onda era real. Hemos asumido conductividad finita de modo que no hay corriente superficialen la interfase. Se sigue que

E0R =

(1− β

1 + β

)E0I ; E0T =

(2

1 + β

)E0I (18.38)

Es util escribir kT en terminos de la longitud de penetracion Ec. (18.36)

kT = α+i

δ(18.39)


y teniendo en cuenta la definicion de β, las relaciones de Fresnel para el caso µ1 = µ2 = 1 quedan

E0R =

[(1 + i) (λ/δ) − n1(1 + i) (λ/δ) + n1

]E0I ; E0T =

(2n1

(1 + i) (λ/δ) + n1

)E0I

siendo λ la longitud de onda y δ la longitud de penetracion. Los coeficientes de reflexion y transmision se escriben

R =[1− (δ/λ) n1]

2 + 1

[1 + (δ/λ) n1]2 + 1

; T = 1−R (18.40)

para un conductor perfecto σ = ∞, y por tanto tomando∣∣∣β∣∣∣ = ∞, en (18.38) o δ = 0 en (18.40) se ve que para

conductores perfectos el coeficiente de reflexion es igual a la unidad. Las superficies conductoras son buenas reflectoras.Mas fenomenologicamente se requiere que (δ/λ) n1 << 1 para una buena reflexion.

Como las relaciones entre amplitudes son ahora coeficientes complejos, hay diferencias de fase entre las ondasreflejada y transmitida con respecto a la incidente. En particular, para conductores perfectos se encuentra que todala onda incidente se refleja con un desfase de π respecto a la onda incidente, de modo que los buenos conductores

hacen buenos espejos, lo cual se puede visualizar tomando∣∣∣β∣∣∣→ ∞ en (18.38).

De lo anterior se ve que para buenos conductores se puede hacer la aproximacion E0I ≈ E0R, de modo que elcampo total en el medio 1 viene dado por

E = EI +ER ≈ E0Ie−iωt

[eikIz − e−ikIz

]ux

tomando la parte realE =2uxE0I sinωt sin kIz

lo cual describe una onda estacionaria en el medio 1, esta expresion es exacta cuando se asume conductor perfecto,con esta misma aproximacion y usando (18.39) se obtiene

E0T ≈ 2δ n1(1 + i)λ

E0I ⇒ ET = uxE0T e−z/δei[(z/δ)−ωt]

la onda transmitida se amortigua en la direccion z (perpendicular a la interfase), y este amortiguamiento es mayorcuando crece la conductividad. Naturalmente, la onda transmitida se extingue cuando el conductor es perfecto comodebe ser. La fase entre E0I y E0R es aproximadamente π como era de esperarse.

Para conductor perfecto el campo electrico se anula en la interfase pero no el campo magnetico. En el interiordel conductor perfecto los campos son nulos, es decir son buenos escudos electromagneticos. En sıntesis el conductorperfecto no admite campos en su interior ni campos electricos tangenciales cerca a la superficie, pero sı admitencampos magneticos tangenciales encima de su superficie. Las cargas en el interior de estos conductores se mueveninstantaneamente (por supuesto que la relatividad pone un lımite de modo que el modelo no funciona para muy altasfrecuencias), en respuesta a los campos de modo que producen la densidad superficial y corriente superficial paraanular los campos electricos y magneticos. Recordemos que las corrientes superficiales solo aparecen en conductoresperfectos.

De n ·B = 0 y n× E = 0 se sigue que conductores perfectos no admiten campos electricos normales ni camposmagneticos tangenciales en su superficie.

18.5. Dispersion de ondas en un medio dielectrico

En las secciones anteriores hemos visto que la propagacion de ondas en la materia depende fundamentalmente deε, µ y σ. En la realidad estas cantidades dependen en cierta medida de la frecuencia de la onda incidente. Usualmentela cantidad mas sensible a la frecuencia es la permitividad, esto a su vez conduce a que el ındice de refraccion dependade la longitud de onda y que la velocidad sea funcion de la frecuencia, tal fenomeno se conoce como dispersion11.Un medio se dice dispersivo si la velocidad de la onda en dicho medio es funcion de la frecuencia. Por simplicidadtrabajaremos el fenomeno de dispersion en el caso de ondas monocromaticas.

11El desdoblamiento espectral en un prisma es el mas clasico de los ejemplos de dependencia del ındice de refraccion con la longitud deonda.

18.5. DISPERSION DE ONDAS EN UN MEDIO DIELECTRICO 341

En medios no conductores, los electrones estan fuertemente ligados a sus atomos y moleculas, asumiremos unmodelo en el cual los electrones realizan movimiento armonico simple alrededor de su posicion de equilibrio, conlos nucleos fijos debido a que son muy masivos. Dado que la carga esta vibrando, presenta perdidas de energıapor radiacion y posiblemente por interaccion con partıculas vecinas. En presencia de una onda electromagnetica elelectron es sometido a una “fuerza aplicada” de la forma qE. La fuerza total sobre el electron sera entonces modeladade la siguiente forma:

Fenlace = −kx = −mω20x, Faplicada = qE = qE0 cosωt

Famortig = −mγdxdt

donde hemos supuesto una onda monocromatica, usando la segunda ley de Newton llegamos entonces a la ecuaciondiferencial de un oscilador armonico amortiguado y forzado

md2x

dt2+mγ

dx

dt+mω2

0x = qE0 cosωt (18.41)

donde ω0 serıa la frecuencia natural del sistema y ω la frecuencia aplicada (frecuencia de la onda que incide). La faseestacionaria de la solucion se obtiene facilmente a traves de la extension compleja de esta ecuacion

d2x

dt2+ γ

dx

dt+ ω2

0x =q

mE0e

−iωt

y recordando que en esta clase de problemas el sistema termina vibrando con la frecuencia aplicada, postulamos

x (t) = x0e−iωt

que al insertarlo en la Ec. (18.41) nos da

x0 =q/m

ω20 − ω2 − iγω

E0

el momento dipolar es la parte real de

p (t) = qx (t) =q2/m

ω20 − ω2 − iγω

E0e−iωt

la parte imaginaria en el denominador nos dice que p tiene un retraso de fase con respecto a E, el lector puededemostrar que esta diferencia de fase viene dada por

arctan

[γω

ω20 − ω2

]

esta diferencia de fase es muy pequena para ω << ω0 y tiende a π cuando ω >> ω0.En general los electrones en una molecula pueden experimentar diferentes frecuencias naturales y amortiguamien-

tos12. si fj es el numero de electrones con frecuencia y amortiguamiento ωj, γj en cada molecula y adicionalmenteN es la densidad de moleculas, el vector de polarizacion P viene dado por la parte real de

P =Nq2

m

∑

j

fjω2j − ω2 − iγjω

E

por otro lado, hemos definido previamente la susceptibilidad electrica de la forma P = ε0χeE. Debido a las diferenciasde fase las partes reales de P y E no definen una relacion de proporcionalidad, es decir el medio no es estrictamentelineal, pero dado que esta proporcionalidad sı se cumple para la parte compleja, es natural definir la susceptibilidadcompleja como

P = ε0χeE

12Es natural pensar que si el amortiguamiento se debe a la perdida por radiacion debida a la vibracion del electron, entonces elamortiguamiento debe ser funcion de la frecuencia natural, en este modelo simplificado ignoramos tal efecto.


adicionalmente definimos la constante de proporcionalida entre D y E como la permitividad compleja ε =ε0 (1 + χe) y la constante dielectrica compleja para este modelo en particular queda

εr = 1 +Nq2

mε0

∑

j


(18.42)

la parte imaginaria es usualmente despreciable salvo en las regiones en las cuales ω se acerca a una de las frecuenciasde resonancia.

En un medio dispersivo la ecuacion de onda tiene una solucion tipo onda plana de la forma

E = E0ei(kz−ωt)

y el numero de onda es complejo dado quek =

√εµ0ω

separando de nuevo k en sus partes real e imaginaria

k = k + iκ⇒ E (z, t) = E0e−κzei(kz−ωt)

la onda es atenuada, esto se puede ver de el hecho de que un oscilador amortiguado forzado debe absorber la mismaenergıa que pierde a fin de mantener oscilaciones estacionarias. De otra parte, dado que la intensidad depende de E2

y por tanto de e−2κ la cantidadα ≡ 2κ

se define como el coeficiente de absorcion. La fase oscilatoria define la velocidad de la onda y el ındice de refraccion

v =ω

k; n =

ck

ω

para gases el segundo termino en (18.42) es pequeno y se puede expandir√1 + ε ≃ 1 + 1

2ε y se obtiene

k =ω

c

√εr ≃

ω

c

1 + Nq2

2mε0

∑

j


n =ck

ω≃ 1 +

Nq2

2mε0

∑

j

fj

(ω2j − ω2

)

(ω2j − ω2

)2+ γ2jω

2

α = 2κ ≃ Nq2ω2

mε0c

fjγj(ω2j − ω2

)2+ γ2jω

2

Capıtulo 19

Guıas de onda y cavidades resonantes

Hasta el momento hemos estudiado las propiedades de propagacion de ondas en el vacıo y la materia pero encondiciones tales que las ondas no estan confinadas en ninguna forma. En el presente capıtulo estudiamos el efecto quetiene confinar la propagacion de la onda en un cuerpo metalico hueco tipo cilındrico, es decir un material dielectrico(tal vez el vacıo) rodeado de paredes metalicas de tal forma que posea una seccion transversal constante. El efectopiel antes estudiado nos garantiza que el uso de paredes metalicas nos permite efectivamente confinar el campoa las regiones interiores a las paredes metalicas, si el conductor es ideal este confinamiento sera exacto. Cuandoel cuerpo tiene extremos cerrados hablamos de una cavidad resonante en tanto que el caso de extremos abiertoscorresponde a una guıa de onda. Asumiremos que el medio dielectrico interior es lineal isotropo y homogeneo. Aligual que en el estudio de ondas planas libres en un medio dielectrico asumiremos que no hay fuentes de carga nicorriente en el volumen de la forma tipo cilındrica. Usaremos entonces las ecuaciones de Maxwell en la forma de laEc. (18.1). Asumiendo una dependencia temporal armonica de la forma e−iωt del campo electromagnetico tenemosque las ecuaciones de Maxwell con rotacional se escriben

∇×E = −1

c

∂[B0 (r) e

−iωt]

∂t⇒ ∇×E =

iω

cB0 (r) e

−iωt ⇒ ∇×E =iω

cB

∇×B =µε

c

∂[E0 (r) e

−iωt]

∂t⇒ ∇×B = −iωµε

cE0 (r) e

−iωt ⇒ ∇×B = −iµεωcE

las ecuaciones de Maxwell quedan entonces en la forma

∇ · E = 0 ; ∇×E =iω

cB

∇ ·B = 0 ; ∇×B = −iµεωcE (19.1)

para desacoplar las ecuaciones podemos tomar las ecuaciones de onda (18.2) que se derivan de las Ecs. (18.1) usandoexplıcitamente la forma armonica e−iωt para E y B

−∇2E+µε

c2∂2[E0 (r) e

−iωt]

∂t2= 0 ⇒ ∇2E− (−iω)2 µε

c2E0 (r) e

−iωt = 0

e identicamente para B con lo cual las ecuaciones de onda quedan en la forma

∇2E+ µεω2

c2E = 0 ; ∇2B+ µε

ω2

c2B = 0 (19.2)

debido a la simetrıa cilındrica del problema, es de esperarse encontrar onda viajeras que se propaguen en la direccionde z positiva y negativa u ondas estacionarias a lo largo de z

E (x, y, z, t) = E (x, y) e±ikz−iωt ; B (x, y, z, t) = B (x, y) e±ikz−iωt (19.3)

donde el numero de onda k es una cantidad real o compleja aun por determinar. Dado que z define una direccionprivilegiada de propagacion, es natural descomponer el operador diferencial ∇2 en sus componentes longitudinal ytransversal

∇2 =

(∂

∂x2+

∂

∂y2

)+

∂

∂z2= ∇2

T + ∂2z

343

344 CAPITULO 19. GUIAS DE ONDA Y CAVIDADES RESONANTES

usando esta descomposicion y las Ecs. (19.2, 19.3) para el campo electrico se obtiene(∇2 + µε

ω2

c2

)E =

(∇2T + ∂2z + µε

ω2

c2

)E (x, y) e±ikz−iωt = 0

⇒(∇2T + µε

ω2

c2− k2

)E (x, y) e±ikz−iωt = 0

esta ecuacion es valida para todo t y z por lo tanto(∇2T + µε

ω2

c2− k2

)E (x, y) = 0 (19.4)

con una ecuacion identica para el campo magnetico. Ası mismo, es natural descomponer los campos en sus compo-nentes longitudinal y transversal

E = Ez +ET ; B = Bz +BT (19.5)

veremos a continuacion que es suficiente conocer las componentes longitudinales ya que las transversales vienen dadasen terminos de estas. De las Ecs. (19.1) y usando (19.5) se tiene

∇×E =iω

cB ⇒

(−→∇T +−→∇z

)× (ET +Ez) =

iω

c(BT +Bz) (19.6)

calculemos cada termino de la izquierda

−→∇z ×Ez = uz∂z ×Ez =∂Ez∂z

uz × uz = 0

−→∇T ×ET = (ux∂x + uy∂y)× (Exux + Eyuy) = (ux × uy) ∂xEy + (uy × ux) ∂yEx = (∂xEy − ∂yEx)uz−→∇z ×ET = uz∂z × (Exux + Eyuy) = (uz × ux) ∂zEx + (uz × uy) ∂zEy = uy∂zEx − ux∂zEy−→∇T ×Ez = (ux∂x + uy∂y)× Ezuz = −uy∂xEz + ux∂yEz

es claro que el termino−→∇T × ET es netamente longitudinal en tanto que los terminos

−→∇z × ET y−→∇T × Ez son

netamente transversales. Por tanto la Ec. (19.6) se puede descomponer en sus partes longitudinal y transversal

−→∇T ×ET =iω

cBz ;

−→∇z ×ET +−→∇T ×Ez =

iω

cBT (19.7)

multiplicando la segunda ecuacion por el operador−→∇z× resulta

−→∇z ×(−→∇z ×ET

)+

−→∇z ×(−→∇T ×Ez

)=iω

c

(−→∇z ×BT

)(19.8)

resolviendo los productos de operadores tenemos

−→∇z ×(−→∇z ×ET

)=

−→∇z

(−→∇z · ET

)−(−→∇z ·

−→∇z

)ET

−→∇z ×(−→∇T ×Ez

)= −

(−→∇z ·−→∇T

)Ez +

−→∇T

(−→∇z · Ez

)

puede verse que los primeros terminos a la derecha se anulan porque corresponden a productos escalares de vectoresortogonales

−→∇z

(−→∇z · ET

)= uz∂z [uz∂z · (Exux + Eyuy)] = uz∂z [(uz · ux) ∂zEx + (uz · uy) ∂zEy] = 0

−(−→∇z ·

−→∇T

)Ez = − [uz∂z · (ux∂x + uy∂y)]Ez = 0

con lo cual resulta para estos productos

−→∇z ×(−→∇z ×ET

)= −∇2

zET (19.9)

−→∇z ×(−→∇T ×Ez

)=

−→∇T

(∂Ez∂z

)(19.10)

345

con estos resultados, la Ec. (19.8) queda en la forma

−∇2zET +

−→∇T

(∂Ez∂z

)=iω

c

(−→∇z ×BT

)

usando la Ec. (19.3)

−∇2zET = − ∂2

∂z2

[ET (x, y) e±ikz−iωt

]= k2ET (x, y) e±ikz−iωt = k2ET (x, y, z, t)


k2ET +−→∇T

(∂Ez∂z

)=iω

c

(−→∇z ×BT

)(19.11)

se puede realizar un procedimiento similar con la ecuacion del rotacional de B en (19.1)

∇×B = −iµεωcE

podemos dividir ambos miembros en sus partes longitudinal y transversal

∇T ×BT +∇T ×Bz +∇z ×BT +∇z ×Bz = −iµεωcET − iµε

ω

cEz

ahora es posible separar la ecuacion para la componente longitudinal y para la transversal de manera similar alprocedimiento que nos llevo a la Ec. (19.7)

−→∇T ×BT =iω

cµεEz ;

−→∇z ×BT +−→∇T ×Bz =

iω

cµεET

reescribimos la segunda de estas ecuaciones en la forma

∇z ×BT = −∇T ×Bz − iµεω

cET (19.12)

y reemplazamos la parte derecha de (19.11) por (19.12)

k2ET +−→∇T

(∂Ez∂z

)=

iω

c

(−∇T ×Bz − iµε

ω

cET

)

k2ET +−→∇T

(∂Ez∂z

)= − iω

c∇T ×Bz +

ω2

c2µεET

y despejando ET

−→∇T

(∂Ez∂z

)+iω

c(∇T ×Bz) =

(ω2

c2µε− k2

)ET

reescribiendo el segundo terminoa a la izquierda

∇T ×Bz = (∇T × uzBz) = − (uz ×∇T )Bz

y haciendo la suposicionω2

c2µε− k2 6= 0 (19.13)

podemos escribir

ET =1(

ω2

c2µε− k2

)[∇T

(∂Ez∂z

)− iω

c(uz ×∇T )Bz

](19.14)

y en forma completamente analoga

BT =1(

ω2

c2 µε− k2)[∇T

(∂Bz∂z

)+iω

cµε (uz ×∇T )Ez

](19.15)


con estas ecuaciones vemos que las componentes transversales se pueden predecir completamente dadas las compo-nentes longitudinales. Por tanto, todo el contenido Fısico de la Ec. (19.4) estara en su componente z y lo mismo parala ecuacion equivalente para B. En cuanto al ansatz (19.13), es razonable cuestionar su validez dado que justamenteesta es la relacion de dispersion que se encontro en el estudio de ondas planas no confinadas que se propagan en mediosdielectricos homogeneos, isotropos y lineales. Veremos mas adelante que la suposicion (19.13) no es necesariamentevalida y cuando esta expresion se anula corresponde a la relacion de dipersion de una onda que se propaga solo en ladireccion z. Este tipo de ondas son totalmente transversales de modo que Ez = Bz = 0 de modo que las Ecs. (19.14,19.15) nos dan indeterminadas.

19.0.1. Condiciones de frontera

Ya hemos dicho que el escenario que nos compete corresponde a ondas confinadas debido a paredes metalicaslaterales (y posiblemente frontales), dentro de las cuales tenemos un medio dielectrico. Retomemos las condicionesde frontera (18.19)

ε1E⊥1 − ε2E

⊥2 = σf ; B⊥

1 −B⊥2 = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ;

B‖1

µ1− B

‖2

µ2= ~λf × n (19.16)

Notese que dado que es posible que existan cargas y corrientes superficiales sobre el conductor, no podemos establecer

condiciones de frontera directamente sobre ε1E⊥1 y B

‖1/µ1 o equivalentemente sobre Dn y HT . Trabajaremos entonces

solo con las condiciones de frontera homogeneas. Asumiremos que la superficie S de la figura de tipo cilındrico es unconductor ideal y por tanto E = B = 0 en el interior de las paredes metalicas, definiendo n como un vector unitarionormal a la superficie metalica, vemos que este vector es transversal con respecto a la direccion z de propagacion dela onda. Las condiciones de frontera homogeneas quedan

B⊥1 −B⊥

2 = 0 ⇒ B⊥1 = 0 ⇒ n ·B|S = 0

E‖1 −E

‖2 = 0 ⇒ E

‖1 = 0 ⇒ n×E|S = 0

donde omitimos el subındice “1” sobreentendiendo que es el valor del campo en la frontera interna de la guıa. Dadoque n = nT , reescribimos la parte izquierda de la primera condicion de frontera en la forma

n ·B = nT · (BT +Bz) = (nT ·BT ) = (n ·BT )

al evaluar en S las condiciones de frontera finalmente quedan

Ez|S = 0 ; (n ·BT )|S = 0 (19.17)

la segunda de estas ecuaciones se evalua reemplazando (19.15) en dicha ecuacion

(n ·BT )|S =

n · 1(

ω2

c2 µε− k2)[∇T

(∂Bz∂z

)+iω


]

∣∣∣∣∣∣S

= 0

⇒ 1(ω2

c2µε− k2

)n · ∇T

(∂Bz∂z

)∣∣∣∣∣∣S

= 0

lo cual se obtiene teniendo en cuenta que uz ×∇TEz es tangencial a S y por tanto

n · [(uz ×∇T )Ez] = 0

en consecuencia para Bz tenemos la condicion

n · ∇T

(∂Bz∂z

)∣∣∣∣S

= 0 ⇒ ∂

∂n

(∂Bz∂z

)∣∣∣∣S

= 0

19.1. CLASIFICACION DE LAS ONDAS EN UNA GUIA: MODOS TM, TE Y TEM 347

y teniendo en cuenta que la dependencia completa de la onda en la variable z tiene la forma Bz = Bz (x, y) ei(kz−ωt)

se tiene que∂Bz∂z

= ikBz ⇒ ik∂Bz∂n

∣∣∣∣S

= 0 ⇒ ∂Bz∂n

∣∣∣∣S

= 0

con lo cual las condiciones de frontera se convierten en

Ez|S = 0 ;∂Bz∂n

∣∣∣∣S

= 0 (19.18)

19.1. Clasificacion de las ondas en una guıa: modos TM, TE y TEM

La ecuacion de onda bidimensional (19.4) junto con las condiciones de frontera (19.18) para Ez y Bz en lasuperficie de la guia, forman un problema de valores propios, lo cual es bien claro si se reescribe (19.4) en la forma

∇2TE (x, y) =

(µεω2

c2− k2

)E (19.19)

es decir, es un problema de valores propios del operador Laplaciano transversal con valores propios µεω2/c2 − k2.Al determinar el valor propio estamos encontrando una relacion de dispersion es decir la relacion entre ω y k. Si lafrecuencia ω es dada, solo ciertos valores axiales de k obedecen la ecuacion diferencial y las condiciones de frontera,esta es la forma de abordar el problema de las guıas de onda. Para el caso de cavidades resonantes el valor de k esdado y se deben determinar las frecuencias permitidas.

Naturalmente, una ecuacion de valores propios completamente analoga surge para B y la estructura del valorpropio es obviamente identica. Sin embargo, no es posible en general satisfacer las dos condiciones de fronterasimultaneamente dado que son diferentes, y la ecuacion de valores propios es formalmente la misma. En otras palabras,puesto que las condiciones de frontera sobre Ez y Bz son diferentes, los correspondientes autovalores seran en generaldiferentes. Por tanto, no sera posible tener soluciones longitudinales no triviales en ambos campos, es decir no esposible que Ez y Bz sean ambos diferentes de cero. En consecuencia, la unica manera de satisfacer ambas condicionesde frontera es con la anulacion de al menos una de las componentes longitudinales. De acuerdo con las condiciones defrontera que se satisfacen, tenemos diferentes tipos de campos, que distinguen diferentes modos presentes en la guia:

Modo transversal magnetico (TM): Bz = 0 en todas partes y Ez|S = 0.

Modo transversal electrico (TE): Ez = 0 en todas partes y ∂Bz/∂n| = 0

Naturalmente, para Bz = 0 la condicion ∂Bz/∂n| = 0 es trivial y para Ez = 0 la condicion Ez|S = 0 se satisfaceautomaticamente. Por esta razon solo se agrega la condicion de frontera no trivial asociada a cada tipo de onda.

Un caso especial importante surge cuando hacemos Ez = Bz = 0 en todas partes. Situacion que se conoce comomodo transversal electromagnetico (TEM). En este caso, teniendo en cuenta las Ecs. (19.14, 19.15) y usando lasuposicion (19.13)

γ2 ≡ µεω2

c2− k2 6= 0

solo es posible la solucion trivial BT = ET = 0. Por tanto, es necesario revaluar el ansatz y considerar la relacion dedispersion

µεω2

c2− k2 = 0 ⇒ k =

√µεω

c(19.20)

que corresponde a la relacion de dispersion usual para ondas electromagneticas no confinadas. De acuerdo con laEc. (19.3) el numero de onda k es la componente del vector de onda que representa la direccion de propagacion. Ental caso k = (0, 0, k); de modo que la onda se propaga exclusivamente en la direccion z. Mas adelante veremos queen este caso k,E, y B forman un sistema de ejes ortogonales a derecha en consistencia con la ausencia de modoslongitudinales. Es claro que en este caso las Ecs. (19.14, 19.15), nos dan una indeterminacion y no podemos extraerla solucion a partir de ellas. Debemos regresarnos a la Ec. (19.4) que combinada con la relacion de dispersion (19.20)nos da

∇2TETEM = 0 ; ∇2

TBTEM = 0 (19.21)


Es decir los campos transversales obedecen a una ecuacion de Laplace transversal. Mostraremos ademas que loscampos ETEM y BTEM son perpendiculares entre sı. Las Ecs. de Maxwell (19.1) nos dan

iω

cBTEM = ∇×ETEM = (∇T +∇z)×ETEM = ∇T ×ETEM + uz∂z ×ETEM = ∇T ×ETEM +

∂

∂z(uz ×ETEM)

(19.22)y dado que Ez = Bz = 0 tanto ETEM como BTEM deben yacer en el plano XY . De lo cual se obtiene

∇T ×ETEM = (ux∂x + uy∂y)× (uxEx,TEM + uyEy,TEM) = uz (∂xEy,TEM − ∂yEx,TEM)

es decir el vector ∇T ×ETEM es longitudinal. Separando las partes transversal y longitudinal en (19.22) se obtiene

∇T ×ETEM = 0 ; iω

cBTEM =

∂

∂z(uz ×ETEM) (19.23)

estas dos ecuaciones tambien se pueden obtener a traves de las Ecs. (19.7) con Ez = Bz = 0. Despejando el campomagnetico se obtiene

BTEM =c

iω

∂

∂z(uz ×ETEM) (19.24)

ahora bien, si el campo electrico se puede representar en la forma

ETEM = E0TEM (x, y) ei(kz−ωt) (19.25)

obtenemosBTEM =

c

iωik (uz ×ETEM) =

c

ω(k×ETEM) (19.26)

o utilizando la relacion de dispersion k =√µεω/c

BTEM =√µε (uz ×ETEM) (19.27)

reproduciendo entonces la relacion que hay entre el campo electrico y el magnetico para la propagacion de ondas noconfinadas. Los campos ETEM , y BTEM satisfacen una ecuacion de Laplace transversal (19.21). Adicionalmente, loscampos E0,TEM (x, y), y B0,TEM (x, y) (sin la exponencial) se pueden derivar de potenciales escalares que obedecenecuaciones de Laplace. Para ver esto, tengamos en cuenta que para Ez = 0 con una onda del tipo (19.3) el rotacionalde E0,TEM se escribe como

(∇×E0,TEM (x, y))x =

(∂E0y (x, y)

∂z− ∂E0z (x, y)

∂y

)= 0

(∇×E0,TEM (x, y))y =

(∂E0x (x, y)

∂z− ∂E0z (x, y)

∂x

)= 0

(∇×E0,TEM (x, y))z =

(∂E0x (x, y)

∂y− ∂E0y (x, y)

∂x

)

para ver que el ultimo termino tambien es cero, usaremos la ley de Faraday con Bz = 0

(∇×ETEM)z = −(∂BTEM

∂t

)

z

⇒ (∇×ETEM)z = −∂BzTEM∂t

uz = 0

Por tanto, E0,TEM (x, y) se puede escribir como menos el gradiente de una funcion escalar potencial que obedeceuna ecuacion de Laplace. Por otro lado, dado que hemos asumido un conductor ideal y por tanto conductividadinfinita, esto nos condujo a la condicion de frontera sobre E dada por (19.17) la cual requiere que la superficiedel conductor sea equipotencial y la ecuacion de onda bidimensional (19.4) solo tiene solucion trivial por unicidad(potencial constante en todo el interior de la guıa), por tanto E se anula dentro de la superficie. En consecuencia,los campos TEM no se pueden propagar dentro de un solo conductor; es necesario tener por ejemplo otra regionconductora con simetrıa axial dentro de la guıa. La razon es que con dos regiones conductoras una dentro de la otra,aunque las dos superficies conductoras deben ser equipotenciales, cada una puede estar a diferente potencial de modoque la solucion en el volumen dielectrico de la ecuacion de Laplace ya no es una constante. Discutiremos un ejemplode este caso en la siguiente seccion

19.2. CABLE COAXIAL 349

19.2. Cable coaxial

19.2.1. Propagacion de modos TEM

Un cable coaxial consiste en dos cilindros conductores concentricos, con una region dielectrica (posiblemente elvacıo) entre ellos. Ambos cilindros deben estar a diferente potencial para sustentar una onda TEM, para esta clasede ondas se satisfacen las Ecuaciones

k =√µεω

c; ∇2

TETEM = 0 ; ∇2TBTEM = 0 ; ETEM = E0,TEM (x, y) ei(kz−ωt)

BTEM =√µε (uz ×ETEM) ; ∇×E0,TEM (x, y) = 0 (19.28)

podemos escribir el campo electrico en la forma

ETEM = − [∇φ (x, y)] ei(kz−ωt) = − [∇Tφ (x, y)] ei(kz−ωt) (19.29)

nos concentraremos entonces en resolver la ecuacion de Laplace bidimensional para φ

∇2Tφ = 0

es mas comodo trabajar en coordenadas polares con lo cual podemos tomar la solucion estudiada en la seccion 3.4Ec. (3.26). Es claro ademas que el problema tiene simetrıa azimuthal de modo que hacemos C = D = a = 0 en (3.26)con lo cual la solucion queda en la forma

φ (ρ) = A ln ρ+B (19.30)

definiendo R1, φ1 el radio y el potencial del conductor exterior y R2, φ2 los valores en el conductor interior, tenemosque

φ (R1) = φ1 = A lnR1 +B ; φ (R2) = φ2 = A lnR2 +B

⇒ A =φ1 − φ2

lnR1 − lnR2; B =

φ2 lnR1 − φ1 lnR2

lnR1 − lnR2

Calculemos ahora el gradiente de este potencial teniendo en cuenta que solo depende de ρ

∇Tφ (ρ) = uρ∂φ

∂ρ= uρ

∂

∂ρ(A ln ρ+B) = uρ

A

ρ

y usando la Ec. (19.29) y la penultima de las Ecs. (19.28), podemos obtener las componentes de los campos en elmodo TEM

ETEM (ρ, ϕ, z, t) =A

ρuρe

−i(ωt−kz)

BTEM (ρ, ϕ, z, t) =√µε (uz ×ETEM) =

√µε (uz × uρ)

A

ρe−i(ωt−kz) =

√µεuϕ

A

ρe−i(ωt−kz)

las cuales se pueden escribir en coordenadas polares o cartesianas

ETEM (ρ, ϕ, z, t) =A

ρuρe

−i(ωt−kz) ; BTEM (ρ, ϕ, z, t) =√µεA

ρuϕe

−i(ωt−kz)

ETEM (x, y, z, t) =A

x2 + y2(xux + yuy) e

−i(ωt−kz) ; BTEM (x, y, z, t) =

√µεA

x2 + y2(−yux + xuy) e

−i(ωt−kz)

vale la pena enfatizar que la constante A se puede expresar en terminos del maximo valor de uno de los campos E oB, sobre el conductor interior o exterior de modo que no serıa estrictamente necesario el conocimiento de φ1 y φ2. Elcable coaxial transmite ondas TEM de cualquier frecuencia con la velocidad de la luz en el dielectrico y es adecuadocomo cable de banda ancha para la transmision de bandas anchas de frecuencia.

Se puede ver por otro lado que cuando el tubo interior se quita es decir R2 → 0 el potencial modelado aquı divergede modo que A debe ser nulo, se obtiene entonces un potencial constante φ (ρ) = B como era de esperarse y no esposible tener ondas TEM.


19.2.2. Propagacion de modos TM y TE

Por otro lado, ondas tipo TM y TE tambien son posibles. En tal caso las Ecs. (19.14, 19.15) son validas y sesimplifican considerablemente. Para ondas TM i.e. con Bz = 0 en todas partes, tales ecuaciones quedan en la forma

ET =1

γ2∇T

(∂Ez∂z

); BT =

1

γ2iω

cµε [(uz ×∇T )Ez] (19.31)

γ2 ≡ ω2

c2µε− k2 (19.32)

y teniendo en cuenta que la dependencia con z es de la forma eikz estas ecuaciones quedan en la forma

ET =1

γ2ik∇TEz ; BT =

1

γ2iω

cµε [uz ×∇TEz]

despejando ∇TEz de la primera ecuacion y sustituyendo en la segunda

BT =1

γ2iω

cµε

[uz ×

γ2

ikET

]=µεω

ck[uz ×ET ]

con un procedimiento similar se puede calcular el modo TE (i.e. con Ez = 0 en todas partes) a partir de las Ecs.(19.14, 19.15)

ET = − ω

ck(uz ×BT ) ; BT =

ik

γ2∇TBz (19.33)

vemos que los modos TM y TE no son puramente transversales, cada modo tiene un campo con componente lon-gitudinal. El unico modo puramente transversal es el TEM. Adicionalmente, en los modos TE y TM los campostransversales ET y BT son perpendiculares entre sı.

