Ctedra : ECUACIONES DIFERENCIALESCatedrtico : Ms. Wilder Eufracio AriasIntegrantes :GARCA LAPA, RonalMUOZ SALOME, Milagros KaterineVALLEJOS CHAVEZ, BaniTAIPE ZEVALLOS, AnglicaARIOLA MARQUEZ, MarielaSemestre : III Semestre

Huancayo - 2015

INTRODUCCIN

La prediccin del tiempo de vaciado de tanques es indispensable en los trabajos de ingeniera. Existen modelos matemticos para predecirlo, pero sobre todo para fluidos newtonianos. En nuestro pas abundan las industrias que manejan flujos no newtonianos y que necesitan de su almacenaje, entre estas industrias se encuentran las fbricas de cemento, los centrales azucareros, las plantas productoras de nquel y cobalto, fbricas de mermeladas, entre otras. Todas ellas almacenan y descargan sus productos.

El modelamiento matemtico es el proceso de creacin de una representacin matemtica de algn fenmeno en razn de conseguir un mejor entendimiento del fenmeno. Durante la construccin de un modelo, el modelista deber decidir qu factores sern relevantes para el fenmeno y cuales no ser necesario para este fin.

En este trabajo pretendemos dar una ecuacin sencilla que permitir el clculo del tiempo de vaciado en rgimen estacionario en tanques cilndricos, ya sea vertical u horizontal que descargan fluidos newtonianos.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Determinar el modelo matemtico de la descarga de agua de un tanque cilndrico en posicin vertical u horizontal.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Determinar el tiempo de vaciado experimental.Determinar el tiempo de vaciado terico.

MARCO TERICO

ECUACIN DE BERNOULLI

La Ecuacin de Bernoulli constituye una de las leyes ms importantes en el estudio de la dinmica de los fluidos, se basa esencialmente en la conservacin de la energa mecnica.Consideremos un tubo de corriente estrecho, como el de la figura, por el que circula un fluido ideal en rgimen estacionario:

Figura N 1: Tubo por donde circula el lquido

Figura N 2: Tubo por donde fluye un lquido cualquiera.

Se toma para el anlisis una porcin del fluido limitado por las secciones . El trabajo realizado por el resto del fluido sobre la porcin de control, cuando las secciones se han desplegado respectivamente es:

Figura N 3: Porcin del fluido limitado.

Sobre , la fuerza debida a la presin es (x) y efecta un trabajo:

. (1)

Sobre , la fuerza debida a la presin es (x) y efecta un trabajo:

. (2)

Es negativo porque la fuerza tiene direccin opuesta a la del desplazamiento.

El trabajo neto de las fuerzas de presin, realizado sobre la porcin de flujo es:

(3)

, como

.. (4)

Donde:

m: es la masa de un elemento de fluidop: es su densidad: son las diferentes presionesW: es el trabajo

APLICACIONES DE LA ECUACIN DE BERNOULLI PARA FLUJO DE FLUIDO DESDE UN TANQUE

La tasa de flujo est dada por la ecuacin de Bernoulli.

Figura N 4: Vaciado de agua del tanque

TEOREMA DE TORRICELLI

Permite determinar la velocidad con que sale un lquido por un orificio lateral de un recipiente, a una profundidad h con respecto a la superficie libre del lquido.

Figura N5: Recipiente con agua con un orificio lateral

El teorema de Torricelli es una aplicacin del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un lquido contenido en un recipiente, a travs de un pequeo orificio, bajo la accin de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un lquido por un orificio. "La velocidad de un lquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendra un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vaco desde el nivel del lquido hasta el centro de gravedad del orificio":

.. (5)

Donde:

: Es la velocidad terica del lquido a la salida del orificio.: Es la velocidad de aproximacin.: Distancia desde la superficie de lquido al centro del orificio.: Aceleracin de la gravedad

Para velocidades de aproximacin bajas, la mayora de los casos, la expresin anterior se transforma en:

(6)

Donde: : Velocidad real media del lquido a la salida del orificio. : Coeficiente de velocidad.

Tomando (7)

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensin superficial, de ah el significado de este coeficiente de velocidad.

Figura N 6: Chorro de un orificio por pared delgada.

CAUDAL DESCARGADO

El caudal o volumen del fluido que pasa por el orificio en un tiempo, puede calcularse como el producto del rea real de la seccin contrada, por la velocidad real media del fluido que pasa por esa seccin, y por consiguiente se puede escribir la siguiente ecuacin:

(8) (9)

Donde:

: Descarga ideal que habra ocurrido si no estuvieran presentes la friccin y la contraccin. : Coeficiente de contraccin de la vena fluida a la salida del orificio. : Coeficiente por el cual el valor ideal de descarga es multiplicado para obtener el valor real, y se conoce como coeficiente de descarga

