electrodinamica clasica.pdf

7/26/2019 Electrodinamica clasica.pdf

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Notas de curso de

Electrodinamica clasica

Prof. Antonio Fernandez-Ranada

Curso 2006/07

Universidad ComplutenseFacultad de Fısica

Ciudad Universitaria, Madrid



Bibliografıa

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Barcelona, 1986); The classical theory of fields , (Pergamon Press, Oxford, 1975).

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http://www.plasma.uu.se/CED/Book/index.html.

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• W. K. H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism

(Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1964).

• F. Rohrlich, Classical Charged Particles (Addison-Wesley, Reading, Mas-

sachusetts, 1990).

0–2 —

A n t o n i o F e r n ´ a n d e z - R a ˜ n a d a 2 0 0 7 —

notas EDC (v. 2/febrero/2007)



Indice general

1. Revision del campo electromagnetico y las ecuaciones de Maxwell1–1

1.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11.2. Energıa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–3

1.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4

1.4. Las ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–5

1.4.1. Ecuaciones de ondas de los campos electrico y magnetico . 1–5

1.4.2. Los potenciales electromagneticos y su ecuacion de ondas . 1–6

1.5. Ondas planas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11

1.5.1. Polarizacion de las ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–131.6. Transformacion de los campos electromagneticos bajo rotaciones,

reflexiones e inversion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–14

1.6.1. Rotaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–16

1.6.2. Reflexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–18

1.6.3. Inversion temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–19

1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–21

2. Guıas de ondas y cavidades resonantes 2–1

2.1. Radiacion electromagnetica en una cavidad en forma de parale-

lepıpedo rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1

2.2. Guıas de onda y cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . 2–3

2.2.1. Condiciones de contorno

de los campos longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.3. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mınimas 2–8

2.4. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10

notas EDC (v. 2/febrero/2007) —


0–3



Indice general

2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–15

3. Relatividad especial 3–13.1. El principio de relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–1

3.1.1. Sistemas inerciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–1

3.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion. . . . . . . . . . 3–2

3.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . 3–3

3.1.4. Tipos de intervalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5

3.1.5. Tiempo propio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–7

3.2. Las transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8

3.3. Los postulados de Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–9

3.4. Transformacion de las velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11

3.5. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11

3.6. Principio de covariancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–12

3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–14

4. Formulacion lagrangiana de la electrodinamica clasica I 4–1

4.1. Principio de Hamilton en mecanica newtoniana . . . . . . . . . . 4–1

4.2. Principio de Hamilton en teorıa de campos . . . . . . . . . . . . . 4–3

4.3. La accion de una partıcula libre

en relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5

4.3.1. Formulacion cuadridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . 4–7

4.4. Cuadripotencial del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . 4–8

4.5. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electro-

magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–10

4.6. Invariancia gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–12

4.7. El tensor electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–12

4.7.1. Transformaciones de Lorentz del campo . . . . . . . . . . . 4–15

4.7.2. Invariantes del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–16

4.8. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme . . 4–17

4.9. Partıcula cargada en un campo electrico uniforme y constante . . 4–20

4.10. Partıcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante . 4–21

0–4 —





´ Indice general

4.11. Partıcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y

constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–22

4.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–24

5. Formulacion lagrangiana de la electrodinamica clasica II 5–1

5.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 5–1

5.2. La accion del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 5–2

5.3. El cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–4

5.3.1. La ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5

5.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 5–5

5.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell . . . . . . . . . 5–8

5.5. Densidad de energıa y flujo de energıa . . . . . . . . . . . . . . . 5–9

5.6. El tensor de energıa-momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–11

5.6.1. Sentido de las componentes de T µν . . . . . . . . . . . . . . 5–13

5.6.2. Expresion del tensor energıa-momento canonico. . . . . . . 5–13

5.6.3. El tensor energıa-momento simetrico . . . . . . . . . . . . 5–14

5.7. Balance energetico de la interaccion

campo electromagnetico-cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–17

5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–19

6. Radiacion de partıculas cargadas 6–1

6.1. Ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1

6.2. Solucion general de las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . 6–4

6.3. Potenciales y campos de una carga en movimiento: solucion general

de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–5

6.3.1. Campos de una carga en movimiento uniforme . . . . . . . 6–7

6.4. Radiacion de una carga acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–9

6.4.1. Formula de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–9

6.4.2. Formula relativista de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . 6–11

6.5. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sincrotron . . . . . . . . . 6–12

6.5.1. Caso de aceleracion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–13

6.5.2. Caso de la aceleracion centrıpeta en un movimiento circular.6–16



0–5



Indice general

6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–17

7. Sistemas radiantes 7–1

7.1. Radiacion de un sistema de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–1

7.2. Radiacion de un dipolo oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–3

7.3. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–6

7.4. Termino dipolar electrico de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . 7–9

7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar electrica . . . . . . . . 7–10

7.6. Un ejemplo de antena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–12

7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7–13

8. Apendice 1. Tensores 8–1

8.1. Breve introduccion: escalares, vectores y matrices . . . . . . . . . 8–1

8.2. Definicion de grupo y de grupo de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . 8–2

8.3. Espacio euclıdeo y grupo de las rotaciones . . . . . . . . . . . . . 8–3

8.3.1. Formas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8–5

8.3.2. Que cosa es un tensor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8–6

8.3.3. Caso general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8–9

8.4. Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz, cuadrivectores y tensores.8–11

8.4.1. Tensores en el espacio de Minkowski . . . . . . . . . . . . 8–13

8.4.2. Vectores y pseudovectores en el espacio de Minkowski . . . 8–14

8.4.3. Integrales en cuatro dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . 8–15

9. Apendice 2. Otra deduccion de los potenciales y campos de

Lienard-Wiechert 9–1

9.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma covariante. Funciones

de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–1

9.2. Los potenciales de Lienard-Wiechert de una carga puntual . . . . 9–5

9.3. Calculo de los campos electrico y magnetico. . . . . . . . . . . . . 9–7

0–6 —





Capıtulo 1

Revision del campo

electromagnetico y las ecuacionesde Maxwell

1.1. Las ecuaciones de Maxwell

Sean E(r, t) y B(r, t) los campos electrico y magnetico y D(r, t) y H(r, t), losvectores de desplazamiento y de intensidad magnetica. Las cuatro ecuaciones de

Maxwell que los relacionan son, en el vacıo,

∇ · B = 0 , (1.1)

∇× E = − ∂ B

∂t , (1.2)

∇

·E =

ρ

0, (1.3)

∇× B = µ0 j + µ00∂ E

∂t , (1.4)

donde ρ(r, t) y j(r, t) son las densidades de carga y de corriente. Por razones

que quedaran claras mas adelante al estudiar la formulacion relativista, las dos

primeras se conocen como el primer par y la tercera y la cuarta, como el el segundo

par .



1–1



Capıtulo 1. Revision del campo electromagnetico y lasecuaciones de Maxwell

En un medio material, estas ecuaciones se escriben a menudo en la forma

∇

·B = 0, (1.5)

∇× E = −∂ B∂t

, (1.6)

∇ · D = ρ, (1.7)

∇× H = j + ∂ D

∂t , (1.8)

a las que se deben anadir las relaciones D = E, B = µH y, si la corriente no

esta dada a priori, tambien j = σE. Las cantidades y µ son la permitividad y la

permeabilidad del medio , que representan fenomenologicamente el efecto de las

cargas y spines del mismo. Se llaman tambien a veces su constante electrica y su

constante magnetica . σ es la conductividad electrica cuya inversa es la resistividad electrica .

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como varıa el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente intere-

sante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. En ese caso hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

ρe = −e

k

δ (3)(r − rk), (1.9)

y como densidad de corriente

je = −e

k

δ (3)(r − rk)vk (1.10)

(ii) Anadir a las ecuaciones de Maxwell las de movimiento de los electrones

d

dt mvk

(1 − v2k/c2)1/2 = Fk =

−e(E + vk

×B). (1.11)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada

carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y

B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos

aproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada dıa, tanto

desde el punto de vita teorico, como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte

muy importante de la f ısica basica.

1–2 —





1.2. Energıa electromagnetica

1.2. Energıa electromagnetica

Las cantidades

U E = 1

2

V

E · D dv, y U M = 1

2

V

H · B dv, (1.12)

son las energıas almacenadas en los campos electrico y magnetico, respectiva-

mente. Notese que las densidades de energıa se pueden escribir tambien como

uE = 1

2E 2, uM =

1

2µB2.

Veremos ahora que ocurre en las situaciones dinamicas. Tomemos la diferenciaentre la ecuacion (1.6) multiplicada escalarmente por H y la (1.8) multiplicada

por E

H · (∇× E) − E · (∇× H) = −H · ∂ B

∂t − E · ∂ D

∂t − E · j.

El primer miembro de esta ecuacion es igual a ∇ · (E × H), por lo que

∇ · (E × H) = −H · ∂ B

∂t − E · ∂ D

∂t − E · j. (1.13)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuacion puede

escribirse como

∇ · (E × H) = − ∂

∂t

1

2 [E · D + B · H] − j · E. (1.14)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es

la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energıas electrica

y magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen.

Integrando la ecuacion anterior en el volumen V , bordeado por S , y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

−

V

j · E dv = ddt

V

12

[E · D + B · H] dv +

S

(E × H) · n da. (1.15)

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de

la energıa. Se conoce como Teorema de Poynting en forma integral. Si definimos

el vector de Poynting

S = E × H (1.16)

podemos escribir (1.15) en forma integral como

d

dt

V u dv +

S ∇ · S da = −

V j · E dv , (1.17)



1–3




y en forma diferencial como

∂u∂t + ∇ · S = − j · E, (1.18)

donde u es la suma de las densidades de energıa electrica y magnetica

u = uE + uM = 1

2 [E · D + B · H] . (1.19)

La ecuacion (1.18) expresa el teorema de Poynting en forma diferencial. Su inter-

pretacion de es clara: el segundo miembro es la energıa por unidad de volumen

que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule (o sea la energıa

transferida del campo a la agitacion termica de la materia); el primer sumando

del primer termino es la variacion local de la densidad de energıa y ∇ · S es la

densidad de flujo de energıa electromagnetica, es decir la energıa electromagnetica

que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de tiempo. Integrada

en un volumen V cualquiera (y transformando el termino con S en una integral

en la superficie S que bordea a V ) la ecuacion (1.18) nos dice que la variacion

de energıa electromagnetica en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al

flujo de energıa a traves del borde de V , representada por el vector de Poynting.

En resumen u es la densidad de energıa electromagnetica almacenada en el

campo y S es la densidad de flujo de energıa.

1.3. Condiciones de frontera

Sea una superficie f (r) = 0 que separa dos medios cuyas propiedades elec-

tromagneticas son diferentes. En su superficie hay (o se inducen) una densidad

supeficial de carga ρ y una densidad superficial de corriente K. Indicamos las

magnitudes en los dos medios por subındices 1 y 2. Las condiciones de contorno

para los campos E, D, B, H son las siguientes (siendo n un vector unitario nor-

mal a la superficie (i. e. n = ∇f /|∇f |) que suponemos dirigido del medio 1 al

2

(D2 − D1) · n = σ , (E2 − E1) × n = 0 ,

(1.20)

(H2 − H1) × n = K , (B2 − B1) · n = 0 .

Se pueden enunciar ası: Las componentes normal de B y tangencial de E son

continuas en la superficie. La componente normal de D tiene una discontinuidad

igual a la densidad superficial de carga libre y la componente tangencial de H

1–4 —

A n t o n

i o F e r n ´ a n d e z - R a ˜ n a d a 2 0 0 7 —




1.4. Las ecuaciones de ondas

tiene una discontinuidad igual a la densidad superficial de corriente. Si fluye una

corriente de un medio al otro, su componete normal debe ser continua,

( j 2 − j1) · n = σ . (1.21)

Las condiciones de los potenciales son

∂ Φ

∂t

2

− ∂ Φ

∂t

1

= 0 2∂ Φ

∂n

2

− 1∂ Φ

∂n

1

= σ . (1.22)

La primera condicion para Φ puede escribirse en la forma

Φ2 = Φ1 , (1.23)

La condicion para el potencial vectorial tiene una expresion algo mas complicada

que depende la geometrıa de la superficie.


1.4.1. Ecuaciones de ondas de los campos electrico y

magnetico

Tomando el rotacional de la ecuacion (1.6) (o sea de la ley de Faraday), se

tiene

∇× (∇× E) = −∂ t∇× B,

que puede escribirse en la forma (pues ∇× (∇× A) = ∇(∇ · A) −∇2A)

∇(∇ · E) − ∇2E = −∂ t (µ j + µ∂ tE) ,

o sea

−∇2E − 1

∇ρ = −µσ∂ tE − µ∂ 2t E.

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, ρ = 0, resulta

que el campo electrico satisface la ecuacion

∇2E − µ

∂ 2E

∂t2 − µσ

∂ E

∂t = 0. (1.24)

Podemos proceder de modo analogo con el campo H, a partir de (1.8). Se tiene

∇× (∇× H) = ∇× j + ∇× ∂ D∂t .



1–5




Sustituyendo adecuadamente, con j = 0, esta ecuacion se transforma en

∇× (∇× H) = σ∇× E + ∂ ∂t∇× E.

Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo

termino de la derecha y usando la tercera ecuacion de Maxwell en el primero,

tambien de la derecha, resulta

∇× (∇× H) = −σµ∂ H

∂t − µ

∂ 2H

∂t2 .

La ecuacion de ondas para H es por tanto

∇2H − µ

∂ 2H

∂t2 − µσ

∂ H

∂t = 0. (1.25)

Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinito).

La ecuaciones de onda se transforman en

∇2E − 1

v2

∂ 2E

∂t2 = 0, (1.26)

∇2H − 1

v2

∂ 2H

∂t2 = 0. (1.27)

donde v vale

v = 1√

µ (1.28)

que son dos ecuaciones clasicas de ondas con velocidad v . En el vacıo se tiene

v = 1√

0µ0= 2,997925 × 108 m/s = c. (1.29)

1.4.2. Los potenciales electromagneticos y su ecuacion de

ondasLa ecuacion ∇ · B nos dice que el campo magnetico es un rotacional, o sea

que existe un campo vectorial A tal que B = ∇ × A. Ello implica que la ley de

Faraday ∇ × E = −∂ tB puede escribirse como ∇ × (E + ∂ tA) = 0, lo que dice

que (E + ∂ tA) es el gradiente de una funcion Φ. Recapitulando

E = −∇Φ − ∂ A

∂t , B = ∇× A. (1.30)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

1–6 —

A n t o n






Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.6) y (1.8) estas expresiones

de los campos E y B, resulta tras un poco de algebra

∇2Φ +

∂

∂t (∇ · A) = −1

ρ (1.31)

∇2A −µ

∂ 2A

∂t2 −∇

∇ · A + µ

∂ Φ

∂t

= −µ j (1.32)

Consideremos el caso del espacio vacıo. Estas dos ecuaciones se pueden reescribir

en la forma

∇2Φ − 1

c2

∂ 2Φ

∂t2 +

∂

∂t ∇ · A + 1

c2

∂ Φ

∂t = − 1

0ρ (1.33)

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 −∇

∇ · A +

1

c2

∂ Φ

∂t

= −µ0 j, (1.34)

donde c = (0µ0)−1/2 es la velocidad de la luz en el vacıo.

Transformaciones de gauge. Sea ξ una funcion cualquiera de (r, t) (con

buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente

transformacion de gauge

Φ

→Φ = Φ

− ∂ ξ

∂t

,

A → A = A + ∇ξ. (1.35)

Es facil comprobar que los campos E, B permanecen inalterados bajo esta trans-

formacion. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los prob-

lemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condici´ on

de Lorenz (o gauge de Lorenz )1

∇ · A + 1

c2

∂ Φ

∂t = 0 , (∂ µAµ = 0) , (1.36)

las ecuaciones de onda (1.46)-(1.47) toman la forma mas simple

∇2Φ − 1

c2

∂ 2Φ

∂t2 = − 1

0ρ (1.37)

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j, (1.38)

es decir que son dos ecuaciones clasicas de onda con terminos de fuente. Al hacer

una transformacion de gauge para fijar la forma de las ecuaci on se dice que se

fija el gauge . Es facil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales

1No confundir con Hendrik Antoon Lorentz.



1–7




cumplan la condicion de Lorenz. Si Φ, A cumplen (1.46)-(1.47) y elegimos la

funcion ξ como una solucion de

∇2ξ − 1

c2

∂ 2ξ

∂t2 = −

∇ · A +

1

c2

∂ Φ

∂t

,

que siempre tiene solucion, los nuevos potenciales obtenidos mediante la trans-

formacion de gauge (1.48) obedecen las ecuaciones simplificadas (1.50)-(1.51).

Notese que (1.50)-(1.51) se reducen en el caso estatico a

∇2Φ = − 1

0ρ, ∇2A = −µ0 j, (1.39)

como cabıa esperar.Se suele usar la notacion

= ∇2 − 1

c2

∂ 2

∂t2,

para el llamado operador de D’Alembert o dalambertiano. Las ecuaciones de onda

con la condicion de Lorenz se pueden escribir de forma compacta

Φ = −ρ/0, A = −µ0 j,

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condicion

de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se

pueden cambiar sin modificar la forma de (1.50)-(1.51) de las ecuaciones de onda

haciendo transformaciones de gauge con una funcion que cumpla la ecuacion

homogenea de Klein-Gordon

ξ = 0.

Otra condicion de gauge frecuentemente usada es la condici´ on de Coulomb

∇ · A = 0, (1.40)

que conduce a las ecuaciones de onda

∇2Φ = − 1

0ρ (1.41)

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j +

1

c2 ∂ ∇Φ, (1.42)

El interes del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial in-

stantaneo creado por la densidad de carga ρ (de ahı viene el nombre, pues Φ se

obtiene con la ley de Coulomb como en el caso estatico)

Φ(r, t) = 1

4π0

V

ρ(r, t)

|r − r| dv. (1.43)

1–8 —

A n t o n






Si descomponemos la corriente como la suma de dos terminos j = j + j⊥, de

modo que

∇ × j = 0 (se dice que es longitudinal o irrotacional ) y

∇ · j⊥ = 0 ( se

dice que es transversal o solenoidal ), se tiene

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j⊥, (1.44)

pues se sigue de la ecuacion de continuidad que

µ00∂ ∇Φ

∂∂t = µ0 j.

Una propiedad interesante de la condicion de Coulomb es que, si no hay densidad

de carga, ρ = 0, con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge

E = −∂ A

∂t , B = ∇ × A.

Es posible simplificar las ecuaciones de onda anteriores empleando potenciales

que cumplan la llamada condici´ on de Lorenz

∇ · A + 1

c2

∂ Φ

∂t = 0, (1.45)

las ecuaciones de onda (1.36)-(1.34) toman la forma mas simple

∇2Φ − 1

c2

∂ 2Φ

∂t2 = − 1

0ρ (1.46)

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j, (1.47)

es decir que son dos ecuaciones clasicas de onda con terminos de fuente. Al hacer

una transformacion de gauge para fijar la forma de las ecuaci on se dice que se

fija el gauge . Es facil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales

cumplan la condicion de Lorentz. Si Φ, A cumplen (1.36)-(1.34) y elegimos la

funcion ξ como una solucion de

∇2ξ − 1

c2

∂ 2ξ

∂t2 = −

∇ · A +

1

c2

∂ Φ

∂t

,

que siempre tiene solucion, los nuevos potenciales obtenidos mediante la trans-

formacion de gauge (??) obedecen las ecuaciones simplificadas (1.46)-(1.47).

Notese que estas dos ecuaciones se reducen en el caso estatico a

∇2Φ = − 1

0ρ, ∇

2A = −µ0 j, (1.48)

como cabıa esperar.



1–9




Se suele usar la notacion

= ∇2 − 1

c2

∂ 2

∂t2 ,

conociendose este operador como dalambertiano u operador de D’Alembert . Las

ecuaciones de onda con la condicion de Lorentz se pueden escribir de forma com-

pacta

Φ = −ρ/0, A = −µ0 j,

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condicion

de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se

pueden cambiar sin modificar la forma (1.46)-(1.47) de las ecuaciones de onda

haciendo transformaciones de gauge con una funcion que cumpla la ecuacionhomogenea de Klein-Gordon

ξ = 0.

Otra condicion de gauge frecuentemente usada es la condici´ on de Coulomb

∇ · A = 0, (1.49)

que conduce a las ecuaciones de onda

∇2Φ =

−1

0ρ (1.50)

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j +

1

c2

∂ ∇Φ

∂t . (1.51)

Recuerdese que un vector se llama transversal o solenoidal si su divergencia es nula

nula y longitudinal o irrotacional , si tiene rotacional nulo. En el gauge de Coulomb

el potencial vectorial es pues transversal. Todo vector V se puede escribir como

V = V + V⊥, donde V es longitudinal y V⊥ es transversal.

El interes del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial

instantaneo creado por la densidad de carga ρ (de ahı viene el nombre, pues Φ se

obtiene como con la ley de Coulomb en el caso estatico)

Φ(r, t) = 1

4π0

V

ρ(r, t) r − r

|r − r|3 dv. (1.52)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos terminos j = j + j⊥, se tiene

∇2A − 1

c2

∂ 2A

∂t2 = −µ0 j⊥ , (1.53)

pues A es transversal. Se sigue de la ecuacion de continuidad o de (1.51) que

µ00∇∂ Φ∂t = µ0 j.

1–10 —

A n t o n





1.5. Ondas planas electromagneticas

Una propiedad interesante de la condicion de Coulomb es que, si no hay densidad

de carga, entonces ρ = 0 con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge

E = −∂ A

∂t , B = ∇× A.


Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula σ = 0.

Los dos campos E y B obedecen la ecuacion clasica de ondas,

∇2E − 1

c2

∂ 2E

∂t2 = 0, (1.54)

∇2B − 1

c2

∂ 2B

∂t2 = 0, (1.55)

con c = (µ)−1/2, pero eso no basta: deben relacionarse entre sı de modo que cum-

plan ademas las ecuaciones de Maxwell. Notese que estas ecuaciones se refieren a

un medio caracterizado por 0, µ0, sin fuentes, o sea en ausencia de materia. La

soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagneticas .

Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocro-

m´ aticas , que son las caracterizadas por una sola frecuencia (o sea un solo color).Siguiendo un metodo estandar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = Es(r)e−iωt, B(r, t) = Bs(r)e−iωt

entendiendo que la funcion que representa a los campos fısicos esta dada por la

parte real de esas funciones complejas. Notese que Es y Bs seran tambien com-

plejos, aunque con el mismo desfasaje ϕ los dos, de modo que el campo electrico

sera proporcional a cos(ωt + ϕ) y el magetico, a sen(ωt + ϕ). Las ecuaciones de

Maxwell se pueden escribir en la forma

∇ · Es = 0 , ∇× Es = iωBs (1.56)

∇ · Bs = 0 , ∇× Bs = −iµ00ωEs . (1.57)

Al sustituir en las ecuaciones de ondas (1.54)-(1.55), resulta

e−iωt

∇

2Es + ω2

c2 Es

= 0 , e−iωt

∇

2Bs + ω2

c2 Bs

= 0. (1.58)

Diremos que la solucion es una onda plana si la amplitud de la onda es la misma

dentro de cada plano perpendicular a una direccion que sera la de propagacion.



1–11




Tomando el eje x paralelo a esa direccion, esto implica que E = Es(x), lo que

simplifica la ecuacion a

d2Es

dx2 + ω2

c2 Es = 0,

cuya solucion es

Es(x) = E0e∓iωx/c,

donde E0 es un vector constante. Ademas se tiene

E(x, t) = (uxE 0x + uyE 0y + uzE 0z) eiϕe∓iωx/ce−iωt

= (uxE 0x + uyE 0y + uzE 0z)cos(kx − ωt + ϕ) ,

Tomaremos para simplificar el signo − en ωt. Como el campo electrico solo de-pende de x y t, la ecuacion ∇ · E = 0 se simplifica a dE x/dx = 0, pero como E xdepende sinusoidalmente de x segun la ecuacion anterior, resulta que E 0x = 0,

o sea que la condicion de divergencia nula implica que el campo electrico es

transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direcci on de

propagacion. O, en otras palabras, el campo electrico es paralelo a los frentes de

onda.

Esto significa que el campo electrico tiene la forma

E(x, t) = (uyE 0y + uzE 0z) eiϕe−iωx/ce−iωt,= (uyE 0y + uzE 0z)cos(kx − ωt + ϕ) , (1.59)

where k = ω/c es la componente x del vector de ondas . Como las otras dos

componentes son nulas es tambien su modulo, tambien llamado el n´ umero de

ondas .

Para obtener el campo magnetico, empleremos la ecuacion de Maxwell ∇ ×E = −∂ tB. El rotacional de (1.59) esta dado por

∇× E = [−uyE 0z + uzE 0y] k sen(kx − ωt + ϕ),

por lo que el campo magnetico debe valer (junto con el electrico)

E(x, t) = (uyE 0y + uzE 0z)cos(kx − ωt + ϕ) ,

B(x, t) = (−uyE 0z/c + uzE 0y/c)cos(kx − ωt + ϕ) , (1.60)

donde se aprecia bien la transversalidad de la onda.

Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = ω/k = (µ)−1/2

velocidad de la onda = v = ux(µ)−1/2. (1.61)

1–12 —

A n t o n






El ındice de refraccion vale, por tanto,

n = √ rµr, (1.62)

en funcion simple de la permitividad y la permeabilidad relativas.

Notese que hay dos modos de polarizacion plana que se obtienen haciendo

E 0y = 0 y E 0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de

Poynting

S = 1

µ0E × B =

1

µ0

E 20y + E 20z

cos2(kx − ωt)ux, (1.63)

en el que se ha hecho ϕ = 0 por simplicidad. Notese que el flujo de energıa va en

el sentido positivo del eje x como cabıa esperar.

1.5.1. Polarizacion de las ondas

La onda (1.61) es la suma de dos soluciones distintas de la ecuacion de ondas.

Una corresponde a E 0z = 0, la otra a E 0y = 0. En la primera el vector electrico

vibra siendo paralelo al eje y y el magnetico al eje z ; en la segunda, ocurre al reves.

Se dice que cada una de ellas tiene polarizaci´ on plana o que esta planopolarizada

(los dos vectores describen dos planos perpendiculares). Por convenio se toma la

del vector E como la direccion de polarizacion. Toda onda monocromatica convector de onda en la direccion del eje x se puede escribir como la combinacion

lineal de dos ondas planopolarizadas en dos planos normales, si bien la descom-

posicion no es unica.

Hay otro tipo de polarizacion llamada circular que es muy importante. Para

entender como es, introduzcamos una diferencia da fase entre las dos componentes

de (1.61), de modo que

E(x, t) = (uyE 0y ± iuzE 0z)ei(kx−ωt)

,

B(x, t) =

∓iuyE 0z

c + uz

E 0y

c

ei(kx−ωt)

, (1.64)

o, lo que es igual, como

E(x, t) = uyE 0y cos(kx − ωt) ∓ uzE 0z sen(kx − ωt) .

B(x, t) = uzE 0y

c cos(kx − ωt) ± uy

E 0z

c sen(kx − ωt) .) . (1.65)

El extremo del vector E describe una elipse en el plano (yz ), en el sentido anti-

horario vista desde la parte podiotiva del eje x, si el signo es menos en el segundo

termino; en sentido horario con el signo +. Si, ademas, E 0y = E 0z = E 0, la elipse



1–13




es una circunferencia. Se dice entonces que la polarizacion es circular, a izquierdas

si el sentido es antihorario, a derechas si es horarrio. El sentido de giro del vector

magnetico es el mismo.

1.6. Transformacion de los campos electromagneticos

bajo rotaciones, reflexiones e inversion tem-

poral

El comportamiento de de las cantidades fısicas bajo ciertas transformacionestienen mucha importancia. Ello se debe a que las propiedades basicas del espacio-

tiempo y la materia se expresan a menudo como ciertas invariancias bajo grupos

de transformaciones. Ası

i) la homogeneidad del espacio se puede enunciar como la invariancia de las

leyes basicas bajo traslaciones. Ello significa que al pasar de un punto a otro no

cambian las leyes, o sea que todos los puntos del espacio son equivalentes para la

fısica. Las leyes son las mismas en Madrid que en Barcelona, Bilbao, Nueva York

o Moscu. Este fue un descubrimiento importante de Newton: debemos aceptar

la idea de que las leyes son las mismas por todas partes, en contra de lo quese admitıa hasta entonces, siguiendo la tradicion de la filosofıa aristotelica que

dividıa el mundo en uno sublunar y el de las estrellas.

ii) la isotropıa del espacio, o sea que todas las direcciones son equivalentes para

las leyes de la fısica, se puede enunciar diciendo que estas deben ser invariantes

bajo las rotaciones del espacio.

iii) la equivalencia entre la derecha y la izquierda se conoce en fısica como

invariancia bajo paridad . Significa que, si tenemos un proceso fısico cualquiera

que sigue una cierta ley, el proceso obtenido mediante una imagen especularesta tambien previsto por la misma ley. Se puede expresar diciendo que las leyes

sin invariantes bajo reflexiones r → −r. Esta simetrıa es valida con la excepcion

de las interacciones debiles que no la tienen; se dice que en ellas la paridad es

violada.

iv) el principio de relatividad se puede formular diciendo que las leyes son

invariantes bajo transformaciones de Lorentz.

Para que estas ideas sean operativas es esencial el concepto de simetrıa .

¿Que significa esta palabra en la vida ordinaria? Siempre alude a que algo no

cambia cuando se realizan ciertas transformacione geometricas. Por ejemplo, una

1–14 —

A n t o n





1.6. Transformaci´ on de los campos electromagneticos bajo rotaciones,reflexiones e inversi´ on temporal

esfera es una figura muy simetrica. Esto significa que si la giramos alrededor de

cualquier eje que pase por su centro, ella permanece invariante. Por su parte, un

cubo no cambia bajo rotaciones de un angulo multiplo entero de π/4 alrededor

de un eje que pase por los centros de dos caras opuestas, o bajo rotaciones de

angulo 2π/3 alrededor de un eje que pase por dos vertices opuestos, o rotaciones

de angulo π alrededor de un eje que pase por los puntos medios de dos aristas op-

uestas, o bajo la reflexiones r → −r o xk → −xk, k = 1, 2, 3, si se toma el origen

de coordenadas en su centro. Esas transformaciones y sus productos forman un

grupo llamado el grupo de simetrias del cubo, lo mismo que el grupo de simetrıas

de la esfera es el de las rotaciones alrededor de cualquier eje por su centro, mas

las reflexiones.

Analogamente, una columna cilındrica no cambia si la giramos un angulo

cualquiera alrededor de su eje. O una helice, ante rotaciones de un angulo α

alrededor de su eje multiplicadas por una traslacion segun su eje de una longitud

rα tan β , siendo r su radio y 2πr tan β su paso de rosca. Con frecuencia este tipo

de simetrıas esta asociado a una sensacion estetica. Nos parece que las figuras

geometricas son especialmente bellas, lo mismo que la belleza de una persona

suele incluir una figura muy simetrica, por ejemplo respecto a un plano.

Pues bien, las simetrıas matematicas que estamos considerando son algo pare-

cido, pero lo que debe permanecer invariante no es la forma de un objeto en elespacio fısico, sino algo mas abstracto y complejo: una ecuacion diferencial que

expresa una ley fısica. En otras palabras, supongamos a Andres y Beatriz (o a

Alicia y Bernardo) cuyos sistemas de coordenadas espaciales y relojes que miden

el tiempo son distintos. Por ejemplo, Andres esta en reposo en un sistema iner-

cial y Beatriz se mueve respecto a Andres con velocidad constante o bien Andres

esta girado respecto a Beatriz. Supongamos que la relacion entre sus coordenadas

y tiempos sea una simetrıa de una cierta ley. Supongamos, ademas, que esta ley

es correcta en el referencial de Andres, segun aseguran sus experimentos, y que

se expresa mediante unas ecuaciones diferenciales del tipo

F (xk, xk, xk) = 0 .

En tal caso, cuando Andres les aplica la transformacion matematica que pasa al

sistema de referencia de Beatriz, obtendra las mismas ecuaciones que ella, salvo

posiblemente los nombres de las variables. O sea que la funci on F es la misma

para los dos.

Entre las simetrıas fundamentales de la fısica, destacan las rotaciones, las

reflexiones y la invariancia bajo inversion temporal t

→ −t. Por eso conviene

mucho que sepamos cuales son las propiedades de los campos electromagneticos



1–15




Son los llamados tensores de segundo rango o de dos ındices. Como ejemplos,

podemos mencional los tensores de inercia de un solido o los de tension y defor-

macion en mecanica de medios continuos. Uno de ellos, el tensor electromagnetico

jugara un papel importante en este curso, como veremos mas adelante. La gene-

ralizacion a tensores de rango n, o de n ındices, es inmediata. Los escalares son

tensores de rango cero, sin ındices, y los vectores, tensores de rango uno o con un

ındice.

Si las cantidades anteriores son funciones de xk, las ecuaciones (1.69)-(1.70)

deben cambiarse a

φ(xi) = φ(xi) , V j (xi) = k

a jk V k(xi) , Bij(xi)→

Bij(xi) =

k

aika jBk(xi) .

Supondremos, por ahora, que los tensores son constantes

Si multiplicamos termino a termino dos tensores, se obtiene un tensor cuyo

rango es la suma de los dos. Ası el producto di´ adico de dos vectores P ij = AiB j

es un tensor de rango dos. La cantidad T ijk = AiB jk es un tensor de tres ındices,

etc. Los operadores diferenciales tienen tambien propiedades de transformacion

bajo las rotaciones. Por ejemplo, el gradiente es un operador vectorial . Como

consecuencia, el gradiente de un escalar ∇φ es un vector, la divergencia de un

vector ∇ · V es un escalar, la laplaciana es un operador escalar, de modo que lalaplaciana de un escalar es otro escalar ∇2φ.

Para interpretar lo que significa una rotacion, podemos usar dos interpreta-

cionees. En el punto de vista activo se considera que no cambian los ejes de

referencia y el sistema fısico es el que se gira. En el punto de vista pasivo es al

reves, los ejes se giran y el sistema se deja fijo. Para entenderlo mejor, tomemos

una rotacion alrededor del eje z , o sea en el plano xy. Desde el punto de vista

activo, giramos el sistema un angulo α y desde el pasivo, giramos los ejes un

angulo

−α. La situacion relativa del sistema y los ejes es la misma en los dos

puntos de vista.

Consideremos el producto vectorial

D = B × C . (1.71)

En componentes

Di = jk

ijk B j C k ,

donde el sımbolo ijk representa el tensor de Levi-Civita, que es de rango tres y

completamente antisimetrico. Vale cero si dos ındices son iguales, +1 si ijk es



1–17




una permutacion par de (123) y −1 si es una permutacion impar. Es facil ver que

es un tensor invariante bajo rotaciones, pues

ijk =mn

ai a jm aknmn = ijk .

En efecto, si dos ındices en (ijk) son iguales el segundo miembro se anula. Si, por

ejemplo i = j , los terminos en aiaimmn se cancelan. Si ijk es una permutacion

par, el segundo miembro es igual al determinante de A = (aij) y si es una per-

mutacion impar a menos el determinante (pues se han intercambiado dos filas).