Ahora bien, teniendo en cuenta que (19.4) es valida para todas las componentes de E (x, y) incluyendo a Ezy Bz se tiene que junto con las condiciones de frontera ellos forman un problema de valores propios

ondas TM :(∇2T + γ2

)Ez (x, y) = 0 ; Ez|S = 0

ondas TE :(∇2T + γ2

)Bz (x, y) = 0 ;

∂Bz∂n

∣∣∣∣S

= 0

la constante γ2 no puede ser negativa puesto que Ez y Bz deben ser soluciones de la ecuacion de onda, y debensatisfacer las condiciones de frontera. Si γ2 fuera negativo tendrıamos soluciones exponenciales con exponente realla cual no es periodica y solo puede satisfacer las condiciones de frontera para valores positivos y negativos de xyen forma trivial. Para los valores propios positivos γ2λ obtenemos una secuencia de funciones propias Bzλ y Ezλ conλ = 1, 2, ...la solucion explıcita nos da γ como funcion de las dimensiones del cable como veremos mas adelante.Podemos entonces calcular el valor del campo TM y TE por medio de (19.31) y (19.33) respectivamente. Parauna frecuencia dada ω, podemos encontrar un valor de k a partir del valor propio γ2λ que depende de λ. Usandoγ2λ = µεω2/c2 − k2 se obtiene

k2λ =µε

c2

(ω2 − c2γ2λ

µε

)⇒ kλ =

√µε

c

√

ω2 − c2γ2λµε

que la reescribimos en la forma

kλ =

√µε

c

√ω2 − ω2

λ ; ω2λ ≡ c2γ2λ

µε(19.34)

el numero de onda kλ es real para ω ≥ ωλ e imaginario para ω < ωλ. Para numeros de onda imaginarios, se obtieneuna funcion exponencial real para la dependencia con z de modo que la onda decae exponencialmente

ei(kz−ωt) = e−iωte−|k|z para k = i |k|

por lo tanto solo ondas con frecuencias ω mayores que ωλ se pueden propagar en la guıa, de modo que ωλ representauna frecuencia crıtica. Es interesante observar la dependencia del numero de onda kλ sobre la frecuencia, a partirde (19.34) podemos reescribir

kλc√µε

1

ω=

√ω2 − ω2

λ

ω=

√1−

(ωλω

)2

19.3. VELOCIDAD DE FASE Y DE GRUPO 351

con lo cualkλc√µε

1

ω→ 1 cuando ω ≫ ωλ

es decir que en el regimen de altas frecuencias se recobra la relacion de dispersion usual. La grafica ??? muestra quepara una frecuencia dada ω con ω > ω1 solo un numero finito de modos de oscilacion se puede propagar en la guıa deonda. La existencia de una cota para la frecuencia es la razon para que el fenomeno solo aparezca en el regimen dealtas frecuencias. La longitud de onda asociada tiene que ser menor que λ1 = 2πε/ω1 ≈ a, i.e. la dimesion del sistemapara que la propagacion sea posible. La principal aplicacion de las guıas de onda como transmisores de microondas(como en los telefonos) esta basada en esta propiedad.

19.3. Velocidad de fase y de grupo

Si consideramos la forma instantanea de una onda tipo senoidal, la longitud de onda es la distancia que hay entrepuntos que tienen la misma fase en cada instante de tiempo (por ejemplo la distancia entre dos crestas medidas enun tiempo fijo). La velocidad de fase es entonces la velocidad a la cual esta fase oscilante se propaga. Por ejemplo,una cresta se propaga de manera que en un tiempo T igual al periodo de la oscilacion ha “recorrido” una distanciaλ1, la velocidad de fase vp esta dada por

vp =λ

T=λω

2π=ω

k

sin embargo, en la naturaleza no encontramos ondas monocromaticas i.e. de una frecuencia bien definida. Lo quetenemos en realidad es una superposicion de ondas armonicas de diferentes frecuencias de tal manera que la ondaresultante tiene la forma

ψ (r, t) =

∫c (k) ei(k·r−ωt) dk

siendo c (k) la amplitud o peso de un armonico especıfico. Recordemos que con la relacion de dispersion adecuada unvalor de k nos lleva a un valor especıfico de ω. En algunos casos la distribucion puede ser muy aguda de modo quelos armonicos dominantes esten en una banda muy angosta, en cuyo caso la aproximacion de onda monocromaticaserıa adecuada.

De lo anterior, vemos que el movimiento mas general de una onda se puede describir en terminos de la superposicionde los armonicos componentes. Definimos entonces un paquete de onda como un grupo de ondas de longitud finita,puesto que cada emisor emite en un intervalo finito de tiempo, con lo cual el paquete emitido es finito. Los gruposde ondas se pueden repetir en una secuencia periodica o pueden ser formados periodicamente. Si la onda se propagaen un medio dispersivo la velocidad de fase de cada armonico sera diferente ya que la velocidad de fase es funcionde la frecuencia (en virtud de que la permitividad ε = ε (ω) es funcion de la frecuencia). Como cada armonico viajaa una velocidad diferente las diferencias de fase entre ellos cambian y por tanto tambien cambia la forma del grupode ondas. Esto ocasiona que ciertos parametros asociados al paquete difieran de los valores para cada armonico. Enparticular, la velocidad con la que se propaga el pico del paquete es diferente a la velocidad de fase promedio de losarmonicos, la velocidad caracterıstica del paquete se conoce como velocidad de grupo y esta dada por

vg =dω

dk

la velocidad de fase y de grupo solo coinciden cuando el medio es no dispersivo. Para ilustrar la diferencia entre lasdos velocidades tomemos un ejemplo sencillo: la superposicion de dos ondas de la misma amplitud pero diferentesfrecuencias que se propagan en la misma direccion. Asumiremos que las dos frecuencias son muy cercanas entre sı,lo cual se puede parametrizar con la frecuencia promedio ω en la forma

ω =ω1 + ω2

2;

ω1 − ω2

ω<< 1

1Recordemos que esta propagacion se refiere a una perturbacion de un medio y no al desplazamiento de partıculas en dicho medio.


la onda resultante se escribe en la forma

ψ (x, t) = A[ei(k1x−ω1t) + ei(k2x−ω2t)

]

= A exp i [(k1 + k2) /2] x− i [(ω1 + ω2) /2] t×exp i [(k1 − k2) /2] x− i [(ω1 − ω2) /2] t+ exp i [(k2 − k1) /2] x− i [(ω2 − ω1) /2] t

ψ (x, t) =

2A cos

(k1 − k2

2x− ω1 − ω2

2t

)exp i [(k1 + k2) /2] x− i [(ω1 + ω2) /2] t

de esta forma hemos reescrito la forma de la onda como un factor de amplitud (termino entre corchetes) que oscilalentamente con frecuencia (ω1 − ω2) /2 y un factor de fase que oscila rapidamente con frecuencia (ω1 + ω2) /2 = ω.La velocidad de fase promedio esta dada por

vp =(ω1 + ω2) /2

(k1 + k2) /2=ω

k; ω1 ≈ ω2 ≈ ω

la amplitud (grupo de ondas) se propaga con una velocidad dada por

vg =ω1 − ω2

k1 − k2=

∆ω

∆k≈ dω

dk

donde hemos asumido que el cociente se aproxima a la derivada para lo cual es fundamental que las dos frecuenciasy numeros de onda esten muy cercanas. Hemos visto a lo largo del curso que la energıa de la onda esta determinadapor su amplitud, de modo que en general la velocidad con que se propaga la energıa correspondera a la velocidad degrupo de la onda. Sin embargo, este hecho debe reexaminarse cuando se produce el fenomeno de dispersion anomala.

19.4. Velocidad de fase y de grupo en una guıa de onda

En una guıa de onda con modos TE o TM se cumple la relacion dada por (19.34) para una onda del modo deoscilacion λ

k = kλ =

√µε

c

√ω2 − ω2

λ

en el regimen de altas frecuencias ω ≫ ωλ podemos despreciar ωλ y escribir

k =

√µε

cω

con lo cual las velocidades de fase y de grupo son iguales

vp =ω

k=

c√µε

; vg =dω

dk=

c√µε

cuando este termino no es despreciable estas velocidades ya no coinciden

vp =ω

kλ=

c√µε

1√1− ω2

λ

ω2

>c√µε

vg =dω

dkλ=

c2kλ

µε√

c2

µεk2λ + ω2

λ

=c√µε

√ω2 − ω2

λ

ω

En la guıa de onda la velocidad de fase es mayor que la correspondiente a la onda no confinada. Si la frecuencia ω deun modo de oscilacion se acerca al valor crıtico ωλ, la correspondiente velocidad de fase se va para infinito en tantoque la velocidad de grupo tiende a cero (kλ = 0) con lo cual la onda ya no se puede propagar en la guıa. Como esobvio, se cumple siempre la relacion

vpvg =c2

µε= c′2

siendo c′ la velocidad de la luz en el medio dielectrico.

19.5. GUIA DE ONDA RECTANGULAR 353

19.5. Guıa de onda rectangular

Consideremos una guıa de onda de seccion transversal rectangular de dimensiones a y b a lo largo de los ejes xe y respectivamente (ver fig. ???). El plano XY es paralelo a las secciones transversales y el origen se ubica en unaesquina de una seccion transversal. Las condiciones de frontera son

n ·B = 0 ; n×E = 0

siendo n un vector normal a la superficie del conductor. Estas condiciones se escriben explıcitamente en la forma

ux ·B = Bx = 0 en x = 0 ; −ux ·B = −Bx = 0 en x = a

uy ·B = By = 0 en y = 0 ; −uy ·B = By = 0 en y = b

ux ×E = 0 en x = 0 ; −ux ×E = 0 en x = a

uy ×E = 0 en y = 0 ; −uy ×E = 0 en y = b (19.35)

veamos las componentes de los campos electricos

ux ×E = ux × (Exux + Eyuy + Ezuz) = Eyuz − Ezuy

uy ×E = uy × (Exux + Eyuy +Ezuz) = −Exuz +Ezux

estas condiciones quedan entonces en la forma

Bx = Ey = Ez = 0 ; en x = 0, a

By = Ex = Ez = 0 ; en y = 0, b (19.36)

denotando C a un campo generico E o B usaremos el ansatz (19.3).

C (x, y, z, t) = C (x, y) ei(kz−ωt) (19.37)

Estos campos deben obedecer la Ecuacion de onda (19.4) y las Ecuaciones de Maxwell (19.1)

(∇2T + µε

ω2

c2− k2

)C (x, y) = 0 (19.38)

∇ · E = 0 ; ∇×E =iω

cB

∇ ·B = 0 ; ∇×B = −iµεωcE (19.39)

como ya se menciono, la Ec. (19.38) es una ecuacion de valores propios con condiciones de frontera descritas por(19.36), haremos los siguientes ansatz para las amplitudes C (x, y) de los campos

Ex = α cosmπ

ax sin

nπ

by ; Bx = α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by

Ey = β sinmπ

ax cos

nπ

by ; By = β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by

Ez = γ sinmπ

ax sin

nπ

by ; Bz = γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by (19.40)

los cuales cumplen claramente con las condiciones de frontera. La onda completa se obtiene naturalmente multipli-cando por el factor de fase ei(kz−ωt). Sustituyendo estos ansatz en la Ecuacion de onda (19.38) y las ecuaciones deMaxwell (19.39) se obtienen relaciones entre las constantes.

La sustitucion de los ansatz (19.40) en la Ec. de onda (19.38) nos da

(∇2T + µε

ω2

c2− k2

)Ex (x, y) =

(∂2x + ∂2y + µε

ω2

c2− k2

)[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]= 0


[−(mπa

)2−(nπb

)2+ µε

ω2

c2− k2

] [α cos

mπ

ax sin

nπ

by]

= 0

(mπa

)2+(nπb

)2+ k2 = µε

ω2

c2

k =

√µεω2

c2−(mπa

)2−(nπb

)2

las otras componentes del campo electrico y magnetico conducen a la misma relacion. Esta relacion nos permitedefinir la frecuencia crıtica ωg por debajo de la cual k es imaginario para un valor dado de m y n.

µεω2g

c2−(mπa

)2−(nπb

)2= 0 ⇒ ω2

g =c2

µε

[(mπa

)2+(nπb

)2]

De tal manera que para que k sea real (con valores especıficos de m y n) es necesario que la frecuencia ω sea mayorque la frecuencia crıtica ωg dada por

ωg = ωmn =c√µε

√(mπa

)2+(nπb

)2(19.41)

para que tengamos una onda TE se tiene que Ez = 0 en todas partes con lo cual γ = 0 en las Ecs. (19.40). En tantoque para las ondas TM i.e. Bz = 0 se tiene que γ′ = 0 en tales ecuaciones.

Al usar las ecuaciones rotacionales en (19.39) y el ansatz (19.40) se encuentran relaciones entre los coeficientesdel ansatz. Usando primero ∇×E = iω

c B resulta

∂yEz − ∂zEy =iω

cBx ; ∂zEx − ∂xEz =

iω

cBy ; ∂xEy − ∂yEx =

iω

cBz

usando (19.37) estas relaciones quedan en la forma

∂yEz (x, y) ei(kz−ωt) − ∂zEy (x, y) e

i(kz−ωt) =iω

cBx (x, y) e

i(kz−ωt) ⇒ ∂yEz (x, y)− ikEy (x, y) =iω

cBx (x, y)

∂zEx (x, y) ei(kz−ωt) − ∂xEz (x, y) e

i(kz−ωt) =iω

cBy (x, y) e

i(kz−ωt) ⇒ ikEx (x, y)− ∂xEz (x, y) =iω

cBy (x, y)

∂xEy (x, y) ei(kz−ωt) − ∂yEx (x, y) e

i(kz−ωt) =iω

cBz (x, y) e

i(kz−ωt) ⇒ ∂xEy (x, y)− ∂yEx (x, y) =iω

cBz (x, y)(19.42)

ahora introducimos los ansatz para las amplitudes Ecs. (19.40) con lo cual las ecuaciones anteriores quedan

∂y

[γ sin

mπ

ax sin

nπ

by]− ik

[β sin

mπ

ax cos

nπ

by]

=iω

c

[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]

ik[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]− ∂x

[γ sin

mπ

ax sin

nπ

by]

=iω

c

[β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]

∂x

[β sin

mπ

ax cos

nπ

by]− ∂y

[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]

=iω

c

[γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by]

que se escribe como

nπ

b

[γ sin

mπ

ax cos

nπ

by]− ik

[β sin

mπ

ax cos

nπ

by]

=iω

c

[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]

ik[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]− mπ

a

[γ cos

mπ

ax sin

nπ

by]

=iω

c

[β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]

mπ

a

[β cos

mπ

ax cos

nπ

by]− nπ

b

[α cos

mπ

ax cos

nπ

by]

=iω

c

[γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by]

las cuales nos dan finalmente las relaciones

iω

cα′ = γ

nπ

b− ikβ ;

iω

cβ′ = iαk − γ

mπ

aiω

cγ′ = β

mπ

a− α

nπ

b(19.43)

19.5. GUIA DE ONDA RECTANGULAR 355

por otro lado la otra ecuacion rotacional ∇×B = −iµεωcE se obtiene a partir de la primera intercambiando E ↔ By reemplazando i/c → −iµε/c. Haciendo estos intercambios en las Ecs. (19.42) se obtiene

∂yBz (x, y)− ikBy (x, y) = −µεiωcEx (x, y)

ikBx (x, y)− ∂xBz (x, y) = −µεiωcEy (x, y)

∂xBy (x, y)− ∂yBx (x, y) = −µεiωcEz (x, y)

y usando nuevamente los ansatz (19.40) estas ecuaciones se convierten en

∂y

[γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by]− ik

[β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]

= −µεiωc

[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]

ik[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]− ∂x

[γ′ cos

mπ

ax cos

nπ

by]

= −µεiωc

[β sin

mπ

ax cos

nπ

by]

∂x

[β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]− ∂y

[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]

= −µεiωc

[γ sin

mπ

ax sin

nπ

by]

de modo que

−nπb

[γ′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]− ik

[β′ cos

mπ

ax sin

nπ

by]

= −µεiωc

[α cos

mπ

ax sin

nπ

by]

ik[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]+mπ

a

[γ′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]

= −µεiωc

[β sin

mπ

ax cos

nπ

by]

−mπa

[β′ sin

mπ

ax sin

nπ

by]+nπ

b

[α′ sin

mπ

ax cos

nπ

by]

= −µεiωc

[γ sin

mπ

ax sin

nπ

by]

resultando las relaciones

µεiω

cα = γ′

nπ

b+ ikβ′ ; −µεiω

cβ = iα′k + γ′

mπ

a

−µεiωcγ = −β′mπ

a+ α′nπ

b(19.44)

para ondas TE i.e. γ = 0, la ultima de las Ecs. (19.44) nos da

β′mπ

a= α′nπ

b⇒ α′ =

b

a

m

nβ′

de tal manera que α′ es directamente proporcional am/n. Similarmente, al despejar β′ vemos que este es directamenteproporcional a n/m lo cual se expresa en la forma

α′ ∼ m

ny β′ ∼ n

m(19.45)

adicionalmente, haciendo γ = 0 en las dos primeras ecuaciones (19.43) resulta

ω

cα′ = −kβ ⇒ β ∼ α′ ∼ m

nω

cβ′ = αk ⇒ α ∼ β′ ∼ n

m(19.46)

analogamente, para las ondas TM i.e. γ′ = 0 se obtienen las relaciones

βmπ

a= α

nπ

b⇒ β ∼ n

m, α ∼ m

n(19.47)

adicionalmente

β′ ∼ m

n; α′ ∼ n

m(19.48)


es decir lo contrario que en las ondas TE. Las Ecs. (19.40, 19.47, 19.48) nos muestran que los modos TM solo sonposibles si m 6= 0 y n 6= 0. Por lo tanto, la onda TM de menor frecuencia corresponde a hacer m = n = 1 en (19.41)

ωTM11 =c√µε

√π2

a2+π2

b2

similarmente podemos obtener la onda TE no trivial de menor frecuencia a traves de las Ecs. (19.40, 19.43, 19.44)donde sin perdida de generalidad asumimos a > b. En tal caso, para obtener un modo no trivial se requiere que m o nsean diferentes de cero.Por tanto, el modo de menor frecuencia cooresponde al caso m = 0, n = 1 o al caso m = 1,n = 0.

ω10 =c√µε

π

a

la cual es mas baja que la frecuencia crıtica de la onda TM. La correspondiente longitud de onda es

λ10 =2πc/

√µε

ω10=

2a√µε

Ahora consideremos la onda fundamental del tipo TE con frecuencia ω10. Para obtener el campo electrico de estaonda fundamental hacemos m = 1, n = 0 en (19.40) multiplicando ademas por la fase, resultando

Ex = Ez = 0 ; Ey = β sinπx

aei(kz−ωt)

la funcion seno se puede representar como la diferencia de dos exponenciales complejas, con lo cual la componente yse puede escribir como superposicion de dos ondas

Ey = β

[ei

πxa − e−i

πxa

]

2iei(kz−ωt) ⇒ Ey =

β

2i

[ei(kz+(π/a)x−ωt) − ei(kz−(π/a)x−ωt)

]

Ey =β

2i

[ei(k1·r−ωt) − ei(k2·r−ωt)

]; k1,2 ≡

(±πa, 0, k

); r ≡ (x, 0, z)

el factor i produce un corrimiento de fase de π/2. De lo anterior, la onda fundamental queda como la superposicionde dos ondas cuyo vector de propagacion yace en el plano ZX. El angulo εi entre la direccion de propagacion y ladireccion x para cada onda esta dada por

cos ε1,2 = k1,2 · ux =k1,2 · ux‖k1,2‖

=

(±πa , 0, k

)· (1, 0, 0)√(

πa

)2+ k2

cos ε1,2 = ∓πa

1√(πa

)2+ k2

veamos el caso en el cual el valor propio en (19.38) coincide con la frecuencia crıtica ωg de modo que

µεω2

c2− k2 = µε

ω2g

c2⇒ ω2

c′2= k2 +

ω2g

c′2⇒ ω2 − ω2

g = k2c′2

kc′ =√ω2 − ω2

g

por otro lado, usando (19.41) para m = 1, n = 0

ω2g,10 =

c2

µε

(πa

)2= c′2

(πa

)2⇒ k =

1

c′

√ω2 − c′2

(πa

)2(19.49)

se obtiene

cos ε(10)1,2 = ∓π

a

1√(πa

)2+ k2

= ∓πa

1√(πa

)2+ 1

c′2

[ω2 − c′2

(πa

)2]

cos ε(10)1,2 = ∓π

a

1√(1− c′2

c2

) (πa

)2+ ω2

c′2

19.6. CAVIDADES RESONANTES 357

esta relacion es particularmente simple para ondas en el vacıo i.e. c′ = c. Resultando

cos ε(10)1,2 = ∓π

a

1

ω/c= ∓cπ

a

1

ω

cos ε(10)1,2 = ∓ωg,10

ω

donde hemos usado (19.49). El campo total E se puede pensar como si surgiera de la reflexion repetida de una ondaplana, que incide con angulo ε sobre los planos x = 0 y x = a (Fig. ???). La velocidad de fase para ondas en el vacıoviene dada por

vp =ω

k=

ω

1c

√ω2 − ω2

g

=c√

1−(ωg

ω

)2 =c√

1− cos2 ε=

c

sin ε

que equivale a la velocidad de interseccion de la onda plana con el plano x = 0.

19.6. Cavidades resonantes

Cualquier material conductor hueco que forme una superficie cerrada forma una cavidad resonante. No es necesarioque exista una seccion transversal constante. No obstante, en nuestro caso nos restringiremos a cavidades resonantesformadas por un material con geometrıa de tipo cilındrica cerrado hueco cuya superficie sea un conductor ideal. Elinterior puede estar lleno de un material dielectrico con constantes ε, µ. Este sistema se puede ver como si cerraramosuna guıa de onda colocandole tapas que limitan las ondas a viajar en una region que tambien esta confinada en z.Como las superficies conductoras ideales son totalmente reflectivas, lo que tendremos en un patron de interferenciaentre ondas que inciden y ondas que se reflejan, de esta forma surgen ondas estacionarias en la direccion z, todaslas otras ondas desaparecen por interferencia destructiva. Por tanto para ondas TM hacemos el siguiente ansatz parala componente longitudinal

Ez = ξ (x, y) (A sin kz +B cos kz)uz ; Bz = 0

Por supuesto que tambien es posible una representacion con exponenciales complejas. Las componentes transversalesse pueden obtner a partir de las ecuaciones (19.14, 19.15) (notese que estas ecuaciones son independientes de lascondiciones de frontera)

ET =1(

ω2

c2 µε− k2)[∇T

(∂Ez∂z

)− iω

c(uz ×∇T )Bz

]=

1

γ2

∇T

[ξ (x, y)

∂ (A sin kz +B cos kz)

∂z

](19.50)

ET =[∇T ξ (x, y)]

γ2[k (A cos kz −B sin kz)] (19.51)

BT =1(

ω2

c2µε− k2

)[∇T

(∂Bz∂z

)+iω


]=iµεω

γ2c[uz ×∇T ξ (x, y)] (A sin kz +B cos kz) (19.52)

tomando la altura del cilindro como L y asociando los extremos del cilindro a las coordenadas z = 0, L tenemos quese deben cumplir las condiciones de frontera

Et (z = 0, L) = 0 ; A = 0

para que Et (z = L) = 0 no conduzca a soluciones triviales se debe cumplir la relacion

k =nπ

L≡ kn ; n = 0, 1, 2, ...

con lo cual tenemos las siguientes ecuaciones para las amplitudes

Ez = uz Bξ (x, y) cos(nπLz)

; Bz = 0

ET = −B nπ

Lγ2[∇T ξ (x, y)] sin

(nπLz)

; BT = Biµεω

γ2c[uz ×∇T ξ (x, y)] cos

(nπLz)

(19.53)


Para ondas TE se hace una ansatz analogo de una onda estacionaria en la direccion del eje de simetrıa para el campomagnetico longitudinal. Puesto que la componente z de B cruza la superficie del extremo sin pendiente, y el campose anula en el exterior

Bz (z = 0, d) = 0

las amplitudes para las ondas TE vienen dadas por

Ez = 0 ; Bz = uz Aξ (x, y) sin(nπLz)

ET = −A iω

γ2c[uz ×∇T ξ (x, y)] sin

(nπLz)

; BT = Anπ

Lγ2[∇T ξ (x, y)] cos

(nπLz)

(19.54)

para ambos modos de oscilacion la funcion escalar ξ (x, y) se obtiene de la ecuacion de onda (19.4)

(∇2T + γ2

)ξ (x, y) = 0 (19.55)

sujeto a la condicion de frontera de que ξ (para E) o ∂ξ/∂n se anule en la superifice de la cavidad. Recordando ladefinicion de γ2 se escribe

γ2 = εµω2

c2−(nπL

)2

debido a las condiciones de frontera para la solucion de la funcion escalar ξ (x, y) obtenemos ecuaciones del tipo

sin γx′ = 0

si x′ yace sobre la superficie de la guıa de onda (es decir la superficie lateral). Esto nos da una dependencia de γ2

con el parametro λ

γ2λ = εµω2λ

c2−(nπL

)2

resolviendo para la frecuencia propia (frecuencia de resonancia), encontramos

c2γ2λεµ

+c2

εµ

(nπL

)2= ω2

λ

⇒ ωλ =c√εµ

√γ2λ +

c2

εµ

(nπL

)2(19.56)

de modo que las frecuencias de resonancia de una cavidad resonante pueden cambiar desplazando las tapas transver-sales (variando L).

19.6.1. Cavidad resonante cilındrica

Consideremos entonces que la guıa tiene seccion transversal constante circular. Usaremso coordenadas cilındricaspara resolver las ecuaciones. Debido a la invarianza rotacional alrededor del eje de simetrıa, podemos separar lasolucion de la ecacion diferencial en la forma

ξ (x, y) = ξ (ρ) eimϕ ; m = 0, 1, 2, ...

de modo que en coordenadas cilındricas la ecuacion bidimensional (19.55) queda de la forma

(∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂

∂ρ+ γ2 − m2

ρ2

)ξ (ρ) = 0

que corresponde a la ecuacion diferencial de Bessel. Por tanto las soluciones radiales son funciones de Bessel. Lafuncion de onda total es entonces

ξ (ρ, ϕ) = Jm (γmρ) eimϕ

en el caso de ondas TM obtenemos a partir de (19.53) la siguiente expresion para el campo electrico longitudinal

Ez = B · Jm (γmρ) eimϕ cos

(nπzL

)

19.6. CAVIDADES RESONANTES 359

la condicion de frontera Ez (ρ = R) da una condicion adicional para γm

Jm (γmR) = 0

con lo cual γm estara caracterizado por otra cantidad n que nos da el cero de la funcion de Bessel. Si xmk es elk−esimo cero de la funcion de Bessel entonces

γm ⇒ γmk =xmkR

con lo cual Ez queda completamente determinado. Sustituyendo en la Ec. (19.56) obtenemos las frecuencias deresonancia

ωmkn =c√µε

√γ2mk +

(πnL

)2=

c√µε

√x2mkR2

+π2n2

L2

la frecuencia fundamental se obtiene con m = 0, k = 1, n = 0 (con x01 = 2,4). Esto da

ω010 =2,4√µε

c

R

esta frecuencia es independiente de la altura del cilindro; por tanto no es posible modularla cambiando L. Con unadependencia temporal armonica de la forma eiωt, la onda fundamental TM010 se escribe

Ez = BJ0

(2,4ρ

R

)eiωtuz ; BT =

iµεω010

cγ2010Buz ×∇TJ0

(2,4ρ

R

)eiωt

en coordenadas cilındrica el gradiente transversal se escribe

∇T =∂

∂ρuρ +

∂

∂ϕuϕ

dado que J0 (γ010ρ) solo depende de ρ tenemos que ∇TJ0 (γ010ρ) tiene solo la componente en la direccion uϕ de modoque es perpendicular al eje z, es decir uz × J0 (γ010ρ) apunta en la direccion uϕ

BT = Bϕ =iµεω010

cγ2010B∂

∂ρJ0 (γ010ρ) e

iωtuϕ (19.57)

utilizaremos las siguientes propiedades de las funciones de Bessel

Jm−1 (x)− Jm+1 (x) = 2dJm (x)

dx; J−m (x) = (−1)m Jm (x)

para m = 0d

dxJ0 (x) = −J1 (x)

empleando esta relacion para la derivada en (19.57) obtenemos

Bϕ = −i√µεBJ1 (γ010ρ) eiωtuϕ

a partir de la ecuacion (;;;) obtenemos para las ondas TE

Bz = AJm (γmkρ) eimϕ sin

nπz

L

a partir de las condiciones de frontera∂Bz∂n

∣∣∣∣ρ=R

=∂Bz∂ρ

∣∣∣∣ρ=R

= 0

resulta∂

∂ρJm (γmkρ)

∣∣∣∣ρ=R

= 0


lo cual es equivalente a∂

∂ (γmkρ)Jm (γmk)

de modo que los valores de γmk estan fijados por los ceros de las derivadas de las funciones de Bessel. Para lasfrecuencias de resonancia tenemos

ωmkn =c√µε

√x2mkR2

+n2π2

L2

por hipotesis Bz 6= 0 de manera que la fecuencia fundamental (con J ′1 (x11) = 0, x11 = 1,8)

ω111 =1,8√µε

c

R

√1 + 2,9

R2

L2

teniendo en cuenta la dependencia temporal armonica eiωt para B obtenemos para el modo TE111 fundamental

Bz = AJ1 (γ111ρ) sin(πzL

)ei(ωt+ϕ)

es notable que a diferencia de la frecuencia fundamental para el modo TM, la frecuencia fundamental del modo TE111

sı se puede modular con la modificacion de la altura L del cilindro. Para valores grandes de L se tiene que ω111 delmodo TE esta por debajo de la frecuencia fundamental del modo TM y en consecuencia representa la frecuenciafundamental de la cavidad resonante.

Capıtulo 20

Radiacion

20.1. Potenciales retardados

En el presente capıtulo, trabajaremos la solucion de los potenciales escalar φ (r, t) y vectorial A (r, t) en el gaugede Lorentz exclusivamente. En dicho gauge las ecuaciones de movimiento vienen dadas por las Ecs. (15.11, 15.12)que escribiremos aquı por comodidad

(∇2 − µ0ε0

∂2

∂t2

)φ = − 1

ε0ρ (20.1)

(∇2−µ0ε0

∂2

∂t2

)A ≡ −µ0J (20.2)

en el caso estacionario, estos potenciales se reducen a ecuaciones de Poisson

∇2φ = − ρ

ε0; ∇2A = −µ0J

sus soluciones se escriben de la forma

φ (r) =1

4πε0

∫ρ (r′)R

dV ′ ; A (r) =µ04π

∫J (r′)R

dV ′

R ≡ r −r′ ; R ≡∣∣r− r′

∣∣ (20.3)

cuando trabajamos el caso no estatico, debe tenerse en cuenta que la senal electromagnetica viaja a la velocidadde la luz. Por lo tanto, si queremos evaluar los potenciales en un tiempo t en una cierta posicion r, no es el estadode la fuente en el tiempo t el que realmente cuenta, sino su condicion en un cierto tiempo anterior tr (llamado eltiempo retardado), en el cual el “mensaje” fue enviado. Como el mensaje viaja una distancia R a una velocidadc, el retardo es R/c con lo cual

tr = t− R

c

de modo que una generalizacion inmediata de (20.3) en el caso de fuentes no estaticas serıa

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′ ; A (r, t) =

µ04π

∫J (r′, tr)

RdV ′ (20.4)

donde ρ (r′, tr) corresponde a la densidad de carga que hay en el punto r′ cuando se mide en el tiempo tr. Estospotenciales se conocen como potenciales retardados, en virtud de que se evaluan en el tiempo de retardo. Hayque tener en cuenta que para fuentes extensas, este tiempo de retardo a su vez es funcion de la posicion ya queno todos los puntos en la fuente estan a la misma distancia del punto en que se desea evaluar el potencial. Estospotenciales se reducen de forma natural a los que se obtienen en el caso estatico en cuyo caso las cargas y corrientesson independientes del tiempo.

Sin embargo, por el momento estos potenciales retardados son solo un ansatz razonable para tener en cuenta lafinitud con que se propaga la senal, pero no hemos demostrado que estos potenciales sean solucion de las ecuacionesfundamentales del potencial. A continuacion demostraremos que los potenciales definidos por las Ecs. (20.4) satisfacen

361

362 CAPITULO 20. RADIACION

las ecuaciones de onda inhomogeneas (20.1, 20.2) ası como la condicion (15.10) que define al gauge de Lorentz1. Esnecesario entonces tener en cuenta que las soluciones retardadas dadas por (20.4) solo seran validas en el gaugede Lorentz. Vale la pena decir de paso que un ansatz similar para los campos electrico y magnetico nos llevan a unrespuesta equivocada, de modo que

E (r, t) 6= 1

4πε0

∫ρ (r′, tr)R2

R dV ′ ; B (r, t) 6= µ04π

∫J (r′, tr)× R

R2dV ′

lo cual se esperarıa haciendo una extension de las leyes de Coulomb y Biot Savart. Mas adelante veremos cuales sonlos valores correctos de estos campos. De momento, demostremos que los potenciales (20.4) satisfacen las ecuacionesde onda inhomogeneas (20.1, 20.2).

Comencemos con el potencial escalar. En primera instancia, calculamos el Laplaciano teniendo en cuenta que elintegrando del potencial retardado depende de r en dos formas: explıcitamente a traves de el factor R ≡ |r− r′| eimplıcitamente a traves del tiempo retardado tr = t−R/c, el gradiente queda entonces

∇φ (r, t) = 1

4πε0

∫ [(∇ρ) 1

R+ ρ∇

(1

R

)]dV ′

y

∂iρ =∂ρ

∂tr

∂tr∂xi

∇ρ(r′, tr

)= ρ∇tr = − ρ

c∇R (20.5)

ρ denota diferenciacion con respecto al tiempo, notese que ∂t = ∂tr ya que tr = t − R/c, y R es independiente deltiempo puesto que r y r′ se refieren a posiciones fijas (lugares geometricos). Usaremos tambien las identidades

∇R = R ; ∇(1

R

)= − R

R2(20.6)

con lo cual el gradiente queda

∇φ (r, t) = 1

4πε0

∫ [− ρc

R

R− ρ

R

R2

]dV ′ (20.7)

tomando la divergencia obtenemos el Laplaciano

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [ρ

c∇ ·(R

R

)+

1

c

R

R· (∇ρ)

]+

[ρ∇ ·

(R

R2

)+

R

R2· (∇ρ)

]dV ′

y usando las identidades

∇ρ = −1

cρ∇R = −1

cρR ; ∇ ·

(R

R

)=

1

R2; ∇ ·

(R

R2

)= 4πδ3 (R) (20.8)

con las identidades (20.5, 20.6, 20.8), el Laplaciano del potencial queda

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [1

c

ρ

R2− ρ

c2R · RR

]+

[4πρδ3 (R)− 1

cρR

R2· ∇R

]dV ′

∇2φ (r, t) = − 1

4πε0

∫ [ρ

cR2− ρ

c2R

]+

[4πρδ3 (R)− ρ

cR2R · R

]dV ′

∇2φ (r, t) =1

4πε0

∫ ρ

c2R− 4πρδ3

(r− r′

)dV ′ =

1

4πε0

∫1

c2R

∂2ρ (r′, tr)∂t2

dV ′ − ρ (r)

ε0

1Naturalmente tambien deben cumplir con las condiciones de frontera, para las cuales asumiremos potenciales nulos en el infinito,condicion que se cumple si la distribucion de cargas y corrientes es localizada.

