rm2 4° 1 b

25 26COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO4to Año Secundaria

Tanto por cientoSe llama tanto por ciento, al número de unidades que se considera de cada 100.

El porcentaje se puede calcular aplicando una regla de tres simple directa o aplicando una fórmula que se deduce del siguiente problema general.

Hallar el n% de S.

100 -------------- nS ----------------- x

X = n / 100 x S.

El % es un quebrado cuyo denominador es 100. Así , para calcular el 12% de 800.

= 12/ 100 x 800= 96

El porcentaje como fracción:* El 15% de N = 15/100 x N = 3/20 N

* El 20% de N = 20 /100 x N =1/ 5 N

NOTA:Por ser el tanto por ciento una fracción, sus propiedades serán las mismas de las fracciones.

Operaciones Básicas:Siempre cumplen que:

1. N = 100% N2. a% N b % N = (a b)% N

3. a% del b % del c % de N es:

4. a % del b % de N es:

Ejemplo:20% del 40% de N es:

PROBLEMAS RESUELTOS

01. Hallar el 10% de 240.

Solución:Una cantidad cuando no sufre ninguna variación esta representada por su 100%, según el ejercicio.

240 es el 100%, entonces: x es el 10%

x = (240 .10%)/100% x = 24

02. Hallar el 12% de 50.

Solución:

50 ……… 100% x ……… 12%

x = (50.12%) /100% x = 6

03. Hallar el 16 2/3% de 42.

Solución:

42 ……….. 100%x ……….. 16 2/3 %

x = ( 42 . 50/3 %)/100%x = 7

04.¿Qué porcentaje es 75 de 1250?.

Solución:

1250 es su 100%; 75 será su X%.

1250 ……… 100% 75 ……… X

X = (75 . 100%)/1250 = 6%.

05.¿Qué porcentaje de 512 es 0,64?.

Solución:

512 ……… 100% 0,64 ………..X

X = (0,64 . 100%)/512 X = 1/8

06.¿ Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de 800, es 2400?.

Solución:

2400 ……… 100% ½ .3/4. 800 ……… X.

x = (1/2. 3/4. 800. 100%) /2400 = 12,5%

07. ¿De qué número es 208 el 4% más?

Solución:

Al número que se busca se le representa por su 100%. Como 208 es el 4% más que el número que se busca. Entonces 208 será el 100% +

4% = 104% del número que se busca. Luego:

104% …………… 208100% …………… X

X = (100%) (208) /104% = 200.

08.¿De qué número es 918 el 12 ½% más?

Solución:

112,5% ……………918100% …………… X

X = (100%)(918)/112,5 = 816.

09.¿De qué número es 276 el 8% menos?

Solución:

Al número que se busca se le representa por su 100%. Como 276 es el 8% menos que el número que se busca. Luego:

92% …….......... 276100% …......…… X

X = (100%)(276)/92% = 300.

10.¿De qué número es 514,71 el ¼% menos?

Solución:

99,75% ….....…....... 514,71 100% ………........ X

X = (100%)(514,71)/99,75% = 516

11. De un terreno de 50 hectáreas; se vende el 16% y se arrienda el 14%. ¿Cuántas hectáreas quedan?

S4RM31B " El nuevo símbolo de una buena educación...” S4RM31B “" El nuevo símbolo de una buena educación... ”

I BIMESTRE

PORCEN


Solución:

Según el enunciado del problema; se tiene: lo que se vende y se arrienda que es el: 16% + 14% = 30% el total es el 100% = 30% + 70%. Luego:

100% ………. 50 Ha. 70% ………. X Ha

X = (70%) (50 Ha)/100 = 35 Ha.12. Si Manuel gasta el 8

1/7% de su dinero y se queda con S/. 6430. El dinero que tenía al comienzo es:

Solución:

Según el enunciado del problema, se tiene: Al dinero de Manuel se le representa por su 100%. Al gastar 81/7% de su dinero, se queda con: 99 7/7% - 81/7% =91 6/7%.Luego:

91 6/7% ……… S/.6430100% ……… X

X =(6430)( 100%)/ 91 6/7% =S/. 7000

PRÁCTICA DE CLASE

01.¿De qué número es 804 el 34% más?

a) 100 b) 200 c) 400d) 600 e) N.a.

02.¿De qué número es 315 el 12 ½% más?.

a) 120 b) 130 c) 160d) 140 e) N.a.

03.¿De que número es 792 el 5 3/5% más?

a) 700 b) 750 c) 600d) 650 e) N.a.


a) 300 b) 200 c) 350d) 400 e) N.a.

05.¿De qué número es 399 el ¼% menos?

a) 400 b) 500 c) 100d) 200 e) N.a.

06.¿De qué número es 425 el 16 2/3% menos?.

a) 420 b) 510 c) 380d) 490 e) N.a.

07.Si Diego tuviera un 8% más de la edad que tiene, su edad sería 27 años. ¿Cuál es su edad actual?

a) 20 b) 22 c) 23d) 25 e) 27

08.Si Carlos tuviera el 20% más de la edad que tiene tendría 36 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

a) 30 b) 40 c) 50d) 60 e) N.a.