Como el determinante de una rotacion propia es +1, queda demostrado.

Notese que si la rotacion fuese impropia, su determinante serıa−

1 y el tensor

de Levi-Civita cambiarıa de signo en una reflexion. Los tensores a lo que les

ocurre tal cosa, se llaman pseudotensores . De modo mas preciso, un pseudotensor

se transforma como un tensor, pero multiplicando ademas por det(A). Vemos

que ijk es un pseudotensor de tres ındices. En el caso del producto vectorial

D, su expresion sugiere que se puede considerar como un tensor antisimetrico

de rango dos cuyas componentes sean B jC k − BkC j. Por ser antisimetrico tiene

solo tres componentes distintas, lo que permite tratarlo como un vector. Pero el

hecho de que el tensor de Levi-Civita sea un pseudotensor, indica que su ley de

transformacion es

Di = det(a)

j

aijD j (1.72)

O sea que un producto vectorial es realmente de un pseudovector. Esto tiene

importancia pues es el caso del campo vectorial. Los pseudovectores se llaman

tambien vectores axiales mientras que los vectores ordinarios se conocen como

vectores polares . El producto vectorial de un axial por un polar es polar, el de dos

axiales es axial. El producto escalar de un axial y un polar es un pseudoescalar y

el de dos axiales, un escalar.

1.6.2. Reflexiones.

La paridad o reflexion r → −r es una transformacion que cambia la axilidad de

una figura, por ejemplo transformando una mano derecha en una mano izquierda.

La matriz de tal transformacion es aij = −δ ij cuyo determinante vale −1. Ya

hemos visto antes que los pseudotensores se transforman de modo distinto que

los vectores bajo una reflexion.

Si consideramos el conjunto de todas las rotaciones propias, es decir tales que

det(a) = +1, es facil ver que forman un grupo llamado ortogonal. Si incluimos los

1–18 —

A n t o n






productos de esas rotaciones por la paridad, resulta que det(a) = ±1, que se llama

grupo ortogonal completo. La reflexion respecto a un plano tiene determinante

−1

y es igual al producto de la paridad por una rotacion de angulo π en el plano. Por

ejemplo (x,y,z ) → (x,y, −z ) es igual al producto de una rotacion en el plano xy

por la reflexion r → −r.

1.6.3. Inversion temporal.

Las leyes basicas de la fısica clasica son invariantes por el cambio de la flecha

del tiempo. Notese que lo que es invariante no es cada trayectoria, sino la expre-sion matematica de la ley, es decir, la ecuacion del movimiento. Si tomamos una

pelıcula de una carambola, que no contenga pistas como un reloj o una persona

andando, resulta imposible saber al verla si esta siendo pasada hacia alante o

hacia atras. Los planetas giran an torno al Sol aproximadamente en un plano y

con un cierto sentido de giro. Ello se debe a un accidente hist orico, pues podrıan

igualmente girar en el sentido contrario. A las leyes del movimiento les da igual.

Notese que para pasar de un sentido al otro, basta con cambiar t → −t, v → −v,

p → −p.

Pues bien para tener en cuenta esta simetrıa temporal, es preciso que lasecuaciones sean invariante por esos cambios. Tomemos la segunda ley de Newton

en la forma

dp

dt = −∇U (r) .

Es una ley invariante por inversion temporal, pues el segundo miembro no cambia

al invertir t y el primero tampoco, pues cambian de signo, a la vez, p y t. Por

ello los sistemas dinamicos Newtonianos son invariantes por inversion temporal.

En la Tabla 1, se indican las propiedades de transformacion de las principalesmagnitudes electromagneticas ante rotaciones, paridad e inversion espacial.

Tabla 1.1 Propiedades de transformacion de varias magnitudes bajo

rotaciones, paridad e inversion temporal.



1–19




Rotacion Inversion

Magnitud (rango del tensor) Paridad temporal

I. Mec´ anicas

Coordenada x 1 Impar (vector) Par

Velocidad v 1 Impar (vector) Impar

Momento p 1 Impar (vector) Impar

Momento angular L = x × p 1 Par (pseudovector) Impar

Fuerza F 1 Impar (vector) Par

Torque N = x×

F 1 Par (pseudovector) Par

Energıa cinetica p2/2m 0 Par (escalar) Par

Energıa Potencial U (x) 0 Par (escalar) Par

II. Electromagneticas

Densidad de carga ρ 0 Par (escalar) Par

Densidad de corriente J 1 Impar (vector) Impar

Campo electrico E 1 Impar (vector) Par

Desplazamiento D 1 Impar (vector) Par

Polarizacion P 1 Impar (vector) Par

Campo Magnetico B 1 Par (pseudovector) Impar

Intensidad Magnetica H 1 Par (pseudovector) Impar

Imanacion M 1 Par (pseudovector) Impar

Vector de Poynting S = E × H 1 Impar (vector) Impar

Tensor de Maxwell T αβ 2 Par (tensor) Par

1–20 —

A n t o n





1.7. Ejercicios

1.7. Ejercicios

1.1 Comprobar que la fuente del potencial vectorial en el gauge de Coulomb es

la componente transversal o solenoidal de la corriente Jt (que verifica ∇ ·Jt = 0).

1.2 Si existiesen los monopolos magneticos, uno de carga q m situado en el

origen de coordenadas producirıa un campo magnetico igual a

Bm = µ0q m

4π

r

r3

a) Demostrar que ese campo no es una solucion de las ecuaciones de Maxwell

y, por tanto, es incompatible con la teorıa en ellas basada.

b) Demostrar que, si se anade el termino Bs = µ0q mδ (x)δ (y)h(−z )ez al campo

anterior, donde δ es la funcion de Dirac y h, la funcion escalon de Heaviside,

el campo suma sı obedece a las ecuaciones de Maxwell. Interpretar la solucion

ası obtenida.

1.3 Supongamos que la relacion constitutiva de un material que expresa el

vector polarizacion P en funcion del campo electrico en presencia de una campo

magnetico estatico B0 incluye varias contribuciones de E, sus derivadas tem-

porales y B0. Usar argumentos de simetrıa que muestren que la expresion mas

general hasta el segundo orden en B0 tiene necesariamente la forma:

1

0P = χ0E + χ1

∂ E

∂t × B0 + χ2(B0 · B0)

∂ 2E

∂t2 + χ3

∂ 2E

∂t2 · B0

B0

1.4 Si en un conductor por el que fluye una corriente debida a un campo

electrico se aplica un campo magnetico transversal, aparece una componente de

campo electrico en la direccion perpendicular a ambos y, como consecuencia, un

voltaje entre los dos lados del conductor. Este fenomeno se conoce como efecto

Hall . Basandose en las propiedades se simetrıa espacial y temporal, demostrar

que, para campos magneticos pequenos. la generalizacion de la ley de Ohm quees correcta hasta el segundo orden en el campo magnetico tiene la forma

E = ρ0J + R(H × J) + β 1H 2J + β 2(H · J)H

donde ρ0 es la resistividad en ausencia del campo magnetico y R, β 1, β 2 son ciertos

coeficientes (R se conoce como coeficiente de Hall o coeficiente Hall ).

1.5 Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vacıo, sin cargas ni corri-

entes, son invariantes bajo las llamadas transformaciones de dualidad

E → E = E cos θ + cB sen θ , cB → cB = −E sen θ + cB cos θ.



1–21




1.5

1.6∗ Demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacıo, pero con dis-tribuciones de cargas y corrientes, se pueden modificar para incluir las hipoteticas

cargas magneticas y que tales ecuaciones modificadas son invariantes bajo las lla-

madas transformaciones de dualidad que entremezclan la electricidad y el mag-

netismo

E = E cos α + cB sen α , cB = −E sen α + cB cos α ,

cρe = cρe cos α + ρm sen α , ρm = −cρe sen α + ρm cos α ,

c je = c j e cos α + j m sen α , jm =

−c j e sen α + j m cos α .

Determinar las propiedades de transformacion bajo rotaciones propias, reflexiones

espaciales e inversion temporal de las cantidades electromagneticas involucradas.

Tambien bajo la reflexion de carga q → q = −q .

1–22 —

A n t o n





Capıtulo 2

Guıas de ondas y cavidades

resonantes

Las guıas de ondas son dispositivos para la transmision de microondas a bajo

coste. Ya en 1893, Heaviside (uno de los Maxwellianos) considero la posibilidad

de propagacion de ondas electromagneticas por dentro de un tubo metalico, pero

deshecho la idea por creer que eran necesarios dos conductores — el tubo y otro

por dentro — para la transmision de la onda. Cuatro anos mas tarde, en 1897,

Lord Rayleigh (John William Strutt) probo matematicamente que la propagacionde ondas es posible en tubos de seccion circular y cuadrada. Mostro que hay un

numero infinito de modos de propagacion, los llamados TE y TM que estudi-

aremos en esta leccion,pero no intento la verificacion experimental. La cosa se

olvido hasta los anos 30 del siglo XX, cuando las guıas de ondas se redescubrieron

y empezaron a construirse.

2.1. Radiacion electromagnetica en una cavidaden forma de paralelepıpedo rectangular

Consideremos una cavidad C en forma de paralelepıpedo rectangular solido

0 ≤ x ≤ L1, 0 ≤ y ≤ L2, 0 ≤ z ≤ L3, en la que hay radiacion electromagnetica

en equilibrio con las paredes. Para obtener las expresiones de los campos en

su interior, se deben resolver las ecuaciones de Maxwell con las condiciones de

contorno (que expresan tambien las de equilibrio)

E × n = 0 , B · n = 0, (2.1)



2–1



Capıtulo 2. Guıas de ondas y cavidades resonantes

siendo n un vector normal a la pared de la cavidad S = ∂ C. Los campos pueden

expresarse como suma de modos normales, caracterizado cada uno por tres enteros

no negativos k1, k2, k3, de los cuales al menos dos deben ser no nulos. Eligiendo

adecuadamente el gauge, podemos tomar A0 = 0, de manera que los modos

normales pueden expresarse como

A0 = 0, A1 = Ae1x cos ωt cos(k1πx/L1)sen(k2πy/L2) sen(k3πz/L3),

A2 = Ae1y cos ωt sen(k1πx/L1) cos(k2πy/L2)sen(k3πz/L3), (2.2)

A3 = Ae1z cos ωt sen(k1πx/L1)sen(k2πy/L2) cos(k3πz/L3),

E 1 = ωAe1x sen ωt cos(k1πx/L1)sen(k2πy/L2) sen(k3πz/L3),E 2 = ωAe1y sen ωt sen(k1πx/L1)cos(k2πy/L2) sen(k3πz/L3), (2.3)

E 3 = ωAe1z sen ωt sen(k1πx/L1) sen(k2πy/L2)cos(k3πz/L3),

y

B1 = ω

cAe2x cos ωt sen(k1πx/L1)cos(k2πy/L2) cos(k3πz/L3),

B2 = ω

cAe2y cos ωt cos(k1πx/L1)sen(k2πy/L2)cos(k3πz/L3), (2.4)

B3 =

ω

c Ae2z cos ωt cos(k1πx/L1) cos(k2πy/L2)sen(k3πz/L3),

donde k = (k1π/L1, k2πL2, k3π/L3) y

ω = |k|c = πc

k1

L1

2

+

k2

L2

2

+

k3

L3

2

,

siendo (e1, e2, k/k) tres vectores ortogonales.

El vector de Poynting S = E × B/µ0 representa un flujo complejo de energıa,

la cual no puede atravesar las paredes a causa de las condiciones de frontera (3.1).

La energıa que esta dentro permanece dentro y no se anade nada desde fuera.Para comprenderlo, calculemos el vector S. Su componente x, por ejemplo, es

igual a

S 1 = ω2A2

8cµ0sen2ωt sen(2k1πx/L1)

e1ye2z cos2(k2πy/L2) sen(2k3πz/L3)

−e1ze2y sen(2k2πy/L2)cos2(k3πz/L3)

.

Como se comprueba facilmente S 1 = 0 en las caras normales al eje x (i.e. x =

0, L1) pero no en las otras caras. Analogamente para S 2, S 3. Luego la condicion

en el borde (3.1) no permite que entre o salga energıa de la cavidad.

2–2 —

A n t o n





2.2. Guıas de onda y cavidades resonantes

Figura 2.1: Onda electromagnetica entre dos placas metalicas (figura tomada

de“Teorıa electromagnetica”de Hayt and Buck).

Pero esa condicion tan simple matematicamente es solo una aproximacion que

solo vale para conductores perfectos, es decir cuya conductividad es infinita. En

los buenos conductores reales hay una capa muy fina debajo de su superficie,

en la que el campo magnetico normal y el electrico tangencial disminuyen hasta

anularse al fondo de ella. Como consecuencia, se transfiere algo de energıa del

campo a las paredes que se va en forma de calor. Ocurre algo parecido en el

dielectrico que llena la cavidad, pues el proceso de polarizacion y despolarizacion,

muy rapido en una onda, no es absolutamente elastico. Pero las condiciones (3.1)

son una buena aproximacion en muchos casos.


Una guıa de ondas es un tubo hueco y abierto por sus extremos, con paredes

hechas de un buen conductor, a lo largo de cuyo interior se propagan ondas elec-

tromagneticas. En la version mas simple es un cilindro recto de seccion arbitraria.

Si sus extremos estan cerrados se llama cavidad resonante . Supongamos, por sim-

plicidad, que su interior esta vacıo, aunque se puede llenar de un dielectrico.Consideremos para empezar el espacio entre dos planos conductores paralelos

separados por la distancia d (ver figura 2.1). Tomemos el eje z paralelo a los dos

planos y el eje x perpendicular a ellos. Se puede propagar en su interior la onda

electromagnetica

E(z, t) = uxE 0 cos(kz − ωt)

B(z, t) = uyE 0√

µ cos(kz − ωt) (2.5)

Notese que se cumplen las condiciones de contorno, de tal modo que la densi-

dad supeficieal de carga y de corriente en los bordes interiores de las placas son



2–3




Figura 2.2: Guia de ondas de seccion circular (figura tomada de Hayt and Buck).

Figura 2.3: Guıa de ondas de seccion rectangular (figura tomada de Hayt and

Buck 9.

σ(z, t) = ±E y K = ±2

/µE . Este dispositivo no es una guıa de onda pues su

seccion es abierta pero ilustra como se puede propagar una onda electromagnetica

entre conductores.

En las figuras (2.2)-(2.4) se muestran algunas clases de guıa de ondas.

Tomemos un tubo conductor de forma arbitraria como el representado en la

Figura 2.5, paralelo al eje z y usemos las ecuaciones (1.56)-(1.57), omitiendo por

simplicidad de la escritura el subındice s. Dada la simetrıa del problema, cabe

esperar que haya soluciones de la forma

E = E(x, y)e±ikz−iωt , B = B(x, y)e±ikz−iωt , (2.6)

siendo la cantidad k real o compleja. Resulta conveniente escribir el operador

2–4 —

A n t o n






Figura 2.4: Guıa de ondas de placas paralelas con una capa con ındice de refraccion

n1 rodedada por dos dielectricos de ındice n2 < n1 (figura tomada de Hayt and

Buck).

Figura 2.5: Guıa de ondas de forma arbitraria.



2–5




laplaciano como una suma

∇2 =

∂ 2

∂x2 + ∂

2

∂y2

+ ∂

2

∂z 2 = ∇2

t + ∇2z ,

de un termino transversal ∇2t y otro longitudinal ∇2

z, siendo ∇t = (∂ x, ∂ y, 0) y

∇z = (0, 0, ∂ z). Sustituyendo en las ecuaciones de onda de E y B

∇

2 + ω2

c2

E

B

=

∇

2t +

ω2

c2 − k2

E(x, y)

B(x, y)

e±i(kz−ωt) = 0 .

Se sigue que ∇

2t + ω2

c2 − k2

EB

= 0 . (2.7)

Conviene descomponer los campos en partes paralelas al eje z y transversales,

E = Ez + Et , (2.8)

de modo que

Ez = E zez Et = (ez × E) × ez , (2.9)

y analogamente para B. Esto es interesante pues veremos a continuacion que si se

conocen las partes Ez y Bz quedan determinadas las otras dos. De hecho, las ecua-

ciones de Maxwell (1.56)-(1.57) se pueden escribir en terminos de componentes

transversas y longitudinales. Toman entonces la forma

∂ zEt + iωez × Bt = ∇tE z , ez · (∇t × Et) = iωBz , (2.10)

∂ zBt − iµωez × Et = ∇tBz , ez · (∇t × Bt) = −iµωE z , (2.11)

∇t · Et = −∂ zE z , ∇t · Bt = −∂ zBz (2.12)

A partir de las primeras ecuaciones (2.10) y (2.11), resulta que si E z y Bz se

conocen, las componentes transversas quedan determinadas, suponiendo las ex-

presiones (2.6). De hecho, se pueden despejar Et y Bt, resultando (con el signo

+ en ikz )

Et = i

ω2/c2 − k2 (k∇t E z − ω (ez × ∇t)Bz) (2.13)

Bt = i

ω2/c2 − k2

k∇t Bz +

ω

c2 (ez × ∇t)E z

. (2.14)

Para cambiar el sentido de la propagacion basta con cambiar el signo de k. Notese

que estas dos ecuaciones son la solucion particular de las primeras (2.10) y (2.11).

2–6 —

A n t o n






Hay, en primer lugar, un tipo de solucion conocida como onda transversal

electromagnetica (u onda TEM), caracterizada por tener los campos solo

componentes transversas, o sea por E z = Bz = 0. En tal caso, se deduce de la

segunda (2.10) y la primera (2.12) que el campo EEMT = Et obedece a

∇t × ETEM = 0 , ∇t · ETEM = 0 .

Estas son las ecuaciones del campo electrostatico en dos dimensiones. Ello tiene

tres consecuencias.

i) El numero de ondas longitudinal es el mismo que en un medio infinito

k = k0 = ω/c = ω√

µ . (2.15)

ii) El campo magnetico correspondiente, deducido de la primera (2.11), es

BTEM = ±√ µez × ETEM , (2.16)

segun el sentido de propagacion de las ondas. O sea que la relaci on entre los

campos electrico y magnetico es la misma que en el caso de una onda plana que

avanza segun el eje z .

iii) Un modo TEM no puede darse en un conductor cilındrico hueco. La razon

es que, como es facil demostrar, los dos campos de un modo TEM obedecen la

ecuacion de Laplace en dos dimensiones

∆tETEM = 0 ∆tBTEM = 0 ,

y se pueden deducir de potenciales, que obedecen la misma ecuacion. Como un

conductor es una superficie equipotencial, la unica solucion para el potencial en

el interior de la guıa es Φ = constante, que corresponde a campo electrico nulo.

En cambio la solucion es posible con varios conductores, pues cada uno puede

estar a un potencial diferente, siendo no nulo el campo E. Veremos un ejemplo

en el cable coaxial.

2.2.1. Condiciones de contorno

de los campos longitudinales

Necesitamos conocer las condiciones de contorno de los campos E z y Bz en la

superficie S , pues el procedimiento que seguimos es obtenerlos primero y deducir

de ellos E t y Bt mediante (2.13)-(2.14). De (3.1) se sigue de modo evidente que

la condicion para E z es

E z|S = 0 . (2.17)



2–7




En el caso de Bz, tomamos la primera ecuacion (2.11) multiplicada escalarmente

por la normal a S n. Como Et es normal a S el segundo termino del primer

miembro se anula y, como Bt es paralelo a la superficie, se anula el primer termino.

Solo queda n ·∇tBz = 0, o sea

∂Bz

∂n

S

= 0 . (2.18)

Las ecuaciones (3.6) junto con las condiciones de contorno (2.17)-(2.18) plantean

el problema de hallar las ondas en la guıa.

2.3. Modos transversales electricos y magneticosy frecuencias mınimas

Existen dos familias de soluciones

i) Ondas transversas magneticas (TM):

Bz = 0 en todo el interior y E z|S = 0 en la superficie.

ii) Ondas transversas electricas (TE):

E z = 0 en todo el interior y ∂ nBz

|S = 0 en la superficie. Notese que ni el

campo electrico es transversal en las ondas TM ni el campo magnetico lo es en

las ondas TE.

Una propiedad importante es que el conjunto completo de ondas TE y TM,

mas las TEM si existen, constituyen un conjunto completo de soluciones para

expresar cualquier onda electromagnetica en la guıa.

Multiplicando vectorialmente por ez cada una de las las ecuaciones (2.13) y

(2.14) y combinandola con la otra, se deduce que tanto las ondas TE como las

TM cumplen

Ht = ±1Z

ez × Et , (2.19)

donde se usa el campo H en vez de B y la llamada impedancia de la onda vale

Z = k

ω =

k

k0

µ

(T M )

(2.20)

Z = µω

k =

k0

k

µ

(T E )

con k0 dado mas arriba. El signo

± depende del sentido de la propagacion. Los

campos transversales se determinan por los longitudinales segun (2.13) y (2.14):

2–8 —

A n t o n





2.3. Modos transversales electricos y magneticos y frecuencias mınimas

Ondas TM

Et =

±ik

γ 2∇tψ

Ondas TE

Ht = ± ik

γ 2∇tψ

siendo ψe±ikz igual a E z (resp. H z) para las ondas TM (resp. TE) y

γ 2 = µω2 − k2 . (2.21)

La funcion escalar cumple la ecuacion de ondas bidimensional

(∇2t + γ 2)ψ = 0 , (2.22)

y las condiciones de borde

ψ|S =0 , ∂ψ

∂n

S =0

. (2.23)

Esta claro que la constante γ 2 debe ser no negativa. Se tiene ası un problema de

valores propios, dado por la ecuacion de onda y las dos condiciones de contorno,

que tiene un conjunto discreto de valores propios γ 2λ y de funciones propias ψλ,

λ = 1, 2, 3, . . .. Dada una frecuencia ω el numero de ondas toma un valor para

cada λ

k

2

λ = µω

2

− γ

2

λ , (2.24)lo que define una frecuencia de corte mınima (cut-off frequency )

ωλ = γ λ√

µ , (2.25)

siendo el correspondiente numero de ondas

kλ =√

µ

ω2 − ω2λ . (2.26)

Para que haya propagacion, ω debe ser real (de otro modo, la onda serıa exponen-

cialmente decreciente o creciente) y para ello es preciso que ω > ωλ. En tal caso

las ondas se propagan en la guıa. Conviene subrayar que para cada valor de λ hayun modo, con una familia infinita de frecuencias que dependen continuamente de

kλ, con 0 < kλ/√

µω < 1, segun las ecuaciones anteriores

Notese que el numero de ondas kλ es menor que el correspondiente valor en el

espacio libre no confinado √

µ ω, por lo que las longitudes de onda son mayores

que la del espacio libre. Por contra, la velocidad de fase vf es mayor que en el

espacio libre, pues

vf = ω

kλ=

1√ µ

1

1 −(ωλ/ω)2

> 1√

µ



2–9




Figura 2.6: Numero de ondas kλ frente a ω en varios modos λ.

2.4. Cavidades resonantes

Una cavidad resonante es simplemente un volumen rodeado por una placa

conductora. Como ejemplo sirve cualquier hueco en el interior de un conductor

o la cavidad en forma de paralelepıpedo de la primera seccion de este capıtu-

lo. Lo mismo que esa, cualquier otra tiene un conjunto discreto de frecuenciasllamadas de resonancia , que pueden excitarse si la pared tiene un agujero que

comunica a la cavidad con el exterior. Cada modo tiene una frecuencia y una

forma del modo, dada esta por un par de funciones vectoriales E(r, t), B(r, t).

El conjunto de frecuencias y las formas de los modos se determinan al resolver

un problema de valores propios: las ecuaciones de Maxwell en el interior, mas las

condiciones de contorno. Notese que la cavidad tiene un gran parecido con los

sistemas oscilatorios mecanicos, como varios pendulos acoplados por ejemplo.

Si las paredes estuvieran hechas de un conductor perfecto y la cavidad estu-

viese vacıa de materia, la energıa contenida en el campo en el interior se conser-varıa, pues el vector de Pointing es siempre tangente a esas paredes. Pero, como

ya se ha indicado, hay una capa fina bajo la superficie interior en la que entra

el campo por el efecto pelicular (skin effect ). En esa capa hay una transferencia

de energıa del campo a las paredes, en forma de calor que se transmite por el

conductor y sale fuera. Tambien hay alguna inevitable perdida en el dielectrico

interior, debida a la constante polarizacion y despolarizacion. Por ello la cantidad

de energıa almacenada en el interior de la cavidad disminuye. Una consecuencia

de esos procesos es que la frecuencia ya no esta completamente definida (como

una funcion delta) sino que hay una banda mas o menos estrecha de frecuencias

2–10 —

A n t o n






alrededor de un cierto valor ω0.

Para caracterizar la disipacion de energıa se define el factor de calidad o factor Q de la cavidad como 2π veces la energıa almacenada dividida por la perdida de

energıa por ciclo

Q = ω0Energıa almacenada

Potencia perdida . (2.27)

La potencia disipada es la tasa de variacion de la energıa almacenada U cambiada

de signo, por lo que se puede escribir

dU

dt = −ω0

Q U, ⇒ U (t) = U 0e−ω0t/Q . (2.28)

La energıa decrece exponencialmente tanto mas despacio cuanto mayor sea elfactor Q, lo que explica la razon de ser calificado como de calidad.

La dependencia anterior del tiempo implica que los campos en la cavidad

tienen la forma

E (t) = E 0e−ω0t/2Q e−i(ω0+∆ω)t

donde ∆ω es una imprecision de la frecuencia y E 0, una funcion espacial. Usando

la transformacion de Fourier se puede escribir

E (t) = 1√

2π ∞

−∞

E (ω)e−iωtdt ,

E (ω) = 1√

2π

∞0

E 0e−ω0t/2Q ei(ω−ω0−∆ω)tdt . (2.29)

Resolviendo la segunda integral, resulta

|E (ω)|2 ∝ 1

(ω − ω0 − ∆ω)2 + (ω0/2Q)2 , (2.30)

en forma de curva de resonancia. El maximo esta en ω0 + ∆ω. Se define como

anchura de la resonancia a la anchura de la curva a la mitad de la altitud del

maximo. Su valor es Γ = ω0/Q. Por tanto, el factor Q vale

Q = ω0

Γ . (2.31)

Ejemplo 2.1: El cable coaxial

Un cable coaxial consiste en un cilindro conductor exterior y otro interior,

entre los que hay un dielectrico. Puede transmitir ondas TEM debido a que su

frontera esta formada por dos conductores separados (es decir, sin contacto).

Segun se vio mas arriba, en esas ondas se cumple

k = ω√ µ, ∆tETEM = 0 , BTEM = ±√ µ ez × ETEM



2–11




Figura 2.7: Forma de la resonancia.

Figura 2.8: Seccion de un cable coaxial.

2–12 —

A n t o n






Podemos resolver la ecuacion de E, pero es preferible trabajar con un potencial

en dos dimensiones Φ(x, y), de modo que

ETEM = (∇tΦ)e−i(ωt−kz)

La ecuacion de Φ es la de Laplace en 2D ∇2t Φ = 0 que se escribe en coordenadas

polares ∂ 2

∂ρ2 +

1

ρ

∂

∂ρ +

1

ρ2

∂ 2

∂ϕ2

Φ(ρ, ϕ) = 0

Como el potencial es constante en cada uno de los dos conductores, Φ(R1, ϕ) = Φ1

y Φ(R2, ϕ) = Φ2, la solucion es independiente del azimut ϕ, por lo que el potencial

depende solo de ρ y la ecuacion se simplifica a1

ρ

∂

∂ρ

ρ

∂ Φ

∂ϕ

= 0

cuya solucion es Φ = A log ρ + B, siendo A y B dos constantes de integracion que

se deducen de las condiciones de contorno

A = Φ1 − Φ2

log(R1/R2) , B =

Φ2 log R1 − Φ1 log R2

log(R1/R2)

Es facil comprobar que, si se quita el conductor interno, A se puede deducir de las

condiciones de contorno en R1, pero el potencial ası obtenido diverge en ρ = 0.La unica solucion posible es Φ = constante que corresponde a campo nulo, como

cabıa esperar, ya que ası ocurre en las guıas constituidas por un conductor hueco.

Los campo electrico y magnetico son

En coordinadas cilındricas:

ETEM(ρ,ϕ,z,t) = A

ρ e−i(ωt−kz) eρ , BTEM(ρ,ϕ,z,t) =

√ µ

A

ρ e−i(ωt−kz) eϕ

En coordenadas cartesianas:

ETEM = A

x2 + y2 (xex + yey) e−(iωt−kz) , BTEM =

A√

µ

x2 + y2 (−yex + xey) e−i(ωt−kz) .

Ejemplo 2.2: Guıa de ondas rectangular Sea una guıa de seccion rectan-

gular de lados a y b y de caras paralelas al eje z (ver figura 2.9). Las condiciones

de contorno n · B = 0 y n × E = 0 en las caras, equivalen a

E y = E z = Bx = 0, en x = 0, a

E x = E z = By = 0, en y = 0, b



2–13




Figura 2.9: Figura Guıa de ondas rectangular.

Los campos son de la forma

E(x , y, z, t) = E(x, y) = ei(kz−ωt), B(x , y, z, t) = B(x, y) = ei(kz−ωt)

y deben cumplir las ecuaciones de ondas ∂ 2

∂x2 +

∂ 2

∂y2

E

B

+

ω2

c2 − k2

E

B

= 0

Teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell (??) y (??), se pueden buscar

soluciones para E(x, y) y B(x, y) de la forma

E x = α cos mπ

a

x sen nπ

b

y, Bx = α sen mπ

a

x cos nπ

b

y

E y = β sen mπ

a x cos

nπ

b y, By = β cos

mπ

a x sen

nπ

b y

E z = γ sen mπ

a x sen

nπ

b y, Bz = γ cos

mπ

a x cos

nπ

b y

Sustituyendo en la ecuacion de ondas, se obtiene

ω2

c2 =mπ

a

2

+nπ

b

2

+ k2

Esto indica que para cada modo (m, n) hay una frecuencia mınima

ωmin = ωmn = c mπ

a2

+nπ

b2

2–14 —

A n t o n





2.5. Ejercicios

Aplicando las ecuaciones de Maxwell, se llega a

iωα = γ nπb − ikβ , −iµωα = γ nπ

b − iβ k

iωβ = iαk − γ mπ

a , −iµωβ = iαk + γ

mπ

a

iωγ = β mπ

a − α

nπ

b , −iµωγ = −β

mπ

a + αnπ

b

Un examen de estas condiciones lleva a las conclusiones siguientes.

i) Los modos TE corresponden a γ = 0 y los TM a γ = 0. Si las dos se anulan,

el campo es nulo, como cabıa esperar ya que las paredes forman un solo cuerpo

conductor y no hay modos TEM.

ii) Los modos TE tienen uno de los enteros m, n igual a cero. O sea, corre-

sponden bien a (m = 0 n = 0) bien a (m = 0, n = 0). Los modos TM tienen los

dos enteros, o sea m = 0, n = 0)

Tomemos como ejemplo el modo (10) (o sea m = 1, n = 0), que es TE. Es

facil ver que E x = E z = 0 y

E y = β sen πx

a ei(kz−ωt) =

β

2i

ei[kz+(π/a)x−ωt] − ei[kz−(π/a)x−ωt]

.

Ademas, By = 0, Bx, Bz = 0. Vemos que, como ocurre en los demas modos TE, elcampo magnetico no es transverso. El campo electrico es la superposicion de dos

ondas con vectores de onda (π/a, 0, k) y (−π/a, 0, k) que representa una onda y

sus reflexiones en las caras normales al eje x. El vector de Poynting de cada una

de esas ondas esta en el plano xz y su angulo con el eje x es ε = arctan [k/(π/a)].

Ello explica que la velocidad de grupo vg a lo largo de la guıa sea menor que c, si

bien la de fase vf es mayor. Se cumple, como en las demas guıas

vf · vg = c2

µrr= c 2

donde c es la velocidad de la luz en el dielectrico que llena la guıa.

2.5. Ejercicios

2.1 Hallar la ley de transformacion de la densidad de energıa de una onda elec-

tromagnetica plana entre los sistemas de referencia S y S , el segundo moviendose

con velocidad v a lo largo del eje comun x y admitiendo que los orıgenes coinciden

en t = 0.



2–15




2.2 Sea la reflexion de una onda plana en un plano conductor, al que llega

con angulo de incidencia θ, en el caso de polarizacion de la onda paralela a la

superficie.

a) Analizar la onda estacionaria resultante, comprobando que se puede intro-

ducir otro plano conductor a cierta ditancia del primero sin perturbar la con-

figuracion de los campos. Estudiar, comparando con una guıa rectangular, las

caracterısticas del sistema de transmision ası formado. ¿Puede propagarse en tal

sistema un modo TEM?

b) Las superficies conductoras formadas por el lımite de la ionosfera a la altura

h 100 km y la superficie de la Tierra pueden considerarse como un sistema

de laminas paralelas. ¿Cuales son los modos mas bajos que puede propagar esa“guıa” y cuales son sus frecuencias de corte?

2.3 Un tunel se comporta como una guıa de ondas. En el caso de uno de

seccion rectangular con dimensiones a y b:

a) Hallar el rango de frecuencias para las que se propaga solo el modo fundamen-

tal.

b) Explicar por que las senales de radio de AM se recibenpeor dentro del tunel

que las de FM.

2.4 En una guıa de ondas de seccion cuadrada de lado a y paredes perfecta-mente conductoras, se propaga un campo electromagnetico cuyo campo electrico

vale

E x = E 0x cos

2πx

a

sen

2πy

a

ei(kz−ωt) ,

E y = E 0y sen

2πx

a

cos

2πy

a

ei(kz−ωt) ,

E z = E 0z sen2πx

a sen2πy

a ei(kz−ωt) .

a) ¿Que relacion debe haber entre E x, E y, E z para que sea un modo TM puro?

Identificar tal modo y calcular la frecuencia f 0 a la que deja de propagarse.

b) ¿Que otros modos pueden propagarse con frecuencia por encima de f 0?

c) Calcular la densidad de energıa electromagnetica por unidad de longitud de la

guıa, promediada en el tiempo.

2.5 Estudiar las constantes de corte y los modos de propagacion en una guıa

de seccion circular de radio a (sugerencia: revisar el metodo de separacion de

variables en coordenadas cilındricas para el operador de Laplace en geometrıas

circulares). Hallar la expresion de las velocidades de fase y de grupo en funcion de

2–16 —

A n t o n





2.5. Ejercicios

la frecuencia para los modos TE11, TM01 y TE01 en una guıa cilındrica de radio

1 cm. Dibujar un esquema de las configuraciones de campos en esos modos en los

planos xy y xz .

2.6 Sea una guıa de ondas rectangular, con dimensiones a = 2 cm, b = 1 cm,

transmitiendo una onda en el modo fundamental.

a) Hallar las velocidades de fase y de grupo en funcion de la frecuencia.

b) Calcular la potencia media maxima que puede transmitir la guıa a 10 GHz (el

campo electrico de ruptura en el aire es de 30 kV/cm).