20.2. ECUACIONES DE JEFIMENKO PARA LOS CAMPOS 363

recordando que R no depende del tiempo

∇2φ (r, t) =1

c2∂2

∂t2

[1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′]− ρ (r)

ε0

quedando finalmente

∇2φ (r, t) =1

c2∂2φ (r, t)

∂t2− ρ (r)

ε0[∇2 − 1

c2∂2

∂t2

]φ (r, t) = −ρ (r)

ε0

de modo que el potencial retardado escalar definido en (20.4) es solucion de la Ec. de onda (20.1). Ahora debemosdemostrar que cumple la condicion gauge (15.10) para ello se usa primero la identidad

∇ ·(J

R

)=

1

R(∇ · J) + 1

R

[∇′ · J

]−∇′ ·

[J (r′, tr)

R

]

y notando que J (r′, t−R/c) depende de r′ explıcitamente a traves de R e implıcitamente a traves de tf , en tantoque de r solo depende implıcitamente por medio de tr, se puede ver que

∇ · J = −1

cJ · (∇R) ; ∇′ · J = −ρ− 1

cJ·(∇′R

)

y usando estas identidades para calcular la divergencia de A se llega a la condicion que fija el gauge de Lorentz Ec.(15.10).

Es notable el hecho de que si cambiamos el tiempo retardado por el tiempo avanzado ta ≡ t+R/c en las Ecs.20.4 obtenemos los potenciales avanzados que tambien son solucion a las ecuaciones de onda inhomogeneas (20.1,20.2) y son enteramente consistentes con las ecuaciones de Maxwell, no obstante estas soluciones avanzadas violan elprincipio de causalidad, puesto que indican que fuentes ubicadas en el futuro pueden afectar en el pasado. El hechode que los potenciales avanzados tambien sean solucion se puede ver teniendo en cuenta que la ecuacion de onda esinvariante ante inversion temporal y por tanto no distingue pasado de futuro. Esta distincion se introduce cuandoasumimos que los potenciales retardados son los que describen los fenomenos en lugar de los avanzados. Aunque lospotenciales avanzados son de cierto interes (soluciones taquionicas?*) en fısica teorica, no tienen una interpretacionfısica directa.

20.2. Ecuaciones de Jefimenko para los campos

Dados los potenciales retardados

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′ ; A (r, t) =

µ04π

∫J (r′, tr)

RdV ′

es en principio directo encontrar la forma funcional de los campos electrico y magnetico

E (r, t) = −∇φ (r, t)− ∂A (r, t)

∂t; B (r, t) = ∇×A (r, t)

sin embargo, el calculo explıcito no es tan trivial en virtud de que los integrandos dependen de r a traves del factorR pero tambien a traves del tiempo retardado tr.

Ya calculamos el gradiente de φ Ec. (20.7), la derivada temporal de A es facil de calcular

∂A

∂t=µ04π

∫J (r′, tr)

RdV ′

teniendo en cuenta que c2 = 1/ (µ0ε0), el campo electrico se escribe

E (r, t) =1

4πε0

∫ [ρ (r′, tr)R2

R+ρ (r′, tr)cR

R− J (r′, tr)c2R

]dV ′ (20.9)


esta es la generalizacion del campo de Coulomb para campos dependientes del tiempo, en el caso estatico los dosultimos terminos desaparecen y en el primero la dependencia temporal desaparece de la densidad de carga.

Ahora calculamos el campo magnetico a traves del rotacional de A

∇×A =µ04π

∫ [1

R(∇× J)− J×∇

(1

R

)]dV ′

pero

(∇× J)i = εijk∂jJk ; ∂jJk =∂Jk∂tr

∂tr∂xj

= Jk∂tr∂xj

= −1

cJk∂R

∂xj⇒

(∇× J)i = −1

cεijkJk∂jR =

1

cεikjJk∂jR =

1

c

[J×∇R

]i

y recordando que ∇R = R

∇× J =1

cJ× R

usando esta expresion junto con ∇ (1/R) = −R/R2 el campo magnetico queda

B (r, t) =µ04π

∫ [J (r′, tr)R2

+J (r′, tr)cR

]× R dV ′ (20.10)

esta es la generalizacion de la ley de Biot-Savart para el caso dependiente del tiempo, y se reduce a esta cuandonos reducimos al caso estacionario con J independiente del tiempo. Estas expresiones se conocen como ecuacionesde Jefimenko, y nos proveen las soluciones de las ecuaciones de Maxwell cuando conocemos en forma explıcita lasfuentes. En general estas ecuaciones son de utilidad muy limitada en los calculos practicos, ya que suele ser massencillo evaluar los potenciales retardados y diferenciarlos para obtener los campos. Sin embargo, son un instrumentointeresante para observar la consistencia de la teorıa. En particular, observese que aunque los potenciales se obtuvierona partir del caso estacionario tan solo reemplazando el tiempo por el tiempo retardado, los campos no se obtienencon este simple reemplazo ya que aparecen terminos adicionales que involucran a ρ y a J.

Por otro lado, estas ecuaciones nos sirven para examinar el rango de validez de la aproximacion cuasi-estacionaria,supongamos que la densidad de corriente cambia lentamente de tal manera que podemos en buena aproximacionignorar los terminos de orden 2 en la expansion de Taylor

J (r, tr) = J (t) + (tr − t) J (t)

se deja como ejercicio al lector que una interesante cancelacion en la Ec. (20.10) nos lleva a la expresion

B (r, t) =µ04π

∫J (r′, t)× R

R2dV ′

es decir, la ley de Biot-Savart aun se mantiene con J evaluado en el tiempo no retardado t. Esto nos indicaque la aproximacion cuasi-estatica es valida en un rango mas alla del esperado, debido a que los dos errores queimplican ignorar el tiempo de retardo y la omision del segundo termino en (20.10) se cancelan entre sı a primerorden. Este hecho permite explicar porque el valor de la fuerza electromotriz en la Ec. (15.2) esta en buen acuerdocon los experimentos a pesar de que dicha ecuacion fue derivada de la Ec. (15.1) que proviene de la ley de Biot Savart(regimen estacionario), junto con la ley de induccion de Faraday (regimen no estacionario).

20.3. Ecuaciones de Jefimenko en el formalismo de Green

A traves del formalismo de Green, es posible calcular los campos en regimen temporal (ecuaciones de Jefimenko)en forma directa sin recurrir a los potenciales retardados. Partiendo de la Ec. (17.11), en donde Ψ representa lasolucion de la ecuacion de Helmholtz y teniendo en cuenta la funcion de Green para espacio infinito de la ecuacionde Helmholtz Ec. (17.21), podemos aplicar esta solucion al potencial escalar en el gauge de Lorentz, ya que en estegauge el potencial escalar φ (r, t) obedece la ecuacion de onda. En consecuencia podemos partir de la Ec. (17.11) conlas correspondencias Ψ (r, ω) → Φ (r, ω), F (r′, ω) → (r, ω). Siendo Φ (r, ω) , (r, ω) las transformadas de Fourier

20.3. ECUACIONES DE JEFIMENKO EN EL FORMALISMO DE GREEN 365

del campo (potencial escalar) y la fuente (densidad de carga) respectivamente. Como evaluamos en espacio infinito,se anulan las integrales de superficie y se usa la funcion de Green para la ecuacion de Helmholtz Ec. (17.21)

Φ (r, ω) =

∫(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ =

∫(r′, ω

) eikR

RdV ′ ; R ≡

∣∣r− r′∣∣ (20.11)

similarmente ocurre para el potencial vectorial cuyas fuentes son las corrientes

~A (r, ω) =

∫~J(r′, ω

)G(r, r′, ω

)dV ′ =

∫~J (r, ω)

eikR

RdV ′ (20.12)

primero calculemos el campo magnetico a traves de B = ∇×A su transformada de Fourier se escribe

~B (r, ω) = ∇× ~A (r, ω) = ∇×∫

~J (r, ω)eikR

RdV ′ =

∫∇×

(~J (r, ω)

eikR

RdV ′

)

~B (r, ω) =1

c

∫ [− 1

R2+ik

R

]R

R× ~J

(r′, ω

)eikR dV ′ (20.13)

~B (r, ω) =1

c

∫ [− 1

R3R× ~J

(r′, ω

)+ik

R2R× ~J

(r′, ω

)]eikR dV ′ (20.14)

Por otro lado, usando la transformada de Fourier

J (r, t) =1√2π

∫~J (r, ω) e−iωtdω ⇒ (20.15)

J (r, t) =1√2π

∫(−iω) ~J (r, ω) e−iωtdω (20.16)

y usando la transformada inversa de Fourier en (20.15, 20.16), se obtiene

~J (r, ω) =1√2π

∫J (r, t) eiωtdt (20.17)

iω ~J (r, ω) = − 1√2π

∫J (r, t) eiωtdt (20.18)

reemplazando (20.17) y (20.18) en (20.14) resulta

~B (r, ω) =1

c

∫ − 1

R3R×

[1√2π

∫J(r′, t′

)eiωt

′

dt′]

+ik

R2R×

[− 1

iω√2π

∫J(r′, t′

)eiωt

′

dt′]

eikR dV ′

~B (r, ω) = − 1

c√2π

∫ [1

R3R× J

(r′, t′

)+

k

ωR2R× J

(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′ (20.19)

recurriendo ahora a la transformada de Fourier para el campo magnetico

B (r, t) =1√2π

∫~B (r, ω) e−iωtdω (20.20)

y reemplazando (20.19) en (20.20)

B (r, t) = − 1

2πc

∫ ∫ [1

R3R× J

(r′, t′

)+

1

cR2R× J

(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′e−iωtdω

B (r, t) = − 1

2πc

∫ R×

[J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

]eiω(t

′−t+ kωR)

dV ′ dt′ dω

B (r, t) = − 1

2πc

∫ R×

[J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

] [∫eiω(t

′−t+R/c) dω

]dV ′ dt′


B (r, t) =1

c

∫ [J (r′, t′)R3

+J (r′, t′)cR2

]×R

δ(t′ − t+R/c

)dV ′ dt′

quedando finalmente

B (r, t) =1

c

∫ [J (r′, tr)R3

+J (r′, tr)cR2

]×R

dV ′ (20.21)

tr ≡ t− R

c(20.22)

Expresion que coincide con la Ecuacion de Jefimenko (20.10). Derivemos ahora el campo electrico

E (r, t) = −∇φ (r, t)− 1

c

∂A (r, t)

∂t

la correspondiente transformada de Fourier de esta ecuacion se escribe

~E (r, ω) = −∇Φ (r, ω) +iω

c~A (r, ω) (20.23)

y reemplazando (20.11) y (20.12) en (20.23) resulta

~E (r, ω) = −∇[∫

(r′, ω

) eikR

RdV ′

]+iω

c

∫~J(r′, ω

) eikR

RdV ′

~E (r, ω) =

∫ [(r′, ω

) ( 1

R3− iω

cR2

)R+

iω

c2R~J(r′, ω

)]eikR dV ′

~E (r, ω) =

∫ [ ( (r′, ω)R3

− iω (r′, ω)cR2

)R+

iω

c2R~J(r′, ω

)]eikR dV ′

utilizando (20.18) y una expresion analoga para iω (r′, ω), ası como la transformada inversa de (r′, ω) (el analogode 20.17),la transformada del campo queda

~E (r, ω) =

∫ [1

R3

(1√2π

∫ρ(r′, t′

)eiωt

′

dt′)− iω

cR2

(− 1

iω√2π

∫ρ(r′, t′

)eiωt

′

dt′)]

R

+iω

c2R

[− 1

iω√2π

∫J(r′, t′

)eiωtdt′

]eikR dV ′

~E (r, ω) =1√2π

∫ R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t)− 1

c2RJ(r′, t′

)ei(ωt

′+kR) dV ′dt′ (20.24)

y usando la transformada de Fourier del campo

E (r, t) =1√2π

∫~E (r, ω) e−iωtdω (20.25)

y reemplazando (20.24) en (20.25) resulta

E (r, t) =1

2π

∫ ∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t)− 1

c2RJ(r′, t′

)]ei(ωt

′+kR) dV ′dt′e−iωtdω

E (r, t) =1

2π

∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t)− 1

c2RJ(r′, t′

)] [eiω(t

′−t+R/c)dω]dV ′dt′

E (r, t) =

∫ [R

R3ρ(r′, t′

)+

R

cR2ρ (r, t)− 1

c2RJ(r′, t′

)]δ(t′ − t+R/c

)dV ′dt′

quedando finalmente

E (r, t) =

∫ [R

R3ρ(r′, tr

)+

R

cR2ρ (r, tr)−

1

c2RJ(r′, tr

)]dV ′ (20.26)

que coincide con (20.9).

20.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 367

20.4. Potenciales generados por cargas puntuales

20.4.1. Potenciales de Lienard-Wiechert

Hemos trabajado el formalismo general para calcular potenciales debidos a fuentes moviles, la idea ahora escalcular estos potenciales cuando las fuentes son cargas puntuales. Denotaremos w (t) como la posicion de la cargaq en el tiempo t. El tiempo de retardacion esta determinado implıcitamente por la ecuacion

|r−w (tr)| = c (t− tr) (20.27)

ya que a la izquierda tenemos la distancia que la senal debe viajar y (t− tr) es el tiempo que emplea la senal parahacer el viaje. Denominaremos a w (tr) como la posicion retardada de la carga, R es el vector que va desde laposicion retardada hasta el punto de evaluacion r

R ≡ r−w (tr) (20.28)

Notese que a diferencia del R definido en (20.3), el factor R definido en (20.28) sı depende del tiempo ya que r′ esun lugar geometrico del espacio, en tanto que w (tr) es la posicion de una partıcula. Es importante notar que a lomas un punto sobre la trayectoria de la partıcula esta en “comunicacion” con r para cualquier tiempo particular t(ver Fig. ???). Para verlo supongamos que hay dos puntos con tiempos retardados t1 y t2 tales que

R1 = c (t− t1) ; R2 = c (t− t2)

por lo tanto R1 − R2 = c (t2 − t1), de tal manera que la velocidad promedio de la partıcula en la direccion de rserıa c, y por otro lado no estamos teniendo en cuenta posibles componentes de la velocidad de la carga en otrasdirecciones. Dado que ninguna carga puede viajar a la velocidad de la luz, se sigue que solo un punto retardadocontribuye a los potenciales en un tiempo dado. Por esta misma razon un observador en r ve a la partıcula ensolo un lugar a la vez. En contraste, es posible escuchar a un objeto en dos lugares al tiempo, si una fuente sonora acierta distancia del observador emite un pulso y viaja a la velocidad del sonido en direccion al observador, y emiteotro pulso justo cuando llega al observador, este ultimo detectara ambos pulsos al mismo tiempo que provienen dediferentes lugares aunque hay una sola fuente 2.

A priori uno podrıa pensar que la formula

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, tr)

RdV ′

se puede integrar para obtener simplemente el potencial retardado de una carga puntual en la forma

1

4πε0

q

R

es decir, analogo al caso estatico salvo por el hecho de que R es la distancia a la posicion retardada de la carga. Sinembargo, esto NO es cierto, y esto se debe a un hecho muy sutil: es cierto que para una carga puntual el denominadorpuede salir de la integral

φ (r, t) =1

4πε0R

∫ρ(r′, tr

)dV ′ (20.29)

pero la integral que queda NO es la carga total de la partıcula, esto se debe a que para obtener la carga de la partıculaρ debe ser integrado sobre la distribucion completa en el mismo instante de tiempo. En el caso de fuentes extendidas,el retardo tr = t− R/c, nos obliga a evaluar a ρ en tiempos diferentes para diferentes partes de la configuracion. Sila configuracion se mueve, esto nos dara una imagen distorsionada de la carga total. A priori podrıa pensarse queeste problema no aparece para cargas puntuales debido a su falta de tamano. Sin embargo, no es ası, puesto que enel formalismo de Maxwell una carga puntual se debe ver como el lımite de una carga extendida cuando su tamano

2Cuando la luz viaja en un medio, es posible que las cargas viajen a velocidades mayores o iguales que la luz en dicho medio (partıculasCerenkov), de modo que este fenomeno y otros analogos que aparecen en el sonido tales como el estampido sonico pueden surgir para losfenomenos electromagneticos.


tiende a cero. Y para una carga extendida que se mueva no importa cual sea su tamano, el volumen aparente V ′ conrespecto al volumen real V de la carga esta dado por

V ′ =V

1− R · v/c(20.30)

demostremos este hecho antes de continuar. El efecto es puramente geometrico y lo ilustraremos con el ejemplo de untren que se aproxima. El observador vera que el tren que se aproxima tiene una longitud mayor de la que realmentetiene. Esto se debe a que la luz que el observador recibe de la parte trasera ha partido antes que la luz que recibe elobservador simultaneamente de la locomotora, y en este tiempo anterior el tren estaba mas lejos. Tomemos el origenen el punto en donde parte el rayo de la parte trasera, y el tiempo de partida de dicho rayo lo tomamos tambien comot = 0 (ver Fig. ???). Ahora sean t y L′ el tiempo (posterior) y posicion en los cuales parte el rayo de la locomotoraque llegara simultaneamente al observador. Para que ambos rayos lleguen simultaneamente es necesario que el rayode la parte trasera este pasando en el tiempo t por la posicion L′. Si L es la longitud del tren, entonces en este tiempoel tren ha recorrido una distancia L′ − L por tanto el tiempo t se puede evaluar como

t =L′

c=L′ − L

v

siendo v la velocidad del tren. La ultima igualdad nos conduce a

L′ =L

1− v/c

claramente L′ es la longitud aparente del tren, y es mayor que la longitud real L en un factor de (1− v/c)−1. Sepuede demostrar en forma similar que si el tren se aleja del observador, su longitud aparente es menor por un factorde (1 + v/c)−1. En el caso mas general en el cual la velocidad del tren hace un angulo θ con la lınea de vision delobservador, la longitud aparente es mas difıcil de calcular, haremos la suposicion simplificadora de que la longituddel tren es mucho menor que la distancia del tren al observador en todos los instantes de tiempo considerados (verFig. ???), de este modo la lınea que une el origen con el observador se puede considerar paralela a la lınea que une laposicion L′ con el observador, en este caso la distancia extra que debe recorrer la luz que parte del extremo traseroes L′ cos θ. En el tiempo L′ cos θ/c el tren recorre una distancia L′ − L de modo que

L′ cos θc

=L′ − L

v⇒ L′ =

L

1− (v cos θ) /c

notese que este efecto no distorsiona las dimensiones perpendiculares al movimiento (el ancho y la altura del tren),puesto que no hay movimiento en dicha direccion, estas dimensiones se ven iguales que si el tren estuviera totalmenteen reposo. El volumen aparente solo se modifica entonces en una de sus dimensiones con lo cual

V ′ =V

1−(R · v (tr)

)/c

(20.31)

siendo R un vector unitario desde el tren hacia el observador. Notese que la velocidad del tren es aquella comprendidaentre los tiempos de partida de los rayos, si la longitud del tren es muy pequena respecto a la distancia al observador,podemos definir sin ambiguedad a este tiempo como el tiempo retardado (ya que el retardo entre la partida de losdos rayos serıa mucho menor que el retardo para que estos rayos lleguen al observador), la velocidad esta entoncesevaluada en el tiempo retardado. Notese que para nuestra carga puntual este calculo para el volumen aparente sevuelve exacto puesto que las dimensiones de la carga se hacen tender a cero y son entonces mucho menores quecualquier distancia al punto de evaluacion.

Una aclaracion importante, este efecto no tiene nada que ver con el efecto relativista de contraccion de Lorentz.Por ejemplo, L es la longitud del tren en movimiento y la longitud propia del tren no juega ningun papel. Noteseincluso que en este caso puede ocurrir contraccion o expansion. El fenomeno guarda mayor semejanza con el efectoDoppler. Vemos por ejemplo que aquı no hay dos sistemas de referencia involucrados (como sı ocurre en la contraccionde Lorentz) y la longitud que medimos es la longitud aparente en tanto que la longitud que mide cada observador enel efecto de contraccion de Lorentz es la longitud real para cada observador (en el sentido de que los fotones de laparte trasera y delantera deben partir simultaneamente y NO llegar simultaneamente al ojo del observador).

20.4. POTENCIALES GENERADOS POR CARGAS PUNTUALES 369

Volviendo ahora a la evaluacion de nuestro potencial retardado para una carga puntual, en la integral (20.29) elintegrando es evaluado en el tiempo retardado, de modo que el volumen es afectado por el factor definido por (20.31),sustituyendo (20.30) en (20.29) resulta

φ (r, t) =1

4πε0R

[q

1− R · v/c

]=

1

4πε0

qc

[Rc−R · v (tr)](20.32)

donde v (tr) es la velocidad de la partıcula en el tiempo retardado y R es el vector desde la posicion retardada hastael punto de evaluacion r de los campos, Ec. (20.28). Adicionalmente, dado que la corriente se puede escribir como ρv,tenemos que el potencial vectorial retardado se puede escribir como

A (r, t) =µ04π

∫ρ (r′, tr) v (tr)

RdV ′ =

µ04π

v (tr)

R

∫ρ(r′, tr

)dV ′

quedando finalmente

A (r, t) =µ04π

qcv (tr)

Rc−R · v (tr)dV ′ =

v

c2φ (r, t) (20.33)

las expresiones (20.32, 20.33) se conocen como potenciales de Lienard-Wiechert para una carga en movimiento.

Example 21 Como ejemplo sencillo encontremos los potenciales asociados a una carga puntual con velocidad cons-tante. Por simplicidad, asumamos que la carga pasa por el origen en t = 0, por tanto

w (t) = vt

calculemos primero el tiempo de retardo usando (20.27)

|r− vtr| = c (t− tr)

elevando al cuadrador2 − 2r · vtr + v2t2r = c2

(t2 − 2ttr + t2r

)

resolviendo para tr

tr =

(c2t− r · v

)±√

(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

c2 − v2(20.34)

para elegir el signo consideremos el lımite v → 0

tr = t± r

c

en cuyo caso la carga esta en reposo en el origen, y el tiempo retardado debe ser t−r/c por lo tanto el signo menos esel correcto. La otra solucion es la solucion avanzada que como ya vimos siempre aparece como solucion matematicaadicional. Ahora usando (20.27) y (20.28)

R = c (t− tr) ; R =r− vtrc (t− tr)

por lo tanto

R(1− R · v/c

)= c (t− tr)

[1− v

c· (r− vtr)

c (t− tr)

]= c (t− tr)−

v · rc

+v2

ctr

=1

c

[(c2t− r · v

)−(c2 − v2

)tr]

=1

c

√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

en el ultimo paso se uso (20.34) con el signo menos. El potencial escalar (20.32) queda entonces

φ (r, t) =1

4πε0

qc√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)

y el potencial vectorial Ec. (20.33) queda

A (r, t) =µ04π

qcv√(c2t− r · v)2 + (c2 − v2) (r2 − c2t2)


20.5. Campos electrico y magnetico asociados a cargas puntuales moviles

Existen dos estrategias posibles para calcular los campos electricos y magneticos de una carga puntual en mo-vimiento arbitrario, una de ellas es usar los potenciales de Lienard Wiechert (20.32, 20.33) junto con las relaciones(15.5, 15.6), o por otro lado usando las ecuaciones de Jefimenko (20.9, 20.10). La segunda alternativa es mucho mascompleja, de modo que adoptaremos la primera estrategia, partamos entonces de las relaciones

E = −∇φ− ∂A

∂t; B = ∇×A (20.35)

la diferenciacion es compleja de nuevo en virtud del fenomeno de retardacion. Las cantidades

R = r−w (tr) ; v = w (tr)

estan evaluadas en el tiempo de retardacion y tr esta definido implıcitamente por la ecuacion

|r−w (tr)| = c (t− tr) (20.36)

de modo que tr es en sı mismo funcion de r y t. Comencemos con el gradiente de φ, para lo cual partimos de (20.32)y usamos la segunda de las Ecs. (20.6)

∇φ (r, t) = qc

4πε0

−1

(Rc−R · v)2∇ (Rc−R · v) (20.37)

dado que R = c (t− tr)∇R = −c∇tr (20.38)

en cuanto al segundo termino, usamos la identidad

∇ (A ·B) = A× (∇×B) +B× (∇×A) + (A · ∇)B+ (B · ∇)A (20.39)

se tiene∇ (R · v) = (R · ∇)v + (v · ∇)R+R× (∇× v) + v × (∇×R) (20.40)

evaluemos cada uno de estos terminos

[(R · ∇)v]i = (Rk∂k) vi = Rk (∂kvi) = Rk∂vi∂tr

∂tr∂xk

= Rkvi∂ktr

[(R · ∇)v]i = aiR · (∇tr) ⇒(R · ∇)v = a (R · ∇tr)

donde a ≡ v es la aceleracion de la partıcula en el tiempo retardado. Tomemos el otro termino

(v · ∇)R = (v · ∇) r− (v · ∇)w

[(v · ∇)R]i = (vk∂k)xi − (vk∂k)wi = vk (∂kxi)− vk (∂kwi)

[(v · ∇)R]i = vkδki − vk∂wi∂tr

∂tr∂xk

= vi − vkvi∂ktr = vi (1− vk∂ktr)

[(v · ∇)R]i = vi (1− v · ∇tr)

quedando finalmente(v · ∇)R = v (1− v · ∇tr)

evaluemos

[∇× v]i = εijk∂jvk = εijkdvkdtr

∂tr∂xj

= εijkvk∂jtr = εijkak∂jtr = εijk (∂jtr) ak

∇× v = (∇tr)× a (20.41)

[∇×R]i = [∇× r]i − [∇×w]i = 0− εijk∂jwk = −εijkwk∂jtr∇×R = −v ×∇tr

20.5. CAMPOS ELECTRICO Y MAGNETICO ASOCIADOS A CARGAS PUNTUALES MOVILES 371

reemplazando estas cantidades en (20.40)

∇ (R · v) = a (R · ∇tr) + v (1− v · ∇tr) +R× (∇tr × a) + v × (v×∇tr)∇ (R · v) = a (R · ∇tr) + v − v (v · ∇tr) +∇tr (R · a)− a (R · ∇tr) + v (v · ∇tr)−∇tr (v · v)∇ (R · v) = v +∇tr (R · a)−∇tr (v · v)∇ (R · v) = v +

[R · a− v2

]∇tr (20.42)

usando (20.38, 20.42), la Ec. (20.37) queda

∇φ (r, t) = qc

4πε0

1

(Rc−R · v)2[v +

(c2 − v2 +R · a

)∇tr

](20.43)

para completar el calculo debemos calcular ∇tr para lo cual tomamos el gradiente a partir de la ecuacion de definicion(20.36), lo cual ya se hizo en (20.38), expandiendo ∇R obtenemos

−c∇tr = ∇R = ∇√R ·R =

1

2√R ·R

∇ (R ·R)

=1

R[(R · ∇)R+R× (∇×R)]

donde hemos usado la identidad (20.39), por procedimientos similares a los ya calculados se tiene que

(R · ∇)R = R− v (R · ∇tr) ; ∇×R = (v ×∇tr)

con lo cual

−c∇tr =1

R[R− v (R · ∇tr) +R× (v×∇tr)]

−c∇tr =1

R[R− v (R · ∇tr) + v (R · ∇tr)− (R · v)∇tr]

−c∇tr =1

R[R− (R · v)∇tr]

despejando ∇tr se obtiene finalmente

∇tr = − R

Rc−R · v (20.44)

sustituyendo este resultado en (20.43) se obtiene

∇φ =1

4πε0

qc

(Rc−R · v)3[(Rc−R · v) v−

(c2 − v2 +R · a

)R]

(20.45)

un calculo similar que se deja al lector nos da

∂A

∂t=

1

4πε0

qc

(Rc−R · v)3[(Rc−R · v)

(−v +

Ra

c

)+R

c

(c2 − v2 +R · a

)v

](20.46)

sustituyendo (20.45, 20.46) en (20.35) el campo electrico queda

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u+R× (u× a)

](20.47)

u ≡ cR− v

para calcular el campo magnetico debemos calcular ∇×A, el cual se puede escribir como

B (r, t) = ∇×A =1

c2∇× (φv) =

1

c2[φ (∇× v)− v × (∇φ)]

ya hemos calculado ∇× v y ∇φ Ecs. (20.41, 20.45), teniendo en cuenta ademas la expresion (20.44) para el ∇tr seobtiene

B (r, t) = −1

c

q

4πε0

1

(u ·R)3R×

[(c2 − v2

)v + (R · a)v+ (R · u)a

](20.48)


la cantidad entre parentesis cuadrados se asemeja mucho a (20.47). En especial si en esta ultima reemplazamos elfactor R× (u× a) por la identidad (R · a)u− (R · u)a

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u+ (R · a)u− (R · u) a

](20.49)

la principal diferencia consiste en que los dos primeros terminos contienen a v en lugar de u. En realidad, puesto queambos estan en produto cruz con R podemos cambiar estos v′s en u′s, el extratermino proporcional a R desapareceen el producto cruz y se sigue que

B (r, t) =1

cR×E (r, t) (20.50)

evidentemente, el campo magnetico de una carga puntual es siempre perpendicular al campo electrico, y tambien esperpendicular al vector que va desde la posicion retardada hasta el punto de evaluacion del campo.

El primer termino de E en la Ec. (20.47) proporcional a(c2 − v2

)u, decae como el inverso cuadrado de la distancia

a la partıcula. Si la velocidad y la aceleracion son ambas cero, este termino es el unico que sobrevive y se reduceal caso electrostatico normal. Por esta razon, este primer termino se llama usualmente el campo generalizado deCoulomb; por otro lado, dado que este termino no depende de la aceleracion tambien se le denomina campo develocidades). El segundo termino proporcional a R× (u× a) decae como el inverso de la primera potencia de R y espor tanto, el dominante a largas distancias. Como veremos mas adelante, este es el termino responsable de la radiacionelectromagnetica y por tanto se le denomina el campo de radiacion; por otro lado, dado que es proporcional a ase le denomina tambien campo de aceleraciones. La misma terminologıa se aplica para el campo magnetico.

Por otro lado, es muy util encontrar la formula para la fuerza que una carga hace sobre otra (con ambas enmovimiento arbitrario). Esta expresion, junto con el principio de superposicion, contendrıa a toda la teorıa de laelectrodinamica clasica. Claramente, ahora estamos en posicion de escribir tal expresion tomando los campos (20.47,20.50) y la ley de fuerza de Lorentz

F =qQ

4πε0

R

(R · u)3[(

c2 − v2)u+R× (u× a)

]+

V

c×[R×

[(c2 − v2

)u+R× (u× a)

]](20.51)

donde Q es la carga de prueba, q es la carga fuente, V es la velocidad de Q y las cantidades R, u, v, y a (asociadas ala carga fuente q) se evaluan en el tiempo retardado. Como se dijo, esta relacion junto con el principio de superposicioncontienen formalmente a toda la teorıa electromagnetica clasica, aunque no siempre sea la forma mas util para loscalculos explıcitos de distribuciones arbitrarias de carga fuente y/o de prueba.

Se deja como ejercicio al lector calcular el campo generado por una carga puntual con velocidad constante, encuyo caso el campo de radiacion se anula tanto para E como para B. Los campos vendran dados por

E (r, t) =q

4πε0

1− v2/c2(1− v2

c2sin2 θ

) R

R2; R ≡ r− vt

B (r, t) =1

c2v ×E

es notable el hecho de que E apunta a lo largo de la lınea que parte de la posicion presente (ver Fig. ???). Estaes una gran coincidencia puesto que la senal partio de la posicion retardada. Debido al termino con sin2 θ en eldenominador, el campo de una carga que se mueve muy rapidamente se comprime en la direccion perpendicular almovimiento ver Fig ???. En las direcciones adelante atras E se reduce en un factor

(1− v2/c2

)con respecto al campo

que se obtiene con carga en reposo, en la direccion perpendicular se fortalece por un factor(1− v2/c2

)−1. Las lıneas

de campo magnetico circulan alrededor de la lınea de desplazamiento de la carga como muestra la figura ???, loscırculos decrecen (para un instante dado de tiempo) a medida que nos alejamos de la carga hacia adelante o haciaatras.

En el lımite v2/c2 << 1 estos campos se reducen a

E (r, t) =1

4πε0

q

R2R ; B (r, t) =

µ04π

q

R2

(v × R

)

la primera es esencialmente la ley de Coulomb, y la segunda es la ley de Biot Savart para una carga puntual. Laprimera era de esperarse, pero la segunda es sorprendente ya que la ley de Biot Savart solo es valida en principiopara corriente estacionarias y una carga puntual NO forma una corriente estacionaria. Una vez mas, la ley de BiotSavart parece ser aplicable en un rango mucho mas alla de su formulacion original.

20.6. RADIACION 373

20.6. Radiacion

Hemos discutido hasta ahora el fenomeno de transporte de ondas planas en diferentes medios, ası como el trans-porte de energıa y momento por parte de una onda, pero hemos hecho caso omiso de las fuentes de dichas ondas. Lasfuentes de toda onda electromagnetica son cargas y corrientes. Pero una carga en reposo o una corriente estacionariano generan ondas electromagneticas. Se requieren cargas aceleradas y corrientes que cambian como ya veremos.

Una vez generadas, las ondas electromagneticas en el vacıo se propagan hacia el infinito llevando energıa conella. El fenomeno de radiacion consiste en el flujo irreversible de energıa que se aleja de la fuente. Asumiremos quelas fuentes son localizadas y estan cercanas al origen (notese que el concepto mismo de radiacion es problematicopara fuentes no localizadas). Imaginemos una superficie esferica gigantesca de radio r “centrada” en la distribucionde cargas y corrientes, la potencia total que cruza esta superficie esferica es la integral de superficie del vector dePoynting

P (r) =

∮S·da =

1

µ0

∮(E×B) ·da (20.52)

donde hemos usado la Ec. (16.4) para el vector de Poynting. Si tomamos ahora el lımite cuando r → ∞ en la expresionanterior obtendremos la energıa por unidad de tiempo que se transporta hacia el infinito y nunca regresa.

Por otro lado, el area de la esfera es 4πr2 de modo que para que exista radiacion el vector de Poynting tiene quedecrecer para valores grandes de r a un ritmo no mayor que 1/r2, ya que si decreciera a un ritmo mayor, digamos1/r3 entonces P (r) irıa como 1/r y el lımite cuando r → ∞ se irıa para cero de modo que no habrıa radiacion. Loscampos electrostaticos de cualquier fuente localizada van como 1/r2 o incluso mas rapido si la distribucion no tienecarga neta. Por otro lado, la ley de Biot Savart nos dice que los campos magnetostaticos lejanos se comportan como1/r2 o incluso pueden decrecer mas rapido. De esta forma el vector de Poynting S decrece como 1/r4 para configura-ciones estacionarias. De esto se concluye que las fuentes estacionarias no radıan. No obstante, las ecuaciones deJefimenko (20.9, 20.10) indican que los campos dependientes del tiempo incluyen terminos (que involucran a ρ y J)que se comportan asintoticamente como 1/r, y estos terminos son los responsables de la radiacion electromagnetica.

