electrodinamica clásica

Notas de

Electrodinámica Clásica

Luis J. Garay

Madrid, 12 de julio de 2005

Universidad Complutense de MadridFacultad de Ciencias Fisicas

Departamento De Fisica Teorica IIAvda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espana

Luis J. Garay [email protected].: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557

Prefacio

Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborandocon el único objeto de que me sean útiles en la enseñanza de la asignatura deElectrodinámica clásica. Aunque probablemente estas notas os sean útiles tambiéna vosotros, no debéis olvidar que, en ningún caso, pueden sustituir a la bibliografíade la asignatura.

En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias:

Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez más,mis apuntes personales.

No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas nidel uso que hagáis de las mismas. La bibliografía pertinente es, sin duda, elmedio más adecuado para obtener los conocimientos necesarios.

Son una notas incompletas cuyo contenido no va más allá de los temas tra-tados en la asignatura de Electrodinámica clásica, grupo C, durante el añoacadémico 2004–05.

Agradecería que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sinduda alguna, serán muchas. De hecho, quiero dar las gracias a los alumnos delos cursos 2003/04 y 2004/05 por haber contribuido notablemente a disminuir elnúmero de errores.

Recibid un saludo de mi parte,

notas edc (v. 1.0)

—luisj.garay2005—

0–3

Bibliografía

Básica

L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Teoría clásica de campos, Reverté, 1986.

J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons, 1999.

Bo Thidé, Classical Electrodynamics.http://www.plasma.uu.se/CED/Book.

A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Do-ver, 1980.

V.V. Batyguin, I.N. Toptygin, Problems in Electrodynamics, Academic Press,1978.

Complementaria

J.D. Jackson, Electrodinámica clásica, 2a ed., Alhambra Universidad, 1980.

F. Rohrlich, Classical Charged Particles, Addison-Wesley, 1990.

J. Schwinger, L.L. DeRaad Jr., K.A. Milton y Wu-yang Tsai, Classical Elec-trodynamics, Perseus Books, 1998.

P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd. ed., Addison-Wesley, 1990.

A.P. French, Relatividad Especial, Reverté, 1996.

A. Ibort y M.A. Rodríguez, Notas de álgebra lineal,http://www.ucm.es/info/metodos/pdf/Apuntes/...

...alg-aimar/alg-aimar.pdf.

notas edc (v. 1.0)


0–5

Bibliografía

S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity, Capítulo 1http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.

J.I. Illana, El significado de la relatividad,http://www.ugr.es/˜jillana/SR/sr.pdf.

0–6


notas edc (v. 1.0)

Índice

1. Ecuaciones de Maxwell 1–1

1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–3

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . 1–3

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie . . . . . . . . . . . 1–4

1.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4

1.2.1. Conservación de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4

1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting . . . . . . . 1–5

1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell . 1–6

1.2.4. Propiedades de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–6

1.3. Ondas planas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–8

1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–8

1.3.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9

1.3.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9

1.3.4. Flujo y densidad de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10

1.4. Guías de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11

1.4.1. Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–12

1.4.2. Modos TE y TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–13

1.4.3. Potencia y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–15

1.5. Potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–17

1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético . . . . . 1–17

1.5.2. Condición de gauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–18

1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green . . . . 1–19

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–23

notas edc (v. 1.0)


0–7

Índice

2. Teoría especial de la relatividad 2–1

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . 2–3

2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad . . . . . . . 2–3

2.1.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–4

2.1.3. Adición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–6

2.1.4. Elemento de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–6

2.2. Espaciotiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.2.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7

2.2.2. El tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9

2.2.3. Hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10

2.2.4. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10

2.2.5. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–11

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración . . . . . . . . . . . . . . 2–13

2.3. Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14

2.3.1. Grupo de traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14

2.3.2. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–15

2.3.3. Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–19

2.4. Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–21

2.4.1. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–21

2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . . 2–22

2.4.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–26

2.5. Partícula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–26

2.5.1. Mecánica analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–26

2.5.2. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–28

2.5.3. Casimires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–29

2.6. Campos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–29

2.6.1. Leyes de transformación: escalares y vectores . . . . . . . . . 2–29

2.6.2. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–33

2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . . 2–34

2.6.4. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–40

0–8


notas edc (v. 1.0)

Índice

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–43

3. Partículas cargadas y campos electromagnéticos 3–1

3.1. Partícula en un campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3

3.1.1. Formulación lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3

3.1.2. Formulación canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5

3.1.3. Campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5

3.2. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnéticoconstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8

3.2.1. Campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8

3.2.2. Campo eléctrico de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–9

3.2.3. Campo magnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11

3.2.4. Campo electromagnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 3–12

3.2.5. Invariantes adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–13

3.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes . . . . . . . . . . . 3–14

3.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante . . . . . . . 3–14

3.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constante y uniforme3–15

3.3.3. Precesión de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–17

3.4. Dinámica del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–18

3.4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–19

3.4.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–20

3.4.3. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–22

3.4.4. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–23

3.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden . . . . . 3–25

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–29

4. Radiación electromagnética 4–1

4.1. Radiación por cargas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–3

4.1.1. Campo generado por una partícula cargada . . . . . . . . . . 4–3

4.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada . . . . . . . . . . . . 4–5

4.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia radiada . . . 4–11

notas edc (v. 1.0)


0–9

Índice

4.2. Reacción de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–13

4.2.1. Estimación de los efectos radiativos . . . . . . . . . . . . . . . 4–13

4.2.2. Fuerza de reacción radiativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14

4.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa . . . . . . . . . . 4–15

4.3. Radiación multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–17

4.3.1. Radiación dipolar eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18

4.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica . . . . . 4–19

4.3.3. Intensidad de radiación multipolar . . . . . . . . . . . . . . . 4–20

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–23

A. Tensores A–1

A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3

A.3. Tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5

A.4. Tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–6

A.5. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9

B. On the Electrodynamics of Moving Bodies, by A. Einstein B–1

I. Kinematical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B–4

§1. Definition of Simultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B–4

§2. On the Relativity of Lengths and Times . . . . . . . . . . . . . B–6

§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Times froma Stationary System to another System in Uniform Motion ofTranslation Relatively to the Former . . . . . . . . . . . . . . . B–8

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect toMoving Rigid Bodies and Moving Clocks . . . . . . . . . . . . B–13

§5. The Composition of Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . B–15

II. Electrodynamical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B–17

§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for EmptySpace. On the Nature of the Electromotive Forces Occurringin a Magnetic Field During Motion . . . . . . . . . . . . . . . B–17

§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration . . . . . . . B–20

0–10


notas edc (v. 1.0)

Índice

§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of thePressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors . . . . . . B–22

§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-Currents are Taken into Account . . . . . . . . . . . . . . . . . B–24

§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron . . . . . . . . . B–26

C. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?, by A. Eins-tein C–1

F. Fórmulas F–1

notas edc (v. 1.0)


0–11

Tema 1

Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

1.2. Leyes de conservación1.2.1. Conservación de carga1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell1.2.4. Propiedades de transformación

1.3. Ondas planas libres1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B1.3.2. Ondas planas1.3.3. Polarización1.3.4. Flujo y densidad de energía

1.4. Guías de ondas1.4.1. Modos TEM1.4.2. Modos TE y TM1.4.3. Potencia y energía

1.5. Potenciales electromagnéticos1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético1.5.2. Condición de gauge de Lorenz1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green

1.6. Ejercicios

notas edc (v. 1.0)


1–1

1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío

Una distribución de carga determinada por una densidad ρ y una corriente ~jgenera un campo electromagnético (~E, ~B) que es solución de las

ecuaciones de Maxwell:

~∇ · ~E = ε−10 ρ, (1.1a)

~∇× ~B− c−2∂t~E = µ0~j, (1.1b)~∇× ~E + ∂t~B = 0, (1.1c)

~∇ · ~B = 0, (1.1d)

donde µ0 = 4π · 10−7 H/m ∼ 1,2566370 · 10−6 H/m es la permitividad magnéticaen el vacío, ε0 = 1/(µ0c2) ∼ 8,8541878 · 10−12 F/m es la permitividad eléctrica enel vacío y c = 1/

√ε0µ0 = 2,99792458 · 108 m/s es, por definición, la velocidad de

la luz. En este curso, utilizaremos las unidades del Sistema Internacional.

En un campo electromagnético, una carga q suficientemente pequeña como paraque podamos ignorar el campo generado por ella misma (una carga de prueba)sufre la fuerza de Lorentz

~F = q(~E +~v× ~B),

donde ~v es su velocidad. Si consideramos densidades, como hasta ahora, la densi-dad de fuerza es:

~f = ρ~E +~j× ~B = ρ(~E +~v× ~B).

Las leyes de la electrostática y de la magnetostática se obtienen cuando loscampos son independientes del tiempo, es decir, cuando ∂t~E = ∂t~B = 0. Entonces,las ecuaciones de Maxwell se desacoplan: sin dependencia temporal, los camposeléctrico y magnético son independientes.

La densidad de corriente ~j(~x, t), la densidad de carga ρ(~x, t) y el campo develocidades ~v(~x, t) satisfacen la relación

~j = ρ~v.

Para una carga puntual q, que en el instante t se halla en la posición ~x0 y que semueve con velocidad ~v, las densidades de carga y de corriente son:

ρ(~x, t) = qδ(~x−~x0), ~j(~x, t) = q~v(~x, t)δ(~x−~x0).

notas edc (v. 1.0)


1–3

Tema 1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

Sea s(~x) = 0 una superficie tal que |~∇s| = 1 y sea n = ~∇s su normal. Estasuperficie puede tener una densidad superficial de carga σ y una densidad super-ficial de corriente K. En esta sección, relacionaremos el campo electromagnético enun lado de la superficie con el campo en el otro lado.

Las densidades de carga y de corriente se pueden escribir

ρ(~x, t) = ρ+(~x, t)θ[s(~x)] + ρ−(~x, t)θ[−s(~x)] + σ(~x, t)δ[s(~x)],~j(~x, t) =~j+(~x, t)θ[s(~x)] +~j−(~x, t)θ[−s(~x)] + ~K(~x, t)δ[s(~x)],

y los campos

~C(~x, t) = ~C+(~x, t)θ[s(~x)] + ~C−(~x, t)θ[−s(~x)], ~C = ~E, ~B,

donde θ(s) es la función de Heaviside:

θ(s) =

0 si s < 01 si s > 0.

La divergencia y el rotacional de los campos adquieren entonces la forma:

~∇ · ~C = ~∇ · ~C+θ(s) + ~∇ · ~C−θ(−s) + n · (~C+ − ~C−)δ(s),~∇× ~C = ~∇× ~C+θ(s) + ~∇× ~C−θ(−s) + n× (~C+ − ~C−)δ(s),

donde hemos usado las fórmulas (F.2.3,F.2.4) y ∂sθ(s) = δ(s). Si sustituimos estasexpresiones en las ecuaciones de Maxwell, obtenemos las siguientes condiciones deempalme sobre la superficie s = 0:

n · (~E+ − ~E−) = σ/ε0, (1.4a)

n× (~B+ − ~B−) = µ0~K, (1.4b)

n× (~E+ − ~E−) = 0, (1.4c)

n · (~B+ − ~B−) = 0. (1.4d)

1.2. Leyes de conservación

1.2.1. Conservación de carga

La distribución de carga debe satisfacer la ecuación de continuidad, que se ob-tiene manipulando las ecuaciones de Maxwell:

∂tρ + ~∇ ·~j = 0.

1–4


notas edc (v. 1.0)


Esta ecuación representa la ley local de conservación de carga.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar este resultado.

Solución. Si derivamos con respecto al tiempo la ecuación (1.1a), calculamos ladivergencia de la ecuación (1.1b), sumamos las ecuaciones resultantes y tenemosen cuenta que la divergencia de un rotacional es nula (fórmula F.3.2), obtenemos elresultado deseado. N

Ejercicio 1.2.2 Escribir la ley global de conservación de carga.

1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting

Multiplicando la ecuación (1.1b) por ~E y la ecuación (1.1c) por ~B, utilizando lafórmula (F.2.1) y combinando las ecuaciones resultantes, obtenemos

12

∂t(ε0~E2 + µ−10

~B2) + ~∇ · ~S = −~E ·~j (1.5)

donde~S = µ−1

0~E× ~B

es el llamado vector de Poynting y representa el flujo de energía electromágnetica.

Ejercicio 1.2.3 Obtener este resultado.

~E ·~j es la derivada temporal de la densidad de trabajo realizado por el campoelectromagnético (suponiendo que no hay pérdida de masa) y representa por tan-to la densidad de potencia de conversión de energía electromagnética en energíamecánica y/o térmica. En efecto, la densidad de potencia es

~f ·~v = (ρ~E +~j× ~B) ·~v =~j · ~E + ρ~v · (~v× ~B)

y el último término se anula en virtud de la fórmula (F.1.1).

Así la ecuación (1.5) nos da la potencia en términos de la variación de la energíaelectromagnética interna

u =12(ε0~E2 + µ−1

0~B2) (1.6)

y del flujo electromagnético y representa una ecuación de conservación de la ener-gía.

notas edc (v. 1.0)


1–5


1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell

Mediante la manipulación adecuada de la expresión de la densidad de fuerzade Lorentz [en particular, sustituyendo las fuentes por sus expresiones en fun-ción de los campos según las ecuaciones de Maxwell y añadiendo el término nuloµ−1

0~B(~∇ · ~B) = 0], obtenemos

~f = −ε0∂t(~E× ~B) + ε0[~E(~∇ · ~E)− ~E× (~∇× ~E)] + µ−10 [~B(~∇ · ~B)− ~B× (~∇× ~B)].


Utilizando la fórmula (F.2.2), esta expresión queda

~f = −ε0∂t(~E× ~B) + ε0[~E(~∇ · ~E) + (~E · ~∇)~E− ~∇~E2/2]

+ µ−10 [~B(~∇ · ~B) + (~B · ~∇)~B− ~∇~B2/2].

Si escribimos esta ecuación en componentes, obtenemos :

f i = −∂tSi/c2 + ∂kTik, (1.7)

dondeTij = ε0(EiEj − 1

2δij~E2) + µ−1

0 (BiBj − 12

δij~B2). (1.8)


En la ecuación (1.7) y en el futuro, utilizaremos el convenio de sumación de Eins-tein: dos índices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobre todoslos posibles valores del mismo. Por ejemplo, αiβi = ∑3

i=1 αiβi.

Podemos interpretar la ecuación (1.7) como una ley de conservación del mo-mento. En efecto, ~f es la densidad de fuerza y por tanto, representa la variacióntemporal de la densidad de momento mecánico ~p de un sistema de cargas. ~S/c2

se interpreta como la densidad de momento del campo electromagnético y Tij esel tensor de tensiones del campo electromagnético. Así, la ecuación (1.7) nos di-ce que la variación en el momento total ~p + ~S/c2 se debe a un flujo de momentorepresentado por la divergencia del tensor de tensiones.

1.2.4. Propiedades de transformación

Sea θij una transformación constante de las coordenadas xi = θi

jxj tal que deja

invariante ~x2. Entonces, θij es una rotación y su determinante es det θ = ±1. Las

1–6


notas edc (v. 1.0)


transformaciones con determinante positivo son rotaciones (R) en sentido estricto(propias) y las que tienen determinante negativo incluyen reflexiones que conside-raremos por separado.

Ejercicio 1.2.6 Demostrar esta afirmación.

Definimos vector como aquel objeto que se transforma bajo una rotación propiade la misma manera que el vector de posición y un escalar es aquel que no se veafectado por las rotaciones.

Las reflexiones (S) son las transformaciones ~x′ = −~x. Un vector se transformacomo ~x bajo reflexiones. Un pseudovector es un vector que bajo reflexiones man-tiene su valor, es decir, que no cambia de signo.

La inversión temporal (T) es la transformación mediante la cual el tiempo cam-bia de signo.

Las ecuaciones de la física son covariantes bajo estas tres transformaciones, esdecir, tienen el mismo aspecto antes y después de las transformaciones.

Veamos cómo se comportan las cantidades electromagnéticas bajo estas trans-formaciones.

q. Experimentalmente la carga eléctrica es invariante bajo estas transforma-ciones.

ρ. La densidad es q/V. La carga es invariante y el volumen, obviamente tam-bién. Por tanto, la densidad de carga es un escalar.

~j. Utilizamos su definición~j = ρ~v. La velocidad es un vector y la densidad unescalar. Por tanto,~j es un vector. Bajo inversión temporal ~v cambia de signo ytambién lo hace~j.

~j: R-vector, S-vector, T−.

~F. La fuerza es ~f = md2~x/dt2. La masa es invariante, luego ~F es un vectorbajo rotaciones y reflexiones. No se ve afectado por inversión temporal.

~F: R-vector, S-vector, T+.

~E. De ~F = q~E, vemos que ~F y ~E se comportan igual.

~E: R-vector, S-vector, T+.

~B. De ~F = q~v× ~B, vemos que ~B es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexiones~F y ~v son vectores y, por tanto, cambian de signo. Así, ~B lo preserva y es

notas edc (v. 1.0)


1–7


pseudovector. Bajo inversión temporal, ~F no cambia y ~v sí. Por tanto, ~B cambiade signo bajo inversión temporal.

~B: R-vector, S-pseudovector, T−.

φ. De ~E = −∇φ, vemos que φ es un escalar bajo rotaciones y bajo reflexiones(cambia ~E y cambia ~∇). Tampoco cambia bajo inversión temporal puesto quetampoco lo hacen ~E y ~∇.

φ: R-escalar, S-escalar, T+.

~A. De ~B = ~∇× ~A, vemos que ~A es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexiones,~B no cambia y ~∇ sí. Por tanto, ~A es un vector bajo reflexiones. Puesto que ~Bcambia de signo bajo inversión temporal y ~∇ no, ~A sí lo hace.

~A: R-vector, S-vector, T−.

~S. El vector de Poynting es ~S = µ−10

~E× ~B. µ0 es invariante. Bajo rotaciones, ~Ses un vector. Bajo reflexiones, puesto que ~B no cambia de signo, ~S se comportacomo ~E, es decir, es un vector. Bajo inversión temporal, ~E no cambia de signoy ~B sí, luego ~S sí lo hace.

~A: R-vector, S-vector, T−.

u. De su definición (1.6), vemos que la densidad de energía electromagnéticaes un escalar bajo las tres transformaciones.

u: R-escalar, S-escalar, T+.

Tij. Puesto que δij es un tensor, es decir, se transforma como un vector en cadauno de sus índices, de la definición del tensor de Maxwell (1.8), vemos queTij es también un tensor. No se ve afectado por las reflexiones (como xixj) y,por tanto, no es un pseudotensor. Tampoco se ve afectado por la inversióntemporal.

Tij: R-tensor, S-tensor, T+.

1.3. Ondas planas libres

1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B

En zonas sin cargas ni corrientes, en las que ρ = 0 y ~j = 0, podemos obtenerecuaciones de onda desacopladas para el campo eléctrico y campo magnético.

1–8


notas edc (v. 1.0)

1.3. Ondas planas libres

Para obtener la ecuación de onda para ~E, calculamos el rotacional de la ecuación(1.1c) y usamos las ecuaciones (1.1a) y (1.1b). Mediante la utilización de la fórmula(F.3.1), obtenemos

−~∇2~E + c−2∂2t ~E = 0.

De forma enteramente análoga, obtenemos las ecuación de onda para ~B:

−~∇2~B + c−2∂2t ~B = 0.

1.3.2. Ondas planas

Las ondas planas electromagnéticas se pueden escribir, si adoptamos el criteriode que los campos físicos se obtienen tomando las partes reales de estas soluciones,como

~E(~x, t) = ~E(~k, ω) ei~k·~x−iωt, ~B(~x, t) = ~B(~k, ω) ei~k·~x−iωt, (1.9)

donde ~E(~x, t), ~B(~x, t),~k son vectores constantes. Para que sean realmente solucionesdeben satisfacer que

c2~k2 = ω2,

como se puede ver por simple sustitución. Además, su divergencia se debe anulary, por tanto,

k · ~E = 0, k · ~B = 0. (1.10)

Es decir, las ondas electromagnéticas planas son transversales. Por último, de laecuación de Maxwell (1.1c) y usando las fórmulas (F.2.2,F.2.4,F.4.1) obtenemos unarestricción adicional:

ω~B =~k× ~E ⇔ c~B = k× ~E. (1.11)

1.3.3. Polarización

Vemos que ~E y c~B tienen la misma magnitud. Además, ~E y ~B son vectorescomplejos con la misma fase. Podemos entonces construir una base ortonormalε1, ε2, n tal que

~E = E1 ε1, ~B = c−1E1 ε2

o, también,~E = E2 ε2, ~B = −c−1E2 ε1.

La primera está linealmente polarizada con vector de polarización ε1 y la segundacon vector de polarización ε2.

notas edc (v. 1.0)


1–9


Así, la onda plana más general será de la forma

~E(~x, t) = (ε1E1 + ε2E2)ei~k·~x−iωt.

E1 y E2 son complejos. Si tienen la misma fase la onda está linealmente polarizada ysu vector de polarización forma un ángulo arctan(E2/E1) con ε1. Si tienen distintasfases, la onda tiene polarización elíptica.

La polarización circular corresponde al caso en el que E1 y E2 tienen el mismomódulo pero sus fases difieren en π/2. En efecto, en este caso,

~E(~x, t) = E0(ε1 ± iε2)ei~k·~x−iωt (1.12)

y el campo físico tiene la forma

~E(~x, t) = E0[ε1 cos(~k ·~x−ωt)± ε2 sen(~k ·~x−ωt)]

y, por tanto, en un punto fijo ~x del espacio, el vector ~E barre el plano ε1, ε2 convelocidad angular constante determinada por la frecuencia ω. Si el vector de po-larización de la onda es ε+ = (ε1 + iε2)/

√2, ~E gira en sentido contrario de las

agujas del reloj y decimos que la onda tiene helicidad positiva. Si la polarizaciónes ε− = (ε1 − iε2)/

√2, entonces decimos que tiene helicidad negativa.

La base de ondas polarizadas circularmente (1.12) forman también una base depolarizaciones.

1.3.4. Flujo y densidad de energía

El vector de Poynting es

µ0~S = Re~E× Re~B =14(~E + ~E∗)× (~B + ~B∗)

=14~E× ~B +

14~E× ~B∗ +

14~E∗ × ~B +

14~E∗ × ~B∗

=12

Re(~E× ~B) +12

Re(~E× ~B∗).

Los campos ~E y ~B tienen una dependencia temporal eiωt. Por tanto, al calcular unpromedio temporal, el primer término se anula por ser oscilante e2iωt y nos quedasolo el segundo término:

〈~S〉t =1

2µ0Re(~E× ~B∗).

1–10


notas edc (v. 1.0)

1.4. Guías de ondas

Análogamente, la densidad de energía es

u =12[ε0(Re~E)2 + µ−1

0 (Re~B)2]

=14[ε0Re(~E2) + µ−1

0 Re(~B2)] +14(ε0~E · ~E∗ + µ−1

0~B · ~B∗)

y, por tanto, en el promedio temporal, el primer término se anula por ser oscilante:

〈u〉t =14(ε0~E · ~E∗ + µ−1

0~B · ~B∗).

Así, para una onda plana (1.9),

~B · ~B∗ = (k× ~E) · (k× ~E∗)/c2 = ~E · ~E∗/c2,~E× ~B = ~E× (k× ~E∗)/c = (~E · ~E∗)k/c,

donde hemos utilizado las ecuaciones (1.10, 1.11, F.1.2, F.1.3). Por tanto,

〈~S〉t =1

2µ0c(~E · ~E∗)k, 〈u〉t =

12µ0c2

~E · ~E∗

y la velocidad de propagación de la energía es, entonces,

~v = 〈~S〉t/〈u〉t = ck.


Consideremos una cavidad hueca infinita en una de las dimensiones y con pa-redes conductoras. Sea ez la dirección hueca. Entonces, el campo electromagnéticosatisface la ecuación de onda en el interior de la guía

−c−2∂2t~C + ~∇2~C = 0, ~C = ~E, ~B,

junto con las condiciones de contorno en las paredes del conductor obtenidas de(1.4):

~E‖|S = ~B⊥|S = 0, (1.13)

donde ‖ y⊥ indican las componentes paralela y perpendicular a la superficie delconductor respectivamente. En efecto, dentro del conductor, las cargas se muevenlibremente y adaptan su posición y velocidad para que ~E = ~B = 0. En la superficie,tienen menos libertad (solo sobre la superficie y hacia el interior) y hacen quelas densidades superficiales de carga y de corriente se adapten a las condiciones

notas edc (v. 1.0)


1–11


externas (e internas). Así, la libertad de movimiento superficial obliga a que sesatisfagan las condiciones de contorno (1.13).

La simetría del problema nos permite escribir

~C(~x, t) = ~C′(x, y)ei(±kz−ωt),

de forma que la ecuación de onda para ~C′ queda

~∇2t

~C′ + (ω2/c2 − k2)~C′ = 0, (1.14)

donde el laplaciano transversal es ~∇2t

= ~∇2− ∂2z. Las condiciones de contorno para

la ecuación de onda para ~C′ son las mismas que para ~C (ecuación 1.13). Si soloutilizamos ~∇t y no el operador ∂z, podemos eliminar la prima (′) de ~C puesto quelos resultados no se ven afectados por la multiplicación por el factor ei(±kz−ωt).Además, es conveniente separar las componentes longitudinales y transversales delos campos eléctrico y magnético:

~C = ~Ct + Cz ez.

1.4.1. Modos TEM

Si Ez = Bz = 0 en toda la guía, entonces se obtiene una solución especial: lasondas TEM (transversales electromagnéticas) cuyas únicas componentes ~Ct = ~Ctem

son perpendiculares a la dirección de propagación. El campo eléctrico es soluciónde las ecuaciones

~∇t × ~Etem = 0, ~∇t · ~Etem = 0, (1.15)

con la condición de contorno ~Etem,‖|S = 0 y, por tanto, ~Etem es solución del proble-

ma electrostático bidimensional. El campo magnético se obtiene también mediantesustitución de ~B = ~Btem en la ecuación de Maxwell (1.1b) en vacío:

~Btem = ±c−1ez × ~Etem,

que obviamente satisface la condición de contorno ~Btem,⊥|S = 0

Ejercicio 1.4.1 Obtener estos resultado mediante sustitución directa en las ecuacio-nes de Maxwell de ~C = ~Ctem.

Si calculamos el rotacional de la primera ecuación de (1.15) y hacemos uso de lafórmula (F.3.1) y de la segunda ecuación, obtenemos ~∇2

t~Etem = 0, de manera que

la ecuación (1.14) también nos indica que ω = ck, como en un medio infinito.

1–12


notas edc (v. 1.0)


Es interesante notar que, en un cilindro hueco, este modo TEM no puede existirpuesto que la superficie del conductor es equipotencial y, en consecuencia, dentrode la guía no puede existir campo eléctrico ni magnético: es necesaria una guíacoaxial.

1.4.2. Modos TE y TM

A partir de las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener las siguientes expre-siones para los campos transversales en función de los longitudinales:

~Et = iγ−2(±k~∇tEz −ωez × ~∇tBz), (1.16a)~Bt = iγ−2[±k~∇tBz + (ω2/c2)ez × ~∇tEz], (1.16b)

donde γ2 = ω2/c2 − k2.

Además, se pueden obtener condiciones de contorno para los campos longitu-dinales a partir de las condiciones de contorno para los campos totales y de lasecuaciones de Maxwell:

Ez|S = 0, n · ~∇tBz|S = ∂nBz|S = 0. (1.17)

Ejercicio 1.4.2 Obtener estos resultados.

Solución. Para las componentes transversal y longitudinal, las ecuaciones deMaxwell quedan

±ik~Et + iωez × ~Bt = ~∇tEz, (1.18a)

ez · (~∇t × ~Et) = iωBz, (1.18b)

±ik~Bt − i(ω/c2)ez × ~Et = ~∇tBz, (1.18c)

ez · (~∇t × ~Bt) = −i(ω/c2)Ez, (1.18d)~∇t · ~Et = ∓ikEz, (1.18e)~∇t · ~Bt = ∓ikBz. (1.18f)

~Et se obtiene multiplicando la ecuación (1.18c) vectorialmente por la izquierdapor ez y después usando (1.18a); ~Bt se obtiene multiplicando la ecuación (1.18a)vectorialmente por la izquierda por ez y después usando (1.18c).

La condición de contorno para la parte longitudinal del campo eléctrico Ez sededuce inmediatamente de ~E‖|S = 0 y la condición de contorno para Bz se deducedirectamente de (1.18c), si multiplicamos escalarmente esta ecuación por la normala la superficie n. N

notas edc (v. 1.0)


1–13


Así, tenemos una ecuación de onda bidimensional (1.14) para Ez y Bz con lascondiciones de contorno (1.17). Como estas condiciones son diferentes, los auto-valores asociados al campo eléctrico y al campo magnético serán diferentes engeneral.

En esta sección, consideraremos soluciones tales que Ez o Bz son diferentes decero. Llamaremos ondas TM (transversales magnéticas) a las que satisfacen

Bz = 0 en toda la guía, Ez|S = 0 (TM)

y ondas TE (transversales eléctricas) a las que satisfacen

Ez = 0 en toda la guía, ∂nBz|S = 0 (TE).

Una vez conocidos (Ez, Bz) 6= 0 podemos calcular ~Et y ~Bt a partir de las ecuaciones(1.16). De estas ecuaciones, vemos que, tanto para los modos TE como para los TM,los campos eléctrico y magnético están relacionados:

~Bt =±µ0

Zez × ~Et, (1.19)

donde Z es la impedancia de la onda

Z =

k/(ε0ω) (TM)µ0ω/k (TE).

Así, basta con conocer uno de ellos para tener una solución completa.

Las ecuaciones (1.16) nos permiten determinar las componentes transversales apartir de Ez y Bz:

~Et = ± ikγ2

~∇tEz (TM), ~Bt = ± ikγ2

~∇tBz (TE). (1.20)

Estos campos ~Ct obviamente satisfacen las condiciones de contorno ~Et,‖|S = 0 y

~Bt,⊥|S = 0, como es fácil comprobar.

Ejercicio 1.4.3 Realizar esta comprobación.

Solución. De la ecuación (1.19) y de la fórmula (F.1.4), vemos que

Bt,⊥ = n · ~Bt ∝ n · (ez × ~Et) = ~Et · (n× ez) = E

t,‖

y, por lo tanto, ~Et,‖|S = 0 ⇔ ~B

t,⊥|S = 0.

Para los modos TE, ~Bt ∝ ~∇tBz, luego Bt,⊥|S = n · ~Bt|S ∝ ∂nBz|S = 0.

Para los modos TM, ~Et ∝ ~∇tEz, luego, si p es un vector paralelo a la superficie,E‖ = p · ~Et ∝ p · ~∇tEz = ∂pEz. Puesto que Ez|S = 0, tenemos que ∂pEz|S = 0. Portanto, E‖|s ∝ ∂pEz|s = 0. N

1–14


notas edc (v. 1.0)


La función Cz = Ez, Bz satisface la ecuación de onda bidimensional

(~∇2t+ γ2)Cz = 0

y está sujeta a las condiciones de contorno

Ez|S = 0 (TM), ∂nBz|S = 0 (TE).

Nos encontramos pues ante un problema de autovalores.

Ejercicio 1.4.4 Demostrar que los autovalores γ2 ≥ 0 para que se puedan satisfacerlas condiciones de contorno.

El resultado es un espectro de autovalores γn y sus correspondientes autofuncionesortonormales Cz,n, que son los modos de la guía. De los autovalores γn podemosobtener, para cada frecuencia, el número de onda

k2n = ω2/c2 − γ2

n.

Definiendo ωn = cγn, la frecuencia más baja posible para el modo n, podemosescribir la relación de dispersión

kn = c−1√

ω2 −ω2n. (1.21)

Así, solo los modos para los que ωn ≤ ω se pueden propagar en la guía. Puestoque γn son los autovalores en una sección finita de una cavidad, están cuantizadosy γn ∼ n/R donde R es una longitud característica de la sección (el lado de unaguía de sección cuadrada, por ejemplo). Por tanto, existe solo un número finito demodos tales que ωn ≤ ω y, a menudo, se elige la guía de forma que solo exista unmodo.

Comentarios: ω/c es el número de onda en el espacio libre y kn ≤ ω/c. Portanto, la velocidad de fase v f ,n = ω/kn ≥ c y, de hecho, es infinita para ω = ωn.

1.4.3. Potencia y energía

El promedio temporal del vector de Poynting es

〈~S〉t =1

2µ0~E× ~B∗ =

12µ0

(~Et × ~B∗t) +

12µ0

B∗z~Et × ez +1

2µ0Ez ez × ~B∗

t.

Para las ondas TEM, la situación es idéntica a la de las ondas libres:

〈~S〉t =1

2µ0c(~Etem · ~E∗tem

)k, 〈u〉t =1

2µ0c2~Etem · ~E∗tem

notas edc (v. 1.0)


1–15


y la velocidad de propagación de la energía es, entonces,

〈~S〉t/〈u〉t = c.

Para ondas TM, Bz = 0, usamos las expresiones (1.19) y (1.20), junto con lafórmula (F.1.2) y obtenemos

〈~S〉t =k2

2γ4Z[±|~∇tEz|2ez + i(γ2/k)Ez~∇tE∗z ].

Si integramos la componente axial (en la dirección ±ez) de este resultado sobretoda la sección Σt de la guía, obtenemos la potencia transmitida en la guía:

P = ±∫

Σt

〈~S〉t · ez d2~xt =k2

2γ4Z

∫Σt

~∇tEz · ~∇tE∗z d2~xt.

Teniendo en cuenta la fórmula (F.3.4) y que∫

Σt

~∇t ·~u d2~xt =∮

∂Σt

n ·~u dlt, podemosescribir

P =k2

2γ4Z

[∮∂Σt

E∗z (n · ~∇tEz)dl −∫

Σt

E∗z ~∇2tEz d2~xt

]=

k2

2γ4Z

[∮∂Σt

E∗z (∂nEz) dl −∫

Σt

E∗z ~∇2tEz d2~xt

].

El primer término se anula por las condiciones de contorno y, por tanto, utilizandola ecuación de onda para Ez, la potencia transmitida por una onda TM resulta

P =cε0

2

(ω

ωn

)2 √1− (ωn/ω)2

∫Σt

|Ez|2 d2~xt (TM).

Análogamente, para una onda TE,

P =c

2µ0

(ω

ωn

)2 √1− (ωn/ω)2

∫Σt

|Bz|2 d2~xt (TE).


Por último, es muy fácil calcular el promedio de la densidad de energía por unidadde longitud. El resultado es:

U =∫〈u〉t d2~xt =

(c√

1− (ωn/ω)2)−1

P.


Teniendo en cuenta que de la relación de dispersión (1.21) obtenemos una velocidadde grupo vg = dω/dk = c

√1− (ωn/ω)2, vemos directamente que la velocidad de

propagación de la energía de las ondas TM y TE en la guía P/U es precisamentela velocidad de grupo:

P/U = vg.

1–16


notas edc (v. 1.0)

1.5. Potenciales electromagnéticos


Las ecuaciones (1.1c) y (1.1d) son estructurales e implican que existen φ y ~Adefinidos localmente tales que

~E = −~∇φ− ∂t ~A, ~B = ~∇× ~A. (1.22)

En efecto, de (1.1d) concluimos que existe un campo vectorial ~A definido localmen-te tal que ~B = ~∇× ~A [ver fórmula (F.3.2)]. Introducimos este resultado en (1.1c)y reorganizamos para obtener ~∇× (~E + ∂t ~A) = 0. Por tanto [ver fórmula (F.3.3)],existe una función φ tal que ~E + ∂t ~A = −~∇φ.

La relación entre ~E, ~B y φ, ~A no es unívoca. Los potenciales (φ, ~A) y (φ′, ~A′)relacionados mediante las fórmulas

φ′ = φ− ∂t f , ~A′ = ~A + ~∇ f , (1.23)

donde f (~x, t) es una función arbitraria, generan el mismo campo electromagnético(~E, ~B). Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones de gauge.

Ejercicio 1.5.1 Probar esta afirmación.

1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético

Al escribir el campo electromagnético en términos de potenciales las ecuacio-nes estructurales de Maxwell se convierten en identidades y solo nos quedan lasdos ecuaciones que relacionan las fuentes con el campo escrito en términos de lospotenciales.

Consideremos las ecuaciones de Maxwell microscópicas. Para obtener ecuacio-nes en las que solo aparece el potencial electromagnético (A0, ~A) en presencia deρ, ~j, introducimos las relaciones (1.22) en las ecuaciones de Maxwell y obtenemos:

~∇2φ = −ρ/ε0 − ∂t(~∇ · ~A),~∇2 ~A− c−2∂2

t~A− ~∇(~∇ · ~A) = −µ0~j + c−2~∇∂tφ.

Una sencilla manipulación de estas ecuaciones nos permite reescribirlas de la si-guiente manera:

c−2∂2t φ− ~∇2φ = ε−1

0 ρ + ∂t(~∇ · ~A + c−2∂tφ),

c−2∂2t~A− ~∇2 ~A = µ0~j− ~∇(~∇ · ~A + c−2∂tφ).

Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell. Son cuatro ecua-ciones de segundo orden frente a las ocho de primer orden que son las ecuacionesde Maxwell. Además, son invariantes bajo transformaciones de gauge (1.23).

notas edc (v. 1.0)


1–17


1.5.2. Condición de gauge de Lorenz

Sabemos que el potencial electromagnético tiene un ambigüedad gauge. Estaambigüedad se puede eliminar mediante una condición suplementaria de fijacióndel gauge. Impongamos la condición de gauge de Lorenz,

~∇ · ~A + c−2∂tφ = 0,

de manera que las ecuaciones de onda se convierten en

− c−2∂2t Aµ + ~∇2Aµ = −µ0 jµ. (1.26)

donde µ = 0, 1, 2, 3, Aµ = (φ/c, ~A) y jµ = (cρ,~j).