2.7 Sea una guıa de ondas rectangular, infinitamente larga en la direccion x,

con anchura (en la direccion y) 2 cm y altura (en la direccion z ) 1 cm. Las paredes

son conductores perfectos.

a) ¿Cuales son las condiciones de contorno de los campos electrico y magnetico

en las paredes?

b) Escribir la ecuacion que describe los campos del modo mas bajo. (Pista: el

campo electrico solo tiene componente z , pero ¿por que?).

c) Hallar las velocidades de fase y de grupo del modo m as bajo que se propaga.

d) Los modos de propagacion se clasifican de modo natural en dos clases. ¿Cuales

son y en que se diferencian? (Princeton)

2.8 Una onda se propaga en el modo TE a lo largo de una guıa rectangularvacıa de lados a y b.

a) Cual es la frecuencia de corte de ese modo?

b) Si la guıa se llena con un material de permitividad ε, ¿como cambia la fre-

cuencia de corte? (Columbia)

2.9 a) Escribir las ecuaciones de Maxwell para un medio no conductor de

constantes electromagneticas ε y µ y deducir la propagacion de ondas electro-

magneticas en ese medio.

b) Determinar los campos E y B del modo TE mas bajo en una guıa de ondascuadrada de lado llena con el medio anterior. Expresar las condiciones de con-

torno.

c) ¿Para que intervalo de frecuencias ω es el modo TE del apartado anterior el

unico posible? ¿Que pasa con los otros modos? (Wisconsin )

2.10 Una guıa tiene seccion triangular con lados a, a, y√

2a. Las paredes

son conductores perfectos y ε = ε0, µ = µ0 en su interior. Determinar los mo-

dos posibles TEM, TE y TM. Hallar las funciones E(x , y, z, t), B(x , y, z, t) y

las frecuencias de corte. Explicar por que no todos los modos son permitidos.

(Princeton)



2–17




2.11 Una guıa esta formada por dos cilindros concetricos conductores de radios

R1 y R2. Su eje es el z . El espacio entre los conductores esta vacıo en z < 0 y

lleno de un dielectrico de permitividad ε en z > 0.

a) Determinar los modos TEM.

b) Si una onda electromagnetica viene desde z < 0, calcular las ondas reflejadas

y transmitidas.

c) ¿Que fracciones de la energıa son transmitidas y reflejadas? (Columbia)

2.12 Una lınea de transmision consiste en dos conductores paralelos largos y

de secciones arbitrarias pero constantes, paralelas al eje z . La corriente va por un

conductor y vuelve por el otro. Estan inmersos en un medio de constantes ε y µ.

a) Hallar la ecuaciones de ondas de E y B para ondas propagandose en la direccionz .

b) Hallar la velocidad de propagacion de las ondas. (Princeton )

2.13 Una guıa de ondas consiste en dos placas conductoras paralelas y sepa-

radas por la distancia a. El espacio entre las placas esta lleno de un gas con ındice

de refraccion n (independiente de la frecuencia).

Suponiendo que las placas son perpendiculares al eje z , considerense los modos

en los que los campos sean independientes de la coordenada y . Hallar la relacion

entre ω y λ, ası como las velocidades de fase y de grupo. (Princeton )

2–18 —

A n t o n





Capıtulo 3

Relatividad especial

3.1. El principio de relatividad

3.1.1. Sistemas inerciales.

Para describir los fenomenos naturales, los fısicos usan sistemas de referencia ,

que tambien llamaremos referenciales , que consisten en sistemas de coordenadas

para indicar la posicion en el espacio y relojes fijos en cada sistema para indicarel tiempo.

Tienen un interes especial los llamados sistemas inerciales , que son sistemas

de coordenadas en los que un movil libre, o sea sin fuerzas aplicadas, se mueve con

velocidad constante. Son importantes porque en ellos valen las leyes de Newton

sin necesidad de incluir fuerzas de inercia. Si un sistema es inercial, todos aquellos

que se mueven respeto a el con velocidad constante y sin rotacion son tambien

inerciales. Recıprocamente si dos sistemas son inerciales, se mueven uno respecto

al otro con velocidad relativa constante.

A pesar de la importancia que tiene en la fundamentacion de la dinamica

clasica, la idea de sistema inercial es mas bien reciente. Fue introducida por el

filosofo y cientıfico aleman Ludwig Lange en 1885. Gracias a ella, se aclaro mucho

la nocion de relatividad, que estaba confusa incluso en las obras de los grandes

mecanicos del XVIII y XIX.

Principio de relatividad:

Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas inerciales de

referencia.

En el enunciado anterior “son las mismas”significa “tienen la misma expresion



3–1



Capıtulo 3. Relatividad especial

matematica. En otras palabras, si Andres y Beatriz cada uno en su referencia

inercial, investigan mediante experimentos las leyes de la naturaleza en un cierto

sistema fısico, los dos obtendran las mismas leyes excepto en el nombre de las

variables (salvo error, claro).

Con frecuencia se distingue entre principio de relatividad de Galileo y de

Einstein. El primero se refiere tan solo a leyes de la dinamica. El segundo a todas

las leyes de la fısica, incluyendo en particular el electromagnetismo, o sea que es

el principio de relatividad sin mas cualificacion.

3.1.2. Velocidad de propagacion de la interaccion.

La dinamica de Newton usaba fuerzas instant´ aneas . La ley de la gravitacion

universal, por ejemplo, no incluye ninguna referencia ni al tiempo t ni a la veloci-

dad de propagacion de la gravedad. Para ilustrar esta cuestion, imaginemos que

en el Sol se produjese una explosion en un cierto instante t0, de modo que dos

mitades fuesen despedidas con una cierta velocidad en direcciones opuestas (o

quiza en el nucleo de la galaxia). Al cabo de un cierto tiempo, cambiarıa la orbita

de la Tierra porque cambiarıa la fuerza de la gravedad del Sol. Segun la teorıa de

Newton, ese cambio serıa instantaneo, es decir, se notarıa desde el mismo instante

t0 (si bien al principio serıa pequeno). Hoy se piensa, por contra, que la interac-

cion gravitatoria tiene una velocidad finita de propagacion que coincide con la

velocidad de la luz c, de modo que los efectos de la explosion en el Sol se notarıa

solo tras unos 8 minutos y 20 segundos (= 1 UA/c 500 s). Tambien sabemos

hoy que esa velocidad c es la de propagacion de la interaccion electromagnetica

y tambien es una velocidad lımite que no puede ser superada por ningun movil.

Su valor es

c = 299 792 458 m/s . (3.1)

Como es una constante universal de la naturaleza, puede jugar el papel de patronuniversal. Hay que tener en cuenta que cuando se toma un patron, siempre es

necesario suponer que algo no cambia. Por ejemplo, el metro se definıa como

“la diezmilmillonesima parte del cuadrante de meridiano terrestre que pasa por

Parıs” porque se supone que los meridianos de la Tierra tienen longitud invariante.

Si se definio mas tarde como la distancia entre dos marcas en una barra de

platino iridiado mantenida a temperatura constante, fue porque esa aleacion se

dilata o contrae muy poco ante cambios de temeperatura (es inevitable que haya

algunos muy pequenos). Luego se tomo como definicion la longitud de 1 650 763,73

longitudes de onda de una cierta radiacion emitida por el 86Kr, lo que implica

3–2 —

A n t o n






suponer que la constante de Rydberg es realmente constante

R =

14π0

2

me4

4π 3c = constante .

Para aprovechar la constancia universal de c, el metro se define desde 1983 como

la distancia recorrida por la luz en 3,335640952 × 10−9 s. Esto significa que se

toma el valor (3.1) como una constante por definicion, basando en el la del metro.

Cabe mencionar que la revista Nature publico entonces un editorial criticando la

decision de la Oficina Internacional de Pesas y Medidas porque no se puede ase-

gurar que c no cambie en alguna medida que escapa a los experimentos actuales.

En todo caso, se puede decir que se conoce actualmente el valor exacto, o sea sin

error, de la velocidad de la luz (tambien ocurre con dos cantidades relacionadas:

la permitividad y la permeabilidad del espacio vacıo).

3.1.3. Sucesos, intervalo y tiempo propio.

Un suceso o evento es algo que ocurre en un punto del espacio en un instante

de tiempo. Se define por cuatro cantidades, el valor del tiempo t y los de las tres

coordenadas (x, y, z ). Los sucesos se situan en un espacio de cuatro dimensiones,

una temporal y tres espaciales, conocido como espacio-tiempo (se intento sin exitola palabra universo). Por abuso de lenguaje, se suele identificar suceso con punto

del espacio-tiempo. Una partıcula puntual descibe una lınea en el espacio-tiempo

(un tubo, si no es puntual).

La idea de espacio-tiempo fue introducida por el matematico aleman Hermann

Minkowski en el Congreso de la Asociacion de Matematicos, celebrado en Colonia

en 1908, al decir que, como consecuencia de la teorıa de Einstein (que habıa

sido alumno suyo en Zurich), “A partir de ahora, el espacio por sı mismo y

el tiempo por sı mismo estan condenados a desvanecerse como meras sombras y

solo quedara una ıntima union de ellos dos: el espacio-tiempo”. Por eso el espacio-

tiempo de la relatividad especial se conoce como espacio de Minkowski .

La idea de distancia entre dos puntos a lo largo de una trayectoria es muy

importante en geometrıa euclıdea. La distancia, sin mas, es la distancia a lo

largo de un a lınea recta que una los dos puntos. Sean estos P 1 ≡ (x1, y1, z 1) y

P 2 ≡ (x2, y2, z 2). Su distancia s cumple

s2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z 2 − z 1)2 .

Si se trata de dos puntos proximos, P 1 ≡ (x,y,z ) y P 2 ≡ (x + dx, y + dy, z + dz )



3–3




el elemento de distancia, o de longitud, es

ds2 = dx2 + dy2 + dz 2 .

Una caracterıstica importante de la geometrıa euclıdea es que el elemento de

longitud se puede escribir como la suma de cuadrados de elementos de las coor-

denadas. Esto es ni mas ni menos que el teorema de Pitagoras.

En el caso de que las coordenadas correspondan a ejes no ortogonales, de

modo que un punto se determine por el vector dr =

xiei con ei · e j = δ ij, el

elemento de longitud se escribe como

ds2 = ij

gij

dxidx

j ,

donde gij = ei · e j es el llamado tensor metrico. En una geometrıa euclıdea,

siempre se puede conseguir que gij = δ ij, eligiendo adecuadamente los vectores

de la base.

Para estudiar el espacio-tiempo en relatividad, se usa el concepto de intervalo,

que es analogo pero no igual al de distancia. El intervalo entre dos sucesos y el

elemento de intervalo valen (suponiendo una base espacial ortonormal)

s

2

12 = c

2

(t2 − t1)

2

− (x2 − x1)

2

− (y2 − y1)

2

− (z 2 − z 1)

2

, (3.2)ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz 2 . (3.3)

En general, conviene usar cuatro coordenadas para trabajar en el espacio-tiempo

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

El intervalo es entonces

ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2 = ij

gijdxidx j .

Esto se parece a lo que ocurre en un espacio euclıdeo, pero con tensor metrico

igual a (notacion autoexplicativa)

gij = diagonal(1, −1, −1, −1),

distinto de δ ij. Cuando un espacio tiene un elemento de distancia que se puede

escribir como la suma de varios cuadrados de diferenciales de coordenadas menos

la suma de varios otros, se dice que es un espacio pseudoeuclıdeo. La signatura de

la metrica es el dato de cuantos signos mas y cuantos signos menos hay en ella.

La de la relatividad se puede expresar como (1,3) o (3,1) (de modo equivalente).

3–4 —

A n t o n






Notese que sigo usando un cuadrado en el primer miembro, a pesar del hecho

evidente que el segundo miembro puede ser negativo (se dice que la metrica

no es definida positiva). Los espacios en que el tensor metrico depende de las

coordenadas, de modo que varia de punto a punto se califican de riemannianos

o pseudoriemnnianos (segun sea o no definida positiva la metrica), en honor al

matematico aleman Georg Friedrich Riemann (1826-1866), quien los introdujo en

un importante trabajo titulado “Sobre las hipotesis en que se basa la geometrıa”.

Al hacerlo se apoyo en la obra anterior de Gauss.

3.1.4. Tipos de intervalo.

Debemos hablar de una propiedad de gran importancia: el intervalo entre

dos sucesos toma el mismo valor para todos los observadores inerciales, porque

es invariante bajo transformaciones de Lorentz (a menudo se dice simplemente

“invariante”). Como veremos esto es parecido a lo que le ocurre a la distancia en

la geometrıa euclıdea, que es invariante bajo rotaciones.

Supongamos que el punto del espacio-tiempo P 1 es el origen de coordenadas

y P 2 ≡ (t,x,y,z ). El intervalo entre P 1 y P 2 sera

s212 = c2t2 − 2 , con 2 = x2 + y2 + z 2 .

Como el signo de s2 no esta definido, un intervalo puede ser de tres tipos.

a) de tipo tiempo (o temporal ), si s212 > 0. Esto significa que se puede ir de P 1

a P 2 manteniendo siempre una velocidad menor que c. En este caso s12 es real.

b) de tipo luz , si s212 = 0. En este caso un rayo de luz puede ir de P 1 a P 2.

Ademas, s12 = 0.

c) de tipo espacio (o espacial ), si s212 < 0. Ningun movil puede ir de P 1 a P 2

pues se necesitarıa llegar a una velocidad superior a la de la luz. s12 es imaginariopuro.

Se define el cono de luz de un punto del espacio-tiempo como el conjunto de

los rayos de luz que salen de o llegan a ese punto (en un cierto punto del espacio

y en un cierto instante de tiempo). Su ecuaci on es c2t2 − (x2 + y2 + z 2) = 0. Las

partes con t > 0 (resp. t < 0) se llaman cono del futuro (resp. cono del pasado).

Pues bien

a) Si el intervalo entre P 1 y P 2 es de tipo tiempo, P 2 esta dentro del cono de

luz de P 1. Dentro del cono del futuro si t > 0 (en general si t2 > t1) y dentro del

cono del pasado si t < 0 (o bien t2 < t1).



3–5




Figura 3.1: Tipos de intervalo.

b) Si es de tipo luz, P 2 esta en el cono de luz.

c) Si es de tipo espacio, P 2 esta fuera del cono de luz.

La gran importancia que tiene la nocion de cono de luz esta en sus conse-cuencias sobre las posibles relaciones causales entre dos sucesos situados en P 1 y

P 2.

a) El interior del cono de luz del futuro se llama futuro absoluto de P 1. Ello se

debe a que t > 0 (o sea t2 > t1) para todos los observadores inerciales. El suceso

P 2 es posterior a P 1 para todos ellos. En cambio, existe un sistema de referencia en

el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. El intervalo temporal

entre los dos eventos en tal sistema es igual a

t12 = c2t2

12 −2

12c = s12

c ,

ya que 12 = 0. Tiene gran importancia que puede haber una influencia causal de

P 1 sobre P 2, pero no al reves.

Analogamente, el interior del cono de luz del pasado se llama pasado absoluto.

Existe un sistema en que los dos sucesos ocurren en el mismo tiempo. Adem as,

puede haber una influencia causal de P 2 sobre P 1, pero no al reves.

b) Dos sucesos distintos en el cono de luz, estan siempre separados espacial

y temporalmente. Los del futuro del vertice seran siempre sucesos de su futuro y

los del pasado, siempre de su pasado.

3–6 —

A n t o n






c) Los puntos del exterior del cono de luz de P 1 estan siempre separados

espacialmente de P 1. No hay ningun referencial en que los dos ocurran en el

mismo lugar. Como para viajar entre P 1 y uno de ellos se necesita llegar a una

velocidad superior a c, cosa imposible, no puede haber ninguna conexion causal

con puntos de fuera del cono de luz.

Por otra parte, hay sistemas en los que P 1 y P 2 son simultaneos. Su distancia

espacial es en ese caso

12 =

212 − c2t212 = is12 ,

pues t12 = 0.

Entender que el orden temporal entre dos sucesos separados por un intervalo

tipo espacio depende del observador y que la simultaneidad de sucesos separados

espacialmente no puede tener caracter absoluto fue el punto de partida de Einstein

para su relatividad espacial. Al desarrollarla actuo como un empirista, pues no

veıa modo de determinar experimentalmente que dos sucesos sean simultaneos,

de modo valido para todos los observadores inerciales.

3.1.5. Tiempo propio.

Sea un reloj que se mueve de manera arbitraria respecto a un sistema inercialS . Cerca de cada instante, se puede considerar que su movimiento es uniforme.

Asımismo introducimos sistemas de coordenadas en cada instante, unidas rıgida-

mente al relo j, de modo que este se mueve intantaneamente en un sistema inercial.

Sean (t,x,y,z ) las coordenadas en el sistema S . En el intervalo dt, el reloj recorre

la distancia

dx2 + dy2 + dz 2. En el sistema ligado rıgidamente al reloj S , se

tiene dx = dy = dz = 0. Como el intervalo es invariante, resulta

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz 2 = c2dt 2 ,

de dondedt = dt

1 − (dx2 + dy2 + dz 2)/c2dt2 .

Como (dx2 + dy2 + dz 2)/dt2 = v2 , resulta que

dt = dt

1 − v2/c2 .

Por tanto, el tiempo que habra medido el reloj al moverse a lo largo de una cierta

trayectoria entre los tiempos t1 y t2 en S sera

t2 − t

1 = t2

t1dt

1 − v2

c2 (≤ t2 − t1) . (3.4)



3–7




Figura 3.2: Transformaciones de Lorentz.

Esto significa que el tiempo medido por un reloj en movimiento respecto a un

sistema S sera siempre menor que el de un reloj que este en reposo en S .

3.2. Las transformaciones de Lorentz

Dados dos sistemas S y S , en movimiento relativo con velocidad constante,

estas transformaciones relacionan las coordenadas espaciales y temporales de un

suceso (el paso de un movil por un punto es un ejemplo) en los dos sistemas.

Suponiendo por simplicidad que los ejes de S y S coinciden en el tiempo t = 0 y

que el sistema primado se mueve con velocidad v paralela al eje x, su expresion

matematica es

x = x − vt

1 − v2/c2,

y = y , z = z , (3.5)

t = t − (v/c2)x

1 − v2/c2

.

Estas son las famosas ecuaciones de transformaci´ on de Lorentz o transformaciones de Lorentz , de modo mas breve. Es facil comprobar que la transformacion inversa

de (2.6) es

x = x + vt

1 − v2/c2,

y = y , z = z , (3.6)

t = t + (v/c2)x

1 − v2/c2.

O sea que, como cabıa esperar, la inversa se obtiene de la directa mediante un

simple cambio del signo de la velocidad.

3–8 —

A n t o n





3.3. Los postulados de Einstein.

Una primera observacion, mas bien trivial, es que si v → 0 (o equivalentemente

si c

→ ∞) se obtienen las transformaciones de Galileo, las propias de la mecanica

de Newton.

3.3. Los postulados de Einstein.

La expresion matematica (3.5) se puede obtener de varias maneras. Primero,

como lo hizo Einstein, mediante sus dos famosos postulados, el de relatividad y

el de la constancia de la velocidad de la luz.

1. Postulado de relatividad. Las leyes de la fısica son las mismas en todos

los sistemas inerciales.

(Ningun sistema inercial es especial.)

2. Postulado de la constancia de la velocidad de la luz. La velocidad

de la luz en el vacıo tiene el mismo valor en todos los sistemas inerciales.

De estos dos postulados se pueden deducir la transformaciones de Lorentz,

que implican que la velocidad de la luz c es una velocidad lımite con caracter

universal, la invariancia del intervalo y la relacion (3.4) entre los tiempos de un

reloj en movimiento general y otro en un sistema inercial y la invariancia del

intervalo (3.2)-(3.3).

Pero las transformaciones (2.6) pueden deducirse tambien a partir de la in-

variancia del intervalo.

Suponemos que deben tender a las de Galileo cuando c → ∞, por lo que cabe

restringirse a transformaciones lineales en las coordenadas.

Busquemos las transformaciones en el espacio-tiempo que dejen invariante el

valor del intervalo, usando como coordenadas (x,y,z,ct). Y para ello empezamos

por notar que el problema es muy parecido al de hallar las transformaciones que

dejan invariante la distancia en el espacio euclıdeo bi- o tri-dimensional. Sabemosque son las rotaciones. Una rotacion en el plano xy se puede escribir siempre

como

x = x cos φ + y sen φ ,

y = −x sen φ + y cos φ .

Estas ecuaciones representan una rotacion de un angulo φ de los ejes coordenados.

Es evidente que las propiedades de las funciones trigonometricas garantizan que

x2 + y2 = x 2 + y 2 .



3–9




La diferencia con el espacio-tiempo esta en la signatura de la metrica. Como

analogo a una rotacion en el plano, tomemos una rotacion cuadridimensional en

el plano (x,ct). La cantidad que debe mantenerse invariante es ahora (ct)2 − x2.

Lo mismo que antes eso se conseguıa gracias a las funciones trigonometricas, en

este caso hay que usar funciones hiperbolicas. Recordemos su definicion

sinh ψ = eψ − e−ψ

2 , cosh ψ =

eψ + e−ψ

2 , tanh =

eψ − e−ψ

eψ + e−ψ ,

cumpliendose que cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1. Es facil comprobar que la expresion

general de una transformacion lineal que conserve el intervalo es

x = x cosh ψ−

ct sinh ψ ,

ct = −x sinh ψ + ct cosh ψ ,

pues

(ct)2 − x 2 = (ct)2 − x2 .

La transformacion se llama a veces rotaci´ on hiperb´ olica . Para hallar el valor de ψ

adecuado a la transformacion de Lorentz (2.6), notemos que si x = 0, la trans-

formacion es

x = −ct sinh ψ , ct = ct cosh ψ ,

con lo que x

ct = − tanh ψ .

Como x/t = −v, resulta que

tanh ψ = v

c = β , ψ = arctanh

v

c .

Teniendo en cuenta que

sinh ψ = tanh ψ

1 − tanh2 ψ, cosh ψ =

1

1 − tanh2 ψ,

resultasinh ψ =

β 1 − β 2

, cosh ψ = 1

1 − β 2.

Sustituyendo se obtiene la expresion de la transformacion de Lorentz (2.6) que

queda ası probada a partir de la invariancia del intervalo.

Una analogıa aun mas estrecha con las rotaciones se puede conseguir usando

una coordenada temporal imaginaria. En vez de x0 = ct, sea x4 = ict. El intervalo

se escribe entonces formalmente como el de una metrica euclıdea

ds

2

= (dx

1

)

2

+ (dx

2

)

2

+ (dx

3

)

2

+ (dx

4

)

2

=

ij gijdx

i

dx

j

,

3–10 —

A n t o n





3.4. Transformaci´ on de las velocidades

donde gij = δ ij (el signo global no importa). Pues bien, la transformacion de

Lorentz en el plano (t, x) se puede escribir como

x = x cos(iψ) + ict sen(iψ) ,

ict = −x sen(iψ) + ict cos(iψ) .

Teniendo en cuenta que cos(iψ) = cosh ψ y sen(iψ) = i sinh ψ, se comprueba que

coincide con la expresion hallada mas arriba.

O sea, de manera puramente formal, una transformacion de Lorentz con ve-

locidad paralela al eje x y de modulo v se puede escribir como una rotacion de

un angulo imaginario puro igual a iarctanh(v/c) en el plano (ict, x) si se usa ict

como cuarta coordenada.

3.4. Transformacion de las velocidades

Sea un movil que se mueve con velocidades u y u en los sistemas S y S

respectivamente. La relacion entre sus dos velocidades es u = u + v que, en

componentes se escribe

ux = ux − v

1

−ux(v/c2)

,

uy = uy

1 − v2/c2

1 − ux(v/c2) , (3.7)

uz = uz

1 − v2/c2

1 − ux(v/c2) .

Basta, para probarlo, con expresar dx, dy, dz, dt en funcion de las mismas canti-

dades con primas, usando (2.6). Las ecuaciones de la transformacion inversa se

obtienen cambiando el signo de la velocidad v. Notese que estas ecuaciones de

transformacion son tambien las que dan la suma de dos velocidades.

3.5. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracion

En fısica newtoniana la velocidad se define como la derivada de las tres coorde-

nadas cartesianas de una partıcula respecto al tiempo, de modo que la velocidad

es el trivector vk = dxk/dt. En relatividad, se define una velocidad con cuatro

componentes, un cuadrivector, derivando respecto al tiempo propio τ en vez de

respecto al tiempo coordenado t, de modo que

uµ = dx

µ

dτ . (3.8)



3–11




El elemento de tiempo propio de la partıcula es

dτ = ds/c =

1 − v2/c2 dt ,

por lo que la cuadrivelocidad se puede escribir como

uµ =

c 1 − v2/c2

, v 1 − v2/c2

, (3.9)

que, como se ve, tiene dimensiones de velocidad.

Es posible definir tambien la cuadriaceleraci´ on como la segunda derivada

wµ = d2xµ

dτ 2 = duµ

dτ . (3.10)

Los dos vectores cumplen las relaciones

uµuµ = c2 , uµwµ = 0 .

A veces, se define la cuadrivelocidad de modo alternativo y equivalente como

uµ = dxµ

ds = 1

c

dxµ

dτ ,

que no tiene dimensiones (Landau y Lifshitz ası lo hacen). Con esta definicion

uµuµ = 1.

3.6. Principio de covariancia

El principio de relatividad dice que las leyes de la fısica tienen la misma forma

en todos los sistemas de referencia inerciales. Por eso las consideraciones anteriores

son de gran importancia. En efecto, una manera de construir leyes que cumplanese principio, que sean invariantes Lorentz como se dice, es que se expresen medi-

ante magnitudes cuya variacion bajo transformaciones de Lorentz este claramente

definida, o sea, en lenguaje tensorial. Cualquier ley se escribe como una igualdad

entre dos expresiones matematicas. Para que sea invariante Lorentz, todos los

terminos a la derecha y todos los terminos a la izquierda deben deben ser ten-

sores del mismo rango. Tambien lo deben ser los dos miembros. De ese modo, si

valen en el sistema de referencia de un observador inercial, esta garantizado que

valgan tambien en todos los demas.

Esta prescripcion se conoce como Principio de covariancia .

3–12 —

A n t o n





3.6. Principio de covariancia

Notese que ello no solo sirve para presentar en un lenguaje coherente una

teorıa ya conocida y probada, sino que es una exigencia esencial a la hora de

buscar nuevas leyes que cumplan el principio de relatividad, eliminando algunas

que podrıan parecer atractivas, pero que no son covariantes.

Una ultima observacion, un poco tonta pero, por desgracia, conveniente. Al-

gunos filosofos o sociologos (?), o simplemente opinantes, de la posmodernidad

se apoyan en la teorıa de Einstein para defender relativismos u otras formas de

pensamiento debil, cuando lo que ella dice en verdad es que sı hay cosas absolutas,

entendiendo por tal que son las mismas para todos los observadores inerciales.

Son las leyes de la naturaleza, nada menos. Por ello el nombre de relatividad es

confundente. Einstein no la bautizo cuando la propuso en 1905 y mejor hubierasido llamarla Teorıa del absoluto o de la absolutidad, o Teorıa del invariante,

como empezo a ser conocida cuando la palabra relatividad hizo fortuna.

Usaremos, en este curso, la teorıa de la relatividad especial, elemento indis-

pensable para formular adecuadamente las leyes del electromagnetismo. Relativi-

dad especial, tambien llamada a veces restringida, significa que esta basada en

las transformaciones de Lorentz como grupo de invariancia y vive en un espa-

cio plano, aunque no euclıdeo del todo, el llamado de Minkowski. Pero, como

el propio Einstein se dio cuenta en 1911, esa teorıa no es definitiva porque no

puede albergar de forma satisfactoria a la gravedad. Para conseguirlo, el mismoEinstein desarrollo en los anos 1907-1915 su Relatividad General, mucho mas

completa, cuyo grupo de invariancia es el de las transformaciones suaves (es decir

suficientemente derivables).



3–13




3.7. Ejercicios

3.1 Beatriz esta en el sistema S y observa que un cierto suceso ocurre en

x = 100 km, y = 10 km, z = 1 km en el tiempo t = 5,0 × 10−6 s. Andres

esta en S , que se mueve con velocidad 0,92 c respecto a S a lo largo de su eje

comun x ≡ x, de modo que sus orıgenes coinciden en t = t = 0. ¿Cuales son

las coordenadas espaciales y el tiempo del suceso para Andres? Comprobar la

respuesta empleando la transformacion de Lorentz inversa para pasar de S a S .

3.2 Para ciertos valores de la velocidad v , el valor de x difiere en 0.1 %, 1 %

y 10 % del obtenido con la transformacion de Galileo. ¿Cuales son esos valores de

v?

3.3 Demostrar que la ecuacion de ondas del campo electromagnetico es invari-

ante ante una transformacion de Lorentz. Para hacerlo, basta comprobar que se

cumple la siguiente igualdad entre los operadores de D’Alembert en los sistemas

S y S

∂ 2

∂x2 +

∂ 2

∂y2 +

∂ 2

∂z 2 − 1

c2

∂

∂t2 =

∂ 2

∂x 2 +

∂ 2

∂y 2 +

∂ 2

∂z 2 − 1

c2

∂

∂t 2

teniendo en cuenta que las coordenadas con y sin primas estan relacionadas porla transformacion de Lorentz.

3.4 Demostrar que el tiempo propio definido por dτ = dt

1 − v2/c2 es in-

variante Lorentz.

3.5 Andres observa dos sucesos P 1 y P 2 en los puntos (x1, y1, z 1) y (x2, y2, z 2)

de su sistema propio S , y los observa en el mismo tiempo. a) ¿Le pareceran

simultaneos a Alicia, que se mueve con velocidad v respecto a S ? b) Si no se lo

parecen, ¿cual es el intervalo de tiempo que mide Alicia entre esos dos sucesos? c)

¿Como varıa ese intervalo de tiempo, si la distancia espacial entre P 1 y P 2 tiendea cero?

3.6 En el sistema S hay una caja en reposo, con forma de paralelepıpedo

rectangular con lados a, b y c. Su masa es m0 y su densidad en S es ρ0 = m0/(abc).

a) ¿Cual sera el volumen de la caja para un observador que se desplaza a una

velocidad u con respecto a la caja, paralelamente al eje x (y al lado a)? b) ¿Cuanto

valdran la masa y la densidad para ese observador?

3.7 ¿Cual sera la velocidad de un electron cuya energıa cinetica es igual a su

energıa en reposo?

3–14 —

A n t o n





3.7. Ejercicios

3.8 Ejercicios de calculo tensorial:

a) Determinar si las siguientes cantidades son tensores, diciendo en su caso sison covariantes o contravariantes, siendo φ un escalar

dxα y ∂φ(x1, x2, . . . , xn)

∂xµ .

b) En el caso del grupo general de transformaciones xµ → xµ = xµ(xα), un

tensor se define mediante la ley de transformacion

T αβ......γ =

∂xα

∂xµ

∂xβ

∂xν . . .

∂xγ

∂xρT µν...

...ρ

Demostrar que esta definicion de tensor se reduce a las ya conocidas en los

casos euclıdeo u pseudoeuclıdeo y probar las siguientes igualdades

∂xα

∂xβ = δ αβ ,

∂xα

∂xβ

∂xβ

∂xγ = δ αγ ,

en las que se usa el convenio de Einstein de los ındices repetidos. Razonar que

eso indica que la delta de Kronecker δ αβ es un tensor mixto, una vez covariante y

otra contravariante. Demostrar que

c) el producto de dos tensores (ejemplo C αβδγ = A αβ

γ B δ ) es tambien un

tensor;

d) si un tensor es simetrico (resp. antisimetrico) respecto a dos ındices, es decir,

si Aα...β... = Aβ...α... en un sistema de coordenadas, lo es tambien en cualquier otro

sistema. En otras palabras, la simetrıa o antisimetrıa de los tensores es invariante

por cambios de coordenadas.

3.9 Demostrar que el tiempo propio dτ = dt

1 − (v/c)2 y las cantidades

c2B2

−E 2 y E

·B son invariantes relativistas.

3.10 Hallar la formula de adicion de velocidades cuando la velocidad v del

sistema S respecto al S tiene una direccion cualquiera, expresando el resultado

en forma vectorial.

3.11 Hallar los campos de un condensador plano con densidad propia de carga

σ0 que se mueve con velocidad v: a) paralela a las placas; b) perpendicular a las

placas. Comprobar los invariantes de la transformacion.

3.12 Dos rectas paralelas muy proximas, paralelas al eje z y con densidades

de carga λ y −λ, se mueven paralelamente a sı mismas con velocidades +v y



3–15




−v. En el sistema del laboratorio los campos que crean valen aproximadamente

E = 0 y B = (µ0I/2πρ)uρ, siendo I = 2λv.

a) Usando los invariantes del campo, determinar si existe algun sistema de

referencia en el cual E = 0, B = 0.

b) Una carga q se mueve paralelamente a las dos rectas con velocidad u. Por

transformacion de los campos, hallar la fuerza sobre la carga en un sistema ligado

a ella.

3.13∗ Demostrar que dos transformaciones de Lorentz sucesivas en angulo

recto no conmutan (p. ej. una con velocidad v1 paralela al eje x y otra con v2

paralela al y). Demostrar tambien que, en cualquier orden en que se realicen, el

resultado no coincide con el de una transformacion con v = v1e1 + v2e2. Probar

que, en cambio, dos transformaciones con velocidades paralelas conmutan y el

resultado de su producto es equivalente al de una sola con v = (v1 + v2)/(1 +

v1v2/c2).

3–16 —

A n t o n





Capıtulo 4

Formulacion lagrangiana de la

electrodinamica clasica I

4.1. Principio de Hamilton en mecanica newto-

niana

Sea un sistema mecanico de n grados de libertad y descrito por n coordenadas

(q 1, q 2, · · · , q n) y, para simplificar supongamos que el potencial no depende deltiempo. Sean sus energıas cinetica T , su potencial U y su funcion lagrangiana L

T = T (q, q ) , U = U (q ) , L = L(q, q ) = T (q, q ) − U (q ) . (4.1)

Sus ecuaciones del movimiento se pueden obtener con gran sencillez a partir del

principio de la “mınima” accion en su forma de Hamilton. Podemos enunciar este

principio de la siguiente manera

Principio de Hamilton: Cuando el sistema va desde la configuraci on q (1)k

en t = t1 hasta la q (2)

k

en t = t2, se cumple que la integral de accion S

S =

t2

t1

L(q, q ) dt (4.2)

toma un valor estacionario.

Ello implica que se deben cumplir la ecuaciones diferenciales de Euler-

Lagranged

dt

∂L

∂ q k− ∂L

∂q k= 0, k = 1, 2, . . . n , (4.3)

que son por tanto las ecuaciones del movimiento del sistema. En este contexto,

se suelen llamar simplemente las ecuaciones de Lagrange.



4–1



Capıtulo 4. Formulacion lagrangiana de la electrodinamicaclasica I

Ejemplo. Partıcula en tres dimensiones sometida al ptential U (x,y,z ). El

lagrangiano es

L = 12

mv2 − U

y las ecuaciones de Lagrange

mx = −∂ xU , my = −∂ yU , mz = −∂ zU .