En conclusion, el estudio de la radiacion consiste en tomar las partes de los campos que van como 1/r a grandesdistancias de la fuente, de modo que se construye con estos el termino de Poynting que va como 1/r2, para integrarlossobre la superficie esferica cuyo radio posteriormente se lleva al infinito. Naturalmente, no es necesario que la superficiesea esferica, pero es la geometrıa mas simple para los calculos.

Por otro lado, cuando las fuentes no tienen simetrıa esferica la radiacion no es isotropica, es posible que paraciertas franjas de angulo solido haya mayor potencia disipada que para otras. Por lo tanto es util definir una cantidadque defina la distribucion angular de la potencia radiada, para ello tenemos en cuenta que para una esfera de radior la potencia radiada sobre un elemento de la superficie esferica esta dado por

dP = S·da = S · nr2dΩ = S · urr2dΩ

donde hemos asumido que las fuentes estan “centradas en el origen” y por tanto la esfera tambien estarıa centradaen el origen. Definimos entonces la potencia radiada por angulo solido

dP

dΩ= S · urr2 (20.53)

como ya hemos dicho, el vector de Poynting se comporta como 1/r2 para los campos radiativos, de modo que esde esperarse que la potencia P ası como dP/dΩ sean independientes del radio de la esfera cuando se toma el lımiter → ∞.

Tomaremos los casos mas simples de radiacion de dipolo oscilante electrico y magnetico para estudiar posterior-mente el caso mas complejo de la radiacion de cargas puntuales

20.7. Radiacion de dipolo electrico

Supongamos un par de esferas metalicas pequenas separadas una distancia d conectadas por un alambre muydelgado (ver Fig. 20.1). En el tiempo t la carga de la esfera superior es q (t) y la de la carga inferior es −q (t).Supongamos que la carga total del sistema fluye de un lado a otro de tal modo que siempre la carga neta es cero y no


Figura 20.1:

se acumula carga neta en el alambre en ningun momento (aunque sı circula una corriente), de tal modo que en todotiempo la carga de ambas esferas tiene la misma magnitud y signo opuesto, pero esta magnitud oscila de la forma

q (t) = q0 cosωt (20.54)

el resultado es un dipolo oscilante

p (t) = p0 cosωt uz ; p0 = q0d

p0 es el maximo valor del momento dipolar. Podrıa pensarse que este sistema es muy artificial, y pensar que es masnatural definir dos cargas constantes montadas sobre un “resorte” de tal manera que lo que oscila es la distancia d.Aunque este sistema conduce a los mismos resultados, requiere del calculo (mas sutil) del potencial retardado de unacarga en movimiento que trataremos mas adelante.

El potencial escalar retardado (20.4) es el correspondiente a dos cargas puntuales oscilantes aunque con el efectode retardacion. Asumiremos que para tr = 0 la carga que esta a una distancia R+ del punto de evaluacion adquiereel valor +q0

φ (r, t) =1

4πε0

q0 cos [ω (t−R+/c)]

R+− q0 cos [ω (t−R−/c)]

R−

(20.55)

donde por la ley de cosenos

R± =

√r2 ∓ rd cos θ + (d/2)2

siendo r la distancia del origen al punto de evaluacion y θ el angulo entre r y uz. Ahora debemos convertir este dipolofısico en un dipolo puntual tomando los lımites apropiados

Primera aproximacion: d << r, sin embargo d 6= 0 para que exista el potencial. Por tanto esta condicion latraducimos en una expansion a primer orden en d/r.

R± = r

√

1∓ d

rcos θ +

(d

2r

)2∼= r

√

1∓ d

rcos θ +

(d

2r

)2

R± ∼= r

(1∓ d

2rcos θ

)⇒ (20.56)

1

R±∼= 1

r

(1± d

2rcos θ

)(20.57)

usando (20.56) se tiene que

t− R±c

= t− r

c

(1∓ d

2rcos θ

)= t− r

c± d

2ccos θ

20.7. RADIACION DE DIPOLO ELECTRICO 375

con lo cual tambien se pueden expandir las funciones trigonometricas en (20.55)

cos [ω (t−R±/c)] ∼= cos

[ω (t− r/c)± ωd

2ccos θ

]

= cos [ω (t− r/c)] cos

(ωd

2ccos θ

)∓ sin [ω (t− r/c)] sin

(ωd

2ccos θ

)

en el lımite de dipolo puntual perfecto tambien se debe cumplir que d sea mucho menor que la longitud de ondaemitida, con λ = 2πc/ω esto se puede traducir en:

Aproximacion 2: d << cω . Con esta condicion podemos escribir

cos [ω (t−R±/c)] ∼= cos [ω (t− r/c)]∓ ωd

2ccos θ sin [ω (t− r/c)] (20.58)

sustituyendo (20.57) y (20.58) en (20.55) se obtiene el potencial retardado para un dipolo puntual o perfecto.

φ (r, t) =1

4πε0

[q0 cos [ω (t− r/c)]− q0ωd

2ccos θ sin [ω (t− r/c)]

]1

r

(1 +

d

2rcos θ

)

−[q0 cos [ω (t− r/c)] +

q0ωd


]1

r

(1− d

2rcos θ

)

φ (r, t) =1

4πε0

2q0 cos [ω (t− r/c)]

1

r

(d

2rcos θ

)− 2

q0ωd


1

r

φ (r, t) =q0d cos θ

4πε0r

cos [ω (t− r/c)]

(1

r

)− ω

csin [ω (t− r/c)]

φ (r, θ, t) =p0 cos θ

4πε0r

−ωcsin [ω (t− r/c)] +

1

rcos [ω (t− r/c)]

(20.59)

en el lımite estatico ω → 0 el segundo termino reproduce la formula que ya conocemos para el potencial de un dipoloestacionario.

φ (r) =p0 cos θ

4πε0r2

no obstante, este no es el termino que nos interesa, en realidad nos interesan los campos que sobreviven a grandesdistancias a partir de la fuente, en la llamada zona de radiacion.

Aproximacion 3: r >> cω es decir distancias al dipolo mucho mayores que la longitud de onda emitida. Notese

que las aproximaciones 2 y 3 conducen a la aproximacion 1 ya que tomadas juntas conducen a d << λ << r. Laaproximacion 3 no concierne a la naturaleza del dipolo como las anteriores, sino a la zona en donde interesa calcularel potencial (en la zona de radiacion, r es mucho mayor que todas las dimensiones caracterısticas del sistema que eneste caso son la distancia d y la longitud de onda λ). Esta aproximacion implica que 1/r << ω/c, por lo tanto soloconservaremos el primer termino en el potencial (20.59) y el potencial en la zona de radiacion se reduce a

φ (r, θ, t) = − p0ω

4πε0c

(cos θ

r

)sin [ω (t− r/c)] (20.60)

por otra parte, el potencial vectorial se determina por la corriente que fluye en el alambre

I (t) =dq

dtuz = −q0ω sin (ωt) uz (20.61)

de acuerdo con la figura ???. El potencial vectorial se puede escribir

A (r, t) =µ04π

∫ d/2

−d/2

−q0ω sin [ω (t− r/c)] uzR

dz


dado que la integracion como tal introduce un factor d, podemos a primer orden, reemplazar el integrando por suvalor en el centro con lo cual queda

A (r, t) ∼= −µ0 (q0d)ω sin [ω (t− r/c)]

4πruz

A (r, t) ∼= −µ0p0ω4πr

sin [ω (t− r/c)] uz (20.62)

observese que los argumentos para llegar a (20.62), no requieren de la tercera aproximacion. A partir de los potenciales,se calculan los campos en forma directa. Usando (20.60) se tiene que

∇φ =∂φ

∂rur +

1

r

∂φ

∂θuθ

∇φ = − p0ω

4πε0c

cos θ

(− 1

r2sin [ω (t− r/c)]− ω

crcos [ω (t− r/c)]

)ur −

sin θ

r2sin [ω (t− r/c)]uθ

∇φ = − p0ω

4πε0cr

cos θ

(−1

rsin [ω (t− r/c)]− ω

ccos [ω (t− r/c)]

)ur −

sin θ

rsin [ω (t− r/c)]uθ

∇φ ∼= p0ω2

4πε0c2

(cos θ

r

)cos [ω (t− r/c)]ur (20.63)

donde el primer y el ultimo termino se desprecian en consistencia con la tercera aproximacion i.e. 1/r << ω/c.Similarmente

∂A

∂t= −µ0p0ω

2

4πrcos [ω (t− r/c)] (cos θ ur − sin θ uθ) (20.64)

a partir de (20.63) y (20.64) podemos evaluar el campo electrico en la zona de radiacion

E (r, t) = −∇φ− ∂A

∂t= −µ0p0ω

2

4π

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]uθ (20.65)

recordemos que la expresion para A Ec. (20.62), fue calculada sin la aproximacion 3, es decir el campo magneticoque surge no solo es valido en la zona de radiacion

∇×A =1

r

[∂

∂r(rAθ)−

∂Ar∂θ

]uφ

B ∼= −µ0p0ω4πr

ω

csin θ cos [ω (t− r/c)] +

sin θ

rsin [ω (t− r/c)]

uφ

sin embargo, el segundo termino se desprecio de nuevo por la aproximacion 3. Por tanto ahora sı tenemos que elcampo resultante solo es valido en la zona de radiacion

B = −µ0p0ω2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uφ (20.66)

Las Ecs. (20.65) y (20.66) representan ondas monocromaticas de frecuencia ω viajando en direccion radial a lavelocidad de la luz. E y B estan en fase, son mutuamente perpendiculares y transversales. El cociente entre lasamplitudes es E0/B0 = c, propiedades que se cumplen para las ondas electromagneticas planas en el espacio vacıo talcomo vimos en la seccion 18.1. No obstante, estas ondas son esfericas, y su amplitud decrece como 1/r a medida quese propagan, pero para valores grandes de r los frentes de onda son aproximadamente planos para pequenas regiones.

La energıa radiada por un dipolo electrico oscilante esta determinada por el vector de Poyinting Ec. (16.4).

S =1

µ0(E×B) =

µ0c

p0ω

2

4π

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]

2

ur

la intensidad se obtiene haciendo el promedio en el tiempo sobre un ciclo completo como se explico en la seccion 16.4

〈S〉 =(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

20.8. RADIACION DE DIPOLO MAGNETICO 377

La potencia total radiada se calcula con la integral de superficie de la intensidad sobre la esfera de radio r.

〈P 〉 =∫〈S〉 · da =

∫ [(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

]·(ur r

2dΩ)=µ0p

20ω

4

32π2c

∫sin2 θ

r2r2 sin θ dθ dφ

〈P 〉 = µ0p20ω

4

12πc(20.67)

Finalmente, calculamos la distribucion angular de la potencia radiada promediada sobre un ciclo, Ec. (20.53)

d〈P 〉dΩ

= 〈S〉 · ur r2 =[(

µ0p20ω

4

32π2c

)sin2 θ

r2ur

]·(ur r

2)

d〈P 〉dΩ

=

[(µ0p

20ω

4

32π2c

)sin2 θ

]

como se anticipo, las cantidades P y dP/dΩ son independientes del radio de la esfera como se esperarıa de laconservacion de la energıa, pues con la aproximacion 3, nos estamos anticipando a tomar el lımite cuando r → ∞.Notese que no hay radiacion a lo largo del eje del dipolo (sin θ = 0); el perfil de intensidad tiene la forma de untoroide, con su maximo en el plano ecuatorial (sin θ = 1).

20.8. Radiacion de dipolo magnetico

Figura 20.2:

Asumamos que tenemos un alambre circular de radio b, que yace en el plano XY y centrado en el origen, ver Fig.20.2. Alrededor del alambre circula una corriente alterna de la forma

I (t) = I0 cosωt

lo cual constituye un modelo de dipolo magnetico oscilante

m (t) = πb2I0 cosωt uz = m0 cosωt uz ; m0 ≡ πb2I0

puesto que la espira no tiene carga neta, el potencial escalar es cero. El potencial vectorial retardado vendra dadopor

A (r, t) =µ04π

∫I0 cos [ω (t−R/c)]

Rdl′

para un punto r colocado directamente sobre el eje X (i.e. en el plano ZX), la simetrıa nos sugiere que A debeapuntar en la direccion Y , puesto que las componentes X de dos fragmentos dl1 y dl2 colocados simetricamente auno u otro lado del eje X se cancelaran, ademas tales fragmentos no tienen componente Z. Por lo tanto

A (r, t) =µ0I0b

4πuy

∫ 2π

0

I0 cos [ω (t−R/c)]

Rcosφ′ dφ′ (20.68)


donde el cosφ′ extrae la componente Y de dl′. Por la ley de cosenos

R =√r2 + b2 − 2rb cosψ

siendo ψ el angulo entre r y b.

r = r sin θ ux + r cos θ uz ; b = b cosφ′ ux + b sinφ′ uyr · b = rb cosψ = rb sin θ sinφ′

de esto se deduce

R =√r2 + b2 − 2rb sin θ cosφ′

de nuevo, queremos resolver el problema para dipolo puntual o perfecto, de modo que la aproximacion natural esAproximacion 1: b << r. Con lo cual a primer orden en b/r resulta

R ∼= r

(1− b

rsin θ cosφ′

);

1

R∼= 1

r

(1 +

b

rsin θ cosφ′

)(20.69)

cos [ω (t−R/c)] ∼= cos

[ω (t− r/c) +

ωb

csin θ cosφ′

]

= cos [ω (t− r/c)] cos

(ωb

csin θ cosφ′

)− sin [ω (t− r/c)] sin

(ωb

csin θ cosφ′

)(20.70)

al igual que con el dipolo electrico, el caracter de puntual tambien requiere que el radio de la espira sea mucho menorque la longitud de onda radiada:

Aproximacion 2: b << c/ω. En cuyo caso una expansion a primer orden en ωb/c nos da

cos [ω (t−R/c)] ∼= cos [ω (t− r/c)]− ωb

csin θ cosφ′ sin [ω (t− r/c)] (20.71)

insertando las aproximaciones (20.71) y (20.69) en (20.68) y omitiendo terminos de segundo orden, resulta

A (r, t) ∼= µ0I0b

4πruy

∫ 2π

0cos [ω (t−R/c)]

+b sin θ cosφ′(1

rcos [ω (t− r/c)]− ω


)cosφ′ dφ′

el primer termino se anula ya que ∫ 2π

0cosφ′ dφ′ = 0

el segundo termino se integra con ∫ 2π

0cos2 φ′ dφ′ = π

con estos resultados y teniendo en cuenta que uy apunta en la direccion uφ cuando estamos en un punto sobre el planoZX y teniendo en cuenta que la orientacion de este plano se puede cambiar sin afectar la geometrıa del problema, seconcluye que el potencial vectorial para un momento dipolar puro oscilante va en la direccion uφ

A (r, θ, t) =µ0m0

4π

(sin θ

r

)1

rcos [ω (t− r/c)]− ω


uφ

en el lımite estatico ω → 0 encontramos el valor del potencial vectorial de dipolo magnetico puntual estatico

A (r, θ) =µ04π

m0 sin θ

r2uφ

de nuevo, la region de interes para calcular la radiacion (zona de radiacion) es aquella lejana a la fuente, que setraduce en el hecho de que la distancia al punto de evaluacion debe ser mucho mayor que la longitud de onda

20.9. RADIACION GENERADA POR UN DISTRIBUCION ARBITRARIA 379

Aproximacion 3: r >> cω . Con esta aproximacion el primer termino en A es despreciable y queda

A (r, θ, t) = −µ0m0ω

4πc

(sin θ

r

)sin [ω (t− r/c)]uφ (20.72)

ahora calculamos los campos E y B con base en (20.72)

E = −∂A∂t

=µ0m0ω

2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uφ (20.73)

B = ∇×A = −µ0m0ω2

4πc2

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)] uθ (20.74)

en el calculo de B se ha usado la aproximacion 3. Como en el caso del dipolo electrico, los campos estan en fase,son mutuamente perpendiculares y transversales a la direccion de propagacion ur, el cociente entre sus amplitudeses E0/B0 = c. Es notable la similaridad en estructura de estos campos con los del dipolo puntual electrico oscilanteEcs. (20.65, 20.66), salvo que en este caso B apunta en direccion uθ, y E apunta en la direccion uφ, lo cual es opuestoal caso del dipolo puntual electrico.

Para calcular la radiacion del dipolo magnetico oscilante, calculamos primero el flujo de energıa asociado a loscampos (20.73, 20.74)

S =1

µ0(E×B) =

µ0c

m0ω

2

4πc

(sin θ

r

)cos [ω (t− r/c)]

2

ur

la intensidad es

〈S〉 =(µ0m

20ω

4

32π2c3

)sin2 θ

r2ur

la potencia total radiada es

〈P 〉 = µ0m20ω

4

12πc3(20.75)

de nuevo, el perfil de intensidad tiene la forma de un toroide, y la potencia radiada va como ω4. Hay sin embargouna diferencia muy importante con respecto al dipolo electrico: Para configuraciones con dimensiones comparables,la potencia radiada por el dipolo electrico es mucho mayor. Haciendo el cociente entre las potencias radiadas porambos dipolos Ecs. (20.67, 20.75)

PmagPelect

=

(m0

p0c

)2

para efectuar la comparacion recordemos quem0 = πb2I0 y p0 = q0d. Por otro lado, teniendo en cuenta la Ec. (20.61),tenemos que la amplitud de la corriente en el caso electrico viene dada por I0 = q0ω . Finalmente, sustituyendo d ∼ πb(lo cual nos dice que ambos dipolos tienen dimensiones comparables) este cociente se reduce a

PmagPelect

∼(ωb

c

)2

=

(b

c/ω

)2

pero esta cantidad es muy pequena de acuerdo con la aproximacion 2 en cualquiera de los dipolos, adicionalmenteaquı aparece elevada al cuadrado. Por lo tanto, es de esperarse que la radiacion de dipolo electrico domine, a menosque la configuracion del sistema sea tal que la contribucion electrica sea excluıda por algun mecanismo, que es el casotratado aquı ya que asumimos que el lazo cerrado es neutro en todos sus puntos (el dipolo electrico es neutro perotiene acumulaciones locales de carga) y por tanto el potencial escalar se anula.

20.9. Radiacion generada por un distribucion arbitraria

Ahora veamos que podemos decir del caso general en que asumimos distribuciones arbitrarias de cargas y co-rrientes. La unica suposicion especial es que las cargas y corrientes estan localizadas en una region vecina al origende coordenadas. El potencial escalar retardado sera

φ (r, t) =1

4πε0

∫ρ (r′, t−R/c)

RdV ′ (20.76)

R ≡√r2 + r′2 − 2r · r′


la region de interes es de nuevo la zona de radiacion en la cual el punto de evaluacion de los campos esta muy lejoscon respecto a las dimensiones de la fuente

Aproximacion 1: r′ << r para todo r′ en donde exista carga y/o corriente. Expandiendo a primer orden enr′/r resulta

R ∼= r

(1− r · r′

r2

);

1

R∼= 1

r

(1 +

r · r′r2

)(20.77)

ρ(r′, t−R/c

) ∼= ρ

(r′, t− r

c+

r · r′c

)

adicionalmente, expandimos ρ como una serie de Taylor en t alrededor del tiempo de retardo en el origen

t0 ≡ t− r

c(20.78)

con lo cual ρ a primer orden queda

ρ(r′, t−R/c

) ∼= ρ(r′, t0

)+ ρ

(r′, t0

)( r · r′c

)+

1

2ρ

(r · r′c

)2

+1

3!

...ρ

(r · r′c

)3

+ . . . (20.79)

el punto significa derivacion en el tiempo. Haremos entonces la siguiente aproximacionAproximacion 2:

r′ <<c

|ρ/ρ| ,c

∣∣...ρ/ρ∣∣1/2

,c

∣∣....ρ /...ρ∣∣1/3

, . . .

para un sistema oscilante cada uno de estos cocientes corresponde a c/ω lo cual corresponde a nuestra antiguaaproximacion 2. Aunque en el caso mas general es mas difıcil interpretar esta aproximacion, se puede ver que estaaproximacion junto con la primera dan cuenta de el hecho de mantener solo terminos a primer orden en r′. Tomando(20.77) y los dos primeros terminos a la derecha de (20.79) y sustituyendolos en (20.76) resulta

φ (r, t) ∼= 1

4πε0r

[∫ρ(r′, t0

)dV ′ +

r

r·∫

r′ρ(r′, t0

)dV ′ +

r

c· ddt

∫r′ρ(r′, t0

)dV ′

](20.80)

la primera integral es simplemente la carga total Q evaluada en t0. Sin embargo, dado que la carga se conserva, Qes independiente del tiempo. Las otras dos integrales representan el momento dipolar electrico evaluado en t0. Portanto

φ (r, t) ∼= 1

4πε0

[Q

r+

r · p (t0)

r2+

r · p (t0)

rc

](20.81)

en el caso estatico, los dos primeros terminos son las contribuciones monopolar y dipolar a la expansion del potencialy el tercer termino se anula.

Para el potencial vectorial se tiene

A (r, t) =µ04π

∫J (r′, t−R/c)

RdV ′

como veremos en un momento, a primer orden en r′ es suficiente reemplazar R por r en el integrando

A (r, t) ∼= µ04πr

∫J(r′, t0

)dV ′

el lector puede demostrar que la integral de J es la derivada temporal del momento dipolar

A (r, t) ≡ µ04π

p (t0)

r(20.82)

ahora se ve porque razon no es necesario llevar la aproximacion de R mas alla del orden cero (R ∼= r). p ya es deprimer orden en r′, y cualquier refinamiento serıa una correccion de segundo orden.

Ahora debemos calcular los campos para lo cual utilizaremos de nuevo solo la zona de radiacion, es decir loscampos que sobreviven a grandes distancias de la fuente, por lo tanto solo conservaremos los terminos que vayancomo 1/r

20.9. RADIACION GENERADA POR UN DISTRIBUCION ARBITRARIA 381

Aproximacion 3: Omitiremos los terminos de la forma 1/r2en los campos E y B.Por ejemplo el termino de Coulomb

E =1

4πε0

Q

r2ur

que proviene del primer termino en (20.81) no contribuye a la radiacion electromagnetica. De hecho, la radiacionproviene completamente de aquellos terminos en los cuales diferenciamos el argumento t0. A partir de (20.78) se tiene

∇t0 = −1

c∇r = −1

cur

con lo cual

∇φ (r, t) ∼= ∇[

1

4πε0

r · p (t0)

rc

]∼= 1

4πε0

[r · p (t0)

rc

]∇t0 = − 1

4πε0c2[r · p (t0)]

rur

similarmente∇×A ∼= µ0

4πr[∇× p (t0)] =

µ04πr

[∇ (t0)× p (t0)] = − µ04πrc

[r× p (t0)]

y∂A

∂t∼= µ0

4π

p (t0)

r

con lo cual el campo electrico queda

E (r, t) ∼= µ04πr

[(r · p) r− p] =µ04πr

[r× (r× p)] (20.83)

donde p se evalua en t0 = t− r/c. El campo magnetico queda

B (r, t) ∼= − µ04πrc

[r× p (t0)] (20.84)

dado que la radiacion usualmente se calcula sobre una enorme esfera, es conveniente escribir los campos (20.83,20.84), en coordenadas esfericas. Por comodidad haremos que p (t0) este sobre el eje Z

E (r, θ, t) ∼= µ0p (t0)

4π

(sin θ

r

)uθ ; B (r, θ, t) ∼= µ0p (t0)

4πc

(sin θ

r

)uφ

con lo cual se puede calcular el vector de Poynting

S =1

µ0(E×B) ∼= µ0

16π2c[p (t0)]

2

(sin2 θ

r2

)ur

y la potencia total radiada sera

P =

∫S · da ∼= µ0p

2

6πc

de nuevo se puede apreciar que E y B son perpendiculares entre sı, transversales a la direccion de propagacion ur,y E/B = c, como ocurre en general para campos de radiacion. Notese que haciendo p constante, los campos (20.83,20.84) se anulan, ya que los dipolos estaticos no contribuyen en la zona de radiacion.

Es facil ver que si tomamos el caso del dipolo oscilante

p (t) = p0 cosωt ; p (t) = −ω2p0 cosωt

recobramos los resultados de la seccion (20.7).Otro ejemplo interesante lo constituye la carga puntual cuyo momento dipolar se puede escribir como

p (t) = q d (t) ; p (t) = q a (t)

donde d es la posicion de la carga con respecto al origen y a es la aceleracion de dicha carga. La potencia radiada es

P =µ0q

2a2

6πc


que corresponde a la formula de Larmor, la cual nos dice que la potencia radiada por una carga puntual esproporcional al cuadrado de su aceleracion.

Basicamente hemos realizado una expansion multipolar de los potenciales retardados, al orden mas bajo en r′

que puede producir radiacion electromagnetica, es decir campos que se comportan como 1/r en la zona de radiacion.El termino mas bajo que puede radiar es el dipolar, esto se debe a que en virtud de la conservacion de la carga, eltermino monopolar no puede radiar. Si la carga no se conservara el primer termino en (20.81) serıa de la forma

Vmono =1

4πε0

Q (t0)

r

y producirıa un termino monopolar radiante (ya que se comporta como 1/r)

Emono =1

4πε0c

Q (t0)

rur

por ejemplo, podrıa pensarse a priori que una esfera cuyo radio oscila deberıa radiar, sin embargo este no es el caso,puesto que el campo afuera (y en particular en la zona de radiacion) es exactamente Q/

(4πε0r

2)ur, sin importar la

fluctuacion del tamano. vale la pena enfatizar que en el analogo acustico los monopolos sı radıan.Si el momento dipolar electrico (o su segunda derivada) se anulan, no hay radiacion de dipolo electrico, y debemos

mirar el siguiente termino, es decir terminos de segundo orden en r′. Dichos terminos de segundo orden contienendos partes, una relacionada con el dipolo magnetico de la fuente y la otra relacionada con el cuadrupolo electrico,si estos a su vez se anulan debemos considerar terminos de orden r′3 que corresponden a cuadrupolo magnetico yoctupolo electrico etc.

20.10. Radiacion de cargas puntuales

Ya hemos derivado los campos E y B para cargas puntuales en movimiento arbitrario Ecs. (20.47, 20.50), y vienendados por

E (r, t) =q

4πε0

R

(R · u)3[(c2 − v2

)u+R× (u× a)

](20.85)

B (r, t) =1

cR×E (r, t) ; u ≡ cR− v ; R ≡ r−w (tr) (20.86)

Siendo w (tr) la posicion de la carga en el tiempo retardado, y la velocidad v se evalua en el tiempo retardado.Como ya mencionamos el primer termino en ambos campos se denomina el campo de velocidades y al segundo sele llama campo de aceleraciones. El vector de Poynting se escribe como

S =1

µ0(E×B) =

1

µ0c

[E×

(R×E

)]=

1

µ0c

[E2R−

(R ·E

)E]

(20.87)

sin embargo no todo este flujo de energıa constituye radiacion. Parte de el es flujo de energıa de campo que setransporta junto con la partıcula. La energıa radiada es aquella parte del flujo que efectivamente se separa de lapartıcula y se propaga hacia el infinito. Para calcular la potencia total radiada por la partıcula en el tiempo tr,pintamos una enorme esfera de radio R, centrada en la posicion de la partıcula en el tiempo tr, el tiempo t en el cualla radiacion incide en la superficie de la esfera viene dado por

t− tr =R

c

y en este tiempo t se integra el vector de Poynting sobre la superficie. El tiempo tr es efectivamente el tiempo deretardo para todos los puntos sobre la esfera en el tiempo t. Dado que la superficie crece como R2 solo contribuyenterminos en S que decrezcan como 1/r2, las potencias cubicas y cuarticas inversas no contribuyen en el lımite cuandoR → ∞. Por lo tanto, solo los campos de aceleracion contribuyen a la radiacion y por eso se les denominantambien campos de radiacion como ya habıamos anticipado.

Erad =q

4πε0

R

(R · u)3[R× (u× a)] (20.88)

20.10. RADIACION DE CARGAS PUNTUALES 383

los campos de velocidad transportan energıa pero tal energıa es arrastrada por la carga en su movimiento. Dado queErad es perpendicular a R el segundo termino en (20.87) se cancela y el vector de Poynting se simplifica

Srad =1

µ0cE2radR (20.89)

si la carga esta en reposo instantaneo en el tiempo tr entonces u = cR, que al reemplazarlo en (20.88) queda:

Erad =q

4πε0

R(R · cR

)3[R×

(cR× a

)]=

q

4πε0

1

c2R

R3

[(R · a) R−

(R · R

)a]

Erad =q (µ0ε0)

4πε0R2

[(RR · a

)R−

(RR · R

)a]=

qµ04πR

[(R · a

)R− a

]

y la componente radiante del vector de Poynting (20.89) queda

Srad =1

µ0c

( qµ04πR

)2 [a2 − 2

(R · a

)(R · a

)+(R · a

)2]R

Srad =1

µ0c

( µ0q4πR

)2 [a2 −

(R · a

)2]R =

1

µ0c

(µ0q4π

)2 1

R2

[a2 − a2 cos2 θ

]R

Srad =µ0q

2a2

16π2c

(sin2 θ

R2

)R (20.90)

siendo θ el angulo entre R y a. No se genera radiacion en la direccion de la aceleracion (si el movimiento es rectilıneo

Figura 20.3:

esto significa que no hay radiacion en las direcciones adelante y atras). La radiacion se emite en un toroide que seforma alrededor de la aceleracion instantanea, como se ve en la Fig. 20.3. La potencia total radiada es

P =

∮Srad · da =

µ0q2a2

16π2c

∫sin2 θ

R2R2 sin θ dθ dφ

P =µ0q

2a2

6πc

que corresponde de nuevo a la formula de Larmor obtenida por otro metodo. Aunque esta relacion se derivo conv = 0 en realidad se mantiene con buena aproximacion para el caso no relativista con v << c.

El caso v 6= 0 es mas difıcil en primer lugar porque la expresion para Erad es mas complicada, y en segundolugar por el hecho (mas sutil) de que Srad la rata de energıa a la cual la energıa pasa a traves de la esfera no esigual a la rata de energıa que abandona a la partıcula. Para ilustrarlo, supongamos que un tirador movil dispara unacorriente de balas hacia un blanco fijo. La rata Nt a la cual las balas golpean el blanco estacionario no es igual a la


rata Ng a la cual las balas abandonan la pistola debido al movimiento del tirador. Se puede verificar facilmente queNg = (1− v/c)Nt si el carro se mueve hacia el blanco (siendo c la rapidez de las balas con respecto a tierra) y parauna direccion arbitraria v del tirador movil se obtiene

Ng =

(1− R · v

c

)Nt

donde R es el vector unitario desde el tirador hasta el blanco. Notese que este es un factor puramente geometricoque no esta asociado a las transformaciones relativistas y es muy analogo al efecto Doppler.

En nuestro caso, si dW/dt es la rata a la cual la energıa pasa a traves de la esfera de radio r, entonces la rata ala cual la energıa abandona la carga dW/dtr esta dada por:

dW

dtr=

(1− R · v

c

)dW

dt(20.91)

teniendo en cuenta la definicion de u Ec. (20.86) se tiene que

1− R · vc

=c− R · v

c=cR−RR · v

Rc=cR · R−R · v

Rc=

R·(cR− v

)

Rc⇒

1− R · vc

=

(R · uRc

)(20.92)

remplazando (20.92) en (20.91) resultadW

dtr=

(R · uRc

)dW

dt

Pcar =

(R · uRc

)Pesf (20.93)

que es precisamente el cociente entre Ng y Nt, y es un factor puramente geometrico. La distribucion angular de laradiacion se puede calcular con

dPcar =

(R · uRc

)dPesf =

(R · uRc

)Sesf · da =

(R · uRc

)Sesf · urR2dΩ

dPcardΩ

=

(R · uRc

)(1

µ0cE2radR

)· urR2

donde hemos usado (20.89). Teniendo en cuenta que ur = R, la potencia radiada por la partıcula en una seccion dearea R2dΩ = R2 sin θ dθ dφ sobre la esfera, esta dada por

dP

dΩ=

(R · uRc

)1

µ0cE2radR

2

y usando el valor del campo electrico de radiacion Ec. (20.88)

dP

dΩ=

(R · uRc

)1

µ0c

∣∣∣∣q

4πε0

R

(R · u)3[R× (u× a)]

∣∣∣∣2

R2

dP

dΩ=

RR · uR

R2

(RR · u

)61

µ0

1

c2

(q

4πε0

)2 ∣∣∣RR× (u× a)∣∣∣2R2

dP

dΩ=

1(R · u

)51

µ0(µ0ε0)

(q

4πε0

)2 ∣∣∣R× (u× a)∣∣∣2

quedadno finalmente

dP

dΩ=

q2

16π2ε0

∣∣∣R× (u× a)∣∣∣2

(R · u

)5 (20.94)

20.10. RADIACION DE CARGAS PUNTUALES 385

siendo dΩ el angulo solido en el cual se radıa esta potencia. Notese que esta expresion depende de R pero no de R,lo cual es de esperarse ya la distribucion de la radiacion depende de la direccion pero no del tamano de la esfera,siempre que esta sea suficientemente grande con respecto a todas las dimensiones del sistema. Integrando sobre θ yφ se obtiene la potencia total radiada,

∫dP

dΩdΩ =

∫q2

16π2ε0

∣∣∣R× (u× a)∣∣∣2

(R · u

)5 sin θ dθ dφ

donde hemos definido el eje Z en la direccion de la velocidad instantanea y R es el vector que se barre en todas lasdirecciones, θ es entonces el angulo entre v y R. Teniendo en cuenta la simetrıa azimuthal la integracion en φ esinmediata

∫dP

dΩdΩ =

q2

8πε0

∫∣∣∣R× (u× a)

∣∣∣2

(R · u

)5 sin θ dθ

el resultado es

P =µ0q

2γ6

6πc

[a2 −

∣∣∣∣v × a

c

∣∣∣∣2]

; γ ≡ 1√1− v2

c2

esta es la generalizacion de Lienard para la formula de Larmor, que claramente se reduce a esta ultima cuandov ≪ c. El factor γ6 nos indica que la potencia radiada se incrementa enormemente cuando la partıcula se acerca a lavelocidad de la luz.

