Capítulo 38A - RelatividadPresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State University

© 2007

Objetivos: Después de completar este módulo deberá:

• Establecer y discutir los dos postulados de Einstein concernientes a la relatividad especial.

• Demostrar su comprensión de la dilatación del tiempo y aplicarla a problemas físicos.

• Demostrar y aplicar las ecuaciones de longitud, cantidad de movimiento, masa y energía relativistas.

Relatividad especial

La Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven a velocidad constante uno con respecto a otro.

II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de su estado de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)

Reposo y movimiento¿Qué se quiere decir cuando se habla de que un objeto está en reposo... o en movimiento? ¿Hay algo en reposo?

A veces se dice que hombre, computadora, teléfono y escritorio están en reposo.

Lo que realmente se quiere decir es que todos están en movimiento con la misma velocidad. Sólo se puede detectar el movimiento con respecto a algo más.

Se olvida que la Tierra también está en movimiento.

No hay marco de referencia preferido

¿Cuál es la velocidad de este ciclista?

No se puede decir sin un marco de referencia.

Suponga que la bicicleta se mueve a 25 m/s, O en relación con la Tierra y que la plataforma se mueve a 10 m/s, E en relación con la Tierra.

¿Cuál es la velocidad de la bicicleta en relación con la plataforma?

Tierra

25 m/s

10 m/s

este

oeste

Suponga que la plataforma es la referencia, entonces observe el movimiento relativo de Tierra y bicicleta.

Referencia para el movimiento (Cont.)

Tierra

25 m/s

10 m/s

este

oeste

Tierra como referencia

0 m/s

Para encontrar la velocidad de la bicicleta relativa a la plataforma, debe imaginar que está sentado en la plataforma en reposo (0 m/s) con relación a ella.

Vería a la Tierra moviéndose al oeste a 10 m/s y a la bicicleta al oeste moviéndose al oeste a 35 m/s.

10 m/s

35 m/s

0 m/seste

oeste

Plataforma como referencia

10 m/s

35 m/s

0 m/s

esteoeste

Plataforma como referencia

Tierra

25 m/s

10 m/s

este

oeste

Tierra como referencia

0

Marco de referencia

Considere las velocidades de tres diferentes marcos de referencia.

0 m/s

35 m/s

este

oeste

Bicicleta como referencia

25 m/s

Rapidez de la luz constante

Plataforma v = 30 m/s a la derecha en relación con el suelo.

10 m/s10 m/s

c c

Velocidades observadas dentro del carro

La luz de dos linternas y las dos bolas viajan en direcciones opuestas. Difieren as velocidades observadas de la bola, pero la rapidez de la luz es independiente de la dirección.

40 m/s20 m/s

cc

Velocidades observadas desde afuera del carro

Rapidez de la luz (Cont.)

La plataforma se mueve a 30 m/s a la derecha en relación con el niño.

10 m/s10 m/s

c c 30 m/s

Cada observador vec = 3 x 108 m/s

El observador externo ve velocidades muy diferentes para

las bolas.

La rapidez de la luz no es afectada por el movimiento relativo y es exactamente igual a:

c = 2.99792458 x 108 m/s

OT

OE

Eventos simultáneosEl juicio de los eventos simultáneos también es cuestión de relatividad. Considere al observador OT sentado en el tren en movimiento mientras el observador OE está en el suelo.

En t = 0, el relámpago golpea tren y suelo en A y B.

El observador OE ve los eventos relámpago AE y BE como simultáneos.

El observador OT dice que el evento BT ocurre antes que el evento AT debido al movimiento del tren.

¡Cada observador tiene razón!

BE

BT

AE

AT

No simultáneos

Simultáneos

A B

Mediciones de tiempo

Dado que la medición de tiempo involucra juicios acerca de eventos simultáneos, se puede ver que el tiempo también se puede afectar por el movimiento relativo de los observadores.

De hecho, la teoría de Einstein muestra que los observadores en movimiento relativo juzgarán los tiempos de modo diferente; más aún, cada uno tiene razón.