Prueba del principio de Hamilton. Definimos las variaciones de las coor-

denadas δq k(t) como funciones con buen comportamiento que se anulan en t1 y

t2, o sea que

δq k(t1) = δq k(t2) = 0 . (4.4)

De ese modo los conjuntos q k(t) + δq k(t) son conjuntos de funciones que cumplen

todas ellas las condiciones inicial y final q k(t1) + δq k(t1) = q (1)k y q k(t2) + δq k(t2) =

q (2)k . Que la integral de accion tome un valor estacionario significa que, al variar

las coordenadas, se anule la parte de primer orden de la variaci on de la integral.

La variacion de la integral de accion vale

δS =

t2

t1

[L(q + δq, q + δ q ) − L(q, q )] dt =

t2

t1

∂L

∂q δq +

∂L

∂ q δ q

dt , (4.5)

salvo terminos de segundo orden y superiores en las variaciones (notese que por

simplicidad se han omitido los subındices en las coordenadas y velocidades. Hay

que sobreentender que esa expresion es una suma extendida a los valores k =

1, 2, · · · , n). Tal como hemos definido la variacion, esta claro que la variacion y

la derivada respecto al tiempo conmutan, es decir

δ q = d

dt δq . (4.6)

Gracias a ello podemos integrar por partes el segundo termino del tercer miembro

de (4.5), con lo que t2

t1

∂L

∂ q δ q dt =

∂L

∂ q δq

t2

t1

− t2

t1

d

dt

∂L

∂ q

δq dt

anulandose el primer termino del segundo miembro por la condicion (4.4), de

modo que (4.5) toma la forma

δS = −

t2

t1 d

dt

∂L

∂ q − ∂ L

∂q δq (t) dt

= −

n

k=1 t2

t1 d

dt

∂L

∂ q k− ∂L

∂q k δq k(t) dt

(4.7)

4–2 —

A n t o n





4.2. Principio de Hamilton en teorıa de campos

La unica manera en que las integrales en (4.7) sean nulas para todas las varia-

ciones posibles es que se anulen los parentesis, lo que conduce a las ecuaciones de

Lagrange (4.3). Recıprocamente, estas ecuaciones implican δS = 0.

Momentos conjugados. A cada variable q k le corresponde un momento

conjugado pk definido ası

pk = ∂L

∂ q k.

A las variables cartesianas xk les corresponde el momento lineal pk = mvk, a la

rotacion alrededor de un eje, la componente sobre ese eje del momento angular,

etc.

Hamiltoniano. (o funcion hamiltoniana) Se define ası

H =

k

pk q k − L .

Su derivada total respecto al tiempo vale

dH

dt = −∂L

∂t ,

o sea que si L no depende explıcitamente del tiempo el hamiltoniano es una cons-

tante del movimiento. Eso ocurre al estudiar leyes que no dependan del tiempo.

Si la energıa cinetica es la suma de una funcion cuadratica de las velocidades

T 2 =

ij12

Aij q i q j , otra parte lineal T 1 =

k Bk q k y otra independiente de las

velocidades T 0, el hamiltoniano vale

H = T 2 − T 0 + U.

Cuando T = T 2, caso frecuente, H puede identificarse con la energıa.

4.2. Principio de Hamilton en teorıa de campos

En la dinamica newtoniana se trata de determinar un conjunto de coordenadas

funciones del tiempo q k(t), k = 1, . . . , n; por ejemplo, las coordenadas de un

planeta, o del sistema solar, o de un oscilador en varias dimensiones. Por ello la

integral en el principio de Hamilton es simple y extendida al intervalo temporal

(t1, t2). Las correspondientes ecuaciones de Lagrange son ecuaciones diferenciales

ordinarias en el tiempo.

Supongamos ahora una teorıa de campos en que la dinamica de un sistema se

expresa con unas coordenadas generalizadas que son funciones del espacio y del



4–3




tiempo q k(r, t), k = 1, . . . m. Ası debe ocurrir en electromagnetismo, considerando

como coordenadas los cuatro potenciales, el escalar Φ(r, t) y el vectorial A(r, t),

o quiza las seis componentes de los campos electrico y magnetico. Pues bien, es

posible una teorıa paralela a la de la seccion anterior basada en un principio de

Hamilton.

Sean q k(r, t), k = 1, . . . m los campos que sirven de coordenadas. En vez de una

funcion lagrangiana L(q k, q k), se toma una densidad lagrangiana , con dimensiones

de densidad de energıa,

L(q k, ∂ αq k) ,

que depende de los campos coordenados y de sus derivadas espacio-temporales;

el ındice α toma los valores 0, 1, 2, 3, indicando de que coordenada o tiempo setrata. La accion se define mediante una integral extendida a todo el tri-espacio y

al intervalo temporal (t1, t2), o sea

S =

t2

t1

dt

R3

d3x L(q k, ∂ αq k) . (4.8)

Notese que es razonable llamar lagrangiano a la integral L =

d3xL, pues la

accion es entonces S =

t2

t1L dt. Sin entrar en los detalles matematicos, supon-

dremos ahora que los campos y la densidad lagrangiana decrecen suficientemente

deprisa en el infinito espacial (cuando r → ∞).

El principio de Hamilton en teorıa de campos tiene la forma

δS = δ

t2

t1

dt

R3

d3x , L(q k, ∂ αq k) (4.9)

admitiendo que las variaciones de los q k tienden a cero en el infinito espacial y

son nulas en los tiempos inicial y final

δq k(r, t1) = 0, δq k(r, t2) = 0 . (4.10)

La variacion de la accion se escribe

δS = 1

c

t2

t1

dΩ

∂ L∂q k

δq k + ∂ L∂∂ αq k

δ∂ αq k

, (4.11)

(recuerdese que dΩ = dx0dx1dx2dx3). Ocurre como antes que la variacion y

la derivada conmutan, δ∂ αq k = ∂ α(δq k). Gracias a ello, el segundo termino del

miembro de la derecha de (4.11) se puede integrar por partes

dΩ

∂ L∂∂ αq k ∂ α(δq k) =

dΩ ∂ α

∂ L∂∂ αq k δq k

− dΩ

∂ α∂ L∂∂ αq k

δq k , (4.12)

4–4 —

A n t o n





4.3. La acci´ on de una partıcula libre en relatividad

salvo un factor comun 1/c. La primera integral de la derecha se anula por ser la

de una divergencia de un cuadrivector que tiende a cero en el contorno. Es facil

entenderlo: la integral en dt del termino en ∂ 0 del parentesis da la diferencia de

dos cantidades nulas y lo mismo ocurre con las integrales en ∂ k. Rearreglando los

terminos, queda

δS = −1

c

t2

t1

dΩ

∂ α

∂ L∂∂ αq k

− ∂ L∂q k

δq k = 0 . (4.13)

para que esa integral se anule para todas las variaciones δq k que cumplan las

condiciones en el infinito y en los tiempos inicial y final, se deben de cumplir las

ecuaciones de Lagrange

∂ ∂xα

∂ L∂∂ αq k

− ∂ L∂q k

= 0, k = 1, · · · m . (4.14)

Para compararlas con las del movimiento de un sistema discreto, conviene es-

cribirlas en la forma siguiente

∂

∂t

∂ L∂∂ tq k

+ ∂

∂xi

∂ L∂∂ iq k

− ∂ L∂q k

= 0, k = 1, · · · m , (4.15)

de modo que se ve claramente de que derivadas se trata. Estas ecuaciones deben

compararse con (4.3)

d

dt

∂L

∂ q k − ∂L

∂q k = 0, k = 1, 2, . . . n .

En una teorıa relativista α debe ser un ındice en el espacio de Minkowski y k

debe serlo tambien para que se cumpla el principio de covariancia. Mas adelante

aplicaremos estas ideas al electromagnetismo, tomando como campos basicos q klos cuatro potenciales (Φ, A).

4.3. La accion de una partıcula libre

en relatividad

Sea una partıcula libre, por ejemplo un electron, que se mueve. ¿Como plantear

su movimiento desde el punto de vista variacional? En primer lugar el integrando

de la accion debe ser un escalar, pues de otra forma la teorıa no serıa covariante

Lorentz ni, por tanto, relativista. Ademas debe ser tambien una forma diferencial

de primer orden. El unico integrando que cumple esas condiciones es λ ds, siendo

λ una constante. Por tanto la accion debe ser

S = −λ 2

1ds , (4.16)



4–5




donde la integral se toma a lo largo de la trayectoria (o lınea de universo) de la

partıcula en el espacio de Minkowski. Los lımites de la integral son dos puntos

de espacio-tiempo, o sea una posicion en el tiempo incial t1 y otra en el tiempo

final t2. Se puede comprobar que λ debe ser positiva. Hasta ahora el elemento

diferencial que aparece en la integral de accion es la diferencial del tiempo, de

modo que S = 21

Ldt. La ecuacion (4.16) toma la forma

S = − t2

t1

λ c

1 − v2/c2 dt , (4.17)

donde v es la velocidad. El lagrangiano es, pues,

L = −λ c

1 − v2/c2 . (4.18)

Para determinar la constante λ usaremos dos criterios: i) el lagrangiano L debe

tener dimensiones de energıa; y ii) cada partıcula esta caracterizada por su masa

m. Esto sugiere que podrıa ser λ = mc. Para comprobarlo, tomemos el caso de

pequena velocidad, cuando vale la teorıa newtoniana. Aproximando la raız hasta

terminos en primer orden en v2/c2, resulta

L = −λ c

1 − v2/c2 ≈ −λc +

λv2

2c . (4.19)

Comparando con la expresion newtoniana L = mv2/2 se comprueba que el valor

anterior λ = mc es el correcto. Quedan pues la accion y el lagrangiano en la forma

S = −mc

21

ds = −mc2

21

dτ , L = −mc2

1 − v2/c2 . (4.20)

Energıa y momento lineal. La definicion del momento lineal p = ( p1, p2, p3),

el conjugado a las coordenadas cartesianas, es

pk = ∂L

∂ xk

, o sea p = mv

1 − v2/c2

. (4.21)

En cuanto a la energıa, la tomaremos igual al hamiltoniano, es decir

E =31

pk q k − L , o sea E = mc2 1 − v2/c2

. (4.22)

Como vemos se obtienen ası las conocidas expresiones relativistas.

Notese que a pequenas velocidades

E mc2 + 12 mv2 ,

4–6 —

A n t o n





4.3. La acci´ on de una partıcula libre en relatividad

y que, a cualquier velocidad,

E 2

c2 = p2 + m2c2 .

El hamiltoniano puede escribirse ası

H = c

p2 + m2c2 .

Tambien

p = E vc2

.

A primera vista parece que la idea de una partıcula con masa nula m = 0 no tiene

sentido. Sin embargo sı lo tiene, si suponemos que esa partıcula siempre tiene lavelocidad c respecto a todos los observadores inerciales, como se deduce por otra

parte de las transformaciones relativistas de las velocidades. En ese caso

E = p c .

4.3.1. Formulacion cuadridimensional.

De lo anterior se deduce que el principio de Hamilton (o de “mınima” accion)

para una partıcula relativista es

δS = −mc2 δ

21

dτ = 0 ,

donde τ es el tiempo propio. Teniendo en cuenta que dτ = (dxµdxµ)1/2/c, que

dδxµ = δ dxµ y que δ (dxµdxµ)1/2 = dxµδ dxµ/(dxµdxµ)1/2, es decir que la variacion

y el diferencial conmutan, esa variacion vale

δS = −m 2

1

dxµδ dxµ

dτ = −m

2

1

uµdδxµ .

Integrando por partes

δS = − m uµδxµ|21 + m

21

δxµ duµ

dτ dτ .

El primer termino del segundo miembro vale cero porque las variaciones se anulan

en los tiempos extremos. La condicion δS = 0 para ∀ δxµ implica pues que

duµ/dτ = 0 ,

es decir, la cuadrivelocidad es constante, como corresponde a una partıcula libre.



4–7




Tal como se hace en mecanica teorica newtonana, podemos considerar a la

accion como una onda, haciendo fijo el lımite inferior 1 y variando el superior 2,

o sea considerando las coordenadas de este ultimo como variables. De ese modo

tenemos una funcion S = S (xµ). Si variamos solo estas coordenadas del punto

final queda

δS = −m uµδxµ ,

porque la integral en la expresion de δS , ecuacion anterior, se anula y solo queda

el primer termino en el lımite superior. El cuadrivector

pµ = − ∂S

∂xµ

es el cuadrivector momento. De hecho en mecanica clasica las derivadas (∂ xS, ∂ yS, ∂ zS )

son las tres componentes del momento lineal p mientras que −∂ tS es la energıa

de la partıcula. Por tanto las componentes covariantes y contravariantes del cua-

drimomento son

pµ =

E c

, −p

, pµ =

E c

, p

,

por lo que

pµ = m uµ

lo que coincide con las definiciones anteriores.

La consecuencia de estos argumentos es que la energıa sobre c y el momento

lineal forman un cuadrivector, llamado de energıa-momento. En una transforma-

cion de Lorentz esas cantidades cambian, pues, del modo

px = px − vE /c2

1 − v2/c2 py = py

pz = pz , E = E − vpx

1 − v2/c2.

Debido a la identidad uµuµ = c2 se cumple que

pµ pµ = m2c2 ,

que es otra forma de la relacion relativista entre la energıa y el momento.

4.4. Cuadripotencial del campo electromagnetico

Interaccion a distancia e interaccion por campos mediadores. En las

presentaciones elementales de la fısica se suele considerar que las fuerzas entre

4–8 —

A n t o n





4.4. Cuadripotencial del campo electromagnetico

cuerpos o partıculas se efectuan de manera instantanea. Por ejemplo, al estudiar

el Sistema Solar de modo newtoniano no se tienen en cuenta la posibilidad de que

la accion gravitatoria tarde un tiempo en ir de un cuerpo a otro. Lo mismo ocurre

en el caso del electromagnetismo elemental. Esto parecıa evidente al principio,

debido a que esas acciones se transmiten de hecho con una velocidad muy alta,

la de la luz, por lo que la idea de accion a distancia da muy buenos resultados

si las velocidades implicadas no son relativistas. Pero un tratamiento mas fino

exige incluir ese retraso de la accion. Ello se hace suponiendo que hay un campo

intermedio que se propaga entre dos partıculas que interactuan. En este curso

trataremos esta cuestion en el caso de las cargas a alta velocidad o aceleradas.

Consideraremos ahora el movimiento de una carga puntual en un campo elec-tromagnetico exterior, es decir despreciando el efecto de la partıcula sobre el

campo. En ese caso el lagrangiano debe tener dos terminos: uno el mismo que

antes, para la partıcula libre, y otro que represente a la interaccion. La experiencia

dice que este ultimo es de la forma −e 21

Aµdxµ, siendo e la carga de la partıcula

y Aµ = Aµ(r, t) un cuadripotencial que representa al campo electromagnetico.

Veremos que resulta ser igual a

Aµ = (Φ/c, A) .

Notese que Φ/c y A tienen las mismas dimensiones, mas concretamente[Aµ] = Fuerza/Intensidad de corriente, o sea [Aµ] = kg ·m ·s−2 ·A−1 = N/A .

Tomaremos pues la siguiente expresion para la accion de una partıcula con carga

e

S =

21

−mc2dτ − eAµdxµ

. (4.23)

Esa integral se puede escribir como

S = 2

1−m c2 dτ

−e Φ dt + e A

·dr

=

21

−mc2

1 − v2

c2 − eΦ + eA · v

dt . (4.24)

El lagrangiano es, por tanto,

L = −mc2

1 − v2

c2 − eΦ + eA · v (4.25)

Momento lineal. Ese momento sera px = ∂L/∂vx, por lo que

P =

mv 1 − v2/c2 + eA = p + eA . (4.26)



4–9




P es el momento can´ onico y p = mγ v el momento mec´ anico. El Hamiltoniano

vale

H =

k

xk∂L

∂ xk− L

= mc2

1 − v2/c2+ eΦ (4.27)

El hamiltoniano puede expresarse, y es importante hacerlo ası, en terminos del

momento canonico de la partıcula. El calculo es simple y sale

H =

m2c4 + c2(P − eA)2 + eΦ . (4.28)

En el caso de pequena velocidad, L = mv2

/2 − eΦ + ev · A, con lo que

H = 1

2m (P − eA)2 + eΦ . (4.29)

4.5. Ecuaciones del movimiento de una carga en

un campo electromagnetico

Entre una carga y un campo electromagnetico hay acciones mutuas (interac-

ciones), de modo que el campo cambia el movimiento de la partıcula (mediantefuerzas) y, a su vez, el movimiento de la partıcula modifica el campo (al cambiar

la situacion o la velocidad de las cargas o emitiendo radiaci on). Debe ser ası si

la energıa se conserva. Conviene empezar por lo que se llama una partıcula de

prueba, cuya carga y energıa son tan pequenas que su accion sobre el campo se

puede despreciar. Un ejemplo es el de un electron en un campo macroscopico.

Para estudiar el problema en esa aproximacion, consideraremos variaciones de

las coordenadas de la partıcula en el lagrangiano en (4.24), pero no del vector

Aµ(r, t).

Las ecuaciones de Lagrange son

d

dt

∂L

∂vk

=

∂L

∂xk, (4.30)

con el lagrangiano L dado por (4.25). Notese que el segundo miembro es igual a

∇L = e∇(A · v) − e∇Φ .

El gradiente del producto escalar de dos vectores arbitrarios esta dado por la

formula

∇(a · b) = (a · ∇)b + (b ·∇)a + b × (∇× a) + a × (∇× b) .

4–10 —

A n t o n





4.5. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo electromagnetico

Aplicando esta formula y teniendo en cuenta que v no depende de r, resulta

∇L = e (v ·∇)A + e v × (∇× A) − e∇Φ .Como en las ecuaciones de Lagrange ∂L/∂ v = P = p + eA, resulta que esas

ecuaciones tienen la forma

dp

dt = −e

∂ A

∂t − e∇Φ + ev × (∇× A) . (4.31)

Esta ecuacion tiene un aire muy conocido. Definiendo los vectores E, B como

E = −∇Φ − ∂ tA , B = ∇× A , (4.32)

las ecuaciones (4.30) toman la forma

dpdt

= e E + e v × B , (4.33)

con p = mγ v. Como se ve, expresan la ley de Lorentz.

Cosas sueltas. En el caso de pequenas velocidades la ecuacion (4.33) toman

la forma

mdv

dt = e E + e v × B . (4.34)

La derivada temporal de la energıa cinetica, o sea del primer termino a la derecha

de (4.27), vale

dT dt

= ddt

mc2 1 − v2/c2

= v · dp

dt = e E · v . (4.35)

O sea que el campo magnetico no efectua trabajo sobre la partıcula.

Las ecuaciones del movimiento en mecanica newtoniana son invariantes bajo

la inversion del tiempo. Esto significa que si un cierto movimiento es posible,

tambien lo es el movimiento que se obtiene cambiando el signo de todas las

velocidades (por ejemplo serıa posible un sistema solar como el nuestro en que los

planetas se movieran con exactamente las velocidades opuestas a las que ahora

tienen). De hecho esas ecuaciones son reversibles temporalmente. En el caso quenos ocupa, eso sigue siendo cierto con tal de que cambiemos ademas el signo del

campo magnetico. De modo mas preciso, las ecuaciones (4.33) son invariantes

bajo los cambios

t → −t , E → E , B → −B , (4.36)

lo que corresponde a

Φ → Φ , A → −A . (4.37)

O sea, si un movimiento de cargas en un campo electromagnetico es posible, el

movimiento inverso en el tiempo es tambien posible si se cambia el signo del

campo magnetico.



4–11




4.6. Invariancia gauge

Un problema que se plantea es decidir cuales son mas importantes, los poten-

ciales (Φ, A) o los campos (E, B). A primera vista parecen mas fundamentales

los primeros, pues los segundos se deducen unıvocamente de ellos y, ademas,

solo tiene cuatro grados de libertad en cada punto, por seis de los campos. Sin

embargo, lo que caracteriza al campo electromagnetico desde el punto de vista

experimental es su accion sobre las cargas y eso se lleva a cabo mediante los

campos electrico y magnetico. Un problema interesante en este caso es saber si

los potenciales estan unıvocamente determinados por los campos. La respuesta

es no.

En particular, si se suman a los potenciales las derivadas de una funci on

arbitraria del espacio-tiempo, de modo que

Aµ → Aµ = Aµ − ∂f

∂xµ , (4.38)

los campos E y B no cambian, como se comprueba facilmente. Esta claro que tal

cambio equivale a anadir al integrando de la integral de acci on una diferencial

exacta pues

e

∂f

∂xµ dxµ

= d(ef ) ,

por lo que la accion cambia en la cantidad e[f (2) − f (1)] cuya variacion es nula

pues ası lo son las variaciones del potencial en t1 y t2, los dos extremos del intervalo

temporal. O sea que la accion permanece invariante, las ecuaciones de Lagrange

tambien y nada cambia en el proceso fısico. Ademas es facil comprobar que el

cambio (4.38) equivale a

Φ → Φ = Φ − ∂ tf, A → A = A + ∇f , (4.39)

de modo que no cambian los vectores E y B.Esta es la famosa invariancia de gauge bajo la transformaci´ on de gauge (4.38).

Un caso particular es anadir una constante al potencial escalar y un vector cons-

tante al potencial vectorial, lo que se consigue tomando f =

akxk.

4.7. El tensor electromagnetico

A partir de ahora se usara el convenio de Einstein de los ındices repetidos:

Siempre que haya uno repetido se sobreentendera que hay que sumar en sus

4–12 —

A n t o n






posibles cuatro valores. Consideremos de nuevo el principio variacional para el

movimiento de una partıcula en un campo electromagnetico exterior

δS = δ

21

−m c2dτ − eAµdxµ

= 0 . (4.40)

Variaremos ahora no solo la trayectoria de la partıcula sino tambien el potencial

Aµ. Teniendo en cuenta que dτ =

dxµdxµ/c, se puede escribir la ecuacion

anterior en la forma

δS = − 21

m

dxµdδxµ

dτ + eAµdδxµ + eδAµdxµ

= 0 .

A continuacion integramos los dos primeros terminos por partes, introduciendola cuadrivelocidad uµ = dxµ/dτ , con lo que llegamos a

δS = −[(m uµ + eAµ)δxµ]21 +

21

(m duµ δxµ + e δxµdAµ − eδAµdxµ) = 0 . (4.41)

El primer termino del segundo miembro es claramente nulo, ya que las variaciones

δxµ se anulan en los extremos del intervalo. Aplicando al resto las igualdades

δAµ = ∂Aµ

∂xν δxν dAµ =

∂Aµ

∂xν dxν ,

resulta 21

m duµδxµ + e

∂Aµ

∂xν δxµdxν − e

∂Aµ

∂xν dxµ δxν

= 0 .

Sustituyendo duµ = (duµ/dτ )dτ en el primer termino y dxµ = uµdτ en el segundo

y el tercero, intercambiando ademas los ındices mudos µ y ν en el tercero, se

obtiene m

duµ

dτ − e

∂Aν

∂xµ − ∂Aµ

∂xν

uν

δxµdτ = 0 .

Como las funciones δxµ son arbitrarias, se debe cumplir

m duµ

dτ = e

∂Aν

∂xµ − ∂Aµ

∂xν

uν . (4.42)

Conviene introducir el tensor electromagnetico definido como

F µν = ∂Aν

∂xµ − ∂ Aµ

∂xν , (4.43)

o tambien F µν = ∂ µAν − ∂ ν Aµ, donde la F es la inicial de Faraday, el fısico que

introdujo la idea de campo. La ecuacion del movimiento toma la forma

m du

µ

dτ = eF µν uν . (4.44)



4–13




Esa es la expresion de las ecuaciones del movimiento de una carga puntual

en un campo electromagnetico en formalismo cuadridimensional. Sustituyendo

Aµ = (Φ/c, A), resulta que el tensor electromagnetico vale (los ındices de filas y

columnas son (0, 1, 2, 3))

F µν =

0 −E x/c −E y/c −E z/c

E x/c 0 −Bz By

E y/c Bz 0 −Bx

E z/c −By Bx 0

, F µν =

0 E x/c E y/c E z/c

−E x/c 0 −Bz By

−E y/c Bz 0 −Bx

−E z/c −By Bx 0

.

(4.45)

En la notacion mas breve, usada en el capıtulo anterior

F µν = (−E/c, B) , F µν = (E/c, B) .

Las dimensiones de F µν son

[F µν ] = N/A · m .

Las expresiones (4.45) muestran que que las componentes de los trivectores electri-

co y magnetico son las componentes de un tensor antisimetrico de rango dos, el

tensor electromagnetico F

µν

. De esta afirmacion deduciremos como cambian E yB en una transformacion de Lorentz.

El sentido de las ecuaciones (4.44) se entiende facilmente, al dar valores al

ındice µ. Las tres componentes espaciales µ = 1, 2, 3 son, en otra forma, las

ecuaciones (4.33); la componente temporal, con µ = 0, da la ecuacion de la

variacion temporal de la energıa cinetica (4.35). Alguien podrıa pensar que no

tiene mucho interes poner esas ecuaciones en formalismo de cuatro dimensiones

si, al fin y al cabo, son las mismas que en tres. Pero n otese que en esta forma es

evidente que se trata de una teorıa relativista pues se cumple evidentemente el

principio de covariancia: los dos miembros se transforman de igual modo, los dosson cuadrivectores.

Lo mismo que hicimos antes, consideremos a la accion como una onda en

el espacio-tiempo. Para hacerlo fijemos el punto inicial, usemos la trayectoria

correcta y variemos solamente el punto final. Se tiene evidentemente

δS = −(m uµ + eAµ) δxµ . (4.46)

Por tanto

− ∂S ∂xµ = m uµ + eAµ = pµ + eAµ .

4–14 —

A n t o n






Como el primer miembro de esta ecuacion es el cuadrivector P µ de los momentos

conjugados de la partıcula, resulta que este vale

P µ =

E cin + eΦ

c , p + e A

. (4.47)

Vemos que la componente cero de ese cuadrivector es la energıa cinetica mas la

potencial, como era de esperar.

4.7.1. Transformaciones de Lorentz del campo

Un vector y un tensor de segundo rango se transforman ası

R µ = aµρRρ , T µν = aµ

ρ aν σT ρσ . (4.48)

Teniendo en cuenta la expresion conocida de las transformaciones de Lorentz,

x = x − vt

1 − v2/c2, x 1 = γ (x1 − vx0/c)

y = y , z = z , o sea x 2 = x2 , x 3 = x3 (4.49)

t = t − (v/c2)x

1 − v2/c2, x 0 = γ (x0 − vx1/c),

resulta que la matriz (aµρ) es igual a

aµρ =

1√ 1−v2/c2

−v/c√ 1−v2/c2

0 0

−v/c√ 1−v2/c2

1√ 1−v2/c2

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

. (4.50)

Los potenciales se transforman como un vector, o sea

Φ = Φ − vAx

1 − v2/c2, A

x = Ax − vΦ/c2

1 − v2/c2, A

y = Ay , Az = Az , (4.51)

y los campos electrico y magnetico cambian como componentes de un tensor de

rango dos en una transformacion de Lorentz a lo largo del eje x. Mas concreta-

mente ası

E x = E x , E y = E y − vBz

1 − v2/c2

, E z = E z + vBy

1 − v2/c2

(4.52)

B

x = Bx , B

y =

By + vE z/c2 1 − v2/c2 , B

z =

Bz

−vE y/c2

1 − v2/c2 (4.53)



4–15




Prueba.

En primer lugar veamos que las componentes F

01

y F

23

no cambian, o seaque E x, Bx son las mismas en los dos sistemas.

F 01 = −E x/c = a0αa1

β F αβ = (a01a1

0 − a00a1

1)F 01 = γ 2(β 2 − 1)E x/c = −E x/c ,

donde se ha usado (4.50). Analogamente para F 23.

Por su parte las componentes (F 02, F 03) transforman como x0 y las (F 12, F 13),

como x1. Tambien se puede aplicar (4.48), por ejemplo

−E y/c = F 02 = a0αa2

β F αβ = (a00a2

2 + a01a2

2)F 02 = γ (−E y/c) + (−βγ )(−Bz) ,

de lo que resulta la ecuacion (4.52), usando (4.50), y analogamente con las demas.

Las ecuaciones (4.52)-(4.53) pueden escribirse tambien como

E = γ (E+v×B)− γ

γ + 1β(β ·E) , B = γ (B− v

c2×E)− γ

γ + 1β(β ·B) . (4.54)

En el caso de que la velocidad entre los dos sistemas sea pequena β 1,

tomando hasta los terminos lineales en β , resulta

E x = E x E y = E y − vBz , E z = E z + vBy

Bx = Bx B

y = By + vE z/c

2

, Bz = Bz − vE y/c

2

,

que en forma vectorial se escriben

E = E − B × v , B = B + 1

c2 E × v . (4.55)

Si en el sistema S no hay campo magnetico, B = 0, en el sistema S ese campo

valdra

B = 1

c2 E × v . (4.56)

Notese que, en tal caso, los campos electrico y magnetico son perpendiculares S .

4.7.2. Invariantes del campo

A partir del campo electromagnetico se pueden formar cantidades que no

varıan bajo una transformacion de Lorentz. Se llaman invariantes Lorentz. Pense-

mos en el tensor de rango cuatro T αβγδ = F αβ F γδ . Podemos hacer dos cosas con

el. (i) contraer sus ındices 1 y 3 y 2 y 4; (ii) contraerlo con el tensor comple-

tamente antisimetrico eαβγδ. Resultan ası dos cantidades invariantes

F αβ F αβ , eαβγδF αβ F γδ , (4.57)

4–16 —

A n t o n





4.8. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme

el primero es un escalar, es decir un tensor de rango cero; el segundo es un

pseudoscalar. Notese que en las expresiones de los dos invariantes se ha usado

el convenio de Einstein, por lo que se deben sobreentender sumas en los ındices

repetidos.

Tomando las expresiones anteriores del tensor electromagnetico, es facil cal-

cular los valores de estos invariantes que son, respectivamente,

F αβ F αβ = 2 (B2 − E 2/c2) , eαβγδF αβ F γδ = −8 E · B/c . (4.58)

Que estas cantidades sean invariantes significa que su valor es el mismo en

todos los sistemas inerciales. En particular si se anulan en un sistema, se anulan

siempre. Esto implica que si E y B son perpendiculares en un punto del espacio-tiempo de un sistema inercial, lo son tambien en el punto correspondiente de

todos los demas. Si tienen el mismo modulo, ocurre lo mismo. Igual sucede si

E/c > B, o si E/c < B.

Una ultima observacion es conveniente para lo que se tratara en el proximo

capıtulo. Teniendo en cuenta que c2 = (0µ0)−1, y recordando que las densidades

de energıa electrica y magnetica son ue = 0E 2/2 y um = B2/2µ0, el primer

invariante puede escribirse en la forma

F αβ F αβ = 2 (B2 − E 2/c2) = 4µ0

B

2

2µ0

− 0E 2

2

= 4µ0(um − ue) , (4.59)

y por tanto su integral espacial es proporcional a la diferencia entre las energıas

asociadas a los campos magnetico y electrico.

4.8. Campo electrico de una carga puntual en

movimiento uniforme

Sabemos que una carga puntual en reposo produce un campo culombiano, lo

que sugiere preguntar ¿que forma tiene el campo creado por una carga puntual

que se mueve con velocidad constante?

Consideremos dos sistemas inerciales S y S , el segundo moviendose con ve-

locidad v segun el eje x, con ejes paralelos y de modo que en el tiempo t = 0

coinciden los dos orıgenes (ver figura). Una carga esta en reposo en el origen del

sistema S . El observador esta en el punto P .

En el sistema S , el punto P tiene coordenadas x =

−vt, y = b, z = 0 y

su distancia al origen, donde esta la carga q , es r =

b2 + (vt)2. Los campos



4–17




Figura 4.1: Una carga puntual q que se mueve con velocidad constante v, pasando

por el punto de observacion P con parametro de impacto b

electrico y magnetico en S son (desde aquı hasta la ecuacion (4.62) omitiremos

los factores 1/4π0 y µ0/4π, para aligerar la escritura)

E x = −qvt

r3 , E y =

qb

r3 , E z = 0 .

Bx = 0 , B

y = 0 , Bz = 0 .

La relacion entre los tiempos en P es t

= γ (t − xv/c2

) = γt, pues xP = 0. Conello podemos expresar los campos anteriores en funcion de las coordenadas en S .

E x = − qγvt

(b2 + γ 2v2t2)3/2 , E y =

qb

(b2 + γ 2v2t2)3/2 , E z = 0 . (4.60)

Usando las ecuaciones de la transformacion inversa de (4.52)-(4.53), resulta la

expresion de los campos en S

E x = E x = − qγvt

(b2 + γ 2v2t2)3/2

E y = γE y = γqb

(b2 + γ 2v2t2)3/2 (4.61)

Bz = γβ E y/c = βE y/c .

Las demas componentes se anulan.

Las ecuaciones (4.61) expresan la dependencia de los campos en el punto de

observacion en funcion del tiempo. Tambien conviene conocer su valor en funcion

de las coordenadas espaciales en S , respecto a la posicion actual de la carga. Para

ello observemos en primer lugar que E x/E y =

−vt/b =

−x/y, lo que indica que

el campo electrico esta dirigido radialmente desde la posicion de la partıcula en

4–18 —

A n t o n





4.8. Campo electrico de una carga puntual en movimiento uniforme

el instante t. Como sus coordenadas verifican x2 + y2 = b2 + v2t2, el cuadrado del

modulo de E, E 2 = E 2x + E 2y verifica

E 2 = γ 2q 2(x2 + y2)

[(γx)2 + y2)]3 =

q 2(x2 + y2)

γ 4(x2 + y2/γ 2)3 =

q 2(x2 + y2)

γ 4[x2 + y2(1 − β 2)]3

= q 2(x2 + y2)(1 − β 2)2

(x2 + y2)3[1 − β 2y2/(x2 + y2)]3 =

q 2(1 − β 2)2

(x2 + y2)3[1 − β 2 sen2 ψ]3 ,

donde el angulo ψ es el formado por el radio vector en S y la velocidad v de

la carga. Como consecuencia de todo lo anterior, el campo electrico es radial,

pero su modulo depende de la direccion, de modo que vale (recuperando el factor1/4π0)

E = 1

4π0

q r

r3γ 2(1 − β 2 sen2 ψ)3/2 (4.62)

Notese que en el lımite β → 0 se obtiene la ley de Coulomb. Solo hay isotropıa en

ese caso. El campo es mas intenso en la direccion perpendicular a la velocidad.

En la direccion del movimiento de la carga (ψ = 0, π) el campo es menor que en

el caso no relativista en un factor γ

−2

, mientras que en la direccion transversal esmayor por un factor γ . En cierto modo, estos efectos pueden considerarse como

una consecuencia de la contraccion de FitzGerald.