20.10.1. Radiacion de Frenado (bremsstrahlung)

Supongamos que v y a son instantaneamente colineales (en el tiempor tr). Calculemos la distribucion angular dela radiacion y la potencia total emitida. En este caso

(u× a) = c(R× a

)

y reemplazando esta expresion en la Ec. (20.94) se tiene que

dP

dΩ=

q2c2

16π2ε0

∣∣∣R×(R× a

)∣∣∣2

(c− R · v

)5

usando la identidad

R×(R× a

)= R

(R · a

)− a ⇒

∣∣∣R×(R× a

)∣∣∣2= a2 −

(R · a

)2

si hacemos que el eje Z coincida con la direccion instantanea de la velocidad v obtenemos

dP

dΩ=µ0q

2a2

16π2c

sin2 θ

(1− β cos θ)5; β ≡ v

c(20.95)

esta expresion es consistente con la Ec. (20.90) en el caso en que v = 0. Pero para valores grandes de la velocidad i.e.β ∼= 1, el perfil de la distribucion de la radiacion en forma de toroide se estrecha y es “empujado” hacia adelante porel factor (1− β cos θ)−5, como se indica en la figura ???. Aunque no hay radiacion en la lınea delantera, la radiaciontiende a concentrarse en un cono cada vez mas estrecho en la direccion delantera. Es facil encontrar el angulo θmax

en donde la radiacion es maxima en el lımite ultrarelativista

θmax∼=√

1− β

2para β ∼= 1


Figura 20.4:

la potencia total emitida se puede encontrar integrando (20.95) sobre el angulo solido completo

P =

∫dP

dΩdΩ =

µ0q2a2

16π2c

∫sin2 θ

(1− β cos θ)5sin θ dθ dφ =

µ0q2a2

8πc

∫ π

0

sin3 θ dθ

(1− β cos θ)5

con la sustitucion x = cos θ queda

P =µ0q

2a2

8πc

∫ 1

−1

(1− x2

)dx

(1− βx)5=µ0q

2a2

8πc

[4

3

(1− β2

)−3]

y se concluye que

P =µ0q

2a2γ6

6πc

este resultado es consitente con la formula de Lienard para v colineal con a. Es de anotar que la distribucion dela radiacion es la misma para la partıcula acelerada o desacelerada puesto que solo depende del cuadrado de laaceleracion, y esta concentrada en la direccion frontal con respecto a la velocidad. Por ejemplo cuando un electronde alta energıa golpea un blanco metalico, este desacelera rapidamente, dando lugar a la llamada radiacion defrenado o bremsstrahlung. La anterior descripcion corresponde a la teorıa clasica de bremsstrahlung.

20.10.2. Radiacion de Ciclotron

Podemos realizar un analisis similar al anterior pero ahora suponiendo que v y a son perpendiculares. Escojamoslos ejes de tal forma que Z sea paralelo a v y X sea paralelo a a. Escribimos entonces vectorialmente

v = vuz ; a = aux ; R = sin θ cosφ ux + sin θ sinφ uy + cos θ uz

reemplazando en la formula de Lienard resulta

dP

dΩ=

µ0q2a2

16π2c

[(1− β cos θ)2 −

(1− β2

)sin2 θ cos2 φ

]

(1− β cos θ)5

P =µ0q

2a2γ4

6πc

para velocidades relativistas (β ∼= 1) de nuevo la radiacion esta distribuıda en un pico agudo en la direccion adelantecon respecto a la velocidad, ver Fig. ???. La aplicacion mas importante es la correspondiente al movimiento circular,en cuyo caso hablamos de la radiacion de ciclotron. Para un electron relativista la radiacion se barre alrededor dela orbita circular a medida que este se mueve.

Capıtulo 21

Relatividad especial

??????????????????????

??????????????????????

21.1. Propiedades de las transformaciones de Lorentz

Consideremos dos sistemas de referencia S y S′ cuyo origen es coincidente en t = 0 vistos por ambos sistemas.S′ se mueve a velocidad constante v con respecto a S en una direccion paralela al eje X3. Las transformaciones deLorentz vienen dadas por

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 =x3 − vt√1− β2

; t′ =

(t− vx3

c2

)√

1− β2; β ≡ v

c(21.1)

siendo c la velocidad de la luz en el vacıo. Estas leyes de transformacion cumplen con las propiedades que lasinspiraron. En particular, cumple con los postulados de la relatividad especial. Por ejemplo, la velocidad de la luz esla misma en ambos sistemas. Supongamos que con respecto al sistema S se emite una onda esferica desde el origenen t = 0, la ecuacion del frente de onda vista por S es

xixi = c2t2

Usando las transformaciones de Lorentz (21.1) vemos que la ecuacion para el frente de onda transformado (es decirvisto por S′) es tambien esferico y se propaga tambien con velocidad c

x′ix′i = c2t′2

si hacemos una expansion de las Ecs. (21.1)

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 ≈ (x3 − vt)

(1 +

1

2β2 + . . .

); t′ ≈

(t− β

cx3

)(1 +

1

2β2 + . . .

)

a orden cero en β = v/c

x′1 = x1 ; x′2 = x2

x′3 ≈ x3 − vt ; t′ ≈ t

con lo cual se obtienen las transformaciones de Galileo. Al ser el movimiento a lo largo de x3 las coordenadas x1 yx2 no se ven afectadas como es de esperarse en virtud de la isotropıa del espacio. Las ecuaciones de transformacionson lineales lo cual se puede demostrar a partir del requerimiento del principio de relatividad restringida, pues siel movimiento uniforme en S debe transformarse en movimiento uniforme en S′ las transformaciones entre talessistemas deben ser lineales. Como la transformacion debe ser igualmente valida para pasar desde S′ hacia S se puede

387

388 CAPITULO 21. RELATIVIDAD ESPECIAL

ver que la inversa de la transformacion debe ser tal que T−1 (v) = T (−v) lo cual se puede verificar invirtiendo lastransformaciones de Lorentz.

La parte espacial de las transformaciones de Lorentz se puede escribir en forma vectorial teniendo en cuenta quev va en la direccion x3

(x′1, x

′2, x

′3

)=

(x1, x2,

x3 − vt√1− β2

)=

(x1, x2, x3 − x3 +

x3 − vt√1− β2

)

(x′1, x

′2, x

′3

)= (x1, x2, x3) +

(0, 0,

x3 − vt√1− β2

− x3

)

r′ = r+

(x3 − vt√1− β2

− x3

)u3

y teniendo en cuenta que u3 = v/v se obtiene

r′ = r+

(x3 − vt√1− β2

− x3

)v

v

podemos ademas hacer el reemplazo

v · r = vx3

con lo cual la parte espacial se puede escribir en forma enteramente vectorial

r′ = r+

(vx3 − v2t√

1− β2− vx3

)v

v2= r+

(vx3√1− β2

− vx3

)v

v2− v2t√

1− β2v

v2

r′ = r+ vx3

(1√

1− β2− 1

)v

v2− vt√

1− β2

r′ = r+ (v · r) v

v2

(1√

1− β2− 1

)− vt√

1− β2

y definiendo

β ≡ v

c; γ ≡ 1√

1− β2

se obtiene

r′ = r+(β · r)ββ2

(γ − 1)− βγct (21.2)

y para la transformacion de la coordenada temporal

t′ =

(t− vx3

c2

)√

1− β2= γ

(t− v · r

c2

)

t′ = γt− (β · r) γc

(21.3)

dado que no hay nada especial en la direccion x3 elegida (por la isotropıa del espacio) las ecuaciones vectoriales (21.2,21.3) son validas para direcciones arbitrarias de v siempre que los ejes de S y S′ sean paralelos.

Las Ecs. (21.2, 21.3) definen transformaciones lineales en 4 componentes, por tanto podemos utilizar el formalismomatricial para describir estas transformaciones. Un artificio ideado por Minkowski nos permite construir un sistemacoordenado cartesiano con cuatro ejes en el cual el cuarto eje coordenado se elije como x4 ≡ ict. El cuadrado delmodulo de un vector en este espacio se escribe como

x21 + x22 + x23 + x24 = x21 + x22 + x23 − c2t2 (21.4)

21.1. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ 389

recordemos que esta cantidad es invariante debido a la exigencia de que la velocidad de la luz sea invariante. Enconsecuencia debemos usar transformaciones ortogonales en cuatro dimensiones1, por tanto la transformacion deLorentz es una transformacion ortogonal en el espacio de Minkowski.

Dado que la cuarta coordenada es imaginaria, los elementos de la matriz de transformacion pueden ser complejos.La representacion matricial se puede obtener de las ecuaciones vectoriales (21.2, 21.3). Representando por L a lamatriz de transformacion de Minkowski se tiene que

x′ = Lx (21.5)

siendo Lµν un elemento generico. Las letras griegas representaran a las cuatro coordenadas en tanto que las letraslatinas representaran solo coordenadas espaciales. Las ecuaciones vectoriales (21.2, 21.3) en componentes se escribencomo

x′j = xj +βjβkxkβ2

(γ − 1) + iβjγx4 (21.6)

x′4 = −iβkxkγ + γx4 (21.7)

Con lo cual se pueden determinar los elementos de L para una direccion arbitraria de β

x′j =

[δjk +

βjβkβ2

(γ − 1)

]xk + iβjγx4

x′4 = −iβkγxk + γx4 (21.8)

que podemos escribir en la forma

x′j = Ljkxk + Lj4x4

x′4 = L4kxk + L44x4 (21.9)

y comparando (21.8) con (21.9) se obtienen los elementos de L

Ljk = δjk +βjβkβ2

(γ − 1) ; Lj4 = iβjγ

L4k = −iβkγ ; L44 = γ (21.10)

En el caso particular en el cual v va dirigida a lo largo de x3 tenemos que βj = βδj3 y L adopta la forma

Ljk = δjk +β2δj3δk3β2

(γ − 1) = δjk + δj3δk3 (γ − 1) ; Lj4 = iβδj3γ

L4k = −iβδk3γ ; L44 = γ (21.11)

que explıcitamente se escribe

L =

1 0 0 00 1 0 00 0 γ iβγ0 0 −iβγ γ

(21.12)

ya hemos visto que en una matriz ortogonal la inversa es igual a la traspuesta. Veamos que ocurre al hacer latraspuesta de la matriz L (β) en (21.10)

Ljk (β) = Lkj (β) = δkj +βkβjβ2

[γ (β)− 1] = δjk +(−βj) (−βk)

(−β)2[γ (−β)− 1] = Ljk (−β)

Lj4 (β) = L4j (β) = −iβjγ = i (−βj) γ = Lj4 (−β)L4k (β) = Lk4 (β) = iβkγ = −i (−βk) γ = L4k (−β) ; L44 (β) = L44 (β) = γ (β) = γ (−β) = L44 (−β)

1Las trasnformaciones unitarias mantienen invariante la cantidad xix∗

i en tanto que las transfroamciones ortogonales mantienen inva-riante la cantidad xixi.


donde hemos usado el hecho de que γ (β) = γ (−β) lo cual es evidente de su definicion. Tenemos por tanto que

Lµν (β) = Lµν (−β)

y como la traspuesta es la inversa llegamos a la propiedad esperada de que L−1 (v) = L (−v).Notemos que la submatriz inferior 2×2 en (21.12) se asemeja a una rotacion en un plano, la cual se escribirıa de

la forma (cosφ sinφ− sinφ cosφ

)

en este caso lo que tenemos es una rotacion en los ejes x3x4 del espacio de Minkowski, pero en un angulo φ imaginario

cosφ = γ ; sinφ = iβγ (21.13)

podemos definir un angulo real ψ en la forma φ ≡ iψ con lo cual

coshψ = γ ; sinhψ = βγ

y la matriz (21.12) queda

L =

1 0 0 00 1 0 00 0 cosφ sinφ0 0 − sinφ cosφ

=

1 0 0 00 1 0 00 0 coshψ i sinhψ0 0 −i sinhψ coshψ

(21.14)

esta parametrizacion facilita muchas operaciones matriciales. Por ejemplo, si hacemos dos transformaciones de Lorentzsucesivas en donde ambas poseen velocidades relativas a lo largo de x3 la transformacion matricial solo es no trivialen el plano x3x4 y se puede ver que simplemente se suman los angulos φ y φ′ correspondientes como ocurre en unarotacion en el plano, de modo que L′ (φ′)L (φ) = L (φ+ φ′). De las Ecs. (21.13) se tiene que

tan φ = iβ ; tan φ′′ = tan(φ+ φ′

)=

tanφ+ tanφ′

1− tanφ tan φ′

⇒ iβ′′ =iβ + iβ′

1− (iβ) (iβ′)

de modo que estas dos transformaciones de Lorentz sucesivas corresponden a una sola transformacion de Lorentzequivalente de la forma

β′′ =β + β′

1 + ββ′(21.15)

la Ec. (21.15) corresponde a la ley de adicion de velocidades para velocidades paralelas. En esta ecuacion se ve que lavelocidad equivalente no es simplemente la suma de las velocidades de las dos transformaciones en virtud del factorde correccion ββ′ en el denominador. Podemos ver ademas que incluso tomando valores de β y β′ cercanos a launidad, se tiene que β′′ < 1. Esto indica que no se puede obtener una velocidad mayor que c con transformaciones deLorentz sucesivas. No hay manera de que una sistema de referencia vaya mas rapido que la luz con respecto a otro.

Aunque hemos visto que las transformaciones de Lorentz son ortogonales, no hemos demostrado que estas cubrantodas la transformaciones ortogonales posibles en el espacio de Minkowski, de por sı esto no es cierto como sepuede demostrar con una transformacion descrita por L44 = 0, L4i = Li4 = 0 y los nueve elementos restantesformando una submatriz 3×3 ortogonal en el espacio euclıdeo tridimensional. Esta matriz es ortogonal en el espacio deMinkowski, pero no produce movimiento relativo entre los dos sistemas, su efecto es una rotacion de las coordenadasespaciales. Las rotaciones espaciales son un subconjunto de las transformaciones ortogonales en elespacio de Minkowski. Similarmente, (21.5) no define la transformacion de coordenadas mas general ante la cualdeben permanecer invariantes las ecuaciones de la Fısica, pues es claro que una redefinicion de origen espacio temporaltampoco debe afectar a las leyes de la Fısica. Debemos ver ademas si existen otro tipo de transformaciones ortogonalesen el espacio de Minkowski. La transformacion mas general en el espacio de Minkowski que mantiene invariante lavelocidad de la luz es

x′ = Lx+ a (21.16)


donde a representa una traslacion del origen en el espacio de Minkowski (i.e. de espacio y tiempo) y L es una matrizortogonal. A las transformaciones del tipo (21.16) se les conoce como transformaciones de Poincare o transformacionesde Lorentz inhomogeneas. La condicion de ortogonalidad

LL = LL = 1 ; LµνLµρ = δνρ o LνµLρµ = δνρ (21.17)

representa diez ligaduras sobre los elementos de L (cuatro condiciones diagonales y seis no diagonales) de modoque solo hay seis cantidades independientes en L. Por otro lado, vemos que las transformaciones de Lorentz (21.10)involucran tres grados de libertad (las tres componentes de la velocidad) en tanto que las rotaciones euclıdeasinvolucran otros tres grados de libertad (e.g. los angulos de Euler). Esto parece indicarnos que las transformacionesde Lorentz del tipo (21.10) junto con las rotaciones espaciales (o combinaciones de ambas) forman el conjunto masgeneral de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski. Por otro lado, para la transformacion (21.16)existen cuatro grados de libertad adicionales con lo cual la cantidad de elementos independientes sera diez. En elpresente estudio nos restringimos a las transformaciones de Lorentz homogeneas de modo que requerimos manejarseis elementos independientes de L

x′ = Lx

recordemos que las matrices ortogonales tienen determinante ±1

(detL)2 = ±1

y ya hemos visto que si nos restringimos a las transformaciones contınuas debemos excluır las matrices de determi-nante −1. Las matrices L de determinante +1 representan entonces transformaciones de Lorentz propias. Sinembargo, no hay garantıa de que todas las matrices de determinante +1 correspondan a transformaciones contınuas.Efectivamente, en el caso de la inversion simultanea de todas las coordenadas espacio temporales, el determinante si-gue siendo +1. Necesitamos entonces un criterio para excluir las transformaciones propias no contınuas. Examinemosel comportamiento de L44, usando las Ecs. (21.17) se puede escribir con ν = ρ = 4

L4µL4µ = δ44 ⇒ L244 + L4jL4j = 1 (21.18)

y como los elementos L4j conectan una coordenada espacial (real) con una temporal (imaginaria), estos elementosdeben ser imaginarios puros. En contraste L44 debe ser real porque conecta al eje imaginario consigo mismo, estascaracterısticas se pueden apreciar en (21.10). En consecuencia L4jL4j debe ser negativo y L2

44 debe ser positivo demodo que

|L44|2 > |L4jL4j| y L244 ≥ 1 (21.19)

La Ec. (21.19) plantea dos posibilidades: L44 ≤ −1 que implica una inversion del tiempo y L44 ≥ 1 que implicauna transformacion contınua a partir de la identidad2. Las transformaciones de Lorentz con L44 ≥ 1 se denominanortocronas en tanto que las de L44 ≤ −1 se denominan no ortocronas. Solamente las transformaciones ortogonalespropias ortocronas pueden evolucionar en forma contınua a partir de la identidad. De las cuatro subclases sololas transformaciones propias ortocronas forman un grupo, las otras tres subclases no. A las trasnforma-ciones de Lorentz propias ortocronas se les conoce como transformaciones de Lorentz restringidas, solo ellas puedengenerar rotaciones contınuas en el espacio y reducirse a las transformaciones de Galileo en el lımite de bajas velo-cidades. En consecuencia, solo trabajaremos transformaciones de Lorentz restringidas denominandolas simplementetransformaciones de Lorentz.

A las transformaciones de Lorentz restringidas que corresponden a dos sistemas de ejes paralelos que se muevenuniformemente uno respecto al otro se les denomina transformaciones de Lorentz puras (o boosts). La matrizdescrita por (21.10) corresponde a una transformacion de Lorentz pura. La intuicion nos indica que una transformacionde Lorentz restringida puede descomponerse en una transformacion de Lorentz pura junto con una rotacion espacialsin movimiento relativo (en uno u otro orden). Veamos como se realizarıa tal descomposicion. Descompongamos latransformacion de Lorentz en un boost seguido de una rotacion

L = RP (21.20)

2La identidad tiene L44 = 1 como se puede ver de (21.10) con v = 0. Con un argumento similar al que se uso para transformacionesortogonales impropias en R3, no es de esperarse que para una transformacion contınua haya un cambio abrupto desde la identidad (conL44 = 1) hasta un valor de L44 ≤ −1 sin pasar por estados intermedios. Por lo tanto, las matrices con L44 ≤ −1 contienen al menos unatransformacion discreta.


Las coordenadas del sistema transformado x′ν estan relacionadas con las coordenadas no primadas por

x′ = Lx ⇒ x = L−1x′ ⇒ x = Lx′ ⇒ xµ = Lνµx′ν (21.21)

nos preguntamos ahora cual es la velocidad del origen de S′ vista por un observador en S. En el origen de S′ tenemosque x′j = 0 y las coordenadas del origen de S′ vistas por el observador en S se obtienen aplicando (21.21) con x′j = 0

xj = L4jx′4 ; x4 = L44x

′4 (21.22)

de las Ecs. (21.22) vemos que la velocidad relativa (normalizada a unidades de c) del origen de S′ tiene entonces lassiguientes componentes

βj =xjct

=ixjx4

=iL4jx

′4

L44x′4=iL4j

L44(21.23)

combinando las Ecs. (21.18, 21.23) se obtiene

L244

(1 +

L4jL4j

L244

)= 1 ⇒ L2

44

[1−

(iL4j

L44

)2]= 1

L244 (1− βjβj) = 1 (21.24)

podemos ver que |βj | esta entre cero y uno usando la primera desigualdad en (21.19) aplicada a (21.23)

|βj |2 =∣∣∣∣iL4j

L44

∣∣∣∣2

≤∣∣∣∣L4jL4j

L44

∣∣∣∣2

≤ 1

por otra parte, despejando el valor de L44 en terminos de β en (21.24) se obtiene3

L44 =(1− β2j

)−1/2= γ (21.25)

construyendo entonces una transformacion de Lorentz pura P (β) asociada al vector velocidad relativa del origen deS′ Ec. (21.23), vemos que la transformacion inversa debe ser P (−β). Ahora teniendo en cuenta (21.20) se encuentraentonces que la matriz R se puede despejar

L = RP (β) ⇒ LP (−β) = RP (β)P (−β)⇒ R = LP (−β) (21.26)

se puede demostrar formalmente que este producto entre P (−β) y L corresponde a una rotacion en el espacio usandolos elementos matriciales de P (−β) y la ortogonalidad de L. No obstante se puede ver geometricamente que en laEc. (21.20), el sistema intermedio de coordenadas definido por P (β) esta en reposo respecto al sistema final deejes de modo que R solo puede girar las coordenadas. Esta descomposicion nos permite deducir que los parametrosindependientes siempre seran las tres componentes de la velocidad relativa entre los sistemas y los tres grados delibertad de la rotacion espacial (por ejemplo los angulos de Euler).

Por otro lado, puede demostrarse que la composicion de transformaciones de Lorentz puras no es en generalotra transformacion de Lorentz pura a menos que sean paralelas las velocidades relativas de las transformacionessucesivas. El caso general es muy complejo y poco ilustrativo, veamos entonces un calculo sencillo que posee ampliasaplicaciones en Fısica moderna dando origen al efecto llamado precesion de Thomas.

Tomaremos tres sistemas inerciales con orıgenes O1, O2, O3. El sistema O1 es el laboratorio y O2 tiene velocidadβ relativa a O1. O3 se mueve con velocidad β′ relativa a O2. Sin perdida de generalidad se puede tomar a β en ladireccion de x3 de O1 y a β′ lo podemos tomar sobre el plano x2x3 de O2 de modo que β y β′ definen el plano x2−x3de O2. Supondremos que las componentes de β′ son muy pequenas de modo que solo las conservamos hasta el menorgrado no nulo. Con esto, γ′ para la transformacion entre O2 y O3 se puede sustituır por la unidad. Con base en loanterior la matriz L que nos lleva de O1 a O2 tiene la forma dada por (21.12) y la matriz que nos lleva de O2 a O3

se escribe usando la aproximacion γ′ ∼= 1 en (21.10)

L′jk = δjk ; L′

j4 = iβ′j ; L′4k = −iβ′k ; L′

44 = 1

3Notese que en (21.25) hemos asumido que L44 ≥ 1 al tomar la raız cuadrada positiva.


y recordando que por construccion β′1 = 0, explıcitamente queda

L′ =

1 0 0 00 1 0 iβ′20 0 1 iβ′30 −iβ′2 −iβ′3 1

siendo β′2, β′3 las componentes de β′. La matriz producto con la misma aproximacion esta dada por

L′′ = L′L =

1 0 0 00 1 0 iβ′20 0 1 iβ′30 −iβ′2 −iβ′3 1

1 0 0 00 1 0 00 0 γ iβγ0 0 −iβγ γ

=

1 0 0 00 1 βγβ′2 iγβ′20 0 γ + βγβ′3 iβγ + iγβ′30 −iβ′2 −iβγ − iγβ′3 γ + βγβ′3

L′′ = L′L ∼=

1 0 0 00 1 ββ′2γ iβ′2γ0 0 γ iβγ0 −iβ′2 −iβγ γ

(21.27)

donde se ha despreciado β′3 frente a β por considerar a β′ pequena. Se puede ver que (21.27) no representa unatransformacion de Lorentz pura ya que por ejemplo los elementos L′′

ij de las coordenadas espaciales no son simetricoscomo lo demandan las Ecs. (21.10) para transformaciones de Lorentz puras. Usando la Ec. (21.23), podemos ver quelas componentes de la velocidad relativa entre O1 y O3 se escriben en la forma

β′′2 =iL′′

42

L′′44

=β′2γ

; β′′3 = β ; β′′1 = 0 (21.28)

dado que (β′′)2 = (β′′2 )2 + (β′′3 )

2 ≃ β2 y por tanto γ′′ ≃ γ, podemos aproximar la transformacion de Lorentz puraasociada a la velocidad relativa β′′ reemplazando estas aproximaciones en (21.10)

Ljk = δjk +β′′j β

′′k

β′′2(γ′′ − 1

) ∼= δjk +β′′j β

′′k

β2(γ − 1) ; Lj4 = iβ′′j γ

′′ ∼= iβ′′j γ′′

L4k = −iβ′′kγ′′ ∼= −iβ′′kγ ; L44 = γ′′ ; (21.29)

y combinando las Ecs. (21.28, 21.29) podemos construır P (β). Escribiremos P (−β) que es el que nos interesa

P(−β′′

)=

1 0 0 0

0 1β′

2βγ (γ − 1) −iβ′2

0β′

2βγ (γ − 1) γ −iβγ

0 iβ′2 iβγ γ

y usando la Ec. (21.26) podemos encontrar la matriz de rotacion correspondiente de los ejes de O3 con respecto aO1. Suprimiendo los terminos de orden superior en β′ se obtiene

R = L′′P(−β′′

)=

1 0 0 0

0 1β′

2βγ (γ − 1) 0

0 − β′

2βγ (γ − 1) 1 0

0 0 0 1

(21.30)

como esta rotacion es a primer orden en β′2 se puede comparar con una rotacion infinitesimal4. Comparando entoncesla submatriz 3×3 superior izquierda (21.30) con la matriz infinitesimal (??) se obtiene que (21.30) esta asociada auna rotacion alrededor del eje x1 con un angulo (pequeno) dado por

∆Ω1 =β′2βγ

(γ − 1) = β′′2β(γ − 1)

β2

4Las ecuaciones desarrolladas en la seccion (??) son validas para matrices infinitesimales pero tambien son aproximadamente validaspara rotaciones finitas suficientemente pequenas como para permitir mantener solo terminos de primer orden.


este es entonces un ejemplo concreto de dos transformaciones de Lorentz a ejes paralelos sucesivas (boosts de Lorentz)que dan como resultado la combinacion de un boost con una rotacion. Esta paradoja tiene imporantes aplicacionesespecialmente en Fısica atomica como veremos a continuacion.

Consideremos una partıcula que se mueve en el laboratorio con una velocidad v no constante, el sistema en elcual esta partıcula esta en reposo no es inercial y por tanto no es aplicable el formalismo anterior. Para obviar estadificultad, consideraremos un conjunto de sistemas inerciales todos coincidentes con el original en t = 0 y que viajan adiferentes valores de velocidad relativa (todos los valores de velocidad que se requieran). En consecuencia, la partıculaestara en reposo instantaneo con respecto a alguno de estos sistemas de referencia en cualquier instante de tiempo.

Pensemos que O1 es el sistema del laboratorio y que O2 y O3 son sistemas en los cuales la partıcula esta en reposoinstantaneo en dos tiempos t2 y t3 respectivamente. De acuerdo con las Ecs. (21.28), el observador O1 vera en eltiempo ∆t = t3 − t2 una variacion ∆v en la velocidad de la partıcula que solo tiene componente x2 de valor β′′2 c.

∆Ω1 =β′′2 cc

v

c

(γ − 1)

v2/c2= (∆v) v

(γ − 1)

v2

Dado que el eje x3 se ha tomado a lo largo de v, y que ∆v va alo largo de x2, la ecuacion anterior se puede escribiren forma vectorial. El vector asociado a la rotacion (pequena) durante este tiempo se puede escribir

∆Ω = − (γ − 1)v ×∆v

v2

de modo que si la partıcula tiene alguna direccion especıfica asociada a ella (como un vector de espın), el sistema dellaboratorio observara que esta direccion experimenta una precesion de velocidad angular

ω = − (γ − 1)v× a

v2(21.31)

siendo a la aceleracion de la partıcula vista desde O1. La Ec. (21.31) aparece con frecuencia en la literatura en laforma que posee cuando se toma el lımite de velocidad pequena que permite aproximar a γ

ω =1

2c2(a× v)

ω es la frecuencia de precesion de Thomas.

21.2. Transformaciones de Lorentz usando espacios de Riemann de cuatrodimensiones

Una forma alternativa de trabajar el espacio en donde ocurren las transformaciones de Lorentz es asumir que elespacio tetradimensional es real de modo que la cuarta coordenada (deniminada la coordenada cero en la notacionmas usual) se escribe como x0 ≡ ct. Debemos por supuesto mantener el postulado fundamental de que la luz sepropague a la misma velocidad en todos los sistemas, lo cual se manifiesta como la invarianza de la cantidad dada enla ecuacion (21.4). Para que esta cantidad siga representando el modulo al cuadrado de un vector en un espacio real,es necesario que el espacio deje de ser euclıdeo y se convierta en un espacio de Riemann con tensor metrico diagonaldefinido por

G =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

(21.32)

donde los ındices 1230 representan las tres coordenadas espaciales y la coordenada temporal. El modulo al cuadradode un vector en tal espacio viene dado por

xGx = xixi − x20 = xixi − c2t2 (21.33)

que nos representa al invariante que queremos. Una transformacion de Lorentz homogenea es una transformacionlineal en este espacio real que mantiene invariante este modulo de los vectores. Es evidente que la matriz asociada a

21.2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZUSANDO ESPACIOS DE RIEMANNDE CUATRODIMENSIONES395

estas transformaciones debe ser real en este espacio, de modo que la denotaremos por Λ. La condicion de invarianzadel modulo de los vectores ante una transformacion de Lorentz se escribe matricialmente en la forma

x′Gx′ = xGx ⇒ (Λx)G (Λx) = xGx ⇒ xΛGΛx = xGx

y como esto es valido para un vector arbitrario en este espacio, la condicion para las transformaciones de Lorentzresulta

ΛGΛ = G (21.34)

La Ec. (21.34) es una transformacion de congruencia que deja invariante al tensor metrico. Haciendo la analogıa conlas matrices ortogonales del espacio euclıdeo (donde el tensor metrico cartesiano es 1), podemos decir que (21.34) esla condicion de ortogonalidad de Λ en el espacio real de Riemann con tensor metrico G5.

La relacion entre las formulas expresadas en el espacio de Minkowski y las expresadas en el espacio real deRiemann se logra con las siguientes asociaciones simples

x4 = ix0 ; Λj0 = iLj4 ; Λ0k = −iL4k (21.35)

en tanto que los demas elementos no varıan, lo cual es de esperarse ya que ambos contienen al subespacio R3 dotadode la misma estructura. A manera de ejemplo, la transformacion de Lorentz pura con velocidad relativa a lo largo dex3 correspondiente a la Ec. (21.12), tiene la siguiente representacion matricial real en este espacio de Riemann

Λ =

1 0 0 00 1 0 00 0 γ −βγ0 0 −βγ γ

el producto escalar se escribe usando el tensor metrico

(x,y) ≡ xGy =yGx = (y,x)

xGy = xµgµνyν

donde la igualdad entre (x,y) y (y,x) viene dada por el caracter real de este producto interno. La condicion deortogonalidad de la Ec. (21.34) garantiza la invarianza del producto escalar ante una transformacion de Lorentz Λ.

Es usual escrbir estas formulas de manera mas compacta mediante un conveniente cambio de notacion. Supon-gamos que formamos un vector en el espacio de Riemann con los elementos de coordenadas dxµ y estudiemos sucomportamiento ante una trasnformacion general de coordenadas del tipo

yν = fν (x1, x2, ...)

se encuentra que las propiedades de transformacion de dxµ son

dyν =∂fν∂xµ

dxµ =∂yν∂xµ

dxµ (21.36)

las derivadas son los elementos de la matriz jacobiana de la trasnforamcion entre (x) e (y). Cuando la trasnformacionA es lineal, serıan simplemente los elementos matriciales Aνµ. Por otro lado, las componentes de un vector gradientese transforman de acuerdo con al ecuacion

∂

∂yν=∂xµ∂yν

∂

∂xµ(21.37)

notese que en (21.37) los coeficientes corresponden a los elementos de la matriz jacobiana de la transformacion inversade (y) hacia (x). Los vectores que se transforman de acuerdo con la regla dada por la Ec. (21.36) se denominan vectorescontravariantes y se denotan con supraındices

D′ν =∂yν∂xµ

Dµ

5Es claro que esta condicion se reduce a la ortogonalidad usual cuando G = 1.


en contraste, los vectores que transforman de la manera prescrita por la Ec. (21.37) se denominan covariantes y sedenotan con subındices

F ′ν =

∂xµ∂yν

Fµ

El producto de las matrices jacobianas correspondientes a una transformacion y a su inversa debe ser la matriz unidadya que corresponde a pasar de (x) a (y) y volver de nuevo a (x). De aquı se desprende que el poducto interno entreun vector contravariante y un vector covariante queda invariante ante la trasnformacion,

D′νF ′ν =

∂yν∂xµ

∂xρ∂yν

DµFρ = δµρDµFρ = DµFµ

en el caso de espacios cartesianos, no hay diferencia entre vectores covariantes y contravariantes ante transforma-ciones lineales ortogonales. Si la matriz A describe la transformacion, un vector contravariante transforma segu laprescripcion

D′ν = AνµDµ

en tanto que un vector covariante transforma en la siguiente forma

F ′ν =

(A−1

)µνFµ =

(A)µνFµ = AνµFµ

de modo que no es necesario distinguir hasta ahora entre los dos tipos de comportamiento ante la transformacion.De la misma manera en que definimos tensores cartesianos segun la prescripcion (??) heredada de la transfor-

macion de los vectores, uno define las propiedades de transformacion de tensores de cualquier rango en espacios noeuclıdeos. Por tanto, un tensor covariante G de segundo ordense transforma con la prescripcion

G′µν = Gρλ

∂xρ∂yµ

∂xλ∂yν

y se puede demostrar que la contraccion de un tensor de segundo rango covariante con un tensor de segundo rangocontravariante (o con dos vectores contravariantes) es invariante ante la transformacion. Similarmente, la contraccionde un tensor de segundo rango covariante con un vector contravariante transforma como un vector covariante

GµνHµν = s1 GµνR

µMν = s2 ; GµνDµ = Fν

donde s1 y s2 son invariantes ante la transformacion (escalares) y Fν es un vector covariante. Veamos la demostracionde la tercera ecuacion

F ′µ = G′

µνD′ν = Gρλ

∂xρ∂yµ

∂xλ∂yν

∂yν∂xτ

Dτ = Gρλ∂xρ∂yµ

δλτDτ = GρλDλ

∂xρ∂yµ

F ′µ = Fρ

∂xρ∂yµ

En un espacio de Riemann el tensor metrico se construye a traves de un elemento diferencial de longitud de arco

(ds)2 = gµνdxµdxν

que se construye de tal manera que sea invariante ante las transformaciones de interes. De esto se desprende que eltensor metrico es covariante. Notese que en el caso particular de las transformaciones de Lorentz, esto se puede verdirectamente de la condicion de ortogonalidad (21.34) si la escribimos en la forma G = Λ−1GΛ−1 considerada comotransformacion de congruencia en G.