Tiempo relativo

Considere el carro que se mueve con velocidad vbajo un techo con espejos. Un pulso de luz viaja al techo y regresa en el tiempo Dto para el pasajero y en el tiempo Dt para el observador.

Trayectoria de luz para el pasajero

d

0

2dc

tD

DtoTrayectoria de

luz para el observador

dx

R

Dt

R2R

ct

D

; 2 2

c t v tR x

D D

Tiempo relativo (Cont.)

Sustitución de:

0

2

c td

D

22 2

0

2 2 2

c tc v

t t

D

D D

0

2 21

tt

v c

DD

Trayectoria de luz para el pasajero

d

0

2dc

tD

Dto

dR

Dt

2

c

tD

2v tD

2 2

2

2 2

c vd

t t

D D

Ecuación de dilatación del tiempo

Ecuación de dilatación del tiempo de

Einstein:

0

2 21

tt

v c

DD

Dt = tiempo relativo (tiempo medido en un marco que se mueve en relación con el evento real).

Dto= tiempo propio (tiempo medido en el mismo marco que el evento mismo).

v = velocidad relativa de dos marcos.

c = rapidez de la luz en el espacio vacío (c = 3 x 108

m/s).

Tiempo propioLa clave para aplicar la ecuación de dilatación del tiempo es distinguir claramente entre tiempo propio Dto y tiempo relativo Dt. Observe el ejemplo:

Tiempo propio

d

Dto

Marco del

evento

Tiempo relativo

Dt

Marco relativo

Dt > Dto

Ejemplo 1: La nave A pasa a la nave B con una rapidez relativa de 0.8c (ocho por ciento la rapidez de la luz). Una mujer a bordo de la nave B tarda 4 s en caminar la longitud de su nave. ¿Qué tiempo registra el hombre en la nave A?

v = 0.8c

A

B

Tiempo propio Dto = 4 s

0

2 21

tt

v c

DD

Encontrar tiempo relativo Dt

2 2

4.00 s 4.00 s

1-0.641- (0.8 ) /t

c cD Dt = 6.67 s

Paradoja de los gemelos

Un par de gemelos está en la Tierra. Uno sale y viaja durante 10 años a 0.9c.

Cuando el viajero regresa, ¡es 23 años más viejo debido a la dilatación del tiempo!

¡El viaje duplica la edad del viajero!

0

2 21

tt

v c

DD

Paradoja: Puesto que el movimiento es relativo, ¿no es cierto también que el hombre que permaneció en la Tierra debe ser 23 años más viejo?

Explicación de la paradoja de los gemelos

El movimiento del gemelo viajero no era uniforme. Se necesitaban aceleración y fuerzas para ir a y regresar del espacio.

El viajero envejece más y no el que se quedó en casa.

¡El gemelo viajero envejece más!

Esto NO es ciencia ficción. Relojes atómicos colocados a bordo de aviones que dan la vuelta a la Tierra y regresan han verificado la dilatación del tiempo.

Contracción de la longitud

0.9cLo

L

Como el movimiento relativo afecta al tiempo, la longitud también será diferente:

2 2

0 1L L v c

Lo es longitud propia

L es longitud relativa

Los objetos en movimiento se acortan debido a la relatividad.

Ejemplo 2: Un metro se mueve a 0.9c en relación con un observador. ¿Cuál es la longitud relativa que ve el observador?

0.9c

1 mLo

L = ¿?

2 2

0 1L L v c

2 2(1 m) 1 (0.9 ) /L c c

(1 m) 1 0.81 0.436 mL

Longitud registrada por el observador: L = 43.6 cm

Si el observador en el suelo sostiene un metro, desde la nave se vería la misma contracción.

Acortamiento de los objetos

Note que es la longitud en la dirección del movimiento relativo la que se contrae y no las dimensiones perpendiculares al movimiento.

0.9c

Wo

W<Wo1 m =1 m

Si el metro tiene 2 cm de ancho, cada uno dirá que el otro sólo tiene 0.87 cm de ancho, pero concordarán en la longitud.

Suponga que cada uno sostiene un metro.

Cantidad de movimiento relativista

Las leyes básicas de conservación para cantidad de movimiento y energía no se pueden violar por la relatividad.