Conviene hacer dos ultimas observaciones. Como se ha dicho, el campo E en

el punto P se dirige radialmente desde la posicion que tiene la carga en el mismo

instante de observacion. Concretando, si la carga paso en el tiempo t por el origen

del sistema S , un observador situado en cualquier punto comprueba que el campo

esta dirigido radialmente hacia el origen en ese momento t. Esto parece sorpren-

dente: da la impresion de que la fuerza se transmite de modo instantaneo, pero

¿como puede saber un observador lejano la posicion de la partıcula en el mismoinstante? En realidad no puede, pues eso serıa una violacion de la causalidad de

Einstein. La explicacion es que la partıcula venıa siguiendo un movimiento uni-

forme que pasarıa por el origen en el instante t y esa informacion era conocible

desde antes.

Cabe hacer otro comentario. El campo (4.62) no puede ser creado por ninguna

distribucion estatica de carga. Para ello consideremos un circuito C en forma de

trapecio curvilıneo, formado por dos arcos de circunferencia de radios R1 y R2,

centradas en la posicion de la partıcula, y dos radios desde ese punto. Esta claro

que la circulacion de E no es nula, por lo que se necesita un campo magnetico.



4–19




4.9. Partıcula cargada en un campo electrico

uniforme y constanteEn lo sucesivo, usaremos la siguente notacion: un campo es uniforme si no

depende de la posicion y es constante si no depende del tiempo. Si el campo

electrico es constante, se expresa como E = −∇Φ, donde Φ = −E·r con la posible

adicion de una constante. Notese que esa adicion es la unica transformacion de

gauge permitida si E es constante y B = 0.

Como E es constante, se puede elegir el potencial escalar independiente del

tiempo, y por tanto tambien el lagrangiano es, siendo constante la energıa. Su

valor es

E = mc2 1 − (v2/c2)

+ q Φ ,

siendo q el valor de la carga.

Supongamos que, en el momento inicial, la carga tiene un momento lineal

p0. Su movimiento estara confinado al plano formado por los vectores E y p0.

Tomemos el caso en que sean perpendiculares, definiendo las coordenadas (x, y)

de modo que E = (E, 0) y p0 = (0, p0). La ecuaciones del movimiento son (el

sobrepunto indica derivada respecto a t)

˙ px = qE, ˙ py = 0 ,

la trayectoria,

px = qEt , py = p0 .

y la energıa cinetica de la carga,

E cin = m2c4 + c2 p2

0 + (cqEt)2 = E 20 + (cqEt)2

donde E 0 es la energıa cinetica inicial. La velocidad verifica

v = pc2

E cin ,

por lo que

dx

dt =

pxc2

E cin = c2qEt

E 20 + (cqEt)2

, (4.63)

dy

dt =

pyc2

E cin =

p0c2 E 20 + (cqEt)2 . (4.64)

4–20 —

A n t o n





4.10. Partıcula cargada en un campo magnetico uniforme y constante

Integrando estas ecuaciones, se tiene

x = 1qE

E 20 + (cqEt)2 , y = p0cqE

arcsinh

cqEtE 0

. (4.65)

Por simplicidad, se han tomado iguales a cero las constantes de integracion. Eli-

minando el tiempo entre las dos ecuaciones anteriores (recordando que cosh2 u −sinh2 u = 1), resulta como ecuacion de la trayectoria

x = E 0qE

cosh qEy

p0c , (4.66)

curva conocida como catenaria . En el caso no relativista, si v

c, se puede

aproximar p0 = mv0 y E 0 = mc2, con lo que la ecuacion de la trayectoria resultaser

x = qE

2mv20

y2 + const , (4.67)

es decir una parabola, como en el tiro parabolico, naturalmente.

4.10. Partıcula cargada en un campo magnetico

uniforme y constante

Tomamos el campo B en la direccion del eje z . La ecuacion del movimiento

toma la forma

p = q v × B (4.68)

Como el sistema es independiente del tiempo, se conserva la energıa y, como el

trimomento vale p = E v/c2, resulta

E c2

v = q v × B (4.69)

Eso se puede escribir en la forma

vx = ωvy , vy = −ωvx , vz = 0, (4.70)

donde la frecuencia ω, conocida como frecuencia del ciclotr´ on , vale

ω = qc2B

E . (4.71)

Combinando las dos ecuaciones (4.70) resulta

vx + ivy = −iω(vx + ivy) ,



4–21




cuya solucion es

vx + ivy = ae−iωt ,

siendo a una cantidad compleja que se puede escribir como a = v0te−iα. Resulta

entonces que la trayectoria de la carga verifica

vx = v0t cos(ωt + α) , vy = v0t sen(ωt + α) . (4.72)

La constante v0t es la componente normal al campo magnetico de la velocidad en

el momento inicial. Integrando de nuevo

x = x0 + r sen(ωt + α) , y = y0 − r cos(ωt + α) (4.73)

siendor =

v0t

ω =

v0tE qc2B

. (4.74)

La tercera ecuacion tiene la solucion

z = z 0 + v0zt . (4.75)

La trayectoria es una helice cuyo eje pasa por (x0, y0), es paralelo a B y cuyo

radio es r. Su paso de rosca es 2πvz/ω.

En el caso no relativista, la frecuencia vale

ω = qBm

. (4.76)

4.11. Partıcula cargada en campos electrico y

magnetico uniformes y constantes

Consideramos ahora el movimiento de una carga puntual q de masa m, someti-

da a campos electrico y magnetico constantes y uniformes. Tomaremos solo el caso

no relativista en que la velocidad de la carga es pequena, v c y el momentolineal se puede aproximar como p = mv. Elegimos el eje z segun la direccion de

B, estando el campo E en el plano yz . Las ecuaciones del movimiento son

mv = q (E + v × B)

o sea

mx = q yB , my = qE y − q xB , mz = qE z . (4.77)

La solucion de la tercera es

z = qE z2m t2 + v0zt + z 0 . (4.78)

4–22 —

A n t o n





4.11. Partıcula cargada en campos electrico y magnetico uniformes y constantes

Sumando la primera (4.77) con la segunda multiplicada por i, resulta

d

dt(x + iy) + iω(x + iy) = iqE ym , (4.79)

donde ω = qB/m es el lımite no relativista de la frecuencia del ciclotron. La

solucion general de (4.79) es la general de la homognenea mas una particular de

la completa. La primera es ae−iωt con a una constante de integracion compleja,

la segunda puede ser qE y/mω = E y/B, es decir

(x + iy) = ae−iωt + E y

B . (4.80)

La constante se puede escribir como a = beiα, con b real. Eligiendo adecuadamente

el origen del tiempo (mas concretamente, redefiniendo el tiempo de t a tnuevo

=t − α/ω, se puede eliminar la fase α, o sea tomar a real. Resulta entonces

x = a cos ωt + E y

B , y = −a sen ωt . (4.81)

Las constantes de integracion se han elegido de tal modo que, en el instante inicial,

la velocidad de la carga es paralela al eje y . Las dos componentes de la velocidad

son periodicas, siendo sus valores medios en el tiempo

x = E y

B , y = 0 .

Esto significa que aparece una velocidad en la direccion perpendicular al planoque contiene los vectores E y B, calificada como velocidad de deriva (drift velocity

en ingles). Su valor es

vderiva = E × B

B2 , (4.82)

y se superpone a una velocidad periodica con frecuencia ω. Hemos supuesto que

el tratamiento no relativista da una buena aproximacion, para lo cual se necesita

queE yB

1 ,

siendo los valores de E y y B totalmente arbitrarios mientras verifiquen la relacionanterior. Integrando ahora las ecuaciones (4.81), con las condiciones iniciales x =

y = 0 en t = 0, resulta

x = a

ω sen ωt +

E yB

t , y = a

ω (cos ωt − 1) . (4.83)

Si a = −E y/B, la solucion es

x = E yωB

(ωt − sen ωt) y = E yωB

(1 − cos ωt) , (4.84)

curva conocida como cicloide . Los otros casos corresponden a las llamadas epici-

cloide e hipocicloide .



4–23




Figura 4.2: Proyeccion en el plano xy de la trayectoria de una carga en dos campos

E y B cruzados, en los casos |a| > E y/B, |a| < E y/B y |a| = E y/B

4.12. Ejercicios

4.1 A partir de la expresion tridimensional del lagrangiano de una partıcu-

la cargada en un campo electrico, deducir el hamiltoniano siguiendo el mismo

metodo que el dinamica clasica.

4.2 Estudiar si la densidad lagrangiana del campo electromagnetico es inva-

riante bajo transformaciones de gauge y discutir las consecuencias de que lo sea

o no.

4.3 Estudiar la trayectoria de una carga puntual en un campo electro-

magnetico constante y uniforme cuyos vectores electrico E y magnetico B son

paralelos.

4.4 ¿Existe la posibilidad de que un campo electromagnetico sea puramenteelectrico en un sistema inercial y puramente magnetico en otro? ¿Que condicion

debe cumplirse en un sistema S para que E = 0 en otro sistema S ?

4.5 En un cierto sistema de referencia S se tiene un campo electromagnetico

uniforme E, B. Se busca un sistema S en el que E B. ¿Tendra siempre

solucion este problema? Si la tiene, ¿es unica? En tal caso, hallar la velocidad v

de S respecto a S y determinar E y B.

4.6 En una onda electromagnetica progresiva en el vacıo, el campo electrico

tiene la expresion E = E 0ei(kx−ωt)uy.

4–24 —

A n t o n





4.12. Ejercicios

a) ¿Hay algun otro sistema de referencia en el que el campo sea puramente

electrico o puramente magnetico?

b) Encontrar alguna razon por la que la fase deba ser invariante.

4.7 Sea un haz cilındrico y uniforme de electrones cuyo radio es a. El haz ha

sido acelerado mediante una ddp V y lleva una intensidad de corriente total I .

Hallar la fuerza electro magnetica sobre un electron cualquiera del haz.

4.8 Una partıcula de carga e y masa m se mueve en un campo electrostatico

de potencial Φ = k(x2 − y2), con k > 0. La posicion y la velocidad iniciales son

r0 = (x0, y0, z 0) y v0 = (0, 0, v0).

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento.

b) Determinar la trayectoria en la aproximacion no relativista.

4.9 Dos cargas +q y −q estan situadas en los puntos (0, 0 ± d/2) del sistema

de referencia S . En un cierto instante se mueven con velocidades (±v, 0, 0). a)

Determinar los campos electrico y magnetico, ası como las fuerzas entre las dos

cargas en ese instante. b) Mismas cuestiones en los sistemas S y S en que +q y

−q estan en reposo, respectivamente.

4.10 Un cierto selector de velocidades consiste en dos placas cilındricas muyproximas, entre las que se aplica una diferencia de potencial constante V , con el

objeto de que las partıculas cargadas describan una trayectoria curvada, de modo

que solo salgan del selector las que han entrado con la velocidad v0. Como la

distancia d entre las placas es muy pequena, el campo electrico puede suponerse

uniforme en modulo.

a) Escribir las ecuaciones relativistas del movimiento para una de las cargas

incidentes con velocidad v0.

b) Determinar la relacion entre v0 y la diferencia de potencial aplicada V paraque salga del selector.

4.11 Hallar el momento canonico y la fuerza generalizada en el caso de una

partıcula cargada en el campo electromagnetico dado por (Φ/c, A). Interpretar

fısicamente el resultado, buscando en los libros si es necesario (p. ej. en Feynman,

vol. 2).

4.12 El efecto Aharonov-Bohm. ¿Que es mas fundamental, el campo

magnetico o el potencial vectorial? La pregunta no es facil de contestar a priori.

Dado A queda determinado B, pero si se conoce B el potencial A solo esta de-

terminado salvo la adicion de un gradiente. Supongamos un solenoide muy largo



4–25




y delgado de radio r0 cuyo eje es el eje z . Su campo magnetico vale

B(r < r0) = Buz , B(r > r0) = 0 .

a) Determinar el potencial A del que se deduce este campo B. b) ¿Ocurre algo raro

fuera del solenoide? Buscar en un libro de mecanica cuantica el efecto Aharonov-

Bohm y decir que se puede responder a la pregunta anterior.

4.13 Presion magnetica en la superficie de la Tierra. Determinar la

presion magnetica en los polos magneticos donde el campo terrestre es vertical y

vale B = 6 × 10−5T, comparandola con la presion atmosferica (1 atm = 1,01 ×105 Pa). Suponiendo que el momento dipolar de la Tierra es proporcional a su

velocidad angular, cuanto deberıa durar un dıa para que la presion magneticafuese comparable a la atmosferica?

4.14 Repetir el ejercicio de la seccion 4.11 (campos electrico y magnetico)

sustituyendo el campo electrico E por un campo gravitatorio g. ¿Habra tambien

una deriva?

4.15 Deriva de gradiente de B con ∇B⊥B. El movimiento de una carga

en un campo magnetico no uniforme tiene mucha importancia en fısica de plas-

mas. Como ejemplo, se propone repetir el ejercicio de la secci on 3.10, pero con

un campo magnetico con la siguiente inhomogeneidad simple. Supongamos quelas lıneas magneticas son paralelas al eje z , pero su densidad (es decir el modulo

|B|) aumenta en el sentido positivo del eje y. Estudiar la deriva que se produce.

Pista: El gradiente de B hace que el radio de Larmor sea mayor en la parte

baja de la orbita que en la alta, lo que produce una deriva perpendiculare a B y

a ∇B.

4.16 Deriva de curvatura. Estudiar la trayectoria de iones y electrones en

un campo magnetico cuyas lıneas de fuerza son curvas con el mismo radio de

curvatura R y con

|B

| constante. Mostrar que la curvatura produce una deriva

perpendicular a B y al radio. Tal campo magnetico no cumple las ecuaciones de

Maxwell en el vacıo, por lo que hay que admitir alguna variacion de B, lo que

producira una deriva de ∇B que se debe anadir.

4.17 Deriva de gradiente de B con ∇BB: Espejos magneticos. Sea

un campo magnetico dirigido mayormente en la direccion del eje z , pero con su

modulo dependiente de z . El campo azimutal se anula, Bϕ = 0 y ∂B/∂ϕ = 0. Co-

mo las lıneas de fuerza convergen y divergen, hay necesariamente una componente

Bρ. Mostrar que con un tal campo se consigue atrapar a una partıcula cargada

dentro de una region. Esto da lugar a dispositivos utiles en fısica de plasmas.

4–26 —

A n t o n





Capıtulo 5

Formulacion lagrangiana de la

electrodinamica clasica II

5.1. El primer par de ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell son

∇ · B = 0, ∇× E = −∂ B

∂t , (5.1)

∇ · E = ρ0

, ∇× B = µ0 j + 0µ0∂ E∂t

. (5.2)

Las ecuaciones (5.1) y (5.2) se conocen como el primer par y el segundo par de

ecuaciones de Maxwell , respectivamente.

Las del primer par, mas que ecuaciones del movimiento, son condiciones cine-

maticas que deben cumplir los campos E y B. Son consecuencia directa de la

existencia de un cuadripotencial (Φ/c, A) y de las definiciones

E =

−∇Φ

−∂ tA B = ∇

×A ,

como se puede comprobar facilmente, teniendo en cuenta que las derivadas espa-

ciales y temporales conmutan.

Forma integral. Las dos primeras ecuaciones de Maxwell se pueden poner

en forma integral, usando los teoremas de Gauss y de Stokes. S

B · n dS = 0 ,

C

E · dr = − ∂

∂t

S

B · n dS , (5.3)

donde S es una superficie, cerrada en la primera, y bordeada por la curva C = ∂S

en la segunda. El vector n es unitario y normal a la superficie. Estas dos ecuaciones

pueden expresarse ası:



5–1



Capıtulo 5. Formulacion lagrangiana de la electrodinamicaclasica II

i) El flujo del campo magnetico a traves de una superficie cerrada es siempre

nulo (no existen cargas magneticas).

ii) La circulacion del campo electrico a lo largo de una curva cerrada es igual

a menos la derivada temporal del flujo magnetico a traves de una superficie cuyo

borde es C (en esta forma es la ley de la induccion de Faraday; la circulacion de

E ( o sea

cE · dr) es la fuerza electromotriz ).

Ahora nos interesa poner esas ecuaciones en forma relativista cuadridimen-

sional. Es facil comprobar que (5.1) son equivalentes a ∂ αF βγ +∂ β F γα +∂ γ F αβ = 0,

siendo (α, β, γ ) una terna cualquiera de (0, 1, 2, 3). Escrito de otro modo, eso es

∂F βγ ∂xα + ∂F γα

∂xβ + ∂F αβ ∂xγ = 0 . (5.4)

Notese que se trata de cuatro ecuaciones en derivadas parciales. De hecho el

primer miembro de (5.4) es un tensor de rango 3 completamente antisimetrico.

Solo tiene cuatro componentes distintas (salvo el signo) que corresponden a las

cuatro maneras en que los tres ındices pueden ser distintos. Es facil ver, teniendo

en cuenta las expresiones (4.45) del tensor electromagnetico dadas en el capıtulo

anterior que

i) si (α , β, γ ) = (1, 2, 3) se obtiene la primera ecuacion (5.1).

ii) Si uno de los ındices es igual a cero, hay tres posibilidades para los otrosdos, que llevan a las tres componentes de la segunda ecuacion (5.1). El primer

par se puede escribir tambien como

eαβγδ ∂F βγ

∂xα = eαβγδ∂ αF βγ = 0 , (5.5)

en forma manifiestamente covariante. Notese que la ecuacion (5.4) se verifica

identicamente si los campos se deducen de los potenciales como F µν = ∂ µAν −∂ ν Aµ.

5.2. La accion del campo electromagnetico

Para estudiar el movimiento de una partıcula cargada en un campo electro-

magnetico exterior (y fijo!) tomamos en el capıtulo anterior una accion suma de

dos terminos

S = S p + S int =

21

(−mcds − eAµdxµ) , (4.15)

que corresponden a la partıcula y la accion del campo sobre ella, respectivamente.

5–2 —

A n t o n





5.2. La acci´ on del campo electromagnetico

Si queremos estudiar un sistema formado por la partıcula y el campo en inter-

accion, de modo que los dos se ven sometidos a cambios producidos mutuamente,

tendremos que considerar tres terminos, los dos de antes y un tercero para des-

cribir la dinamica interna del propio campo electromagnetico.

S = S p + S int + S em . (5.6)

Lo que necesitamos, pues, es saber cual es la buena eleccion para el nuevo temino

S em. Como criterios parece razonable usar los siguientes.

i) Como la teorıa debe ser relativista, es decir invariante Lorentz, la accion

debe ser la integral extendida al espacio de una funci on escalar de los campos E

y B.

S em =

f (F µν ) d3xdt .

El lagrangiano es entonces Lem =

f (F µν ) d3x. La funcion f (F µν ) se conoce

como densidad lagrangiana .

ii) Debido al principio de superposicion, es preciso que las ecuaciones del

campo electromagnetico sean lineales en F µν , para lo cual la funcion f debe ser

cuadratica en F µν .

Ocurre que la unica cantidad que es cuadratica en los campos E y B y a la

vez, es un escalar es f = aF µν F µν , donde a es un factor constante. Ademas ysegun se vio al final del capıtulo anterior, F µν F µν = 4µ0(um − ue), siendo ue , um

las densidades electrica y magnetica de energıa. Esto significa que si tomamos

a = −1/4µ0, tedremos un lagrangiano igual a L =

(ue −um) d3x = U e −U m, que

se parece mucho a la expresion para un sistema de partıculas L = T − U , usada

en mecanica lagrangiana. Esto significa que consideramos a las energıas electrica

y magnetica de un campo electromagnetico como analogas a las energıas cinetica

y potencial de un sistema de partıculas (el signo menos de a resulta necesario

para obtener las buenas ecuaciones, como veremos enseguida). Con ese valor de

a, la accion del campo electromagnetico vale

S em = − 1

4µ0

F µν F µν d3xdt =

0E 2

2 − B2

2µ0

d3xdt . (5.7)

Como consecuencia, la accion del sistema toma la forma

S = S p + S int + S em = −

k

21

[mkc dsk + eAµdxµk ]− 1

4µ0c

F µν F µν dΩ , (5.8)

donde dΩ = c dt dx dy dz y el sumatorio esta para incluir el caso de varias cargas

puntuales. Notese que las dos primeras integrales se extienden a las lıneas de

universo de las cargas.



5–3




5.3. El cuadrivector corriente

Aunque la carga esta cuantizada y va siempre en multiplos enteros de e, con-

viene a menudo considerarla como distribuida de modo continuo con una funcion

densidad ρ(r, t). Ademas existe un vector corriente j = ρ v. ¿Como se expresan

estas cantidades en el formalismo cuadridimensional? Es necesario contestar a

esta pregunta. Por ejemplo, diciendo que la carga es una magnitud invariante,

por lo que ρ d3x lo es tambien. Se sigue que ρ no lo es.

Si tenemos un conjunto de cargas puntuales, la densidad es

ρ = k

ek δ (3)(r − rk) , (5.9)

donde ek y rk son la carga y la posicion de la partıcula k-esima. Sea el elemento

diferencial

de dxµ = ρ d3x dxµ = ρ d3x dt dxµ

dt .

El primer miembro es un cuadrivector (pues el elemento de carga de es un es-

calar), por lo que el tercer miembro debe serlo tambien. Como d3xdt = dΩ/c

es un escalar, resulta que ρ(dxµ/dt) debe ser un cuadrivector, que llamaremos

cuadrivector corriente o cuadricorriente , denotado por jµ,

j

µ

= ρ

dxµ

dt = (cρ, j) , (5.10)con

j = ρv.

La carga total en un volumen tridimensional V es

V ρ dV . La que hay en

todo el espacio en forma cuadridimensional es ρ d3x =

1

c

j0d3x =

1

c

jµdS µ ,

donde la ultima integral se extiende a una seccion t = constante o, mas en general,

a una superficie tridimensional infinita de tipo espacio. Es la misma para todas

las tales superficie tridimensionales, pues esa integral es igual a las suma de todas

las cargas cuyas lineas de universo cortan a esa superficie.

Es posible reescribir el termino de interaccion en (5.8) como

−

e Aµ dxµ = −

ρ d3x Aµdxµ

dt dt = −

jµAµ dt d3x = −

jµAµ

dΩ

c ,

con lo que la accion total toma la forma

S = −k

21

mk c dsk − 1

c

Aµ j

µ dΩ − 1

4µ0c

F µν F µν dΩ , (5.11)

donde el ındice k = 1, . . . , n se refiere a las partıculas cargadas.

5–4 —

A n t o n





5.4. El segundo par de ecuaciones de Maxwell

5.3.1. La ecuacion de continuidad

Esta ecuacion tiene gran importancia en varias ramas de la fısica. Su expresioncasica es

∂ρ

∂t + ∇ · j = 0 .

Puesto que xµ = (ct, r) y j µ = (cρ, j), la ecuacion de continuidad se escribe ası en

forma cuadridimensional

∂ µ jµ =

∂j µ

∂xµ = 0 , (5.12)

como se puede comprobar con facilidad.

Notese que el primer miembro se puede considerar, a efectos de covariancia,

como el producto escalar de los vectores ∂ µ y jµ (de forma mas precisa ∂ µ es un

operador vectorial).


Las ecuaciones del movimiento de las partıculas se obtuvieron variando sus

coordenadas xµ. El primer par de ecuaciones de Maxwell son consecuencia de la

existencia de un cuadrivector potencial Aµ del que se deducen los campos E y B.

El segundo par

∇ · E = ρ

0, ∇× B = µ0 j + 0µ0

∂ E

∂t , (5.13)

se obtiene variando el campo Aµ en la expresion de la accion (5.11). Notese que

esto implica que se concede un valor fundamental al cuadripotencial, sin duda

porque determina unıvocamente a los campos E, B, cosa que no ocurre al reves.

Esta es una situacion curiosa. El campo vectorial Aµ tiene cuatro grados de

libertad en cada punto del espacio, mientras que el tensor F µν o, equivalente-

mente, el par E, B tienen seis. Como estos dos campos quedan determinados

por el potencial, se deduce que hay una redundancia en ellos: solo cuatro de susseis grados de libertad pueden ser independientes. Pero tambien debe haber re-

dundancia en Aµ pues tenemos la libertad de elegir el gauge, haciendo que se

cumplan las condiciones de Lorenz o de Coulomb, por ejemplo, si ası nos con-

viene. De hecho, se muestra en Electrodinamica Cuantica (conocida a menudo

por las siglas inglesas QED), que solo hay dos grados de libertad independientes

en cada punto, correspondientes a los dos estados de polarizaci on posibles para el

foton. En resumen, parece que nos vemos obligados a usar mas campos de lo que

serıa estrictamente necesario para tener una teorıa formulable. Esta es una carac-

terıstica de las llamadas teorıas gauge , de las que el electromagnetismo es un caso



5–5




seccion del capıtulo 3, pero conviene que repitamos la demostracion explıtamente

para el caso de la densidad lagrangiana anterior.

Teniendo en cuenta que F µν δF µν = F µν δF µν , resulta

δS = −1

c

δAµ j

µ + 1

2µ0F µν δF µν

dΩ

= −1

c

jµδAµ +

1

2µ0F µν

∂

∂xµ(δAν ) − ∂

∂xν (δAµ)

dΩ .

En el ultimo termino de la segunda lınea anterior, intercambiamos los ındices

mudos µ y ν y tenemos en cuenta que F µν = −F νµ, lo que nos lleva a

δS = −1c

jµδAµ + 1

µ0

F µν

∂ ∂xµ

(δAν )

dΩ .

Ahora se integra por partes el segundo termino del integrando, lo que equivale a

usar la identidad

F µν

∂

∂xµ(δAν )

=

∂

∂xµ[F µν (δAν )] −

∂F µν

∂xµ

(δAν )

No es difıcil comprender que el primer termino del segundo miembro no con-

tribuye a la integral o, en otras palabras, ∂ µ(F µν δAν )dtd3x = 0 .

En efecto, tras integrar en el tiempo, el termino con µ = 0 queda F 0ν δAν

t2t1

d3x = 0 ,

porque las variaciones se anulan en los extremos del intervalo temporal. El mismo

razonamiento muestra que los terminos con µ = 1, 2, 3 se anulan tambien, debido

a que tanto E, B como δAµ se anulan en el infinito espacial. Llegamos ası a

δS = −1

c

jµδAµ − 1

µ0

∂F µν

∂xµ δAν

dΩ

= −1

c

jν − 1

µ0

∂F µν

∂xµ

δAν dΩ = 0 .

Para que esa integral se anule para cualquier variacion δAν es necesario y

suficiente que la cantidad entre parentesis cuadrados se anule, es decir que

∂F

µν

∂xµ = µ0 jν , (5.15)



5–7




que forma un conjunto de cuatro ecuaciones en derivadas parciales, precisamente

el segundo par. Se puede escribir tambien en notacion mas economica y elegante

como

∂ µF µν = µ0 jν . (5.16)

Para ver que se trata realmente del segundo par, tomemos primero ν = 0. Susti-

tuyendo, resulta de inmediato que (5.15) es

∇ · E = ρ/0 . (5.17)

Si tomamos las tres ecuaciones correspondientes a ν = 1, 2, 3, resultan ser

∇

×B = µ0 j + 0µ0

∂ E

∂t

(5.18)

Resumen. Podemos resumir las ecuaciones encontradas en la forma

Ec. partıcula: dp

dt = −e

∂ A

∂t − e∇Φ + ev × (∇× A)

= e(E + v × B) ,

(5.19)

Primer par: ∂F βγ

∂xα +

∂F γα

∂xβ +

∂ F αβ

∂xγ = 0 ,

(5.20)

Segundo par ∂F µν

∂xµ = µ0 jν .

(5.21)

Notese que la primera de estas ecuaciones se obtiene al variar las coordenadas

x j de la partıcula en la integral de accion. El primer par de Maxwell es una

consecuencia de la existencia de los potenciales Aµ ≡ (Φ/c, A). El segundo par

se obtiene variando el potencial Aµ en la integral de accion. En el primer par

hay que tomar las cuatro ternas formadas con los ındices (0,1,2,3); en el segundo,

los cuatro valores posibles de ν . Cada par consta de una ecuacion escalar y una

vectorial.

5.4.1. Forma integral del segundo par de Maxwell

Lo mismo que ocurre con el primero, es posible formular el segundo par de

Maxwell de forma integral. Con ν = 0 toma la forma (5.17) que, integrada en

un volumen V bordeador po S = ∂V , toma la forma

V ∇ · E d3x =

S

E · n da.

Aplicando el teorema de Gauss esto es

S

E · n da = q

0 , (5.22)

5–8 —

A n t o n





5.5. Densidad de energıa y flujo de energıa

siendo n un vector unitario saliente de la superficie, o sea: El flujo del campo

electrico a traves de una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada

por S sobre 0.

Tomando ahora la ecuacion (5.18) e integrandola en una superficie abierta S

cuyo borde es ∂S = C , el teorema de Stokes implica que

S (∇ × B) · n da =

C B · d. Siendo la corriente de desplazamiento jD = ∂ D/∂t, con D = 0E, la

ecuacion toma la forma ∇× B = µ0( j + jD). Resulta ası C

B · d = µ0(I + I D) , (5.23)

donde I = S

j·

n da, I D

= S

jD ·

n da o sea La circulaci´ on del campo magnetico

a lo largo de una curva cerrada C es igual a la corriente total, suma de la de

cargas y la de desplazamiento, que atraviesa una superficie S cuyo borde es C ,

mutiplicada por µ0. Notese que esta ley es la generalizacion al caso dinamico de

la ley de Ampere del caso estatico.

5.5. Densidad de energıa y flujo de energıa

Podemos multiplicar los dos lados de la segunda (4.10) por H y los de la

segunda (5.2) por E y restarlos despues, obteniendo

H · (∇× E) − E · (∇× H) = −H · ∂ B

∂t − E · ∂ D

∂t − E · j (5.24)

donde D = 0E y H = B/µ0 son los vectores desplazamiento e intensidad

magnetica. El primer miembro es igual a ∇ · (E × H), por lo que se sigue

∇ · (E × H) = −H · ∂ B

∂t − E · ∂ D

∂t − E · j. (5.25)

Suponiendo que D, B, j dependen linealmente de E, H, E, esta ecuacion puedeescribirse como

∇ · (E × H) = − ∂

∂t

1

2 [E · D + B · H] − j · E. (5.26)

El segundo miembro tiene una interpretacion clara: con un cambio de signo, es

la derivada respecto al tiempo de la suma de las densidades de energıas electrica

y magnetica mas el calentamiento Joule por unidad de volumen.

Definiendo el vector de Poynting

S = E × H , (5.27)



5–9




siendo la densidad de energıa del campo

u = 1

2 [E · D + B · H] =0E 2

2 + B2

2µ0

=

1

2µ0

E 2

c2 + B2

, (5.28)

e integrando la ecuacion anterior en el volumen V , bordeado por S , y aplicando

el teorema de Gauss, se llega de inmediato a

−

V

j · E dv = d

dt

V

u dv +

S

(E × H) · n da . (5.29)

Esta ecuacion integral es muy importante, pues se trata de la conservacion de la

energıa. Podemos escribir (5.29) en la forma

∂u

∂t +∇

· S = − j · E . (5.30)Las dos ecuaciones anteriores (5.29) y (5.30) son los enunciados integral y dife-

rencial del teorema de Poynting .

La interpretacion de (5.30) es clara: el segundo miembro es la energıa por

unidad de volumen que pierde el campo electromagnetico debido al efecto Joule

(o sea la energıa transferida del campo a la agitacion termica de la materia); el

primer sumando del primer termino es la variacion local de la densidad de energıa

y ∇ · S es la densidad de flujo de energıa electromagnetica, es decir la energıa

electromagnetica que atraviesa una unidad de superficie normal a S por unida de

tiempo. Integrada en un volumen V cualquiera (y transformando el termino con

S en una integral en la superficie S que bordea a V ) la ecuacion (5.30) toma la

forma integral (5.29), la cual nos dice que la variacion de energıa electromagnetica

en ese volumen se debe a (i) el efecto Joule y (ii) al flujo de energıa a traves del

borde de V , representada esta por el vector de Poynting.

En el caso de un conjunto de partıculas puntuales moviendose en el vacıo, y

tomando la integral hasta el infinito (de modo que la integral de superficie en

(5.29) se anula), la integral de volumen j · E dv es igual a la suma ev · E

sobre las cargas, o sea a ev · E =

d

dtE cin .

La ecuacion (5.29) se puede escribir en la forma

d

dt

1

2µ0

E 2/c2 + B2

dv +

E cin

= 0 , (5.31)

o sea que la suma de la energıa de campo y las energıas cineticas de las cargas

permanece constante.

La idea importante de esta seccion es que u es la densidad de energıa electro-

magnetica almacenada en el campo y S es la densidad de flujo de energıa.

5–10 —

A n t o n





5.6. El tensor de energıa-momento


Estudiaremos en esta seccion un tensor de dos ındices T µν que expresa como

se mueve la densidad de energıa y momento lineal de un campo electromagnetico.

Tomando un punto de vista mas general, consideremos la accion de un sistema

cualquiera de campos q k(r, t), k = 1, · · · , m (siendo el campo electromagnetico

un caso particular)

S = 1

c

L

q, ∂q

∂xµ

dΩ (5.32)

donde L es la densidad lagrangiana , siendo el lagrangiano

L = L d3x .

Recordemos que L tiene dimensiones de energıa y L, de densidad de energıa.

En primer lugar, veamos como se obtienen las ecuaciones del movimiento a

partir de la condicion δS = 0, con la integral extendida a todo el espacio y

entre dos tiempos (t1, t2) en los que se anulan las variaciones. Para simplificar la

notacion escribiremos

∂ µq k = ∂q k∂xµ

= q k, µ .

Se tiene entonces

δS = 1

c

kµ

∂ L∂q k

δq k + ∂ L∂q k, µ

δq k,µ

dΩ

= 1

c

kµ

∂ L∂q k

δq k − δq k∂

∂xµ

∂ L∂q k, µ

+ ∂

∂xµ

∂ L∂q k, µ

δq k

dΩ = 0 .

Aplicando el teorema de Gauss al tercer termino de la integral, se muestra que no

contribuye a ella (suponiendo que los campos decrecen suficientemente deprisa

en el infinito), por lo que queda

δS = 1

c

kµ

∂ L∂q k

− ∂

∂xµ

∂ L∂q k, µ

δq k dΩ = 0 .

Como la variacion δq k es arbitraria, se deben cumplir las m ecuaciones del

movimiento∂

∂xµ

∂ L∂q k, µ

− ∂ L∂q k

= 0 , k = 1, . . . , m . (5.33)

Escribamos ahora

∂

L∂xµ =

k,ν

∂

L∂q k

∂q k

∂xµ +

∂

L∂q k, ν

∂q k, ν

∂xµ



5–11




Usando las ecuaciones del movimiento y teniendo en cuenta que q k,µν = q k,νµ,

resulta

∂ L∂xµ

=

kν

∂

∂xν

∂ L∂q k, ν

q k, µ +

∂ L∂q k, ν

∂q k, µ

∂xν

=

kν

∂

∂xν

q k, µ

∂ L∂q k, ν

.

