Универзитет „Гоце Делчев“ – ШтипМашински факултет - Струмица

Дополнителна работа

Предмет:

Автоматско управување и автоматизација 1

Изработил: Ментор:

Струмица,2013

1. Да се определи одзивот на системот во временски домен y(t) ако неговата

Лапласова трансформација изнесува:

Y(s)= 5(s2+4 s+9)

5(s ᶟ+5 s2+8 s+6)

и да се нацрта пол и нула на дијаграмот.

РЕШЕНИЕ:

y (t )=?

Y (s )=5 (s¿¿2+4 s+5)

s (s3+5 s¿¿2+8 s+6)=5 ( s+2− j ) (s+2+ j )

s (s+3 ) (s+1− j ) ( s+1+ j )¿¿

Хевисајдовиот парцијален развој на дадената функција ќе биде:

Y (s )=[ As+B(s+1)2+1

+C11

s+

C21

s+3 ]=5 R(s)(s+1)2+1

R (s )=15

[ (s+1 )2+1 ]Y (s )=( s+2− j )(s+2+ j)

s(s+3)

ако замениме за s=−1+ j ќе биде

R (−1+ j )=(−1+ j+2− j )(−1+ j+2+ j)

−1+ j(−1+ j+3)=

−110

− ј710

следува дека R1=−110

, R2=−710

, a од релацијата А=R2

w, B=

R1w+R2σ

w

А=−710

, B=−810

другите коефициенти од парцијалниот развој ќе бидат:

C11= sY (s)|s=0=56

C21=(s+3)Y (s )|s=−3=−215

ако ги замениме сите вредности кои ги добивме, ќе добиеме:

Y (s )=5 [−710 s+1( s+1 )2+1

−110

1

(s+1 )2+1+561s−215

1s+3 ]

со користење на табелата за инверзна Лапласова трансформација

y (t )=256

u (t )−23

e−3 t−12

e−t (7cost+sint )

пол нула дијаграм

2. Даден е математичкиот модел од еден физички систем со диференцијална

равенка:

d ᶟ ydt ᶟ

+ (4+k) d ² ydt ²

+ (16+6k) · y= k(d ² xdt ²

+ 10x)

Да се определи во кои граници може да се менува вредноста на коефициентот

к за да системот биде стабилен.

РЕШЕНИЕ:

Со примена на Routh – овиот критериум за стабилност

[ D3+(4+k ) D2+(16+6k )] y (t )=k ( D2+10D ) x (t )

[ s3+(4+k ) s2+(16+6 k)] Y (s )=k s2 X (s )+10kX (s)

Y (s)X (s)

= k s2+10 ks3+ (4+k ) s2+(16+6k )

За да определиме во кои граници може да биде к за системот да биде стабилен ќе

го искористиме Рутовиот критериум за стабилност, според кој за карактеристична

равенка од 3-ти редa3 s3+a2 s

2+a1 s+a0

a3 s3+a2 s

2+a1 s+a0

s3a3a1

s2a2a0

s1C31=a2 ∙ a1−a3∙ a0

a2

s0a0

За системот да биде стабилен потребо е сите коефициенти во првата колона да

бидат поголеми од 0.

Routh-овата табела е

s3+(4+k ) s2+(16+10k )

s310

s2 (4+k )(16+10k )

s10 ∙(4+k)−(16+10k )

(4+k )0

s0(16+10k )

−(16+10k )(4+k )

=−16−10k4+k

За системот да биде стабилен потребно е

−16−10 k4+k

>0→k<−264

,

a потребно е и

(16+10 k)>0→k>−1,6

потребно е и 4+k>0→k>−4

3. Единечниот импулсен одзив на еден систем е

YϬ(t) = e ᵗ · (1-sint)⎺

Да се определи преносната функција Р(ѕ) на системот и диференцијалната

равенка со која што е опишан системот.

РЕШЕНИЕ:

yδ ( t )=e−t (1−sint )=e−t−e−t sint

Бараме Лапласова трансформација на двата дела одделно според табелата за

Лапласова трансформација

L {e−t }= 1s+1

за пресметување на Лапласова трансформација на e−t sint користиме особина за

Лапласова трансформација од придушени осцилации, односно

L {e−a t f (t)}=F (s+a)

L {sint }= 1

s2+1, a=1

L {e−t sint }= 1

(s+1)2+1

x(t)=δ(t)

x(s)=1

следува дека

P (s )=Y (s )X (s)

= 1s+1

− 1( s+1 )2+12

=1 ( s2+2 s+2 )−1(s+1)

( s+1 )(s2+2 s+2)= s2+2 s+2−s+1

s3+2 s2+2 s+s2+2 s+2= s2+s+1

s3+3 s2+4 s+2=

X (s)Y (s)

(s3 + 3s2 + 4s + 2) ·Y(s) = (s2 + s +1)·X(s)

(D3 +3D2 +4D +2)· Y(t)= (D2 + 2D +1)· X(t)

d3 yd t3

+3 d2 ydt

+4 dydt

+2Y ( t )=d2 xdt

+2 dxdt

+ X ¿)