Vemos entonces que en el espacio de Riemann real de cuatro dimensiones, el producto escalar de dos vectorescontravariantes Aµ, Bν se puede escribir en la forma

gµνAµBν = (gµνA

µ)Bν = AνBν (21.38)

donde hemos tenido en cuenta el caracter covariante del tensor metrico para obtener el vector covariante Aν .Enparticular, el cuadrado del modulo del vector posicion en el cuadriespacio real se puede escribir en la forma

xnxn

21.3. FORMULACIONES COVARIANTES EN EL ESPACIO DE MINKOWSKI 397

de esta forma los productos internos se pueden construir sin alucion directa al tensor metrico, teniendo en cuentaque un facto del producto escalar se sustituye por el vector covariante que se obtiene al contaer con el tensor metricocomo se ve en (21.38). Si nos interesa el producto escalar de dos vectores covariantes, debemos “subir” el ındicepor contraccion con el inverso del tensor metrico, el cual se puede demostrar que es contravariante. En el caso delcuadriespacio real donde el tensor metrico es diagonal con elementos ±1 son sus propios inversos y no hay diferenciasentre tensores metricos covariantes y contravariantes.

Es claro que esta no es la unica forma de construır el tensor metrico, el cual fue disenado para generar el invariante(21.33) por medio del modulo al cuadrado del vector posicion en tal espacio, podemos en cambio consturır el invarianteen la forma

xG′x ≡ xµG′µνxν = −xixi + c2t2

de modo que el tensor metrico queda

G =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

(21.39)

es claro que bajo la metrica (21.39) se mantiene invariante la velocidad de la luz y las matrices Λ que describen alas transformaciones de Lorentz no se modifican. Todo el formalismo permanece inalterado excepto que el productointerno cambia de signo6. El tensor G tiene la signatura (+ + +−) en tanto que el tensor G′ tiene la signatura(−−−+). Tambien podemos identificarlos por sus trazas TrG = 2, TrG′ = −2.

El uso del formalismo de Minkowski o de Riemann presenta cada uno sus ventajas y desventajas. En teorıa generalde la relatividad sera necesario usar la metrica de un esapcio curvo para lo cual es muy adecuado el uso de espacios deRiemann, por otro lado en meca´nica cuantica donde la funciones de onda o vectores de estado son complejos, el usode una coordenada compleja complica la operacion de conjugacion compleja. Por otro lado, cuando nos restringimosal marco de la relatividad especial, las operaciones en el espacio de Minkowski suelen tener analogıas muy cercanas alesapcio euclıdeo y no es necesaria la distincion entre vectores covariantes y contravariantes, debido a la trivialidad deltensor metrico. En todo caso la mayorıa de formulas presentan el mismo aspecto en ambos casos o su transicion deuno a otro esquema es muy sencilla. Un aspecto comun en ambos formalismos es la idea de que elemento de longitudde arco tiene un caracter indefinido, pues (ds)2 puede ser positivo, negativo o cero.

21.3. Formulaciones covariantes en el espacio de Minkowski

El primer postulado de la relatividad especial nos dice que las leyes de la Fısica deben poseer la misma formaen todos los sistemas inerciales. Por lo tanto, es de gran importancia poder verificar que las leyes de la naturalezasean invariantes en forma bajo las transformaciones de Lorentz. Esta verificacion se facilita enormenente con laintroduccion del concepto de tensor de Minkowski.

Cuando hablamos de la invarianza ante transformaciones de Lorentz, nos referimos tanto a los boosts como a lasrotaciones en el espacio ordinario. Como la invarianza ante rotaciones tridimensionales nos es mas familiar podemosusar esta invarianza como modelo para establecer un metodo que se generalice a todas las transformaciones deLorentz.

Ya hemos definido los tensores euclidianos y su comportamiento bajo rotaciones. Para satisfacer el requerimientode que una ley de la Fısica sea invariante ante rotaciones tridimensionales es usual escribir las ecuaciones que expresanesa ley de modo que todos sus terminos sean escalares o todos vectoriales (en el sentido euclidiano). Mas en general,todos los terminos deben ser tensores del mismo rango y este requisito asegura de manera automatica la invarianzade la forma de la ecuacion ante una rotacion de los ejes espaciales. Por ejemplo una relacion escalar tiene la formageneral

a = b

y dado que los dos miembros de la igualdad por ser escalares euclidianos son invariantes ante rotaciones espacialesde los ejes, es evidente que la relacion sera valida para todos los sistemas de coordenadas con origen comun. Unarelacion vectorial sera de la forma

F = G6En ambos casos el tensor G describe una pseudometrica ya que la norma de un vector en este espacio no esta necesariamente definida

positiva.


que se puede escribir en terminos de tres relaciones numericas entre las componentes7

Fi = Gi (21.40)

Claramente, estas componentes no son invariantes ante rotaciones espaciales. En general, se transforman a nuevascomponentes F ′

i , G′i que son las componentes de los vectores transformados (pasivamente) F′, G′. Pero como los dos

miembros de las ecuaciones se transforman de igual manera, entre las componentes transformadas se debe cumplirla misma relacion

F ′i = G′

i

y por tanto la relacion vectorial tambien se preserva con la rotacion espacial; en el nuevo sistema coordenado escribimos

F′ = G′

Es importante enfatizar que la invarianza en la forma se debe a que ambos miembros de la ecuacion son vectores.Decimos que los terminos de la ecuacion son covariantes. Es necesario aclarar que el concepto de covarianza empleadoaquı tiene un significado muy distinto al de la covarianza de vectores en el espacio de Riemann. La covarianzaen espacios de Riemann se refiere a la propiedad segun la cual algunos vectores transforman bajo un cambio decoordenadas segun la matriz jacobiana de la transformacion, en este escenario el termino se usa por contraposiciona los vectores (o tensores) contravariantes que transforman con el inverso de la matriz jacobiana bajo el cambio decoordenadas. En el caso que nos ocupa ahora, la covarianza se define para los terminos de una ecuacion que expresaalguna ley de la Fısica, para indicar que todos los terminos involucrados en la ecuacion (escalares, vectores, tensores)transforman en la misma manera de modo que se mantiene la forma de la ecuacion.

La covarianza por supuesto se puede generalizar para ecuaciones que involucran tensores de orden arbitrario,si tenemos una ecuacion tensorial de la forma C = D los tensores transformados implicaran la misma igualdadC′ = D′ siempre que los tensores de ambos miembros sean del mismo rango. Por ejemplo, si una ecuacionposee terminos que son escalares, otros que son vectores etc, no se podra mantener invariante ante una transforma-cion ortogonal tridimensional. Podemos concluir que la invarianza de una ley Fısica ante una rotacion del sistemade coordenadas espaciales, exige la covarianza de los terminos de la ecuacion ante transformaciones ortogonalestridimensionales.

Vamos ahora al espacio extendido de Minkowski o espacio de universo. El manejo allı es identico una vez que hemoscaracterizado a las transformaciones ortogonales en este espacio y por ende la estructura de sus tensores de cualquierrango. A los tensores en este espacio los llamamos tensores de Minkowski o tensores de universo, genericamenteescalares de universo, vectores de universo (cuadrivectores), etc. En consecuencia, la invarianza de una ley Fısicaante transformaciones de Lorentz sera inmediata si se expresa en forma cuadridimensional covariante, de modo quetodos los terminos son tensores de universo del mismo rango. De lo anterior se deriva que una teorıa Fısica en el marcode la relatividad especial solo tiene validez si es covariante ante transformaciones de Lorentz (boosts y rotacionesespaciales).

Notemos por ejemplo que el producto de un numero por un cuadrivector solo sera otro cuadrivector si el numeroes un escalar de universo. Supongamos que α es un numero que no es escalar de universo, en un sistema S el productode este numero por un cuadrivector es

αF = W

ante una transformacion de Lorentz, F y W transforman como cuadrivectores con una cierta matriz M de transfor-macion, por otro lado α′ transforma en la forma α′ = Nα siendo N un operador diferente a la identidad (ya que noes escalar de universo). Tenemos entonces

α′F′ = (Nα) (MF) = NM (αF) ; W′ = MW ⇒ α′F′ 6= W′

por tanto si W es cuadrivector αF no lo es y la ecuacion no es covariante de Lorentz. La ecuacion se vuelve covariantesi N = 1.

Finalmente, notemos que una ecuacion pude ser covariante sin ser manifiestamente covariante. Por ejemplo,supongamos que tenemos una ecuacion de la forma

Fµν +Tµν +Hµν = Rµν

7Notese que las Ecs. (21.40) son relaciones numericas pero no son relaciones escalares.


y supongamos que Fµν , Tµν , Hµν no son tensores de universo pero que Rµν sı lo es. En general esta ecuacion no seracovariante, pero puede ocurrir que la suma de los tres terminos no tensoriales sı transforme como un tensor gracias aciertos efectos de cancelacion, ciertamente si estos terminos no son tensores sera mucho mas complejo demostrar lacovarianza de la ecuacion (si es que es covariante). Esta anotacion es util, porque a menudo ocurre que se construyeuna teorıa en forma manifiestamente covariante, pero luego para efectos practicos de calculo se transforma a unaestructura en donde la covarianza no es evidente.

El ejemplo mas simple de cuadrivector de Lorentz es el vector de posicion de un “punto” en el espacio de Minkowskio de universo, donde sus componentes se denotan por (x1, x2, x3, x4). Las cuatro coordenadas de un punto de universonos dice cuando (tiempo) y donde (espacio) ha ocurrido un suceso, a todo punto de este espacio se le llama entoncesun suceso o un evento.

Cuando una partıcula en el espacio ordinario sigue una determinada trayectoria, su punto representativo en elespacio de Minkowski describe una trayectoria conocida como lınea de universo. El cuadrivector dxµ representa lavariacion del cuadrivector posicion para un movimiento diferencial a lo largo de la lınea de universo. Este terminomultiplicado por sı mismo es un invariante de Lorentz de modo que representa un escalar de universo denominadodτ

(dτ)2 = − 1

c2dxµdxµ (21.41)

para elucidar el significado Fısico de dτ evaluaremos (21.41) en un sistema inercial en el cual la partıcula este enreposo instantaneo. En este sistema el cuadrivector transformado dx′µ asociado a esta partıcula esta descrito por(0, 0, 0, icdt′) y el invariante dτ se escribe

(dτ)2 = − 1

c2dx′µdx

′µ =

(dt′)2

con lo que se ve que dτ es el intervalo de tiempo medido por un reloj que se mueva con la partıcula, que se denominael tiempo propio o tiempo de universo.

Ahora veamos la relacion entre dτ y el intervalo de tiempo correspondiente a un cierto sistema inercial dt, usandola Ec. (21.41)

(dτ)2 = − 1

c2

[(dx1)

2 + (dx2)2 + (dx3)

2 + (dx4)2]= − 1

c2

[(dx1)

2 + (dx2)2 + (dx3)

2 − c2 (dt)2]

dτ = (dt)

√√√√1− 1

c2

[(dx1dt

)2

+

(dx2dt

)2

+

(dx3dt

)2]

que se puede escribir en la forma

dt =dτ√1− β2

(21.42)

debemos tener en cuenta que en este caso β nos esta representando la velocidad de una partıcula con respectoa un sistema de referencia inercial S. Este es un uso diferente al que se le ha dado hasta ahora como velocidadrelativa (normalizada a c) de un cierto sistema de referencia inercial S′ con respecto a otro sistema inercial S. Porsupuesto, se puede pensar en β como la velocidad relativa del sistema S′ (con respecto a S) de tal modo que lapartıcula esta en reposo instantaneo con respecto a S′. La Ec. (21.42) nos dice que el intervalo de tiempo medidopor el sistema en el cual la partıcula no esta en reposo es siempre mayor que el intervalo de tiempo medido en elsistema en donde la partıcula esta en reposo instantaneo. Este fenomeno se conoce como dilatacion del tiempo y hasido comprobado experimentalmente en diversas situaciones, particularmente en la observacion de las vidas mediasde partıculas elementales inestables. La vida media de estas partıculas se puede medir cuando estas estan en reposoy se compara con su vida media cuando estan en vuelo a velocidades cercanas a la de la luz.

Hemos visto que el cuadrado del modulo de un cuadrivector no es necesariamente definido positivo. Los cuadri-vectores cuyo modulo cuadrado sean positivos se denominan del genero espacial o tambien se denominan como deespacio o espacialoides. Cuando el modulo es cero (lo cual no significa necesariamente que el cuadrivector sea cero)se denominan como de luz. Finalmente, cuando su modulo cuadrado es negativo se dice que es del genero temporal,como de espacio o espacialoide. Puesto que este modulo al cuadrado es un escalar de universo, esta denominacionno dependera del sistema inercial utilizado. Los nombres se deben a que el modulo de un vector espacial tridimen-sional es definido positivo al igual que el cuadrivector del genero espacial, adicionalmente un cuadrivector de este


genero siempre se puede transformar de tal forma que se anule su cuarta componente (temporal). Por otro lado,un cuadrivector del genero temporal tiene su cuarta componente no nula, pero se puede transformar de tal formaque se anulen todas sus tres componentes espaciales. A manera de ilustracion veamos el comportamiento del vectordiferencia o relativo entre dos puntos de universo. Este vector relativo puede ser del genero espacial temporal o deluz, definiremos a este vector relativo como

Xµ ≡ x1µ − x2µ

donde los subındices 1 y 2 denotan los dos sucesos. El modulo de este cuadrivector relativo sera

XµXµ = |r1 − r2|2 − c2 (t1 − t2)2

de modo que Xµ sera del genero espacial si los dos puntos de universo estan separados de modo que

|r1 − r2|2 > c2 (t1 − t2)2

sera como de luz si se cumple la igualdad

|r1 − r2|2 = c2 (t1 − t2)2

y finalmente sera del genero temporal si

|r1 − r2|2 < c2 (t1 − t2)2

la condicion para que el vector diferencia sea temporal equivale a decir que se puede cubrir la distancia entre los doseventos o sucesos mediante una senal luminosa (e incluso algunas senales mas lentas que la luminosa), en cuyo casose habla de sucesos o eventos causalmente conectados. La condicion de cuadrivector del genero espacial equivale aque estos eventos no podran conectarse con ninguna onda luminosa o senal que viaje a velocidad menor o igual que c,decimos que los eventos estan causalmente desconectados. Finalmente, si el cuadrivector diferencia es como de Luz,solo una senal que viaje a velocidad c podra conectar a estos sucesos (y no se pueden conectar con senales que viajena velocidades menores), claramente estos son eventos causalmente conectados.

Podemos elegir el eje x3 de modo que quede alineado con los ejes espaciales r1 − r2 del cuadrivector relativo. Ental caso se tiene que |r1 − r2| = x3(1) − x3(2). Si realizamos una transformacion de Lorentz pura con velocidad v a lolargo de x3 podemos aplicar las transformaciones dadas en (21.1) para la cuarta componente de Xµ

t′1 =

(t1 − vx3(1)

c2

)

√1− β2

; t′2 =

(t2 − vx3(2)

c2

)

√1− β2

t′1 − t′2 =

(t1 − vx3(1)

c2

)

√1− β2

−

(t2 − vx3(2)

c2

)

√1− β2

=

(t1 − t2 − vx3(1)−vx3(2)

c2

)

√1− β2

c(t′1 − t′2

)=

c (t1 − t2)− vc

[x3(1) − x3(2)

]√1− β2

(21.43)

si Xµ es del genero espacial y los sucesos son tales que t1 > t2 nos queda que

c (t1 − t2) < x3(1) − x3(2)

y sera posible encontrar una velocidad v < c de modo que se anule la cuarta componente ic (t′1 − t′2) ≡ X ′4. Fısicamente

la anulacion de la componente temporal significa que es posible encontrar un sistema inercial que viaje a velocidadv < c en el cual los dos sucesos sean simultaneos. Adicionalmente, tambien es posible encontrar valores de v < cque haga que el miembro de la derecha en (21.43) se vuelva negativo lo cual indicarıa que t′2 > t′1, de modo queencontramos un sistema de referencia inercial en el cual se invierte la secuencia de los sucesos. El que pueda invertirsela secuencia de sucesos entre eventos del genero espacial no constituye una violacion de la causalidad ya que estoseventos estan causalmente desconectados y no hay manera de que un suceso pueda influır en el otro. Por ejemplo,nada de lo que ocurra ahora en la tierra puede afectar a la estrella alfa centauri dentro de los siguentes cuatro anosen virtud de su distancia a la tierra de unos cuatro anos luz.

En contraste, para separaciones del genero temporal entre sucesos, no es posible encontrar una transformacionde Lorentz que los haga simultaneos y menos aun que pueda invertir el orden temporal de los sucesos. Ası debe ser


puesto que estos eventos sı estan causalmente conectados y pueden influır el uno sobre el otro. Esto implica que elantes y el despues, o la causa y el efecto, son conceptos invariantes de Lorentz y se preserva la causalidad.

Es importante establecer la generalizacion relativista de las cantidades Newtonianas mas importantes. Por ejemplola velocidad

vi =dxidt

no puede extrapolarse de manera inmediata para construır un cuadrivector de Lorentz ya que la cantidad vµ = dxµ/dtes el producto de un cuadrivector (dxµ) con una cantidad que no es escalar (dt no es invariante de Lorentz) de modoque el resultado no es un cuadrivector. El invariante mas obvio asociado a dt es el tiempo propio τ de modo queresulta natural definir la cuadrivelocidad uν como la variacion por unidad de tiempo del vector de posicion de unapartıcula (medida en un sistema S) con respecto al tiempo propio de dicha partıcula (invariante)

uν =dxνdτ

=dxν

dt√

1− β2(21.44)

cuyas componentes espacial y temporal son

ui =dxi

dt√

1− β2=

vi√1− β2

; u4 =dx4

dt√

1− β2=

ic√1− β2

(21.45)

la cuadrivelocidad (o velocidad de universo) modulo cuadrado es invariante de Lorentz

uνuν =v2

1− β2− c2

1− β2= −c2 (21.46)

y es ademas del genero temporal. Por supuesto, la cuadrivelocidad no tiene un significado Fısico directo ya que paramedir dxν y dτ se estan usando en general sistemas de referencia diferentes. Sin embargo, la Ec. (21.45) nos muestraque la cuadrivelocidad contiene toda la informacion sobre la velocidad Fısica y tiene la ventaja de que si escribimoslas expresiones en terminos de la cuadrivelocidad, sera mas facil chequear la covarianza de las ecuaciones gracias ala naturaleza cuadrivectorial de uν .

Otro cuadrivector de enorme importancia es el cuadrivector jµ formado con la corriente electrica j unida con lacantidad icρ siendo ρ la densidad de corriente electrica. Para obtener esta forma cuadrivectorial comenzamos con laecuacion de continuidad

∇ · j+ ∂ρ

∂t= 0

que me expresa la conservacion de la carga, si asumimos que la conservacion de la carga es valida en todos los sistemasde referencia inerciales, entonces esta ecuacion debe conservar su forma ante una transformacion de Lorentz. Dadoque j esta asociado en la ecuacion de continuidad a derivadas en el tiempo es razonable pensar que haga parte de lascomponentes espaciales de un cuadrivector, similarmente dado que ρ esta asociado a una derivada temporal resultarazonable pensar que hace parte de la componente temporal del cuadrivector. Para escribir esta ecuacion en formamanifiestamene covariante escribamosla en componentes

∂jk∂xk

+∂ρ

∂t= 0 ⇒ ∂jk

∂xk+∂ (icρ)

∂ (ict)= 0 ⇒ ∂jµ

∂xµ= 0

⇒ ∂µjµ = 0 ; jµ ≡ (j1, j2, j3, icρ) (21.47)

Dado que ∂µ es un cuadrivector, se tiene que jµ tambien debe serlo si la ecuacion de continuidad ha de ser covariante,es decir si la carga se ha de conservar en todos los sistemas inerciales. Por otro lado, se puede ver a jµ como elcuadrivector ρ0uµ siendo ρ0 la densidad de carga en el sistema en el cual las cargas estan en reposo, es decir es ladensidad de carga propia.

Por otro lado, el operador cuadrigradiente se transforma en el espacio de Minkowski como un cuadrivector8

∂

∂x′ν=∂xµ∂x′ν

∂

∂xµ= L′

µν

∂

∂xµ= Lνµ

∂

∂xµ

8Recordemos que en la formulacion de espacios de Riemann, este operador se transforma covariantemente y la ecuacion (21.47) es elproducto escalar de un vector covariante con un contravariante, esto se denota como ∂µj

µ = 0. En general los invariantes en el espacio deRiemann son combinaciones de tensores covariantes con tensores contravariantes, de modo que deben escribirse con ındice arriba contraıdocon ındice abajo e.g. jµkµ, k

µνpµν .


donde hemos usado la ortogonalidad de L. Vemos pues que la cantidad ∂µjµ es invariante ante una transformacionde Lorentz (escalar de universo) ya que es la contraccion de dos cuadrivectores. Este ejemplo nos muestra una formade escribir una ley Fısica en una forma manifiestamente covariante.

Veamos otro ejemplo de cuadrivector muy importante en la Fısica. Es bien conocido de la teorıa clasica electro-magnetica que los potenciales escalar y vectorial obedecen ecuaciones de onda desacopladas

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4π

cj ; ∇2φ− 1

c2∂2φ

∂t2= −4πρ (21.48)

siempre y cuando se imponga la condicion de Lorentz.

∇ ·A+1

c

∂φ

∂t= 0 (21.49)

Notese que la condicion de Lorentz es semejante en estructura a la ecuacion de continuidad, por ello usando unargumento similar al usado para la ecuacion de continuidad es natural pensar que A esta asociado a las componentesespaciales de un cuadrivector y φ a la componente temporal. Esta asociacion parece estar reforzada por las Ecs.(21.48) donde A tiene como fuente a j (que a vez forma parte de la componente espacial del cuadrivector jµ) entanto que φ tiene como fuente a ρ (donde este ultimo es parte de la componente temporal de jµ). Comencemos porla condicion gauge Ec. (21.49) que se puede reescribir como

∂iAi +∂ (iφ)

∂ (ict)= 0 ⇒ ∂µ =

(∇, ∂

∂x4

)=

(∇, ∂

∂ict

); Aµ ≡ (A, iφ) (21.50)

⇒ ∂µAµ = 0 (21.51)

las Ecs. (21.48) se pueden reescribir en la forma

∇2A+∂2A

∂ (ict)2= −4π

cj ; ∇2iφ− 1

c2∂2iφ

∂t2= −4π

cicρ (21.52)

definimos el operador de D’Alembert en la forma

2 ≡ ∇2 − 1

c2∂2

∂t2= ∇2 +

∂

∂ (ict)2= ∂i∂i + ∂4∂4

2 ≡ ∂µ∂µ =∂2

∂xµ∂xµ

las Ecs. (21.52) en el espacio de Minkowski quedan

2A = −4π

cj ; 2iφ = −4π

cicρ

que se puede condensar en una sola ecuacion cuadrivectorial con jµ = (j, icρ)

2Aµ = −4π

cjµ (21.53)

Las Ecs. (21.51) y (21.53) estan escritas de manera manifiestamente covariante. En (21.51) ambos miembros son esca-lares de universo, en tanto que en (21.53) ambos miembros son vectores de universo, pues el operador de D’Alembertes un escalar de universo. Estas ecuaciones demuestran que la teorıa electromagnetica de Maxwell es covariante conrespecto a las transformaciones de Lorentz de modo que esta descrita por la relatividad especial y no por la relatividadde Galileo. El lector puede verificar que el uso del gauge de Coulomb ∇ ·A = 0 hace mucho mas difıcil el proceso decolocar las ecuaciones de manera manifiestamente covariante.

21.4. FUERZA Y ENERGIA EN RELATIVIDAD 403

21.4. Fuerza y energıa en relatividad

Las leyes de Newton son invariantes de Galileo y por tanto no son invariantes de Lorentz. En consecuencia, esnecesario encontrar una generalizacion adecuada de fuerza cuya ley fundamental satisfaga los requisitos de covarianzaante transformaciones de Lorentz. Naturalmente, debemos tambien exigir que las ecuaciones relativistas se reduzcana la ecuacion dinamica fundamental de Newton en el lımite β → 0

d

dt(mvi) = Fi (21.54)

es facil ver que las componentes espaciales de un cuadrivector forman un vector espacial, ya que las transformacionesde Lorentz contienen a las rotaciones espaciales (L4i = Li4 = 0 y L44 = 1). No obstante, el recıproco no es cierto, lascomponentes de un vector espacial no se transforman necesariamente como lo harıan las componentes espaciales de uncuadrivector. Por ejemplo, se puede multiplicar a las componentes del trivector por una funcion cualquiera de β y suspropiedades de rotacion no se alteran. En cambio, esta multiplicacion sı alterarıa las propiedades de transformacionde las tres componentes espaciales de un cuadrivector ante una transformacion de Lorentz. En concordancia con esto,las componentes espaciales de la cuadrivelocidad uν forman un vector espacial v/

√1− β2. Sin embargo, la v no hace

parte de ningun cuadrivector, para que lo sea debe dividirse por√

1− β2.

Primero buscaremos una generalizacion cuadrivectorial del miembro izquierdo en (21.54), es claro que la cuadri-velocidad definida en (21.45) posee una parte espacial que se reduce a v cuando β → 0. Tomaremos a m como uninvariante que lo llamaremos la masa en reposo o masa propia de la partıcula. En cuando al tiempo t, este no es uninvariante relativista pero sabemos que el tiempo propio τ sı es un invariante que ademas se reduce a t cuando β → 0.Los argumentos anteriores sugieren que la generalizacion de la ley de Newton (21.54) para una partıcula tenga laforma

d

dτ(muν) = Kν (21.55)

donde Kν debe ser un cuadrivector llamado fuerza de Minkowski.

Notese que en general las componentes espaciales de Kν no tienen que coincidir con las componentes de la fuerza,salvo por supuesto en el lımite no relativista con β → 0. Podemos pensar por ejemplo que Ki se puede construırcomo el producto de Fi con cierta funcion h (β) que se reduzca a la unidad en el lımite no relativista. Para conocerla forma de h (β) debemos conocer el comportamiento de la fuerza ante una transformacion de Lorentz. Utilizaremosdos procedimientos.

En el primer procedimiento, tendremos en cuenta que las fuerzas fundamentales son solo cuatro: las interaccionesgravitacional, electromagnetica, nuclear debil y nuclear fuerte. La idea serıa expresar las leyes que gobiernan a estasinteracciones de manera covariante. No obstante, no se conoce teorıas covariantes para las fuerzas nucleares, entre otrascosas porque tales interacciones no se pueden modelar clasicamente en forma satisfactoria (en la teorıa cuantica lafuerza pierde su significado y es reemplazada por la energıa potencial). Sin embargo, en el caso electromagnetico clasicoes de esperarse que podamos construır una expresion de la fuerza que nos proporcione una ecuacion covariante, despuesde todo la teorıa especial de la relatividad fue construıda justamente para que las ecuaciones de Maxwell fueraninvariantes de Lorentz. Afortunadamente, esta construccion sera suficiente ya que las propiedades de transformacionde las fuerzas deben ser las mismas independientemente de su origen. Por ejemplo, el hecho de que una partıcula esteen equilibrio (suma de fuerzas cero) debe ser independiente del sistema de referencia inercial utilizado y esto solo esposible si las fuerzas transforman todas igual, incluso si cada una es de diferente naturaleza.

Vimos que a partir de la expresion para la fuerza de Lorentz escrita en terminos de potenciales en lugar de campos,la fuerza electromagnetica que se ejerce sobre una partıcula cargada viene dada por

Fi = −q[∂

∂xi

(φ− 1

cv ·A

)+

1

c

dAidt

]

recordando la definicion del cuadripotencial (21.50), y de la cuadrivelocidad (21.45) podemos escribir la expresionφ− (1/c)v ·A en forma covariante

φ− 1

cv ·A = −1

c

√1− β2uνAν


y las componentes Fi de las fuerzas son

Fi = −q[∂

∂xi

(−1

c

√1− β2uνAν

)+

1

c

√1− β2

dAi√1− β2 dt

]

Fi =q

c

√1− β2

[∂

∂xi(uνAν)−

dAidτ

](21.56)

una extension cuadrivectorial del termino entre parentesis es de la forma

∂

∂xµ(uνAν)−

dAµdτ

este termino es claramente un cuadrivector, pues el primer termino es la derivada ∂µ (operador cuadrivectorial)de un escalar de universo, el segundo termino es el producto de un cuadrivector dAµ por un escalar de universo(dτ)−1. En consecuencia, la expresion en parentesis cuadrados en (21.56) esta asociada a las componentes espacialesde un cuadrivector. Por tanto, Fi es el producto de

√1− β2 por la componente espacial de un cuadrivector, el cual

identificamos como la fuerza de Minkowski Kν . Por tanto la relacion entre la fuerza ordinaria y la de Minkowski estadada por

Fi = Ki

√1− β2 (21.57)

esta relacion debe ser general e independiente del origen de las fuerzas. Para el caso de partıculas cargadas sometidasa un campo electromagnetico, la fuerza de Minkowski se obtiene de la extrapolacion de la expresion (21.56)

Kµ =q

c

[∂

∂xµ(uνAν)−

dAµdτ

](21.58)

En un segundo procedimiento, se define la fuerza como la variacion del momento lineal por unidad de tiempo,en todos los sistemas de Lorentz se tiene entonces que

Fi =dpidt

(21.59)

pero para ello sera necesario redefinir el momento lineal pi de modo que en el lımite no relativista se reduzca a mvi.Podemos hallar la forma que toma el momento y el significado de Kµ haciendo que la Ec. (21.55) se parezca enlo posible a (21.59). A partir de la relacion entre τ y t y de la definicion de cuadrivelocidad, podemos escribir lascomponentes espaciales de (21.55) en la forma

d

dt

(mvi√1− β2

)= Ki

√1− β2 (21.60)

y comparando (21.60) con (21.59) vemos que el teorema de conservacion del momento lineal (reemplazante masgeneral que la tercera ley de Newton) sera invariante de Lorentz si definimos la cantidad de movimiento en la forma

pi =mvi√1− β2

(21.61)

y que Fi y Ki esten relacionadas como lo indica la ecuacion (21.57). Notese que la ecuacion (21.61) se reduce a mvicuando β → 0 como se esperaba. Los dos procedimientos conducen entonces a los mismos resultados. Comparando(21.61) con la definicion (21.45) de la cuadrivelocidad vemos que pi es la parte espacial del llamado cuadrivectormomento energıa

pν = muν (21.62)

la ecuacion de movimiento generalizada para una partıcula se escribe entonces

dpνdτ

= Kν (21.63)

21.4. FUERZA Y ENERGIA EN RELATIVIDAD 405

hasta ahora solo hemos estudiado la parte espacial de las ecuaciones cuadrivectoriales (21.55, 21.63). Para obtenerinformacion de la parte temporal hagamos el producto interno de (21.55) por la cuadrivelocidad

uνd

dτ(muν) =

d

dτ

(m2uνuν

)= Kνuν

de (21.46) vemos que uνuν = −c2 y como m es tambien constante, vemos que la expresion de la mitad se anula.Luego

Kνuν ≡ Kiui +K4u4 = 0

y usando las Ecs. (21.45, 21.57) tenemos

Kνuν ≡Fi√1− β2

vi√1− β2

+K4

(ic√

1− β2

)=

F · v1− β2

+icK4√1− β2

= 0

de modo que la cuarta componente de la fuerza de Minkowski sera

K4 =i

c

F · v√1− β2

(21.64)

la componente temporal de la Ec. (21.55) se obtiene empleando (21.45) y (21.64)

d

dτ(mu4) = K4 ⇒ 1√

1− β2d

dt

(m

ic√1− β2

)=i

c

F · v√1− β2

finalmente la cuarta componente de (21.55) queda de la forma

d

dt

(mc2√1− β2

)= F · v (21.65)

recordemos ahora el escenario no relativista. En este escenario F · v corresponde al trabajo por unidad de tiempoque se hace sobre la partıcula dW/dt. Teniendo en cuenta ademas el teorema fundamental del trabajo y la energıaresulta dW = dT siendo T la energıa cinetica. De esto se concluye que

F · v =dW

dt=dT

dt(lımite no relativista)

Extrapolando esta definicion al caso relativista tenemos que

dT

dt= F · v (escenario relativista) (21.66)

Comparando (21.65) con (21.66) se obtiene la generalizacion relativista de la energıa cinetica

T =mc2√1− β2

(21.67)

en el lımite β2 << 1 esta ecuacion se expande como

T ∼= mc2[1 +

β2

2

]= mc2 +

1

2mv2

Este valor no coincide con el lımite no relativista esperado. Sin embargo, el valor adicional pareciera a priori serirrelevante ya que se puede adicionar una constante a la derecha de (21.67) que no afectarıa la validez de la Ec.(21.65). Sin embargo, es preferible mantener este valor y conservar la cantidad T en la forma dada por (21.67),hay dos buenas razones para mantener esta cantidad: (a) En algunos casos como veremos mas adelante mc2 puedecambiar gracias al cambio en la masa en reposo de las partıculas, por ejemplo en colisiones inelasticas. Esto nos indica


que este tipo de energıa se puede intercambiar o transferir y por tanto es Fısicamente relevante y (b) al comparar(21.62) con (21.67) vemos que iT/c es la cuarta componente del cuadrivector momento energıa

pν = (p1, p2, p3, p4) ; pi =mvi√1− β2

= mui ; p4 =iT

c=

imc√1− β2

= mu4

Sin embargo, para usar una terminologıa consistente con la newtoniana es preferible definir la energıa cinetica comola parte de esta energıa que se reduce correctamente al valor no relativista

K ≡ T −mc2 = mc2 (γ − 1)

no existe una unica designacion para T . En ocasiones se le llama energıa total (si bien esto solo serıa apropiadopara partıcula libre) y en otras simplemente energıa. En todo caso T posee propiedades interesantes. Por ejemplose puede demostrar que la T dada por (21.67) se conserva siempre que se conserve el momento lineal espacial. Paraverificar este teorema, podemos tener en cuenta que la conservacion del momento espacial debe ser invariante anteuna transformacion de Lorentz, en realidad esta invarianza esta implıcita en la definicion de sistema inercial dada porEinstein. Las componentes transformadas p′j seran funciones lineales de las pi pero tambien de p4 i.e. de la energıaT . En consecuencia, la conservacion de p′j para todos los sistemas inerciales exige la conservacion conjunta de todaslas componentes de pν . Es facil calcular el valor del invariante pνpν

pνpν = (muν) (muν) = m2uνuν = −m2c2

por otro lado

pνpν = p2 − T 2

c2

de lo cual se obtiene la relacion cinematica fundamental para la relatividad especial

T 2 = p2c2 +m2c4 (21.68)

la Ec. (21.68) es la analoga a la relacion no relativista T = mv2/2 con la diferencia de que en relatividad T incluye laenergıa en reposo mc2. La definicion de T Ec. (21.67) muestra que la energıa de una partıcula con energıa en reposofinita tiende a infinito cuando v → c, es decir que se requiere una energıa infinita para llevar una partıcula materialdesde el reposo hasta una velocidad c. Por tanto la teorıa predice que no es posible alcanzar o superar la velocidadde la luz en el vacıo partiendo de una velocidad menor que c.