Todavía queda una arbitrariedad adicional puesto que aquellas transformacio-nes gauge tales que f satisface

~∇2 f − c−2∂2t f = 0

preservan la condición de fijación de gauge de Lorenz.

Debemos preguntarnos, además, si la condición de fijación de gauge de Lorenzsiempre se puede imponer, es decir, si dada una configuración Aµ

no que no satisfacela condición de Lorenz, puede encontrarse mediante transformaciones gauge unanueva configuración Aµ que sí la satisfaga. En otras palabras, nos preguntamos siexiste una función f tal que

φ = φno − ∂t f , ~A = ~Ano + ~∇ f , ~∇ · ~A + c−2∂tφ = 0.

Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera vemos que para que larespuesta sea afirmativa, f debe satisfacer la ecuación

~∇2 f − c−2∂2t f = −(~∇ · ~Ano + c−2∂tφno).

Dado que esta ecuación diferencial para f siempre tiene solución, la condición deLorenz siempre se puede imponer.

Existen otras formas de fijar el gauge que discutiremos posteriormente:

Gauge de Coulomb: ~∇ · ~A = 0,

Gauge temporal: φ = 0,

Gauge axial: A3 = 0

1–18


notas edc (v. 1.0)


1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green

En esta sección, obtendremos la solución general de la ecuación de onda (1.26)para el potencial vector Aµ. Para ello, buscamos la solución general G(~x, t;~x′, t′) dela ecuación

(−c−2∂2t + ~∇2)G(~x, t;~x′, t′) = −δ3(~x−~x′)δ(t− t′). (1.27)

Entonces,Aµ(~x, t) = Aµ

0 (~x, t) + µ0

∫d3x′dt′G(~x, t;~x′, t′)jµ(~x′, t′),

donde Aµ0 es una solución de la ecuación homogénea. La función G(~x, t;~x′, t′) recibe

el nombre de función de Green o propagador.

La función de Green G solo puede depender de la diferencia de tiempos t− t′ yde posiciones ~x−~x′. Para verlo, basta con cambiar de variables de ~x, t a~r = ~x−~x′,σ = t− t′, de forma que la ecuación (1.27) se convierte en

(−c−2∂2σ + ~∇2

~r )G(~r, σ; 0, 0) = −δ3(~r)δ(σ). (1.28)

Si escribimos el laplaciano en coordenadas esféricas para ~r [ver fórmula (F.6.1)] ynotamos que δ3(~r) = δ(r)/(4πr2), vemos que G no puede depender de la direcciónde~r = ~x−~x′ sino solo de su módulo r. Por tanto,

−c−2∂2σ(G) + ∂2

r (rG)/r = −δ(σ)δ(r)/(4πr2).

Sustituyendo en esta ecuación G(σ) = (2π)−1/2∫

dωG(ω)e−iωσ, utilizando la re-lación de dispersión en vacío ω = ck y la fórmula (F.6.3), obtenemos la siguienteecuación para la transformada de Fourier de la función de Green:

k2G + ∂2r (rG)/r = −(2π)−1/2δ(r)/(4πr2). (1.29)

Fuera de r = 0, la solución de esta ecuación es

4πrG(r) = α+eikr + α−e−ikr, (1.30)

donde α± son constantes que determinaremos a partir del comportamiento enr = 0.

Volvemos, mediante una transformación de Fourier inversa a G(~r, σ)

G(~r, σ) = α+G+(~r, σ) + α−G−(~r, σ),

donde

G±(~r, σ) = (4π)−1(2π)−1/2∫

dωe−iω(σ∓r/c)

r=

δ(σ∓ r/c)4πr

.

notas edc (v. 1.0)


1–19


Si definimost′± = t∓ r/c = t∓ |~x−~x′|/c,

como los tiempos retardado y avanzado respectivamente, las funciones de Greencorrespondientes se pueden escribir

G±(~x, t;~x′, t′) =δ(t′ − t′±)4π|~x−~x′| , G = α+G+ + α−G−.

Ejercicio 1.5.2 Demostrar, mediante el estudio del comportamiento de la funciónde Green en el origen~r = 0, que α+ + α− = 1.

Solución. Para obtener los valores de α±, introducimos esta función de Green Gen la ecuación (1.28):

(−c−2∂2σ + ~∇2)G± =

14πc2r

(−∂2σδ± + ~∇2δ±) +

12π

~∇δ±~∇1r

+1

4πδ±~∇2 1

r,

donde hemos denotando por sencillez en la notación δ± = δ(σ∓ r/c). Usando lasfórmulas (F.4.2,F.4.3,F.4.4) y teniendo en cuenta que

~∇δ± = ∓c−1r ∂σδ±, ~∇2δ± = c−2∂σδ± ∓2cr

∂2σδ±,

obtenemos(−c−2∂2

σ + ~∇2)G± = ∓ 1πcr2 ∂σδ± − δ±δ3(~r).

Si integramos este resultado en todo el tiempo y en un pequeño volumen δV al-rededor de~r = 0, el primer término se anula puesto que supone la evaluación deδ±(±∞) = 0; el segundo término contribuye con −1. Con estos resultados, vemosque la integral a todo tiempo y en un pequeño volumen δV alrededor de~r = 0 dela ecuación (1.28) ∫

dσd3~r(−c−2∂2σ + ~∇2)G = −1

proporciona el resultado buscado α+ + α− = 1. N

Así, la solución general de la ecuación de onda (1.26) para el potencial vectorAµ es

Aµ(~x, t) = µ0

∫d3~x′dt′ jµ(~x′, t′)G(~x, t;~x′, t′)

= α+µ0

∫d3~x′

jµ(~x′, t′+)4π|~x−~x′| + α−µ0

∫d3~x′

jµ(~x′, t′−)4π|~x−~x′| .

El principio de causalidad requiere que el potencial en ~x, t no dependa de loque ocurrirá con la fuente en el futuro. Por tanto, desde el punto de vista físico

1–20


notas edc (v. 1.0)


debemos quedarnos con el propagador retardado, es decir, α− = 0, α+ = 1. Asíobtenemos los potenciales retardados

φ+(~x, t) =1

4πε0

∫d3~x′

ρ(~x′, t′+)|~x−~x′| , ~A+(~x, t) =

µ0

4π

∫d3~x′

~j(~x′, t′+)|~x−~x′| .

Conviene, por último, recordar que estos potenciales han sido obtenidos en el gau-ge de Lorentz.

notas edc (v. 1.0)


1–21

1.6. Ejercicios

1.6. Ejercicios

1.1 Un monopolo magnético de carga magnética qm situado en el origen crea uncampo magnético cuya expresión es

~Bm =µ0qm

4π

~x|~x|3 .

a. Demostrar que este campo es incompatible con las ecuaciones de Maxwell.

Un cierto solenoide rectilíneo semiinfinito colocado en el semieje ez positivo generaun campo magnético ~Bs = µ0qm δ(x)δ(y)θ(−z)ez.

b. Demostrar que si añadimos este campo al del monopolo, la incompatibilidadanterior desaparece.

1.2 Si existiesen cargas magnéticas, como en el problema 1.1, las ecuaciones de Max-well tendrían la siguiente forma:

∇ · ~E = ρe/ε0, ∇× ~E + ∂t~B = −µ0~Jm,

∇ · ~B = µ0ρm, ∇× ~B− c−2∂t~E = µ0~Je.

a. Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las transformaciones dedualidad

~E′ = ~E cos θ + c~B sen θ, c~B′ = −~E sen θ + c~B cos θ,

cρe′ = cρe cos θ + ρm sen θ, ρm′ = −cρe sen θ + ρm cos θ,

c~Je′ = c~Je cos θ +~Jm sen θ, ~Jm′ = −c~Je sen θ +~Jm cos θ.

b. Determinar y explicar el carácter (escalar, vectorial, etc.) bajo rotaciones pro-pias, reflexiones espaciales e inversión temporal de las todas siguientes can-tidades electromagnéticas involucradas. Ídem con la conjugación de cargaq → q′ = −q.

1.3 Demostrar las siguientes afirmaciones:

a. Para un sistema estacionario con una densidad de corriente ~j(~x), la energíatotal del campo magnético puede escribirse de la siguiente forma:

U =µ0

8π

∫d3~xd3~x′

~j(~x) ·~j(~x′)|~x−~x′| .

notas edc (v. 1.0)


1–23


b. Si un sistema está compuesto por n circuitos con corrientes I1, I2 . . . In, laenergía total del campo magnético puede escribirse de la siguiente forma:

U =12 ∑

iLi I2

i + ∑i

∑j<i

Mij Ii Ij.

Obtener expresiones integrales para las autoinductancias Li y las inductanciasmutuas Mij.

1.4 Dos ondas planas monocromáticas con amplitudes diferentes, polarizacioneslineales ortogonales y un desfase entre ambas se propagan en el vacío. Hallar lapolarización de la onda resultante.

1.5 Sea una región del espacio en la que existen cargas móviles. En esta region, ladensidad de corriente es proporcional al campo eléctrico (ley de Ohm): ~j = σ~E,donde σ es la conductividad eléctrica.

a. Derivar, en esta región, la ecuación de onda para el campo eléctrico, supo-niendo que éste solo depende de la distancia ζ a un cierto plano dado, porejemplo, una superficie plana que separa esta región de otro medio (ecuacióndel telégrafo).

b. Probar que para la componente de Fourier ~E(ζ, t) = ~E(ζ)eiωt, la ecuación deltelégrafo independiente del tiempo es

(∂2ζ + K2)~E(ζ) = 0

y calcular K en función de los parámetros del problema, es decir, ω y σ.

c. Encontrar la solución general de esta ecuación e interpretarla físicamente.

d. Cuando ε0ω σ, es decir, cuando el medio es un buen conductor, se puedehacer un desarrollo en serie de potencias de ε0ω/σ. Se define la longitud depenetración δ como la distancia que penetra una onda plana en un conductorpara que su amplitud disminuya en 1/e. Probar que para buenos conduc-tores δ2 = 2/(µ0ωσ). Explicar en términos de la longitud de penetración ladefinición de conductor perfecto como aquél para el que la conductividad esinfinita.

1.6 Considérese una guía de ondas coaxial de radio interior a y radio exterior bcuyas paredes son dos conductores perfectos distintos. Encontrar los modos TEMque pueden transmitirse en dicha guía. Calcular el flujo de energía a lo largo de laguía para los modos obtenidos.

1–24


notas edc (v. 1.0)

1.6. Ejercicios

1.7 Sea una guía de ondas de sección rectangular de lados a en la dirección ex yb en la dirección ey con a < b cuyas paredes son conductores perfectos. Se sabeque el modo fundamental es de tipo TE y que la componente en la dirección ex delcampo eléctrico es Ex = E0 sen(πy/b)ei(kz−ωt), donde E0 es una constante.

a. Obtener la componente Ey del campo eléctrico.

b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.

1.8 Sea una guía de ondas como la del problema 1.7 con b = 3a/2. Se sabe queexiste un modo de tipo TE y que la componente en la dirección ey del campoeléctrico es Ey = E0 sen(πx/a)ei(kz−ωt), donde E0 es una constante.

a. Obtener la componente Ex del campo eléctrico.

b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.

c. Encontrar el campo magnético ~B.

1.9 Demostrar que el gauge de Coulomb es una buena condición de fijación delgauge.

1.10 Demostrar que los gauges temporal y axial son buenas condiciones de fijacióndel gauge.

1.11 Consideremos una densidad de carga ρ y una densidad de corriente ~j en elvacío.

a. Teorema de Helmholtz. Mostrar que la densidad de corriente (o cualquiercampo vectorial cuya divergencia y rotacional se anulan en el infinito) puedeser escrita como ~j =~jt +~jl, donde la parte longitudinal ~jl es irrotacional y latransversal~jt tiene divergencia nula. Más aún,

~jt(~x, t) =1

4π~∇× ~∇×

∫ ~j(~x′, t)|~x−~x′|d

3~x′,

~jL(~x, t) = − 14π

~∇∫ ~∇′ ·~j(~x′, t)

|~x−~x′| d3~x′.

b. Escribir la ecuación de onda para el potencial vector y escalar en gauge deCoulomb.

notas edc (v. 1.0)


1–25


c. Escribir una expresión cerrada para el potencial escalar en la que conste ex-plícitamente el tiempo. Dilucidar si esta dependencia involucra el tiempo re-tardado, el avanzado o ambos e interpretarlo físicamente. Demostrar que, eneste gauge y en ausencia de fuentes, el potencial escalar es idénticamentenulo.

d. Demostrar que, en el gauge de Coulomb, el término fuente de la ecuaciónde onda para el potencial vector depende solo de la parte transversal de lacorriente.

1.12 Demostrar que el resultado de dos transformaciones gauge sucesivas es inde-pendiente del orden en que se realicen.

1.13 Un campo de radiación está representado por el potencial vector

~A = ey A0 exp i(kxx + kyy−ωt).

Determinar:

a. El potencial escalar en el gauge de Lorentz.

b. La transformación gauge que transformaría los potenciales anteriores en loscorrespondientes al gauge de Coulomb (o de radiación).

1.14 Calcular los potenciales escalar y vector creados por una carga puntual enmovimiento.

1.15 Si a una placa conductora se le aplica un campo eléctrico tangencial y uncampo magnético transversal, aparece una componente de campo eléctrico en ladirección perpendicular a ambos y lineal en la densidad de corriente (efecto Hall).Demostrar, estudiando el carácter de las cantidades involucradas bajo rotacionesy reflexiones, que la generalización de la ley de Ohm para un conductor isótroposometido a estos campos es

~E = r~j + R(~B×~j) + αB2~j + β(~B ·~j)~B +O(B3),

donde r es la resistividad en ausencia de campo magnético, R es el llamado coefi-ciente de Hall y α y β son coeficientes constantes. ¿Cómo se comporta esta ley bajoinversión temporal? ¿Por qué?

1–26


notas edc (v. 1.0)

Tema 2

Teoría especial de la relatividad

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad2.1.2. Transformaciones de Lorentz2.1.3. Adición de velocidades2.1.4. Elemento de línea

2.2. Espaciotiempo de Minkowski2.2.1. Tensores2.2.2. El tensor de Levi-Civita2.2.3. Hipersuperficies espaciales2.2.4. Derivación2.2.5. Integración

2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y de Stokes

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración2.3. Grupo de Poincaré

2.3.1. Grupo de traslaciones2.3.2. Grupo de Lorentz2.3.3. Operadores de Casimir

2.4. Dinámica relativista2.4.1. Principio variacional2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

2.4.2.1. Cuadrimomento2.4.2.2. Momento angular

notas edc (v. 1.0)


2–1

Tema 2. Teoría especial de la relatividad

2.4.2.3. Centro de inercia2.4.2.4. Invariantes de Casimir

2.4.3. Fuerzas2.5. Partícula libre

2.5.1. Mecánica analítica2.5.2. Momento angular2.5.3. Casimires

2.6. Campos relativistas2.6.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

2.6.1.1. Traslaciones2.6.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares2.6.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales2.6.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales

2.6.2. Principio variacional2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

2.6.3.1. Invariancia bajo traslaciones2.6.3.2. Invariancia Lorentz2.6.3.3. Invariancia Poincaré2.6.3.4. Invariancia gauge abeliana

2.6.4. Formulación hamiltoniana2.7. Ejercicios

2–2


notas edc (v. 1.0)

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz


2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad

Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas para señalar la posiciónespacial de una partícula y un reloj.

Un sistema de referencia inercial es aquél en el que se satisface la primera ley deNewton: los cuerpos libres, sobre los que no actúa ninguna fuerza se mueven convelocidad constante. Dos sistemas inerciales se mueven con una velocidad relativaconstante.

Postulado 1. Principio de relatividad: todas las leyes de la física, en ausen-cia de fuerzas gravitatorias, son idénticas en todos los sistemas de referen-cia inerciales.

Según este principio de relatividad, las ecuaciones que describen las leyes de lanaturaleza tienen la misma forma en todos los sistema de referencia inerciales.

El principio de relatividad de Galileo está basado en la propagación instantáneade señales y su rango de aplicación es la mecánica clásica o newtoniana: todas lasleyes de la mecánica son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

Sin embargo, no existen interacciones instantáneas. Al introducir el campo elec-tromagnético, es necesario tener este hecho en cuenta. La velocidad de la luz en elvacío es la velocidad máxima que puede alcanzar una interacción. Esta es una leyfísica y, por tanto, debe ser válida en todos los sistemas de referencia.

Postulado 2. La velocidad de la luz en el vacío c es constante e igual entodos los sistemas de referencia inerciales.

Estos dos postulados constituyen la base de la teoría especial de la relatividad.La mecánica newtoniana se recupera en el límite c → ∞, es decir, en el límite deinteracciones instantáneas.

En la mecánica clásica, el espacio es relativo: la distancia entre dos sucesos nosimultáneos depende del sistema de referencia. En efecto, sean ~x1(t1) y ~x2(t2) dossucesos en el sistema de referencia SRI. En SRI’, que se mueve con velocidad ~v, laposición es ~x′(t) = ~x(t)−~vt y, por tanto,

|~x′2(t2)−~x′1(t1)|2 = |~x2(t2)−~x1(t1)|2 + v2(t2 − t1)2

− 2(t2 − t1)~v · (~x2(t2)−~x1(t1)).

notas edc (v. 1.0)


2–3


Sin embargo, el tiempo es absoluto: dos sucesos simultáneos en un sistema inerciallo son en cualquier otro. Como consecuencia, tenemos la ley de suma de veloci-dades: si en SRI una partícula tiene velocidad ~V y SRI’ se mueve con velocidad ~vcon respecto a SRI, entonces la velocidad de la partícula en SRI’ es ~V′ = ~V −~v. Enefecto, para dos instantes próximos t1 y t2 = t1 + dt,

~V′ =d~x′

dt=

√(d~xdt

)2

+ v2 − 2~v · d~xdt

= ~V −~v.

Sin embargo, esta ley de composición es incompatible con el carácter universal yfinito de la velocidad de la luz. De hecho, debido a la constancia y finitud de lavelocidad de la luz, en relatividad especial, el tiempo es relativo, es decir, dependedel sistema de referencia en el que se mida: dos sucesos simultáneos en un sistemade referencia inercial no son necesariamente simultáneos en otro.

En relatividad especial, el tiempo y el espacio son relativos, pero no todo esrelativo como a menudo se dice. Veremos que existen cantidades absolutas y queson de gran importancia. Entre ellas, el intervalo espaciotemporal ocupa un lugarsobresaliente.

2.1.2. Transformaciones de Lorentz

En un sistema de referencia inercial SRI, consideremos los sucesos “emisión deuna señal luminosa en ~x1 en el instante t1” y “recepción de la señal en ~x2 en elinstante t2”. Puesto que la velocidad de propagación de la señal es c, se satisface larelación:

− c2(t2 − t1)2 + (~x2 −~x1)2 = 0. (2.1)

En otro SRI’, estos dos sucesos estarán caracterizados por sus coordenadas ~x′1 y ~x′2y los instantes en que se producen t′1 y t′2 respectivamente. Como la velocidad depropagación de la señal es también c, se satisface la relación

− c2(t′2 − t′1)2 + (~x′2 −~x′1)

2 = 0. (2.2)

Nos preguntamos cuál es la transformación de coordenadas y tiempos que satis-facen la condición de invariancia que acabamos de exponer. Probemos con unatransformación lineal (existen razones para justificar esta elección, además del re-sultado). Los coeficientes solo pueden depender de ~v, la velocidad relativa de losdos sistemas de referencia inerciales, que supondremos, por sencillez y sin pérdidade generalidad, que es de la forma ~v = vx. Teniendo en cuenta que el origen ~x′ = 0

2–4


notas edc (v. 1.0)


de SRI’ tiene como trayectoria en SRI ~x = vtx y que hacemos coincidir el origen detiempos, la transformación más general tiene la forma

t′ = γ(v)[ f (v)x + t],

x′ = a(v)(x− vt),

y′ = y, z′ = z,

donde a, γ y f dependen solo de v. Introducimos estas relaciones en la ecuación(2.2) y haciendo uso de (2.1), obtenemos:

(c2γ2 f 2 − a2 + 1)(x2 − x1)2 + (c2γ2 − a2v2 − c2)(t2 − t1)2

+ 2(c2γ2 f + a2v)(x2 − x1)(t2 − t1) = 0

Dado que a, γ, f no dependen de las posiciones o tiempos, cada término debe anu-larse por separado, lo que implica que

f = − vc2 , a = γ =

1√1− v2/c2

,

de forma que podemos concluir que la relación (2.1) es invariante bajo las llamadastransformaciones de Lorentz:

t′ = γ[t− (v/c2)x],

x′ = γ(x− vt),

y′ = y, z′ = z.

Si SRI’ se mueve con una velocidad ~v arbitraria, entonces las transformacionesde Lorentz adquieren la forma

t′ = γ(t− c−2~v ·~x), (2.3a)

~x′ = ~x + (γ− 1)(v ·~x)v− γ~vt, (2.3b)

donde γ−1 =√

1−~v2/c2 y v = ~v/v siendo v = |~v|.

Ejercicio 2.1.1 Obtener estas expresiones.

Ejercicio 2.1.2 Demostrar que el resultado de aplicar dos transformaciones de Lo-rentz depende en general del orden, es decir, que a diferencia de las transforma-ciones de Galileo, las transformaciones de Lorentz no conmutan.

Ejercicio 2.1.3 Demostrar que las transformaciones de Lorentz pueden escribirseen términos de “rotaciones” hiperbólicas.

notas edc (v. 1.0)


2–5


2.1.3. Adición de velocidades

Sea ~V la velocidad de una partícula en SRI, ~V′ su velocidad de SRI’ y ~v lavelocidad de SRI’ con respecto a SRI. Diferenciando las ecuaciones (2.3) y teniendoen cuenta que ~V = d~x/dt, obtenemos

dt′ = γ(1− c−2~v · ~V)dt,

d~x′ = [~V + (γ− 1)(v · ~V)v− γ~v]dt.

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos la ley de adición de velocidades:

~V′ =~V + (γ− 1)(v · ~V)v− γ~v

γ(1− c−2~v · ~V).

Es ilustrativo escribir las leyes de transformación para la componente paralela V‖ a~v y la componente perpendicular ~V⊥ de ~V = V‖v + ~V⊥:

V′‖ =

V‖ − v1− c−2vV‖

, ~V′⊥ =

~V⊥γ(1− c−2vV‖)

.

2.1.4. Elemento de línea

Podemos definir el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos (~x1, t1) y (~x2, t2)cualesquiera (no necesariamente conectados mediante una señal luminosa) comola cantidad s12 tal que

s212 = −c2(t2 − t1)2 + (~x2 −~x1)2.

Ejercicio 2.1.4 Demostrar que esta cantidad también es invariante bajo las trans-formaciones de Lorentz.

Resulta útil introducir el elemento de línea ds2 entre dos sucesos próximos (~x, t)y (~x + d~x, t + dt):

ds2 = −c2dt2 + d~x2,

que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

Decimos que dos sucesos están separados temporalmente o que su intervaloes de género tiempo cuando el cuadrado de su intervalo s2 es negativo. Entoncesexiste un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismolugar pero en distintos instantes de tiempo.

2–6


notas edc (v. 1.0)

2.2. Espaciotiempo de Minkowski

Decimos que dos sucesos están separados espacialmente o que su intervaloes de género espacio cuando el cuadrado de su intervalo s2 es positivo. Entoncesexiste un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismoinstante pero en distintos lugares.

Finalmente, decimos que el intervalo de dos sucesos es de género luz o nulocuando su intervalo s2 se anula. Entonces ambos sucesos están conectados median-te una señal luminosa.

Es importante notar que esta clasificación de los intervalos en género tiempo,espacio o luz es independiente del sistema de referencia inercial elegido y, portanto, es absoluta.

En cada instante de tiempo, llamaremos sistema de referencia propio de unapartícula al sistema de referencia inercial cuya velocidad coincide con la de la par-tícula. El tiempo propio τ de una partícula es el tiempo medido por un reloj quese mueve con la partícula, es decir, el tiempo medido en el sistema de referenciapropio. En términos del tiempo t medido en otro sistema de referencia con respectoal cual se mueve con una velocidad instantánea ~v, se puede escribir como

dτ =√−ds2/c2 = dt

√1− 1

c2d~x2

dt2 = dt/γ.

El tiempo propio es siempre menor que el tiempo medido en cualquier otro sistemade referencia inercial.


2.2.1. Tensores

Dado un sistema de referencia inercial, las coordenadas de un suceso espacio-temnporal (t,~x) = (t, xi), i = 1, 2, 3, pueden considerarse como un cuadrivectorxµ = (ct, xi), µ = 0, 1, 2, 3, en un espacio cuadridimensional, de forma que el ele-mento de línea entre dos sucesos próximos se puede escribir

ds2 = −(dx0)2 + ∑i(dxi)2

y que, como hemos visto, es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

A la vista de la forma del elemento de línea que nos indica de alguna forma ladistancia entre dos sucesos, introducimos el tensor métrico

ηµν = diag[−1, 1, 1, 1],

notas edc (v. 1.0)


2–7


cuyo inverso ηµν en sentido matricial (es decir, tal que ηµρηρν = δνµ) es

ηµν = diag[−1, 1, 1, 1].

Debe que notarse que la signatura de la métrica espaciotemporal es diferente de laelegida en la mayoría de la bibliografía presentada, si bien es la estándar para lacomunidad relativista. A mi juicio, esta signatura elimina algún signo negativo po-co natural en algunas definiciones, como la de momento relativista. Así, podemosescribir el elemento de línea de la siguiente forma:

ds2 = ηµνdxµdxν.

El conjunto de todas las transformaciones que dejan el elemento de línea inva-riante es el grupo de Poincaré y contiene los siguientes tipos de transformaciones:traslaciones en el espaciotiempo, reflexiones en espacio y tiempo y transformacio-nes de Lorentz ortocronas propias. Estas últimas, a su vez, contienen transforma-ciones de Lorentz puras (boosts), como las que hemos estudiado, y rotaciones espa-ciales. Las transformaciones propias no contienen reflexiones. Llamaremos trans-formación de Lorentz ortocrona propia a aquella que se puede obtener de formacontinua a partir de la unidad. A partir de ahora, solo consideraremos transforma-ciones ortocronas propias.

En términos de matrices, Λµν es una transformación de Lorentz si el elemento

de línea no cambia al sustituir xµ por

x′µ = Λµνxν.

En estas ecuaciones y en el futuro, hemos seguido el convenio de sumación deEinstein: los índices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobretodo el recorrido de los mismos.

Definición de cuadrivector: αµ es un cuadrivector contravariante si se transformabajo el grupo de Lorentz como el vector de posición espaciotemporal xµ de unsuceso:

α′µ = Λµναν.

Definimos también un vector covariante αµ como aquel que se transforma de acuer-do con una transformación de Lorentz inversa

α′µ = (Λ−1)νµαν.

Finalmente, un tensor se transforma como vector contravariante o covariante encada uno de sus índices. Un escalar no se transforma bajo una transformación deLorentz, es decir, α es un escalar si y solo si α′ = α.

2–8


notas edc (v. 1.0)


De la invariancia del elemento de línea, obtenemos la expresión

ηµνΛµρΛν

σ = ηρσ (2.4)

y multiplicando por Λ−1 dos veces obtenemos

ηµν = ηρσ(Λ−1)ρµ(Λ−1)σ

ν,

lo que nos indica que ηµν es realmente un tensor. Análogamente, es fácil probarque ηµν y δ

µν también son tensores.

Ejercicio 2.2.1 Probarlo.

El tensor métrico permite establecer un isomorfismo entre los espacios vecto-riales de vectores covariantes y contravariantes, de manera que a cada vector con-travariante αµ le asociamos de forma unívoca el vector covariante αµ y viceversamediante las relaciones

αµ = ηµναν, αµ = ηµναν,

de manera queα0 = −α0, αi = δijα

j.

Ejercicio 2.2.2 Demostrar que (Λ−1)νµ = Λ ν

µ .

Por tanto, el tensor métrico se puede utilizar para subir y bajar índices. Convie-ne notar que ηij = δij y que los índices espaciales (latinos) se suben y bajan tantocon la métrica euclídea δij como con ηij, gracias a que hemos escogido la signatura(−, +, +, +).

Dado un tensor α···µ···ν···, llamamos contracción de índices a la operación delcálculo de su traza

α···µ··· ···

µ = ηµνα···µ···ν···.

2.2.2. El tensor de Levi-Civita

Definimos el tensor de Levi-Civita como

εµνρσ =

+1, si los índices son una permutación par de 0123−1, si los índices son una permutación impar de 01230, si hay dos índices repetidos

notas edc (v. 1.0)


2–9


Debe notarse que εµνρσ = −εµνρσ (en valor numérico; esta fórmula no es cova-riante). Además, el tensor de Levi-Civita es invariante bajo transformaciones deLorentz ortocronas propias. No lo es bajo reflexiones espaciales o temporales.

Ejercicio 2.2.3 Demostrarlo.

Contracciones del tensor de Levi-Civita:

εµνρσεµνρσ = −4!, εµνρσεανρσ = −3! δµα ,

εµνρσεαβρσ = −2! δµ

[αδνβ], εµνρσεαβγσ = −1! δ

µ

[αδνβδ

ρ

γ].

Ejercicio 2.2.4 Obtener estas relaciones.

2.2.3. Hipersuperficies espaciales

Una hipersuperficie (tridimensional) Σ es de género espacio si y solo si la se-paración entre dos puntos cualesquiera de la superficie es espacial. Esta condiciónes equivalente a exigir que la normal a la hipersuperficie sea de género tiempo entodo punto, es decir, nµ(x)nµ(x) = −1 ∀x ∈ Σ.


Recordemos que una hipersuperficie Σ está definida en implícitas medianteF(x) = 0 y que la normal es nµ = ∂µF/|∂F|. Puesto que nµ es un vector, el carácterespacial de una hipersuperficie se preserva bajo transformaciones de Lorentz. Así,las hipersuperficies de t =constante son de género espacio pues nµ = (1, 0, 0, 0) ynµnµ = −1.

Nótese que, bajo transformaciones de Lorentz, las hipersuperficies definidas port =constante no se transforman en hipersuperficies definidas por t′ =constante.

2.2.4. Derivación

Definimos el gradiente cuadridimensional como el operador que actuando so-bre funciones da un vector covariante cuyas componentes son:

∂µ f = ∂ f /∂xµ = (∂0 f , ∂i f ) = (c−1∂t f , ~∇ f ).

Ejercicio 2.2.6 Demostrar que ∂µ se comporta como un vector covariante.

2–10


notas edc (v. 1.0)


La versión contravariante del gradiente es:

∂µ = ηµν∂ν = ∂/∂xµ.

Finalmente, introducimos el operador de D’Alembert, como el laplaciano cua-dridimensional con la métrica ηµν

= ηµν∂µ∂ν = −c−2∂2t + ~∇2.

Este operador se transforma como un escalar.


2.2.5. Integración

2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva

Sea xµ(s) una curva en el espaciotiempo de Minkowski. Entonces el elementode línea esta dado por el vector tangente infinitesimal

dxµ = ∂sxµds.

2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional

Sea xµ(u1, u2) una superficie bidimensional. El elemento de área estará deter-minado por el área del paralelogramo formado por los dos vectores tangentes ca-nónicos infinitesimales dvµ

1 = ∂1xµdu1 y dvν2 = ∂2xνdu2. De la geometría elemental,

sabemos que el área de tal paralelogramo es igual al producto de los módulos delos dos vectores y por el seno del ángulo que forman:

dS = |dv1||dv2| sen α,

donde cos α = dvµ1 dv2µ/|dv1||dv2|. Esta expresión para el área infinitesimal se pue-

de reescribir de la siguiente manera:

dS2 = |dv1|2|dv2|2(1− cos2 α) = [|dv1|2|dv2|2 − (dvµ1 dv2µ)2]

= 2δα[ρδ

β

σ]dvρ1dvσ

2 dv1αdv2β = εµναβεµνρσdvρ1dvσ

2 dv1αdv2β

= dSµνdSµν,

dondedSµν = εµνρσdvρ

1dvσ2

notas edc (v. 1.0)


2–11


es el elemento de área. Notemos que este tensor antisimétrico es perpendicular a lasuperficie en el sentido de que, para cualquier vector tangente zµ a la superficie, severifica que zµdSµν = 0. Convencionalmente se representa el elemento de superficiemediante este tensor perpendicular y no mediante el paralelo

dS∗µν =12

εµνρσdSρσ,

que es análogo al elemento de línea dxµ.

Aunque en esta derivación del elemento de superficie hemos supuesto implí-citamente que los vectores tangentes no son de género luz, la expresión final estambién válida en este caso.

2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie

Sea xµ(u1, u2, u3) una hipersuperficie tridimensional en el espaciotiempo deMinkowski. De forma enteramente análoga al caso anterior, llegamos fácilmente ala conclusión de que la (hiper)área (el volumen) infinitesimal dσ del paralelepípedoformado por los tres vectores tangentes canónicos infinitesimales dvµ

1 = ∂1xµdu1,dvµ

2 = ∂2xµdu2 y dvµ3 = ∂3xµdu3 se puede escribir de la siguiente manera:

dσ2 = dσµdσµ,

dondedσµ = nµdσ = εµνρσdvν

1dvρ2dvσ

3 .

Ejercicio 2.2.8 Deducir estas expresiones.

Notemos que este vector es perpendicular a la superficie en el sentido de quepara cualquier vector tangente zµ a la superficie zµdσµ = 0. Convencionalmentese representa el elemento de superficie mediante este vector perpendicular y nomediante el tensor antisimétrico dual

dσ∗µνρ =12

εµνρσdσσ,

que es paralelo a la hipersuperficie y, por tanto, análogo al elemento de línea dxµ.

Ejercicio 2.2.9 Demostrar que dσ0 = d3~x.

Aunque, en esta derivación del elemento de superficie, hemos supuesto implí-citamente que los vectores tangentes no son de género luz, la expresión final estambién válida en este caso.

2–12


notas edc (v. 1.0)


2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional

El elemento de volumen cuadrimensional es

dΩ = dx0dx1dx2dx3 = d4x.

Ejercicio 2.2.10 Demostrar que el elemento de volumen es invariante bajo el grupode Poincaré.

2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y de Stokes

Sea M una región cuadrimensional, ∂M su frontera tridimensional y Tµ uncampo vectorial. Entonces ∫

M∂µTµd4x =

∫∂M

Tµdσµ.

Sea Σ una hipersuperficie tridimensional, ∂Σ su frontera bidimensional y Tµν

un campo tensorial antisimétrico. Entonces∫Σ

∂νTµνdσµ =12

∫∂Σ

TµνdSµν.

Sea S una superficie bidimensional, ∂S su frontera unidimensional y Tµ uncampo vectorial. Entonces ∫

Sεµνρσ∂ρTσdSµν =

∫∂S

Tµdxµ.

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración

Definimos la cuadrivelocidad como el vector

uµ =dxµ

dτ≡ xµ.

Denotaremos las derivadas con respecto al tiempo propio con un punto: α ≡ dα/dτ.

A menudo, compararemos un sistema de referencia inercial cualquiera con elsistema de referencia propio cuya velocidad ~v con respecto al sistema de referenciainercial original es la misma que la de la partícula. Así, uµ = γ(c,~v). Obviamente,en el sistema de referencia propio, uµ

0 = (c,~0). Puesto que τ es invariante y xµ setransforma como un vector, uµ también es un vector.

notas edc (v. 1.0)


2–13


Definimos el vector aceleración bµ como la derivada de la velocidad:

bµ =duµ

dτ=

d2xµ

dτ2 .

Teniendo en cuenta que dγ/dt = γ3~v ·~a/c2, es fácil ver que

bµ = (γ4~v ·~a/c, γ4(~v ·~a)~v/c2 + γ2~a)

y quebµbµ = γ4[γ2(~v ·~a)2/c2 +~a2] ≥ 0.

Ejercicio 2.2.11 Obtener estas expresiones.

Ejercicio 2.2.12 Deducir la ley de transformación Lorentz de la aceleración (~a = a‖v +~a⊥;~V es la velocidad de la partícula):

a′‖ =a‖

γ3(1− c−2vV‖)3

~a′⊥ =~a⊥

γ2(1− c−2vV‖)2 +va‖~V⊥

c2γ2(1− c−2vV‖)3 .

Ejercicio 2.2.13 Demostrar que la velocidad y la aceleración satisfacen las siguien-tes propiedades:

uµuµ = −c2, uµbµ = 0,

es decir, el cuadrado de la velocidad es un invariante constante y la velocidad y laaceleración son perpendiculares.

Ejercicio 2.2.14a) Demostrar que todo vector perpendicular a uno de género tiempo es de géneroespacio.b) Demostrar que los vectores perpendiculares a un vector de género espacio onulo pueden ser de género espacio, nulo o tiempo.

2.3. Grupo de Poincaré

2.3.1. Grupo de traslaciones

El grupo de traslaciones está compuesto por todas las transformaciones de laforma

x′µ = xµ + αµ,

2–14


notas edc (v. 1.0)


donde αµ es un cuadrivector constante. Por tanto, una traslación equivale a un des-plazamiento del origen de coordenadas. Consideremos una traslación infinitesimal(con δαµ muy pequeño)

δxµ = x′µ − xµ = δαµ.

Es claro que cualquier traslación se puede obtener mediante a un aplicación sucesi-va de traslaciones infinitesimales. Si introducimos el operador Pµ = −i∂µ entoncespodemos escribir

δxµ = δαµ = iδανPνxµ.

Finalmente, cualquiera traslación finita se puede obtener mediante la integra-ción sobre α de esta ecuación:

x′µ = eiανPν xµ.

Los operadores Pµ son los generadores infinitesimales del grupo de traslacionesy están íntimamente relacionados con el momento total del sistema, como vere-mos1. Estos operadores obviamente conmutan:

[Pµ, Pν] = 0.