09. Si yo tuviera el 40% más del dinero que tengo, tendría S/. 140. Si del dinero que tengo gasto el 65%. ¿Cuánto me sobraría?

a) 65 b) 35 c) 40d) 75 e) 25

10. Si de las computadoras que tuve, hubiera vendido 10% menos; me sobrarían 360 computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?

a) 410 b) 320 c) 200d) 100 e) 400

11. El 12% de 40 es el 15% de N entonces. ¿Cuánto vale N?

a) 40 b) 20 c) 26d) 38 e) 25


a) 280 b) 240 c) 260d) 230 e) 250

13. ¿Qué porcentaje del doble del 50% de un número es el 40% del 70% del mismo número?.

a) 2% b) 10% c) 28%d) 24% e) 15%

14. ¿Qué porcentaje del triple de 24% de un número es el 6% del 80% del mismo número?.

a) 20/3% b) 24% c) 20%d) 34/3% e) 25/2%

15. ¿Qué porcentaje del 15% de la mitad del 60% de un número es el doble del 5% del 90% de la quinta parte del mismo número?.

a) 85% b) 96% c) 200%d) 80% e) 120%

16. En una reunión el 60% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál

es el nuevo porcentaje de hombres?.

a) 20% b) 30% c) 25%d) 15% e) 10%

17. De 700 espectadores de un cine, 196 son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en el cine?

a) 25% b) 72% c) 45%d) 10% e) 42%

18. Si el 150% de A es igual al 30% de B y, el 20% menos de B es igual al 20% más que C. ¿Qué porcentaje de A es el 60% de C?

a) 45% b) 60% c) 20%d) 40% e) 50%

19. En un salón de clases el número de hombres equivale al 60% del total. Si se retiran el 50% de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?

a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

20. En un salón de clases el número de hombres equivale al 50% del total. Si se retiran el 50% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del resto son hombres?

a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01




a) 100 b) 200 c) 250 d) 300 e) 350

02. ¿De qué número es 157,50 el 12 ½% más?.

a) 120 b) 140 c) 160d) 180 e) 200

03.¿De que número es 264 el 5 3/5% más?

a) 150 b) 200 c) 230d) 250 e) 270

04. ¿De qué número es 168 el 4% menos?

a) 175 b) 180 c) 185d) 190 e) 195

05.¿De qué número es 798 el ¼% menos?

a) 600 b) 700 c) 800 d) 400 e) 500

06.¿De qué número es 850 el 16 2/3% menos?.

a) 860 b) 930 c) 980d) 1000 e) 1020

07. Si Luis tuviera un 8% más de la edad que tiene, su edad sería 54 años. ¿Cuál es su edad actual?

a) 25 b) 30 c) 35d) 40 e) 50

08. Si Pedro tuviera el 20% más de la edad que tiene tendría 72 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

a) 50 b) 55 c) 60 d) 65 e) 70

09. Si yo tuviera el 40% más del dinero que tengo, tendría S/. 280. Si del dinero que tengo gasto el 40%. ¿Cuánto me sobraría?

a) 120 b) 130 c) 140d) 125 e) 135

10. Si de las manzanas que tuve, hubiera comido el 10% menos; me sobrarían 360 manzanas. ¿Cuántas manzanas tuve?

a) 300 b) 400 c) 450d) 500 e) 600


a) 40 b) 42 c) 36d) 38 e) 45


a) 80 b) 40 c) 60d) 30 e) 50

13. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número?.a) 2% b) 10% c) 20%d) 24% e) 15%

14. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de 40% de un número es el 50% del 40% de los 2/5 del mismo número?.a) 12% b) 14% c) 20%d) 34% e) 5%

15. ¿Qué porcentaje de la mitad del 60% de un número es el 15% del 85% de la quinta parte del mismo número?.a) 8,5% b) 9,6% c) 60%d) 8% e) 85%

16. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?.

a) 20% b) 30% c) 25%d) 15% e) 10%

17. De 350 espectadores de un cine, 98 son mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de varones en el cine?

a) 25% b) 72% c) 45%d) 10% e) 42%

18. En un cubo. ¿Qué porcentaje del área total es el área de una cara?

a) 11 1/6 b) 13 1/4 c) 14 1/4d) 16 2/3 e) N.a.

19. Si el 120% de A es igual al 80% de B y, el 25% menos de B es igual al 60% más que C. ¿Qué porcentaje de A es el 64% de C?

a) 45% b) 60% c) 20%d) 40% e) 50%

20. En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% del total. Si se retiran el 20% de los hombres. ¿Qué porcentaje del resto son mujeres?

a) 24% b) 23% c) 12%d) 16,2% e) 23,8%

TAREA DOMICILIARIA


02.¿De qué número es 500 el 25% más?.



05.¿De qué número es 420 el 16% menos?.

06.Si Julio tuviera un 10% más de la edad que tiene, su edad sería 20 años. ¿Cuál es su edad actual?

08.Si Carlos tuviera el 20% menos de la edad que tiene tendría 40 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?

09.Si yo tuviera el 50% más del dinero que tengo, tendría S/. 600. Si del dinero que tengo gasto el 60%. ¿Cuánto me sobraría?

10.Si de los televisores que tuve, hubiera vendido 30% menos; me sobrarían 140 computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?


25 26

SUCESI

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO4to Año Secundaria

I. Definición

Es una secuencia de términos ordenados de acuerdo a una determinada Ley de Formación.

II. Tipos de sucesiones

A. Sucesiones numéricas:Formadas exclusivamente por números, los que están ordenados de acuerdo a su ley de formación, y relacionados por operaciones como adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación o la combinación de ellas.

Ejemplo:

3, 6, 9, 12, 15 (más 3)35, 33, 31, 29, 27

(menos 2)2, 4, 8, 16, 32 (por 2)64, 32, 16, 8, 4

(entre 2)

B. Sucesiones literales:Formadas exclusivamente por letras relacionadas por el abecedario o por alguna otra relación lógica.

Ejemplo:A, E, I, M (Dejando 3 letras)E, F, M, A (Iniciales de los meses)

Nota. Para las sucesiones literales las letras Ch y Ll del abecedario no se toman en cuenta

III.Término enésimo ( )Llamado también término general, es aquel que representa a cualquiera de los términos de una sucesión numérica.Ejemplo:

Si : tn = 2n + 3,

Donde: n = 1,2,3,4,…10

Sucesión : 5,7,9,11,…,23Si tn = ,

Donde:n = 2,3,4,…,7

Sucesión : 2,7,14,…,47

A. Cálculo de tn:En general, para calcular el término enésimo de una sucesión hay que darle una forma general a cada uno de sus términos.