(5.34)

Como tambien se puede escribir

∂ L∂xµ

=

ν

δ ν µ

∂ L∂xν

,

e introduciendo la notacion

T ν µ =

k

q k, µ ∂ L

∂q k, ν − δ ν µL (5.35)

resulta que (5.34) se puede escribir (subiendo el primer ındice) como

∂T µ ν

∂xν = 0 . (5.36)

El tensor T µν es el tensor de energıa-momento. Como se ve tiene las mismas

dimensiones que la densidad de lagrangiano, o sea densidad de energıa (joule por

metro cubico).

La ecuacion (5.36) significa que cada uno de los cuatro “cuadrivectores”

(T 0ν , T 1ν , T 2ν , T 3ν ) obedece a una ecuacion de continuidad, de modo que las

cantidades con dimensiones de energıa

T µ =

T µ0 d3x , (5.37)

son constantes. Se dice que T µν es un tensor conservado. ¿Cual es el significado

de sus componentes?

En primer lugar,

T 00 =

k

q k ∂ L∂ q k

− L ,

donde el sobrepunto indica derivada parcial respecto al tiempo. Recordemos que

para un sistema natural en dinamica newtoniana (o sea cuya energıa cinetica es

una funcion homogena cuadratica de las velocidades), su energıa es igual a

E =

k

q k∂L

∂ q k− L = T + U .

Esto hace pensar de inmediato que T 00 es la densidad de energıa. Teniendo en

cuenta que el cuadrivector energıa-momento es (E /c, p) o bien (E , cp), no cabe

5–12 —

A n t o n






duda de que las otras tres densidades son las de las tres componentes del momento

lineal multiplicadas por c, o sea

E =

T 00 d3x , P k = 1

c

T k0 d3x . (5.38)

siendo E y P la energıa y el momento lineal totales del campo electromagnetico.

5.6.1. Sentido de las componentes de T µν .

La ley de conservacion (5.36) se puede descomponer en dos partes

1

c

∂T 00

∂t +

∂ T 0k

∂xk = 0 ,

1

c

∂T i0

∂t +

∂T ik

∂xk = 0 . (5.39)

Integremos la primera ecuacion sobre un volumen tridimensional V , con borde

S = ∂V .1

c

∂

∂t

V

T 00d3x +

V

∂T 0k

∂xk d3x = 0

y aplicando el teorema de Gauss a la segunda integral

∂

∂t

V T

00

d3

x = −c

S T

0k

nkda , (5.40)

siendo n el vector unitario normal a la superficie S . Esta ecuacion dice que la

variacion por unidad de tiempo de la energıa electromagnetica dentro de V es

igual a menos el flujo del vector (cT 01, cT 02, cT 03).

Haciendo lo mismo con la segunda ecuacion (5.39), resulta

∂

∂t

V

T j0d3x = −c

S

T jk nkda . (5.41)

Esto indica que las componentes T jk son las densidades de corriente del momento

lineal P j, lo que tambien se llama tensor tridimensional de densidad de flujo de

momento o tambien tensor de tensiones de Maxwell T (M )(ij) o Θij.

5.6.2. Expresion del tensor energıa-momento canonico.

Tomemos la densidad lagrangiana usada anteriormente

L = − 1

4µ0F µν F µν , (5.42)



5–13




Como campos fundamentales tomaremos las componentes del cuadrivector poten-

cial Aµ

≡(Φ/c, A). El tensor dado por (5.35) se conoce por tensor canonico en-

ergıa-momento. Sustituyendo la densidad lagrangiana del campo electromagnetico,

resulta ser igual a

T β α =

∂Aρ

∂xα

∂ L∂ (∂Aρ/∂xβ )

− δ β αL . (5.43)

la variacion de la densidad lagrangiana vale

δ L = − 1

2µ0

F µν δF µν = − 1

2µ0

F µν

δ

∂Aν

∂xµ − δ

∂Aµ

∂xν

.

Teniendo en cuenta la antisimetrıa de F µν , eso resulta

δ L = − 1

µ0

F µν δ ∂Aν

∂xµ , ⇒ ∂ L

∂ (∂Aν /∂xµ) = − 1

µ0

F µν ,

por lo que la expresion del tensor canonico de energıa-momento es

T β α = − 1

µ0

∂Aρ

∂xα F βρ +

1

4µ0δ β

αF µν F µν ,

que, en forma contravariante, es

T αβ =−

1

µ0

∂Aρ

∂xα

F β ρ +

1

4µ0

gαβ F µν F µν . (5.44)

Resulta entonces de la definicion de T µν

T 00 = 0E 2

2 +

B2

2µ0

+ 1

µ0c2∇ · (ΦE)

T 0k = 1

µ0c (E × B)k +

1

µ0c∇ · (AkE) (5.45)

T k0 = 1

µ0c (E × B)k +

1

µ0c

(∇× ΦB)k − ∂ 0(ΦE k)

.

(se han usado las relaciones ∇ · E = 0 and ∇× B = ∂ E/c∂x0.)

5.6.3. El tensor energıa-momento simetrico

Un punto importante sobre el que conviene advertir es que la definici on de

tensor energıa-momento no es unica, pues si χµνρ es un tensor dependiente del

campo electromagnetico y antisimetrico en sus ındices segundo y tercero, es decir

tal que χµνρ = −χµρν , el tensor

T µν + ∂ ∂xρ χµνρ (5.46)

5–14 —

A n t o n






(en ausencia de cargas ∂ ρF β ρ = 0) podemos transformarlo en uno simetrico sin

cambiar la energıa y el tri-momento. Ya vimos que anadir la divergencia del tensor

de rango tres χαβρ = AαF βρ no cambia ni la energıa ni el momento lineal, pero

el nuevo tensor Θαβ = T αβ + ∂ ρ(AαF βρ) resulta ser simetrico

Θαβ = 1

µ0(F αρF β

ρ + 1

4 gαβ F µν F µν ) . (5.49)

Sus componentes valen

Θ00 = 0E 2

2 +

B2

2µ0,

Θ0k = 1µ0c

(E × B)k , (5.50)

Θ jk = −

0E j E k + B jBk/µ0 − 1

2δ jk (0E 2 + B2/µ0)

.

Esta ultima ecuacion puede escribirse en la forma

Θ jk = −1

µ0

E jE k/c2 + B jBk − 1

2δ jk (E 2/c2 + B2)

.

El tensor simetrico tiene la forma

Θαβ =

u ... cg

· · · · · ·cg

... −T (M )ij

, (5.51)

donde T (M )ij = −Θij se conoce como tensor de tensiones de Maxwell .

Como vemos, Θ00 es la densidad de energıa y Θk0, el vector de Poynting sobre

c. Por tanto la energıa y el momento lineal del campo valen

E =

0E 2

2 +

B2

2µ0

d3x , P k =

E × B

µ0c2 d3x . (5.52)

La densidad de momento lineal es, por tanto,

gk = Θ0k

c =

S kc2

. (5.53)

5–16 —

A n t o n





5.7. Balance energetico de la interacci´ on campo electromagnetico-cargas

5.7. Balance energetico de la interaccion

campo electromagnetico-cargasSupongamos un campo electromagnetico en presencia de fuentes externas

dadas por una densidad de carga y corrientes. En ese caso la divergencia del

tensor de energıa-momento del campo electromagnetico no es nula. Su valor se

calcula facilmente a partir de (5.49) y vale

∂ αΘαβ = 1

µ0

∂ µ(F µρF ρβ ) +

1

4 ∂ β (F µρF µρ)

=

1

µ0

(∂ µ

F µρ)F ρβ

+ F µρ∂ µ

F ρβ

+

1

2F µρ∂ β

F µρ

.

En el primer termino a la derecha, sustituimos las ecuaciones de Maxwell y lo

pasamos al primer miembro, con lo que

∂ αΘαβ + F βρ jρ = 1

2µ0F µρ(∂ µF ρβ + ∂ µF ρβ + ∂ β F µρ) .

La suma de los dos ultimos terminos al final del segundo miembro vale ∂ ρF µβ ,

por lo que

∂ αΘ

αβ

+ F

βρ

jρ =

1

2µ0 F µρ(∂

µ

F

ρβ

+ ∂

ρ

F

µβ

) .

El segundo miembro se anula pues es la contracci on de un tensor simetrico y otro

antisimetrico, con lo que nos queda

∂ αΘαβ = −F βρ jρ . (5.54)

La parte temporal de la ecuacion anterior (es decir con β = 0) es∂u

∂t + ∇ · S

= − j · E , (5.55)

y la espacial (con β = k)

∂gk

∂t −

31

∂

∂x jT

(M )kj = − [ρE k + ( j × B)k] (5.56)

donde g = S/c2 es la densidad de momento lineal del campo electromagnetico.

Notese que las dimensiones de todos los terminos de la ecuacion anterior son

“energıa por metro a la cuarta”, o sea que se miden en J/m4.

La dos ecuaciones anteriores expresan la conservacion de la energıa y el mo-

mento lineal de un sistema formado por un campo electromagnetico en interaccion



5–17



5.8. Ejercicios

5.8. Ejercicios

5.1 Dos cargas +q y −q estan situadas en los puntos (0, 0 ± d/2) del sistema

de referencia S . En un cierto instante se mueven con velocidades (±v, 0, 0). a)

Determinar los campos electrico y magnetico, ası como las fuerzas entre las dos

cargas en ese instante. b) Mismas cuestiones en los sistemas S y S en que +q y

−q estan en reposo, respectivamente.

5.2 Hallar la expresion de los valores instantaneos de la densidad de en-

ergıa, densidad de momento lineal y tensiones de Maxwell de los campos elec-

tromagneticos siguientes

a) E = E 0ey ei(k1x−ωt), B = k1

µ00exz × E

con k1 = 0µ0 ω, ky = kz = 0.

b) lo mismo que en a) pero con k1 = iα.

c) Br = µ0m

2π

cos θ

r3 , Bθ =

µ0m

4π

sen θ

r3 .

5.3 Dos planos paralelos Σ y Σ estan situados en x = 0 y x = h. Tienen

densidades superficiales de carga σ = −σ y σ, respectivamente y se mueven con

velocidades vey y vex. Comprobar que las fuerzas entre los dos planos no son

iguales y opuestas, por lo que surge el problema de la validez de la tercera ley de

Newton. Discutir el resultado a la luz de la conservacion del momento lineal.

5.4 Hallar la presion que ejerce una onda electromagnetica sobre una supericie,

si incide perpendiculamente a ella (con un coeficiente de reflexi on r). Investigar

la posibilidad de navegar a vela gracias al viento solar (presion de la radiacion del

Sol), sabiendo que en las proximidades de la Tierra la intensidad de la radiaci on

solar es de 1350 W/m2. Una propuesta razonable es usar una vela hecha de unpolımero muy ligero, como el kapton, con un espesor de 2 µm, recubierto de una

capa de 10 µm de aluminio, cuya masa por unidad de superficie serıa de 30 g/m2.

(http:\\www.kp.dlr.de/solarsail/Welcome.html).

5.5 Se tiene un alambre conductor rectilıneo e infinito, situado a lo largo del

eje z . A partir del instante t = 0 se le aplica una corriente cosntante en todo el

alambre, es decir

I (z, t) = 0, t < 0,

I 0 t ≥ 0.



5–19




Hallar los campos E y B y el vector de Poynting en todo el espacio.

5.6 Consideremos un solenoide de longitud L y diametro D usado para pro-ducir un campo magnetico B0 en su interior.

a) Hallar la energıa total almacenada.

Usando el tensor de esfuerzos de Maxwell, determinar

b) la fuerza total que comprime el solenoide en su direcci on longitudinal y

c) la presion magnetica que actua radialmente sobre el arrollamiento.

La MRI (magnetic resonance image , llamada tambien nuclear magnetic resonance

image NMR) es una tecnica de diagnostico medico de gran importancia. Utiliza

un solenoide superconductor para generar un campo magnetico muy intenso que

hace que los espines de los protones en el agua del cuerpo tengan un movimientode precesion cuya frecuencia se detecta mediante un circuito de rf. Las dimen-

siones tıpicas en una unidad MRI son L = 2 m, D = 0,8 m y B0 = 7 T.Calcular

las magnitudes indicadas en los apartados a), b) y c), expresando la fuerza en

toneladas, la presion en atmosferas y la energıa en su equivalente en masa de TNT

(TNT significa tonelada de trinitrotolueno, usada como unidad de intensidad de

explosion, equivale a 4.2 GJ).

5.7 Calcular el radio cl´ asico del electr´ on . Ası se llama el radio que deberıa tener

esa partıcula, suponiendo que es una esfera homogenea con densidad uniforme decarga, con radio re y carga |q | = e y que su masa equivale a la energıa del campo

electromagnetico asociado en el sentido de la ecuacion de Einstein E = mc2.

5.8 Una densidad lagrangiana empleada algunas veces para el campo electro-

magnetico es

L = − 1

2µ0∂ µAν ∂ µAν + jµAµ .

Compararla con la estandar, usada en este curso, examinando bajo que condi-

ciones conduce a las ecuaciones de Maxwell.

5.9∗ Un alambre infinitamente largo tiene una densidad lineal de carga −λ.

Alrededor suyo hay una capa cilındrica dielectrica de radio a y momento de

inercia I por unidad de longitud, coaxial con el alambre y cargada con densidad

superficial de carga σ = λ/2πa. La capa puede girar libremente alrededor de su

eje. El canjunto esta inmerso en un campo magnetico externo B paralelo al eje

e inicialmente en reposo. A partir del un instante inicial, el campo magnetico

se disminuye lentamente hasta cero durante un tiempo T a/c. ¿Cual sera la

velocidad angular del cilindro?

(v. Feynman II-17.4, 27.5 y 27.6)

5–20 —

A n t o n





5.8. Ejercicios

5.10 Hallar la presion que ejerce una onda electromagnetica sobre una su-

perficie, si incide perpendiculamente a ella (con un coeficiente de reflexi on r).

Investigar la posibilidad de navegar a vela gracias al viento solar (presi on de la

radiacion del Sol), sabiendo que en las proximidades de la Tierra la intensidad

de la radiacion solar es de 1350 W/m2. Una propuesta razonable es usar una

vela hecha de un polımero muy ligero, como el kapton, con un espesor de 2 µm,

recubierto de una capa de 10 µm de aluminio, cuya masa por unidad de superficie

serıa de 30 g/m2. (http:\\www.kp.dlr.de/solarsail/Welcome.html).

5.11 Una carga Q, uniformemente distribuida en una esfera de radio R, se

mueve con velocidad v, constante respecto al sistema de laboratorio S . Calcular

el momento y la energıa debidos a su campo electromagnetico.a) Por transformacion a S de la energıa y el momento en el sistema propio de la

esfera S .

b) Por calculo directo en el referencial S . Se supone que v c.



5–21




5–22 —

A n t o n





Capıtulo 6

Radiacion de partıculas cargadas

6.1. Ondas esfericas

Los campos E y H en el vacıo obedecen la ecuacion de ondas

∇2ψ(r, t) − 1

c2

∂ 2ψ(r, t)

∂t2 = 0 (6.1)

Una onda plana es aquella cuyos frentes de onda son planos que avanzan con

velocidad c. Por tanto solo dependen de una coordenadas espacial. Sea esta la x(la onda viaja entonces paralelamente a ese eje y E x = 0). La ecuacion anterior

toma la forma∂ 2ψ

∂x2 − 1

c2

∂ 2ψ

∂t2 = 0 ,

cuya solucion general es

ψ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) ,

siendo f y g dos funciones arbitrarias de una variable que representan dos ondas,

una que viaja hacia +∞ y la otra hacia −∞ paralelamente al eje x. Todo esto es

bien sabido.

Vamos a considerar ahora otro tipo de solucion: las ondas esfericas. Como

indica su nombre, se definen por tener frentes de onda de forma esferica que viajan

con velocidad c. Lo mismo que en el ejemplo anterior los campos dependen solo de

x y t, en las ondas esfericas que estudiaremos ahora dependen solo de r y t, donde

r =

x2 + y2 + z 2. Debemos usar la expresion de la laplaciana en coordenadas

esfericas r, θ,ϕ. Como los campos solo dependen de r, podemos prescindir de las

derivadas respecto a los dos angulos, escribiendo por tanto

∇2ψ = 1r ∂

2

(rψ)∂r2



6–1



Capıtulo 6. Radiacion de partıculas cargadas

La ecuacion de ondas toma pues la forma

1r

∂ 2

(rψ)∂r2

− 1c2

∂ 2

ψ∂t2

= 0 ,

que se puede escribir como

∂ 2(rψ)

∂r2 − 1

c2

∂ 2(rψ)

∂t2 = 0 , (6.2)

es decir como una ecuacion clasica de ondas unidimensional para la cantidad rψ.

Obviamente, una solucion es rψ(r, t) = f (r − ct), siendo f una funcion arbitraria.

O sea

ψ(r, t) = f (t

−r/c)

r . (6.3)

Los frentes de onda son esferas r = ct + const que viajan radialmente con ve-

locidad c. Supongamos que f (u) es una funcion que solo toma valores apreciables

en torno a u0. En tal caso, los campos E y B seran solo apreciable cerca de la

esfera r = c(t − u0). Esos campos decrecen como 1/r, de modo que el vector de

Poynting lo hace como 1/r2. El flujo a traves de las esferas con radio creciente

r = c(t − u0) en el tiempo t sera constante pues la dependencia en r del area de

la esfera se compensa con la del vector de Poynting. Ello indica que estas ondas

progresivas son salientes, es decir representan una radiacion que se va hacia elinfinito.

Surge una pregunta: ¿no deberıamos considerar tambien una solucion del tipo

ψ(r, t) = g(r + ct)

r ,

que sin duda representarıa una onda progresiva entrante, que viene del infinito

hacia un punto. Parece que no debe haber ondas de ese tipo en la realidad, aunque

sı existan desde el punto de visto matematico. Por ello no las consideraremos.

Hemos dicho que esas ondas viajen en el vacıo, pero ¿que ocurre en r = 0? Lasolucion parece singular por lo que cabe dudar de la correccion de los argumentos

anteriores. Algo parecido ocurre en el caso estatico, cuando el potencial escalar

es solucion de la ecuacion de Laplace ∇2Φ = 0. Repitiendo los razonamientos

anteriores, tendremos que se debe cumplir la ecuacion

d2(rΦ)

dr2 = 0 ,

cuya solucion general es

Φ = A + Br .

6–2 —

A n t o n






Un punto importante es que el termino en la derivada segunda ∂ 2ψ/∂t2 es el que

hace que las soluciones sean ondas que se mueven y, ademas, el que introduce el

retraso, de modo que el potencial en r se corresponde con el estado de la fuente

en t − r/c. Es claro que ello indica que la onda necesita el tiempo r/c para que

el efecto de la fuente llegue al punto de observaci on en r.

6.2. Solucion general de las ecuaciones de Maxwell

Se sigue de (6.9) que, en el caso de cargas y corrientes situadas dentro de un

volumen acotado V , la solucion para los potenciales es

Φ(r, t) = 1

4π0

V

ρ(r, t − |r − r|/c)

|r − r| d3r , (6.10)

A(r, t) = µ0

4π

V

j(r, t − |r − r|/c)

|r − r| d3r , (6.11)

Conviene presentar en un cuadro resumen las ecuaciones de Maxwell y su

solucion general

Ecuaciones de Maxwell

∇ · E = ρ

0, ∇× E = −∂ B

∂t ,

∇ · B = 0 , ∇× B = µ0 j + µ00∂ E

∂t

Soluciones

E = −∇Φ − ∂ A

∂t , B = ∇× A ,

Φ(r, t) =

V

ρ(r, t − |r − r|/c)

4π0|r − r| d3r+Φ0 , A(r, t) =

V

j(r, t − |r − r|/c)

4π0c2|r − r| d3r+A0 .

siendo Φ0 y A0 las soluciones generales de Maxwell sin fuentes, o sea en el espacio

vacıo.

6–4 —

A n t o n





6.3. Potenciales y campos de una carga en movimiento: soluci´ on general de Lienard-Wiechert

6.3. Potenciales y campos de una carga en movi-

miento: solucion general de Lienard-WiechertLos potenciales. En esta seccion nos ocuparemos de obtener las expresiones

de los llamados potenciales de Lienard-Wiechert, es decir de las cuatro funciones

Aµ ≡ (Φ/c, A) creadas por carga en movimiento, sean cuales sean su velocidad y

su aceleracion.

Acabamos de ver que el potencial escalar de una distribucion de carga ρ vale

Φ(r, t) = V

ρ(r, t − |r − r|/c)

4π0|r − r

| d3r ,

(ecuacion (6.10)) lo que parece indicar que el de una carga puntual q , deberıa ser

Φ(r, t) = 1

4π0

q

|r − r| , con r = r(t − |r − r|/c) . (6.12)

Notese que r es la posicion de la carga en el tiempo retardado t = t − |r − r|/c,

siendo nulo el intervalo entre (r, t) y (r, t), de modo que un rayo de luz pueda ir

de uno a otro. Sin embargo, la expresi on (6.12) para Φ no es la correcta. Pasar

de (6.10) a (6.12) implica algunas sutilezas matematicas debidas al retraso en el

tiempo.

El resultado correcto es

Φ(r, t) = 1

4π0

q

|r − r|(1 − β · n)

ret

, (6.13)

donde β = v/c es la velocidad de la carga sobre c en el tiempo retardado t,

n = (r − r)/|r − r|, de modo que v · n es la proyeccion de la velocidad de la

carga sobre la lınea que va de r a r, en el tiempo retardado, lo que se indica

por el subındice “ret” al final de la ecuacion. En el apendice 2, al final de estas

notas se puede encontrar una deduccion rigurosa de los potenciales y los campos

de Lienard-Wiechert. En este capıtulo nos limitaremos a una exposicion mas

sencilla e intuitiva (Landau y Lifshtiz, capıtulo 8).

En primer lugar, veamos una prueba simple de (6.13). La condicion del retardo

se puede escribir como

t + R(t)/c = t , (6.14)

donde R(t) = r − r(t), es decir el vector desde la posici on de la carga en el

tiempo t al punto de observacion. Es facil entender que esta ecuacion solo tiene

una solucion t para cada t. En efecto, t es el tiempo de la interseccion de un



6–5




rayo de luz con la trayectoria de una partıcula cargada. Si hubiese dos soluciones,

ello significarıa que esa partıcula se encontrarıa dos veces con el mismo rayo, para

lo cual tendrıa que haber sobrepasado la velocidad de la luz en algun instante.

En el sistema S en que la carga esta en reposo, los potenciales en el punto de

observacion son

Φ = 1

4π0

q

R(t) , A = 0 . (6.15)

Para hallar la expresion en cualquier sistema, basta con encontrar un cuadrivector

que coincida con el anterior para v = 0. Los potenciales anteriores son iguales a

Φ = 1

4π0

q

c(t−

t) , A = 0 ,

que coinciden con

Aµ = 1

4π0c

quµ

Rν uν , (6.16)

donde uµ es la cuadrivelocidad de la carga y Rµ = [c(t − t), r − r] = [R, Rn].

Notese que Rν Rν = 0 y recuerdese que uα = γ (c, v). En notacion tridimensional,

esos potenciales son

Φ = 1

4π0

q

R(1−

β·

n)ret

, A = µ0

4π

q v

R(1−

β·

n) ret

, (6.17)

que es la expresion correcta de los potenciales de Lienard-Wiechert. Conviene

recordar que µ0/4π = 1/4π0c2. Vemos dos diferencias con las expresiones no

relativistas usadas como aproximaciones a pequenas velocidades. Primero, hay

que incluir el retardo para tener en cuenta el tiempo que necesita el campo elec-

tromagnetico para ir de la carga al punto de observacion; segundo hay un factor

1 − β · n en el denominador.

Los campos electrico y magnetico. A partir de los potenciales (6.17), se

obtienen los campos aplicando las formulas

E = −∇Φ − ∂ tA , B = ∇× A .

Para hacerlo hay que tener en cuenta que esos potenciales dependen de (x , y, z, t)

de modo implıcito a traves de la funcion t(x , y, z, t) dada por la relacion (6.14).

Por tanto debemos calcular las derivadas de t. Derivando respecto a t la funcion

R(t) = c(t − t) se tiene

∂R

∂t = ∂R

∂t∂t

∂t = −R

·v

R

∂t

∂t = c

1 − ∂ t

∂t

,

6–6 —

A n t o n





6.3. Potenciales y campos de una carga en movimiento: soluci´ on general de Lienard-Wiechert

donde la derivada ∂R/∂t se ha obtenido derivando R2 = R2 y usando la igualdad

∂ R(t)/∂t =

−v(t); el signo menos es debido a que R es el vector desde la carga

al punto de observacion y no al reves. Por tanto

∂t

∂t =

1

1 − β · n .

Derivando respecto a las coordenadas (x,y,z ) de manera analoga, se obtiene

∇t = −1

c∇R(t) = −1

c

∂R

∂t ∇t +

R

R

,

de modo que

∇t = − R

cR(1 − β · n) .

Recuerdese que n = R/R y que, por tanto, ∇R = n. Usando estas relaciones

para calcular los campos electrico y magnetico a partir de los potenciales (6.17)

y tras un poco de calculo, que debe hacerse con gran cuidado, se obtienen las

siguientes expresiones para E y B

E(r, t) = e

4π0 n − β

γ 2(1

−β

·n)3R2ret +

e

4π0c

n × [(n − β) × β]

(1

−β

·n)3R

ret

(6.18)

B(r, t) = 1

c [n × E]ret (6.19)

Campos de velocidad y aceleracion, campos proximos y lejanos Los

campos electrico y magnetico anteriores son la suma de dos terminos. El primero

depende de la posicion y la velocidad de la carga pero no de la aceleracion. Ademas

decae en el infinito como 1/R2. Esta siempre ligado a la carga. El segundo depende

de la aceleracion y decae mas despacio, como 1/r. Cobra ”vida propia”pues se

separa de la carga: es la radiaci´ on . Se anula si β = 0. Si, ademas, β → 0 el campo

electrico tiene a la ley de Coulomb. El primer termino se suele llamar campo de velocidad o campo pr´ oximo; el segundo campo de aceleraci´ on , campo de radiaci´ on

o campo lejano.

6.3.1. Campos de una carga en movimiento uniforme

En el capıtulo 3 se obtuvo la expresion del campo electrico de una partıcula

en movimiento uniforme con velocidad v = βc. Como vimos, vale

E = 1

4π0

q r

r3γ 2(1 − β 2 sen2 ψ)3/2 , (6.20)



6–7




Figura 6.1: Posicion presente y retardada de una carga en movimiento uniforme.

siendo ψ el angulo formado por la velocidad y el radio vector. A primera vista

es algo muy distinto del primer termino de (4.62), pero se puede mostrar que

son iguales. En la figura, O es el punto de observarion y P , P son las posiciones

retardada y actual de la carga e. La longitud P P es igual a

|v|R/c = βR y

(P M ) = vt, suponiendo que la carga pasa a la mınima distancia de P en el

tiempo inicial.

Por tanto (P Q) = βR cos θ = β · nR y (OQ) = R(1 −β · n). Comparando los

triangulos OP Q y P P Q, se tiene [(1−β ·n)R]2 = r2 − (P Q)2 = r2 −β 2R2 sen2 θ.

Ademas, R sen θ = b, de modo que

[(1 − β · n)R]2 = b2 + v2t2 − β 2b2 = γ −2(b2 + γ 2v2t2) .

En la ecuacion (4.62) del capıtulo 3, se ve que la componente transversa E y vale

E y = eγb

(b2 + γ 2v2t2)3/2 ,

que se puede escribir, en terminos de la posicion retardada, como

E y =

eb

γ 2(1 − β · n)3R3

ret

, (6.21)

que coincide con la expresion de la componente transversal del campo electrico

proximo en (4.62). Las otras componentes se obtienen de la misma manera. O

sea que las expresiones (4.62) y (6.20) para el campo electrico sin aceleracion

coinciden, como cabıa esperar.

6–8 —

A n t o n





6.4. Radiaci´ on de una carga acelerada

6.4. Radiacion de una carga acelerada

6.4.1. Formula de Larmor

Consideremos a una carga acelerada en un sistema de referencia en el que su

velocidad es pequena, lo que incluye casos de gran interes. En tal caso, el campo

electrico se reduce al de aceleracion con β = 0, o sea a

Ea(x, t) = e

4π0c

n × [n × β]

R

ret

. (6.22)

Como B = n × E/c, el vector de Poynting vale

S = 1

µ0E × B =

1

µ0c E × (n × E) =

1

µ0c|E a|2n (6.23)

donde se ha usado la identidad a×b×c = (a · c)b−(a · b)c y la relacion E·n = 0.

Se sigue que la potencia radiada por unidad de angulo solido vale

dP

dΩ =

1

µ0c|REa|2 =

1

µ0c

e

4π0c

2

|n × [n × β]|2 (6.24)

Si Θ es el angulo entre la aceleracion v y n, se tiene

dP

dΩ =

e2

(4π)20

v2

c3 sen2 Θ , (6.25)

donde se ha usado la igualdad 0µ0c2 = 1. La potencia radiada total se obtiene

integrando la expresion anterior en la esfera unidad. El valor medio de sen2 Θ vale

2/3, con lo que la potencia total es

P = 2

3

e2

4π0

v2

c3

, (6.26)

que es la conocida f´ ormula de Larmor . En unidades gaussianas toma la forma,

mas usada,

P = 2

3

q 2

c3 v2 , (6.27)

siendo q 2 = e2/4π0.

La formula (6.25) dice que, en el caso de pequena velocidad, la distribucion

angular de la potencia radiada es proporcional a sen2 Θ, lo que significa que la

partıcula radia de manera transvesal a la aceleracion, con el maximo en el plano

perpendicular a ella segun se indica en la figura.



6–9




Figura 6.2: Distribucion angular de la potencia radiada por una partıcula de baja

velocidad. Los dos lobulos tienen forma circular e indican las lıneas de intensidad

igual de los campos electrico y magnetico y el vector de Poynting. La distribucion

tiene simetrıa cilındrica en torno a la aceleracion v (la flecha).

Ejemplo. Inestabilidad del modelo clasico de atomo.

Cuando Rutherford, tras decubrir en 1911 que casi toda la masa de un atomo

esta en su nucleo, propuso la idea de que el atomo consiste en un nucleo con carga

positiva y electrones girando alrededor1, se objeto de inmediato que un tal atomo

deberıa ser inestable pues la fuerte aceleracion producirıa una intensa emision de

radiacion, cayendo al nucleo el electron al perder energıa. Como consecuencia, la

materia serıa inestable.

El argumento se puede concretar con la formula de Larmor. Supongamos que

el electron esta en una orbita circular de radio r. Se cumple entonces

m

v2

r =

q 2

r2 ,

siendo q 2 = e2/(4π0) = 2,31 × 10−28 kg · m3s−2. El modulo de la aceleracion es,

por tanto, |v| = q 2/(mr2). La potencia total radiada estara dada por la formula

(6.26). Sustituyendo en ella, resulta

P = 2

3

q 6

m2c3r4 .

1Hubo un precedente. El japones Nagaoka propuso en 1905 un modelo hoy olvidado, conocido

entonces como el “atomo saturniano”, en el que los electrones formaban un anillo de carga

negativa similar a los de Saturno.

6–10 —

A n t o n





6.4. Radiaci´ on de una carga acelerada

Le energıa del electron es

E = 12

mv2 − q 2

r = −1

2q 2

r ,

y su derivada temporal dE /dt = q 2r/(2r2). El balance energetico nos dice

dE dt

= −P ,

que equivale a la ecuacion diferencial

r =

−

4

3

q 4

m2

c3

r2

.

Notese que estamos haciendo la hipotesis simplificadora de que el electron cae

despacio, de modo que en cada momento esta en una orbita circular de radio

r(t). La solucion se obtiene facilmente por separacion de variables y es

r =

r30 − 4q 4

m2c3 t

1/3

.

Si suponemos que el electron esta en el tiempo inicial en la primera orbita de

Bohr, o sea que r0 = 0,53

×10−10 m, el tiempo de caıda hasta el radio r sera

tcaida = r3

0 − r3

4q 4/(m2c3) .

Llegara al nucleo cuando r = 0, o sea al cabo del tiempo

tcaida = 1,5 × 10−11 s .

¿Cuantas vueltas dara en su caıda? El periodo en la primera orbita de Bohr es

∼ 1,5 × 10−16 s, por lo tanto debe dar mas de 105 vueltas (pues el periodo es

menor al disminuir r). Esto significa que la aproximacion hecha es correcta. Estainestabilidad serıa desastrosa, pero la teorıa cuantica nos salva de ella gracias a

las relaciones de Heisenberg.

6.4.2. Formula relativista de Larmor

La formula de Larmor anteriormente hallada supone que la velocidad de la

carga es pequena, lo que limita su campo de aplicacion. Conviene generalizarla

para velocidad arbitraria, lo que es posible hacer usando argumentos de covari-

ancia Lorentz. Para ello busquemos una expresion que sea invariante Lorentz y



6–11




se reduzca a (6.27) cuando β → 0. Se puede demostrar que el resultado es unico2.

La formula de Larmor se puede escribir

P = 2

3

q 2

m2c3

dp

dt · dp

dt

, (6.28)

siendo m y p la masa y el momento lineal de la carga. Recordemos que q 2 =

e2/4π0. La generalizacion invariante Lorentz es

P = −2

3

q 2

m2c3

d pµ

dτ · d pµ

dτ

, (6.29)

donde dτ = dt/γ es el tiempo propio y pµ es el cuadrivector energıa-momento.

El producto de cuadrivectores en esta ecuacion se puede escribir como

− d pµ

dτ · d pµ

dτ =

dp

dτ

2

− 1

c2

dE dτ

2

=

dp

dτ

2

− β 2

d p

dτ

2

, (6.30)

donde E = γmc2 y p = γmv. Eso conduce de inmediato a

P = 2

3

q 2

c γ 6 [ β

2 − (β × β)2] . (6.31)

Esta es la formula relativista de Larmor, valida para cualquier velocidad.

6.5. Reaccion a la radiacion. Radiacion del sin-crotron

La radiacion representa una perdida de energıa que hay que tener en cuenta

al calcular los movimientos de partıculas cargadas en campos electromagneticos.

Tambien es algo ası como los gases que salen de un cohete, algo ası como un motor

puesto al reves en un avion que interviene como una fuerza que hay que tener en

cuenta, llamada reacci´ on a la radiaci´ on . Es un problema muy importante para

los disenadores de aceleradores de partıculas.Los campos electrico y magnetico estan dados por (6.18)-(6.19), es decir,

E = e

4π0c

n × [(n − β) × β]

(1 − β · n)3R

ret

, B = 1

c [n × E] .

La componente radial del vector de Poynting vale

[S · n]ret = q 2

4πc

1

R2

n × [(n − β) × β]

(1 − β · n)3

2ret

(6.32)

2Ver Rohrlich, p. 109 y Jackson, p. 666.

6–12 —

A n t o n





6.5. Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on

Como se ve, hay dos tipos de efectos relativistas: uno se debe a la relaci on

entre la velocidad y la aceleracion y determina la forma de la distribucion angular

de la energıa radiada; el otro es el debido a la dependencia de β del denominador.

Conviene usar el tiempo retardado t = t − R(t)/c que es el propio de la carga.