2.3.2. Grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz está formado por todas las matrices Λµν que satisfacen la

ecuación (2.4) y que, en particular, implica que det(Λµν) = ±1. Puesto que la trans-

formación unidad tiene determinante 1, todas las transformaciones propias tienentambién determinante 1. Además, no pueden contener reflexiones ni temporales niespaciales y, por tanto, Λ0

0 > 0. Por otro lado, la ecuación (2.4) proporciona die-ciséis condiciones sobre las dieciséis posibles componentes de Λ. Sin embargo, esclaro que no todas son independientes: por ejemplo, la ecuación para ρ, σ = 0, 1es la misma que para ρ, σ = 1, 0. Las ecuaciones independientes son las cuatroque corresponden a ρ = σ más las tres correspondientes ρ, σ = 0, i más las dos deρ, σ = 1, i ≥ 2 más ρ, σ = 2, 3. En total son diez ecuaciones para dieciséis paráme-tros. Nos quedan seis parámetros libres.

La expresión de un boost (una transformación de Lorentz pura) asociado a una

1 En esta sección, se introducirán los generadores infinitesimales del grupo de Poincaré quellamaremos momento y momento angular, si bien estos operadores no tendrán las dimensionesadecuadas. Sin embargo, bastará con multiplicarlos por una constante con dimensiones de momentoangular como , para obtener operadores con las dimensiones adecuadas.

notas edc (v. 1.0)


2–15


velocidad ~v es fácil de obtener a partir de (2.3):

Λ00 = γ, Λ0

i = −γvi/c, Λi0 = −γvi/c,

Λij = δi

j + (γ− 1)vivj/v2.

Por tanto, la velocidad proporciona tres de los seis parámetros que determinan unatransformación de Lorentz general. Los otros tres parámetros corresponden a lasrotaciones espaciales.

Consideremos una transformación de Lorentz infinitesimal

Λµν = δ

µν + δω

µν.

Teniendo que en cuenta el resultado del Ejercicio 2.2.2,

(Λ−1)νµ = Λ ν

µ = δνµ + δω ν

µ

y, por tanto, hasta primer orden en δω,

δµρ = Λµ

ν(Λ−1)νρ = δ

µρ + δω

µρ + δω

µρ .

Así, podemos concluir que el tensor δωµν es antisimétrico y, como tal, tiene seiscomponentes independientes.

Para boosts infinitesimales con velocidades δvi, las únicas componentes no nulasson

δω0i = −δωi0 = δvi/c ≡ δζi.

En las rotaciones infinitesimales, solo intervienen las componentes espaciales. Portanto, podemos escribir las únicas componentes no nulas

δωij = −εijkδθk,

donde δθi son los tres parámetros asociados a las rotaciones y que interpretaremoscomo los ángulos de rotación alrededor de los tres ejes espaciales. Así, para unatransformación de Lorentz infinitesimal general, las componentes no nulas de δωµν

sonδω0i = −δωi0 = δζi, δωij = −εijkδθk.

Podemos describir las transformaciones de Lorentz en términos de operadores,como la que que hemos utilizado en el caso de las traslaciones. Consideremos paraello la transformación de Lorentz infinitesimal δxµ = δω

µνxν. Si introducimos el

operadorLµν = xµPν − xνPµ = −i(xµ∂ν − xν∂µ), (2.5)

2–16


notas edc (v. 1.0)


entonces, podemos escribir la transformación de Lorentz infinitesimal como

δxµ = − i2

δωρσLρσxµ, (2.6)

como es fácil de comprobar.

Ejercicio 2.3.1 Comprobar esta expresión.

Los operadores Lµν son los generadores infinitesimales del grupo de Lorentz yestán íntimamente relacionados con el momento angular orbital total del sistema,como veremos. Podemos escribir la transformación de Lorentz infinitesimal (2.6)en términos de los parámetros infinitesimales δθi y δζ i:

δxµ = −i(δω0iL0i +12

δωijLij)xµ = i(δζ iL0i +

12

εijkδθkLij)xµ

= i(δζ iKi + δθkLk)xµ = i(δ~θ ·~L + δ~ζ · ~K)xµ,

donde hemos definido los nuevos operadores

Li =12

εijkLjk, Ki = L0i,

que satisfacen las reglas de conmutación

[Li, Lj] = iεkijLk, [Li, Kj] = iεk

ijKk, [Ki, Kj] = −iεkijLk.

La primera regla de conmutación es la del momento angular, la segunda indica que~K es un vector (bajo rotaciones) y la última que los boosts no conmutan.

Ejercicio 2.3.2 Demostrar que, para cualquier vector unitario n,

(n ·~L)3 = n ·~L, (n · ~K)3 = −n · ~K.

Integrando la ecuación (2.6) sobre todos los parámetros ω, obtenemos la versiónfinita:

x′µ = exp(− i

2ωρσLρσ

)xµ.

Así, cualquier transformación de Lorentz se puede escribir como x′µ = Λxµ, donde

Λ = exp(− i

2ωρσLρσ

)= exp(i~θ ·~L + i~ζ · ~K),

con los parámetros θi y ζi definidos como θi = −εijkωjk/2 y ζi = ω0i.

Puesto que ~ζ son los parámetros de boost, deben ser función de la velocidaddel boost. Para obtener esta relación, aplicamos una transformación de Lorentz con~θ = 0 y, haciendo uso del resultado del Problema 2.12, obtenemos

~ζ = v arctanh(v/c).

notas edc (v. 1.0)


2–17



Ejercicio 2.3.4 Haciendo uso de que x′µ = Λxµ = Λµνxν, probar que, si ~ζ = ζ e1 y

~θ = 0,

(Λµν) =

cosh ζ − sinh ζ 0 0− sinh ζ cosh ζ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,

es decir, que un boost en la dirección x es una rotación hiperbólica en el plano t, x.Análogamente, probar que para ~ζ = 0, ~θ = θe3,

(Λµν) =

1 0 0 00 cos θ sen θ 00 − sen θ cos θ 00 0 0 1

,

es decir, que una transformación de Lorentz con estos parámetros es una rotaciónalrededor del eje z.

Además de los operadores Lµν de momento angular orbital que hemos descritohasta ahora, existen otros operadores Sµν que, aunque no admiten una descripciónen términos de la posición y del momento, es decir, de la derivada con respectoa la posición, satisfacen las mismas reglas de conmutación. Más aún, puesto queno dependen de la posición, estos operadores Sµν de espín conmutan con el opera-dor de momento angular orbital. Así, podemos construir el operador de momentoangular total Mµν que es la suma del momento angular orbital Lµν y el espín omomento angular intrínseco Sµν, cuyas reglas de conmutación son obviamente lasya descritas.

Finalmente, las reglas de conmutación entre los generadores de las traslacionesPµ y los generadores de las transformaciones de Lorentz son fáciles de obtener yreflejan el hecho de que Pµ es un vector bajo transformaciones de Lorentz.

Ejercicio 2.3.5 Obtener las reglas de conmutación de todos los generadores delgrupo de Poincaré.

2–18


notas edc (v. 1.0)


Ejercicio 2.3.6 Demostrar que las matrices

L1 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 −i0 0 i 0

, L2 =

0 0 0 00 0 0 i0 0 0 00 −i 0 0

, L3 =

0 0 0 00 0 −i 00 i 0 00 0 0 0

,

K1 =

0 i 0 0i 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, K2 =

0 0 i 00 0 0 0i 0 0 00 0 0 0

, K3 =

0 0 0 i0 0 0 00 0 0 0i 0 0 0

,

proporcionan una representación vectorial del grupo de Lorentz, es decir, que suactuación sobre xµ es la misma,

Lopi xµ = (Lmat

i )µνxν, Kop

i xµ = (Kmati )µ

νxν,

y que satisfacen las mismas reglas de conmutación que los operadores ~L y ~K.

2.3.3. Operadores de Casimir

Los operadores de Casimir o, simplemente, casimires del grupo de Poincaré sonaquellos operadores que conmutan con todos los elementos del grupo o, dicho deotra manera, que son invariantes bajo cualquier transformación del grupo, es decir,bajo traslaciones y bajo transformaciones de Lorentz. Aunque no lo demostraremosaquí, el grupo de Poincaré tiene dos casimires independientes. Cualquier otro sepuede escribir en términos de ellos.

El operador momento Pµ es invariante bajo traslaciones y es un vector bajotransformaciones de Lorentz. Por tanto, el operador

−PµPµ = ∂µ∂µ =

es un operador de Casimir puesto que es invariante bajo todo el grupo de Poincaré.

Para encontrar sus autovalores, basta con imponer condiciones de contornoadecuadas sobre los campos φ(xµ) que definen nuestro sistema. Una condiciónde contorno natural es que los sistemas tengan una extensión finita, es decir, queφ(t, xi = ±∞) = 0. Mediante separación de variables, obtenemos inmediatamenteun espectro continuo de autovalores m2c2 positivos (ver nota 1). Veremos que m esla masa del sistema.

Para encontrar otro casimir independiente, supongamos que el casimir−PµPµ 6= 0, es decir, que la masa m es no nula. Entonces, definimos el operador

notas edc (v. 1.0)


2–19


de Pauli-Lyubarskii

Wµ =12

εµνρσPνMρσ.

La parte orbital de este operador se anula ya que L ∼ xP y W ∼ εPxP = 0 porantisimetría. Por tanto, el operador de Pauli-Lyubarskii solo depende del operadordel espín:

Wµ =12

εµνρσPνSρσ.

Este operador conmuta con los generadores de traslaciones y es un vector bajotransformaciones de Lorentz. Por tanto, su cuadrado es un operador invariantebajo el grupo de Poincaré. Si tomamos como sistema de referencia aquel en el laconfiguración que define nuestro sistema no depende de su posición global en elespacio (es decir, el sistema de centro de inercia), entonces Pi se anulará en su ac-tuación. Puesto que WµWµ es un escalar Poincaré, podemos evaluarlo en cualquiersistema de referencia inercial y, en particular, en el del centro de inercia. Así,

WµWµ = Wci,µWµci = (P

ci,0)2~S2 = (−PµPµ)~S2,

donde hemos definido el operador tridimensional de espín como

Si =12

εijkSjk.

Los autovalores de este operador de Casimir son de la forma m2c2s(s + 1), sien-do s un número semientero (conviene recordar que los autovalores del cuadradodel momento angular tienen esta forma).

Puesto que estos dos operadores −P2 y W2 son invariantes bajo transforma-ciones de Poincaré, su actuación sobre la configuración de un sistema dado, nosproporcionará información intrínseca sobre el sistema, es decir, independiente delsistema de referencia.

Si la masa es nula, entonces, además de la relación de ortogonalidad WµPµ = 0,tenemos que PµPµ = WµWµ = 0 y, por tanto, los vectores Wµ y Pµ son propor-cionales. Si llamamos helicidad h al operador que establece la proporcionalidad,entonces tenemos Wµ = hPµ. El cálculo de la helicidad es sencillo: puesto queW0 = ~P · ~S = hP0, obtenemos inmediatamente que

h = ~P · ~S/P0.

De las componentes espaciales W i del vector de Pauli-Lyubarskii, obtenemos elmismo valor de h, como cabía esperar. En efecto,

W i = P0Si + εijkPjS0k = hPi.

2–20


notas edc (v. 1.0)

2.4. Dinámica relativista

Multiplicando por Pi y teniendo en cuenta que (P0)2 = ~P2, obtenemos el resultadodeseado. La helicidad es un escalar bajo el grupo de Poincaré puesto que Wµ y Pµ

son vectores bajo el grupo de Lorentz e invariantes bajo traslaciones.


2.4.1. Principio variacional

La acción de una partícula es

S =∫ τ2

τ1

L(τ, xµ, xµ)dτ,

donde L es una función del tiempo propio y de las posiciones espaciotemporalesllamada lagrangiano.

Principio de acción estacionaria: las trayectorias físicas son aquellas cu-ya acción es estacionaria bajo variaciones que no afectan a las posicionesinicial y final.

Las ecuaciones del movimiento se obtienen mediante la condición de que laacción sea estacionaria bajo cambios infinitesimales de las posiciones δxµ tales quese anulen en τ1,2. La variación de la acción es:

δS =∫ τ2

τ1

(∂L∂xµ δxµ +

∂L∂xµ δxµ

)dτ

=∫ τ2

τ1

(∂L∂xµ −

ddτ

∂L∂xµ

)δxµdτ +

[∂L∂xµ δxµ

]τ2

τ1

.

Por tanto, las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Euler-Lagrange

δSδxµ =

∂L∂xµ −

ddτ

∂L∂xµ = 0.

En el caso de un sistema con varias partículas, el lagrangiano será de la formageneral L(τ, xµ

n , xµn) y las ecuaciones de Euler-Lagrange serán

δSδxµ

n=

∂L∂xµ

n− d

dτ

∂L∂xµ

n= 0, n = 1, 2 . . . .

notas edc (v. 1.0)


2–21


2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

Si la variación de la acción en un entorno de una trayectoria física bajo unavariación continua de las posiciones δxµ

n es nula, entonces la cantidad

δQ = ∑n

∂L∂xµ

nδxµ

n

se conserva, es decir, dδQ/dτ = 0.

Demostración. Hemos visto que la variación general de la acción de una trayec-toria física (que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange) es

δS = [δQ]τ2τ1 .

Por tanto, δS = 0 si y solo si δQ(τ1) = δQ(τ2) ∀τ1, τ2, es decir, si y solo si δQ nodepende de τ.

2.4.2.1. Cuadrimomento

Supongamos que la acción de una sola partícula no depende explícitamente deposición y, por tanto, que es invariante bajo desplazamientos constantes δxµ = δαµ.Entonces, δQ = (∂L/∂xµ)αµ es constante y también lo es

pµ ≡∂L∂xµ .

En efecto,

pµ =d

dτ

∂L∂xµ =

∂L∂xµ ,

donde hemos usado las ecuaciones de movimiento. Si el lagrangiano no dependede las posiciones espaciotemporales, entonces el cuadrimomento se conserva.

Así, el cuadrimomento es la cantidad conservada asociada a la invariancia bajotraslaciones espaciotemporales.

Para un sistema de varias partículas, el tratamiento es completamente análogo.Si la acción es invariante bajo traslaciones, el cambio de la acción bajo la transfor-mación δxµ

n = δαµ es nula y, por tanto, δQ = ∑n pµnδαµ es constante. Consecuente-

mente, también el momento total

Pµ = ∑n

pµn

se conserva en la evolución.

2–22


notas edc (v. 1.0)


La cantidad cP0 tiene dimensiones de energía y se conserva si la acción es in-variante bajo traslaciones temporales constantes δx0

n = δα0. Luego la energía totaldel sistema (por definición, la cantidad conservada asociada a la invariancia bajocambios del origen de tiempos) es E = cP0.

Análogamente, pi tiene dimensiones de momento y se conserva si la acciónes invariante bajo traslaciones espaciales constantes δxi

n = δαi. Por tanto, Pi es eltrimomento total del sistema (por definición, la cantidad conservada asociada a lainvariancia bajo cambios del origen del sistema de referencia).

2.4.2.2. Momento angular

Toda transformación de Lorentz se puede escribir como una composición detransformaciones de Lorentz infinitesimales, como ya hemos visto:

Λµν = δ

µν + δω

µν.

Así, una transformación Lorentz infinitesimal de las posiciones adquiere la forma:

δxµ = δωµνxν.

Si la acción es invariante Lorentz, que debería serlo, entonces existe una cantidadconservada asociada

δQ =∂L∂xµ δxµ =

∂L∂xµ xνδω

µν = −1

2δωµνMµν.

donde hemos definido el momento angular asociado a las transformaciones deLorentz

Mµν = xµ pν − xν pµ,

que es también una cantidad conservada. El momento angular asociado a las rota-ciones se puede extraer inmediatamente de Mµν. En efecto,

Jk =12

εijk Mij

es conservado si la acción es invariante bajo rotaciones espaciales.

El momento angular adquiere especial relevancia en sistemas con más de unapartícula. En este caso, si la acción es invariante bajo transformaciones de Lorentzδxµ

n = δωµνxν

n, existe una cantidad conservada

δQ = −12

δωµν ∑n

(xµn pν

n − xνn pµ

n).

Por tanto, también se conserva el momento angular total

Mµν = ∑n

(xµn pν

n − xνn pµ

n).

notas edc (v. 1.0)


2–23


2.4.2.3. Centro de inercia

Dado que, en un sistema aislado, el lagrangiano no depende de x0n, podemos

elegir x0n = x0. En un sistema aislado, se conserva, además, el momento angular

Mµν y la energía P0; en particular, se conserva M0i/P0:

M0i/P0 = ∑n

(x0n pi

n − xin p0

n)/P0 = x0pi/P0 − xi = constante,

donde xi = ∑n xin p0

n/P0 es, por definición, la posición del centro de inercia, que semueve con velocidad constante. Debe notarse que esta definición no es covariantey que, por tanto, depende del sistema de referencia elegido.

2.4.2.4. Invariantes de Casimir

Si la acción es invariante bajo transformaciones de Poincaré (traslaciones ytransformaciones de Lorentz), el momento total Pµ y el momento angular totalMµν se conservan en la evolución pero, obviamente, no son invariantes bajo elgrupo de Poincaré. Existen, sin embargo, cantidades conservadas que también soninvariantes Poincaré y que, por tanto, son independientes del SRI elegido.

El momento Pµ es un vector bajo transformaciones de Lorentz que, obviamen-te, es invariante bajo traslaciones (es decir, bajo cambios del origen de coorde-nadas). Por tanto, PµPµ es un invariante Poincaré que, además, es conservado.De hecho, nos proporciona la masa total del sistema o, al menos, una defini-ción apropiada de la misma. En efecto, puesto que PµPµ es un invariante, pode-mos evaluarlo en cualquier SRI. Pµ es el momento total del sistema y, por tan-to, en el SRI del centro de inercia del sistema Pi

ci= 0 por definición. En este

SRI, −PµPµ = P2ci,0 = (∑n p0

ci,n)2 ≡ m2c2 donde m es la masa total del siste-ma en el siguiente sentido: es el valor más bajo que puede tomar la energía encualquier SRI. En efecto, en cualquier otro SRI, la energía total del sistema serácP0 =

√m2c4 + c2PiPi que es siempre mayor o igual que mc2. Conviene también

notar que m contiene contribuciones no solo de las masas de las partículas indivi-duales sino que también tiene contribuciones de las energías cinéticas en el sistemadel centro de inercia y de las energías internas, es decir, de las energías potencialesde atracción y/o repulsión entre ellas.

Consideremos ahora el vector de Pauli-Lyubarskii

Wµ =12

εµνρσPνMρσ.

2–24


notas edc (v. 1.0)


Ejercicio 2.4.1 Demostrar que este vector es invariante bajo traslaciones.

Por definición, Wµ es ortogonal a Pµ y además es invariante bajo traslaciones.Por tanto, WµWµ es también invariante Poincaré y es conservado. Veamos cuales su interpretación física. Puesto que WµWµ es invariante, podemos evaluarlo encualquier SRI, en particular, en el propio del sistema, es decir en el SRI del centrode inercia. Puesto que, en este SRI, Pi

ci= 0,

Wµci =

12

εµ0ρσPci,0Mci,ρσ =

12

εµ0jkPci,0M

ci,jk.

Así, vemos que

W0ci

= 0, W ici

=12

P0ci

εijk Mci,jk

y, por tanto,WµWµ = m2c2~S2,

donde Si = 12 εijk M

ci,jk es el momento angular del sistema de partículas en el SRIpropio del centro de inercia y recibe el nombre de espín.

Consideremos un sistema de partículas de coordenadas xµn . En el sistema de

referencia del centro de inercia

Si =12

εijk Mci,jk = εijk ∑

nxn,j pn,k.

Este es el espín del sistema y es intrínseco: solo depende de la configuración interna(posiciones y momentos relativos de las partículas que lo componen). Que solo de-pende de los momentos relativos y no del total es obvio puesto que Pi

ci= ∑n pi

n = 0.Que no depende del origen que se tome para calcular el momento y que, por tanto,solo depende de las posiciones relativas, es fácil de ver. En efecto, si desplazamos elorigen de coordenadas en una cantidad Ri, entonces el espín definido con respectoal nuevo origen será

S′i = εijk ∑n

(xn,j + Rj)pn,k = Si + εijk ∑n

Rj pn,k,

pero el último término se anula debido a que ∑n pn,i = 0. Es decir, el espín solodepende de la configuración interna del sistema.

La masa total del sistema m y su momento angular intrínseco ~S2 son las únicascantidades conservadas e invariantes bajo el grupo de Poincaré independientes.Cualquier otra se puede escribir en términos de ellas. La demostración de estaafirmación se basa en que ambos son los casimires del grupo de Poincaré y no lapresentaremos aquí.

notas edc (v. 1.0)


2–25


2.4.3. Fuerzas

La definición de fuerza es enteramente análoga a la de la mecánica newtoniana:

f µ =dpµ

dτ= γ(~f ·~v/c, ~f ),

donde ~f = d~p/dt.

2.5. Partícula libre

2.5.1. Mecánica analítica

Sabemos que podemos derivar toda la mecánica no relativista a partir de unprincipio variacional. Lo mismo ocurre con la mecánica relativista como hemosvisto. Comencemos por definir la acción de una partícula libre relativista:

S = −mc2∫

dτ = −mc2∫

dt/γ = −mc2∫ √

1−~v2/c2dt.

La elección de esta acción está determinada por los siguientes factores:

Debe ser invariante bajo transformaciones de Lorentz, para que sea indepen-diente del SRI escogido.

El factor −mc2 aparece para que S tenga unidades de acción y para que coin-cida con su expresión no relativista en el límite de velocidades pequeñas. Enefecto, podemos expandir la acción elegida en serie de potencias de v/c:

S = −mc2∫

dt[

1− 12

v2

c2 +O[(v/c)4]]

= −mc2∫

dt +∫ 1

2mv2dt +O[(v/c)4].

El primer término es constante y el segundo es la acción de una partículalibre en el límite no relativista.

El lagrangiano de una partícula relativista es, por tanto,

L = −mc2√

1−~v2/c2.

El momento se obtiene mediante la derivada variacional de la acción con respectoa la velocidad como es habitual:

~p =δSδ~v

=∂L∂~v

= mγ~v.

2–26


notas edc (v. 1.0)

2.5. Partícula libre

El hamiltoniano se obtiene mediante la transformación de Legendre

H = (~p ·~v− L)~v→~p =√

m2c4 + c2~p2.

Para obtener esta expresión basta notar que ~v2/c2 = 1 − γ−2 y que, por tanto,γ2 = 1 +~p2/(mc)2.

Ejercicio 2.5.1 Obtener el Hamiltoniano de la partícula libre relativista.

También podemos obtener el cuadrimomento variacionalmente notando que laacción se puede escribir

S = −mc∫ √

−ηµνdxµdxν = −mc∫ √

−uµuµdτ.

El momento quedaría pues definido de la siguiente manera:

pµ =δSδuµ = muµ.

Sin embargo, aunque el resultado es correcto, el procedimiento es inadecuado pues-to que uµuµ = −c2 es una ligadura que debemos introducir mediante un multipli-cador de Lagrange. Nosotros seguiremos un procedimiento alternativo equivalente.Escribamos la acción como

S = −mc∫ √

−wµwµdσ,

donde σ es una función arbitraria creciente de τ y wµ = dxµ/dσ = (dτ/dσ)uµ, demanera que quedan liberadas las velocidades. Entonces

pµ =δS

δwµ =mcwµ√−wνwν

= muµ.

Por otro lado, el momento nos indica cómo varía la acción de las trayectoriasante pequeños desplazamientos de las posiciones finales δxµ, como ya hemos visto:

δS = muµδxµ = pµδxµ.

La componente temporal del cuadrimomento está relacionada con la energíade la partícula mediante la fórmula cp0 = E que, en el SRI propio, se convierteen la famosa ecuación E = mc2. De hecho, el cuadrado del cuadrimomento esun invariante, pµ pµ = −m2c2, y de esta ecuación es fácil obtener la expresión paracp0 =

√m2c4 + c2~p2 que es precisamente la energía, como hemos visto. Escribiendo

notas edc (v. 1.0)


2–27


esta ecuación en términos de la velocidad E = mc2√

1 + c−2γ2~v2 y expandiendo enserie, obtenemos

E = mc2 + m~v2/2 +O[(~v/c)4],

que es la expresión no relativista de la energía total (energía en reposo más energíacinética) de una partícula libre en la mecánica de Newton.

Finalmente, la ecuación de movimiento de la partícula libre es

δSδxµ =

∂L∂xµ −

ddσ

(∂L

∂wµ

)= − d

dσ(muµ) = 0 ⇒ muµ = 0.

2.5.2. Momento angular

El momento angular nos indica cómo varía la acción bajo pequeñas rotacionesespaciotemporales, es decir, bajo transformaciones de Lorentz

δxµ = δωµνxν. (2.7)

Hemos visto que bajo pequeños cambios en las posiciones finales δS = pµδxµ y,por tanto,

δS = pµδωµνxν = −12

δωµν(xµ pν − pµxν) = −12

δωµνMµν.

El espaciotiempo es isótropo y, por tanto, la acción de una partícula libre es inva-riante bajo las transformaciones de Lorentz (2.7), es decir, los parámetros δωµν soncíclicos. En consecuencia, sus momentos canónicos generalizados son cantidadesconservadas. Escribimos la acción en términos de δωµν. Teniendo en cuenta que

dx′µdx′ν = [dxµ − dδωµνxν − δωµνdxν]2

= dx2 − 2dxµdxνδωµν − 2dxµxνdδωµν +O(δω2)

= dx2 − 2dxµxνdδωµν +O(δω2),

obtenemos hasta orden O(δω2)

S = −mc∫ √

−u2 + 2uµxνδωµν dτ

= −mc∫ √

−u2dτ −m∫

uµxνδωµνdτ.

Vemos que, en efecto, la acción no depende de δω y que, por tanto, el momentocanónico asociado

Mµν = 2δS

δωµν= xµ pν − xν pµ

es conservado.

2–28


notas edc (v. 1.0)

2.6. Campos relativistas

2.5.3. Casimires

Obviamente, en el caso de una partícula libre clásica, las dos cantidades con-servadas e invariantes bajo el grupo de Poincaré se reducen a su masa, pues sumomento angular intrínseco, es decir, en el SRI propio, es nulo. En mecánica cuán-tica, las partículas pueden tener espín aun cuando sean puntuales. En ese caso, elvector de Pauli-Lyubarskii ya no será nulo.


2.6.1. Leyes de transformación: escalares y vectores

Sea Φ un campo local, es decir, una función que asigna un valor o conjuntode valores a cada suceso espaciotemporal. En un cierto SRI, denotaremos a estecampo Φ(xµ), donde xµ son las coordenadas del suceso. Bajo una transformaciónde las coordenadas y del campo, Φ(x) se transformará en Φ′(x′). En principio,Φ(x) y Φ′(x′) podrían ser diferentes (y lo serán, en general). Consideremos unatransformación infinitesimal de las coordenadas y del campo:

δΦ = Φ′(x′)−Φ(x) = Φ′(x + δx)−Φ(x)

= Φ′(x)−Φ(x) + δxµ∂µΦ′(x) +O(δx2)

Sea δ0Φ = Φ′(x)−Φ(x), es decir, δ0Φ da cuenta del cambio funcional en el mismox. En términos de δ0Φ, podemos escribir

δΦ = δ0Φ + δxµ∂µΦ(x),

donde hemos sustituido ∂µΦ′(x) por ∂µΦ(x), puesto que la corrección es de ordensuperior. Si, bajo una transformación infinitesimal, Φ sufre un cambio indepen-diente de las coordenadas u otro heredado de la transformación de coordenadasque recibe el nombre de término de transporte.

En lo que sigue, veremos cuánto vale δ0Φ para distintos tipos de campos. Dehecho, para estudiar las transformaciones de Lorentz, consideraremos distintos ti-pos de campos escalares, vectoriales y tensoriales. No estudiaremos los campos deespín semiimpar (los fermiones de espín 1/2, en particular), fundamentales en unadescripción de la naturaleza y, más específicamente, de la electrodinámica cuántica.

notas edc (v. 1.0)


2–29


2.6.1.1. Traslaciones

Los campos locales físicamente relevantes dependen de la posición espaciotem-poral relativa a un punto dado y, por tanto, se transforman bajo traslaciones de lasiguiente forma:

Φ′(x′) = Φ(x),

es decir, son escalares bajo traslaciones; luego, bajo traslaciones infinitesimalesδxµ = δαµ, la variación general será δΦ = 0 y, por tanto,

δ0Φ = −δαµ∂µΦ = −iδαµPµΦ.

Puede parecer que δ0Φ depende de las coordenadas x, pero no es así. En efecto,

[δ0, ∂µ]Φ = δ0(∂µΦ)− ∂µ(δ0Φ) = −δαν∂ν∂µΦ + ∂µ(δαν∂νΦ) = 0,

es decir, la operación de calcular δ0 y la de derivar conmutan. Alternativamente,hagamos explícita la dependencia de las posiciones relativas. Sea f : M → Rn

una aplicación que asigna n valores a cada suceso del espacio de Minkowski y seay el vector de posición espaciotemporal de un suceso dado. Para cada par ( f , y)definimos el campo Φ(x) = f (x− y) y utilizaremos la notación Φ′(x) = f (x− y′).Bajo traslaciones,

δ0Φ(x) = −δαµ∂µΦ(x) = −δαµ∂µ f (x− y) = δαµ ∂

∂yµ f (x− y),

que solo depende realmente de forma funcional de Φ (a través de y).

2.6.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares

Los campos escalares son invariantes bajo transformaciones de Lorentz por de-finición. Por tanto, si φ(x) es un campo escalar, no se transformará bajo transfor-maciones de Lorentz infinitesimales δxµ = δω

µνxν, es decir, δφ = 0. Así,

0 = δφ = δ0φ + δxµ∂µφ = δ0φ + δωµνxν∂µφ.

A la vista de la definición (2.5) del momento angular orbital, el generador infinite-simal de las transformaciones de Lorentz,

δ0φ = −δωµνxν∂µφ =

i2

δωµνLµνφ.

Sin embargo, el generador de las transformaciones de Lorentz podría contenerun operador adicional Sµν, como ya vimos. Este operador no está presente en la

2–30


notas edc (v. 1.0)


ley de transformación de los campos escalares. Puesto que Sµν es el operador demomento angular intrínseco (espín) y Sµνφ = 0, vemos que ~S2φ = 0. Por tanto, lossistemas descritos por campos escalares son autoestados del operador de espín conautovalor s(s + 1) = 0, es decir, con s = 0. En otras palabras, los campos escalarestienen espín cero.

Tenemos pues la siguiente ley de transformación intrínseca (independiente delas coordenadas) de los campos escalares:

δ0φ =i2

δωµνMµνφ, ~S2φ = 0.

Los dos casimires que caracterizan un campo escalar son su masa m (el auto-valor de −PµPµ) y su espín cero (autovalor de ~S2 = WµWµ/(m2c2). Si su masa esnula, consideramos su helididad h = ~P · ~S/P0, que también es nula.

2.6.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales

Comencemos estudiando un campo vectorial concreto: el gradiente de un cam-po escalar Vµ = ∂µφ. Entonces,

δVµ = δ∂µφ = [δ, ∂µ]φ + ∂µδφ.

Puesto que φ es un escalar, δφ = 0 y δVµ = [δ, ∂µ]φ. Además, hemos visto queδ = δ0 + δxµ∂µ y, por tanto,

[δ, ∂µ] = [δ0, ∂µ] + [δxν∂ν, ∂µ].

Como δ0 no depende de las coordenadas, el primer término se anula y, dado queδxµ = δωµνxν, tenemos

[δ, ∂µ] = δω νµ ∂ν,

de forma queδVµ = δω ν

µ ∂νφ = δω νµ Vν.

Una vez conocido δVµ y teniendo en cuenta que δxν∂ν = i2 δωρσLρσ como hemos

visto, podemos calcular δ0Vµ:

δ0Vµ = δVµ − δxν∂νVµ = δωµνVν +

i2

δωνρLνρVµ.

Podemos escribir esta expresión extrayendo δω como factor común. Para ello, es-cribimos el primer término de la siguiente manera:

δωµνVν = −δωνρδ

µρ Vν = −δωνρδ

µρ δσ

ν Vσ =i2

δωνρiδµ

[ρδσν]Vσ =

i2

δωνρ(Sνρ)µσVσ,

notas edc (v. 1.0)


2–31


donde hemos definido Sνρ como la matriz de espín cuyas componentes son(Sνρ)µσ = −iδµ

[νδσρ]. Por tanto,

δ0Vµ =i2

δωρσ MρσVµ,

dondeMρσ = Lρσ + Sρσ y SρσVµ = (Sρσ)µ

νVν.

Aparentemente, δ0 depende de las coordenadas, pero no es así: en primer lugar,lo hemos construido específicamente con el requisito de que sea independientede las coordenadas; en segundo lugar, se puede comprobar explícitamente que[∂, δ0]V = 0 (ver Ejercicio 2.6.1).

Los dos casimires independientes son

−PµPµ = m2c2 6= 0, ~S2 = WµWµ/(m2c2),

donde, como vimos, (Si)µν = 1

2 εijk(Sjk)µν, de forma que ~S2 = 2diag[0, 1, 1, 1], es

decir, sus autovalores son s(s + 1) = 2, lo que implica que s = 1. Si m = 0, lahelicidad es h = ~P · ~S/P0 = P · ~S, cuyos autovalores son h = ±1.

Un campo vectorial cualquiera Bµ es aquel que se transforma como ∂µφ, esdecir,

δ0Bµ =i2

δωρσ MρσBµ,

y está caracterizado por su masa y por tener espín s o helicidad |h| igual a 1.

2.6.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales

Un campo tensorial Bµν···ξ es aquel que se transforma como un campo vectorialen cada uno de sus índices:

δ0Bµν···ξ =i2

δωρσ MρσBµν···ξ ,

donde el operador Sρσ actúa sobre Bµν···ξ de la siguiente manera:

SρσBµν···ξ = (Sρσ)µν···ξµ′ν′···ξ ′B

µ′ν′···ξ ′

y sus componentes son

(Sρσ)µν···ξµ′ν′···ξ ′ = (Sρσ)µ

µ′ + (Sρσ)νν′ + · · ·+ (Sρσ)ξ

ξ ′ .

Ejercicio 2.6.1 Comprobar explícitamente que, dado un tensor cualquiera B, δ0Brepresenta la transformación intrínseca de B, independiente de las coordenadas, esdecir, que [δ0, ∂]B = 0.

2–32


notas edc (v. 1.0)


2.6.2. Principio variacional

Dado un conjunto de campos cualquiera Φ = Φn, n = 1, 2 . . . N, podemosconstruir una acción a partir de la cual obtener mediante un principio variacionallas ecuaciones clásicas de movimiento para los campos Φ. La acción debe satisfa-cer algunos requerimientos ad hoc para que dé lugar a teorías físicas aceptables.Consideraremos solo acciones locales, es decir, que dependen solo de los campos,sus derivadas y, quizá, de la posición espaciotemporal. Puesto que pretendemosdescribir sistemas con invariancia Poincaré, la acción debe ser invariante bajo estastransformaciones, lo que elimina la posible dependencia espaciotemporal explíci-ta. Además, requeriremos que la acción sea real; acciones complejas dan lugar adisipación y absorción, es decir, a la desaparición de materia. Debe contener comomucho dos derivadas de los campos en cada término para que las ecuaciones demovimiento sean de segundo orden; mediante integraciones por partes, los térmi-nos que contienen derivadas segundas se pueden escribir como términos que de-penden solo de primeras derivadas más términos de superficie que no afectan a lasecuaciones de movimiento. Los sistemas con ecuaciones de evolución que contie-nen derivadas superiores tienen, en general, comportamientos acausales. Cuandolas ecuaciones de movimiento obtenidas se puedan convertir en un problema deautovalores para el casimir ∂µ∂µ del grupo de Poincaré, diremos que nos hallamosante campos libres.

A la vista de estos comentarios, consideraremos acciones de la siguiente forma:

S =∫M

d4xL(Φ, ∂µΦ, xµ),

donde M es un cierto volumen espaciotemporal y L es la llamada densidad la-grangiana o, simplemente, lagrangiana. Cabe notar que hemos incluido una po-sible dependencia espaciotemporal explícita, aunque ésta viola la invariancia bajotraslaciones.

El principio variacional que nos proporciona la teoría clásica de campos nosdice lo siguiente: los campos físicos, cuyos valores están fijados en una cierta hiper-superficie, son aquellos que hacen extrema la acción del sistema.

Bajo un cambio cualquiera de campos δ0Φ que no afecte a las posiciones espa-ciotemporales, la acción cambia de la siguiente manera2:

δ0S =∫M

d4xδ0L =∫M

d4x[

∂L∂Φ

δ0Φ +∂L

∂(∂µΦ)δ0(∂µΦ)

].

2Puesto que Φ puede tener varias componentes, se sobreentiende una suma sobre todas ellas

notas edc (v. 1.0)


2–33


Puesto que δ0 no afecta a las posiciones espaciotemporales, conmuta con ∂µ, asíque, integrando el segundo término por partes, obtenemos

δ0S =∫M

d4x[

∂L∂Φ

− ∂µ∂L

∂(∂µΦ)

]δ0Φ +

∫∂M

dσµ∂L

∂(∂µΦ)δ0Φ,

donde ∂M es la hipersuperficie que es frontera del volumen M, dσµ ≡ d3σnµ, nµ esla normal a ∂M y d3σ su elemento de superficie, de manera que

∫∂M d3σ =volumen

de ∂M.

Si exigimos que las variaciones de los campos se anulen en la frontera del volu-men espaciotemporal M, δ0Φ|∂M = 0, el requerimiento de que δ0S = 0 se traduceen las ecuaciones de Euler-Lagrange

∂L∂Φ

− ∂µ∂L

∂(∂µΦ)= 0,

que son las ecuaciones clásicas de movimiento para el sistema descrito por la acciónS.