El enunciado anterior no prohıbe la existencia de partıculas que nazcan con velocidades mayores a las de la luz(taquiones). De acuerdo con la Ec. (21.67) la masa asociada a esta partıcula tendrıa que ser imaginaria para tener unaenergıa real. Esto implica que un taquion esta descrito por un parametro real m′ de modo que T = m′c2/

√β2 − 1.

Las soluciones taquionicas y en particular sus implicaciones sobre la causalidad han sido motivo de una ampliaespeculacion cientıfica. No obstante, no se han observado partıculas taquionicas hasta el momento.

Ya hemos dicho que en relatividad especial la conservacion del trimomento conduce a la conservacion de la cuartacomponente del cuadrivector momento energıa. Esta situacion contrasta con la mecanica no relativista, en la cual laconservacion del momento lineal y la conservacion de la energıa cinetica son aspectos independientes. Por ejemplo,en un choque inelastico entre dos partıculas se conserva el momento lineal pero no la energıa cinetica, esto se debe acambios en la energıa interna del sistema debido a reconfiguraciones internas. En el caso relativista, la energıa T debeconservarse junto con el momento espacial incluso en choques inelasticos debido a sus propiedades de transformacioncomo cuadrivector. Fısicamente, esto se entiende teniendo en cuenta que T posee dos terminos, la energıa cineticay la energıa en reposo mc2. En un choque inelastico la energıa cinetica relativista cambia tambien en virtud dereconfiguraciones internas del sistema, pero en este caso estos cambios en la energıa interna se traducen en cambiosen la energıa en reposo y por tanto de la masa en reposo.

Veamos un ejemplo sencillo del hecho de que la conservacion de T implica un cambio en la masa en reposo encolisiones inelasticas. Sean dos partıculas identicas en masa que viajan con respecto al laboratorio a velocidadesiguales y opuestas. El momento lineal total es nulo visto por el laboratorio y el cuadrivector momento energıa vienedado por

Pµ = pµ (1) + pµ (2)

que tendra componentes espaciales nulas pero una cuarta componente no nula dada por 2iT/c siendo T la energıade cada partıcula definida por la Ec. (21.67). Supongamos que el choque es totalmente inelastico de modo que las

21.5. FORMULACION LAGRANGIANA DE LA MECANICA RELATIVISTA 407

dos masas quedan unidas y en reposo con respecto al laboratorio (como dos bolas de plastilina). La energıa total esla energıa en reposo del sistema compuesto final, que tendra una masa

M = 2m+∆M

la conservacion de P4 en el choque implica

2T =Mc2

por otro lado, para dar a las partıculas sus velocidades iniciales a partir del reposo en el sistema de laboratorio, serequiere una energıa dada por

∆E = 2T − 2mc2 = (∆M) c2

por lo tanto, el choque inelastico ha convertido toda la energıa del movimiento inicial vista por el laboratorio en unincremento en la masa en reposo del sistema. En esta clase de choque inelastico se suele decir que la energıa cineticaperdida en el choque se convierte en calor. La relatividad restringida nos dice que la masa en reposo o inercia delsistema aumenta en proporcion al calor que se produce. Este incremento de masa se podrıa detectar poniendo alsistema en movimiento a traves de una fuerza conocida, no obstante para sistemas macroscopicos estos cambios demasa son muy difıciles de detectar ya que un joule de energıa posee un equivalente de masa de aproximadamente1,1 × 10−17Kg. No es de extranarse entonces que las evidencias sobre los cambios de la masa en reposo se hayanvisto en sistemas de escala atomica, nuclear o subnuclear. En estos casos no podemos hablar de produccion decalor sino de cambios en la energıa interna del sistema. A la escala subnuclear, estos cambios en la energıa enreposo suelen ser suficientes para permitir la creacion de una o mas partıculas adicionales. Es de anotar ademasque estos cambios tambien pueden ocurrir en el sentido opuesto: la energıa en reposo se puede convertir en energıaen movimiento, fenomeno particularmente visible en las explosiones nucleares, por supuesto en estas explosiones elvalor de T permanece constante durante la explosion. A pesar de la enorme energıa liberada en estas explosiones, laperdida de masa suele ser del orden del 0,1% de la masa original.

21.5. Formulacion Lagrangiana de la mecanica relativista

Dado que hemos realizado la generalizacion adecuada de las leyes de Newton en el marco de la relatividad restrin-gida, podemos intentar establecer una formulacion Lagrangiana para la dinamica relativista. Vamos a describir dosprocedimientos. En el primero, se pretende reproducir en un sistema inercial particular las ecuaciones de la forma(21.59), resultando en general una formulacion que no es manifiestamente covariante. Las fuerzas Fi podrıan estar ono adecuadamente relacionadas con una fuerza de Minkowski Kν . El otro metodo consiste en construır un principiode Hamilton covariante a partir del cual se llega a las ecuaciones de Lagrange en las cuales el espacio y el tiempo setratan como coordenadas de un espacio de configuracion de cuatro dimensiones. El primer metodo puede presentarproblemas cuando las fuerzas no se formulan bien relativısticamente, pero generalmente las ecuaciones de movi-miento ası obtenidas son correctas relativısticamente en un sistema inercial dado, aunque no sean manifiestamentecovariantes. El segundo metodo aunque formalmente mas correcto, desemboca en grandes dificultades incluso parasistemas de una partıcula. Para sistemas de varias partıculas falla casi desde el pincipio y no hay una formulacioncovariante satisfactoria para la mecanica clasica relativista de muchas partıculas. Este sigue siendo un tema activode investigacion.

21.5.1. Formulacion no manifiestamente covariante

La idea es encontrar una Lagrangiana que nos lleve a las ecuaciones de movimiento relativista que constituyeronnuestra generalizacion de las Leyes de Newton. Estas ecuaciones seran obtenidas en funcion de las coordenadas deun determinado sistema inercial. Notese que el principio de D’Alembert resulta poco fructıfero en este caso, ya queaunque tal principio sigue siendo valido, las deducciones basicas se basaban en el hecho de que pi = mivi relacionque ya no es valida en relatividad restringida. Por lo tanto, elegiremos el camino de tomar como punto de partida elprincipio de Hamilton

δI = δ

∫ t2

t1

L dt = 0 (21.69)


y obtener con base en las ecuaciones de Euler Lagrange ecuaciones de movimiento que concuerden con las genera-lizaciones obtenidas para el formalismo Newtoniano Ec. (21.59). Estudiaremos el caso de una partıcula sometida afuerzas conservativas que no dependen de la velocidad, en cuyo caso escribimos

L = −mc2√1− β2 − V (21.70)

siendo V un potencial que solo depende de la posicion y β2 = v2/c2 donde v es la velocidad de la partıcula enel sistema inercial particular que se toma. Veamos que este Lagrangiano nos conduce a las ecuaciones correctas,partiendo de las ecuaciones de Lagrange

d

dt

(∂L

∂vi

)− ∂L

∂xi= 0

y teniendo en cuenta la relacion∂L

∂vi=

mvi√1− β2

= pi (21.71)

se obtienedpidt

+∂V

∂xi= 0 ⇒ dpi

dt= −∂V

∂xi⇒ dpi

dt= Fi

que concuerda con (21.59). Notese que el lagrangiano NO es de la forma L = T −V . No obstante, la expresion ∂L/∂visigue siendo el momento lineal. En realidad es este hecho lo que garantiza la correccion adecuada de las ecuacionesde Lagrange. Por tanto, hubieramos podido proceder hacia atras desde (21.71) para obtener al menos la dependenciade la velocidad del Lagrangiano.

La generalizacion de (21.70) a sistemas de muchas partıculas o a sistemas de coordenadas generalizadas qj esdirecta. Las cantidades de movimiento canonicas siguen definiendose en la forma

pj =∂L

∂qj(21.72)

de modo que se mantiene la relacion entre coordenadas cıclicas y la conservacion de los momentos asociados a ellas.Adicionalmente, si el Lagrangiano no depende explıcitamente del tiempo se sigue manteniendo a la funcion h comoconstante de movimiento

h = qjpj − L (21.73)

hay sin embargo, una diferencia importante con el caso no relativista: debido al factor√

1− β2 en el Lagrangiano(21.70), dicho Lagrangiano no es una funcion homogenea de la velocidad, de modo que la demostracion realizadaen el caso no relativista para llegar a que h es la energıa del sistema (en el caso de potenciales dependientes de laposicion y coordenadas que no dependen explıcitamente del tiempo) no es valida en el caso relativista. Veremos sinembargo que para potenciales que solo dependen de la posicion h continua siendo la energıa total del sistema

h = xipi − L =mvivi√1− β2

+mc2√

1− β2 + V

=

√1− β2

m

(mvi√1− β2

)(mvi√1− β2

)+mc2

√1− β2 + V

h =√

1− β2[pipim

+mc2]+ V (21.74)

por otro lado de la Ec. (21.68) vemos que

pipi = p2 =T 2

c2−m2c2 (21.75)

y reemplazando (21.75) en (21.74) resulta

h =√

1− β2[T 2

mc2−mc2 +mc2

]+ V =

√1− β2

T 2

mc2+ V

h =

√1− β2

mc2T 2 + V =

(1

T

)T 2 + V


la funcion energıa queda entonces

h =mc2√1− β2

+ V = T + V = E (21.76)

de modo que para el caso de potenciales dependientes solo de la posicion, h se conserva y es la energıa del sistema(naturalmente hemos usado coordenadas cartesianas de modo que la transformacion de coordenadas a las coordenadasgeneralizadas es trivial).

La introduccion de potenciales dependientes de la velocidad no conlleva ninguna dificultad particular y se puedeefectuar en forma analoga al caso no relativista. De esta forma, para el caso de una partıcula inmersa en un campoelectromagnetico, el lagrangiano se obtiene reemplazando V por el potencial de Lorentz en (21.70)

L = −mc2√

1− β2 − qφ+q

cA · v (21.77)

puede verse que el momento canonico ya no es mui hay terminos adicionales debidos a la parte del potencial quedepende de la velocidad

pi = mui +q

cAi (21.78)

esta relacion es analoga a la Ec. (??) obtenida para el caso no relativista. El Lagrangiano (21.77) no es manifiestamentecovariante. Sin embargo, en este caso se espera que estos resultados sean validos en cualquier sistema de referenciainercial en virtud de la covarianza relativista de la fuerza de Lorentz, de la cual proviene el potencial dependiente dela velocidad que se usa en (21.77).

De lo anterior se desprende que muchas de las estrategias y propiedades desarrolladas para la mecanica norelativista se pueden aplicar en un escenario relativista como veremos en los siguientes ejemplos

Movimiento bajo una fuerza constante (hiperbolico)

Sin perdida de generalidad se puede tomar el eje x1 a lo largo de la fuerza constante. El Lagrangiano tiene laforma

L = −mc2√

1− β2 +max ; β ≡ x

c

Las ecuaciones de Lagrange quedan

d

dt

(∂L

∂x

)=

d

dt

[∂

∂x

(−mc2

√1− x2

c2

)]=

d

dt

(mx√1− β2

)= c

d

dt

(mβ√1− β2

)

∂L

∂x= ma

y se obtiene

cd

dt

(mβ√1− β2

)+ma = 0 ;

d

dt

(β√

1− β2

)=a

c

la primera integracion se escribe comoβ√

1− β2=at+ α

c

siendo α una constante de integracion. Podemos despejar β de esta ecuacion elevando al cuadrado a ambos lados

β2

1− β2=

(at+ α)2

c2⇒ β2 =

(at+ α)2

c2(1− β2

)⇒ β2

[1 +

(at+ α)2

c2

]=

(at+ α)2

c2

⇒ β2

[c2 + (at+ α)2

c2

]=

(at+ α)2

c2⇒ β

[√c2 + (at+ α)2

]= (at+ α)

⇒ β =at+ α√

c2 + (at+ α)2(21.79)


la Ec. (21.79) sera util para examinar el lımite no relativista, por el momento continuamos manipulando la expresion

⇒ x

c=

at+ α√c2 + (at+ α)2

⇒ dx = cat+ α√

c2 + (at+ α)2dt

Una segunda integracion con t′ entre 0 y t y con x′ entre x0 y x nos da

∫ x

x0

dx′ = c

∫ t

0

(at′ + α) dt′√c2 + (at′ + α)2

da la solucion

x = x0 +c

a

[√c2 + (at+ α)2 −

√c2 + α2

](21.80)

la velocidad quedarıa en la forma

x = v =c

a

aα+ a2t√2atα + c2 + α2 + a2t2

(21.81)

de esta expresion se ve que

v0 =c

a

aα√c2 + α2

(21.82)

la Ec. (21.82) muestra que α esta directamente relacionado con la velocidad inicial. Si la partıcula parte del reposoen el origen las condiciones iniciales quedan x0 = v0 = α = 0, y la Ec. (21.80) se puede escribir en la forma

x =c

a

[√c2 + (at)2 − c

]⇒ x+

c2

a=c

a

[√c2 + (at)2

]

⇒(x+

c2

a

)2

=c2

a2[c2 + a2t2

]⇒(x+

c2

a

)2

− c2t2 =c4

a2

que describe la ecuacion de una hiperbola en el plano x− t.Veamos ahora como se recobra el lımite no relativista. La Ec. (21.79) se puede reescribir como

β =1√(c

at+α

)2+ 1

y como el lımite no relativista corresponde a β → 0 se ve que esto es equivalente a la condicion [c/ (at+ α)]2 >> 1, olo que es lo mismo at+ α << c. Reemplazando dicho lımite en (21.80) se obtiene la parabola tıpica del movimientono relativista y ademas se llega a que α→ v0.

Este movimiento puede describir por ejemplo, la trayectoria de electrones que se aceleran con un campo electricoconstante y uniforme. Pues las velocidades tıpicas de los electrones son al menos del orden de la velocidad de la luzen el vacıo.

Oscilador armonico unidimensional relativista

En este caso el Lagrangiano (21.70) toma la forma

L = −mc2√

1− β2 − 1

2kx2

dado que L no es funcion explıcita del tiempo entonces la funcion enrgıa y por tanto la energıa total del sistema esuna constante de movimiento. Si despejamos la velocidad en la Ec. (21.76) teniendo en cuenta que h es la energıa, setiene

E =mc2√1− β2

+ V ⇒ (E − V )2 =m2c4

1− β2⇒ 1− β2 =

m2c4

(E − V )2⇒ β2 = 1− m2c4

(E − V )2

1

c2

(dx

dt

)2

= 1− m2c4

(E − V )2(21.83)


podemos generalizar un poco antes de entrar en el potencial del oscilador armonico. Sea un potencial tal que V (x) =V (−x) y tal que V (0) es un mınimo local. Si la energıa E esta entre V (0) y el maximo de V el movimiento seraoscilatorio entre los lımites x = ±b donde b esta determinado por

V (±b) = E

el periodo del movimiento oscilatorio se puede obtener a partir de (21.83)

1

c

(dx

dt

)=

√1− m2c4

(E − V )2⇒ 1

c

dx√

1− m2c4

(E−V )2

= dt

un periodo consistira en ir y volver desde −b hasta b. Por simetrıa esto se puede escribir como cuatro veces la integralentre 0 y b

τ =4

c

∫ b

0

dx√1− m2c4

[E−V (x)]2

(21.84)

cuando (21.84) se aplica al potencial de Hooke, se puede expresar en terminos de integrales elıpticas. No obstante,sera mas ilustrativo examinar las correcciones relativistas de primer orden cuando V (x) << mc2. Escribiremos laenergıa total E de la forma

E = mc2 (1 + E)con lo cual se tiene que

E − V (x)

mc2=

mc2 (1 + E)− 12kx

2

mc2= 1 + E − λx2 ; λ ≡ k

2mc2

E − V (x)

mc2= 1 + λ

(b2 − x2

); b2 ≡ E

λ

y el termino en el interior del radical en (21.84) resulta

1− m2c4

[E − V (x)]2= 1− 1

[1 + λ (b2 − x2)]2=

[1 + λ

(b2 − x2

)]2 − 1

[1 + λ (b2 − x2)]2=

2λ(b2 − x2

)+ λ2

(b2 − x2

)2

[1 + λ (b2 − x2)]2

∼=2λ(b2 − x2

)

[1 + λ (b2 − x2)]2

Donce hemos conservado terminos hasta orden(λb2)2. El periodo es aproximadamente

τ ∼= 4

c

∫ b

0

dx√2λ(b2−x2)

[1+λ(b2−x2)]2

=4

c

∫ b

0

dx√2λ (b2 − x2)

[1 + λ

(b2 − x2

)]

?????????????????????????????????????en (21.84) el periodo se escribe como

τ ∼= 4

c

∫ b

0

dx√2λ (b2 − x2)

[1− 3λ

4

(b2 − x2

)](21.85)

la integral (21.85) se ppuede evaluar con el cambio de variable x = b sinφ resultando

τ ∼= 2π

c

1√2λ

[1− 3

8λb2]= 2π

√m

k

[1− 3kb2

16mc2

]= τ0

[1− 3kb2

16mc2

]

donde τ0 es el periodo en el caso no relativista. vemos entonces que las correcciones relativistas introducen unadependencia con la amplitud, dada aproximadamente por

∆ν

ν0= −∆τ

τ0∼= 3

16

kb2

mc2=

3

8E (21.86)


Movimiento de partıcula cargada en un campo magnetico

Este problema se puede trabajar aplicando el Lagrangiano (21.77) usando φ = 0 y el potencial vectorial adecuadopara un campo magnetico constanteA = 1/2 (r×B). No obstante, es mas sencillo emplear directamente el formalismoNewtoniano de fuerzas y escribir

F =q

c(v ×B) (21.87)

con lo cual la ecuacion de movimiento es

dp

dt=q

c(v ×B) =

q

mcγ(p×B)

La expresion (21.87) nos garantiza que la fuerza de Lorentz magnetica no efectua trabajo sobre la partıcula de modoque F · v = 0. Este hecho junto con las Ecs. (21.65, 21.66) nos dice que T permanece constante, en tanto que laexpresion (21.68) nos dice que p y γ tambien lo son. Adicionalmente, (21.87) nos indica que F es perpendicular a Bde modo que la componente del momento a lo largo de B se debe conservar. Finalmente, la ortogonalidad entre F yv nos indica que la partıcula no cambia su rapidez.

Por lo anterior sera posible sin perdida de generalidad asumir que x3 es la direccion de B y que el movimientoes en el plano x1x2. Descompondremos a p en la forma p = p3u3 + p⊥. Con base en lo anterior sabemos que p3 esconstante asıcomo el modulo de p. Por tanto, el modulo de p⊥ es claramente constante de modo que p realiza unaprecesion alrededor de la direccion del campo magnetico con una frecuencia dada por

Ω =qB

mcγ(21.88)

al ser γ constante se deduce que la proyeccion de la velocidad en el plano x1x2 tiene modulo constante y gira con lamisma frecuencia. La partıcula se mueve entonces en un plano y describe una orbita circular uniforme con velocidadangular Ω. De esto se obtiene el modulo de p⊥

p⊥ = mγrΩ

siendo r el radio de la circunferencia. Si combinamos esta ecuacion con (21.88) obtenemos el radio de la circunferenciaen funcion del momento lineal

r =p⊥qB/c

(21.89)

el radio de curvatura solo depende de las propiedades de esta a traves del factor pc/q (= Br), que se conoce comola rigidez magnetica de la partıcula. Se puede ver que aunque Ω presenta correcciones relativistas contenidas en elfactor γ, la relacion entre radio y momento es la misma que en el caso no relativista (justamente porque el momentoa su vez se redefine con el mismo factor γ). Debe tenerse en cuenta que aunque r solo depende de p⊥, en el calculode γ debe usarse tanto la componente perpendicular como la paralela a B a fin de calcular β.

Capıtulo 22

Electrodinamica y relatividad

Ya hemos discutido anteriormente que la ausencia de covarianza de las ecuaciones de Maxwell ante transforma-ciones de Galileo fue el motivo central para la creacion de los postulados de la relatividad especial. Por tanto, esde maxima importancia chequear la covarianza de tales ecuaciones. Con el fin de ser consistentes con la notacionutilizada en la literatura, vamos a emplear en este caso la notacion covariante y contravariante proveniente del espa-cio real de Riemann, lo cual simplemente presupone escribir los invariantes tales como KµKµ en la forma KµK

µ oKµKµ. Asımismo las matrices de transformacion complejas L seran sustituıdas por las matrices de transformacionΛ de acuerdo con la Ec. (21.35). El tensor metrico sera usado con la signatura g = (1,−1,−1,−1)

Comencemos definiendo el cuadrivector corriente como Jν = ρ0uν , siendo ρ0 la densidad de carga propia i.e.

medida por un observador en reposo instantaneo respecto a ella. Es claro que JνJν = ρ20uνu

ν = ρ20c2 es invariante

por construccion. Podemos representar este cuadrivector de varias maneras ya que

Jν = ρ0 (cγ, γv) = (cρ, ρv) = (cρ,J) (22.1)

donde hemos tenido en cuenta que ρ = ρ0γ.

∇ · J+∂ρ

∂t= 0 =

∂J i

∂xi+∂J0

∂x0=∂Jν

∂xν

⇒ ∂νJν = 0 (22.2)

vemos entonces que la definicion de la cuadri corriente permite escribir la ecuacion de continuidad de manera mani-fiestamente covariante. De la misma forma podemos definir un cuadrivector con los potenciales escalar y vectorial

Aν = (φ,A)

el gauge de Lorentz se expresa en la forma∂νA

ν = 0 (22.3)

condicion que tambien es claramente covariante. Veamos como se escribe en esta notacion la relacion entre los camposelectromagneticos y los potenciales

E = −∇φ− 1

c

∂A

∂t⇒ Ei = − ∂φ

∂xi− 1

c

∂Ai

∂t⇒ Ei = −∂A

0

∂xi− ∂Ai

∂x0=∂A0

∂xi− ∂Ai

∂x0= ∂iA0 − ∂0Ai ≡ φi0

donde hemos usado el hecho de que

Kν = Kµgµν ⇒ Ki = −Ki, K0 = K0

para un cuadrivector arbitrario. Calculemos ahora el campo magnetico B = ∇×A

B1 =∂A3

∂x2− ∂A2

∂x3= −∂A

3

∂x2+∂A2

∂x3= −∂2A3 + ∂3A2 ≡ −φ23

analogamenteB2 = −∂3A1 + ∂1A3 ≡ −φ31 ; B3 = −∂1A2 + ∂2A1 ≡ −φ12

413

414 CAPITULO 22. ELECTRODINAMICA Y RELATIVIDAD

reuniendo todas las ecuaciones para las seis componentes Ei y Bi resulta

Ei = φi0 , φij = −Bk (cıclicamente)

que se puede condensar en la forma

φµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ ; φµν = −φνµ

dado que ∂µ y Aν son cuadrivectores contravariantes, es claro que φµν es un tensor de segundo rango contravariante.Solo 6 de sus 9 componentes son independientes en virtud de su antisimetrıa. Efectivamente, solo aparecen comocomponentes independientes las seis componentes Ei, Bi. A φµν se le conoce como tensor de campo electro-magnetico. Es facil demostrar las siguientes propiedades de este tensor a partir de su definicion

φµν = −φνµ , φµν = −φνµ , φi0 = −φi0 = φ0i ; φ12 = φ12 = −φ21

podemos escribir φµν en forma matricial explıcita

φµν =

φ00 φ01 φ02 φ03

φ10 φ11 φ12 φ13

φ20 φ21 φ22 φ23

φ30 φ31 φ32 φ33

=

0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz ByEy Bz 0 −BxEz −By Bx 0

22.1. Ecuaciones de Maxwell en forma manifiestamente covariante

Es relativamente claro que las ecuaciones con fuentes

∇ ·E = 4πρ ; ∇×B− 1

c

∂E

∂t=

4π

cJ

deben escribirse en una sola ecuacion cuadrivectorial puesto que ρ y J forman un solo cuadrivector Ec. (22.1). Enefecto estas ecuaciones se pueden escribir como

∂iφi0 =

4π

cJ0 ; ∂µφ

µi =4π

cJ i (22.4)

las ecuaciones de Maxwell con fuentes se pueden entonces escribir en la forma

∂µφµν =

4π

cJν

similarmente las ecuaciones sin fuentes

∇ ·B = 0 ; ∇×E+1

c

∂B

∂t= 0

se pueden sintetizar en la ecuacion

∂µφνρ + ∂ρφµν + ∂νφρµ = 0 (22.5)

que usualmente se le denomina ecuacion interna. La estructura cıclica que se observa en los ındices µνρ en laecuacion interna nos sugiere definir un tensor analogo al de Levi civita pero en cuatro dimensiones, definimos entonces

ε0123 = 1 ; εµνσρ = levi civita

la ecuacion interna se puede escribir en forma mas sintetica definiendo el tensor dual

φ∗µν ≡ 1

2εµνσρφ

σρ

con lo cual la ecuacion interna se escribe

∂µφ∗µν = 0 (22.6)

22.2. FUERZA DE LORENTZ EN FORMA TENSORIAL 415

22.2. Fuerza de Lorentz en forma tensorial

Dado que las ecuaciones de Maxwell junto con la ley de Fuerza de Lorentz poseen en principio todo el conte-nido Fısico formal de la teorıa electromagnetica, el siguiente paso natural es buscar una expresion manifiestamentecovariante de la fuerza de Lorentz. Partiendo de la ecuacion de fuerza de Lorentz

F = q(E+

v

c×B

)

debemos recordar que para obtener una expresion cuadridimensional debemos trabajar con la expresion de la cua-drifuerza, la cual en su componente temporal posee informacion sobre la potencia o trabajo por unidad de tiempohecha sobre la partıcula. La cuadrifuerza es entonces de la forma

Kν = γ

(1

c

dW

dt,F

)(22.7)

ahora bien, se puede demostrar qued

dt

(mc2γ

)= F · v = qE · v =

dW

dt

con lo cual la cuadrifuerza queda en la forma

Kν = γ(qcE · v, qE+

q

cv×B

)

y la generalizacion covariante de la fuerza de Lorentz vendra dada por

Kν =q

cφµνuµ (22.8)

puede verificarse que Kνuν = 0. Es de suma importancia enfatizar que esta ecuacion solo es realmente covariante si qes un escalar i.e. invariante de Lorentz, hecho que posee un fuerte sustento experimental. Recordemos que para medioscontınuos y en particular para examinar los principios de conservacion, es usualmente mas util escribir ecuacionespara densidades de fuerza y energıa. Para encontrar la formulacion equivalente en terminos de densidades, escribamosla expresion para un elemento diferencial de carga

dKν =dq

cφµνuµ = ρ0

dV0cφνµuµ ⇒

dKν

dV0≡ Kν =

ρ0cφνµuµ =

1

cφνµJµ

tenemos que la ecuacion para la densidad de cuadrifuerza es

Kν =1

cφνµJµ (22.9)

naturalmente Kν se define directamente de (22.7) en la forma

Kν = γ

(1

c

dWdt

, f

)

siendo f y W las densidades de fuerza y energıa respectivamente. De esto se obtiene que

f = ρE+1

cJ×B ;

dWdt

= J · E

en concordancia con las Ecs. (16.1, 16.2).

22.3. Pruebas de consistencia de la formulacion covariante de Maxwell (op-

cional)

Teniendo en cuenta que las ecuaciones ∇ ·B = 0 y ∇×E+1c∂B∂t = 0 se siguen de las relaciones B = ∇×A y E =

−∇φ− 1c∂A∂t , se puede demostrar analogamente que la ecuacion interna se sigue de la definicion φµν = ∂µAν − ∂νAµ.

Similarmente, la ecuacion de continuidad ∂νJν = 0 se sigue directamente de la Ec. (??) y de la antisimetrıa de φµν .


22.4. Ecuaciones de onda e invarianza gauge en notacion tensorial

Las ecuaciones de Maxwell y la expresion para la fuerza de Lorentz en notacion tensorial han quedado escritasen la forma

∂µφµν =

4π

cJν (22.10)

∂µφνρ + ∂ρφµν + ∂νφρµ = 0 (22.11)

Kν =q

cφµνuµ (22.12)

φµν ≡ ∂µAν − ∂νAµ (22.13)

en estas ecuaciones esta formalmente todo el contenido Fısico de la teorıa electromagnetica clasica, por tanto todaslas ecuaciones de campo vistas hasta ahora se pueden generar con estas ecuaciones. En particular se puede observarque a partir de las ecuaciones (22.10) y (22.13) se puede generar la ecuacion interna (22.11) por simple derivaciony cambio apropiado de ındices. Tambien se puede ver que la ecuacion de continuidad se obtiene por derivacion de(22.10)

∂ν∂µφµν =

4π

c∂νJ

ν

usando la simetrıa del tensor ∂µ∂ν y la antisimetrıa de φµν se observa que ∂ν∂µφµν = 0 de modo que ∂νJ

ν = 0, estoes de esperarse ya que la ecuacion con fuentes (22.10) contiene la corriente de desplazamiento que se introdujo justopara que se mantenga la ecuacion de continuidad.

Por otro lado, reemplazando (22.13) en (22.10) se obtiene la ecuacion de onda para Aν

∂µ (∂µAν − ∂νAµ) =

4π

cJν ⇒ ∂µ∂

µAν − ∂ν (∂µAµ) =

4π

cJν ⇒

Aν − ∂ν (∂µAµ) =

4π

cJν (22.14)

si expresamos esta ecuacion en componentes podemos ver que (22.14) reproduce correctamente las Ecs. de onda(15.8) y (15.9) para los potenciales φ y A.

Se puede observar que φµνes invariante gauge1. Las transformaciones gauge definidas por (15.7) se pueden con-densar en notacion cuadrivectorial en la forma

A′µ = Aµ + ∂µψ

la transformacion para φµν bajo la transformacion gauge electromagnetica sera entonces

φ′µν = ∂µA′ν − ∂νA′µ = ∂µ (Aν + ∂νψ)− ∂ν (Aµ + ∂µψ) = ∂µAν + ∂µ∂νψ − ∂νAµ − ∂ν∂µψ

φ′µν = ∂µAν − ∂νAµ = φµν

demostrando la invarianza gauge de φµν . El gauge de Lorentz se puede escribir en la forma

∂µAµ = 0

con lo cual la ecuacion de onda (22.14) para los potenciales queda

Aν =4π

cJν (22.15)

que coincide con la ecuaciones (15.11, 15.12).Veremos ahora que φρµ tambien obedece a una ecuacion de onda. Derivando la ecuacion interna (22.11) con

respecto a ν

∂ν (∂ρφµν + ∂νφρµ + ∂µφνρ) = 0 ⇒ ∂ρ (∂νφ

µν) +φρµ + ∂µ (∂νφνρ) = 0

⇒ ∂µ (∂νφνρ)− ∂ρ (∂νφ

νµ) +φρµ = 0

1No debe confundirse la transformacion gauge con la transformacion de Lorentz. La primera es una transformacion de los campos(potenciales), en tanto que la segunda es una transformacion de coordenadas de espacio y tiempo. φµν es invariante gauge pero escontravariante de Lorentz de segundo rango.

22.5. CONSERVACION DEMOMENTOY ENERGIA DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO: TENSORMOMENTO ENER

y teniendo en cuenta la ecuacion con fuentes

4π

c(∂µJρ − ∂ρJµ) +φρµ = 0

φρµ =4π

c(∂ρJµ − ∂µJρ)

Es util definir el tensor de Hertz Πσν de seis componentes independientes en la forma

Π0i ≡ Π(el)i vector de hertz electrico

Π12 ≡ −Π(mag)3 vector de hertz magnetico

Πσν = −Πνσ

se puede demostrar que siAν = ∂σΠ

σν (22.16)

entonces ∂νAν es automaticamente cero. Por otro lado, se puede ver que la Ec. (22.16) equivale en notacion ordinaria

a

φ = −∇ · Πel ; A =1

c

∂Πel

∂t+∇×Πmag

es posible ademas introducir un gauge sobre Πσν de modo que Aν permanezca invariante.

22.4.1. Invariantes

Los dos unicos invariantes bilineales que se pueden formar con φµν son

φµνφµν ; εµνσρφ

µνφσρ

y se puede demostrar que

φµνφµν ∼ E2 −B2

εµνσρφµνφσρ ∼ E ·B

al ser estos invariantes se obtiene que

E ·B = E′ ·B′ ; E2 −B2 = E′2 −B′2

donde las cantidades se refieren a sistemas de referencia inerciales S y S′. Esto trae consecuencias Fısicas interesantes

1. Si en S se anula alguno de los campos entonces E · B = 0 de modo que en cualquier otro sistema inercial S′

se tiene que E′ ·B′ = 0 i.e. los campos son perpendiculares. Un ejemplo simple es una carga puntual en reposocon respecto a S. En este caso B = 0. En un sistema S′ la carga tiene movimiento uniforme y se puede verificarque E′ ·B′ = 0 y que E′ > B′.

2. Si E = B y E ·B = 0 entonces E′ ·B′ = 0 y E′ = B′. Notese que la ondas planas homogeneas tienen este parde caracterısticas, las cuales son invariantes de Lorentz.