Ejemplo:

Sucesión :

Dando forma general:

Luego, para el término de lugar “n” :

Sucesión : 5, 7, 9, 11, 13, …

Dando forma general:2(1)+3 , 2(2)+3 , 2(3)+3, 2(4)+3, 2(5)+3, …

Luego, para el término de lugar “n”:

tn = 2(n)+3

Sin embargo, existen algunas sucesiones de las que se puede calcular su término enésimo de una manera diferente. Estas son:

1. Sucesiones de Primer Grado: (Lineal)

Son aquellas que tienen una ley de formación de la forma:

(a 0)

(El exponente “n” es 1)Ejemplo:

Dada la sucesión: 5 , 8 , 11 , 14 , 17

Hallar su tn.

Solución:

Su ley de formación o tn será de la forma: an+b, luego:

Si n = 1 a(1)+b = a + b = 5 … (1)

Si n = 2 a(2)+b = 2a + b = 8… S4RM31B " El nuevo símbolo de una buena educación...” S4RM31B “" El nuevo símbolo de una buena educación... ”


(2)

De (1) y (2) se obtiene:a = 3 b = 2

Como ya conocemos a y b, luego:

2. Sucesiones de segundo grado: (Cuadrática)Son aquellas que tienen una ley de formación de la forma:

(a0)

(El mayor exponente “n” es 2)

Ejemplo:

Dada la sucesión: 6 , 11 , 18 , 27 , 38

Hallar su tn.Solución:

Su ley de formación o tn será de la forma

, luego:

Si n =1 = 6 ...(1)Si n = 2 = 4a +2b +c =11...(2)Si n = 3 9a +3b

+c =18...(3)

De (1) , (2) y (3) se obtiene:

a = 1, b = 2 c = 3

Como ya conocemos a, b y c, luego:

Nota 1: Si se tiene sucesiones con grado superior a la cuadrática, el modo de solución es análogo.

Nota 2: A la suma de los términos de cualquier sucesión se le denomina SERIE.

Nota 3: Cuando en una sucesión se cumple que:r = - ; , se trata de una sucesión o progresión aritmética, donde “r” es la razón. (Serán tratadas posteriormente).

Nota 4: Cuando en una sucesión se cumple que:

r = ; n>1, se trata de

una sucesión o progresión geométrica, donde “r” es la razón (serán tratadas posteriormente)

PRÁCTICA DE CLASE

01. 2; 6; 10; 14; 18; 22; ..........

a) 24 b) 14 c) 34d) 26 e) 21

02. 6; 9; 12; 15; 18; .....

a) 22 b) 24 c) 25d) 26 e) 21

03. 1; 5; 9; 13; 17; .....

a) 21 b) 22 c) 24d) 32 e) 31

04. 21; 19; 17; 15; ......

a) 18 b)13 c)16d)14 e)12

05. 1; 6; 11; 16; 21; 26; .......

a) 24 b) 25 c) 31d) 22 e) 23

06. 3; 5; 8; 12; 17; .........

a) 24 b) 25 c) 26d) 23 e) 27

07. 4; 7; 10; 15; 22; .........

a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 36

08. 7; 9; 13; 19; 27; ......

a) 37 b) 46 c) 16d) 15 e) 38

09. 6; 9; 11; 14; 16; ........

a) 29 b) 19 c) 18d) 20 e) 21

10. 4; 9; 13; 18; 22; ........; .........

a) 28; 33 b) 29; 32 c) 27; 31d) 27; 35 e) 35; 26

11. 2; 4; 8; 16; ......

a) 34 b) 26 c) 32d) 38 e) 40

12. 3; 9; 27; 81; ..........

a) 143 b) 200 c) 325d) 324 e) 243

13. 1; 4; 16; 64; 256; .........

a) 1012 b) 1016 c) 201d) 386 e) 1024

14. 2; 4; 12; 24; 72; .......

a) 144 b) 164 c) 256d) 146 e) 216

15. 1; 5; 25; 125; ......

a) 625 b) 525 c) 325d) 425 e) 125

16. 2; 4; 12; 24; 72; ......; ........

a)136; 324 b)144; 432 c)132; 464d)526; 236 e)544; 326

17. 3; 3; 6; 18; 72; .......

a) 360 b) 1021 c) 260d) 300 e) 100

18. 4; 8; 16; 32; 64; .......

a) 480 b) 384 c) 128d) 386 e) 382

19. 2; 2; 6; 30; 210; .....

a) 1296 b) 1890 c) 1920d) 1870 e) 1850



20. 2; 2; 6; 36; ........

a) 160 b) 360 c) 324d) 380 e) 361


01.16; 14; 12; 10; 8; x

a) 4 b) 7 c) 5d) 8 e) 6

02. 19; 21; 24; 28; x

a) 32 b) 31 c) 33d) 34 e) 36

03.

a) 3 b) c) d) 2 e)

04. 11; 13; 15; 17; 19; ?

a) 23 b) 25 c) 21d) 20 e) 22

05. 3; 3; 6; 18; ?

a) 70 b) 72 c) 36d) 84 e) 86

06. 6; 18; 36; 60; 90; x

a) 128 b) 126 c) 129d) 124 e) 122

07.