Para calcular la energıa radiada entre t = T 1 y t = T 2 es

E =

T 2+[R(T 2)/c]

T 1+[R(T 1)/c]

[S · n]retdt =

T 2

T 1

(S · n) dt

dt dt . (6.33)

La energıa radiada por unidad de angulo solido y de tiempo propio de la carga

debe ser pues

dP (t)dΩ

= R2 (S · n) dtdt

= R2 S · n (1 − β · n) . (6.34)

Tomando el valor (6.32) para la componente radial del vector de Poynting, resulta

dP (t)

dΩ =

q 2

4πc

|n × [(n − β) × β|2(1 − β · n)5

. (6.35)

6.5.1. Caso de aceleracion lineal

Sea la aceleracion paralela o antiparalela a la velocidad. En ese caso la com-ponente radial de S vale

[S · n]ret = q 2

4πc

1

R2

n × [n × β]

(1 − β · n)3

2

ret

(6.36)

Teniendo en cuenta que β · n = v cos θ y |n × (n × v)|2 = v2 sen2 θ (donde θ

es el angulo entre la lınea desde la carga al punto de observacion y la velocidad

(o sea entre x

−r(t) y v), resulta para la distribucion angular de la radiacion

dP (t)

dΩ =

q 2

4πc3

v2 sen2 θ

[1 − (v/c)cos θ]5 , (6.37)

siendo θ el angulo que forma la direccion hacia el punto de observacion con la

del vector velocidad. Si β → 0, la expresion anterior tiende a la formula de

Larmor, de modo que la radiacion se emite transversalmente. En el caso opuesto

de alta velocidad (tambien llamado ultrarrelativista ), β → 1, la radiacion sale

hacia adelante, concentrandose en dos lobulos alrededor de la velocidad, de modo

que el angulo que forman con ella decrece al crecer v, haciendose cero en el lımite

β = 1. La potencia radiada crece con la velocidad y con la aceleracion. El angulo



6–13




Figura 6.3: Distribucion angular de la potencia radiada por una partıcula de altavelocidad, cuando es paralela (o antiparalela) a la aceleracion . Los dos lobulos

indican ademas las lıneas de intensidad igual de los campos electrico y magnetico

y el vector de Poynting. La distribucion tiene simetrıa cilındrica en torno a la

velocidad (o a la aceleracion).

θmax para el que la intensidad es maxima se obtiene hallando el maximo de la

expresion (6.37), o sea

0 =

d

dθ

sen2 θ

(1 − β cos θ)5 , ⇒ cos θmax = 1 + 15β 2

−1

3β → 1 −

1

8γ 2 ,

donde el lımite corresponde a β → 1, hasta segundo orden en 1/γ . Por tanto a alta

velocidad θmax = 1/2γ . Es facil comprobar que en el lımite β → 1, la intensidad

de la radiacion en ese maximo es proporcional a γ 8. Teniendo en cuenta que

β 1 − 1/2γ 2 en ese lımite, la ecuacion (6.37) se puede escribir para angulos

pequenos en la forma aproximada

dP (t)

dΩ 8

π

q 2v2

c3 γ 8

(γθ)2

(1 + γ 2θ2)5 , (6.38)

que aparece representada en la figura. Notese que hay un pico en γθ = 1/2, con las

semialturas en γθ = 0,23 y γθ = 0,91. Es facil comprobar que la media cuadratica

del angulo vale

θ21/2 = 1

γ =

mc2

E .

Notese que, integrando esta ultima ecuacion se obtiene

P (t) = 2

3

q 2

c3 v2γ 6 ,

que coincide con (6.31) para velocidad y aceleracion paralelas.

6–14 —

A n t o n





6.5. Reacci´ on a la radiaci´ on. Radiaci´ on del sincrotr´ on

Figura 6.4: Distribucion angular de la radiacion para una partıcula muy rela-tivista.

Debe subrayarse que, si una partıcula se frena (de otro modo, se decelera),

debe emitir radiacion. Se trata de un fenomeno habitual cuando pasan partıculas

cargadas a traves de un medio material, por ejemplo cuando un electron o un

proton choca con un blanco y se frena al entrar en el. Este es el mecanismo

principal por el que se producen rayos X para aplicaciones medicas o industria-

les o para investigaciones basicas. Esa radiacion se conoce como bremsstrahlung ,

palabra alemana que significa radiaci´ on de frenado (de Bremsung , deceleracion, yStrahlung , radiacion). Ocurre cuando un chorro de electrones se frena al atravesar

un medio material. Es un fenomeno muy importante.

En un acelerador lineal, el movimiento es unidimensional. De la ecuacion (6.30)

se sigue que

P = 2

3

q 2

m2c3

d p

dt

2

. (6.39)

Como la tasa de cambio temporal del momento lineal es igual al cambio de la

energıa de la partrıcula por unidad de longitud, resulta

P = 2

3

q 2

m2c3

dE dx

2

, (6.40)

de modo que, en el caso de movimiento lineal, la potencia radiada depende de

las fuerzas aplicadas que determinan la variacion de la energıa por unidad de

longitud y no de la energıa misma. El cociente de la potencia radiada a la potencia

suministrada por las fuerzas exteriores es,

P

(dE /dx)v = 2

3

q 2

m2c3

1

v

dE dx , (6.41)



6–15




Figura 6.5: Caso de una partıcula en movimiento circular

que en el lımite de alta velocidad (β → 1), da

P

(dE /dx) → 2

3

q 2/mc2

mc2

dE dx

. (6.42)

La ecuacion anterior muestra que, en un acelerador lineal, la perdida de energıa

por radiacion solo es importante si el aumento de la energıa es del orden de

mc2 = 0,511 MeV en la distancia q 2/mc2 = 2,82×10−15m, es decir si dE /dx 2×1014 MeV/m. En un acelerador lineal la ganancia en energıa debida a los campos

exteriores a la partıcula suele ser del orden de 50MeV/m. Por tanto la radiacion

de la partıcula (o sea la reacci´ on de la radiaci´ on ) es muy poco importante en los

aceleradores lineales. Se puede despreciar.

6.5.2. Caso de la aceleracion centrıpeta en un movimiento

circular.

Supongamos una carga puntual moviendose a lo largo de una circunferencia.

Tomando un sistema de coordenadas con el eje z segun la direccion de v y el eje

x segun la de v, y con los angulos polar y azimutal segun se indica en la figura,

la expresion (6.35) resulta ser igual a

dP (t)

dΩ =

q 2

4πc3

v2

(1 − β cos θ)3

1 − sen2 θ cos2 φ

γ 2(1 − β cos θ)2

. (6.43)

En el caso de una carga muy relativista encontramos de nuevo un pico pro-

nunciado hacia delante. Si γ 1 y siguiendo un proceso analogo al que llevo a

6–16 —

A n t o n





6.6. Ejercicios

(6.38), la distribucion angular anterior puede aproximarse como

dP (t)dΩ

2π

q 2c3

γ 6 v2

(1 + γ 2θ2)3

1 − 4γ 2θ2 cos2 φ

(1 + γ 2θ2)2

. (6.44)

La media cuadratica del angulo θ21/2 vale lo mismo que en el caso de la ace-

leracion longitudinal. La potencia radiada total se obtiene integrando (6.43) y

resulta

P (t) = 2

3

e2

c3 v2γ 4 . (6.45)

Notese que, como en un movimiento circular de radio se cumple |v| = v2/, la

intensidad de la radiacion es proporcional a la cuarta potencia de la velocidad e

inversamente proporcional al cuadrado del radio.

Teniendo en cuenta que la fuerza, es decir la magnitud del cambio de momento

lineal, es en el movimiento circular igual a γmv, la ecuacion (6.45) puede escribirse

como

P circular(t) = 2

3

q 2

m2c3 γ 2

dp

dt

2

, (6.46)

a comparar con (6.39)

P longitudinal(t) = 2

3

q 2

m2c3dp

dt2

.

Como se ve y para la misma fuerza la radiaci on emitida cuando la aceleracion es

transversal es un factor γ 2 mas intensa que cuando es longitudinal.

6.6. Ejercicios

6.1 Dos cargas P y S de valor

−q estan fijas en los extremos de una varilla de

longitud 2b, colocada a lo largo del eje z , desde −b a +b. En el plano mediadorde la varilla, a una distancia d de ella y sobre el eje x esta una tercera carga

R de valor +q . Consideraremos dos supuestos. a) En el sistema S , la varilla P S

acelera con a = v = vex hacia R, que esta en reposo. b) En el sistema S , la

varilla esta en reposo y R acelera con −v hacia la varilla. Calcular en los dos

casos, las fuerzas que se establecen entre los dos sistemas R y P S . Se supone que

las velocidades son pequenas frente a c.

6.2 Se tiene un alambre conductor rectilıneo e infinito situado a lo largo del

eje z . A partir del instante t = 0 se le aplica una corriente constante en todo el



6–17




alambre, es decir

I (z, t) =0 , t < 0 ,

I , t ≥ 0 .

Hallar los campos E , B y el vector de Poynting S en todo el espacio.

6.3 Analizar la distribucion angular de la radiacion y el promedio temporal

de la potencia radiada por unidad de angulo solido por una carga en movimiento

no relativista,

a) a lo largo del eje z con z = a cos ω0t.

b) a lo largo de una circunferencia de radio r en el plano xy con frecuencia angular

ω0.

6.4 Una partıcula cargada con velocidad v0 entra en un medio y se ve frenada

con una fuerza proporcional a la velocidad F = −αv. Hallar la energıa total

emitida en forma de radiacion, suponiendo que el medio actua practicamente

como el vacıo para la radiacion.

Ayuda:

1−1

1 − x2

(1 + βx)5 dx =

4

3 β 6 .

6.5 Calcular la potencia radiada en el modelo clasico de Bohr por un electronen el estado fundamental del atomo de hidrogeno (sin postulado de cuantizacion).

¿Cual serıa el tiempo de vida del atomo? (Se puede admitir que el electron cae

al nucleo muy despacio, siguiendo una espiral de modo que la radiaci´n es muy

aproximadamente la de un movimiento circular. Analizar la validez de tal aprox-

imacion a la luz del resultado obtenido.

6.6 Dos cargas de valores opuestos (+q y −q ) describen una orbita circular con

frecuencia ω, manteniendose en posiciones diametralmente opuestas. Estudiar la

radiacion emitida en la zona lejana. Hallar la distribucion angular de la radiaciony la potencia total radiada en la aproximacion no relativista.

6.7∗ Una carga Q, uniformemente distribuida en una esfera de radio R, se

mueve con velocidad v, constante respecto al sistema de laboratorio S . Calcular

el momento y la energıa debidos a su campo electromagnetico.

a) Por transformacion a S de la energıa y el momento en el sistema propio de la

esfera S .

b) Por calculo directo en el referencial S . Se supone que v c.

6–18 —

A n t o n





Capıtulo 7

Sistemas radiantes

7.1. Radiacion de un sistema de cargas

El proposito de esta seccion es determinar la potencia radiada por un conjunto

de cargas puntuales que se mueven en el vacıo manteniendose en el interior de

un volumen acotado V . Supondremos que (i) las velocidades de las cargas son

no relativistas |vk| c, (ii) las dimensiones de V son pequenas respecto a

la distancia al punto de observacion y (iii) respecto a las longitudes de onda

dominantes.

Tomemos las expresiones de los campos electrico y magnetico de una carga

acelerada obtenidos en el capıtulo 6, ecuaciones (9.30), suponiendo el origen de

coordenadas en el interior de V . Despreciando el efecto de su velocidad, los campos

creados por esa carga son

E = q

4π0c

n × (n × r/c)

r

ret

, B = − q

4π0c2

n × r/c

r

ret

. (7.1)

En los sucesivo se omite por simplicidad el subındice “ret”, indicador de que elsegundo miembro debe calcularse en el tiempo retardado. Sumando en el conjunto

de las cargas q k, se obtiene B = −n ×k q krk/(4π0c3r), de donde

B = − µ0

4πcr2 r × p, E = − c

r r × B , (7.2)

siendo p el momento dipolar electrico del sistema de cargas

p =

k

q krk .

Notese que tanto E como B son perpendiculares a r en la aproximacion r.



7–1



7.2. Radiaci´ on de un dipolo oscilante

7.2. Radiacion de un dipolo oscilante

Sea un dipolo oscilante, constituido por dos pequenas esferas localizadas en

los puntos z = ±/2 del eje z , conectadas por un alambre, tal como se muestra

en la figura. Ese dipolo representa un circuito lineal pequeno por el que circula

una corriente alterna, generada por una fuente de tension con frecuencia ω. En

notacion compleja de fasores Q = q ω cos ωt = (q ωeiωt). La intensidad de corriente

en el alambre es

I = Q,

(si q = q ω cos ωt, entonces I ω = −ωq ω sen ωt) con lo que I = −iωQ y el momento

dipolar pω = Q = iI ω/ω (en lo sucesivo omitiremos el subındice ω por sim-plicidad; recordemos que, en el metodo de los fasores, a la derivada temporal le

corresponde la multiplicacion por −iω y a la integracion la division por −iω).

Figura 7.1:

Supondremos que la longitud del dipolo es pequena comparada con la lon-gitud de onda de la radiacion λ = c/2πω: λ. El potencial vector debido a la

distribucion de corriente I = Q vale

Az(r, t) = µ0

4π

/2

/2

I (z , t − |r − z kz|/c)

|r − z kz| dz . (7.6)

Para calcular esta integral, hay que hacer algunas aproximaciones. En primer

lugar, si r (a grandes distancias) se puede tomar

|r − kz | = (r2 − 2z k · r + z 2)1/2 ≈ r − z cos θ,



7–3



Capıtulo 7. Sistemas radiantes

siendo θ el angulo polar. Sustituyendo en (7.6), resulta que podemos prescindir del

termino

−z cos θ en el denominador, como aproximacion, si r es suficientemente

grande (en la zona lejana). En el numerador, sin embargo, ese termino solo puede

despreciarse si z cos θ/c es muy pequeno comparado con el tiempo durante el cual

cambia apreciablemente la corriente, para lo que podemos tomar el periodo T =

2π/ω. Como |z cos θ| ≤ /2, esto implica que el retardo solo puede despreciarse

si

2 cT = λ , (7.7)

es decir, si es pequeno comparado con la longitud de onda y, ademas, el punto

de observacion esta lo suficientemente alejado del dipolo (r ). En ese caso,

podemos aproximar (7.6) por

Az(r, t) = µ0

4π

rI

t − r

c

. (7.8)

Para calcular el potencial Φ hay que tener cuidado con las aproximaciones porque

es la diferencia entre dos terminos grandes. Para evitar errores grandes, conviene

fijar el gauge con la condicion de Lorentz

∇ · A + 1

c2

∂ Φ

∂t = 0, (7.9)

de donde

∂ Φ∂t

= − 14π0

∂ ∂z

r

I

t − rc

=

4π0

z

r3 I

t − r

c

+

z

r2cI

t − r

c

Como I = q , esta ecuacion puede integrarse facilmente

Φ(r, t) =

4π0

z

r2

q (t − r/c)

r +

I (t − r/c)

c

, (7.10)

Las ecuaciones (7.8) y (7.10) dan los potenciales. A partir de ellos se obtienen los

campos por simple derivacion. Consideremos el caso en que la carga del dipolo

varıa armonicamente

q

t − r

c

= q 0 cos ω

t − r

c

,

I = I 0 sen ω

t − r

c

= −ωq 0 sen

t − r

c

.

Descomponiendo A en sus componentes esfericas, resulta

Ar = µ0

4π

I 0

r cos θ sen ω

t − r

c

,

Aθ = − µ0

4π

I 0

r sen θ sen ω t − r

c ,

Aϕ = 0,

7–4 —

A n t o n





7.3. Planteamiento general del problema

En principio, bastarıa con aplicar (7.18) para calcular los campos. Sin embar-

go, conviene conocer algunas propiedades del sistema que son interesantes para

elaborar una vision intuitiva del problema y no dependen de los detalles exac-

tos de las distribuciones de carga y corriente. Seguimos con las aproximaciones

expuestas al principio del capıtulo, en especial suponiendo que las dimensiones

de V , del orden de , y la longitud de onda cumplen λ = 2πc/ω . Se deben

considerar separadamente tres regiones espaciales.

i) La zona proxima: r λ,

ii) la zona intermedia: r ∼ λ,

iii) la zona lejana:

λ

r.

Las tres zonas se conocen tambien como estatica, de induccion y de radiacion,

respectivamente. Las propiedades de los campos son diferentes en las tres zonas.

En la proxima, los campos tienen caracterısticas de campos estaticos, con com-

ponentes radiales no nulas y variacion espacial dependiente de los detalles de las

fuentes. En la zona lejana los campos E y B son transversos, decaen como 1/r

y tienen dependencia espacial tıpica de los campos de radiacion, caracterizados

por la variacion temporal de los momentos multipolares de las distribuciones de

carga y de corriente.

En la zona proxima se cumple kr 1, por lo que la exponencial en (7.19) sepuede aproximar como 1. Expresando |r − r|−1 mediante su desarrollo en serie

multipolar

1

|r − r| = 4π∞

=0

m=−

1

2 + 1

r<

r+1>

Y ∗m(θ, ϕ)Y m(θ, ϕ) . (7.21)

Resulta ası

lımkr→0

A(r) = µ0

4π,m

4π

2 + 1

Y m(θ, ϕ)

r+1 j(r)r Y ∗m(θ, ϕ) d3r (7.22)

O sea que los campos en la zona proxima son cuasi-estacionarios: oscilan armonica-

mente debido al factor e−iωt pero tienen una dependencia espacial estatica.

En la zona lejana ocurre al reves: kr 1, por lo que la exponencial en (7.19)

oscila muy deprisa. Se puede hacer la aproximacion

|r − r| r − n · r . (7.23)

donde n es un vector unitario en la direccion de r. El termino dominante en la

expresion de A(r) se obtiene prescindiendo de −n·r en el denominador de (7.19).



7–7




Se sigue que, en esa aproximacion, el potencial vectorial vale

lımkr→∞A = µ0

4π

eikr

r

j(r)e−ikn

·r

d3r (7.24)

Esta ecuacion muestra que el potencial vectorial se comporta, en la zona lejana,

como una onda esferica saliente con un factor multiplicativo dependiente de los

angulos (la integral). Si se cumple la condicion λ, se puede desarollar la

exponencial en serie de k

lımkr→∞

A(r) = µ0

4π

eikr

r

m

(−ik)m

m!

j(r)[n · r]md3r . (7.25)

De aquı se sigue una importante consecuencia. Como el orden de magnitud de

r

es , o menor, y k es menor que uno, los terminos en la serie en la integralanterior decaen hacia cero, de manera que la radiacion emitida se debe solo a los

primeros terminos.

En la zona intermedia el calculo es mas complejo. Diremos solamente que las

aproximaciones usadas para las zonas proxima y lejana no son validas allı. Lo

mas importante es la expresion exacta del potencial vectorial. Para conseguirla

se usa el desarrollo multipolar

eik|r−r|

4π|r−

r

| = ik

∞

=0

j(kr<)h(1) (kr>)

m=−

Y ∗m(θ, ϕ)Y (θ, ϕ) , (7.26)

donde j(kr) son las funciones esfericas de Bessel, h(1) (kr) las de Hankel de

primera especie e Y m, los armonicos esfericos. Sustituyendo en (7.19), resulta

que, fuera de V , el potencial vale exactamente

A(r) = µ0ik,m

h(1) (kr)Y m(θ, ϕ)

j(r) j(kr)Y m(θ, ϕ)d3r (7.27)

Notese que h(1) (kr) → (−i)+1eikr/kr para kr → ∞.

Inexistencia de radiacion monopolar. Haciendo el mismo calculo con el

potencial escalar, resulta

Φ(r, t) = 1

4π0

V

d3r

dt ρ(r, t)

|r − r| δ

t +

|r − r|c

− t

.

La parte monopolar de la radiacion se obtiene sustituyendo |r − r| por r, lo que

conduce a

Φmonopolar(r, t) = q (t = t − r/c)

4π0rComo la carga electrica de una distribucion contenida en el volumen V se conser-

va, el termino monopolar es siempre estatico. Los campos armonicos no pueden

incluir terminos monopolares. O sea: no hay radiacion monopolar.

7–8 —

A n t o n





7.4. Termino dipolar electrico de la radiaci´ on

7.4. Termino dipolar electrico de la radiacion

Consideremos de nuevo la ecuacion (7.25). Si se desprecian todos los terminos

de la serie salvo el primero, se tiene

A(r) = µ0

4π

eikr

r

j(r)d3r (7.28)

que es evidentemente el termino = 0 de la serie (7.27) teniendo en cuenta que,

como kr 1, se puede aproximar j = 1 en la integral. Mediante una integracion

por partes, es posible escribir dicha integral del modo

j d3r =

− r(∇

· j) d3r =

−iω rρ(r) d3r =

−iωp (7.29)

pues la ecuacion de continuidad dice que iωρ = ∇ · j , siendo p =

rρ(r) d3r el

momento dipolar electrico. Esto es interesante, pues permite expresar el potencial

vectorial en funcion de p

A(r) = −iµ0ω

4π p

eikr

r (7.30)

Usando ahora las ecuaciones (7.20) se muestra que los campos tienen la forma

H = ck2

4π (n × p)

eikr

r

1 − 1

ikr

(7.31)

E = 14π0

k2(n × p) × n e

ikr

r + [3n(n · p) − p]

1r3 − ikr2

eikr

Esta es la expresion del termino dipolar electrico de la radiaci´ on . Notese que es

distinto de cero si y solo si p = p(t). Su comportamiento en la zona lejana es

H = ck2

4π (n × p)

eikr

r , E = Z 0 H × n , (7.32)

mientras que en la zona proxima

H = iω

4π (n × p)

1

r2 , E =

1

4π0[3n(n · p) − p]

1

r3 . (7.33)

Conviene subrayar los siguientes puntos(i) la radiacion dipolar electrica es el primer termino en el desarrollo multipolar

de la radiacion; por ello es dominante en general.

(ii) Depende de la variacion del momento dipolar electrico, es decir de sus

derivadas temporales respecto al tiempo.

(iii) En su expresion completa, el campo magnetico es transverso siempre, mien-

tras que el electrico lo es en la zona de radiacion, pero no en la zona proxima.

(iv) En la zona proxima el campo electrico es estacionario, oscilando armonica-

mente alrededor de la forma tıpica de un campo dipolar electrico estatico (debido

al factor e−iωt).



7–9




7.5. Radiacion dipolar magnetica y cuadrupolar

electricaEl segundo termino en (7.25) es

A(r) = µ0

4π

eikr

r

1

r − ik

j(r)(n · r)d3r (7.34)

donde se han incluido la forma correcta de la serie (7.27) para que (7.34) sea valida

en todo el exterior de V , no solo en la zona lejana. Conviene escribir el integrando

anterior como suma de una parte simetrica en j y r y otra antisimetrica.

1

2[(n · r) j + (n · j)r] +

1

2(r × j) × n . (7.35)

La segunda parte es la imanacion debida a la corriente

M = 1

2(r × j) (7.36)

La contribucion de ese termino al potencial vectorial es

A(r) = ikµ0

4π

(n

×m)

eikr

r1

− 1

ikr , (7.37)

donde m es el momento dipolar magnetico del sistema

m =

M d3r =

1

2

(r × j) d3r (7.38)

Los campos pueden determinarse teniendo en cuenta que el potencial vectorial

(7.37) es proporcional al campo magnetico del dipolo electrico (7.31). Mas con-

cretamente, resulta que el campo magnetico del dipolo magnetico es igual a 1/Z 0por el campo electrico del dipolo electrico, cambiando p por m/c. Ademas, el cam-

po magnetico de esta fuente dipolar magnetica es −Z 0 por el campo magneticodel dipolo electrico con la misma sustitucion. De modo explıcito:

H = 1

4π

k2(n × m) × n

eikr

r + [3n(n · m) − m]

1

r3 − ik

r2

eikr

E = −Z 04π

k2 (n × m) eikr

r

1 − 1

ikr

(7.39)

Como se puede ver se pasa de una a otra de las expresiones de los campos en las

dos formas de radiacion mediante los cambios E

→Z 0H, Z 0H

→ −E, p

→m/c.

Notese, ademas, que los dos campos son transversos en la zona lejana.

7–10 —

A n t o n





7.5. Radiaci´ on dipolar magnetica y cuadrupolar electrica

Termino cuadrupolar electrico. Consideremos ahora el efecto del termino

simetrico en (7.35). Si se integran por partes y tras un poco de algebra, su integral

toma la forma

1

2

[(n · r) j + (n · j)r]d3r = − iω

2

r(n · r)ρ(r)d3r (7.40)

donde se ha hecho uso de la ecuacion de continuidad como mas arriba. El potencial

vectorial es

A(r) = − µ0ck2

8π

eikr

r

1 − 1

ikr

r(n · r)ρ(r)d3r (7.41)

El calculo es algo mas complicado, pero si nos limitamos a la zona lejana, noes difıcil ver que toman la forma

H = ik n × A/µ0 , E = ikZ 0 (n × A) × n/µ0 (7.42)

Sustituyendo el valor de A, se tiene para el campo magnetico

H = − ick3

8π

eikr

r

(n × r)(n · r)ρ(r)d3r (7.43)

Recordando la expresion del tensor de momento angular

Qij =

(3xix j − r2δ ij)ρ(r)d3r (7.44)

la integral en (7.43) se puede escribir como

n ×

r(n · r)ρ(r)d3r = 1

3n × Q(n) (7.45)

donde el vector Q(n) tiene por componentes Qi =

j Qijn j . Resulta entonces

que

H = −ick3

24π

eikr

r n × Q(n) (7.46)

con lo que la potencia media radiada por unidad de angulo solido es

dP

dΩ =

c2Z 01152π2

k6|[n × Q(n)]|2

Este termino del desarrollo en serie del campo radiado se llama radiacion cuadupo-

lar electrica pues depende de los momentos cuadupolares electricos.

El calculo se hace progresivamente mas complejo y no lo desarrollaremos aquı.

Existe un procedimiento sistematico que permite atacar el problema general del

desarrollo multipolar de la radiacion (vease, por ejemplo, Jackson cap. 9.)



7–11



7.7. Ejercicios

El campo electrico en la zona de radiacion es H = ikn × A/µ0. Del calculo del

vector de Poynting, se sigue que la potencia media en el tiempo radiada por

unidad de angulo solido es

dP

dΩ =

Z 0I 2

8π2

cos( kd cos θ2

) − cos( kd2 )

sen θ

2

(7.50)

Esta distribucion angular depende del valor de kd. Si kd → 0, es decir en el

caso de longitud de onda larga, se reduce al caso de radiacion dipolar. Para los

valores kd = π (resp 2π), conocidos como antena de media onda (resp. de onda

entera) y correspondientes a λ = 2d (resp. λ = d), las distribuciones angulares

son

dP

dΩ =

Z 0I 2

8π2

cos2

π2

cos θ

/ sen2 θ, kd = π

4cos4

π2

cos θ

/ sen2 θ, kd = 2π

(7.51)

En la figura 7.4 se representan estas dos distribuciones. Notese que la de

media onda es muy proxima a la forma dipolar pura mientras que la de onda

entera esta mas dirigida.

7.7. Ejercicios

7.1 Dos dipolos puntuales separados p = (0, 0, p cos ωt) (en 0, 0, λ/4) y −p

(en 0, 0, −λ/4) oscilan en oposicion de fase.

a) Determinar los campos de radiacion y la potencia radiada por unidad de angu-

lo solido.

b) Hallar la directividad del sistema (es decir, la potencia radiada por estereor-

radian en un maximo dividida por (4π)−1

veces la potencia total radiada).

7.2 Un cuadrupolo oscilante consta de las cargas −q, +2q, −q situadas en las

posiciones (z 1, z 2, z 3), con z k = a cos ωt, 0, −a cos ωt, respectivamente. Calcular

los campos a gran distancia y la potencia media total radiada.

7.3 Usando las aproximaciones multipolares mas bajas, determinar los cam-

pos electromagneticos en la zona lejana: a) para una carga q que se mueve con

velocidad angular uniforme en regimen no relativista en orbita circular de ra-

dio a; b) para dos cargas identicas que se mueven a lo largo del mismo cırculo,

manteniendose en posiciones diametralmente opuestas.



7–13




Figura 7.4: Distribuciones de radiacion exactas (lıneas continuas) de antenas de

media onda (kd = π, abajo) y onda entera (kd = 2π, arriba) y expansiones con

dos terminos (lıneas de trazos). En el caso de la media onda aparece tambien la

aproximacion dipolar ( lınea de puntos)

7.4 Una espira pequena en forma de triangulo equilatero de lado a esta recor-

rida por una corriente I 0 cos ωt. Debido a que ωa c puede admitirse que la

corriente es la misma en toda la espira en cualquier tiempo. Hallar, en el orden

de aproximacion mas bajo, el diagrama de radiacion y la potencia total radiada.

7–14 —

A n t o n





Capıtulo 8

Apendice 1. Tensores

8.1. Breve introduccion: escalares, vectores y

matrices

La finalidad principal de este apendice es exponer de forma simple la idea

de tensor, recopilando su base matematica. Tomemos, por simplicidad, el espa-

cio euclıdeo tridimensional. Podemos avanzar en el entendimiento de la idea detensor diciendo que son unos objetos matematicos con varias componentes que se

escriben como C , Aij, Dijk···, de modo que los subındices toman como valores

posibles 1, 2 y 3. Se dice que un tensor con n ındices tiene rango n ( o tambien

orden n). El numero de sus componentes es entonces 3n. Se ve ya que la idea de

tensor es una generalizacion de la de vector. Tienen dos propiedades:

i) Expresan una cierta direccionalidad.

ii) Sus componentes son los coeficientes de funciones multilineales cuyos ar-

gumentos son n vectores.

Examinemos esta definicion informal en tres casos conocidos: los escalares, los

vectores y las matrices.

Escalares. Son cantidades que no expresan ninguna direccionalidad. Son in-

variantes, por tanto, por rotaciones de coordenadas. Ejemplos son la densidad de

un metal, la energıa cinetica de un movil o el modulo de la velocidad de la luz.

Solo tienen una componente y ningun ındice, por lo que se definen como tensores

de rango cero.

Vectores. Son objetos con tres componentes, por ejemplo la velocidad de un

movil o la aceleracion de la gravedad en un punto del Sistema Solar. Son tambien



8–1



Capıtulo 8. Apendice 1. Tensores

tensores de rango uno o de un ındice. Esta claro que describen la forma mas

simple de direccionalidad. Sus componentes son los coeficientes de las llamadas

formas lineales que son funciones lineales con un argumento que es un vector. En

efecto, sea el vector a = (a1, a2, a3). Tiene la forma lineal asociada

F a(u) = a1u1 + a2u2 + a3u3 = a · u

donde a es fijo y u variable, que es invariante por rotaciones, o sea un escalar.

Notese que toda funcion de vector que sea lineal e invariante por rotaciones se

define por tres cantidades que son las componentes de un vector.

Matrices. Son objetos con dos ındices, del tipo M ij. Suponemos aquı que

se trata de matrices que expresan una transformacion lineal del tipo a → bdonde bi =

j M ija j. Son tensores de rango 2 . Para mostrar que cumplen las dos

propiedades anteriores, tomemos como ejemplo el llamado tensor de tensiones

de un solido elastico deformado bajo el efecto de fuerzas. Sea σij tal tensor. Su

sentido es el siguiente. Si dS = ndS es un elemento de area dentro del cuerpo, la

cantidad τ i = dF i/dS =

j σijn j es un vector que expresa las tres componentes

de la tensi´ on , es decir la fuerza por unidad de superficie que un lado de la superficie

ejerce sobre el otro.

Puede verse aquı una direccionalidad mas compleja que la de un vector, que

expresa la relacion entre la direccion del vector que describe la superficie de areay la de la fuerza por unidad de area ejercida sobre dicha area. Por otra parte a σij

se le puede asociar una funcion bilineal de dos argumentos vectoriales, definida

como

F σ(a, b) =

ij

aiσijb j

Para ilustrar esta idea, se dice a veces que un vector es una maquina tragaperras

con una sola ranura; produce un numero si se introduce un vector por la ranura.

Una matriz serıa una maquina con dos ranuras de la que sale un numero, si se

introducen dos vectores. Un tensor de rango n serıa pues una maquina con nranuras.

A continuacion se desarrollan estas ideas de manera ligeramente (solo ligera-

mente) mas formal.

8.2. Definicion de grupo y de grupo de Lie.

Un grupo es un conjunto de objetos que incluye una ley de composicion binaria

(una multiplicacion) que asigna un elemento a cada par de elementos ordenados

8–2 —

A n t o n





8.3. Espacio euclıdeo y grupo de las rotaciones

a y b. Se escribe a · b = p. Esa ley cumple tres propiedades

1) Es asociativa : a · (b · c) = (a · b) · c.2) Existe un elemento identidad e, tal que a · e = e · a = a para todo a.

3) Cada elemento del grupo a tiene un inverso a−1 tal que a−1 ·a = a ·a−1 = e.

En este curso nos interesan en especial los grupos continuos , tales que sus

elementos dependen de varios parametros continuos 1, · · · , n . Si el grupo es una

variadad diferenciable y los parametros del producto son funciones diferenciables

de los de los factores, el grupo se llema grupo de Lie , en honor del matematico

noruego Sophus Lie, que fue un pionero en su investigacion.

Ejemplos de grupos de Lie son el de las rotaciones en n dimensiones, el de lastraslaciones o el de Lorentz. Los parametros son angulos o angulos y velocidades,

respectivamente (o funciones de ellos). En general los grupos de Lie se representan

por matrices, de modo que a cada elemento (a menudo una transformacion) le

corresponde una matriz que actua en un espacio vectorial, que conserve la ley de

multiplicacion. Es otras palabras, el grupo de Lie y el grupo de matrices deben

ser homomorfos. Una tal correspondencia se llama representaci´ on lineal del grupo

de Lie .


Que cosa es un vector. Varios numeros sin mas no son necesariamente las

componentes de un vector en un cierto espacio vectorial. Como antes se dijo, hay

dos definiciones de vector. La primera es que las componentes de un vector siempre

deben expresar, de algun modo, una direccionalidad. Intuitivamente hablando,

el ejemplo mas simple es el de una velocidad. Consideremos el conjunto de los

vectores tridimensionales r = (r1, r2, r3) [≡ (x,y,z )], que representaremos comouna columna de tres numeros, y una transformacion lineal A : r → r = Ar,

donde A es una matriz 3 × 3

A = (aij) =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. (8.1)

La expresion en coordenadas de la transformacion es

ri → r

i =

j aijr j , (8.2)



8–3




ahora bien

∂f

∂xi=

j

∂f

∂x j

∂x

j∂xi

=

ja ji

∂f

∂x j

=

j(a−1)ij

∂f

∂x j

,

donde se ha tenido en cuenta que la matriz inversa de (ak) es su traspuesta.

Aplicando por la izquierda

i aki y redefiniendo los ındices, se sigue que

∂f

∂xi

=

j

aij∂f

∂x j

,

o sea que el gradiente es un vector porque se transforma como un vector. Por ello

el operador ∇ se califica como “operador vectorial infinitesimal”. Para simplificar,

se usa a veces la notacion ∂ /∂xi = ∂ i.