Debemos notar que si añadimos un término de superficie a la acción o, lo quees lo mismo, una derivada total a la lagrangiana, obtenemos las mismas ecuacionesde movimiento y lo único que cambian son las condiciones de contorno.

2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

Consideremos una transformación de las coordenadas y de los campos dadapor δxµ y δ0Φ. Entonces, teniendo en cuenta que δ(d4x) = d4x∂µδxµ la variación dela acción será

δS =∫M

d4x(∂µδxµL+ δL) =∫M

d4x(∂µδxµL+ δxµ∂µL+ δ0L)

=∫M

d4x[

∂µ(δxµL) +∂L∂Φ

δ0Φ +∂L

∂(∂µΦ)∂µδ0Φ

],

donde hemos utilizado el hecho de que, puesto que δ0 no afecta a las coordenadas,δ0 y ∂µ conmutan. El uso de las ecuaciones de movimiento nos permite escribir lavariación de la acción como

δS =∫M

d4x∂µ

[δxµL+

∂L∂(∂µΦ)

δ0Φ]

.

Las transformaciones de las coordenadas y de los campos dependerán de unosparámetros δεa independientes de la posición de manera que

δxµ =δxµ

δεa δεa, δ0Φ =δ0Φδεa δεa, δΦ =

δΦδεa δεa.

2–34


notas edc (v. 1.0)


Entonces, la variación de la acción adquiere la expresión

δS =∫M

d4x∂µ jµa δεa,

dondejµa = Lδxµ

δεa +∂L

∂(∂µΦ)δ0Φδεa .

Otra expresión equivalente para la densidad de corriente asociada a la transforma-ción determinada por δεa se puede obtener sustituyendo δ0Φ = δΦ− δxµ∂µΦ:

jµa =

[Lδ

µν −

∂L∂(∂µΦ)

∂νΦ]

δxν

δεa +∂L

∂(∂µΦ)δΦδεa .

Si la acción no cambia bajo la transformación parametrizada por εa, entoncesδS/δεa = 0 y, por tanto,

∂µ jµa = 0.

Debe notarse que existe una ambigüedad en la definición de jµa . En efecto,

si definimos j′µa = jµa + ∂νκ

µνa , donde κ

µνa es un tensor antisimétrico, vemos que

∂µ j′µa = ∂µ jµa . Esta ambigüedad está relacionada con la de la lagrangiana en una de-

rivada total. Existe, además, una ambigüedad adicional en definición de jµa : puesto

que hemos utilizado las ecuaciones de movimiento para deducir su conservación,podemos añadir a jµ

a cualquier cantidad cuya derivada se anule en virtud de lasecuaciones del movimiento.

Si M es el espaciotiempo comprendido entre dos superficies de género espacioΣ1 y Σ2 y si suponemos que los campos se anulan en el infinito espacial, entonces

0 =δSδεa =

∫Σ2

dσµ jµa −

∫Σ1

dσµ jµa .

Por tanto, puesto que la elección de las superficies Σ1 y Σ2 no interviene en elargumento,

Qa =∫

Σdσµ jµ

a =∫

d3xj0a

es independiente de la superficie en la que se evalúa.

Hasta ahora, toda nuestra discusión ha sido explícitamente covariante. Si rom-pemos esta covariancia explícita y suponemos que M es un volumen espaciotem-poral que consiste en todo el espaciotiempo contenido entre dos instantes de tiem-po coordenado en un cierto SRI, es decir, M = R3 × [t1, t2], entonces

0 =δSδεa = c

∫ t2

t1

dt∫

d3x(∂0 j0a + ∂i jia).

notas edc (v. 1.0)


2–35


Si los campos se anulan en el infinito espacial, el último término se anula y nosqueda 0 =

∫ t2t1

dt∂0Qa donde Qa =∫

d3xj0a son las cargas asociadas a la transfor-mación y, por tanto, Qa(t1) = Qa(t2). Puesto que el procedimiento no depende dela elección de los límites de integración y dt = γdτ, vemos que

Qa = 0,

es decir, las cargas se conservan en la evolución.

2.6.3.1. Invariancia bajo traslaciones

Si el sistema es invariante bajo traslaciones δxµ = δαµ, δΦ = 0, es decir,δs/δαµ = 0, entonces existe una corriente Noether cuya divergencia se anula:

Tµν ≡ (jν)µ = Lδ

µν −

∂L∂(∂µΦ)

∂νΦ, ∂µTµν = 0,

llamada tensor de energía-momento. Tµν no es en general simétrico. Cuando elsistema sea también invariante bajo transformaciones de Lorentz, podremos definirun tensor de energía-momento simétrico equivalente.

A partir de Tµν, podemos definir una cantidad conservada e invariante bajotraslaciones espaciotemporales

Pν =∫

ΣdσµTµν =

∫d3xT0ν,

que es el momento total del sistema. en la última igualdad hemos evaluado la inte-gral de superficie en el sistema de referencia en el que la normal a Σ es nµ = (1,~0).

Por último, nos queda demostrar que ∂µTµν = 0 si y solo si la lagrangiana nodepende explícitamente de las coordenadas, es decir, si y solo si ∂µL = 0, donde∂µ es la derivada parcial explícita. Para ello, escribamos

∂µTµν = ∂νL− ∂µ

(∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ

)=

∂L∂Φ

∂νΦ +∂L

∂(∂ρΦ)∂ν∂ρΦ + ∂νL+ ∂µ

(∂L

∂(∂µΦ)∂νΦ

).

El uso de las ecuaciones de movimiento implica directamente que

∂µTµν = ∂νL,

como queríamos demostrar.

2–36


notas edc (v. 1.0)


2.6.3.2. Invariancia Lorentz

Sea un sistema cuya acción es invariante bajo transformaciones de Lorentzδxµ = δω

µνxν. Entonces, existe una corriente de divergencia nula

Mµρσ ≡ (jρσ)µ = Lµ

ρσ + Sµρσ, ∂µMµ

ρσ = 0,

dondeLµ

ρσ = xρTµσ − xσTµ

ρ, Sµρσ = −i

∂L∂(∂µΦn)

(Sρσ)nmΦm

son las densidades de corriente de momento angular orbital y de espín, respectiva-mente.

Puede demostrarse, de manera análoga al caso de las traslaciones que Mµρσ

tiene divergencia nula si y solo si la acción es invariante Lorentz, puesto que sepuede ver que

12

δωρσ∂µMµρσ = δL.

Por último, el momento angular total

Mρσ =∫

ΣdσµMµ

ρσ =∫

d3xM0ρσ

es una cantidad conservada en la evolución, es decir, es independiente de la super-ficie de género espacio en la que se evalúe.

2.6.3.3. Invariancia Poincaré

Si la acción de un sistema es invariante Poincaré, entonces existe un tensor deenergía-momento simétrico de divergencia nula:

Tµν = Tµν + ∂ρ f ρµν, f ρµν =12(Sρµν + Sµνρ − Sνρµ).

Es fácil ver que, puesto que Sρµν es antisimétrico en sus dos últimos índices, f ρµν

es antisimétrico en sus dos primeros y, en consecuencia, las divergencias de Tµν yde Tµν son iguales: ∂µTµν = ∂µTµν = ∂νL. Por tanto, como el sistema es invariantebajo traslaciones, Tµν tiene divergencia nula. Para demostrar que es simétrico, bastacon calcular

Tµν − Tνµ = Tµν − Tνµ + ∂ρSρµν = ∂ρMρµν = 0.

Por otro lado, si definimos el tensor

Mµρσ = xρTµσ − xσTµρ,

notas edc (v. 1.0)


2–37


vemos que∂µMµρσ = ∂µMµρσ = 0.

Por último, es fácil ver∫Σ

dσµ(Tµν − Tµν) = 0,∫

Σdσµ(Mµρσ − Mµρσ) = 0

y, por tanto, las cantidades conservadas Pµ y Mµν obtenidas a partir de Tµν y Mµρσ

son las mismas que las obtenidas a partir de Tµν y Mµρσ.

2.6.3.4. Invariancia gauge abeliana

Para ilustrar las ideas fundamentales de la invariancia gauge, consideremos elcaso de un campo escalar complejo φ, que tiene dos componentes independientes:Φ1 = φ y Φ2 = φ∗. Ya discutimos que la acción debe ser real. Además, la faseglobal del campo φ no debe tener relevancia física y, en cualquier caso, es un hechoexperimental que la física no depende de la fase del campo φ. Por tanto, bajotransformaciones φ′(x) = eiqαφ(x), donde q es una constante, la acción debe serinvariante. Consideraremos acciones del tipo

S =∫

d4x[−1

2∂µφ∂µφ∗ −V(φ)

], (2.8)

donde la dependencia del potencial V(φ) en el campo es siempre a través de φφ∗.

La formulación infinitesimal de la transformación que cambia la fase de φ esδφ = δ0φ = iqδαφ, puesto que δxµ = 0. Bajo esta transformación, la variación de laacción es

δS =∫

d4x(−1

2∂µδφ∂µφ∗ − 1

2∂µφ∂µδφ∗ − ∂V

∂φδφ− ∂V

∂φ∗δφ∗

)=

∫d4x

(− iq

2δα∂µφ∂µφ∗ +

iq2

δα∂µφ∂µφ∗ − iqδα∂V∂φ

φ + iqδα∂V∂φ∗

φ∗)

= 0.

Por tanto, existe un corriente conservada

jµ =∂L

∂(∂µφ)δφ

δα+

∂L∂(∂µφ∗)

δφ∗

δα= − iq

2(φ∂µφ∗ − φ∗∂µφ),

cuya divergencia se anula: ∂µ jµ = 0.

Podemos definir una carga

Q =∫

σdσµ jµ =

∫d3xj0 =

iq2c

∫d3x(φ∂tφ

∗ − φ∗∂tφ),

cuya derivada temporal se anula, si usamos de las ecuaciones de movimiento.

2–38


notas edc (v. 1.0)


Ejercicio 2.6.2 Demostrar que esta carga gauge se conserva en la evolución.

La acción (2.8) es invariante bajo cambios constantes de la fase global del campoφ, como hemos visto. Sin embargo, cambios de la fase en regiones causalmenteinconexas no deberían afectar al resultado. En general, los fenómenos físicos nose ven afectados por cambios locales de la fase de los campos, es decir, que laacción debe ser invariante bajo transformaciones que cambien la fase en cada puntoφ′(x) = eiqα(x)φ(x), cuya versión infinitesimal es δφ(x) = δ0φ(x) = iqδα(x)φ(x) conδxµ = 0. Sin embargo, bajo estas transformaciones gauge, la variación de la acciónes

δS =∫

d4x(−1

2∂µδφ∂µφ∗ − 1

2∂µφ∂µδφ∗ − ∂V

∂φδφ− ∂V

∂φ∗δφ∗

)=

∫d4x

(− iq

2φ∂µδα∂µφ∗ +

iq2

φ∗∂µφ∂µδα

)= − iq

2

∫d4x∂µδα (φ∂µφ∗ − φ∗∂µφ) =

∫d4xjµ∂µδα 6= 0.

Para recuperar la invariancia gauge, introducimos un campo adicional Aµ mediantela sustitución de la derivada ∂µ por la derivada covariante

Dµ = ∂µ − iqAµ

y tal que la ley de transformación de Aµ sea δAµ(x) = ∂µδα(x) cuya versión finitaes A′µ(x) = Aµ(x) + ∂µα(x). En efecto, la acción queda

S =∫

d4x[−1

2Dµφ(Dµφ)∗ −V(φ)

]=

∫d4x

[−1

2∂µφ∂µφ∗ −V(φ)− jµ Aµ

],

cuya variación se anula y donde hemos modificado la densidad de corriente

jµ = − iq2

[φ(Dµφ)∗ − φ∗Dµφ]

para que sea invariante gauge. La aplicación del teorema de Noether no proporcio-na ninguna cantidad conservada adicional a la que ya teníamos (adecuadamentemodificada) como se puede comprobar fácilmente.

Ejercicio 2.6.3 Demostrar que la densidad de corriente así definida es invariantegauge y que no proporciona ninguna carga conservada adicional.

Mediante este procedimiento de acoplo mínimo hemos construido una acción in-variante gauge a cambio de introducir un campo vectorial adicional con una leyde transformación adecuada. Puesto que tenemos un campo nuevo, deberemos

notas edc (v. 1.0)


2–39


añadir a la acción el término cinético correspondiente a este campo, que para pre-servar la invariancia gauge, debe ser a su vez invariante gauge. Un término del tipo14

∫d4xFµνFµν con Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ puede desempeñar, obviamente, ese papel.

El campo electromagnético surge así como un campo reparador de la invarianciagauge, que asegura la invariancia de la acción bajo cambios de fase locales de loscampos cuando la acción ya es invariante bajo cambios de fase globales.

2.6.4. Formulación hamiltoniana

En esta sección, romperemos la covariancia explícita de la formulación, puestoque escogeremos un sistema de referencia con un tiempo dado. Entonces, defini-mos el momento canónico conjugado como

π =∂(cL)∂(∂tΦ)

y la densidad hamiltoniana como la obtenida mediante una transformación deLegendre sobre la densidad lagrangiana:

H = (π∂tΦ− cL)∂tΦ→π.

De esta definición es muy fácil ver que la componente temporal del tensor deenergía-momento es precisamente (salvo por un factor c) la densidad hamiltonianasi sustituimos el momento por su valor ∂L/∂(∂0Φ): T00 = H/c.

Dados los corchetes de Poisson a tiempos iguales

Φn(~x), πm(~y) = δnmδ3(~x−~y)

Φn(~x), Φm(~y) = 0,

πn(~x), πm(~y) = 0,

y el hamiltoniano

H =∫

d3xH(~x),

las ecuaciones de movimiento hamiltonianas son

∂tΦ = Φ, H, ∂tπ = π, H

y, en general, el corchete de Poisson de cualquier funcional de los campos conel hamiltoniano nos proporciona la evolución temporal de dicha cantidad. Estasecuaciones son enteramente equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

2–40


notas edc (v. 1.0)


Es interesante calcular el corchete de Poisson de los campos con el momen-to total Pµ y el momento angular total Mµν. Para ello, escribamos primero estascantidades conservadas en términos de las variables canónicas:

P0 =∫

d3xT00 =∫

d3xH/c = H/c,

Pi =∫

d3xT0i = −∫

d3x∂L

∂(∂0Φ)∂iΦ = −

∫d3xπ∂iΦ,

M0i =∫

d3x(x0T0i − xiT0

0 + S00i) = −x0Pi +

∫d3xxiH/c− i

∫d3xπS0iΦ,

Mij =∫

d3x(xiT0j − xjT0

i + S0ij) =

∫d3x(−xiπ∂jΦ + xjπ∂iΦ− iπSijΦ).

Entonces,

Φ(~x), P0 = Φ(~x), H/c = ∂0Φ

Φ(~x), Pi = −∫

d3yΦ(~x), π(~y)∂iΦ(~y) = −∂iΦ(~x),

Φ(~x), M0i = −x0∂iΦ(~x) + xi∂0Φ(~x)− iS0iΦ(~x),

Φ(~x), Mij = −xi∂jΦ(~x) + xj∂iΦ(~x)− iSijΦ(~x).

Por tanto, podemos concluir que

Popµ ≡ −i∂µ = i · , Pµ, Kop

i = i · , M0i, Mopi = i · , Mi

Por último, también es fácil ver (ejercicio) que

Pµ, H = Ki, H = Mi, H = 0,

es decir, que son cantidades conservadas.

notas edc (v. 1.0)


2–41

2.7. Ejercicios

2.7. Ejercicios

2.1 Comparar la energía disponible en una colisión frontal de dos partículas con lamisma masa m en las siguientes situaciones y compararlas:

a. Ambas se aceleran hasta obtener una energía E y chocan.

b. Solo una se acelera hasta obtener una energía 2E y choca con otra que está enreposo.

2.2 ¿Qué intervalo de tiempo en la Tierra duraría el viaje de ida y vuelta hasta Pró-xima Centauri que se halla a 4 años luz si se realiza a una velocidad v =

√0,9999c?

¿Cuánto duraría el viaje para los tripulantes? Explicar el resultado.

2.3 Una nave despega de la Tierra el 1 de enero de 2050 y viaja durante 5 añossegún el calendario de a bordo con una aceleración g también medida con losinstrumentos de a bordo. Luego desacelera al mismo ritmo durante otros 5 años,da media vuelta y regresa de idéntica manera. ¿Cual es la fecha de llegada en laTierra? ¿A qué distancia llegó la nave?

2.4 Se realizan las siguientes transformaciones sucesivas de cambio de referenciainercial:

1. Se pasa de S a S1 que se mueve con velocidad ~v1 = v1ex con respecto a S.

2. Se pasa de S1 a S2 que se mueve con velocidad ~v2 = v2ey con respecto a S1.

3. Se pasa de S2 a S′ que se mueve con una velocidad igual a la suma relativistade las velocidades −~v1 y −~v2.

Demostrar que S′ está en reposo con respecto a S pero está rotado un cierto ánguloalrededor de ez. Ésta es la llamada precesión de Thomas. Calcular el ángulo derotación.

2.5 Un fotón de energía ω incide sobre un electrón de masa m en reposo. Comoconsecuencia de la interacción entre ambos, el fotón sale desviado en una direcciónque forma un ángulo θ con la incidente. Demostrar que la energía del fotón salientees

ω′ =ω

1 +ω

mc2 (1− cos θ).

notas edc (v. 1.0)


2–43


2.6 Una partícula de masa m se desintegra en otras dos de masas m1 y m2. De-mostrar que la energía de la partícula 1 en el sistema de referencia solidario con lapartícula desintegrada es

E1 =m2 + m2

1 −m22

2mc2.

2.7 Determinar el movimiento relativista uniformemente acelerado, es decir, el mo-vimiento rectilíneo para el que la aceleración propia es constante.

2.8 Determinar las leyes de transformación de:

a. los elementos de volumen en el espacio de configuración, de momentos y defases;

b. las distribuciones de densidad de número de partículas en el espacio de con-figuración, de momentos y de fases.

2.9 Sea un sistema compuesto por partículas que decaen en pares de partículasidénticas y que se mueve con una cierta velocidad. Calcular la distribución energé-tica (número de partículas con una energía dada) de las partículas producidas enel sistema de laboratorio.

2.10 Demostrar que el operador de D’Alembert = ηµν∂µ∂ν es invariante bajotransformaciones de Lorentz. Teniendo en cuenta que Aµ = (φ/c, ~A) y jµ = (cρ,~j)son cuadrivectores, probar que la condición de gauge de Lorenz, la ecuación deonda y la de continuidad tienen la misma forma en todos los sistemas de referenciainerciales.

2.11 Una transformación de Lorentz infinitesimal y su inversa se pueden escribirde la siguiente forma:

x′µ = (δµν + δω

µν)xν, xµ = (δ

µν + δω

′µν)x′ν.

a. Demostrar que δω′µν = −δωµν.

b. Demostrar que δωµν = −δωνµ.

c. Demostrar que δωµν = iδζ i(Ki)

µν + iδθi(Li)

µν, donde Ki y Li son generadores

infinitesimales del grupo de Lorentz.

2.12 Demostrar que exp(i~ζ · ~K) = 11 + iζ · ~K sinh ζ − (ζ · ~K)2(cosh ζ − 1).

2–44


notas edc (v. 1.0)

2.7. Ejercicios

2.13 La partícula Λ es un barión neutro de masa mΛ = 1 115 MeV que decae conuna vida media de 2,9 · 10−10 s en un nucleón de masa 939 MeV y un pión de masa140 MeV. Se observó en vuelo por primera vez gracias a su modo de decaimientoΛ → p+ + π− en cámaras de burbujas. Las trayectorias de las partículas cargadassurgen de un único punto y tienen la forma de una V invertida. Se puede inferir lanaturaleza de las partículas producidas y sus momentos a partir de sus recorridosy de las curvaturas de las trayectorias en el campo magnético de la cámara deburbujas.

a. Demostrar que si se mide el ángulo inicial θ entre las dos trayectorias, la masade la partícula Λ puede obtenerse mediante la fórmula

m2Λ = m2

p + m2π + 2EpEπ − 2pp pπ cos θ,

donde pp, pπ son los módulos de los trimomentos de las dos partículas pro-ducidas y Ep, Eπ sus energías.

b. Supongamos que se produce una partícula Λ con una energía de 10 GeV. ¿Quédistancia viajará en promedio antes de decaer? ¿Cuál es el rango de posiblesvalores para el ángulo θ si el decaimiento es isótropo en el sistema propio?

2.14 Estudiar una partícula libre, cuya acción puede escribirse

S = −mc∫

d4x∫

dτ√−z(τ)2δ(x− z(τ)),

desde el punto de vista de campos relativistas.

2.15 Estudiar un campo escalar libre cuya acción es

S = −∫

d4x[

12(∂φ)2 + V(φ)

],

donde V(φ) es una función arbitraria de φ. Estudiar, en particular, el potencialV(φ) = µ2φ2/2.

2.16 Estudiar un campo complejo ψ escalar bajo rotaciones (tridimensionales) cuyalagrangiana es

L = − 2

2m~∇ψ∗~∇ψ +

i2

(ψ∗∂tψ− ψ∂tψ∗)−V(~x, t)ψ∗ψ,

donde V(~x, t) es una función real de las coordenadas y es una constante conunidades de acción.

notas edc (v. 1.0)


2–45


2.17 Estudiar un campo vectorial Uµ cuya lagrangiana es

L = −14

FµνFµν +12

µ2UµUµ,

donde Fµν = ∂µUν − ∂νUµ. Estudiar, en particular, el caso µ = 0.

2–46


notas edc (v. 1.0)

Tema 3

Partículas cargadas y camposelectromagnéticos

3.1. Partícula en un campo electromagnético3.1.1. Formulación lagrangiana3.1.2. Formulación canónica3.1.3. Campo electromagnético

3.1.3.1. Invariancia gauge3.1.3.2. Invariantes Lorentz

3.2. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético constante3.2.1. Campo eléctrico uniforme3.2.2. Campo eléctrico de Coulomb3.2.3. Campo magnético uniforme3.2.4. Campo electromagnético uniforme3.2.5. Invariantes adiabáticos

3.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes3.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante3.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constante y uniforme3.3.3. Precesión de Thomas

3.4. Dinámica del campo electromagnético3.4.1. Ecuaciones de Maxwell3.4.2. Leyes de conservación3.4.3. Formulación hamiltoniana3.4.4. Ecuación de onda3.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden

3.5. Ejercicios

notas edc (v. 1.0)


3–1

3.1. Partícula en un campo electromagnético


3.1.1. Formulación lagrangiana

Sea una partícula cargada. Consideremos la acción invariante Lorentz

S = −mc2∫

dτ + q∫

Aµuµdτ,

donde Aµ(xν) es un campo vectorial. Las ecuaciones de movimiento que obtenemosson

muµ = quν(∂µ Aν − ∂ν Aµ).

La razón para considerar esta acción es que proporciona las ecuaciones de movi-miento de una partícula cargada en un campo electromagnético si identificamosAµ con el potencial electromagnético vector:

mddt

(γvi) = q(c∂i A0 − ∂t Ai) + qvj(∂i Aj − ∂j Ai),

−mc2 dγ

dt= qvi(∂t Ai − c∂i A0).

En función de pµ = muµ = (Ec/c,~p), donde Ec es la energía cinética, puedenescribirse de la forma ya conocida,

d~pdt

= q(~E +~v× ~B),dEc

dt= q~v · ~E. (3.1)

La acción puede escribirse en términos de las cantidades no relativistas

S =∫ (

−mc2√

1−~v2/c2 + q~A ·~v− qφ)

dt. (3.2)

Otra forma alternativa de escribir la acción es

S = Sl + Sint =∫

d4x(Ll + Lint),

donde Sl es la acción de la partícula libre y Sint es la acción que proporcionala interacción entre la partícula y el campo electromagnético. La parte libre de ladensidad lagrangiana es

Ll(x) = −mc∫

dτ√−z(τ)2δ4(x− z(τ)

)= −mc

√1−~v2/c2δ3(~x−~z(t)

).

En la obtención del último miembro, hemos utilizado la siguiente relación entre lasdeltas de Dirac:

δ4(x− z(τ))

= δ3(~x−~z(τ))δ(ct− z0(τ)

)= δ3(~x−~z(t)

)δ(τ − τ

)/(cγ), (3.3)

notas edc (v. 1.0)


3–3

Tema 3. Partículas cargadas y campos electromagnéticos

donde τ es tal que ct = z0(τ). En términos de la densidad de masa, que tiene laforma µ(~x, t) = mδ3(~x−~z(t)

),

Ll(x) = −cµ(~x, t)√

1−~v2/c2 = −µc/γ.

Esta expresión es válida para una distribución puntual o continua de masa.

Análogamente, la parte de interacción se puede escribir como

Lint(x) = c−1 jµ(x)Aµ(x),

donde la densidad de corriente jµ(x) es [haciendo uso de la identidad (3.3)]

jµ(x) = qc∫

dτzµδ4(x− z(τ))

= qzµγ−1δ3(~x−~z(t))

= (qc, q~v)δ3(~x−~z(t)).

En términos de la densidad de carga ρ(~x, t) = qδ3(~x−~z(t)),

jµ = (cρ,~j), ~j = ρ~v

expresión válida para cualquier distribución de carga. También podemos definir ladensidad de corriente jµ como el vector jµ = ρuµ/γ. En esta definición, la presenciade γ es necesaria pues ρ/γ es invariante1 y uµ es un vector. Esta definición esequivalente a la ya dada: ρuµ/γ = (cρ/γ)(dxµ/dτ) = ρ(dxµ/dt) = (cρ,~j).

Ejercicio 3.1.1 Comprobar que esta densidad de corriente satisface la ecuación decontinuidad, ∂µ jµ = −∂tρ + ~∇ ·~j = 0.

El hecho de que la corriente jµ no tenga divergencia implica la invariancia gaugede la acción. La evolución de una partícula no depende del potencial Aµ sino desu derivada antisimetrizada, que no se ve afectada por transformaciones gauge delpotencial

A′µ = Aµ + ∂µα, δAµ = ∂µδα,

luego la evolución es invariante gauge. La acción también lo es. En efecto, bajotransformaciones gauge δS = −

∫d4x∂µ jµδα/c. Puesto que jµ es de divergencia

nula, esta variación se anula y jµ es la corriente Noether asociada. La cantidadconservada correspondiente es la carga eléctrica:

Q = c−1∫

d3xj0 =∫

d3xρ = q∫

d3xδ3(~x−~z(t))

= q.

1Puesto que 1 =∫

d3xδ3(~x) es un invariante Lorentz y γd3x también lo es (Problema 2.8),δ3(~x)/γ es invariante Lorentz y, consecuentemente, también lo es ρ/γ.

3–4


notas edc (v. 1.0)


3.1.2. Formulación canónica

La acción (3.2) puede fácilmente ponerse en forma canónica. El momento canó-nico es

~P =∂L∂~v

= mγ~v + q~A. (3.4)

El hamiltoniano es entonces [recordemos que ~v2 = (1− γ−2)c2]

H = ~v · ~P− L = γmc2 + qφ.

Calculando el cuadrado de mγ~v en la ecuación (3.4) obtenemos

(~P− q~A)2 = m2γ2v2 = m2c2(γ2 − 1)

y por tanto podemos escribir γ en función de ~P:

γ2 = (mc)−2(~P− q~A)2 + 1.

Sustituyendo esta expresión en el Hamiltoniano obtenemos finalmente

H =√

m2c4 + c2(~P− q~A)2 + qφ.

Equivalentemente, de la expresión relativista de la acción obtenemos

Pµ =∂L∂uµ = muµ + qAµ.

Las componentes espaciales proporcionan ~P obtenido anteriormente y

E = cP0 = mcu0 + qcA0 = mγc2 + qφ.

expresión que coincide (necesariamente) con la ya obtenida para el hamiltoniano.Cuando el potencial vector Aµ, que en la acción aparece como un campo externo,es independiente del tiempo, la energía total se conserva.

3.1.3. Campo electromagnético

A la vista de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada, podemosdefinir el tensor campo electromagnético de la siguiente manera:

Fµν ≡ ∂µ Aν − ∂ν Aµ, (3.5)

de manera que la ecuación de movimiento de Lorentz se puede escribir

muµ = quνFµν.

notas edc (v. 1.0)


3–5


La fuerza de Lorentz quνFµν es perpendicular a la velocidad ya que quνFµνuµ = 0.Esto era de esperar puesto que la aceleración es perpendicular a la velocidad y, portanto, cualquier fuerza cuadridimensional f µ satisface que f µuµ = muµuµ = 0.

El tensor campo electromagnético tiene las siguientes componentes:

Fµν =

0 −E1/c −E2/c −E3/c

E1/c 0 B3 −B2

E2/c −B3 0 B1

E3/c B2 −B1 0

.

De su definición (3.5), vemos directamente que

∂[µFνσ] = 0,

donde [µνσ] representan las permutaciones de los tres índices con su signo corres-pondiente o, equivalentemente,

εµνρσ∂νFρσ = 0. (3.6)

Es conveniente introducir el dual del campo electromagnético ∗Fµν = 12 εµνρσFρσ

cuyas componentes son

∗Fµν =

0 −B1 −B2 −B3

B1 0 −E3/c E2/cB2 E3/c 0 −E1/cB3 −E2/c −E1/c 0

,

es decir, se obtiene de Fµν mediante la transformación de dualidad ~E → c~B,~B → −~E/c. Además, los campos eléctrico y magnético son Ei = cF0i y Bi = ∗F0i.Debe notarse que ∗∗Fµν = −Fµν debido al carácter Lorentziano del espaciotiempo,que tiene signatura (−+ ++). Así, la ecuación (3.6) se puede escribir

∂µ∗Fµν = 0.

En términos de ~E y ~B, esta ecuación queda

~∇× ~E + ∂t~B = 0, ~∇ · ~B = 0,

que son las ecuaciones de Maxwell estructurales. Hemos visto así que estas ecua-ciones son covariantes Lorentz y que son ciertamente estructurales pues solo nosindican que el campo electromagnético se puede obtener a partir de un potencialcuadrivector Aµ.

3–6


notas edc (v. 1.0)


Ejercicio 3.1.2 Probar que los campos eléctrico y magnético se transforman de lasiguiente manera:

~E′ = γ(~E +~v× ~B)− γ2

γ + 1(~v · ~E)~v/c2,

~B′ = γ(~B−~v× ~E/c2)− γ2

γ + 1(~v · ~B)~v/c2

3.1.3.1. Invariancia gauge

Ya probamos en el Tema 1 que el campo electromagnético es invariante gauge.En la formulación relativista, tal demostración es inmediata por ser Fµν la derivadaantisimetrizada del potencial vector.

3.1.3.2. Invariantes Lorentz

Hemos visto que el campo electromagnético F es un tensor. Con él podemosconstruir dos cantidades que son invariantes bajo transformaciones de Lorentz:

14µ0

FµνFµν = −12(ε0~E2 − µ−1

0~B2), εµνρσFµνFρσ ∝ ~E · ~B. (3.7)

Se puede probar que estas son las únicas cantidades invariantes independientes.Construyamos el vector complejo ~F = ~E + ic~B. Esta cantidad es un vector ba-jo rotaciones de ángulo complejo. Los seis parámetros de estas rotaciones com-plejas corresponden a las tres rotaciones espaciales y a los tres boosts. Por tanto,~F2 = (~E2 − c2~B2) + 2ic~E · ~B es el único invariante bajo rotaciones complejas (rota-ciones más boosts) que se puede construir a partir de ~F y, por tanto, también lo sonsus partes real e imaginaria.

Nota: ~E · ~B es un pseudoescalar y, por tanto, no es invariante bajo todo el grupode Lorentz. Solo lo es bajo transformaciones propias. Esto no es sorprendente yaque, en su definición aparece el tensor de Levi-Civita. La cantidad (~E · ~B)2 sí esescalar bajo todo el grupo de Lorentz.

Ejercicio 3.1.3 Comprobar que la segunda cantidad es una derivada total, es decir,

εµνρσFµνFρσ ∝ ∂µ(εµνρσ Aν∂ρ Aσ).

notas edc (v. 1.0)


3–7


3.2. Movimiento de una partícula cargada en un campoelectromagnético constante

Los campos electromagnéticos constantes satisfacen, obviamente, que

∂0Aµ = 0, ∂0Fµν = 0, ∂t~E = ∂t~B = 0.

En esta sección, estudiaremos el movimiento de partículas cargadas en camposelectromagnéticos externos constantes, es decir, ignoraremos el campo electromag-nético creado por la propia partícula cargada en movimiento.

3.2.1. Campo eléctrico uniforme

Como ilustración del movimiento de una partícula cargada en un campo eléc-trico constante y uniforme, consideremos una partícula que parte de ~x(0) = 0 conuna velocidad inicial ~v0 perpendicular al campo eléctrico constante. Sin pérdida degeneralidad, podemos escoger el campo eléctrico en la dirección e1 y la velocidadinicial en la e2: ~E = E0e1, ~v0 = v0e2. Las ecuaciones de movimiento nos quedan:

dp1

dt= qE0,

dp2

dt= 0,

dp3

dt= 0,

dEc

dt= qv1E0.

La solución de estas ecuaciones se puede obtener de forma directa:

p1 = qE0t, p2 = p0 = mγ0v0, p3 = 0, Ec = qE0x1 + mγ0c2.

Teniendo en cuenta que ~p = mγ~v = Ec~v/c2 y que E2c = m2γ2

0c4 + q2E20t2c2, vemos

que

v1 =qE0t√

m2γ20 + q2E2

0t2/c2, v2 =

mγ0v0√m2γ2

0 + q2E20t2/c2

, v3 = 0.

Podemos integrar estas ecuaciones y obtener así ~x(t):

x1(t) =1

qE0

(√m2γ2

0c4 + q2E20t2c2 −mγ0c2

), x2(t) =

mγ0v0cqE0

arcsinhqE0tmγ0c

,

movimiento que tiene lugar en el plano x3 = 0. También podemos escribir la tra-yectoria en el plano eliminando la dependencia temporal:

x1 =mγ0c2

qE0

(cosh

qE0x2

mγ0v0− 1

),

que es la ecuación de una catenaria.

3–8


notas edc (v. 1.0)

3.2. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético constante

3.2.2. Campo eléctrico de Coulomb

Consideremos un campo eléctrico constante cuyo potencial es φ = α/r, dondeα es una constante. Las ecuaciones de movimiento son

d~pdt

= −q~∇φ,dEc

dt= q~v · ~E.

Esta segunda ecuación se puede integrar directamente para obtener una constantedel movimiento, la energía total de la partícula:

E =√

m2c4 +~p2c2 + qα/r.

El movimiento tiene lugar en el plano perpendicular al vector ~x ×~v, que es cons-tante. En efecto,

ddt

(~x×~v) = ~x× d~vdt

∝ ~x× d~pdt

∝ ~x× ~E = 0,

puesto que al ser ~E central, ~E = |~E|x. Por tanto, el vector ~b = ~x ×~v es constantey, además, ~x ·~b = 0, luego el movimiento se desarrolla en el plano perpendiculara ~b. Si utilizamos coordenadas polares (r, ϕ) en el plano de la órbita, podemosescribir ~p2 = p2

r + p2ϕ/r2. Puesto que φ solo depende de r, el momento angular pϕ

se conserva y

E =√

m2c4 + p2r c2 + p2

ϕc2/r2 + qα/r = H(~x,~p).

Para encontrar las trayectorias, utilizamos la ecuación de Hamilton-Jacobi. Setrata de encontrar una función S(~x, t) que satisfaga la ecuación

∂tS + H(~x, ~∇S) = 0.

La función S dependerá de tantas constantes de integración ai como variables.Entonces, las trayectorias clásicas satisfacen las ecuaciones

∂S/∂ai = constante.

A la vista de la expresión del hamiltoniano, la ecuación de Hamilton-Jacobi queda

(∂tS + qα/r)2 + c2(∂rS)2 + c2(∂ϕS)2/r2 + m2c4 = 0,

cuya solución se puede obtener mediante separación de variables:

S(r, ϕ, t) = At + Bϕ +∫

dr√

c−2(A + qα/r)2 − B2/r2 −m2c2 + C,

notas edc (v. 1.0)


3–9


Figura 3.1: Órbitas para distintos valores de los parámetros del sistema quecorresponden a movimientos acotados. Cada figura se acerca más al límite norelativista.

donde A, B y C son constantes de integración. Además, se satisfacen las relaciones~p = ~∇S, E = −∂tS y, en particular,

pϕ = ∂ϕS = B, E = −∂tS = −A,

que son constantes del movimiento como ya sabíamos. La constante aditiva C esirrelevante. Por otro lado, las derivadas de S con respecto a las otras dos constantesde integración que, como hemos visto, resultan ser la energía y el momento angular,son constantes (que se pueden identificar con los orígenes de tiempo y de ánguloy, por tanto, se pueden tomar como nulas) y estas ecuaciones nos dan la trayectoriaclásica. Consideremos la ecuación ∂S/∂pϕ = 0. Esta ecuación nos proporciona la

siguiente trayectoria (donde β =√|1− q2α2/(p2

ϕc2)|):

si cpϕ > |qα|, cpϕβ2/r =√

E2 −m2c4β2 cos(

βϕ)− Eqα/(pϕc);

si cpϕ < |qα|, cpϕβ2/r = −signo(α)√

E2 + m2c4β2 cosh(

βϕ)+ Eqα/(pϕc);

si cpϕ = |qα|, 2Eqα/r = E2 −m2c4 − ϕ2E2.

Centrémonos en el primer caso, que contiene el límite no relativista. Si la fuerza esatractiva, qα < 0, y la energía total es menor que la energía en reposo, entonces laconstante que acompaña al coseno es menor que la otra y, por tanto, el radio nuncase hace infinito: el movimiento es acotado. En el límite no relativista obtenemos unaelipse. Cuando las contribuciones relativistas no son pequeñas, el movimiento noes cerrado debido al factor β que acompaña al ángulo en el coseno, de forma quela órbita tiene una precesión. En la figura 3.1, vemos distintas órbitas para distintosvalores de los parámetros del sistema. Para energías mayores que la energía enreposo, el movimiento es no acotado (figura 3.2).

