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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI INGENIERIA CIVIL

1. La posición de una partícula en función de sus componentes rectangulares está dada por el vector: r⃗=(6 t 2+t2−4 t) i⃗−(3 t 2−2 t ) j⃗+8 k⃗

Encontrar sus componentes de la aceleración tangencial, normal y su radio de curvatura para t= 5 seg.r⃗=(6 t 2+t2−4 t) i⃗−(3 t 2−2 t ) j⃗+8 k⃗

v⃗=(18 t 2+2 t ) i⃗−(6 t−2) j⃗

a⃗=(36 t+2 ) j⃗−6 j⃗

Componentes de a⃗t , a⃗n y ρ parat=5 seg . Para t=5 a⃗=(36 (5 )+2 ) i⃗−6 j⃗

a⃗=182 i⃗−6 j⃗ a=√1822+62=182.10m /seg2

Para t=5 v⃗=¿

v⃗=460 i⃗−28 j⃗ v=460.85m / seg

Parahallar el radiode curvatura

1ρ=

|v⃗ x a⃗|v3

1ρ=

| i j k460 −28 0182 −6 0|460.853

= 2336460.853

=0.000238m

a⃗=182.10 e⃗t+5.07 e⃗n

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2. Calcuar las velocidades de los puntos B, C, D de la placa, que forman parte del sistema mostrado, sabiendo qe en el instante mostrado la velocidad angular de AB es 20 rpm, en el sentido antihorario. Ang. BCE=118

cos57 °=0.25BD

BD= 0.25cos57 °

BD=0.46

0.252+AD2=0.462

AD=0.39

BC2=0.392+0.232

BC=0.45

cosB=0.390.45

B=29 °

cos57 °=0.23CE

CE=0.42

V B=V A+W AB∗RAB

V B=2.09k∗0.25 j

V B=−0.52 i

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A

B

C

E

D

57°

0.25m

0.23m

Placa

0.46m

0.39m

0.45m

B=29°

61°57° 0.42m


DEL PRIMER PUNTO:

V C=V B+W P∗RBC

V C=−0.52i+W P∗¿

V C=−0.52i+W P∗(0.39 i+0.22 j)

V C=(−0.52+0.39W P ) i+0.22W P j

DEL SEGUNDO PUNTO:

V C=V E+W 2∗RCE

V C=W P∗¿

V C=0.23W 2i+0.35W 2 j

IGUALAMOS ECUACIONES:

0.23W 2 i+0.35W 2 j=(−0.52+0.39W P ) i+0.22W P j

IGUALAMOS TERMINOS

0.23W 2= (−0.52+0.39W P ) 0.35W 2=0.22W P

0.63∗0.22W P=−0.52+0.39W P W 2=0.63WP

(0.39−0.14 )W P=0.52 W 2=1.31

W P=2.08

OBTENIDO LAS VELOCIDADES ANGULARES HALLAMOS LAS VELOCIDADES EN LOS PUNTOS B, C

V D=V B+W P∗RBD V C=−0.52+2.08∗0.45

V D=−0.52+2.08∗0.46 V C=0.42

V D=0.43

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3. Para el instante mostrado, el aro circular gira alrededor del eje vertical con una velocidad angular de 5 rps y aceleración de 12 rad/seg2. El bloque se mueve con una rapidez de 80 cm/seg y desaceleración de 45 cm/seg2. Hallar la velocidad y aceleración absolutas del boque para Ø=53°.

v⃗=0.8m /s

a⃗=0.45m /s2

ω⃗=−31.42 j⃗

α⃗=12 j⃗

a t=∝∗R0.45=∝∗0.4φ̈=1.125 rad / s2

v=ω∗Rω=0.8 /0.4φ̇=−2 rad /s

r⃗0=−0.4 i⃗˙⃗r0=−0.4∗(ω⃗∗i⃗ )=−0.4∗(31.42 k⃗ )=−12.57 k⃗

¨⃗r0=(α∗i⃗+ω⃗∗˙⃗i )∗−0.4=−0.4∗(−12 k⃗−987.22 i⃗ )=394.89 i⃗+4.8 k⃗

ρ⃗=−0.4 sinφ i⃗−0.4cosφ j⃗=−0.32 i⃗−0.24 j⃗˙⃗ρ=−0.4cos φ φ̇ i⃗+0.4 sinφ φ̇ j⃗=−0.48 i⃗−0.64 j⃗¨⃗ρ=[0.4 sinφ φ̇2−0.4cos φ φ̈ ] i⃗+[0.4cos φ φ̇2+0.4 sinφ φ̈ ] j⃗=1.01 i⃗+1.32 j⃗