a) 1/14 b) 1/17 c) 1/15d) 1/19 e) 1/20

08. 4; 2; 7; 4; 12; 8; 19; 16; x; y

a) 28 30 b) 18 31 c) 18 34d) 19 36 e) 28 32

09. 5; 10; 13; 26; 29; 58; x

a) 60 b) 62 c) 65d) 61 e) 66

10. 2/3; 4/15; 6/35; x

a) 8/65 b) 8/63 c) 7/51d) 4/43 e) 4/42

11. 2; 3; 7; 14;........

a) 25 b) 23 c) 24d) 26 e) 34

12. 5; 8; 12; 17; x; y .Hallar x + y

a) 23 b) 30 c) 53d) 43 e) 62

13. 3; 7; 5; 9; 11; x; y. Hallar y – x

a) 2 b) 6 c) 4d) 13 e) 15

14.3; 6; 12; 24; x; y. Hallar x + y

a) 144 b) 72 c) 26d) 28 e) 30

15. 4; 6; 10; 16; x; y. Hallar y - x

a) 34 b) 24 c) 10d) 12 e) 18

16. 3; 9; 27; 81; x . Hallar (x : 9)

a) 243 b) 63 c) 143d) 27 e) 72

17. A; C; F; J; ?

a) M b) Ñ c) Od) P e) Q

18. A; E; I; M; ?

a) P b) Q c) Rd) M e) N

19. B; E; J, ?

a) Q b) M c) Rd) P e) S

20. C; G; M;

a) P b) Q c) Rd) S e) T

TAREA DOMICILIARIA

En los siguientes ejercicios hallar el término que continua o falta en c/u:

01. 8; 11; 14; 17; 20; x

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

02. 36; 49; 64; 81; ?

a) 121 b) 100 c) 80d) 101 e) 98

03. 20; 19; 17; 14; x

a) 9 b) 8 c) 11

d) 12 e) 10

04. 60; 58; 54; 48; x

a) 40 b) 42 c) 38d) 36 e) 34

-0-05. 5; 10; 17; 26; x

a) 36 ) 35 c) 37d) 34 e) 36

06. A; E; I; O; ?

a) Q b) P c) Vd) X e) Y

07. C; E; H; J; M; ?

a) Ñ b) B c) Cd) D e) K

08. C; A; D; B; E; C; ?

a) A b) D c) Fd) P e) C

09. AB; EF; JK;.......

a) KL b) MN c) RSd) ST e) EF

10. Ñ; J; F; C ; ?

a) A b) B c) Dd) C e) F


25 26

PROGRESIÓN


I. DefiniciónEs aquella sucesión de números en la cual un término cualquiera, diferente del primero, será igual al anterior aumentado en una constante denominada razón (r).

II. Notación:

2) , ,

…

3) …,

Donde :

= Inicio de la progresión= primer término

= término enésimo (último)(.) ó (,) = separación entre los términos n = número de términosr = razón de la P.A.

III. Clasificación:

A. P.A. creciente: r > 0 8 , 11, 14, 17 (r = 3)

B. P.A. decreciente: r<0 9 . 7 . 5 . 3 (r = - 2)

C. P.A. triviales: r = 0, (poco estudiadas) 7 . 7 . 7 . 7

IV. Propiedades:

A. En toda P.A. la diferencia entre dos términos consecutivos es igual a la razón (una constante)Dada : . . …

Se cumple: r =

… (1)Ejemplo: 4 . 7 . 10 . 13 . 16r = 7 – 4 =10 – 7 =13 – 10 =16 – 13 = 3

B. En toda P.A. la suma de dos términos equidistantes de los

extremos nos da una cantidad constante.Dada:

S =

=.. (2)

Ejemplo:

C. En una P.A. de número impar de términos se cumple que el término central es igual a la suma de los extremos dividida por 2.Dada :

……… (3)

De donde: : término central : primer término : último término (“n” es impar)

Ejemplo:



D. Término enésimo: ( )Dada la PA:

………… (4)

De donde: : término enésimo: primer término

n : número de términos r : razón

Ejemplo: Hallar el en la siguiente P.A.:

3 . 7 . 11 . 15 . 19 . 23 …

= 3 + (20 - 1) x 4 = 79

E. Suma de términos de una P.A. ( )Dada la P.A.:

=

……… (5)

Si reemplazamos (3) en (5), obtenemos : (“n” impar)

……… (6)

Si reemplazamos (4) en (5), obtenemos

……

(7)

Ejemplo:

Dada la P.A.:

5 . 8 . 11 . 14 . 17 . 20 . 23

Hallar la suma de sus términos

De (5):

De (6):= 14 x 7 = 98

F. Interpolación de medios aritméticos. Interpolar “m” medios aritméticos o diferenciales entre dos números dados implica formar una P.A. cuyos extremos sean precisamente los números dados.

Sean los números “a” y “b”Al interpolar “m” medios aritméticos entre dichos números se tendrá:

En donde se conocen el primer y último términos, el número total de términos de la P.A. (m+2) y nos faltaría conocer la razón, la que puede ser calculada al reemplazar en (4):

b = , a = n =

luego, se obtiene:b = a + (m + 2 - 1) r

……… (8)

Ejemplo:

Interpolar 5 medios diferenciales entre 2 y 20.

2 . . . . . . . . 20

Calculamos “r”

r =

r = 3 ; luego la P.A. será:

2 . 5 . 8 . 11 . 14 . 17 . 20

PRACTICA DE CLASE

01. ¿Cuál es el término 84 en la siguiente progresión?. 3 - 8 - 13 - 18 - 23 ……

a) 423 b) 413 c) 418d) 333 e) N.a.

02. ¿Cuántos números hay en la siguiente serie?. 64 : 74 : 84 : ……..: 2974

a) 290 b) 291 c) 292d) 293 e) N.a.

03. ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 121 en la siguiente serie: 17, 21, 25, 29 ….

a) 496 b) 497 c) 493d) 501 e) N.a.