3–10


notas edc (v. 1.0)


Figura 3.2: Órbitas para distintos valores de los parámetros del sistema quecorresponden a movimientos no acotados. Cada figura se acerca más al límiteno relativista.

Figura 3.3: Órbita para valores de los parámetros del sistema que correspondena un movimiento espiral.

Cuando cpϕ ≤ |qα|, el movimiento es una espiral hacia el centro que terminaen tiempo finito (figura 3.3).

3.2.3. Campo magnético uniforme

Consideremos un campo magnético constante y uniforme. Las ecuaciones demovimiento son

d~pdt

= q~v× ~B,dEc

dt= 0.

notas edc (v. 1.0)


3–11


Puesto que Ec = γmc2 es constante, γ y v son constantes y, por tanto, la ecuaciónde movimiento para ~p se convierte en

d~vdt

= ~v× ~ωB, donde ~ωB = q~B/(mγ).

Esta ecuación puede reescribirse en términos de las componentes de la velocidadparalela v‖ωB y perpendicular ~v⊥ al campo magnético:

dv‖dt

= 0,d~v⊥dt

= ~v⊥ × ~ωB,

y su solución es v‖ = constante, ~v⊥ = ωBrB(e1 cos ωBt + e2 sen ωBt), donde e1 y e2

son dos vectores ortonormales que generan el plano perpendicular a ~B. El radiode giro rB se determina notando que el módulo de la velocidad y, por tanto, el dela componente transversal, se conserva, luego v⊥ = ωBrB o, lo que es lo mismo,p⊥ = qBrB. Si integramos la velocidad obtenemos

~x(t) = ~x0 + v‖tωB + rB(e1 sen ωBt− e2 cos ωBt),

que es una hélice caracterizada por el ángulo arctan(v‖/(ωBrB)

)entre el eje ~ωB y

la velocidad ~v. Obviamente, ~x y ~v⊥ satisfacen la relación ~v⊥ = ~x× ~ωB.

3.2.4. Campo electromagnético uniforme

Consideremos un campo electromagnético uniforme. Puesto que ~E · ~B es uninvariante Lorentz, si el campo eléctrico y el campo magnético son perpendicularesen un sistema inercial, lo serán en todos. En este caso, es fácil ver que, si |~E| < c|~B|,un boost con velocidad ~v1 = ~E× ~B/~B2 elimina el campo campo eléctrico dejandosolo un campo magnético perpendicular a ~v1:

~B′ = ~B/γ1 =√

1− ~E2/(c2~B2) ~B.


En este nuevo sistema de referencia, el campo magnético tiene la misma direcciónque el original pero es más débil y el movimiento es una espiral alrededor de ~B,como hemos visto en la sección anterior. En el sistema de referencia original, el mo-vimiento de la partícula será la composición de esta espiral con un desplazamientocon velocidad constante en la dirección de ~v1, que es perpendicular tanto al campomagnético como al eléctrico.

3–12


notas edc (v. 1.0)


Por tanto, si una partícula, entra en una región con un campo electromagnéticode estas características con velocidad ~v1, no sufrirá deflexión alguna, puesto quela fuerza de Lorentz se anula: la fuerza eléctrica se cancela exactamente con lamagnética. Esto nos permite utilizar estos campos cruzados para seleccionar laspartículas en función de su velocidad y obtener así haces de partículas con la mismavelocidad.

Si los campos son perpendiculares pero sus módulos satisfacen |~E| > c|~B|, unboost con velocidad ~v2 = c2~E× ~B/~E2 elimina el campo campo magnético dejandosolo un campo eléctrico perpendicular a ~v2:

~E′′ = ~E/γ2 =√

1− c2~B2/~E2 ~E.

En este nuevo sistema de referencia, el campo eléctrico tiene la misma direcciónque el original pero es más débil.

Por último, si los campos no son perpendiculares, coexistirán en todos los siste-mas inerciales puesto que ~E · ~B 6= 0 es invariante Lorentz y la resolución no es tansencilla.

3.2.5. Invariantes adiabáticos

Cuando las condiciones bajo las que se desarrolla el movimiento cambian lenta-mente comparadas con los periodos característicos, existen cantidades que perma-necen constantes. Son los invariantes adiabáticos2, que son las integrales de acción

Ja =∮

padqa,

donde pa y qa son la variables canónicas del sistema.

Consideremos el movimiento de una partícula en un campo magnético cuasiu-niforme y cuasiconstante, es decir, que cambia lentamente en el tiempo y en elespacio ~B(~x, t). Sea ~P⊥ la proyección del momento canónico en el plano perpen-dicular al campo magnético. Entonces, puesto que el movimiento en ese plano esperiódico (es una circunferencia de radio rB), la integral de acción definida sobreun periodo completo del movimiento

J =1

2π

∮~P⊥ · d~x⊥,

2Ver, por ejemplo, L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Mecánica, Reverté, 1978; I. Percival y D. Richards,Introduction to dynamics, Cambridge University Press, 1982

notas edc (v. 1.0)


3–13


es invariante como hemos visto. Teniendo en cuenta que ~P = ~p + q~A, la integral deacción la podemos escribir

J =1

2π

∮~p⊥ · d~x⊥ +

q2π

∮~A · d~x⊥.

La primera integral es igual a p⊥rB, puesto que ~v⊥ = d~x⊥/dt ∝ d~x⊥. Ademásp⊥ = qBrB, luego la primera integral es qBr2

B. El teorema de Stokes nos permitecalcular la segunda integral:

q2π

∫~B · nd2~x⊥ = −1

2qBr2

B,

donde n es el vector normal al plano orientado en sentido contrario a ~B ya que elmovimiento tiene lugar en sentido antihorario (mirado en la dirección de ~B). Así,concluimos que

J =12

qBr2B.

Es decir, las cantidades Br2B, p2

⊥/B son invariantes adiabáticos.

Como ejemplo, consideremos el caso en el que el campo magnético es constantepero ligeramente inhomogéneo. Hemos visto que p2

⊥/B = 2qJ es un invarian-te adiabático, de donde obtenemos la expresión p⊥ =

√2qJB. Además, el campo

magnético es constante, luego la energía de la partícula se conserva, es decir, ~p2 esconstante. Así, la componente paralela del momento satisface

p2‖ = ~p2 − p2

⊥ = ~p2 − 2qJB.

Si el campo es suficientemente intenso en alguna región (2qJB ≥ ~p2), la partículano podrá penetrar. Puesto que rB ∝ 1/

√B y p2

‖ = ~p2 − 2qJB, al aumentar B, elradio de la hélice disminuye (y la velocidad de avance de la hélice disminuye hastapararse). La partícula se refleja y manteniendo la dirección de giro vuelve haciaregiones de campo menor. En efecto, si suponemos que ~B = B(z)e3 + ~B⊥ donde ~B⊥es muy pequeño, p‖ p‖ = −qJv‖∂zB lo que implica que p‖ = −qJ∂zB/(mγ).

3.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes

3.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante

Consideremos una distribución de carga localizada alrededor del punto ~x ydefinida por una densidad ρ(~x +~r). La fuerza eléctrica sobre esta distribución decarga es

~F(~x) =∫

d3~rρ(~x +~r)~E(~x +~r).

3–14


notas edc (v. 1.0)


Expandimos el campo eléctrico en serie de potencias de~r:

~E(~x +~r) = ~E(~x) + (~r · ~∇)~E(~x) +O(r2),

de manera que la expresión de la fuerza queda

~F(~x) =∫

d3~rρ(~x +~r)~E(~x) +∫

d3~rρ(~x +~r)(~r · ~∇)~E(~x)

= q~E(~x) +∫

d3~x′ρ(~x′)[(~x′ −~x) · ~∇]~E(~x)

= q~E(~x)− q(~x · ~∇)~E(~x) + (~p · ~∇)~E(~x),

donde q =∫

d3~x′ρ(~x′) es la carga total del sistema y ~p =∫

d3~x′ρ(~x′)~x′ es el mo-mento dipolar del sistema medido en el sistema de referencia del laboratorio. Sitenemos una distribución discreta de cargas ρ(~x′) = ∑a qaδ3(~x′ − ~xa), entonces~p = ∑a qa~xa.

Podemos calcular también el lagrangiano de interacción que será

Lint(~x) = −∫

d3~x′ρ(~x′)φ(~x′) = −∫

d3~x′ρ(~x′)[φ(~x) + (~x′ −~x) · ~∇φ(~x)

= −qφ(~x) +~p · ~E(~x)− q~x · ~E(~x).

Por último, el momento de fuerza que actúa sobre la distribución será

~M(~x) =∫

d3~rρ(~x +~r)(~x +~r)× ~E(~x +~r)

=∫

d3~rρ(~x +~r)(~x +~r)× [~E(~x) + (~r · ~∇)~E(~x)]

=~p× ~E(~x) +∫

d3~rρ(~x +~r)~x× [(~r · ~∇)~E(~x)]

=~p× ~E(~x) +~x× [(~p · ~∇)~E(~x)]− q~x× (~x · ~∇)~E(~x),

donde hemos ignorado O(r2).

Conviene notar que si la distribución fuese una sola partícula en ~x, es decir,ρ(~x′) = qδ3(~x′ −~x), entonces~p = q~x y los resultados anteriores se reducen a

Lint(~x) = −qφ(~x), ~F(~x) = q~E(~x), ~M(~x) = q~x× ~E(~x),

como cabía esperar.

3.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constante y uni-forme

Sea una densidad de corriente estacionaria ~j(~x′) = ρ(~x′)~v′ localizada alrededorde un cierto punto ~x en un campo magnético uniforme y constante. Notemos que

notas edc (v. 1.0)


3–15


por ser el sistema estacionario ρ = 0. El promedio temporal de la fuerza que actúasobre esta distribución de corriente es

〈~F(~x)〉 = 〈∫

d3x′~j(~x′)〉 × ~B = 〈∫

d3~rρ(~x +~r)(~x +~r)〉 × ~B

= q〈~v〉 × B + 〈∫

d3~rρ(~x +~r)~r〉 × ~B.

Este último término se anula puesto que es el promedio de la derivada de una can-tidad que varía en un rango finito.3 Para que este resultado tenga validez, basta contomar el promedio en intervalos temporales suficientemente grandes comparadoscon los tiempos característicos del sistema. Por tanto, la fuerza sobre la distribuciónde carga es

〈~F(~x)〉 = q〈~v〉 × ~B.

El promedio del momento de fuerzas será

〈 ~M(~x)〉 = 〈∫

d3~x′ρ(~x′)~x′ × (~v′ × ~B)〉 = 〈∫

d3~x′ρ(~x′)[~v′(~x′ · ~B)− ~B(~v′ ·~x′)]〉

= 〈∫

d3~x′ρ(~x′)[~v′(~x′ · ~B)− 1

2ddt

(~B~x′2)]〉 = 〈

∫d3~x′ρ(~x′)~v′(~x′ · ~B)〉

Para reescribir este resultado convenientemente, notamos que [fórmula (F.1.2)]

~v′(~x′ · ~B) =12

ddt

[~x′(~x′ · ~B)] +12[~v′(~x′ · ~B)−~x′(~v′ · ~B)]

=12

ddt

[~x′(~x′ · ~B)] +12(~x′ ×~v′)× ~B.

El primer término no contribuye ya que al promediar se anula. Así,

〈 ~M(~x)〉 =12〈∫

d3x′ρ(~x′)(~x′ ×~v′)〉 × ~B = ~m× ~B,

donde ~m = 12〈

∫d3x′ρ(~x′)(~x′ ×~v′)〉 es el momento magnético del sistema. Para un

sistema de partículas, de masa ma y carga qa, ~m = 〈∑a qa~xa ×~va/2〉. Si todas laspartículas tienen la misma relación carga/masa y se mueven con velocidades norelativistas, entonces

~m =qa

2ma〈~L〉,

donde~L es el momento angular orbital del sistema. El momento angular intrínseco,el espín, también guarda una relación lineal con el momento magnético, pero nonecesariamente a través del factor qa/(2ma).

3Sea f (t) una función que toma valores en un rango finito de longitud ∆. Entonces, se verificaque |〈 f (t)〉| ≡ | lımT→∞

∫ T/2−T/2 dt f (t)/T| ≤ lımT→∞ ∆/T = 0.

3–16


notas edc (v. 1.0)


El lagrangiano de interacción

Lint(~x) =∫

d3~x′ρ(~x′)~v′ · ~A(~x′)

se puede calcular de forma análoga teniendo en cuenta que, si ~B es uniforme,~A(~x) = 1

2~B×~x, de forma que ~B = ~∇× ~A [fórmulas (F.2.5) y (F.1.4)]:

Lint(~x) =12

∫d3~x′ρ(~x′)~v′ · (~B×~x′) =

12

∫d3~x′ρ(~x′)~B · (~x′ ×~v′) = ~m · ~B.

Para terminar, si tenemos una sola partícula, ~m = 12 q~x×~v y estos resultados se

reducen a

~F(~x) = q〈~v〉 × ~B, ~M(~x) =12

q(~x×~v)× ~B, Lint(~x) =12

q(~x×~v) · ~B,

como era de esperar.

3.3.3. Precesión de Thomas

Sea un cuerpo cargado con un momento angular intrínseco ~s y un momentomagnético ~m = ζ~s. En un campo electromagnético, el momento angular de estecuerpo obedecerá la ecuación (en el sistema de referencia propio, obtenido me-diante boosts infinitesimales consecutivos)(

d~sdt

)prop

= ~m× ~B′, (3.8)

donde ~B′ es el campo magnético visto en el sistema de referencia propio. Sin em-bargo, vamos a ver que, desde el punto de vista del laboratorio, esta ecuación esincompleta pues el sistema de referencia propio está rotando.

Si en un instante t, el sistema propio tiene una velocidad ~v relativa al laboratorioy en el instante siguiente t + δt tiene una velocidad ~v + δ~v, la diferencia relativistade velocidades, es decir, la velocidad que tendrá el sistema en t + δt vista desde elsistema en t será ∆~v = γ2δv‖v + γδ~v⊥ como puede verse fácilmente haciendo usode la ley de transformación de velocidades.

Ejercicio 3.3.1 Demostrar esta afirmación.

Para relacionar los sistemas de referencia en los que el cuerpo que estamosestudiando está en reposo obtenidos mediante boosts del sistema de laboratorio,aplicamos un doble boost: el primero de velocidad −~v para pasar del sistema en el

notas edc (v. 1.0)


3–17


que el cuerpo está en reposo en el instante t al sistema de laboratorio y el segundode velocidad ~v + δ~v para pasar al sistema en el que el cuerpo está en reposo en elinstante t + δt. El resultado no es el sistema de referencia propio del cuerpo sinouno que está en reposo con respecto a éste pero rotado un ángulo (ver problema2.4)

δ~θ =γ2

(γ + 1)c2~v× δ~v.

Por tanto, el sistema de referencia propio rota con una velocidad angular ~ωt conrespecto al sistema de referencia en reposo fiduciario del sistema de laboratoriodeterminada por

~ωt = lımδt→0

−∆~θ

δt=

γ2

(γ + 1)c2~a×~v.

Si el cuerpo no está acelerado o su aceleración es solo tangencial, entonces el sis-tema propio no rota con respecto al del laboratorio. Este fenómeno es puramentecinemático y se debe a la no conmutatividad de las transformaciones de Lorentzen distintas direcciones.

La evolución del momento angular intrínseco en el sistema de referencia fidu-ciario del sistema del laboratorio y, por tanto, no rotante, será(

d~sdt

)no rot

=(

d~sdt

)prop

+ ~ωt ×~s = ~m× (~B′ − ~ωt/ζ),

es decir, el cuerpo ve un campo magnético efectivo ~B′ef = ~B′ − ~ωt/ζ.

3.4. Dinámica del campo electromagnético

Hasta ahora hemos considerado el campo electromagnético como un campoexterno en el que se mueven las partículas cargadas. Sin embargo, para poder estu-diar el sistema cerrado que contenga tanto a las partículas cargadas como al campoelectromagnético, debemos incluir la dinámica del campo electromagnético, es de-cir, debemos introducir un término cinético para Aµ en la acción. Así, podremosobtener las ecuaciones de evolución del campo electromagnético, las ecuaciones deMaxwell, como las ecuaciones de Euler-Lagrange obtenidas al exigir que la acciónsea extrema bajo variaciones del campo Aµ.

El término cinético debe contener a lo sumo dos derivadas del potencial vector,debe ser a lo sumo cuadrático en Aµ y debe ser invariante gauge y Lorentz. Elúnico invariante que satisface estas condiciones y que no es una derivada total es

3–18


notas edc (v. 1.0)


FµνFµν/(4µ0). En última instancia, proporciona las ecuaciones de Maxwell comoecuaciones de movimiento, como veremos.

Además del término cinético, podríamos considerar la adición de otros términosque proporcionasen masa al campo electromagnético, autointeracciones, etc. Puestoque estos términos, dan lugar a contribuciones que no están contempladas en lasecuaciones de Maxwell no los consideraremos aquí (ver problema 2.17).

Consideremos pues la acción

S = SL + Sint + Sem,

donde SL es la acción libre de un sistema cargado (partículas o campos),

Sint =1c

∫d4xjµ(x)Aµ(x)

es el término de interacción del sistema cargado con el campo electromagnético y,por último, Sem es la acción del campo electromagnético libre

Sem = − 14cµ0

∫d4xFµνFµν.

3.4.1. Ecuaciones de Maxwell

La derivada variacional de la acción total S con respecto a las variables de con-figuración del sistema cargado nos proporcionan las ecuaciones de movimiento dedicho sistema, como ya hemos visto, y producen, en general, un término de fuerzade la forma jνFµν.

Por otro lado, la derivada variacional de la acción con respecto a Aµ nos pro-porciona las ecuaciones de Maxwell. En efecto,

∂µ∂L

∂(∂µ Aν)= −(cµ0)−1∂µFµν,

∂L∂Aν

= c−1 jν,

y las ecuaciones del campo electromagnético son entonces

∂νFµν = µ0 jµ. (3.9)

Por ser Fµν antisimétrico, derivando esta ecuación obtenemos la ecuación de con-tinuidad: ∂ν jν = 0. Las componentes temporal y espaciales de esta ecuación sonprecisamente las ecuaciones de Maxwell con fuentes:

~∇ · ~E = ε−10 ρ, ~∇× ~B + c−2∂t~E = µ0~j.

Si bien es posible probar la covariancia de estas ecuaciones directamente, su obten-ción a partir de (3.9) la garantiza.

notas edc (v. 1.0)


3–19


Ejercicio 3.4.1 Probar la covariancia de las ecuaciones de Maxwell directamente.

Así, podemos reunir las ecuaciones (3.6) y (3.9) en el conjunto completo deecuaciones de Maxwell en su formulación relativista explícitamente covariante:

εµνρσ∂νFρσ = 0, ∂νFµν = µ0 jµ. (3.10)

3.4.2. Leyes de conservación

La energía de una partícula cargada en un campo electromagnético externo seconserva solo cuando el campo externo es independiente del tiempo. Análoga-mente, el momento de la partícula se conserva cuando Aµ es independiente dela posición espacial. Al introducir el campo electromagnético como una cantidaddinámica, veremos que la energía y el momento total del sistema partícula máscampo se conservan puesto que la lagrangiana no depende de la posición espacio-temporal explícitamente.

Comencemos con el tensor de energía momento de una partícula libre. Sabemosque el cuadrimomento pµ = muµ es una cantidad conservada. En términos de ladensidad de masa µ, podemos escribir pµ =

∫d3xµuµ. Puesto que queremos encon-

trar un tensor Tµνl tal que pµ =

∫d3xT0µ

l , un ansatz adecuado es Tµνl = µuµuν/(cγ).

En efecto, µ/γ es invariante luego µuµ/γ es un vector (que resulta ser la densidadde corriente de masa, análoga a la densidad de corriente de carga) y, por tanto, Tµν

l

es un tensor y T0µl = µuµ. Nos queda probar que Tµν

l tiene divergencia nula (enausencia de campos electromagnéticos):

∂µTµνl = ∂µ[µuµ/(cγ)]uν + µuµ∂µuν/(cγ) = µuν/(cγ).

El primer término se anula en virtud de la conservación de la masa. Así, para partí-culas libres, el tensor de energía-momento tiene divergencia nula. En presencia decampos electromagnéticos, la ecuación de movimiento µuµ = ρuνFµν, nos permiteescribir

∂µTµνl = jµFνµ/c.

Calculemos ahora el tensor de energía-momento del campo electromagnético.Puesto que la acción es invariante Poincaré, podemos escoger este tensor simétrico.Como ya vimos, la expresión para este tensor es

Tµνem = Lemηµν − ∂Lem

∂(∂µ Aρ)∂ν Aρ + ∂ρ f ρµν,

3–20


notas edc (v. 1.0)


donde

f ρµν =12(Sρµν + Sµνρ − Sνρµ), Sρ

µν = −i∂Lem

∂(∂ρ Aσ)(Sµν)σλ Aλ

y (Sµν)σλ = −iδσ[µδλ

ν] es el operador de espín para campos de espín 1.

Haciendo todos estos cálculos, obtenemos la siguiente expresión para el tensorde energía-momento simétrico del campo electromagnético:

Tµνem = − 1

cµ0

(Fµ

λFλν +14

ηµνFρσFρσ

),

cuya divergencia es (haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell)

∂µTµνem = −Fνρ jρ/c.

Ejercicio 3.4.2 Obtener estas expresiones para el tensor de energía-momento delcampo electromagnético y su divergencia.

Para campos electromagnéticos libres, esta divergencia se anula. En presencia departículas cargadas, esta divergencia no se anula pero sí lo hace la del tensor deenergía momento total del sistema Tµν = Tµν

l + Tµνem.

Escribamos ahora las componentes del tensor de energía-momento en términosde los campos eléctrico y magnético:

T00em

=12c

(ε0~E2 + µ−10

~B2) = u/c, T0iem

=1

c2µ0(~E× ~B)i = Si/c2,

Tijem = −1

c(ε0EiEj + µ−1

0 BiBj) +12c

(ε0~E2 + µ−10

~B2)ηij = −Tijm/c.

Así, la componente 00 es la densidad de energía del campo electromagnético, lacomponentes 0i constituyen el vector de Poynting y las componentes ij son el tensorde tensiones de Maxwell.

La divergencia nula del tensor de energía-momento total nos proporciona lasecuaciones de conservación de la densidad de energía y de momento.

Comencemos con la densidad de energía.

∂µTµ0l = µu0/(cγ) = ∂tEc/c2 − γ∂tµ,

donde Ec = µγc2 es la densidad de energía cinética y el segundo término representala pérdida de densidad de masa. Por otro lado,

∂µTµ0em = ∂tu/c2 + ~∇ · ~S/c2,

notas edc (v. 1.0)


3–21


de manera que0 = c2∂µTµ0 = ∂tEc − γc2∂tµ + ∂tu + ~∇ · ~S. (3.11)

La densidad de momento total también se conserva.

c∂µTµil = µui/γ = µ∂t(γvi) = ∂t(µγvi)− γvi∂tµ

Por otro lado,c∂µTµi

em = ∂tSi/c− ∂jTjim,

de manera que

0 = c∂µTµi = ∂t(µγvi)− γvi∂tµ + ∂tSi/c2 − ∂jTjim. (3.12)

Podemos integrar las ecuaciones (3.11) y (3.12) en una región espacial que con-tenga a todas las partículas involucradas. Entonces obtenemos

dEc

dt+

dUdt

+∫

~S · d~s = 0,dpi

dt+

dΠi

dt−

∫Tij

mdsj = 0,

donde U y Πi es la energía y el momento del campo electromagnético contenido enel volumen que estamos estudiando y Ec y pi son la energía cinética y el momentototal de las partículas contenidas en ese volumen.

3.4.3. Formulación hamiltoniana

Comencemos por calcular el momento canónico conjugado al potencial electro-magnético:

πi = c∂L

∂(∂t Ai)= c

∂Lem

∂(∂t Ai)=

1cµ0

F0i = −ε0Ei = ε0(∂t Ai + ∂iφ),

π0 = c∂L

∂(∂t A0)= c

∂Lem

∂(∂t A0)= 0.

La densidad hamiltoniana electromagnética podemos entonces escribirla como

Hem = πi∂t Ai − cLem = µ0~π2 − ~π · ~∇φ− 1

2[ε0~E2 − µ−1

0 (~∇× ~A)2].

Escribiendo ~E = µ0~π e integrado el segundo término por partes obtenemos

Hem =1

2ε0~π2 +

12µ0

(~∇× ~A)2 + φ~∇ · ~π.

3–22


notas edc (v. 1.0)


Por tanto, la densidad hamiltoniana total del sistema será

H =√

µ2c4 + c2(~P − ρ~A)2 +1

2ε0~π2 +

12µ0

(~∇× ~A)2 + φ(ρ + ~∇ · ~π),

donde µ es la densidad de masa, ρ es la densidad de carga y ~P es la densidad demomento de la partícula.

Es importante notar que el potencial escalar φ es una variable canónica cuyomomento canónico se anula, es decir, que no tiene dinámica. El potencial escalares, por tanto, un multiplicador de Lagrange que está forzando la ligadura

~∇ · ~π = −ρ =⇒ ~∇ · E = ε−10 ρ.

En la formulación canónica de la electrodinámica, la ley de Gauss se obtiene comouna ligadura y, en el lenguaje de las simetrías, la expresión G = −ρ− ~∇ · ~π es elgenerador de las transformaciones gauge:

Ai(x),∫

d3yδα(y)G(y)

= −∫

d3yδα(y)∂y,jAi(x), π j(y) = −∫

d3yδα(y)∂iyδ3(x− y)

=∫

d3yδ3(x− y)∂iyδα(y) = ∂iδα(x) = δAi.

3.4.4. Ecuación de onda

Las ecuaciones de Maxwell ∂νFµν = µ0 jµ se pueden escribir en términos delpotencial, simplemente introduciendo la definición de Fµν:

Aµ − ∂µ(∂ν Aν) = −µ0 jµ.

En el gauge de Lorenz, ∂ν Aν = 0 y la ecuación de onda queda

Aµ = −µ0 jµ.

La resolución de esta ecuación fue llevado a cabo en el Tema 1 en términos defunciones de Green. Repetimos aquí el resultado. La función de Green retardadaG+(xµ, x′ν) es una solución de la ecuación

G(x, x′) = −δ4(x− x′),

que se puede escribir como

G±(x, x′) =θ[±(x0 − x′0)]δ(x′0 − x′0±)

4π|~x′ −~x| ,

notas edc (v. 1.0)


3–23


donde x′0± = x0 ∓ |~x′ − ~x| es el tiempo retardado (+) o avanzado (−) y la fun-ción de Heaviside la hemos introducido por conveniencia, puesto que no aportainformación nueva.

Podemos escribir las funciones de Green avanzada y retardada en una formaexplícitamente invariante Lorentz. Para ello, notemos que

δ[(x′ − x)2] = δ[(x′0 − x0)2 − |~x−~x′|2]

=1

2|~x−~x′|[δ(x′0 − x0 − |~x−~x′|) + δ(x′0 − x0 + |~x−~x′|)

]=

12|~x−~x′|

[δ(x′0 − x′0+) + δ(x′0 − x′0−)

].

Si multiplicamos esta expresión por θ[±(x0− x′0)], solo uno de los términos sobre-vive en cada caso. Por tanto,

G±(x, x′) =1

2πθ[±(x0 − x′0)]δ[(x′ − x)2].

El factor δ[(x′ − x)2] es invariante Lorentz. La función θ[±(x0 − x′0)] no lo es porsí sola. Sin embargo, multiplicada por la delta sí lo es. Para probarlo, basta condemostrar que si z0 ≡ x0 − x′0 es positivo en un sistema de referencia lo es entodos. Bajo un boost de velocidad v en la dirección e1, z0 se transforma en

z′0 = Λ00z0 + Λ0

1z1 = γ(z0 − vz1/c).

La función delta fuerza que z sea de género luz, es decir, que

z1 = ±√

(z0)2 − (z2)2 − (z3)2.

Por tanto,

z0z′0 = γ

[(z0)2 ± |v/c|z0

√(z0)2 − (z2)2 − (z3)2

]≥ γ(z0)2(1− |v/c|) = 1/

√1 + |v/c| > 0,

es decir, z0 y z′0 tienen siempre el mismo signo.

Entonces, la solución de la ecuación de onda para un campo electromagnéticogenerado por una fuente es

Aµ(x) = µ0

∫d4x′ jµ(x′)G+(x, x′) = µ0

∫d3~x′

jµ(~x′, x′0+)4π|~x−~x′| .

3–24


notas edc (v. 1.0)


Existen otras soluciones de la ecuación de onda que son de interés en física. Lasolución retardada más general es de la forma

Aµ(x) = Aµin(x) + µ0

∫d4x′ jµ(x′)G+(x, x′),

donde Aµin(x) es una solución de la ecuación homogénea. La aparición del propa-

gador retardado asegura que en t → −∞, cuando no actúa la fuente, solo existe elcampo Aµ

in(x). La solución avanzada más general es de la forma

Aµ(x) = Aµout(x) + µ0

∫d4x′ jµ(x′)G−(x, x′),

donde Aµout(x) es una solución de la ecuación homogénea. La aparición del propa-

gador avanzado asegura que en t → +∞, cuando no actúa la fuente, solo existe elcampo Aµ

out(x). Así, la diferencia entre los campos asintóticos de salida Aµout(x) y

de entrada Aµin(x) es:

Aµout(x)− Aµ

in(x) = µ0

∫d4x′ jµ(x′)G(x, x′),

donde G(x, x′) = G+(x, x′)− G−(x, x′).

3.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden

Como aplicación, calculemos el lagrangiano de dos partículas cargadas en in-teracción teniendo en cuenta las correcciones relativistas hasta segundo orden.

El lagrangiano completo para las dos partículas a y b será

L = −mac2√

1− v2a/c2 −mbc2

√1− v2

b/c2 + qa~va · ~Ab(~xa, t)− qaφb(~xa, t),

donde Aµb (~xa, t) es el potencial electromagnético generado por la partícula b en la

posición ~xa de la partícula a.

Si las velocidades son pequeñas, expandimos en serie hasta términos de ordenO(v2/c2) incluidos. El término cinético para cada una de las partículas (dondehemos suprimido el término constante correspondiente a las energías en reposo)queda

12

mav2a +

18

mav4a/c2 +O(1/c4),

y el potencial vector

Aµb (~xa, t) = µ0

∫d3~x′

jµb (~x′, t′+)

4π|~xa −~x′|

=µ0

4π

∫d3~x′

[jµ(~x′, t)|~xa −~x′| −

1c

∂t jµ(~x′, t) +1

2c2 ∂2t jµ(~x′, t)|~xa −~x′|

]+O(µ0/c3).

notas edc (v. 1.0)


3–25


En esta expresión,~rab = ~xa−~xb y, dado que las velocidades de las partículas son pe-queñas, hemos expandido jµ(~x′, t′+), con t′+ = t− |~x−~x′|/c, en potencias de 1/c. Elpotencial escalar hasta orden cero, es decir, ignorando términos de orden O(µ0/c)(el mismo de la expansión que hemos hecho puesto de j0 = cρ y A0 = φ/c), es

φb(~xa, t) =µ0c2

4π

qbrab

+µ0

8πqb∂2

t rab +O(µ0/c).

El potencial vector, también hasta orden O(µ0/c), que es menor el de la expansiónoriginal pero suficiente puesto que en total es el mismo que el de φ, queda

~Ab(~xa, t) =µ0

4π

qb~vbrab

+O(µ0/c).

Realicemos ahora una transformación gauge

φ′b = φb − ∂tαb, ~A′b = ~Ab + ~∇aαb, αb =µ0

8πqb∂trab.

Los nuevos potenciales son [teniendo en cuenta que µ0 = 1/(c2ε0) y la fórmula(F.4.6)]

φ′b(~xa, t) =1

4πε0

qbrab

+O(1/c), ~A′b(~xa, t) =qb

4πε0c2

(~va

rab+

12

∂trab

)+O(1/c3).

Para evaluar ∂trab, debemos notar que ~xa es fijo, puesto que es el punto en el queestamos evaluando el campo. Por tanto, la única dependencia temporal es a travésde ~xb. Así,

∂trab = ∂t(~rab/rab) =−~vb + (~vb · rab)rab

raby el potencial vector queda

~A′b(~xa, t) =1

8πε0c2qbrab

[~vb + (~vb · rab)rab

]+O(1/c3).

Podemos ya escribir el lagrangiano para dos partículas incluyendo hasta el se-gundo orden en v/c:

L =12

mav2a +

12

mbv2b −

14πε0

qaqbrab

+18

mav4a/c2 +

18

mbv4b/c2 +

18πε0c2

qaqbrab

[~va ·~vb + (~va · rab)(~vb · rab)

].

Tras definir los momentos canónicos hasta segundo orden en v/c y realizar latransformación de Legendre correspondiente, obtenemos el hamiltoniano

H =p2

a2ma

+p2

b2mb

+1

4πε0

qaqbrab

− p4a

8m3ac2 −

p4b

8m3bc2

− 18πε0c2

qaqbmambrab

[~pa · ~pb + (~pa · rab)(~pb · rab)

].

3–26


notas edc (v. 1.0)


También podemos estudiar este problema en el centro de inercia. En este sistemade referencia, el momento total se anula, luego ~p ≡ ~pa = −~pb y ~r ≡ ~rab son lasnuevas coordenadas canónicas y, por tanto,

Hci =12

(1

ma+

1mb

)p2 +

14πε0

qaqbr

− 18c2

(1

m3a

+1

m3b

)p4 +

18πε0c2

qaqbmambr

[p2 + (~p · r)2].

notas edc (v. 1.0)


3–27

3.5. Ejercicios

3.5. Ejercicios

3.1 Encontrar la trayectoria de una partícula en un campo electromagnético cons-tante y uniforme tal que el campo eléctrico y el magnético son paralelos.

3.2 Determinar la frecuencia de vibración de un oscilador cargado en un campomagnético constante en el límite no relativista.

3.3 Determinar el movimiento de una carga en un campo electromagnético cons-tante y uniforme con el campo eléctrico y magnético perpendiculares e iguales enmagnitud (|~E| = c|~B|).

3.4 Determinar la velocidad del sistema de referencia en el que el campo eléctricoy el magnético son paralelos.

3.5 Sea un cierto sistema de referencia en el que hay un campo eléctrico y otromagnético que forman un ángulo θ y tales que su intensidad es |~B| = 2|~E|/c.

a. Determinar la velocidad relativa del sistema en el que ambos campos sonparalelos.

b. Describir los campos en ese sistema en los casos θ → 0 y θ = π/2.

3.6 ¿Es posible tener un campo electromagnético que sea puramente eléctrico en uninercial y puramente magnético en otro? ¿Qué deben cumplir los campos eléctricoy magnético para que exista un inercial sin campo eléctrico?

3.7 Un cable cargado de longitud infinita y sección despreciable se mueve convelocidad uniforme en dirección paralela al mismo.

a. Hallar los campos eléctrico y magnético en el sistema de referencia del cabley en el sistema de referencia del laboratorio.

b. Hallar las densidades de carga y de corriente del cable en ambos sistema dereferencia.

c. Calcular los campos eléctrico y magnético en el sistema de referencia dellaboratorio partiendo del resultado del apartado anterior y comparar con losobtenidos en el apartado a.

3.8 En el sistema de referencia propio SRI’ de un medio conductor, la densidad decorriente satisface la ley de Ohm~j′ = σ~E′.

notas edc (v. 1.0)


3–29


a. Teniendo en cuenta que pueden existir corrientes de convección además delas de conducción, demostrar que la generalización covariante de la ley deOhm

jµ + uν jνuµ/c2 = σFµνuν,

donde uµ es la velocidad del medio.

b. Demostrar que, si el medio tiene velocidad ~v con respecto a algún inercial,entonces la densidad de corriente en ese inercial es

~j = γσ[~E +~v× ~B−~v(~v · ~E)

]+ ρ~v,

donde ρ es la densidad de carga en ese inercial.

c. Si el medio es neutro en su sistema en reposo, ¿cuál es la densidad de cargay de corriente en el sistema de referencia del apartado anterior?

3.9 Determinar el centro de inercia de un sistema de partículas cargadas en inter-acción (hasta segundo orden).

3.10 El campo magnético terrestre puede representarse por un dipolo magnéticode momento M = 8,1 · 1025 gauss·cm3 orientado hacia el sur. Consideremos elmovimiento de electrones energéticos en las proximidades de la Tierra (cinturónde electrones de Van Allen).

a. Probar que la ecuación de las líneas de campo es r = r0 sen2 θ, donde θ esel ángulo polar, y calcular la magnitud del campo magnético a lo largo decualquier línea de fuerza como función del ángulo polar.

b. Una partícula con carga positiva gira alrededor de una línea de fuerza enplano ecuatorial con radio de giro a y distancia media al centro de la TierraR, donde a R. Probar que el azimut de la partícula cambia linealmente conel tiempo (aproximadamente) de acuerdo con la fórmula

φ = φ0 −32

(aR

)2

ωB(t− t0),

donde ωB es la frecuencia de sincrotrón a la distancia R.

c. Si, además de este movimiento circular, la partícula tiene una pequeña com-ponente de la velocidad paralela a las líneas de campo, demostrar que oscilaalrededor del plano ecuatorial con frecuencia

Ω =3√2

aR

ωB.

Calcular el cambio en la longitud por cada ciclo de oscilación en latitud.

3–30


notas edc (v. 1.0)

3.5. Ejercicios

d. Calcular cuánto tiempo le cuesta a un electrón que se halla a 3 · 107 m daruna vuelta a la Tierra y cuánto le cuesta hacer una oscilación en latitud si laenergía del electrón es 10 Mev. Ídem si tiene una energía de 10 keV.