8.3.1. Formas lineales.

Consideremos ahora otro concepto. Una forma lineal en el espacio tridimen-

sional es una funcion lineal de los vectores que toma valores entre los numeros

reales. Como es lineal, toda forma F esta definida por tres numeros, sean

(u1, u2, u2), tales que

F u(v) = u1v1 + u2v2 + u3v3 =

iuivi . (8.5)

Es facil ver que el conjunto de las formas lineales en un espacio vectorial V tiene

tambien la estructura de espacio vectorial. Se conoce por espacio dual de V . El

teorema de Riesz establece que hay una correspondencia biunıvoca entre V y su

dual, de modo que a cada vector le corresponde una forma.

Nos interesan las formas invariante por O3 (en el caso general, por un cierto

grupo). Para ello, su valor debe ser el mismo en un sistema con primas (o sea,

rotado)

F u(v) =

i

uivi =

i

j

uiaijv j =

j

u jv j = F u(v) . (8.6)

Como esto se debe cumplir para todo vector v, las dos ecuaciones anteriores

implican que los coeficientes de la forma se transforman del modo

u j =

i

aij ui ,

y, si la matriz aij es ortogonal, esto equivale a

u

i =

j aiju j .



8–5




O sea que los coeficientes de una forma se transforman como los componentes de

un vector. Esto parece sugerir que un vector y una forma son la misma cosa. Pero

no es ası, en general son dos conceptos que hay que saber distinguir. Ocurre sin

embargo que, en el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, las componentes

de la forma son la misma terna que la del vector u a que esta asociada en virtud

del teorema de Riesz. Pero en el caso general, las cosas son algo mas complicadas

y conviene, como se vera mas abajo. Cuando hay una metrica dada por un pro-

ducto escalar, se puede establecer una relacion biunıvoca entre el conjunto de los

vectores y el de las formas. Gracias a ello y en el caso de una geometrıa euclıdea

con una base ortogonal, es posible y comodo identificarlos, si bien con un cierto

abuso de lenguaje poco importante. Pero eso no se puede hacer en relatividad,

que usa una geometrıa pseudoeuclıdea con el grupo de Lorentz en vez del de las

rotaciones.

Eso permite formular la segunda definicion de vector antes anunciada: un

vector es el conjunto de los coeficientes de una forma lineal. Pero conviene insistir

que hay en ella un cierto abuso de lenguaje.

8.3.2. Que cosa es un tensor.

Un tensor de rango n o de orden no de n ındices en el espacio euclıdeo R3

es un objeto de 3n componentes T ij···n que en la transformacion de coordenadas

(8.2) cambia del modo siguiente

T ij···n → T ij···n =

i j···n

aiia jj · · · annT i j···n (8.7)

Es evidente que un ejemplo de tensor de rango n es el conjunto de los productos

de las componentes de n vectores

Rij···n = AiB j · · · N n .

En otras palabras, un tensor es un objeto con varios ındices que se transforma

como un vector respecto a cada ındice. Con esta definicion, un vector es un tensor

de rango uno y un escalar es un tensor de rango cero.

Como sabemos una matriz de transformacion es un objeto de dos ındices, lo

que plantea una pregunta. ¿Es tambien un tensor? Consideremos una transfor-

macion lineal dada por la matriz B = (bij), es decir

u → v = Bu, o sea ui → vi =

j biju j . (8.8)

8–6 —

A n t o n






Apliquemos la matriz de transformacion A = (aij) que nos pasa a un sistema con

primas, en el que la transformacion dada por B sera

u → v = Bu, o sea ui → vi =

j

biju j . (8.9)

La situacion puede describirse con el diagrama

u B→ v

A ↓ ↓ A

u B

→ v

. (8.10)Esto significa que

v = B Au = ABu .

Como esto debe verificarse para todo vector u, se ha de cumplir

BA = AB , es decir B = ABA−1 . (8.11)

Tomando componentes

bij = m

aibm(a−1) jm (8.12)

Como A−1 = A, entonces (a−1) jm = a jm, de donde

bij = m

ai a jm bm , (8.13)

que indica que las componentes de la matriz B se transforman como las de un

tensor.

En fısica abundan los tensores. Tres ejemplos de rango dos: el de inercia de

un solido rıgido y los de deformacion y tension en mecanica de medios continuos.Producto y contraccion de tensores. Se define el producto de dos tensores

de rangos n y m como el tensor de rango m + n cuyas componentes son los 3n+m

productos de las del primero por el segundo. Ejemplo: la diada o producto diadico

de dos vectores es el tensor Dij = AiB j.

La operacion de igualar dos de los ındices de un tensor y sumar despues en

sus posibles valores se llama contracci´ on . Por ejemplo la traza de una matriz de

dos ındices es la contraccion del tensor correspondiente Tr (Aij) =

j A jj . Es

facil comprender que la contraccion de un tensor de rango n es otro tensor, pero

de rango n − 2. Por ejemplo si contraemos los dos primeros ındices del tensor de



8–7




(8.7), el objeto resultante, U k···n =

i T iik···n, se transformara como un tensor de

rango n

−2 pues

i

T iik···n → T iik···n =

i j···n

aiiaij · · · annT i j···n .

Como

i aiiaij = δ i j, resulta que

U k···n =

k···n

akk · · · annU k···n (8.14)

Luego la contraccion de un tensor de n ındices es un tensor de n−2 ındices. Como

ejemplo, el producto escalar de dos vectores es la contraccion de su producto

diadico (la contraccion de akb j es

k akbk).Ejemplos interesantes de tensores son la delta de Kronecker y el tensor alter-

nante, tambien llamado sımbolo de Levi-Civitta .

En primer lugar el conjunto de las derivadas de un vector A j respecto a las

coordenadas es un tensor de rango 2, conocido a veces como gradiente vectorial

T ij = ∂ iA j ,

(comprobar!). La delta de Kronecker es el gradiente vectorial del vector de posi-

cion

(∇r)ij = ∂x j/∂xi = δ ij ,

igual a cero si los dos ındices son distintos y a 1 si son iguales. Eso ocurre en todos

los sistemas de coordenadas, por lo que es un tensor invariante (comprobar!). El

tensor alternante es el conjunto de 27 elementos εijk , tales que εijk = 0 si dos

de sus ındices son iguales; εijk = ±1 si (ijk) es una permutacion par o impar,

respectivamente, de (123). Para comprobar que es un tensor, apliquemos (8.7)

εijk = εmnaiamjank = a1 a1 j a1k

a2 a2 j a2k

a3 a3 j a3k

.

Si la rotacion es propia (o directa), el determinante vale +1 y resulta que εijk =

εijk , o sea que se trata de un tensor invariante, con el mismo valor en todos los

sistemas ortogonales. En cambio si se trata de una rotacion impropia (o inversa),

el tensor cambia de signo. Es pues realmente un pseudotensor , como se llama a los

tensores que, ademas de la ley (8.7) cambian su signo. Mas adelante volveremos

sobre esta cuestion.

Veremos en este curso que los campos electrico y magnetico, de modo mas

preciso los vectores E/c y B, que en fısica newtoniana son dos tri-vectores, son en

8–8 —

A n t o n






teorıa relativista las seis componentes independientes de un tensor antisimetrico

de rango 2.

Otro ejemplo importante de tensor es el llamado tensor de energıa-momento,

que jugara un papel importante en este curso. Tiene rango dos e indica la densidad

de energıa y la densidad de flujo de la energıa de un campo electromagnetico.

Convenio de Einstein. Con frecuencia se simplifica la notacion mediante

lo que se llama convenio de Einstein de los ındices repetidos que consiste, sim-

plemente, en sobrentender que siempre que haya dos ındices repetidos hay que

sumar sobre sus valores posibles. Por ejemplo el producto escalar de ak y bk se

puede escribir de dos maneras: como k akbk o, con un poco menos de tinta,

como akbk. Eso permite escribir muchas formulas de modo mas economico.

8.3.3. Caso general.

Supongamos un espacio vectorial de n dimensiones al que asignamos una

metrica dada por el “tensor metrico”gij, que es simetrico gij = g ji, tal que el

producto escalar de dos vectores ui y vi esta dada por (notese que las componentes

de los vectores seran indicadas por superındices en esta seccion)

u · v =

ijgiju

i

v j

. (8.15)

En una geometrıa euclıdea existen bases tales que ei · e j = δ ij con lo que tenemos

el producto escalar de las matematicas elementales. Pero puede ocurrir que, por

alguna razon, deseemos usar una base no ortogonal.

La expresion (8.15) se puede escribir de modo mas simple introduciendo las

cantidades

u j =

j

g jiui , tal que u j =

j

g jk uk , (8.16)

donde la matriz del tensor simetrico gij es la inversa de la de gij, es decir quek

gikgkj = δ ji , (8.17)

pues entonces

u · v =

ij

gijuiv j =

j

u jv j =

i

uivi =

ij

gijuiv j , (8.18)

Propiamente hablando, las cantidades con el superındice, las xk, son las com-

ponentes de un vector y las que llevan el subındice, las xk, de una forma. Pero



8–9



8.4. Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz, cuadrivectores y tensores.

Estas son las maneras en que se transforman las componentes de los vectores

y las formas. Gracias a la existencia de un producto escalar con su tensor gij,

podemos decir tambien que son las maneras de transformarse de las componentes

contravariantes y covariantes de los vectores. En el caso euclıdeo con el grupo

On, si multiplicamos la ultima ecuacion por (a−1)iq y sumamos en i, teniendo en

cuenta ademas que

i(a−1)iqa

i = δ q se llega a

uq =

i

(a−1)iqui

En el caso euclıdeo con el grupo de las rotaciones, la inversa de la matriz es igual

a la traspuesta, por lo que

u q =

aq iui .

que es la misma ley (??).

8.4. Espacio de Minkowski, grupo de Lorentz,

cuadrivectores y tensores.

La teorıa de la relatividad vive en el espacio de Minkowski, un espacio de

cuatro dimensiones, con vectores a ≡ aµ

= (a0

, a1

, a2

, a3

), dotado del productoescalar

a · b =

µν

ηµν aµbν = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 , (8.22)

que corresponde al tensor metrico de Minkowski

gµν = ηµν = diag(1, −1, −1, −1) ,

en notacion autoexplicativa. Este producto escalar es invariante por el grupo de

Lorentz, cuyas transformaciones son del tipo

x → x = Ax (8.23)

siendo A una matriz 4 × 4. Si G es la matriz del tensor gij, es decir

G ≡ (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

,

un producto escalar invariante de los vectores u y v debe verificar

u · v = uGv → u AGAv = uGv . (8.24)



8–11




Como esto se debe cumplir para todo par de vectores, es necesario que

AGA = G . (8.25)

Esta es la condicion que cumplen las matrices del grupo de Lorentz (es facil

comprobar que el conjunto de las matrices que la cumplen tiene estructura de

grupo). Notese que en el caso euclıdeo, la matriz G es la unidad, con lo que (8.25)

se transforma en la conocida condicion A = A−1.

La regla para formar las componentes covariantes de un vector es simple con

el tensor metrico de Minkowski. Esta claro que

a0 = a0 , a1 =

−a1 , a2 =

−a2 , a3 =

−a3 ,

o sea que subir o bajar un ındice espacial equivale a cambiar el signo, mientras

que si el ındice es temporal la componente no cambia. De tal modo, el producto

escalar (8.22) se puede escribir de varias formas

a · b = a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3

= a0b0 + a1b1 + a2b2 + a3b3

= a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3

= a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 .

El tensor metrico se puede escribir de tres maneras

gij , gi j = δ i j gij

donde la matriz gij es la inversa de gij. Es facil comprobar que

(gij) = (gij) =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

, g ji =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Usaremos el siguiente convenio. Los ındices griegos van siempre de 0 a 3 y los

latinos de 1 a 3. Esto significa que las letras griegas se usan para designar a las

cuatro coordenadas de espacio y tiempo y las latinas para las de espacio. Esta

es la notacion tradicional en el Occidente, mientras que en la Union Sovietica se

usaba mas la contraria, por eso es la que tiene el libro de Landau.

Como hemos visto, un suceso se determina en relatividad por cuatro datos

(ct,x,y,z ) que vamos a considerar como las cuatro coordenadas de un vector en

el espacio de Minkowski, de modo que

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z .

8–12 —

A n t o n






El “cuadrado del modulo”de este vector vale

xµxµ = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x2)2 = x0x0 + x1x1 + x2x2 + x3x3,

que queda invariante ante las “rotaciones” en cuatro dimensiones, o sea ante

las transformaciones de Lorentz. De hecho si se aplica al cuadrivector general

(a0, a1, a2, a3) una transformacion de Lorentz con velocidad v a lo largo del eje x,

se transforma en otro con componentes dadas por las mismas expresiones (2.6)

a 1 = a1 − βx0

1 − β 2

,

a 2 = a2 , a 3 = a3 , (8.26)

a 0 = a0 − βa1

1 − β 2,

con β = v/c es la velocidad expresada en unidades de la velocidad de la luz c.

Ante esa transformacion de Lorentz el cuadrado de su magnitud

aµaµ = (a0)2 − (a1)2 − (a2)2 − (a2)2,

permanece invariante. O sea, las transformaciones de Lorentz no solo se aplican

a las coordenadas espaciales y al tiempo.

Convenio de Einstein de los ındices repetidos. En el caso de los ten-

sores relativistas, es decir, en el espacio de Minkowski, este convenio siempre se

aplica a un par de ındices que sean uno contravariante y otro covariante, com

ocurre en el producto de dos cuadrivectores, por ejemplo la cuadrivelocidad y la

cuadriaceleracion u · w = uµwµ.

8.4.1. Tensores en el espacio de Minkowski

En relatividad un tensor es un objeto con n ındices arriba y m abajo. Se dice

que es n veces contravariante y m veces covariante

A ν µ , Rαβ

γ .

Se llaman tambien tensores mixtos para indicar que tiene, a la vez, indices de los

dos tipos. Los ındices se suben y se bajan mediante la misma regla simple que

para los vectores. Al cambiar un ındice que vale 0, nada cambia; si vale 1, 2 o

3 cambia el signo. Para contraer dos ındices es preciso que sea uno covariante y

otro contravariante.



8–13




Ademas de las tres formas anteriores del tensor metrico, tiene interes el pseu-

dotensor tensor completamente antisimetrico de rango cuatro eαβγδ, una general-

izacion del de Levi-Civitta. Su valor es 0 si dos de los ındices son iguales y +1 o

−1 si son los cuatro distintos y los ındices forman una permutacion par o impar,

respectivamente, de los numeros (0, 1, 2, 3). Por ejemplo e0123 = +1, e1023 = −1,

e1123 = 0. Notese que e0123 = −1. Ese tensor tiene por tanto 4! = 24 componentes

no nulas.

8.4.2. Vectores y pseudovectores en el espacio de Minkows-

ki

Si se realiza una inversion de coordenadas (o sea una simetrıa respecto al

origen, (x,y,z ) → (−x, −y, −z )), las tres componentes espaciales de un vector

“ordinario” cambian de signo. Si solo se invierte una de las coordenadas (por ejem-

plo, se invierte z si se realiza una simetrıa respecto al plano xy), la componente

correspondiente de los vectores cambia de signo). Consideremos, sin embargo,

el producto vectorial de dos vectores, como es el caso del campo magnetico. Es

facil comprobar que sus componentes permanecen invariantes en una inversion

de coordenadas. Si solo se invierte una, como ocurre por ejemplo en la simetrıa

(x,y,z ) → (x,y, −z ), la componente correspondiente del producto vectorial, la z en este caso, no cambia; por contra las otras dos, la x y la y, sı cambian de signo.

En el primer caso, se dice que se trata de un vector polar ; en el segundo, que

es un vector axial . Es facil comprobar que el campo electrico es polar y el campo

magnetico, axial. Tambien se conocen esos dos tipos como vector y pseudovector ,

respectivamente. Sea C = A × B. Esta claro que (usando el convenio de los

ındices repetidos)

C i = 1

2 jk

eijk C jk , siendo C jk = A jBk − AkB j .

La primera igualdad puede escribirse tambien como C jk =

i eijk C i.

En general, un pseudotensor se comporta como un tensor para transforma-

ciones de coordenadas sin inversion o con la inversion de un numero par de co-

ordenadas (cuando la mano derecha cambia en una mano derecha), mas precisa-

mente si no cambia la axilidad del sistema de ejes. Pero no cambia de signo sus

componentes en una inversion de un numero impar de coordenadas, como sı lo

hace un tensor. Como ejemplo de pseudoscalar tomemos el producto escalar de

un vector y un pseudovector, E

·B en electromagnetismo por caso. Cambia de

signo, al reves que un escalar en una inversion de las tres coordenadas.

8–14 —

A n t o n






Sea T µν un tensor antisimetrico de rango dos en cuatro dimensiones. Se define

su dual ∗T ρσ como∗T ρσ = 1

2

µν

eρσµν T µν .

De la misma manera el dual de un vector Rα es el tensor de rango tres ∗Rβγ δ =

eαβγδRα.

Este tipo de tensores son especialmente importantes porque aparacen muy

a menudo en las aplicaciones fısicas, como veremos. Sea T αβ uno de ellos. Sus

componentes (T 01, T 02, T 03) forman un vector polar, como es facil de com-

prender aplicando las leyes de transformacion. Por su parte, las componentes

(T 32

, T 13

, T 21

) forman un vector axial. Tambien se puede entender bien esto alobservar que esas tres componentes son las coordenadas del vector dual del tensor

T ij y se comportan como un producto vectorial. Se puede escribir

(T αβ ) =

0 −ex −ey −ez

ex 0 −bz by

ey bz 0 −bx

ez −by bx 0

,

y con notacion evidente

T αβ = (−e, b), T αβ = (e, b)

El gradiente en cuatro dimensiones de una funcion f es

∂f

∂xµ = ∂ µ =

1

c

∂f

∂t, ∇f

.

Sus cuatro componentes son las coordenadas covariantes de un vector, escritas a

menudo como ∂ µf . La diferencial de la funcion vale obviamente df = ∂ µdxµ y es

un escalar, pues esta claro que es el producto escalar de dos vectores.

8.4.3. Integrales en cuatro dimensiones.

Se usan integrales de lınea, de superficie bidimensional, de volumen tridimen-

sional y de cuadrivolumen. Veamos cuales son los elementos difrenciales.

(i) Integrales de lınea. El elemento de integracion es simplemente dxi.

(ii) Integrales de superficie bidimensional. En el espacio tridimensional, las

proyecciones del area de un paralelogramo formado por dr y dr sobre los plano

xix j son dxidx j −dx jdxi. El conjunto de tales proyecciones es un tensor de rango



8–15




dos. Su dual es el doble del producto escalar dr × dr, cuyas componentes son las

areas de las tres proyecciones. Analogamente, en el espacio de Minkowski el tensor

dS αβ = dxαdxβ − dxβ dxα tiene por componentes las areas de las proyecciones

en los seis planos xαxβ . Como elemento de area se usa su dual

d∗S γδ = 1

2 γδαβ dS αβ

(iii) Integrales de volumen tridimensional. De modo parecido se usa el dual

del tensor de rango tres

dS βγδ =

dxβ dxβ dxβ

dxγ dx γ dx γ

dxδ dx δ dx δ

,

es decir

dS α = −1

6 αβγδ dS βγ δ

por ejemplo dS 0 = dS 123, dS 1 = dS 023 ...

(iv) Integral en un volumen cuadridimensional

dΩ = dx0dx1dx2dx3 = cdtdV

8–16 —

A n t o n





Capıtulo 9

Apendice 2. Otra deduccion de

los potenciales y campos deLienard-Wiechert

9.1. Solucion de la ecuacion de ondas en forma

covariante. Funciones de Green

Nos interesa ahora estudiar las soluciones de la ecuacion de ondas para el

campo electromagnetico en presencia de una corriente (o fuente) exterior J β (x).

El segundo par se escribe

∂ αF αβ = µ0J β . (9.1)

Teniendo en cuenta que F µν = ∂ µAν − ∂ ν Aµ, resulta

Aβ − ∂ β (∂ αAα) = µ0J β . (9.2)

Eligiendo los potenciales de modo que satisfagan la condicion de Lorenz1 ∂ αAα =0, con lo que la ecuacion se simplifica a

Aβ = µ0J β . (9.3)

Un metodo para resolver esta ecuacion es el de las funciones de Green. Sea D(x, x)

esa tal funcion, de modo que

xD(x, x) = δ (4)(x − x) , (9.4)

1No de Hendrik Anton Lorentz, el de las transformaciones, sino del fısico danes Ludvig V.

Lorenz quien la propuso en 1867, ver Jackson, p. 294.



9–1



Capıtulo 9. Apendice 2. Otra deduccion de los potenciales ycampos de Lienard-Wiechert

donde

δ (4)(x

−x) = δ (x0

−x0) δ (3)(r

−r)

Si tomamos todo el espacio, sin superficies de frontera (donde se podrıan inducir

cargas), la funcion de Green solo puede depender de la diferencia z α = xα − xα.

O sea que D(x, x) = D(x − x) = D(z ), por lo que

zD(z ) = δ (4)(z ) . (9.5)

Notese que las dimensiones de la delta en cuatro dimensiones son L−4, por tanto

las de la funcion de Green son las de un area inversa [D] = L−2. Una vex conocida

la funcion de Green, una solucion de (9.3) sera

Aβ (x) = Aβ (x) +

D(x − x)µ0J β (x) d4x , (9.6)

donde Aβ (x) es una solucion de la ecuacion homogenea. Para obtener la funcion

de Green, podemos usar el metodo de la transformacion de Fourier, de modo que

D(z ) = 1

(2π)4

d4k D(k) e−ik·z , (9.7)

siendo k · z = k0z 0 − k · z. Respecto a las dimensiones [ D] = L2. Tomemos la

representacion de Fourier de la delta

δ (4)(z ) = 1

(2π)4

d4k e−ik·z ,

con lo que, tras sustituir en la ecuacion (9.5), resulta

D(k) = − 1

k · k , (9.8)

con k · k = k20 − κ2. Resulta ası

D(z ) = − 1(2π)4

d4k e

−ik·z

k · k (9.9)

Esta integral puede calcularse en el campo complejo, usando el metodo de Cauchy,

pero hay que tener cuidado por tener singularidades el integrando. Integremos

primero en k0, con lo que

D(z ) = − 1

(2π)4

d3k eik·z

∞−∞

dk0e−ik0z0

k20 − κ2

,

donde κ =

|k

|. Para dar sentido a esta integral, necesitamos decir como se trata los

polos (ver figura). Consideremos primero la lınea r, que puede cerrarse mediante

9–2 —

A n t o n





9.1. Soluci on de la ecuaci´ on de ondas en forma covariante. Funciones de Green

un semicırculo de radio R → ∞, por arriba o por abajo. Si z 0 < 0, la exponencial

del integrando tiende a +

∞ por abajo, luego hay que cerrar por arriba. Como

no hay polos dentro del circuito de integracion, la integral se anula entonces. Si

z 0 > 0, ocurre al reves, hay que cerrar por abajo, aplicando la formula de Cauchy,

de modo que

r

dk0e−ik0z0

k20 − κ2

= −2πi

Residuos

e−ik0z0

k20 − κ2

= −2π

κ sen(κz 0)

La funcion de Green es, por tanto,

Dr(z ) = θ(z 0)

(2π)3

d3k eik·z

sen(κz 0)

κ ,

siendo θ la funcion escalon de Heaviside. Notese que sus dimensiones son las de

una area inversa, o sea [Dr] = L−2. Escribiendo en la exponencial k · z = κz cos θ

e integrando en los angulos, resulta

Dr(z ) = θ(z 0)

2π2R

∞0

dκ sen(κR) sen(κz 0)

con R = |

z|

= |

r−

r

| la distancia espacial entre el punto de fuente y el de

observation. Escribiendo los senos en forma exponencial y haciendo algun cambio

de variable, eso resulta ser igual a

Dz = θ(z 0)

8π2R

∞−∞

dκ

eiκ(z0−R) − eiκ(z0+R)

.

La segunda integral es cero pues, como z 0 > 0, z 0 + R > 0. La primera es una

delta de Dirac, o sea

Dr(x − x

) =

θ(x0

−x0)

4πR δ (x0 − x

0 − R)

= θ(x0 − x0)

4πRc δ (t0 − t0 − R

c ) (9.10)

Usando la lınea a y procediendo del mismo modo, se obtiene

Da(x − x) = θ(x0 − x0)

4πR δ (x0 − x0 + R)

= θ(x0 − x0)

4πRc δ (t0 − t0 +

R

c ) (9.11)



9–3




Figura 9.1: Camino r, por encima de los polos en ±κ en el plano k0. El camino a

pasa por debajo de esos polos.

Estas dos funciones se llaman funci´ on de Green retardada y funci´ on de Green

avanzada , respectivamente. Se cumple la siguiente identidad

δ [(x − x)2] = δ [(x0 − x0)2 − |r − r|2]

= δ [(x0 − x0 − R)(x0 − x0 + R)]

= 1

2R [δ (x0 − x0 − R) + δ (x0 − x0 + R)] .

Con lo que las dos funciones de Green se pueden escribir en la forma

Dr(x − x) = 1

2π θ(x0 − x0) δ [(x − x)2]

(9.12)

Da(x − x) = 12π

θ(x0 − x0) δ [(x − x)2]

Estas son dos expresiones invariantes Lorentz, si se toma solo el grupo propio,

o sea el que no incluye inversines temporales. Usando la ecuacion (9.6), cada

solucion de la ecuacion de ondas (9.3)(segundo par) puede escribirse en terminos

de las dos funciones de Green, de dos maneras distintas

Aβ (x) = Aβ in(x) + µ0

Dr(x − x)J β (x) d4x , (9.13)

Aβ (x) = Aβ out(x)+ µ0

Da(x − x)J β (x) d4x , (9.14)

9–4 —

A n t o n





9.2. Los potenciales de Lienard-Wiechert de una carga puntual

donde Aβ in(x) y Aβ

out(x) son dos soluciones de las ecuaciones homogeneas (o sea

del segundo par de Maxwell si fuentes).

En la primera de esas dos ecuaciones, la integral se anula en el lımite

x0 → −∞, pues la funcion de Green en el integrabdo es la retardada. Por ello el

potencial Aβ in(x) se debe interpretar como el potencial “entrante” o “incidente”,

cuando x0 → −∞. Por la misma regla de tres, Aout(x) es el potencial saliente, en

x0 → +∞.

Desde el pasado remoto al futuro remoto, se habra producido un cambio,

que es “la radiacion” cuyo valor es la diferencia entre los potenciales saliente y

entrante. Su expresion es

Aβ rad(x) = Aβ

out(x) − Aβ in(x) = µ0

D(x − x)J β (x) d4x , (9.15)

siendo

D(z ) = Dr(z ) − Da(z )

es la diferencia entre las funciones de Green retardada y avanzada.

Conviene saber como expresar las densidades de carga y de corriente para

una partıcula cargada puntual, tal un electron. Recordemos que el cuadrivector

corriente es jα = (cρ , j). Si su posicion y su velocidad son r(t), v(t) = r(t), esas

dos cantidades valen

ρ(x, t) = eδ [x − r(t)] , j(x, t) = ev(t)δ [x − r(t)] .

La forma manifiestamente covariante de esas magnitudes es jα = euα, donde

uα es la cuadrivelocidad. Usaremos una forma algo mas complicada, lo que se

justificara en los desarrollos que vienen. Sea rα(τ ) la trayectoria del electron como

funcion de su tiempo propio τ en el espacio-tiempo. Tomaremos como expresion

de la cuadricorriente

J α(x) = e

dτ uα(τ ) δ (4)[x − r(τ )] . (9.16)

En un sistema inercial, se tiene uα

= (γc,γ v) y rα

= [ct, r(t)]. Estas expresionesdeben usarse en las ecuaciones (9.13), (9.14) y (9.15) para obtener los potenciales

correspondientes Aβ (x).

9.2. Los potenciales de Lienard-Wiechert de una

carga puntual

Calculo de los potenciales. Consideremos el caso del potencial creado por

una carga puntual que sigue una trayectoria r = r(τ ). En tal caso hay que usar



9–5




(9.13) con Aµin = 0, de modo que

Aα(x) = µ0

Dr(x − x)J α(x) d4x , (9.17)

donde

J α(x) = ec

dτ uα(τ ) δ (4)[x − r(τ )] . (9.18)

Insertando (9.18) en (9.17) y usando la expresion de la funcion de Green (9.12),

resulta

Aα = ecµ0

2π uα(τ ) δ (4)[x − r(τ )] θ[x0 − x0] δ [x − x]2 dτ d4x . (9.19)

Integrando primero en x, se obtiene facilmente

Aα = ecµ0

2π

uα(τ ) θ[x0 − r0(τ )] δ [x − r(τ )]2 dτ . (9.20)

A esta ultima integral solo contribuye el punto con τ = τ 0, definido por las

condiciones de retardo

[x − r(τ )]2 = 0 , (9.21)

x0 > r0(τ 0) .

En la figura se indica el significado de estas condiciones. Vemos que τ 0 corresponde

al punto en que el cono de luz del pasado del punto de observacion corta a la

trayectoria de la partıcula cargada.

Una propiedad de la funcion delta que necesitamos ahora es la siguiente (sien-

do τ una variable real, coordenada en R1). Haciendo un cambio de variable, se

comprueba facilmente que δ (aτ ) = δ (τ )/|a|. Por el mismo procedimiento se sigue

que

δ [f (τ )] =

k

δ (τ −

τ k)

|(df /dx)|τ =τ k,

donde τ k son los ceros de f (τ ), es decir f (τ k) = 0. En el caso de la integral (9.20),

f (τ ) = [x − r(τ )]2, que solo tiene un cero y cuya derivada es

d

dτ [x − r(τ )]2 = −2 [x − r(τ )] · u(τ ) = −2 [x − r(τ )]αuα(τ ) .

Sustituyendo en (9.20), resulta

Aα

(x) =

µ0 e c

4π

uα(τ )

u · [x − r(τ )]

τ =τ , (9.22)

9–6 —

A n t o n





9.3. C´ alculo de los campos electrico y magnetico.

donde τ es el tiempo retardado. Esta es la solucion buscada. Conviene escribirla

en la forma no covariante para compararla con la expresion mas conocida. Para

ello, desarrollemos el denominador

u · [x − r(τ )] = u0[x0 − r0(τ )] − u · [x − r(τ )]

= γcR − γ v · nR (9.23)

= γcR(1 − β · n) ,

donde n es un vector unitario en la direccion de x−r(τ ) y β = v(τ )/c. Se consigue

ası expresar los potenciales en la forma

Φ(x, t) = 1

4π0 e

R(1 − β · n)ret

, A = µ0

4π ev

R(1 − β · n)ret

. (9.24)

El subındice “ret”significa que la cantidad entre parentesis debe evaluarse en el

tiempo retardado, que se determina por la condicion r0(τ 0) = x0 − R. Notese que

si la carga que crea el campo se mueve despacio, o sea β 1, esas expresiones

coinciden con los potenciales ya concidos en la teorıa no relativista, en orden cero

en β , es decir que se reducen a

Φ(x, t) = 1

4π0

e

|x − x(t)| , A(x, t) = µ0

4π

ev

|x − x(t)| , (9.25)

siendo x el punto de observacion y x

aquel en que se halla la carga en el tiemporetardado t.

9.3. Calculo de los campos electrico y magnetico.

El tensor electromagnetico F µν puede calcularse como ∂ µAν − ∂ ν Aµ usando

(9.22). Sin embargo, es algo mas facil hacerlo derivando la integral en (9.20). Al

derivar respecto a las coordenadas del punto de observacion x, se opera sobre las

funciones theta y delta. La primera no contribuye pues la derivada respecto a x0de la funcion theta da δ (x0 − r0(τ ), lo que transforma a la funcion delta al valor

δ (−R2), que solo contribuye si R = 0, es decir si la carga pasa exactamente por

el punto de observacion. Excluyendo esa posibilidad, podemos prescindir de las

derivadas de la funcion escalon. Haciendolo ası, se tiene

∂ αAβ = eµ0

2π

uβ (τ ) θ[x0 − r0(τ )] ∂ αδ [x − r(τ )]2 dτ . (9.26)

Para calcular la derivada de la funcion delta, se procede ası (con f = [x − r(τ )]2):

∂ αδ [f ] = ∂ αf d

df δ [f ] = ∂ αf dτ

df

d

dτ δ [f ] ,



9–7




Como dτ /df = (df /dτ )−1, se sigue

∂ αδ [f ] = − (x − r)α

[x − r] · uddτ

δ [f ] .

Sustituyendo en (9.26), resulta

∂ αAβ = e µ0

2π

dτ uβ (τ ) θ[x0 − r0(τ )] (−)

(x − r)α

[x − r] · u

d

dτ δ [f ] . (9.27)

Si integramos por partes, resulta

∂ αAβ = −e µ0

2π δ [f ]

(x − r)α

[x−

r]·

uuβ θ[x0 − r0(τ )]

∞

−∞(9.28)

+e µ0

2π

dτ

d

dτ

(x − r)αuβ

[x − r] · u

θ[x0 − r0(τ )] δ [x − r(τ )]2 .

Es facil ver que la parte integrada (es decir, la primera lınea) se anula, pues

la delta es cero en los tiempos ±∞. Queda la segunda, que tiene la misma forma

que la ecuacion (9.20) con la velocidad uα sustituida por la derivada del termino

entre parentesis cuadrados. Realizando el mismo calculo con intercambio de α y

β , restando y teniendo en cuenta lo anterior, se llega a

F αβ = e µ0

2π

1

u · (x − r)

d

dτ

(x − r)αuβ − (x − r)β uα)

u · (x − r)

ret

. (9.29)

Esta expresion es manifiestamente covariante, pero no es muy expresiva. Lo que

nos gustarıa es hallar los campos E y B en funcion de β, β, x, r(τ ). Para con-

seguirlo, hay que utilizar las relaciones, facilmente comprobables

(x − r)α = (R, Rn), u = (γc,γcβ),

duα

dτ = [cγ

4

β · ˙β, cγ

2 ˙β + cγ

4

β(β · ˙β)],

d

dτ [u · (x − r)] = −c

2

+ (x − r)α

duα

dτ ,

donde β es la aceleracion ordinaria dividida por c. Sustituyendo en (9.29) se

obtiene

E(x, t) = e

4π0

n − β

γ 2(1 − β · n)3R2

ret

+ e

4π0c

n × [(n − β) × β]

(1 − β · n)3R

ret

B = 1

c [n × E]ret (9.30)

Campos de velocidad y aceleracion, campos proximos y lejanos Los

campos electrico y magnetico anteriores son la suma de dos terminos. El primero

9–8 —

A n t o n





9.3. C´ alculo de los campos electrico y magnetico.

depende de la posicion y la velocidad de la carga pero no de la aceleracion. Ademas

decae en el infinito como 1/R2. Esta siempre ligado a la carga. El segundo depende

de la aceleracion y decae mas despacio, como 1/r. Cobra ”vida propia”pues se

separa de la carga: es la radiaci´ on . Se anula si β = 0. Si, ademas, β → 0 el campo

electrico tiene a la ley de Coulomb. El primer termino se suele llamar campo de

velocidad o campo pr´ oximo; el segundo campo de aceleraci´ on o campo lejano.

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