04. ¿Cuál es la suma de los veinte primeros múltiplos de 3?.

a) 1630 b) 2630 c) 830d) 630 e) N.a.

05. Si se sabe que a, a2, 3a son los tres primeros términos de una progresión aritmética, entonces la suma de los 10 primeros términos es:

a) 4a2 – 3 b) 84 c) 8a2 + 4d) 110 e) N.a.

06. La suma de los 9 primeros términos de una progresión aritmética es 27 y la diferencia entre el último y el primero es 16. ¿Cuál es el último término?.

a) –5 b) 5 c) –11 d) 11 e) N.a.



07. La suma de los 3 términos de una P. Aritmética es 33 y su producto 1232. ¿Cuál es la razón de la progresión?.

a) 8 b) 4 c) 3d) 11 e) N.a.

08. Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar sus soldados en triángulos de manera que la primera fila tenga un soldado. La segunda dos, la tercera tres, así sucesivamente. Se desea saber el número de filas.

a) 155 b) 33 c) 91d) 77 e) N.a.

09. En un triángulo rectángulo, sus ángulos están en progresión aritmética. Hallar el semiproducto de los 2 menores.

a) 200 b) 300 c) 700d) 900 e) N.a.

10. En una progresión aritmética, T54= – 61 y el T4 = 64. Hallar el término T23 = ?

a) 111,5 b) –16,5 c) 16,5d) –111,5 e) N.a.

11. Si el primer término de una progresión aritmética de enteros consecutivos es “K2+1”; la suma de los “2K+1” primeros términos de dicha progresión será:

a) k3+(k+1)3 b) (k-1)3+k3 c) (k+1)3 d) (k+1)3 -k3 e) N.a.

12. El producto del primer y quinto término de una progresión aritmética es 55. La razón es 1.5; hallar el primer término.

a) 8 b) –8 c) 5d) –11 e) N.a.

13. Cuatro números están en progresión aritmética. El primer término es 1 y la suma de los cuatro es 3. Hallar el producto de los cuatro términos.

a) 1548 b) 1/3 c) 5/18d) 3 e) N.a.

14. En una progresión aritmética de 9 términos la suma de los extremos es 22 y la diferencia entre el sétimo y el tercero es 8. La razón es:

a) 1 b) –2 c) –8 d) 4 e) N.a.

15. Un banquero antes de morir reparte su fortuna en progresión aritmética entre sus 7 hijos. El mayor recibe 117649 soles y el menor 70993 soles. A cuánto asciende la fortuna del banquero?.

a) 660274 b) 660247 c) 660267d) 660427 e) 660277

16. ¿Cuántos términos deben tomarse de la progresión aritmética sgte: 12, 16, 20, …..: para que la suma sea igual a 208 ?.

a) 8 b) 9 c) 7d) 6 e) 5

17. ¿Cuántos medios aritméticos se pueden interpolar

entre 8 y 48 de tal manera que se forme una progresión cuya suma de términos sea 588 ?.a) 19 b) 21 c) 23d) 25 e) 27

18. Hallar el término cuadragésimo (lugar 40) en:

101, 106, 111, 116, 121, ...a) 291 b) 301 c) 296d) 286 e) 306

19. En una progresión aritmética de 42 términos, el primer término es 29 y el último es 316. Hallar el término vigésimo.

a) 166 b) 162 c) 156d) 172 e) 160

20. Hallar la suma de todos los números pares comprendidos entre 78 y 1002

a) 221940 b) 248 050 c) 247 070d) 247090 e) N.a.


01. Una P.A. se compone de 50 términos. Si el primero es 91 y la razón es -3. ¿Cuánto vale el último?.

a) 56 b) 46 c) – 46 d) – 56 e) N.a.

02. Una progresión aritmética se compone de 15 términos. La razón es 0,5 y el último es 8. ¿Cuánto vale el primero?.

a) 2 b) 1 c) –1 d) –2 e) 3

03. En una P.A. el primer término es -6 y el último es 30. Si la razón es 4. ¿De cuántos términos se compone la progresión?.

a) 82 b) 91 c) 10d) 11 e) N.a.

04. Una P.A. se compone de 6 términos el primero de los cuales es 2 y el último es 4. Hallar la razón.

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3d) 0,4 e) N.a.

05. En una P.A. de 10 términos la razón es 1,5 y la suma de sus términos vale 92,5. Halla el primero y el último termino.

a) {3; 17} b) {2, 5; 16} c) {3; 18}d) {4; 20} e) N.a.

06. En una P.A. la razón y el número de términos son iguales, la suma de los términos es 156 y la diferencia de los extremos es 30. Calcular el último término.

a) 35 b) 29 c) 37d) 41 e) 39

07. La suma de los 9 términos de una P.A. creciente es 27 y la diferencia entre el último y el primero es 16. ¿Cuál es el último término?.

a) –5 b) 5 c) 11d) 9 e) –11

08. La suma de los términos de una P.A. es 425 y su término central 17. Hallar el número de términos.



a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 17

09. (x+y), (4x-3y), (5y+3x), son tres términos consecutivos de una P.A. la relación entre “x” e “y”.

a) x=3y b) 2x=5y c) y=3xd) y=2/3x e) 3x=y

10. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es 41 y la relación del quinto y séptimo 19/25. Hallar el segundo término.

a) 3 b) 4 c) 7d) 10 e) 11

11. La suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética es 2n(n+3), indique el término veintiuno de dicha progresión.

a) 88 b) 89 c) 78d) 68 e) N.a.