3.11 Una partícula con espín cargada se mueve con velocidad no relativista en uncampo electrostático central. Calcular la energía de interacción del espín con elcampo eléctrico en el orden más bajo no nulo, teniendo en cuenta la precesión deThomas.

3.12 Una densidad lagrangiana para el campo electromagnético es

L = − 12cµ0

∂µ Aν∂µ Aν +1c

jµ(x)Aµ(x).

a. Encontrar las ecuaciones de movimiento y decidir en qué condiciones coinci-den con las ecuaciones de Maxwell.

b. Demostrar que bajo ciertas condiciones esta densidad lagrangiana se diferen-cia de la estándar en una divergencia. ¿Afecta esta divergencia a la acción y/oa las ecuaciones de movimiento?

3.13 Consideremos las ecuaciones de Maxwell en vacío.

a. Demostrar que Fµν = 0.

b. ¿Qué condición debe satisfacer kµ para que la onda plana fµνeikρxρsea solución

de esta ecuacion?

c. Sean dos sistemas inerciales con velocidad relativa ~v. Demostrar que la ley detransformación para las frecuencias es

ω′ = γω[1− (v/c) cos θ],

donde θ es el ángulo formado por~k y ~v. Si θ′ es el ángulo formado por~k′ y ~v,demostrar que

tan θ′ =sen θ

γ(cos θ − v/c).

3.14 ¿Es admisible la condición de fijación de gauge Aµ Aµ = 0? Si lo es, ¿cuál es elgauge residual?

3.15 Hallar la fuerza que ejerce una onda electromagnética plana sobre una paredconductora perfecta. Ídem si la pared perfectamente absorbente.

notas edc (v. 1.0)


3–31


3.16 Sean dos planos paralelos con densidades superficiales de carga iguales enmódulo y de signos opuestos. Uno de ellos se mueve paralelamente a sí mismo yel otro se aleja en la dirección perpendicular a ambos planos. Analizar las fuerzasque actúan sobre las cargas de ambos planos y discutir el resultado a la luz de laley de conservación del momento lineal.

3.17 Considerar la densidad lagrangiana de Proca

Lp = − 14cµ0

FµνFµν +1c

jµ(x)Aµ(x) +1

2cµ0m2Aµ Aµ.

a. Encontrar las ecuaciones de movimiento e interpretar el último término. ¿Quées m y en qué unidades está medido?

b. ¿Cómo afecta este término a la invariancia gauge?

c. Calcular el tensor de energía-momento y escribir las ecuaciones de conserva-ción.

3–32


notas edc (v. 1.0)

Tema 4

Radiación electromagnética

4.1. Radiación por cargas en movimiento4.1.1. Campo generado por una partícula cargada4.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada

4.1.2.1. Partícula no relativista4.1.2.2. Partícula relativista4.1.2.3. Los campos no radiativos

4.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia radiada4.2. Reacción de la radiación

4.2.1. Estimación de los efectos radiativos4.2.2. Fuerza de reacción radiativa4.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa

4.3. Radiación multipolar4.3.1. Radiación dipolar eléctrica4.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica4.3.3. Intensidad de radiación multipolar

4.4. Ejercicios

notas edc (v. 1.0)


4–1

4.1. Radiación por cargas en movimiento


4.1.1. Campo generado por una partícula cargada

Comenzaremos por calcular el potencial electromagnético generado por unapartícula cargada que se mueve a lo largo de una trayectoria rµ(τ) dada. Podemosescribir la densidad de corriente para esta partícula

jµ(x′) = qc∫

dτuµ(τ)δ4[x′ − r(τ)].

Por otro lado, el potencial electromagnético generado por una densidad de corrien-te es

Aµ(x) =µ0

2π

∫d4x′ jµ(~x′)θ(x0 − x′0)δ[(x′ − x)2].

Combinando ambas expresiones obtenemos

Aµ(x) =qµ0c2π

∫dτuµ(τ)

∫d4x′θ(x0 − x′0)δ[(x′ − x)2]δ4[x′ − r(τ)]

=qµ0c2π

∫dτuµ(τ)θ[R0(τ)]δ[R(τ)2], (4.1)

donde R ≡ Rµ(τ) = xµ − rµ(τ). Para calcular la integral sobre el tiempo pro-pio τ, notemos que la función delta solo da contribución en aquellos τ0 para losque Rµ(τ0) está sobre el cono de luz, es decir, R(τ0)2 = 0 lo que implica queR0(τ0) = ±|~R(τ0)|. Además, la función paso garantiza que solo contribuye el tiem-po retardado R0(τ0) > 0, es decir, x0 > r0(τ0), lo que nos obliga a considerar solola solución con signo positivo. Por tanto,

θ[R0(τ)]δ[R(τ)]2] =1

2|Rµuµ|δ(τ − τ0).

Así, el potencial electromagnético queda

Aµ(x) =µ0c4π

quµ

|Rµuµ|

∣∣∣∣τ0

, (4.2)

donde τ0 está determinado por la condición de tiempo retardado

R0(τ0) = |~R(τ0)|, es decir, x0 − r0(τ0) = |~x−~r(τ0)|.

Definiendo t′+ ≡ r0(τ0)/c, la condición de tiempo retardado se traduce en evaluartodas las dependencias temporales en el tiempo retardado t′+, solución de la ecua-ción t′+ = t− |~R(t′+)|1. En este tema, por sencillez en la notación, eliminaremos elsubíndice “+” del tiempo retardado, que denotaremos simplemente por t′.

1Conviene notar que, estrictamente, el argumento de ~R es τ0 tal que ct′+ = r0(τ0).

notas edc (v. 1.0)


4–3

Tema 4. Radiación electromagnética

También podemos escribir este potencial en forma no covariante. Para ello, note-mos que el denominador es

|Rµuµ|ret = γc| − R0 +~v · ~R/c|∣∣ret = γcR(1−~v · R/c)

∣∣ret,

donde R = |~R|, R = ~R/R es el vector unitario en la dirección de ~R y “ret” indicaque estamos evaluando la expresión en τ0 o en el tiempo retardado t′ (es decir,sustituyendo la dependencia en t por t′), según el contexto. Entonces,

φ(~x, t) =1

4πε0

qR(1−~v · R/c)

∣∣∣∣ret

, ~A(~x, t) =µ0

4π

q~vR(1−~v · R/c)

∣∣∣∣ret

.

De la expresión (4.2) para el potencial electromagnético, podemos obtener di-rectamente el campo electromagnético Fµν mediante diferenciación. Sin embargo,es más sencillo derivar la expresión (4.1). Comencemos por evaluar ∂ν Aµ.

∂ν Aµ =qµ0c2π

∫dτuµ∂ν

[θ(R0)δ(R2)

]=

qµ0c2π

∫dτuµ

[δ0

νδ(R0)δ(R2) + θ(R0)∂νδ(R2)].

Para calcular el segundo término, notemos que

∂νδ(R2) = ∂νR2 ddR2 δ(R2) = ∂νR2 d

dτδ(R2)

(dR2

dτ

)−1

,

de manera que

∂νδ(R2) = − Rν

Rρuρ

ddτ

δ(R2).

Si introducimos este término en la expresión para ∂ν Aµ e integramos por partes,obtenemos

∂ν Aµ =qµ0c2π

∫dτ

[(uµδ0

ν +u0uµRν

Rρuρ

)δ(R0) + θ(R0)

ddτ

(uµRν

Rρuρ

)]δ(R2)

El primer término solo contribuye en ~R = 0. Nosotros consideraremos puntosque no están en la trayectoria de la partícula ~x 6= ~r(τ), es decir, puntos tales que~R(τ) 6= 0. Por tanto, el primer término no da ninguna contribución. El segundotiene la misma forma que la expresión (4.1) si reemplazamos la velocidad por elfactor con la derivada y, para obtener el resultado deseado, basta con hacer estasustitución en la fórmula (4.2). Así, el tensor campo electromagnético fuera de latrayectoria de la partícula es

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ =µ0c4π

qRσuσ

ddτ

(Rµuν − Rνuµ

Rρuρ

)∣∣∣∣ret

.

4–4


notas edc (v. 1.0)


Vemos que el campo electromagnético depende tanto de la velocidad de la par-tícula como de su aceleración. Esta dependencia queda explícita si desarrollamosla derivada con respecto al tiempo propio. Entonces, en términos de la velocidaduµ = rµ y de la aceleración bµ = uµ, el campo electromagnético adquiere la forma

Fµν = Fvelµν + Frad

µν ,

donde

Fvelµν = − 1

4πε0

cq(Rρuρ)3 (Rµuν − Rνuµ)

∣∣∣∣ret

,

Fradµν =

q4πε0c

1(Rρuρ)3

[RσRµ(uσbν − uνbσ)− (µ ↔ ν)

]∣∣∣∣ret

.

En estas expresiones, vemos que la parte que solo depende de la velocidad Fvelµν

decae con la distancia como 1/R2 y es, por tanto, de corto alcance comparada conla parte que depende de la aceleración Frad

µν puesto que esta última decae como1/R. Es el llamado campo de radiación.

Teniendo en cuenta que, como ya vimos en el tema 2,

bµ = (γ4~v ·~a/c, γ4(~v ·~a)~v/c2 + γ2~a),

el campo eléctrico y el campo magnético quedan

~E(~x, t) =q

4πε0

1(1−~v · R/c)3

[R−~v/c

γ2R2 +R× [(R−~v/c)×~a]

c2R

]∣∣∣∣ret

, (4.3a)

~B(~x, t) = R(t′)× ~E(~x, t)/c. (4.3b)

El primer término del campo eléctrico es el campo que depende solo de la velo-cidad ~Evel y, en el límite v/c → 0, es el campo de Coulomb. El segundo término,que depende de la aceleración, es el campo de radiación ~Erad. Si nuestro punto deobservación está colocado a gran distancia de la carga que genera el campo, soloveremos el campo de radiación, puesto que el que depende de la velocidad decaecon el cuadrado de la distancia. Entonces, en esta zona lejana, el campo electro-magnético está determinado por ~Erad. Además, veremos en la sección 4.1.2.3 que eltérmino que depende solo de la velocidad no contribuye a la energía emitida porla partícula.

4.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada

El vector de Poynting correspondiente al campo de radiación determina el flujode energía

~S =1µ0

~Erad × ~Brad =1

µ0c~Erad × [R(t′)× ~Erad] =

1µ0c

~E2radR(t′).

notas edc (v. 1.0)


4–5


Por tanto, la potencia radiada en la unidad de superficie d~s = R(t′)2R(t′)dΩ será

dP = (~S · R)R2dΩ =1

µ0c~E2

radR2dΩ,

de donde obtenemos la distribución angular de potencia

dPdΩ

=1

µ0c~E2

radR(t′)2dΩ.

Sustituyendo la expresión del campo eléctrico en la zona de radiación, dado por elsegundo término de la ecuación (4.3a), obtenemos

dPdΩ

=q2

16π2ε0c3R× [(R−~v/c)×~a]2

(1−~v · R/c)6

∣∣∣∣ret

. (4.4)

Esta expresión nos proporciona la distribución angular de energía radiada por uni-dad de tiempo de observación t. Sin embargo, la cantidad relevante es la distribu-ción angular de energía por unidad de tiempo de la partícula, es decir, de tiemporetardado t′, de manera que la energía total radiada W esté dada por la integralsobre t′. La relación entre ambas potencias P = dW/dt (en tiempo de observación)y P′ = dW/dt′ (en tiempo retardado) se obtiene mediante la relación de ambostiempos

t = t′ + |~R(t′)|/c, dt = [1−~v(t′) · R(t′)/c]dt′,

de forma que

P′ =dWdt′

=dtdt′

dWdt

= (1−~v · R)/c|retP.

Así, la distribución angular de potencia en tiempo retardado adquiere la expresión

dP′

dΩ=

q2

16π2ε0c3R× [(R−~v/c)×~a]2

(1−~v · R/c)5

∣∣∣∣ret

. (4.5)

4.1.2.1. Partícula no relativista

Supongamos que la velocidad de la carga que genera el campo es pequeña o, enotras palabras, la observamos desde un inercial en el que su velocidad es pequeña.Entonces, si nos quedamos con el orden más bajo en v/c de la expresión anterior,la potencia radiada por unidad de ángulo sólido adquiere la forma

dP′ =q2

16π2ε0c3 |R× (R×~a)|2∣∣retdΩ.

4–6


notas edc (v. 1.0)


~aφθ

Figura 4.1: Diagrama de radiación (distribución angular de potencia) emitida poruna partícula cargada no relativista. La figura, que tiene simetría de revoluciónalrededor de la aceleración, muestra el diagrama en un plano que contiene a ésta.

Si elegimos el sistema de coordenadas de forma que el eje ez coincida con la acele-ración, la potencia radiada en el elemento de ángulo sólido se puede escribir

dP′ =q2

16π2ε0c3 a2 sen2 θ∣∣retdΩ,

donde θ es el ángulo polar, es decir el ángulo que forma la dirección de observacióncon la aceleración. Así, la máxima cantidad de radiación se obtiene en la direcciónperpendicular a la aceleración, sea cual sea la dirección de la velocidad (pequeña),como se muestra en la figura 4.1.

La potencia total radiada se obtiene integrando sobre todo el ángulo sólido yresulta así la fórmula de Larmor para una partícula cargada acelerada no relativis-ta:

P′ =q2a2

6πε0c3

∣∣∣∣ret

. (4.6)

4.1.2.2. Partícula relativista

La fórmula de Larmor (4.6) es estrictamente válida en el sistema de referen-cia en el que la partícula está en reposo. Para encontrar la potencia radiada encualquier otro sistema de referencia (es decir, para cargas con velocidades arbitra-rias), debemos notar que la potencia es la derivada temporal de la energía, quees la componente temporal de un cuadrivector cΠµ. Las componentes espacialesde este cuadrivector son precisamente el momento del campo electromagnético

notas edc (v. 1.0)


4–7


~Π =∫

d3x~S/c2. Puesto que en el inercial en el que la partícula está en reposo,~v = 0, ~Erad y, por tanto, ~S y ~Π son independientes del tiempo. Además, en estesistema de referencia, la cuadriaceleración es bµ = (0,~a), es decir, a2 = bνbν. Así,

dΠ0 =q2

6πε0c4 b2∣∣retdt′, dΠi = 0,

que, en forma covariante válida en cualquier sistema de referencia inercial, queda

dΠµ =q2

6πε0c5 b2dxµ∣∣ret.

Si escribimos el cuadrado de la cuadriaceleración en términos de la aceleración yvelocidad tridimensionales,

b2 = −γ8(~v ·~a)2/c2 + [γ4(~v ·~a)~v/c2 + γ2~a]2

= γ6[a2 + (~v ·~a)2/c2 − v2a2/c2] = γ6[a2 − (~v×~a)2/c2],

la potencia en un inercial arbitrario queda

P′ =cdΠ0

dt′=

q2

6πε0c3 γ6[a2 − (~v×~a)2/c2]∣∣ret. (4.7)

Si llamamos α al ángulo entre la velocidad y la aceleración, vemos que la potenciaP′0 emitida cuando la velocidad y la aceleración son paralelas es

P′0 =q2

6πε0c3 γ6a2∣∣ret

y que ésta es la máxima potencia, es decir, que

P′α/P′0 = [1− (v2/c2) sen2 α]ret ≤ 1.

El caso más desfavorable se obtiene cuando la velocidad y la aceleración son per-pendiculares, en cuyo caso

P′π/2 = γ−2P′0.

En general, la distribución angular de la potencia depende de la dirección re-lativa entre la velocidad y la aceleración. Hemos visto que, para velocidades norelativistas, tal dependencia desaparece y la potencia se emite en la dirección per-pendicular a la aceleración y en ambos sentidos. En el caso ultrarrelativista, la situa-ción es completamente diferente, como veremos a continuación. Para ello, elegimosun parámetro que sea pequeño en este límite para poder hacer una expansión enserie. Puesto que γ−1 =

√1− v2/c2 → 0 cuando v → c, escogeremos γ−1 1

4–8


notas edc (v. 1.0)


como parámetro de expansión. Elegimos el sistema de coordenadas de forma quela velocidad coincida con el eje ez, de forma que el ángulo polar θ sea también elángulo que forma la dirección de observación con la velocidad. El numerador de ladistribución angular de potencia, dada por la ecuación (4.4), dependerá de los de-talles de la trayectoria de la partícula, pero permanecerá dentro de un rango finito.El denominador, sin embargo, es una potencia de

1−~v · R/c = 1− (v/c) cos θ = 1−√

1− γ−2 cos θ ∼ 1− cos θ +O(γ−2).

Así, la máxima potencia de radiación ocurrirá aproximadamente en aquellas di-recciones de observación para las que esta cantidad sea mínima (salvo términosO(γ−2)), es decir, para ángulos θmáx de la dirección de observación con la veloci-dad tal que

cos θmáx ∼ 1 +O(γ−2), θmáx ∼ O(γ−1).

En esta dirección, 1 − ~v · R/c ∼ O(γ−2). Además, debido a que esta cantidadaparece elevada a la quinta potencia, la radiación en las demás direcciones estáfuertemente suprimida. Por tanto, la casi totalidad de la radiación tiene lugar ala largo de las generatrices de un cono muy agudo de ángulo aproximadamenteigual a γ−1, es decir, prácticamente en la dirección y sentido del movimiento de lapartícula.

Como ilustración, podemos calcular la distribución en el caso en el que la velo-cidad y la aceleración son paralelas (ver figura 4.2). Entonces,

dP′

dΩ=

q2

16π2ε0c3|R× (R×~a)|2

(1−~v · R/c)5

∣∣∣∣ret

=q2a2

16π2ε0c3sen2 θ

[1− (v/c) cos θ]5

∣∣∣∣ret

. (4.8)

El máximo de esta distribución se obtiene para

cos θmáx =√

1 + 15v2/c2 − 13v/c

.

Para velocidades no relativistas v c, recuperamos los resultados de la sec-ción 4.1.2.1. Para velocidades relativistas, v/c ∼ 1− γ−2/2, de forma que

cos θmáx ∼ 1− 18

γ−2, θmáx ∼1

2γ

y la potencia emitida en esta dirección es

dP′

dΩ

∣∣∣∣máx, v . c

∼ γ2 dP′

dΩ

∣∣∣∣máx, v c

notas edc (v. 1.0)


4–9


~a‖~vφ

θmáx =1

2γv cv . c

Figura 4.2: Diagrama de radiación emitida por una partícula cargada que se mue-ve con aceleración paralela a la velocidad en los casos de velocidad no relativistay ultrarrelativista. La figura, que tiene simetría de revolución alrededor de la ve-locidad, muestra el diagrama en un plano que contiene a ésta. La figura no está aescala.

Para estimar la frecuencia máxima de la radiación emitida por una partículacargada ultrarrelativista, hagamos uso del siguiente argumento cualitativo. Sea a⊥la componente de la aceleración perpendicular a la velocidad. Entonces, la veloci-dad angular de la partícula será, aproximadamente, a⊥/v. Puesto que la partículaemite en una apertura angular γ−1, nos irradiará durante un tiempo γ−1v/a⊥. Elfrente del pulso viajará durante ese tiempo una distancia γ−1vc/a⊥. Por otro la-do, la parte trasera del pulso estará en la posición de la partícula en ese instanteγ−1v2/a⊥. El tamaño del pulso será pues la diferencia de ambas cantidades

∆λ ∼ vcγa⊥

(1− vc) ∼ vc

2γ3a⊥.

Por tanto, la frecuencia máxima será

ω ∼ c2∆λ

∼ a⊥v

γ3.

4.1.2.3. Los campos no radiativos

Es el momento de demostrar que el primer término de la expresión (4.3a) nocontribuye a la potencia radiada, quedando como única contribución la de los cam-pos de radiación. En el sistema de referencia en el que la partícula acelerada estáinstantáneamente en reposo, el campo electromagnético creado por la misma tiene

4–10


notas edc (v. 1.0)


la forma~E = |~Evel|R + ~Erad, ~B = R× ~Erad/c.

Por tanto, la componente del vector de Poynting en la dirección de observación es

~S · R =1µ0

(~E× ~B) · R =1

µ0c[(|~Evel|R + ~Erad)× (R× ~Erad)] · R =

1µ0

~E2rad,

de forma que la potencia radiada solo depende de los campos de radiación y estádada por la fórmula de Larmor. La potencia total radiada en un sistema en el quela partícula no esté en reposo es la ya obtenida en la sección anterior (ecuación 4.7)y que sea nula en ausencia de aceleración, es decir, también es independiente delos campos de velocidad.

4.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia radiada

Si definimos

~A(Ω, t) = qR× [(R−~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)3

∣∣∣∣ret

= 4πε0c2R(t′)~Erad(~x, t),

integramos la distribución angular de potencia (4.4) sobre todo el tiempo e intro-ducimos la constante ζ2 = 1/(16π2ε0c3), obtenemos la distribución angular deenergía radiada

dWdΩ

= ζ2∫| ~A(Ω, t)|2dt.

En lugar de utilizar la dependencia temporal, nos interesamos por la distribu-ción espectral. Para ello, introducimos la transformada de Fourier de ~A(Ω, t) (quedenominaremos con el mismo símbolo):

~A(Ω, ω) =1√2π

∫ ∞

−∞~A(Ω, t)eiωtdt, ~A(Ω, t) =

1√2π

∫ ∞

−∞~A(Ω, ω)e−iωtdω.

Es interesante notar que, puesto que ~A(Ω, t) es real, ~A∗(Ω, ω) = ~A(Ω,−ω). En-tonces, la distribución angular de la energía radiada se puede escribir

dWdΩ

= ζ2∫ ∞

−∞| ~A(Ω, ω)|2dω = 2ζ2

∫ ∞

0| ~A(Ω, ω)|2dω =

∫ ∞

0

d2WdΩdω

dω,

donde hemos definido la distribución angular y espectral de la energía de radiacióncomo

d2WdΩdω

= 2ζ2| ~A(Ω, ω)|2.

notas edc (v. 1.0)


4–11


La amplitud ~A(Ω, ω) nos permite calcular esta distribución de intensidad:

~A(Ω, ω) =q√2π

∫ ∞

−∞eiωt R× [(R−~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)3

∣∣∣∣ret

dt,

donde debemos notar la evaluación en el tiempo retardado t′. El cambio de variablede integración de t a t′ = t − R(t′), tal que dt = dt′(1 − ~v · R/c)), nos permiteescribir esta integral de la siguiente forma:

~A(Ω, ω) =q√2π

∫ ∞

−∞eiω[t′+R(t′)/c] R× [(R−~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)2

∣∣∣∣t′

dt′.

Por otro lado, si suponemos que el punto de observación está muy alejado de lazona en la que se halla la carga acelerada,

R = |~x−~r| = |~x| − R ·~r +O(r2).

Además, el vector R es aproximadamente constante puesto que estamos suponien-do que la extensión de la zona en la que se mueve la partícula es mucho menorque la distancia de observación (conviene notar que, aunque R apunte aproximada-mente en la misma dirección, puede variar rápidamente de forma que su derivadano se anule). Así,

~A(Ω, ω) =q√2π

eiω|~x|∫ ∞

−∞eiω[t′−R·~r(t′)/c] R× [(R−~v/c)×~a]

(1−~v · R/c)2

∣∣∣∣t′

dt′.

La distribución de intensidad solo depende del módulo de esta expresión y, portanto, el factor de fase global eiω|~x| es irrelevante.

Es posible obtener otra expresión para la amplitud ~A(Ω, ω) que involucra solola trayectoria~r(t) y la velocidad ~v(t) de la partícula cargada. Para ello, escribimos

R× [(R−~v/c)×~a](1−~v · R/c)2

=ddt

R× (R×~v)1− R ·~v/c

.

Ejercicio 4.1.1 Comprobar esta igualdad.

Una integración por partes nos proporciona el resultado (salvo fase global) para laamplitud

~A(Ω, ω) =qω√2π

lımε→0

∫ ∞

−∞eiω[t′−R·~r(t′)/c]−ε|t′|R× [R×~v(t′)]dt′.

4–12


notas edc (v. 1.0)

4.2. Reacción de la radiación

En esta expresión, hemos añadido un factor de convergencia e−ε|t| que garantiza lavalidez de esta expresión teniendo en cuenta que para tiempos grandes la velocidades constante (duración finita de la aceleración).

Si tenemos una densidad de carga en vez de una sola partícula, la amplitudespectral y angular ~A(Ω, ω) se puede escribir

~A(Ω, ω) =ω√2π

lımε→0

∫ ∞

−∞dt′

∫d3~r eiω[t′−R·~r/c]−ε|t′|R× [R×~j(~r, t′)].

Para obtener esta expresión, basta con reemplazar en la expresión anterior

q~v(t′)e−iωR·~r(t′)/c −→∫

d3~r ~j(~r, t′)e−iωR·~r/c,

como es fácil comprobar.

Ejercicio 4.1.2 Realizar esta comprobación.


4.2.1. Estimación de los efectos radiativos

Los efectos de la radiación se pueden ignorar en ciertas condiciones, que estándefinidas por el régimen en el que la energía radiada es notablemente menor quela energía característica del sistema, aunque tendrá efectos acumulativos. Supon-gamos que una partícula no relativista está sometida a una fuerza que produceuna aceleración a durante un tiempo T. De la fórmula de Larmor (4.6), podemosobtener la energía total radiada en ese tiempo T:

Erad ∼q2a2T6πε0c3 = ma2ξT,

donde hemos definido el tiempo característico electromagnético de la partículacomo ξ = q2/(6πε0mc3). Nótese que esta relación también se puede escribir comouna comparación entre la energía en reposo y la electromagnética a una distanciacξ, puesto que podemos escribirla de la forma mc2 = q2/(6πε0cξ).

Supongamos que una partícula en reposo se acelera durante un tiempo finito T.La energía característica del sistema será su energía cinética Ec ∼ ma2T2. Entonces,los efectos de la radiación serán despreciables si Erad Ec, lo que implica queT ξ, es decir, para tiempos de actuación de la aceleración mucho mayores que eltiempo característico electromagnético de la partícula.

notas edc (v. 1.0)


4–13


Si la partícula cargada sigue un movimiento periódico, el tiempo de aceleraciónT será el periodo y la aceleración a ∼ r/T2 donde r es la amplitud del movimiento.La energía característica de la partícula será su energía de oscilación E ∼ mr2/T2,por lo que la radiación será despreciable (Erad E) cuando T ξ, es decir,para oscilaciones cuyo periodo sea mucho mayor que el tiempo característico de lapartícula.

4.2.2. Fuerza de reacción radiativa

Si ignoramos la radiación, una partícula no relativista obedece la ecuación deNewton

m~v = ~Fext,

donde ~Fext es una fuerza externa que actúa sobre la partícula cargada y que esresponsable en primera instancia de la aceleración de la partícula. Debido a estaaceleración, la partícula emitirá radiación con una potencia determinada por lafórmula de Larmor (4.6)

P = mξ~v2.

Esta pérdida de energía estará producida por una fuerza ~Frad que debemos añadira la ecuación de Newton. Esta fuerza debe anularse cuando no haya aceleración ydebe ser proporcional a ξ, por ser el único parámetro relevante que aparece en lapotencia radiada. Además, el trabajo realizado por esta fuerza debe compensar laenergía emitida y, por tanto,

1t

∫ t

0dt (~Frad ·~v + mξ~v · ~v) = 0.

Podemos reescribir esta ecuación como1t

∫ t

0dt (~Frad ·~v−mξ~v ·~v) = −1

tmξ(~v ·~v)

∣∣t0.

Tanto si el movimiento es periódico (con periodo T) como si la fuerza externa ac-túa solo durante un cierto tiempo T, el miembro de la derecha es del orden de laenergía radiada durante el tiempo T y no se acumula. Podemos, por tanto, igno-rarlo para grandes tiempos t. Así, es posible elegir la fuerza de reacción radiativaque da cuenta aproximada y en promedio temporal de los efectos de la emisión deradiación

~Frad = mξ~v,

y que es proporcional a la segunda derivada de la velocidad. La ecuación de movi-miento (ecuación de Abraham-Lorentz) queda entonces

m(~v− ξ~v) = ~Fext.

4–14


notas edc (v. 1.0)


Esta ecuación debe ser tratada con especial cuidado puesto que tiene solucionesautoalimentadas inaceptables. En efecto, si, por ejemplo, la fuerza externa no estápresente, esta ecuación admite la solución ~v = ~v0 +~aξet/ξ que crece sin límite nimotivo. Se puede obtener una ecuación alternativa que no presenta estos problemasnotando que

mξ~v = ξ~Fext = ξ[∂t~Fext + (~v · ~∇)~Fext],

de forma que la ecuación de movimiento que incluye la reacción radiativa se puedeescribir

m~v = ~Fext + ξ[∂t~Fext + (~v · ~∇)~Fext].

Esta ecuación está libre de soluciones inaceptables.

4.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa

Para dar una descripción más adecuada de la reacción de la radiación generadapor un cuerpo sobre él mismo, es necesario contemplar la propia estructura delcuerpo. En definitiva, queremos encontrar una ecuación de la forma “M~v = ~Fext” apartir de la ecuación “m~v = ~Fext + ~Frad”, con un tratamiento adecuado del términode radiación.

Aunque no lo haremos en este curso, puede probarse que un cuerpo no relati-vista de masa desnuda m0 y densidad de carga ρ(~x) sometido a una fuerza externasatisface la ecuación de movimiento espectral

−iωM(ω)~v(ω) = ~Fext(ω),

donde ~v(ω) y ~Fext(ω) son las transformadas de Fourier de la velocidad y la fuerzaexterna, respectivamente, y

M(ω) = m0 +1

6πε0c3

∫d3~x d3~x′ρ(~x)ρ(~x′)

eiωR/c

R,

con ~R = ~x−~x′, es la masa espectral efectiva del cuerpo. La solución de la ecuaciónde movimiento queda entonces completamente determinada una vez conocida lafunción M(ω).

Definamos ahora el factor de forma f (~k) de la distribución de carga medianteuna representación espectral de la distribución espacial de carga:

ρ(~x) =q

(2π)3

∫d3~k f (~k)ei~k·~x.

notas edc (v. 1.0)


4–15


Mediante una integración directa (añadiendo a ω una pequeña parte imaginariapositiva), obtenemos la expresión de M(ω) en términos del factor de forma:

M(ω) = m0 +q2

12π3ε0c2

∫d3~k

| f (~k)|2k2 −ω2/c2 ,

La masa física del cuerpo (incluyendo la autointeracción) es m = M(0). En efecto,la ecuación de evolución se convierte en la ecuación de Newton para un cuerpode masa M(0) más correcciones si sustituimos M(ω) por su expansión en serie depotencias de ω. La expresión de la masa física es entonces

m = m0 +q2

12π3ε0c2

∫d3~k

| f (~k)|2k2 (4.9)

y la masa efectiva espectral queda en términos de la masa física

M(ω) = m +q2ω2

12π3ε0c4

∫d3~k

| f (~k)|2k2(k2 −ω2/c2)

. (4.10)

La solución de la ecuación de movimiento queda entonces completamente deter-minada una vez conocida la función M(ω).

Es necesario hacer algunos comentarios sobre esta solución a la ecuación demovimiento para un cuerpo cargado:

1. La contribución de la autointeracción a la masa física (ecuación 4.9) es diver-ge para partículas puntuales f (~k) = 1. La contribución de la integral de laecuación (4.10) a la masa efectiva espectral, sin embargo, es finita.

2. La masa física es la suma de la masa desnuda m0 y la energía de autointerac-ción que diverge. Por tanto, para obtener un resultado finito la masa desnudatambién debe ser infinita m0 = −∞. En realidad, este parámetro no es obser-vable porque, la partícula siempre aparecerá vestida por su autointeracciónelectromagnética, que no se puede ignorar. m0 no es un buen parámetro demasa.

3. Para una partícula puntual, se recupera la fuerza de Abraham-Lorentz, quepresenta soluciones que crecen sin límite. Para factores de forma correspon-dientes a cuerpos con un tamaño mayor que cξ, la ecuación del movimientono presenta ninguna anomalía ni posee soluciones inaceptables.

4. El resultado relativista difiere en pequeños factores numéricos de la aproxi-mación no relativista.

4–16


notas edc (v. 1.0)

4.3. Radiación multipolar


Los potenciales electromagnéticos son soluciones de la ecuación de onda y, portanto, tienen la forma

Aµ(~x, t) =µ0

4π

∫d3~x′

jµ(~x′, t′)|~x−~x′| ,

donde t′ = t − |~x − ~x′|/c es el tiempo retardado. Para grandes distancias de lafuente, |~x − ~x′| ∼ |~x| − ~x′ · x. Si expandimos los potenciales electromagnéticos enpotencias de ~x′ · x y nos quedamos con los órdenes más bajos, obtenemos

Aµ(~x, t) =µ0

4π

1|~x|

∫d3~x′ jµ(~x′, t′)

y t′ = t − |~x|/c + ~x′ · x/c. Podemos calcular la transformada de Fourier de estospotenciales:

Aµ(~x, ω) =µ0

4π

1|~x|

1√2π

∫d3~x′

∫dt jµ(~x′, t′)eiωt.

Cambiamos la variable de integración de t a t′ de manera que

Aµ(~x, ω) =µ0

4π

1|~x|

1√2π

∫d3~x′

∫dt′ jµ(~x′, t′)eiωt′ei~k·~x−i~k·~x′ ,

donde~k = ωx/c. Así,

Aµ(~x, ω) =µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ jµ(~x′, ω)e−i~k·~x′ .

Puesto que la integral es independiente del punto de observación, vemos que pararegiones suficientemente alejadas de la fuente, el campo electromagnético en unregión suficientemente pequeña puede ser considerado como una onda plana. Paraello, no solo necesitamos que |~x′| |~x|, sino que debemos introducir la longitudde onda en la comparación: ~k · ~x 1. Esta es la llamada zona lejana, zona deradiación o zona de onda.

Al tratarse de ondas planas, los campos eléctrico y magnético (sus transforma-das de Fourier) están relacionados mediante la expresión

k · ~E = 0, k · ~B = 0, ~E = c~B× k,

como ya vimos en el tema 1. En efecto, tal relación se obtiene de la ecuación deMaxwell ~∇× ~E + ∂t~B = 0 y de que, en vacío (como es el caso en la zona lejana),~∇ · ~E = ~∇ · ~B = 0. Además, puesto que ~B = ~∇× ~A, solo nos hace falta el potencial

notas edc (v. 1.0)


4–17


vector y no el escalar para determinar el campo electromagnético en la zona lejana.Para cada componente de Fourier,

~B = ~∇× ~A = i~k× ~A− k× ~A/|~x| ∼ iωk× ~A/c.

Debemos notar que todas las componentes de Fourier comparten la misma di-rección de propagación k y, por tanto, todas las relaciones espectrales que soloinvolucren k son válidas también para los campos con dependencia temporal. Enparticular, los campos electromagnéticos en la zona lejana se pueden obtener apartir del potencial vector a partir de las siguientes expresiones:

c~B = ~A× k, ~E = c~B× k. (4.11)

La distribución angular y espectral de la intensidad radiada se calcula de formaenteramente análoga a como ya hicimos para las cargas aceleradas y el resultadofinal es

d2WdωdΩ

=µ0

8π2cω2

∣∣∣∣ ∫d3~x′ e−i~k·~x′ k× [k×~j(~x′, ω)]

∣∣∣∣2

.

Sin embargo, después de hacer un desarrollo multipolar, podremos encontrar ex-presiones explícitas más útiles para la intensidad.

4.3.1. Radiación dipolar eléctrica

El potencial vector contiene una integral con un factor e−i~k·~x′ . Cuando el tamañode la fuente es más pequeño que las longitudes de onda, k|~x′| 1, podemosexpandir este exponencial en una serie de potencias. El término de orden más bajocorresponde a la radiación dipolar eléctrica:

~A(~x, ω) =µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ ~j(~x′, ω).

Si escribimos esta ecuación en componentes

Ai(~x, ω) =µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ ji(~x′, ω) =

µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ ∂′jx

′i jj(~x′, ω)

= − µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ x′i∂′j j

j(~x′, ω) = −iωµ0

4π

ei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ x′iρ(~x′, ω).

Para obtener la última igualdad hemos empleado la ecuación de continuidad es-pectral ~∇ ·~j− iωρ = 0. Vemos entonces que

~A(~x, ω) = −iωµ0

4π

ei~k·~x

|~x|~p(ω),

4–18


notas edc (v. 1.0)


donde~p(ω) es la transformada de Fourier del momento dipolar eléctrico~p(t). Portanto, el potencial vector es

~A(~x, t) =µ0

4π

~p(t′)|~x| .

4.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica

El siguiente orden en~k ·~x′ en la expresión del potencial vector es

~A(~x, ω) = −iωµ0

4πcei~k·~x

|~x|

∫d3~x′ ~j(~x′, ω)(k ·~x′).

Si lo escribimos en componentes,

Ai(~x, ω) = −iωµ0

4πcei~k·~x

|~x|

∫d3~x′

[12

ji(~x′, ω)(k jx′j) +12

ji(~x′, ω)(k jx′j)]

,

manipulamos el segundo término término realizando una integral por partes

12

∫d3~x′ ji(~x′, ω)(k jx′j) =

12

∫d3~x′ ∂′kx′i jk(~x′, ω)(k jx′j)

= −12

∫d3~x′ [x′i∂′k jk(~x′, ω)(k jx′j) + x′i jk(~x′, ω)kk]

y utilizamos la ecuación de continuidad espectral, obtenemos

~A(~x, ω) = −iωµ0

4πcei~k·~x

|~x|12

∫d3~x′

[~j(~x′, ω)(k ·~x′)− iω~x′ρ(~x′, ω)(k ·~x′)

−~x′[~j(~x′, ω) · k]]

.