La ecuación de Newton para cantidad de movimiento (mv) se deben cambiar del modo siguiente para explicar la relatividad:

0

2 21

m vp

v c

Cantidad de movimiento relativista:

mo es la masa propia, con frecuencia llamada masa en reposo. Note que, para grandes valores de v, esta ecuación se reduce a la ecuación de Newton.

Masa relativista

Si se debe conservar la cantidad de movimiento, la masa relativista m debe ser consistente con la siguiente ecuación:

0

2 21

mm

v c

Masa relativista:

Note que, conforme un objeto acelera por una fuerza resultante, su masa aumenta, lo que requiere todavía más fuerza. Esto significa que:

¡La rapidez de la luz es una rapidez final!

Ejemplo 3: La masa en reposo de un electrón es 9.1 x 10-31 kg. ¿Cuál es la masa relativista si su rapidez es 0.8c ?

- 0.8c

mo = 9.1 x 10-31 kg0

2 21

mm

v c

-31 -31

2 2

9.1 x 10 kg 9.1 x 10 kg

0.361 (0.6 )m

c c

m = 15.2 x 10-31 kg¡La masa aumentó

67% !

Masa y energía

Antes de la teoría de la relatividad, los científicos consideraban masa y energía como cantidades separadas, cada una de las cuales se debe conservar.

Ahora masa y energía se deben considerar como la misma cantidad. ¡La masade una pelota de béisbol se puede expresar en joules o su energía en kilogramos! El movimiento se agrega a la masa-energía.

Energía relativista total

La fórmula general para la energía relativista total involucra la masa en reposo mo y la cantidad de movimiento relativista p = mv.

Energía total, E 2 2 2

0( )E m c p c

Para una partícula con cantidad de movimiento cero p = 0:

Para una onda EM, m0 = 0, y E se simplifica a:

E = moc2

E = pc

Masa y energía (Cont.)

El factor de conversión entre masa m y energía E es:

Eo = moc2

El subíndice cero se refiere a valores propios o en reposo.

Un bloque de 1 kg sobre una masa tiene una energía Eo y masa mo relativos a la mesa:

1 kg

Eo = (1 kg)(3 x 108 m/s)2 Eo = 9 x 1016 J

Si el bloque de 1 kg está en movimiento relativo, su energía cinética se agrega a la energía total.

Energía total

De acuerdo con la teoría de Einstein, la energía total E de una partícula está dada por:

Energía total: E = mc2

La energía total incluye energía en reposo y energía de movimiento. Si está sólo interesado en la energía de movimiento, debe restar moc

2.

Energía cinética: K = (m – mo)c2

(moc2 + K)

Energía cinética: K = mc2 – moc2

Ejemplo 4: ¿Cuál es la energía cinética de un protón (mo = 1.67 x 10-27 kg) que viaja a 0.8c?

+ 0.7c

mo = 1.67 x 10-27 kg

0

2 21

mm

v c

-27 -27

2 2

1.67 x 10 kg 1.67 x 10 kg

0.511 (0.7 )m

c c

; m = 2.34 x 10-27 kg

K = (m – mo)c2 = (2.34 x 10-27 kg – 1.67 x 10-17 kg)c2

Energía cinética relativista K = 6.02 x 10-11 J

ResumenLa Teoría Especial de la Relatividad de Einstein, publicada en 1905, se basó en dos postulados:

I. Las leyes de la física son las mismas para todos los marcos de referencia que se mueven con velocidad constante uno con respecto al otro.

II. La rapidez de la luz c en el espacio libre es constante para todos los observadores, independiente de sus estados de movimiento. (c = 3 x 108 m/s)

Resumen (Cont.)

0

2 21

mm

v c

Masa relativista:

0

2 21

tt

v c

DD

Tiempo

relativista:

2 2

0 1L L v c Longitud

relativista:

Resumen (Cont.)

Energía total: E = mc2

Energía cinética: K = (m – mo)c2

0

2 21

m vp

v c

Cantidad de movimiento relativista:

CONCLUSIÓN: Capítulo 38ARelatividad