12. Si:

Está en P.A. señale la afirmación correcta.

a) 3x=m b) 3x= c) 3x=

d) 3x = 2m e) 3x = 4m

13. La suma de tercer y sexto términos de una P.A. creciente es igual a 3, y la suma de sus cuadrados es igual a 45. Hallar el primer término de la P.A.

a) –6 b) –3 c) 6d) 9 e) –9

14. En la progresión: 10 .......... 76 ......... 100el número de medios diferenciales comprendidos entre 10 y 76 es el triple de los términos comprendidos entre 76 y 100. Calcular la suma de todos sus términos.

a) 705 b) 1170 c) 1775d) 1700 e) 1705

15. Las 6 cifras de un número divisible por 9 están en P.A. creciente. Hallar el producto de las dos últimas cifras.

a) 30 b) 20 c) 12d) 42 e) 56

16. Dadas las siguientes progresiones que tienen el mismo número de términos:

10, 12, 14, .......1, 4, 7, .......Hallar dicho número, si en ambos casos la suma de términos es la misma.

a) 12 b) 15 c) 17d) 19 e) N.a.

17. En una progresión aritmética se conoce:ta= b, tb= a, t2= 2t6. Hallar: a + b

a) 9 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

18. En una P.A. se sabe que el término de lugar “p” es “q” y el término de lugar “q” es “p”. Si “p” veces el término del lugar (q + 1) es igual a “q” veces el término del lugar (p + 1), siendo p diferente de q. Hallar el primer término de la progresión.

a) 0 b) 1 c) 2d) pq e) p + q

19. En una progresión aritmética la suma de sus “n” términos está dada por:

S = 3n2 + n

¿Cuál será la expresión de la suma si no se considera ni el primero ni el último término?.

a) 3n2 + 5n + 2 b) 3n2 + 5n – 2c) 3n2 – 5n – 2 d) 3n2 – 5n + 2e) N.a.

20. En una P.A. se conoce:t1= 7; r= 9; tc3= Sn2

Hallar el valor de “n”.

a) 5 b) 3 c) 7d) 9 e) 11

TAREA DOMICILIARIA

01. ¿Cuál es el término 84 en la siguiente progresión?. 3 - 8 - 13 - 18 - 23 ……

a) 423 b) 413 c) 418d) 333 e) N.a.

02. ¿Cuántos números hay en la siguiente serie?.

64 : 74 : 84 : ……..: 2974

a) 290 b) 291 c) 292d) 293 e) N.a.

03. ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 121 en la siguiente serie: 17, 21, 25, 29 ….

a) 496 b) 497 c) 493d) 501 e) N.a.

04. La suma de los "n" términos de una progresión aritmética es:

Calcular el término que ocupa el lugar 21.

a) 122 b) 144 c) 169d) 105 e) N.a.

05. En una P.A. el tercer término es igual a 4 veces el primero y el sexto término es igual a 17. Hallar la suma de los 8 primeros términos.

a) 50 b) 30 c) 80d) 60 e) N.a.

06. En la progresión:10 * ... * 76 * ...* 100

el número de medios diferenciales comprendidos entre 10 y 76 es el triple de los términos comprendidos entre 10 y 76 es el triple de los términos comprendidos entre 76 y 100. Calcular la suma de todos sus términos.


25 26

PROGRESIONES


a) 705 b) 170 c) 175d) 1700 e) 1705

07. Se han interpolado “m” medios aritméticos entre 3 y 57 y (m - 2) entre 5 y 19. Si la razón de la primera es el triple de la segunda. Hallar el número de términos de cada progresión

a) 8 y 10 b) 5 y 8 c) 7 y 9d) 10 y 10 e) N.a.

08. Cuántos medios “m” aritméticos se pueden interpolar entre 8 y 48 de tal manera que se forma una P.A cuya suma de términos sea 588

a) 14 b) 16 c) 15d) 19 e) 21

09. En la P.A : 3 ……………….. 30 …………….

P ,

el número de términos comprendidos entre 3 y 30 es igual a los comprendidos entre 30 y p. Si además la suma de todos los términos es 570. Hallar la razón

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Hallar el t20 de una P.A si la suma de los “n” primeros términos es 4n + 2n

a) 160 b) 158 c) 152d) 150 e) 156

I. Definición:Es una sucesión de números en la cual el primer término es diferente de cero y cada uno de los términos siguientes es igual a su anterior multiplicado por una cantidad constante, diferente de cero, llamada razón de la progresión (r)

II. Notación:

1)

2)

3)

Donde:

= Inicio de la progresión

= primer término = término enésimo

(:) = separación entre términosn = número de términosr = razón de la progresión

III. Clasificación :

A. P.G. creciente r > 1

2 : 6 : 18 : 54 (r = 3)

B. P.G. decreciente 0 < r < 1

3 : - 6 : 12 : - 24 : 48 (r =

1/3)

C. P.G. oscilante o alternada r < 0

3 : - 6 : 12 : - 24 : 48 (r = -

2)D. P.G. trivial r = 1

6 : 6 : 6 : 6 : 6

* Nota : cabe hacer notar que las progresiones pueden tener un número limitado de términos (P.G. Finitas) o un número ilimitado de términos (P.G. Infinitas).

IV.Propiedades

A) En toda P.G., el cociente entre dos términos consecutivos es igual a la razón (una constante) Dada :

Se cumple:

r = ……

(1)

Ejemplo:

3 : 6 : 12 : 24 : 48

r = = 2

B) En toda P.G., el producto de dos términos equidistantes de los extremos nos da una cantidad constante.Dada :

P = ……(2)

Ejemplo:

C) En una P.G. de números impar de términos se cumplirá que el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los términos extremos.

Dada:

…… (3)

En donde: = término central = primer término = último término (“n” es

impar)

Ejemplo:



D) Término enésimo ( )Dada la P.G.:

…… (4)

En donde: = término enésimo = primer término

n = número de términos r = razón

Ejemplo: Hallar en la siguiente P.G.