El primer y el tercer término se combinan en k × (~j × ~x′) (ver fórmula F.1.2) demanera que

~A(~x, ω) =µ0

4πcei~k·~x

|~x|12

∫d3~x′

[− iω[~x′ ×~j(~x′, ω)]× k−ω2~x′ρ(~x′, ω)(k ·~x′)

].

En el primer término, reconocemos la transformada de Fourier del momento dipo-lar magnético

~m(ω) =12

∫d3~x′ ~x′ ×~j(~x′, ω).

Además, notemos que si añadimos un término proporcional a k, los campos novarían puesto que involucran productos vectoriales con k. Sustituimos pues el se-gundo término por

−ω2

3ρ(~x′, ω)

[3~x′(k ·~x′)− k~x′2

].

notas edc (v. 1.0)


4–19


Definimos el momento cuadrupolar eléctrico (su transformada de Fourier) como eltensor (bajo rotaciones espaciales) simétrico

Q(ω) =∫

d3~x′ ρ(~x′, ω)(3~x′~x′t −~x′211)

cuyas componentes son

Qij(ω) =∫

d3~x′ ρ(~x′, ω)(3x′ix′j − ηij~x′2).

Teniendo en cuenta todas estas contribuciones, la transformada de Fourier del po-tencial vector en la zona lejana queda

~A(~x, ω) =µ0

4π

ei~k·~x

|~x|

[− iω~p(ω)− 1

ciω~m(ω)× k− 1

6cω2Q(ω) · k

]y el potencial propiamente dicho

~A(~x, t) =µ0

4π

1|~x|

[~p(t′) +

1c~m(t′)× k +

16c

Q(t′) · k]

.

Los campos eléctrico y magnético se obtienen directamente haciendo uso de laecuación (4.11).

4.3.3. Intensidad de radiación multipolar

El vector de Poynting para la radiación es

~S =1µ0

~E× ~B =c

µ0(~B× k)× ~B =

cµ0

~B2k.

Así, la distribución angular de potencia es

dP = ~S · k|~x|2dΩ =c

µ0~B2|~x|2dΩ.

Puesto que el campo es inversamente proporcional a la distancia a la fuente, ladistribución angular de potencia es independiente de la distancia. De hecho,

dP = ζ2| ~A(Ω, t)|2dΩ,

donde ζ2 = 1/(16π2ε0c3) y

~A(Ω, t) =[~p(t′) +

1c~m(t′)× k +

16c

...Q(t′) · k

]× k.

4–20


notas edc (v. 1.0)


Así, vimos que la distribución espectral de intensidad es

d2WdωdΩ

= 2ζ2| ~A(Ω, ω)|2.

Aunque no vamos a hacer el promedio angular aquí, la potencia total radiada es

P =1

6πε0c3

(~p2 +

1c2 ~m2 +

1120c2

...Q

2)

t′

y la intensidad espectral

dWdω

=ω4

3πε0c3

(|~p(ω)|2 +

1c2 |~m(ω)|2 +

ω2

120c2 |Q(ω)|2)

.

Puesto que k|~x′| 1 la radiación dipolar eléctrica será mucho mayor en generalque la cuadrupolar eléctrica y la dipolar magnética. Otra forma de verlo es que lacondición ω|~x′| c se puede interpretar como que las velocidades característicasinternas de la fuente tienen que ser mucho menores que la de la luz. Así, los térmi-nos cuadrupolar eléctrico y dipolar magnético corresponden al segundo orden env/c, como vemos en las expresiones de la intensidad radiada.

Conviene recordar que hemos utilizado los campos físicos reales. Si utilizamosnotación compleja o realizamos promedios temporales,

〈~S〉 =1

2µ0~E× ~B∗ =

c2µ0

|~B|2k.

notas edc (v. 1.0)


4–21

4.4. Ejercicios

4.4. Ejercicios

4.1 Dos dipolos eléctricos de igual magnitud que forman un cierto ángulo entreellos oscilan con igual frecuencia y desfasados en π/2. Si la distancia entre amboses pequeña comparada con la longitud de onda, hallar el campo magnético, ladistribución angular y la intensidad total de la radiación en la zona lejana.

4.2 Una esfera con magnetización uniforme gira con velocidad constante en tornoa un cierto eje. Hallar el campo electromagnético que produce, su polarización y ladistribución angular y la intensidad total de la radiación.

4.3 Calcular la distribución angular de la potencia radiada por una antena de unacierta longitud y sección despreciable y que es alimentada en su centro por unacorriente sinusoidal que se anula en los extremos. Estudiar el caso en el que laantena es mucho menorr que la longitud de onda de la corriente sinusoidal ycomparar el resultado con la radiación de un dipolo eléctrico.

4.4 Una antena lineal paralela al eje ez y centrada en el origen se alimenta con unacorriente I0ei(kz−ωt). Hallar la distribución de la radiación angular emitida.

4.5 Un dipolo eléctrico rota en un plano con velocidad angular constante. Hallarel campo electromagnético en la zona lejana, la distribución angular y la potenciatotal emitida.

4.6 Hallar la potencia de radiación emitida por una partícula cuya aceleración esparalela a su velocidad y su distribución angular.

4.7 Durante un cierto intervalo de tiempo, una partícula desacelera constantementehasta detenerse. Hallar la energía radiada y su distribución angular. ¿Cuál será laduración del pulso radiado para un observador lejano en reposo?

4.8 Hallar la distribución angular de la potencia radiada por una partícula relati-vista cuya aceleración es perpendicular a su velocidad. Determinar las direccionesen las que no se emite radiación.

4.9 Un electrón se mueve en una órbita circular bajo la acción de un campo mag-nético homogéneo. Calcular la energía perdida por radiación (sincrotrón) en cadavuelta y expresarla en función de la energía y de la masa del electrón.

4.10 Un cable de sección despreciable uniformemente cargado tensado entre dospuntos de sujeción oscila transversalmente con una cierta frecuencia. Calcular en

notas edc (v. 1.0)


4–23


el orden más bajo la potencia total emitida, en el supuesto de que la longitud delcable sea mucho menor que la longitud de onda de la radiación.

4.11 Los púlsares son estrellas de neutrones en rotación con campos magnéticosextremadamente intensos y emiten radiación que llega a la Tierra periódicamente.El púlsar del Cangrejo rota con un periodo de 33 ms y se halla a una distanciade 3 300 años-luz. Calcular el momento magnético de este púlsar si suponemosque es perpendicular al eje de rotación de la estrella y que, además, este eje esperpendicular a la dirección de observación. La intensidad de la radiación recibidaen la Tierra es de 6,2 · 10−10 W/m2.

4.12 Calcular la distribución angular y la potencia total radiada en un proceso dedispersión Thomson (el límite clásico de la dispersión Compton): una onda plana ylinealmente polarizada incide sobre un electrón y éste emite radiación dispersada.Ignorar los efectos relativistas.

4.13 En el decaimiento beta, un núcleo con número atómico Z se transforma en otrocon número atómico Z ± 1 y emite un electrón y un antineutrino o un positrón yun neutrino:

Z → (Z + 1) + e− + ν, Z → (Z− 1) + e+ + ν.

Si se desprecia la influencia del neutrino y se supone que en un instante inicial secrea un electrón que se mueve con velocidad constante a partir de ese momento,calcular el flujo de radiación generada en el proceso y analizar el límite no relati-vista.

4.14 Se colocan dos antenas dipolares de media onda en una línea recta sin solapa-miento. Determinar el flujo de radiación emitido si se ignora la influencia mutuade ambas antenas y se supone que se alimentan con la misma corriente y que estánen fase.

4.15 Una espira circular se alimenta con una corriente monocromática de amplitudconstante. Calcular, en el orden más bajo, la radiación emitida por la espira si sesupone que la espira es mucho más pequeña que la longitud de onda.

4–24


notas edc (v. 1.0)

Apéndice A

Tensores

A.1. Vectores y formas linealesA.2. Cambios de baseA.3. Tensor métricoA.4. Tensor de Levi-CivitaA.5. Tensores cartesianos

notas edc (v. 1.0)


A–1

A.1. Vectores y formas lineales

A.1. Vectores y formas lineales

Definición A.1.1Sea V un espacio vectorial. Una forma lineal es una aplicación lineal α : V → R, esdecir, si ~u,~v ∈ V y λ, µ ∈ R, entonces α(λ~u + µ~v) = λα(~u) + µα(~v).

Definición A.1.2El conjunto de formas lineales V∗ sobre V es un espacio vectorial llamado espaciovectorial dual de V.

Los vectores de V también pueden considerarse como aplicaciones lineales~v : V∗ → R tales que ~v(α) ≡ α(~v). En efecto, la estructura de espacio vectorialde V∗ implica que (λα + µβ)(~v) = λα(~v) + µβ(~v), que podemos reeler como lapropiedad de linealidad de la acción de ~v sobre V∗. Para hacer explícita esta dua-lidad denotaremos α(~v) = ~v(α) = (α,~v) y, por razones que veremos enseguida, lollamaremos contracción de α y ~v.

Definición A.1.3Sea ~ei, i = 1, 2 . . . una base de V. Definiremos la base dual de V∗ como el conjuntode formas ωi, i = 1, 2 . . . tal que (ωi,~ej) = δi

j.

Proposición A.1.4La base dual es realmente una base del espacio dual.

Demostración. El conjunto ωi, i = 1, 2 . . . tiene tantos vectores como la dimen-sión de V∗. Además, son linealmente independientes. En efecto, consideremos lacombinación lineal nula λiω

i = 0. Su contracción con ~ek es igual a λk y es nula ∀k.

Una forma lineal α = αiωi actuará sobre un vector ~v = vi~ei como

(α,~v) = αivj(ωi,~ej) = αivjδij = αivi

y, de ahí, el nombre de contracción. En particular es interesante notar que

(ωi,~v) = vi, (α,~ei) = αi.

A.2. Cambios de base

Consideremos el cambio de base en V dado por~e′i = Λji~ej, donde Λ es la matriz

de cambio de base y, en consecuencia, det Λ 6= 0. Consideremos también el cambio

notas edc (v. 1.0)


A–3

Apéndice A. Tensores

de base en V∗ dado por ω′i = Λijω

j con det Λ 6= 0. Entonces,

δij = (ω′i,~e′j) = Λi

kΛlj(ωk, el) = Λi

kΛljδ

kl = Λi

kΛkj = (Λ ·Λ)i

j,

luego Λ = Λ−1.

Veamos ahora cómo se transforman las componentes de los vectores:

v′i = (ω′i,~v) = (Λ−1)ij(ω j,~v) = (Λ−1)i

jvj.

Vemos que las componentes de los vectores se transforman de forma inversa alos elementos de la base de V y, por ello, reciben a veces el nombre de vectorescontravariantes.

Por otro lado, la componentes de las formas lineales se transforman como loselementos de la base de V y, por ello, reciben también el nombre de vectores cova-riantes:

α′i = (α,~e′i) = Λji(α,~ej) = Λj

iαj.

Definición A.2.1Un tensor de tipo (n

m) es una aplicación multilineal T : Vn ⊗ (V∗)m → R.

Dada una base ~ei de V y su base dual ωi de V∗, la acción de T quedadeterminada por su acción sobre ~ei y ωi

T(~ei,~ej · · · ωk, · · · ) = T k···ij··· ,

de manera queT(~u,~v · · · α, · · · ) = T k···

ij··· vivj · · · αk · · · .

Los números reales T k···ij son las componentes del tensor T en la base ~ei.

En general, el orden de los argumentos de T es importante y, por tanto, tambiénlo será el orden de los índices de sus componentes.

Definición A.2.2Dados dos tensores T y S, llamamos contracción a la operación producto tensorialy suma posterior sobre todo el recorrido de un índice de T con uno de S (uno deellos covariante y el otro contravariante).

Así, por ejemplo, una posible contracción de Tijk y S j

i k será TijkS m

i l.

Proposición A.2.3La contracción de índices es independiente de la base elegida.

A–4


notas edc (v. 1.0)

A.3. Tensor métrico

Ejercicio A.2.4 Demostrar esta proposición.

Bajo cambios de base los tensores se transforman como vectores en cada índicecontravariante y como formas en cada índice covariante. Así, por ejemplo,

T′jki = Λli(Λ−1)j

m(Λ−1)knT mn

l .

Operaciones tensoriales son aquellas que operaciones con tensores que propor-cionan otro tensor. El resultado es independiente de la base elegida. Las siguientesoperaciones son operaciones tensoriales:

1. Suma de tensores del mismo tipo.

2. Multiplicación por una constante

3. Multiplicación de dos tensores; el tipo del tensor resultante es la suma de lostipos.

4. Contracción de índices (uno covariante y otro contravariante).

A.3. Tensor métrico

Definición A.3.1Sea V un espacio vectorial dotado con un producto escalar, que denotaremospor ·. Entonces denotaremos tensor métrico g a la aplicación bilineal simétricag : V ⊗V → R tal que g(~u,~v) = g(~v,~u) = ~u · ~v, ∀~u,~v ∈ V. Dada una base ~eide V, sus componentes son gij = g(~ei,~ej) = ~ei ·~ej.

Puesto que el producto escalar es definido estrictamente positivo, la matriz gij

es invertible y denotaremos su inversa gij, de forma que gijgjk = δki . Además, si la

base ei es ortonormal, entonces gij = δij.

Proposición A.3.2La existencia de un tensor métrico nos permite establecer un isomorfismo entre Vy V∗ definido por v ≡ g(~v, · ) o, en componentes, vi = gijvj.

Demostración. El hecho de que gij sea invertible hace que esta aplicación seabiyectiva: vi = gijvj.

Además, el tensor métrico induce un producto escalar g en V∗ tal que sus com-ponentes son g(ωi, ω j) = gij.

Así, la existencia de un tensor métrico nos permite identificar tensores covarian-tes y contravariantes como distintas representaciones del mismo objeto.

notas edc (v. 1.0)


A–5


A.4. Tensor de Levi-Civita

Definición A.4.1 (Símbolos de Levi-Civita)El símbolo de Levi-Civita εijk··· es completamente antisimétrico en todos sus índices ytal que ε123··· = 1. Análogamente, definimos otro símbolo de Levi-Civita εijk··· quetambién es completamente antisimétrico en todos sus índices y tal que ε123··· = 1.Así,

εi1i2...in = εi1i2...in =

1, i1, i2, . . . , in permutación par de 1, 2, . . . , n

−1, i1, i2 . . . , in permutación impar de 1, 2, . . . , n

0, en cualquier otro caso.

Por ejemplo, en dos dimensiones, ε12 = −ε21 = 1 y ε11 = ε22 = 0. En tres dimen-siones, las únicas componentes no nulas son

ε123 = ε312 = ε231 = 1

ε213 = ε321 = ε132 = −1

Para ver cómo calcular la paridad de una permutación para n > 3, consideremosel caso n = 6 y la secuencia 612453.

1 42 53 6

6 41 52 3

El número de cortes es 7, impar, y por lo tanto ε612453 = −1.

Los símbolos de Levi-Civita no son tensores, puesto que no se transformanadecuadamente bajo cambios de base y, por tanto, no sabemos relacionarlos, esdecir, no sabemos subir y/o bajar los índices de los símbolos de Levi-Civita.

Ejercicio A.4.2 Estudiar la ley de transformación de los símbolos de Levi-Civita.

Los símbolos de Levi-Civita sirven para calcular determinantes, lo que quedareflejado en la siguiente definición.

Definición A.4.3Si M es una matriz cuadrada(no un tensor) cuyos elementos son Mi

i′ , su determi-nante es

det(M) = εi′ j′k′···M1i′M

2j′M

3k′ · · · = εijk···Mi

1Mj2Mk

3 · · · .

A–6


notas edc (v. 1.0)

A.4. Tensor de Levi-Civita

Ejercicio A.4.4 Comprobar que esta definición coincide con la regla ya conocidapara calcular determinantes.

Proposición A.4.5Si M es una matriz cuadrada cuyos elementos son Mi

i′ , se satisface la siguienteidentidad:

εi′ j′k′···Mii′M

jj′M

kk′ · · · = det(Ml

l′)εijk···.

Igualmente, si N es una matriz cuadrada cuyos elementos son Nii′ , entonces sesatisface la siguiente identidad:

εi′ j′k′···Nii′Njj′Nkk′ · · · = det(Nll′)εijk···.


Definición A.4.7Se define el tensor de Levi-Civita εijk··· como

εijk··· =1√

gεijk···,

donde g = det(gij) es el determinante del tensor métrico.

Ejercicio A.4.8 Demostrar que εijk··· es un tensor.

Dado el carácter tensorial del tensor de Levi-Civita, podemos escribir sus com-ponentes covariantes

εi′ j′k′··· = gii′gjj′gkk′εijk···.

Teniendo en cuenta la relación entre el tensor contravariante de Levi-Civita y elsímbolo correspondiente y las reglas para calcular determinantes de la ProposiciónA.4.5, tenemos que

εi′ j′k′··· =1√

ggii′gjj′gkk′ε

ijk··· =√

gεi′ j′k′···.

Proposición A.4.9Sea Ti

i′ un tensor. Entonces se satisfacen las siguientes identidades tensoriales:

εi′ j′k′···Tii′T

jj′T

kk′ · · · = det(Tl

l′)εijk···,

εi′ j′k′···Tii′Tjj′Tkk′ · · · = det(Tll′)εijk··· = g−1 det(Tll′)εijk···.


notas edc (v. 1.0)


A–7


Ejercicio A.4.11 Evaluar la suma εi1i2...in εi1i2...in , teniendo en cuenta que los índicestoman valores ij = 1, . . . , n.

Solución. Para que εi1i2...in sea distinto de cero, todos los índices tienen que serdiferentes. Por lo tanto hay un número de sumandos no nulos igual al númerode permutaciones sin repetición de n elementos, es decir, n!. Además, cuando lapermutación es par, tanto εi1i2...in como εi1i2...in valen 1, mientras que, si es impar,los dos son −1 y el producto es 1 también. Por lo tanto tenemos una suma con n!sumandos, todos ellos iguales a 1 y el resultado es

εi1i2...in εi1i2...in = n! N

Ejercicio A.4.12 Demostrar la identidad ε–δ.

εijkεilm = δjl δ

km − δ

jmδk

l .

Solución. Esto se puede comprobar teniendo en cuenta que la expresión tiene 4índices libres, j,k,l y m. Como cada uno toma los valores 1,2 o 3, esto quiere decirque hay 34 = 81 elementos. Escribiéndolos todos se podría comprobar la relación.Vamos a demostrarlo, sin embargo, de una manera más corta y razonable. Partimosdel determinante ∣∣∣∣∣∣∣

δ11 δ1

2 δ13

δ21 δ2

2 δ23

δ31 δ3

2 δ33

∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1.

Si hacemos una permutación de las filas y tenemos en cuenta las propiedades delos determinantes, llegamos a ∣∣∣∣∣∣∣

δi1 δi

2 δi3

δj1 δ

j2 δ

j3

δk1 δk

2 δk3

∣∣∣∣∣∣∣ = εijk.

Ahora hacemos lo mismo con las columnas∣∣∣∣∣∣∣δi

n δil δi

m

δjn δ

jl δ

jm

δkn δk

l δkm

∣∣∣∣∣∣∣ = εijkεnlm.

Finalmente hacemos una contracción de los índices i e n∣∣∣∣∣∣∣δi

i δil δi

m

δji δ

jl δ

jm

δki δk

l δkm

∣∣∣∣∣∣∣ = εijkεilm.

Ya sólo queda calcular este determinante, teniendo en cuenta que δii = 3. N

A–8


notas edc (v. 1.0)

A.5. Tensores cartesianos

Ejercicio A.4.13 Demostrar que εijmnεklmn = 2(δikδ

jl − δ

jkδi

l).

Ejercicio A.4.14 Demostrar, aplicando la relación ε–δ, la siguiente identidad vecto-rial

~A× (~B× ~C) = (~A · ~C)~B− (~A · ~B)~C.

Solución. Llamamos ~F = ~A× (~B× ~C) y ~D = ~B× ~C. Aplicando la definición deproducto vectorial resulta

Dk = εkijBiCj, Fl = εl

mk AmDk.

Juntamos las dos expresiones y queda

Fl = εlmk AmDk = εl

mk Am(εkijBiCj) = εl

mkεkij AmBiCj

Ahora utilizamos la identidad ε–δ

Fl = (δliδmj − δl

jδmi)AmBiCj = δliδmj AmBiCj − δl

jδmi AmBiCj

Fl = Bl(AjCj)− Cl(AiBi)

Y teniendo en cuenta que AiBi = ~A · ~B llegamos al resultado final. N

Ejercicio A.4.15 Demostrar las siguientes identidades vectoriales

a) (~A× ~B) · (~C× ~D) = (~A · ~C)(~B · ~D)− (~A · ~D)(~B · ~C),

b) (~A× ~B) · (~C× ~D) = ~C(~D · ~A× ~B)− ~D(~C · ~A× ~B).

A.5. Tensores cartesianos

En el espacio cartesiano (es decir, aquél en el que la métrica es la delta de Kro-necker), no sería necesario distinguir entre índices covariantes y contravariantes:aj = gijai = δijai y los valores de aj y aj coinciden. Por esta razón, podríamos es-cribir todos los índices arriba o abajo. Así, podríamos escribir un producto escalarcomo ajbj. Naturalmente, esta métrica es la del espacio euclídeo que se utiliza encasi toda la física clásica y, por ello, esta notación aparece en muchas disciplinas enlas que se hace uso de los tensores (tensor de inercia en mecánica, el de tensionesen dinámica de fluidos, etc.).

notas edc (v. 1.0)


A–9

Apéndice B

On the Electrodynamics of MovingBodies, by A. Einstein

I. Kinematical part§1. Definition of Simultaneity§2. On the Relativity of Lengths and Times§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Times from a Sta-

tionary System to another System in Uniform Motion of TranslationRelatively to the Former

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect to MovingRigid Bodies and Moving Clocks

§5. The Composition of VelocitiesII. Electrodynamical part

§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Empty Space. Onthe Nature of the Electromotive Forces Occurring in a Magnetic FieldDuring Motion

§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the Pressure

of Radiation Exerted on Perfect Reflectors§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-

Currents are Taken into Account§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron

notas edc (v. 1.0)


B–1

On the Electrodynamics of Moving Bodies

On the Electrodynamics of Moving Bodiesby A. Einstein

June 30, 1905

It is known that Maxwell’s electrodynamics—as usually understood at the pre-sent time—when applied to moving bodies, leads to asymmetries which do notappear to be inherent in the phenomena. Take, for example, the reciprocal elec-trodynamic action of a magnet and a conductor. The observable phenomenon heredepends only on the relative motion of the conductor and the magnet, whereas thecustomary view draws a sharp distinction between the two cases in which eitherthe one or the other of these bodies is in motion. For if the magnet is in motionand the conductor at rest, there arises in the neighbourhood of the magnet an elec-tric field with a certain definite energy, producing a current at the places whereparts of the conductor are situated. But if the magnet is stationary and the conduc-tor in motion, no electric field arises in the neighbourhood of the magnet. In theconductor, however, we find an electromotive force, to which in itself there is nocorresponding energy, but which gives rise—assuming equality of relative motionin the two cases discussed—to electric currents of the same path and intensity asthose produced by the electric forces in the former case.

Examples of this sort, together with the unsuccessful attempts to discover anymotion of the earth relatively to the “light medium,” suggest that the phenomena ofelectrodynamics as well as of mechanics possess no properties corresponding to theidea of absolute rest. They suggest rather that, as has already been shown to the firstorder of small quantities, the same laws of electrodynamics and optics will be validfor all frames of reference for which the equations of mechanics hold good.1 We willraise this conjecture (the purport of which will hereafter be called the “Principleof Relativity”) to the status of a postulate, and also introduce another postulate,which is only apparently irreconcilable with the former, namely, that light is alwayspropagated in empty space with a definite velocity c which is independent of thestate of motion of the emitting body. These two postulates suffice for the attainmentof a simple and consistent theory of the electrodynamics of moving bodies basedon Maxwell’s theory for stationary bodies. The introduction of a “luminiferousether” will prove to be superfluous inasmuch as the view here to be developedwill not require an “absolutely stationary space” provided with special properties,nor assign a velocity-vector to a point of the empty space in which electromagneticprocesses take place.

1The preceding memoir by Lorentz was not at this time known to the author.

notas edc (v. 1.0)


B–3

Apéndice B. On the Electrodynamics of Moving Bodies, by A. Einstein

The theory to be developed is based—like all electrodynamics—on the kinema-tics of the rigid body, since the assertions of any such theory have to do with therelationships between rigid bodies (systems of co-ordinates), clocks, and electro-magnetic processes. Insufficient consideration of this circumstance lies at the rootof the difficulties which the electrodynamics of moving bodies at present encoun-ters.

I. Kinematical part

§1. Definition of Simultaneity

Let us take a system of co-ordinates in which the equations of Newtonian me-chanics hold good.2 In order to render our presentation more precise and to dis-tinguish this system of co-ordinates verbally from others which will be introducedhereafter, we call it the “stationary system.”

If a material point is at rest relatively to this system of co-ordinates, its positioncan be defined relatively thereto by the employment of rigid standards of measu-rement and the methods of Euclidean geometry, and can be expressed in Cartesianco-ordinates.

If we wish to describe the motion of a material point, we give the values of itsco-ordinates as functions of the time. Now we must bear carefully in mind that amathematical description of this kind has no physical meaning unless we are quiteclear as to what we understand by “time.” We have to take into account that all ourjudgments in which time plays a part are always judgments of simultaneous events.If, for instance, I say, “That train arrives here at 7 o’clock,” I mean something likethis: “The pointing of the small hand of my watch to 7 and the arrival of the trainare simultaneous events.”3

It might appear possible to overcome all the difficulties attending the defini-tion of “time” by substituting “the position of the small hand of my watch” for“time.” And in fact such a definition is satisfactory when we are concerned withdefining a time exclusively for the place where the watch is located; but it is nolonger satisfactory when we have to connect in time series of events occurring atdifferent places, or—what comes to the same thing—to evaluate the times of eventsoccurring at places remote from the watch.

2i.e. to the first approximation.3We shall not here discuss the inexactitude which lurks in the concept of simultaneity of two

events at approximately the same place, which can only be removed by an abstraction.

B–4


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

We might, of course, content ourselves with time values determined by an ob-server stationed together with the watch at the origin of the co-ordinates, and co-ordinating the corresponding positions of the hands with light signals, given outby every event to be timed, and reaching him through empty space. But this co-ordination has the disadvantage that it is not independent of the standpoint of theobserver with the watch or clock, as we know from experience. We arrive at a muchmore practical determination along the following line of thought.

If at the point A of space there is a clock, an observer at A can determine the timevalues of events in the immediate proximity of A by finding the positions of thehands which are simultaneous with these events. If there is at the point B of spaceanother clock in all respects resembling the one at A, it is possible for an observerat B to determine the time values of events in the immediate neighbourhood of B.But it is not possible without further assumption to compare, in respect of time, anevent at A with an event at B. We have so far defined only an “A time” and a “Btime.” We have not defined a common “time” for A and B, for the latter cannot bedefined at all unless we establish by definition that the “time” required by light totravel from A to B equals the “time” it requires to travel from B to A. Let a ray oflight start at the “A time” tA from A towards B, let it at the “B time” tB be reflectedat B in the direction of A, and arrive again at A at the “A time” t′A.

In accordance with definition the two clocks synchronize if

tB − tA = t′A − tB.

We assume that this definition of synchronism is free from contradictions, andpossible for any number of points; and that the following relations are universallyvalid:—

1. If the clock at B synchronizes with the clock at A, the clock at A synchronizeswith the clock at B.

2. If the clock at A synchronizes with the clock at B and also with the clock atC, the clocks at B and C also synchronize with each other.

Thus with the help of certain imaginary physical experiments we have settledwhat is to be understood by synchronous stationary clocks located at different pla-ces, and have evidently obtained a definition of “simultaneous,” or “synchronous,”and of “time.” The “time” of an event is that which is given simultaneously withthe event by a stationary clock located at the place of the event, this clock beingsynchronous, and indeed synchronous for all time determinations, with a specifiedstationary clock.

notas edc (v. 1.0)


B–5


In agreement with experience we further assume the quantity

2ABt′A − tA

= c,

to be a universal constant—the velocity of light in empty space.

It is essential to have time defined by means of stationary clocks in the stationarysystem, and the time now defined being appropriate to the stationary system wecall it “the time of the stationary system.”

§2. On the Relativity of Lengths and Times

The following reflexions are based on the principle of relativity and on theprinciple of the constancy of the velocity of light. These two principles we defineas follows:—

1. The laws by which the states of physical systems undergo change are notaffected, whether these changes of state be referred to the one or the other of twosystems of co-ordinates in uniform translatory motion.

2. Any ray of light moves in the “stationary” system of co-ordinates with thedetermined velocity c, whether the ray be emitted by a stationary or by a movingbody. Hence

velocity =light path

time interval

where time interval is to be taken in the sense of the definition in § 1.

Let there be given a stationary rigid rod; and let its length be l as measured bya measuring-rod which is also stationary. We now imagine the axis of the rod lyingalong the axis of x of the stationary system of co-ordinates, and that a uniformmotion of parallel translation with velocity v along the axis of x in the directionof increasing x is then imparted to the rod. We now inquire as to the length ofthe moving rod, and imagine its length to be ascertained by the following twooperations:—

(a) The observer moves together with the given measuring-rod and the rodto be measured, and measures the length of the rod directly by superposing themeasuring-rod, in just the same way as if all three were at rest.

(b) By means of stationary clocks set up in the stationary system and synchroni-zing in accordance with § 1, the observer ascertains at what points of the stationary

B–6


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

system the two ends of the rod to be measured are located at a definite time. Thedistance between these two points, measured by the measuring-rod already em-ployed, which in this case is at rest, is also a length which may be designated “thelength of the rod.”

In accordance with the principle of relativity the length to be discovered by theoperation (a)—we will call it “the length of the rod in the moving system”—mustbe equal to the length l of the stationary rod.

The length to be discovered by the operation (b) we will call “the length of the(moving) rod in the stationary system.” This we shall determine on the basis of ourtwo principles, and we shall find that it differs from l.

Current kinematics tacitly assumes that the lengths determined by these twooperations are precisely equal, or in other words, that a moving rigid body at theepoch t may in geometrical respects be perfectly represented by the same body atrest in a definite position.

We imagine further that at the two ends A and B of the rod, clocks are placedwhich synchronize with the clocks of the stationary system, that is to say that theirindications correspond at any instant to the “time of the stationary system” at theplaces where they happen to be. These clocks are therefore “synchronous in thestationary system.”

We imagine further that with each clock there is a moving observer, and thatthese observers apply to both clocks the criterion established in § 1 for the syn-chronization of two clocks. Let a ray of light depart from A at the time4 tA, letit be reflected at B at the time tB, and reach A again at the time t′A. Taking intoconsideration the principle of the constancy of the velocity of light we find that

tB − tA =rAB

c− vand t′A − tB =

rAB

c + v

where rAB denotes the length of the moving rod—measured in the stationary sys-tem. Observers moving with the moving rod would thus find that the two clockswere not synchronous, while observers in the stationary system would declare theclocks to be synchronous.

So we see that we cannot attach any absolute signification to the concept ofsimultaneity, but that two events which, viewed from a system of co-ordinates,are simultaneous, can no longer be looked upon as simultaneous events whenenvisaged from a system which is in motion relatively to that system.

4“Time” here denotes “time of the stationary system” and also “position of hands of the movingclock situated at the place under discussion.”

notas edc (v. 1.0)


B–7


§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Timesfrom a Stationary System to another System in Uniform

Motion of Translation Relatively to the Former

Let us in “stationary” space take two systems of co-ordinates, i.e. two systems,each of three rigid material lines, perpendicular to one another, and issuing froma point. Let the axes of X of the two systems coincide, and their axes of Y and Zrespectively be parallel. Let each system be provided with a rigid measuring-rodand a number of clocks, and let the two measuring-rods, and likewise all the clocksof the two systems, be in all respects alike.

Now to the origin of one of the two systems (k) let a constant velocity v beimparted in the direction of the increasing x of the other stationary system (K),and let this velocity be communicated to the axes of the co-ordinates, the relevantmeasuring-rod, and the clocks. To any time of the stationary system K there thenwill correspond a definite position of the axes of the moving system, and fromreasons of symmetry we are entitled to assume that the motion of k may be suchthat the axes of the moving system are at the time t (this “t” always denotes a timeof the stationary system) parallel to the axes of the stationary system.

We now imagine space to be measured from the stationary system K by meansof the stationary measuring-rod, and also from the moving system k by meansof the measuring-rod moving with it; and that we thus obtain the co-ordinatesx, y, z, and ξ, η, ζ respectively. Further, let the time t of the stationary system bedetermined for all points thereof at which there are clocks by means of light signalsin the manner indicated in § 1; similarly let the time τ of the moving system bedetermined for all points of the moving system at which there are clocks at restrelatively to that system by applying the method, given in § 1, of light signalsbetween the points at which the latter clocks are located.

To any system of values x, y, z, t, which completely defines the place and timeof an event in the stationary system, there belongs a system of values ξ, η, ζ τ,determining that event relatively to the system k, and our task is now to find thesystem of equations connecting these quantities.

In the first place it is clear that the equations must be linear on account of theproperties of homogeneity which we attribute to space and time.

If we place x′ = x− vt, it is clear that a point at rest in the system k must have asystem of values x′, y, z, independent of time. We first define τ as a function of x′,y, z, and t. To do this we have to express in equations that τ is nothing else than thesummary of the data of clocks at rest in system k, which have been synchronized

B–8


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

according to the rule given in § 1.

From the origin of system k let a ray be emitted at the time τ0 along the X-axis to x′, and at the time τ1 be reflected thence to the origin of the co-ordinates,arriving there at the time τ2; we then must have 1

2(τ0 + τ2) = τ1, or, by insertingthe arguments of the function τ and applying the principle of the constancy of thevelocity of light in the stationary system:—

12

[τ(0, 0, 0, t) + τ

(0, 0, 0, t +

x′

c− v+

x′

c + v

)]= τ

(x′, 0, 0, t +

x′

c− v

).

Hence, if x′ be chosen infinitesimally small,

12

(1

c− v+

1c + v

)∂τ

∂t=

∂τ

∂x′+

1c− v

∂τ

∂t,

or

∂τ

∂x′+

vc2 − v2

∂τ

∂t= 0.

It is to be noted that instead of the origin of the co-ordinates we might havechosen any other point for the point of origin of the ray, and the equation justobtained is therefore valid for all values of x′, y, z.

An analogous consideration—applied to the axes of Y and Z—it being bornein mind that light is always propagated along these axes, when viewed from thestationary system, with the velocity

√c2 − v2 gives us

∂τ

∂y= 0,

∂τ

∂z= 0.

Since τ is a linear function, it follows from these equations that

τ = a(

t− vc2 − v2 x′

)where a is a function φ(v) at present unknown, and where for brevity it is assumedthat at the origin of k, τ = 0, when t = 0.

With the help of this result we easily determine the quantities ξ, η, ζ by expres-sing in equations that light (as required by the principle of the constancy of thevelocity of light, in combination with the principle of relativity) is also propagated

notas edc (v. 1.0)


B–9


with velocity c when measured in the moving system. For a ray of light emitted atthe time τ = 0 in the direction of the increasing ξ

ξ = cτ or ξ = ac(

t− vc2 − v2 x′

).

But the ray moves relatively to the initial point of k, when measured in the statio-nary system, with the velocity c− v, so that

x′

c− v= t.

If we insert this value of t in the equation for ξ, we obtain

ξ = ac2

c2 − v2 x′.

In an analogous manner we find, by considering rays moving along the two otheraxes, that

η = cτ = ac(

t− vc2 − v2 x′

)when

y√c2 − v2

= t, x′ = 0.

Thus

η = ac√

c2 − v2y and ζ = a

c√c2 − v2

z.

Substituting for x′ its value, we obtain

τ = φ(v)β(t− vx/c2),

ξ = φ(v)β(x− vt),

η = φ(v)y,

ζ = φ(v)z,

where

B–10


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

β =1√

1− v2/c2,

and φ is an as yet unknown function of v. If no assumption whatever be made as tothe initial position of the moving system and as to the zero point of τ, an additiveconstant is to be placed on the right side of each of these equations.

We now have to prove that any ray of light, measured in the moving system,is propagated with the velocity c, if, as we have assumed, this is the case in thestationary system; for we have not as yet furnished the proof that the principle ofthe constancy of the velocity of light is compatible with the principle of relativity.

At the time t = τ = 0, when the origin of the co-ordinates is common to thetwo systems, let a spherical wave be emitted therefrom, and be propagated withthe velocity c in system K. If (x, y, z) be a point just attained by this wave, then

x2 + y2 + z2 = c2t2.

Transforming this equation with the aid of our equations of transformation weobtain after a simple calculation

ξ2 + η2 + ζ2 = c2τ2.

The wave under consideration is therefore no less a spherical wave with velocityof propagation c when viewed in the moving system. This shows that our twofundamental principles are compatible.5

In the equations of transformation which have been developed there enters anunknown function φ of v, which we will now determine.

For this purpose we introduce a third system of co-ordinates K′, which relativelyto the system k is in a state of parallel translatory motion parallel to the axis of Ξ,**

such that the origin of co-ordinates of system K′ moves with velocity −v on the axisof Ξ. At the time t = 0 let all three origins coincide, and when t = x = y = z = 0

5The equations of the Lorentz transformation may be more simply deduced directly from thecondition that in virtue of those equations the relation x2 + y2 + z2 = c2t2 shall have as its conse-quence the second relation ξ2 + η2 + ζ2 = c2τ2.