3. Si E > B en S entonces E′ > B′ en cualquier S′.

22.5. Conservacion de momento y energıa del campo electromagnetico: tensormomento energıa

Veremos a continuacion que la conservacion del momento y la energıa del campo electromagnetico se puedeobtener de forma elegante y unificada a traves del llamado tensor momento energıa. Usando la expresion tensorialpara la densidad de fuerza de Lorentz Ec. (22.9) y la ecuacion tensorial de Maxwell con fuentes (22.10)

Kν =1

cφνµJµ ; ∂σφσµ =

4π

cJµ


y eliminando Jµ

Kν =1

cφνµ∂σφσµ =

1

4π[∂σ (φνµφσµ)− φσµ∂

σφνµ]

teniendo en cuenta que

φσµ∂σφνµ = φµσ∂

µφνσ = −φσµ∂µφνσ

se tiene

φσµ∂σφνµ =

1

2φσµ (∂

σφνµ − ∂µφνσ) =1

2φσµ (∂

σφνµ + ∂µφσν) =1

2φσµ∂

νφσµ

=1

4∂ν (φσµφσµ) =

1

4∂ν (φρµφρµ)

la densidad de cuadrifuerza de Lorentz queda

Kν =1

4π

[∂σ (φνµφσµ)−

1

4∂ν (φρµφρµ)

]=

1

4π∂σ[φνµφσµ −

1

4δνσφ

ρµφρµ

]

Kν = −∂σ[1

4π

(φνµφµσ +

1

4δνσφ

ρµφρµ

)]

Kν ≡ −∂στνσ (22.17)

en la ultima ecuacion hemos definido el Tensor momento energıa que en notacion totalmente contravariante seescribe

τνσ = τσν ≡ 1

4π

(φνµφµ

σ +1

4gνσφρµφρµ

)

y puesto que dicho tensor es simetrico, solo 10 de sus 16 componentes son independientes. Evaluemos la traza de estetensor la cual es un invariante de Lorentz

τσσ = τ00 + τ11 + τ22 + τ33

τνσ =1

4π

(φνµφµσ +

1

4δνσφ

ρµφρµ

)⇒

τσσ =1

4π

(φσµφµσ +

1

4δσσφ

ρµφρµ

)

τσσ =1

4π(−φσµφσµ + φρµφρµ) = 0

τσσ = 0

evaluemos las componentes de τνσ

con ν = i, σ = j

τ ij = − 1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E2 +B2

)]≡ −τij

siendo τij el tensor de tensiones de Maxwell Ec. (16.9). En notacion de diadas ver Ec. (16.8)

T ≡ 1

4π

[EE+BB− 1

2I(E2 +B2

)]

con ν = i, σ = 0 se obtiene

τ i0 = τ0i =1

4π(E×B)i =

Sic

siendo Si la componente i−esima del vector de Poynting.

Finalmente τ00 = 18π

(E2 +B2

)= ε que se identifica con la densidad de energıa asociada al campo Ec. (16.4).

22.6. CONSERVACION DEL MOMENTO ANGULAR 419

Vemos entonces que este tensor contiene todos los observables que dan cuenta de la conservacion del momentolineal y de la energıa como se ve en las secciones 16.1 y 16.2. Matricialmente podemos escribir este tensor en la forma

τνσ =

τ00 τ01 τ02 τ03

τ10

τ20

τ30

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

=

(ε S/c

S/c −T

)

volvamos ahora a la relacion (22.17) reescrita en la forma Kν ≡ −∂στσν . Tomando las componentes ν = i se obtiene

∇ · (−T) +∂g

∂t= −f

es decir se reproduce la Ec. (16.6) que da cuenta de la conservacion del momento. Ahora con ν = 0 resulta

∇ · S+∂ε

∂t= −J · E

que reproduce el teorema de Poynting Ec. (16.3) el cual nos da cuenta de la conservacion de la energıa.Debemos recordar que la energıa y el momento del campo no se conservan cuando hay cargas presentes, ya que

estas ultimas pueden intercambiar energıa y momento con el campo, ver detalles en las secciones 16.1 y 16.2.

22.6. Conservacion del momento angular

Es de esperarse que el momento angular asociado a los campos y partıculas se conserve. Para verlo construyamosel tensor densidad de torque

N νµ = xνKµ − xµKν = −xν∂στσµ + xµ∂στσν = −∂σ (xντσµ − xµτσν) + τσµ∂σx

ν − τσν∂σxµ

los dos ultimos terminos de la derecha de anulan ya que

τσµ∂σxν − τσν∂σx

µ = τσµδσν − τσνδσ

µ = τνµ − τµν = τµν − τµν = 0

el tensor densidad de torque se escribe entonces

N νµ = −∂σMσνµ ; Mσνµ ≡ (xντσµ − xµτσν)

es natural definir entonces aMσνµ como el tensor densidad de momento angular. En ausencia de cargas ∂σ = Mσνµ =0. Puede verse que esta ecuacion contiene la conservacion del momento angular del campo mas otra expresion quedescribe el movimiento del centro de energıa del campo (la cual es una generalizacion del centro de masa). El centrode energıa se mueve inercialmente.

Puede demostrarse que el tensor densidad de momento angular posee 24 componentes independientes. Adicional-mente sus componentes esta caracterizadas por

Mij0 = c[xjgi + tTij

]

M0jk = c[xjgk − xkgj

]

M00i = −tSi + xiε

Mijk = xjTik − xkTij

siendo gk componentes del vector densidad de momento, Si componentes del vector de Poynting, Tij componentesdel tensor de tensiones de Maxwell, y t la coordenada temporal.

22.7. Aplicaciones de las transformaciones de Lorentz

Los conceptos de cuadrivector, tensor de segundo rango etc. son muy utiles para establecer las reglas de transforma-cion de los observables Fısicos bajo transformaciones de Lorentz. Si sabemos que una cierta cantidad es cuadrivectoro tensor, entonces concocemos por definicion sus reglas de transformacion.


22.7.1. Cuadrivectores de Lorentz

Para el caso de cuadrivectores de Lorentz la regla de transformacion viene dada por

V ′ν = aνµVµ

por ejemplo, si es posible armar un cuadrivector de Lorentz a partir de trivector campo magnetico B en la formaBν =

(B0,B

)las reglas de transformacion seran de la forma

B′ = B+

[(γ − 1) β ·B

β2−B0γ

]β

B′0 =[B0 − β ·B

]γ

la trasnformacion inversa se obtiene con el simple cambio β → −β. Por tanto, es necesario encontrar la componenteB0 que convierta al campo magnetico en cuadrivector para encontrar sus reglas de transformacion.

Los cuadripotenciales fueron construıdos como cuadrivectores de modo que su regla de trasnformacion antetransformaciones de Lorentz es inmediata.

22.7.2. Tensores de Lorentz

En forma matricial la regla de transformacion de tensores queda en la forma

T′ = ΛTΛ

su inversa es de la formaT = AgT′gA

el lector puede ver que a traves de la transformacion de φµν se puede obtener la transformacion de los campos

E′ = γ (E+ β ×B)− γ2

γ + 1β (β · E)

B′ = γ (B− β ×E)− γ2

γ + 1β (β ·B)

en particular si S′ se mueve en el eje X de S

E′1 = E1 ; B′

1 = B1

E′2 = γ (E2 − βB3) ; B′

2 = γ (B2 + βE3)

E′3 = γ (E3 + βB2) ; B′

3 = γ (B3 − βE2)

Apendice A

Teoremas de unicidad de la ecuacion dePoisson

Ademas del teorema de unicidad asociado a las condiciones de Dirichlet o Neumann, existen multiples teoremasde unicidad. Uno de los mas importantes es el siguiente: dada una region equipotencial cerrada S, dentro de la cualhay un conjunto de n conductores, el campo electrico esta unıvocamente determinado en la region comprendida entrelos conductores y la region encerrada por S (que llamaremos Vp), si se conocen (a) la carga total de cada conductorQi, i = 1, ..., n (b) la densidad de carga volumetrica finita ρp en el interior de Vp.

Demostracion: Llamemos Vp el volumen comprendido entre los conductores y el interior de la superficie equipo-tencial S (S podrıa ser el infinito). Asumamos que se conoce la distribucion de carga en el interior de Vp y la cargatotal de cada uno de los conductores. Asumamos ademas que existen dos soluciones para el campo electrico E1, E2

en el interior de Vp∇ ·E1 = 4πKcρ ; ∇ · E2 = 4πKcρ

tomemos para cada conductor, una superficie Si que lo encierre completamente1 pero de tal manera que la diferenciaentre el volumen Vi y el volumen del conductor sea infinitesimal. Esto nos garantiza que la carga volumetrica en laregion exterior al conductor e interior a Si es infinitesimal y solo contribuye la carga superficial del conductor. Paracada una de estas superficies se puede escribir∮

Si

E1 · dSi =∮

Si

E2 · dSi = 4πKcQi (A.1)

de la misma forma, se calcula la integral de superficie sobre una superficie S′ que esta incluıda en S pero que seacerca arbitrariamente a S 2. ∮

S′

E1 · dS′ =∮

S′

E2 · dS′ = 4πKcQtot (A.2)

donde Qtot es la suma de las cargas en Vp mas las cargas en los conductores3. Si sumamos las integrales de superficieconsideradas anteriormente obtenemos la superficie total que delimita al volumen Vp. De las Ecs. (A.1) y (A.2) vemosque la integral sobre la superficie total coincide para ambas soluciones E1 y E2

∮

S′

E1 · dS′ +n∑

i=1

∮

Si

E1 · dSi =∮

S′

E2 · dS′ +n∑

i=1

∮

Si

E2 · dSi

denotando esta superficie como Sp y definiendo un nuevo campo vectorial E3 ≡ E2 −E1 encontramos∮

Sp

E3 · dSp = 0 ; ∇ · E3 = 4πKc (ρ− ρ) = 0 (A.3)

1Colocar una superficie gaussiana justo sobre la superficie del conductor nos conducirıa a un conflicto al usar la ley de gauss, dado quela carga es precisamente superficial.

2Si la superficie equipotencial S es precisamente un conductor que encierra a los demas, evitamos un posible uso inadecuado de la leyde Gauss haciendo que la superficie S′ este incluıda en S. De esta forma evitamos incluır las posible cargas superficiales del conductor enS. Adicionalmente, es indispensable que la diferencia entre el volumen en S y en S′ sea infinitesimal, a fin de poder despreciar la cargavolumetrica comprendida entre ambas superficies.

3Ademas de las cargas superficiales en los conductores, tambien podrıan haber cargas volumetricas en las cavidades de los conductores.Para este caso podemos considerar a las cavidades como parte del interior del conductor.

421

422 APENDICE A. TEOREMAS DE UNICIDAD DE LA ECUACION DE POISSON

la relacion diferencial es valida en los puntos interiores a Vp. La superficie Sp no es estrictamente la superficiedelimitada por S y los conductores, ya que los Si deben contener completamente a los conductores, y S′ esta incluıdaen S, pero recordemos que estas superficies se deben aproximar arbitrariamente a las superficies de los conductoresy a S respectivamente. Sean φ1 y φ2 los potenciales asociados a los campos E1 y E2 en la superficie Sp. Comoestas superficies son practicamente las superficies de los conductores y de S, entonces son equipotenciales, por tantoφ3 ≡ φ2 − φ1 es otra constante en Sp. Ahora se calcula la siguiente divergencia

∇ · (φ3E3) = φ3 (∇ ·E3) +E3 · (∇φ3)

dado que φ3 es constante en la superficie, su gradiente no puede tener componentes tangenciales a la superficie y solodebe tener componente normal a esta. En realidad ∇φ3 = −E3, y teniendo en cuenta (A.3), resulta

∇ · (φ3E3) = −E23

ahora se integra sobre el volumen Vp y se usa el teorema de la divergencia

∫

Vp

∇ · (φ3E3) dVp =

∮

Sp

φ3E3 · dSp = −∫

Vp

E23 dVp

y teniendo en cuenta la primera de las Ecs. (A.3) y el hecho de que φ3 es constante sobre Sp∮

Sp

φ3E3 · dSp = −∫

Vp

E23 dVp = φ3

∮

Sp

E3 · dSp = 0

llegamos a la conclusion de que ∫

Vp

E23 dVp = 0 (A.4)

y como el integrando es no negativo, la integral es cero solo si el campo es cero en todo el volumen Vp. Por tanto,E1 = E2.

Una prueba alternativa consiste en usar la primera identidad de Green, Ec. (1.25), aplicada a Vp y Sp∫

Vp

[φ∇2ψ +∇ψ · ∇φ

]dV =

∮

Sp

[φ∇ψ] · dS

con φ = ψ = φ3, en tal caso ∇ψ = ∇φ = −E3, y ∇2ψ = ∇ ·E3 = 0 quedando∫

Vp

E23 dVp = −

∮

Sp

(φ3E3) · dSp

y teniendo en cuenta que φ3 es constante en Sp y usando la Ec. (A.3)

∫

Vp

E23 dVp = −φ3

∮

Sp

E3 · dSp = 0

y se llega de nuevo a la Ec. (A.4). Esta demostracion muestra las ventajas del uso de las identidades de Green.La superficie equipotencial S podrıa ser por ejemplo la superficie de la cavidad de un conductor que circunda a

los otros conductores, o podrıa ser una superficie geometrica en el vacıo (en particular podrıa ser una superficie en elinfinito). Notese que la prueba de unicidad no requiere conocer la forma en que la carga se distribuye en las superficiesconductoras, solo es necesario conocer la carga neta en cada conductor. Adicionalmente, aunque se requiere que lasuperficie S sea equipotencial, no es necesario conocer el valor de dicho potencial, ni tampoco necesitamos conocerel valor de la densidad correspondiente a una eventual distribucion superficial de carga sobre S.

Comparando con el criterio de unicidad de Neumann, vemos que dicho criterio requiere en el caso de conductores,conocer la densidad superficial de carga, ya que en un conductor |σ| = 1/ (4πKc) |∂φ/∂n1| Ec. (1.41). El presentecriterio de unicidad requiere un informacion fısicamente mas accesible como es la carga neta sobre cada conductor.Aunque por otro lado, el criterio de Neumann no requiere que las superficies sean equipotenciales (cuando no tenemosconductores).

Apendice B

Coeficientes de capacitancia

B.1. Pruebas de consistencia

Una prueba de consistencia de la identidad (6.13), se logra usando (6.6), para calcular la carga total de los Nconductores interiores

Qint =

N∑

i=1

Qi =

N∑

i=1

N+1∑

j=1

Cijϕj

=

N+1∑

j=1

ϕj

[N∑

i=1

Cij

]

usando (6.13) o equivalentemente (6.20) se obtiene

Qint = −N+1∑

j=1

CN+1,jϕj (B.1)

Ahora usando nuevamente (6.6), se puede obtener la carga sobre la cavidad del conductor externo

Qext ≡ QN+1 =N+1∑

j=1

CN+1,jϕj

y por lo tantoQext = −Qint (B.2)

propiedad que se puede obtener tambien por ley de Gauss (ver seccion 6.1 Pag. 72). Es necesario recalcar que Qextno es necesariamente la carga total del conductor externo, sino solo la carga total acumulada en la superficie de lacavidad que encierra a los otros conductores. Por ejemplo, si el conductor es una esfera con una cavidad concentrica,puede haber tambien carga acumulada en la superficie esferica de radio mayor. Efectivamente, a lo largo de todoel tratamiento el valor de la carga se ha calculado con la integral de superficie (6.2) la cual para los conductoresinteriores toma toda la superficie pero para el conductor externo solo toma la superficie de la cavidad.

Una prueba adicional de consistencia se obtiene al emplear las Ecs. (B.1) y (6.6), para calcular Qint

Qint = −N+1∑

j=1

CN+1,jϕj = −N+1∑

j=1

−ε0

∮

SN+1

∇fj · nN+1dS

ϕj = ε0

∮

SN+1

∇

N+1∑

j=1

fjϕj

· nN+1 dS

y teniendo en cuenta (6.4) resulta

Qint = ε0

∮

SN+1

∇φ · nN+1 dS = ε0

∮

SN+1

E · (−nN+1) dS

que es la ley de Gauss aplicada sobre la superficie SN+1, teniendo en cuenta que −nN+1 apunta hacia el exteriordel volumen generado por SN+1 (ver Fig. 6.2). Notese que es importante que SN+1 sea ligeramente menor que lasuperficie de la cavidad, ya que la ley de Gauss no aplica directamente si existe carga justo en la superficie en la cualse evalua la integral de superficie. Es claro entonces que la carga contenida en SN+1 es Qint y que la carga superficialsobre la cavidad es exterior a SN+1.

423

424 APENDICE B. COEFICIENTES DE CAPACITANCIA

B.2. Derivacion alternativa de la Ec. (6.13) Pag. 78

A partir de la definicion de las Cij dada por (6.6), se puede ver que

N+1∑

i=1

Cij = −ε0N+1∑

i=1

∮

Si

∇fj · ni dS = −ε0∮

ST

∇fj · ni dS = ε0

∫

VST

∇ · ∇fj dV = ε0

∫

VST

∇2fj dV

donde hemos usado el teorema de Gauss teniendo en cuenta que las normales −ni apuntan hacia afuera del volumenVST

(ver Fig. 6.2). Recordando que los factores fj obedecen a la ecuacion de Laplace en el volumen VSTse llega a la

identidad

N+1∑

i=1

Cij = 0

que coincide con (6.13).

Apendice C

Multipolos electricos

C.1. Calculo del campo generado por un dipolo puntual

A partir de la expresion para el potencial generado por un dipolo puntual, podemos calcular el campo comomenos el gradiente de dicho potencial

Edip (r) = −∇φ (r) = −∇(Kc

p · rr3

)

por simplicidad colocaremos nuestros ejes coordenados de tal forma que el eje Z coincida con la direccion del dipoloy de tal modo que el origen del sistema coordenado se ubica en la posicion del dipolo. En tal caso, el potencial seescribe en la forma

φ (r) = Kcp · rr3

= Kcp · rr2

= Kcp cos θ

r2

siendo θ el angulo entre p y r. Ahora bien, puesto que p va en la direccion Z, el angulo θ serıa precisamente el angulopolar de las coordenadas esfericas. Podemos calcular el gradiente de φ (r) en coordenadas esfericas en la forma

Er = −∂φ∂r

=2Kcp cos θ

r3; Eθ = −1

r

∂φ

∂θ=pKc sin θ

r3

Eϕ = − 1

r sin θ

∂φ

∂ϕ= 0

el problema tiene simetrıa azimutal por construccion (debido a la eleccion de que p sea paralelo al eje Z). El campoelectrico en coordenadas esfericas es entonces

Edip (r, θ) =Kcp

r3

(2 cos θ r+ sin θ θ

)(C.1)

Ahora bien, solo hay dos direcciones privilegiadas en el sistema fısico que son p y r o equivalentemente uz y r. Eslogico por tanto que el campo electrico este sobre el plano generado por uz y r i.e. debe ser una combinacion linealde estos dos vectores. Para verlo, escribamos los vectores unitarios esfericos en terminos de los vectores unitarioscartesianos

r = sin θ cosϕ ux + sin θ sinϕ uy + cos θ uz (C.2)

θ = cos θ cosϕ ux + cos θ sinϕ uy − sin θ uz (C.3)

no necesitamos ϕ debido a la simetrıa azimutal. Desarrollemos el termino que esta entre parentesis en (C.1)

2 cos θ r+ sin θ θ = 2cos θ (sin θ cosϕ ux + sin θ sinϕ uy + cos θ uz)

+ sin θ (cos θ cosϕ ux + cos θ sinϕ uy − sin θ uz)

= 3 sin θ cos θ cosϕ ux + 3 sin θ cos θ sinϕ uy +(2 cos2 θ − sin2 θ

)uz

= 3cos θ (sin θ cosϕ ux + sin θ sinϕ uy) +(3 cos2 θ − 1

)uz

= 3cos θ (sin θ cosϕ ux + sin θ sinϕ uy + cos θ uz)− uz

2 cos θ r+ sin θ θ = 3cos θ r− uz (C.4)

425

426 APENDICE C. MULTIPOLOS ELECTRICOS

sustituyendo (C.4) en (C.1), el campo dipolar se puede reescribir como

Edip (r, θ) =Kcp

r3(3 cos θ r− uz) =

Kc

r3(3p cos θ r− puz) (C.5)

Edip (r, θ) =Kc√(r · r)3

[3 (p · r) r− p] (C.6)

La Ec. (C.5) muestra que el campo electrico es combinacion lineal de r y uz como se predijo. Finalmente, la relacion(C.6) ya es netamente vectorial de modo que no esta sujeta a la condicion especial de que Z este a lo largo de p. Siqueremos ademas que el dipolo no este en el origen sino en un punto arbitrario r0 basta con hacer la reasignacionr → r− r0 en este caso tenemos que

√r · r →

√(r− r0) · (r− r0) = |r− r0|

r =r√r · r → r− r0

|r− r0|≡ n

y la expresion para el campo electrico generado por un dipolo puntual p, ubicado en la posicion r0 estara dada por

Edip (r) =Kc

|r− r0|3[3 (p · n)n− p] ; n ≡ r− r0

|r− r0|(C.7)

que coincide con (11.18). En la relacion (C.7) el campo electrico esta escrito en terminos de los vectores privilegiadosdel sistema p y r− r0.

C.2. Integral volumetrica del campo sobre una esfera

Tomemos una distribucion de carga ρ (r) y construyamos una esfera de radio arbitrario R con centro en el origen.La esfera puede contener total o parcialmente la carga (o no contenerla), la unica condicion que exigiremos es que nohaya presencia de carga superficial, puntual, o lineal sobre la superficie de la esfera a fin de poder usar adecuadamentela ley de Gauss. Tomemos la integral volumetrica sobre la esfera del campo generado por la distribucion ρ (r). Dadoque el centro de la esfera esta en el origen de coordenadas esta integral se puede escribir como

∫

r<RE (r) dV = −

∫

r<R∇Φ dV

usando la identidad vectorial ∫

V∇ψ dV =

∫

Sψ dS

y teniendo en cuenta que para la esfera de radio R ubicada en el origen se tiene que dS = R2 dΩ r, la integralvolumetrica se puede convertir en una integral de superficie sobre la esfera dada por

∫

r<RE (r) dV = −

∫

r=RR2dΩ Φ (r) r ; r ≡ r

r=

r

R

el potencial se escribe naturalmente en terminos de la distribucion en la forma

Φ (r) = Kc

∫ρ (r′)|r− r′| dV

′

con lo cual se tiene que∫

r<RE (r) dV = −KcR

2

∫

r=RdΩ

[∫ρ (r′)|r− r′| dV

′]

r ⇒∫


2

∫ρ(r′) [∫

r=R

r

|r− r′|dΩ]dV ′ (C.8)

evaluaremos primero la integral

IR ≡∫

r=R

r

|r− r′|dΩ (C.9)

C.2. INTEGRAL VOLUMETRICA DEL CAMPO SOBRE UNA ESFERA 427

para realizar la integracion angular podemos retomar la Ec. (C.2) y escribimos los senos y consenos en terminos dearmonicos esfericos

Y11 (θ, ϕ) = −√

3

8πsin θeiϕ ; Y1,−1 (θ, ϕ) = −Y ∗

1,1 (θ, ϕ) =

√3

8πsin θe−iϕ

Y11 (θ, ϕ) + Y1,−1 (θ, ϕ) = −√

3

8πsin θ

(eiϕ − e−iϕ

)= −2i

√3

8πsin θ sinϕ⇒

−Y ∗1,−1 (θ, ϕ)− Y ∗

11 (θ, ϕ) = −i√

3

2πsin θ sinϕ⇒

sin θ sinϕ = −i√

2π

3

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ) + Y ∗

11 (θ, ϕ)]

(C.10)

Y11 (θ, ϕ)− Y1,−1 (θ, ϕ) = −√

3

8πsin θ

(eiϕ + e−iϕ

)= −2

√3

8πsin θ cosϕ⇒

−Y ∗1,−1 (θ, ϕ) + Y ∗

11 (θ, ϕ) = −2

√3

8πsin θ cosϕ = −

√3

2πsin θ cosϕ⇒

sin θ cosϕ =

√2π

3

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ)− Y ∗

11 (θ, ϕ)]

(C.11)

Y10 (θ, ϕ) = Y ∗10 (θ, ϕ) =

√3

4πcos θ

⇒ cos θ =

√4π

3Y ∗10 (θ, ϕ) (C.12)

reemplazando (C.10, C.11, C.12) en (C.2) resulta

r =

√2π

3

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ)− Y ∗

11 (θ, ϕ)]ux − i

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ) + Y ∗

11 (θ, ϕ)]uy +

√2Y ∗

10 (θ, ϕ) uz

(C.13)

sustituyendo (C.13) y (9.9) en (C.9)

IR ≡∫

r=R

r

|r− r′|dΩ = 4π

√2π

3

[∫

r=R

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ)− Y ∗

11 (θ, ϕ)] ∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

dΩ

]ux

−[∫

r=Ri[Y ∗1,−1 (θ, ϕ) + Y ∗

11 (θ, ϕ)] ∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

dΩ

]uy

+

[∫

r=R

√2Y ∗

10 (θ, ϕ)∞∑

l=0

l∑

m=−l


2l + 1

rl<

rl+1>

dΩ

]uz

separando la integral en el angulo solido resulta

IR ≡ 4π

√2π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

∫

r=R

rl<

rl+1>

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ)− Y ∗

11 (θ, ϕ)]Ylm (θ, ϕ) dΩ

]ux

−[iY ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

∫

r=R

rl<

rl+1>

[Y ∗1,−1 (θ, ϕ) + Y ∗

11 (θ, ϕ)]Ylm (θ, ϕ) dΩ

]uy

+

[√2Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

∫

r=R

rl<

rl+1>

Y ∗10 (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) dΩ

]uz


esta integral solo barre los angulos ya que r = R, usando la ortonormalidad de los armonicos esfericos este resultadose simplifica

IR = 4π

√2π

3

∞∑

l=0

l∑

m=−l

[[δl1 δm,−1 − δl1 δm1]

Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

]

r=R

ux

−[i [δl1 δm,−1 + δl1 δm1]

Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

]

r=R

uy

+

[√2δl1 δm0

Y ∗lm (θ′, ϕ′)

2l + 1

rl<

rl+1>

]

r=R

uz

simplificando terminos resulta

IR ≡∫

r=R

r

|r− r′|dΩ = 4π

√2π

3

[[Y ∗1,−1

(θ′, ϕ′)− Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] 1

3

r<r2>

]

r=R

ux

−[i[Y ∗1,−1

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′)] 1

3

r<r2>

]

r=R

uy

+

[√2Y ∗10 (θ

′, ϕ′)3

r<r2>

]

r=R

uz

(C.14)

y usando la propiedad Y1,−1 (θ′, ϕ′) = −Y ∗

11 (θ′, ϕ′) tenemos

Y ∗1,−1

(θ′, ϕ′)− Y ∗

11

(θ′, ϕ′) = −Y11

(θ′, ϕ′)− Y ∗

11

(θ′, ϕ′) = −2Re

[Y11(θ′, ϕ′)]

= −2Re

[−√

3

8πsin θ′eiϕ

′

]=

√3

2πsin θ′ cosϕ′

similarmente

Y ∗1,−1

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′) = −Y11

(θ′, ϕ′)+ Y ∗

11

(θ′, ϕ′) = −2iIm

[Y11(θ′, ϕ′)]

= −2iIm

[−√

3

8πsin θ′eiϕ

′

]= i

√3

2πsin θ′ sinϕ′

y teniendo en cuenta que Y ∗10 (θ

′, ϕ′) = Y10 (θ′, ϕ′) =

(√3/4π

)cos θ′ la Ec. (C.14) queda

IR ≡∫

r=R

r

|r− r′|dΩ = 4π

√2π

3

[(√3

2πsin θ′ cosϕ′

)1

3

r<r2>

]

r=R

ux

−[i

(i

√3

2πsin θ′ sinϕ′

)1

3

r<r2>

]

r=R

uy +

[√2

3

(√3

4πcos θ′

)r<r2>

]

r=R

uz

(C.15)

∫

r=R

r

|r− r′|dΩ =4π

3

r<r2>

∣∣∣∣r=R

sin θ′ cosϕ′ux + sin θ′ sinϕ′uy + cos θ′uz

(C.16)

y teniendo en cuenta (C.2) tenemos que

∫

r=R

r

|r− r′|dΩ =4π

3

r<r2>

∣∣∣∣r=R

r′

recordemos que r< denota el menor entre r y r′. Pero como r = R en esta integral, podemos quitar esta condicionsimplemente redefiniendo a r< como el menor entre R y r′. Similarmente hacemos con r>. Con esta redefinicion lacondicion se simplifica a ∫

r=R

r

|r− r′|dΩ =4π

3

r<r2>

r′ (C.17)

C.2. INTEGRAL VOLUMETRICA DEL CAMPO SOBRE UNA ESFERA 429

y reemplazando (C.17) en (C.8) resulta

∫


2

∫ρ(r′) [4π

3

r<r2>

r′]dV ′

redefiniendo n′ ≡ r′ la integral volumetrica queda finalmente

∫


2

3

∫ρ(r′) r<r2>

n′ dV ′ ; n′ ≡ r′

r′(C.18)

siendo r< el menor entre R y r′. Similarmente para r>. Esta expresion coincide con (11.15).

Apendice D

Ondas planas

D.1. Incidencia oblıcua de onda plana perpendicular al plano de incidencia

La onda incidente se escribe como

EI (z, t) = (E0I)y ei(kI ·r−ωt)uy ; kI = −kI sin θIux + kI cos θIuz

BI (z, t) = n1kI ×EI =n1kI

kI ×EI =n1kI

kI ×[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]

BI (z, t) = −n1kI sin θIkI

ux ×[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]+n1kI cos θI

kIuz ×

[(E0I)y e

i(kI ·r−ωt)uy]

BI (z, t) = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux] ei(kI ·r−ωt)

y como solo nos interesan las amplitudes en virtud de (18.23) se tiene que

E0I = (E0I)y uy ; B0I = −n1 (E0I)y [sin θIuz + cos θIux]

Dado que ya demostramos que los otros vectores de onda tambien yacen en el plano de incidencia, y teniendo encuenta que kI = kR, θI = θR y la ley de Snell Ec. (18.29) se tiene

kR = −kR sin θRux − kR cos θRuz = −kI sin θIux − kI cos θIuz

kT = −kT sin θTux + kT cos θTuz = −kT(n1n2

)sin θIux +

(kT√

1− sin2 θT

)uz

kT = kT

−n1

n2sin θIux +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

uz

las ondas reflejada y transmitida siguen teniendo polarizacion perpendicular al plano de incidencia.

BR (z, t) =n1kR

kR ×ER = −n1kI

[kI sin θIux + kI cos θIuz]×[(E0R)y e

i(kR·r−ωt)uy]

BR (z, t) = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux] ei(kR·r−ωt)

la amplitud de los campos electrico y magnetico reflejados es

E0R = (E0R)y uy ; B0R = −n1 (E0R)y [sin θIuz − cos θIux]

para los campos transmitidos se tiene

BT (z, t) =n2kT

kT ×ET = n2

−n1

n2sin θIux +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

uz

× (E0T )y e

i(kT ·r−ωt)uy

BT (z, t) = −

n1 sin θIuz +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y e

i(kT ·r−ωt)

431

432 APENDICE D. ONDAS PLANAS

la amplitud de los campos electrico y magnetico transmitidos es

E0T = (E0T )y uy ; B0T = −

n1 sin θIuz +

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

ux

(E0T )y

con los valores de estos coeficientes se procede a aplicar las condiciones de frontera (18.30)

ε1 [E0I +E0R]z = ε2 [E0T ]z ⇒ trivial

la otra condicion es

[B0I +B0R]z = [B0T ]z ⇒ −n1 (E0I)y sin θI − n1 (E0R)y sin θI = −n1 sin θI (E0T )y⇒ − (E0I)y − (E0R)y = − (E0T )y

y la siguiente se escribe[E0I +E0R]x,y = [E0T ]x,y

pero solo hay componente a lo largo de y de modo que solo una de estas ecuaciones es no trivial

[E0I +E0R]y = [E0T ]y ⇒ (E0I)y + (E0R)y = (E0T )y

finalmente1

µ1[B0I +B0R]x,y =

1

µ2[B0T ]x,y

pero no existe componente y

1

µ1[B0I +B0R]x =

1

µ2[B0T ]x ⇒

n1 cos θIµ1

[− (E0I)y + (E0R)y

]= − 1

µ2

√

1−(n1n2

)2

sin2 θI

(E0T )y

Bibliografıa

[1] Edward M. Purcell, “Electricity and Magnetism” Berkeley Physics Course Vol. 2, 2nd Ed., McGraw-Hill Inter-national Editions (1985).

[2] Gabriel Tellez Acosta, “Metodos matematicos” Ediciones UniAndes.

[3] George B. Arken, and Hans J. Weber “Mathematical methods for Physicists” 6th Ed., Elsevier Academica Press(2005).

[4] Mituo Uehara, “Green’s functions and coefficients of capacitance” Am. J. Phys. 54, 184 (1986).

[5] Vicente Lorenzo and Basilio Carrascal “Green’s functions and symmetry of the coefficients of a capacitancematrix” Am. J. Phys. 56, 565 (1988).

[6] C. Donolato “Approximate evaluation of capacitances by means of Green’s reciprocal theorem” Am. J. Phys. 64,1049 (1996).

[7] W. Taussig Scott, “The Physics of Electricity and Magnetism” 2nd Ed., John Wiley & Sons, Inc. (1966); GaylordP. Harnwell, “Principles of Electricity and Electromagnetism” McGraw-Hill Book Company Inc. (1949); LeighPage, Norman I. Adams Jr. “Principles of Electricity” 3rd Ed., D. Van Nostrand Company, Inc. (1958).

[8] Rodolfo A. Diaz, William J. Herrera, Jesus Virgilio Nino. “Electrostatic internal energy using the method ofimages”. European Journal of Physics vol.27 #6 p.1391 - 1398 (2006).

[9] Rodolfo A. Diaz, Carlos A. Gomez Tarazona, William J. Herrera. “Ejemplos de uso del metodo de las imagenespara calcular la energıa interna de sistemas electrostaticos”. Revista Colombiana de Fısica vol.41 #2 p.340 - 342(2009).

[10] William J. Herrera, Rodolfo A. Diaz “The geometrical nature and some properties of the capacitance coefficientsbased on Laplace’s equation”. American Journal of Physics. vol.76 #1, p.55 - 59 (2008).

[11] Rodolfo A. Diaz, William J. Herrera. “The positivity and other properties of the matrix of capacitance: Physicaland mathematical implications”. Journal of Electrostatics Vol. 69 #6 p. 587-595 (2011).

[12] J. D. Jackson “Classical Electrodynamics” 3rd Ed., John Wiley & Sons (1998).

[13] David J. Griffiths “Introduction to Electrodynamics” 3rd Ed., Prentice Hall (1999).

[14] Alonso Sepulveda Soto “Electromagnetismo” Ed., Universidad de Antioquia (2009).

433

electrodinamica: notas de clase -...

Documents