2 : 4 : 8 : …

= 1024

E) Suma de términos de una PG ()Dada la PG:

=

……… (5)

Si reemplazamos (4) en (5) obtenemos:

…… (6)

Ejemplo:

5 : 10 : 20 : 40 : 80

De (5)

= 155

De (6):

Nota: Cuando se quiere sumar los términos de una PG decreciente infinita, el último término es considerado igual a cero por lo reducido de su valor.Dada la siguiente PG decreciente infinita:

; pero

…

(7)

Ejemplo:

Sumar los términos de la siguiente P.G.:

12 : 4 : : : ….

= 18

F) Producto de términos de una P.G.Dada:

…… (8)

En donde:

P = Producto de los términos de la PG

= primer término= término enésimo o último

n = número de términos.

Ejemplo:Dada:

6 : 12 : 24 : 48 : 96

P =

P = 7962624

G) Interpolación de medios geométricos

Interpolar “m” medios geométricos o proporcionales entre dos cantidades a y b implica colocar o incluir “m” números de tal modo que al

hacer este procedimiento se forma una PG que tenga por extremos a dichos números.

En donde se conocen el prime y último términos, el número total de términos de la PG(m + 2) y nos faltaría conocer la razón, la que puede ser calculada al reemplazar en (4):

b = a = n = m+2

luego, se obtiene:

b =

…………… (9)

Ejemplo:

Interpolar 3 medios geométricos entre 5 y 3125

5 : . . . . . . . . . . . . . : 3125

calculamos “r”

r =

r = 5 ; luego la PG será:

5 : 25 : 125 : 625 : 3125



PRACTICA DE CLASE

01. Calcular:

de la siguiente progresión : : 2 : 4 : 8 :......

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) N.a.

02. En la siguiente (P.G)

: : : n :

calcular el valor de “n”a) 1 b) 4 c) 3d) 2 e) 5

03. Cuatro ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica, si el último es cuatro veces el segundo. Indicar el menor ángulo.

a) 20° b) 30° c) 26°d) 24° e) 32°

04. El último término de un (P.G) Es 0,01 el número de términos es tres y su suma es igual a 0,31. Hallar la razón si esta es positiva.

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/7d) 1/8 e) 2

05. De la siguiente (P.G) : : 1 ; 3; 9 ; ......Calcular : S20e indique en que cifra termina dicha suma

a) 1 b) 0 c) 5d) 2 e) N.a.

06. Encontrar cuatro números en (P.G.), sabiendo que la suma del primero y el último término es 140 y la suma del segundo y tercero 60. Dar como respuesta el mayor de estos números.

a) 75 b) 45 c) 125d) 135 e) 375

07. Hallar el trigésimo noveno término de una progresión geométrica sabiendo que:

a) b) c) 2

d) 4 e) 4

08. Halla la cantidad que hay que sumar a 5,13,29 para que forme una P.G.

a)1 b)2c)3

d)4 e)5

09.Si a,b,c se encuentra en (P.G.) entonces el valor de:

es equivalente a:

a) b) c)

d) e) N.a.

10.El cociente entre el cuarto término y el primer término de una progresión

geométrica es igual a 8 y su suma es 45.Calcule los términos entre ellos

a) 15 y 20 b) 12 y 28 c) 15 y 25d) 10 y 20 e) 10 y 25

11. Hallar el número de términos y la razón de una (P.G.) cuyo primer término es 7 , el último 567 y la suma de todos los términos 847.

a) {3;4} b){6,8} c) {10,8}d) {5,3} e) N.a.

12. La suma de los infinitos términos de una P.G. infinita es 6 y la suma de los dos primeros términos es 9/2. Entonces el primer término de la progresión es:

a) 3 ó 3/2 b) 3 c) 5/2d) 3 ó 9 e) N.a.

13. Calcular el producto de los 10 términos de una P.G. cuyo sexto y décimo términos son 4 y 0,25 respectivamente.

a) 1610 b) 230 c) 325d) 1284 e) N.a.

14. Determinar la suma de las “n” primeras potencias de 3.

a) 3n-1 b) 2(3n-1)/3 c) 3/2d) 3(3n-1)/2 e) N.a.

15. Una pelota de golf cae desde una altura de 15 metros y en cada rebote se eleva los 2/3 de la última altura y así sucesivamente hasta quedar en reposo. ¿Cuál será el límite de la suma de las distancias recorridas?

a) 60 b) 75 c) 150

d) 95 e) 8516. Dada la P.A.: 2n+1, 2n+3, 11, ...

Hallar “x” en la P.G.

n2, (3a-12), a2, x

a) –4/3 b) –2/3 c) –2/5d) –1/5 e) –8/3

17. Hallar el término de lugar 16 en la P.G:

a) 120 b) 128 c) 170

d) 117 e) 256

18. En una P.G se conoce que:

t1 = 1/2 , t3 = 1 y tn = 256

Hallar la razón y el número de términos.

a) , 19 b) 2, 17 c) 1/2, 19d) -2, 19 e) 1/2, 17

19. En una P.G el primer término es 7, el último es 448 y la suma 889. Hallar la razón y el número de términos

a) 3, 8 b) 7, 2 c) 2, 7 d) 8, 3 e) 6, 5

20. La suma de seis términos de una P.G es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón.

a) 2 b) -1 c) –2S4RM31B " El nuevo símbolo de una buena educación...” S4RM31B “" El nuevo símbolo de una buena educación... ”


d) 1/2 e) 4


01. Calcular el valor de M, si:M = 6 + 3 + 3/2 + 3/4 + .......

a) 9 b) 11,5 c) 12d) 12,5 e) N.a.

02. Hallar el resultado de la suma siguiente:

2/3 +2/9 + 2/27 + ……a) 1/2 b) 1 c) 2/9d) 2/3 e) N.a.