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v⃗= ˙⃗r0+ω⃗∗ρ⃗+ ˙⃗ρv⃗=−12.57 k⃗−31.42 j⃗∗(−0.32 i⃗−0.24 j⃗ )−0.48 i⃗−0.64 j⃗v⃗=−12.57 k⃗−10.05 k⃗−0.48 i⃗−0.64 j⃗v⃗=−0.48 i⃗−0.64 j⃗−22.62 k⃗|v⃗|=22.63m / s

a⃗= ¨⃗r0+ω⃗∗( ω⃗∗ ρ⃗ )+α⃗∗ρ⃗+2 ω⃗∗˙⃗ρ+ ¨⃗ρ

a⃗=394.89 i⃗+4.8 k⃗−31.42 j⃗∗(−31.42 j⃗∗(−0.32 i⃗−0.24 j⃗ ) )+12 j⃗∗(−0.32 i⃗−0.24 j⃗ )+2∗(−31.42 j⃗ )∗(−0.48 i⃗−0.64 j⃗ )+1.01 i⃗+1.32 j⃗a⃗=394.89 i⃗+4.8 k⃗+315.77 i⃗+3.84 k⃗−30.16 k⃗+1.01 i⃗+1.32 j⃗a⃗=711.67 i⃗+1.32 j⃗−21.52 k⃗|a⃗|=711.97m /s2

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4. Se lanza dos proyectiles de los puntos A y B al mismo tiempo. El proyectil A tiene una velocidad inicial de 10m/s, bajo un Angulo de 30° con la horizontal y B con una velocidad de 20m/s con una inclinación de 135°. Calcular a que altura se cruzan los dos proyectiles y cual es la distancia horizontal entre A y B.

DATOS :

Proyectil A :V i=10m / s

Proyectil B:V i=20m /s

Determinandola distancia entreel punto A y B

sabemosque la distaciaque tiene A es de20m pero se desconece ladistancia que tiene Bdesde el

puntode referencia

primerohallamos eltiempo endonde cruzanlos dos proyectiles

t= 28.28−10+20

=2.828 segundos

calculando la alturadonde se encuentranlos proyectiles

x=x0+vt=¿x=0+20m /s x (2.828 s)=¿ la alturaesde 56.56metros

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ViA

30°

A

B

20m

135°

ViB

20m45°

45°

20√2=28.28


5. El movimiento de una partícula describe la trayectoria de una hélice cónica mediante el vector posición:r⃗=(8 t .cos πt ) i⃗+5t j⃗+(8 t . Senπt) k⃗

Calcular las magnitudes de la velocidad, aceleración y radio de curvatura para t=0r⃗=(8 t .cos πt ) i⃗+5t j⃗+(8 t . Senπt) k⃗

v⃗=(8. cos πt−8 t . Sen πt . (π ) ) i⃗+5 j⃗+(8.Sen πt+8 t .cos πt(π ))k⃗

a⃗=(−8Sen πt (π )−8 π .Sen πt−8 t . π 2cos πt) i⃗+(8. cos πt (π )+8 π .cosπt−8t . π2Senπt )k⃗

Calculando las magnitudes de la velocidad, aceleración y el radio de curvatura para un t=0Para t=0 v⃗= (8. cos0−8 (0 ) . Sen (0 ) ) i⃗+5 j⃗+(8 Sen0+8 (0 ) .cos0) k⃗

v⃗=8 i⃗+5 j⃗ v=9.43m /seg

Para t=0 a⃗=(−8. cos (0 )−8π . Sen (0 )−8 (0 ) )❑⃗+(8 π .cos (0 )+8 π cos (0 )) k⃗

a⃗=16 π k⃗ a=50.27m /seg2

Parahallar el radiode curvaturaoptamos por la sig. formula

1ρ=

|v⃗ x a⃗|v3

Reemplazando los datos obtenemos

ρ=1.77m

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