El coeficiente de descarga variar con la carga y el dimetro del orificio. Sus valores para el agua han sido determinados y tabulados por numerosos experimentadores. De forma orientativa se pueden tomar valores sobre 0,6. As se puede apreciar la importancia del uso de estos coeficientes para obtener unos resultados de caudal aceptables.VACIADO DE TANQUES

Un tanque de cierta forma geomtrica est inicialmente lleno de agua hasta una altura H. el tanque tiene un orificio en el fondo cuya rea es A . Se abre el orificio y el lquido cae libremente. Pero a medida que la altura del lquido disminuye el chorro disminuye esto se debe a que el agua es impulsado por su propio peso para salir por un pequeo orificio situacin a h unidades por debajo de la superficie del agua. La razn volumtrica de salida es proporcional a la velocidad de salida y al rea del orificio, es decir,

. (10)

Donde la constante k depende de la forma del orificio:Si el orificio es de la forma rectangular, la constante k = 0,8Si el orificio es de la forma triangular, la constante 0,65 k 0,75Si el orificio es de la forma circular, la constante k = 0,6

ENERGA

ENERGA DEL FLUIDO

Esta energa es aquella que el cuerpo puede suministrar al efectuarse un fenmeno fsico y se clasifican en:

ENERGA POTENCIAL

Es la energa que suministra el cuerpo al cambiar de altura, se determina a partir del desplazamiento del cuerpo considerado; depende del plano horizontal del marco de referencia que se tome.

(11)

ENERGA CINTICA

Su valor depende de la masa del cuerpo considerado y su velocidad en un momento dado, es independiente de la direccin en la cual dicho cuerpo se mueve y del proceso particular mediante el cual adquiri la velocidad.La energa cintica es una magnitud y es siempre positiva o cero ya que v2 es positiva

La energa cintica o de movimiento est definida por la expresin:

(12)

Aplicando la ecuacin de energa, igualando la ecuacin (2) y la ecuacin (3).

(13)

Despejando v:

(14)

Reemplazando la (4) en (1)

.............. (15)Donde:A: rea del cilindroa: rea del orificioR: Radio del cilindroH: Altura del cilindro

CASO I: TANQIE VERTICAL

Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de dimetro d.

(16)

.. (17)

Pero

(18)

.. (19)Igualando la ecuacin (17) y (19)

Separando variables

.. (20)

Con las condiciones iniciales: t = 0, h = Ho, hallamos la constante CEl tiempo de vaciado (): se obtiene cuando h = 0. Hallar CASO II: TANQUE HORIZONTALEl mismo cilindro anterior pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.

Entonces

Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integracin. El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0MODELO MATEMTICO

Relacionado el volumen en funcin a la altura:

.. (22)

El tiempo de vaciado ( se hallara cuando h=0.

UNIDADES Y NOTACIONES

ElementoNotacinUnidadesAlturaHcmVolumenVTiempoTsegGravedadGrea del orificio de salidaArea de la seccin transversalACoeficiente de descargaKSin unidad.

III PARTE EXPERIMENTALMATERIALES E INSTRUMENTOS:Tanque CilindricoCronometroAguaDATOS EXPERIMENTALES-Cilindro Vertical Modelo matemtico: Calculamos C con las condiciones iniciales: t=0, h=Ho

Entonces de la ecuacin se despeja el tiempo:

TABLA DE DATOS DEL CILINDRO VERTICAL

Altura Tiempo Experimental (s)Tiempo terico ()10008199.4287.63976298.9326.48574231.6387.27242399.3504.70320900.41218.46146

Dimetro exterior = 10.7 cmDimetro interior = 10.3 cmAltura (h) = 10 cmOrificio = 1 mmPara el tiempo terico

Reemplazando obtenemos:

Tiempo Experimental (s)Tiempo terico ()00199.4287.6397298.9326.4857231.6387.2724399.3504.7032900.41218.46146

-Cilindro Horizontal Modelo matemtico:

Calculamos C con las condiciones iniciales: t=0, h=2r

Entonces de la ecuacin se despeja el tiempo:

TABLA DE DATOS DEL CILINDRO HORIZONTALAtura experimental ( )Tiempo Experimental (s)Tiempo Terico ()800604,343.613458676412,3910.22040453222,2718.77608206032,7928.90766941

Dimetro interior=7,5 cmDimetro exterior=8,00 cmLongitud= 20 cmDimetro de orificio de salida= 1cm

Tiempo Experimental (s)Tiempo Terico ()0004,343.61345867612,3910.2204045322,2718.7760820632,7928.90766941

DISCUSIN:

Hemos logrado comprobar que los datos tericos varan de una forma moderadamente alejadas respecto a los experimentales; adems la variacin no es constante entre dos o ms alturas, en el cilindro horizontal, cilindro vertical por ejemplo en el caso de cilindro: cuando tomamos en una 6.0 cm de altura, el tiempo varia de lo terico respecto a lo experimental en un 27.58%. Los datos experimentales varan de los tericos por el error humano al momento de tomar los datos, no se ha considerado variables como viscosidad del lquido, cuerpos presentes en el lquido, la gravedad exacta.