03. ¿Cuál es el término central de una P.G. de tres términos positivos si el producto de los dos primeros es 24 y el de los dos últimos es 54?a) 8 b) 12 c) 3d) 9 e) 6

04. La suma de los 6 primeros términos de una P.G. es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón de la progresión.a) 1 b) 8 c) 2d) 9 e) N.a.

05. Calcular la suma de los infinitos términos dados:1/7 + 1/21 + 1/63 + 1/189 + .......a) 1/8 b) 3/32 c) 1/32d) 1/16 e) 3/16

06. Si se sabe que:a : b : ab, forman una Progresión Geométrica. y (ab – a) . b . a, forman una Progresión Aritmética. Calcular la suma de las dos razones de las progresiones

a) 4 b) 6 c) –2d) –4 e) 0

07. Si 2x+1, 2x+3, 12 están en P.A. Calcular el siguiente término en la P.G.: X2, 3m-12, m2

a) 16/7 b) 4 c) -8/3d) 5 e) N.a.

08. Calcular la razón de la siguiente progresión geométrica de tres términos:

(a – b), (a + b), (a + 2b)

a) 1 b) 2 c) 3d) 1/3 e) 1/2

09. La diferencia del tercer término menos el sexto de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término:

a) 245 b) 243 c) 5/9d) 234 e) 1/9

10. En una progresión geométrica creciente de tres términos se multiplica el primer término por 4, el 2º por 7 y el 3º por 6, obteniéndose una progresión aritmética. Hallar la razón de la P.G.

a) 2 b) 3 c) 4e) 5 e) N.a.

11. La suma de los 8 primeros términos de una P.G. es igual a 82

veces la suma de los 4 primeros términos. Hallar la razón.

a) 2 b)3 c) 7d) 4 e) 5

12. Dada la P.G. 9; 18; .....Hallar la suma de los términos consecutivos de esta progresión, cuyo producto sea 419904.

a) 242 b) 432 c) 362d) 529 e) 528

13. Hallar la cantidad que se debe restar a cada término de: 110, 90, 60; para obtener una progresión geométrica. Indicar como respuesta la razón de la P.G.

a) 3/2 b) 2/3 c) 4/5d) 5/4 e) 3/8

14. Hallar el t6 (del problema 13.)a) 40 b) 100 c) 400d) 300 e) 22,5

15. En una progresión geométrica se sabe que:tn = 972, t1 = 12 y Sn = 1452.Hallar “n”

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

16. Calcular el valor de R, si:

R =

a) + 1 b) + ½c) + 2 d) ( + 1)/2e) N.a

17. La suma de los términos de una progresión geométrica infinita es 6 y la suma de los dos primeros términos es 4 ½.Entonces el primer término de la progresión es:

a) 3 ó 3/2 b) 3 c) 2 ½d) 3 ó 9 e) N.a

18. Seis medios geométricos se interrelacionan entre 3 y 384, el sexto término de la sucesión es:

a) 48 b) 124 c) 96d) 140 e) N.a

19. Los dos primeros términos de una P.G, decreciente infinita suman 5 y cada término es iguala 3 veces la suma de todos los términos que le siguen. Hallar el segundo término.

a) 2 b) 1 c) 3d) 4 e) 5

20. El primer término de una P.G es igual a (x – 2), el tercer término es igual a (x + 6) y la media aritmética de los términos primero y tercero se refiere al segundo como 5 : 3.Calcular “x”

a) 2 b) 4 c) 7d) 3 e) 6

TAREA DOMICILIARIA

01. La cantidad que hay que sumar a 5, 13, 29, para que formen una P.G,. es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5



02. El número de términos de la siguiente; progresión:

2, 8, ........., 8192 es

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 6

03. Dada la PG 7, 14, ......., en la

cual el producto de dos términos consecutivos es 25088. La suma de éstos términos es:

a) 336 b) 448 c) 224d) 560 e) 112

04. Determinar la suma de los “n” primeras potencias de 3.

a) 3n – 1 b) 3/2

c) (3n – 1) d) (3n – 1)

e) N.a.

05. Hallar la razón de una P.G. decreciente ilimitada, cuya suma es el doble de la suma de los “k” primeros términos.

a) 2K b) 21/K c) 22Kd) 1/2K e)

06. La razón de una P.G. es 2, el número de términos 9 y la suma de ellos 1533. La suma de los extremos es:

a) 771 b) 387 c) 195d) 770 e) 386

07. Entre 3 y 768 y entre 7 y 112 se han interpolado el mismo número de medios proporcionales. Calcular la diferencia de los penúltimos términos de dichas progresiones, teniendo en cuenta que la razón de la primera es el doble de la segunda.

a) 136 b) 165 c) 208d) 275 e) 189

08. En una P.G. creciente, la suma de sus primeros cuatro términos es igual a 45 y la suma de sus cuadrados es igual a 765. El octavo término de esta progresión es:

a) 96 b) 768 c) 153d) 192 e) 384

09. Calcular el valor de F, si:

E = 3 + 32 + 33 + ...... + 39

a) 36244 b) 88572 c) 29523d) 59046 e) N.a

10. Calcular el valor de M, si:

M = 6 + 3 + 3/2 + 3/4 + ..........

a) 9 b) 11,5 c) 12d) 12,5 e) N.a

SOLUCIONARIO

Nº Ejercicios Propuestos01 02 03 04

01. D E D C02. B C B B03. D A C E04. A C D C05. C B B B06. E B D C07. E C B E08. C E C E09. A D A B10. B B D A11. A C A B12. A C C C

13. A B E A14. E B E E15. A C D C16. C D B A17. B B D B18. D A A C19. A D C B20. E E A D


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