** Editor’s note: In Einstein’s original paper, the symbols (Ξ, H, Z) for the co-ordinates of the movingsystem k were introduced without explicitly defining them. In the 1923 English translation, (X, Y, Z) wereused, creating an ambiguity between X co-ordinates in the fixed system K and the parallel axis in movingsystem k. Here and in subsequent references we use Ξ when referring to the axis of system k along whichthe system is translating with respect to K. In addition, the reference to system K′ later in this sentencewas incorrectly given as “k” in the 1923 English translation.

notas edc (v. 1.0)


B–11


let the time t′ of the system K′ be zero. We call the co-ordinates, measured in thesystem K′, x′, y′, z′, and by a twofold application of our equations of transformationwe obtain

t′ = φ(−v)β(−v)(τ + vξ/c2) = φ(v)φ(−v)t,x′ = φ(−v)β(−v)(ξ + vτ) = φ(v)φ(−v)x,y′ = φ(−v)η = φ(v)φ(−v)y,z′ = φ(−v)ζ = φ(v)φ(−v)z.

Since the relations between x′, y′, z′ and x, y, z do not contain the time t, thesystems K and K′ are at rest with respect to one another, and it is clear that thetransformation from K to K′ must be the identical transformation. Thus

φ(v)φ(−v) = 1.

We now inquire into the signification of φ(v). We give our attention to that part ofthe axis of Y of system k which lies between ξ = 0, η = 0, ζ = 0 and ξ = 0, η =l, ζ = 0. This part of the axis of Y is a rod moving perpendicularly to its axis withvelocity v relatively to system K. Its ends possess in K the co-ordinates

x1 = vt, y1 =l

φ(v), z1 = 0

andx2 = vt, y2 = 0, z2 = 0.

The length of the rod measured in K is therefore l/φ(v); and this gives us themeaning of the function φ(v). From reasons of symmetry it is now evident that thelength of a given rod moving perpendicularly to its axis, measured in the stationarysystem, must depend only on the velocity and not on the direction and the sense ofthe motion. The length of the moving rod measured in the stationary system doesnot change, therefore, if v and −v are interchanged. Hence follows that l/φ(v) =l/φ(−v), or

φ(v) = φ(−v).

It follows from this relation and the one previously found that φ(v) = 1, so thatthe transformation equations which have been found become

B–12


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

τ = β(t− vx/c2),

ξ = β(x− vt),

η = y,

ζ = z,

where

β = 1/√

1− v2/c2.

§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect toMoving Rigid Bodies and Moving Clocks

We envisage a rigid sphere6 of radius R, at rest relatively to the moving systemk, and with its centre at the origin of co-ordinates of k. The equation of the surfaceof this sphere moving relatively to the system K with velocity v is

ξ2 + η2 + ζ2 = R2.

The equation of this surface expressed in x, y, z at the time t = 0 is

x2

(√

1− v2/c2)2+ y2 + z2 = R2.

A rigid body which, measured in a state of rest, has the form of a sphere, there-fore has in a state of motion—viewed from the stationary system—the form of anellipsoid of revolution with the axes

R√

1− v2/c2, R, R.

Thus, whereas the Y and Z dimensions of the sphere (and therefore of everyrigid body of no matter what form) do not appear modified by the motion, theX dimension appears shortened in the ratio 1 :

√1− v2/c2, i.e. the greater the

value of v, the greater the shortening. For v = c all moving objects—viewed from

6That is, a body possessing spherical form when examined at rest.

notas edc (v. 1.0)


B–13


the “stationary” system—shrivel up into plane figures.** For velocities greater thanthat of light our deliberations become meaningless; we shall, however, find in whatfollows, that the velocity of light in our theory plays the part, physically, of aninfinitely great velocity.

It is clear that the same results hold good of bodies at rest in the “stationary”system, viewed from a system in uniform motion.

Further, we imagine one of the clocks which are qualified to mark the timet when at rest relatively to the stationary system, and the time τ when at restrelatively to the moving system, to be located at the origin of the co-ordinates ofk, and so adjusted that it marks the time τ. What is the rate of this clock, whenviewed from the stationary system?

Between the quantities x, t, and τ, which refer to the position of the clock, wehave, evidently, x = vt and

τ =1√

1− v2/c2(t− vx/c2).

Therefore,

τ = t√

1− v2/c2 = t− (1−√

1− v2/c2)t

whence it follows that the time marked by the clock (viewed in the stationarysystem) is slow by 1−

√1− v2/c2 seconds per second, or—neglecting magnitudes

of fourth and higher order—by 12 v2/c2.

From this there ensues the following peculiar consequence. If at the points Aand B of K there are stationary clocks which, viewed in the stationary system, aresynchronous; and if the clock at A is moved with the velocity v along the line ABto B, then on its arrival at B the two clocks no longer synchronize, but the clockmoved from A to B lags behind the other which has remained at B by 1

2 tv2/c2 (upto magnitudes of fourth and higher order), t being the time occupied in the journeyfrom A to B.

It is at once apparent that this result still holds good if the clock moves from Ato B in any polygonal line, and also when the points A and B coincide.

If we assume that the result proved for a polygonal line is also valid for acontinuously curved line, we arrive at this result: If one of two synchronous clocksat A is moved in a closed curve with constant velocity until it returns to A, the

**Editor’s note: In the 1923 English translation, this phrase was erroneously translated as “plain figures”.I have used the correct “plane figures” in this edition.

B–14


notas edc (v. 1.0)

I. Kinematical part

journey lasting t seconds, then by the clock which has remained at rest the travelledclock on its arrival at A will be 1

2 tv2/c2 second slow. Thence we conclude that abalance-clock7 at the equator must go more slowly, by a very small amount, thana precisely similar clock situated at one of the poles under otherwise identicalconditions.

§5. The Composition of Velocities

In the system k moving along the axis of X of the system K with velocity v, leta point move in accordance with the equations

ξ = wξτ, η = wητ, ζ = 0,

where wξ and wη denote constants.

Required: the motion of the point relatively to the system K. If with the help ofthe equations of transformation developed in § 3 we introduce the quantities x, y,z, t into the equations of motion of the point, we obtain

x =wξ + v

1 + vwξ/c2 t,

y =√

1− v2/c2

1 + vwξ/c2 wηt,

z = 0.

Thus the law of the parallelogram of velocities is valid according to our theoryonly to a first approximation. We set

V2 =(

dxdt

)2

+(

dydt

)2

,

w2 = w2ξ + w2

η,

a = tan−1 wη/wξ , **

7Not a pendulum-clock, which is physically a system to which the Earth belongs. This case hadto be excluded.

**Editor’s note: This equation was incorrectly given in Einstein’s original paper and the 1923 Englishtranslation as a = tan−1 wy/wx.

notas edc (v. 1.0)


B–15


a is then to be looked upon as the angle between the velocities v and w. After asimple calculation we obtain

V =√

(v2 + w2 + 2vw cos a)− (vw sen a/c)2

1 + vw cos a/c2 .

It is worthy of remark that v and w enter into the expression for the resultantvelocity in a symmetrical manner. If w also has the direction of the axis of X, weget

V =v + w

1 + vw/c2 .

It follows from this equation that from a composition of two velocities which areless than c, there always results a velocity less than c. For if we set v = c− κ, w =c− λ, κ and λ being positive and less than c, then

V = c2c− κ − λ

2c− κ − λ + κλ/c< c.

It follows, further, that the velocity of light c cannot be altered by compositionwith a velocity less than that of light. For this case we obtain

V =c + w

1 + w/c= c.

We might also have obtained the formula for V, for the case when v and w have thesame direction, by compounding two transformations in accordance with § 3. If inaddition to the systems K and k figuring in § 3 we introduce still another systemof co-ordinates k′ moving parallel to k, its initial point moving on the axis of Ξ**

with the velocity w, we obtain equations between the quantities x, y, z, t and thecorresponding quantities of k′, which differ from the equations found in § 3 onlyin that the place of “v” is taken by the quantity

v + w1 + vw/c2 ;

from which we see that such parallel transformations—necessarily—form a group.

We have now deduced the requisite laws of the theory of kinematics correspon-ding to our two principles, and we proceed to show their application to electrody-namics.

** Editor’s note: “X” in the 1923 English translation.

B–16


notas edc (v. 1.0)

II. Electrodynamical part


§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for EmptySpace. On the Nature of the Electromotive Forces Occurringin a Magnetic Field During Motion

Let the Maxwell-Hertz equations for empty space hold good for the stationarysystem K, so that we have

1c

∂X∂t = ∂N

∂y −∂M∂z , 1

c∂L∂t = ∂Y

∂z −∂Z∂y ,

1c

∂Y∂t = ∂L

∂z −∂N∂x , 1

c∂M∂t = ∂Z

∂x −∂X∂z ,

1c

∂Z∂t = ∂M

∂x −∂L∂y , 1

c∂N∂t = ∂X

∂y −∂Y∂x ,

where (X, Y, Z) denotes the vector of the electric force, and (L, M, N) that of themagnetic force.

If we apply to these equations the transformation developed in § 3, by refe-rring the electromagnetic processes to the system of co-ordinates there introduced,moving with the velocity v, we obtain the equations

1c

∂X∂τ = ∂

∂η

β

(N− v

c Y)

− ∂∂ζ

β

(M + v

c Z)

,

1c

∂∂τ

β

(Y− v

c N)

= ∂L∂ξ − ∂

∂ζ

β

(N− v

c Y)

,

1c

∂∂τ

β

(Z + v

c M)

= ∂∂ξ

β

(M + v

c Z)

− ∂L∂η ,

1c

∂L∂τ = ∂

∂ζ

β

(Y− v

c N)

− ∂∂η

β

(Z + v

c M)

,

1c

∂∂τ

β

(M + v

c Z)

= ∂∂ξ

β

(Z + v

c M)

− ∂X∂ζ ,

1c

∂∂τ

β

(N− v

c Y)

= ∂X∂η − ∂

∂ξ

β

(Y− v

c N)

,

where

notas edc (v. 1.0)


B–17


β = 1/√

1− v2/c2.

Now the principle of relativity requires that if the Maxwell-Hertz equations forempty space hold good in system K, they also hold good in system k; that is tosay that the vectors of the electric and the magnetic force—(X′, Y′, Z′) and (L′, M′,N′)—of the moving system k, which are defined by their ponderomotive effects onelectric or magnetic masses respectively, satisfy the following equations:—

1c

∂X′∂τ = ∂N′

∂η −∂M′∂ζ , 1

c∂L′∂τ = ∂Y′

∂ζ −∂Z′∂η ,

1c

∂Y′∂τ = ∂L′

∂ζ −∂N′∂ξ , 1

c∂M′∂τ = ∂Z′

∂ξ −∂X′∂ζ ,

1c

∂Z′∂τ = ∂M′

∂ξ −∂L′∂η , 1

c∂N′∂τ = ∂X′

∂η −∂Y′∂ξ .

Evidently the two systems of equations found for system k must express exactlythe same thing, since both systems of equations are equivalent to the Maxwell-Hertz equations for system K. Since, further, the equations of the two systemsagree, with the exception of the symbols for the vectors, it follows that the functionsoccurring in the systems of equations at corresponding places must agree, with theexception of a factor ψ(v), which is common for all functions of the one system ofequations, and is independent of ξ, η, ζ and τ but depends upon v. Thus we havethe relations

X′ = ψ(v)X, L′ = ψ(v)L,Y′ = ψ(v)β

(Y− v

c N)

, M′ = ψ(v)β(M + v

c Z)

,Z′ = ψ(v)β

(Z + v

c M)

, N′ = ψ(v)β(N− v

c Y)

.

If we now form the reciprocal of this system of equations, firstly by solvingthe equations just obtained, and secondly by applying the equations to the inversetransformation (from k to K), which is characterized by the velocity −v, it follows,when we consider that the two systems of equations thus obtained must be identi-cal, that ψ(v)ψ(−v) = 1. Further, from reasons of symmetry8 and therefore

8If, for example, X=Y=Z=L=M=0, and N 6= 0, then from reasons of symmetry it is clear that whenv changes sign without changing its numerical value, Y′ must also change sign without changingits numerical value.

B–18


notas edc (v. 1.0)


ψ(v) = 1,

and our equations assume the form

X′ = X, L′ = L,Y′ = β

(Y− v

c N)

, M′ = β(M + v

c Z)

,Z′ = β

(Z + v

c M)

, N′ = β(N− v

c Y)

.

As to the interpretation of these equations we make the following remarks: Let apoint charge of electricity have the magnitude “one” when measured in the statio-nary system K, i.e. let it when at rest in the stationary system exert a force of onedyne upon an equal quantity of electricity at a distance of one cm. By the principleof relativity this electric charge is also of the magnitude “one” when measured inthe moving system. If this quantity of electricity is at rest relatively to the stationarysystem, then by definition the vector (X, Y, Z) is equal to the force acting upon it. Ifthe quantity of electricity is at rest relatively to the moving system (at least at therelevant instant), then the force acting upon it, measured in the moving system, isequal to the vector (X′, Y′, Z′). Consequently the first three equations above allowthemselves to be clothed in words in the two following ways:—

1. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field, thereacts upon it, in addition to the electric force, an “electromotive force” which, if weneglect the terms multiplied by the second and higher powers of v/c, is equal tothe vector-product of the velocity of the charge and the magnetic force, divided bythe velocity of light. (Old manner of expression.)

2. If a unit electric point charge is in motion in an electromagnetic field, theforce acting upon it is equal to the electric force which is present at the locality ofthe charge, and which we ascertain by transformation of the field to a system ofco-ordinates at rest relatively to the electrical charge. (New manner of expression.)

The analogy holds with “magnetomotive forces.” We see that electromotive for-ce plays in the developed theory merely the part of an auxiliary concept, whichowes its introduction to the circumstance that electric and magnetic forces do notexist independently of the state of motion of the system of co-ordinates.

Furthermore it is clear that the asymmetry mentioned in the introduction as ari-sing when we consider the currents produced by the relative motion of a magnetand a conductor, now disappears. Moreover, questions as to the “seat” of electrody-namic electromotive forces (unipolar machines) now have no point.

notas edc (v. 1.0)


B–19


§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration

In the system K, very far from the origin of co-ordinates, let there be a sour-ce of electrodynamic waves, which in a part of space containing the origin ofco-ordinates may be represented to a sufficient degree of approximation by theequations

X = X0 sen Φ, L = L0 sen Φ,Y = Y0 sen Φ, M = M0 sen Φ,Z = Z0 sen Φ, N = N0 sen Φ,

where

Φ = ω

t− 1

c(lx + my + nz)

.

Here (X0, Y0, Z0) and (L0, M0, N0) are the vectors defining the amplitude of thewave-train, and l, m, n the direction-cosines of the wave-normals. We wish to knowthe constitution of these waves, when they are examined by an observer at rest inthe moving system k.

Applying the equations of transformation found in § 6 for electric and magneticforces, and those found in § 3 for the co-ordinates and the time, we obtain directly

X′ = X0 sen Φ′, L′ = L0 sen Φ′,Y′ = β(Y0 − vN0/c) sen Φ′, M′ = β(M0 + vZ0/c) sen Φ′,Z′ = β(Z0 + vM0/c) sen Φ′, N′ = β(N0 − vY0/c) sen Φ′,

Φ′ = ω′

τ − 1c (l′ξ + m′η + n′ζ)

where

ω′ = ωβ(1− lv/c),

l′ =l − v/c

1− lv/c,

m′ =m

β(1− lv/c),

n′ =n

β(1− lv/c).

From the equation for ω′ it follows that if an observer is moving with velocityv relatively to an infinitely distant source of light of frequency ν, in such a way

B–20


notas edc (v. 1.0)


that the connecting line “source-observer” makes the angle φ with the velocity ofthe observer referred to a system of co-ordinates which is at rest relatively to thesource of light, the frequency ν′ of the light perceived by the observer is given bythe equation

ν′ = ν1− cos φ · v/c√

1− v2/c2.

This is Doppler’s principle for any velocities whatever. When φ = 0 the equationassumes the perspicuous form

ν′ = ν

√1− v/c1 + v/c

.

We see that, in contrast with the customary view, when v = −c, ν′ = ∞.

If we call the angle between the wave-normal (direction of the ray) in the movingsystem and the connecting line “source-observer” φ′, the equation for φ′** assumesthe form

cos φ′ =cos φ− v/c

1− cos φ · v/c.

This equation expresses the law of aberration in its most general form. If φ = 12 π,

the equation becomes simply

cos φ′ = −v/c.

We still have to find the amplitude of the waves, as it appears in the moving sys-tem. If we call the amplitude of the electric or magnetic force A or A′ respectively,accordingly as it is measured in the stationary system or in the moving system, weobtain

A′2 = A2 (1− cos φ · v/c)2

1− v2/c2

which equation, if φ = 0, simplifies into

A′2 = A2 1− v/c1 + v/c

.

** Editor’s note: Erroneously given as “l′” in the 1923 English translation, propagating an error, despitea change in symbols, from the original 1905 paper.

notas edc (v. 1.0)


B–21


It follows from these results that to an observer approaching a source of lightwith the velocity c, this source of light must appear of infinite intensity.

§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of thePressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors

Since A2/8π equals the energy of light per unit of volume, we have to regardA′2/8π, by the principle of relativity, as the energy of light in the moving system.Thus A′2/A2 would be the ratio of the “measured in motion” to the “measuredat rest” energy of a given light complex, if the volume of a light complex werethe same, whether measured in K or in k. But this is not the case. If l, m, n arethe direction-cosines of the wave-normals of the light in the stationary system, noenergy passes through the surface elements of a spherical surface moving with thevelocity of light:—

(x− lct)2 + (y−mct)2 + (z− nct)2 = R2.

We may therefore say that this surface permanently encloses the same light com-plex. We inquire as to the quantity of energy enclosed by this surface, viewed insystem k, that is, as to the energy of the light complex relatively to the system k.

The spherical surface—viewed in the moving system—is an ellipsoidal surface,the equation for which, at the time τ = 0, is

(βξ − lβξv/c)2 + (η −mβξv/c)2 + (ζ − nβξv/c)2 = R2.

If S is the volume of the sphere, and S′ that of this ellipsoid, then by a simplecalculation

S′

S=

√1− v2/c2

1− cos φ · v/c.

Thus, if we call the light energy enclosed by this surface E when it is measured inthe stationary system, and E′ when measured in the moving system, we obtain

E′

E=

A′2S′

A2S=

1− cos φ · v/c√1− v2/c2

,

and this formula, when φ = 0, simplifies into

B–22


notas edc (v. 1.0)


E′

E=

√1− v/c1 + v/c

.

It is remarkable that the energy and the frequency of a light complex vary withthe state of motion of the observer in accordance with the same law.

Now let the co-ordinate plane ξ = 0 be a perfectly reflecting surface, at whichthe plane waves considered in § 7 are reflected. We seek for the pressure of lightexerted on the reflecting surface, and for the direction, frequency, and intensity ofthe light after reflexion.

Let the incidental light be defined by the quantities A, cos φ, ν (referred tosystem K). Viewed from k the corresponding quantities are

A′ = A1− cos φ · v/c√

1− v2/c2,

cos φ′ =cos φ− v/c

1− cos φ · v/c,

ν′ = ν1− cos φ · v/c√

1− v2/c2.

For the reflected light, referring the process to system k, we obtain

A′′ = A′

cos φ′′ = − cos φ′

ν′′ = ν′

Finally, by transforming back to the stationary system K, we obtain for the reflectedlight

A′′′ = A′′ 1 + cosφ′′ · v/c√1− v2/c2

= A1− 2 cos φ · v/c + v2/c2

1− v2/c2 ,

cos φ′′′ =cos φ′′ + v/c

1 + cos φ′′ · v/c= − (1 + v2/c2) cos φ− 2v/c

1− 2 cos φ · v/c + v2/c2 ,

ν′′′ = ν′′1 + cos φ′′ · v/c√

1− v2/c2= ν

1− 2 cos φ · v/c + v2/c2

1− v2/c2 .

notas edc (v. 1.0)


B–23


The energy (measured in the stationary system) which is incident upon unitarea of the mirror in unit time is evidently A2(c cos φ− v)/8π. The energy leavingthe unit of surface of the mirror in the unit of time is A′′′2(−c cos φ′′′ + v)/8π. Thedifference of these two expressions is, by the principle of energy, the work done bythe pressure of light in the unit of time. If we set down this work as equal to theproduct Pv, where P is the pressure of light, we obtain

P = 2 · A2

8π

(cos φ− v/c)2

1− v2/c2 .

In agreement with experiment and with other theories, we obtain to a first appro-ximation

P = 2 · A2

8πcos2 φ.

All problems in the optics of moving bodies can be solved by the method hereemployed. What is essential is, that the electric and magnetic force of the lightwhich is influenced by a moving body, be transformed into a system of co-ordinatesat rest relatively to the body. By this means all problems in the optics of movingbodies will be reduced to a series of problems in the optics of stationary bodies.

§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-Currents are Taken into Account

We start from the equations

1c

∂X∂t + uxρ

= ∂N

∂y −∂M∂z , 1

c∂L∂t = ∂Y

∂z −∂Z∂y ,

1c

∂Y∂t + uyρ

= ∂L

∂z −∂N∂x , 1

c∂M∂t = ∂Z

∂x −∂X∂z ,

1c

∂Z∂t + uzρ

= ∂M

∂x −∂L∂y , 1

c∂N∂t = ∂X

∂y −∂Y∂x ,

where

ρ =∂X∂x

+∂Y∂y

+∂Z∂z

B–24


notas edc (v. 1.0)


denotes 4π times the density of electricity, and (ux, uy, uz) the velocity-vector ofthe charge. If we imagine the electric charges to be invariably coupled to smallrigid bodies (ions, electrons), these equations are the electromagnetic basis of theLorentzian electrodynamics and optics of moving bodies.

Let these equations be valid in the system K, and transform them, with theassistance of the equations of transformation given in §§ 3 and 6, to the system k.We then obtain the equations

1c

∂X′∂τ + uξρ′

= ∂N′

∂η −∂M′∂ζ , 1

c∂L′∂τ = ∂Y′

∂ζ −∂Z′∂η ,

1c

∂Y′∂τ + uηρ′

= ∂L′

∂ζ −∂N′∂ξ , 1

c∂M′∂τ = ∂Z′

∂ξ −∂X′∂ζ ,

1c

∂Z′∂τ + uζρ′

= ∂M′

∂ξ −∂L′∂η , 1

c∂N′∂τ = ∂X′

∂η −∂Y′∂ξ ,

where

uξ =ux − v

1− uxv/c2

uη =uy

β(1− uxv/c2)

uζ =uz

β(1− uxv/c2),

and

ρ′ =∂X′

∂ξ+

∂Y′

∂η+

∂Z′

∂ζ

= β(1− uxv/c2)ρ.

Since—as follows from the theorem of addition of velocities (§ 5)—the vector(uξ , uη, uζ) is nothing else than the velocity of the electric charge, measured inthe system k, we have the proof that, on the basis of our kinematical principles, theelectrodynamic foundation of Lorentz’s theory of the electrodynamics of movingbodies is in agreement with the principle of relativity.

notas edc (v. 1.0)


B–25


In addition I may briefly remark that the following important law may easily bededuced from the developed equations: If an electrically charged body is in motionanywhere in space without altering its charge when regarded from a system ofco-ordinates moving with the body, its charge also remains—when regarded fromthe “stationary” system K—constant.

§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron

Let there be in motion in an electromagnetic field an electrically charged particle(in the sequel called an “electron”), for the law of motion of which we assume asfollows:—

If the electron is at rest at a given epoch, the motion of the electron ensues inthe next instant of time according to the equations

md2xdt2 = εX

md2ydt2 = εY

md2zdt2 = εZ

where x, y, z denote the co-ordinates of the electron, and m the mass of the electron,as long as its motion is slow.

Now, secondly, let the velocity of the electron at a given epoch be v. We seek thelaw of motion of the electron in the immediately ensuing instants of time.

Without affecting the general character of our considerations, we may and willassume that the electron, at the moment when we give it our attention, is at theorigin of the co-ordinates, and moves with the velocity v along the axis of X of thesystem K. It is then clear that at the given moment (t = 0) the electron is at restrelatively to a system of co-ordinates which is in parallel motion with velocity valong the axis of X.

From the above assumption, in combination with the principle of relativity, itis clear that in the immediately ensuing time (for small values of t) the electron,viewed from the system k, moves in accordance with the equations

B–26


notas edc (v. 1.0)


md2ξ

dτ2 = εX′,

md2η

dτ2 = εY′,

md2ζ

dτ2 = εZ′,

in which the symbols ξ, η, ζ, X′, Y′, Z′ refer to the system k. If, further, we decidethat when t = x = y = z = 0 then τ = ξ = η = ζ = 0, the transformation equationsof §§ 3 and 6 hold good, so that we have

ξ = β(x− vt), η = y, ζ = z, τ = β(t− vx/c2),X′ = X, Y′ = β(Y− vN/c), Z′ = β(Z + vM/c).

With the help of these equations we transform the above equations of motionfrom system k to system K, and obtain

d2xdt2 = ε

mβ3 Xd2ydt2 = ε

mβ

(Y− v

c N)

d2zdt2 = ε

mβ

(Z + v

c M)

· · · (A)

Taking the ordinary point of view we now inquire as to the “longitudinal” andthe “transverse” mass of the moving electron. We write the equations (A) in theform

mβ3 d2xdt2 = εX = εX′,

mβ2 d2ydt2 = εβ

(Y− v

c N)

= εY′,mβ2 d2z

dt2 = εβ(Z + v

c M)

= εZ′,

and remark firstly that εX′, εY′, εZ′ are the components of the ponderomotiveforce acting upon the electron, and are so indeed as viewed in a system moving atthe moment with the electron, with the same velocity as the electron. (This forcemight be measured, for example, by a spring balance at rest in the last-mentionedsystem.) Now if we call this force simply “the force acting upon the electron,”9 andmaintain the equation—mass × acceleration = force—and if we also decide that

9The definition of force here given is not advantageous, as was first shown by M. Planck. It ismore to the point to define force in such a way that the laws of momentum and energy assume thesimplest form.

notas edc (v. 1.0)


B–27


the accelerations are to be measured in the stationary system K, we derive from theabove equations

Longitudinal mass =m

(√

1− v2/c2)3.

Transverse mass =m

1− v2/c2 .

With a different definition of force and acceleration we should naturally obtainother values for the masses. This shows us that in comparing different theories ofthe motion of the electron we must proceed very cautiously.

We remark that these results as to the mass are also valid for ponderable ma-terial points, because a ponderable material point can be made into an electron (inour sense of the word) by the addition of an electric charge, no matter how small.

We will now determine the kinetic energy of the electron. If an electron movesfrom rest at the origin of co-ordinates of the system K along the axis of X underthe action of an electrostatic force X, it is clear that the energy withdrawn from theelectrostatic field has the value

∫εX dx. As the electron is to be slowly accelerated,

and consequently may not give off any energy in the form of radiation, the energywithdrawn from the electrostatic field must be put down as equal to the energy ofmotion W of the electron. Bearing in mind that during the whole process of motionwhich we are considering, the first of the equations (A) applies, we therefore obtain

W =∫

εX dx = m∫ v

0β3v dv

= mc2

1√1− v2/c2

− 1

.

Thus, when v = c, W becomes infinite. Velocities greater than that of lighthave—as in our previous results—no possibility of existence.

This expression for the kinetic energy must also, by virtue of the argumentstated above, apply to ponderable masses as well.

We will now enumerate the properties of the motion of the electron which resultfrom the system of equations (A), and are accessible to experiment.

1. From the second equation of the system (A) it follows that an electric forceY and a magnetic force N have an equally strong deflective action on an electronmoving with the velocity v, when Y = Nv/c. Thus we see that it is possible by

B–28


notas edc (v. 1.0)


our theory to determine the velocity of the electron from the ratio of the magneticpower of deflexion Am to the electric power of deflexion Ae, for any velocity, byapplying the law

Am

Ae=

vc

.

This relationship may be tested experimentally, since the velocity of the electroncan be directly measured, e.g. by means of rapidly oscillating electric and magneticfields.

2. From the deduction for the kinetic energy of the electron it follows that be-tween the potential difference, P, traversed and the acquired velocity v of the elec-tron there must be the relationship

P =∫

Xdx =mε

c2

1√1− v2/c2

− 1

.

3. We calculate the radius of curvature of the path of the electron when a mag-netic force N is present (as the only deflective force), acting perpendicularly to thevelocity of the electron. From the second of the equations (A) we obtain

−d2ydt2 =

v2

R=

ε

mvc

N

√1− v2

c2

or

R =mc2

ε· v/c√

1− v2/c2· 1

N.

These three relationships are a complete expression for the laws according towhich, by the theory here advanced, the electron must move.

In conclusion I wish to say that in working at the problem here dealt with Ihave had the loyal assistance of my friend and colleague M. Besso, and that I amindebted to him for several valuable suggestions.

notas edc (v. 1.0)


B–29


About this Document

This edition of Einstein’s On the Electrodynamics of Moving Bodies is based on theEnglish translation of his original 1905 German-language paper (published as ZurElektrodynamik bewegter Körper, in Annalen der Physik. 17:891, 1905) which appearedin the book The Principle of Relativity, published in 1923 by Methuen and Company,Ltd. of London. Most of the papers in that collection are English translations fromthe German Das Relativatsprinzip, 4th ed., published by in 1922 by Tuebner. All ofthese sources are now in the public domain; this document, derived from them,remains in the public domain and may be reproduced in any manner or mediumwithout permission, restriction, attribution, or compensation.

Numbered footnotes are as they appeared in the 1923 edition; editor’s notes aremarked by a dagger (†) and appear in sans serif type. The 1923 English translationmodified the notation used in Einstein’s 1905 paper to conform to that in use by the1920’s; for example, c denotes the speed of light, as opposed the V used by Einsteinin 1905.

This edition was prepared by John Walker. The current version of this documentis available in a variety of formats from the editor’s Web site:

http://www.fourmilab.ch/

B–30


notas edc (v. 1.0)

Apéndice C

Does the Inertia of a Body Dependupon its Energy-Content?,by A. Einstein

notas edc (v. 1.0)


C–1

Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?

Does the Inertia of a Body Depend upon itsEnergy-Content?

by A. Einstein

September 27, 1905

The results of the previous investigation lead to a very interesting conclusion,which is here to be deduced.

I based that investigation on the Maxwell-Hertz equations for empty space,together with the Maxwellian expression for the electromagnetic energy of space,and in addition the principle that:—

The laws by which the states of physical systems alter are independent of the alternative,to which of two systems of coordinates, in uniform motion of parallel translation relativelyto each other, these alterations of state are referred (principle of relativity).

With these principles* as my basis I deduced inter alia the following result(§ 8):—

Let a system of plane waves of light, referred to the system of co-ordinates(x, y, z), possess the energy l; let the direction of the ray (the wave-normal) makean angle φ with the axis of x of the system. If we introduce a new system of co-ordinates (ξ, η, ζ) moving in uniform parallel translation with respect to the system(x, y, z), and having its origin of co-ordinates in motion along the axis of x with thevelocity v, then this quantity of light—measured in the system (ξ, η, ζ)—possessesthe energy

l∗ = l1− v

c cosφ√

1− v2/c2

where c denotes the velocity of light. We shall make use of this result in whatfollows.

Let there be a stationary body in the system (x, y, z), and let its energy—referredto the system (x, y, z) be E0. Let the energy of the body relative to the system (ξ, η, ζ)moving as above with the velocity v, be H0.

Let this body send out, in a direction making an angle φ with the axis of x, planewaves of light, of energy 1

2L measured relatively to (x, y, z), and simultaneously anequal quantity of light in the opposite direction. Meanwhile the body remains at

*The principle of the constancy of the velocity of light is of course contained in Maxwell’s equa-tions.

notas edc (v. 1.0)


C–3

Apéndice C. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?,by A. Einstein

rest with respect to the system (x, y, z). The principle of energy must apply to thisprocess, and in fact (by the principle of relativity) with respect to both systems ofco-ordinates. If we call the energy of the body after the emission of light E1 or H1

respectively, measured relatively to the system (x, y, z) or (ξ, η, ζ) respectively, thenby employing the relation given above we obtain

E0 = E1 +12

L +12

L,

H0 = H1 +12

L1− v

c cosφ√

1− v2/c2+

12

L1 + v

c cosφ√

1− v2/c2

= H1 +L√

1− v2/c2.

By subtraction we obtain from these equations

H0 − E0 − (H1 − E1) = L

1√1− v2/c2

− 1

.

The two differences of the form H − E occurring in this expression have simplephysical significations. H and E are energy values of the same body referred to twosystems of co-ordinates which are in motion relatively to each other, the body beingat rest in one of the two systems (system (x, y, z)). Thus it is clear that the differenceH− E can differ from the kinetic energy K of the body, with respect to the othersystem (ξ, η, ζ), only by an additive constant C, which depends on the choice of thearbitrary additive constants of the energies H and E. Thus we may place

H0 − E0 = K0 + C,

H1 − E1 = K1 + C,

since C does not change during the emission of light. So we have

K0 −K1 = L

1√1− v2/c2

− 1

.

The kinetic energy of the body with respect to (ξ, η, ζ) diminishes as a resultof the emission of light, and the amount of diminution is independent of the pro-perties of the body. Moreover, the difference K0 −K1, like the kinetic energy of theelectron (§ 10), depends on the velocity.

Neglecting magnitudes of fourth and higher orders we may place

C–4


notas edc (v. 1.0)

Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?

K0 −K1 =12

Lc2 v2.

From this equation it directly follows that:—

If a body gives off the energy L in the form of radiation, its mass diminishes by L/c2.The fact that the energy withdrawn from the body becomes energy of radiationevidently makes no difference, so that we are led to the more general conclusionthat

The mass of a body is a measure of its energy-content; if the energy changes byL, the mass changes in the same sense by L/9× 1020, the energy being measuredin ergs, and the mass in grammes.

It is not impossible that with bodies whose energy-content is variable to a highdegree (e.g. with radium salts) the theory may be successfully put to the test.

If the theory corresponds to the facts, radiation conveys inertia between theemitting and absorbing bodies.

notas edc (v. 1.0)


C–5

Apéndice C. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?,by A. Einstein

About this Document

This edition of Einstein’s Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Contentis based on the English translation of his original 1905 German-language paper(published as Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, in An-nalen der Physik. 18:639, 1905) which appeared in the book The Principle of Relativity,published in 1923 by Methuen and Company, Ltd. of London. Most of the papersin that collection are English translations by W. Perrett and G.B. Jeffery from theGerman Das Relativatsprinzip, 4th ed., published by in 1922 by Tuebner. All of thesesources are now in the public domain; this document, derived from them, remainsin the public domain and may be reproduced in any manner or medium withoutpermission, restriction, attribution, or compensation.

The footnote is as it appeared in the 1923 edition. The 1923 English translationmodified the notation used in Einstein’s 1905 paper to conform to that in use by the1920’s; for example, c denotes the speed of light, as opposed the V used by Einsteinin 1905. In this paper Einstein uses L to denote energy; the italicised sentence inthe conclusion may be written as the equation “m = L/c2” which, using the moremodern E instead of L to denote energy, may be trivially rewritten as “E = mc2”.

This edition was prepared by John Walker. The current version of this documentis available in a variety of formats from the editor’s Web site:

http://www.fourmilab.ch/

C–6


notas edc (v. 1.0)

Apéndice F

Fórmulas

~u · (~u×~v) = 0 (F.1.1)

~u× (~v× ~w) = (~u · ~w)~v− (~u ·~v)~w (F.1.2)

(~u×~v) · (~w×~z) = (~u · ~w)(~v ·~z)− (~u ·~z)(~v · ~w) (F.1.3)

~u · (~v× ~w) = ~v · (~w× ~u) = ~w · (~u×~v) (F.1.4)

~∇ · (~u×~v) = ~v · (~∇× ~u)− ~u · (~∇×~v) (F.2.1)~∇(~u ·~v) = (~u · ~∇)~v + (~v · ~∇)~u + ~u× (~∇×~v) +~v× (~∇× ~u) (F.2.2)~∇ · ( f~u) = ~∇ f · ~u + f ~∇ · ~u (F.2.3)~∇× ( f~u) = ~∇ f × ~u + f ~∇× ~u (F.2.4)~∇× (~u×~v) = ~u(~∇ ·~v)−~v(~∇ · ~u) + (~v · ~∇)~u− (~u · ~∇)~v (F.2.5)

~∇× (~∇×~v) = ~∇(~∇ ·~v)− ~∇2~v (F.3.1)~∇ · (~∇× ~G) = 0 (F.3.2)~∇× (~∇G) = 0 (F.3.3)~∇ · ( f ~∇g) = ~∇ f · ~∇g + f ~∇2g (F.3.4)

notas edc (v. 1.0)


F–1

Apéndice F. Fórmulas

~∇×~x = 0 (F.4.1)~∇ ·~x = 3 (F.4.2)

~∇ 1|~x| = − x

|~x|2 (F.4.3)

~∇2 1|~x| = −4πδ3(~x) (F.4.4)

~∇ · ~x|~x|3 = −~∇2 1

|~x| = 4πδ3(~x) (F.4.5)

~∇|~x| = x (F.4.6)

Cambio de base: de coordenadas cartesianas a esféricas

ex = sen θ cos ϕ er + cos θ cos ϕ eθ − sen ϕ eϕ (F.5.1)

ey = sen θ sen ϕ er + cos θ sen ϕ eθ + cos ϕ eϕ (F.5.2)

ez = cos θ er − sen θ eθ (F.5.3)

er = sen θ cos ϕ ex + sen θ sen ϕ ey + cos θ ez (F.5.4)

eθ = cos θ cos ϕ ex + cos θ sen ϕ ey − sen θ ez (F.5.5)

eϕ = − sen ϕ ex − cos ϕ ey (F.5.6)

Laplaciano en esféricas:

~∇2 f =1r2 ∂r(r2∂r f ) +

1r2 sen θ

∂θ(sen θ∂θ f ) +1

r2 sen2 θ∂2

φ f (F.6.1)

Laplaciano bidimensional en polares:

~∇2 f =1r

∂r(r∂r f ) +1r

∂2ϕ f (F.6.2)

La delta de Dirac y la transformada de Fourier:

√2πδ(x) =

1√2π

∫ ∞

−∞dke−ikx (F.6.3)

F–2


notas edc (v. 1.0)

electrodinamica clásica

Engineering